Calculo Diferencial, con introduccion a la geometria analitica - Wilton Oltmanns

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Wilton Oltmanns Encarnación. 
ID: UD35569SGE44143 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para nunca cansarme de luchar y de ser yo, de vez en cuando trato de soñar y pensar 
que mis derrotas y fracasos algún dia se convertirán en gloria de éxito. 
Wilton Oltmanns 
 
 
3 
 
 
 
 
INTRODUCCION 
 
Este manual didáctico de Cálculo Diferencial es un material de estudio que sirve de soporte de 
estudio a estudiantes, profesores y seguidores de las matemáticas. Éste está confeccionado bajo 
técnicas pedagógicas para que los interesados en las matemáticas adquieran el conocimiento 
concerniente al cálculo diferencial con introducción a la geometría analítica. Está estructurado bajo 
varios capítulos haciendo incapies en la geometría analítica y en el estudio de las conicas. Entre estos 
se encuentran Capitulo 1: Introduccion a la geometria analítica, Capítulo 2: Las Cónicas, capítulo 3: 
Relaciones y funciones, capítulo 4: Límite, continuidad y asíntotas, Capitulo 5: Límites, capítulo 6: 
Aplicaciones de derivadas. 
Se espera que este manual sea de mucha ayuda y que cada persona después de estudiar las 
teorías se sienta en capacidad de realizar las prácticas que están contenidas en este. 
 
 
 Wilton Oltmanns 
 
 
 
 
 
 
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 CONTENIDO 
1. Capítulo 1: Introducción a la Geometría Analítica. ..................................................................... 9 
1.1 Geometría Analítica ........................................................................................................................ 9 
1.1.1 Distancia entre dos puntos. ................................................................................................. 9 
1.1.2 Punto medio de un segmento. ........................................................................................... 11 
1.1.3 Parámetros, ecuaciones y tipos de la recta ....................................................................... 11 
1.1.4 Pendiente de una recta ...................................................................................................... 12 
1.1.5 Intercepto de una recta. ..................................................................................................... 14 
1.1.6 Ecuación Segmentaria de una recta. ................................................................................ 15 
1.1.7 Ecuación punto pendiente de una recta. ........................................................................... 16 
1.1.8 Ecuación de la recta dados dos puntos .............................................................................. 16 
1.1.9 Rectas paralelas y perpendiculares ................................................................................... 17 
1.1.10 Haz de rectas ..................................................................................................................... 18 
1.1.11 Distancia de un punto a una recta. .................................................................................... 23 
1.1.12 Distancia entre dos rectas paralelas ................................................................................. 24 
1.2 Gráfica o Lugar Geométrico ......................................................................................................... 25 
1.3 Práctica # 1: Introducción a La Geometría Analítica ................................................................... 30 
2. Capítulo 2: Las Cónicas ................................................................................................................ 33 
2.1 Historia de las cónicas .................................................................................................................. 33 
2.2 Concepto de cónicas. ..................................................................................................................... 33 
2.3 La Circunferencia .......................................................................................................................... 34 
2.3.1 Ecuación Canónica. ................................................................................................................ 35 
2.3.2 Ecuación Ordinaria ................................................................................................................. 36 
2.3.3 Ecuación General. Demostración ........................................................................................... 36 
2.3.3.1 Demostración de la Ecuación General partiendo de la ecuación Ordinaria. .................... 37 
2.3.4 Realización de la gráfica de una circunferencia. .................................................................... 38 
2.4 La Elipse ........................................................................................................................................ 40 
2.4.1 Elementos de una Elipse ......................................................................................................... 40 
2.4.2 Demostracion de la Ecuacion Ordinaria de una Elipse. ......................................................... 41 
2.4.2.1 Deduciones de las ecuaciones de una Elipse. ...................................................................... 42 
2.4.3 Realización de la gráfica de una Elipse. ................................................................................. 47 
2.5 La Parábola .................................................................................................................................... 48 
5 
 
2.5.1 Ecuaciones de la parábola ...................................................................................................... 49 
2.5.2 Representación grafica de una parábola. ................................................................................ 50 
2.6 Hipérbola ....................................................................................................................................... 51 
2.6.1 Elementos de una Hiperbola con centro en el origen ............................................................. 52 
2.6.2 Ecuaciones de una hipérbola .................................................................................................. 52 
2.7 Práctica # 2: Las cónicas ............................................................................................................. 55 
3. Capítulo 3: Relaciones y Funciones ............................................................................................. 59 
3.1 Importancia del Cálculo Diferencial ............................................................................................. 59 
3.2 Relaciones y Funciones ................................................................................................................. 60 
3.3 Clasificación de las funciones elementales. .................................................................................. 61 
3.4 Propiedades de una relación. ........................................................................................................ 62 
3.5 Dominio y Rango de una función ................................................................................................ 63 
3.6 Función. Concepto y Defininición. ............................................................................................... 64 
3.6.1 Clasificación de las funciones según su aplicación ............................................................... 64 
3.6.2 Función par e impar ................................................................................................................ 65 
3.6.3 Funciones algebraica. Clasificación. ...................................................................................... 66 
3.7 Práctica #3: Relaciones y Funciones. ............................................................................................ 69 
4. Capítulo 4: Limites, continuidad y Asintotas. .............................................................................72 
4.1 Limite. Concepto ........................................................................................................................... 72 
4.2 Resolución de Limite por proceso de evaluación.......................................................................... 72 
4.3 Resolución de límites por propiedades......................................................................................... 73 
4.3.1 Propiedades de los límites. .................................................................................................... 73 
4.4 Operaciones con límites e indeterminaciones ............................................................................... 75 
4.4.1 Sustitución Directa ............................................................................................................... 75 
4.4.2 Técnica de factorización o cancelación .................................................................................. 75 
4.4.3 Límites de funciones racionales. ........................................................................................... 76 
4.4.4 Límite de Funciones Irracionales. .......................................................................................... 77 
4.5 Indeterminaciones y Operaciones con el Infinito. ......................................................................... 77 
4.5.1 Indeterminación de 0/0 que se resuelven por factorización o producto conjugado. ............... 79 
4.5.2 Indeterminación de tipo 𝟎𝟎 𝒆 ∞∞. ....................................................................................... 80 
4.6 Resolución de límites por comparación de infinitos cuando se obtiene ( ) ......................... 81 
4.7 Resolución de limites racionales de indeterminación de ( ) ............................................... 81 
6 
 
4.8 Indeterminacion de tipo∞. 𝟎 ......................................................................................................... 82 
4.8.1 Resolución de indeterminación de tipo 𝟏∞. ........................................................................... 82 
4.9 Límite. Definición épsilon- Delta de límite. ................................................................................ 84 
4.10 Resolucion de Límites con valor absoluto. ................................................................................. 85 
4.11 Teorema del Sanwich .................................................................................................................. 88 
4.12 Continuidad ................................................................................................................................. 90 
4.12.1 Tipos de Continuidad ............................................................................................................ 90 
4.12.2 Discontinuidad. Tipos ........................................................................................................... 91 
4.12.3 Continuidad de una función en un intervalo ......................................................................... 91 
4.12.4 Definición formal de Continuidad ........................................................................................ 92 
4.13 Asíntotas ...................................................................................................................................... 92 
4.13 Práctica #4: Límite, Continuidad y Asíntota. .............................................................................. 96 
5. Capítulo 5: Derivadas .................................................................................................................. 100 
5.1 Derivada. Conceptos ................................................................................................................... 100 
5.2 Connotación de derivadas ........................................................................................................... 100 
5.2.1 Connotación de derivadas n-esima. ...................................................................................... 101 
5.3 Resolución de derivadas por el método de los incrementos....................................................... 101 
5.3.1 Resolución de derivadas por la definición. ........................................................................... 103 
5.4 Resolución de derivadas por fórmulas ........................................................................................ 104 
5.4.1 Teorema 1: Derivada de una función en un punto ................................................................ 104 
5.4.2 Teorema 2. La regla de la constante ..................................................................................... 104 
5.4.3 Teorema 3. Regla de una variable respecto a ella misma. .................................................... 105 
5.4.4 Teorema 4. Regla del múltiplo constante. ............................................................................ 105 
5.4.5 Teorema 5. Regla de las potencias. ...................................................................................... 106 
5.4.6 Teorema 6: Regla de cadena ................................................................................................. 106 
5.4.7 Teorema 7. Regla de la suma................................................................................................ 107 
5.4.8 Teorema 8. Demostración de la regla de la derivada de un producto. ................................ 108 
5.4.9 Teorema 9. Derivada del cociente. ....................................................................................... 109 
5.4.10 Teorema 10: Diferenciabilidad implica continuidad. ........................................................ 112 
5.4.11 Teorema 11: Derivada de la función Seno ......................................................................... 113 
5.4.12 Teorema 12: Derivada de la función coseno. ..................................................................... 114 
5.4.13 Teorema 13: Derivada de la función Tangente .................................................................. 115 
7 
 
5.4.14 Teorema 14: Derivada de la función cotangente. ............................................................... 116 
5.4.15 Tabla de derivadas de funciones trigonométricas generales .............................................. 117 
5.4.16 Teorema 15: Derivada de una función elevada a exponente numérico. ........................... 118 
5.4.17 Teorema 16: Derivadas funciones potenciales inversas. ................................................... 118 
5.4.18 Teorema 17: Derivadas para cualquier raiz (n-esima) ........................................................ 118 
5.4.19 Teorema 18: Derivada con valor absoluto .......................................................................... 118 
5.4.20 Funciones exponenciales en base a. Definicion y Propiedades. ....................................... 119 
5.4.21 Derivada de la función exponencial en base a. ................................................................... 120 
5.4.22 Función Inversa de la función exponencial natural. .......................................................... 120 
5.4.22.1 Gráfica de la función exponencial natural. ...................................................................... 121 
5.4.22.2 Operaciones con funciones exponenciales. ..................................................................... 121 
5.4.22.3 Propiedades de la función exponencial natural. .............................................................. 121 
5.4.22.4 Teorema 20 erivada de la función exponencial natural. ................................................. 122 
5.4.23 Teorema 21: Derivada de una función elevada a otra f unción. ......................................... 123 
5.4.24 Teorema 22: Derivadas de logaritmo vulgar o base 10. ..................................................... 124 
2.4.25 Teorema 23. Derivada de la función logaritmo natural..................................................... 125 
5.5 Derivación logarítmica ................................................................................................................ 126 
5.6 Teorema 24: Derivadas con valores absolutos. ........................................................................... 126 
5.7 Teorema 25: Funciones inversas ................................................................................................. 127 
5.7.1 Teorema 27: Funciones trigonométricas inversas. Definiciones .......................................... 127 
5.7.1.1 Las gráficas de algunas funciones trigonométricas inversas. ............................................ 128 
5.7.2 Teorema 28: Derivadas de las funciones trigonométricas inversas ...................................... 129 
5.7.2.1 Teorema 29: Demostracion de la derivada del seno inverso. ........................................... 129 
5.8 Funciones hiperbólica. ................................................................................................................ 130 
5.8.1 Definición de las funciones hiperbólicas. ............................................................................. 131 
5.8.2 Grafica del coseno hiperbólico ............................................................................................. 131 
5.8.3 Derivadas de funciones hiperbólicas. ................................................................................. 132 
5.9 Teorema 31. Definiciones de Funciones hiperbólicas inversas. ................................................. 133 
5.10 Derivación de funciones hiperbólicas inversas. ........................................................................ 133 
5.11 Derivación implícita .................................................................................................................. 134 
5.11.1 Derivada parcial. ................................................................................................................. 134 
5.11.2 Teorema 32 : Funciones de una variable independiente definidas implícitamente. ........... 134 
8 
 
