Analisis Matematico I

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ANALISIS
MATEMATICO
1
J . ARM ANDO V EN ER O B.
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS (U.N.I.)
Con la colaboración especial de
JOSE P. MIGUEL CAÑAMERO
Master en Matemáticas y Ciencias de la Computación 
Univeríty oí Britísh Columbia, Vancouver, Canadá.
ALBERTO LUTGARDO YAÑEZ
Master en Matemáticas y Ciencias de la Computación 
University of Kentucky, Kentucky, U.S.A.
R. ISABEL VENERO DE LUTGARDO
Tutora en Matemáticas
West Valley College, California, U.S.A.
2da. Edición 
2010
LIMA
“E D I C I O N E S C jE M J A . l l
PERÚ
A NALISIS MATEMATICO 1
2a. E d ic ió n
J . A R M A N D O V E N E R O B .
Estudios de Magíster en M ATEM ÁTIC AS (P.U.C.P.)
D pto . de tipeo, d ia g ra m a c ió n y d iseño 
A n a M a ría Vargas L o a yza ,
Lic. en Educación (U.N.M.S.M.)
H echo el D epós ito Lega l en la B ib lio te ca N ac iona l del Perú Ne 2 0 0 9 -1 2 6 1 7
ISBN : 9 7 8 -6 1 2 -4 5 2 1 6 -1 -4
© 2 0 1 0 , Representaciones Gem ar E.I.R.L. 
Av. Río V ilcanota 168. Ate. Lima 03 
Teléfono: 4466176 - 3493708 
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COPYRIGHT C 2010, 2007, por Representaciones Gemar E.I.R.L. LIMA - PERÚ
Prohibida la reproducción parcia l o tota l, por cua lqu ie r m e­
dio o método, de este libro sin la autorización legal del 
autor y/o de R E P R E S E N T A C IO N E S G E M A R E . I .R .L . 
L IM A -P E R Ú .
A NA LISISIMA TEMA TICO 1
PRÓLOGO
Como a lte rn a t iv a a la necesidad de c o n ta r con un libro que co m p le ­
m en te el p r im e r curso de m a te m á tic a s u n ivers i ta r ia s en las especia lidades 
de In g en ier ía y Ciencias , es q u e p r e se n ta m o s esta obra que tra ta acerca del 
CÁLCULO D IFERENCIAL. E l es tud io de este tem a es en focado de dos m a n e ­
ras: teórica y prác tica .
La teoría no es tan r igurosa , con e jem plos i lu s tra tivo s que explican 
p o r s í m ism o s la im p o r ta n c ia de e s tu d ia r la teoría con a tenc ión y cuidado.
El es tud io de este te m a p re su p o n e conocer, a u n q u e a un n ive l ele­
m en ta l , la Lógica S im bó lica y la Teoría de C onjuntos, y a u n m a y o r g rado 
las p ro p ied a d es de los N Ú M E R O S R E A L E S q u e se re fieren a sus a x io m a s , a 
la solución de Ecuaciones e Inecuac iones ta n to L ineales co m o C uadráticas, 
las p ro p ied a d es de l Valor A b so lu to y de l M á x im o E n tero , a s í com o el A x io m a 
del S u p rem o . E s ta s p ro p ie d a d e s se p u e d e n e n c o n tra r en m u ch o s libros en tre 
los cuales: M A T E M Á T IC A BÁSIC A o IN TR O D U C C IÓ N A L A N Á L IS IS M A ­
TEM ÁTICO de m i a u to r ía . S in e m b a rg o , a lg u n o s concep tos y p ro p ied a d es 
im p o r ta n te s los p re se n ta m o s en es te libro en u n cap ítu lo in tro d u c to r io de­
n o m in a d o Capítu lo 0: N Ú M E R O S R E A LE S.
Los cap ítu los de es ta obra s ig u en un o rd en ta l que cada uno de ellos 
depende del a n te r io r en g ra n m e d id a , ra zón p o r la cua l a co n se ja m o s a l es­
tu d ia n te ded icarse con e sm ero a cada capítu lo , ta n to en lo q u e respecta a su 
teoría com o a sus e jem plos resueltos.
E l p r im e r Capítu lo t i tu la d o R E LA C IO N E S está ded icado a la g e o m e ­
tr ía de c iertas g rá fica s q u e será s u m a m e n te ú ti l en el cap ítu lo s ig u ien te que 
tra ta de las Funciones. Se p r e se n ta n los criter ios y técn icas p a r a g ra fic a r y 
reconocer cu rva s y reg iones especia les en el p la n o cartes iano .
L uego se e s tu d ia n las FU N C IO N ES en f o r m a de ta lla d a , p re se n ta n d o 
las técnicas p a r a ha llar el d o m in io y el ra n g o de una fu n c ió n d a d a , a s í com o 
p a r a rea liza r operaciones en tre fu n c io n e s y co n s tru ir fu n c io n e s m á s e labo­
ra d a s com o las FU N C IO N ES CO M PU ESTAS y las FU N C IO N ES IN V E R SA S.
E l tercer C apítu lo e s tu d ia el concep to de L ÍM IT E y es el m á s im p o r ­
ta n te del libro p u e s co n s ti tu ye la p u e r ta de e n tra d a a l u n iverso d e n o m in a d o 
A N Á L IS IS M ATEM ÁTIC O , y a q u e concep tos p o s te r io re s com o la C on tinu i­
dad , la D erivada , la In te g ra l y m uchos o tro s , se d e fin en en base a los
A N A L IS IS M A T E M A T IC O /
Lím ites. La p re sen ta c ió n de este cap ítu lo es el re su m en de m i experiencia 
docente en la en señ a n za de es te te m a d u r a n te var io s a ñ o s .
E l c u a r to C apítu lo acerca de la C O N TIN U ID A D D E FU N C IO N ES es 
corto p e ro com p le to y es p rá c t ic a m e n te una ex ten s ió n del an ter io r .
E l q u in to C apítu lo tra ta de la D E R IV A D A de fu n c io n e s , q u e es una 
nueva operac ión m a te m á tic a sobre las fu n c io n e s . P rec isam en te es te concep­
to a s í com o el de la operación d e n o m in a d a IN T E G R A C IÓ N , d ie ro n un g ra n 
im pu lso a la Ciencia y a l a Tecnología.
El sex to cap ítu lo es tud ia las A P LIC A C IO N E S D E LA D E R IV A D A en 
lo que se re fiere p r in c ip a lm e n te a la R a zó n de C am bio de una fu n c ió n con 
respecto a su var iab le , a las Velocidades, a l cálculo de va lores M á x im o s y 
M ín im o s y a l tra za d o de G ráficas de Funciones.
A d e m á s , en es te sex to cap ítu lo p r e s e n ta m o s el M ÉTO D O D E N E W - 
T O N que es una técnica m u y sencilla y a la ve z im p res io n a n te , que requiere 
al m en o s de una ca lcu ladora con m e m o r ia , y se u tiliza p a r a ca lcu lar las so ­
luciones de aque llas ecuaciones p o lin ó m ic a s y de o tros tipos, que resu ltan 
im posib les de ser ha lladas en f o r m a exac ta , con el g ra d o de a p ro x im a c ió n 
que uno quiera .
E l ú l t im o cap ítu lo tra ta de la F U N C IÓ N LO G ARITM O N A T U R A L 
(L o g a r itm o N e p e r ia n o ) y la fu n c ió n EXPO N EN C IAL, sus defin ic iones, g r á f i ­
cas, p ro p ied a d es , su s d er iva d a s y a lg u n a s aplicaciones.
In c lu ye los l ím ites logarítm icos y exponenc ia les , y en es ta seg u n d a edición 
es ta m o s p re se n ta n d o en una f o r m a m u y d idác tica todas las técn icas p a ra el 
cálculo de l ím ites que tienen las f o r m a s exponencia les in d e te rm in a d a s:
Com o una a y u d a ad ic iona l p a r a el e s tu d ia n te se p re se n ta n 
series de ejercicios a l f i n a l de cada cap ítu lo y a con tinuación sus respec tivas 
claves de respues ta s , y con a va n ces de so lución de m uchos de ellos.
J. ARMANDO VENERO BALDEÓN
1
1
2
3
3
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7
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74
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100
108
116
CONTENIDO
0 NUMEROS REALES
1 Axiomas de la Relación de Orden
2 Ecuaciones
3 Ecuaciones Cuadráticas en una variable
Raíces del Trinomio Cuadrático a x 2 + b x + c
4 Completación de Cuadrados
La técnica de completar cuadrados
5 Discriminante de a x 2 + b x + c
6 Valor Absoluto de un número real
I RELACIONES
1 Pares Ordenados, Producto Cartesiano
2 Relaciones. Tipos de Relaciones
3 Gráficas de Relaciones
4 Relaciones Inversas
5 Distancia entre dos Puntos
6 La recta y sus Ecuaciones
7 Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares
8 Distancia de un Punto a una Recta
9 Ángulo entre dos Rectas
10 Gráficas que involucran el Valor Absoluto
I I Gráficas de Ecuaciones: Parábolas, Circunferencias
12 Criterios generales para graficar ecuaciones
13 Serie de ejercicios
2 FUNCIONES
1 Funciones. Dominio, Rango y Gráfica
2 Cálculo de Dominios y Rangos de Funciones
3 Funciones Especiales: Identidad, Constante, Escalón 
Unitario, Signo, Valor Absoluto, Máximo Entero, Raíz 
Cuadrada,Funciones Cuadráticas, Polinomios, Seno y 
Coseno
4 Evaluación de una Función en un Punto
5 Trazado de Gráficas Especiales
6 Funciones Pares, Impares y Periódicas
7 Álgebra de Funciones: Igualdad de Funciones; Suma,
Resta, Multiplicación y Cociente de Funciones
8 Composición de Funciones
9 Funciones Inversas. Funciones Suryectivas, 
Inyectivas y Biyectivas. Funciones Inversas
10 Funciones Trigonométricas y sus Inversas
11 Serie de ejercicios
CAPITULO 3 LIMITES
1 Introducción
2 Vecindades. Entornos. Vecindades reducidas
3 Puntos de Acumulación de un conjunto de números 
reales. Puntos de Acumulación del dominio de una 
Función
4 Límites
5 Teoremas sobre Límites y sus aplicaciones
6 Límites Laterales. Ilustración geométrica
7 Límites de Funciones Compuestas
8 Cálculo de Límites
9 Límites Trigonométricos
10 Límites Infinitos
11 Asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas
12 Serie de ejercicios
CAPITULO 4 CONTINUIDAD
1 Continuidad de una Función en un punto
2 Continuidad de una Función sobre un subconjunto de 
su dominio
3 Continuidad por la derecha; continuidad por la izquierda 
en un punto
4 Clases de Discontinuidades. Extensión continua
5 Teoremas sobre Continuidad
6 Continuidad de Funciones especiales
7 Problemas resueltos
8 Teoremas Especiales sobre funciones Continuas: 
Teorema del Valor Intermedio. Teorema del Cero
9 Funciones acotadas. Teorema Fundamental de las 
Funciones continuas. Teorema de los Valores Extremos 
Absolutos
10 Serie de ejercicios
CAPITULO 5 LA DERIVADA
1 Recta tangente a la gráfica de una Función
2 La Derivada de una Función. Funciones Diferenciables
3 Diferenciación de funciones especiales
4 Teoremas sobre Derivadas
120
130
144
178
189
234
234
234
248
251
262
267
278
282
288
296
309
314
339
339
344
348
350
353
356
359
362
366
374
389
389
392
396
397
5 La Derivada de una Función Compuesta
6 Problemas resueltos
7 Derivadas Laterales
8 Funciones no diferenciables
9 Diferenciabilidad y Continuidad
10 Tópicos sobre Análisis de la Diferenciabilidad
11 Derivadas de orden superior
12 Diferenciación implícita
13 Diferenciales. Error Relativo y Error Porcentual
14 Razón de cambio instantáneo. Velocidad Instantánea
15 Representación paramétrica de curvas. Derivadas
16 Trazado de Curvas Paramétricas. Criterios
17 Serie de ejercicios
CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA DERIVADA
403
412
414
417
423
425
436
438
441
449
457
466
474
511
1 Valores Extremos de una Función
2 El Teorema de Rolle. El Teorema del Valor Medio
3 Teorema Generalizado del valor Medio.
Reglas de L’Hospital
4 Funciones crecientes. Funciones decrecientes
5 Aplicaciones del Teorema del Valor.Medio
6 Puntos Críticos de una función en un intervalo
7 Criterio de la Primera Derivada.
Criterio de la Segunda Derivada
8 Concavidad. Puntos de inflexión
9 Aplicaciones al trazado de curvas
10 Derivada de la Función Inversa
11 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas
12 Serie de ejercicios
13 Evaluación de Polinomios con calculadoras de bolsillo
14 Aproximaciones Sucesivas. Método de Newton
511
513
518
525
532
539
544
556
563
569
573
584
653
654
CAPITULO 7 LOGARITMO Y EXPONENCIAL 670
1
2
3
4
5
6
7
8 
9
10
11
La Función Logaritmo (Natural)
Propiedades de la Función Logaritmo 
El Número e. Un estimado de su Valor Numérico 
Derivación Logarítmica 
Cálculo de Límites Logarítmicos 
La Función Exponencial (Natural)
Límites Exponenciales (Naturales) y Gráficas
Gráficas de Funciones Exponenciales
Algunos Límites Especiales
Derivadas de Funciones Exponenciales Generalizadas
Límites de Funciones Exponenciales Generalizadas
Serie de ejercicios
670
672
675
689
690 
697 
716 
722 
738
740
741 
749
 * .
