cap2DyR con R

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2. Diseño de experimentos 
Curso 2011-2012 
Estadística 
2.1 Diseños Factoriales 
(dos factores) 
3 Diseño Experimentos 
Ejemplo 
A B C D
0.31 0.82 0.43 0.45
0.45 1.10 0.45 0.71
V 0.46 0.88 0.63 0.66
E 0.43 0.72 0.72 0.62
N 0.36 0.92 0.44 0.56
E 0.29 0.61 0.35 1.02
N 0.40 0.49 0.31 0.71
O 0.23 1.24 0.40 0.38
S 0.22 0.30 0.23 0.30
0.21 0.37 0.25 0.36
0.18 0.38 0.24 0.31
0.23 0.29 0.22 0.33
ANTÍDOTO
I
II
III
Se analiza el efecto de tres venenos y cuatro antídotos 
en el tiempo de supervivencia de unas ratas. 
4 Diseño Experimentos 
Modelo 
ijkijjiijk uy
IJm
IJ
IJ
Jm
J
J
Jm
J
J
mI
I
I
mm
mI
I
I
mm
y
y
y
y
y
y
y
y
y
J
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
I
2
1
2
22
12
1
21
11
2
22
21
22
222
221
12
122
121
1
12
11
21
212
211
11
112
111
2
1
21
Factor 1 
F
a
c
to
r 
2
 Normalidad 
Independencia 
Homocedasticidad 
I J tratamientos 
m replicaciones 
n = m I J 
 ... 
1111 2112 11 II
 ... 
1221 2222 22 II
 ... 
JJ 11 JJ 22 IJJI
Factor 1 
1 2 I 
1 
2 
J 
... 
F
a
c
to
r 
2
 
6 Diseño Experimentos 
Modelo 
 : Media global 
i : Efecto del Factor 1 i, i=1,...,I 
j : Efecto del Factor 2 j, j=1,...,J 
ij: Interacción de niveles ij 
uijk : Componente aleatoria N(0, 2), 
I
i i1 0
J
j j1 0
ijkijjiijk uy
jIi ij ,01
iJj ij ,01
7 Diseño Experimentos 
Estimación del modelo 
1:
)1)(1(:
1:
1:
1:
2
j
i
JI
J
I
ij
n
y
y
mI
y
y
mJ
y
y
m
y
y
I
i
J
j
m
k
ijk
I
i
m
k
ijk
j
J
j
m
k
ijk
i
m
k
ijk
ij
1 1 11 11 11
)1(
2
22
mIJ
e
s
yyyy
yy
yy
y
ijk
R
jiijij
jj
ii
Estimación del modelo 
8 Diseño Experimentos 
ijkijjiijk uy
ijkijjiijk ey
ijijkijjiijkijk yyye )(
9 Diseño Experimentos 
Estimación 
A B C D
0.31 0.82 0.43 0.45
V 0.45 1.10 0.45 0.71
 0.46 0.88 0.63 0.66
E 0.43 0.72 0.72 0.62
 0.41 0.88 0.56 0.61
N 0.36 0.92 0.44 0.56
 0.29 0.61 0.35 1.02
E 0.40 0.49 0.31 0.71
 0.23 1.24 0.40 0.38
N 0.32 0.82 0.38 0.67
0.22 0.30 0.23 0.30
O 0.21 0.37 0.25 0.36
0.18 0.38 0.24 0.31
S 0.23 0.29 0.22 0.33
0.21 0.34 0.24 0.33
ANTÍDOTO
I
II
III
10 Diseño Experimentos 
Estimación 
A B C D Medias
0,31 0,82 0,43 0,45
 0,45 1,10 0,45 0,71
V 0,46 0,88 0,63 0,66
 0,43 0,72 0,72 0,62
E Medias 0,41 0,88 0,56 0,61
 -0,038 0,067 0,032 -0,061
N 0,36 0,92 0,44 0,56
 0,29 0,61 0,35 1,02
E 0,40 0,49 0,31 0,71
 0,23 1,24 0,40 0,38
N Medias 0,32 0,82 0,38 0,67
 -0,060 0,073 -0,080 0,068
O 0,22 0,30 0,23 0,30
 0,21 0,37 0,25 0,36
S 0,18 0,38 0,24 0,31
0,23 0,29 0,22 0,33
Medias 0,21 0,34 0,24 0,33
0,098 -0,139 0,048 -0,007
0,314 0,677 0,389 0,534
-0,164 0,198 -0,089 0,056
II 0,544 0,066
III 0,276 -0,202
ANTÍDOTO
I 0,615 0,136
0,479Medias
i
j
ij
ij
ij
11 Diseño Experimentos 
Residuos 
A B C D
-0.103 -0.060 -0.128 -0.160
V 0.038 0.220 -0.108 0.100
 0.048 0.000 0.073 0.050
E 0.018 -0.160 0.163 0.010
 0.00 0.00 0.00 0.00
N 0.040 0.105 0.065 -0.108
 -0.030 -0.205 -0.025 0.353
E 0.080 -0.325 -0.065 0.043
 -0.090 0.425 0.025 -0.288
N 0.00 0.00 0.00 0.00
0.010 -0.035 -0.005 -0.025
O 0.000 0.035 0.015 0.035
-0.030 0.045 0.005 -0.015
S 0.020 -0.045 -0.015 0.005
0.00 0.00 0.00 0.00
III
RESIDUOS
ANTÍDOTO
I
II
022,0
)1(
2
22
mIJ
e
s
ijk
R
12 Diseño Experimentos 
Análisis de la varianza 
I
i
J
j
m
k
ijk
I
i
J
j
m
k
jiij
I
i
J
j
m
k
j
I
i
J
j
I
i
J
j
m
k
i
m
k
ijk
ijkjiijjiijk
ijijkjiijjiijk
ijkijjiijkijkijjiijk
eyyyy
yyyyyy
eyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyy
eyuy
1 1 1
2
1 1 1
2
1 1 1
2
1 1 1 1 1
2
1
2
)(
)()()(
)()()(
)()()()(
I
i
J
j
m
k
ijk
I
i
J
j
jiij
J
j
j
I
i
J
j
I
i
i
m
k
ijk
eyyyym
yymIyymJyy
1 1 1
2
1 1
2
1
2
1 1 1
2
1
2
)(
)()()(
13 Diseño Experimentos 
Variabilidades 
I
i
J
j
m
k
ijijk
I
i
J
j
jiij
J
j
j
I
i
i
I
i
J
j
m
k
ijk
yyVNE
yyyymBAVE
yymIBVE
yymJAVE
yyVT
1 1 1
2
1 1
2
1
2
1
2
1 1 1
2
)(
)()(
)()(
)()(
)(
)1()1)(1()1()1()1(
)()()(
mIJJIJIn
VNEBAVEBVEAVEVT
14 Diseño Experimentos 
Contraste de Hipótesis 
Si el Veneno no influye, los I niveles son iguales 
a efectos de tiempo de supervivencia, entonces 
0 de distinto es Algún :
0:
i1
210
H
H I
I21
I
i i1 0
15 Diseño Experimentos 
Contraste efecto principal de factor A 
0 de distinto es Algún :
0:
i1
210
H
H I
222 ][
)1( RR
sE
mIJ
VNE
s
222 ][
1
)(
AA sE
I
AVE
s cierto, es Ho Si
)1(;12
1
2
2
2 1)(
mIJI
R
I
i
i
R
A
A F
s
IyymJ
s
s
F
Ho rechaza Se Si FFA
16 Diseño Experimentos 
Contraste efecto principal de factor B 
0 de distinto es Algún :
0:
j1
210
H
H J
222 ][
1
)(
BB sE
J
BVE
s cierto, es Ho Si
)1(;12
1
2
2
2 1)(
mIJJ
R
J
j
j
R
B
B F
s
JyymI
s
s
F
Ho rechaza Se Si FFB
17 Diseño Experimentos 
Contraste interacción AxB 
0 de distinto es Algún ij:
0:
1
12110
H
H IJ
222 ][
)1)(1(
)(
ABAB sE
JI
BAVE
s cierto, es Ho Si
)1();1)(1(2
2
mIJJI
R
AB
AB F
s
s
F
naninteraccio BA y 
Ho rechaza Se Si FFAB
18 Diseño Experimentos 
Tabla de análisis de la varianza 
1)(Total
)1(Residual
)1)(1()(BA
1)(B
1)(A
valorpFVarianzaLibertad.CuadradosadVariabilid
de Gradosde SumaFuentes
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
nyy
smIJe
ps
s
sJIyyyym
ps
s
sJyymI
ps
s
sIyymJ
ijk
Rijk
ABR
AB
ABjiij
BR
B
Bj
AR
A
Ai
19 Diseño Experimentos 
Tabla de análisis de la varianza 
47Total
36Residual
AntVen
Antídoto
Veneno
valorpFVarianzaLibertad.Cuadrados.adVariabilid
Gradosde SumaFuentes
005.3
022.0801.0
1123.87.1041.06250.0
0000.8.13307.03921.0
0000.2.23516.02033.1
20 Diseño Experimentos 
Contrastes múltiples: Factor A 
ji
ji
H
H
:
:
1
0
)1(2 mIJ
R
ji
t
mJ
s
yy
t /2 -t /2 
/2 
tIJ(m-1) 
R.R. R.R 
R. Acept. H0 
1- 
/2 
),(
22
mJmJ
N
yy
yy
yy
jiji
jiji
jj
ii
Ho
mJ
styy
LSD
Rji
 rechaza Se
2
2/
21 Diseño Experimentos 
Contrastes múltiples: Factor B 
ji
ji
H
H
:
:
1
0
)1(2 mIJ
R
ji
t
mI
s
yy
t /2 -t /2 
/2 
tIJ(m-1) 
R.R. R.R 
R. Acept. H0 
1- 
/2 
),(
22
mImI
N
yy
yy
yy
jiji
jiji
jj
ii
Ho
mI
styy
LSD
Rji
 rechaza Se
2
2/
22 Diseño Experimentos 
Intervalos de confianza 
(interacción nula) 
mJ
s
ty Rii 2/
mI
s
ty Rji 2/
23 Diseño Experimentos 
Intervalos de confianza 
veneno
tie
m
po
1 2 3
0.22
0.32
0.42
0.52
0.62
0.72
antidoto
tie
m
po
A B C D
0.25
0.35
0.45
0.55
0.65
0.75
24 Diseño Experimentos 
Diagnosis: homocedasticidad 
re
si
du
os
antidoto
A B C D
-0.6
-0.3
0
0.3
0.6
veneno
1 2 3
-0.6
-0.3
0
0.3
0.6
25 Diseño Experimentos 
Heterocedasticidad 
re
si
du
os
valores previstos
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
26 Diseño Experimentos 
Normalidad 
Residuos
pr
ob
ab
il
id
ad
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5
0.1
1
5
20
50
80
95
99
99.9
27 Diseño Experimentos 
Diagnosis: homocedasticidad 
datos transformados z=1/y 
veneno
1 2 3
-1.1
-0.7
-0.3
0.1
0.5
0.9
1.3
antidoto
A B C D
-1.1
-0.7
-0.3
0.1
0.5
0.9
1.3
28 Diseño Experimentos 
Datos transformados 
re
si
du
os
valores previstos
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
0 1 2 3 4 5 6
29 Diseño Experimentos 
Normalidad (datos transformados) 
Residuos
pr
ob
ab
il
id
ad
-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2
0.1
1
5
20
50
80
95
99
99.9
30 Diseño Experimentos 
Tabla de análisis de la varianza 
datos transformados 1/y 
47Total
36Residual
AntVen
Antídoto
Veneno
valorpFVarianzaLibertad.Cuadrados.adVariabilid
Gradosde SumaFuentes
50.65
24.068.8
3867.09.126.0657.1
0000.3.2880.6341.20
0000.6.724.17287.34
31 Diseño Experimentos 
Comparaciones múltiples 
intervalos de confianza 
antidoto
1/
ti
em
po
1 2 3 4
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
veneno
1/
ti
em
po
1 2 3
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
Comandos en R 
32 Diseño Experimentos 
ARCHIVO TEXTO: venenos.txt 
Dos factores con interacción 
33 Diseño Experimentos 
Intervalos de Confianza 
34 Diseño Experimentos 
0
.20
.3
0
.4
0
.5
0
.6
0
.7
VEN
m
e
d
ia
s
I II III
0
.3
0
.4
0
.5
0
.6
0
.7
ANT
m
e
d
ia
s
A B C D
Tabla ANOVA 
35 Diseño Experimentos 
Comparaciones Múltiples 
36 Diseño Experimentos 
Comparaciones Múltiples 
37 Diseño Experimentos 
Interacciones 
38 Diseño Experimentos 
Diagnosis 
39 Diseño Experimentos 
Diagnosis (Transformación) 
40 Diseño Experimentos 
2.2 Bloques Aleatorizados 
42 Diseño Experimentos 
Ejemplo de introducción 
Se desea estudiar el efecto de la Fluorita en la 
reducción del coste energético en la fabricación de 
cemento. Se emplean 6 mezclas distintas de materias 
primas. 
