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Unidad 1 Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Msc. Ing. Heber Daniel Reyes Facultad de Ingeniería IM414-Transferencia de Calor Contenido 1. Conducción de Calor en estado estacionario en paredes planas 2. Resistencia Térmica por contacto 3. Redes Generalizadas de Resistencias Térmicas 4. Conducción de Calor en Cilindros y Esferas 5. Radio Crítico de Aislamiento 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas 7. Transferencia de Calor en Configuraciones Comunes 8. Bibliografía Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 1.- Conducción de Calor en estado estacionario en paredes planas Para la conducción unidimensional en una pared plana, la temperatura es una función solo de la coordenada 𝑥 y se puede expresar como 𝑇(𝑥) Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Constante Razón de Trans. de calor hacia la pared Razón de Trans. de calor hacia afuera la pared Razón del cambio de la energía de la pared (𝑾)ሶ𝑸𝒆𝒏𝒕 − ሶ𝑸𝒔𝒂𝒍 = 𝒅 ሶ𝑬𝒑𝒂𝒓𝒆𝒅/𝒅𝒕 E.E ሶ𝑸𝒆𝒏𝒕 − ሶ𝑸𝒔𝒂𝒍 = 𝟎 Ley de Fourier. ሶ𝑸 = −𝒌𝑨 𝒅𝑻 𝒅𝒙 (𝑾) Balance de Energía Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 1.- Conducción de Calor en estado estacionario en paredes planas La Tasa de conducción de calor a través de una pared plana es proporcional a la conductividad térmica promedio, el área de la pared y la diferencia de temperatura, pero es inversamente proporcional al espesor de la pared. Una vez que se dispone de la tasa de conducción de calor, la temperatura T(X) en cualquier lugar X se puede determinar reemplazando T2 por T, y L por X. ሶ𝑸𝒄𝒐𝒏𝒅 = −𝒌𝑨 𝒅𝑻 𝒅𝒙 න 𝒙=𝟎 𝑳 ሶ𝑸𝒄𝒐𝒏𝒅 𝒅𝒙 = −න 𝑻=𝑻𝟏 𝑻𝟐 𝒌𝑨𝒅𝑻 ሶ𝑸𝒄𝒐𝒏𝒅 = 𝒌𝑨 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 𝑳 (𝑾) En condiciones estables, la distribución de temperatura en una pared plana es una línea recta. Concepto de resistencia térmica 1 2 cond, wall − = T T Q kA L 1 2 cond, wall wall (W) − = T T Q R wall ( C/W)= L R kA Resistencia de conducción de la pared: Resistencia térmica de la pared contra la conducción de calor. La resistencia térmica de un medio depende de la geometría y el propiedades térmicas del medio. 1 2V V−= e I R /=e eR L A Mi resistencia eléctrica Analogía entre térmica y conceptos de resistencia eléctrica. Tasa de transferencia de calor → Corriente eléctrica Resistencia térmica → resistencia eléctrica Diferencia de Temperatura → Diferencia de Voltaje 1.- Conducción de Calor en estado estacionario en paredes planas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 1.- Conducción de Calor en estado estacionario en paredes planas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Esquema de la resistencia a la convección en una superficie. Ley de enfriamiento de Newton ( )conv = −s sQ hA T T conv conv (W) − = s T T Q R conv 1 ( C/W)= s R hA Resistencia a la convección de la superficie: Resistencia térmica de la superficie contra la convección de calor. Cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección es muy grande (h → ), la Resistencia a la convección se convierte en cero y Ts T. Es decir, la superficie sin ofrece resistencia a la convección, y así sin ralentiza el proceso de transferencia de calor. Esta situación es en la práctica se acercan a las superficies donde se produce la ebullición y la condensación. 6 1.- Conducción de Calor en estado estacionario en paredes planas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario ( ) ( )4 4 surrrad surr rad surr rad − = − = − = ss s s s T T Q A T T h A T T R rad rad 1 (K/W)= s R h A Resistencia a la radiación de la superficie: Resistencia térmica de la superficie contra la radiación. 2 2 2rad rad surr surr surr = ( )( ) (W/m K) ( ) = + + − s s s s Q h T T T T A T T Coeficiente de transferencia de calor por Radiación Cuando Tsurr ≈ T hconjunto = hconv + hrad Coeficiente de transferencia de calor combinado Esquema de resistencias de convección y radiación en una superficie. 