Problemario_ProbEstadistica-26

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Si 




 ==
3
1
 ,2 ;~ 11 pnybinY tendremos que: 
 
( )11 =YP = 


 2
1 9
4
3
2
3
1
2 =










=pq 
( )21 =YP = 


 2
2 9
1
3
1
2
202 =




== pqp 
 
b) ( ) ( ) ( )∑∑
= =
==−=−
2
0
2
0
22112121
2 1
 ,
y y
yYyYPyyYYE 
 
9
2
)11(
9
2
)10(
9
1
)02(
9
2
)01(
9
1
)00( −+−+−+−+−= 
 0)22(0)21(
9
1
)20(0)12( −+−+−+−+ 
 0
9
2
9
2
9
2
9
2 =−−+= 
 
 
II) CASO CONTINUO. 
 
Problema 1._ Supón que un fabricante de bombillas está interesado en el número de éstas que le han 
sido pedidas durante los meses de Enero y Febrero. X y Y indican el número de bombillas ordenadas 
durante esos dos meses, respectivamente. Supón que ),( YX es una v. a. bidimensional con la siguiente 
f.d.p conjunta .90004000000,105000,),(, ≤≤≤≤= yyxCyxf YX 
a) Encuentra el valor de la constante C. 
b) Calcula )( YXP ≥ . 
 
Solución 
 
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
 
 
a) Sabemos que: 
 ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
= 1),(, dxdyyxf YX 
 ∫ ∫ =∴
mil
mil
mil
mil
Cdxdy
9
4
10
5
1 
xy = 
x 
y 
77 
 [ ] 1)5)(5(
9
4
10
5
==





milmilCyxC
mil
mil
mil
mil
 
 
000,000,25
1=∴C 
 
b) Se tiene que integrar en la parte inferior de la recta xy = , para ello se divide la región de interés en 
dos partes R1 y R2 debido a que los límites de integración cambian en estas dos regiones. Tomando el 
elemento diferencial vertical se tiene que en la primera región y corre de 4,000 a la recta a 45 grados 
xy = mientras que x corre libremente de 5,000 a 9,000. Dado que y queda en términos de x , 
primero se integra respecto a y y luego respecto a x . En la región 2 la variable x corre de 9,000 a 
10,000 y la variable y toma valores de 4,000 a 9,000, como se indica en la figura. 
 
y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3 R2
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R1
x
 
 








+=≥ ∫ ∫∫ ∫
= == =
000,9
000,4
000,10
000,9
000,9
000,5 000,4
)(
y xx
x
y
dxdydydxcYXP 
















+



= ∫
=
000,9
000,4
000,10
000,9
000,9
000,5
000,4
yxdxyc
x
x
 
( )








+−= ∫
=
000,000,5000,4
000,9
000,5x
dxxc
 








+





−= 000,000,5000,4
2
000,9
000,5
2
x
x
c 



 +−−= 000,000,5000,000,16
2
000,000,25000,000,81
000,000,25
1
 
68.0
25
17 == 
 
 
 
78 
Problema 2._ Si la v. a. bidimensional continua ),( YX tiene una f.d.p conjunta dada por 
 
3
),( 2,
xy
xyxf YX += ,10 ≤≤ x 20 ≤≤ y 
 
 a) Verifica que el volumen bajo la curva en la región definida es uno. 
 b) Encuentre )1( ≥+ YXP . 
 
Solución 
 
 
2
1
0
1 
 
 
 
a) ∫ ∫∫ ∫ +=
∞
∞−
∞
∞−
2
0
1
0
2
, )
3
(),( dxdyx
y
xdxdyyxf YX 
 
 dy
yxx
∫ 





+=
2
0
1
0
23
63
 
 dyy∫ 




 +=
2
0
6
1
3
1
 
 
2
0
2
12
1
3
1



 += yy 
 1
3
1
3
2 =+= 
 
b) Si 1=+ yx ∴ xy −= 1 
 
La probabilidad pedida es la integral en la región sombreada. 
 
∫ ∫
=
= −= 












 +=≥+
1
0
2
1
2
3
)1(
x
x xy
dxdyx
y
xYXP 
 dx
yx
yx
xy
x
x
2
1
1
0
2
2
23
−=
=
=
∫ 





+= 
 ∫
=
=





 −−+−−=
1
0
222 )1(
66
4
)1(2
x
x
dxx
x
xxxx 
y 
x 
xy −= 1