Grado de una ecuación diferencial

Es la potencia a la que está elevada la derivada de mayor orden.

Ejemplos: xy'y"y 22 =+ es de 2º orden y de 1º grado, porque la derivada de mayor orden es la 2º que tiene exponente 1.

y"y'xy 222 32 =+ es de 2º orden y 3º grado.

Solución general de una ecuación diferencial

La solución general de una ecuación diferencial está constituida por todas las funciones que satisfacen la ecuación diferencial. Hay que tener en cuenta que así como en una ecuación algebraica la solución son números, la solución de una ecuación diferencial son funciones.

Ejemplo: resolver x'y =

Se trata de encontrar todas las funciones cuyas derivadas sean iguales a x.

Para resolverla expresamos la derivada como cociente de diferenciales:

+==== Cxydxxdydxxdyx

dx
dy
2
..
2

Integrando a ambos miembros se obtiene la solución general, constituida en este caso por una familia de parábolas.

Obsérvese que no hay una única función sino que son infinitas que difieren en una constante. Por eso se dice que la solución general de una ecuación diferencial es una familia de funciones.

Solución particular

Se llama así a la función que además de pertenecer a la solución general cumple con alguna condición adicional, por ejemplo la de pasar por un punto P0 determinado.

Si en el ejemplo anterior queremos la solución que pasa por P0 = (1;1), estamos buscando una solución particular. Para obtenerla debemos calcular la constante C:

2
1
2
11
2
2
=+=+= CCCxy por lo tanto la solución particular es:

2
1
2
2
+= xy, que de todas las parábolas que forman parte de la solución general es la que pasa por el punto P0 = (1;1).

Ecuaciones diferenciales de 1º orden 405

Solución singular

Son soluciones que no se deducen de la solución general. En el proceso de resolución de una ecuación diferencial hay que resolver integrales en las cuales, muchas veces, aparecen denominadores, cuyo valor se considera siempre no nulo.

Ejemplo

Resolver dx.ydy.x =

SGx.kyklnxlnyln
Cxlnyln
x
dx
y
dy
x
dx
y
dy
x
y
dx
dy
=+=
+====

Esta resolución es válida si x ≠ 0 e y ≠ 0. Pero ¿qué ocurre si x = 0 o y = 0?

Si x = 0, dx = 0: queda 0.dy = y.0, 0 = 0, vemos que x = 0 verifica la ecuación y por lo tanto es una solución de la ecuación.

Si y = 0, dy = 0: queda x.0 = 0.dx, 0 = 0, vemos que x = 0 verifica la ecuación y por lo tanto es una solución de la ecuación.

Lo que tenemos que ver es si estas soluciones están incluidas en la solución general x.ky = o y.Cx = .

y = 0, se obtiene como solución particular cuando k = 0.
x = 0, se obtiene como solución particular cuando C = 0.

Por lo tanto no son soluciones singulares.

Analizaremos otros ejemplos más adelante.

En este capítulo veremos las ecuaciones diferenciales ordinarias de 1º grado y de 1º orden.

Resolver una ecuación diferencial significa encontrar la familia de funciones que la satisface. Esto no siempre es tan sencillo. Los pasos a seguir dependen

Alejandro E. García Venturini406
de la estructura de la misma. Lo que veremos ahora es como se resuelven distintos tipos de ecuaciones diferenciales según la estructura a la que respondan.

Teorema de existencia y unicidad de la solución

Planteamos ahora qué condiciones deben cumplirse para que una ecuación diferencial tenga solución y que ésta sea única.

Dada ( )1−= nn y;...;'y;y;xfy , si 1−ny,...,'y,y,f son continuas en un conjunto A, entonces existe y es única la solución ( )xhy = definida en un entorno de x0, que verifica las condiciones iniciales, ( ) 00 yxh = ,…, ( ) 1

001
1 −− = nn yxh .

Pasa el caso particular de una ecuación diferencial de 1º orden del tipo ( )y;xf'y = , deben verificarse la continuidad de f y de 'y .

