Matematicas_II_Geometría_Plana_y

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Universidad aUtónoma de nUevo León
Matemáticas 2
Alejandro Nava
Alma Vázquez
Juan Cuéllar
Mario Leal
Salvador Rodríguez
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Ediciones DeLaurel 
es una marca registrada de 
Comercializadora y Editora de Libros, S. A. de C. V.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria 
Editorial Mexicana, Reg. Núm. 3680
Cuidado editorial: Equipo DeLaurel
Diseño de portada: Claudia Novelo Chavira
Jesús Ancer Rodríguez 
Rector
Rogelio Garza Rivera
Secretario General
Ubaldo Ortiz Méndez
Secretario Académico
Alejandro Galván Ramírez
Director de Estudios de Nivel Medio Superior
Biblioteca Universitaria “Raúl Rangel Frías”, 4º piso
Av. Alfonso Reyes No. 4000 Nte., Col. del Norte
C.P. 64440, Monterrey, Nuevo León, México
Tels: (81) 8329 4121 – 8329 4122 
Fax: (81) 8329 4000, ext. 6608
e-mail: denms@uanl.mx
Título de la obra:
Matemáticas 2
Tercera edición, 2012
© Universidad Autónoma de Nuevo León
© Comercializadora y Editora de Libros, S.A. de C.V.
© Alejandro Nava Segovia
© Alma Rosa Vázquez Ortiz
© Juan Antonio Cuéllar Carvajal
© Mario Alberto Leal Chapa
© Salvador Rodríguez Vértiz
Portada: © Dirección de Imagen Institucional
ISBN: 978-607-7967-44-6
Reservados todos los derechos. Queda prohibida 
la reproducción o transmisión total o parcial del 
contenido de la presente obra en cualesquiera formas, 
sean electrónicas, mecánicas o por fotocopia, sin el 
consentimiento previo y por escrito de la Universidad 
Autónoma de Nuevo León y del editor.
Impreso en México
Printed in México
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3
Presentación
En cumplimiento de la Visión 2020 UANL, la Dirección de Estudios de Nivel Medio Superior, a través de 
la publicación de los libros de texto correspondientes a cada una de las unidades de aprendizaje que 
conforman el plan de estudios de Bachillerato General, promueve la formación integral del estudiante 
en la generación y aplicación del conocimiento como un proceso continuo de mejora en la calidad de la 
formación universitaria.
 El Modelo Educativo de la Universidad Autónoma de Nuevo León está constituido por cinco ejes rec-
tores que promueven la educación centrada en el aprendizaje, la educación basada en competencias, 
la flexibilidad curricular, la internacionalización y la innovación académica. La concreción del modelo se 
reproduce en cada nivel de estudios que la institución ofrece a través de estos ejes.
 El modelo integra los programas y proyectos académicos que están orientados a garantizar una oferta 
educativa con alto nivel de calidad y pertinencia, acorde con las necesidades de la sociedad en los ám-
bitos económico, social, político y cultural. 
 El presente texto de Matemáticas 2 es un recurso didáctico que forma parte de los materiales dispo-
nibles del área de formación básica del Plan de Estudios de Bachillerato General de Nivel Medio Superior 
de nuestra universidad. En la unidad de aprendizaje de Matemáticas 2, se abordan problemas y situa-
ciones que, mediante la aplicación de técnicas y métodos algebraicos, geométricos y trigonométricos, 
contribuyen al desarrollo de las competencias establecidas para esta unidad de aprendizaje. Por lo tanto, 
las habilidades de exploración, organización, pensamiento crítico y reflexivo, y la aplicación mediante la 
modelación matemática, permitirán a los estudiantes un mejor desenvolvimiento académico.
 Estoy convencido de que la excelencia de los programas educativos que nuestra institución ofrece 
en todos sus niveles, asegura la formación de ciudadanos con la solidez académica y la capacidad para 
responder al desafío histórico de nuestra sociedad, con la visión global que amerita la época actual, con 
la firme convicción de su identidad regional y nacional, y con el compromiso para participar con respon-
sabilidad en beneficio de nuestro país.
Dr. Jesús Ancer Rodríguez
Rector 
Educación de clase mundial, un compromiso social
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4
Agradecimiento
Nuestro sincero reconocimiento a los maestros integrantes de los Comités Técnicos Académicos de la 
Dirección de Estudios de Nivel Medio Superior, quienes colaboraron como autores en las versiones pre-
vias a la presente obra.
Gracias por compartir con la comunidad educativa y cada generación de estudiantes de preparatoria, sus 
conocimientos, creatividad y experiencias al caminar juntos en este devenir de formación académica.
Antonio Montemayor Soto †
Blanca María Borghes Alonso
Fernando Javier Gómez Triana
José Luis Guerra Torres
María Elena Padilla Soto 
Miguel Ángel Torrecillas González
Roberto Sánchez Ayala
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5
Contenido
Presentación 3
Agradecimiento 4
Prefacio 7
Etapa 1. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable 9
 1.1 Ecuaciones cuadráticas con trinomios cuadrados perfectos 10
 Ecuaciones que contienen valor absoluto y ecuaciones con cuadrados 10 
 Ecuaciones con trinomios cuadrado perfectos 17
 1.2 Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas 21
 Técnica de completar el trinomio cuadrado perfecto 21
 Resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar al cuadrado 23
 La fórmula cuadrática 28
 Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización 34
 1.3 Problemas de aplicación 38
 Autoevaluación 1 41
Etapa 2. Geometría plana 47
 2.1 Conceptos elementales de geometría 48
 2.2 Ángulos y su clasificación 51
 Ángulos 51
 Clasificación de ángulos 59
 Paralelismo y perpendicularidad 72
 Ángulos entre rectas cortadas por una transversal 76
 2.3 Triángulos y su clasificación 86
 Triángulos 86
 Suma de los ángulos interiores de un triángulo 90
 Desigualdad triangular 99
 Clasificación de triángulos 102
 2.4 Teorema de Thales 105
 Teorema de Thales 105
 2.5 Semejanza y congruencia de triángulos 108
 Congruencia de triángulos 108
 Teorema de Thales 122
 Semejanza de triángulos 125
 Teorema fundamental de semejanza de triángulos 127
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6
 Criterios de semejanza de triángulos 130
 2.6 Polígonos, clasificación, elementos y propiedades 141
 Polígonos 141
 Elementos y propiedades de un polígono 143
 2.7 Cuadriláteros 155
 Cuadriláteros 155
 2.8 Áreas de regiones poligonales 182
 Áreas de regiones poligonales 182
 Circunferencia y círculo 207
 Autoevaluación 2 220
Etapa 3. Trigonometría I 231
 3.1 Funciones trigonométricas de un ángulo agudo 232
 Funciones trigonométricas de un ángulo agudo 232
 Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo 246
 3.2 Relaciones fundamentales e identidades 255
 Relaciones fundamentales e identidades 255
 Identidades para la suma y diferencia de dos ángulos,
 para ángulo doble y ángulo mitad 265
 3.3 Resolución de triángulos rectángulos y su aplicación en diferentes contextos 276
 Autoevaluación 3 284
Etapa 4. Trigonometría II 291
 4.1 Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera 292
 4.2 Triángulos oblicuángulos 308
 Ley de cosenos 308
 Área de un triángulo 313
 4.3 Triángulo oblicuángulo. Ley de los senos 316
 4.4 Los casos ambiguos 321
 4.5 Solución de triángulos oblicuángulos y su aplicación en diferentes contextos 325
 Solución de triángulos oblicuángulos 325
 Problemas del mundo real de triángulos oblicuángulos 327
 Autoevaluación 4 329
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7
Prefacio
En esta unidad de aprendizaje se estudian los temas de Geometría plana y Trigonometría, además de la ecuación 
cuadrática, que te permitirá desarrollar la parte procedimental en la solución de problemas geométricos, de resolu-
ción de triángulos, así como de sus aplicaciones.
La Geometría plana y la Trigonometría, comparten la característica de trabajar con objetos de los cuales podemos 
hacernos una representación visual, misma que nos auxilia en la comprensión conceptual y en la resoluciónde 
problemas. Las formas son creaciones de la naturaleza: la forma de la Tierra, la línea del horizonte, las celdas de 
los panales de las abejas, la espiral logarítmica de la concha de un Nautilus, etc., pero también son construcciones 
humanas: vías de ferrocarril, puentes, torres de alta tensión, edificios y tanto cuanto podemos percibir a nuestro 
alrededor. La Geometría estudia las formas. Nos permite verlas y conocerlas. La Trigonometría estudia al triángulo 
y todo lo que está relacionado con él.
El objetivo general de este curso será que el estudiante:
Modele y resuelva situaciones de diferentes contextos en términos de ecuaciones cuadráticas.
Reconozca en su entorno las formas que estudian la Geometría y la Trigonometría; que conozca, com-
prenda y aplique sus principios, postulados y teoremas para que sea capaz de aplicarlos en la solución de 
problemas que se le presenten en la realidad que lo circunda.
El presente libro debe servir de soporte teórico básico a los estudiantes y de auxiliar didáctico a los maestros.
Cada etapa consta de:
• Una Introducción donde se presenta el tema y se incluyen los objetivos generales de la etapa.
• El desarrollo del contenido donde se distinguen las siguientes secciones.
	Marco teórico. Definiciones, teoremas, corolarios. propiedades, reglas y técnicas procedimentales di-
versas.
	Objetivos particulares del tema, dividido éste en secciones o epígrafes.
	Ejemplos, con los que se busca clarificar las explicaciones.
	Otros ejemplos, es un apartado opcional para aquellos estudiantes que consideren necesario abundar 
más sobre el tema.
	Planteamientos o preguntas con su respectiva respuesta. Aparecen con el fin de complementar una 
explicación y/o afirmar un determinado procedimiento. Generalmente tienen la forma de pregunta, de 
tarea o de problema que se plantea para que el estudiante piense en su respuesta. Lo ideal es que el 
alumno la resuelva antes de seguir adelante, sin embargo, la solución aparece en la misma página ya 
que resulta necesaria para la continuación del estudio.
	Actividades. Son preguntas, problemas o demostraciones que se pide realizar, en donde se busca que 
el estudiante trabaje no solamente reproduciendo los procedimientos que se le han presentado en el 
texto, sino que se enfrente con una visión menos usual de la práctica matemática.
	Ejercicios. Listados más o menos extensos en donde deben aplicarse los conceptos, técnicas y proce-
dimientos de cada tema en la resolución de ejercicios y problemas.
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8
	Sugerencias de sitios de internet apropiados para consultar el tema en cuestión, con datos que com-
plementen la explicación o brinden otra forma de abordarlo.
• Autoevaluación. Al término de cada etapa aparece, con el fin de que el estudiante vaya probando su 
manejo del tema, su habilidad en la resolución de ejercicios y en la aplicación de su conocimiento en el 
abordaje y respuesta a problemas de aplicación. Al final de la misma, viene la hoja con las respuestas 
correspondientes.
El libro mantiene el punto de vista de considerar fundamental la aplicación de las matemáticas a problemas de la 
vida cotidiana, lo cual le da sentido al aprendizaje de nuestra materia.
El uso de la calculadora es fundamental para la determinación de medidas (ya sea escalares, angulares, de valores, 
de funciones, etc.) ya que las tablas de funciones han caído en desuso.
Asimismo sugerimos ampliamente la utilización de pizarrones electrónicos y otros medios tecnológicos, no sólo para 
actualizar nuestros procesos sino para facilitar y hacer más atractivo el aprendizaje.
Estamos convencidos de que el estudiante es quien construye su aprendizaje mediante actividades propicias; el 
enfoque en el aprendizaje y en el alumno hace necesario el diseño y la programación de actividades, por parte del 
maestro, de manera que éste se convierte en facilitador y guía de un proceso donde el protagonista es el alumno.
La tarea del maestro y del estudiante es trabajar de manera coordinada y responsable, con la finalidad común de 
lograr los objetivos del programa del curso.
Estamos seguros que el camino a recorrer puede ser disfrutable y será coronado por el éxito en la medida en que 
todos nos involucremos realizando el mejor de nuestros esfuerzos.
Como siempre, estamos en la mejor disposición de escuchar, atender, discutir y tomar en cuenta las observaciones 
y sugerencias de quienes buscan hacer aportaciones que mejoren las condiciones para el aprendizaje significativo 
de los estudiantes.
Por último, recordemos que debemos movernos en dos niveles: uno inmediato que se traduce en la calificación del 
estudiante y otro, menos visible pero más duradero e importante, la consecución del conocimiento, el verdadero 
aprendizaje que hace de nosotros seres mejores, más conscientes y responsables de nuestro entorno y más capa-
ces para enfrentarnos a los retos que la vida nos va presentando.
A maestros y estudiantes, les deseamos el mejor de los éxitos.
Noviembre de 2012
Comité Técnico Académico de Matemáticas
Juan Antonio Cuéllar Carvajal
Salvador Rodríguez Vértiz
David Fernández Hernández
Francisco Martín Contreras Amaya
Rodolfo Puente Rodríguez
Christian Eusebio Charles Landeros
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9
Introducción
Una vez que tienes el conocimiento de las ecuaciones lineales, estás preparado para introducirte al 
estudio de las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. Éstas, son ecuaciones de la forma ax2 + bx 
+ c = 0, donde x es la variable, a, b, y c son constantes, a ≠ 0. Una vez que aprendas cómo solucionar 
ecuaciones cuadráticas puedes aplicar esas técnicas para resolver situaciones de tu entorno que puedan 
ser modeladas mediante este tipo de ecuaciones, como es el caso de los problemas planteados en la 
portada del presente capítulo, o muchos más.
1. Resolver ecuaciones con valor absoluto.
2. Resolver ecuaciones cuadráticas por los siguientes métodos:
• Factorización.
• Completar el cuadrado.
• Aplicando la fórmula general.
3. Expresar situaciones de la vida cotidiana en términos de ecuaciones cuadráticas y 
resolverlas.
Objetivos generales
Etapa
1Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
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Etapa 1
10
1.1 Ecuaciones cuadráticas con trinomios cuadrados perfectos
 Ecuaciones que contienen valor absoluto y ecuaciones 
con cuadrados
Este primer tema tiene como finalidad irnos aproximando a uno de los métodos de solución de ecua-
ciones cuadráticas: el de completar un trinomio cuadrado perfecto. Dada su complejidad se decidió 
presentar dicho método por las etapas de que está compuesto. 
El valor absoluto de un número es la distancia entre ese número y el origen de la recta numérica.
Esto es:
–n es positivo si n es negativo.
Nota
–7 5
x
����������������
|–7| = 7 |5| = 5
El valor absoluto de un número n, representado como |n| se define como:
Definición
1
2
3
|n| =
	 −	n si n es positivo o cero (n ≥ 0).
 n si n es negativo (n < 0).
• Encontrar el conjunto solución de:
a) Una ecuación que involucre el valor absoluto de una expresión con variable.
b) Ecuaciones del tipo (x + a)2 = b2 en la cual el cuadrado de un binomio es igual a 
una constante.
Objetivo
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Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
11
Un número positivo como el 9, es el valor absoluto de dos diferentes números, el 9 y el –9.
|–9| = 9 = |+9| esto es, la distancia entre –9 y el origen es el mismo que del 9 al origen.
Si tenemos la ecuación |x| = 9 significa que la x puede tomar dos valores: x = 9 o x = – 9, esto es, que la 
ecuación tiene dos soluciones, 9 y –9. El conjunto solución de |x| = 9, es S = {9, –9}.
Veamos cómo se pueden resolver ecuaciones de este tipo:
Ejemplo
 Encontrar el conjunto solución de la ecuación |x – 3|= 5.
 Procedimiento
|x – 3| = 5 Escribe la ecuación dada.
x – 3 =5 ó x – 3 = – 5 La expresión x – 3 necesariamente tiene el valor de 5 o –5.
x = 5 + 3 ó x = – 5 + 3 Tenemos dos ecuaciones sumando 3 a cada miembro en cada una 
de ellas.
 Solución
x = 8, x = –2 Efectuando las operaciones.
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Etapa 1
12
Propiedad de la igualdad de la raíz cuadrada
Si dos números positivos son iguales, entonces sus raíces cuadradas positivas son iguales.
Así que si a = b, entonces a b=
Cuando se tiene 25
25 5
7
7 49 7
7 7 7
3
2
2
2
2
=
−( )
−( ) = =
−( ) = − =
( )
−
Número
x(( ) =
( ) =
2
2
25
Número número
la solución es 5 y –5 por la definición de raíz cuadrada, a saber, 25
25 5
7
7 49 7
7 7 7
3
2
2
2
2
=
−( )
−( ) = =
−( ) = − =
( )
−
Número
x(( ) =
( ) =
2
2
25
Número número
 = 5 ya que 
52 = 25 y –5, ya que (–5)2 = 2; en general vamos a tomar 25
25 5
7
7 49 7
7 7 7
3
2
2
2
2
=
−( )
−( ) = =
−( ) = − =
( )
−
Número
x(( ) =
( ) =
2
2
25
Número número
= 5 ya que es su raíz principal. 
Veamos la siguiente operación: 
25
25 5
7
7 49 7
7 7 7
3
2
2
2
2
=
−( )
−( ) = =
−( ) = − =
( )
−
Número
x(( ) =
( ) =
2
2
25
Número número
25
25 5
7
7 49 7
7 7 7
3
2
2
2
2
=
−( )
−( ) = =
−( ) = − =
( )
−
Número
x(( ) =
( ) =
2
2
25
Número número
 (raíz principal).
Es equivalente a tener:
25
25 5
7
7 49 7
7 7 7
3
2
2
2
2
=
−( )
−( ) = =
−( ) = − =
( )
−
Número
x(( ) =
( ) =
2
2
25
Número número
Por lo tanto:
Conclusión 
 La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es:
 