7 Red de resistencia térmica 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 conv, 1 wall conv, 2 1/ / 1/ − − − = = = − − − = = = T T T T T T Q h A L kA h A T T T T T T R R R 1 2 total −= T T Q R La red de resistencia térmica para la transferencia de calor a través de una pared plana sometida a convección en ambos lados, y la analogía eléctrica. total conv, 1 wall conv, 2 1 2 1 1 ( C/W)= + + = + + L R R R R h A kA h A 8 1.- Conducción de Calor en estado estacionario en paredes planas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Razón de Trans. de calor por convección hacia la pared Razón de Trans. de calor por conducción a través de la pared Razón de Trans. de calor por convección desde la pared Caída de Temperatura ( C) = T QR (W)= Q UA T total 1 ( C/K)= UA R U coeficiente de transferencia de calor total Una vez Q se evalúa, la temperatura de la superficie T1 se puede determinar a partir de 1 1 1 1 conv, 1 1 = 1/ − −= T T T T Q R h A La caída de temperatura a través de una capa es proporcional a su resistencia térmica. 9 1.- Conducción de Calor en estado estacionario en paredes planas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Paredes planas multicapa La red de resistencia térmica para la transferencia de calor a través de una pared plana de dos capas sometida a convección en ambos lados. 1 2 total −= T T Q R total conv, 1 wall, 1 wall, 2 conv, 2 1 2 1 1 2 2 1 1 = + + + = + + + R R R R R L L h A k A k A h A 1.- Conducción de Calor en estado estacionario en paredes planas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario total, − − = i j i j T T Q R 1 2 1 2 1conv, 1 Wall, 1 1 1 1 − −= = + + T T T T Q LR R h A k A La evaluación de las temperaturas de la superficie y la interfaz cuando T1 y T2 se dan y Q es calculado. 1.- Conducción de Calor en estado estacionario en paredes planas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Paredes planas multicapa Líneas de distribución de temperatura y flujo de calor a lo largo de dos placas sólidas presionadas entre sí para el caso de contacto perfecto e imperfecto. 12 2.- Resistencia térmica por contacto Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario • Cuando dos de estas superficies se presionan una contra la otra, los picos se forman buen contacto con el material, pero los valles forman huecos llesins de aire. • Estas numeroso espacios de aire de diferentes tamaños actúan como aislamiento debido a la baja conductividad térmica del aire. • Por lo tanto, una interfaz ofrece cierta resistencia a la transferencia de calor, y esta resistencia por interfaz de unidad de área se llama resistencia al contacto térmico, RC. Una configuración experimental típica para la determinación de la resistencia de contacto térmico. 13 2.- Resistencia térmica por contacto Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario contact gap= +Q Q Q interface = cQ h A T hC conductancia de contacto térmico 2 interface / (W/m C)= c Q A h T 2interface1 (m C/W) / = = c c T R h Q A 2 , insulation 0.01 m = 0.25 m C/W 0.04 W/m C = = c L R k 2 , copper 0.01 m = 0.000026 m C/W 386 W/m C = = c L R k La Resistencia térmica por contacto es significativa y puede incluso puede dominar la transferencia de calor para buesins conductores de calor como los metales, pero puede ser que sin se tome en cuenta para conductores de calor deficientes, como aislamientos. El valor de la resistencia al contacto térmico. depende de: • Rugosidad de la superficie, • Propiedades materiales, • Temperatura y presión en la interfaz. • Tipo de fluido atrapado en la interfaz. 14 2.