“La conciencia es como un vaso ; 
s i no está limpío e í vaso . . . 
resuCtará sucio todo Co que 
entre en é í."
Horacio
.. .. .../
Cap. O - 1 -
N U M E R O S R E A L E S
1 ,
Sean a , b , c e R -
01. LEY DE TRICOTOMÍA: Si a e R , b e R , entonces se cumple
una y so lam en te una de las relaciones :
a < b , a = b Ó a > b .
02. LEY TRANSITIVA:
Si a < b y b < c entonces a < c
03. LEY DE LA ADICIÓN Y CANCELACIÓN: Para todo c € R ,
a < b a + c < b + c
a < b a — c < b — c
1 El sentido de la desigualdad no cambia si a ambos miembros se le suma (o se le 
resta) un mismo número real c “
04. LEY DE LA MULTIPLICACIÓN:
i) Si c > O :
i i ) Si c < 0 :
a < b = > (a c ) OV
a < b = > (a c ) > (b e )
❖ El sentido de la desigualdad no cambia si se multiplica a ambos miembros por 
un mismo número p o s i t iv o .
2 Análisis Matemático 1 Cap. 0
❖ La desigualdad cambia de sentido si se multiplica ambos miembros por una 
misma cantidad n e g a t i v a .
EJEMPLOS:
x < 5
- 2 x > - 10 
3x < 15
2 .
Se llaman ECUACIONES EQUIVALENTES a aquellas que tie 
nen exactamente el mismo conjunto de soluciones.
Por ejemplo, las ecuaciones x - 6 x = 0 y ( x - 3) = 9
tienen ambas exactamente dos soluciones: x = o y x = 6 , (y ninguna otra).
2.1 O PERACIO NES QUE O R IG INAN EC UACIO NES EQ U IV A LE N TE S
a) Sumar el mismo número o expresión a ambos miembros.
b) Restar el mismo número o expresión a ambos miembros.
c) Multiplicar o dividir ambos miembros por una misma CONSTANTE NO NULA.
d) Multiplicar o dividir ambos miembros por una misma expresión que depende
de una variable, para aquellos valores de la variable que NO PERMITAN que la 
expresión tome el VALOR CERO, y siempre que no origine soluciones extrañas 
ni que se pierdan algunas soluciones de la ecuación original.
2.2 NOTA.- RESOLVER UNA ECUACIÓN significa que se deben realizar sucesiva -
mente las mismas operaciones (permitidas) en ambos miembros con el 
objetivo de dejar la incógnita sola en uno de los miembros. Por ejemplo, 
para resolver la ecuación
(b )
6x - 11 = 2x + 9 6x - 11 - 2 x = 2 x + 9 — 2x
(a)
4 x - 11 = 9
4x - 11 + 11 = 9 + 11
(c )
4x = 20
( 4 x ) = ( 20 )
3.
( * )
Cap. O Números Reales 3
donde a * 0 , b y c son constantes reales.
La resolución de la ecuación ( * ) puede realizarse ya sea FACTORIZANDO o 
COMPLETANDO CUADRADOS, métodos basados en los siguientes teoremas.
3.1 TEOREMA I . - Si a e R , b € R , b > 0 :
a 2 = b a = ± V~b~
Por ejemplo:
1) x 2 = 16 => x = ± 4 (dos soluciones)
2) ( x - 5 )2 = 36 = > x - 5 = ± tÍ M
x - 5 = ± 6
x = 11 , x = - 1 (dos so luciones).
3) (2 x + l ) 2 = 7 => 2x + 1 = ± V T
2x = - 1 ± * /7
(dos soluciones) = > x = — ( ~ í ± V~7~) .
2
4) 2 ( x - 3 )2 = 5 = > ( x - 3 )2 = 5 /2
x - 3 = ± ^ 5 /2
x = 3 ± V 5 /2
5) La ecuación (3 x - 5 )2 = - 4 NO TIENE SOLUCIÓN EN R , pues en
este campo de números un cuadrado toma valor POSITIVO o CERO solamen­
te y en ningún caso podrá tomar el valor: - 4 .
Cabe indicar que esta ecuación sí tiene soluciones en el campo de los NÚME­
ROS COMPLEJOS C , a saber:
x = (5 ± 2 i ) / 3 , donde í = ^ - i es la unidad imaginaria.
3.2 TEOREMA I I S i a , b 6 R :
4 Análisis Matemático 1 Cap. 0
El conectivo lógico se lee " o " en el sentido inclusivo de " y / o ” y se
emplea para indicar LA REUNIÓN de las soluciones de ia ecuación
las de 1a ecuación
con
x - \ 2 x + 35 = 0 ( x - 5 ) ( x - 7) = 0
( x - 5 = 0) V ( x - 7 = 0)
<£> ( x = 5) V ( x = 7) .
Resolver UNA ecuación complicada de segundo grado equivale a resolver DOS 
ecuaciones sencillas de primer grado. Esto es un procedimiento usual en el campo 
de las matemáticas, en general, y se consigue por factorización.
Este teorema se extiende a productos de tres o más factores:
abe = 0 -O (a = 0) V (b = 0) V (c = 0) .
3.3 TEOREMA I I I .
En efecto, a2 = b 2 <=> (a — b ) ( a + b) = 0 ,
( 4 x — l ) 2 = (3x + 15)2 <=*► 4 x — 1 = ± (3 x + 15)
^ [ 4 x - 1 = 3x + 15] V [ 4 x - 1 = — (3x + 15)]
<í=> [ x = 16 ] V [ 7x = - 1 4 ]
[ x = 16 ] V [ x = — 2 ]
3.4
Son aquellos valores particulares de la variable x que hacen que el 
2
trinomio cuadrático ax +b x + c tome el valor CERO.
Por ejemplo, hallaremos varios valores de x + 2x - 8 :
Si x = l = - 5
Si x = 2
Si x = - 3
Si x = 0
r + 2 ( 1 ) - 8 
2 2 + 2(2) - 8
( — 3) + 2 ( — 3) - 8 = - 5
0 + 2(0) - 8 = - 8
Cap. O * Números Reales - 5 -
❖
Así resulta que
= 0
son RAÍCES del trinomio cua
drático x + 2x - 8 .
3.5
se llaman
Si la ecuación tiene su segundo miembro igual a CERO, entonces n
a las
Así, las soluciones de la ecuación x 2 + 2 x - 8 = o son las raíces del primer 
miembro x 2 + 2x — 8 , es decir x = 2 y x = - 4 .
4 .
Es un procedimiento algebraico que consiste de transformar la 
expresión cuadrática EN FORMA EQUIVALENTE como
donde h y k son constantes reales que pueden tomar valores positivos, negati­
vos o cero. Se le reconoce porque la variable x aparece una sola vez. Por 
ejemplo,
(1) 2 x 2 - 1 2 x + 13 = 2 ( x - 3 ) 2 - 5
(2) x 2 + 2x - 8 = ( x + I ) 2 - 9
(3) — 3 x 2 4- 12x — 14 = — 3 ( x — 2 )2 — 2
(4) 2 x 2 — 4 x + 7 = 2 ( x - l ) 2 + 5
(5) 5 x 2 — 20x + 20 = 5 ( x - 2 )2
(6) - x 2 + 6x + 16 = - ( x - 3 )2 + 25
(7) 7 x 2 - 5 = 7 x 2 - 5
6 Análisis Matemático I Cap. 0
La completación de cuadrados es muy importante en varios 
aspectos. En particular casi de inmediato te proporciona las raíces reales de cual­
quier trinomio cuadrático:
LAS RAÍCES DE: 2 ( jc — 3 )2 — 5
SON LAS SOLUCIONES DE : 2 ( x - 3 )2 - 5 = 0
(x - 3 )2 = 5 /2
- 3 = ± V 5 /2 ... TEOR. ( I ) [ 3.1 ]
es decir, x = 3 ± J 5 /2 .
Estas dos SOLUCIONES de la ecuación 2 (x - 3) - 5 = 0 son las dos RAÍCES
2
del trinomio 2 (x - 3) - 5 .
2
Es decir, para hallar las raíces de 2 ( x - 3) - 5 , mentalmente (imaginaria­
mente) haces aparecer a su derecha la expresión = 0 y procedes a hallarlas 
como acabamos de hacer.
2
4.1 NOTA.- Ya puedes darte cuenta de que el trinomio cuadrático a x + b x + c
presentado en la forma a (x - h ) 2 + k :
i) TIENE DOS RAÍCES REALES DISTINTAS SI LOS NÚMEROS a y k TIENEN SIG­
NOS OPUESTOS como en los trinomios cuadráticos (1) , (2) , (6) y (7) :
2
( x + i ) - 9 , raíces: x = - 1 ± 3
=>* x = 2 , x = — 4
- ( x - 3 )2 + 25 , raíces: x = 3 ± 5
x = 8 , x = — 2
7x — 5 , raíces x = ± J T j T .
i i) TIENE UNA ÚNICA RAÍZ REAL (repetida) SI k = O como en el trinomio (5) :
5 (x - 2) cuya raíz es x = 2 del cual también se dice que es una raíz de
MULTIPLICIDAD DOS, es decir, repetida.
i i i ) NO TIENE NINGUNA RAÍZ REAL SI LOS NÚMEROS a y k TIENEN EL MISMO SIG­
NO, ambos positivos o ambos negativos. Ver los trinomios cuadráticos (3) y (4)
— 3 ( x - 2 ) 2 - 2 , 2 ( x - 1)2 + 5
Cap. O Números Reales - 7 -
(Ellos tienen raíces COMPLEJAS IMAGINARIAS).
2
En este último caso, debido a que el trinomio cuadrático ax + b x + c
NO SE HACE CERO NUNCA EN r , entonces o toma solamente valores positi­
vos o solamente valores negativos, en R :
( i i i ) [1 ]. Si a > 0 : a x 2 + b x + c > 0 , para todo x 6 R .
( i i i ) [2 ]. Si a < o : ax + b x + c < o , para todo x 6 R ■
A los trinomios cuadráticos de este tipo se les conoce también como TRINOMIOS 
CUADRÁTICOS IRREDUCIBLES en r , o EXPRESIONES CUADRÁTICAS IRREDU­
CIBLES en R , como - 3 x 2 + I2 x - 16 = - 3 ( x - 2 )2 - 4
que no tiene raíces reales y cuyo valor es SIEMPRE NEGATIVO, para cualquier x e R
4.2
FUNDAMENTO : 2 2 x + 2ax + a = ( x + a)
A LA EXPRESION
CUADRADO
2 - , 2 x — 2ax + a = ( x - a)
x ± 2 a x =
( x ± a) — a
LE SUMAS Y LE RESTAS, EN ESE ORDEN, EL
DE LA MITAD [ T ] DEL COEFICIENTE DEL TERMINO
EN x . ENTONCES, LOS TRES PRIMEROS SUMANDOS CONSTITUYEN EL CUA­
DRADO DEL BINOMIO (x + a )2 O DE (x - a ) 2 , RESPECTIVAMENTE "
CASO 1
x — b x = X 1 - b x + ( b / 2 ) 2 — ( b / 2 ) 2
( * - t ) 2 - ( t ) 2 2 2
x ¿ + b x = x 2 + b x + ( b / 2 ) 2 - ( b / 2 ) 2 
b , 2 , b 2
( ' + T > - T
8 Análisis Matemático I Cap. 0
AL COEFICIENTE b DE x LE TOMAS LA MITAD : b / 2 Y LO COLOCAS,
CON SU SIGNO, DENTRO DE CADA UNO DE LOS DOS CUADRADOS.
EL SEGUNDO CUADRADO SIEMPRE APARECE RESTANDO.
x 2 - 8 x = x 2 - 8 x + 4 2 - 4 2 - ( x — 4 ) 2 — 16
2 . c 2 , , 5 . 2 , 5 - 2 5 . 2 25
X + 5 x = x + 5 x + ( — ) - ( — ) = (jc + — ) -
2 2 2 4
x 2 - 8 x + 3 = [ ( x - 4 ) 2 - 4 2 ] + 3 = ( x — 4 ) 2 — 13
CASO 2
COMPLETAS CUADRADOS SOLAMENTE A LOS DOS PRIMEROS SUMANDOS 
COMO EN EL CASO 1.
1) x 2 + 4 x - 7 = ( x + 2 ) 2 - ( 2 ) 2 - 7 = ( x + 2 ) 2 — 11
TIENE DOS RAÍCES REALES x = - 2 ± a/T T .
