Geometria Analitica- A

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 A
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lítica
VÁZQUEZ
•
DE
SANTIAGO
Es muy importante que los libros usados en el proceso de enseñanza-aprendizaje 
hayan sido escritos por profesores con amplia experiencia en la impartición de la 
materia, ya que ello garantiza el conocimiento de los problemas y las necesidades 
de los estudiantes, así como la generación de estrategias didácticas para la 
solución de tales situaciones. 
 En este libro se exponen los conceptos de manera clara y sencilla sin dejar 
de usar el lenguaje matemático preciso.
En esta obra el estudiante encontrará lo siguiente:
 • Un bosquejo histórico del desarrollo de la geometría analítica.
 • Una gran variedad de ejemplos resueltos, demostraciones y 
 aplicaciones varias.
 • Gráficas de apoyo para facilitar la comprensión de los conceptos.
 • Actividades para realizar en equipo y uso de la tecnología.
 • Ejercicios integradores donde intervienen la aplicación y la relación entre 
 los conceptos.
 • Una cantidad abundante de ejercicios propuestos, un formulario y un 
 examen de práctica, al final de cada capítulo.
 • Una serie de recursos digitales e impresos que ayudarán a la comprensión 
 de cada tema.
Si se aprenden bien los conceptos incluidos en esta obra y se realizan los 
ejercicios propuestos en tiempo y forma adecuados, con seguridad los alumnos 
lograrán los objetivos de aprendizaje de la materia.
Visítenos en:
www.pearsoneducacion.net
G E O M E T R Í A
A N A L Í T I C A
Agustín Vázquez Sánchez
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Estado de México
Juan De Santiago Castillo
Director del Departamento de Ciencias y Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus San Luis Potosí
REVISIÓN TÉCNICA
Erika Cepeda Arvizu
Bachillerato UPAEP
Plantel Santiago 2
G E O M E T R Í A
A N A L Í T I C A
Datos de catalogación bibliográfica
VÁZQUEZ SÁNCHEZ, AGUSTÍN y
DE SANTIAGO CASTILLO, JUAN 
Geometría analítica. Primera edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2007
 ISBN: 978-970-26-0938-4
 Área: Bachillerato
 
Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 408
Editor: Enrique Quintanar Duarte
e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.com 
Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco
Supervisora de producción: Adriana Rida Montes
PRIMERA EDICIÓN, 2007
D.R. © 2007 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco No. 500-5° piso
Col. Industrial Atoto
53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031.
Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. 
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un
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magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de
sus representantes.
ISBN 10: 970-26-0938-0
ISBN 13: 978-970-26-0938-4
Impreso en México. Printed in Mexico
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07
Dedicatoria
En honor a la resurrección de Jesucristo y al espíritu
de poder y amor que se me ha dado.
Para mi amada esposa Analia y mis hijas Paulina y Fernanda,
musas inigualables.
Con aprecio para mis camaradas:
Rechy, Ernesto, Alfonso y Rubén.
Agustín Vázquez Sánchez
A mi esposa y compañera:
Rosa María, por su amor y comprensión
A mis hijos:
Alejandra y Diego, por ser el motivo de mi vida
Juan De Santiago Castillo
Agradecimientos y reconocimientos:
Ing. Javier Gurrión García Mier 
Ing. Francisco Javier Rojas Ramos
Por todo el apoyo aportado: académico, moral y económico.
Ing. Carlos Lozano Sousa
Dr. Pedro Grasa Soler
Ing. Óscar Lacayo Torres
Dr. Carlos Martínez Reyes
Por el apoyo académico y voto de confianza a mi persona.
Ing. Óscar García,† Universidad Iberoamericana 
Ing. Blanca Arroyo Ventura, UNAM-CU
Fís. Xóchitl Díaz, UNAM-CU
Ing. Álvaro Valdez, UNAM-FESC4
Fís. Juan Enrique Hoyos García, IPN, ITESM-CEM
Profa. Ester Almaraz, CCH-VALLEJO UNAM
Ing. Francisco Sevilla Díaz, UNAM, ITESM-CEM
Ing. María Del Carmen Uribe Flores, ITESM-CEM
Ing. Erika Cepeda Arvizu, UPAEP
Lic. Víctor Quintero Enriquez, IPN, ITESM-CEM
Ing. Carlos Duarte Parada, ITESM-CEM
Ing. Adriana Beltrán, ITESM-SLP
Mat. Ramón Félix Llanes, ITESM-SLP
Mat. Francisco Javier Rojas Espinosa, UNAM-FESC4
Ing. Alonso Madera, UNAM-FESC4
Ing. Emiliano Fones, UNAM-FESC4
Ing. José Perdomo, IPN
Ing. Alfredo Cortés, ITESM-CEM
Ing. Javier Sandoval
Dr. Francisco Javier Delgado Cepeda ITESM-CEM
Por los comentarios y sugerencias en el desarrollo del libro 
Profesor Agustín Anfossi, Facultad de Ciencias, UNAM.
Como un homenaje, por la excelente recopilación histórica de la geometría analítica.
ix
Contenido
1.1. Sistemas dimensionales 2
1.1.1. Sistema coordenado tetradimensional 2
1.1.2. Sistema coordenado tridimensional o 53 2
1.1.3. Sistema bidimensional 7
1.1.4. Sistema coordenado unidimensional 10
1.2. Conceptos básicos 11
1.2.1. Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional 11
1.2.2. Distancia entre dos puntos en un plano cartesiano (bidimensional) 13
1.2.3. División de un segmento en una razón dada y el punto medio 15
1.2.4. División de un segmento en una razón dada 17
1.2.5. Punto medio de un segmento de recta 20
1.2.6. Teorema de Vazgar 23
1.2.7. Pendiente de un segmento de recta 26
Resumen 36
Problemas 37
Autoevaluación 40
2.1 Lugares geométricos 44
2.2 Función, una breve introducción 49
2.2.1. Operaciones con funciones 54
2.3 Discusión o análisis de una ecuación 60
2.3.1. Intersección con los ejes 60
2.3.2. Simetría con los ejes y el origen 61
2.3.3. Intersección de una curva con los ejes 61
2.3.4. El intervalo o campo de variación de una ecuación 61
2.4 Intersección de gráficas 65
Resumen 78
Problemas 78
Autoevaluación 80
SISTEMAS COORDENADOS (DÓNDE ESTAMOS) 11
LUGARES GEOMÉTRICOS. FUNCIÓN Y ANÁLISIS DE UNA ECUACIÓN
(¿QUÉ TENGO? ¿QUÉ QUIERO?) 43
2
x Contenido
3.1 Pendiente de una línea recta 84
3.2 Ecuaciones de una línea recta 87
3.2.1. Ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente m 87
3.2.2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 88
3.2.3. Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen 90
3.2.4. Ecuación de la recta en forma simétrica 92
3.2.5. Ecuación general de la recta 93
3.2.6. Ecuación normal de la recta 97
3.3. Ángulo entre dos rectas (utilizando sus pendientes) 99
3.3.1. Condición de perpendicularidad entre dos rectas 102
3.3.2. Condición de paralelismo entre dos rectas 103
3.4 Ángulo entre dos rectas a partir de sus ecuaciones generales 105
3.5 Distancia mínima de un punto a una recta 107
3.6 Distancia mínima de un punto a una recta (otro análisis) 111
3.7 Rectas y puntos notables de un triángulo 112
3.7.1. Mediana 112
3.7.2. Mediatriz 113
3.7.3. Altura 114
3.7.4. Bisectriz 115
3.7.5. Recta de Euler 117
3.7.6. Circunferencia de Euler 117
Resumen 137
Problemas 139
Autoevaluación 142
4.1 Traslación de ejes 146
4.2 Rotación de ejes 149
Ecuaciones de rotación en forma trigonométrica 150
4.3 Eliminación de los términos lineales 152
4.4 Método para eliminar el término xy 154
Otro método para eliminar el término xy 156
Resumen 165
Problemas 166
Autoevaluación 167
5.1 Cónicas 170
5.2 Ecuación de la circunferencia en su forma canónica (con centro en el origen) 171
5.3 Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria 173
5.4 Ecuación general de la circunferencia 176
ECUACIONES DE LA RECTA (ESCALEMOS EL TERCER PELDAÑO). 
(FORMAS Y CASOS) 83
3
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES (DOS PEQUEÑOS MOVIMIENTOS) 
Y UNA ECUACIÓN FLEXIBLE 145
4
LA CIRCUNFERENCIA (VAMOS A DAR UNA VUELTA) 1695
Contenido xi
5.5 Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos 182
5.6 Tangente y normal a una circunferencia 186
Resumen 200
Problemas 202
Autoevaluación 2066.1 La parábola 208
6.2 Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje x 208
6.3 Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x y con vértice fuera 
del origen 215
6.4 Ecuación general de la parábola 221
6.5 Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos 227
Resumen 240
Problemas 242
Autoevaluación 244
7.1 Definición de elipse 246
7.2 Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje x 247
7.2.1 Excentricidad de la elipse 248
7.2.2 El lado recto de la elipse 249
7.2.3 Recta directriz de la elipse 250
7.3 Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje y 251
7.4 Ecuación ordinaria de la elipse 255
7.4.1 Con eje focal paralelo al eje x 255
7.4.2 Con eje focal paralelo al eje y 256
7.5 Ecuación general de la elipse 260
Resumen 275
Problemas 276
Autoevaluación 282
8.1 Definición de hipérbola 284
8.2 Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal paralelo al eje x 285
8.3 Propiedades de la hipérbola 287
8.4 Interpretación geométrica de “a, b y c” 288
8.5 Excentricidad de la hipérbola 288
8.6 Asíntotas de la hipérbola 288
8.7 Lado recto o ancho focal (latus rectum) 290
PARÁBOLA (AHÍ, DONDE SE CONCENTRAN LAS COSAS) 2076
LA ELIPSE (UN INSTANTE LEJOS, OTRO CERCA, PERO SIEMPRE LA MISMA
DISTANCIA) 245
7
LA HIPÉRBOLA (UN ÚLTIMO PELDAÑO… Y PARECE QUE ESTOY VIÉNDOME 
EN UN ESPEJO) 283
8
xii Contenido
8.8 Recta directriz de la hipérbola 291
8.9 Ecuación canónica de la hipérbola con centro en el origen y eje focal 
paralelo al eje y 292
8.10 Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal
paralelo al eje x 294
8.11 Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal
paralelo al eje y 295
8.12 Ecuación general de la hipérbola 296
Resumen 313
Problemas 315
Autoevaluación 319
9.1 Resolución de la ecuación Ax21Cy21Dx1Ey1F50 322
9.1.1. Análisis de la ecuación general de segundo grado sin término xy 323
9.2 La ecuación general de segundo grado y las cónicas 325
9.3 Resolución de la ecuación general de segundo grado 
(Ax21Bxy1Cy21Dx1Ey1F50) 331
9.4 Análisis de las cónicas como funciones 337
9.4.1. El criterio de la recta vertical 337
Resumen 348
Problemas 348
Autoevaluación 349
10.1 Sistemas coordenados 352
10.1.1. Sistemas coordenado polar 352
10.1.2. Transformación de coordenadas polares a rectangulares 354
10.2 Simetría en coordenadas polares 355
10.2.1. Distancia entre dos puntos en el plano polar 355
10.3 Ecuaciones polares de la línea recta 356
10.4 Ecuaciones polares de las cónicas 357
10.4.1. Ecuación polar de la circunferencia 357
10.4.2. Ecuaciones polares de las cónicas: parábola, elipse e hipérbola 360
10.5 Sistema coordenado rectangular en tres dimensiones 368
10.5.1. Distancia entre dos puntos en el sistema rectangular tridimensional 369
10.5.2. Ángulos y cosenos directores 370
10.5.3. División de un segmento en una razón dada 373
10.6 Coordenadas cilíndricas 373
10.7 Coordenadas esféricas 374
Resumen 375
Problemas 376
Autoevaluación 378
ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO Y LAS CÓNICAS 
COMO FUNCIÓN (UNA ECUACIÓN FLEXIBLE Y RELACIONES PELIGROSAS) 321
9
SISTEMAS COORDENADOS (QUE NO ES IGUAL, PERO SE PARECE 
CASI TODO) 351
10
Prólogo
Aprender es cuestión de juego. Experimentar y enfrentar diversas problemáticas con
herramientas teóricas no es más que un juego, en el que tratamos de entender cosas
que al verlas por primera vez nos resultan complejas, pero que al adquirir el conoci-
miento del lenguaje que utilizan nos permiten entender que el mundo es mucho más
sencillo de lo que parece. 