0% 1% 2% 3% 4%
M 1 15.02 11.86 9.94 12.45 13.23
e 2 8.42 10.15 8.54 6.98 8.93
z 3 18.31 16.84 15.86 14.64 15.96
c 4 10.49 10.52 8.04 10.50 10.34
l 5 9.78 9.59 6.96 8.15 9.24
a 6 9.28 8.84 7.04 6.66 9.46
Fluorita
43 Diseño Experimentos 
Modelo 
ijjiij uy
 : Media global 
i : Efecto del tratamiento i, i=1,...,I 
j : Efecto del bloque j, j=1,2,...,J 
uij : Componente aleatoria N(0, 2) 
IJJJ
I
I
yyyJ
yyy
yyy
I
21
22212
12111
2
1
21
Tratamientos 
B
lo
q
u
e
s
 
Normalidad 
Independencia 
Homocedasticidad 
I
i i1 0
J
j j1 0
 ... 
11 12 1I
 ... 
21 22 2I
 ... 
J1 J2 JI
Tratamientos 
1 2 I 
1 
2 
J 
... 
B
lo
q
u
e
s
 
45 Diseño Experimentos 
Estimación del modelo 
1:
1:
1:
1:
:Parámetros
2
j
i
J
I
n
y
y
I
y
y
J
y
y
I
i
J
j
ij
I
i
ij
j
J
j
ij
i
1 111
)1)(1(
:sEstimadore
2
22
JI
e
s
yy
yy
y
ij
R
jj
ii
ijjiij
ijjiij
ey
uy
yyyy
ye
jiij
jiijij
46 Diseño Experimentos 
Estimación 
yyyyyy
yyyy
yyyyyyJ
yyyyyy
yyyyyy
I
Ii
I
JJIJJJ
I
I
j
21
21
21
2222212
1112111
2
1
21
47 Diseño Experimentos 
Estimación (ejemplo) 
0% 1% 2% 3% 4%
M 1 15.02 11.86 9.94 12.45 13.23 12.50 1.77
e 2 8.42 10.15 8.54 6.98 8.93 8.60 -2.13
z 3 18.31 16.84 15.86 14.64 15.96 16.32 5.59
c 4 10.49 10.52 8.04 10.50 10.34 9.98 -0.76
l 5 9.78 9.59 6.96 8.15 9.24 8.74 -1.99
a 6 9.28 8.84 7.04 6.66 9.46 8.26 -2.48
11.88 11.30 9.40 9.90 11.19 10.73
1.15 0.57 -1.34 -0.84 0.46
Fluorita
i 
j 
48 Diseño Experimentos 
Residuos: Varianza residual 
0% 1% 2% 3% 4%
M 1 1.37 -1.21 -1.22 0.79 0.27
e 2 -1.33 0.98 1.27 -0.79 -0.13
z 3 0.84 -0.05 0.88 -0.84 -0.82
c 4 -0.64 -0.02 -0.60 1.36 -0.10
l 5 -0.11 0.28 -0.45 0.24 0.04
a 6 -0.13 0.02 0.12 -0.76 0.74
Fluorita
yyyyye jiijjiijij
88.0
20
51.17
)1)(1(
2
2
JI
e
s
ij
R
49 Diseño Experimentos 
Contraste de Hipótesis 
Si la Fluorita no influye, los I tratamientos 
son iguales a efectos de coste, entonces 
0 de distinto es Algún :
0:
i1
210
H
H I
I21
I
i i1 0
50 Diseño Experimentos 
Análisis de la varianza 
I
i
J
j
I
i
J
j
ijj
I
i
J
j
I
i
J
j
iij
jiijjiij
jiijjiij
ijjiijijjiij
eyyyyyy
yyyyyyyyyy
yyyyyyyyyy
eyuy
1 1 1 1
22
1 1 1 1
22 )()()(
)()()(
)()()(
J
j
I
i
J
j
ijj
I
i
J
j
I
i
iij
eyyIyyJyy
1 1 1
22
1 1 1
22 )()()(
51 Diseño Experimentos 
Variabilidades 
VNEVEVEVT
eVNE
yyIBVE
yyJTVE
yyVT
I
i
J
j
ij
J
j
j
I
i
i
I
i
J
j
ij
B)(T)(
)()(
)()(
)(
1 1
2
1
2
1
2
1 1
2
)1)(1()1()1()1( JIJIn
52 Diseño Experimentos 
Contraste sobre tratamientos 
0 de distinto es Algún :
0:
i1
210
H
H I
222 ][
)1)(1( RR
sE
JI
VNE
s
222 ][
1
)osTratamient(
 cierto, es Ho Si TT sE
I
VE
s
)1)(1(;12
1
2
2
2 1)(
JII
R
I
i
i
R
T
T F
s
IyyJ
s
s
F
Ho rechaza Se Si FFT
53 Diseño Experimentos 
Explicación del contraste 
),(,...,,
][,
),(0 cierto es Ho Si
2
21
121
2
J
Nyyy
J
J
yE
J
yyy
y
Ny
I
J
j j
i
iJii
i
jiji
21
2
1
2
221
11
 
I
)y -y(J
E
I
)y -y(J
s
I
yyy
y
I
i
i
I
i
i
T
I
. quemayor será falso, es Ho Cuando
parecidas.serán y cierto, es Ho Cuando
22
22
RT
RT
ss
ss
54 Diseño Experimentos 
Contraste de bloques 
0 de distinto es Algún :
0:
j1
210
H
H J
222 ][
1
)Bloques(
 cierto, es Ho Si BB sE
J
VE
s
)1)(1(;12
1
2
2
2
1)(
JIJ
R
J
j
j
R
B
B F
s
JyyI
s
s
F
Ho rechaza Se Si FFB
55 Diseño Experimentos 
Tabla de análisis de la varianza 
1-nTotal
Residual
Bloque
oTratamient
valorpFVarianzaLibertad.CuadradosadVariabilid
de Gradosde SumaFuentes
2
22
2
2
22
2
2
22
)(
)1)(1(
1)(
1)(
yy
sJIe
ps
s
sJ
yyI
ps
s
sIyyJ
ij
Rij
BR
B
Bj
TR
T
Ti
56 Diseño Experimentos 
Tabla de análisis de la varianza 
57 Diseño Experimentos 
Sin bloques 
58 Diseño Experimentos 
Intervalos de confianza 
(ejemplo) 
Fluorita Medias L.inf. L.Sup.
