A ∴ y"p = 9 .e3x Por ser una solução particular de la equação diferencial deve satisfazer a mesma, por lo tanto: xeBA.eA.e.e xxxx 2422239 3333 +=−−−−− 2 1 2 111 02 22 44 3 x+= ey , B=, A== B =A A = x p −∴− −− = α 2 13 2 2 1 x++ ee+Ce y= C xxx −− Caso en que algún término de yp no es linealmente independiente con yh xey = yy"+ 32−′ Primeiro resolvemos a equação diferencial homogênea associada: .y = yy"+ 02−′ Alejandro E. García Venturini 456 Obtenemos a equação característica: r2 + r – 2 = 0 r1= –2 y r2 = 1. A solução da equação diferencial homogênea é: yh = C1e–2x +C2ex. Buscamos agora a solução particular, yp deve ser uma função exponencial de a forma αex multiplicada por x (αx.ex) porque ex forma parte de yh y por lo tanto não se respeta a independência lineal. Devemos encontrar o coeficiente α. ( ) ( ) xxx xxx xxxx" p xx' p x p e.xeCeCy ee.e.xee.ye.xe.ye.x.y ++== =++=+==− 2 2 11 33 α ααα Si no hubiésemos multiplicado por x hubiera ocurrido lo siguiente: yp = .ex xxxx" p ' p eee.e.e.yy 3032 =∴=−+== ααα . Llegamos a un absurdo. Por eso siempre que en la solución particular aparezca una solución que no sea linealmente independiente con una que ya apareció en yh, la solución debe multiplicarse por x. B) Método de las partes variables El método consiste en trabajar con las llamadas partes variables de F(x). Parte variable Dada una função se llama parte variable a la parte que depende de la variável (no se tienen en cuenta los coeficientes). Por ejemplo, si F(x) = 3x2, la p.v. es x2, si F(x) = 4cos x + 3e2x, las p.v. son cos x y e2x. Si F(x) = C, la p.v se puede pensar como x0 =1. Dada una F(x) hallamos sus derivadas sucesivas hasta que observemos que en sus términos no aparecen nuevas partes variables. Por ejemplo: F(x) = x2 + cos x ( ) =x'F 2x – sen x ( ) =x"F 2 – cos x ( ) =x"'F sen x Por el primer término (x2) las p.v. son (x2, x , 1), por el segundo término (cos x), las p.v. son (cos x, sen x). Por lo tanto las p.v. de F(x) son (x2, x, 1, cos x, sen x). Ecuaciones diferenciales de 2º orden 457 Si G(x) = x – cos x + sen x ( ) =x'G 1 + sen x + cos x ( ) =x"G cos x – sen x Por el primer término (x) las p.v. son (x,1), por el segundo término (cos x), las p.v. son (cos x, sen x) y por el tercer término las p.v. son (sen x, cos x). Por lo tanto las p.v. de F(x) son (x, 1, cos x, sen x). Si algún término se repite en las p.v. de distintas funciones, se considera una sola vez. Determinación de yp Para determinar yp hay que tener en cuenta la función F(x) que figura en el segundo miembro de la equação diferencial. De esa función se calculan sus partes variables para cada término. Una vez determinados estos grupos se hace el siguiente análisis: se observa la expresión de la solución de la equação homogénea asociada y si las partes variables de los términos de ésta se repiten en algún grupo de las partes variables de F(x), se debe multiplicar por x cada término de este grupo. Si en el nuevo grupo así formado se vuelve a repetir una parte variable de la homogénea, se vuelve a multiplicar todo el grupo por x y así sucesivamente hasta que no se repitan las partes variables. En los grupos así formados no deben haber partes variables que se repitan, si así ocurriera se consideran una sola vez. Una vez determinadas todas las partes variables, la yp es una combinación lineal de ellas. Una vez determinada yp se procede igual que en el método visto anteriormente. Ejemplos: a) 2265 xy'y"y =+− Primero calculamos yh: r2–5r + 6 = 0 r1 = 3, r2 =2. yh = C1.e3x + C2.e2x. Calculamos ahora las p.v. de F(x): F(x) = 2x2, ( )x'F = 4x, ( )x"F = 4, las p.v. (2x2) = (x2; x ;1). Como no se repiten con las p.v. de yh (e3x, e2x), entonces yp= Ax2 + Bx + C. Alejandro E. García Venturini 458 b) 3'4" +=+ xyy Primero calculamos yh: r2 + 4r = 0 r1 = 0, r2= – 4 yh = C1 + C2.e–4x Calculamos ahora las p.v. de F(x): F(x) = x + 3, ( )x'F = 1, las p.v.