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100 Universidad Técnica de Oruro Facultad Nacional de Ingeniería Ingeniería Mecánica-Electromecánica POR: Univ. ERWIN A. CHOQUE CONDE PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Octubre-2007 ORURO BOLIVIA T k g q T q qq i i 11 Q. r ( ) Q. d d d Q.r r Q.r d d dr Q.z z Q.z d d dz Univ. Erwin Choque Conde Página 1 INDICE PROBLEMAS RESUELTOS Transferencia de calor en régimen permanente………………………………….…….…….…….2 Sistemas con generación interna……………………………………………………….….…………14 Espesor técnico económico……………………………………………………………………………31 Aletas…………………………………………………………………………………………….…………40 Flujo bidimensional…………………………………………………………………….……….………..52 Conducción en régimen transitorio………………………………………………………….………..55 Convección………………………………………………………………………………………..……….62 Intercambiadores………………………………………………………………………………..….…….70 Radiación…………………………………………………………………………….………………..……86 ANEXOS Anexo A. FORMULARIO………………………………………………………….…103 Anexo B. TABLAS Y GRAFICAS B.-1 TABLA 1. ……………………….……………….………………. 106 B.-2 GRAFICA 1. PARA PLACAS…………………….………….….107 B.-3 GRAFICA 2. PARA CILINDROS………………….…………….108 B.-4 GRAFICA 3. PARA ESFERAS…………………………………..109 Anexo C. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES……………………...………..110 Anexo D. UNIDADES Y TABLAS DE CONVERSIÓN Y EQUIVALENCIA……..138 Anexo E. BIBLIOGRAFÍA:……………………………………………………………156 Univ. Erwin Choque Conde Página 2 PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Transferencia de calor en régimen permanente 1. Se determina que el flujo de calor a través de una tabla de madera de 50[ mm ] de espesor es de 40[ 2/ mW ] cuyas temperaturas sobre la superficie interna y externa son 40 y 20ºC respectivamente ¿Cuál es la conductividad térmica de la madera? DATOS: 2. Compare las velocidades de transferencia de calor a través de una muestra de madera de pino blanco cuando la transferencia es transversal a la fibra y cuando es paralela a la fibra. La conductividad térmica para el primer caso es 0.15 CmW º/ y para el segundo caso 0.35 CmW º/ . SOLUCIÓN Para: Pino transversal Pino paralelo Existe mayor transferencia de calor con el pino de fibra en paralelo 3. Un chip cuadrado isotérmico tiene un ancho w=5[ mm ] de lado y esta montado en un sustrato de modo que sus superficie lateral e inferior están bien aisladas, mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15ºC. A partir de consideraciones de confiabilidad, la temperatura del chip no debe exceder de 85ºC. Si el fluido refrigerante es aire y el coeficiente de convección correspondiente es h=200 CmW º/ 2 a) ¿Cuál es la potencia máxima admisible del chip? b) Calcule y elabore una gráfica de la potencia admisible como función de h para el rango 200<h<2000 CmW º/ 2 . DATOS: SOLUCIÓN a) El área de transferencia La potencia máxima admisible b) Q T1 T2 L T2 40C Qa 40 W m2 T1 20C L1 50mm km Qa L1 T2 T1 km 0.1 W m C T 1C kt 0.15 W m C Qt k t T Qt 0.15 J m s kp 0.35 W m C Qp kp T Qp 0.35 J m s h w circuitos T w T1 w 5mm T1 85C T 15C h 200 W m2 C Aw w w Aw 2.5 10 5 m2 Qadm Aw h T1 T Qadm 0.35 W Qad h( ) Aw h T1 T h 200 W m2 C 300 W m2 C 2000 W m2 C 0 1 10 3 2 103 0 1 2 3 4 W/m2 ºC W Qad h( ) h Univ. Erwin Choque Conde Página 3 4. Un fluido refrigerante