Esta publicación pretende enseñarte un nuevo lenguaje. El lenguaje de los pun-
tos, las rectas, los planos y toda una amplia gama de variaciones denominadas geo-
metría. Esta ciencia, sin duda te permitirá entender cómo se equilibra el espacio donde
te desenvuelves, a partir del uso de figuras y cálculos que le han dado vida a los obje-
tos físicos que te rodean. Desde la fabricación de artesanías y diseños visuales, hasta
la creación de instrumentos de medición como el compás, ello ha sido posible gracias
a los conocimientos que la geometría como ciencia brindó a la humanidad.
Te invito a aprender un poco más sobre este lenguaje matemático y buscarle una
aplicación práctica a los conceptos básicos que se te proporcionen. Sé curioso y ob-
servador. Analiza y cuestiona los ejercicios y problemas prácticos que el libro te brin-
da. Esto te ayudará a relacionar tu mundo con el mundo de la geometría y su lenguaje
de expresión.
La línea recta, la hipérbola, la parábola, la elipse y la circunferencia serán tus com-
pañeras en este recorrido de formas, que si bien han creado tu entorno, muchas veces
han pasado desapercibidas ante nuestros ojos, por lo cual nos olvidamos de la verda-
dera importancia de la geometría como ciencia en la creación de nuestro mundo. 
Disfruta de esta publicación creada por tus profesores. Ellos son personas cono-
cedoras que depositaron su conocimiento en los capítulos que verás a continuación, y
te brindan una herramienta que facilitará tu aprendizaje mientras juegas a aprender.
DR. PEDRO LUIS GRASA SOLER 
Director General del Campus Estado de México
Breve bosquejo histórico de la geometría analítica xv
En el año de 1637 publicó René Descartes (1596-1650) su Géométrie, dividida en
tres libros, de los cuales dedica el segundo a lo que se ha llamado Geometría Analí-
tica, obra fundamental para toda la Matemática, y de la cual se ha dicho, con toda
exactitud, que ha hecho época. En ella establece el enlace entre el número y el espa-
cio, y aunque su importancia sólo se evidenció años más tarde, su publicación influ-
yó en forma decisiva en el desarrollo del todas las ramas de las ciencias exactas, es-
pecialmente con la nueva simbólica que preconiza.
Es opinión generalmente admitida entre los matemáticos que la Geometría Analítica
brotó completamente elaborada, adulta, de la cabeza de Descartes. Sin embargo, hay
discrepancias entre los sabios a este respecto. “Algunos autores han escrito, dice Ch.
Bossut (1730-1814), otros lo han repetido y se repite constantemente, que Descartes
es el inventor de la aplicación del Algebra a la Geometría. Esto no es exacto. Se atri-
buye a Descartes más de lo que pudiera pretender”. A pesar del mérito indiscutible de
este matemático, no puede aceptarse lo que de la Géométrie dice M. Chasles (1793-
1880) al llamarla criatura generada sin madre (proles sine matre creata), pues con tal
afirmación se olvidan demasiado los derechos de sus antecesores, y de F. Viète (1540-
1603) en particular, en cuyas obras hay aplicaciones del Algebra a la Geometría.
* * *
Si se atiende al uso de coordenadas para localizar un punto, los albores de la Geome-
tría Analítica se remontan a Arquímedes (287-212 a. de J.C.) y a Apolonio de Perga
(siglo II a. de J.C.) y, cerca de 18 siglos después, a J. Képler (1571-1630), pues para
el estudio de las cónicas se valían ya, sustancialmente, de las coordenadas (cartesia-
nas) refiriéndose, empero, a ejes intrínsecamente conectados con la curva estudiada.
Algo mejor relacionado con el concepto moderno de las coordenadas se encuentra en
un dibujo del siglo X u XI, de autor desconocido, al hacer el estudio de las trayec-
torias de los planetas, en el cual representa la latitud y la longitud, respectivamente,
como ordenada y abscisa. Este método de representación, que fue adoptado en As-
tronomía y que aún se usaba en el siglo XIV, dio lugar a una obra, notablemente para
aquella época, de N. Oresme (1323-1382), obispo de Lisieux, intitulada Tractatus de
latitudinibus formarum, escrita en 1361. En este trabajo se reconoce, en realidad, la
verdadera aparición de la Geometría Analítica, a la vez que un primer germen del
concepto de función y hasta de derivada. Allí se halla la idea de la representación grá-
fica por medio de coordenadas rectangulares, de las funciones, que Oresme en latín
denomina formæ. Considera dos magnitudes, llamadas longitudo y latitudo: la pri-
merala considera como variable independiente, y la segunda como variable que de-
pende de la primera. La latitudo puede se uniformis o difformis: en el primer caso la
gráfica correspondiente es una recta paralela al eje escogido, o sea la latitudo es cons-
tante; es difformis en el caso contrario. Cuando la latitudo es difformis, puede tener-
se una latitudo secundum se totam difformis, si la gráfica consta de una línea única,
o bien latitudo secundum partem difformis, si consta de porciones distintas, algunas
de las cuales son rectas al eje.
La actitud de Oresme no es, precisamente, la de un creador de las ideas que expone,
pues parece atribuirlas a autores antiguos, para nosotros completamente desconocidos.
* * *
BREVE
BOSQUEJO
HISTÓRICO DE
LA GEOMETRÍA
ANALÍTICA*
* Reproducido con autorización de Editorial Progreso, Geometría Analítica, © 1958, Agustín Anfossi.
Si en la Geometría Analítica se considera el estudio particularizado de las tres gran-
des curvas: parábola, elipse e hipérbola, debería hacerse remontar esta ciencia a Me-
naícmo (siglo IV a. de J.C), a quien se atribuye la invención de dichas curvas —de la
parábola e hipérbola equilátera por lo menos—, que constituyen lo que se ha deno-
minado la triáde de Menaícmo.
En realidad, los nombres con que se designan las tres curvas citadas, ya existían, y
habían sido creados por los pitagóricos. Estos al resolver el problema que denomina-
ron aplicación de las superficies planas, introdujeron las palabras parábola, elipse e
hipérbola según que en la aplicación de dichas superficies hubiese, respectivamente,
igualdad, deficiencia y exceso.
Posteriormente a Menaícmo, Arquímedes amplió el campo del estudio de esas tres
curvas; Apolonio de Perga, por su parte, concibió las secciones cónicas, determina-
das no ya únicamente, según se presume lo había hecho Menaícmo, en un cono rec-
to rectangular, o cono cuyas generatrices opuestas se cortan en un ángulo recto, sino
como resultantes de la intersección de un plano con un cono circular cualquiera, ya
sea rectangular o no.
En la obra de Apolonio, que él denominó Secciones Cónicas, se encuentra la afirma-
ción de que, en el plano, el lugar de un punto (móvil) cuyas distancias a dos puntos
fijos dan una suma o una diferencia constante, es una elipse o una hipérbola, que tie-
ne como focos esos puntos fijos.
El mismo Apolonio aclara que una tangente a la elipse deja los dos focos de un mis-
mo lado de dicha tangente, y que en la hipérbola quedan uno de un lado y el otro del
otro lado.
La amplitud con que, tanto Arquímedes como Apolonio, estudiaron las propiedades
de las curvas nombradas es tal que, en muchos puntos, a su trabajo nada nuevo se aña-
dió en los siglos posteriores, motivo por el cual escribió Leibniz: “El que entiende a
Arquímedes y a Apolonio, admira menos lo que los esclarecidos hombres recientes,
han inventado”. Por su parte, J. Wallis (1616-1703) en su admiración por Arquíme-
des, exclama: “Hombre de estupenda sagacidad, que echó los cimientos de casi todo
lo que nuestra edad se gloría de haber promovido”.
La primera propiedad notable relativa a las cónicas, enunciada por Apolonio y que se
acaba de citar, fue tomada por F. de la Hire (1640-1718) como definición de las curvas
que tienen centro, y de la segunda se ideó la manera de describir la elipse por trazo con-
tinuo. Esta construcción la indicó por primera vez el bizantino Antemio (siglo VI).
Otro gran matemático, P. de Fermat (1601-1665), contemporáneo de Descartes y por
éste admirado, había ideado, a su vez, la Geometría Analítica. Sus trabajos relacionados
con ella se remontan al año 1629, es decir, precedieron la publicación de la Géométrie.
El pensamiento de Fermat, tal como se ve expuesto en una publicación póstuma,
titulada Ad locos planos et solidos isagoge —introducción al estudio de los lugares
planos y sólidos—, se aproxima a la actual Geometría Analítica casi más que el de
Descartes. Así se expresa Fermat: “Siempre que en una ecuación final figuran dos
cantidades (segmentos) incógnitas (variables), la extremidad de una de ellas descri-
be una recta o una curva”.
xvi Geometría analítica
La obra geométrica de Fermat, que sólo fue publicada en 1679, es de gran importan-
cia, pues enseña a interpretar ecuaciones sencillas con dos variables, considerando
rectas, elipses, parábolas e hipérbolas.