2) x 2 — 9x + 5 = ( x - — ) 2 - (— ) 2 + 5 = ( x - — ) 2 - —2 2 2 4
TIENE DOS RAÍCES REALES x = — ± = — ( 9 ± / ó l " ) .
2 2 2
3) x 2 — 3x + 4 = ( x - — ) 2 - (— ) 2 + 4 = ( x - — ) 2 + —
2 2 2 4
NO TIENE RAÍCES REALES.
4) x 2 + 12x + 36 = ( x + 6 ) 2 - 6 2 + 36 = ( x + 6 ) 2
[ ya era un cuadrado perfecto ] , TIENE UNA ÚNICA RAÍZ x = - 6 .
CASO 3
Cap. O Números Reales 9
FACTOR1ZAS EL COEFICIENTE a SOLAMENTE EN LOS DOS PRIMEROS SU­
MANDOS QUE CONTIENEN A LA VARIABLE X .
LUEGO, DENTRO DEL CORCHETE , APLICAS LA TÉCNICA DEL CASO 1.
1) 2 x 2 + 8x + 5 = 2 [ x 2 + 4 x + [ ] - [ ] ] + 5
= 2 [ x 2 + 4x + 2 2 — 2 2 ] + 5
(CASO 1) = 2 [ ( x + 2 ) 2 - 22 ] + 5
= 2 ( x + 2 ) 2 — 3 
tiene dos raíces reales: x = - 2 ± 3 /2 .
2) 3 x 2 - 7x + 2 = 3 [ x 2 - — x ] + 2
3
(CASO 1) = 3 [ ( x — —) 2 — (— ) 2 ] + 2
6 6
7 2 49
= 3 ( x --- —) - — + 2
6 12
= 3 ( y ? ) 2 25
~~ 6 12
tiene dos raíces reales: x = — ± — es decir x = 2 , x = 1/3 .
3) - x 2 - 5 x + 3 = — [ x 2 + 5x ] + 3
5 2 5 2
= - [ ( jc -h — ) — (— ) ] + 3
2 2
5 . 2 25 . . 5 .2 37
= - -( x + — ) + --------- + 3 = - ( x + — ) + ------
2 4 2 4
tiene dos raíces reales: x = ± -2^21. - - L ( - s ± V~37~) .
2 2 2
Análisis Matemático 1 Cap. 0
= — 4 ( x — i , 2 + " 
8 16
- 2
= - 4 ( x - V -
8 16
... NO TIENE RAICES REALES.
5) - 25 x 2 + 20 x - 4 = - 2 5 [ x 2 - — x
25
] - 4
25 [ x 2 — x
5
] - 4
2 2 2 2
— 25 [ ( x —) - ( - ) ] - 4
5 5
2 2
— 25 ( x — ) + 4 — 4
5
- 2 5 ( x - — ) 2
5
j cuadrado per fecto!
TIENE UNA ÚNICA RAÍZ: x = 2 /5 (de multiplicidad dos).
5.
En la fórmula de las raíces dei trinomio cuadrático a x + b x + c :
( * ) , a * 0 , b , c 6 R ,
se llama DISCRIMINANTE a la cantidad subradical
CASO I . Si entonces ax + b x + c tiene DOS RAICES
REALES DISTINTAS Xj * x 2 . En tal caso se puede factorizar con dos
factores de grado uno, en IR , de la forma
Por ejemplo: 2 x 2 + 5 x — 12 tiene DISCRIMINANTE b 2 - 4ac =
Cap. O Números Reales 11
5 - 4 ( 2 ) ( — 12) = 121 , entonces tiene dos raíces reales distintas ;
en efecto, 2 x + 5x - 12 = ( 2 x - 3) ( x - 4)
= 2 ( x -------- ) ( x + 4)
2
x , = 3 / 2 , j c. = - 4 , son sus dos raíces reales distintas.
CASO I I . Si entonces a x + b x + c tiene DOS RAICES
REALES IGUALES x , = x 2 , es decir tiene UNA UNICA RAIZ REAL 
DE MULTIPLICIDAD DOS (es decir, repetida).
En tal caso, tenemos un CUADRADO PERFECTO en R , de la forma
Por ejemplo, 3 x - 3 0 x + 75 b 2 - 4 a c = ( — 3 0 ) 2 — 4 ( 3 ) ( 75)
= 900 - 3 ( 300)
tiene una única raíz real repetida; en efecto
3 x 2 - 3 0 * + 75 = 3 ( x 2 - 10* + 25)
= 3 ( * - 5 r 
que tiene como única raíz = * 2 = 5
CASO I I I . Si entonces ax + b x + c NO TIENE
NINGUNA RAÍZ REAL , y no se podrá factorizar con dos factores de 
grado uno, en R . Por esta razón a estas expresiones cuadráticas 
se les denomina IRREDUCIBLES EN R . Y como ax + b x + c 
no se hace cero para ningún x e R , entonces:
O toma valores positivos solamente o toma valores 
negativos solamente para todo x en R . Así,
i) Si y entonces
12 Análisis Matemático 1 Cap. 0
... es POSITIVO para cualquier x e R .
i i ) Si entonces
... es NEGATIVO para cualquier x e R .
Por ejemplo, para- x + 2x - 3 : b 2 - 4ac = 22 - 4 ( — 1) ( — 3)
= - 8 < 0
- x + 2x - 3 NO tiene ninguna raíz real. Y se cumple que
- x 2 + 2x - 3 es siempre NEGATIVO, para todo x e R ,
pues a = - 1 (negativo).
PROBLEMA.- Halle el conjunto de valores de K para los cuales el trinomio cuadrático
2
(K + 6) x + (K — 2) x + 1 n o t i e n e soluciones reales. 
SOLUCIÓN.- Ello ocurre si el discriminante es negativo:
(K - 2) - 4 (K + 6) < 0 K - 4K + 4 - 4K - 24 < 0
K 2 - 8K - 20 < 0
(K - 10) (K + 2) < 0
K € ( - 2 , 10) .
6 .
u =
u
- u
si u > o
si u < o
u | = Valor Absoluto de u es un número no negativo , siempre.
6.1 TEOREMA.- Sean a , b e R :
1) = I b ¡
(reunido con)
2) Si b > 0 :
Cap. O Números Reales 13
3) Si b > 0 : a | < b
(intersectado con)
4) Si b > 0 a I < b 4=>
5) Si b > 0 : a I > b O
(reunido con)
6) Si b > 0 : a | > b O
7)
6.2 TEOREMA.- Sea a € R ,
1) Si n es ENTERO POSITIVO PAR
2) a = i a
6.3 TEOREMA.- Sea a € R ,
1) Si n es ENTERO POSITIVO IMPAR :
6.4 NOTA .- Si la potencia n está afuera de la expresión radical n o i n t e r v i e n e
e l v a l o r a b s o lu to , sea n par o impar.
, para todo ENTERO POSITIVO n , par o impar.
6.5 COROLARIO.- Sea a 6 R ,
(1) , si a > 0
(2) , si a < 0 .
14 Análisis Matemático 1 Cap. 0
EJEMPLO.- Si x < 0 : i 4 , 2 X + X = V x 2 ( x 2 + I)
. f s - J X2 + 1
- - * v X + 1 .
6.6 TEOREMA.- Sean a y b números reales,
d )
(2)
a I = I b
a 2 = b 2 <=> a = ± b
(3)
NOTA.- En las ecuaciones con radicales del tipo [3 ] lo recomendable es
comprobar cada una de las soluciones halladas al elevar al cua­
drado, en la ecuación original.
EJEMPLO.- Resolver 2x = 3 x . Elevamos al cuadrado:
x 2 - 2 x = 9 x 2 => 8 * = - 2 x
x (4 x + 1) = 0
x = - 1/4 se descarta en la ecuación original
(4)
EJEMPLO.- 2 x < 3 x ^
( x 2 — 2 x ) > 0 A 3 x > 0 A x 2 — 2 x < 9 x 2
[ donde 8x + 2 x > 0 O x (4 x + I) > 0
x 6 ( — oo , — 1/ 4 ] U [ 0 , oo ) ] 
x C ( { — o o , 0 ] u [ 2 , o o ) ) n [ 0 , o o ) n ( { — o o , — l / 4 ] u [ 0 , o o ) )
O x € { 0 } U [ 2 , o o > = C.S.
Cap. O Números Reales - 15 -
(5) «=> ( a > 0 ) a [ C b < 0 ) v { ( b > 0 ) a ( a > b 2 ) } ]
4=> [ ( b < 0) a ( a > 0 ) ] v [ ( b > 0) a ( a > 0) a ( a > b 2 ) ]
EJEMPLO: l t :: 2 x > 3x
( x 2 — 2x > 0) A [ ( 3 x < 0) V { ( 3 x > 0) A ( x 2 — 2x > 9 x 2 ) } ] ■<=>
x € ( < - o o , 0 ] u [ 2 , o o ) ) n [ ( — oo , 0 ) U { [ 0 , oo > n [ - 1 / 4 , 0 ] } ] 
-O x € ( — o o , 0 ] = C.S.
6.7 TEOREMA.- Si a y b 6 R + , ambos positivos,
(1) — a < x < b 0 < | x | < m áx
(2) — a < x < b 0 < x 2 < m áx
(3) 0 < a < b O a 2 < b 2 .
(4) 0 < a < b - /a " < VTT .
-16 - Cap. 1
R E L A C I O N E S
Los PARES ORDENADOS son entes matemáticos que consisten de 
dos elementos a y b , denominados PRIMERA COMPONENTE y SEGUNDA COM­
PONENTE respectivamente, y se les denota por el símbolo : ( a , b ) .
DEFINICIÓN FORMAL- En términos de conjuntos, el PAR ORDENADO ( a , b ) se defi
ne como el conjunto:
( a , b ) = { { a } , { a , b } } .
1-1 IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.- Dados dos pares ordenados ( a , b )
y ( c , d ) , entonces
(a , b ) = ( c , d ) si y sólo si a = c y b = d .
Para la prueba se utiliza la Definición For mal , considerando los dos casos:
i) a = b , i i ) a * b .
1.2 NOTA: De (1.1) tenemos que: DOS PARES ORDENADOS s o n ig u a le s si y só­
lo si sus primeras componentes son iguales entre sí, y sus segundas 
componentes también son iguales entre sí.
1.3 EJEMPLOS .- a) ( 2 , 3 ) y ( 3 , 2) no son pares ordenados iguales.
b) ( 6 , 3 ) y ( 6 , 9 ) tampoco son pares ordenados iguales ,
pues difieren en la segunda componente.
b) Si ( 2x + y , 1) = ( 3 , 2 x - y ) entonces se cumple el sistema de ecuaciones
f 2x + y = 3
simultaneas: i O x = l , y = 1
1 1 = 2 x - y
Cap. 1 Relaciones -17 -
1.4 __________ ___
Dados dos conjuntos no vacíos A y B se define el 
PRODUCTO CARTESIANO A x B como el conjunto de pares ordenados:
A x B = { ( a , b ) / a € A y b € B } ,
tales que su primera componente está en el conjunto A , y su segunda componente en
el conjunto B .
1.5 E J E M P L O S e a n A = { l , 2 , 3 } , B = { a , b } , entonces
A x B = { ( i , a ) , (1 , b ) , (2 , a ) , (2 , b ) , (3 , a ) , (3 , b ) } , cuyos
elementos pudieron haberse distribuido en un DIAGRAMA DE ÁRBOL :
1
B A x B
a —► (1 , a )
b —► (1 , b )
a —► (2 , a )
b —> (2 f b )
a ~¥ (3 , a)
b —> (3 , b )
T OT A L :
3 x 2 = 6 elementos en A x B
1.6 NOTA.- En general, si los conjuntos A y B son finitos con m y n elemen­
tos respectivamente, entonces el Producto Cartesiano A x B tiene
m x n elementos. De aquí proviene su nombre y su notación.
El concepto de producto Cartesiano se puede extender a más de dos 
conjuntos no vacíos:
A x B x C = { ( a , b , c ) / a e A a b ^ B A c e C }
surgiendo así el concepto de T e r n a O r d e n a d a :
( a , b , c ) = { { a } , { a , b } , { a , b , c } }
-18 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
B
1
1
{ a , b } , B = {1 , 2 } , C = { r , s } = >
C A x B X C
r ( a , 1 , r )
s ( a , 1 , s)
r ( a , 2 , r )
s ( a , 2 , s) Total: 2 x 2 x 2
r ( b , 1, r ) elementos.
s ( b , 1, s )
r ( b , 2, r )
s ( b , 2, s )
En general, el producto cartesiano no es conmutativo; es decir
A x B * B x A , a menos que A = B .
1.8 EJEMPLO Si A = {1 >, B = { 2 } entonces A x B = { ( l , 2 ) > ,
mientras que B x A = { ( 2 , 1 ) } .