5.12 Las formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital .................................................................. 136 
5.12.1 Teorema 33. Regla de L’Hôpital ........................................................................................ 136 
5.13 Práctica #5: Derivadas ............................................................................................................... 138 
6. Capítulo 6: Aplicaciones de derivadas ...................................................................................... 142 
6.1 Interpretación de una derivada. .............................................................................................. 142 
6.1.1 Razón de cambio promedio. ................................................................................................. 142 
6.1.2 Razón de cambio instantáneo o tasa de variación instantánea. ............................................ 143 
6.1.3 Ecuación de la recta tangente ............................................................................................... 144 
6.1.4 Ecuación de la recta normal.................................................................................................. 145 
6.2 Teorema 34: Fermat para puntos críticos. ................................................................................... 148 
6.3 Teorema 35: Rolle ....................................................................................................................... 149 
6.4 Teorema 36: valor medio de Lagrange ....................................................................................... 150 
6.5 Teorema de Cauchy ..................................................................................................................... 150 
6.6 Valores Críticos de una Función ................................................................................................. 151 
6.6.1 Pasos para conseguir los puntos críticos de una función. .................................................... 152 
6.7 Práctica #6: Derivadas ................................................................................................................ 154 
7. Bibliografía ................................................................................................................................... 156 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
     
2 2 2
Teorema de Pitágoras BC AB AC 
 
1. Capítulo 1: Introducción a la Geometría Analítica. 
1.1 Geometría Analítica 
La Geometría Analítica tiene como base el estudio de figuras geométricas mediantes técnicas del 
análisis matemático combinadas con el álgebra, aplicada en cierto sistema de coordenadas. Este campo 
de la matemática es la base del Cálculo Diferencial creada por Pierret Fermat y René Descartes. 
Cuando se tiene dominio de esta rama de las matemáticas, pues entonces el estudio del Cálculo 
resulta ser más fácil, por la razón de que en una se tiene un enfoque desde un punto de vista geométrico 
y en la otra el enfoque se ve mediante un proceso de límite y derivadas. 
1.1.1 Distancia entre dos puntos. 
Fue Euclides, matemático de la antigüedad y aún vigente por sus grandes aportes, quien dió una 
solución para hallar la distancia entre dos puntos. Con ayuda del teorema de Pitágoras definió la 
distancia entre dos puntos la cual viene dada. 
Demostración: 
 
 
 
 
 
     
2 2 2
Como el Teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rect ngulo la suma 
del cuadrado de los catetos es igual a la hipoatenusa al cuadrado. es decir que
en el triangulo anteior por lo que s
á
BC AB AC 
         
   
2 2 2 2 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
ustituyendo por 
los valores tenemos que 
 d x x y
d x y x x y y
y
      
   
 
 
10 
 
           










x
y
                     




















x
y
   
   
2 2
2 2
2 2
 PQ 3 4 2 5 1 49 50 5 2 
QR -3-4 4-5 49 1 50 5 2 
 PR (3 3) ( 2 4) 81 36 117 
d unid
d unid
d unid
        
     
       
 
Ejemplo 1: Calcular la distancia entre los puntos A (-3, 5); B (2,-2) y haga la grafica. 
AB̅̅ ̅̅ = √(X2 − X1)2 + (Y2 − Y1)2 
AB̅̅ ̅̅ = √(2 + 3)2 + (− 2 − 5)2 
AB̅̅ ̅̅ = √(5)2 + (− 7)2 
AB̅̅ ̅̅ = √25 + 49 = √74 = 8.6 Unidades 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Calcular la distancia entre los puntos A (4, 5) y B (5,8) . Haga la gráfica. 
AB̅̅ ̅̅ = √(X2 − X1)2 + (Y2 − Y1)2 
AB̅̅ ̅̅ = √(5 − 4)2 + (− 8 − 5)2 
AB̅̅ ̅̅ = √1 + 169 = √170 
AB̅̅ ̅̅ = 13.03 Unidades 
 
 
 
 
Ejemplo 3: Calcula el perímetro del triángulo con vértices P(3,-2); Q(4,5); R(-3,4). 
 
 
 
 
 
Este triángulo es Isósceles y su perímetro es P= 5 2+ 5 2 + 117 24.96 p unid 
 
 
 
11 
 
 
 
1.1.2 Punto medio de un segmento. 
Para calcular el punto medio de un segmento de recta se utiliza la siguiente expresión: 
1 2 1 2x y, 
2 2
x y
pm
  
  
 
 
   1 2
1
Ejemplo 1: Calcular el punto medio del segmento de rectaP -2,-2 , P 4,3 ;
luego busca la distancia de P PM y haz la gráfica correspondiente a todo lo pedid
2 4 2 3 1
, 1,
2 2 2
Ahora se b
o.
usca
PM
      
    
   
   
 
1
2 2
1 2 1 2 1
2
2
 la distancia de .
1
1 2 2 9 2.5 3.4 unid
2
PPM
PPM x x y y   
 
       
 
 
1.1.3 Parámetros, ecuaciones y tipos de la recta 
 Pendiente (m): Es la inclinación que tiene una recta. Esta inclinación es con respecto al eje x 
(abscisa). 
 Interceptos: Son los puntos (0,b) y (a,0) donde la recta corta tanto al eje X como al eje Y. 
 
 La Ecuación de la recta: Es la forma de expresar matemáticamente unarecta. La primera es la 
ecuación canónica o llamada también analítica y la ecuación general. 
 Ecuación canónica: 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏 
 
 Ecuación general: 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 = 0 
 
 
12 
 
Hay diferentes tipos de rectas: 
 Rectas verticales (𝒙 = 𝒙𝟎) : Estas rectas son paralelas al eje de las x. 
 Rectas horizontales(𝒚 = 𝒚𝟎) : Estas rectas son paralelas al eje de las Y 
 
 Rectas oblicuas: Es cualquier recta que no sea ni vertical ni horizontal. 
 
1.1.4 Pendiente de una recta 
 En matemática y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de una recta con 
respecto al eje horizontal. 
 
 La teoría Euclidiana dice que para graficar o determinar una recta, basta sólo con dos 
puntos. Tomando en cuenta la distancia entre dos puntos debemos tomar en 
cuenta que la pendiente viene dada también por punto final menos punto 
inicial, por lo que la pendiente se determina via la tangente del angulo de inclinación, obteniendo como 
resultado 
Puede ser de cuatro formas: 
a) m > 0: la recta presenta inclinación hacia la derecha; es decir, el ángulo es agudo. 
 
) 
2 1
2 1
y yy
m Tan
x x x


  
 
13 
 
 
b) m < 0: la recta presenta inclinación hacia la izquierda, es decir, el ángulo es obtuso. 
 
 
 
 
c) m = 0: la recta es horizontal, luego el ángulo  = 0 
 
 
 
d) Si m= indeterminado, la recta es vertical, luego el ángulo = 90. 
 
 
 Como se observa en las figuras anteriores la pendiente es muy importante debido a que se 
utiliza en nuestra vida cotidiana. En el techo de la casa es muy usual dejar cierta pendiente para que el 
agua corra y no estanque ya que por este motivo empiezan las filtraciones o en la bolsa de valores 
también es utilizada para indicar cuanto esta al alza o a la baja, en la venta del petróleo, entre otros. 
 
14 
 
 
 
Ejemplo 1: Obtener la inclinación de la recta que pasa por los puntos (5,2) y (6,3) 
2 1
2 1
y y
m
x x



 
3 2 1
1
6 5 1

  

, Se ve que 𝑚 > 0 
1.1.5 Intercepto de una recta. 
 Son los puntos donde la recta corta al eje x y al eje y, es decir, a la abscisa y a la ordenada. En 
la ecuación canónica, el intercepto corresponde al valor de b. En la ecuación general se debe despejar y, 
para identificar el intercepto. Aunque es bueno hacer notar que (0,b) el intercepto está en el eje de la 
ordenada y cuando hagamos (a,0) el intercepto estará en el eje de las x. 
 Retomando las ecuaciones canónica y general de la recta; se resalta que se puede transformar de 
una en la otra. A partir de la ecuación canónica se llega a la general, llevando toda la ecuación a cero. A 
partir de la general, se obtiene la canónica; despejando y. 
Ejemplo: Dada la ecuación 2 6 9 3x y    obtener las coordenadas al origen o interceptas y 
construir la recta. 
2 6 9 3
2 6 9 3 0
2 6
2 6 12
6 12
2
3 6
6
12 0x y
x y
x y
x y
y
x
x y
a
  
   
   
 


 
  
 
6 2 12
2 12
6
1
2
3
2 6 1
2
2 0
y x
x
y
x y
y x
b
 


 





 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
1.1.6 Ecuación Segmentaria de una recta. 
Es aquella ecuación que está determinada por un segmento de recta, es decir, que en esta se conocen 
los intercepto. 
 
 Si se busca la pendiente (𝑥 − 0 , 𝑦 − 𝐵) ⋀(𝐴 − 𝑥 , 0 − 𝑦) como los vectores tienen la misma direccion 
y sentido, pues entonces se puede afirmar que son proporcionales y por lo tanto se tiene que 𝑥 ∶ 𝐴 −
𝑥 ∷ 𝑦 − 𝐵: −𝑦 la cual por conveniencia se expresa como 
 
𝑥
𝐴−𝑥
=
𝑦−𝐵
−𝑦
 multiplicando en cruz (𝐴 − 𝑥)(𝑦 − 𝐵) = −𝑥𝑦 → 𝐴𝑦 − 𝐴𝐵 − 𝑥𝑦 + 𝐵𝑥 = −𝑥𝑦 
aplicando el método de eliminacion 𝐴𝑦 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝑥 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 = 𝐴𝐵 
dividiendo por AB se obtiene la ecuación: 
𝒙
𝑨
 + 
𝒚
𝑩
 = 𝟏, ∀𝑨, 𝑩 ≠ 𝟎 
Ejemplo 1: Hallar la ecuación segmentaria de la recta cuyos puntos de cortes con los ejes son A=-2 y 
B=4. 
 