* * *
Volviendo a Descartes y a su obra, justo es hacer notar que su punto de vista y su téc-
nica, relativamente a la Geometría Analítica, son incomparablemente más adelanta-
dos que los de Fermat. Con respecto a la Géométrie, observaba J.E. Montuela (1725-
1799) que “Descartes no ha pretendido componer un trabajo didáctico; se limita a
trazar a los matemáticos un camino que han de recorrer, y en su libro no hay ni orden
ni desarrollos: sólo son ideas de un hombre de genio, que no sigue la marcha de los
espíritus ordinarios”. Y no solamente no resultó el libro de Descartes un tratado di-
dáctico y completo, sino que, según el propio autor nos informa, omitió, con delibe-
rada intención, muchas cosas que hubiera podido hacer figurar en ella; aun más: él
mismo confiesa, en alguna parte, que fue intencionalmente oscuro.
Pero, aunque en la Géométrie sólo se contenga un primer ensayo de la Geometría
Analítica, corresponde al gran Cartesio el mérito de haber abierto el camino a nuevos
métodos, por lo cual ha sido mirado siempre como un obra que ha hecho época y co-
mo un instrumento de investigación incomparablemente más poderoso que la geome-
tría de los antiguos.
Refiriéndose a la creación de Descartes, escribe el matemático P. Boutruox (1845-
1922) que su importancia estriba en “hacer ver cómo en la aplicación sistemática de
coordenadas había un método de un poderío y una universalidad desconocidos hasta
entonces en la Matemática; un método destinado a anular, por la superación, a todos
los anteriores; un método que, en colaboración con el concepto de función, debía re-
volucionar y regenerar todas las ciencias que se hallaban relacionadas con los con-
ceptos de espacio y tiempo”.
Descartes no habla de ejes, ni de abscisa, ni de ordenada, ni de coordenadas. Para la
representación de las cuervas, escoge una recta, en posición horizontal, que a veces
llama diámetro y, para comenzar el cálculo, señala en ella un punto fijo (origen); lue-
go toma puntos en el diámetro, y a cada punto asocia otro u otros, según la línea que
estudia; en otras palabras: dada la ecuación de una línea y elegida una recta como eje
y en ella un punto fijo, a cada distancia (abscisa) contada desde el origen correspon-
de a otra distancia (ordenada) en una dirección perpendicular al eje; el extremo del
segundo segmento u ordenada, determina un punto de la línea, es decir, el punto de
la línea queda localizado cuando es conocido el punto tomado en el eje.
Descartes no introduce formalmente el otro eje, el vertical.
Las coordenadas x,y las llama cantidades indeterminadas y, contrariamente a lo que
se hace en la actualidad, toma las abscisas en el sentido vertical y las ordenadas en el
horizontal.
“Obsérvese en Descartes que adopta como principio que la ecuación de un lugar geo-
métrico únicamente es válida para el cuadrante para el cual fue establecida. La gene-
ralización de sus propiedades a los demás cuadrantes fue asunto que sólo a la larga
llegó a considerarse, y no puede atribuirse a ningún geómetra en particular”, según
afirma P. Tannery (1843-1901).
Breve bosquejo histórico de la geometría analítica xvii
G. F. de L´Hospital (1661-1704), que publicó el más importante texto de Geometría
Analítica a fines del siglo XVII, fue quien introdujo realmente los dos ejes, no forzo-
samente perpendiculares, y atribuyó signos a las coordenadas, según las convencio-
nes aún hoy día en uso, aunque advierte al lector que se limitará a describir los fenó-
menos que se verifican dentro del ángulo (cuadrante) de las direcciones positivas de
los ejes.
Con respecto a los signos de las coordenadas, merece particular mención I. Newton
(1642-1727) porser el primer matemático que, en realidad, sacó grandes ventajas de
la consideración de dichos signos, merced a lo cual logró grandes simplificaciones.
Con el mismo Newton comienza, propiamente, a considerarse la hipérbola como una
curva de dos ramas, cosa que no se había hecho antes, pues Apolonio no considera-
ba ambas ramas como pertenecientes a una misma curva.
Justo es advertir, empero, que el considerar de una manera sistemática el signo de los
segmentos, así como el de los ángulos, de las áreas, etc., sólo se hizo en época poste-
rior, por A. F. Möbius (1790-1868).
En cuanto a los sucesores inmediatos de Descartes, y a los que siguieron de cerca a
Newton, poco impulso dieron a la Geometría Analítica, y únicamente se esmeraron
en aclarar las ideas de esos maestros. Entre los continuadores de la obra Cartesio, ade-
más del marqués de L´Hospital, debe mencionarse al ya citado F. de La Hire. Un ade-
lanto importante se tiene con este matemático, pues enseña que, con respecto a las
coordenadas de un punto, puede tomarse indistintamente una de ellas como variable
independiente y la otra como dependiente de la primera, y viceversa. Para entender
su expresión, necesita tenerse presente que llama origen del lugar al origen; que las
coordenadas de un punto arbitrario las designa con los nombres de tallo y ramas; que
entiende por nudo el pie de la ordenada del punto considerado y que por lugar entien-
de toda línea o superficie cuyos puntos todos tienen una misma relación con determi-
nados elementos fijos. Su manera de expresar la indicada propiedad es: Pueden cam-
biarse las partes del Tallo en Ramas y las Ramas en partes del Tallo, sin cambiar el
lugar, el origen ni el ángulo comprendido entre el Tallo y las Ramas.
* * *
Descartes termina el segundo libro de su obra observando que el concepto fundamen-
tal de su método puede extenderse del plano al espacio, es decir, mencionó la Geo-
metría Analítica de tres dimensiones, pero nada se escribió acerca de ella. F. van
Schooten el joven (1615-1660), traductor y comentador de Descartes, fue él quien su-
girió, en 1657, el uso de las coordenadas en el espacio tridimensional.
En realidad, el que echó los cimientos de la Geometría Analítica de tres dimensiones,
fue A. Parent (1666-1716). Enseñó por primera vez a representar una superficie, la
de una esfera y otros sólidos, por medio de una ecuación cartesiana, que él llama
équation superficielle; pero, aunque habla de un punto como origen o punto de refe-
rencia, no menciona ni ejes ni planos coordenados.
El que indicó la consideración de los tres ejes coordenados de un sistema cartesiano,
es J. E. Hermann (1678-1733). Con él la Geometría Analítica del espacio, entonces
incipiente, recibió notable impulso. Considera tres ejes de referencia, y hace obser-
xviii Geometría analítica
var que un punto cualquiera de cada eje tiene dos de sus coordenadas nulas. Demues-
tra que toda ecuación de primer grado con tres variables, ax 1 by 1 cz 2 d 5 0, re-
presenta un plano; partiendo de ella, deduce las coordenadas de la intersección del
plano con cada uno de los ejes cartesianos.
La obra de Hermann fue posteriormente ampliada con los trabajos de A. C. Clairaut
(1713-1765), que constituyen un verdadero tratado de Geometría Analítica del espa-
cio, pues, además de determinar tangentes y normales a las curvas alabeadas, hace fi-
gurar ecuaciones de planos, ecuaciones de las superficies de la esfera, del paraboloide
y , en general, las ecuaciones de las superficies de los sólidos de revolución.
Las obras de Hermann y de Clairaut tuvieron como complemento los trabajos de L.
Euler (1707-1783), quien establece los fundamentos de la Geometría Analítica del
espacio. Estudia las superficies representadas por las ecuaciones de segundo grado, y
hace la reducción de ellas a cinco tipos.
* * *
Por lo que se refiere a las coordenadas polares en el plano, en Arquímedes se halla
una primera alusión a ellas; empero, con toda propiedad, debe decirse que dichas
coordenadas fueron inventadas en 1691 por Jacobo Bernoulli (1654-1705), pues an-
tes se habían usado para el estudio de las espirales solamente.
La extensión de las coordenadas polares a la Geometría Analítica del espacio, de las
que hay un indicio en A. Clairaut, se debe a J. L. Lagrange (1736-1813), y a L. I.
Magnus (1790-1861) la introducción a las coordenadas cilíndricas.
El estudio sistemático de las curvas dadas por ecuaciones en coordenadas polares, se
encuentra en una obra de Gourief, publicada por el año de 1794. Su notación es mo-
derna; usa z para representar el radio del vector y v para el ángulo vectorial o argu-
mento, como se ve en las ecuaciones siguientes:
x5acosv, y5zsenv
* * *
El apelativo Analítica es posterior a Descartes. Aparece en la edición de obras de New-
ton que hizo S. Horsley en 1779, con el nombre Geometría Analytica, sive specimina
artis analyticæ, es decir, Geometría analítica, o especimenes del arte analítico.
En el sentido actual, la denominación de Geometría Analítica figura en el prefacio es-
crito para el Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de S. F. Lacroix, publi-
cado por los años 1787-1790. Como título de un libro, se encuentra, por primera vez,
en J. C. Garnier: Eléments de géométrie analytique, que vieron la luz en 1808.
Débase al marqués de L´Hospital la introducción de la palabra origen, y son de G. G.
Leibniz (1646-1716) las palabras abscisa y ordenada (en el sentido que se les da ac-
tualmente) y coordenadas. La palabra parámetro, aplicada a ecuaciones paramétri-
cas, fue usada por este mismo autor.
Arquímedes ya usaba las palabras eje, vértice y diámetro. Con esta última palabra in-
dicaba los ejes de simetría de la elipse y el de la parábola, como rectas que contienen
Breve bosquejo histórico de la geometría analítica xix
los puntos medios de cuerdas paralelas a una recta dada. El mismo Arquímedes usa-
ba también la expresión diámetros conjugados, pero la teoría relacionada con ellos
es, tal vez, de fecha anterior.
La palabra asíntota aparece usada por Autolico (cerca del año 320 a. de J.C.), pero
sólo llega a ser un término propiamente técnico con Apolonio, el cual la considera-
ba como una recta cuya distancia a la curva disminuye constantemente. El primero
que consideró las asíntotas como rectas tangentes cuyo punto de tangencia se halla
en el infinito, fue G. Désargues (1593-1661).
Por último, débase a Képler el haber introducido la palabra foco que, en el caso de la
elipse, le fue sugerida por la observación de que los rayos luminosos o caloríficos que
parten de uno de los focos de esa curva, son reflejados por ella en tal forma que pa-
san por el otro foco.
Los geómetras antiguos, Apolonio inclusive, conocían los dos focos de las cónicas
que tienen centro; parece que Papo (fines del siglo III) fue el primero que consideró
el foco de la parábola, y definió esta curva como el lugar de los puntos del plano que
equidistan de una recta fija y de un punto fijo, exterior a esa recta. Partiendo de esta
definición, ideó un dispositivo sencillo para describir la parábola con trazo continuo.