0% 11.88 11.09 12.68
1% 11.30 10.50 12.10
2% 9.40 8.60 10.19
3% 9.90 9.10 10.69
4% 11.19 10.40 11.99
J
s
ty Rii 2/
59 Diseño Experimentos 
Intervalos de Confianza (% Fluorita) 
9
1
0
1
1
1
2
FLUO
m
e
d
ia
s
0 1 2 3 4
60 Diseño Experimentos 
Intervalos de Confianza (Mezcla) 
8
1
0
1
2
1
4
1
6
MEZ
m
e
d
ia
s
1 2 3 4 5 6
61 Diseño Experimentos 
Contraste multiples: tratamientos 
ji
ji
H
H
:
:
1
0
)1)(1(2 JI
R
ji
t
J
s
yy
t /2 -t /2 
/2 
t(I-1)(J-1) 
R.R. R.R 
R. Acept. H0 
1- 
/2 
),(
22
JJ
N
yy
yy
yy
jiji
jiji
jj
ii
02/
2
HS
LSD
J
styy Rji rechaza e
62 Diseño Experimentos 
Contraste multiples: bloques 
ji
ji
H
H
:
:
1
0
02/ rechaza e
2
HS
LSD
I
styy Rji)1)(1(2 JI
R
ji
t
I
s
yy
t /2 -t /2 
/2 
t(I-1)(J-1) 
R.R. R.R 
R. Acept. H0 
1- 
/2 
),(
22
II
N
yy
yy
yy
jiji
jiji
jj
ii
63 Diseño Experimentos 
Comparación de medias 
Fluorita 
Mezcla 
13.1
6
2
93.0085.2
2
2/
J
stLSD R
24.1
5
2
93.0085.2
2
2/
I
stLSD R
1 2 3 4 5 6
1 0,00 3,90 -3,82 2,52 3,76 4,24
2 0 6,60 -1,37 -0,14 -0,35
3 0 6,34 7,58 8,07
4 0 1,23 1,72
5 0 0,49
6 0
LSD=1.24
0% 1% 2% 3% 4%
0% 0 0,58 2,49 1,99 0,69
1% 0 1,90 1,40 0,11
2% 0 -0,50 -1,80
3% 0 -1,30
4% 0
LSD = 1.13
64 Diseño Experimentos 
Comparación de medias (Tukey) 
-4 -2 0 2
4
-3
4
-2
3
-2
4
-1
3
-1
2
-1
4
-0
3
-0
2
-0
1
-0
95% family-wise confidence level
Differences in mean levels of FLUO
65 Diseño Experimentos 
Comparación de medias (Tukey) 
-10 -5 0 5 10
6
-5
5
-4
5
-3
6
-2
4
-2
6
-1
4
-1
2
-1
95% family-wise confidence level
Differences in mean levels of MEZ
Diagnosis: 
Homocedasticidad 
Fluorita
0 1 2 3 4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Mezcla
0 1 2 3 4 5 6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
re
si
du
os
Valores previstos
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
5 10 15 20
Gráfico de residuos 
67 Diseño Experimentos 
Diagnosis 
2.3 Diseños Factoriales 
(tres factores) 
69 Diseño Experimentos 
Diseño con tres factores 
Factores A, B y C con NA, NB, 
Nc niveles. 
Nº de Tratamientos 
T=NAxNBxNc 
Efectos principales 3 A, B , C 
Interacciones de orden dos 3 
AxB, AxC, BxC 
Interacción de orden tres 1. 
AxBxC 
Factor A 
A1 A2 A3 A4 A5 A6 
B1 
C1 
B2 
B3 
B4 
B5 
C2 
C3 
F
ac
to
r 
B
 
Tratamiento: Cada combinación de niveles de los factores 
6 x 5 x 3 = 90 
70 Diseño Experimentos 
K factores con N1, N2, ..., NK 
niveles 
libertad de grados 
 con k, orden de ninteracció 1
K
K
...
libertad de grados 
 con 3, orden de nesinteraccio 
3
K
 libertad de 
 grados con 2, orden de nesinteraccio 
2
K
uno cada libertad de grados con sprincipale efectosK 
)(N))(N(N
))(N)(N(N
))(N(N
N
K
kji
ji
i
111
111
11
1
21
71 Diseño Experimentos 
Datos 
Factor 1 
F
a
c
to
r 
2
 
Factor 3 
1 2 K ... 
IJKMMIJMIJ
IJKIJIJ
IJKIJIJ
JKMMJMJ
JKJJ
JKJJ
JKMMJMJ
JKJJ
JKJJ
KMIMIMI
KIII
KIII
KMMM
K
K
KMMM
K
K
KMIMIMI
KIII
KIII
KMMM
K
K
KMMM
K
K
yyy
yyy
yyy
K
yyy
yyy
yyy
K
yyy
yyy
yyy
K
yyy
yyy
yyy
K
yyy
yyy
yyy
K
yyy
yyy
yyy
K
yyy
yyy
yyy
K
yyy
yyy
yyy
yyy
yyy
yyy
21
22212
12111
22212
22222122
12212112
12111
21221121
11211111
22221
22222212
12221211
22222221
22222222212
12222212211
12122121
21212221212
11212211211
11211
21122112
11121111
11212211
21121222112
11121212111
11112111
2111122111211111211111
...21...21...21
J
...21...21...21
2
...21K...21K...21
1
I211 2 ... I 
1 
2 
... 
J 
1 2 K ... 1 2 K ... 1 2 K ... 
1 2 K ... 1 2 K ... 1 2 K ... 
1 2 K ... 1 2 K ... 1 2 K ... 
72 Diseño Experimentos 
Ejemplo: Proceso químico 
T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2
72.2 65.0 74.4 69.2 75.0 70.7 80.0 73.0
74.4 71.6 66.3 71.8 78.9 80.6 65.0 74.4
64.3 61.9 66.5 64.6 64.3 73.4 82.1 78.8
T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2
62.5 75.9 70.8 79.2 76.3 83.3 72.3 80.3
65.8 72.9 63.9 80.1 79.1 88.0 72.4 86.9
71.2 77.8 76.6 75.3 89.0 84.7 75.6 86.3
T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2
69.0 73.8 69.0 84.5 72.8 94.1 78.4 87.5
70.3 59.2 68.2 93.7 73.7 87.3 79.9 79.7
68.8 80.8 78.7 80.1 80.7 89.0 80.3 79.5
C
A
T
A
L
IZ
A
D
O
R
C-1
C-2
C-3
CONCENTRACIÓN
1 2 3 4
Tres factores: 
1 4%
2 6%
3 8%
4 10%
Concentración
T-1 300º C
T-2 320º C
Temperatuta
Variable respuesta: Rendimiento del proceso químico. 
 
C-1 Ag
C-2 Ag+Zn
C-3 Zn
Catalizador
73 Diseño Experimentos 
Modelo 
ijkmijkjkikijkjiijkm uy
Normalidad 
Independencia 
Homocedasticidad 
I J K tratamientos 
M replicaciones 
n = I J K M 
I
i i1 0
J
j j1 0
K
k k1 0
i
K
k ik
,01
iJj ij ,01
k
J
j jk
,01
jIi ij ,01
k
I
i ik
,01
j
K
k jk
,01
K
k ijk
J
j ijk
I
i ijk
jikikj .,,0;,,0;,,,0
ijkmu
74 Diseño Experimentos 
Medias 
ijkmijkjkikijkjiijkm uy
M
y
y
IM
y
y
JM
y
y
KM
y
y
IJM
y
y
IKM
y
y
JKM
y
y
IJKM
y
y
M
m
ijkm
ijk
I
i
K
k
ijkm
jk
J
j
M
m
ijkm
ki
K
k
M
m
ijkm
ij
I
i
J
j
M
m
ijkm
k
I
i
K
k
M
m
ijkm
j
J
j
K
k
M
m
ijkm
i
I
i
J
j
K
k
M
m
ijk
1
1 11 11 1
1 1 11 1 11 1 1
1 1 1 1
75 Diseño Experimentos 
Medias: Proceso químico 
T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2
C-1 70.30 66.17 69.07 68.53 72.73 74.90 75.70 75.40
C-2 66.50 75.53 70.43 78.20 81.47 85.33 73.43 84.50
C-3 69.37 71.27 71.97 86.10 75.73 90.13 79.53 82.23
1 2 3 4
1 2 3 4
C-1 68.2 68.8 73.8 75.6 71.6
C-2 71.0 74.3 83.4 79.0 76.9
C-3 70.3 79.0 82.9 80.9 78.3
69.9 74.1 80.1 78.5 75.6
Concentración
1 2 3 4
T-1 68.72 70.49 76.64 76.22 73.02
T-2 70.99 77.61 83.46 80.71 78.19
69.9 74.1 80.1 78.5 75.6
T-1 T-2
C-1 71.95 71.25 71.6
C-2 72.96 80.89 76.9
C-3 74.15 82.43 78.3
73.02 78.19 75.6
Catalizador 
Temperatura 
76 Diseño Experimentos 
Estimación del modelo 
ijkijkmijkm
ijkm
R
kjijkkiijijkijk
kjjkjk
kikiik
jiijij
kk
jj
ii
yye
MIJK
e
s
KJIyyyyyyyy
KJyyyy
KIyyyy
JIyyyy
Kyy
Jyy
Iyy
y
;
)1(
)1)(1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
1
1
1
2
22
77 Diseño Experimentos 
Modelo estimado 
ijkijkm
kjijkkiijijk
kjjk
kiki
jiij
kjiijkm
yy
yyyyyyyy
yyyy
yyyy
yyyy
yyyyyyyy
ijkmijkjkikijkjiijkm uy
78 Diseño Experimentos 
Descomposición de la 
variabilidad 
i j k m
ijkijkm
i j k
kjijkkiijijk
j k
kjjk
i k
kiki
i j
jiij
k
k
j
j
i
i
I
i
J
j
K
k
M
m
ijkm
yy
yyyyyyyyM
yyyyIM
yyyyJM
yyyyKM
yyIJMyyIKMyyJKM
yy
2
2
2
2
2
222
1 1 1 1
2
79 Diseño Experimentos 
Variabilidades 
i j k m
ijkijkm
i j k
kjijkkiijijk
j k
kjjk
i k
kiki
i j
jiij
k
k
j
j
i
i
I
i
J
j
K
k
M
m
ijkm
yyVNE
yyyyyyyyMCBAVE
yyyyIMCBVE
yyyyJMCAVE
yyyyKMBAVE
yyIJMCVEyyIKMBVE
yyJKMAVEyyVT
2
2
2
2
2
22
2
1 1 1 1
2
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
80 Diseño Experimentos 
Grados de libertad 
)1()1)(1)(1(
)1)(1()1)(1()1)(1(
)1()1()1()1(
LIBERTAD DE GRADOS
)(
)()()(
)()()(
ADVARIABILIDLA DE CIÓNDESCOMPOSI
MIJKKJI
KJKIJI
KJIn
VNECBAVE
CBVECAVEBAVE
CVEBVEAVEVT
81 Diseño Experimentos 
1Total
)1(Residual
)1)(1)(1(
)...
...(
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
1
1
1
..
