Cl 13

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Unidad Temática 3:
Estadística Analítica
Unidad 9
Regresión Lineal Simple
Tema 15
Estadística Analítica
CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE
• “Indica la fuerza y la dirección de una relación lineal
proporcional entre dos variables cuantitativas. Es decir, si
los valores de una de ellas varían sistemáticamente con
respecto a los de la otra”.
• Aporta información de variables concomitantes,
permitiendo expresar si existe una relación funcional
entre ambas variables, el tipo de relación existente y
llegar a conocer con que precisión se relacionan entre sí.
“Los métodos de regresión se usan para determinar la
mejor relación funcional entre las variables” (Ostle, 1970).
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Regresión Lineal
OBJETIVOS
Permite determinar si dos variables se asocian entre sí y
en que sentido se da dicha asociación.
Si los valores de una variable pueden ser utilizados con
el objeto de poder predecir los valores de la otra variable.
Con el propósito de cubrir estos objetivos, tendremos
que echar mano a algún tipo de función matemática:
Función Lineal
Correlación Lineal
• Relación entre consumo de alimento balanceado y
peso corporal en pollos.
Tomado: Steel & Torrie, (1992) Cap. 10 .
i
Xi = Peso 
(lb)
Yi = 
Consumo
1 4,6 87,1
2 5,1 93,1
3 4,8 89,8
4 4,4 91,4
5 5,9 99,5
6 4,7 92,1
7 5,1 95,5
8 5,2 99,3
9 4,9 93,4
10 5,1 94,4
85
90
95
100
105
4 4,5 5 5,5 6
Eje de Y = Consumo
Eje de X = Peso
Diagrama de dispersión
X
Y
MÉTODO DE AJUSTE DE LA RELACIÓN
▪ Reconocida la dispersión que se configura en los
datos observados, tendremos que buscar algún
modelo o función que se ajuste a la variación
observada. Para ello podemos echar mano al: ajuste
por función lineal, cuadrática, logarítmica, etc.
▪ Con los datos que tienen un comportamiento aleatorio
como los observados en el ejemplo del consumo de
los pollos, estimaremos un modelo de ajuste por el
Método de Regresión Lineal o ajuste de curvas,
para ello utilizaremos el Método de los Mínimos
Cuadrados.
MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
▪ “Minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones de
los puntos observados con respecto a la recta”.
▪ …en la Recta ajustada, Y = a + bX, donde “a” y “b” se
denominan coeficientes de regresión, la recta se llama
recta de regresión, y la función es la ecuación de
regresión.
Ŷ = β0 + β1X
▪ Para estimar los coeficientes de regresión, echaremos
mano a la suma de los productos cruzados de las
desviaciones de las observaciones respecto de sus
medias.
CALCULO DE LOS COEFICIENTES



21 x
xy

▪ Cálculo del coeficiente , pendiente de la recta (1):
 
n
YYXXxy ))((
▪ Cálculo de la suma de productos (covariancia):
▪ Cálculo de la suma de cuadrados de la variable Xi, o
variancia de X:
 
n
XXx 22 )(
CALCULOS
Eje de Y = Consumo de balanceado 
Eje de X = Peso corporal pollos 
i Peso (X) (Xi – X) (Xi – X)2 Consumo (Y) (Yi – Y) (Yi – Y) 2 S(xy)
1 4,6 -0,38 0,1444 87,1 -6,48 41,99 2,4624
2 5,1 0,12 0,0144 93,1 -0,48 0,2304 -0,058
3 4,8 -0,18 0,0324 89,8 -3,78 14,288 0,6804
4 4,4 -0,58 0,3364 91,4 -2,18 4,7524 1,2644
5 5,9 0,92 0,8464 99,5 5,92 35,046 5,4464
6 4,7 -0,28 0,0784 92,1 -1,48 2,1904 0,4144
7 5,1 0,12 0,0144 95,5 1,92 3,6864 0,2304
8 5,2 0,22 0,0484 99,3 5,72 32,718 1,2584
9 4,9 -0,08 0,0064 93,4 -0,18 0,0324 0,0144
10 5,1 0,12 0,0144 94,4 0,82 0,6724 0,0984
n = 10 X = 4,98 0 1,536 Y = 93,56 0 135,61 11,812
  