𝑥
 𝐴
 + 
𝑦
𝐵
 = 1 → −
𝑥
2
 + 
𝑦
4
 = 1 
 
16 
 
 
 
1.1.7 Ecuación punto pendiente de una recta. 
 
La ecuación de la recta dados un punto y su pendiente se obtiene mediante la expresión 
 1 1y y m x x   
 
 
 
1: Calcular la ecuaci n de la recta cuya pendiente m 2 y pasa
y 6 3 3 18
 
por el 
x +4 y-6 3x+12, 
punto P 4, 6 .
0 
Ej
y
emplo ó
x     

 

 
 
 
1.1.8 Ecuación de la recta dados dos puntos 
Dados dos puntos 1, 1 2 2 2( ); ( , )p x y p x y y luego aplicando el criterio de la ecuación punto 
pendiente y haciendo los respectivos despeje se obtiene la expresión: 
 2 1 1 1
2 1
y y
y x x y
x x
  
    
  
 
 
Ejemplos 1: Buscar la ecuación de la recta dados los siguientes puntos. 
   
 
   
2 1
1 1
2 1
6 4 10
2 4 2 4
4
 A 2,4 y 
2 2
5 10 4 5 1 5 14
B 4,
04
6
y y
y x x y
x x
y x y x
x x x y
  
    
  
   
       



        

 
 
 
 
17 
 
1 2m m
Ejemplos 2: Buscar la ecuación de la recta dados los siguientes puntos. 
   
   
 A 4, 6 y B 8,4
4 6 10
4 6 4 6
8 4 12
10 40 10 32 5 16
6 
12 12 1
5 6 1
2 12 6 6
 6 0
Dados
x y
y x x
x x x
 
 
      
 
    
 

 
 
1.1.9 Rectas paralelas y perpendiculares 
A) Rectas paralelas: 
Dos rectas no verticales son paralelas, si y solo si, sus pendientes son iguales, es decir 
 
 
 
 
 
Ejemplo: hallar la forma general de las ecuaciones de las recta que pasa por el punto 
 A(2,-1) y es paralela a la recta 2x – 3y = 5. 
 
   1 1
El punto dado es A 2, 1 y la ecuaci n dada es 2x – 3y 5
cuya pendiente 2 / 3. 
2 2 7
y 1 2 
3 3 3
3 y 2 x 7 es la recta paralela buscada. – 
ó
m
y y m x x x y x
 

       
 



  3y 2x 7 0 
 
 
 
 
 
1 1
Ejemplo: Dado la recta 4 6 8 y el punto A 4, 1 
buscar una ecuación que sea paralela.
4 2
, 
6 3
2 2 8 2 8
 1 4 1 1
3 3 3 3 3
2 5
3 2 3 02 5
3 3
 
5
y y m x x m
y x y x x
x y
x y
y x y x
 
      
            
     

  
 
18 
 
 
 
 Rectas Perpendiculares 
 
Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si sus pendientes son una opuesta e inversa de si 
misma. 
 
 
 
 
 
 
B) Perpendicular a la recta 2x – 3y = 5 
 
   
1
2
2
1 1
El punto dado es A 2, 1 y pendiente 2 / 3. 
1 3
2
3 3
y 1 2 1 3
2 2
es la r2 3 4 0 ecta perpendicular buscada. 
m
m m
m
y y m x x x y x
y x
 
    
        
  
   
 
 
1.1.10 Haz de rectas 
Como ya se sabe una recta queda determinada por dos puntos o por un punto y su pendiente, por lo 
tanto un Has de Recta se puede definir como un conjunto de rectas que tienen un mismo punto en 
común. 
 
 
 
1
2
1
m
m
 
19 
 
 
 
 
 Formación de un haz de Recta que pasan por un punto dado en 𝑹𝟐. 
 
Para que esto pueda suceder basta con conocer el punto y alternar la pendiente m, por lo que 
hay que partir de la ecuación punto pendiente y-𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) 
Ejemplo: Encuentra un haz de Recta que pasan por el punto 𝑃1 (−1,6) 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
𝑦 − 6 = 𝑚 (𝑥 + 1) 
𝑦 = 𝑚(𝑥 + 1) + 6 
 
Sustituyendo 
 
1) Si m=0 → 𝑦 = 6 
2) Si m= -1→ 𝑦 = 5 − 𝑥 
3) Si m= 1 → 𝑦 = 𝑥 + 7 
4) Como 𝑚 ∈ 𝑅 entonces se forman Infinitas Rectas 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 Enfoque general de la ecuación genérica que produce un Haz de rectas que tienen un 
punto en común. 
 
 
Si S≅ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑦 𝑟 ≅ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 𝑂 
 
 
Para formal el Haz de recta se muestra una combinación. 
𝛼 𝑆 + 𝛽𝑟 = 0 
𝛼(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶) + 𝛽 (𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹) = 𝑂 
 Donde 𝛼⋀𝛽 𝜖𝑅 ≠ 0 simultaneamente. 
 
 
Ejemplo: Encontrar el Haz de rectas y la ecuación faltante dado el siguiente gráfico.21 
 
 
 
Como solo se conoce la ecuación de una de las rectas 𝑦 =
1
3 
𝑥 , pues hay que buscar la otra 
aplicando la ecuación segmentaria 
𝑋
𝐴 
+ 
𝑦
𝐵
= 1 → 
𝑋
5
 +
𝑌
3
= 1 
Buscando la ecuación general o Implícita 15(
𝑥
5
) + 15 (
𝑦
3
) = 15 
3x + 5 y – 15 = 0 Por lo tanto S=
1 
3 
𝑥 − 𝑦 = 0 → 9 + 5 
S= 𝑥 − 3𝑦 = 0 𝑦 3𝑥 + 5𝑦 − 15 = 0 Estas son las ecuaciones generales de las dos rectas de 
arriba en el gráfico y 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷 (𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎 es la Ecuación Genérica del Haz de 
recta, como ya se dijo 𝛼 𝑦 𝛽 no deben ser simultáneamente 0. 
 
Ejemplo1: Hallar la recta que pertenezca al Haz de recta y que contenga al punto p(1, −1). 
Como la recta son x-3y= 0 𝑦 3𝑥 + 5𝑦 − 15 =0 . 
La forma genérica del Has de recta es: 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷 (𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎 
Sustituyendo por los valores del punto p. 
𝛼(1 − 3(−1) + 𝛽(3(1) + 5(−1)−15) = 0 
𝛼(4) + 𝛽(3 − 20) = 0 → 𝟒𝜶 − 𝟏𝟕𝜷 = 𝟎 Por lo que 𝜶 =
𝟏𝟕𝜷
𝟒
 la cual es la ecuación de las 
constantes, por lo que ahora si se sustituye por un valor arbitrario 
Si 𝛽 = 1 → 𝛼 =
17
4
 produce una de las ecuaciones del haz de rectas que pasa por p. 
Como 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷(𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎 
17
4
(𝑥 − 3𝑦) + 1(3𝑥 + 5𝑦 − 15) = 0 
17
4
𝑥
51
4
𝑦 + 3𝑥 + 5𝑦 − 15 = 0 
29
4
𝑥 −
31
4
𝑦 − 15 = 0 
Eso implica que finalmente 29x-31y-60= 0 es la ecuación general. 
 
 
 
 
22 
 
 
Ejemplos 3: Calcular la ecuación del Haz determinado por las rectas secantes: 
3𝑥 − 𝑦 = 1 𝑦 𝑥 + 4𝑦 = 9 y además de eso encuentra la ecuación del Haz que tiene como 
pendiente m=
1
2
 
 
Solución: El centro del has en el punto q donde se cortan la recta: 
 
{
3x − 4y = 1
x + 4y = 9
 
 
{
3x − 4y = 1
x + 4y = 9
 → {
12x − 4y = 4
x + 4y = 9
𝟏3x = 13 
 donde x =1, y=2 
 
 
Por lo tanto 𝑄(1 , 2) es el punto de intersección como se tiene punto pendiente m=
1
2
 ; 𝑄(1 ,2) 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) → 𝑦 − 2 =
1
2
 (𝑥 − 1) 
y=
1
2
𝑥 −
1
2
+ 2 → 𝑦 −
1
2
𝑥 −
3
2
 =0 
 
2y-x-3=0 
 
Claro también se puede aplicar los métodos anteriores de la ecuación forma general para coregir 
la recta a través del Haz x(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐) + 𝛽(𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹) = 0 
 
 
 Haz de rectas paralelas 
 
 La forma general de la recta es Ax+By+C=0 para que la rectas sean paralelas deben tener la 
misma pendiente. Eso indica que A y B deben permanecer y C es el termino variante. 
 
Ejemplo: determine la ecuación del Haz de recta paralelas a 2x+y-4=0., (0 , 4) ; (2 , 0). 
Para tener rectas paralelas solo hay que cambia a C por diferente valores 
 
 
23 
 
 
 
 
1.1.11 Distancia de un punto a una recta. 
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento 
perpendicular a la recta. Se sabe qque una recta tiene la forma 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 +
𝒄 = 𝟎 y están dando el punto 𝒑(𝒑𝟏, 𝒑𝟐) por lo tanto multiplicando los 
coeficientes de la ecuación con la respectiva coordenada del punto se 
obtiene la expresión: 
1 2
2 2
( , )
ap bp c
d p r
a b
 

 
 
 
1 2
2 2 2 2
Ejemplo 1: Calcula ladistancia del puntoP 2, 1 a la recta de ecuaci 
3(2) 4( 1) 5 3
( , )
n 
3x 4y 5 
 
5(3) 4
.
( )
0
ó
ap bp c
d p r Unid
a b
    
 

  

 
 
2 2
Ejemplo 2 : Hallar la distancia desde el origen a la 
30 30 5
( , )
20 2(4) ( 2)
recta 4 2 30 0
d o r Un
y
i
x
d
r

  
 
   
 
 
24 
 
 
 
 
 
1.1.12 Distancia entre dos rectas paralelas 
 
Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, 
se toma un punto cualquiera P de una de ellas y 
se calcula la distancia a la otra. 
 
