introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-127

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9.3 UNA PRUEBA DE MUESTRA GRANDE ACERCA DE UNA MEDIA POBLACIONAL ❍ 355
Regiones de rechazo, valores p y conclusiones
El nivel de signifi cancia, a, permite establecer el riesgo que estamos dispuestos a 
correr al tomar una decisión incorrecta en una prueba de hipótesis.
• Para establecer la región de rechazo, escoja un valor crítico de z de modo que 
el área en la(s) cola(s) de la distribución z sea a para una prueba de una cola 
o a/2 para una prueba de dos colas. Use la cola derecha para una prueba de 
cola superior y la cola izquierda para una prueba de cola inferior. Rechace H0 
cuando el estadístico de prueba exceda del valor crítico y caiga en la región de 
rechazo.
• Para hallar un valor p, encuentre el área en la cola “más allá” del estadístico 
de prueba. Si la prueba es de una cola, éste es el valor p. Si la prueba es de dos 
colas, ésta es sólo la mitad del valor p y debe duplicarse. Rechace H0 cuando 
el valor p sea menor a a.
Reportorio de ejercicios
A. Método del valor crítico: Llene los espacios en blanco en la tabla siguiente. 
El primer problema ya está resuelto.
ENTRENADOR PERSONALMIMI
Estadístico 
de prueba
Nivel de 
signifi cancia
¿Prueba de una o 
dos colas? Valor crítico
Región de 
rechazo Conclusión
z � 1.4 a � .05 Una sola (superior) 1.645 z � 1.645 No rechazar H0
z � 2.46 a � .01 Una sola (superior)
z � �0.74 a � .05 Dos colas
z � �6.12 a � .01 Dos colas
Estadístico 
de prueba
Nivel de
signifi cancia
¿Prueba de una o 
dos colas? Valor p ¿Valor p � a? Conclusión
z � 1.4 a � .05 Una cola (superior) .0808 No No rechazar H0
z � 2.46 a � .01 Una cola (superior)
z � �0.74 a � .05 Dos colas
z � �6.12 a � .01 Dos colas
B. Método del valor p: Llene los espacios en blanco en la tabla siguiente. 
El primer problema ya está resuelto.
Informe de progreso
• ¿Todavía tiene problemas? Trate de nuevo usando el Repertorio de ejercicios 
del fi nal de esta sección.
• ¿Ya domina los valores p y regiones de rechazo? Puede saltarse el Repertorio 
de ejercicios del fi nal de esta sección.
Las respuestas están al fi nal de este libro.
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356 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
Dos tipos de errores
Uno podría preguntarse por qué, cuando H0 no fue rechazada en el ejemplo previo, no 
dijimos que H0 era defi nitivamente verdadera y m � 3300. Esto es porque, si escogemos 
aceptar H0, debemos tener una medida de la probabilidad de error asociada con esta 
decisión.
Como hay dos opciones en una prueba estadística, también hay dos tipos de errores 
que se pueden cometer. En la sala de juzgado, el demandado podría ser considerado no 
culpable cuando en realidad es culpable, o viceversa; lo mismo es cierto en una prueba 
estadística. De hecho, la hipótesis nula puede ser verdadera o falsa, cualquiera que sea 
la decisión que tome el experimentador. Estas dos posibilidades, junto con las dos deci-
siones que puede tomar el investigador, se ven en la tabla 9.1.
Además del error tipo I con probabilidad a defi nida antes en esta sección, es posible 
cometer un segundo error, llamado error tipo II, que tiene probabilidad b.
Defi nición Un error tipo I para una prueba estadística es el error de rechazar la 
hipótesis nula cuando sea verdadera. La probabilidad de cometer un error tipo I se denota 
por el símbolo a.
Un error tipo II para una prueba estadística es el error de aceptar la hipótesis nula 
cuando es falsa y alguna hipótesis alternativa es verdadera. La probabilidad de cometer 
un error tipo II se denota por el símbolo b.
Observe que la probabilidad de un error tipo I es exactamente igual que el nivel de 
signifi cancia a y, por tanto, es controlada por el investigador. Cuando H0 es rechazada, 
se tiene una medida precisa de la confi abilidad de la inferencia; la probabilidad de una 
decisión incorrecta es a, pero la probabilidad b de un error tipo II no siempre es contro-
lada por el experimentador. De hecho, cuando H0 es falsa y Ha es verdadera, puede que 
no sea posible especifi car un valor exacto para m, sino sólo un intervalo de valores. Esto 
hace difícil, si no imposible, calcular b. Sin una medida de confi abilidad, no es inteli-
gente concluir que H0 sea verdadera. En lugar de arriesgarse a una decisión incorrecta, 
el experimentador debe detener el juicio, concluyendo que no hay evidencia sufi ciente 
para rechazar H0. En lugar de aceptar H0, no se debe rechazar H0.