25
25 5
7
7 49 7
7 7 7
3
2
2
2
2
=
−( )
−( ) = =
−( ) = − =
( )
−
Número
x(( ) =
( ) =
2
2
25
Número número
= |número|
Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
 Encontrar el conjunto solución de la ecuación (x – 3)2 = 25 sin necesidad de desarrollar el binomio al 
cuadrado del miembro izquierdo.
 Procedimiento
(x – 3)2 = 25 Escribe la ecuación dada.
25
25 5
7
7 49 7
7 7 7
3
2
2
2
2
=
−( )
−( ) = =
−( ) = − =
( )
−
Número
x(( ) =
( ) =
2
2
25
Número número
 Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros.
La expresión (x + 1)2 = 4, tendría:
a) Una solución.
b) Dos soluciones.
c ) Ninguna solución.
d) No puede saberse. 
Repaso 
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Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
13
|x – 3| = 5 ya que 
25
25 5
7
7 49 7
7 7 7
3
2
2
2
2
=
−( )
−( ) = =
−( ) = − =
( )
−
Número
x(( ) =
( ) =
2
2
25
Número número
x – 3 = 65 Definición de valor absoluto.
x = 3 65 Sumando 3 a ambos lados.
 Solución
S = {8, –2}
Ejemplo
 Encuentra el conjunto solución de: |3x – 2|= 32.
 Procedimiento
|3x – 2| = 32 Escribe la ecuación dada.
3x – 2 = 632 La expresión 3x –2 necesariamente debe ser igual a 32 o –32.
3x = 632 + 2 Sumando 2 a ambos lados.
x x
S
= =
−
= −