1 1 1 1
2
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
IJKMyy
sMIJKyy
s
s
sKJI
yyyy
yyyyM
CBA
s
s
sKJyyyyIMCB
s
s
sKIyyyyJMCA
s
s
sJIyyyyKMBA
s
s
sKyyIJMC
s
s
sJyyIKMB
s
s
sIyyJKMA
FVarianzasLibdeGrADVARIABILIDFUENTE
I
i
J
j
K
k
M
m
ijkm
R
i j k m
ijkijkm
R
ABC
ABC
kji
i j k
jkkiijijk
R
BC
BC
j k
kjjk
R
AC
AC
i k
kiki
R
AB
AB
i j
jiij
R
C
C
k
k
R
B
B
j
j
R
A
A
i
i
Tabla ANOVA 
82 Diseño Experimentos 
Contraste efecto principal de factor A 
0 de distinto es Algún :
0:
i1
210
H
H I
F 
 
RR 
Ho rechaza Se Si FFA
)1(;12
1
2
2
2 1)(
MIJKI
R
I
i
i
R
A
A F
s
IyyJKM
s
s
F
Ho rechaza se No Si FFA
)1(;1 MIJKIF
83 Diseño Experimentos 
Contraste interacción AxB 
0 de distinto es Algún :
0:
ij1
12110
H
H IJ
)1)(1(
)(
 cierto, es Ho Si 2
JI
BAVE
sAB
)1();1)(1(2
2
MIJKJI
R
AB
AB F
s
s
F
naninteraccio BA y 
Ho rechaza Se Si FFAB
84 Diseño Experimentos 
Contraste interacción AxBxC 
0 de distinto es Algún :
0:
ijk1
1121110
H
H IJK
cierto es Ho Si
)1();1)(1)(1(2
2
MIJKKJI
R
ABC
ABC F
s
s
F
Ho rechaza Se Si FFABC
85 Diseño Experimentos 
Análisis de la varianza 
86 Diseño Experimentos 
Interpretación 
El efecto principal del factor concentración 
influye significativamente (p-valor =0.0000) 
en el rendimiento. Más adelante se 
compararán las medias de los cuatro niveles 
de este factor. Este factor no interacciona 
con ningún otro. 
Los efectos principales de catalizador y de 
la temperatura son significativos, además 
es muy significativa la interacción de los dos 
factores (p-valor 0.0064). La comparación 
de medias de estos factores debe ser 
conjunta. 
87 Diseño Experimentos 
Contrastes múltiples: Factor A 
ji
ji
H
H
:
:
1
0
)1(2 MIJK
R
ji
t
JKM
s
yy
t /2 -t /2 
/2 
tIJK(M-1) 
R.R. R.R 
R. Acept. H0 
1- 
/2 
),(
22
JKMJKM
N
yy
yy
yy
jiji
jiji
jj
ii
Ho
JKM
styy Rji
 rechaza se
,
2
Si 2/
88 Diseño Experimentos 
Intervalos de Confianza 
70
75
80
con
m
ed
ia
s
k1 k2 k3 k4
72
74
76
78
80
temp
m
ed
ia
s
t1 t2
70
72
74
76
78
80
cat
m
ed
ia
s
c1 c2 c3
89 Diseño Experimentos 
Interacción: Cat. x Temp. 
T-1 T-2
C-1 71.95 71.25 71.6
C-2 72.96 80.89 76.9
C-3 74.15 82.43 78.3
73.02 78.19 75.6
Interacción Cat x Temp
70.00
72.00
74.00
76.00
78.00
80.00
82.00
84.00
0 1 2 3 4
Catalizador
M
ed
ia
s Temp - 1
Temp - 2
90 Diseño Experimentos 
Selección de temperatura y 
catalizador. 
Las mejores combinaciones corresponden a la temperatura 2, 
 con el catalizador 2 o el 3. 
91 Diseño Experimentos 
Diagnosis del modelo 
1.0 2.0 3.0 4.0
-1
0
-5
0
5
1
0
con
re
s
id
u
a
ls
(m
o
d
_
q
u
i)
1.0 1.4 1.8
-1
0
-5
0
5
1
0
temp
re
s
id
u
a
ls
(m
o
d
_
q
u
i)
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-1
0
-5
0
5
1
0
cat
re
s
id
u
a
ls
(m
o
d
_
q
u
i)
92 Diseño Experimentos 
Instrucciones de R utilizadas 
ARCHIVO TEXTO: quimico.txt 
93 Diseño Experimentos 
Análisis de 3 factores con 
menos observaciones 
Cuando no existe interacción de orden tres. 
No es necesario replicar para analizar el experimento. 
La variabilidad explicada por el término A B C se 
convierte en Variabilidad Residual con (I-1)(J-1)(K-1) 
grados de libertad. 
Las expresiones anteriores siguen siendo válidas, 
sustituyendo M=1 (sin replicación) y con (I-1)(J-1)(K-1) 
como grados de libertad de la varianza residual. 
Cuando no existe ninguna interacción 
Se puede reducir considerablemente el número de 
observaciones si el número de niveles de los tres 
factores es el mismo: CUADRADO LATINO 
 
94 Diseño Experimentos 
1Total
)1)(1)(1(
)...
...(
Residual
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
1
1
1
..
1 1 1
2
2
2
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
IJKyy
sKJI
yyyy
yyyy
s
s
sKJyyyyICB
s
s
sKIyyyyJCA
s
s
sJIyyyyKBA
s
s
sKyyIJC
s
s
sJyyIKB
s
s
sIyyJKA
FVarianzasLibdeGrADVARIABILIDFUENTE
I
i
J
j
K
k
ijk
R
kji
i j k
jkkiijijk
R
BC
BC
j k
kjjk
R
AC
AC
i k
kiki
R
AB
AB
i j
jiij
R
C
C
k
k
R
B
B
j
j
R
A
A
i
i
Tabla ANOVA tres factores 
(sin replicación) 
95 Diseño Experimentos 
Ejemplo: Obleas 
Horno AS 1 2 3
1 122.2 103.2 115.8
2 138.4 144.3 159.8
1 131.0 133.4 121.8
2 147.4 138.0 147.5
1 120.5 102.8 120.0
2 140.6 126.6 141.9
1 100.0 105.8 114.7
2 117.0 134.4 131.7
Temperatura
1
2
3
4
Se ha realizado un experimentopara analizar la influencia de la 
temperatura y el acabado superficial (AS) en el espesor de 
óxido conseguido en obleas de silicio. El experimento se repitió 
en cuatro hornos diferentes. ( Cada uno de los datos del cuadro 
representa la media de los espesores medidos en el centro de 
cada una de las 30 obleas que caben en un horno) 
96 Diseño Experimentos 
ANOVA: Obleas 
97 Diseño Experimentos 
Comparación de medias 
El AS que produce mayor espesor es el 2 
El horno que produce media mayor es el 
2, aunque no es significativamente distinto 
del 1. 
98 Diseño Experimentos 
Cuadrado latino 
Permite analizar 
tres factores con K 
niveles cada uno, 
utilizando sólo K2 
observaciones. 
Deben ser nulas 
las interacciones 
de orden 2 y orden 
3. 
1 2 3 4 5
1 C A D B E
2 D C B E A
3 E B A D C
4 B E C A D
5 A D E C B
99 Diseño Experimentos 
Ejemplo: Aditivos gasolina 
Una organización de consumidores estudió la eficacia de 
cinco aditivos que según los fabricantes reducían el 
consumo de combustible. Se realiza un diseño 
experimental con cinco conductores, cinco vehículos y 
cinco aditivos, eligiendo las 25 combinaciones que se 
muestran en la tabla, junto con una medida del consumo. 
C A D B E
71 64 68 78 82
D C B E A
65 64 81 82 82
E B A D C
63 68 74 77 85
B E C A D
66 77 79 88 74
A D E C B
73 70 78 80 88
3 4
4
5
Vehículo
C
o
n
d
u
c
to
r
5
1
2
3
1 2
A
B
C
D
E
Aditivo
100 Diseño Experimentos 
Modelo: Cuadrado Latino 
)()( kijkjikij uy
Normalidad 
Independencia 
Homocedasticidad 
K2 Observaciones 
K
i i1 0
K
j j1 0
K
k k1 0
)(kiju
)2(55)3(45)5(35)4(25)1(15
)4(54)1(44)3(34)5(24)2(14
)3(53)4(43)1(33)2(23)5(13
)1(52)5(42)2(32)3(22)4(12
)5(51)2(41)4(31)1(21)3(11
5
4
3
2
1
54321
yyyyy
yyyyy
yyyyy
yyyyy
yyyyy
101 Diseño Experimentos 
Estimación 
)()( kijkjikij uy
K
y
y
K
y
y
K
y
y
K
y
y
K
k
kij
k
K
i
kij
j
K
j
kij
i
K
i
K
j
kij
1
)(
)(
1
)(
)(
1
)(
)(2
1 1
)(
)(
;
)2)(1(
2
1
1
1
2
)(22
)()()()()()(
)()(
)()(
)()(
)(
KK
e
s
yyyyye
Kyy
Kyy
Kyy
y
kij
R
kjikijkij
kk
jj
ii
102 Diseño Experimentos 
Descomposición de la 
variabilidad 
i j
kij
k
k
j
j
i
i
K
i
K
j
kij
eyyKyyKyyK
yy
2
)(
2
)()(
2
)()(
2
)()(
1 1
2
)()(
)()( kijkjikij uy
)()()()()()()()()( )()()( kijkjikij eyyyyyyyy
)2)(1()1()1()1()1( 2 KKKKKK
Libertad de Grados
103 Diseño Experimentos 
1Total
)2)(1(Residual
1
1
1
..
2
1 1
2
)()(
22
)(
2
2
22
)()(
2
2
22
)()(
2
2
22
)()(
Kyy
sKKe
s
s
sKyyKC
s
s
sKyyKB
s
s
sKyyKA
FVarianzasLibdeGrADVARIABILIDFUENTE
K
i
K
j
kij
R
i j
kij
R
C
C
k
k
R
B
B
j
j
R
A
A
i
i
Tabla ANOVA 
104 Diseño Experimentos 
Tabla análisis de la varianza 
105 Diseño Experimentos 
Comparación: vehículos 
6
5
7
0
7
5
8
0
8
5
VEH
m
e
d
ia
s
1 2 3 4 5
 
Diseño de experimentos
1. En una planta piloto se obtiene un nuevo producto mediante un proceso qúımico. Con el
fin de mejorar el rendimiento se emplean dos catalizadores distintos y se trabaja con tres
temperaturas diferentes. Los resultados del experimento son
Temperatura
Catalizador 200 300 400
A 115 125 130 140 110 120
B 115 105 135 145 100 110
(a) Contrastar si los factores Temperatura y Catalizador tienen efectos significativos. (α =
0.05)
(b) ¿Qué tratamiento se debe utilizar para obtener el mayor rendimiento, si se desea garan-
tizar una probabilidad de error tipo I total, αT = 0.03?