 
 
1 2
1
) Hay que verificar que las dos rectas son par
Ejemplo : Hallar la distancia entre las rectas r 2x
alelas.
2 2 4 2
5y 10 0 y 
 s 4x
 y 
5 5 10 5
 
10y+9 0
 
 
 
a
x x
m m
y y
m
   
          
  
 
    



 
 2 las rectas son paralelas
) Coger un intercepto de cualesquiera de las rectas.
r 2x 5y 10 0 (0,2)
) Buscar la distancia desde el intercepto encontrado hasta la otra recta, 
es decir desde p hasta s
m
b
p r
c
     
1 2
2 2 2 2
.
4(0) 10(2) 9 11
( , )
1164 ( 1
1.02 unida
0)
des
ap bp c
d p r
a b
   
   
   
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
1.2 Gráfica o Lugar Geométrico 
Según Navarro, T. El lugar geométrico es la línea que contiene todos los puntos, y solo ellos, 
cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada en dos variables. Dicho autor sigue argumentando que 
hay ciertos elementos que se deben tomar en cuenta a la hora de graficar, pues así se sabe el 
comportamiento de la gráfica. Entre estos se encuentran: 
a) Los intercepto. 
b) La simetría. 
c) Extensión sobre los ejes de coordenadas o Dominio. 
d) Las Asíntotas 
e) El bosquejo de la gráfica. 
 
Ejemplo 1: Dada la función 𝑦2 − 4𝑥 − 20 =0. Hallar: Intercepto, Simetría, Dominio, Asintotas y 
grafica. 
 Intercepto 
 
En la abscisa x si y =→ (0)2 -4x-20=0 entonces -4x=20,→ 𝑥 = −5, 𝒑𝟎(−𝟓, 𝟎) 
En el eje y ordenada si x = 0→ 𝑦2 − 4(0) − 20 = 0, entonces 𝑦2 = 20 → 𝑦 = 2√5 
por lo que , 𝒑𝟏 = (𝟐√𝟓 , 𝟎). 
 
 Simetría 
 Para saber si hay simetría respecto a x se sustituye a y por (−𝑦) y si la ecuación no se altera es porque 
hay una simetría respecto a y. 
 𝑦2 − 4𝑥 − 20 = 0 , (−𝑦)2 − 4𝑥 − 20 = 0, 𝑦2 − 4𝑥 − 20 = 0 Hay simetría. 
 
 Simetría con el eje y se hace el mismo proceso pero con 𝑥 = −𝑥 
 𝑦2 − 4𝑥 − 20 = 0 → 𝑦2 − 4𝑥(−𝑥) − 20 = 0 
 𝑦2 + 4𝑥 − 20? Por lo que 
 𝑦2 − 4𝑥 − 20 ≠ 𝑦2 − 4𝑥 − 20. No hay simetría respeto a y. 
 
 Simetría respecto al origen 𝑦 = −𝑦 , 𝑥 = −𝑥 
 𝑦2 − 4𝑥 − 20 = 0, (−𝑦)2 − 4𝑥(−𝑥) − 20 = 0 
 𝑦2 + 4𝑥 − 20 = 0 Esto indica que la función es simetría respecto al origen. 
 
 
 
26 
 
 
 Dominio y Rango 
 
Dominio o extensión sobre el eje x. 𝑦2 − 𝑥4 − 20 =0 
 
Para encontrar el dominio hay que poner la función en forma explicita 
 𝑦2 − 𝑥4 − 20 =0 
 
𝑦2 = 20 + 4𝑥 → 𝑦 = √20 + 4𝑥 
 
 4𝑥 + 20 > 0 , 4𝑥 > −20 Demi {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝑅 ∋ 𝑥 > 5 } 
 
 𝑥 > −5 son los valores que se pueden dar ala grafica. 
 
 Rango. 
 
No es más que la extensión sobre el eje y se debe despejar a y 
 
 𝑦2 − 𝑥4 + 20 =0, −4𝑥 = −20 − 𝑦2 x por lo que 𝑥 = 
−𝑦2−20
−4
 →𝑥 = 
𝑦
4
+ 5 
 
No hay ningún valor que me determine la función R ={
𝑦
𝑦 ∈ 𝑅 ∋ 𝑦 ≠?⁄ } 
 
 Asíntotas 
 
Una asíntota es una línea recta a la que se aproxima infinitamente una curva sin nunca tocarla. Estas se 
cumple principalmente por funciones racionales de la forma 
 𝒇(𝒙) =
𝒑(𝒙)
𝑸(𝒙)
 =
𝒂𝒎 𝒙
𝒎 + 𝒂𝒎−𝟏 𝒙𝒎−𝟏+⋯+𝒂𝟎
𝒃𝒏 𝒙
𝒏 + 𝒃𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 +⋯+𝒃𝟎
 
 
Donde: 
 
a) Si m < 𝑛 → 𝑦 = 0 es una A .H 
b) Si m = n →
𝑎𝑚
𝑏𝑛
= 𝑦 es una A.H 
c) si m> 𝑛 → no hay A .H, si oblicua siempre y cuando m+1= n 
d) si 𝑄𝑟= 0 y 𝑝(𝑥) ≠ 0 hay A H. 
Por lo tanto en 𝑦2 − 4𝑥 − 20 = 0 no ha asíntotas. 
27 
 
 
Ejemplo 2: Graficar 𝑦 = 
2𝑥+4
𝑥+1
 
 Intercepto (0,4); (−2,0) 
 Simetría no hay 
 Dominio: {𝑥 𝑥⁄ ∈ ℝ ∋ 𝑥 ≠ −1} ⋀ Rango: {
𝑦
𝑦⁄ ∈ ℝ ∋ 𝑦 ≠ −2} 
 Asíntotas 𝑥 = −1 es una A.V y 𝑦 = 2 es una A.H 
 Gráficos 
 
 
Ejemplo 3: Hacer la grafica de la función 𝑓(𝑥) =
7𝑥+4
𝑥2−4𝑥+4
 
 
 Intercepto (0,1); (0) =
4
4
= 1 ; (
−4
7
, 0) 
 
7𝑥+4
2𝑥−4𝑥+4
= 0 → 7 𝑥 + 4 = 0 por lo tanto x=-
4
7
 
 Simetría: no hay 
 Dominio 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0, (𝑥 − 2)2 = 0 → 𝑥 =2, 
Dom: : {𝑥 𝑥⁄ ∈ ℝ ∋ 𝑥 ≠ −2} 
 
 Asíntotas: 𝑦 =
𝑝(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑎𝑚 𝑥
𝑚+ 𝑎
𝑚−1 𝑥𝑚−1+⋯+𝑎0
𝑏𝑛 𝑥𝑛+ 𝑏𝑛−1 𝑥𝑛−1 +⋯+𝑏0
 
Como en 𝑦 =
7𝑥+4
𝑥2−4𝑥+4
; 𝑚 < 𝑛 → 𝑦 = 0 es una asíntota horizontal y x = 2 es una A.V. 
 
28 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4: Graficar la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 
 
 Intercepto: 
Para 𝑦 = 0 → 𝑥 = 2, ∴ (2,0) 
Para 𝑥 = 0 → 𝑦 = −
2
3
, ∴ (0, −
2
3
) 
 
 Simetría: 
Con el eje x: No hay simetría 
Con el eje y: No hay simetría 
Con el origen: Tampoco hay simetría. 
 
 Dominio: 
𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 =
2−𝑥
𝑥−3
 
Dom: {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝑅 ∋ 𝑥 ≠ 3 } 
 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 Asintotas: 
* 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 =
2−𝑥
𝑥−3
 ∴ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴. 𝑉. 
* 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑥 =
2+3𝑦
𝑦+1
 ∴ 𝑦 = −1 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴. 𝐻 
 
Grafica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial 
1.3 Práctica # 1: Introducción a La Geometría Analítica 
 Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ 
Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________ 
   
   
   
   
   
   
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1) 3,5 ; 2, 9
2) A 1,2 ; 0, 3
313) ; 4, 9
2 7
2 1
Busc
14) e ; ,7
07 2 3
5) .25,5 ; 5
a la distancia entre los puntos dados.
Hallar la pendiente de la recta que pasa po
.33,2
31 1
r los
6) ; 9
5 4 4
 pun
p p
A
Q Q
e
o o o
p p
 
 
 

 
 
   
   
   
   
7) 4,7 2, 3 
8) 4,3 3, 2 
9) 2,3 4,3 
10) 5,4 5,4 
tos:
y
y
y
y
 
 

 
 
 
   
11) pendiente 4 e intercepto 1/3
12) pasa por el punto 4, 2 y pendien
Hallar la ecuación de la recta que 
te -6 
13) pasa por los puntos 
cum
8,1
ple co
3,
n las co
1 
nd
 
ic
 
iones de
 
:
 
14)
y
 

 Intercepta en x=5 y en y=-2
 
 
 
31 
 
 
 
 
   
   
   
   
 
 
 
 
 
1 2
1 2
1 2
1 2
1
2
3
1
1
15) 3,5 ; 5,0
16) 0,3 ; 6,1
17) 0,7 ; 1, 1
1 118) , ; 4,8
2 4
19) 3,0 ; 2
20) 1, 1
 
; 3
21) 4, 3 ; 20
22) 2,0 ; 1
23) 2 3 4 0; 3,7 
Hallar la ecuación de la rect
24) 4 2 0
:
;
a
p p
p p
p p
p p
p m
p m
p m
p m
x y p
x y p

 

  
 
  
   
   
 
 
 
1
2
3
3,7 
125) 4 2; , 4
5
26) 5 7 12; 1,0
127) 2 9 0; 0,0
3
y x p
y x p
x y
  
 
   
 
 
38) 2
En l
x+5y-
as ecuacio
8=0 
nes dadas hallar los
 
3 4
 parametros:
39) 2 
4 2
2 140) 4 
3 3
x
x y
 
 
 
41) 3y-2x-8=0 -4x+6y-10 =
De cada par de rectas determinar si son 
 0 ..................................
paralelas,perpendicu
...
142) 5 0 4x-2y = 8 
lares u obli a
2
cu s.
x y

   .....................................
43) 3x+4y-9=0 3x-4x-10=0 .....................................
44) 2x+3y=1 2 9 .............................x y

   .......
 
 
:
28) 2x-8y=0
29) 3x-7y-1=0
30) x+y=-6
31) x-3y+2=0
32) 6x-5=0
33) 4y-2=0
134) 
2 3 2
2435)
Busca los interceptos d
 0.2x+ 0.4
10
36) 5 10 15
37) 3 6
2
e
yx
x y
x y
 

  
  
32 
 
 
 
45) Hallar la ecuación de la recta que pasa por 2,4 y es paralelaa 6x-2y-5=0
46) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punt
Resolver los problemas propuest
o 5,4 y es
perpendicular a la 
os
ct
:
re


   
 
a que pasa por 1,1 y 3,7 .
47) Cuál es la ecuación general de la recta que pasa por Q 3,4 y su pendiente 
es el doble de la pendiente de la recta 4x-6y-12=0? 
 