1.9 EJEMPLO Demuestre que:
1) M C A A N C B M X N c A X B
2) A X (B n C) = (A x B) n (A x C)
3) A x (B U C) = (A x B) U (A X C)
SOLUCION :
1. Sea ( x , y ) € M x N x G M A y e N 
x G A A y G B
( x , y ) 6 A x B
por hipótesis
Por lo tanto, M x N c A x B .
2 . Sea ( x , y ) e A x (B n C) x e a a y e (B n C)
x G A A ( y é B A y 6 C)
( x G A A x G A ) A y G B A y G C O -
(a G A A b G B) A (a € A A b G C) - O
( x , y ) G A x B A ( x , y ) G A x C O - ( x , y ) G (A x B) n (A x C ).
3. EJERCICIO.
1.10 PROBLEMA.- Demuestre que
(A X B ) ; = ( A ' X B) U (A X B ' ) U ( A ' x B ' ) .
SOLUCIÓN Sea
(a , b ) € (A x B ) ' (a , b ) g A x B ■<=> ~ [ (a , b ) € A x B ]
= — [ a € A A b 6 B ] == — (a 6 A ) V ~ ( b € B) =
[ - ( a 6 A ) A ( b € B V b € B ' ) ] V [ (a € A V a € A ' ) A ~ (b 6 B) ]
(pues p = p a V ) ,
= (a € A ' A b 6 B) V (a € A A b C B ' ) V (a G A ' A b € B ' )
( a , b ) 6 ( A ' x B) U (A x B ' ) U ( A ' x B ' ) .
2
1.12 NOTA Al Producto Cartesiano A x A también se le representa por A
Cap. I Relaciones -1 9 -
2 .
Dados dos conjuntos no vacíos A y B ( a un conjunto * de pa­
res ordenados se le denomina RELACIÓN DE A EN B si es que * es un 
subconjunto cualquiera de A x B . También se le llama RELACIÓN BINARIA.
es una R e la c ió n d e A e n B si y sólo s i * c A x B
2.1 EJEMPLO.- Dados A = { 3 , 4 , 5 } , B = { 1 , 2 } . Los siguientes conjun­
tos de pares ordenados son algunas RELACIONES de A en B :
* , = { ( 3 . 1 ) } , * 2 = { ( 5 , 1) } , * 3 = { ( 3 , I ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 1 ) }
* 4 = { ( 3 , I ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , i ) , ( 4 , 2 ) } , * 5 = A X B .
Puesto que, en general, si A x B tiene n elementos entonces A x B tiene
2 subconjuntos; por lo tanto, existen 2 relaciones de A en B .
Cuando un par ordenado ( a , b ) pertenece a una relación * tam bién se deno­
ta: a * b . Es decir, a * b si y sólo si (a , b ) € * , y en tal caso se lee:
“ a está relacionado con b según la relación *
Para las relaciones previamente dadas: 3 i , 4 2 .
Y si ( a , b ) g * entonces se denota a b .
20 Análisis Matemático 1 Cap. 1
2.2 DEFINICIÓN.- Se dice que ^ es una RELACIÓN ENUN CONJUNTO A si
C A x A .
2.3 EJEMPLO Si ^ es una Relación en A = { 2 , 3 , 4 } tal que
^ = { ( x , y ) / y + i < x 2 } entonces 
^ = { ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) } ,
pues para ( x , y ) e A x A , con x e A a y e A :
x = 2 : y + I < 2 2 = > y € { 2 , 3 } = > (2 , 2 ) , (2 , 3) 6
x = 3 : y + 1 < 32 =?► y € { 2 , 3 , 4 } =>• (3 , 2) , (3 , 3) , (3 , 4) € “R.
1 = 4 : y + 1 < 4 2 = > y 6 { 2 , 3 , 4 } =>• ( 4 , 2) , (4 , 3) , (4 , 4) e $(.
2.4 PROBLEMA En A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } se define la relación
ü l = { (1 , 1). (2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) . ( 5 , 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 5 , 4 ) , ( 5 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 3 , 5) } .
Si M = { ( x € A / ( x , 2) e } , N = { ( y € A / (3 , y ) e >
P = { x e A / ( x , 5) e ^ > . halle (M u N ) - P .
SOLUCIÓN Verifique que
M = { ( x 6 A / ( x , 2) € } = { 2 , 5 >
N = { ( y e A / ( 3 , y ) € %. } = { 3 , 5 }
P = { x € A / ( x , 5) (2 !£ } = { 1 . 2 , 4 , 5 }
( M U N) - P = { 2 , 3 , 5 } - { 1 , 2 , 4 , 5 } = { 3 } .
2.5 PROBLEMA Sean A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } y la relación R en A :
( a , b ) 6 R a es d iv iso r de b .
Halle n ( ^ . ) = n ú m ero de e lem en tos de la relación ^ . 
SOLUCIÓN.- ( a , b ) € C A x A ^ b es m ú ltip lo de a .
Así ( l , i ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6) e . En general:
= { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 1 , 7 ) , ( 1 , 8 ) , ( 2 , 2) , ( 2 , 4 ) ,
( 2 , 6 ) , ( 2 , 8 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 8 ) , ( 5 , 5 ) , ( 6 , 6 ) , ( 7 , 7 ) , ( 8 , 8) }
n ( ^ ) = 20 elementos.
Cap. 1 Relaciones 21
2.6 EJERCICIO .- Se define una relación ^ en z como :
(a , b ) 6 -O- a — b es m últip lo de 3 .
Demuestre que: 1) ( a , a ) 6 ^ , V a 6 Z
2) ( a , b ) e ^ . =>• ( b , a ) e ^
3) ( a , b ) e 3 t a ( b , c ) € ^ . => ( a , c ) € ? . .
SOLUCIÓN a — b es m últip lo de 3 a — b = 3 k , para algún k e Z
1) V a e Z , a - a = o = 3 x o , con 0 e Z => (a , a ) e ^ .
2) Si (a , b ) e entonces a - b - 3 k , para algún k e Z ,
- (a - b ) = 3 ( - k ) , donde — k e Z , pues k e Z
b — a = — (a — b ) € .
3) Si ( a , b ) € y ( b , c ) e ^ =>■ a - b = 3 k j , algún k j e Z
=> b — c = 3 k 2 , algún k 2 e Z
Entonces, sumando ambas igualdades: a - c = 3 k 3 , donde
k 3 = ( k j + k 2 ) e Z , ( a , c ) € ^ .
2.7
Una relación ^ es una RELACIÓN REFLEXIVA EN A 
[ c A x A ] si para todo a 6 A : ( a , a ) e ^ ,
Es decir, ^ es REFLEXIVA en A si todo e lem en to de A está relacionado
consigo m ism o m ed ian te la relación ^ .
2.8 EJEMPLO.- Sean A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y las relaciones en A :
^ = { ( 1 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 1 , 1 ) }
= { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) }
entonces ^ es reflexiva en A pues ( a , a ) e ^ , V a e A , además de
8 8 É 8 I i - • |
“ i ~
otros puntos, en cambio en í^,2 falta (3 , 3) para serlo.
2.9
Una relación en un conjunto A es una RELACIÓN 
SIMÉTRICA en A si se cumple la implicación siguiente:
( a , b ) e ^ = > ( b , a ) e 3?..
Es decir, si ( a , b ) está en entonces el elemento ( b , a ) también debe estar 
en para que ^ sea S IM É T R IC A .
2.10 EJEMPLO.- Dados A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y las relaciones en A :
= { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 2 ) , (3 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 4 ) > ,
= { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) } ,
^ . 3 = { ( 1 , 1 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 1 , 4 ) } ,
vemos que ^ y son S im é tr ica s , pero que ^ no lo es, pues le fa l­
-22 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
ta el elemento ( 3 , 2) para serlo.
2.11
Una relación ^ en un conjunto A es TRANSITIVA si se cumple
la implicación:
[ ( a , b ) e ^ a ( b , c ) e ^ . ] => ( a , c ) e ^
2.12 EJEMPLO.- Dado A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , la relación en A :
= { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , (1 ,1 ) } .
NO ES TRANSITIVA, pues si bien se cumplen las implicaciones:
( 1 , 2 ) 6 ^ A ( 2 , 3 ) 6 ^ , = * 0 , 3 ) 6 ^ ,
y ( 1 , 3 ) 6 ^ , A ( 3 , 1 ) € ^ . | ( M ) € ^ ,
en cambio falla en: ( 2 , 3) e , a (3 , 1) e } =>• ( 2 , l ) 6 %. j ,
pues falta ( 2 , 1) en
En cambio ^ . 2 = { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1) , ( 2 , 2 ) , ( 1 , 1) } sí es Transitiva ,
^ . 3 = { ( 1 , 4 ) , ( 4 , 1) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 ,3 ) > no es Transitiva , 
pues le faltan por lo menos 7 elementos para serlo. [ ¿Cuáles son? ] 
RPJA: Son: ( 1 , 1 ) , ( 2 , l ) , ( 3 , l ) , ( l , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 3 ) , y ( 4 , 4 ) .
2.12
Una relación en A es una RELACIÓN DE EQUIVALENCIA si 
satisface (simultáneamente) las tres condiciones:
Cap. 1 Relaciones 23
1) REFLEXIVA : V a e A , ( a , a ) e
2) SIMÉTRICA : Si ( a , b ) € entonces ( b , a ) e
3) TRANSITIVA : Si [ ( a , b ) e ^ a ( b , c ) e ^ ] entonces ( a , c ) e
2.13 EJEMPLOS.- 1) Sea A = { 1 , 2 , 3 , 4 } entonces la relación
^ = { ( 1 ,1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 4 ) } 
es una RELACIÓN DE EQUIVALENCIA en A .
2) La relación definida en z (enteros) por:
^ = { (a , b ) 6 Z x Z / (a — b ) es m últip lo de 3 } 
también es de EQUIVALENCIA, lo cual ya fue demostrado en el Prob. [2 .6 ]
2.14
Se llama DOMINIO de la relación al conjunto de todas las 
primeras componentes de los pares ordenados de ^ .
Y se llama RANGO de la relación al conjunto de todas las segundas com­
ponentes de los pares ordenados de % .
D o m ( ^ . ) = { x / ( * , y ) € ^ }
R a n g ( í^ ) = { y / ( x , y ) € ^ . }
2.15 EJEMPLO Dada la relación en A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) :
Ot = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 3) } 
entonces Dom ( ^ ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) , Rang ( ^ ) = { 1 , 2 , 3 } .
SERIE DE EJERCICIOS
1. Demuestre que: (A - B) x C = (A x C) - (B x C ) .
2. ¿Cuántos elementos tiene A x B si A = { x € Z / - l 2 < x + 6 < 2 0 )
B = { x 6 Z / 10 < x 2 < 400 } ?.
3. Halle por extensión el conjunto
M = { ( s , t ) € R x R / ( s 2 + 3s, t 2 - 7 t ) = ( - 2 , - 1 2 ) } .
4. En A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } se define la relación :
^ = { ( 1 , 0 , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 5 , 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 5 , 4 ) , ( 5 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 3 , 5 ) } •
Si M = { x G A / ( x , 2) € } , N = { y e A / ( 3 , y ) € ,
P = { x € A / ( x , 5 ) g ! £ } , halle: (M u N ) - P .
5. Si A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , i o } , entonces dada la relación en A :
= { ( x , y ) / y es múltiplo de x , x * y } c A x A ,
halle la suma de todos los elementos del Dominio de ^
6. Demuestre que si A y 6 son conjuntos no vacíos y se cumple que
( A x B ) u (B x A ) = C x C entonces A = B = C .
7. Dadas las relaciones en Z : ^ , = { ( x , y ) / x 2 - 2y = 3 } y
= * ^ i x > y v * < y >» ha||e ^ . i - 2 •
8. Dado el Universo U = { 1 , 2 , 3 , 4 } , y las relaciones en U :
^ . i = { ( * » y ) / * = y } . 2 = { U » y ) / y = 3 } ,
= { ( x , y ) / y > x } , halle í ^ 3 - , u ^ . 2 ) .
9. Dados los conjuntos A = { x e N / x < 3 > , B = { x € N / x e s p a r
y x < 5 } , C = { x e N / x es i m p a r , x < 6 > .
Halle (A n B) x (C - A ) .
10. Sea A = z . En A definimos la relación T mediante la condición:
( x , y ) 6 T O* x — y es divisible por 5 .
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? :
a) ( x . y ) e T => ( y , * ) e T , b) ( x , 4 ) e T => x es múltiplo de 5.
C) ( 2 , 1 7 ) 6 T , d) ( 7 n , — 8n ) 6 T , V n 6 Z .
11. Sea U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y ^ . , = {( x , y ) / x < y } , ^ 2 = { ( x , y ) /
x + y = 5 } dos relaciones en u . Halle el número de elementos de la rela­
ción ( ^ , u 2 ) .
*
12. Si A = { ( x , y ) / ( x 2 + 3 x , y 2 + 3y - 2) = ( - 2 , 2 x ) } C Z x Z ,
B = { ( x , y ) / y = x , x € Z } , halle: A — B .
13. Dado el conjunto A = [ 1 , 8 ] n z , se define la relación ^ en A como:
( a , b ) e ^ a es divisor de b . Halle n ( ^ ) .