de una unidad de refrigeración construida de acero (k=40 CmW º/ ) con diámetro externo de 1.5 m espesor de ¼¨ y 2 m de altura, debe ser mantenido a una temperatura constante de -16ºC El tanque esta localizado en un ambiente de aire acondicionado a 22ºC y esta aislado con 2´´ de poliestireno (k=0.026 CmW º/ ) cuya temperatura externa debe ser mantenida constante e igual a 21ºC. El operador a notado que hubo un aumento de temperatura en el ambiente, debido a un defecto del termostato del aire acondicionado, ocasionando una variación de 10ºC en la temperatura de la superficie externa del aislamiento térmico Calcule: a) La razón de variación de T.C. a través del tanque b) El espesor del aislante para las nuevas condiciones ambientales. DATOS: El diámetro interno del tubo Se desprecia el espesor del tubo El área media logarítmica del aislante El calor para las nuevas condiciones b) El espesor del aislante requerido De et Lt Ti Tw1 Tw2 eais Ti 16 Ck 40 W m C Tw1 21CDe 1.5m eais 2in et 1 4 in kais 0.026 W m C Lt 2m Tw2 31C Di De 2 et Di 1.4873 m Am1 2 Lt eais ln 1 2 eais De Am1 9.74048 m 2 Q1ais Am1 kais eais Tw1 Ti Q1ais 184.4555 W Q2ais Am1 kais eais Tw2 Ti Q2ais 234.30834 W Q% Q2ais Q1ais Q1ais Q% 27.02703 % Q1ais Am kais en Tw2 Ti 2 Lt kais ln 1 2 en De Tw2 Ti Am 2 Lt en ln 1 2 en De en De 2 e 2 Lt kais Tw2 Ti Q1ais 1 en 6.51109 cm Univ. Erwin Choque Conde Página 4 5. Se conecta un resistor eléctrico a una batería, como se muestra en el esquema. Después de una breve fluctuación transitoria, la resistencia toma una temperatura de estado estable casi uniforme de 95 ºC, mientras que la batería y los alambres de conexión permanecen a la temperatura ambiente de 25ºC No tome en cuenta la resistencia térmica eléctrica de los alambres de conexión. a) Si se disipa energía eléctrica de manera uniforme dentro del resistor, que es un cilindro de diámetro D=60 mm y longitud Lr=25 mm . a) Cuál es la velocidad de generación de calor volumétrica g 3/ mW b) Sin tener en cuenta la radiación del resistor. ¿Cuál es el coeficiente de convección que debería tener para evacuar todo el calor? DATOS: La velocidad de transferencia de calor El volumen de la resistencia El área de T.C. por convección La generación volumétrica El coeficiente de convección 6. Se requiere calcular la pérdida de calor de un hombre en un ambiente donde la temperatura de la pared es 27ºC y del ambiente es de 20ºC si el ser humano tiene una temperatura superficial de 32ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección entre el hombre y el ambiente y emisividad de 3 CmW º/ 2 y =0.9 respectivamente, se sabe que un ser humano normal tiene una superficie corporal de 1.5m2, despreciar la resistencia térmica de la ropa. Calcular también la energía perdida en 24hr. + - V=24V I=6A T h aire resistor V1 24V Lr 25mm I1 6A Dr 60mm Tw 95C T 25C Qtr V1 I1 Qtr 144 W Vcil 4 Dr 2 Lr Vcil 7.06858 10 5 m3 Atr Dr Lr 2 Dr 2 Atr 0.01037 m 2 gvol Qtr Vcil gvol 2.03718 10 6 W m3 htr Qtr Atr Tw T htr 198.42694 W m2 C Tw 27 273( )K hh 3 W m2 K td 24hr T 20 273( )K 0.9 5.67 10 8 W m2 K4 Th 32 273( )K Ah 1.5m 2 Qh Ah hh Th T Qh 54 W Qr Ah Th 4 Tw 4 Qr 42.37919 W Qtot Qh Qr Qtot 96.37919 W E Qtot td E 1.98891 10 6 cal Univ. Erwin Choque