introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-164

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466 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
DISEÑO DE BLOQUE ALEATORIZADO: UNA 
CLASIFICACIÓN EN DOS DIRECCIONES
El diseño completamente aleatorizado introducido en la sección 11.4 es una genera-
lización del diseño de las dos muestras independientes presentado en la sección 10.4. 
Está pensado para usarse cuando las unidades experimentales sean bastante similares 
u homogéneas en su conformación y cuando haya sólo un factor, el tratamiento, que 
pueda infl uir en la respuesta. Cualquier otra variación en la respuesta se debe a variación 
aleatoria o a error experimental. A veces es claro para el investigador que las unidades 
experimentales no sean homogéneas. Personas o animales con carácter experimental, 
medias poblacionales? ¿Esto confi rma sus conclusiones 
del ejercicio 11.15?
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 11.24
Tukey's 95% Simultaneous Confidence Intervals
All Pairwise Comparisons among Levels of Method
Individual confidence level = 97.94%
Method = 1 subtracted from:
Method Lower Center Upper
2 -0.0014377 -0.0008400 -0.0002423
3 -0.0001777 0.0004200 0.0010177
Method --------+---------+---------+---------+
2 (-----*-----)
3 (-----*-----)
 --------+---------+---------+---------+
 -0.0010 0.0000 0.0010 0.0020
Method = 2 subtracted from:
Method Lower Center Upper
3 0.0006623 0.0012600 0.0018577
Method --------+---------+---------+---------+
3 (-----*-----)
 --------+---------+---------+---------+
 -0.0010 0.0000 0.0010 0.0020 
11.25 Tolerancia a la glucosa Los 
médicos dependen de resultados de exámenes 
de laboratorio cuando manejan problemas médicos como 
diabetes o epilepsia. En un examen de uniformidad para 
tolerancia a la glucosa, a tres laboratorios diferentes se 
les enviaron nt � 5 muestras de sangre idénticas de una 
persona que había bebido 50 miligramos (mg) de glucosa 
disuelta en agua. Los resultados de laboratorio (en mg/dl) 
son los siguientes:
Lab 1 Lab 2 Lab 3
120.1 98.3 103.0
110.7 112.1 108.5
108.9 107.7 101.1
104.2 107.9 110.0
100.4 99.2 105.4
a. ¿Los datos indican una diferencia en el promedio de 
lecturas para los tres laboratorios?
b. Use el método de Tukey para comparaciones 
apareadas para clasifi car las tres medias de 
tratamiento. Use a � .05.
11.26 El costo de la madera, continúa El 
análisis de varianza de la prueba F en el ejercicio 
11.17 (y conjunto de datos EX1117) determinó que, 
efectivamente, había una diferencia en el costo promedio 
de madera para los cuatro estados. La siguiente 
información del ejercicio 11.17 se da en la tabla.
Medias muestrales x�1 � 242.2 MSE 41.25
 x�2 � 214.8 Error df : 16
 x�3 � 231.6 ni: 5
 x�4 � 248.6 k : 4
Use el método de Tukey para comparaciones apareadas 
para determinar cuáles medias difi eren signifi cativamente 
respecto de las otras al nivel a � .01.
11.27 Califi caciones del GRE Las 
califi caciones de Examen de Registro 
de Graduados (GRE, por sus siglas en inglés), se 
registraron para estudiantes admitidos en tres programas 
diferentes para graduados en una universidad local.
Programa de graduados
 1 2 3
532 670 502
548 590 607
619 640 549
509 710 524
627 690 542
a. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar una 
diferencia en las califi caciones medias del GRE, para 
solicitantes admitidos a los tres programas?
b. Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para la 
diferencia en califi caciones medias del GRE para los 
programas 1 y 2.
c. Si encuentra una diferencia signifi cativa en las 
califi caciones del GRE para los tres programas, use 
el método de Tukey para comparaciones apareadas 
para determinar cuáles medias difi eren 
signifi cativamente de las otras. Use a � .05.
DATOSMISMIS
EX1125
DATOSMISMIS
EX1127
11.7
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 11.8 EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA UN DISEÑO DE BLOQUE ALEATORIZADO ❍ 467
campos agrícolas, días de la semana y otras unidades experimentales a veces agregan su 
propia variabilidad a la respuesta. Aun cuando el investigador no esté realmente intere-
sado en esta fuente de variación, sino que más bien en algún tratamiento que escoja apli-
car, puede aumentar la información al aislar esta fuente de variación usando el diseño 
de bloque aleatorizado, que es una extensión directa de los pares acoplados o diseño de 
diferencia apareada de la sección 10.5.
En un diseño de bloque aleatorizado, el experimentador está interesado en comparar 
k medias de tratamiento. El diseño utiliza bloques de k unidades experimentales que son 
claramente similares, u homogéneos, con una unidad dentro de cada bloque asignada 
al azar a cada tratamiento. Si el diseño de bloque aleatorizado contiene k tratamientos 
dentro de cada uno de los b bloques, entonces el número total de observaciones en el 
experimento es n � bk.
Un supervisor de producción desea comparar los tiempos medios para que operadores 
de línea de producción ensamblen un artículo usando uno de tres métodos: A, B o C. 