48) Una recta corta al eje x en 5 y es paralela a la recta 2 5 0 
49) Una recta cuya ecuación es 5y-4x-20=0 limita un triángulo rectángulo
con los ejes coordenados. ¿Cuál es el área de dicho triángu
x y  
       1 2 3 4
lo?.
50) los vectores de un cuadrilatero son: p 3,2 ; 3,1 ; 4, 3 ; 2, 3
 a) Graficar la figura b) Buscar la pendiente c) Buscar la ecuación.
 d) Buscar distancia y punto medio de cada segmento.
51) H
p p p   
 
allar la forma general de la ecuación de la recta que pasa
por el punto 3, 5 y son: 
a) Paralela a 3x-2y=7 c) Perpendicular a 4x-6y-9=0
b) Paralela a 6x-8y+4=0 d) Perpendicular 5x
 
3 7 0y  
 
55. ¿Para cuales valores de x la distancia entre los puntos (-5, 2) y (x, 6) es 12? 
56. Dados P(2, -6) y Q(2, -1). 
 Encuentra la pendiente de la recta que pasa por esos puntos. 
 Busca la ecuación en la forma punto – pendiente. 
 Busca la ecuación en la forma canonica. 
 Busca la ecuación en la forma ordinaria. 
 Busca la ecuación en su forma general. 
 Busca la ecuación en la forma simétrica o segmentaria. 
 Busca el ángulo de inclinación de la recta. 
 
57. Si Q(-1,4) es un punto por el cual pasa una recta que es paralela a la recta que pasa por los puntos 
S(-1,3) y Z(-8,2). Encontrar la ecuación de esa recta. 
58. Si M(3,2) es un punto por el cual pasa una recta recta que es perpendicular a la recta que pasa por 
Q(6, -3) y R(1, 2). Determinar la ecuación de la recta. 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
2. Capítulo 2: Las Cónicas 
 
2.1 Historia de las cónicas 
https://www.scribd.com/doc/30860157/Historia-de-Las-Conicas-y-La-Geometria-Analitica 
enfocan que el descubrimiento de las conicas se le atribuye al matemático Griego Menecmo quien 
vivio aproximadamdnte en el siglo IV A.C (Aproximadamente en el año 350 a.c). Aunque fue 
Apolonio de Perga (Siglo II A.C) quien logra hacer un estudio profundo respecto a estas. 
2.2 Concepto de cónicas. 
 
Son curvas que se forman cuando un plano intersecta a un cono circular recto. Entre estas se 
encuentran la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbole. Cada una de esta figura será un caso 
especial de la ecuación 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 para la cual hay que aclarar que A,B,C 
no deben ser todos al mismo tiempo igual a cero. Dependiendo de la posición de inclinación del plano 
respecto al cono se van a formar diferentes conicas tales como: Circunferencia, Elipse, Parabola y 
luego la hipérbola. 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
2.3 La Circunferencia 
Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro. 
A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta 
formado por dos radios alineados se llama diámetro, el cual es la mayor distancia posible entre dos 
puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del 
diámetro es el doble de la del radio, el cual es el segmento que va 
desde el centro hacia un punto cualquiera de la circunferencia. La 
circunferencia sólo posee longitud. 
Una circunferencia se forma solo si el plano al cortar al cono en su 
eje, se forma ángulos de 90. 
35 
 
 
 
 
 
Ecuaciones de la circunferencia 
Las ecuaciones de la circunferencia son la canónica, ordinaria y la general 
2.3.1 Ecuación Canónica. 
 
Como 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 
𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1)
2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2 
Como d= r → 𝑑2 = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es c(0,0) 
y 𝑟 = 8 𝑐𝑚. 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 , como r = 8 eso implica que 𝑥2 + 𝑦2 = 82 → 𝑥2 + 𝑦2 = 64. 
 
 
 
36 
 
 
 
2.3.2 Ecuación Ordinaria 
 
Sea 𝑐 = (ℎ, 𝑘) el centro de la circunferencia el cual esta ubicado en un punto 
cualquieratal que (ℎ, 𝑘) ≠ (0,0). Aplicando el mismo criterio anterior 
respecto a la distancia entre dos puntos. 
𝑑2 = (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 
 
Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(3,5) y con radio r = 2. Hacersu respectiva 
gráfica. 
 
 Se tiene que h = 3, k = 5, r = 2 por lo tanto 
 (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 4 
 
 
 
 
Ejemplo 3: Si (𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 144 ; hallar h,k,r. 
h= -5, k = 2, r =12. 
 
2.3.3 Ecuación General. Demostración 
La ecuación de una cónica es 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 
 Por lo que de aquí se deriva la ecuación general que lleva una circunferencia asumiendo que B=A, por 
lo que 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0. Partiendo de esta expresión via complexión de cuadrado se 
puenden contrar los parámetros de una ciercunverencia tales como el centro y el el radio. 
37 
 
 
 
Demostración: 
𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Divididiendo por A. 
𝐴𝑥2
𝐴
+
𝐴𝑦2
𝐴
+
𝐷𝑥
𝐴
+
𝐸𝑦
𝐴
+
𝐹
𝐴
= 0 
𝑥2 + 𝑦2 +
𝐷𝑥
𝐴
+
𝐸𝑦
𝐴
+
𝐹
𝐴
= 0, hacer compleccion de cuadrados 
(𝑥2 +
𝐷𝑥
𝐴
) + (𝑦2 +
𝐸𝑦
𝐴
) = −
𝐹
𝐴
 
(𝑥2 +
𝐷𝑥
𝐴
+ (
𝐷
2𝐴
)
2
) + (𝑦2 +
𝐸𝑦
𝐴
+ (
𝐸
2𝐴
)
2
) = −
𝐹
𝐴
+ (
𝐷
2𝐴
)
2
+ (
𝐸
2𝐴
)
2
 
(𝑥 +
𝐷
2𝐴
)
2
+ (𝑦 +
𝐷
2𝐴
)
2
=
𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹
4𝐴2
 
Pero como bien se sabe la ecuación ordinaria es: 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 haciendo la respectiva sustituciones entre cada una de las ecuaciones para buscar el 
centro y radio se tiene que: 
−ℎ =
𝐷
2𝐴
 → ℎ = −
𝐷
2𝐴
 
−𝑘 =
𝐸
2𝐴
 → 𝑘 = −
𝐸
2𝐴
 
𝑟2 =
𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹
4𝐴2
→ 𝑟 =
1
2𝐴
√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹 
2.3.3.1 Demostración de la Ecuación General partiendo de la ecuación Ordinaria. 
Esta es la forma demostrada de la Ecuación General. 
𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 
Para llegar a esta forma se hace el siguiente proceso: 
 
Paso 1: Se opera 
 
Paso 2: Se ordena y se iguala a cero. 
 
2 2 2( ) ( )x h y k r   
2 2 2 2 22 2x xh h y yk k r     
2 2 2 2 22 2 0x y xh yk h k r      
38 
 
 
 
 
Paso 3: Se renombran los coeficientes, debido a que (h y k) serán valores variables y queda: 
 
 D= (-2h) , E=(-2k), (ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2) =F al final se tiene que : 
 
 
Ejemplo 4: Dada la ecuación (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 22. Hallar la ecuación general. 
Desarrollando se tiene: 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 10𝑦 + 34 = 4 
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 10𝑦 + 30 = 0 
 
Ejemplo 5: Encontrar los parámetros de la ecuación de la circunferencia cuya ecuación general es 
25𝑥2 + 25𝑦2 + 20𝑥 + 15𝑦 − 65 = 0. 
Solución: A = 25, D = 20, E = 15, F = -65 
ℎ = −
𝐷
2𝐴
 =
−20
2(20)
=
−20
50
= −
2
5
→ ℎ = −
2
5
 
𝑘 = −
𝐸
2𝐴
= −
15
2(25)
→ 𝑘 = −
3
10
 
𝑟 = 𝑟 =
1
2𝐴
√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹 = 
1
2(25)
√202 + 152 − 4(25)(−65) =
√400 + 225 + 6500
50
→ 𝑟 = ~1.7 
2.3.4 Realización de la gráfica de una circunferencia. 
Al graficar una circunferencia la gráfica va a venir de la ecuación ordinaria la cual al pasarse de 
la forma implícita a la explicita se obtiene una función en función de x. 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 al despejar y se tiene que 
𝑦 = 𝑘 ± 𝑟2√𝑟2 − (𝑥 − ℎ)2 
Ejemplo: Graficar la circunferencia cuya ecuación es (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 25 
𝑦 = 3 ± √25−(𝑥 + 4)2 
Dominio: 25−(𝑥 + 4)2 ≥ 0 → −(𝑥 + 4)2 ≥ −25 → (𝑥 + 4)2 ≤ 25 → 𝑥 ≤ 1 
2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( ) 0x y h x k y h k r        
2 2 0x y Dx Ey F    
39 
 
 
 
 
x 1 0 -1 -2 -3 -4 
y 3 8 7 7.58 7.90 8 
y 3 -2 -1 -1.58 1-90 -2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
2.4 La Elipse 
 
Es una curva cerrada simétrica respecto a dos ejes 
perpendiculares entre sí, que resulta de la intersección de un cono 
circular recto con un plano oblicuo que atraviesa su generatriz. 
 
 
 
 
 
2.4.1 Elementos de una Elipse 
 
 
𝐹 𝑦 𝐹1 ∶ son los focos de la Elipse 
𝐹 𝐹1 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅: Este es el eje focal, la cual es la recta que pasa por los focos. 
𝑉 𝑦 𝑉1 : Son los vertices, es decir, los puntos donde el eje focal corta la elipse. 
41 
 
 
𝑉 𝑉1 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅: Este es el eje mayor, es la porcion del eje focal que comprende los vertices. 
𝐵𝐵1: Es el eje menor, el cual corta a la elipse en dos partes. Esta en y. 
𝐶(ℎ, 𝑘): Es el centro, el cual es el punto medio de los focos. 
𝑄 𝑄1 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅: Es La cuerda que une dos puntos cualquiera de la Elipse. 
𝐸 𝑦 𝐸1 : Cuerda focal: Es una cuerda que pasa por algunos de los focos. 
𝐷 𝐷1 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅: Es diametro el cual es una cuerda que pasa por el centro C(h,k). 
 