Conde Página 5 7. Una sonda interplanetaria esférica de 0.5 m de diámetro contiene dispositivos electrónicos que disipan 150W la superficie de la sonda tiene una emisividad de 0.2 y la sonda no recibe radiación de otras superficies como por ejemplo del Sol. a) ¿Cuál es la temperatura de la sonda si la del ambiente es de 25ºC? b) Si en la superficie exterior de la sonda varia la emisividad en el rango de 9.02.0 graficar la temperatura de la sonda en función de la emisividad. DATOS: El área de la sonda La variación de la temperatura 8. Se quiere diseñar un calentador de 10[ KW ] usando alambre de Ni - Cr (Nicrom). La temperatura máxima de la superficie del Nicrom será 1650 ºK y la temperatura mínima del aire circundante es 370K. La resistividad del Nicrom es 110 cm* y la energía para el calentador está disponible a 12 voltios. a) ¿Qué diámetro de alambre se requiere si el calentador usa un solo trozo de 0.6 m de longitud? b) ¿Qué longitud de alambre debería tener para un calibre de 14 (BWG 14. d = 0.083 lgp ) c) Qué coeficiente de convección debería tener el ambiente para evacuar todo el calor en ambos casos. DATOS: Dso 0.5m 5.67 10 8 W m2 K4 1 0.2 T 273 25( )K Qsonda 150W As 4 Dso 2 2 As 0.7854 m 2 Qsonda 1 As Tw 4 T 4 Tw Qsonda 1 As T 4 1 4 Tw 396.54913 K Tw ( ) Qsonda As T 4 1 4 0.2 0.22 0.9 0.2 0.4 0.6 0.8 1 320 340 360 380 400 Tw ( ) T h aire NICROM V=12V D L O 1650K Ncal 10 10 3W Tn 1650 K To 370K 110 10 6 cm Vn 12V Univ. Erwin Choque Conde Página 6 La potencia a) b) c) 9. Dos ambientes A y B de grandes dimensiones están separadas por una pared de ladrillo k=1.2 CmW º/ de 12 cm de espesor y de emisividad superficial de 0.78 la temperatura externa del ladrillo en el ambiente B es de 120ºC y la temperatura del aire y sus alrededores del mismo ambiente es de 30ºC la transferencia de calor por convección libre del ambiente B es de 20 CmW º/ 2 encontrar la temperatura de la superficie interna del ladrillo en el ambiente A. DATOS: SOLUCIÓN: Por balance de energía Calor por Conducción =Calor por Convección + Calor por Radiación Ncal Vn I Vn 2 Rn Vn 2 At L Vn 2 d2 4 L La 0.6 m da Ncal 4 La Vn 2 da 0.76392 cm db 0.083 in Lb Vn 2 db 2 4 Ncal Lb 4.56965 cm ha Ncal La da Tn To ha 542.5542 W m2 K hb Ncal Lb db Tn To hb 25813.38996 W m2 K BT AT BA h B T L Q L 0.12m k 1.2 W m K TB 273 120( )K 0.78TB 273 30( )K hB 20 W m2 K 5.67 10 8 W m2 K4 k A L TA TB A hB TB TB A TB4 TB 4 k L TA TB hB TB TB TB4 TB 4 TA hB TB TB TB4 TB 4 L k TB TA 641.22126 K TA 368C Univ. Erwin Choque Conde Página 7 10. Una casa tiene una pared compuesta de madera (Lm=10 mm , k=0.109 CmW º/ ), aislante de fibra de vidrio (Lf=100 mm , k=0.035 CmW º/ ) y tablero de yeso (Ly=20 mm , k=0.814 CmW º/ ), como se indica en el esquema. En un día frió de invierno los coeficientes de transferencia de calor por convección son hi=60 CmW º/ 2 y he=30 CmW º/ 2 el área total de la superficie es de 350 2m si el aire interior se mantiene a 20ºC a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de la pared, incluyendo los efectos de convección interior y exterior para las condiciones establecidas. b) Determine la expresión para la perdida de calor a través de la pared. c) Grafique la potencia disipada en función del