ECUACIÓN DIFERENCIAL CORRESPONDIENTE A UNA FAMILIA DE FUNCIONES

Dada una familia de funciones definidas por ( ) 021 =nC,...,C,C,y,xϕ , donde ϕ es n veces diferenciable respecto de x e y y continua para las constantes C1, C2,…, Cn, existe una ecuación diferencial de la cual dicha familia de curvas es la solución general.

Para encontrar dicha familia de funciones debemos eliminar las constantes en el sistema de ecuaciones formado por ( ) 021 =nC,...,C,C,y,xϕ y sus n primeras derivadas.

Ejemplos

1) 2Cxy = generamos el sistema
=
=
Cx'y
Cxy
2
2
, despejando C en la segunda ecuación y reemplazando en la primera queda: x'yy =2 , que es la ecuación diferencial que buscamos.

las variables, es decir que en cada miembro de la ecuación quede una sola variable con su diferencial de modo que se puedan integrar. Eso ocurre cuan-
do la ecuación diferencial se puede llevar a la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dy dy dyy' P x .Q y P x .Q y P x .dx P x .dx
dx Q y Q y
= = = =

Ejemplo: resolver yx'yyx'xy
3
03 2 ==−

Si expresamos la derivada como cociente de diferenciales, se pueden separar las variables:

Cxylndxx
y
dydxx
y
dyyx
dx
dy
+====
6333
2
S.G.

Pero no en todas las ecuaciones diferenciales se pueden separar las variables. Vemos ahora como se resuelven algunos de esos casos.

Alejandro E. García Venturini408

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Las ecuaciones diferenciales homogéneas tienen la siguiente estructura:

P(x;y).dx+Q(x;y).dy = 0

donde P(x;y) y Q(x;y) son funciones homogéneas del mismo grado. Para resolver estas ecuaciones diferenciales se recurre a un cambio de variables para transformarlas en ecuaciones diferenciales de variables separables.

Para ello se divide toda la ecuación diferencial por xn, donde n es el grado de homogeneidad de las funciones P(x;y) y Q(x;y). Por la 2º propiedad de las funciones homogéneas vista en el capítulo 7 queda:

0.. 11 =+ dy
x
yQdx
x
yP

Si hacemos las siguientes sustituciones: dxvdvxdyvxyv
x
y ... +===
queda una nueva ecuación diferencial cuyas variables son x y v que se pueden separar:

( ) ( )( ) 0.... 11 =++ dxvdvxvQdxvP

Procedemos a resolver esta nueva ecuación diferencial:

( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )vvQvP
dvvQ
x
dxdvxvQdxvvQvP
dvxvQdxvvQvP
.
.
....
0....
11
1
111
+
−=−=+
=++
ya hemos separado las variables, ahora hay que integrar:

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )+
−
=
+
−= vvQvP
dvvQ
eCx
vvQvP
dvvQ
x
dx .
.
11
1 11
1
.
.
.
que es la solución general de la ecuación general homogénea, finalmente de-
bemos volver a las variables originales.

Ecuaciones diferenciales de 1º orden 409

Ejemplo: resolver ( ) 0..22 =++ dyxydxyx

Las funciones son homogéneas de grado 2, por lo tanto es una ecuación diferencial homogénea. Dividimos por x2 y efectuamos las sustituciones vistas.
Queda:

( ) ( )
( )
+
−=
+
−=−=+
=+++
22
2
2
2121
21
01
v
dv.v
x
dx
dy
dy
x
dx
dy
x
y
dx
dy
( )
4
24 2
2
21
1
21
121
4
1
+
=
+
=+−=+
x
y
C.x
v
C.xvlnCxln
Al final debe expresarse la solución en función de las variables originales.

Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas

Tienen la siguiente estructura: ( ) ( ) 0.. 222111 =+++++ dycybxadxcybxa

Esta ecuación diferencial sería homogénea de grado 1 si no fuese por los términos c1 y c2. Este tipo de ecuaciones diferenciales se las puede transfor-
mar en ecuaciones diferenciales homogéneas de grado 1 si a1.b2 – a2.b1 ≠ 0. Veremos luego que ocurre si a