2.4.2 Demostracion de la Ecuacion Ordinaria de una Elipse. 
Como 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2 𝑦 𝑘1 + 𝑘 = 2𝑐 → |𝐹𝑃̅̅ ̅̅ | + |𝐹1𝑃̅̅ ̅̅ ̅| = 2𝑎 
|√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2| + |√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2| = 2𝑎 
Asumir que el es positivo y pasar el radical al otro lado = √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 
Elevar al cuadrado ambas miembros 
 (√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦)2)
2
= (2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦)2)
2
 
Operar en el paso anterior y eliminar terminos semejantes 
(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = (2𝑎)2 − 2(2𝑎)√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
2
 
(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 
𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 − 4𝑎2√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 
−2𝑐𝑥 = 4𝑎2 + 2𝑐𝑥 − 4𝑎2√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 
 
Transponer los terminos: 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 4𝑐𝑥 
𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑎2 + 𝑐𝑥 
Elevar al cuadrado ambos miembros 
(𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)
2
= (𝑎2 + 𝑐𝑥)2 
𝑎2((𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) = (𝑎2 + 𝑐𝑥)2 
𝑎2𝑥2 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2 
 
42 
 
 
 
Eliminando y haciendo la transposicion de terminos 
𝑎2𝑥2 − 𝑐2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2 
Factorizando 𝑥2(𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) 
Como se dijo al principio que 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2 → 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 por lo que sustituyendo en el paso 8. Se 
tiene que 𝑥2(𝑏2) + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 
Dividir el paso anterior por 𝑎2𝑏2 → 
𝑥2𝑏2
𝑎2𝑏2
+
𝑎2𝑦2
𝑎2𝑏2
=
𝑎2𝑏2
𝑎2𝑏2
 
∴ 
𝑥2
𝑎2
 + 
𝑦2
𝑏2
 = 1, 𝑎2 > 𝑏2 
2.4.2.1 Deduciones de las ecuaciones de una Elipse. 
De la ecuación anterior se sacan las siguientes deduciones: 
 
 Si la elipse tiene centro en C(0,0) y eje focal en x su ecuacion es: 
𝑥2
𝑎2
 + 
𝑦2
𝑏2
 = 1 
 
 
 Si la elipse tiene centro en C(0,0) y eje focal en y su ecuacion es: 
𝑥2
𝑏2
 + 
𝑦2
𝑎2
 = 1 
 
 
 
 
 
        




x
y(x^2/9)+(y^2/2)=1
43 
 
 
 
 
 Si La Elipse tiene centro en un punto C(h,k) diferente al origen y su eje focal esta en x , 
entonces su respectiva ecuacion está en : 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
 + 
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
 = 1 
 
 Si la elipse tiene centro en un punto C(h,k) diferente al origen y su eje focal esta en y, 
entonces su respectiva ecuacion es : 
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
 + 
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
 = 1 
 
 
Ejemplo1: Dada la ecuacion 5𝑥2 + 4𝑦2 = 20, hallar la ecuacion de la elipse y graficarla. 
5𝑥2 + 4𝑦2 = 20 →
5
20
𝑥2 +
5
20
𝑦2 = 1 
→
𝑥2
20
5
+
𝑦2
20
4
= 1 ∴ 
𝑥2
4
+
𝑦2
5
= 1 
 
 
 
 
                   










x
y
44 
 
 
 
 
 
Ejemplo2: Cual es la ecuacion de la Elipse de centro C(0,0), cuyos vertices son V(-6,0) , 𝑉1= (6,0) y 
Focos F(-4,0) , 𝐹1= (4,0). Hacer la gráfica. 
Sol: 
 
Vértice: |𝑉1𝑉̅̅ ̅̅ ̅| = 2𝑎 → |−6 − 6| = 2𝑎 → 12 = 2𝑎, ∴ 𝑎 = 6 
 
Focos: |𝐹1𝐹̅̅ ̅̅ ̅| = 2𝑐 → |−4 − 4| = 2𝑐 → 8 = 2𝑐 , ∴ 𝑐 = 6 
 
Como se conoce a a y a c entonces falta b. 
 Como 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2 → 𝑏2 + 42 = 62 → 𝒃 = √𝟐𝟎 
 
Por lo tanto la ecuación se busca 
𝑥2
𝑎2
 + 
𝑦2
𝑏2
 = 1 →
𝑥2
62
 + 
𝑦2
√20
2 = 1 → 
𝑥2
36
 + 
𝑦2
20
= 1 
 
 
 
 
45 
 
 
 
Ejemplo 3: Si una Elipse tiene como centro el punto C(-6,4). Su eje Mayor es 12 y es paralelo al eje de 
las y. Su eje menor es 6. Cuál es la ecuación de la Elipse y haga su gráfica. 
*Eje Mayor: 2𝑏 = 12 → 𝑏 = 6 
*Eje menor: 2𝑎 = 6 → 𝑎 = 3 
Como su eje focal esta en Y, entonces su respectiva ecuacion es : 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
 + 
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
 = 1 →
(𝑥 − (−6))2
32+ 
(𝑦 − (4))2
62
 
(𝑥 + 6)2
9
 + 
(𝑦 − 4)2
36
 = 1 
 
 
 
Ejemplo 4: Si la ecuación general de una elipse es 4𝑥2 + 6𝑦2 − 8𝑥 − 12𝑦 − 14 = 0 encontrar: 
Ecuación canónica, valor de a,b,c; centro, longitud lado recto, excentricidad, coordenadas de los 
vértices, coordenadas de los focos, grafica. 
 Ecuación canónica: 
Hacer compleción de cuadrados 
4𝑥2 + 6𝑦2 − 8𝑥 − 12𝑦 − 14 = 0 → (4𝑥2 − 8𝑥) + (6𝑦2 − 12𝑦) = 14 
4(𝑥2 − 2𝑥 + 𝑛) + 6(𝑦2 − 2𝑦 + 𝑚) = 14 
4(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 6(𝑦2 − 2𝑦 + 1) = 14+4+6 
                                    



















x
y(x+6)^2/9 + (y-4)^2/36 =1
46 
 
 
4(𝑥 − 1)2 + 6(𝑦 − 1)2 = 24 →
4(𝑥 − 1)2
24
+
6(𝑦 − 1)2
24
=
24
24
 
(𝑥 − 1)2
6
+
(𝑦 − 1)2
4
= 1 
 
 Buscar a a,b,c. 
𝑎2 = 6 → 𝑎 = √6 , 𝑏2 = 4 → 𝑏 = 2, 𝑐 = √√6 
 2
− 22 → 𝑐 = √2 
Esto es una elipse horizontal. 
 Centro: c(h,k) = c(1,1) 
 
 Longitud del lado recto. L.R=
2𝑏2
𝑎
=
8
√6
 
 
 Excentricidad 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√2
√6
=0.58 
 
 Coordenadas de los vértices: 
𝑉1 = (ℎ − 𝑎, 𝑘) → 𝑉1 = (1 − √6 ,1) 
𝑉2 = (ℎ − (−𝑎), 𝑘) → 𝑉2 = (1 + √6 , 1) 
Longitud del Eje Mayor: 2𝑎 = 2√6 
Longitud Eje menor: 2𝑏 = 2(2) = 4 
Gráfica: 
 
 
47 
 
 
 
 
2.4.3 Realización de la gráfica de una Elipse. 
Para representar gráficamente una Elipse se debe despejar la variable dependiente Y y luego 
buscar el dominio para el cual esta determinado la curva. 
Ejemplo: Hacer la gráfica perteneciente a 
𝑥2
4
+
𝑦2
8
= 1 
𝑥2
4
+
𝑦2
8
= 1 ; 
𝑦2
8
= 1 −
𝑥2
4
 → 𝑦 = √8 − 2𝑥2 
Dominio: 8 − 2𝑥2 ≥ 0; 𝑥 ≤ ∓2 por lo tanto el dominio es 𝑥 ∈ [−2,2] 
𝑦 = √8 − 2𝑥2 
 
X -2 -1 0 1 2 
Y ∓0 ∓2.4 ∓2.8 ∓2.4 ∓0 
 
 
 
48 
 
 
 
2.5 La Parábola 
Es una curva formada por un conjunto puntos p(x,y) de un plano cualquiera, tal que su distancia 
al foco F y a la directriz son iguales. 
Trujillo, M. (2004) dice que la parábola geométricamente se describe como la curva que resulta al 
interceptar un cono circular recto y un plano paralelo a la generatriz del cono. 
 
 
 
 
V (0,0): Es el vértice de la parábola. 
Eje de la parábola: Es la recta que pasa por el foco F(p,0) y el vértice v(0,0). 
d: Es la distancia focal que se encuentra desde el punto v(0,0) hasta el foco F(p,0) . 
D: Es la directriz la cual es una Recta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del 
vértice al igual que el vértice del foco. 
Radio focal: Es la distancia que hay desde el foco de la parábola hasta cualquier punto de la misma. 
 
 
 
49 
 
 
 
 2.5.1 Ecuaciones de la parábola 
Formas de las ecuaciones de una parábola: 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑥 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 
 𝑦2 = 4𝑝𝑥 , se tiene que si 𝑝 > 0 la parábola abre hacia la derecha, pero si 𝑝 < 0 entonces abre 
hacia la izquierda. 
 𝑥2 = 4𝑝𝑦. En esta ecuación el foco es F (0,p). si 𝑝 > 0 la parábola abre hacia la arriba y para 
𝑝 < 0 abre hacia abajo. 
 La parábola con vértice v(h,k) y eje de simetría vertical (𝑥 − ℎ)2 = ∓ 4𝑝 (𝑦 − 𝑘). 
 Si el eje de simetría es horizontal entonces: (𝑥 − 𝑘)2 = ∓ 4𝑝 (𝑦 − ℎ). 
 
Ejemplo 1: Cuál es la ecuación de la parábola cuyo vértice es v(0,0)y su foco F(0,3). 
El foco está en y, eso indica que la parábola abre hacia arriba. 
El foco se encuentra sobre el eje Y en (0, 3), por lo tanto es una parábola vertical con las ramas hacia 
arriba y vértice en (0, 0). Su ecuación es de la forma x2 = 4py, siendo p la distancia del vértice a l 
foco, es decir, p = 3, sustituyendo este valor en x2 = 4py se tiene que: 𝑥2 = 4 𝑝𝑦 = 4(3)𝑦 → 𝑥2 =
12𝑦 
 
 
Ejemplo 2: Buscar la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(0,0)y foco F(-6,0). 
El foco está en x=-6 y abre hacia la izquierda, por lo que la ecuación de la parábola es de la forma 
. 
 
 
pxy 42 
22 4 4( 6 2) 4y py x y x     
50 
 
 
 
Ejemplo 3: Obtén los elementos de una parábola cuya ecuación es 𝑦2 = 28𝑥 
Los elementos son: Vértice, foco, directriz, lado recto y eje. 
Se sabe que 𝑦2 = 28𝑥 representa una parábola horizontal, por lo que ahora se pueden sacar sus 
elementos. 
Vértice: v(0,0) 
Foco→ 𝑦2 = 28𝑥 implica que 28/4=7, por lo que P=7 
Lado Recto (LR): es cuanto abre la parábola, por tanto Esto implica 14 arriba y 
abajo. 
Directriz: x=-5 
Eje: y=0 
 Realizar un bosquejo de la gráfica de la ecuación. 
 