14. Sean A = { a , b , c } , B = { a , b , d , e > , ¿Cuántos subconjuntos tiene el
conjunto (A x B ) - (B x A ) ? .
15. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? :
a) A c A x A , v conjunto A ; b) A x B c (A x B) u C
-24 - Análisis Matemático 1 Cap. I
Cap. 1 Relaciones 25
C) (A X B) U (C X D) = (A U C) X (B U D)
d) (A - B ) x (C - D ) = (A x C) n ( B ' x D ' )
16. Si A = { x 6 N / x = (2 k - l ) / 3 , k € N } ,
B = { x e N / x 2 + i < 12 } , halle (A n B) x (B - A ) .
17. Dados A = { l , 2 , 3 , 4 } y la relación en A definida por:
% .= { ( x , y ) / x = y v x + y = 3 } , ¿Cuáles son verdaderas? :
a) ( a , a ) € % , V a G ^
b) ( a , b ) G => ( b , a ) G % . V (a , b ) G £ .
c) ( a , b ) G 9^ A ( b , c ) € ^ ( a , c) G ^ .
Indicar además si ^ es o no una relación de equivalencia.
18. En A = { l , 2 , 4 , 6 , 8 } se define ^ = { ( x , y ) / 3 es divisor de x + y } 
halle la suma de todos los elementos del rango de la relación 9^.
19. En A = { - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 } se define ^ = { ( x , y ) / x 2 + x
= y 2 + y } , halle la suma de todos los elementos del dominio de 9(̂ .
20. Dada la relación ^ . = { ( x , y ) G R x R / ( | x - l | = | y - l | } ,
a) ¿Es A una relación de equivalencia?. ¿Porqué?
b) Para cada x fijo, calcule A = { y / ( x , y ) G ^ . } .
21. Si U es el conjunto de triángulos en el plano R x R y si S es la relación defi­
nida en U por la regla: ( x , y ) g S s i y só lo s i x es semejante a y ,
demuestre que S es una relación de Equivalencia.
22. Una relación en un conjunto A se llama ANTISIMÉTRICA si cumple que:
( a , b ) g 9^ a ( b , a ) g a = b ( * )
Demuestre que son antisimétricas las siguientes relaciones definidas en z :
= ( ( * , y ) / x < y } y = { ( x , y ) / x < y } .
SUG: En 9^ 7 : " ( x , y ) G ^ y ( x , y ) G " es FALSO pues " x < y
y y < x " es absurdo. Luego, ( * ) es VERDADERA,
23. Si y 5 son dos relaciones REFLEXIVAS definidas en un conjunto A ,
¿Cuáles son verdaderas? :
a) 9{ u 5 es reflexiva , b) 9^ n S es reflexiva ,
c) u 5 ) n n 5 ) es reflexiva.
-26 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
24. En A = { 1 , 2 , 4 , 6 , 8 } se define la relación ^ = { (x , y ) / 3 es divisor de 
x + y } . ¿Cuáles son verdaderas? :
a) ü t es reflexiva t c) ^ es transitiva ,
b) ^ es simétrica , d) tiene 9 elementos.
CLAVE DE RESPUESTAS
2. 992; ' 3) M = { ( - 1 , 3 ) , ( - 1 , 4 ) , ( - 2 , 3 ) , ( — 2 , 4 ) } ; 4) { 3 }
5. 1 2 ; 7) { ( 3 , 3 ) , ( - 1 , - 1 ) } ; 8) { (1, 4) , (2 , 4) , (3 , 4) , (1, 2) }
9. { ( 2 , 3 ) , ( 2 , 5 ) } ; 10) Sólo ( a ) , ( c ) y ( d ) ; 11) 12 ;
12. { ( - 2 , - 1 ) , ( - 1 , 0 ) , ( - 1 , - 3 ) ) ; 1 3 ) 2 0 ; 14) 2® = 256
15. Sólo ( b ) y ( d ) ; 16) { ( l , 2 ) , (3 , 2 ) } ; 17) Todas, Sí.
18. 3 6 ; 19) - 7 ; 20. a) Sí, b) A = { x , l — x } ; 23) Todas
24. Sólo ( b ) y ( d ) .
3.
Dada una relación se consideran los valores 
del DOMINIO de en el Eje X , y los valores del RANGO de ^ en el Eje Y ,
y luego se van ubicando los puntos en el plano cartesiano correspondiente.
Así por ejemplo, la representación gráfica de la relación
= { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 3 ) }
Corresponde a la figura adyacente
3.1 NOTACION.- A Y
R x R = K
3 -
2 • •
1 • •
0
%
3.2 EJEMPLO Bosquejaremos las gráficas de las siguientes relaciones en R : 
L = { ( * , y ) e R x R / x = y } ,
S = í ( x , y ) G R x R / x = 2 } = { ( 2 , y ) / y e R }
T = { ( í , s ) é R x R / y — i } = { (jc , 3) / x e R }
Cap. 1 Relaciones - 2 7 -
Para que un p a r ordenado se encuen tre en la relación £ sus dos com po­
nen tes deben ser IGUALES. Así, algunos pares ordenados en £ son:
( - 2 , - 2 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 6 , 6 ) , ( 7 / 5 , 7 / 5 ) , etc., y donde resulta en 
este caso que:
Dom ( ü ) = { — o o , o o ) = M [ Eje X ]
R a n g (£ ) = ( — 0 0 , 0 0 ) = R [ E j e Y ]
En general, como el dominio 
ha de ser un conjunto continuo, 
entonces uniendo todos los pun­
tos de £ se obtiene una RECTA.
y = x
Algunos elementos de la relación S son ( 2 , - 2 ) , ( 2 , - 1) , (2 , 0 ) , ( 2 , 1) ,
( 2 , 3 / 2 ) , etc. Aquí basta que la primera componente sea igual a 2 para que tal par
ordenado se encuentre en la relación ■
S = { ( * , y ) € R x R / X = 2 } = { ( 2 , y ) / y € R } .
La segunda componente no tiene 
restricciones en R :
Dom (S ) = { 2 }
R ang (S ) = { — 0 0 , 0 0 )
Aquí también la gráfica co­
rresponde a una RECTA (VER­
TICAL), que precisamente pasa 
por x = 2 .
Y i
3 - '
2 • •
0
- 1 ■■ 
- 2 *
x - 2
1
t
( 2 , 3 / 2 )
( 2 , 1)
( 2 , 0 )
>
(2 ,-1)
(2 , - 2)
En general, toda ecuación de la forma: x = C (C constante) en el plano XY
corresponde a una RECTA VERTICAL que pasa por x = c precisamente.
28 Análisis Matemático 1 Cap. 1
Análogamente, podemos ver que la gráfica de la relación T definida por 
T = { ( x , y ) e R x R / y = 3 } corresponde a una RECTA HORIZONTAL que
pasa a la "altura" y = 3 .
Dom (T ) = { - oo . oo )
R a n g (T ) = { 3 }
En general, toda ecuación de la forma:
, con C constante, en el
plano XY corresponde a una RECTA
Y
0 X
HORIZONTAL que pasa precisamente a la altura y = C .
3.3 NOTA.- La gráfica correspondiente a
a) la ecuación y = 0 coincide con EL EJE X
b) la ecuación x = 0 coincide con EL EJE Y.
3.4 PROBLEMA .- Bosqueje la gráfica de la relación:
T = { ( x , y ) € R X R / ( x - 3) ( y - 2) = 0 }
SOLUCIÓN.- De la propiedad a b = 0 O [ a = 0 v b = 0 ] :
( x - 3) ( y - 2) = o <í=¡>
<í=>
[ x - 3 = 0 V y — 2 = 0 ]
x = 3 V y - 2
y por tener el conectivo logi 
code la DISYUNCIÓN y su
gráfica consiste de (LA REU 
NIÓN DE) ambas rectas , es 
decir, de toda la cruz de la 
figura siguiente.
A continuación presentamos las gráficas de las siguientes relaciones (verificar): 
R = { ( t . y ) e R x R / y - x 2 >
S = { ( x , y ) e R x R / y = -s /T }
T = { ( x , y ) e R x R / y = - V T }
Cap. 1 Relaciones - 29 -
W = { U , y ) 6 R x R / x = y 2 >
ANALITICAMENTE Y GRAFICAMENTE
y = x > 0 
x no tiene restricciones.
=> D o m ( R ) = ( — oo , o o ) = R 
R a n g ( R ) = [ 0 , o o )
-1 0 X
y = V T , x > 0 Ó 
y = V T > 0
Dom (S ) = [ 0 , o o ) 
Rang (S) = [ 0 , o o )
y =
y = - V T < o
Dom (T ) = [ 0 , o o ) 
Rang (T ) = ( - oo , 0 ]
* = y > 0
y sin restricciones
Dom (W ) = [ 0 , o o ) 
Rang ( W ) = ( — 0 0 , 0 0 )
3.5 NOTA Como x = y 2 O [ y = V T v y = - V T , V x > 0 ] ,
entonces la gráfica de W corresponde a la reunión de las gráficas de las 
relaciones S y T.
-30 Análisis Matemático I Cap. 1
La figura adyacente corresponde 
a la gráfica de la relación CÚBICA:
B = { ( x , i / ) 6 R x K / y = x 3 }
Dom ( B) = ( ' o o , 0 0 } 
R a n g (B ) = ( — 0 0 , 0 0 )
y =
Ahora bosquejaremos las gráficas de las siguientes relaciones (RECTAS):
L , = { ( x , y ) / y = 2x }
y = 2x
= x
✓
' y =/
/ f ✓
---------
/ 1 '
/ ' * 1•- - / ---jh -
[ ' 1 > 1
. y ( / 1/ >1 » 1
/ j / r 1 1 1
— 1-------- 3
1 2 3 4
L 3 = { ( x , y ) / y = - 2x }
L 4 = { ( x , y ) / y =
y = - 2 x
3
►
X
y = 2 *
►
X
Cap. 1 Relaciones 31
3.6
S = { ( x , y ) 6 R x R / y < x }
Elpunto ( x , y ) satisface la condición y < x (véase en el Eje Y ) siem­
pre que se encuentre en la sem irrec ta vertica l que com ienza en la recta y baja 
sin lím ite . [ Zona sombreada de la figura ( a ) ] .
La relación S = { ( x , y ) / y < x } corresponde a la gráfica que sigue 
a continuación pero con excepción de los p u n to s del borde y = x . [ Fig. ( b ) ]
F i g . ( a )
y = x
Cuando x toma todos los 
valores en el Eje X, la semi­
rrecta hallada barrerá toda la 
zona sombreada.
Del mismo modo se puede bosquejar la gráfica de la relación T ,
T = { ( x , y ) / 2y > - x } = { ( x , y ) / y > - — x } ,
2
partiendo de la gráfica del borde y = - — x , sin incluirlo. Fig. ( c )
2
Fig. ( b ) Fig. ( c )
i Y
.................... . . . . .
' i '
y > — x
1 2 •i i i «yH 1 I I
1
 X
2
1 1 1f 1 11 1 11 1 11 1 •
( * y)
i
y = - T *
X
-32 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
3.7 EJERCICIO Halle la gráfica de la intersección de las relaciones:
S = { ( x , y ) / * < 3 } , T = { ( x , y ) / y < x 2 } .
SOLUCION 
 \ YA
\
\
y = x
i
i
L
r
i - y < x
T - - -
*
’ \
A
\
\
A y
\
A Y
9
x < 3
---------------------------0 I s l “ -
b
* *
/ -
/ : :
b -
- - - s n T
3.8 RESUMEN Si la inecuación puede expresarse como
i ) y > (EXPRESIÓN en x ) ,
o como i i ) y > ( EXPRESIÓN en x ) ",
entonces su gráfica tiene como borde : y = ( EXPRESIÓN en x ) f y
( i ) tiene como gráfica a la p a r te super ior del p la n o , SIN EL BORDE.
( i i ) tiene como gráfica a la p a r te super ior del p la n o , CON EL BORDE.
En los casos : y < . . . ( ó y < . . . ) l a gráfica corresponde a la re­
gión debajo del borde s in incluirlo (o incluyéndolo si y < . . . ) .
3.9 EJEMPLO Grafique las relaciones determinadas por las inecuaciones:
a) y < | * | . b) y > | x | .
