De lo visto surge que 1−= mmx'y e ( ) .xm.m"y m 21 −−= Si y = xm es una solução particular, debe satisfacer la ecuación diferencial, por lo tanto, reemplazando en la ecuación diferencial queda: ( ) 01 0 1 22 2 =++− −− mmm x.axxmaxm.mxa Sacando factor común xm queda: ( )[ ] ,amam.maxm 01 012 =++− con x ≠ 0. Alejandro E. García Venturini 468 Esta ecuación vale cero, para los valores para los cuales ( ) ( ) ,am.aamaamam.ma 01 021 2 2012 =+−+=++− ecuación que recibe el nombre de ecuación característica asociada a la ecuación diferencial. Las raíces de la ecuación son: ( ) ( ) 2 02 2 1212 21 2 4 a.aaaaa m , −−±−− = Si llamamos m1 y m2 a las raíces de la ecuación característica queda: 1 mx = y e 2 mx = y , que son las soluciones particulares que estamos buscando. Debemos ver ahora que ocurre con el determinante, si éste no se anula habremos obtenido la solución general de la ecuación diferencial. 1 111 11 −mm x m = 'y x = y e 1 222 22 −mm x m = 'y x = y ( ) 01 2 1 1 21 21 ≠−− mm mm x mx m xx =xW ( ) 2112 11 1 1 2 0121221 m m mm.xx m xx m x mmmmmm ≠≠−=− −+−− Por lo tanto si las raíces de la ecuación característica son distintas la solución general es: 21 21 mm x C +x C =y Caso en el que m1 = m2 Analicemos el caso en que m1 = m2, 2 21 2a aam −−= . En este caso las soluciones no son linealmente independientes, no se cumple que el determinante es no nulo. Debemos buscar otras soluciones particulares de la ecuación diferencial. Probamos ahora con mx y =1 e xln.xy m=2 . Debemos primero probar que xln.yxln .xy m 12 == es solução de la ecuación diferencial y luego que el determinante es ≠ 0. Ecuaciones diferenciales de 2º orden 469 xln .yy 12 = x y +xln'.y'y 1 112 = ∴ 2 1 112 12 x y x 'y +xln".y"y −= Verificamos que 020212 2 =++ ya'xya"yxa . ( ) x xya x y xa x 'y x+ay+a'yxa"yxaxln = xln.ya+ x y +xln'.yxa+ x y x 'y +xln".yxa 112 112 112 12 21 2 210121 2 2 101112 1 11 2 2 +−+ =− 10121 2 2 y+a'yxa"yxa + = 0 porque y1 es solução particular de la ecuación. Queda entonces: ( ) 12112111212 22 yaa'yxayaya'yxa −+=+− Pero mxy =1 1 1 −= mmx'y , reemplazando queda: ( ) ( ) ( ) [ ] .aaaa.xaa a aaa.x aama.xx.aaxmax.aaxmxa mm mm mm mm 0 2 2 222 211221 2 21 2 21221221 1 2 =−+−=−+−−= =−+=−+=−+− Por lo tanto xln .xy m=2 es solução. Veremos ahora que el determinante no se anula. ( ) ( ) 0 111 111 ≠=−+= =−+= + −−− −−− xxln.mxxxln.mx mx.xlnxxxlnmxx xxlnmxmx xlnxx = xW mmmmm mmm mm xln.xC +x C =y mm 21 es la solução general. Caso en el que m1 y m2 son complejas Si bien este caso está incluido en el caso en el cual m1 ≠ m2, conviene ex- presar la solução en su forma aparentemente real. Si m1 = a + bi, debe ser m2 = a – bi, por ser las raíces complejas conjugadas. La solução general es: biabi+a xC +xC =y − 21 Si utilizamos las fórmulas de Euler: −− bi.sen b cos = e bi.sen + b cos = e bi bi la solução ge- neral queda: xln.biaxln.bia e .x C + e .xC =y − 21 , por lo tanto ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] xln.b sen. CC. i + xln.b cos . C+C .e =y xln.b seni xln.b cos C + xln.b seni + xln.b cosC .x=y a a 2121 − − Si hacemos C1 + C2 = K1 e i.(C1 – C2) = K2, queda: ( ) ( )[ ]xln.b senK + xln.b cos K .x =y a 21 , que es la solução general, en es- te caso (llamada solução apa- rentemente real). Ejemplos Sabemos que 1−= mmx'y e ( ) .x.m.m"y m 21 −−= Reemplazamos en cada ca- so en la ecuación para obtener los valores de m. 1) 0422 =−− y'xy"yx ( ) ( ) 043421 2122 =−−=−−− −− mmxxxxmxm.mx mmmm Por lo tanto: 14043 21 2 −=∧==−− mmmm 1 2 4 1 −xC +xC =y Ecuaciones diferenciales de 2º orden 471 2) 0432 =+− y'xy"yx ( ) ( ) 044431 2122 =+−=+−− −− mmxxxxmxm.mx mmmm Por lo tanto: 22043 21 2 =∧==−− mmmm xln.xC +xC =y 2 2 2 1 3) 0332 =++ y'xy"yx ( ) ( ) 032331 2122 =++=++− −− mmxxxxmxm.mx mmmm Por lo tanto: imimmm 2121032 21 2 −−=∧+−==++ ( ) ( )[ ]xln. senK + xln. cos K .x =y 22 21 1− UNA APLICACIÓN, LAS OSCILACIONES MECÁNICAS LIBRES Oscilaciones no amortiguadas Una de las aplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales de 2º orden es la descripción del movimiento de un resorte. Según la Ley de Hooke, el resorte se expande o comprime una cantidad y de unidades a partir de su posición de equilibrio (longitud natural). La fuerza F con la que tiende a volver a su posición de equilibrio es proporcional a la distancia y.F(y) = −ky. k >0, se denomina constante elástica del resorte y depende del material del mismo. Si se ata una masa m al extremo del resorte, éste se va a estirar y produce un desplazamiento y a partir de su posición de equilibrio. La posición y del resorte en función del tiempo t, suponiendo que el movimiento no es amortiguado (es decir que no actúan otras fuerzas más que la del resorte y el peso) está dada por la ecuación diferencial: 0=+ y m k"y . Alejandro E. García Venturini 472 Oscilaciones amortiguadas En este caso actúa además otra fuerza (fuerza de fricción que amortigua el movimiento que es proporcional a la velocidad). Esta fuerza es igual a ,v.p− con p > 0. La ecuación diferencial que describe este movimiento es: .y m k'y m p"y 0=++ Bajo ciertas condiciones que veremos, en este caso se producen oscilaciones amortiguadas. Resolvemos la ecuación característica 0=++ m kr m p"r , m k m p m pr 4 2 2 −±−= , se presentan las siguientes situaciones: a) Reales distintas: trtr eCeCy 21 21 += , 00 21 << r,r . En este caso, cuando t → ∞, y → 0, por lo tanto el resorte tiende a frenarse y no hay oscilaciones. b) Reales iguales: trtr e.tCeCy 11 21 += , 00 21 << r,r . En este caso, cuando t → ∞, también y → 0, por lo tanto el resorte tiende a frenarse, a una velocidad menor que el caso a) y no hay oscilaciones. c) Reales complejas: ( ) ( )( )btsenKbtcosKey at 21 += . En este caso, hay osci- laciones amortiguadas. Ejemplo: Calcular