Como es fácil comprenderlo, resulta casi imposible citar los nombres de todos los
matemáticos que han contribuido a complementar la estructura de esta ciencia, y para
terminar este bosquejo, únicamente se hace mención de los siguientes matemáticos:
Proclo (412-485), el cual refiere que los antiguos griegos ya sabían que un punto fijo
de un segmento cuyos extremos se deslizan sobre dos rectas perpendiculares, descri-
be una elipse; J. R. Biot (1774-1862), a quien se debe la ecuación de una recta apo-
yada en dos puntos; A. Cayley (1821-1895), que fue el primero que describió, por
medio de un determinante nulo, la ecuación de dicha recta que se apoya en dos pun-
tos; L. N. M. Carnot (1753-1823), que expresa el área de la superficie de un polígo-
no de n lados por medio de la fórmula:
A x y x y x y x y x y x y
n n
= −( )+ −( )+ + −( )1
2 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1
...⎡⎡⎣ ⎤⎦
xx Geometría analítica
1
CAP Í T U L O
1
Sistemas 
coordenados
(dónde 
estamos)
Seis veces hasta ahora he visto la Muerte cara a cara, y otras tantas ella ha
desviado la mirada y me ha dejado pasar. Algún día, desde luego, me re-
clamará, como hace con cada uno de nosotros. Es sólo cuestión de cuán-
do y de cómo. He aprendido mucho de nuestras confrontaciones, sobre
todo acerca de la belleza y la dulce acrimonia de la vida, del valor de los
amigos y la familia y del poder transformador del amor. De hecho, estar
casi a punto de morir es una experiencia tan positiva y fortalecedora del
carácter que yo la recomendaría a cualquiera, si no fuese por el obvio ele-
mento, esencial e irreductible, de riesgo.
Carl Sagan
Reseña histórica
Sin duda alguna, desde la Antigüedad y gracias a la observación, el hombre concibió formas de figuras o cuerpos
y reflexionó sobre el beneficio que podría obtener de ellos. Fue así, por ejemplo, como se inventó la rueda. Es evi-
dente que, para nuestros antepasados, las características geométricas de las formas de aquellos cuerpos no eran
de interés, sino solamente su aplicación.
Tiempo después, personajes como Pitágoras, Tales de Mileto y Euclides hicieron los primeros estudios de esas
formas y forjaron las bases de la geometría. Más adelante, en el siglo XVI, los franceses Pierre de Fermat (1601-
1655) y René Descartes (1596-1650) establecieron las bases de la geometría analítica. Fermat, en principio, no
mostró interés por publicar sus logros, sino hasta 1636, cuando dio a conocer las ecuaciones de la recta, la circun-
ferencia, la parábola, la elipse, la hipérbola y el método de la tangente de la curva. En 1637, Descartes publicó La
geometría, naturaleza y propiedades de las líneas curvas, donde presentaba ya la combinación de la geometría pla-
na con el álgebra (geometría algebraica). Es interesante señalar que Descartes no usó dos ejes para el análisis de
las curvas y que sólo utilizó coordenadas positivas; Newton fue el primero en emplear coordenadas negativas, y
Leibniz fue quien aplicó por primera vez el término coordenada.
A partir de entonces, la geometría tomó auge entre los matemáticos de la época, al grado de que se desarrolló en
diferentes áreas específicas, como la geometría plana, del espacio, descriptiva, esférica y diferencial, por mencionar al-
gunas; además, se empleó para el desarrollo del cálculo diferencial e integral, el análisis algebraico y el vectorial.
Descartes, Fermat y Euler, fundadores de la geometría
analítica.
2 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
A la geometría se le considera un sistema científico. Fetisov afirma que ésta “no es una
colección al azar de verdades que describen las propiedades espaciales de los cuerpos,
sino un sistema científico, basado en leyes estrictas”.1 Cada teorema se enlaza lógica-
mente con proposiciones establecidas previamente, y es esta relación la que se descu-
bre mediante demostraciones. Cada teorema geométrico está vinculado a través de una
cadena completa de deducciones con teoremas previamente demostrados.
Fetisov hace hincapié en que nunca se debe pensar que lo que se dice resulta ob-
vio para los demás, pues esto podría tener graves consecuencias al querer comprobar
algo. Para estudiar el presente libro, el alumno debe comprender los siguientes concep-
tos: axioma, teorema, ley y regla, entre otros. Algunos de éstos se usan a lo largo del
texto, tomándolos como verdaderos, sin entrar en casos particulares, a menos que sea
necesario y que aporten conocimiento para la comprensión de los temas expuestos.
Además, es necesario contar con conocimientos básicos de álgebra y trigonometría.
Por otro lado, en el libro se trata sólo con números reales, es decir, {a, b, c… x,
y, z ∈ ℜ}. Los elementos x, y y z tienen dos usos: uno, como dupla o terna de coor-
denadas, y otro, como variables de una ecuación propuesta. Cerca de 60% del texto
es álgebra y trigonometría y el resto, análisis (es decir, geometría analítica); de ahí la
necesidad de que el lector haya tomado los cursos previos. No obstante, a lo largo de
esta obra se hacen las observaciones y explicaciones necesarias para que resulte com-
prensible; también hay que advertir que no sólo se trata con números enteros, pues en
los ejemplos y ejercicios se incluyen números fraccionarios o decimales y potencias
de la misma índole. 
Al principio se mencionó que la geometría es un sistema científico. En matemáticas
comúnmente se emplean cuatro sistemas de referencia y coordenados, que se expli-
can a continuación.
1.1.1. Sistema coordenado tetradimensional
Se estudia partiendo de los elementos espacio-tiempo y volumen. El concepto de es-
pacio-tiempo se define como una serie de sucesos ordenados hacia delante. Quizás
por el momento no comprendas del todo esta definición, pero seguramente te habrás
dado cuenta de que no existe ningún evento que no ocupe un espacio y que a la vez
no transcurra en el tiempo. Para ilustrar lo anterior de forma sencilla, baste un ejem-
plo: cuando leíste esta explicación ocupaste un espacio y transcurrió un tiempo. En-
tonces, cualquier punto P tendrá coordenadas (x, y, z, t).
1.1.2. Sistema coordenado tridimensional o ℜ3
Si quitamos del sistema tetradimensional el elemento espacio-tiempo tendríamos só-
lo el volumen que, en sí mismo, es el sistema tridimensional o ℜ3 (se lee r tres). Lo
podemos representar y estudiar utilizando más de un sistema coordenado, como el
rectangular tridimensional, el cilíndrico y el esférico, entre otros.
En las ilustraciones de la figura 1.1 se observan las coordenadas de cualquier
punto P para cada sistema coordenado. Es sencillo obtener las relaciones entre aqué-
SISTEMAS
DIMENSIONALES
1.1
INTRODUCCIÓN
1 Fetisov, A.I., Proof in Geometry, Universidad de Chicago, 1963.
llas a partir de las coordenadas rectangulares (x, y, z) y de trigonometría de triángu-
los rectángulos.
rectangulares � cilíndricas rectangulares � esféricas 
x � r cos u [1] x � r sen f cos u [4]
y � r sen u [2] y � r sen f sen u [5]
z � z [3] z � r cos u [6]
Relación de las coordenadas rectangulares y esféricas
1.1 ■ Sistemas dimensionales 3
o
R Q
S
T
o
r
Sistema coordenado
rectangular tridimensional
Sistema coordenado
cilíndrico
Sistema coordenado
esférico
z
z
x
y
x
R
Q
u
S
x
y
y
III II
IV I
VII VI
VIII V
P(x,y,z)
P(r,u,z)
•
•
•
••
o
R
Q
S
T
z
y
P(r,u,f)
f
r
u
•
•
•
•
•
Figura 1.1. Sistemas coordenados en R3.
O
R
Q
S
l
T
z
x
P(x,y,z)
P(r,u,f)
u
f
u
r
y
• •
•
•
•
Figura 1.2. Relación entre los sistemas rectangular y esférico.
En la figura 1.2 observamos los triángulos rectángulos OQR, OQS, OPQ y OPT y dos
ángulos u y f.
Apoyados en el triángulo determinamos l:
l � r sen f
Para obtener las coordenadas en los ejes por trigonometría, se tiene:
x � l cos u, y � l sen u, z � r cos f
al sustituir l en las expresiones anteriores, obtenemos:
x � r sen f cos u y � r sen f sen u, z � r cos f
que son las coordenadas rectangulares en función de las variables esféricas; es común
utilizar r (ro) para denotar el radio r.
No se pretende que el lector domine de inmediato estas relaciones, sino que se
familiarice con los diferentes sistemas coordenados.
Ejemplo 1.1
Determina las coordenadas rectangulares tridimensionales de un punto P, a partir de
sus coordenadas cilíndricas.
Solución:
Empezamos por considerar las relaciones x � r cos u, y � r sen u y z � z, utilizando 
el apéndice B, de donde obtenemos que: y 
Por lo tanto, los correspondientes valores para x, y y z son:
z � 6
La tercia de valores del punto dado tendrá coordenadas rectangulares .
Ejemplo 1.2
Determina las coordenadas rectangulares tridimensionales de un punto dado, conoci-
das sus coordenadas esféricas P(4,30°,60°).
Solución: 
Utilizando las relaciones x � r sen f cos u, y � r sen f sen u y z � r cos f, y em-
pleando el apéndice B, identificamos que u � 30° y f � 60°, por lo cual:
y 
Por lo tanto, los correspondientes valores para x, y y z son:
, ,
La terna de valores del punto dadotendrá coordenadas rectangulares P 3 3 2, , .( )
z = ⋅ =4 1
2
2y = ⋅ ⋅ =4 3
2
1
2
3x = ⋅ ⋅ =4 3
2
3
2
3
sen 60
3
2
° =cos 60 1
2
° =sen ,30 1
2
° =cos ,30
3
2
° =
P 2 2 3 6, ,( )
y = ⋅ =4 3
2
2 3,x = ⋅ =4 1
2
2,
sen 60
3
2
° =cos 60 1
2
° =
4 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
Para entender mejor el sistema coordenado rectangular tridimensional, observa el li-
bro que estás leyendo. Nota que tiene una altura, un ancho y un largo. Estos tres elemen-
tos son dimensiones diferentes. Desde el punto de vista matemático, en la geometría
descriptiva un sistema coordenado tridimensional se construye a partir de la intersección
de tres planos que dan origen a ocho octantes, como se ilustra en la figura 1.3.
1.1 ■ Sistemas dimensionales 5
Si utilizamos letras para representar la dirección de cada dimensión, como se mues-
tra en la figura 1.4, notaremos que la altura está en dirección z (cota), el largo se re-
presenta en y (ordenadas), y el ancho en x (abscisas). 
Observa tu salón de clases desde una esquina. Verás que te rodean figuras seme-
jantes a las de tu libro, es decir, paredes o planos a tu izquierda y enfrente, con una
determinada altura, además de que estás parado entre dos de ellos.
Esto es el sistema tridimensional. Todo lo que dé la sensación de volumen, in-
cluido tu cuerpo, está constituido de esta manera.
Para representar un punto en este sistema, se necesita una terna de coordenadas,
las cuales se denominan
I
III II
IV
VIII
VII
V
VI
Figura 1.3. Sistema coordenado rectangular tridimensional.
z
x
y
Geometríaanalítica
Figura 1.4. Coordenadas (x, y, z).
abscisas, ordenadas y cotas, (x,y,z) respectivamente. En seguida se describe un pro-
cedimiento que facilita la localización de un punto en ℜ3:
• Localiza las coordenadas x,y y z en sus respectivos ejes.