34
3
30
3
34
3
10,
 Dividiendo todo entre 3. 
 Solución
x x
S
= =
−
= −






34
3
30
3
34
3
10,
Ejemplo
 Encuentra el conjunto solución de |x + 3| = – 5.
 Procedimiento
Un valor absoluto es siempre un número positivo o cero. Por lo tanto el conjunto solución en 
este caso no tiene elementos. Este es llamado conjunto vacío ó nulo.
Hay dos maneras de escribir el conjunto vacío:
 Solución
S = [ o S = {}
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Etapa 1
14
Ejemplo
 Encuentra el conjunto solución de 30 – |x + 5| = 17.
 Procedimiento
30 – |x + 5| = 17 Escribe la ecuación dada.
–|x + 5| = 17 – 30 Resta 30 en cada miembro. 
–|x + 5| = –13 Multiplica cada miembro por –1. 
|x + 5| = 13 (de ahora en adelante el problema es exactamente al anterior).
x + 5 = 613 La expresión dentro del valor absoluto debe ser 13 o –13.
x = –5 613 Agrega 5 a cada miembro.
x = 8 o x = –18 Efectúa las operaciones.
 Solución
S = {18, –8}
Ejemplo
 Resuelve (x –2)2 = 49.
 Procedimiento
(x –2)2 = 49 Escribe la ecuación dada.
x −( ) =
( ) = =
2 49
47 7
2
2
número número
 Toma la raíz positiva de cada miembro.
|x – 2| = 7 
x −( ) =
( ) = =
2 49
47 7
2
2
número número
x – 2 = 67 Definición de valor absoluto.
x = 2 67 Agrega 2 a cada miembro.
x = 9 o –5 Efectúa las operaciones 
 Solución
S = {9, –5}
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Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
15
Otros ejemplos
Ejemplo
 Resuelve (3x + 2)2 = – 25.
 Procedimiento
(3x + 2)2 = –25 Escribe la ecuación dada. 
 Esta ecuación no tiene solución ya que el cuadrado de todo número 
real es no negativo. 
 Solución
S = [
Ejemplo
 Resuelve (0.2x + 1.3)2 = 14.2
 Procedimiento
(0.2x + 1.3)2 = 14.2 Escribe la ecuación.
0 2 1 3 14 2
14 2
1 3 14 2
0 2
2
. . .
.
. .
.
x
x
+( ) =
=
− ±
 Toma la raíz cuadrada de cada miembro.
|0.2x + 1.3| = 
0 2 1 3 14 2
14 2
1 3 14 2
0 2
2
. . .
.
. .
.
x
x
+( ) =
=
− ±
 Aplicando n n2 =
0.2x + 1.3= 6
0 2 1 3 14 2
14 2
1 3 14 2
0 2
2
. . .
.
. .
.
x
x
+( ) =
=
− ±
 Definición de valor absoluto.
0.2x =–1.3 6
0 2 1 3 14 2
14 2
1 3 14 2
0 2
2
. . .
.
. .
.
x
x
+( ) =
=
− ±
 Agrega –1.3 a cada miembro.
0 2 1 3 14 2
14 2
1 3 14 2
0 2
2
. . .
.
. .
.
x
x
+( ) =
=
− ± Divide cada miembro por 0.2
x = 12.34 ó –25.34 Realiza la operación aritmética.
 Solución 
 S = {12.34 – 25.34}
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Etapa 1
16
Práctica mental
Para los siguientes problemas proporciona el resultado después del primer paso en la solución de 
la ecuación.
Ejemplos Respuesta
|x – 7| =13 x – 7 = 613
(x + 5)2 = 81 |x + 5| = 9
a) |x – 9| =15 b) |x + 1| = 9 c) 5x + 2 = 6
d) |8 – 2x| = 18 e) |x + 4| = 3 f ) (x + 9)2 = 121
g) (x – 4)2 = 0 h) (x + 12)2 = 4 i ) (x + 8)2 = 53.6 
j ) (0.5x + 6.4)2 = 3.5 k) (x + 6)2 = 23 l ) (2x – 8)2 = 49 
1. Encuentra el conjunto solución de cada una de las ecuaciones siguientes. 
 a) |x| = 21 b) |x| = – 53
 c) |x| = 925 d) |x| = 321
 e) |x – 3| = 20 f) |x + 4| = 34
 g) |x – 6| = 5 h) |x – 9| = 11
 i) |x – 9| = 12 j) |x + 7| = –12
 k) |6 – x| = 54 l) |6 – x| = 29
 m) |3x – 6| = 12 n) |6x – 3| = 33
 ñ) |x – 9| = 0 o) |9x + 20| = 38
2. Para los problemas del 17 al 28 resuelve la ecuación. Necesitas hacer una transformación 
preliminar antes de quitar los signos de valor absoluto.
 a) |x| – 6 = 14 b) |x| – 11 = 26
 c) 42 – |x| = 15 d) 25 – |x| = 24
 e) |3x + 4|– 6 = 28 f) |3x + 9|–9 = 40
 g) 7– |x – 2| = –11 h) 6 – |x – 4| = 3
 i) (x – 9)2 = 9 j) (x + 6)2 = 121
 k) (x + 1)2 = 56 l) (x + 3)2 = 81
Ejercicio
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 16 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
17
Actividad 
 Ecuaciones con trinomios cuadrados perfectos
Evalúa los siguientes radicales.
a) b) c) 
d) e) f )
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− =
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− =
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− =
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− =
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− =
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− =
• Resolver ecuaciones en las cuales el miembro izquierdo es un trinomio cuadrado 
perfecto.
Objetivo
Este capítulo está relacionado con la solución de ciertas ecuaciones cuadráticas como: 
x2 –12x + 36 = 50 
cuyo miembro izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto. 
Debes recordar cómo transformar x2 – 12x + 36 en un binomio al cuadrado, pues este hecho nos 
ayudará a resolver la ecuación. 
Dado que: x2– 12x + 36 = (x – 6)2, 
la ecuación puede escribirse como: 
(x – 6)2 = 50
De aquí en adelante será un problema semejante a los ejemplos anteriores.
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− =Toma la raíz cuadrada de cada miembro.
|x – 6| = 
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− = Aplicando la propiedad 
( )
=
+ =
n n
x
50
2 93
93
2
2
x – 6 =6 
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− = Definición de valor absoluto.
x = 66 
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− = Agrega 6 a cada miembro.
S = {6 + 
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− = , 6 – 
n
x
x
4
3
1
9
6 50
2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
− = } Escribe el conjunto solución.
S = {7.64, –11.64} Soluciones aproximadas.
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 17 14/11/12 14:16
Etapa 1
18
Repaso 
Ejemplo
 Resuelve x2 + 4x + 4 = 93.
 Procedimiento
x2 + 4x + 4 = 93 Escribe la ecuación dada.
(x + 2)2 = 93 Factoriza el miembro izquierdo de la ecuación: la mitad de 4 es 2, 
y 22 es 4, por lo tanto el miembro del lado izquierdo es un trinomio 
perfecto.
( )
=
+ =
n n
x
50
2 93
93
2
2
 Toma la raíz cuadrada de cada miembro.
|x + 2| = 
( )
=
+ =
n n
x
50
2 93
93
2
2
 Aplicando la propiedad 
( )
=
+ =
n n
x
50
2 93
93
2
2
x + 2 = 6 
( )
=
+ =
n n
x
50
2 93
93
2
2
 Definición de valor absoluto.
x = –2 6 
( )
=
+ =
n n
x
50
2 93
93
2
2
 Agrega –2 a cada miembro. 
 Solución
S = {–2 + 
( )
=
+ =
n n
x
50
2 93
93
2
2
, –2 –
( )
=
+ =
n n
x
50
2 93
93
2
2
}
Es mejor no usar calculadora hasta que llegues al paso x = ..., Puedes verificar la re-
spuesta antes de borrar el resultado en la calculadora., sólo almacena las respuestas; 
por ejemplo, guarda –11.64... en la memoria y llámala cuando la necesites para la 
verificación.
Nota
Verifica:
(–11.64...)2 + 4(–11.64) + 4 = 93 Sustituye x por –11.64
93 = 93 Evalúa la expresión. (Las operaciones con la calculadora 
pueden mostrar un número ligeramente diferente de 93).
Verifica tú la otra solución.
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 18 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
19
Ejemplo
 Resuelve x2– 4.6x + 5.29 = 6.2.
 Procedimiento
x2 – 4.6x + 5.29 = 6.2 Escribe la ecuación dada.
(x – 2.3)2 = 6.2 12 (–4.6) es –2.3 y (–2.3)
2 es 5.29. Por lo tanto el miembro del lado 
izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto.
x
n n
−( ) =
=
2 3 6 2
6 2
2
2
. .
.
 Toma la raíz cuadrada de cada miembro.
|x – 2.3| = 
x
n n
−( ) =
=
2 3 6 2
6 2
2
2
. .
. Aplica la propiedad 
( )
=
+ =
n n
x
50
2 93
93
2
2
x – 2.3 = 6
x
n n
−( ) =
=
2 3 6 2
6 2
2
2
. .
. Definición de valor absoluto.
x = 2.3 6
x
n n
−( ) =
=
2 3 6 2
6 2
2
2
. .
. Agrega 2.3 a cada miembro.
 Solución
S = {2.3 – 
x
n n
−( ) =
=
2 3 6 2
6 2
2
2
. .
. , 2.3 – 
x
n n
−( ) =
=
2 3 6 2
6 2
2
2
. .
. } ó S = {4.79, –0.19}
Verificación de (4.79)
(4.79...)2 –4.6(4.79...)+ 5.29 = 6.2 Sustituye 4.79... por x.
6.2 = 6.2 
Práctica mental
Factoriza el miembro izquierdo de cada ecuación.
Ejemplos Respuesta
x2 – 10 + 25 = 41 (x – 5)2 = 41
a) x2 –12x + 36 = 21 b) x2 + 16x + 64 = 25
c) x2 – 4x + 4 = 12 d) x2 + 10x + 25 = 17
e) x2 + 18x + 81 = 42 f ) x2 – 6x + 9 = 0
g) x2 + 9x + 20.25 = 19 h) x2 – 11 + 30.25 = 0 
i ) x2 – 4.2x + 4.41 = 3.5 j ) x2 + 8.6x + 18.49 = 5
Repaso 
Verifica tú la otra solución.
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 19 14/11/12 14:16
Etapa 1
20
Repaso 
1. Para resolver cada una de las siguientes ecuaciones reescribe el miembro izquierdo como el 
cuadrado de un binomio. Cuando la solución no sea exacta aproxima a dos décimas.
 a) x2 + 124x + 49 = 1 000 b) x2 + 12x + 36 =169
 c) x2 + 2x + 1 = 90 d) x2 + 10x + 25 =16
 e) x2 + 6x + 9 = 23 f) x2 + 16x + 64 = 54
 g) x2 – 22x + 121 = 90 h) x2 + 24x + 144 = 29
 i) x2 – 18x – 81 = 2 526 j) x2 – 6x + 9 = 62.7
 2. Resuelve las ecuaciones siguientes como en la sección anterior.
 a) |x – 9| = 25 b) |x – 12| = 82
 c) (x + 26)2 = 256 d) |x – 0.06| = 0.09
 e) |4x + 2| = 12 f) |9x – 5| = 62
 g) (x + 5)2 = 121 h) (x + 2)2 = 16
 i) (x – 0.07)2 = 0.09 j) (x – 10)2 = 500
3. En los ejercicios del 21 al 28 utiliza el principio de que la raíz cuadrada de un cociente es 
igual el cociente de las raíces cuadradas, esto es xy = 
x
y .
 a) b) 
 c) d) 
 e) f) 
 g) h) 
Ejercicio
x
y
x
y
x x
x x
x x
=
+ + =
− + =
− +
2
2
2
2
7
1
49
16
49
4
3
4
9
1
9
10
9
25
811
4
81
5
3
25
36
16
36
7
3
49
36
1
36
11
4
2
2
2
=
+ + =
+ + =
−
x x
x x
x xx
x x
+ =
− + =
121
64
144
64
12
5
144
100
36
100
1
2
2
x
y
x
y
x x
x x
x x
=
+ + =
− + =
− +
2
2
2
2
7
1
49
16
49
4
3
4
9
1
9
10
9
25
811
4
81
5
3
25
36
16
36
7
3
49
36
1
36
11
4
2
2
2
=
+ + =
+ + =
−
x x
x x
x xx
x x
+ =
− + =
121
64
144
64
12
5
144
100
36
100
1
2
2
x
y
x
y
x x
x x
x x
=
+ + =
− + =
− +
2
2
2
2
7
1
49
16
49
4
3
4
9
1
9
10
9
25
811
4
81
5
3
25
36
16
36
7
3
49
36
1
36
11
4
2
2
2
=
+ + =
+ + =
−
x x
x x
x xx
x x
+ =
− + =
121
64
144
64
12
5
144
100
36
100
1
2
2
x
y
x
y
x x
x x
x x
=
+ + =
− + =
− +
2
2
2
2
7
1
49
16
49
4
3
4
9
1
9
10
9
25
811
4
81
5
3
25
36
16
36
7
3
49
36
1
36
11
4
2
2
2
=
+ + =
+ + =
−
x x
x x
x xx
x x
+ =
− + =
121
64
144
64
12
5
144
100
36
100
1
2
2
x
y
x
y
x x
x x
x x
=
+ + =
− + =
− +
2
2
2
2
7
1
49
16
49
4
3
4
9
1
9
10
9
25
811
4
81
5
3
25
36
16
36
7
3
49
36
1
36
11
4
2
2
2
=
+ + =
+ + =
−
x x
x x
x xx
x x
+ =
− + =
121
64
144
64
12
5
144
100
36
100
1
2
2
x
y
x
y
x x
x x
x x
=
+ + =
− + =
− +
2
2
2
2
7
1
49
16
49
4
3
4
9
1
9
10
9
25
811
4
81
5
3
25
36
16
36
7
3
49
36
1
36
11
4
2
2
2
=
+ + =
+ + =
−
x x
x x
x xx
x x
+ =
− + =
121
64
144
64
12
5
144
100
36
100
1
2
2
x
y
x
y
x x
x x
x x
=
+ + =
− + =
− +
2
2
2
2
7
1
49
16
49
4
3
4
9
1
9
10
9
25
811
4
81
5
3
25
36
16
36
7
3
49
36
1
36
11
4
2
2
2
=
+ + =
+ + =
−
x x
x x
x xx
x x
+ =
− + =
121
64
144
64
12
5
144
100
36
100
1
2
2
x x2
2
5
1
25
9
25
+ + =
Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos:
 a) x x
x x
2
2
2
5
1
25
12
5
36
25
+ +
− +
 b) 
x x
x x
2
2
2
5
1
25
12
5
36
25
+ +
− +
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 20 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
21
1.2 Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas
Técnica de completar el trinomio cuadrado perfecto
• Transformar expresiones cuadráticas de dos términos en trinomios cuadrados perfectos.
Objetivo
Anteriormente aprendiste a desarrollar el cuadrado de un binomio, por ejemplo (3x +1)2 = 9x2 + 6x + 1. 
Si conoces este modelo, puedes invertir el proceso y factorizar: a2 – 4a + 4 = (a – 2)2. 
Ahora trataremos de aplicar este conocimiento en encontrar el término constante necesario para obtener, 
en un momento dado, un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo, ¿qué número puedes agregar a una 
expresión como x2 + 8x, para obtener un trinomio cuadrado perfecto?
El proceso es como sigue:
1. Escribe x2 + 8x + ?
 (x + )2
2. Llena el espacio en blanco en el binomio recordando la fórmula del binomio al cuadrado.
x2 + 8x + ?
Como 8x debe ser el doble de x multiplicado por algún número, ese número debe ser 4:
x2 + 8x + ?
(x + 4)2
3. Completa el trinomio con el 16.
x2 + 8x + 16
(x + 4)2
El proceso de agregar 16 a x2 + 8x es llamado completando el trinomio cuadrado perfecto, o simplemente 
completar el cuadrado. Una vez visto el modelo es fácil hacerlo mentalmente. La técnica es dada después 
de la actividad planteada a continuación.
Actividad 