 
 
 
 
2.5.2 Representación grafica de una parábola. 
Para graficar una parábola se procede de la misma forma que con la circunferencia y la parábola. 
Ejemplo 1. Graficar 𝑦2 = −20𝑥 
El vértice es v (0,0) y foco: p = (-5,0). 
Buscando su dominio en 𝑦 = √−20𝑥 se cumple ∀𝑥 ∈ (−∞, 0] 
LR= 4 4(7) 28P  
        




x
y
51 
 
 
 
2.6 Hipérbola 
Es aquella cónica que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano para los cuales 
la diferencia de las distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos (llamados focos) es constante y 
menor que la distancia entre los focos. 
Geométricamente la Hipérbola se forma cuando se inclina un plano de forma tal que sea paralelo a dos 
generatrices de un cono. Como se nota es una figura que está formada por dos ramas. 
 
 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_%28geometr%C3%ADa%29
52 
 
 
 
 
2.6.1 Elementos de una Hiperbola con centro en el origen 
 
𝐹1 𝑦 𝐹 son los focos. 
𝐶(ℎ, 𝑘): es el centro. 
𝑉1 𝑉̅̅ ̅̅ ̅̅ = 2𝑎 : es el eje transversal 
𝐵1 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ = 2𝐵 : es el eje conjugado 
𝑄1 𝑄̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
 : Es el lado recto. 
 
2.6.2 Ecuaciones de una hipérbola 
 Si la hipérbola tiene su centro en C (h,k) = (0,0) y su eje transverso esta en x y el conjugado en 
y entonces es una hipérbola horizontala y su ecuación es: 
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
53 
 
 
 
 Si la hipérbola tiene su centro en C (h,k) = (0,0) y su eje transverso esta en y y el conjugado en 
x entonces es una hipérbola vertical cuya ecuación es: 
𝒚𝟐
𝒂𝟐
−
𝒙𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
 Si C (h, k) ≠ (0,0) y su eje transverso es paralelo al eje horizontal x y el conjugado paralelo a 
y , entonces su ecuación es: 
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐
−
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
 Si C (h, k) ≠ (0,0) y su eje transverso es paralelo al eje vertical y y el conjugado paralelo a 
x , entonces su ecuación es: 
(𝒚 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐
−
(𝒙 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
 
Ejemplo 1: Cuál es la ecuación de la hipérbola cuyo centro es C(0,0), sus vértices son 
𝑉1(−2,0); 𝑉(2,0) y focos 𝐹1(−5 ,0) ; 𝑉(5 , 0). 
Solucion: 
a=3, c=5 Como 𝑏2 + 𝑎2 = 𝑐2 → 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2 
𝑏 = √52 − 32 → 𝒃 = 𝟒 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 →
𝑥2
32
−
𝑦2
42
= 1 ∴
 𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1 
 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No des la felicidad de muchos años por el riesgo de una hora. 
Marco Aurelio (121-180) Emperador Romano. 
 
 
 
55 
 
 
 
Cálculo Diferencial 
2.7 Práctica # 2: Las cónicas 
 Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ 
Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________ 
 
La circunferencia 
I. Defina correctamente : 
a) Qué es una cónica?. 
b) Qué es una circunferencia 
II. Obtén la ecuación canónica de la circunferencia de centro y radio dados. 
a) C(-3,5); r = 6 
b) C(-4,-1), r = 2 
c) 𝐶(1,6), 𝑟 = √7 
III. Escribe la ecuación general de una circunferencia dado su centro y su radio. 
a) C(2,4); r = √5 
b) C(-4,7), r = 1 
IV. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias. 
a) 
   
2 2
1 7 25x y   
 
b)    
2 2
8 5 81x y    
c)    
2 2 1
6 4
9
x y    
d)    
2 2
2 1 4x y    
e)    
2 2
9 16x y   
f) 
2 214 14 28 112 50 0x y x y     
 
V. Representagráficamente las circunferencias 
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 36 
b) (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 49 
c) (𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 2)2 = 25 
d) 
2 2 6 0x y   . 
e) 
2 2 8 10 20 0x y x y     . 
f) 
2 24 4 6 8 2x y x y    . 
 
 
56 
 
 
 
VI. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia dados. 
 
 
 
 
a) r = 5 ; C 2, 8 
b) r = 10; C 0, 2 
c) r = 4; C 3, 2


 
 
 
VII. Resuelve los siguientes problemas. 
a) Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto A(6, 0). 
b) Determine la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos : 
M (2, 10) y N (8, 4). 
c) Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro P(-6, 4) y que sea tangente al eje Y. 
d) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro B(5, 6) y que pase por el origen? 
e) Halle la ecuación de la circunferencia de radio r = 4, que sea tangente a los ejes coordenados y 
cuyo centro esté en el segundo cuadrante. 
f) Calcule el área y el perímetro de la circunferencia cuya ecuación es : 2 2 6 4 56 0x y x y     . 
g) Una circunferencia de radio 4 pasa por los puntos P(1, 3) y Q(7, 3). Encuentre las ecuaciones. 
h) Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (3, 0) y (0, 3), y es tangente 
a la recta 3x – 3y = 3. 
 
La Parábola 
VIII. Determina el vértice, la gráfica y la distancia focal de las siguientes parábolas. 
a) 𝑦2 = 3x 
b) 𝑥2 = 4y 
c) (𝑦 + 2)2 = −4(𝑥 − 5) 
d) (𝑥 + 8)2 = 12(𝑦 + 10) 
 
IX. Determine las coordenadas del foco, longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de las 
siguientes parábolas : 
 a) 
2 4x y . b) 
25y x  
X. Halle la ecuación de las parábolas conforme los datos que se indican: 
a) Foco F(0, 6), Directriz : y + 1 = 0. 
b) Foco F(0, 5), Directriz el eje X. 
d) Vértice V(2, 2), Eje de simetría la recta y + 1 = 0 y que pase por el punto (4, 4) 
e) Vértice V(3, 2), Foco F(3, 1). 
 
57 
 
 
 
 
XI. Grafique las siguientes parábolas 
 
2
2
2
2 6
4 6 8 0
3 9 5 2 0
y x y
x x y
x x y
  
   
   
 
 
XII. Determine la ecuación de la tangente a la parábola 2 4 4 6 0y x y    que es perpendicular a 
la recta 2x +3 y + 6 = 0. 
 
 
La Elipse 
 
XIII. En las siguientes ecuaciones de Elipse obtenga su centro, longitud de los semi-ejes mayor y 
menor, longitud de los lados rectos, coordenadas de los focos y vértices, excentricidad y ecuación 
de las directrices. 
a) 
2 2
36
4 16
x y
  . 
b) 2 26 5 30x y  
c) 2 28 2 16 8 14 0x y x y     . 
d) 
 
2 26
1
16 4
x y
  . 
e) 
   
2 2
2 6
1
25 9
x y 
  
XIV. Representa gráficamente las siguientes elipses. 
f) 
2 2
1
3 5
x y
  
g) 
 
 
2
25
3 1
4
x
y

   
h)    
2 2
8 6 1x y    
i) 2 29 6 18 24 3 0x y x y     . 
 
58 
 
 
 
 
XV. Determine las ecuaciones de las siguientes elipses, de forma que satisfagan las condiciones que 
se indican: 
a) Focos (5, 0) y (5, 0), vértices (7, 0) y (7, 0). 
b) Focos (0, 7) y (0,  7), longitud eje menor igual a 14. 
XVI. Determine la ecuación de la elipse de centro (8. 4), uno de los focos en (2, 2) y que pasa por el 
punto (10, 0). 
XVII. Determine la ecuación de la elipse de centro (2, 5), uno de los vértices en (4, 2) y su excentricidad 
e = 1/5. 
 
La Hipérbola. 
 
XVIII. Obten las coordenas al centro y semiejes transversos y conjugados de la hipérbola. 
a) 
2 2
1
25 4
x y
  . 
b) 
   
2 2
3 5
1
4 36
x y 
  . 
d) 
2 29 16 100x y  
 
 
XIX. Represente gráficamente las hipérbolas cuyas ecuaciones se muestran a continuación 
determinando, en cada caso, los vértices, los focos, la excentricidad, la longitud del lado recto 
las ecuaciones de las asíntotas y las ecuaciones de las directrices. 
a) 
2 2
1
15 8
x y
  . 
b) 
2 2 36x y  . 
d) 
2 29 16 100x y  
e) 
XX. Determine las ecuaciones de las hipérbolas que satisfagan las siguientes condiciones: 
a) Centro (0, 0), foco (5, 0), un vértice en (3, 0). 
b) Vértice los puntos (3, 0) y (3, 0), focos (4, 0) y (4, 0). 
 