tiempo. d) Calcule la energía calorífica transmitida del interior al exterior para un día. Si las condiciones mas realistas en las que el aire exterior se caracteriza por una temperatura que varia con el día (tiempo), de la forma: httsenKT e 120)24 *2 (*5255)( Si t hr y T K httsenKT e 2412)24 *2 (*11273)( Si t hr y T K DATOS: Madera Fibra de vidrio Yeso a) b) La transferencia de calor 10mm 100mm 20mm iT eT m ad er a fibra de vidrio yeso ho hi hi 60 W m2 K Atrf 350m 2 Ti 273 20( )K he 30 W m2 K km 0.109 W m K Lm 10mm kf 0.035 W m K Lf 100mm ky 0.814 W m K Ly 20mm R 1 hi Atrf Lm km Atrf Lf k f Atrf Ly ky Atrf 1 he Atrf R 0.00864 K W Tma ñ t1( ) 273K 5 sin 2 24 hr t1 K t1 0hr 0.1hr 12hr Ttar t2( ) 273K 11 sin 2 24 hr t2 K t2 12hr 13hr 24hr Qma ñ t1( ) Ti Tma ñ t1( ) 1 hi Atrf Lm km Atrf Lf k f Atrf Ly ky Atrf 1 he Atrf Qtar t2( ) Ti Ttar t2( ) 1 hi Atrf Lm km Atrf Lf k f Atrf Ly ky Atrf 1 he Atrf Univ. Erwin Choque Conde Página 8 c) d) Energía diaria que pierde 11. Por un tubo de material (AISI 304) de 2” de diámetro interior y ½” de espesor, circula vapor a 5 Bar y esta expuesto al medio ambiente de 30ºC con un coeficiente de convección de 10 CmW º/ 2 , calcular el flujo de color por la tubería por metro de longitud. DATOS: Del material (AISI 304) Área interna del tubo Área externa del tubo El área media logarítmica del tubo El calor transmitido 0 4 10 4 8 104 260 265 270 275 280 Tma ñ t1( ) Ttar t2( ) t1 t2 0 4 10 4 8 104 1.5 10 3 2 10 3 2.5 10 3 3 10 3 3.5 10 3 4 10 3 Qma ñ t1( ) Qtar t2( ) t1 t2 Q t Ed d E1 0hr 12hr t1Qma ñ t1( ) d E1 8.40996 10 7 J E2 12hr 24hr t2 Ti Tma ñ t2( ) R d E2 1.15936 10 8 J ET E1 E2 ET 2.00036 10 8 J di de L Tsat h T Tsat di 2ink 16.6 W m C et 0.5in h 10 W m2 C de di 2 et Tsat T R cond R conv Q T 30C de 0.0762 m Tsat 151.86 C L 1m Q Tsat T Rcond Rconv Tsat T et Am k 1 Ae h Ai di L Ai 0.15959 m 2 Ae de L Ae 0.23939 m 2 Am Ae Ai ln Ae Ai Am 0.1968 m 2 Q Tsat T et Am k 1 Ae h Q 289.03011 W Univ. Erwin Choque Conde Página 9 12. Una mezcla química se almacena en un contenedor esférico (k=50 CmW º/ ) cuyo radio exterior es de 208 mm y un espesor de 20 mm . En la pared interna de la esfera la temperatura se mantiene constante a 150ºC. Calcular la transferencia de calor si este esta expuesto al medio ambiente de 15ºC y un h=12.25 CmW º/ 2 . Se propone cubrir con una capa de aislante “lana de vidrio” de espesor 10 mm para reducir las perdidas de calor; en que porcentaje disminuye la T.C. con el aislante. DATOS: El área interna de la esfera El área externa de la esfera ó interna del aislante El área externa del aislante El área media cuadrática de la esfera El área media cuadrática del aislante a) Esfera sin aislante b) Esfera con aislante Tsat re h T h e t eais Tsat 150Ck 50 W m C T 15C re 0.208m kais 0.04 W m C et 20mm ri re et ri 0.188 m Riais re h 12.25 W m2 C eais 10mm Reais Riais eais Reais 0.218 m Ai 4 ri 2 Ai 0.44415 m 2 Ae 4 re 2 Ae 0.54367 m 2 Aeais 4 Reais 2 Aeais 0.5972 m 2 Am 4 ri re Am 0.4914 m 2 Amais 4 re Reais Amais 0.56981 m 2 T R cond R conv Q Q1 Tsat T et Am k 1 Ae h Q1 894.2487 W Tsat T R cond R conv Q R cond aisl Q2 Tsat T et Am k eais Amais kais 1 Aeais h Q2 234.27394 W %Q Q1 Q2 Q1 %Q 73.80215 % Univ. Erwin Choque Conde Página 10 