2. Se pretende estudiar el efecto que produce los factores (1) Porcentaje de algodón (10%, 20%
y 30%) (2) Tipo de confección (A y B) en la resistencia al desgaste de ciertos tejidos de fibra
sintética. Se ha realizado el siguiente diseño con tres replicaciones
10% 20% 30%
115 120 126
A 112 135 118
133 139 142
107 110 132
B 114 102 114
108 117 125
(a) Construir la tabla de Análisis de la Varianza y contrastar la influencia de los dos factores
y la presencia de la interacción.
(b) Hacer un contraste de diferencia de medias y decidir el tratamiento más adecuado para
conseguir la mayor resistencia al desgaste.
3. Cierto Organismo Público (O.P.) encargado de certificar la composición de aleaciones de
metales preciosos, debe seleccionar entre dos Laboratorios al más capacitado para la realiza-
ción de futuros análisis de gran precisión. Para tomar la decisión les somete a la siguiente
prueba: Prepara tres aleaciones A, B y C que contienen proporciones distintas de oro.
De cada una de ellas env́ıa cuatro muestras a cada uno de los dos laboratorios. Aśı pues,
cada laboratorio recibe un lote de 12 muestras (codificadas) ordenadas aleatoriamente sin
conocer como han sido obtenidas. Los resultados recibidos por el O.P. son (entre paréntesis
las medias de las casillas):
1
Aleac. A Aleac. B Aleac. C
10.96 11.03 10.95 11.00 11.07 11.01
Lab. I 11.08 11.01 11.04 10.97 10.97 11.03
(11.02) (10.99) (11.02)
10.97 10.96 10.97 10.96 11.02 11.00
Lab. II 10.94 10.95 10.97 10.98 11.01 11.01
(10.955) (10.97) (11.01)
(a) Determinar si existen diferencias entre los resultados de los laboratorios y si éstos han
encontrado diferencias entre las aleaciones.
(b) Aceptando que los datos cumplen la hipótesis de normalidad, indicar si podemos aceptar
que verifican el resto de las hipótesis del modelo y en caso negativo que medidas se deben
adoptar para analizar los datos.
(c) Realizar un test de razón de varianzas para contrastar que las varianzas de los dos
laboratorios son iguales, sabiendo que las tres aleaciones tienen composición distinta.
Interpretar el resultado.
(d) El O.P. conoce exáctamente el porcentaje en oro de la aleación A (11 %), de la B
(11.02 %) y de la C (11.04 %). Con esta información comparar los resultados de los
laboratorios.
4. Complete la tabla ADEVA siguiente y diga de que diseño se trata.
Suma de Cuad. G.L. Varianzas
Factor 1 20 2
Factor 2 5 1.25
Factor 3 10
Int. Segundo orden
Int. Tercer orden 0.25
TOTAL 44 29
5. Se ha realizado un diseño factorial sin replicación con tres factores A,B,C con 5, 5 y 4
niveles respectivamente. Si la interacción de tercer orden es nula, obtener la descomposición
de la variabilidad e indicar los grados de libertad de cada término.
6. Para estudiar el efecto de tres factores (A,B,C) en el tiempo de fraguado del hormigón se ha
realizado un experimento factorial completo a dos niveles con tres replicaciones (24 datos en
total). Los resultados de la estimación han sido:
Media A B AB C AC BC ABC
92.5 2.4 3.3 8.5 15.0 -1.4 2.65 0.72
Teniendo en cuenta que la varianza residual obtenida es ŝ2R = 18.8, indicar qué efectos son
significativos para un nivel de significación α = 0.05.
2
7. Una caracteŕıstica de la calidad de la gasolina es su ı́ndice de octanos. Una refineŕıa de
petróleo tiene cinco fórmulas que pueden emplearse para la obtención de gasolina con plomo
o sin plomo.
(a) Para determinar que fórmula proporciona mayor ı́ndice de octanos, con cada una de
ellas se ha repetido 10 veces en el laboratorio el proceso de fabricación de gasolina con
plomo. Si el coeficiente de determinación del análisis de la varianza de los resultados
es igual a 0.20, contrastar con α = 0.05 si existen diferencias entre las cinco fórmulas
para este tipo de gasolina.
(b) Los valores medios (ȳi•) para cada fórmula son:
Fórmula 1 2 3 4 5
Media 89.2 90.1 90.7 90.5 89.5
Contrastar con α = 0.05 que fórmulas proporcionan ı́ndices de octanos significativa-
mente distintos y cuales no.
(c) Debido a los problemas medio-ambientales gran parte de la producción futura debe
estar libre de plomo. Para determinar que fórmula de las anteriores produce mejores
resultados en cuanto al ı́ndice de octanos , se realizo un diseño experimental similar
al anterior (cinco fórmulas, 10 observaciones en cada fórmula) para la obtención de
gasolina sin plomo. El coeficiente de determinación en este caso es igual a 0.25 y el
ı́ndice medio para cada fórmula es,
Fórmula 1 2 3 4 5
Media 88.0 89.5 88.5 90.289.8
Contrastar (α = 0.05) si existe interacción entre los factores tipo de gasolina (con y sin
plomo) y fórmula.
8. Para comprobar las propiedades de rigidez de dos materiales A y B a tres temperaturas se
ha realizado un experimento con 4 replicaciones. Las medias se proporcionan en la tabla.
Teniendo en cuenta que la varianza residual ha sido 1.69 y que el análisis de la varianza ha
indicado: (1) que existen diferencias significativas entre los dos materiales, (2) que no existen
diferencias entre las tres temperaturas y (3) que la interacción de los dos factores es muy
significativa, calcula y dibuja los intervalos de confianza (α = 0.01) para la comparación de
los dos materiales, de las tres temperaturas y de la interacción. Interpretar los resultados.
3
9. Para estudiar la influencia de la temperatura y la presión sobre el rendimiento de un proceso
qúımico se ha realizado un experimento con 5 valores de presión y 4 valores de temperatura.
Los resultados se muestran en la tabla siguiente.
Temperatura
10 20 30 40 Medias
1 65,58 96,71 124,20 156,63 110,71
2 66,32 101,5 130,37 161,38 114,89
Presión 3 74,42 99,81 134,63 160,59 117,36
4 80,24 104,11 138,42 166,96 122,43
5 79,61 112,14 143,58 170,68 126,50
Medias 73,24 102,85 134,24 163,19 118,38
(a) Considere solamente el efecto de la presión y estudie si es significativo (α = 0, 05),
sabiendo que las varianzas muestrales corregidas para los datos correspondientes a cada
presión son ŝ21 = 149, 85; ŝ
2
2 = 164, 62; ŝ
2
3 = 143, 95; ŝ
2
4 = 145, 11; ŝ
2
5 = 154, 94.
(b) Incorpore el efecto de la temperatura en un modelo adecuado para los datos. Interprete
el resultado.
(c) Calcule un intervalo de confianza al 95% para la varianza del error experimental de los
modelos de los dos apartados anteriores. Interprete las diferencias.
10. Se desea estudiar la fuerza de percusión de una perforadora en función de la VELOCIDAD
de giro (baja y alta) y de un coeficiente mecánico que denominaremos RATIO (0.15, 0.30,
0.45 y 0.60). Se ha experimentado en las ocho posibles combinaciones de ambos factores,
replicando cada experimento dos veces. Los resultados se muestran en la tabla siguiente
0.15 0.30 0.45 0.60 Media
Vel. Baja
270
278
245
249
260
272
275
286
266.875
Vel. Alta
283
286
285
280
286
287
294
288
286.125
Media 279.25 264.75 276.25 285.75 276.5
Las variabilidades explicadas por el RATIO, la VELOCIDAD y la interacción RAT x VEL
son respectivamente 925, 1482.25 y 418,75 y la Variabilidad Total es 3034.
(a) Completa la tabla de análisis de la varianza e indica qué efectos son significativos para
α = 0.05.
(b) Interpreta el resultado, indicando cómo influye el RATIO y la VELOCIDAD en la fuerza
de la perforadora. Dibuja el gráfico que permite interpretar la interacción. Proporciona
el intervalo de confianza para la media de la combinación RATIO 0.30, y VELOCIDAD
baja.
4
(c) Cada tratamiento tiene dos observaciones, llamando Dij = |Yij1 − Yij2| , al valor abso-
luto de la diferencia de estas observaciones, demuestra que
D2ij
2σ2
→ χ21
y que S2D =
∑
2
i=1
∑
4
j=1 D
2
ij
16
es un estimador centrado de la varianza del modelo factorial.
(d) Supón que la varianza de las observaciones a velocidad baja es σ21 y de las observaciones
a velocidad alta es σ22. Utilizando el resultado del apartado 3, realiza el siguiente
contraste con nivel de significación 0.05,
H0 : σ
2
1 = σ
2
2
H1 : σ
2
1 6= σ
2
2
11. Cuando un lenguaje de alto nivel es compilado, el tiempo de ejecución depende del compi-
lador. Un ingeniero de software desea comparar tres compiladores (A, B y C), para ello ha
seleccionado 5 programas muy distintos, cada uno de los cuales ha sido compilado por los
tres compiladores. Los tiempos de CPU se proporcionan a continuación:
1 2 3 4 5 Medias
A 122.9 147.4 189.6 200.9 307.3 193.6
B 113.8 135.1 173.8 199.3 296.6 183.7
C 131.2 152.8 192.7 219.8 318.9 203.1
Medias 122.7 145.1 185.3 206.7 307.6
La variabilidad total es 62899.2, y las variabilidades explicadas por el tipo de compilador y
tipo de programa son 937.2 y 61868.9, respectivamente. Da un intervalo de confianza (95%)
para la diferencia de las medias entre los dos compiladores más rápidos.
12. Se ha realizado el análisis de la varianza de un diseño con un único factor a 10 niveles con 6
observaciones para cada nivel. El nivel cŕıtico que muestra la tabla ADEVA es p = 0.5832.
Los niveles cŕıticos de los contrastes individuales de igualdad de medias son mayores de 0.05
para todas las parejas excepto para la comparación entre los niveles 3 y 7 que ha sido igual a
0.0405. ¿Es posible este resultado? ¿Qué se puede concluir del análisis? ¿Qué procedimiento
sugiere para realizar los contrastes individuales?
13. Se ha realizado un diseño factorial sin replicación con tres factores A,B,C con 5, 5 y 4
niveles respectivamente. Si la interacción de tercer orden es nula, obtener la descomposición
de la variabilidad e indicar los grados de libertad de cada término.