Completa las siguientes expresiones escribiendo en el espacio en blanco el término apropiado para 
que las expresiones puedan factorizarse como binomio al cuadrado.
1. x2 – 20x + 2. x2 ++ 25 3. x2 – + 121
4. 4x2 + + 49 5. x2 – 16x + 6. 9x2 – 6x +
7. x2 – 10x + 8. 25x2 – + 4 9. x2 – 24x +
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 21 14/11/12 14:16
Etapa 1
22
Completar el trinomio cuadrado perfecto
Si el coeficiente de x2 es igual a 1 (como en x2 + 8x), entonces para completar el cuadrado, realizar lo 
siguiente:
1. Toma la mitad del coeficiente del término lineal, esto es ( 12 de 8, o sea 4, en este caso).
2. Elévalo al cuadrado (42 es igual a 16, en este caso).
3. Agrega el resultado al problema original (x2 + 8x + 16).
Completa el trinomio cuadrado perfecto en cada uno de los siguientes casos:
a) x2 + 10x 12 de 10 es 5, y 5
2 es 25 (no escribas un signo de igualdad (=), 
puesto que la expresión dada no igual a la respuesta).
x2 + 10x + 25 Luego sumamos 25.
b) x2 – 12x 12 de (–12) es –6, y (–6)
 2 es 36. 
x2 – 12x + 36 Luego sumamos 36.
c) x2 – 9x 12 de 9 es 4.5 y 4.5
2 es 20.25. 
x2 – 9x + 20.25 Luego sumamos 20.25
d) x2 – 3.5x 12 de –3.5 es –1.75, y (–1.75)
 2 es 3.0625.
x2 – 3.5x + 3.0625 Luego sumamos 3.0625
Práctica mental
Eleva al cuadrado cada binomio.
 a) (x + 3) 2 b) (x + 2) 2
 c) (x – 6) 2 d) (x – 2)2
 e) (x + 8)2 f) (x + 7) 2
En cada caso, agrega una constante para completar un trinomio cuadrado perfecto.
 a) x2 + 12x... b) x2 + 18x... 
 c) x2 – 8x... d) x2 – 22x... 
 e) x2 + 14x... f) x2 + 7x... 
 g) x2 + 26x... h) x2 – 100x...
 i) x2 – 15x... j) x2 – 9x... 
 k) x2 – 20x l) x2 + x... 
 m) x2 – 17x... n) x2 – 11x...
 ñ) x2 + 2.4x... o) x2 – 4.2x... 
 p) x2 + 3.1x... q) x2 + 5.3x...
 r) x2 + 0.5x... s) x2 + 0.9x...
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 22 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
23
 Resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar 
al cuadrado
• Aplicar la técnica de completar cuadrados en la resolución de ecuaciones cuadráticas.
Objetivo
Una vez entendido el proceso de completar al cuadrado, puedes usar la técnica para resolver ecuaciones 
cuadráticas.
Ejemplo
Resuelve x2 – 12x + 9 = 0, por el método de completar el cuadrado.
 Procedimiento
x2 – 12x + 9 = 0 Escribe la ecuación dada.
x2 – 12x = –9 Agrega –9 a cada miembro, dejando un espacio en el cual se va a 
completar al cuadrado.
1. En la ecuación x2 + 14x + 21 = 33 el miembro izquierdo no es un trinomio cuadrado perfecto. 
Ahora que ya sabes cómo completar el cuadrado y has resuelto una gran cantidad de ecuacio-
nes en las secciones previas, serás capaz de imaginarte una forma para resolver esta ecuación.
 (Si no estás seguro del camino seguido o no has podido hacerlo tú sólo, puedes continuar 
la lectura, que la técnica se te da a continuación.)
 a) Primero sustrae 21 de cada miembro.
 b) Luego determina qué número se debe agregar a x2 + 14x para completar el cuadrado. 
 c) Agrega este número a cada miembro de la ecuación.
 d) Resuelve ésta en la forma que aprendiste en la sección anterior.
2. En la ecuación x2 + 8x + 12 = 5, el miembro izquierdo no es trinomio cuadrado perfecto, de-
bido a que el término constante 12, no es cuadrado exacto.
 a) ¿Cuál deberá ser el término constante para que el miembro izquierdo fuera un trinomio cua-
drado perfecto?
 b) Agrega un número a cada miembro de la ecuación para hacer el miembro izquierdo un tri-
nomio cuadrado perfecto.
 c) Resuelve la ecuación.
Actividad
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 23 14/11/12 14:16
Etapa 1
24
x2 – 12x + 36 = –9 + 36 Agrega 36 a cada miembro de la ecuación para completar al cua-
drado en el miembro izquierdo.
(x – 6) 2 = 27 Escribe el miembro izquierdo como un binomio al cuadrado; (–6 es 
la mitad de –12). Reduce términos en el lado derecho.
A partir de aquí, el problema es como los de secciones anteriores.
x
x x
−( ) =
+ +
=
6 27
27
2 12 10
2
0
2
2
2
número
 Indica la raíz cuadrada de cada miembro.
|x – 6| = 
x
x x
−( ) =
+ +
=
6 27
27
2 12 10
2
0
2
2
2
número
 Ya que 
x
x x
−( ) =
+ +
=
6 27
27
2 12 10
2
0
2
2
2
número = |número|.
x – 6 = 6
x
x x
−( ) =
+ +
=
6 27
27
2 12 10
2
0
2
2
2
número
 Definición de valor absoluto.
x = 6 6
x
x x
−( ) =
+ +
=
6 27
27
2 12 10
2
0
2
2
2
número
 Agrega 6 a cada miembro y emplea la calculadora para obtener que 
x
x x
−( ) =
+ +
=
6 27
27
2 12 10
2
0
2
2
2
número
≈ 5.2.
 Solución
{6 + 
x
x x
−( ) =
+ +
=
6 27
27
2 12 10
2
0
2
2
2
número
, 6 – 
x
x x
−( ) =
+ +
=
6 27
27
2 12 10
2
0
2
2
2
número
}
La comprobación corre por tu cuenta.
Nota
El método anterior para completar el cuadrado se aplica sólo si el coeficiente de x2 es igual a 1. ¿Y si no 
lo es?
Para resolver una ecuación como: 
2x2 + 12x + 10 = 0 
hay que reducir la ecuación al caso previo, esto es, a tener x2 con coeficiente 1, para lo cual simplemente 
divide cada miembro por 2, obteniendo:
x
x x
−( ) =
+ +
=
6 27
27
2 12 10
2
0
2
2
2
número
En el lado izquierdo, la división se distribuye sobre la adición. En el lado derecho 
0
2 es 0. Así la ecuación 
llega a ser:
x2 + 6x + 5 = 0,
la cual se trabaja como en los casos anteriores.
Desde aquí resolverás las ecuaciones como en el ejemplo 1. 
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 24 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
25
Ejemplo
 Resuelve 2x2 + 10x – 9 = 0, completando el cuadrado.
 Procedimiento
2x2 + 10x – 9 = 0 Escribe la ecuación dada.
x2 + 5x – 4.5 = 0 Divide cada miembro por 2.
x2 + 5x = 4.5 Agrega 4.5 a cada miembro.
x2 + 5x + 6.25 = 4.5 + 6.25 Completa el cuadrado.
(x + 2.5)2 = 10.75 Escribe el miembro izquierdo como el cuadrado de un binomio.
x – 2.5 = 6 10 75
10 75 3 28
2 2 5 10 75 10 2 5 10 75
2
.
. . .
. . . .
≈
− −( ) + − −(( ) −
= + +( ) − − −
=
9
2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9
12
. . . .
.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9
34 10 10 75 10 1
+ + − − −
= + −
. . .
. 00 75 34
0
2 5 10 75 5 78
.
. . .
−
=
− − ≈ −
 Obtén la raíz cuadrada de cada miembro.
x = – 2.5 6 10 75
10 75 3 28
2 2 5 10 75 10 2 5 10 75
2
.
. . .
. . . .
≈
− −( ) + − −(( ) −
= + +( ) − − −
=
9
2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9
12
. . . .
.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9
34 10 10 75 10 1
+ + − − −
= + −
. . .
. 00 75 34
0
2 5 10 75 5 78
.
. . .
−
=
− − ≈ −
 Agrega –2.5 a cada miembro y emplea la calculadora para obtener 
que 
10 75
10 75 3 28
2 2 5 10 75 10 2 5 10 75
2
.
. . .
. . . .
≈
− −( ) + − −(( ) −
= + +( ) − − −
=
9
2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9
12
. . . .
.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9
34 10 10 75 10 1
+ + − − −
= + −
. . .
. 00 75 34
0
2 5 10 75 5 78
.
. . .
−
=
− − ≈ −
 Solución
S = {–2.5 + 10 75
10 75 3 28
2 2 5 10 75 10 2 5 10 75
2
.
. . .
. . . .
≈
− −( ) + − −(( ) −
= + +( ) − − −
=
9
2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9
12
. . . .
.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9
34 10 10 75 10 1
+ + − − −
= + −
. . .
. 00 75 34
0
2 5 10 75 5 78
.
. . .
−
=
− − ≈ −
, – 2.5 – 10 75
10 75 3 28
2 2 5 10 75 10 2 5 10 75
2
.
. . .
. . . .
≈
− −( ) + − −(( ) −
= + +( ) − − −
=
9
2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9
12
. . . .
.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9
34 10 10 75 10 1
+ + − − −
= + −
. . .
. 00 75 34
0
2 5 10 75 5 78
.
. . .
−
=
− − ≈ −
}
Verificación de una de las soluciones. Sustituimos –2.5 – 10 75
10 75 3 28
2 2 5 10 75 10 2 5 10 75
2
.
. . .
. . . .
≈
− −( ) + − −(( ) −
= + +( ) − − −
=
9
2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9
12
. . . .
.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9
34 10 10 75 10 1
+ + − − −
= + −
. . .
. 00 75 34
0
2 5 10 75 5 78
.
. . .
−
=
− − ≈ −
 en la expresión 2x
2 + 10x –9, lo 
cual debe darnos cero:
10 75
10 75 3 28
2 2 5 10 75 10 2 5 10 75
2
.
. . .
. . . .
≈
− −( ) + − −(( ) −
= + +( ) − − −
=
9
2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9
12
. . . .
.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9
34 10 10 75 10 1
+ + − − −
= + −
. . .
. 00 75 34
0
2 5 10 75 5 78
.
. . .
−
=
− − ≈ −
Concluimos que 
10 75
10 75 3 28
2 2 5 10 75 10 2 5 10 75
2.
. . .
. . . .
≈
− −( ) + − −(( ) −
= + +( ) − − −
=
9
2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9
12
. . . .
.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9
34 10 10 75 10 1
+ + − − −
= + −
. . .
. 00 75 34
0
2 5 10 75 5 78
.
. . .
−
=
− − ≈ − es una solución de la ecuación 2x2 + 10x – 9 = 0. 
Ahora tú verifica la otra solución.
Resuelve este ejercicio que ha quedado incompleto, después de ver el ejemplo siguiente:
Repaso 
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 25 14/11/12 14:16
Etapa 1
26
 Práctica mental
Para los problemas siguientes, proporciona el número que debe ser sumado para completar un tri-
nomio cuadrado perfecto.
a) x2 + 18x… b) x2 – 22x…
c) x2 + 6x… d) x2 – 18x…
e) x2 – 3x… f ) x2 + 5x…
g) x2 –13x… h) x2 – 11x…
1. Resuelve cada ecuación completando el cuadrado. Escribe las respuestas que no sean exactas, 
redondeando a dos decimales.
 a) x2 + 6x + 7 = 0 b) x2 – 6x + 1 = 0
 c) x2 + 4x + 6 = 0 d) x2 + 10x + 23 = 0
 e) x2 – 18x + 10 = 0 f) x2 – 8x – 25 = 0
 g) x2 – 2x – 3 = 0 h) x2 – 22x – 14 = 0
2. Utiliza el método que estamos estudiando. Algunos ejercicios tienen decimales en la ecuación, 
redondea la solución a un decimal.
 a) x2 + 24x – 1.6 = 0 b) x2 + 8x – 6.5 = 0
 c) x2 – 2x – 22.4 = 0 d) x2 – 10x – 17.5 = 0
 e) x2 + 6x + 17x = 0 f) x2 – 4x + 25 = 0
 g) x2 + 20x = 0 h) x2 – 10x = 0
3. Completa el cuadrado para resolver las siguientes ecuaciones, en las que el coeficiente del tér-
mino lineal no es un número entero par.
 a) x2 + 3x + 1 = 0 b) x2 + 2.4x – 5 = 0
 c) x2 – 9x – 6 = 0 d) x2 – 7x + 18 = 0
 e) x2 – 5x – 18 = 0 f) x2 – x + 1 = 0
 g) x2 – 13x + 40 = 0 h) x2 + 6.4x – 7 = 0
4. Los siguientes casos requieren varias transformaciones antes de proceder a completar el 
cuadrado. 
a) x2 = – 9x + 8 b) 4.6x = 4 – x2
 c) 9x2 + 10 = 12x d) –6x2 + 18x + 29 = 0
 e) x2 + 0.7 = 2.4x f) 0.6x2 + 2.3x – 20 = 0
 g) 3x2 + 10x + 7 = 2 h) 0.4x2 + 1.5x – 1.3 = 0
Ejercicio
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 26 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
27
Lee con cuidado la explicación que se te da a continuación para que posteriormente puedas con-
testar la actividad planteada.
La frase completando el cuadrado puede ser ilustrada con el concepto de área. Por ejemplo el dia-
grama muestra un cuadrado con lado x, flanqueado por dos rectángulos de dimensión 2 por x. El 
área del cuadrado sumada con la de los dos rectángulos es: x2 + 2x + 2x, o sea x2 + 4x. 
Como puedes ver, el cuadrado pequeño situado a la derecha con área 2 3 2 = 4 completa el cua-
drado grande.
Repaso 
 i) x2 + 1.32 = –1.4x j) –3x2 – 10x + 4 = 0
 k) 6.2x = 32 – x2 l) x2 – 5x = – x – 8
5. Resuelve las siguientes ecuaciones a manera de repaso.
 a) |x – 6| = 36 b) |x + 11| = 9
 c) |2x – 7| = 16 d) |5x – 3| = 25
 e) (x – 5)2 = 100 f) (x –1.2)2 = 16
 g) (x + 6.9)2 = 20 g) (x + 10)2 = 1
x2
x
x
2x
Área = x2 + 2x + 2x = x2 + 4x + 4
2x
x + 2
x + 2
42
2
2
2
En base a la explicación previa, dibuja las figuras que completen el cuadrado para las siguientes 
expresiones:
a) x2 + 12x b) x2 + 20x c) x2 – 6x
Actividad
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 27 14/11/12 14:16
Etapa 1
28
La fórmula cuadrática
• Aplicar la fórmula general para resolver cualquier ecuación cuadrática.
Objetivo
Toda ecuación cuadrática en una variable puede escribirse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c 
son constantes y a ? 0.
Veamos qué sucede cuando empleamos el método de completar el cuadrado para resolver la ecuación 
cuadrática general.
Sea la ecuación cuadrática general: ax2 + bx + c = 0
1. Comenzaremos dividiendo ambos miembros por a. Obtenemos:
x
b
a
x
c
a
c
a
x
b
a
x
c
a
b
a
b
a
x
2
2
2
2
2
2
0
4 2
+ + =
−
+ = −
=