SOLUCIÓN
Cap. 1 Relaciones 33
a) ) * | > y í x > y V x < - y ]
O [ y < X V y < - * ] ,
que corresponde a la 
(RE)UNIÓN de las dos 
regiones:
b) La gráfica corresponderá al complemento de la gráfica de (a) más la frontera, pues: 
y > | * | -o- \ x \ < y ( y > o ) a ( - y < * < y )
-O- ( y > 0 ) A ( y > x ) A ( y > - x )
( intersección de las tres regiones)
3.10 PROBLEMA.- Grafique la (re)uníón de las relaciones en R :
, y ) / * > y > x 3 , x > o }
s = { ( * , y ) / X < y < X 3 t X < o }
SOLUCIÓN ^ corresponde a la intersección de las tres regiones:
i ) y < x A i i ) y > x 3 A i i i ) x > 0
y S corresponde a la intersección de las tres regiones:
i ) y > X A i i ) y < x 3 A i i i ) x < 0
Note que el origen (0, 0) no se incluye en ninguna de las dos relaciones: ^ ó S .
y = -
y <
34 Análisis Matemático I Cap. 1
3.11 PROBLEMA Grafique la región definida por la relación:
S = { ( x , y ) € R x R / I y I > a: , I y I < I >
SOLUCIÓN S es la intersección de: | y | > x 2 a | y \ < | x | , donde
i)
i 2 ^y > x s i y sólo si y > x~ v
») y < o
o
v
v
x > 0 A | y | < x
x < 0 A | y | < —x
( x > 0 ) A ( - x < y ) A ( y < * )
(x < 0) A ( y > x ) A ( y < — x)
y = - * \
y = *
/ í / = *
y = - x
Toda RELACIÓN ^ de A en B tiene una RELACIÓN INVERSA de B
en A , denotada por ^ 1 , y definida por:
- i9^ = { ( b , a) / ( a , b ) e K } •
- iAsí, los elementos de 9^ ' son aquellos pares ordenados obtenidos al in­
tercambiar las componentes entre sí de cada uno de los pares ordenados de la relación 
directa ^ .
4.1 EJEMPLO.- Si A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 4 , 5 } y la relación ^ de A en B :
entonces
91 = { (1 , 4 ) , (1 , 5 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5) } 
= { ( 4 , 1), (5 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 2) }
Cap. 1 Relaciones 35
4.2 EJEMPLO, Dado V =s { i , 2 , 3 , 4 } y la relación en V :
^ = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 4 ) > , entonces
- i
^ = { ( 1 , l ) } ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 4 ) } .
En este caso vemos que ^ ^ - i
4.3 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES INVERSAS.-
D ada una relación ^ de A en B y su relación inversa
*
-1 de B en A :
- iDOMINIO de ^ 1 = RANGO de ^
- iRANGO de % = DOMINIO de %
En el primer ejemplo tenemos que
- iDom ( !£ ) = { 4 , 5 } = Rang ( ^ )
- lR a n g (^ . ‘ ) = { 1 , 2 } = D o m ( ^ . )
4.4
-1De la definición ^ = { ( b , a) / ( a , b ) e } , y to­
mando el caso ^ = { ( 2 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 3 , 2 ) } entonces su inversa resulta ser
' = { ( 0 , 2 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 3 ) >
En la figura se han ubicado los pun-
tos de ^ y , y vemos que 
si se considera a la RECTA y = x 
como un ESPEJO DOBLE entonces
precisamente se obtiene ^ _1 co­
mo LA IMAGEN DE ^ A TRAVÉS 
DE DICHO ESPEJO.
Á Y
3 _________
( 0 , 2 ) a ( 3 , 2 )✓ ' '
✓ i <v «
1
✓ I
(V
i
i i
✓ i i i------ ,-------» i
1 ( 2 , 0 ) 3
En este caso, se dice que la recta y = x es una RECTA DE SIMETRÍA, y que:
X
- ILA GRAFICA DE LA RELACION INVERSA ^ ' ES S IM E T R IC A A 
LA GRÁFICA DE ^ CON RESPECTO A LA RECTA y = x .
-36 - Análisis Matemático I Cap. 1
En los diagramas siguientes , las 
curvas continuas corresponden a 
la relación directa ^ , y las cur­
vas punteadas a la relación inver 
sa í £ _ l .
En la figura izquierda ^ consiste de toda la circunferencia y de toda la zona sombreada.
✓ y - x
- i
Observe que la Relación Inversa de una Recta Horizontal y = C es la Re­
cta Vertical x = C , y viceversa. En efecto,
^ = ( ( 4 , z ) / z 6 K } tiene ecuación x = 4
y = { ( z , 4) / z g R } tiene ecuación y = 4 .
La Relación Inversa de la parábola : y = x 1 es la parábola í ^ - 1 :
x = y , la cual se obtuvo in te rca m b ia n d o x con y en la relación inicial ^ .
Cap. I Relaciones 37
La DISTANCIA entre los puntos P = (x , , y , ) y Q = ( x 2 , y 2 ) , 
denotada por d = d [ P , Q ] satisface la siguiente condición:
YA2
= X2 - X, + y2 - ^
= (x, - X , ) 2 + ( y , - y . ) 2 .
y2
y 1
k x2 " * l
«1
5.1 E J E M P L O P a r a los puntos:
1) p = (3 . 4 ) , Q = ( 6 , 8 ) : d [ P , Q ] = V (6 - 3 ) 2 + (8 - 4 ) 2 = J l s = 5
2) P = ( - 1 , - 4 ) , Q = ( 1 1 , - 9 ) :
d [ P , Q ] = V [ ' I - ( - I ) ] 2 + [ ( - 9 ) - ( - 4 ) ] 2 = / ' Í 6 9 ' = 13
3) P = ( - 8 , - 7 ) , Q = ( 0 , 8) :
d [ P , Q ] = V [ o - í - * ) ] 2 + I * - C - 7 ) ] 2 = V 289 = 17
5.2 NOTA.- Siempre se cumple que d [ P , Q ] = d [ Q , P ] > 0 .
5.3 PROBLEMA Demuestre que el triángulo de vértices
A = ( 2 , 3) , B = ( - 1 , 0) , C = ( - 2 , 4) es isósce les.
SOLUCIÓN.- Para que ello ocurra, dos de sus lados deben tener longitudes iguales.
Podemos verificar que, en efecto:
d [ A , B ] = 3 V T , d [ A , C ] = V T T , d [ B , C ] = V T T .
5.4 PROBLEMA Halle una ecuación para los puntos P = ( x , y) que equidisten 
de A = ( —2 , 3) y B = ( 5 , 7) .
SOLUCION .-
38 Análisis Matemático 1 Cap. 1
Por la condición: i Y
d [ P , A ] = d [ P , B ] :
J ( x + 2 )2 + ( y - 3 ) 2
= ^ (.x - 5 )2 + ( y - 7 ) 2
Elevando al cuadrado y redu­
ciendo : \4 x + 8 y = 61.
5.5 PROBLEMA.- Demuestre que los puntos A ( - 3 , 2) , B ( 5 , - 6 ) y C ( l , - 2 )
son coiineales [que se en cu en tra n en una m ism a recta ].
SOLUCIÓN Ello ocurrirá en el único caso en que, considerando las distancias entre
ellos, la SUMA de dos de tales distancias debe coincidir con el valor 
de la tercera. Así, podemos verificar que esto es cierto puesto que
d [ A , C ] = 4 - / T , d [ C , B ] = 4 / 7 , d [ A , B ] = 8 - / 7 .
A = ( —2,3) -C _
B = ( 5 , 7 )
P = ( x , y )
En la recta vemos que el Punto Medio M entre a y b es
b — a
IR
M
a + b
(SEMISUMA de a y b )
M
P
Usaremos este hecho en ambos Ejes X , Y , para hallar las coordenadas del punto 
= ( r , s ) que se encuentra a la mitad del segmento de recta que une a los puntos
= ( * | » !/]) y Q = ( * 2 * y2 ̂ *
Por el Teorema de Tales, si Mes punto medio del segmento
PQ , entonces r es punto 
medio entre x } y x 2 , y s es
punto medio entre y y 2 :
Cap. 1 Relaciones
* i + x 2 y i + y->r = — --------- — , s = — --------- -
Por lo tanto,
y se lee : LA SEMISUMA DE LAS COORDENADAS DE LOS EXTREMOS P y Q .
5.7 EJEMPLO.- El punto medio M entre A = ( 3 , 7 ) y B = ( 9 , - 5 ) es
M = (
3 + 9 7 + ( - 5 )
) = ( 6 , 1 )
6 .
Si una recta es vertica l sabemos que su ecuación es de la fornia 
, siendo C : una constante.
Si la recta L no es vertical y pasa por un punto fijo PQ = 
( x , y 0 ) llamado PUNTO DE PASO de la recta, entonces L forma un ángulo fijo
a x 90° con el Eje X, medido en sen tido an t ihorar io a p a r t i r del semieje p o ­
sitivo del Eje X . Este ángulo se llama ÁNGULO DE INCLINACIÓN de L
Y A LUn punto P = ( * , y ) o
pertenecerá a la recta L si y sólo si
y -------- - -
Si Q = (X j , y , ) € L , 
entonces también se cumple que:
y , - y 0
T a n a =
* l ~ x o
( y - f 0 )
6.1 PENDIENTE Se llama PENDIENTE de una recta L al valor de la tangente
de su ángulo de inclinación a , y se le denota
y . - y
m = T a n a =
o
* ! “ * 0
, a * 90°
donde los puntos (je, , y t ) = Q y ( x Q , y Q ) pertenecen a m b o s a la recta L .
-40 Análisis Matemático 1 Cap. 1
El valor de la PENDIENTE siempre es c o n s ta n te para cada recta, y proporcio­
na una medida de su inclinación con respecto al Eje X . Así, la ecuación de una recta 
que NO ES VERTICAL L queda determinada tan sólp indicando su PENDIENTE m , y las
coordenadas de cualquier PUNTO DE PASO ( x o y V en la forma:
6.2 PROBLEMA Halle la ecuación de la recta L que pasa por ( 1 , 2 ) y tiene án­
gulo de inclinación de 45° .
SOLUCIÓN.- a = 45° . La pendiente m es : m = Tan a = Tan 45° = l ,
y como pasa por ( x Q , y Q ) = ( 1 , 2 ) , entonces
L : y - y Q = m ( x - x Q) => y - 2 = 1 • ( x - 1)
=> L : y — 2 = x — 1 , es decirf L : y = x + 1 .
6.3 P R O B L E M A H a l l e la ecuación de la recta L que pasa por los puntos A = (3 , 4)
y B = ( 5 , 8) .
SOLUCION Como ambos puntos pertenecen a la^recta L , se puede tomar cualquiera 
de ellos como PUNTO DE PASO PQ = ( x , y Q) ; digamos PQ = A = (3 , 4) .
Ahora sólo falta hallar el valor de la pendiente m , y con las coordenadas del punto 
B = ( x , y ) = ( 5 , 8 ) obtenemos
y - y 0 8 - 4 4 , ''
m = --------------- = ----------- = — = 2 =>• m = 2
x — x Q 5 — 3 2
Y la ecuación de L : y - y Q = m ( x - x Q ) => y - 4 = 2 ( x - 3) ... (1)
Pero, si en lugar de PQ = A se hubiese coñsiderado PQ = B = (5 , 8) en­
tonces se habría obtenido m = 2 ,
L : y - y 0 = 2 ( x - x o ) => L : y - 8 = 2 ( x - 5) ... (2)
que aparentemente es diferente de (1) pero si se efectúan las reducciones necesarias
se encontrará que (1) y (2) son equivalentes obteniéndose en ambos casos:
L : y = 2 x - 2
La ecuación para L en la forma: y - y 0 = m ( x - x 0 ) es denominada
la FORMA PUNTO-PENDIENTE.
Cap. I Relaciones -4 1 -
Ahora, consideremos como Punto de Paso a (0 , b ) .donde L intercepta al EJE 
Y , entonces
L
- L : y - b = m f x - 0)
Esta forma proporciona directamente la PENDIENTE m como el coeficiente de 
la variable x t mientras que el término independiente b indica el punto en el EJE Y
donde la recta L lo corta y b obviamente puede ser: > o , = 0 ó < 0 .
Así, por ejemplo, la ecuación y - 3 * - l corresponde a la recta
con pendiente m = 3, y punto de paso ( 0 , b ) = ( 0 , - l ) .
SÍ la recta L tiene su ángu lo de inclinación a , tal que:
1) 0 < a < 90°
2) a = o
m = Tan a > 0
m = Tan 0 = 0
3) 90° < a < 180° : m = T a n a < 0
... PENDIENTE POSITIVA.
... Recta HORIZONTAL.
... PENDIENTE NEGATIVA.
Cualquier otro ángulo se reduce a los tres casos dados para efectos 
del cálculo de la PENDIENTE m = T a n a .
6.4 NOTA m = 1 T a n a = 1 44> a = 45°
43- a = 135°
Y i
m = — 1 4=> T a n a = — 1
y = x + b
Y si o < a < 90° , la pendiente m aumenta de valor conforme el ángulo a 
va creciendo. En general se tiene el siguiente esquema gráfico:
42 - Análisis Matemático I Cap. 1
6.5 PROBLEMA.- Dada la ecuación de la recta L : 2x + Ay = 4 , halle su p en ­
diente, un punto de paso, y bosqueje su gráfica.
SOLUCIÓN Para hallar algún punto de paso basta dar un valor real cualquiera a la
variable x , y despejar el correspondiente valor de y , o viceversa. 
Así, para y = o se tiene x = 2 Juego PQ = ( 2 , 0) resulta ser un punto de paso
(pero NO ES EL ÚNICO). Despejando y : y = — - x + t => m = — - .