14. Sea un diseño factorial con 4 factores a 3, 4, 2 y 5 niveles. Calcular el número de parámetros
totales correspondientes a efectos principales e interacciones de orden 2, 3 y 4.
5
15. Un ingeniero ha estudiado el efecto que tienen 5 niveles de iluminación en una operación
de ensamblado. El departamento en el que se ha experimentado tiene cuatro estaciones de
trabajo, que representan una fuente potencial de variabilidad. Para cada estación de trabajo
y nivel de iluminación se ejecutó la operación de ensamblado, midiendo la holgura en micras.
Los resultados fueron:
ESTAC. ILUMINACION
1 2 3 4 5 ȳi•
1 131 116 88 75 104 102.8
2 92 96 97 70 75 86.0
3 128 129 99 94 105 111.0
4 121 107 84 89 86 97.4
ȳ•j 118 112 92 82 92.5 ȳ•• = 99.3
(a) Contrastar (α = 0.05) si la iluminación o la estación de trabajo influye en los resultados
del ensamblado.
(b) Comparar los niveles de iluminación y los niveles de las estaciones de trabajo. Indicar
en cada caso cuales se pueden considerar distintos y cuales no.
(c) Calcular la varianza teórica del valor medio previsto para cada observación.
(d) Explicar por qué no se debe contrastar la hipótesis
H0 : µ1 = µ2 = ... = µm
del modelo básico de análisis de la varianza (un factor), mediante contrastes de la t de
Student a cada uno de los
(
m
2
)
pares de muestras.
16. Se realiza un experimento para estudiar la influencia de 2 factores en el rendimiento de un
proceso, donde el factor que se encuentra a 3 niveles (Alto, medio y bajo) es la temperatura,
el otro factor, catalizador, tiene dos niveles: catalizador I y II. Los datos del experimento
se muestran en la siguiente tabla:
Alto Medio Bajo
CI 279 172 176 174 277 130 397 348 434
(215.6) (193.6) (393)
CII 253 238 387 252 367 323 417 427 423
(292.6) (314) (422.3)
(Nota: Los números entre parentesis son las medias de las casillas)
(a) Contrastar con α = 0.05 que efectos son significativos. Interprete el resultado.
(b) Determinar el intervalo con el 99% de confianza para la varianza del error experimental.
6
(c) Dar un intervalo para una observación realizada en condiciones óptimas. Si se realizan
10 experimentos en estas condiciones, determinar el intervalo que con probabilidad
igual al 95% contiene a todas ellas. Utilice la aproximación
tαg = zα(1−
zα + 1
4g
)−1
donde g son los grados de libertad de la t y zα el valor de la normal estándar, tal que
P (Z ≥ zα) = α
17. Un laboratorio de Análisis Cĺınicos ha adquirido un nuevo equipo (B) para medir el coles-
terol en la sangre de los enfermos. Para evaluar si el nuevo equipo está ajustado se decide
analizar muestras de 5 enfermos que previamente han sido analizadas con otro equipo (A),
dando como resultado
Enfermo 1 2 3 4 5 Media
Equipo A 215 305 247 221 286 254.8
Equipo B 224 312 251 232 295 262.8
Contrastar con α = 0.05 existen diferencias entre los dos equipos.
18. Para estudiar el consumo de aceite de un motor se prueban 4 motores distintos con 3 tipos
de aceites obteniendo12 medidas de consumo. Se ha obtenido:
Variabilidad explicada por aceite = 100
Variabilidad explicada por motor = 80
Variabilidad Total = 220
Se pide escribir la tabla ADEVA correspondiente, y obtener conclusiones.
19. Para determinar el consumo de enerǵıa eléctrica para usos domésticos se ha medido el con-
sumo medio por persona en las distintas estaciones del año en siete comunidades autónomas
para 1989, habiéndose obtenido los siguientes resultados:
COMUNIDAD INVIERNO PRIMAVERA VERANO OTOÑO MEDIAS
1 13.1 11.4 10.6 11.5 11.65
2 13.4 12.1 11.1 12.0 12.15
3 13.8 12.1 11.4 12.9 12.55
4 14.0 12.8 11.7 12.6 12.77
5 14.4 12.6 12.5 13.4 13.22
6 14.8 13.4 13.0 14.0 13.80
7 15.6 14.2 14.1 14.4 14.57
MEDIAS 14.16 12.66 12.06 12.97 12.96
(a) Analizar si el factor estación del año es influyente, sabiendo que ŝ2y = 1.53.(No consid-
erar el factor Comunidad).
7
(b) Razonar estad́ısticamente cuál es la estación de mayor consumo y la de menor, uti-
lizando el análisis anterior. Calcular los intervalos de confianza para el consumo medio
de cada estación del año.
(c) Sabiendo que la variabilidad explicada por el factor comunidad es 23.62, construir una
nueva tabla de la varianza, con dos factores, y decidir qué factor es significativo.
(d) Utilizar los resultados del apartado anterior para realizar un contraste de igualdad de
medias del efecto estación y comparar los resultados con los del apartado 2, justificando
las diferencias encontradas.
( NOTA: Utilizar α = 0.05 en todos los contrastes )
20. Se realiza un experimento para estudiar si la presencia de fluorita reduce el coste de fabri-
cación de clinker de cemento en tres tipos diferentes de mezcla. Los resultados del mismo
(en miles de pesetas por Tm) se muestran en la siguiente tabla:
FLUORITA MI MII MIII yi•
0% 15.4 10.6 17.8 14.6
1% 10.3 5.5 10.9 8.9
2% 7.4 1.2 8.1 5.5
3% 10.7 6.5 9.6 8.9
4% 13.5 11.6 15.5 13.5
y 11.4 7.1 12.4
5∑
i=1
3∑
j=1
e2ij = 10.2 ȳ•• = 10.3
(a) Determinar si el tipo de mezcla y el nivel de fluorita añadido influyen significativamente
en el coste de fabricación. Se supone que no existe interacción entre los dos factores.
(b) Contrastar que porcentaje de fluorita produce el menor coste del clinker.
21. El análisis de la varianza de un diseño en bloques aleatorizados proporciona los siguientes
resultados: V T = 232, V E(factor) = 156, V E(bloque) = 15 y V NE = 61. El número de
niveles del factor es 5 y el número de bloques 8. Construir la tabla ADEVA. ¿ Cuál seŕıa
el resultado del análisis si no se tiene en cuenta el efecto de los bloques ? Indicar en qué
circunstancias es preferible cada uno de los modelos.
22. Se ha realizado un experimento con tres factores, (A, B y C), con 4, 3, y 5 niveles, sin
replicaciones. El modelo propuesto no incluye las interacciones de orden 3, por lo que la
variabilidad explicada por estas interacciones se pretende utilizar para estimar la varianza
residual. Los resultados proporcionan para la variabilidad explicada por las interacciones de
orden 3 un valor igual a 234.5; que es muy superior a lo esperado. Debido a ésto se repitió
por completo el experimento, obteniéndose para este segundo experimento un valor de 158.7
8
(para la variabilidad explicada por la interacciones de orden 3). Proponer un procedimiento
para contrastar si se ha producido un cambio significativo en esta variabilidad de uno a otro
experimento, indicando las hipótesis en las que se basa el contraste. (Dejar el resultado del
contraste indicado en función de los valores cŕıticos de la tabla correspondiente.)
23. 8.25. (2-96) En un modelo de análisis de la varianza se ha observado que la desviación t́ıpica
(ŝi) y la media (yi) de las observaciones de cada tratamiento están relacionadas linealmente,
ŝi = kyi, donde k es una constante. ¿ Cuál de las siguientes transformaciones es la más
adecuada para corregir la heterocedasticidad ? z = log y, z = y2 o z = ky
24. La oxidación es una etapa de la fabricación de chips y consiste en añadir una capa de
óxido sobre la placa silicio (oblea). Se está experimentando con 6 tratamientos (Ti) para
seleccionar el que proporciona un mayor espesor de óxido en un mismo tiempo de proceso.
Una caracteŕıstica que influye en el espesor es el acabado superficial de la oblea, por lo que
se tomaron 5 tipos distintos de acabado (Oj). De cada tipo (Oj) se tomaron 6 obleas y se
asignaron aleatoriamente a los tratamientos. En la tabla se proporciona el espesor obtenido
en cada oblea y las medias por filas y columnas.
T1 T2 T3 T4 T5 T6
O1 85.60 90.90 93.00 80.50 85.20 88.90 87.35
O2 89.30 91.50 93.60 83.20 87.80 91.00 89.40
O3 84.70 87.50 90.90 81.00 83.20 86.30 85.60
O4 87.60 90.50 95.60 84.60 87.60 91.10 89.50
O5 87.30 93.10 94.90 82.70 86.70 88.70 88.90
86.90 90.70 93.60 82.40 86.10 89.20 88.15
VT = 465.1
(a) Contrastar si el tipo de oblea y el tratamiento influyen en el espesor del óxido. Elegir el
tipo de oblea y tratamiento más adecuado, indicando si son significativamente distintos
del resto.
(b) Para fijar los seis tratamientos, se seleccionaron dos temperaturas (t1, t2) y tres presiones
(p1, p2, p3) y se combinaron de forma que T1 = (t1, p1), T2 = (t1, p2), T3 = (t1, p3)
T4 = (t2, p1), T5 = (t2, p2) y T6 = (t2, p3). Calcular las variabilidades explicadas por la
temperatura, la presión y su interacción (t× p).
(c) Indicar si sus efectos son significativos, suponiendo nulas las interacciones de los factores
O × t, O × p y O × t× p.
25. Demostrar que en un modelo de bloques aleatorizados, µ̂, α̂i y β̂j son independientes.
26. Un centro ha realizado un experimento para mejorar la resistencia a la tensión de ciertos
muelles de acero. En una etapa del proceso el muelle caliente se sumerge en aceite templado.
Se han estudiado tres factores, A (temperatura del acero antes de la inmersión, con tres
niveles), B (temperatura del baño de aceite, dos niveles) y C (concentración de carbono en
el acero, dos niveles). El experimento se ha replicado tres veces. En la tabla se muestra la
media y la varianza (corregida) para los tres datos de cada tratamiento.