+ 22
2 4 4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
b
a
x
b
a
b
a
c
a
b ac
a
x
b
a




+ = − =
−
+




=
−
− = ±
−
−
− = ±
2 2
2
2
4
4
2
4
2
2
2
b ac
a
x
b
a
b ac
a
b
a
x
b
a
bb ac
a
2 4
2
−
2. Sumamos – c
a
 en ambos lados de la igualdad:
x
b
a
x
c
a
c
a
x
b
a
x
c
a
b
a
b
a
x
2
2
2
2
2
2
0
4 2
+ + =
−
+ = −
=




+ 22
2 4 4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
b
a
x
b
a
b
a
c
a
b ac
a
x
b
a




+ = − =
−
+




=
−
− = ±
−
−
− = ±
2 2
2
2
4
4
2
4
2
2
2
b ac
a
x
b
a
b ac
a
b
a
x
b
a
bb ac
a
2 4
2
−
3. Completamos el trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo, para lo cual nos falta el tér-
mino b
a
b
a
2
2
2
4 2
=




, tal como fue explicado en la sección anterior. Lo agregamos en ambos miembros 
y en el lado derecho se efectúa la operación indicada entre las fracciones.
x
b
a
x
c
a
c
a
x
b
a
x
c
a
b
a
b
a
x
2
2
2
2
2
2
0
4 2
+ + =
−
+ = −
=




+ 22
2 4 4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
b
a
x
b
a
b
a
c
a
b ac
a
x
b
a




+ = − =
−
+




=
−
− = ±
−
−
− = ±
2 2
2
2
4
4
2
4
2
2
2
b ac
a
x
b
a
b ac
a
b
a
x
b
a
bb ac
a
2 4
2
−
4. Se factoriza el miembro izquierdo 
x
b
a
x
c
a
c
a
x
b
a
x
c
a
b
a
b
a
x
2
2
2
2
2
2
0
4 2
+ + =
−
+ = −
=




+ 22
2 4 4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
b
a
x
b
a
b
a
c
a
b ac
a
x
b
a




+ = − =
−
+




=
−
− = ±
−
−
− = ±
2 2
2
2
4
4
2
4
2
2
2
b ac
a
x
b
a
b ac
a
b
a
x
b
a
bb ac
a
2 4
2
−
.
5. Indicamos la raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad: 
x
b
a
x
c
a
c
a
x
b
a
x
c
a
b
a
b
a
x
2
2
2
2
2
2
0
4 2
+ + =
−
+ = −
=




+ 22
2 4 4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
b
a
x
b
a
b
a
c
a
b ac
a
x
b
a




+ = − =
−
+




=
−
− = ±
−
−
− = ±
2 2
2
2
4
4
2
4
2
2
2
b ac
a
x
b
a
b ac
a
b
a
x
b
a
bb ac
a
2 4
2
−
6. Sumando – b
2a
 para despejar x, tenemos
x
b
a
x
c
a
c
a
x
b
a
x
c
a
b
a
b
a
x
2
2
2
2
2
2
0
4 2
+ + =
−
+ = −
=




+ 22
2 4 4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
b
a
x
b
a
b
a
c
a
b ac
a
x
b
a




+ = − =
−
+




=
−
− = ±
−
−
− = ±
2 2
2
2
4
4
2
4
2
2
2
b ac
a
x
b
a
b ac
a
b
a
x
b
a
bb ac
a
2 4
2
−
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 28 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
29
7. Se efectúa la suma algebraica x
b b ac
a
x
x
=
− ± −
=
− −( ) ±
=
±
=
+
=
2 4
2
121
9 11
4
9 11
4
9 11
4
20
44
5
9 11
4
2
4
1
2
1
2
=
=
−
=
−
= −x
8. Y aquí tenemos una Fórmula General que nos permitirá obtener las soluciones de cualquier ecua-
ción cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0. 
Ejemplo
 Encuentra el conjunto solución de 2x2 – 9x – 5 = 0.
 Procedimiento
En esta ecuación, a = 2 b = –9 y c = –5
b2 – 4ac = 81– 4(2)(–5) = 121; 
x
b b ac
a
x
x
=
− ± −
=
− −( ) ±
=
±
=
+
=
2 4
2
121
9 11
4
9 11
4
9 11
4
20
44
5
9 11
4
2
4
1
2
1
2
=
=
−
=
−
= −x
= 11
Luego, 
x
b b ac
a
x
x
=
− ± −
=
− −( ) ±
=
±
=
+
=
2 4
2
121
9 11
4
9 11
4
9 11
4
20
44
5
9 11
4
2
4
1
2
1
2
=
=
−
=
−
= −x
Habrá dos soluciones, dado el signo ±
x
b b ac
a
x
x
=
− ± −
=
− −( ) ±
=
±
=
+
=
2 4
2
121
9 11
4
9 11
4
9 11
4
20
44
5
9 11
4
2
4
1
2
1
2
=
=
−
=
−
= −x
x
b b ac
a
x
x
=
− ± −
=
− −( ) ±
=
±
=
+
=
2 4
2
121
9 11
4
9 11
4
9 11
4
20
44
5
9 11
4
2
4
1
2
1
2
=
=
−
=
−
= −x
 Solución
Las soluciones son x = 5 y x = – 1
2
Ejemplo
 Resolver la ecuación 4x2 + 20x + 25 = 0.
 Procedimiento
En esta ecuación, a = 4, b = 20 y c = 25
 b2 – 4ac = 400 – 400 = 0; 0
20 0
8
5
2
8 64 4 2 5
2 2
x
S
x
S
=
−( ) ±
= −






=
− ± − ( )( )
( )
=
−− + − −







8 24
4
8 24
4
24
,
= 0
Luego, 
0
20 0
8
5
2
8 64 4 2 5
2 2
x
S
x
S
=
−( ) ±
= −






=
− ± − ( )( )
( )
=
−− + − −







8 24
4
8 24
4
24
,
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 29 14/11/12 14:16
Etapa 1
30
Si admitimos que toda ecuación de 2º grado tiene dos soluciones, en este caso diremos que las dosson 
iguales a x = – 5
2
Solución
0
20 0
8
5
2
8 64 4 2 5
2 2
x
S
x
S
=
−( ) ±
= −






=
− ± − ( )( )
( )
=
−− + − −







8 24
4
8 24
4
24
,
Ejemplo
 Resuelve usando la fórmula cuadrática: 2x2 + 8x + 5 = 0.
 Procedimiento
2x2 + 8x + 5 = 0 Escribe la ecuación dada.
0
20 0
8
5
2
8 64 4 2 5
2 2
x
S
x
S
=
−( ) ±
= −






=
− ± − ( )( )
( )
=
−− + − −







8 24
4
8 24
4
24
,
 Usa la fórmula cuadrática sustituyendo los valores de a, b, c. En este 
caso: a = 2, b = 8, c = 5.
0
20 0
8
5
2
8 64 4 2 5
2 2
x
S
x
S
=
−( ) ±
= −






=
− ± − ( )( )
( )
=
−− + − −







8 24
4
8 24
4
24
, El radical es 
0
20 0
8
5
2
8 64 4 2 5
2 2
x
S
x
S
=
−( ) ±
= −