• A partir de la coordenada x, traza un segmento de recta paralelo al eje y. 
• De la misma forma, a partir de la coordenada y, traza un segmento de recta
paralelo al eje x.
• Lo anterior origina un punto en la intersección de las rectas en el plano xy.
Del punto de intersección traza una recta paralela al eje z y restríngela al va-
lor de la coordenada de esta última.
En forma gráfica obtendrás una figura semejante a la 1.5.
6 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
x
y
O
z
(x,y,z)•
Figura 1.5. Un punto en el espacio.
Ejemplo 1.3
Localiza la terna de coordenadas de los puntos P(3,4,6), Q(3,�4,�5) y R(�4,5,3).
Figura 1.6. Puntos en el espacio.
x
O
Q(3,–4,–5)
P(3,4,6)
R(–4,5,3)
–y
–z
y
z
1.1.3. Sistema bidimensional
A través de un sistema bidimensional estudiamos todo lo que dé sensación de área.
Si al sistema tridimensional le quitamos uno de sus componentes, por ejemplo la al-
tura (z, cota) de nuestro libro, sólo quedaría la carátula. Únicamente tendríamos lar-
go y ancho, como se observa en la figura 1.7.
1.1 ■ Sistemas dimensionales 7
Ejercítate Resuelve en cada caso lo que se pide:
a) Determina las coordenadas cilíndricas de cierto punto a partir de sus
coordenadas rectangulares P(5,8,10).
b) Determina las coordenadas esféricas de cierto punto a partir de sus coor-
denadas rectangulares P(4,�4,8).
c) Determina las coordenadas esféricas de cierto punto a partir de sus coor-
denadas rectangulares P(�6,5,�6).
d) Determina las coordenadas cilíndricas de cierto punto a partir de sus
coordenadas rectangulares P(�5,�6,�4).
e) Determina las coordenadas rectangulares en ℜ3 de cierto punto a partir
de sus coordenadas cilíndricas P(7,75°,�8).
Figura 1.7. El Plano xy.
y
x
y
–y
x–x
II I
IVIII
Geometría
analítica
Entonces, sólo tratamos con un plano xy, bisecado por dos rectas perpendiculares en-
tre sí, el cual queda dividido en cuatro partes, llamadas cuadrantes. El punto de in-
tersección se llama origen y tiene coordenadas (0,0). En este plano se observan
direcciones negativas y positivas, por lo que cualquier punto P será localizado por
parejas o duplas ordenadas (x, y). Este sistema se utiliza continuamente en la geo-
metría analítica y se le conoce como plano cartesiano, en honor a René Descartes,
o bien, ℜ2 (se lee: r dos). 
Otro sistema bidimensional usado comúnmente es el plano polar, el cual se com-
pone de un polo (origen) y un eje polar. Cualquier punto P se localiza a partir de la
longitud del segmento de recta que existe entre éste y el polo, además del ángulo que
se forma entre el eje polar y el segmento de recta, como se observa en la figura 1.8.
Si el plano polar se sobrepone en el plano cartesiano, haciendo coincidir el polo con
el origen, como muestra la figura 1.9, por trigonometría de triángulos rectángulos se
obtienen las siguientes relaciones:
x = r cos u [7]
y = r sen u [8]
[9]
[10]θ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−tan 1
y
x
8 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
Plano cartesiano Plano polar
Origen Polo Eje polar
P(x,y)
P(r,u)
u
r
Figura 1.8. El plano polar.
x
y
r
P(x,y)
P(r,u)
u
Polo
Origen Eje polar
Figura 1.9. Coincidencia entre el plano rectangular y el plano polar.
r x y= +2 2
Ejemplo 1.4
Determina las coordenadas rectangulares del punto P(4,30°) dado en coordenadas
polares.
Solución:
De las relaciones x � r cos u, y � r sen u, además de saber que y
se tiene que los valores para x y y son:
por lo que las coordenadas rectangulares son: P 2 3 2, .( )
y = ⋅ =4 1
2
2,x = ⋅ =4
3
2
2 3;
sen ,30
1
2
° =
cos 30
3
2
° =
René Descartes es reconocido como el padre de la geometría analítica, pues fue el pri-
mero en hacer públicos sus trabajos en el libro La Géométrie. Fermat lo hizo tiempo
después. El plano cartesiano está formado por duplas2 de coordenadas (x,y), a las que
se les asocia una relación biunívoca, porque para cada punto se tiene una dupla de
coordenadas. La letra x representa a las abscisas (en el eje horizontal), mientras que
y representa a las ordenadas (en el eje vertical). Es importante saber que la letra o el
nombre que recibirán el eje de las abscisas y el de las ordenadas depende de nosotros
o de la situación que se estudie; se recomienda al lector que ocasionalmente invierta
o cambie las literales de los ejes y analice los resultados.
Para encontrar el lugar de un punto en un plano cartesiano, debe localizarse el
valor de la abscisa, después el de la ordenada y luego trazar dos rectas —vertical y
horizontal, respectivamente—, hasta llegar al punto de intersección.
1.1 ■ Sistemas dimensionales 9
2 El término formal es dupla, pero por convención se usa pareja o par. A lo largo del libro se utilizarán los
tres términos de manera indistinta.
Figura 1.10. Punto en el plano cartesiano.
y
xo
Punto de
intersección
P(x,y)
Ejemplo 1.5
Localiza en un plano cartesiano los puntos cuyas duplas de coordenadas son: A(�2,1),
B(3,3), C(1,�5) y D(�4,�3).
Solución:
Primero identifica los datos de las duplas, después señala la abscisa y la ordenada en
cada caso, trazando sus respectivas rectas, y finalmente encuentra el punto.
Figura 1.1. Localización de puntos en el plano cartesiano.
A(–2,1)
D(–4,–3)
B(3,3)
C(1,–5)
y
xo
1.1.4. Sistema coordenado unidimensional
Si al plano cartesiano le quitamos el largo o el ancho, obtenemos una línea recta, co-
mo indica la figura 1.12.
10 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
Figura 1.12. Sistema coordenado unidimensional.
xo
A esta recta la podemos dividir en segmentos y colocar un punto de referencia, “ori-
gen, 0”, y de ahí tomar la dirección positiva y negativa (derecha e izquierda, conven-
cionalmente). Aquí sólo se podrán encontrar o trazar puntos continuos o discontinuos
y sólo tendremos la sensación de longitud.
Ejemplo 1.6
Localiza en el sistema coordenado unidimensional los puntos A � 4 y B � �3.
Solución:
Trazamos un segmento de recta y elegimos una escala adecuada para poder locali-
zarlos.
Figura 1.13. Localización de puntos en el sistema coordenado unidimensional.
o
A = 4B = –3
Una línea se define como una sucesión de puntos infinita; si es recta, diremos, ade-
más, que los puntos conservanuna misma inclinación o dirección. Si la línea se le li-
mita por dos puntos cualesquiera que se encuentran en ella, se obtendrá un segmento
de recta, en el cual se puede establecer una dirección positiva o negativa, según sea
pertinente, además de una magnitud. 
Considera la siguiente figura:
Figura 1.14. Segmento de recta.
A B
Si se toma como positivo el sentido de izquierda a derecha y viceversa negativo, se
dice que el segmento de recta es positivo y el segmento negativo. La dis-
tancia entre estos dos puntos es la misma, pero su sentido es diferente. Este sencillo
concepto debe ser bien comprendido, pues será de gran utilidad en todo el estudio de
la geometría analítica y otros temas.
BA,AB
Imaginar que se pueden analizar situaciones prácticas (de cosas cotidianas) suena
maravilloso e interesante, y aun más porque es posible hacerlo en términos matemá-
ticos, como se verá a lo largo de este libro.
1.2.1. Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional
El término distancia se define como la magnitud de la longitud entre dos puntos
cualesquiera. La magnitud debe entenderse como el valor absoluto, ya que no exis-
ten distancias negativas, pero sí desplazamientos negativos. De aquí la importancia
de que se establezca siempre un criterio en cuanto a direcciones, a partir de un siste-
ma de referencia. Nunca decimos: “Caminé menos diez metros”.
El valor absoluto. Se define como aquel que sirve para conocer la distancia en-
tre dos puntos de una recta. Por ejemplo a, cuya representación es , de un
valor determinado, cumple las siguientes condiciones:
Donde el valor de � está dado por la distancia que existe entre éste y un punto de
referencia, comúnmente denotado como O y llamado origen, el cual será si se
encuentra a la derecha y si está situado a la izquierda. Por lo tanto, el valor ab-
soluto se utiliza para conocer la distancia que existe entre dos puntos de una recta. 
Demostración:
Considera un segmento de línea recta limitado por dos puntos P1 y P2 cualesquiera,
en el cual se localice un origen o punto de referencia3, O, como se muestra en la si-
guiente figura:
α < 0
α ≥ 0
α
1.2 ■ Conceptos básicos 11
CONCEPTOS 
BÁSICOS
1.2
α
α
α
=
−
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
α
α
≥
<
0
0
o
P2P1
x1 x2
Dividimos en segmentos, de forma que donde: y 
además de que es la magnitud de la distancia entre los puntos x1 y x2, la cual de-
notamos con la letra d. Al sustituir las relaciones y tomando en cuenta el criterio es-
tablecido, obtenemos:
�x1 � x2 � d
o bien:
d � x2 � x1
P P
1 2
OP x
2 2
= ,PO x
1 1
=PO OP P P1 2 1 2+ = ;
si
si
3 En lo sucesivo, se tomarán como positivos los desplazamientos hacia la derecha, y como negativos los
que se realizan en sentido contrario.
Pero como no existen distancias negativas, obtenemos el valor absoluto de la expre-
sión anterior:
[ 11 ]
Obtenemos así la fórmula matemática para determinar la distancia entre dos puntos en
un sistema unidimensional. Como recomendación, siempre debes respetar los signos
propios de cada fórmula, pues es común confundirlos con los de los valores dados.
Ejemplo 1.7
Calcula la distancia entre los puntos A y B, donde A54 y B58.
Solución: 
Paso 1. Traza un segmento de recta donde puedan representarse los puntos dados y
márcalos.
d x x
1 2 2 1,
= −
12 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
77 88 99 1100
–2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10o
A
B
dx1 x2
Figura 1.15. Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional.
Paso 2. Toma uno de los puntos como final y otro como inicial (aquí se muestra de A
hacia B, y en forma inversa).
Paso 3. Aplica la fórmula matemática:
tomando como punto final a B:
o bien, si el punto A es el final:
Como se mencionó, la distancia siempre es positiva.
d
BA
= − = − =4 8 4 4
d
AB
= − =8 4 4
d x x
1 2 2 1,
= −
Ejercítate Determina la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos dados
y grafica en cada caso.
a) A = 22 y B = 4
b) A = 25 y B = 9
c) P = 26 y Q = 26
d) x1 = 2 y x2 = 8
e) x1 = 7 y x2 = 1
1.2.2. Distancia entre dos puntos en un plano cartesiano 
(bidimensional)
En el apartado anterior se habló de la distancia entre dos puntos en un plano unidi-
mensional. Aquí se tratará este concepto en el plano cartesiano o ℜ2, el cual tiene un
análisis ligeramente más complicado.