9
A B C yi ŝ
2
i
1 1 1 40.2 0.25
1 1 2 61.1 2.68
1 2 1 35.9 2.43
1 2 2 57.1 4.44
2 1 1 49.0 3.49
2 1 2 70.3 7.77
2 2 1 46.7 5.08
2 2 2 67.6 1.03
3 1 1 41.9 4.27
3 1 2 62.7 11.41
3 2 1 37.1 1.33
3 2 2 60.3 6.13
(a) Dar un intervalo del 95 % de confianza para la varianza del error experimental, σ2.
(b) Indicar si los efectos principales de A, B y C son significativamente distintos de cero.
(c) Dado σ2, construir un intervalo que cumpla que la probabilidad de que ŝ2i (la varianza
muestral corregida de un tratamiento) esté contenido en él sea igual a 0.95. Sustituir σ2
por su estimador y con ayuda de este intervalo, discutir si se puede rechazar la hipótesis
de homocedasticidad de las observaciones.
27. Estimar por máxima verosimilitud los parámetros µ, αi y βj del modelo de bloques aleator-
izados. Obtener la distribución de estos estimadores, indicando su media y varianza.
28. Explicar por qué en un modelo de dos factores con interacción es necesario poner las condi-
ciones
I∑
i=1
αi = 0,
J∑
j=1
βj = 0,
I∑
i=1
(αβ)ij = 0 para todo j, y
J∑
j=1
(αβ)ij = 0 para todo i.
¿Se podŕıan haber puesto otras condiciones distintas a las anteriores? Justificar la respuesta.
29. La calidad de un producto qúımico despues de un largo periodo de almacenamiento depende
del conservante empleado y de las caracteŕısticas de almacenamiento. Se ha estudiado el
efecto de cuatro conservantes distintos (columnas) y cinco almacenamientos (filas) sobre la
degradación del producto:
1 2 3 4 Medias
1 15.1 11.0 18.8 10.3 13.8
2 8.1 4.3 11.8 3.8 7.0
3 15.3 11.5 15.6 9.2 12.9
4 8.0 4.4 11.0 5.8 7.3
5 13.5 9.3 15.8 18.2 14.2
Medias 12.0 8.1 14.6 9.46 11.04
10
La tabla de análisis de la varianza para los datos anteriores es:
Suma de
Cuadrados
Grados de
Libertad
S. Cuadrados
Medios
F
Nivel
Cŕıtico
Almacen. 205.488 4 51.372 10.03 0.0008
Conserv. 123.676 3 41.2258.05 0.0033
Residuos 61.484 12 5.123
Total 390.648 19
(a) Elegir con α = 0.05 el conservante y el almacenamiento que producen menor degradación.
(b) El análisis de los residuos muestra como at́ıpica la observación y54 = 18.2. Un examen
qúımico confirma el resultado anómalo por lo que se recomienda eliminar la observación.
Según el modelo de dos factores sin interacción, la predicción de la observación yIJ
(eliminada) es:
ŷIJ =
SI∗
(J − 1)
+
S∗J
(I − 1)
−
S∗∗
(I − 1)(J − 1)
donde I = 5, J = 4, SI∗ es la suma de las observaciones de la fila I (sin incluir la elimi-
nada), S∗J es la suma de las observaciones de la columna J (sin incluir la eliminada), y
S∗∗ es la suma de las observaciones restantes no incluidas en la fila I ni en la columna
J. Obtener la distribución (media y varianza) del error de predicción eIJ = yIJ − ŷIJ .
(c) Cuando, como en el caso anterior, falta una observación se recomienda el siguiente pro-
cedimiento: sustituir la observación faltante por su predicción y aplicar los contrastes
habituales teniendo en cuenta que los residuos tienen un grado de libertad menos. La
nueva descomposición de la variabilidad es: VT=339.63, VE(Conservantes)=166.02,
VE(Almacenamiento)=164.02 y VNE=9.59. Contestar al apartado 1 con esta modifi-
cación e interpretar las diferencias.
30. Una instalación t́ıpica de almacenamiento de combustible en una Estación de Servicio (gaso-
linera) está formada por un tanque enterrado de gran capacidad, al que se encuentran
conectados distintos surtidores. La cantidad total de gasolina suministrada en un d́ıa se
puede determinar midiendo directamente la variación que se ha producido en el tanque de
almacenamiento (Y1j) o por la suma de los suministros de los distintos surtidores (Y2j). La
comparación de ambas medidas permite determinar pérdidas en la instalación enterrada y
otras anomaĺıas. En el proceso de comparación es necesario tener en cuenta que las medidas
están afectadas por errores aleatorios. Durante 20 d́ıas se han tomado los valores anteriores
en un gasolinera:
D́ıa→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y1j 4116,2 5627,0 2820,4 2521,8 2973,5 2834,9 2335,7 2590,8 2182,7 2621,4
Y2j 4143,6 5632,0 2868,1 2477,7 2955,4 2851,9 2312,7 2630,6 2208,9 2635,9
D́ıa→ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Y1j 4323,6 1880,7 2131,4 3349,6 2545,0 2247,3 1817,5 1461,3 1646,5 1955,4
Y2j 4305,4 1877,9 2159,2 3366,7 2566,1 2281,4 1854,6 1461,5 1607,3 1956,4
11
(a) Llamando Dj = Y1j − Y2j a la diferencia en las medidas de un mismo d́ıa, contrastar
con α = 0.05
H0 : µD = 0
H1 : µD 6= 0
donde Dj tiene distribución N(µD, σD). Calcular el nivel cŕıtico del contraste aproxi-
mando la distribución t de Student por la normal.
(b) Los datos anteriores pueden ser analizados mediante un modelo de bloques aleatorizados
tomando el tipo de medida (tanque, surtidores) como un factor y los d́ıas como bloques.
Demostrar con caracter general que en el modelo de bloques aleatorizados si el factor
tiene dos niveles la varianza residual cumple:
ŝ2R =
1
2
ŝ2D
donde ŝ2D es la estimación de σ
2
D del apartado 1.
(c) Teniendo en cuenta lo anterior, demostrar que el contraste correspondiente al factor en
el modelo de bloques aleatorizados es equivalente al contraste del apartado 1.
31. Una forma alternativa de la ecuación del modelo para comparar I tratamientos es
yij = µ+ τ i + uij, i = 1, 2, ..., I; j = 1, 2, ..., m
donde
µ es la media global
τ 1, τ 2, ..., τ I son los parámetros que determinan los efectos de cada tratamiento, cumplen
que
∑I
i=1 τ i = 0
uij son variables aleatorias independientes con idéntica distribución normal de media cero y
varianza σ2.
(a) Obtener el estimador máximo verośımil de τ i, indicar su distribución de probabilidad,
media y varianza.
(b) Calcular la esperanza de la variabilidad explicada (V E = m
∑I
i=1 τ̂
2
i ) cuando los
parámetros τ i no son todos nulos.
(c) Calcular la correlación entre τ̂ i y un residuo eij cualquiera (del mismo o diferente
tratamiento). Que implicación tiene este resultado en el contraste de análisis de la
varianza.
32. Un ingeniero está estudiando métodos para mejorar ciertas propiedades mecánicas de una
aleación metálica. Los dos factores que considera más importantes son la cantidad de Man-
ganeso y la temperatura de templado. Se diseña un experimento empleando tres niveles
para el factor manganeso y dos para la temperatura, en total 3×2 = 6 tratamientos. Se
dispone de 6 hornos diferentes para realizar la fundición. Cada horno requiere un operador
y se disponen de seis operadores cada uno de los cuales es capaz de manejar los seis hornos.
Diseñar un experimento que con 36 observaciones permita estudiar las diferencias entre los
12
seis tratamientos y que tenga en cuenta el tipo de horno y el operador como variables blo-
ques. Construir la tabla de análisis de la varianza, indicando los grados de libertadad de
cada variabilidad, separando en ella el factor manganeso, el factor temperatura y su inter-
acción. (Los bloques y los factores no interaccionan). (Nota: no es necesario indicar en la
tabla como se obtienen las distintas variabilidades).
33. Una asociación de consumidores para comprobar la utilidad de ciertos compuestos que según
sus fabricantes reducen el consumo de gasolina de los automóviles realizó el siguiente exper-
imento: eligió al azar 9 veh́ıculos nuevos de distintas marcas con cilindrada similar y con
cada uno de ellos recorrió tres veces un mismo trayecto con conductores distintos. Además
en cada uno de estos tres trayectos empleó un tratamiento diferente para la gasolina:
Tratamiento



A : Gasolina con Cyber-Gas
B : Gasolina con Consumin
C : Gasolina sin aditivo
En la tabla siguiente se muestra el consumo en litros de gasolina en cada uno de los recorridos
y el tipo de tratamiento (letra latina).
Número Conductores Media
Veh́ıculo 1 2 3 fila
1 15,5 (A) 15,6 (B) 16,6 (C) 15,90
2 13,0 (B) 13,3 (A) 13,0 (C) 13,10
3 11,8 (B) 13,1 (C) 12,5 (A) 12,47
4 14,4 (A) 14,8 (C) 15,0 (B) 14,73
5 12,4 (B) 14,3 (A) 14,1 (C) 13,60
6 15,6 (C) 15,3 (A) 14,7 (B) 15,20
7 12,7 (C) 12,0 (B) 12,0 (A) 12,23
8 14,2 (C) 14,0 (B) 15,1 (A) 14,43
9 12,6 (A) 13,5 (C) 12,3 (B) 12,80
Media Media Total
Columna 13,58 13,99 13,92 13,83
Media de
Tratam.



A:13,89
B:13,42
C:14,18
El análisis de los datos se realiza con el siguiente modelo
yijk = µ+ αi + βj + γk + uijk
dónde yijk representa el consumo en litros, µ la media global; αi, i = 1, 2, ..., 9 y βj, j =
1, 2, 3 los efectos correspondientes a los veh́ıculos (filas) y los conductores (columnas). La
estimación e interpretación de estos parámetros es similar al modelo de bloques aleatorizados.
Además se incluye los parámetros γk, k = 1, 2, 3 que miden el efecto de los tratamientos (tipo
de aditivo) y cumplen
∑
3
k=1 γk = 0. Por último, uijk la componente aleatoria son variables
aleatorias independientes con distribución normal de media cero y varianza σ2 para todas
las observaciones.
(a) Obtener razonadamente los estimadores máximo verośımiles de γk.