13. Dos varillas de cobre largas de diámetro D=10 mm , L=70 mm cada una, se sueldan juntas extremo con extremo; la soldadura tiene un punto de fusión de 650°C. Las varillas están en aire a 25°C con un coeficiente de convección de10 CmW º/ 2 . ¿Cuál es la potencia mínima de entrada necesaria para efectuar la soldadura? DATOS: 14. Las temperaturas de la superficie interior y exterior de una pared plana de 0.60 m de espesor se mantienen constantes a 773 K y 323 K, respectivamente. El material de la pared tiene conductividad calorífica que varía linealmente con la temperatura, de acuerdo con la expresión k = 0.116[0.454 + 0.002T] CmW º/ . Determinar: a) La transferencia de calor b) Demuestre que a la transferencia de calor será el mismo cuando la conductividad térmica es calculada a la temperatura media aritmética de la pared. c) Grafique la distribución de temperatura y la conductividad térmica en función de la distancia. DATOS: a) b) D L h T L Tf dv 10mm Lv 70mm Tf 650C ha 10 W m2 C Ta 25C Qh 2 dv Lv ha Tf Ta Qh 27.48894 W T1=773K T2=323K K=o*(p+q*T) At Qtra X[m] T[K] etr 0.6 m At 1m 2 T1 773K T2 323K k1 0.116 0.454 0.002 T( ) W m K o 0.116 W m K p 0.454 q 0.002 1 K k1 T( ) o p q T( ) Qtra k A x Td d 0 etr x Qtra At d T1 T2 To p q T( ) d Qtra At etr o p T1 T2( ) q 2 T12 T22 Qtra o At etr p T1 T2( ) q 2 T12 T22 Qtra 134.85 W Tm T1 T2 2 Tm 548 K k1m o p q Tm k1m 0.1798 W m K Qtra1 k1m At etr T1 T2( ) Qtra1 134.85 W Univ. Erwin Choque Conde Página 11 c) La distribución de temperatura y la conductividad 15. Algunas secciones de una tubería que transporta combustóleo están soportadas por barras de acero (k=61 CmW º/ ) de 0.005 2m de sección transversal. En general la distribución de temperatura a lo largo de las barras es de la forma: 2*10150100)( xxxT donde T esta en grados Celsius y “x” en metros. Calcule el calor que pierde de la tubería a través de cada barra. Para el flujo máximo 16. Un cono truncado solidó tiene una sección transversal circular, y su diámetro esta relacionado con la coordenada axial mediante una expresión de la forma de 2/3* xaD donde 2/1.1 ma la superficie lateral esta bien aislada, mientras que la base pequeña se encuentra en x1=0.0075 m y tiene una temperatura de 100ºC y la base mayor se encuentra a x2=0.225 m y una temperatura de 20ºC. a) Hallar el flujo de calor b) Derive una expresión para la distribución de temperatura T(x) c) graficar la distribución de temperatura, si el cono es de aluminio (k=240 CmW º/ ). DATOS: Incógnitas a) T (x) b) Q x T( ) At o Qtra p T1 T( ) q 2 T12 T 2 T 773K 323K 323K 300 400 500 600 700 800 0 0.2 0.4 0.6 x T( ) k1 T( ) T k 61 W m C Ai 0.005m 2 Tx 100 150 x 10 x 2 x Tx d d 150 20 x( ) C m Q k Ai x Tx d d k Ai 150 20 x( ) x 0 Q k Ai 150 20 x( ) C m Q 45.75 W 2/3* xaD X D/2 T2 T1 Q x1 x2 x1 0.0075 m a 1 m 1 2 T1 100C x2 0.225m k 240 W m C T2 20C Univ. Erwin Choque Conde Página 12 La ecuación de conducción a) ...1 ) ... 