Demostración:
Sean y dos puntos cualesquiera, cuyas duplas de coordenadas se
encuentran en un plano cartesiano, como se ilustra en la figura 1.16.
B x y
2 2
,( )A x y1 1,( )
1.2 ■ Conceptos básicos 13
y
A C
B
o x
x2 – x1
y2 – y1
y2
y1
x1 x2
Figura 1.16. Distancia entre dos puntos en un plano bidimensional.
En la figura 1.16 se observa un punto C de coordenadas (x2, y1). Al fragmentar la rec-
ta por los puntos dados se tiene además, la distancia
que se busca es la comprendida por el segmento El punto C servirá de refe-
rencia para construir un triángulo rectángulo ACB, de donde se establece a partir del
teorema de Pitágoras (c2 5 a2 1 b2):
Se reconoce que los segmentos y son los catetos del triángulo y la hipo-
tenusa; sustituyendo, se tiene:
Como interesa saber la distancia, se toma la raíz cuadrada de ambos miembros, para
eliminar los cuadrados:
[12]d x x y yAB = −( ) + −( )2 1 2 2 1 2
d x x y y
AB
2
2 1
2
2 1
= − + −
CB y y= −| |
2 1
AC x x= −| |
2 1
ABCBAC
AC CB AB
2 2 2
+ =
AB d
AB
= .
CB y y= −| |;
2 1AC x x= −| |,2 1
Una raíz cuadrada tiene dos posibles valores, pero como se mencionó, no existen dis-
tancias negativas y además estamos tratando con valores absolutos.
Una vez comprendida la fórmula matemática, describiremos un procedimiento
sencillo para determinar la distancia entre dos puntos:
Procedimiento para calcular la distancia entre dos puntos
1. Traza un plano cartesiano y elige una escala (unidad de medida), donde se
puedan representar los puntos dados.
2. Localiza cada uno de los puntos y únelos con un segmento de recta (esto te
permitirá visualizar la distancia que vas a encontrar).
3. Si tomas (x1, y1) como punto inicial, tendrás a (x2, y2) como punto final.
4. Aplica la fórmula respetando en todo momen-
to los signos, lo que evitará que cometas errores.
Ejemplo 1.8
Calcula la distancia entre los puntos A y B, cuyas duplas de coordenadas son (3,2) y
(23,21), respectivamente.
Solución:
Paso 1. Traza un plano cartesiano.
Paso 2. Coloca en él los puntos dados y únelos, para visualizar la distancia a calcular.
Paso 3. Se designa al punto A como inicial y se aplica la fórmula dada.
d x x y y
AB
= −( ) + −( )2 1 2 2 1 2
14 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
O
y
x
A(3,2)
B(–3,–1) •
•
Figura 1.17. Distancia entre dos puntos.
Paso 4:
o bien:
d
BA
= 45
d
BA
= +(-3-3 ) (-1-2 )2 2
d
AB
= 45
d
AB
= +(3-(-3)) (2 -(-1))2 2
Como se observa, la distancia es la misma. No pueden obtenerse resultados diferen-
tes. Recuerda respetar los signos negativos de la fórmula, así como los valores de ca-
da par de coordenadas, lo que evitará que cometas errores.
1.2.3. División de un segmento en una razón dada 
y el punto medio
Razón. Una razón es el resultado de comparar dos cantidades entre sí o el cocien-
te de dividir cada término entre el que le precede. 
Cuando decimos que un vehículo viaja a una velocidad de existe una razón
entre km y hr; que se denota como un cociente y 25 es un valor que se obtiene
de esa relación.
Ejemplo 1.9
Si se tiene que recorrer una distancia de metros en un tiempo de 10 segundos, la ra-
zón que se tiene es de distancia y tiempo (en física, sabemos que esto es rapidez), la
cual se expresa como 
Ejemplo 1.10 
Si en una frase se nos dice que existe una razón de tres cuartos, esto se representa ma-
temáticamente como
En general, sean a y b dos valores cualesquiera que pertenecen a los números rea-
les. La razón de a a b se expresa como o como a : b.
Proporción. Una proporción se describe como la igualdad de dos razones, o co-
mo la correspondencia entre las partes de un objeto con su todo:
o, usando un producto cruzado:
ad bc=
a
b
c
d
=
a
b
r = 3
4.
r = =100
10
10 .
m
s
m
s
km
hr
,
25 ,
km
hr
1.2 ■ Conceptos básicos 15
Determina la distancia que existe entre cada una de las duplas de coordenadas
y grafica en cada caso.
a) A(6,4) y B(3,5) b) P(–5,–3) y Q(–2,–4)
c) F(–4,1) y V(–1,2) d) C(7,–8) y D(9,–5)
e) R(3,–5) y S(–3,0) f ) A(1,–10) y B(1,–10) 
Ejercítate
Ejemplo 1.11
Un análisis muy peculiar para obtener la fórmula del área de una elipse lo concibió
el físico Kepler y más tarde Emma Castelnuovo4, quien se apoyó en un material uni-
formemente elástico y en los conceptos de razón y proporción para obtener el área de
una elipse, como se expone a continuación:
En un material uniformemente elástico se traza un cuadrado y en éste, una cir-
cunferencia, como muestra la figura 1.18.
16 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
r
2r
Figura 1.18. Circunferencia inscrita en el cuadrado.
Luego se aplica una fuerza uniforme en ambos lados (izquierdo y derecho) de ese ma-
terial. El cuadrado se transformará en un rectángulo y la circunferencia en una elip-
se, como se muestra a continuación:
a
2a
b
2b
Fuerza
uniformemente
aplicada en
ambos extremos
Figura 1.19. Elipse inscrita en un rectángulo.
Observando ambas figuras, se establece la siguiente relación:
Por geometría plana, se saben directamente las fórmulas que definen el área del cua-
drado, del rectángulo y la circunferencia, por lo que el área a determinarse es la de la
elipse. Sustituyendo valores, se tiene:
A
A
A
A
CUADRADO
CIRCUNFERENCIA
RECTÁNGULO
ELIPSE
=
4 García, Jesús y Celestí Bertrán, Geometría y experiencias, Addison Wesley, Madrid,1990.
División de un segmento en una razón dada
Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de recta, al cual se
pretende dividir en una fracción o razón dada r (en partes iguales), y además
C(x, y) es un punto tal que , entonces es posible determinar las
coordenadas del punto C en términos de C1 y C2 como sigue:
x 5 x1 1 r (x2 2 x1) , y 5 y1 1 r(y2 2 y1)
r C C C C=
1 1 2
/
que corresponde a la fórmula que define el área de una elipse.
En matemáticas, dos cantidades pueden compararse de dos maneras: por diferen-
cia o por cociente. Los términos de cualquiera de los casos de la razón se lla-
man antecedente y consecuente.
Ejemplo 1.12
Dada la razón por diferencia 321, identifica cuál valor es el antecedente y cuál el con-
secuente.
Solución:
3 5 antecedente; 1 5 consecuente.
Ejemplo 1.13
Dada la razón por cociente distingue cuál valor representa al antecedente y cuál
al consecuente.
Solución:
4 5 antecedente; 3 5 consecuente.
1.2.4. División de un segmento en una razón dada
4
3
,
A
ab r
r
A ab
elipse
elipse
=
∴ =
4
4
2
2
π
π
4 42
2
r
r
ab
A
elipseπ
=
1.2 ■ Conceptos básicos 17
Teorema
Demostración: 
Considera la siguiente figura:
18 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
y
xo
C1(x1,y1)
C2(x2,y2)
C(x,y)
Figura 1.20. División de un segmento.
De acuerdo con las coordenadas de los puntos dados, tenemos:
Al despejar x, se obtiene:
x 5 x1 1 r (x2 2 x1) [ 13 ]
En forma semejante, para y se tiene:
y 5 y1 1 r(y2 2 y1) [ 13 ]
Observa que si debe entenderse que el punto C se localiza a de la distancia
comprendida entre C1 y C2, es decir, dividimos al segmento de recta en cuatro partes
iguales. Si C está a cinco octavas partes de la distancia que existe entre C1 y C2, es
porque r = 5
8
.
1
4
r = 1
4
,
⇒ =
−
−
r
x x
x x
1
2 1
C C
C C
r1
1 2
=
Ejercítate Punto de división de un segmento de recta
Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de recta y además
C(x, y) es un punto tal que permite dividir al segmento en una relación dada
como , es posible determinar las coordenadas del punto C en tér-
minos de C1 y C2 como sigue:
Donde r es negativa si el punto de división está en la prolongación del segmen-
to en cualquiera de sus dos sentidos.
∀ ≠ −r 1y
y ry
r
=
+
+
1 2
1
;x
x rx
r
=
+
+
1 2
1
,
r C C CC=
1 2
/
Demostración:
Considera la siguiente figura:
1.2 ■ Conceptos básicos 19
y
xo
C1(x1,y1)
C(x,y)
C2(x2,y2)
••
••
••
Figura 1.21. Punto de división de un segmento.
Por geometría plana de triángulos semejantes:
Al despejar x:
rx2 2 rx 5 x 2 x1
Factorizando:
x(1 1 r) 5 x1 1 rx2
Finalmente se tiene 
[14]
De forma análoga, para y
[14]
Observa que aquí se compara cierta parte del segmento contra su magnitud.
Ejemplo 1.14 
Encuentra la dupla de coordenadas de un punto A, que divide al segmento determina-
do por E(21,6) y F(3,23) en la razón 
La coordenada x, según será:
análogamente, para la coordenada y: y =
+ ( ) −
+
=
6 3
4
3
1 3
4
15
7
( )
x =
− + ( )
+
=
1 3
4
3
1 3
4
5
7
( )
x
x rx
r
=
+
+
1 2
1
,
r = 3
4
.
y
y ry
r
=
+
+
1 2
1
x
x rx
r
=
+
+
1 2
1
⇒ =
−
−
r
x x
x x
1
2
C C
CC
r1
2
=
Las coordenadas del punto A serán 5
7
15
7
, .( )
20 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
F
E
O
A
y
x
•
•
•
Figura 1.22. Punto que divide a un segmento en una razón dada.
1.2.5. Punto medio de un segmento de recta
Un caso particular que se obtiene es cuando r 5 1. La ecuación [14] se reduce a lo si-
guiente:
; [15]
y se le conoce como punto medio.
También se puede obtener a partir de [13], haciendo es decir, dividiendo
al segmento en dos partes.
Ejemplo 1.15
Determina las coordenadas del punto medio del segmento comprendido por los pun-
tos C(3,6) y D(24,22).