2 2
YA
Note que la recta también ¡
pasa por el punto ( 0 , b ) m =
= ( 0 , 1 )
6.6 TEOREMA .- S i a y b no son a m bos ceros a la vez , entonces la
ecuación : a x -I- b y + c = 0 s ie m p re represen­
ta a una rec ta en el p la n o XY .
PRUEBA . - i ) Si a = 0 , b * 0 : y = - c / b , ( L HORIZONTAL)
i i ) Si a * 0 , b = 0 : x = - c /a , ( L VERTICAL)
i i i ) Si a * 0 , b * 0 : y - ( _ J L ) X + ( - — ) que es una
b b
Cap. 1 Relaciones 43
recta con p en d ien te m = — a /b , y pasa por (0, — c/b).
7.
Dos rectas L { y L 2 
son PARALELAS { L } / / ¿ 2 )
si tienen el mismo ángulo de 
inclinación:
a ] = a 2 = a .
En el caso de rectas que 
no son verticales, esto
equivale a que sus pen­
dientes sean iguales:
m j = m 2 = m = Tan a
Si ninguna de las dos rectas L x y ¿ 2 es vertical, entonces ellas serán PERPENDICU
LARES si y sólo si o r . - a . = 9 0 ° ,
a 2 = 90° - ( - f l f j )
Tan or2 = Cot ( - )
= — C ot ( )
= — 1 /T a n ( a , ) 
(Tan OTj ) ( Tan a 2 ) = —1
m r m
[ PRODUCTO DE PENDIENTES = - 1 ]
7.1 TEOREMA.- Sean L j y ¿ 2 dos rectas de p en d ien te s n i j y m 2
resp ec tiva m en te , entonces
i) I , / / ¿
i i ) L . X L
son PARALELAS
son PERPENDICULARES <=>> m j • m 2 = —l
7.2 EJEMPLOS.- Las rectas L : 2 x + y + l = 0 =>• = - 2
¿ 2 : 2y = —5 — 4 x = > m 2 = —2
-44 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
son PARALELAS , pues sus pendientes son iguales.
Las rectas L ! : a x + b y + c = 0
— b x + a y + d = 0
son PERPENDICULARES, pues n i j = - a / b y m 2 = b / a
m . • m 2 = ( - — ) • ( — ) = - 1 .
1 2 b a
Las rectas i * 3x — 2y + 1 = 0 m , = 3 / 2
: 4x + 6y — 12 = 0 => m 0 = — 4 / 6 = —2/ 3
también son perpendiculares : m . - m . =
2 3
- 1
7.3 PROBLEMA Halle el valor de k para que la rectas dadas sean paralelas
SOLUCION.- nrij =
Ly : k x + ( k — l ) y + 18 = 0 , 2 * 4 x + 3y + 7 = 0
- k
k - 1
m 2 = - , y como las rectas deben ser pa­
ralelas entonces m j = m 2 . De esta ecuación despejamos k = 4 .
7.4 PROBLEMA.- ¿Son las rectas Ly : —2x + y = —2 , ¿ 2 : x + y = 7
perpendiculares? . Halle su punto de intersección Q .
SOLUCION . m, = 2
m 2 “ — 1
m j • m 2 ve - l . Luego, las dos rectas
NI SON perpendiculares NI SON paralelas. 
El punto Q = ( x , y ) buscado, al estar
en ambas rectas, deben satisfacer las dos 
ecuaciones simultáneamente, lo que indica 
que se debe resolver el sistema:
- 2 x + y = - 2
* + y = 7
x = 3 , y - 4 
Q = ( 3 , 4 ) .
7.5 NOTA .- Cuando dbs ecuaciones (simultáneas) de dos rectas no tienen ninguna so 
lución, es porque ambas rectas so n p a r a le la s y e s tá n s e p a r a d a s e n tr e sí.
Cap. 1 Relaciones 45
Tai es el caso de las rectas:
L j : 2x - f y — 2
L . : 4x + 2y = 10 ... (2)
que al reemplazar (1) en (2) se llega a que 4 = lo (ABSURDO), y esto ocurre
pues al tener las pendientes el mismo valor: m 1 = m 2 = - 2 se concluye única­
mente que las dos rectas SON PARALELAS L j / / ¿ 2 , pero que no necesariamente
tienen que ser coincidentes. Podemos ver que estas dos rectas dadas son paralelas, 
pero están separadas:
L j : 2x + y = 2
L~ : 2x + y = 5
7.6 PROBLEMA Si L : 3 * + 4 y - 2 = o , halle la ecuaciónde la recta
Lf tal que L* J_ L , y que pasa por ( 4 , 2) .
SOLUCION L : 3x + 4 y — 2 = 0 I ' : - 4 x + 3 y + k = 0
Y como ( 4 , 2) e L ; se cumple que - 4 ( 4 ) + 3(2) + k = 0 
k = 10 , V : - 4x + 3y + 10 = 0 .
8 .
Dados un punto Q = ( x v y x) y la recta L de ecuación 
L : ax + b y + c = 0 entonces la recta L * que pasa por Q y es per­
pendicular a la recta L tiene como ecuación : (verificar )
L* : — b x + a y + ( b x j — a y ^ ) = 0
46 Análisis Matemático 1 Cap. 1
La distancia de Q a L es 
igual a la distancia de Q al punto 
R G i . n L 7 .
Resolviendo el sistema de ecua­
ciones de L y L 7 se obtienen 
las coordenadas del punto R :
x = ( b 2x ( — a b y , — ac ) / ( a 2 + b 2 )
Y A
1 0
a i / j - a b x , — be
y =
i
2 , i 2a + b
=> ( x - x . ) =
a ( a x 1 + b y 1 + c )1
donde k =
( y - y , ) =
a x j + b y ( + c
2 , t 2 ’a + b
b ( a x j + by , + c)1
a 2 + b 2
a 2 + b 2
, 2 . 2 = b k
= a 2k 2
Por lo tanto, d = d [ Q , L ] = d [ Q , R ]
d = | k | ^ a 2 + b 2
donde Q - ( x r y y
L : a x + b y + c = 0 .
8.1 EJEMPLOS.- Dados los puntos A = ( 9 , l ) y B = (3 , 4) , las distancias
respectivas a la recta L : 3x - 4y + 7 = o son :
d [ A , L ] =
3 (9 ) _ 4 (1 ) + 7 30
d [ B , L ] =
V 32 -+- 42 
3(3) - 4 ( 4 ) + 7 
J 32 + 4 2
= 6 , A = ( 9 , 1)
0 = 0 , B = ( 3 , 4)
Esto implica que el punto B PERTENECE A LA RECTA L , como se puede verificar sus 
tituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación de L .
8.2 PROBLEMA.- Demuestre que la d is tanc ia en tre las R ectas P ara le la s :
L. : a x + b y + C = 0 y L . : a x + b y + C7 = 0
Cap. 1 Relaciones 47
está dada por
SOLUCIÓN.- i) Si / / L 2 y si son verticales entonces b = 0 .
[ Completar esta prueba como ejercicio ]
i i ) Si L j y ¿ 2 no s o n v e r t ic a le s entonces b * 0 t 
tomamos un punto Q e L 2 cualquiera, digamos:
Q = ( 0 , - c ' / b )
d [ L 2 , L, ] = d [ Q , L 1 ]
a • (0) - f b ( - — ) + c |
b
V a 2 + b 2
d [ L 2 , £ , ] = | c - c ' \ / i ¡ a 2 + b 2
8.3 EJEMPLO.- La distancia entre las rectas L j : 3x + 4 y + 5 = o , y
¿ 2 : — 6x — 8y + 20 = 0 =>■ ¿ 2 : 3x + 4 y + 10 = 0
donde identificamos los valores de c = 5 , c ' = - 1 0 , está dada por
d [ L i ] =
5 - ( - 1 0 ) 
^ 32 + 4 2
15
= 3 unidades.
9.
Si 0 es el ángulo entre y ¿ 2 , medido en sentido p o s it iv o 
(ANTIHORARIO), y si a l y « 2 son los ángulos de inclinación de L } y ¿ 2 respec­
tivamente con a . < a , como en la figura, entonces:
Tan 0 =
m 2 — m j 
I + m . * m ?
-48 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
En efecto,
m j = pendiente de = T a n c ^ 
m 2 = pendiente de ¿ 2 = T a n o r2
ÁNGULO ENTRE L } y ¿ 2 :
0 = a , - a } .
Así, la fórmula ( * ) viene de la relación
YA
Tan 0 = Tan (o r- — a . ) =
Tan a 2 — Tan a j 
1 + Tan a 2Tan a j
donde si
i) Si Tan 0 > o entonces 0 es un ángulo AGUDO
ii) Si Tan 0 < 0 entonces 0 es un ángulo OBTUSO.
Y si p = 3i - 0 es el ángulo suplementario entre L. y : TanP = - T a n 0
9.1 PROBLEMA.- Halle la ecuación de la recta L f que forma un ángulo de 45°
con L : 3x - y + l = 0 , y que pasa por ( 0 , 1 ) .
SOLUCIÓN.- Sólo falta hallar la pendiente de i * pero hay dos posibles soluciones 
para L* y los denotamos y
Como L tiene pendiente m = 3 :
m — m
: T a n 0 ( = 1
1 + m m 1
Y siendo 0 j = 45° = 0 2 :
3 — m
I = I
I + 3m 1
m l =
lentonces L. : y ~ \ = — x
1 2
L 2 • Tan ©2
1 = m 2 ~~ ^ 
1 + 3 m ,
Y A
L i \
= 45°i
m 2 — m 
1 + m m-
0. = 4 ¿ *
(0 , 0
Cap. 1 Relaciones 49
9.2 PROBLEMA.- Si 0 es uno de los ángulos entre las rectas y ¿ 2 ,
SOLUCIÓN.- Como T a n 0 = ± 2 entonces
i) 0 j agudo =>- T a n 0 j = + 2 (pues T a n 0 1 debe ser > 0 )
i i ) ©2 obtuso Tan 0 7 = - 2 (pues T a n 0 2 debe ser < 0 )
9.3 NOTA.- Las tangentes del ángulo agudo y del ángulo obtuso entre dos rectas sólo
difieren en el signo.
La ecuación y = \ x \ es equivalente a la condición 
y > 0 A [ x = y v x = - y ] y > 0 A [ y = x v y = - x ]
que equivale a considerar los puntos de ambas rectas: y — x , y = — x pero so­
lamente en el semiplano superior y > o
y si | Tan 0 1 = 2 , halle el valor de:
i) La tangente del ángulo agudo entre L } y ¿ 2 .
i i ) La tangente del ángulo obtuso entre y L 2 .
10. GRÁFICAS QUE INVOLUCRAN EL VALOR ABSOLUTO
La ecuación y = \ x - i | + x es equivalente a :
x - 1 + x = 2x - para x > l
para x < 1 ^ Y A
y
1 — X + X
2 x - 1 , Si x > 1
y
si x < i
que consiste de dos partes: la parte 
de la recta y = 2x - 1 corres­
pondiente solamente a los valores 
de x > 1 , y la parte de la recta
0 * x
50 Análisis Matemático 1 Cap. I
y = l (hor i zont al ) correspondiente sólo a la parte del plano ubicada a la izquierda
de x = i , es decir: x < l .
La ecuación | y - 2 x | = 4 - 2 x - y , que es equivalente a:
4 - 2x — y > 0 A [ y — 2x = 4 — 2x - y v y — 2x = — 4 + 2x + y ]
4=> y < — 2x + 4 A [ y = 2 V x = I ]
consiste de aquellos puntos del pla­
no que están en las rectas y = 2
(hor i zont al ) y x = 1 (vert i cal )
pero solamente aquellos que se en­
cuentran debajo de la recta 
y = - 2x + 4 , es decir, en la
región y < - 2x + 4 .
y < — 2x + 4 \
4
'J O . 2)
X
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.
2 .
3.
4.
5.
6.
Grafique la relación R = { ( x , y ) e R “ / | x — 1 | 
Grafique e indique el dominio de la relación:
R = { ( x , y) € R 2 / 2 < | x — 4 | < 12 }
Grafique e indique el dominio y el rango de la relación
S = { ( x , y ) € R 2 / | y | > x 1 a | y |
Grafique la región S indicando su dominio y rango:
S = { ( x , y ) € R 2 / | y | < \ x \ < 3 } .
Grafique la región definida por la relación
S = { ( x , y ) £ R x R / | y | > x 2
e indique su dominio y rango.
Grafique la región determinada por la relación S 
blema anterior.
SUG.- Utilice la recta y = x como espejo doble.
