Si ( ) ( ) ( ) ( )[ ]z;y;xR;z;y;xQ;z;y;xPxf = , su matriz jacobiana es P P P x y z Q Q QDf x y z R R R x y z y por lo tanto la divergencia de f es igual a la traza de la matriz jacobiana. Ejemplo: ( ) ( ) ( )++++= xy;zyxsen;zyxcosz;y;xf 2222 2 1 div f = • ∂ ∂ ∂ z ; y ; x ( ) ( )++++ xy;zyxsen;zyxcos 2222 2 1 = = ( ) ( ) 00222222 =++++++− zyxsenzyxsen En este caso el campo es solenoidal para todos los puntos del mismo. Propiedades del rotor y la divergencia 1) El rotor del gradiente Si ( )z;y;xfu = es un campo escalar con derivadas parciales segundas continuas en un conjunto D, entonces el rotor del vector gradiente de u es el vector nulo. Es decir que si un campo vectorial es conservativo entonces su rot es el vector nulo. Si ( )z;y;xfu = su gradiente es kujuiuu ' z ' y ' x ++=∇ . El campo vectorial gradiente es ( ) kujuiuxf ' z ' y ' x ++= ( ) ( ) ( ) 0=−+−+−= ∂ ∂− ∂ ∂ + ∂ ∂− ∂ ∂− ∂ ∂+ ∂ ∂− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ kuujuuiuu k y u x u j x u z ui z u y u uu u zyx kji frot " xy " yx " zx " xz " yz " zy ' x ' y ' z ' x ' y ' z ' z ' y ' x Los paréntesis se anulan por el Teorema de Schwarz. Propiedad recíproca: Si el campo vectorial f : 33 ℜ→ℜ⊆A tiene derivadas parciales continuas y el rotor es el vector nulo, entonces f es un campo vectorial gradiente o conservativo, es decir que es el rotor de un vector gradiente. Conclusión: un campo vectorial es irrotacional sí y solo sí es conservativo y sí y solo sí es un campo vectorial gradiente. Son conceptos equivalentes. Por lo tanto otra forma de determinar si un campo vectorial es conservativo o vectorial gradiente es calculando su rotor Condiciones que deben verificarse para ser un campo irrotacional en el plano: 0= ∂ ∂− ∂ ∂= k y P x Qfrot y P x Q ∂ ∂= ∂ ∂ en el espacio: 0= ∂ ∂− ∂ ∂+ ∂ ∂− ∂ ∂+ ∂ ∂− ∂ ∂= k y P x Qj x R z Pi z Q y Rfrot y P x Q; x R z P; z Q y R ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ En y vemos que llegamos a las mismas condiciones a las que llegamos cuando planteamos que un campo vectorial sea un campo vectorial gradiente (ver páginas 239, 240). 2) Divergencia de un rotor Si f es un campo vectorial en 3ℜ cuyas componentes tienen derivadas parciales segundas continuas en un conjunto D, entonces la divergencia del rotor de f es nula. Sea ( ) ( )R;Q;Pxf = su rotor es: rot f = ( ) ( ) ( )kPQjRPiQR ' y ' x ' x ' z ' z ' y −+−+− La divergencia del rotor es: div (rot f ) = • ∂ ∂ ∂ z ; y ; x ( ) ( ) ( )kPQjRPiQR ' y ' x ' x ' z ' z ' y −+−+− = = 0=−+−+− " yz " xz " xy " zy " zx " yx PQRPQR Alejandro E. García Venturini 192 En este caso el vector f se denomina potencial vector del rotor de f . Ejemplo: ( )23 3xy;yzx;zxf −+−= ( ) ( ) kxjyiyxy xy yzxzzyx kji frot 22 23 3316 3 ++−+−−= −+− ∂ ∂ ∂ ∂ Calculamos ahora la divergencia del rotor: div (rot f ) = • ∂ ∂ ∂ z ; y ; x ( ) ( ) kxjyiyxy 22 3316 ++−+−− = = 0066 =++− yy 3) Todo campo vectorial se puede descomponer en la suma de un campo solenoidal y uno irrotacional. LAPLACIANO – LA DIVERGENCIA DEL GRADIENTE a) de un campo escalar Si f es un campo escalar, la divergencia de su gradiente se indica simbólicamente de la siguiente manera: div ( ) ( ) ( ) ffff 2∇=∇•∇=∇•∇=∇ . El operador 2∇ se denomina operador laplaciano y también se lo representa como Δ. Si f es un campo escalar de dos variables tenemos: ( ) " yy " xx ff y f; x f y ; x f += ∂ ∂ ∂ ∂• ∂ ∂ ∂ ∂=∇•∇=∇=Δ 2 Si f es un campo escalar de tres variables tenemos: ( ) " zz " yy " xx fff z f; y f; x f z ; y ; x f += ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂• ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=∇•∇=∇=Δ 2 Este operador representa un papel muy importante en muchas leyes físicas (la ecuación de calor, ecuación del potencial y la ecuación de las ondas). Ecuación de Laplace Es la ecuación diferencial que se obtiene igualando a 0 el operador laplaciano. 02 =∇=Δ ff . Función armónica o campo armónico 10 Si un campo escalar f tiene derivadas segundas continuas y verifica la ecuación de Laplace, entonces es un campo armónico. Ejemplo ( ) ( )22 yxlny;xf += 22 2 yx xf ' x + = , ( )222 22 yx xyf " xx + −= , 22 2 yx yf ' y + = , ( )222 22 yx yxf " yy + −= ( ) ( ) 02222 222 22 222 22 2 = + −+ + −=+=∇=Δ yx yx yx xyffff " yy " xx b) de un campo vectorial Si f es un campo vectorial, el laplaciano es igual a un vector cuyas componentes son los laplacianos