Solución:
Al identificar al punto C como punto inicial, se tiene:
Por tanto, las coordenadas del punto medio son A −( )12 2, .
y = − =6 2
2
2x =
− = −3 4
2
1
2
,
r = 1
2
,
y
y y
=
+
1 2
2
x
x x
=
+
1 2
2
Ejemplo 1.16
Un herrero requiere fabricar una escalera de 3.0 metros de largo y desea colocarle
nueve peldaños. ¿Cómo determinarías a qué distancia debe poner cada uno, si el tra-
mo de material está en posición horizontal, como se muestra en la figura? 
Solución:
Si nos apoyamos en la expresión y tomamos como origen x1 y x2 5 3
Al sustituir valores: metros.
Para determinar la distancia, lo que se hace es restar de la longitud total del material
el valor obtenido de x.
3.0 2 2.7 5 0.3 metros.
Por lo tanto, cada peldaño se debe colocar a 0.3 metros de separación.
x = + ⋅
+
= =0 9 3 0
1 9
27
10
2 7
.
.
x
x x r
r
=
+
+
1 2
1
1.2 ■ Conceptos básicos 21
D
C
O
A
y
x
•
•
•
Figura 1.23. Punto medio de un segmento de recta dado.
3 m
1
0.30 m
Figura 1.24. Escalera con 9 peldaños.
Otra solución es observar que el número de partes que se tendrán son 10, por lo cual,
, es decir:
Y obtenemos el mismo resultado.
Ejemplo 1.17
Un albañil se dispone a trazar y construir una escalera de seis escalones en un espa-
cio como el que se muestra en la figura siguiente. ¿Cómo lo ayudarías a determinar
las dimensiones de la plantilla y su altura?
x
x
= + −
=
0 0
1
10
3 0 0 0
0 3
. ( . . )
.
r = 1
10
22 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
x
y
O
2.5 m
1.5 m
Plantilla Altura
Figura 1.25. Escalera con seis peldaños.
Solución:
La forma más práctica es aplicar el concepto de división de un segmento en una ra-
zón dada. De acuerdo con lo observado en la figura, tiene la siguiente forma.
Para obtener el valor de la plantilla:
De manera semejante, para determinar la altura:
a través de los productos siguientes se comprueba que las medidas obtenidas son las
correctas:
y 3
12
6
3
2
1 5* .= = m
5
12
6
5
2
2 5* .= = m
⇒ − = =3
2
15
12
3
12
0 25. my
y ry
r
=
+
+
=
+ ( )
+
=1 2
1
0 5 3
2
1 5
15
12
⇒ − = =5
2
25
12
5
12
0 416. mx
x rx
r
=
+
+
=
+ ( )
+
=1 2
1
0 5 5
2
1 5
25
12
Otra posible solución es tomar con lo que se obtiene:
Y para y:
Como se observa, se llega a los mismos resultados.
1.2.6. Teorema de Vazgar5
A partir del caso en el que, dadas las duplas de coordenadas de los vértices de un
triángulo, se calculan los puntos medios de cada uno de sus lados, el teorema de Vaz-
gar plantea el caso contrario: dadas las coordenadas de los puntos medios de los la-dos de un triángulo (al que llamaremos triángulo primitivo), se calculan los vértices
que los generaron; y todo esto sin plantear sistemas de ecuaciones o procedimientos
extensos. Al triángulo formado por los puntos medios lo llamaremos precisamente
triángulo de puntos medios. 
Demostración:
Sean los puntos: D(x3, y3), E(x4, y4) y F(x5, y5) los vértices de un triángulo de puntos
medios y A(x0, y0), y B(x1, y1), C(x2, y2) los vértices del triángulo primitivo, es decir,
los que generan los puntos medios localizados en un plano cartesiano, como se mues-
tra en la figura 1.26.
y
y
= + −
=
0 0
1
6
1 5 0 0
0 25
. ( . . )
.
x
x
= + −
=
0 0
1
6
2 5 0 0
0 416
. ( . . )
.
r = 1
6
,
1.2 ■ Conceptos básicos 23
1. Divide el segmento de recta dado en la razón indicada para cada caso. 
a) A(1,2) y B(3,4), b) P(–3,–5) y Q(1,4),
c) A(0,0) y B(5,–6), r 5 4 d) P(–4,7) y Q(–4,–2), r 5 8
e) A(2,–9) y B(5,3), f) P(0,–3) y Q(–5,0),
2. El punto medio de un segmento de recta es P(0,–2) y uno de los puntos de
sus extremos es O(–2,1). Determina las coordenadas del otro extremo.
r = 1
5
r = 2
5
r = 1
4
r = 1
3
Ejercítate
5 Teorema desarrollado por el autor del presente libro, y dedicado a Alberto García, cuya creatividad no
fue reconocida.
A partir de las ecuaciones de punto medio para cada segmento de recta:
y
La figura permite determinar para cada dupla de coordenadas los puntos medios:
y (i)
y (ii)
y (iii)
De las coordenadas de los puntos medios se obtienen las del triángulo ABC. Si pro-
cedemos algebraicamente, de las ecuaciones (i), (ii) y (iii) se obtendrán las coorde-
nadas de A(x0, y0), B(x1, y1), C(x2, y2). De (i) y (ii) se despejan, x2 y y2, para igualarlas.
Los pasos se pueden hacer al mismo tiempo para ambas coordenadas:
2x3 2 x0 5 2x4 2 x1 y 2y3 2 y0 5 2y4 2 y1 (iv)
Si se despeja x1 y y1, para llevarlas a la ecuación (iii):
y (v)y
y y y
5
4 3 0
2 2 2
2
=
− +
x
x x x
5
4 3 0
2 2 2
2
=
− +
y
y y
5
0 1
2
=
+
x
x x
5
0 1
2
=
+
y
y y
4
1 2
2
=
+
x
x x
4
1 2
2
=
+
y
y y
3
0 2
2
=
+
x
x x
3
0 2
2
=
+
Pm
y y
y
=
+
1 2
2
Pm
x x
x
=
+
1 2
2
24 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
x
y
O
A(x0,y0)
F(x5,y5)
B(x1,y1)
E(x4,y4)
C(x2,y2)
D(x3,y3)
•
•
•
•
•
•
Figura 1.26. Puntos medios de los lados de un triángulo.
Al despejar x0 y y0, respectivamente, se encuentran la dupla de coordenadas para el
vértice A
x0 5 x5 1 x3 2 x4 y y0 5 y5 1 y3 2 y4 (vi)
De manera semejante se encuentran las coordenadas de los vértices restantes:
Para: B
x1 5 x5 1 x4 2 x3 y y1 5 y5 1 y4 2 y3 (vii)
Finalmente: C
x2 5 x4 1 x3 2 x5 y y2 5 y4 1 y3 2 y5 (viii)
Como las ecuaciones (vi), (vii) y (viii) corresponden al valor de los vértices buscados,
es posible hacer un pequeño arreglo que permita determinar los valores de cada uno,
a partir de los puntos medios, como se muestra a continuación:
A(x0, y0) ⇔ (x0 5 x5 1 x3 2 x4, y0 5 y5 1 y3 2 y4) [16]
B(x1, y1) ⇔ (x1 5 x5 1 x4 2 x3, y1 5 y5 1 y4 2 y3) [17]
C(x2, y2) ⇔ (x2 5 x4 1 x3 2 x5, y2 5 y4 1 y3 2 y5) [18]
Observa que las operaciones deben hacerse en forma aritmética y homogénea. 
Ejemplo 1.18
Calcula los vértices de un triángulo primitivo aplicando el teorema de Vazgar, cuyos
puntos medios son D(1,2), E(5,1) y F(2,–2). Traza la gráfica correspondiente.
Solución:
Al aplicar el teorema de Vazgar, para determinar los vértices, se tiene:
A(x0, y0) ⇔ x0 5 1 1 5 2 2 5 4, y0 5 2 1 1 2(22) 5 5 ⇒ (4,5)
B(x1, y1) ⇔ x1 5 2 1 5 2 1 5 6, y1 5 1 2 2 22 5 23 ⇒ (6,23)
C(x2, y2) ⇔ x2 5 2 1 1 2 5 5 22, y2 5 2 2 1 2 2 1 5 21 ⇒ (22,21)
1.2 ■ Conceptos básicos 25
 
 
O
y
x
A(4,5)
E(5,1)
D(1,2)
C(–2,–1)
F(2,–2)
B(6,–3)
•
•
•
•
•
•
Figura 1.27. Vértices de un triángulo, conocidos los puntos medios de sus lados.
1.2.7. Pendiente de un segmento de recta
El concepto de pendiente se relaciona con la inclinación que posee un cuerpo respec-
to de un plano de referencia, es decir, al ángulo que se forma entre ellos.
26 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
1. Calcula los puntos medios de los siguientes segmentos de recta que forman
un triángulo, cuyos vértices son P(22,5), Q(1,22) y R(4,2), después aplica
el teorema de Vazgar y comprueba los resultados.
Ejercítate
u
Figura 1.28. Pendiente de un segmento de recta.
Para un segmento de recta comprendido entre dos puntos en un plano xy se puede pre-
sentar alguna de las cuatro situaciones siguientes:
m
D
D
== utan
x
y
u
u u
Dx
Dy
u
0
= ∞, no definidaDy
Dx = 0
y
Dx
Dy
Dx
x
y
m
D
D
== utan
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
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+
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+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
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+
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+
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+
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+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +
(x1,y1)
(x1,y1)
(x1,y1)
(x1,y1)
(x2,y2)
(x2,y2)
(x2,y2)
u < 90° u > 90° u = 90° o 270° u = 0° o 180°
m = tanu =
Dx
= 0 no tiene0m = tanu =
•
•
•
•
•
•
• •
Pendiente positiva Pendiente negativa
Dy=0
(x2,y2)
Figura 1.29. Diferentes situaciones para la pendiente de una recta.
Donde6 Dx 5 x2 2 x1 y Dy 5 y2 2 y1, es decir, la pendiente del segmento de recta se
define como:
[19]
Este concepto se estudiará con más detalle en el capítulo 3.
Ejemplo 1.19
Dados los puntos A(2,5) y B(1,1), determina la pendiente de la recta que pasa por és-
tos e indica si es positiva o negativa.
m
y y
x x
= =
−
−
tan θ 2 1
2 1
6 D es la letra griega delta y denota un cambio (incremento) en la variable que la acompaña.
Solución:
La pendiente de una recta se determina mediante la expresión Toman-
do los valores de A como coordenadas finales, se tiene:
por el signo, se concluye que la pendiente es positiva. 
Ejemplo 1.20 
La gráfica mostrada en la figura 1.30 representa las ventas (en miles de pesos) de cier-
to producto (en centenas) en los siete meses que se indican desde el día de su lanza-
miento. A partir del concepto de pendiente di cuántas veces las ventas han sido
positivas, cuántas negativas y cuántas no han sufrido cambios. 
Solución:
m
BA
= −
−
= −
−
=1 5
1 2
4
1
4
m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
.
1.2 ■ Conceptos básicos 27
E F M A M J J A
1
2
3
4
5
6
7
8
1 3 4 5 6 7 82
Ventas
(pesos)
Producto
(centenas)
•
•
• •
•
•
•
Figura 1.30. Ventas de un producto.