= \y - H >
-1 para la relación S del pro-
7. Grafique la región definida por la relación inversa S donde
S = ‘1 ( x , y ) 6 R 2 / f y > x }
SUG.- i[~y > x 4 = > - y > 0 A [ x < 0 V ( x > 0 A y > x 2 ) ]
8. Halle la pendiente d& la recta que pasa por los puntos:
a) ( 2 . 1 ) y ( 3 , 4 ) b) ( 6 , - 3 ) y ( - 2 , l )
Cap. 1 Relaciones - 51 -
■ M ■ I ■ ■ ■ ! ■ ■ I I I ■ ■ M ■ I ■ ■ M I I É I ■■ | ■ ■ I I
c) ( 0 , 1 ) y ( 1 , 0 )
9. Encuentre el valor de las pendientes de las rectas que son bisectrices entre las 
rectas y - x y el EJE X .
SUG.- m = T a n ( a / 2 ) donde T a n a = i = (Pendiente de y = x )
_ , . 2 T a n ( a / 2 ) , _ , . . .
Tan ( a ) = ------------------ — — , y despeje T a n ( a / 2 ) .
1 - T a n 2 ( a / 2 )
10. Una recta con pendiente negativa pasa por ( - 1 , 1 ) y dista V~5~ unidades del 
punto A = ( 4 , 1 ) . Halle el valor de su pendiente y la ecuación de dicha recta.
11. Sea P = ( a , b ) un punto del plano tal que la recta OP que lo une con el origen 
tiene pendiente - 3 y la recta MP trazada por los puntos P y M = (3 , i) 
tiene pendiente 2 . Halle el valor de a + b .
12. Halle las ecuaciones de las rectas Ly y L 2 que pasan por ( 5 , 6) y tales que
L y es paralela a 2 x + y + 1 = 0 , y 
L 7 es perpendicular a 3x + 2 y + 2 = 0 .
13. Halle el ángulo obtuso 0 que forman las rectas L } con pendiente k y la recta 
L 2 con pendiente ( k - 1) / ( k + 1) .
SUG.- Halle TanG , con valor negativo.
14. Una recta cuya ordenada en el origen es tres veces la de 2 x - y + 1 = o (en 
el origen) es dos veces la de 2 y — 4x + 12 = o , forma un triángulo en el pri­
mer cuadrante con los ejes coordenados. Halle su área.
15. Halle la ecuación de la recta L que pasa por el origen de coordenadas sabiendo 
que la longitud de su segmento comprendido entre las rectas
Ly : 2x - y + 5 = 0 y L 2 : 2x - y + 10 = 0 es -/TÓ".
Se sabeademás que la recta no pasa por el segundo cuadrante.
SUG.- Bosqueje una gráfica aproximada.
16. Dada la familia de rectas 2 k x + y + k 2 = 0 , halle la tangente del ángulo 
agudo entre las dos rectas de la familia que pasa por ( 1 , - 8 ) .
17. La ecuación x + y - 2 + k ( x - y + 6) = o representa una familia de rec­
tas que pasan todas por un mismo punto. Halle las coordenadas de este punto.
18. Una recta que pasa por el origen corta a las rectas x - y = 3 y 
y = 2x + 4 en los puntos A y B respectivamente. Si el origen es punto me­
dio del segmento AB , halle la abscisa del punto A .
52 Análisis Matemático 1 Cap. 1
19. Entre las rectas que pasan por A = ( 3 , 0 ) halle una manera que el segmento 
comprendido entre las rectas 2x - y = 2 y x + y + 3 = 0 sea dividido por 
la mitad por el punto A .
20. Uno de los vértices de un triángulo es A = (3 , - 1) y las ecuaciones de la bi­
sectriz y de la mediana trazadas desde vértices diferentes son respectivamente 
x - 4y + 10 = 0 y 6x + lOy - 59 = 0 . Halle la pendiente del lado que
contiene al vértice A y al vértice que se encuentra en la bisectriz.
21. Halle la gráfica de las relaciones determinadas por las ecuaciones
a) y = - Í£ -L — i , b) y = \ x - 2\ - x .
X
22. Una recta L con pendiente positiva pasa por A = ( i , - 2 ) y forma con las 
rectas 3x + 4 y - 2 = o y 4 * + 3y + i = 0 un triángulo isósceles cuyos 
lados iguales están sobre las rectas dadas. Halle la ecuación de L .
23. Un rayo de luz corre a lo largo de la recta x - 2 y + 5 = 0 hasta llegar al es­
pejo cuya ecuación es 3x — 2 y + 7 = o en el cual se refleja. Halle la ecuación 
de la recta L en la que el rayo reflejado se encuentra.
24. Halle la gráfica de la relación A n B donde
A = { ( x , y ) / * - l < y < x + l } , B = { ( x , y ) / l < x < 3 } .
CLAVE DE RESPUESTAS
1. 2 .
—8
4.
c - “ - ............ ^ ( 3 , 3 )
* ( 3 , - 3 )
1
2 6 16
( 1 , - D
2. D o m R = [ - 8 , 2 ) U ( 6 , 16]
3. Dom S = ( 0 , 1 )
Rang S = < — 1, 1 > — { 0 }
4.
Dom S = [ - 3 , 3 ] 
Rang S = [ — 3 , 3 ]
Cap. 1 Relaciones 53
5)
YA
- a 0 . 0
( 1 , - 1 )
AY
,1 X
Y A
X
- 1 - 1
8. a) m = 3 , b) m = — 1/2 , c) m = — 1
9. n i| - ■JT - 1 . m 2 = + 1) . Note que ambas bisectrices son per­
pendiculares entre sí. (Esto siempre se presenta así.)
10. m = - 1/2 , L : y = l - ( l / 2 ) ( x + l ) pues
L : y = m x + b , ( — 1 , 1 ) 6 £ ^ b = m + l , de donde
L : y = m x + ( m + 1) , 0 también m x — y + ( m + 1) = 0
Luego, * / T = d [ L ; (4 , 1) ] = 14m — l + (m + m 2 4- 1
^ m = ± 1/2 . . . y elegimos el signo ( - ) .
11. a + b = — 2 pues —------ — 2 A b = — 3a => a = 1 , b = — 3 .
a — 3
12. m j = — 2 =>- L j i y — 6 = — 2 ( x — 5)
m 2 = 2 /3 =>■ ¿ 2 : y - 6 = ( 2 / 3 ) ( x - 5)
13. Tan 0 = ± [ -----¿ ] =>- Tan 6 = - 1 , 6 = 3jt/4 .
1 + n i |m 2
14. 9 u 2 , 15. m = 1/3 , L \ x = 3y .
16. Tan 0 = 12/31 , 17. A = ( - 2 , 4) 18. 1 , A = (1 , - 2 ) .
19. 8x — y — 24 = 0 , 20. m = 6 /7 .
21. a)
YA b)
54 Análisis Matemático 1 Cap. 1
22. m = 1, L : y - f 2 = x — \ .
oo 29 _ 29 ,23. m ------ , L : y — 2 = ----- ( x + 1)
24. / V = x + 1
’ 7Y ' \ ' y = x — 1
✓ l - r v l y y
1. GRAFICA DE LA PARÁBOLA
la forma
de las ecuaciones de segundo grado de la forma
Ya vimos que la gráfica de la ecuación de primer grado de 
es una recta. Ahora conoceremos las gráficas
Esta completación de cuadrados siempre se puede realizar, donde h y k 
son ciertas constantes que dependen de a , b y c , y que pueden tomar cualquier
valor real.
1.1 DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES
Para
GRÁFICA DE LAS PARÁBOLAS y =
2= X 1 y = {X - 3 )2 :
2 .y = x . x -3 2 -1 0 i 2 3
y 9 4 1 0 i 4 9
y = (x - 3 )2 : x 0 1 2 3 4 5 6
y 9 4 1 0 1 4 9
Cap. 1 Relaciones 55
y = x = ( * - 3 )
1.2 NOTA.- La forma de la gráfica de la ecuación y = (x - 3) es la misma que la
de y = x 2 , a la que se le ha desp lazado 3 unidades HACIA LA 
DERECHA.
a) La gráfica de tiene la misma forma que la de
a la que se le desplazado | h | unidades HORIZONTALMENTE y
- HACIA LA DERECHA si h > o
- HACIA LA IZQUIERDA si h < 0 .
Así, la gráfica de y = (x + 3 )2 = 0 - ( - 3 ) ] 2 es, para h = - 3 :
y = (jc + 3)
GRÁFICAS DE : y = - x y y = - ( x - 3 r :
y = -
y = - ( x - 3) h = 3 > 0 , 
a la DERECHA
- 5 6 - Análisis Matemático l Cap. 1
2 21.3 NOTA.- La gráfica de y = — x tiene la misma forma que ia de y = x
p e r o v o l t e a d a , c o m o s i e l E JE X a c t u a r a c o m o u n E S P E J O
y ahí se reflejara la gráfica de y = x 2 .
1.4 DESPLAZAMIENTOS VERTICALES.-
GRÁFICAS DE : y =
2X y y --
2= a:
2y = * : x - 2 -1 0 i 2
y 4 1 0 i 4
y = x 2 + 1 : X - 2 -1 0 i 2
V 5 2 i 2 5
Observe que la gráfica de tiene la misma forma que la de
a la cual se le ha subido 1 unidad VERTICALMENTE.
A Y
y = * 2 + l
= X
1.5 NOTA En general, la gráfica de la ecuación y = a { x - h ) 2 + k tiene
la misma forma que la de y = a ( x - h ) 2 a la que se le ha des­
plazado | k | unidades, VERTICALMENTE:
• HACIA ARRIBA, si k > o
• HACIA ABAJO, si k < 0
Combinándolas NOTAS ( 1 . 2 ) y ( 1 . 5 ) podemos bosquejar la grá-
2 2 
ficade y = {x — 4) - 2 , tomando la gráfica de y = x y desplazándola
Cap. I Relaciones 57
| h t = 14 1 = 4 unidades HACIA LA DERECHA ( h = 4 > 0 ) , y luego 
| h | = | — 2 | = 2 unidades HACIA ABAJO ( k = - 2 < 0 ) :
y =
= ( x - 4)
= ( x - 4 r - 2
Analicemos ahora la mayor o menor 
abertura de estas parábolas. 
GRÁFICAS DE :
2 i i
y = x \
1 2 \¡ \
y = — X ,
2 ■\ \1
i I '
y = 2 x “ v , \
1.6 NOTA.- La gráfica de es :
a) MÁS ANGOSTA que la de y - x si a > 1
b) MÁS ANCHA que la de y = x si o < < 1
Al punto v = ( h , k ) en
LA PARÁBOLA , siendo su abscisa:, h = — b / (2 a ) .
se le llama VÉRTICE DE
GRAFICAS DE
58 Análisis Matemático 1 Cap. 1
U
k - -
A y
k - - -
X
V
a < 0
1.7 PROBLEMA Bosqueje las gráficas de las ecuaciones:
a) y = 2 x 2 + I2x + 7 , b) 2y = 2x - x 2 + 3
SOLUCIÓN.- Completando cuadrados:
a) y — 2{ x + 3) — 1 VÉRTICE V = ( h , k ) = ( - 3 , - 1 ) , a = 2 > 0
b) y = - L ( x - l ) 2 + 2 
2
VÉRTICE V = ( h , k ) = ( 1 , 2 ) , a =
A Y
> 0
V = ( — 3 , — I)
— — < 0 
2
A y
2 - -
V = (1, 2)
a < 0
1.8
Aquí bosquejaremos las gráficas de las ecuaciones de la forma
Observe que la ordenada y debe satisfacer y > 0 (semiplano superior). Por
ejemplo,
y = ( x - 2 ) - - 3
Cap. 1 Relaciones 59
^ y > o A [ y = ( x - 2)~ - 3 y = - ( X - 2 ) “ + 3 ]
cuyos puntos, de cada parábola, 
se encuentran en el semiplano 
superior y > 0 :
= - ( x - 2 ) " + 3
La forma de ambas en la misma, solamente que una de ellas está dirigida 
hacia arriba con vértice ( 2 , - 3 ) y la otra hacia abajo con vértice ( 2 , 3 ) .
La gráfica resultante (curva continua), se obtiene también considerando al 
EJE X como un ESPEJO , y donde la parte de la parábola y = ( x - 2 )2 - 3 que
se encuentra en el sem ip lano in fer ior y < 0 ( * ) se ha reflejado hacia el semi­
plano superior y > o (como si hubiese girado en 180° alrededor del E J E X . )
METODO PRACTICO :
Para y = | a ( x - h ) 2 + h I , donde se ha acomo-
2
dado de manera que a > 0 t se gráfica y = a ( x - h ) + k , y si alguna parte 
de esta parábola cae en el semiplano inferior y < 0 , esta parte se ha de reflejar en 
el ESPEJO ( EJE X ) “ girando " hacia el semiplano superior.
1.9 EJEMPLO.- Para graficar y = | - ( x + 3 )2 + 2 | = | ( x + 3 )2 - 2 1 se co-
2
mienza graficando la parábola y = ( x + 3) - 2 , y luego lo que se encuentre en 
la zona y < o lo reflejamos (respecto al E J E X )
HACIA LA PARTE SUPERIOR y > 0 : Y A
60 Análisis Matemático 1 Cap. 1
2 .
Una CIRCUNFERENCIA es el conjunto de todos los puntos 
P ( x , y ) del plano que equidistan