- Resistencia térmica por contacto Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Tabla 3-1 Conductancia decontacto térmico para placas de aluminio con diferentes fluidos en la interfaz para una rugosidad superficial de 10 µm y una presión de interfaz de 1 atm. Fluido en la interfaz Conductancia de contacto, hC, Aire 3640 Helio 9520 Hidrógesin 13,900 Aceite de silicona 19.000 Glicerina 37,700 Fuente: E. Fried. "Contribución de la conducción térmica a la transferencia de calor en los contactos". Conductividad térmica, veterinario. 2, ed. RP Tye. Londres: Academic Press, 1969. La resistencia al contacto térmico se puede minimizar aplicando: • Una capa de grasa térmica como el aceite de silicona. • Un mejor conductor de gas como helio o hidrógesin. • Una hoja metálica suave como estaño, plata, cobre, níquel o aluminio. Efecto de los recubrimientos metálicos sobre la conductancia de contacto térmico. 2W/m K 15 2.- Resistencia térmica por contacto Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 2.- Resistencia térmica por contacto Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 3. Redes Generalizadas de Resistencias Térmicas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario ( )1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1T T T T Q Q Q T T R R R R − − = + = + = − + 1 2 total − = T T Q R 1 2 total total 1 2 1 2 1 1 1 = + → = + R R R R R R R R 3. Redes Generalizadas de Resistencias Térmicas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 1 total −= T T Q R 1 2 total 12 3 conv 3 conv 1 2 = + + = + + + R R R R R R R R R R 1 2 1 2 1 1 2 2 = = L L R R k A k A 3 3 conv 3 3 3 1 = = L R R k A hA Dos suposiciones que por lo común se establecen al resolver problemas multidimensionales complejos sobre transferencia de calor al tratarlos como unidimensionales utilizando la red de resistencia térmica son: 1. cualquier pared plana sinrmal al eje x es isotérmica (es decir, se supone que la temperatura varía sólo en la dirección x) 2. cualquier plasin paralelo al eje x es adiabático ( es decir, se supone que la transferencia de calor ocurre sólo en la dirección x). 4.- Conducción de Calor en Cilindros y Esferas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario La transferencia de calor a través de tuberías se puede modelar como estable y unidimensional. La temperatura de la tubería depende de una sola dirección (la dirección r radial) y se puede expresar como T = T(r). La temperatura es independiente del ángulo azimutal o de la distancia axial. Esta situación se aproxima en la práctica en tuberías cilíndricas largas y contenedores esféricos. El calor se pierde de una tubería de agua caliente al aire exterior en la dirección radial y, por lo tanto, la transferencia de calor de una tubería larga es unidimensional. 4.- Conducción de Calor en Cilindros y Esferas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario cond, cyl (W)= − dT Q kA dr 2 2 1 1 cond, cyl = = = − r T r r T T Q dr k dT A 2=A rL 1 2 cond, cyl 2 1 2 (W) ln( / ) − = T T Q Lk r r 1 2 cond, cyl cyl (W) − = T T Q R Un tubo cilíndrico largo (o carcasa esférica) con temperaturas de superficie interior y exterior especificadas T1 y T2. 𝑅𝑐𝑦𝑙 = ln Τ𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝑘 = ln( Τ𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜) 2𝜋(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑)(𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎) Resistencia Térmica Capa Cilíndrica 4.- Conducción de Calor en Cilindros y Esferas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 1 2 cond, sph sph − = T T Q R 𝑅𝑠𝑝ℎ = 𝑟2 − 𝑟1 4𝜋𝑟1𝑟2𝑘 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 − 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 4𝜋(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)(𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎) Resistencia Térmica Capa Esférica Un tubo cilíndrico largo (o carcasa esférica) con temperaturas de superficie interior y exterior especificadas T1 y T2. 