(x) = (x;1), las p.v.(3) = 1. Vemos que se repite x0 (C1 y 1). Debemos multiplicar todo el grupo (x;1) por x, nos queda el nuevo grupo (x2, x) y el grupo (1) también por x, nos queda el nuevo grupo (x). Ahora no hay repetición entre las p.v. de la solução de la homogénea y estos nuevos grupos. Finalmente las p.v. de F(x) quedan: (x2;x). La x está en ambos grupos, la consideramos una sola vez. Entonces yp= Ax2 + Bx. c) xseneyy x ." =− Primero calculamos yh: r2 – 1 = 0 r1 = 1, r2 = –1. yh = C1ex +C2 e–x. Calculamos ahora las p.v. de F(x): F(x) = ex.sen x, ( )x'F = ex.sen x + ex.cos x, ( )x"F = ex.sen x + ex.cos x + ex.cos x – ex.sen x, las p.v. (ex.sen x) = (ex.sen x; ex.cos x). Vemos que no se repiten las partes variables del grupo con las que aparecen en la solução de la homogénea (ex;e–x), por lo tanto las p.v. de F(x) quedan: (ex.sen x; ex.cos x). Entonces yp = Aex.sen x + Bex.cos x. C) Método Variación de Parámetros de Lagrange1 Se trata de un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de enésimo orden. Comenzaremos estudiando el método para ecuaciones de segundo orden y lo generalizaremos. Consideremos la siguiente ecuación diferencial de segundo orden: ( ) ( ) ( ) ( )xgyxc'yxb"yxa =++ com ( ) 0≠xa 1 Tema desarrollado por Pablo Caviezel, docente de Análisis Matemático II de la Facultad de Ciencias Económicas de la UBA. Ecuaciones diferenciales de 2º orden 459 La superioridad de este método con respecto a los métodos vistos anteriormente radica en dos puntos fundamentales: • No es necesario que la ecuación tenga coeficientes constantes. • ( )xg puede ser cualquier función que dependa de x, no debiendo necesariamente limitarse a polinomios, exponenciales o trigonométricas. En el caso en que ( ) 0=xa , la ecuación diferencial es de primer orden, lineal, y el método aprendido para estas ecuaciones es justamente éste. Por simplicidad de notación, reduciremos los coeficientes de la ecuación a letras simbólicas, entendiéndose que pueden ser funções en x. Así, tenemos: ( )ay by cy g x′′ ′+ + = Para resolverla, resolvemos por algún método conocido la ecuación diferencial homogénea asociada: 0h h hay by cy′′ ′+ + = , cuya solução es de la forma: 1 1 2 2hy C y C y= + . 1y e 2y son soluções particulares linealmente indepen- dientes de la ecuación diferencial y C1 y C2 constantes indeterminadas. Entendemos que la solução de la ecuación diferencial completa es la suma de la solução de la ecuación diferencial homogénea más una solução parti- cular. Es decir: h py y y= + Lagrange propone como solução particular a la expresión que surge de reemplazar en la solução de la ecuación diferencial homogénea las constantes por funções de x a determinar. Es decir: ( ) ( ) 2211 yxvyxvyp += . El problema es determinar qué funções son éstas. Simplificando la nota- ción, podemos expresar la solução particular como: 2211 yvyvyp += . Sabe- mos que la solução particular es solução particular de la ecuación completa y, como tal, deve satisfazerla. Entonces procedemos a calcular sus derivadas para