=
− ± − ( )( )
( )
=
−− + − −







8 24
4
8 24
4
24
,
, el cual es aproximadamente 4,898979486.
 Solución
S ={–0.78, –3.22} Soluciones aproximadas.
Otros ejemplos:
Ejemplo
 Resuelve (usando la fórmula cuadrática) la ecuación: 5x2 – 7x – 11 = 0.
 Procedimiento
5x2 – 7x –11 = 0 Escribe la ecuación dada.
x
x
=
− −( ) ± − ( ) −( )
( )
=
− ± − ( )( )
( )
7 49 4 5 11
2 2
5 25 4 2 2
2 2
2269
 Usa la fórmula cuadrática sustituyendo los valores de a, b, c. En 
este caso: a = 5, b = –7, c = –11.
 El radical es 
x
x
=
− −( ) ± − ( ) −( )
( )
=
− ± − ( )( )
( )
7 49 4 5 11
2 2
5 25 4 2 2
2 2
2269 , el cual es aproximadamente 16.40121947.
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 30 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
31
 Solución
S = {2.34, –0.94}
Ejemplo
 Resuelve la ecuación 2x2 + 5x + 2 = 0, usando la fórmula cuadrática. 
 Procedimiento
2x2 + 5x + 2 = 0 Escribe la ecuación dada.
x
x
=
− −( ) ± − ( ) −( )
( )
=
− ± − ( )( )
( )
7 49 4 5 11
2 2
5 25 4 2 2
2 2
2269
 Usa la fórmula cuadrática, a = 2, b = 5, c = 2.
 El radicando es 9, y como 9 es un número con raíz exacta, esto 
quiere decir que las raíces son racionales.
 Solución
S = {–0.5,–2} Efectuando las operaciones aritméticas.
Ejemplo
 Resuelve la ecuación 3x2 – x + 8 = 0, usando la fórmula cuadrática.
 Procedimiento
3x2 – x + 8 = 0 Escribe la ecuación dada.
x
x
=
− −( ) ± − ( )( )
( )
−
=
± − ( ) −( )
1 1 4 3 8
2 3
95
11 121 4 2 24
2 22( )
 Usa la fórmula cuadrática sustituyendo los valores de a, b, c. En este 
caso: a =3, b =–1, c = 8.
 El radical es 
x
x
=
− −( ) ± − ( )( )
( )
−
=
± − ( ) −( )
1 1 4 3 8
2 3
95
11 121 4 2 24
2 22( )
, el cual no es un número real. (Esto ocurre siem-
pre que b2 – 4ac es negativo).
 Solución
S = [
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 31 14/11/12 14:16
Etapa 1
32
Ejemplo
 Resuelve la ecuación (2x + 3) (x – 7) = 3, usando la fórmula cuadrática.
 Procedimiento
(2x + 3)(x – 7) = 3 Escribe la ecuación dada
2x2 – 11x – 21= 3 Multiplica los binomios.
2x2 – 11x – 24 = 0 Resta 3 a ambos miembros para que la ecuación quede de la 
forma ax2 + bx + c = 0 y pueda ser empleada la fórmula general.
x
x
=
− −( ) ± − ( )( )
( )
−
=
± − ( ) −( )
1 1 4 3 8
2 3
95
11 121 4 2 24
2 22( )
 Usa la fórmula cuadrática: a = 2, b =–11, c = –24.
 Solución
S = + −








11
4
313
4
11
4
313
4
313
, El radical 
S = + −








11
4
313
4
11
4
313
4
313
,
 es aproximadamente 17.69180601.
Práctica mental
Identifica los valores de a, b y c para utilizarlos en la fórmula cuadrática.
a) 5x2 – 3x + 2 = 0 g) x2 – 2x = 0
b) 6x2 + 4x + 10 = 0 h) –3x2 – 2x – 6 = 0
c ) x2 – x + 3 = 0 i ) x2 + x + 1 = 0
d) 9x2 – 11x –15 = 0 j ) 6x2 – 9 = 0
e) 6x2 + 3x + 2 = 0 k) –x2 – x + 1 = 0
f ) 5x2 – 3x + 2 = 0 l ) 5–3x + 7x2 = 0
1. Escribe las soluciones que no son exactas, redondeándolas a dos decimales. Verifica cada res-
puesta almacenándola en la memoria de la calculadora. Después evalúa la(s) expresión(es) en la 
ecuación usando el valor almacenado.
 a) 4x2 – 11x – 3 = 0 b) x2 + 8x + 25 = 0
 c) x2 – x – 30 = 0 d) 5x2 – 17x + 6 = 0
 e) 2x2 – 4x + 1= 0 f) x2 – 6x + 13 = 0
 g) 6x2 + 5x + 1 = 0 h) 8x2 + 10x + 1 = 0
Ejercicio
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 32 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
33
 i) 3x2 – x – 2 = 0 j) –x2 – x + 1= 0
 k) 0.5x2 + 11x + 3.5 = 0 l) 0.2x2 – 0.4x – 2.1 = 0
 m) 0.8x2 + 5x + 3.1 = 0 n) –x2 + x + 1 = 0
2. En cada uno de los siguientes casos falta un término. Para aplicar la Fórmula General, sólo debes 
considerar que el coeficiente del término faltante es igual a cero. 
 a) 3x2 + 7 = 0 puede ser escrita como 3x2 + 0x + 7 = 0; entonces a = 3, b = 0, c = 7.
 b) 8x2 – 5x = 0 puede ser rescrita como 8x2 – 5x + 0 = 0; entonces a = 8, b = –5, c = 0.
 c) 4x2 + 9 = 0 d) 2x2 + 4 = 0
 e) x2 – 2x = 0 f) 3x2 + 2x = 0
 g) 2x2 + x = 0 h) x2 + x = 0
 i) 5x2 + 1 = 0 j) 3x2 – 13 = 0
3. Transforma cada ecuación a la forma: ax2 + bx + c = 0, para que pueda ser usada la fórmula 
cuadrática.
 a) 5x2 + 2x = –3 b) x2 + 3x – 1 = x – 2x2
 c) 2x2 – 5x – 3 = 2x – 4x2 d) n(n + 2) = 35
 e) x(x + 1) = 30 f) (x + 3)2 – x = 20
 g) x2 = –2x + 2 h) (x – 2)(x – 5) = 6
 i) (x + 2)2 + 36 = 0 j) (3x + 2)(2x – 1) = 13
 k) 0.2(x – 4) = x2 –1.2 l) 0.3(3 – x) = x2 + 0.6
 m) (x + 8)2 + x = (x + 6)2 + 4 n) (x – 3)2 + 3x = (x + 1)2 –10
Has notado que algunas veces no hay soluciones reales a ciertas ecuaciones cuadráticas. Esto su-
cede cuando el número bajo el signo radical es negativo. 
De la fórmula cuadrática, sabes que este número es b2 – 4ac. 
Sin que resuelvas las siguientes ecuaciones, encuentra el valor de b2 – 4ac y usa el resultado para 
decir si la ecuación tiene o no soluciones reales. A la expresión b2 – 4ac se le llama discriminante.
a) 3x2 + 2x + 5 = 0 b) x2 + 7x – 3 = 0 c) 5x2 + x – 20 = 0
d) 2x2 – 3x + 7 = 0 e) x2 + x + 1 = 0 f ) –3x2 + x – 1 = 0
Actividad
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 33 14/11/12 14:16
Etapa 1
34
Resolucion de ecuaciones cuadráticas por factorización
• Aplicar los tipos apropiados de factorización en la resolución de ecuaciones cuadráticas.
Objetivo
Cuando el polinomio ax2 + bx + c se puede factorizar como el producto de dos factores lineales (unidad 
2), la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 puede resolverse igualando separadamente cada uno de los 
factores a cero. De esta manera la ecuación cuadrática queda expresada como dos ecuaciones lineales. 
El conjunto solución estará formado por las soluciones de dichas ecuaciones lineales.
Ejemplo
 Encontrar el conjunto solución de la ecuación x2 – x – 2 = 0.
 Procedimiento
Factorizar el miembro de la izquierda: (x – 2)(x + 1) = 0.
En esta forma, la ecuación nos señala que un producto de dos números es igual a cero. La única 
manera de que un producto pueda ser cero es que uno de los factores sea cero (o ambos). 
Entonces la ecuación (x – 2)(x + 1) = 0
puede ser escrita: x – 2 = 0 ó x + 1 = 0
Esta transformación cambia un problema difícil en dos problemas fáciles. Despejando x en cada 
una de las ecuaciones lineales resultantes, tenemos:
 x = 2 ó x = –1
 Solución
Por lo tanto, el conjunto solución es S = {2,–1}
Propiedad multiplicativa del cero
El producto de cualquier número por 0 es igual a 0. 
Recíproco de la propiedad multiplicativa del cero
Si un producto de números reales es igual a cero, entonces uno de los factores es igual a cero. Esto 
es, para todo número real n y p, si n ? p = 0, entonces n = 0 ó bien, p = 0.
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 34 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
35
Para saber si una expresión cuadrática tiene o no factorización recurrimos al discriminante b2 – 4ac. 
En la ecuación x2 – x –2 = 0, el discriminante es (–1)2 – (4)(1)(–2) = 9, que es un número cuadrado 
exacto. La expresión x2 – x – 2 puede ser factorizada como: 
 
(x – 2)(x + 1)
Prueba de discriminante para factorizar
Un trinomio cuadrático ax2 + bx + c puede ser factorizado si y solo si el discriminante b2– 4ac es un 
cuadrado perfecto.
Ejemplo
Resolver(7x – 3)(2x + 5) = 0.
Procedimiento
(7x – 3)(2x + 5) = 0 Escribir la ecuación dada.
7x – 3 = 0 2x + 5 = 0 Aplicar el recíproco de la propiedad multiplicativa del 0.
x x
S
=
−
=
−





3
7
5
2
3
7
5
2
,
 Resolviendo cada ecuación lineal.
 Solución x x
S
=
−
=
−





3
7
5
2
3
7
5
2
,
Ejemplo
 Resolver 2x2 – x – 3 = 0.
 Procedimiento
2x2 – x – 3 = 0 Escribir la ecuación dada.
(2x – 3)(x + 1) = 0 Factoriza el lado izquierdo.
1. Obtén el discriminante de la ecuación x2 – 3x –12 = 0.
2. La expresión x2 – 3x –12 ¿puede ser factorizada? ¿Hay alguna relación entre el valor del discrimi-
nante y el hecho de que una expresión cuadrática pueda factorizarse?
Repaso 
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 35 14/11/12 14:16
Etapa 1
36
2x – 3 = 0 ó x + 1= 0 Aplicar el recíproco de la propiedad multiplicativa del 0.
x x= = −
3
2
1 Resolviendo cada ecuación lineal.
 Solución
S = 3
2
1, −






Ejemplo
 Resolver 2x2 + 15x + 12 = 0.
 Procedimiento
2x2 + 15x + 12 = 0 Escribir la ecuación dada.
b2 – 4ac = 152 – 4(2)(12) = 129 Calcular el discriminante. Como 129 no es cuadrado exacto, 
decimos que la expresión no tiene factorización. Entonces: 
x
x x
S
=
− ±
( )
=
− +
=
− −
=
− +
15 129
2 2
15 129
4
15 129
4
15 12
,
99
4
15 129
4
3
10
8
3
10
,
,
x
x
S
=
− −







=
=






 Usando la fórmula cuadrática.
x
x x
S
=
− ±
( )
=
− +
=
− −
=
− +
15 129
2 2
15 129
4
15 129
4
15 12
,
99
4
15 129
4
3
10
8
3
10
,
,
x
x
S
=
− −







=
=






 Solución
x
x x
S
=
− ±
( )
=
− +
=
− −
=
− +
15 129
2 2
15 129
4
15 129
4
15 12
,
99
4
15 129
4
3
10
8
3
10
,
,
x
x
S
=
− −







=
=






Repaso 
Escribe la solución, aproximando a dos decimales el resultado de las operaciones aritméticas.
Ejemplo
 Resolver 10x2 – 83x + 24 = 0.
 Procedimiento
10x2 – 83x + 24 = 0 Escribe la ecuación dada.
(10x – 3)(x – 8)= 0 Factoriza.
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 36 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
37
x = 8 
x
x x
S
=
− ±
( )
=
− +
=
− −
=
− +
15 129
2 2
15 129
4
15 129
4
15 12
,
99
4
15 129
4
3
10
8
3
10
,
,
x
x
S
=
− −







=
=






 Resolviendo cada ecuación lineal.
 Solución
x
x x
S
=
− ±
( )
=
− +
=
− −
=
− +
15 129
2 2
15 129
4
15 129
4
15 12
,
99
4
15 129
4
3
10
8
3
10
,
,
x
x
S
=
− −