𝑅𝑠𝑝ℎ = Τ1 𝑟2 − Τ1 𝑟1 4𝜋𝑘 = 1/𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 − 1/𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 4𝜋(𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎) 4.- Conducción de Calor en Cilindros y Esferas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 1 2 total −= T T Q R total conv, 1 cyl conv, 2 2 1 1 1 2 2 In( / )1 1 (2 ) 2 (2 ) = + + = + + R R R R r r r L h Lk r L h total conv, 1 sph conv, 2 2 1 2 2 1 21 1 2 2 1 1 4(4 ) (4 ) = + + − = + + R R R R r r r r kr h r h Resistencia Térmica Capa Cilíndrica Resistencia Térmica Capa Esférica La red de resistencia térmica para una carcasa cilíndrica (o esférica) sometida a convección tanto desde el lado interior como desde el exterior. Cilindros y esferas multicapa La red de resistencia térmica para la transferencia de calor a través de un cilindro compuesto de tres capas sometido a convección en ambos lados. total conv, 1 cyl, 1 cyl, 2 cyl, 3 conv, 2 3 2 4 32 1 1 1 1 2 3 2 4 In( / ) In( / )In( / )1 1 2 2 2 = + + + + = + + + + R R R R R R r r r rr r h A Lk Lk Lk h A 1 2 total −= T T Q R 4.- Conducción de Calor en Cilindros y Esferas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 1 1 conv, 1 1 2 conv, 1 1 1 3 1 2 2 3 2 2 2 2 conv, 2 − = − = + − = + − = − = + = T T Q R T T R R T T R R T T R T T R R El ratio T / R en cualquier capa es igual a ,Q La cual permanece constante en conducción estable unidimensional. Una vez que la tasa de transferencia de calor Q se ha calculado, la temperatura de la interfaz T2 se puede determinar a partir de cualquiera de las dos relaciones siguientes: 1 2 1 2 2 1conv, 1 cyl, 1 1 1 1 ln( / )1 (2 ) 2 − −= = + + T T T T Q r rR R h r L Lk 2 2 2 2 3 2 4 32 3 conv, 2 2 3 4 ln( / ) ln ( / ) 1 2 2 (2 ) − −= = + + + + o T T T T Q r r r rR R R Lk Lk h r L 4.- Conducción de Calor en Cilindros y Esferas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 5.- Radio Crítico de Aislamiento Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Agregar más aislamiento a una pared o al ático siempre disminuye la transferencia de calor ya que el área de transferencia de calor es constante, y la adición de aislamiento siempre aumenta la resistencia térmica de la pared sin aumentar la resistencia a la convección. En una tubería cilíndrica o una carcasa esférica, el aislamiento adicional aumenta la resistencia a la conducción de la capa de aislamiento pero disminuye la resistencia a la convección de la superficie debido al aumento en el área de la superficie exterior para la convección. La transferencia de calor de la tubería puede aumentar o disminuir, dependiendo del efecto que domine. Una tubería cilíndrica aislada expuesta a la convección desde la superficie exterior y la red de resistencia térmica asociada a ella. 1 1 2 1ins conv 2 In( / ) 1 2 (2 ) − −= = + + T T T T Q r rR R Lk h r L 5.- Radio Crítico de Aislamiento Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario El radio crítico de aislamiento para un cuerpo cilíndrico: El radio crítico de aislamiento para una carcasa esférica: El mayor valor del radio crítico que es probable que encontremos es cr, cylinder (m)= k r h cr, sphere 2 = k r h max, insulation cr, max 2 min 0.05 W/m C 5 W/m C 0.01 m 1 cm k r h = = = Podemos aislar las tuberías de agua caliente o vapor libremente sin preocuparsins por la posibilidad de aumentar la transferencia de calor aislando las tuberías. La variación de la tasa de transferencia de calor con el radio exterior del aislamiento. r2 cuando r1 < rcr. 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario conv ( )= −s sQ hA T T Ley de enfriamiento de Newton: La tasa de transferencia de calor desde una superficie. a los alrededores medio. Cuando Ts y T son fijos, dos formas de aumentar la tasa de transferencia de calor son: • Aumentar el coeficiente de transferencia de calor por convección h. Esto puede requerir la instalación de una bomba oventilador, o reemplazar el existente por usin más grande, pero este enfoque puede o sin ser práctico. Además, puede que sin sea adecuado. • Aumentar los superficie As adhiriéndose a la superficie superficies extendidas llamadas aletas hecho de materiales altamente conductores como el aluminio. 