Cambio de variables A veces es conveniente efectuar un cambio de variables en las integrales do- bles porque su cálculo resulta más sencillo. Para funciones de una variable (y = f (x)), al hacer una sustitución de va- riables (x = g(u)), en la integral aparece el factor g' (u): Veremos ahora que ocurre en una integral doble al hacer un cambio de va- riables. En ( )y;xfz = hacemos el siguiente cambio de variables ( ) ( )= = v;uhy v;ugx , que suponemos continuas y con derivadas parciales continuas. La expresión ( ) ( ) = ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v;u y;xJ v;u y;x v y u y v x u x se denomina determinante fun- cional o jacobiano asociado al cambio de variables que suponemos distinto de cero. Si esto se verifica, entonces se puede demostrar que: Alejandro E. García Venturini302 V = ( ) ( ) D R x; yf x; y .dx.dy f u;v . J .du.dv u;v = Así como cuando hacemos una sustitución en integrales de una variable apa- rece en la nueva integral el factor g' (u) (la derivada de la variable original respecto de la nueva variable), ahora aparece el jacobiano, que es un deter- minante formado por las derivadas parciales de las variables originales res- pecto de las nuevas variables. Llamamos D al recinto expresado en las variables originales y R al recinto expresado en las nuevas variables. Al efectuar un cambio de variables se realizan los siguientes pasos: 1) Los límites de integración corresponden a las nuevas variables. 2) Se sustituyen los diferenciales de las variables originales por los dife- renciales de las nuevas variables. 3) En la función a integrar se sustituyen las variables originales por las nuevas variables. 4) Se incorpora como factor en la función a integrar el jacobiano de las variables originales respecto de las nuevas variables. Integrales en coordenadas polares En algunos casos el cálculo de áreas y volúmenes se simplifica expresando las funciones en coordenadas polares. Es un caso particular de cambio de va- riables donde, como se vio en la página 20, = α α sen.ry cos.rx El jacobiano en este caso se calcula de la siguiente manera: ( ) rsencos.r cos.rsen sen.rcos y r y x r x r y r ; y xJ =+= −= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = αα αα α α α 22 Integrales múltiples 303 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) == 2 1 2 1 2 1 α α α α α α αααα r r b a r r d.dr.r.;rfdr.d.r.;rfV El criterio para elegir el orden de los diferenciales es el mismo que el que se utiliza para las coordenadas rectangulares. Si f (x;y) =1, como ya vimos, tenemos la fórmula del área. A = = RD d.dr.rdxdy α ( ) ( ) ( ) ( ) == 2 1 2 1 2 1 α α α α α α αα r r b a r r d.dr.rdr.d.r Ejemplos 1) Hallar el área de un círculo de radio 2. Calculamos el área de un cuarto de círculo y luego la multiplicamos por 4. −≤≤ ≤≤ = 240 20 xy x D ≤≤ ≤≤ = 2 0 20 πα r R En este caso vemos que mientras r varía entre 0 y 2, los límites de variación de α son siempre los mismos, entre 0 y π/2. Por lo tanto: ] 2 22 2 2 2 0 0 0 0 0 22 2 0 0 4 4 4 4 4 2 2 2 A . r.d .dr . r.d .dr . r . .dr r. r. .dr . . π π πα α α π π π = = = = = = 2 2 y x a ≤ r ≤ b, α1 (r) ≤ α ≤ α2(r) α1 ≤ α ≤ α2, r1 (α) ≤ r ≤ r2(α) Alejandro E. García Venturini304 2) Hallar el área de la siguiente corona circular. Calculamos el área de un cuarto de la corona y luego la multiplicamos por 4. ≤≤ ≤≤ = 2 0 32 πα r R En este caso vemos que mientras r varía entre 2 y 3, los límites de variación de α son siempre los mismos, entre 0 y π/2. Por lo tanto: ] 2 23 3 3 2 0 2 0 2 33 2 2 2 4 4 4 4 9 4 5 2 2 2 A . r.d .dr . r.d .dr . r . .dr r. r. .dr . . π π π π π = = = = − = 3) Hallar el área del rectángulo ( ){ }20302 ≤≤∧≤≤∧ℜ∈= yxy;xD . Calculamos el área del triángulo inferior y luego la multiplicamos por 2. ≤≤ ≤≤ = 20 30 y x D ≤≤ ≤≤ = 320 30 /arctg cos/r R α α Si consideramos el triángulo inferior vemos que mientras α varía entre α1 = 0 y α2 = arc tg 2/3, los límites de variación de r no son siempre los mismos como en los casos anteriores, r ahora varía entre 0 y la recta x = 3, que debemos ex- presar en coordenadas polares, es decir 3 = r.cos α αcos r 3= . Por lo tanto: Integrales múltiples 305 ] 6 3 299 9 2 22 32 0 32 0 32 2 2 3 0 232 0 3 0 === ==== .tg d. cos d.r.d.dr.r.A /tgarc /tgarc /tgarccos//tgarc cos/ α α α αα αα 4) Hallar el área del recinto ( ) ( ){ }22 11 −−≤≤∧ℜ∈= xyxy;xD . ( )−−≤≤ ≤≤ = 211 10 xy x D ≤≤ ≤≤ = 24 20 παπ αcosr R Vemos que mientras α varía entre α1 = π/4 y α2 = π/2, los límites de variación de r no son siempre los mismos, r varía entre 0 y la circunferencia, que debe- mos expresar en coordenadas polares: ( ) ( ) 11 22 =+− αα sen.rcos.r 112 2222 =++− ααα senrcosrcosr . Por lo tanto 022 =− αcosrr αcosr 2= ( ) ( ) 2850 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 0 22 4 2 0 , send.cos. d.cosd.rd.dr.rA / / / / / / / / cos/ / cos ≅−= =+−+=+=+= ==== π ππαααα αααα π π π π π π π π απ π α