818,0
536,161,135
812,11
R
CALCULO DE LOS COEFICIENTES
69,7
536,1
812,11
1 
▪ Cálculo del coeficiente , pendiente de la recta:
▪ Cálculo de la ordenada al origen:
XY 10   01   XY
XY 10    
26,55
98,4*69,756,93
0
0




• Tablas: Cálculos Recta de regresión por Y-estimado
i
Peso 
Xi
Consumo 
(lbs) Yi
Ŷ
1 4,6 87,1 90,634
2 5,1 93,1 94,479
3 4,8 89,8 92,172
4 4,4 91,4 89,096
5 5,9 99,5 100,631
6 4,7 92,1 91,403
7 5,1 95,5 94,479
8 5,2 99,3 95,248
9 4,9 93,4 92,941
10 5,1 94,4 94,479
n = 10 X = 4,98 Y = 93,56
iXY 10
ˆ  
iXY 69,726,55
ˆ 
• Gráfico: Diagrama de dispersión
85
90
95
100
105
4 4,5 5 5,5 6
85
90
95
100
105
4 4,5 5 5,5 6
Ŷ = 55,26 + 7,69X
Y = a + bX Ŷ = 0 + 1 X
Modelo lineal ajustado
Recta de regresión: es una
línea recta que pasa a
través de los puntos que
minimiza la suma de los
cuadrados de las diferencias
entre los datos reales y los
puntos ajustados.
MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
▪ El modelo de Regresión incluye un termino error aleatorio
que lo llamaremos “e”:
Yi = 0 + 1Xi + ei ei = yi – (0 + 1Xi) 
Consumo de alimento en gallinas
85.0
90.0
95.0
100.0
4.5 5.0 5.5 6.0
Peso (libras)
C
o
n
s
u
m
o
 a
li
m
 (
g
)
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
El ajuste de los parámetros de la ecuación de la recta de regresión fue 
el primer paso del análisis de los datos, ahora debemos indagar sobre 
su significación estadística de la siguiente manera:
• ¿Cuán bueno es el ajuste de la recta?
Esto equivale a estimar con que grado de certidumbre puedo
predecir Y en función de X.
•¿El valor de 1 es realmente distinto de cero? 
Lo cual equivale a preguntarse si el valor obtenido se debe
simplemente a un error de muestreo o que Y cambia en función de X.
•¿Qué grado de confianza puedo otorgarle a una estimación de un 
valor desconocido de Y a partir de X usando los parámetros de la 
regresión ajustada? 
85
90
95
100
105
4 4,5 5 5,5 6
85
90
95
100
105
4 4,5 5 5,5 6
85
90
95
100
105
4 4,5 5 5,5 6
Cuanto mayor sea la diferencia
entre los valores observados y
estimados, peor será el ajuste
del modelo y menor la
confianza de las estimaciones
realizadas
Cómo definimos cuál de todos
es el mejor modelo
Y = 55,263 + 7,69 X
Y = 55,263 + 7,69 XY = 55,263 + 7,69 X
El poder predictivo del modelo estará dado por la
mayor o menor proporción de variabilidad total
explicada por el modelo.
     YYYYYY ii ˆˆ 
Debemos descomponer la variabilidad total en
explicada y residual.
Al ser todos desvíos, la suma da 0, por lo que se
transforman en cuadrados.
      
222 ˆˆ YYYYYY ii
SC Total SC Explicada SC Residual 
Cálculos que se hicieron para estimar R
Eje de Y = Consumo de balanceado 
Eje de X = Peso corporal pollos 
i Peso (X) (Xi – X) (Xi – X)2 Consumo (Y) (Yi – Y) (Yi – Y) 2 S(xy)
1 4,6 -0,38 0,1444 87,1 -6,48 41,99 2,4624
2 5,1 0,12 0,0144 93,1 -0,48 0,2304 -0,058
3 4,8 -0,18 0,0324 89,8 -3,78 14,288 0,6804
4 4,4 -0,58 0,3364 91,4 -2,18 4,7524 1,2644
5 5,9 0,92 0,8464 99,5 5,92 35,046 5,4464
6 4,7 -0,28 0,0784 92,1 -1,48 2,1904 0,4144
7 5,1 0,12 0,0144 95,5 1,92 3,6864 0,2304
8 5,2 0,22 0,0484 99,3 5,72 32,718 1,2584
9 4,9 -0,08 0,0064 93,4 -0,18 0,0324 0,0144
10 5,1 0,12 0,0144 94,4 0,82 0,6724 0,0984
n = 10 X = 4,98 0 1,536 Y = 93,56 0 135,61 11,812
  