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario FIGURA 3-33 Supuestas aletas de enfriamiento en dinosaurio estegosaurio. FIGURA 3-34 Las delgadas aletas del radiador de un automóvil aumentan en gran medida la tasa de transferencia de calor al aire. 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario cond, cond, convx x xQ Q Q+= + con ( )( )vQ h p x T T= − cond, cond, ( ) 0 x x xQ Q hp T T x + − + − = 0x → cond ( ) 0 dQ hp T T dx + − = cond c dT Q kA dx = − ( ) 0c d dT kA hp T T dx dx − − = 2 2 2 0 d m dx − = Razón de Trans. de calor por conducción hacia el elemento en x Razón de Trans. de calor por conducción desde el elemento en x+∆x Razón de Trans. de calor por convección desde el elemento FIGURA 3-36 Elemento de volumen de una aleta en la ubicación x, con una longitud de ∆x, área de la sección transversal de Ac y perímetro de p. Ecuación Diferencial 2 = c hp m kA T T= − Exceso de temperatura 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario La solución general de la ecuación diferencial 𝜃(𝑥) = 𝐶1𝑒 𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒 −𝑚𝑥 Condición de contorno en la base de la aleta θ (0) = θB = TB - T 1. aleta infinitamente larga. 2. Pérdida de calor insignificante (punta adiabática). 3. Temperatura especificada. 4. Convección. FIGURA 3-37 Condiciones de contorno en la base de la aleta y la punta de la aleta. 1 aleta infintamente larga (Tpunta de la aleta = T) Condición de contorno en la punta de la aleta θ (L) = T (L) - T = 0 L → La variación de temperatura a lo largo de la aleta 𝑇(𝑥) − 𝑇∞ 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = 𝑒−𝑚𝑥 = 𝑒−𝑥 ℎ𝑝/𝑘𝐴𝑐 = −T T /= cm hp kA La tasa constante de transferencia de calor de toda la aleta ሶ𝑄𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎 = −𝑘𝐴𝑐 ቤ 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑥=0 = ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐(𝑇𝑏 − 𝑇∞) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝑥) = 𝑒−𝑚𝑥 + 𝑒𝑚𝑥 2 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑚𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 − 𝑒−𝑚𝑥 2 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario FIGURA 3-38 aleta circular larga de sección transversal uniforme y la variación de la temperatura a lo largo de ella. FIGURA 3-39 En condiciones estables, la transferencia de calor de las superficies expuestas de la aleta es igual a la conducción de calor a la aleta en la base. La tasa de transferencia de calor de la aleta. También podría determinarse considerando la transferencia de calor de un elemento diferencial de volumen de la aleta e integrándolo en toda la superficie de la aleta: 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 2 Pérdida de calor insignificante de la punta de la aleta (punta de la aleta adiabática, Qpunta de la aleta = 0) si es probable que las aletas sean tan largas como para que su temperatura en la punta se aproxime a la de los alrededores. Una situación más realista es que la transferencia de calor desde la punta sea despreciable, puesto que la transferencia desde la aleta es proporcional a su área superficial y la de la punta suele ser una fracción despreciable del área total de la aleta. Condición de contorno en la punta de la aleta 0 = = x L d dx 𝑇(𝑥) − 𝑇∞ 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = cosh𝑚 (𝐿 − 𝑥) cosh𝑚 𝐿 1. aleta infinitamente larga. 2. Pérdida de calor insignificante (punta adiabática). 3. Temperatura especificada. 