Esperando variación en tiempos de ensamble de un operador a otro, el supervisor emplea 
un diseño de bloque aleatorizado para comparar los tres métodos. Cinco operadores de 
línea de producción se seleccionan para servir como bloques y a cada uno se le asigna 
ensamblar el artículo tres veces, una vez por cada uno de los tres métodos. Como la 
secuencia en la que el operador usa los tres métodos puede ser importante (fatiga o mayor 
destreza pueden ser factores que afecten la respuesta), cada operador debe ser asignado 
a una secuencia aleatoria de los tres métodos. Por ejemplo, el operador 1 podría ser 
asignado a efectuar primero el método C, seguido por A y B. El operador 2 podría reali-
zar primero el método A, seguido del C y B.
Para comparar cuatro métodos diferentes de enseñanza, un grupo de estudiantes 
podría ser dividido en bloques de tamaño 4, de modo que los grupos se encuentren casi 
acoplados según su rendimiento académico. Para comparar los costos promedio de tres 
compañías de telefonía celular diferentes, los costos podrían compararse en cada uno 
de tres niveles de uso: bajo, medio y alto. Para comparar el promedio de producción de 
tres especies de árboles frutales, cuando se espera una variación en producción debido al 
campo en el que se planten los árboles, una investigadora usa cinco campos. Ella divi-
de cada campo en tres lotes en los que están plantadas las tres especies de árboles fru-
tales.
El acoplamiento o bloqueo puede tener lugar en muchas formas diferentes. Las com-
paraciones de tratamientos se hacen a veces dentro de bloques de tiempo, dentro de blo-
ques de personas o dentro de ambientes externos similares. El propósito de bloquear es 
remover o aislar la variabilidad de un bloque a otro que pudiera de otro modo ocultar el 
efecto de los tratamientos. Usted encontrará más ejemplos del uso del diseño de bloque 
aleatorizado en los ejercicios al fi nal de la sección siguiente.
EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA 
UN DISEÑO DE BLOQUE ALEATORIZADO
El diseño de bloque aleatorizado identifi ca dos factores: tratamientos y bloques, los 
cuales afectan la respuesta.
División de la variación total 
en el experimento
Sea xij la respuesta cuando el i-ésimo tratamiento (i � 1, 2, …, k) se aplica en el j-ésimo 
bloque (j � 1, 2, …, b). La variación total en las n � bk observaciones es
SS Total � S(xij � x�)
2 � Sx 2ij � 
(Sxij)
2
 _____ n 
b � bloques
k � tratamientos 
n � bk
CONSEJOMIMI
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468 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
Esto se divide en tres (en lugar de dos) partes de modo que
SS Total � SSB � SST � SSE
donde
• SSB (suma de cuadrados para bloques) mide lavariación entre las medias de 
bloque.
• SST (suma de cuadrados para tratamientos) mide la variación entre las medias 
de tratamiento.
• SSE (suma de cuadrados para error) mide la variación de las diferencias entre las 
observaciones de tratamiento dentro de bloques, que mide el error experimental.
Las fórmulas de cálculo para las cuatro sumas de cuadrados son semejantes en forma 
a las empleadas para el diseño completamente aleatorizado de la sección 11.5. Aun 
cuando se puede simplifi car el trabajo con el uso de un programa computarizado para 
calcular estas sumas de cuadrados, las fórmulas se dan a continuación.
CÁLCULO DE LAS SUMAS DE CUADRADOS 
PARA UN DISEÑO DE BLOQUE ALEATORIZADO, 
k TRATAMIENTOS EN b BLOQUES
CM � G
2
 ___ n 
donde
 G � Sxij � Total de todas las n � bk observaciones
 SS Total � Sx 2ij � CM
 � (Suma de cuadrados de todos los valores x) � CM
 SST � S 
T 2i ___ b � CM
 SSB � S 
B 2j ___ k � CM
 SSE � SS Total � SST � SSB
con
Ti � Total de todas las observaciones que reciben tratamiento i, i � 1, 2, …, k
Bj � Total de todas las observaciones en bloque j, j � 1, 2, …, b
Cada una de las tres fuentes de variación, cuando están divididas por los grados 
de libertad apropiados, da una estimación de la variación en el experimento. Como SS 
Total contiene n � bk observaciones al cuadrado, sus grados de libertad son df � (n � 
1). Del mismo modo, SST contiene k totales al cuadrado y sus grados de libertad son 
df � (k � 1), en tanto que SSB contiene b totales al cuadrado y (b � 1) grados de 
libertad. Finalmente, como los grados de libertad son aditivos, los restantes grados de li-
bertad asociados con SSE se puede demostrar algebraicamente que son df � (b � 1)
(k � 1).
Estas tres fuentes de variación y sus respectivos grados de libertad se combinan para 
formar los medios cuadráticos como MS � SS/df, y la variación total en el experimento 
se exhibe entonces en una tabla de análisis de varianza (o ANOVA) como se muestra 
a continuación:
SS Total � SST � 
SSB � SSE
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	11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
	11.7 Diseño de bloque aleatorizado: una clasificación en dos direcciones
	11.8 El análisis de varianza para un diseño de bloque aleatorizado
	División de la variación total en el experimento