=
=






 Práctica mental
¿Las siguientes ecuaciones pueden ser resueltas factorizando? Explica.
Ejemplos Respuestas
a) 3x2 –10x – 8 = 0 a) Si; b2 – 4ac = 196 es cuadrado perfecto.
b) 5x2 – 11x + 3 = 0 b) No; b2 – 4ac = 61 no es cuadrado perfecto.
 1. x2 + 8x + 15 = 0 2. x2 – x – 6 = 0
 3. x2 + 5x + 3 = 0 4. x2 + 3x + 10 = 0
 5. x2 + 3x – 10 = 0 6. x2 + 3x + 10 = 0
 7. 2x2 + 7x + 6 = 0 8. 3x2 – 8x + 5 = 0
 9. 3x2 + 10x – 8 = 0 10. 2x2 + 5x – 10 = 0
 11. x2 + 6x + 10 = 0 12. 4x2 – 12x + 9 = 0
1. Enuncia la propiedad de multiplicación del cero. 
2. Enuncia el recíproco de la propiedad de multiplicación por cero. 
3. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. 
 a) (x – 3)(x – 7) = 0 b) (x – 9)(x – 2) = 0
 c) (7x + 8) (2x – 11) = 0 d) (4x – 7)(x + 3) = 0
 e) (x – 3)(x + 4)(x – 5) = 0 f) (11x + 17)(2x – 13) = 0
 g) (6x – 5)(x + 7)(2x – 9) = 0 h) (5x + 24)(4x + 37) = 0
 i) (x – 6)(x – 7)(x – 8)(x + 9) = 0 j) (2x – 9)(x + 8)(6x – 7) = 0
4. Resuelve por factorización si es posible. De otro modo resuelve usando la fórmula cuadrática. 
Redondea las soluciones no exactas a dos cifras decimales.
 a) x2 – x – 12 = 0 b) x2 – 3x – 10 = 0
 c) x2 + 4x – 5 = 0 d) x2 + 5x – 6 = 0
 e) 5x2 – 12x – 6 = 0 f) 12x2 – 20x + 7 = 0 
Ejercicio
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 37 14/11/12 14:16
Etapa 1
38
 g) 6x2 – 5x – 6 = 0 h) x2 + 3x – 28 = 0
 i) 16x2 – 46x + 15 = 0 j) 3x2 – 5x + 4 = 0
4. Transforma cada una de las siguientes igualdades en una ecuación cuadrática y resuélvela. 
Descarta soluciones extrañas.
 a) b) 
 c) d) 
 e) f) 
8
6
8
6
1
2
5
1
3
3
3
m m
x x
x
+
−
−
=
+
−
−
=
− 11
2
4
5
2
7
4
2
3
4
5
3
−
+
=
+
−
+
=
−
+
−
=
x
x
x x
x x
2
4
1
2
2x −
=
8
6
8
6
1
2
5
1
3
3
3
m m
x x
x
+
−
−
=
+
−
−
=
− 11
2
4
5
2
7
4
2
3
4
5
3
−
+
=
+
−
+
=
−
+
−
=
x
x
x x
x x
2
4
1
2
2x −
=
8
6
8
6
1
2
5
1
3
3
3
m m
x x
x
+
−
−
=
+
−
−
=
− 11
2
4
5
2
7
4
2
3
4
5
3
−
+
=
+
−
+
=
−
+
−
=
x
x
x x
x x
2
4
1
2
2x −
=
8
6
8
6
1
2
5
1
3
3
3
m m
x x
x
+
−
−
=
+
−
−
=
− 11
2
4
5
2
7
4
2
3
4
5
3
−
+
=
+
−
+
=
−
+
−
=
x
x
x x
x x
2
4
1
2
2x −
=
8
6
8
6
1
2
5
1
3
3
3
m m
x x
x
+
−
−
=
+
−
−
=
− 11
2
4
5
2
7
4
2
3
4
5
3
−
+
=
+
−
+
=
−
+
−
=
x
x
x x
x x
2
4
1
2
2x −
=
8
6
8
6
1
2
5
1
3
3
3
m m
x x
x
+
−
−
=
+
−
−
=
− 11
2
4
5
2
7
4
2
3
4
5
3
−
+
=
+
−
+
=
−
+
−
=
x
x
x x
x x
2
4
1
2
2x −
=
Para los problemas siguientes el miembro izquierdo se puede factorizar como producto de tres 
binomios lineales. Resuelve las ecuaciones, cada una tiene tres soluciones.
(Factoriza por agrupación).
1. x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0 2. x3 + 4x2 – 25x – 100 = 0
3. x3 – 2x2 – 9x + 18 = 0 4. x3 + 5x2 – 36x –1 80 = 0
5. 3x3 + 4x2 – 3x – 4 = 0 6. 4x3 – 24x2 – x + 6 = 0
1.3 Problemas de aplicación 
• Plantear y resolver ecuaciones cuadráticas que representen una situación cotidiana 
dada.
Objetivo
Veamos algunos ejemplos y tengamos en cuenta que las soluciones deben tener sentido en el contexto 
del problema; en caso de no ser así, la solución debe ser descartada.
Ejemplo
 La casa de la familia Martínez tiene un patio cuyo largo es el doble del ancho. Se va a adoqui-
nar una parte y a dejar otra para jardín. La parte que se va a dejar para jardín son 6 metros 
a lo largo de todo el lado poniente, como se ilustra en el dibujo. Si se necesitan 360 m2 de 
adoquín para cubrir la parte correspondiente,
a) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?
b) ¿Cuántos metros cuadrados quedan de jardín?
Actividad
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 38 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
39
 Procedimiento
Área adoquinada = 360 = x(2x – 6) = 2x2 – 6x
2x2 – 6x – 360 = 0 Se ordena la ecuación y se iguala a 0.
x2 – 3x – 180 = 0 Dividiendo la ecuación por 2.
(x –15)(x +12) = 0 Factorizando.
x = 15, x = –12 Aplicando la propiedad del 0 y resolviendo cada ecuación lineal.
 Solución
a) El terreno mide 15 metros de ancho por 30 metros de largo, esto es, 450 m2.
b) El jardín mide 6(x) = 6(15) = 90, o bien 450 m2 del terreno – 360 m2 de adoquín = 90 m2 de 
jardín.
Observa que x = –12 no puede ser solución a nuestro problema porque la longitud es una mag-
nitud positiva.
Ejemplo
 La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al producto 
de los números. Encontrar ambos números.
 Procedimiento
Primer número Segundo número
x (48 – x) Ya que la suma de ambos es 48.
Cuadrado Cuadrado Producto de los números.
x2 (48 – x)2 x(48 – x)2
x
2x 
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 39 14/11/12 14:16
Etapa 1
40
x2 – 48 (48 – x)2 – 36 = x(48 – x) La relación existente entre los números. 
x2 – 2304 –96x – x2 – 36 = 48x – x2 Efectuando operaciones. 
x2 + 48x (48 – 2 304) = 0 Reduciendo términos.
(x + 78) (x – 30) = 0 
x + 78 = 0, esto es x = – 78 Factorizando.
x – 30 = 0, es decir x = 30 Resolviendo cada ecuación lineal.
 Solución
Los números son 30, y 48 – 30 = 18.
Repaso 
¿Por qué se elimina –78 como solución del problema?
1. La suma de dos números es 20. La suma de sus recíprocos es
 
4
15.
 a) Establece las ecuaciones que plantea el problema.
 b) Procede por el método de sustitución.
 c) Resuelve la ecuación cuadrática que resulta.
 d) Determina los números.
2. Dado el siguiente triángulo rectángulo, determina:
 a) El valor dex.
 b) El valor de cada lado.
3. Una excursión geológica costó 120 dólares. Si hubieran ido 3 miembros más, el costo por estu-
diante habría sido de 2 dólares menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión?
2x – 1
x
2x – 10
Ejercicio
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 40 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
41
4. El largo de una pieza rectangular de madera mide 4 cm más que su ancho y el área es de 192 
cm2. Encuentra las dimensiones de la pieza.
5. Si cada uno de dos lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados 
opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo resultante supera en 32 pies cuadrados al 
área del cuadrado original. Encuentra la longitud del lado del cuadrado.
6. Se quiere cubrir una superficie triangular de 48 m2. La base del triángulo mide 4 metros menos 
que la altura. Encuentra las medidas de la base y la altura del triángulo.
7. La diferencia de dos números naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es 305. Encuentra los 
números.
 1. Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto.
 a) |5 – x| = 31
 b) |6x + 3| = –15
 c) |x – 8| = 0
 d) |4x – 19| = 7
 2. Resuelve aplicando =n n .2
 a) (x + 3)2 = 100
 b) (2x + 7)2 = 25
 c) (0.7x + 5 – 8)2 = 46.31
 d) (x + 9)2 = –36
 3. Resuelve las ecuaciones cuadráticas escribiendo el miembro izquierdo como un trinomio cua-
drado perfecto.
 a) x2 – 4x + 4 = 25
 b) x2 – 18x + 81 = 2 001
 c) x2 + 14x + 49 = 49
 d) x2 – 1.4x + 0.49 = 0.35
 Autoevaluación 1
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 41 14/11/12 14:16
Etapa 1
42
 e) x x
x x
2
2
2
3
1
9
4
9
5
4
25
64
121
64
+ + =
− + =
 f) 
x x
x x
2
2
2
3
1
9
4
9
5
4
25
64
121
64
+ + =
− + =
 
4. Agrega una constante para completar el trinomio cuadrado perfecto.
 a) x2 + 24x +...
 b) x2 + 0.04x +…
 c) x2 – 3x +...
 d) x2 – x +...
 e) x2 + 1 000x +...
 5. Resuelve las ecuaciones completando el trinomio cuadrado perfecto.
 a) x2 + 6x + 4 = 0
 b) x2 – 16x – 17 = 0
 c) x2 – 6x – 21.9 = 0
 d) x2 – 6x + 13 = 29
 e) x2 + 8x + 7 = 27
 f) x2 + 0.65 = 1.8x
 g) x2 + 1.68 = –2.6x
 6. Resuelve las ecuaciones empleando la fórmula general.
 a) 3x2 + 14x + 15 = 0
 b) –8x2 + 5x + 21 = 0
 c) 6x2 – 17x – 3 = 0
 d) 7x2 + 10x + 3 = 0
 7. Resuelve las ecuaciones por factorización.
 a) x2 + x – 2 = 0
 b) x2 – x – 6 = 0
 c) 2x2 – x – 6 = 0
 d) 2x2 + 15x + 7 = 0
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 42 14/11/12 14:16
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable
43
 8. Resuelve los siguientes problemas de aplicación.
 a) La suma de dos números es 35. Si a un número le llamamos x, el otro número puede ex-
presarse como . Su producto se escribirá como 
. 
 Si el producto de esos dos números es 264, escribimos la ecuación: .
 Resolviendo la ecuación, encontramos que los números son: y .
 b) La suma de dos números naturales es 40. La suma de sus cuadrados es 850. Encuentra los 
números.
 c) Se desea cercar un terreno rectangular con 300 m de alambre. Un río corre a lo largo de uno 
de sus lados y, por tanto, no necesita cercar dicho lado. Halla las dimensiones del terreno si 
éste no es un cuadrado y su área es de 10 000 m2.
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 43 14/11/12 14:16
Etapa 1
44
 a) x = –26, 36 a) S = {–0.76, –5.24}
 b) [ b) S = {17, –1}
 c) x = 8 c) S = {8.56, –2.56}
 d) S = {3, 6.5} d) S = {8, –2}
 a) S = {7, –13} e) S = {2, –10}
 b) S = {–1, –6} f) S = {1.3, –0.5}
 c) S = {1.44, –18.01} g) S = {–1.2, –1.4}
 d) S = [ a) 
S
S
S
= −






= −






= −






1
3
1
2
3
4
1
2
3
3
,
,
,
SS
S
S
= −






= − −






= −





3
1
6
3
7
1
3
2
2
,
,
,

= − −






S 7
1
2
,
 a) S = {7, –3} b) S = {–1.34, 1.96}
 b) S = {53.73, –35.73} c) 
S
S
S
= −