4. Convección. ሶ𝑄𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎 = −𝑘𝐴𝑐 ቤ 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑥=0 = ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐 𝑇𝑏 − 𝑇∞ tanh𝑚𝐿 La variación de temperatura a lo largo de la aleta La tasa constante de transferencia de calor de toda la aleta 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 3 Temperatura especificada (Taleta, punta = TL) En este caso, la temperatura de la aleta (la punta de la aleta) se fija a un valor especificado temperatura TL. Este caso podría considerarse como una generalización del caso de aleta infinitamente larga donde la temperatura de la punta de la aleta se fijó en T. θ (L) = θL = TL - T 𝑇(𝑥) − 𝑇∞ 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = [(𝑇𝐿 − 𝑇∞)/(𝑇𝑏 − 𝑇∞)] sinh𝑚 𝑥 + sinh𝑚 (𝐿 − 𝑥) sinh𝑚 𝐿 ሶ𝑄𝑡𝑒𝑚𝑝.𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐 = −𝑘𝐴𝑐 ቤ 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑥=0 = ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐 𝑇𝑏 − 𝑇∞ cosh𝑚 𝐿 − [(𝑇𝐿 − 𝑇∞)/(𝑇𝑏 − 𝑇∞)] sinh𝑚 𝐿 La variación de temperatura a lo largo de la aleta La tasa constante de transferencia de calor de toda la aleta Condición de contorno en la punta de la aleta 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 4 Convección de la punta de la aleta Las puntas de las aletas, en la práctica, están expuestas al entorno y, por lo tanto, la condición límite adecuada para la punta de las aletas es la convección, que también puede incluir los efectos de la radiación. Considere el caso de la convección solo en la punta. La condición en la punta de la aleta se puede obtener a partir de un balance de energía en la punta de la aleta. ( ሶ𝑄cond = ሶ𝑄conv) Condición de contorno en la punta de la aleta: − ቤ𝑘𝐴𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑥−𝐿 = ℎ𝐴𝑐[𝑇(𝐿) − 𝑇∞] La variación de temperatura convección desde la punta de la aleta: 𝑇(𝑥) − 𝑇∞ 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = cosh𝑚 (𝐿 − 𝑥) + (ℎ/𝑚𝑘) sinh𝑚 (𝐿 − 𝑥) cosh𝑚 𝐿 + (ℎ/𝑚𝑘) sinh𝑚𝐿 La tasa constante de transferencia de calor con convección desde la punta de la aleta: ሶ𝑄conv = ቤ−𝑘𝐴𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑥=0 = ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐(𝑇𝑏 − 𝑇∞) sinh𝑚 𝐿 + (ℎ/𝑚𝑘) cosh𝑚 𝐿 cosh𝑚 𝐿 + (ℎ/𝑚𝑘) sinh𝑚 𝐿 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 4 Convección de la punta de la aleta Una manera práctica de tomar en cuenta la pérdida de calor desde la punta es reemplazar la longitud L de la aleta en la relación para el caso de punta aislada por una longitud corregida de la aleta como 𝐿𝑐 = 𝐿 + 𝐴𝑐 𝑝 𝐿𝑐, aleta rectangular = 𝐿 + 𝑡 2 𝐿𝑐, aleta cilindrica = 𝐿 + 𝐷 4 t el espesor de las aletas rectangulares D el diámetro de la aletas cilíndricas. La longitud corregida de la aleta Lc se detalla en tal forma que la transferencia de calor desde una aleta de longitud Lc con punta aislada es igual a la transferencia de calor desde la aleta real de longitud L, con convección en la punta. 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Eficiencia de la aleta ሶ𝑄aleta, max = ℎ𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎(𝑇𝑏 − 𝑇∞) Las aletas mejoran la transferencia de calor de una superficie mejorando el área de la superficie. Distribución de temperatura ideal y real a lo largo de una aleta. 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Eficiencia de la aleta ሶ𝑄aleta, max = ℎ𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎(𝑇𝑏 − 𝑇∞) 𝜂aleta = ሶ𝑄aleta ሶ𝑄aleta, max = Razón real de la transferencia de calor desde la aleta Razón ideal de la transferencia de calor desde la aleta si estuviera toda a la temperatura de la base ሶ𝑄aleta = 𝜂aleta ሶ𝑄aleta, max = 𝜂aleta ℎ𝐴aleta(𝑇𝑏 − 𝑇∞) 𝜂aleta larga = ሶ𝑄aleta ሶ𝑄aleta, max = ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐(𝑇𝑏 − 𝑇∞) ℎ𝐴aleta(𝑇𝑏 − 𝑇∞) = 1 𝐿 𝑘𝐴𝑐 ℎ𝑝 = 1 𝑚𝐿 𝜂adiabatica = ሶ𝑄aleta ሶ𝑄aleta, max = ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐(𝑇𝑏 − 𝑇∞) tanh 𝑎 𝐿 ℎ𝐴aleta(𝑇𝑏 − 𝑇∞) = tanh𝑚 𝐿 𝑚𝐿 Cero resistencia térmica o conductividad térmica infinita (Taleta = TB). 