La pendiente se define como una diferencia de ordenadas (ventas) entre una diferen-
cia de abscisas (producto). Teniendo en consideración lo anterior, se calculan las pen-
dientes correspondientes entre cada mes, a partir de su lanzamiento al mercado.
La pendiente entre enero y febrero
febrero y marzo
marzo y abril
no presenta cambios, no existe pendiente m
MA
= −
−
= =7 7
4 3
0
1
0
m
FM
= −
−
= = +7 6
3 2
1
1
1 ( )
m
EF
= −
−
= = +6 1
2 1
5
1
5 ( )
abril y mayo
mayo y junio
finalmente, entre junio y julio
Una vez hechos los cálculos, vemos que las pendientes han sidotres veces positivas,
dos negativas y en una sola ocasión no se presentaron cambios. 
Miscelánea de ejemplos
1. Dada la terna de coordenadas rectangulares tridimensionales de un punto
Q(2,24,6), halla sus coordenadas cilíndricas y esféricas.
Solución:
Las coordenadas cilíndricas se obtienen a partir de x 5 r cos u, y 5 rsen u y z 5 z
z 5 6, es decir,
Las respectivas coordenadas esféricas las obtenemos de x 5 r sen f cos u, y 5
r sen u y z 5 r cos f
θ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − °− −tan tan .1 1 4
2
63 4
y
x
o 296..6°
r x y z= + + = + − + =2 2 2 2 2 22 4 6 56( ) ( ) ( ) ,
Q( , . , ).20 296 6 6°
θ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − °− −tan o 2961 1 4
2
63 4
y
x
tan . ..6°r x y= + = + − =2 2 2 22 4 20( ) ( ) ,
m
AM
= −
−
= − = −5 6
7 6
1
1
1 (–)
m
MJ
= −
−
= = +6 4
6 5
2
1
2 ( )
m
AM
= −
−
= − = −4 7
5 4
3
1
3 (–)
28 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
1. Dados los siguientes pares de puntos, traza el segmento de recta que forman
y determina la pendiente en cada caso.
a) A(5,–9) y B(–2,3) b) P(–6,7) y Q(4,–4)
c) R(7,–8) y S(7,3) d) E(8,9) y P(6,–1)
e) C(–26,–12) y D(–10,–14) f) E(–6,7) y F(15,7)
2. Determina el ángulo de inclinación de cada segmento de recta, comprendi-
do en los siguientes pares de puntos.
a) (3,3) y (–1,2) b) (–2,5) y (4,–1)
c) (–1,8) y (4,8) d) (–2,4) y (–2,7)
3. Demuestra de tres maneras diferentes que los siguientes puntos A(1,3),
B(2,5) y C(–3,–5) pertenecen a una misma recta.
Ejercítate
por lo cual
2. Determina las coordenadas rectangulares del punto P(6,60°) localizado en coor-
denadas polares.
Solución:
De las relaciones x 5 r cos u, y 5 r sen u y utilizando el apéndice B, se tiene:
x 5 6 cos 60° 5 3 Sus coordenadas rectangulares son:
3. Un punto se localiza a la misma distancia de x1 5 6 y de x2 5 28. Determina el
punto x que satisface tal condición. 
Solución:
Para facilitarla, se propone un punto x cualquiera y se traza una gráfica, como se
muestra en la figura 1.31; además, recordemos que no existen distancias negativas.
P( , ).3 3 3y = ⋅ =6 3
2
3 3.
Q( , . , . ).56 296 6 36 7° °φ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = °
− −cos cos . ,1 1
6
56
36 7
z
r
1.2 ■ Conceptos básicos 29
O x1 = 6x2 =–8
x8 – x
Figura 1.31. Punto medio.
En la figura se muestra la distancia entre cada punto y se observa que x , 0.
Al igualar distancias de cada punto conocido con el punto x se tiene:
82x 5 6 1 x ⇒ 2 5 2x
x 5 1
con lo que se satisface la igualdad establecida:
7 5 7
Pero por la segunda propiedad del valor absoluto, 2a si a , 0, se concluye que x
se localiza en:
x 521
4. Dadas las coordenadas de los puntos P(2,2), Q(26,0) y R(23,23), encuentra las
coordenadas de un punto equidistante a ellos.
Solución:
Sea T(x, y) el punto buscado. Por las condiciones del problema y utilizando la
ecuación de distancia entre dos puntos en un plano cartesiano, tenemos:
PT 5 QT y QT 5 RT
Es decir:
(i)
(ii)x y x y−( ) + −( ) = +( ) + −( )2 2 6 02 2 2 2
x y x y−( ) + −( ) = +( ) + −( )2 2 6 02 2 2 2
Para resolver el sistema de ecuaciones, se eleva al cuadrado cada miembro y se
desarrollan los binomios indicados, de donde se obtiene:
216x 24y 5 28 (i)
6x 2 6y 5 218 (ii)
Simplificando por cualquier método de ecuaciones simultáneas, se tiene que x 5
22 y y 5 1. Por lo cual, las coordenadas del punto buscado son: T(22,1)
30 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
Q(–6,0)
R(–3,–3)
T(–2,–1)
P(2,2)
•
•
•
•
y
x
Figura 1.32. Coordenadas de un punto equidistante.
5. Los siguientes puntos P(28,4), Q(2,–2) y R(–2,–6) son los vértices de un trián-
gulo. Determina de qué tipo de triángulo se trata y justifica tu respuesta.
Solución:
Una característica que permite identificar un triángulo es la longitud de sus la-
dos. De acuerdo con esto, se tiene:
Como se identifica que el triángulo es isósceles.
6. Si ya conoces el tema de determinantes, te será sencillo utilizar la expresión que
se muestra para calcular el área de un triángulo a partir de las coordenadas de sus
vértices. Aplícala para calcular el área del triángulo del ejemplo anterior.
Solución:
Primero recordamos que no existen áreas negativas, entonces, si el resultado del
determinante da un valor negativo tomaremos, el valor absoluto. Podemos desig-
nar arbitrariamente las coordenadas:
A
x y
x y
x y
x y y y x x= = − − − +1
2
1
1
1
1
2
1 1
2 2
3 3
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) (xx y x y
2 3 3 2
−⎡⎣ ⎤⎦)
PQ PR= ,
QR = − − + − + =( ) ( )2 2 6 2 322 2
PR = − + + − − =( ) ( )2 8 6 4 1362 2
PQ = + + − − =( ) ( )2 8 2 4 1362 2
Es decir, A 5 32
7. Un segmento de recta comprendido por los puntos A(21,2) y B(6,6) se pretende
dividir en tres partes iguales. Determina las coordenadas de los puntos P y Q,
donde se trisecta ese segmento.
Solución:
Para localizar P, se tiene que a partir de x 5 x1 1 r(x2 2 x1) y y 5 y1 1
r(y2 2 y1) se obtiene con 
es decir,
Para obtener las coordenadas de Q,
las coordenadas son: Q
11
3
14
3
,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y = + − =2 2
3
6 2
14
3
( ) ,x = − + + =1 2
3
6 1
11
3
( )
r = 2
3
.
P
4
3
10
3
, .
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y = + − =2 1
3
6 2
10
3
( ) ,x = − + + =1 1
3
6 1
4
3
( ) ,
r = 1
3
A =
−
−
− −
= − − + − + + − −1
2
8 4 1
2 2 1
2 6 1
1
2
8 2 6 4 2 2 1 12 4( ) ( ) ( ))⎡⎣ ⎤⎦ = −32
1.2 ■ Conceptos básicos 31
A
B
Q
P
x
y
•
•
•
•
Figura 1.33. Coordenadas de los puntos que trisectan un segmento de recta dado.
8. Se sabe que un segmento de recta contiene al punto (3,2) y que tiene una pen-
diente . Traza la gráfica correspondiente y determina un segundo punto.
Solución:
Utilizamos la definición de pendiente y consideramos un corrimiento hacia la iz-
quierda en las abscisas.
Al trazar la pendiente, encontramos el segundo punto buscado (22,5):
m = − 3
5
9. Comprueba que en la figura mostrada, el segmento se localiza a la mitad de
los segmentos y . Prueba también que es la mitad del segmento y
que son paralelos.
BCACAB
DE
32 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
x
y
(3, 2)
3
–5
5
3−=m
(–2,5)
•
• •
Figura 1.34. Punto que pertenece a un segmento de recta.
x
y
D(3.5,1.5)
B(5,4)
C(7,1)
E(4.5,0)
A(2,–1)
•
••
•
•
Figura 1.35. Segmentos paralelos.
Solución:
Para comprobar que el segmento se localiza a la mitad de los segmentos 
y , bastará con mostrar que corresponden a los puntos medios.
Para D se tiene: y para E:
De esta manera se comprueba que las coordenadas correspondientes son: D(3.5,
1.5) y E(4.5,0). Ahora se verifican las longitudes de y BCDE
x
y
E
E
= + =
= − =
7 2
2
4 5
1 1
2
0
.x
y
D
D
= + =
= − =
5 2
2
3 5
4 1
2
1 5
.
.
AC
ABDE
Y se comprueba que es la mitad . Finalmente, se muestra que son para-
lelos a través de sus pendientes
Como mDE 5 mBC, se concluye que son paralelos.
10. Ejemplo de aplicación. Dos estudiantes quieren saber en cuánto tiempo y en qué
punto chocan dos pelotas lanzadas al mismo tiempo, una hacia arriba con veloci-
dad inicial de 15 m/s y la otra de que parte del reposo desde una altura de 20m.
Ambas van en la misma dirección, pero en sentido contrario, como se aprecia en
la figura. También saben que las ecuaciones que rigen su movimiento son: yf 5
y1 1 viyt 2 4.9t
2 y yf 5 y2 2 4.9t
2, respectivamente. ¿Qué valor de yf encontra-
rán los estudiantes?
m
m
DE
BC
= −
−
= −
= −
−
= −
0 1 5
4 5 3 5
1 5
1 4
7 5
1 5
.
. .
.
.
BCDE
DE
BC
= − + − =
= − + − =
( . . ) ( . )
( ) ( )
4 5 3 5 0 1 5 13
2
7 5 1 4
2 2
2 2 113
1.2 ■ Conceptos básicos 33
y
x
y2 = 20 m
yf = ?
y1 = 0 m
•
•
Figura 1.36. Movimiento vertical.
Solución:
Para encontrar el valor de yf se sustituyen los valores dados en las ecuaciones res-
pectivas y se igualan, es decir, de: yf 5 y1 1 viyt 2 4.9t
2 y yf 5 y2 2 4.9t
2
se obtiene:
0 1 15t 2 4.9t2 5 20 2 4.9t2
Al simplificar, se halla que t 5 1.33. Al sustituir en ambas ecuaciones se encuen-
tra que:
yf 5 15(1.33) 2 4.9(1.33)
2 5 11.3 m y yf 5 20 2 4.9(1.33)
2 5 11.3 m
11. Un diseñador requiere localizar, en un plano cartesiano, las coordenadas de