Recuerde que “aceptar” una hipótesis particular signifi ca decidir en su favor. Cual-
quiera que sea el resultado de una prueba, nunca se está seguro que la hipótesis que se 
“acepte” es verdadera. Siempre hay un riesgo de estar equivocado (medido por a o b). 
En consecuencia, nunca “acepte” H0 si b es desconocida o su valor es inaceptable para 
el experimentador. Cuando ocurra esta situación, se debe detener el juicio y recolectar 
más información.
El poder de una prueba estadística
La bondad de una prueba estadística se mide por el tamaño de las dos tasas de error: a, la 
probabilidad de rechazar H0 cuando es verdadera, y b, la probabilidad de rechazar H0 
cuando H0 es falsa y Ha es verdadera. Una “buena” prueba es aquella para la que estas 
TABLA 9.1 
●
 Tabla de decisión
 Hipótesis nula
Decisión Verdadera Falsa
Rechazar H0 Error tipo I Decisión correcta
Aceptar H0 Decisión correcta Error tipo II
a � P (rechazar H0 cuando H0 
es verdadera).
b � P (aceptar H0 cuando H0 
es falsa).
CONSEJOMIMI
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 9.3 UNA PRUEBA DE MUESTRA GRANDE ACERCA DE UNA MEDIA POBLACIONAL ❍ 357
tasas de error son pequeñas. El experimentador empieza por seleccionar a, la probabili-
dad de un error tipo I. Si él o ella decide controlar el valor de b, la probabilidad de acep-
tar H0 cuando Ha es verdadera, entonces se selecciona un tamaño muestral apropiado.
Otra forma de evaluar una prueba es ver el complemento de un error tipo II, es decir, 
rechazar H0 cuando Ha es verdadero, lo cual tiene probabilidad
1 � b � P(rechazar H0 cuando Ha es verdadera)
La cantidad (1 � b) se denomina potencia de la prueba debido a que mide la proba-
bilidad de tomar la acción que deseamos que ocurra, esto es, rechazar la hipótesis nula 
cuando es falsa y Ha es verdadera.
Defi nición La prueba estadística de potencia, dada como
1 � b � P(rechazar H0 cuando Ha es verdadera)
mide la capacidad de la prueba para funcionar como se requiere.
Una gráfi ca de (1 � b), la probabilidad de rechazar H0 cuando en realidad H0 es 
falsa, como función del valor verdadero del parámetro de interés se denomina curva 
de potencia para la prueba estadística. En el ideal, nos gustaría que a fuera pequeña y 
la potencia (1 � b) fuera grande.
Consulte el ejemplo 9.5. Calcule b y la potencia de la prueba (1 � b) cuando m sea en 
realidad igual a 870 toneladas cortas.
Solución La región de aceptación para la prueba del ejemplo 9.5 está ubicada en el 
intervalo [m0 	 1.96(s/ �
__
 n )]. Sustituyendo valores numéricos, resulta
880 	 1.96� 21 ____ �___ 50 � o 874.18 a 885.82
La probabilidad de aceptar H0, dada m � 870, es igual al área bajo la distribución mues-
tral para la estadística de prueba x� en el intervalo de 874.18 a 885.82. Como x� está 
normalmente distribuida con una media de 870 y SE � 21/ �
___
 50 � 2.97, b es igual al 
área bajo la curva normal con m � 870 ubicada entre 874.18 y 885.82 (véase la fi gura 
9.8). Al calcular los valores z correspondientes a 874.18 y 885.82, tendremos
E J E M P L O 9.8
 β
f(x)
870 x
/2 = .025
Región de 
rechazo
874.18
Región de 
aceptación
μ0 = 880 885.82
Ha verdadera:
μ = 870
Ho verdadera:
μ = 880
/2 = .025 α
α
Región de 
rechazo
FIGURA 9.8
Cálculo de b en 
el ejemplo 9.8
●
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	9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
	9.3 Una prueba de muestra grande acerca de una media poblacional
	Dos tipos de errores
	El poder de una prueba estadística