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Eficiencia de la aleta Eficiencia de aletas rectas de perfiles rectangular, triangular y parabólico 6. Transferenciade Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Eficiencia de la aleta Eficiencia de aletas circulares de espesor constante t. 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Eficiencia y áreas de superficie de configuraciones comunes de aletas 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Eficiencia y áreas de superficie de configuraciones comunes de aletas • Aletas con perfiles triangulares y parabólicos contienen menos material y son más eficientes que las de perfil rectangular. • La eficiencia de la aleta disminuye al aumentar la longitud de la aleta.. ¿Por qué? • ¿Cómo elegir la longitud de la aleta? aumentar la longitud de la aleta más allá de un cierto valor sin puede justificarse a menos que los beneficios agregados superen los costo agregado. • La eficiencia de la mayoría de las aletas utilizadas en la práctica es encima 90 por ciento. 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Efectividad de la aleta εaleta = ሶQaleta ሶQsin aleta = ሶQaleta hAb(Tb − T∞) = Razón de la transferencia de calor desde la aleta de área de la base Ab Razón de la transferecia de calor desde la superficie de área Ab 𝜀aleta = ሶ𝑄aleta ሶ𝑄sin aleta = ሶ𝑄aleta ℎ𝐴𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇∞) = 𝜂aletaℎ𝐴aleta(𝑇𝑏 − 𝑇∞) ℎ𝐴𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇∞) = 𝐴aleta 𝐴𝑏 𝜂aleta 𝜀aleta larga = ሶ𝑄aleta ሶ𝑄sin aleta = ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐(𝑇𝑏 − 𝑇∞) ℎ𝐴𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇∞) = 𝑘𝑝 ℎ𝐴𝑐 • los conductividad térmica k de la aleta debe ser tan Elevado como sea posible. Utilice aluminio, cobre, hierro. • La proporción de perímetro al área de sección transversal de la aleta p/AC debería ser tan Elevado como sea posible. Utilice aletas delgadas. • Bajo coeficiente de transferencia de calor por convección h. Coloque las aletas en el lado del gas (aire). 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Por lo tanto, la velocidad de la transferencia de calor para una superficie que contiene n aletas se puede expresar como ሶ𝑄total = ሶ𝑄libre de aleta + ሶ𝑄aleta = ℎ𝐴libre de aleta(𝑇𝑏 − 𝑇∞) + 𝜂aletaℎ𝐴aleta(𝑇𝑏 − 𝑇∞) = ℎ(𝐴libre de aleta + 𝜂aleta𝐴aleta)(𝑇𝑏 − 𝑇∞) Efectividad total para una superficie con aletas 𝜀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ሶ𝑄total, aleta ሶ𝑄total, sin aleta = ℎ(𝐴libre de aleta + 𝜂aleta𝐴aleta)(𝑇𝑏 − 𝑇∞) ℎ𝐴sin aleta(𝑇𝑏 − 𝑇∞) La efectividad general de la aleta depende en la densidad de las aletas (número de aletas por unidad de longitud), así como en la eficacia de las aletas individuales. La efectividad general es una mejor medida del desempeño de una superficie con aletas que la eficacia de las aletas individuales. 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Longitud adecuada de una aleta FIGURA 3-47 Debido a la caída gradual de la temperatura a lo largo de la aleta, la región cercana a la punta de la aleta hace poca o ninguna contribución a la transferencia de calor. ሶ𝑄aleta ሶ𝑄aleta larga = ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐(𝑇𝑏 − 𝑇∞) tanh𝑚 𝐿 ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐(𝑇𝑏 − 𝑇∞) = tanh𝑚 𝐿 mL = 5 → una aleta infinitamente larga mL = 1 ofrecen un buen compromiso entre transferencia de calor rendimiento y el tamaño de la aleta. 