= −






= −






1
3
1
2
3
4
1
2
3
3
,
,
,
SS
S
S
= −






= − −






= −





3
1
6
3
7
1
3
2
2
,
,
,

= − −






S 7
1
2
,
 c) S = {0, –14} d) 
S
S
S
= −






= −






= −






1
3
1
2
3
4
1
2
3
3
,
,
,
SS
S
S
= −






= − −






= −





3
1
6
3
7
1
3
2
2
,
,
,

= − −






S 7
1
2
,
 d) S = {1.29, 0.11} a) S = {1, –2}
 e) S
S
S
= −






= −






= −






1
3
1
2
3
4
1
2
3
3
,
,
,
SS
S
S
= −






= − −






= −





3
1
6
3
7
1
3
2
2
,
,
,

= − −






S 7
1
2
,
 b) S = {3, –2}
 f) 
S
S
S
= −






= −






= −






1
3
1
2
3
4
1
2
3
3
,
,
,
SS
S
S
= −






= − −






= −





3
1
6
3
7
1
3
2
2
,
,
,

= − −






S 7
1
2
,
 c) 
S
S
S
= −






= −






= −






1
3
1
2
3
4
1
2
3
3
,
,
,
SS
S
S
= −






= − −






= −





3
1
6
3
7
1
3
2
2
,
,
,

= − −






S 7
1
2
,
 a) 144 d) 
S
S
S
= −






= −






= −






1
3
1
2
3
4
1
2
3
3
,
,
,
SS
S
S
= −






= − −






= −





3
1
6
3
7
1
3
2
2
,
,
,

= − −






S 7
1
2
,
 b) 0.0004 a) 11 y 24.
 c) 9
4
 b) 15 y 25.
 d) 15
4
 c) 50 m 3 200 m.
 e) 2.5 3 105
7.
6.
5.1.
2.
4.
3.
8.
 Solución a la autoevaluación 1
UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 44 14/11/12 14:16
 ¿Qué es la geometría?
La Geometría griega parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones 
egipcia y mesopotámicas, pero avanza en dirección a la abstracción al considerar los obje-
tos como entes ideales: un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, 
un círculo en lugar de la entrada de un pozo, etc. Esto tiene la ventaja de que los objetos 
así representados pueden ser manipulados mentalmente, y al ser abstractos pueden gene-
ralizarse. Aquí aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad 
de un conocimiento, aunque en un primer momento se trataba más de justificaciones in-
tuitivas que de verdaderas demostraciones formales.
Pitágoras —y la secta por él creada (los pitagóricos)— tiene un papel central en el desarro-
llo de la geometría, pues asienta definitivamente el concepto de demostración formal como 
única vía de establecimiento de la verdad. Sin embargo, al querer demostrar cada afirma-
ción geométrica, se cae en la trampa de entrar en un proceso sin fin.
Se resuelve este dilema con las aportaciones de Euclides, quien propone un sistema de 
estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intui-
tivamente claras: llamadas axiomas o postulados, y a partir de ellas se deducen todos 
los demás resultados. Su obra, “Los Elementos””, es un modelo de sistema axiomático-
deductivo: sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda 
la geometría y la aritmética conocidas hasta el momento1. Cualquier estudio básico de 
geometría, toma el modelo euclidiano. En nuestro caso, sin pretender agotar el tema, 
seguimos la metodología en cuestión, que sería:
1. Reconocer que en nuestro mundo existen formas que pueden ser identificadas, cla-
sificadas y estudiadas.
2. Partir de algunos términos indefinidos —el menor número posible—, que se puedan 
entender de manera más o menos intuitiva— pero de los que no se dará una defini-
ción formal; en todo caso, ejemplos para una comprensión más o menos uniforme 
(es el caso de punto, recta, plano).
3. Definiciones. (ángulo, triángulo, etc.)
4. Axiomas o postulados. Principios que se aceptan como ciertos o evidentes.
5. Teoremas y corolarios. Proposiciones que se aceptarán como verdaderas sólo des-
pués de su demostración.
6. Razonamiento inductivo. Una especie de generalización a partir de la observación de 
hechos particulares 
7. Razonamiento deductivo. El proceso que garantiza la veracidad de las conclusionesa 
partir de unas premisas y mediante la lógica pura.
8. Problemas. Con la aplicación de todo el sistema planteado, estar en posibilidad de 
resolver situaciones tanto del ámbito escolar como del mundo real.
1 Su obra, en 13 volúmenes, perdura como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX. A partir del quinto postulado 
se desarrollan otras geometrías, llamadas no euclidianas.
45
UANL Mate 2 Etapa 2 JAB.indd 45 14/11/12 14:16
Geometría plana 
Etapa 2
46
El siguiente esquema muestra en qué consiste el método axiomático, que se usa en el estudio de la 
Geometría.
Razonamiento 
Inductivo-deductivo
Teoremas y 
corolarios
Postulados
Definiciones
Términos 
indefinidos
Formas del
mundo real
Problemas
UANL Mate 2 Etapa 2 JAB.indd 46 14/11/12 14:16
47
¿Un balón de futbol te es común? ¿Tiene forma esférica perfecta? Si lo observas, verás que está formado 
por pentágonos y hexágonos unidos. (cuántos habrá de cada tipo?. Su forma esférica, cuando lo desin-
flas un poco, es en realidad un poliedro: un icosaedro truncado. Según información de la página http://
www.diadelasimetria.com/ml/page3.html tenemos que: 
¿Por qué se utiliza este poliedro para construir los balones? ¿Es el que más se aproxima a una esfera? Su 
volumen es sólo el 86,74 % de la esfera correspondiente, que no es una mala aproximación. Al curvar 
sus caras cuando se infla este porcentaje aumenta ligeramente y sobrepasa el 95 %. Para abundar en el 
tema puedes consultar la siguiente dirección: http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/
La Geometría tiene que ver con temas, objetos, ideas, presentes en la vida y la mente del hombre desde 
la más remota antigüedad. ¿Te imaginas cómo le hicieron las culturas egipcia o maya para lograr que 
los ángulos de la base de las pirámides quedaran tan exactos? ¿Y cómo le harían para que al repartir un 
terreno entre varios hermanos cada uno tuviera la misma cantidad de tierra para sembrar?
De ahí precisamente proviene la palabra geometría, de las raíces griegas “geo” y “metron”, que significan 
tierra y medida, respectivamente. Así que si se traduce literalmente, resulta ser que Geometría significa 
“medición de la tierra”. Sabemos que esa sería una definición demasiado estrecha de esta ciencia de 
tan gran utilidad.1
1 La geometría plana que solemos estudiar es conocida también como Geometría euclideana. Es interesante conocer entonces 
quién es Euclides. Puedes entrar a la página: http://es.geocities.com/eucliteam/estudios_de_geometria.html#Geometría
Etapa
2Geometría plana 
“El icosaedro truncado deriva del icosaedro, uno de los cinco sólidos platónicos, el cual está formado por 20 
caras en forma de triángulo equilátero. Cortando cada vértice como se muestra en la figura, se forman las 12 
caras pentagonales y 20 hexagonales del icosaedro truncado”.
UANL Mate 2 Etapa 2 JAB.indd 47 14/11/12 14:16
Etapa 2
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La Geometría es una ciencia muy práctica. Los ingenieros y arquitectos deben dominar la geometría, así 
como los físicos y otros científicos deben dominarla. Pero la geometría también facilita enormemente el 
trabajo al dibujante, al carpintero, al fabricante de herramientas y al artesano en general.
Puede ser que no vayas a realizar ninguna labor que necesite directamente de la geometría. Sin embar-
go, ésta también te ayudará a pensar y a expresarte ante los especialistas en Matemáticas a quienes en 
algún momento plantearás algún problema que te interese resolver.
Si esto no basta para motivarte totalmente por esta rama de las Matemáticas, piensa que la geometría 
es hermosa2, y en su belleza ayuda a comprender mejor la naturaleza del mundo que nos rodea; en 
efecto, si observas la realidad descubrirás un mundo pletórico de imágenes geométricas provenientes de 
la misma naturaleza como del trabajo del hombre; así que puedes darte cuenta de lo útil que puede ser 
el estudio de la Geometría para comprender el mundo en que vivimos. Por otro lado la geometría ayuda 
a desarrollar las habilidades del razonamiento lógico por lo que vale la pena disfrutar su conocimiento.
2.1 Conceptos elementales de geometría
2 Te recomendamos la siguiente dirección, para que leas la Declaración Pública de Amor que su autor hace hacia esta ciencia. 
http://www.nacho.unicauca.edu.co/Matemas/0104DecAmo/DecAmo.htm
Si preguntas a alguien qué cosa es un cuerpo, seguramente recibirás respuestas como: un objeto, algo 
que se puede ver y tocar, por ejemplo un jarrón, una pelota, etc. Como puedes observar, se relaciona a 
la palabra cuerpo con objetos materiales. Ahora bien, un cuerpo físico es toda porción del espacio que 
está ocupada por materia.
Sin embargo, existe otro tipo de cuerpos que constituyen el objeto de estudio de la geometría plana, los 
cuerpos geométricos, que no son objetos materiales en general. Es decir, un cuerpo geométrico es toda 
porción limitada del espacio (aunque no esté ocupada por materia).
La geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las propiedades de los cuerpos geomé-
tricos en general. Dichas propiedades pueden ser referidas tanto a las medidas de los cuerpos 
(longitud, área, volumen, etc.) como a las relaciones entre sus diferentes partes.
Definición
Los cuerpos geométricos elementales son el punto, la recta y el plano. Resulta imposible obtener una 
definición rigurosa de dichos conceptos, pues cualquier intento de definición de uno de ellos incluye 
• Comprender los conceptos intuitivos de punto, recta, plano y conocer los axiomas bá-
sicos de la Geometría euclidiana.
Objetivo
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Geometría plana 
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siempre a alguno de los otros, sin poderse establecer un orden jerárquico entre ellas. Así, podemos en-
contrar “definiciones” como las siguientes:
• Un punto es la intersección de dos rectas no paralelas.
• Una recta es la intersección de dos planos no paralelos.
• Un plano es el conjunto de todos los puntos determinados por tres puntos no colineales prefijados.
Por lo tanto, punto, recta y plano son conceptos que no van a definirse; sin embargo, cualquier persona 
es capaz de imaginar más o menos intuitivamente qué es un punto, una recta o un plano, viéndolos 
por ejemplo como la esquina de una mesa, el borde de la mesa, o la superficie de la mesa. Luego, para 
desarrollar el concepto geométrico sólo resta tener en cuenta las siguientes consideraciones, que son de 
gran importancia en el trabajo geométrico y se obvian a menudo:
• El punto no tiene longitud. Por lo general, se menciona con letras mayúsculas, por ejemplo: el punto 
A, el punto B, etcétera, y se representan gráficamente como “ • ”.
• La recta contiene una cantidad infinita de puntos; no tiene principio ni fin. Su longitud es infinita y 
no tiene área.
• Una recta se representa mediante una línea, en la que pueden marcarse uno, dos o más de sus 
puntos, como lo muestra la siguiente figura:
 r
 A B
Se denota con una letra minúscula escrita a un lado; la recta anterior se llamaría “la recta r”. Tam-
bién se puede hacer referencia a ella mencionando dos de sus puntos de la siguiente forma: AB, lo 
cual se lee: la recta AB.
• El plano contiene una cantidad infinita de puntos y rectas, no tiene bordes, su área es infinita y no 
tiene volumen.
Un plano se representa con una figura que asemeje a una superficie y se hace referencia a él men-
cionando tres de sus puntos no alineados como en la siguiente figura:
A
Plano ABCD:
B
C
D
En el trabajo geométrico se dibuja la recta y el plano como objetos finitos por razones de espacio, pero 
nunca se deben olvidar las consideraciones anteriores mencionadas.
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Otros conceptos elementales de la geometría
Además de los conceptos básicos de punto, recta y plano, tenemos otros, que definiremos a continuación: 
•	 Si en una recta se fija un punto O, entonces el conjunto formado por todos los puntos de la recta 
que se encuentran a un mismo lado del punto O, incluyendo el punto O, se llama