818,0
536,161,135
812,11
R
Valores 
observados
Valores 
estimados
Residuales SC Residual Desviaciones 
explicadas
SC Explicada
Xi Yi Ŷ (Yi – Ŷ) (Yi – Ŷ)
2 (Ŷ - ỹ) (Ŷ - ỹ)2
4,6 87,10 90,634 3,534 12,5 -2,926 8,6
5,1 93,10 94,479 1,379 1,9 0,919 0,8
4,8 89,80 92,172 2,372 5,6 -1,388 1,9
4,4 91,40 89,096 -2,304 5,3 -4,464 19,9
5,9 99,50 100,631 1,131 1,3 7,071 50,0
4,7 92,10 91,403 -0,697 0,5 -2,157 4,7
5,1 95,50 94,479 -1,021 1,0 0,919 0,8
5,2 99,30 95,248 -4,052 16,4 1,688 2,8
4,9 93,40 92,941 -0,459 0,2 -0,619 0,4
5,1 94,40 94,479 0,079 0,0 0,919 0,8
4,98 93,56 935,562 0 44,8 0 90,8
TotalSC
resiónRegSC
R 2
Res SCExpSC
ExplicadaSC
R

2
8,448,90
8,902

R
%67 o 67,02 R  
   




22
2
2
ˆˆ
ˆ
YYYY
YY
R
i
Coeficiente de determinación:
Expresa la parte proporcional de la varianza
total de la variable dependiente que es
explicada por la variable independiente
ajustada de acuerdo a la regresión.
El 67% de la variabilidad del consumo de
alimento puede explicarse por las
variaciones en el peso de los animales.
El 33% restante es variación residual.
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
•¿El valor de b es realmentedistinto de cero? 
Lo cual equivale a preguntarse si el valor obtenido de la “pendiente
de la recta” se debe simplemente a un error de muestreo o por el
contrario a que “Yi” cambia en función de “Xi”.
Por lo tanto necesitamos confrontar la hipótesis nula de que b es igual a
cero contra la alternativa que es distinta de cero.
Ho) b = 0
H1 ) b ǂ 0
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
El estadístico de prueba adecuado para la hipótesis nula será:
1
01


S
t


Si el t calculado a partir de los datos de la muestra es mayor que el
valor de tabla para t(n-2) se rechaza la hipótesis nula y se concluye
que b es distinto de cero, por lo que hay una pendiente.
Ahora tendremos que investigar el error estándar de 1




n
i
i
residual
XX
S
S
1
2
2
)(
1 2
)ˆ( 2
2




n
YY
S
ii
res
Variancia de 
los residuales 
 
91,1
536,1
210
8,44
1










S
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Cálculo del Error Estándar de la pendiente:
En el ejemplo de los pollos, tenemos el siguiente resultado para la
prueba de hipótesis de la significación estadística de 1 y su intervalo de
confianza:
)05.0(306.2034
91,1
069,7


 p,t
Conclusión: se rechaza la hipótesis nula, por lo que se confirma que la
pendiente de la recta es distinta de cero.
Intervalo de confianza para b
IC= ß1 ± t . Sß1
•¿Qué grado de confianza puedo otorgarle a una estimación de un 
valor desconocido de Y a partir de X usando los parámetros de la 
regresión ajustada? 
Ŷ = 55,26 + 7,69X
Ŷ = 55,26 + 7,69 (5)= 93,71
Intervalo de Confianza para Ŷ
IC Ŷ = Ŷ ± t . S Ŷ
donde S Ŷ = Sres √ 1 .+ (Xi – X)
2 .
n Σ(Xi – X)
2
REGRESIÓN LINEAL CON INFOSTAT
REGRESIÓN LINEAL CON INFOSTAT
REGRESIÓN LINEAL CON INFOSTAT
REGRESIÓN LINEAL CON INFOSTAT
REGRESIÓN LINEAL CON INFOSTAT
Regresión Lineal
Conceptos importantes a ESTUDIAR y APRENDER
1. Variables independiente y dependiente.
2. Diagrama de dispersión
3. Función o modelo lineal
4. Función de Regresión Lineal Simple
5. Cálculo del error, el método de los mínimos cuadrados
6. Coeficiente de regresión o pendiente de la recta (1)
7. Ordenada al origen (0)
8. Concepto de la Recta de Regresión
9. Coeficiente de Determinación.