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Una aproximación común utilizada en el análisis de aletas es asumir la aleta temperatura para variar en una sola dirección (a lo largo de la longitud de la aleta) y la variación de la temperatura en otras direcciones es insignificante. Quizás te estés preguntando si esta aproximación unidimensional es razonable. Este es ciertamente el caso de las aletas hechas de láminas de metal delgadas, como las aletas de un automóvil radiador, pero no estaríamos tan seguros de las aletas hechas de materiales gruesos. Estudios han demostrado que el error involucrado en el análisis de aleta unidimensional es insignificante (menos de alrededor del 1 por ciento) cuando 0.2 h k dónde es el espesor característico de la aleta, que se toma como placa espesor t para aletas rectangulares y el diámetro D para cilindricos. 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario • Sumideros de Calor: Superficies con aletas especialmente diseñadas que son comúnmente utilizado en la refrigeración de equipos electrónicos, e implican un complejo único geometrías. • El rendimiento de transferencia de calor del calor. En sumideros de calor se expresa generalmente en términos de su resistencias térmicas R. • Un pequeño valor de resistencia térmica indica una pequeña caída de temperatura. a través del disipador de calor y, por lo tanto, una alta eficiencia de aleta. ሶ𝑄aleta = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ 𝑅 = ℎ𝐴aleta 𝜂aleta(𝑇𝑏 − 𝑇∞) 6. Transferencia de Calor desde Superficies con aletas Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Tabla 3-6 Convección natural combinada y resistencia térmica a la radiación de varios disipadores de calor utilizados en el enfriamiento de dispositivos electrónicos entre el disipador de calor y el entorno. Todas las aletas están hechas de aluminio 60631-5, están anodizadas en negro. y miden 76 mm (3 pulgadas) de largo. 7. Transferencia de Calor en Configuraciones Comunes Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario Hasta ahora, hemos considerado la transferencia de calor en geometrías sencillas como grandes paredes planas, cilindros largos y esferas. Esto se debe a que la transferencia de calor en tales geometrías se pueden aproximar como unidimensional. Pero muchos problemas encontrados en La práctica son bidimensionales o tridimensionales e involucran geometrías bastante complicadas para las que no se dispone de soluciones sencillas. Una clase importante de problemas de transferencia de calor para los que soluciones simples se obtienen engloba las que involucran dos superficies mantenidas en constante temperaturas T1 y T2. La tasa constante de transferencia de calor entre estos dos superficies se expresa como Q = Sk(T1 - T2) S: factor de forma de conducción k: la conductividad térmica del medio entre las superficies. los factor de forma de conducción depende de la geometría del sistema solamente. Los factores de forma de conducción son aplicables solo cuando la transferencia de calor entre las dos superficies es por conducción. 1/=S KR Relación entre el factor de forma de conducción y la resistencia térmica. 7. Transferencia de Calor en Configuraciones Comunes Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 7. Transferencia de Calor en Configuraciones Comunes Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 7. Transferencia de Calor en Configuraciones Comunes Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario 7. Transferencia de Calor en Configuraciones Comunes Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario • [1] Çengel, Y., 2007. Transferencia de calor y masa. Distrito Federal: McGraw- Hill Interamericana. • [2] Holman, J., Martínez de Morentín, P., Leo Mena, T. and Pérez Grande, I., 1998. Transferencia de calor. Madrid: McGraw-Hill. • [3] Bejan, A., 1993. Heat transfer. New York: John Wiley & Sons. • [4] Incropera, F., Bergman, T., Dewitt, D. and Lavine, A., 2017. Incropera's Principles of Heat and Mass Transfer. John Wiley & Sons. 8.- Bibliografía Tema 3: Conducción de Calor en Estado Estacionario
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