A, entonces existe y es única la solución ( )xhy = definida en un entorno de x0, que verifica las condiciones iniciales, ( ) 00 yxh = ,…, ( ) 1

00
1 −− = nn yxh .

Pasa el caso particular de una ecuación diferencial de 1º orden del ti-
po ( )y;xf'y = , deben verificarse la continuidad de f y de 'y .

ECUACIÓN DIFERENCIAL CORRESPONDIENTE A UNA FAMILIA DE
FUNCIONES

Dada una familia de funciones definidas por ( ) 021 =nC,...,C,C,y,xϕ , donde
ϕ es n veces diferenciable respecto de x e y y continua para las constantes
C1, C2,…, Cn, existe una ecuación diferencial de la cual dicha familia de
curvas es la solución general.

Para encontrar dicha familia de funciones debemos eliminar las constantes
en el sistema de ecuaciones formado por ( ) 021 =nC,...,C,C,y,xϕ y sus n pri-
meras derivadas.

Ejemplos

1) 2Cxy = generamos el sistema
=
=

Cx'y
Cxy
2

2

, despejando C en la segunda

ecuación y reemplazando en la primera queda: x'yy =2 , que es la ecuación
diferencial que buscamos.

Ecuaciones diferenciales de 1º orden 407

2) xe.CCy x 321 ++= generamos el sistema
1 2

2

2

3

3

x

x

x

y C C .e x
y' C .e
y" C .e

= + +

= +

=

, si reem-
plazamos xe.C2 en la 2º ecuación por y" tenemos la ecuación diferencial
que buscamos: 3y' y"= +

ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1º ORDEN

Podemos pensar en forma genérica a una ecuación diferencial de 1º orden
como una ecuación de la forma: ( ) 0='y;y;xF o ( )y;xf'y = . Veremos los
siguientes casos: variables separables, homogéneas, reducibles a homogé-
neas, lineales, Bernoulli, exactas, factor integrante, Riccati y Clairaut.

Ecuaciones diferenciales de variables separables

Se llama así a las ecuaciones diferenciales en las cuales se pueden separar
las variables, es decir que en cada miembro de la ecuación quede una sola
variable con su diferencial de modo que se puedan integrar. Eso ocurre cuan-
do la ecuación diferencial se puede llevar a la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dy dy dyy' P x .Q y P x .Q y P x .dx P x .dx
dx Q y Q y

= = = =

Ejemplo: resolver yx'yyx'xy
3

03 2 ==−

Si expresamos la derivada como cociente de diferenciales, se pueden separar
las variables:

Cxylndxx
y
dydxx
y
dyyx
dx

+====

6333

2

S.G.

Pero no en todas las ecuaciones diferenciales se pueden separar las variables.
Vemos ahora como se resuelven algunos de esos casos.


Alejandro E. García Venturini408

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Las ecuaciones diferenciales homogéneas tienen la siguiente estructura:

P(x;y).dx+Q(x;y).dy = 0

donde P(x;y) y Q(x;y) son funciones homogéneas del mismo grado. Para
resolver estas ecuaciones diferenciales se recurre a un cambio de variables
para transformarlas en ecuaciones diferenciales de variables separables.

Para ello se divide toda la ecuación diferencial por xn, donde n es el grado de
homogeneidad de las funciones P(x;y) y Q(x;y). Por la 2º propiedad de las
funciones homogéneas vista en el capítulo 7 queda:

0.. 11 =+ dy
x
yQdx

x
yP

Si hacemos las siguientes sustituciones: dxvdvxdyvxyv
x
y ... +===

queda una nueva ecuación diferencial cuyas variables son x y v que se pue-
den separar:

( ) ( )( ) 0.... 11 =++ dxvdvxvQdxvP

Procedemos a resolver esta nueva ecuación diferencial:

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )vvQvP
dvvQ
x
dxdvxvQdxvvQvP
dvxvQdxvvQvP
.
.
.
.
0....
11
1
111
111
+
−=−=+
=++
ya hemos separado las variables, ahora hay que integrar:

( )
( ) ( )

( )
( ) ( )+
−
=
+
−= vvQvP
dvvQ
eCx
vvQvP
dvvQ
x
dx .
.
11
1 11
1
.
.
.
que es la solución general de la ecuación general homogénea, finalmente de-
bemos volver a las variables originales.


Ecuaciones diferenciales de 1º orden 409

Ejemplo: resolver ( ) 0..22 =++ dyxydxyx

Las funciones son homogéneas de grado 2, por lo tanto es una ecuación dife-
rencial homogénea. Dividimos por x2 y efectuamos las sustituciones vistas.
Queda:

( ) ( )
( )

+
−=
+
−=−=+
=+++
22
2

2121
21

01
v
dv.v
x
dx
v
dv.v
x
dxdv.xvdx.v
vdxxdv.vdx..v
( )
4
24 2
2
21
1
21
121
4
1
+
=
+
=+−=+
x
y
C.x
v
C.xvlnCxln
Al final debe expresarse la solución en función de las variables originales.

Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas

Tienen la siguiente estructura: ( ) ( ) 0.. 222111 =+++++ dycybxadxcybxa

Esta ecuación diferencial sería homogénea de grado 1 si no fuese por los
términos c1 y c2. Este tipo de ecuaciones diferenciales se las puede transfor-
mar en ecuaciones diferenciales homogéneas de grado 1 si a1.b2 – a2.b1 ≠ 0.
Veremos luego que ocurre si a1.b2 – a2.b1 = 0.

Esto se logra a través del siguiente cambio de variables: x = u+h, y = z+k, de
donde surge que dx = du y dy = dz; h y k son valores numéricos que hay que
obtener para que la nueva ecuación diferencial, cuyas variables son u y z, sea
homogénea. Reemplazando queda:

( ) ( ) 02222211111 =+++++++++ dz.ckbhazbuadu.ckbhazbua

Hay que encontrar valores de h y k que hagan que

0y 0 222111 =++=++ ckbhackbha

Para que estas expresiones se hagan 0 simultáneamente hay que resolver el
sistema de ecuaciones lineales formado por estas dos ecuaciones que tiene
solución única si a1.b2 – a2.b1 ≠ 0.


Alejandro E. García Venturini410

De esta forma la ecuación diferencial queda:

( ) ( ) 0.. 2211 =+++ dzzbuaduzbua , que es homogénea de grado 1.

Luego se resuelve la nueva ecuación diferencial y finalmente se vuelve a las
variables originales.

Ejemplo: resolver ( ) ( ) 0.123.134 =+++++ dyyxdxyx

Hacemos x = u + h, y = z + k, queda:

( ) ( ) 01232313434 =+++++++++ dz.khzudu.khzu

Buscamos los valores de h y k : ( ) ( )1:1;
123
134

−=
−=+
−=+

kh
kh
kh

Queda entonces que x = u –1 e y = z + 1

Reemplazando se obtiene la nueva ecuación diferencial que debe ser homo-
génea:

( ) ( ) 0.23.34 =+++ dzzuduzu

Esta nueva ecuación diferencial es homogénea de grado 1, se resuelve como
tal haciendo el cambio de variables v.duu.dvdzv
u
z +== y , luego de ha-
ber dividido la ecuación por u (por ser homogénea de grado 1).

( ) ( )( ) 0...23.34 =++++ duvdvuzuduvu

( ) ( ) dv.
vv
v

u
dudv.u.vdu.vvv

462
230232334 2

2

++
+−==+−=+++

23
23

2
1

462
23

2
2
2
++

=∴++−=

++
+−=
vv

CuC.vvlnulndv.
vv
v

u
du

esta nueva ecuación diferencial debe
ser de variables separables.


Ecuaciones diferenciales de 1º orden 411

Cuuzz

u
z.

u
z

Cu =++

++

= 22
2

2 23

23

,
debemos volver ahora a las variables originales.

( ) ( ) ( ) ( )
CxyxxyyCxxy
xxyyyCx.y.x.y
=++++=+++−+
+−++−=++−++−
222

222

2324233
3312121131

Si a1.b2 – a2.b1 = 0, los coeficientes de las variables son proporcionales, en-
tonces la ecuación diferencial se puede transformar en variables separables
efectuando la siguiente sustitución: a1x + b1y = z (ó a2x + b2y = z, según con-
venga).

dx.
b
a

b
dzdydy.bdx.adz

1

1

1
11 −=+=