13
(b) La tabla del análisis de la varianza del modelo anterior es
Suma de Grados de
Cuadrados Libertad Varianza F p-Valor
Tratamiento 2,67 2 1,31 6,7 0,0091
Veh́ıculo 40,2 8 5,02 25,7 0,0000
Conductor 0,876 2 0,438 2,2 0,1428
Residual 2,73 14 0,195
Total 46,4 26
¿Reducen los aditivos el consumo de gasolina? ¿ Existen diferencias significativas entre
Cyber-gas (A) y Consumin (B)? (Realizar los contrastes con nivel de significación 0.05).
(c) Demostrar que el diseño anterior, independientemente de los valores numéricos (yijk)
obtenidos, es un diseño ortogonal, es decir que cumple:
VT = VE(Vehı́culos) + VE(Conductores) + VE(Tratamientos) + VNE
(Nota.- Es suficiente con demostrar la ortogonalidad del vector correspondiente a los
tratamientos con respecto a los otros tres).
34. Un informático quiere comparar los tiempos de ejecución de tres programas realizados en
lenguajes diferentes que realizan el mismo proceso. Para hacerla comparación utilizan 4
ordenadores con microprocesadores distintos. Los tiempos requeridos por cada programa en
cada ordenador han sido:
ORDENADOR PROGRAMA
↓ A B C ȳi•
1 1,36 2,23 1,54 1,71
2 0,97 0,70 0,76 0,81
3 1,79 1,74 1,84 1,79
4 0,64 0,69 0,74 0,69
ȳ•j 1,19 1,34 1,22 1,25
¿Existen diferencias significativas en los tiempos requeridos por los 3 programas?
35. Se ha realizado un experimento con dos factores cada uno de ellos con 3 niveles. El 20%
de la variabilidad total está explicada por la interacción de los dos factores y el 40% de
la variabilidad total es debida a la variabilidad residual. Determinar el número de replica-
ciones necesarias en cada tratamiento para que la interacción sea significativa con α = 0.01.
(Explicar el procedimiento de cálculo, dejando el resultado indicado en función de las tablas).
14
36. Un investigador quiere estudiar el efecto de sexo (hombre, mujer) y tipo de formación (cien-
cias, letras) en el dominio del inglés escrito en profesores universitarios. Para ello analiza el
número de incorrecciones gramaticales en art́ıculos cient́ıficos enviados a publicación. Para
cada combinación de niveles de los factores se han elegido al azar tres profesores. En la tabla
se proporciona el número de fallos detectados en art́ıculos de 15 páginas
Letras Ciencias
Hombre 8, 6, 13 22, 28, 33
Mujer 5, 10, 6 12, 14, 9
Contrastar con nivel de significación 0.05 si los efectos principales y la interacción son signi-
ficativos. Tener en cuenta que P (F1,8 ≤ 5.32) = 0.95, siendo F1,8 la distribución F con grados de
libertad 1 y 8. Interpretar los resultados.
37. Un alumno, como trabajo de la asignatura de estad́ıstica, ha comparado tres marcas distintas
(A,B,C) de palomitas de máız precocinadas. Cada marca puede prepararse friendolas en
una sartén (método 1) o en el horno microondas (método 2). El alumno ha realizado un
diseño factorial completo 3×2 con cinco replicaciones en cada uno de los seis tratamientos.
La variable respuesta medida es el porcentaje de granos de máız que no se han inflado
adecuadamente. Los resultados del experimento se muestran en la tabla, en cada tratamiento
se proporciona la media y entre paréntesis la desviación t́ıpica corregida para las cinco
replicaciones. Contrastar si la interacción entre los dos factores es significativa.
A B C
Sartén
5.5
(1,4)
3.6
(1,8)
7.5
(2,5)
Horno
3.8
(1,3)
3.4
(0,9)
4.3
(1,3)
38. Se ha realizado un experimento con dos factores, A (temperatura con tres niveles), B (con-
centración con cuatro niveles). El experimento se ha replicado 5 veces. En la tabla se
15
muestra la media y la varianza (corregida) para los 5 datos de cada tratamiento.
A B yi ŝ
2
i
1 1 240 1.2
1 2 261 1.6
1 3 235 1.4
1 4 257 2.4
2 1 249 1.4
2 2 270 5.7
2 3 246 5.8
2 4 267 1.7
3 1 241 4.2
3 2 262 9.4
3 3 237 1.3
3 4 260 6.1
Escribir la tabla de análisis de la varianza.
39. Se desea estudiar la influencia de 2 factores en el error de medida de un equipo de visión
artificial. Un factor F es la distancia focal, para el que se han fijado 4 niveles y el otro factor
L es el nivel de iluminación con 2 niveles. Además se dispone de 2 equipos diferentes para
realizar las medidas. Se ha tomado un patrón y se ha medido en las combinaciones indicadas
en la tabla, donde yijk es el error obtenido al situar la distancia focal i, con iluminación j y
el equipo k.
F −→ 1 2 3 4 1 2 3 4
L −→ 1 1 1 1 2 2 2 2
Equipo 1 y111 y211 y311 y411 y121 y221 y321 y421
Equipo 2 y112 y212 y312 y412 y122 y222 y322 y422
Construir la tabla de análisis de la varianza, que incluya los efectos principales debidos a la
distancia focal (F ), la iluminación (L) y el equipo, y además la interacción F×L, suponiendo
que son nulas el resto de interacciones.
40. Cierta industria de lentes para gafas desea comparar dos tipos de recubrimiento antireflec-
tante A, B. Los dos tipos tienen idéntico aspecto y prestaciones, pero antes de decidirse por
uno u otro desean comprobar si el tipo de recubrimiento influye en el desgaste que sufre la
lente. Para ello construyen gafas con una lente de cada tipo que distribuyen entre 10 per-
sonas seleccionadas al azar que habitualmente utilizan gafas. Al cabo de seis meses miden
el desgaste y se obtienen los valores que se indican en la tabla.
16
Persona Lente A Lente B
1 6.7 6.9
2 5.0 5.8
3 3.6 4.1
4 6.2 7.0
5 5.9 7.0
6 4.0 4.6
7 5.2 5.5
8 4.5 5.0
9 4.4 4.3
10 4.1 4.8
¿Qué tipo de recubrimiento recomendaŕıa a los fabricantes con el criterio de mı́nimo desgaste?.
41. Demuestre que en un modelo en bloques aleatorizados, con I niveles para el factor y J niveles
para el bloque, con modelo
yij = µ+αi+βj+uij,el valor esperado de la variabilidad explicada por el factor es: E[V E(α)] =
(I − 1)σ2 + J
∑J
i=1 α
2
i ,siendo σ
2 la varianza del error experimental.
42. Se desea comprobar si el orden en el que aparecen las preguntas de un examen test influye
en resultado obtenido por el alumno. Se han preparado dos examenes, el Test A tiene
las preguntas en orden de dificultad creciente y el Test B a la inversa. Se ha elegido una
muestra aleatoria de 20 alumnos y se han emparejado según su habilidad, de forma que los
dos alumnos de cada pareja han demostrado durante el curso una habilidad similar. De
cada pareja, un alumno se ha asignado aleatoriamente al Test A y el otro al Test B. Los
resultados finales del ejercicio han sido (cada pareja es una columna)
Test A: 83 82 95 92 91 60 89 69 70 72
Test B: 76 62 70 74 52 63 48 80 76 74
¿Es evidente que las puntuaciones del Test B son mas bajas que las del Test A?
43. El análisis de la varianza de un diseño en bloques aleatorizados proporciona los si-guientes
resultados: V T = 129, V E(factor) = 38, 5 y V E(bloque) = 82, 5. El número de niveles del
factor es 4 y el número de bloques 4. Construir la tabla de análisis de la varianza y hacer
los contrastes correspondientes con nivel de significación 0,05.
44. Se ha estudiado la influencia de la cantidad de cierto aditivo en la opacidad de un material
plástico que se puede fabricar por tres métodos de extrusión. El objetivo es conseguir el
tratamiento con opacidad mı́nima. Cada tratamiento se ha replicado 5 veces, los valores
medios y las desviaciones t́ıpicas corregidas para cada caso se proporcionan en la tabla 1.
La tabla 2 corresponde al análisis de la varianza. Se ha comprobado que se verifican las
condiciones de normalidad y homocedasticidad.
17
Método Aditivo Medias Desv. T́ıp.
1 1 9.5 0.83
1 2 9.3 0.67
2 1 10.0 1.53
2 2 8.1 0.77
3 1 11.5 0.78
3 2 6.0 1.23
(TABLA 1)
Suma de
cuadrad. g.l. Var. F p-valor
Extrus. 2.210 2 1.105 1.072 0.358
Aditivo 47.636 1 47.636 46.2 0.000
Interac. 37.572 2 18.786 18.2 0.000
Residual 24.728 24 1.030
Total 112.146 29
(TABLA 2)
(a) A la vista de los resultados de las dos tablas indica qué método de extrusión es acon-
sejable para conseguir la opacidad mı́nima.
(b) Da un intervalo del 95% de confianza para la opacidad media en las condiciones óptimas.
(c) Sea
di = yi1 − yi2
la diferencia entre las medias observadas en los dos niveles del factor aditivos para el
método de extrusión i. Calcula el valor esperado y la varianza de di en términos de los
parámetros del modelo factorial.
(d) Si E(di) = 0 para los tres métodos, obtén la distribución de probabilidad de
5
2
×
d21 + d
2
2 + d
2
3
σ2
.
45. Se ha estudiado el efecto de tres hornos diferentes y dos temperaturas (290 oC y 320 oC)
en la duración de cierto componente. Para cada combinación de horno y temperatura se
ha replicado el experimento 3 veces. En la tabla siguiente se proporcionan las medias y
desviaciones t́ıpicas de los datos de cada tratamiento.
Temperatura oC
290 oC 320 oC
Media Desv. T. Media Desv. T.
Horno 1 245.6 8.50 180.0 2.65
Horno 2 191.0 15.39 144.0 2.65
Horno 3 187.0 4.58 134.3 8.62
18
Suma Grados
Fuente Cuadrado Libertad Varianza F p-valor
Horno 9646.3 2 4823.2 69.1 0.000
Temp. 13667.6 1 13667.6 195.9 0.000
H x T 274.8 2 137.4 1.97 0.182
Residual 837.312 69.8
Total 24426 17
Seleccionar el horno y la temperatura que proporcionan máxima duración, haciendo los con-
trastes de igualdad de medias con nivel de significación 0.01.
19
 
	portada
	Programa
	2
	2b
	3
	3b
	4
	4b