59 
 
 
 
3. Capítulo 3: Relaciones y Funciones 
 
3.1 Importancia del Cálculo Diferencial 
 
El cálculo diferencial consiste en el cambio que experimentan las funciones. Su principal 
objeto de estudio son las derivadas, la cuales son la medida de la rapidez con la que varía el valor de 
una función según cambia el valor de su variable independiente. Se interesa en el movimiento y la 
forma en la que una cantidad se acerca a otra. 
 Tiene mucha importancia dentro de diferentes ramas del saber, como en el caso de la física 
pues se aplica en la velocidad instantánea sobre la razón de cambio del desplazamiento con respecto al 
tiempo. En la química le interesa la velocidad instantánea para obtener la rapidez de cómo cambian 
las reacciones químicas. En biología se observa cómo crece una población en un determinado tiempo y 
en economía tiene basta importancia en la minimización y maximización para diferentes productos. 
También se usa para predecir ciertos modelos matemáticos en diferentes áreas de la ciencia. 
 http://www.slideshare.net/silvyharoo/clculo-diferencial plantea que las razones del cambio se 
representan en todas las ciencias. Un geólogo se interesa en conocer la rapidez a la cual una masa 
incrustada de roca fundida se enfría por conducción del calor hacia las rocas que la rodean. Un 
ingeniero desea conocer la proporción a la cual el agua fluye hacia adentro o hacia afuera de un 
deposito. Un geógrafo urbano se interesa en la razón de cambio de la densidad de población de una 
ciudad, al aumentar la distancia al centro de la propia ciudad. Un meteorólogo siente interés por la 
razón de cambio de la presión atmosférica con respecto a la altura, En psicología, quienes se interesan 
en la teoría del aprendizaje estudia la curva del aprendizaje, la cual presenta en forma de gráfica del 
rendimiento P(t) de alguien que aprende una habilidad, como función del tiempo de capacitación t. es 
decir en el rendimiento a medida que pasa el tiempo. En sociología, el cálculo diferencial se aplica en 
el análisis del esparcimiento de rumores de informaciones. 
 Como el cálculo diferencial estudia el cambio en las funciones por esa razón la unidad que sigue 
a continuación se le llama relaciones y funciones. 
60 
 
 
3.2 Relaciones y Funciones 
 Desde niveles académicos muy bajos se vienen usando las funciones, pero muchas veces se 
trabajan como algo rutinario, simplemente para cumplir con un programa de clase. Las personas 
calculan y grafican funciones de todas índoles, sucediendo en la mayoría de los casos que ni se 
imaginan la importancia y utilidad de estas, son vistas casi siempre como algo abstracto. 
 En la vida hay cosas que son dependientes y otras son independientes. Algunos sucesos se 
obtienen es dependiendo de los resultados de otros, por ejemplo La cantidad de leche que dé una vaca 
dependerá de la cantidad de pasto y líquido que consuma en el día anterior; La cantidad de combustible 
gastado por un vehículo dependerá del tiempo que dure encendido. Cuando se va al supermercado se 
compra un producto dependiendo de su calidad y su precio. Todo depende de los factores de oferta y 
demanda. 
 Las funciones son de uso en diferentes áreas del saber tales como en la química, física, 
economía, estadística, medicina, finanza, etc. 
 http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml plantea que Las funciones, en 
matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. 
El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para 
designar una potencia 𝑥𝑛de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz 
utilizó el término para referirse a varios aspectos deuna curva y el en 1829 por el matemático alemán, 
J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859. 
 Algunas funciones tiene diferentes uso tales como las funciones cuadráticas la cuales 
representan parábolas. Estas se encuentran sumergidas en la naturaleza y hasta en las trayectorias 
descritas por los proyectiles. Los telescopios, luces de vehículos, cascadas, etc. Es incalculable el uso 
que tienen las funciones de segundo grado en la humanidad. 
 http://www.buenastareas.com/ensayos/Embriologia-Molecular/6352897.html dice que a las 
funciones exponenciales se acostumbra a llamarlas funciones de crecimiento, puesto que su empleo 
más extenso está en la descripción de esta clase de fenómenos, como el desarrollo poblacional de: 
personas, animales, bacterias; la desintegración radioactiva, crecimiento de una sustancia en una 
reacción química, el incremento del capital en el interés compuesto, etc. La función inversa de la 
61 
 
función exponencial, es la función logarítmica que se utiliza ampliamente en las ciencias teóricas como 
en las aplicadas, por ejemplo, para resolver la ecuación exponencial que se deriva de los estudios de 
crecimiento poblacional y de las matemáticas financieras, aun con una calculadora científica muy 
buena, se necesitan las funciones logarítmicas para resolverlas. 
3.3 Clasificación de las funciones elementales. 
 Desde niveles medios siempre han planteado que las funciones se clasifican en elementales y 
no elementales. Las funciones elementales están formadas por los polinomios, el cociente de 
polinomios, los radicales, las funciones trigonométricas y sus inversas, la función exponencial y 
logarítmica, así como todas las funciones formadas a partir de las anteriores mediante operaciones 
algebraicas o composición de funciones. Mientras que Las funciones no-elementales son aquellas que 
pueden ser obtenida mediante un número finito de pasos combinando funciones elementales. Entre 
estas se encuentran las inyectivas, biyectivas, sobreyectivas, las cuales caen en el camplo de la 
clasificación de las funciones por su aplicación. . 
 Toda función proviene de una relación y en cada una de estas hay comportamientos importantes 
tales como su Dominio, su rango, simetría, periocidad, puntos de cortes, crecimiento y decrecimiento, 
puntos críticos: máximo y mínimo, punto de inflexión, concavidad y convexidad, etc. A continuación 
se presenta un organigrama de clasificación de las funciones elementales. 
Polinomial
 
Racional
Radical
A t
Con
Tr
stan
asce
te
grad
ndente
Algeb
Expon
Func
enci
ión
al
Logarítmica
Trigonométric
ra
ro
ica
zo
a
 
on
 
 
 
 
 
 
 
 
 



 
 
 









 
 
 
62 
 
 
● Conjunto producto: Es el conjunto de los pares ordenados (x, y) donde x є A ^ y є B. 
● Relación: Es un subconjunto del conjunto producto que se forma a través de un mandato. En toda 
relación se encontrará un primer conjunto llamado conjunto de partida y un segundo llamado 
conjunto de llegada. 
Ejemplo: Si A= {1, 4,6}, B= {2, 3,7}. Haga el conjunto producto y buscar la relación de acuerdo f: x 
> y. Luego grafique la relación en el plano cartesiano y haga el diagrama de Euler-Venn. 
 
a) Conjunto Producto A x B = {(1,2); (1,3) ; (1,7) ; (4,2) ; (4,2) ; (4,7); (6,2); (6,3); (6,7)}. 
b) Relación obtenida de acuerdo a F: x >y; R: {(4,2); (4,3); (6,2); (6,3)} 
 c) Plano cartesiano 
 Y 
 
 
 x 
 
3.4 Propiedades de una relación. 
1) Reflexión: Es una propiedad que dice que todo elemento se relaciona consigo mismo, es decir, 
matemáticamente ; ( , )x A x x A   . 
Ejemplo: sea A= {2, 3, 4}: R: A A donde x = x. 
 
2) Simétrica: Dice que si un elemento x es igual a y entonces y también es igual a x. Matemáticamente 
se expresa ,x y A  ;( x , y) ∈ A ^ (y , x) ∈ 𝐴. Ejemplo: Sea A = {2, 3, 4,}, R: { (2,4); (4,2) } 
 
63 
 
 
 
3) Transitiva: Coloquialmente se usa cuando se dice que Carlos es igual a Pedro y Pedro es igual a 
Willy, entonces Carlos es igual a Willy. La definición matemática dice que 
 , , ; ,x y z A x y A   ^    , ,y z A x z A   
Ejemplos: x = y ^ y = z x = z ; x < y ^ y < z x < z; 
 a  b ^ b c a  c 
 
3.5 Dominio y Rango de una función 
Dominio: Es el conjunto de los elementos del conjunto de partida que están relacionados con algún 
elemento del conjunto de llegada. Matemáticamente son los elementos para los cuales la función está 
definida.   ; /x X y Y f x y    
 Rango: Es el conjunto de los elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún 
elemento del conjunto de partida. Matemáticamente se expresa   ; /y Y x x y f x    . 
Ejemplo 1: Dados A ={2,3,4,5} y B = {4,6,9}, siendo , R : A —> B la relación tal que "x + y 
 8”, determine: a) Conjunto Solución, b) Dominio, c) rango, d) Diagrama de Venn-Euler y e) 
Diagrama de coordenadas. 
 
Solución: 
a) El conjunto solución es 
R = { ( x , y) A X B / x + y 8 } = {( 2, 4 ) ( 2, 6 ) , ( 3, 4 ), ( 4, 4 )} . 
b) El dominio es D = { 2, 3, 4} ; c) El rango es D ={ 4, 6 } 
d) El diagrama de Venn – Euler es: 
 
64 
 
 
3.6 Función. Concepto y Defininición. 
Concepto: Es toda relación en la cual ningún elemento del dominio tiene más de una imagen en el 
rango. 
Definición: 
Dados los conjuntos X ^ Y ≠ ∅ una función desde X hasta Y connotada por 
 F: XY es una correspondencia matemática que cumple con los siguientes criterios. 
Condición Existencial: 
 ; / ,x X y Y x y f     
Condición de Unicidad: 
 Dice que:    1 2 1 2, ^ ,x y f x y f y y    
f(1)= ?, f(-3)= 9, f(6)=? , f(4)= 16; Solamente hay función en -3 y 4. 
Ejemplo 1: 
    2 Sea X 1, 3,6,4, ; 7,9,10,16 . Dada la función y=x
Diga para cuales elementos se cumplen. 
Y  
 
Ejemplo 2: Dada la función ;Y X . Cuál es el dominio y rango 
Ejemplo 3: Hallar el dominio de la función 
1
( )
4 5
x
f x
x


 
 
Domino: 0R  , es decir x mayor que cero 
Rango: 0R  , Y mayor que cero también. 
Solución: dom. f: x  R/ 4 5 0x  . Resolviendo la inecuación obtendremos como resultado 9x 
y 1x por lo que el dominio de la función es es    , 1 9,U   . 
3.6.1 Clasificación de las funciones según su aplicación 
Inyectiva : 
● Asigna a elementos distintos de A, elementos distintos de B. 
   1 2 1 2 1 2, ;x x A f x f x x x     
 
65 
 
 
 
 
 b) Sobreyectiva: 
Es cuando todos los elementos del rango son imágenes aunque sea de un solo elemento del dominio; es 
decir, cuando el rango sea igual al conjunto de llegada, R = B. 
 
 
 
 
 C) Biyectiva: Es cuando una función es inyectiva y sobreyectiva a la vez. 
 
 
 
 
 
3.6.2 Función par e impar 
a) Función par: Una función es par cuando guarda simetría en el eje de la ordenada. y= (x) es par  
f (-x) = f (x); Ejemplo: Sea 
2y x 
 Es par porque sea a cualquier número, f (-a) = f (a)→ 2 2( ) ( )a a  → a = a 
 
 
 b) Función impar: Será impar cuando presente simetría con respecto al origen de coordenadas. 
Y = f (x) es impar  f (-x) = - f (x)    ; ^x Ax A x A f x f x        
 
        








x
y
66 
 
 
Ejemplo: 
3
3 3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x x f a f a
a a a a
     
     
 
 
 
3.6.3 Funciones algebraica. Clasificación. 
Son aquellas en la cual la variable independientemente se somete a las operaciones de adición, 
sustracción, multiplicación, división, potencia y radicación. Ejemplo: 4y x  
Estas pueden ser: 
Explicitas: