Podemos pensar a las n coordenadas como las componentes de un vector. Funciones de varias variables 25 Los campos escalares de dos variables- su representación gráfica Vamos a analizar la representación gráfica del caso en que la función es del tipo f : A ⊆ 2 → / z = f (x;y). En este caso, para cada par de valores x e y independientes para los que sea posible, se obtiene un valor real de z. Queda determinada así una terna (x;y;z). Cada terna define un punto en el espacio, el conjunto de puntos en el espacio define una superficie, que es la representación gráfica de una función de dos variables independientes. El conjunto de partida es un conjunto de pares ordenados. La función le hace corresponder como imagen a cada par ordenado un número real. De estas funciones también vamos a estudiar sus representaciones gráficas, su continuidad, su derivabilidad, etc. Sistema de coordenadas tridimensional Antes de ver como se representa gráficamente un campo escalar de dos variables independientes, veremos algunos conceptos básicos de geometría del espacio. Trabajamos en el espacio euclídeo tridimensional. Tenemos en este caso tres ejes coordenados, x, y y z, perpendiculares 2 a 2. El eje x se representa a 135º con el eje y. El punto de intersección entre los ejes es el origen de coordenadas, el punto O. Sobre los ejes y y z, que se ven en su real dimensión, se utiliza la escala entera, mientras que para el eje x, que está en perspectiva, se utiliza una escala menor que es habitualmente 0,7 de la escala sobre los otros ejes para aumentar el efecto de la profundidad en la perspectiva. Estos ejes definen tres planos mutuamente perpendiculares que se cortan en O, los planos (xy), (xz) e (yz). Estos planos dividen al espacio en 8 sectores cada uno denominado octante. El 1º octante es aquel en el cual las tres variables son positivas. Ecuaciones de los planos coordenados Sobre el plano (xy), la z vale 0: z = 0 Sobre el plano (xz): la y vale 0: y = 0 Sobre el plano (yz): la x vale 0: x = 0 Ecuaciones de los ejes coordenados Los ejes coordenados se obtienen como intersección de los planos coordenados. Ecuaciones del eje x: 0z=0y=0x= Ecuaciones del eje y: 0z=0x=0y= Ecuaciones del eje z: 0y=0x=0z= Veremos ahora como representar funciones de dos variables independientes. Empezaremos por ver como representar un punto en el espacio. Representación gráfica de un punto en el espacio Para determinar la posición de un punto P0 = (x0;y0;z0) en el espacio primero fijamos el punto A en el plano (xy) trazando paralelas a los ejes coordenados x e y por x0 e y0. Por dicho punto trazamos la perpendicular al plano (xy) sobre el cual tomamos el valor z0. Así como para dos dimensiones, un punto se puede considerar como el vértice de un rectángulo, en tres dimensiones un punto se puede considerar como el vértice de un paralelepípedo recto. Veamos un ejemplo f : 2 → / z = f (x;y) = x + y, podemos hacer una tabla de valores y obtener algunos puntos de su gráfica. (x;y) z (1;1) 2 (2;3) 5 (1;3) 4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SUPERFICIES Dado un campo escalar de la forma f : A ⊆ 2 → / z = f (x;y), dándole valores a x e y se pueden, como ya vimos, obtener algunos puntos de la superficie. Pero representar una superficie a partir de puntos aislados no es muy práctico. Veremos una forma de obtener, con cierta aproximación, la representación gráfica de una función de dos variables independientes. Calculamos los puntos de intersección con los ejes coordenados y las trazas, que son las curvas intersección de la superficie con los planos coordenados. Ecuación del plano Así como la función más sencilla en Análisis I es la función lineal, cuya gráfica es una recta, en Análisis II también es la función lineal la más sencilla, en este caso su representación gráfica es un plano. En un curso de geometría analítica se demuestra que la ecuación general del plano es: Ax + By + Cz + D = 0. Toda función lineal en 3 tiene por gráfica un plano. Ejemplo: 2x + 4y + z + 8 = 0 Calculamos las intersecciones con los ejes coordenados ∩ eje x, y=z= 0 ∩ eje y, x=z=0 ∩ eje z, x = y = 0 Vemos que este plano corta a cada eje en un punto. Calculemos ahora las trazas ∩ plano xy, z = 0 ∩ plano yz, x = 0 ∩ plano xz, y = 0 En este caso las trazas son rectas. Conviene expresar las ecuaciones de las rectas en su forma segmentaria porque de esa manera es más fácil su representación gráfica. Con esta información podemos representar con cierta aproximación la superficie. Se representan las intersecciones con los ejes y las trazas. Analicemos ahora este caso: 2x + 3y = 12 Hacemos el mismo estudio que hicimos antes, por ser una función lineal sabemos que la ecuación representa a un plano. ∩ eje x, y = z = 0 ∩ eje y, x = z = 0 ∩ eje z, x = y = 0 Vemos que este plano corta a dos de los tres ejes coordenados. Calculamos ahora las trazas. ∩ plano xy, z = 0 ∩ plano yz, x = 0 ∩ plano xz, y = 0 Grafiquemos Vemos que en este caso no figura la variable z en la ecuación y que obtuvimos un plano paralelo al eje z. En general los planos son paralelos a los ejes cuyas variables no figuran en la ecuación. Casos particulares Ecuaciones de planos paralelos a los planos coordenados Paralelo al plano (xy): z = k Paralelo al plano (xz): y = k Paralelo al plano (yz): x = k Representación gráfica de otras superficies Sigamos los mismos pasos para representar gráficamente z = x2 + y2. ∩ eje x, y = z = 0 ∩ eje y, x = z = 0 ∩ eje z, x = y = 0