2) b) De la ecuación 2 c) 17. Hallar la distribución de temperatura, el flujo de calor y el área media de una esfera hueca de radio interno R1 y externo R2, cuyas temperaturas interna y externa son T1 y T2 respectivamente. Tkx A Q x ** )(x T AkQ x ** )( Tkx xa Q ** ** *4 2 2 3 Tkx D Q *** *4 2 Tkxxa Q **** *4 32 2 1 2 122 )(* **)2( *4 T T x x Tkxa Q )1(*) 11 ( * *2 22 1 2 2 2 TTk xxa Q ) 11 (*2 )1(*** 2 1 2 2 2 2 xx TTka Q Q 2 a2 k T2 T1 1 x2 2 1 x1 2 Q 1.69835 W Tkxxa Q **** *4 32 T T x x Tkxa Q 1122 )(* **)2( *4 )1(*) 11 ( * *2 2 1 22 TTk xxa Q T x( ) T1 2 Q k a2 1 x2 1 x1 2 x 0.0075 m 0.01m 0.225m 0 0.1 0.2 0.3 0 20 40 60 80 100 T x( ) x T k g q T q qq i i 11 0 1 2 2 x T x xx x x T r *02 Univ. Erwin Choque Conde Página 13 La distribución de temperatura es: El calor transferido es: El área media es: 18. En el cubo interior de10 cm de lado de plastoform con un espesor de 10 cm se introduce trozos de hielo con una masa total de 1 kg , después de 45 min , se pudo observar que una parte del hielo se fusiona y se extrae un volumen de agua de 30ml.¿Calcular la conductividad térmica del aislante (plastoform) y el coeficiente de T.C. por convección externo del cubo, considerando que la temperatura en la superficie exterior se mantiene a una temperatura de 13ºC. DATOS: La masa del hielo convertido en agua El calor transmitido por el aislante al hielo El área variable respecto a la coordenada "x" x r C x T 2 1 2 1 )( C r C T r 12 1 1 1)( TCR C T Rrr )21( 2*1*)21( 1 RR RRTT C 22 2 1 2)( TCR C T Rrr )21( 2*)21( 12 RR RTT TC 1 )21( 2*)21( )12(* 2*1*)21( )( TRR RTT RRr RRTT T r 22 2 2 ))12(* 2*1*)21( (***4**)(* RrRr RRr RRTT rk r T rAkQ W RR TT RRkQ )12( )21( *2*1***4 Am R2 R1 r 1 A r( ) d R2 R1 R1 R2 r 1 4 r 2 d R1 R2 1 4 1 R2 1 R1 4 R1 R2 w w w Two 13 273.15( )Kwo 10cm Toi 273.15 Keo 10cm Lo wo 2 eo Lo 0.3 m h2o 1000 kg m3 mh 1kg tf 45min Lfo 80000 cal kg LoWo Two Toi X L Tx Ax e o Vh2o 30 10 6 m3 T 15 273.15( )K mo h2o Vh2o mo 0.03 kg Qo mo Lfo tf Qo 3.7216 W Ax wo Lo wo eo x 2 Univ. Erwin Choque Conde Página 14 Para el área media se tiene la siguiente formula El área total de transferencia El calor por conducción La conductividad del aislante El coeficiente de convección Am eo x 1 Ax d Am Lo wo Lo x 1 Ax d eo Lo wo Lo Am 0.06 m 2 AmT 6 Am AmT 0.36 m 2 Q ko Am Tw To eo ko Qo eo AmT Two Toi ko 0.07952 W m K hc Qo 6 Lo Lo T Two hc 3.44593 W m2 K Univ. Erwin Choque Conde Página 15 Q. r ( ) Q. d d d Q.r r Q.r d d dr Q.z z Q.z d d dz Por balance de energía .... a) ... b) De la ecuación de Fourier SISTEMAS CON GENERACION INTERNA 19. Deduzca la ecuación general de la conducción para un cilindro hueco y a partir de ella deducir las ecuaciones de FOURRIER, POISSON, LA PLACE. Eentra Egenerado Esale Ealmacenado Eentra Qr Q Qz Esale Qr r Qr d d dr Q r ( ) Q d d d Qz z Qz d d dz Eentra Esale r Qr d d dr r ( ) Q d d d z Qz d d dz Q k A dT dx Qr kr dz d r ( )( ) dT dr kr r dz d dT dr r Qr d d r kr r dz d dT dr d d Q k dr dz( ) dT d k dz dr dT d r ( ) Q d d r ( ) k dz dr dT d d d Qz kz dr d r ( )( ) dT dr kz r dr d dT dz z Qz d d z kz r dr d dT dz d d Univ. Erwin Choque Conde Página 16 Reemplazamos estas ecuaciones en la ecuación b) .... c) .... d) .... e) Las ecuaciones c),d) y e) reemplazamos en la ecuación a) y dividiendo entre ( ) Entonces la ecuación general de la conducción para flujo cilíndrico es: La ecuación de difusión de Fourier: La ecuación de Poissón: La ecuación de La place: 20. Una pared plana de 10 cm de espesor (K=19 CmW º/ ) genera calor en su interior a la rapidez de 0.41 3/ mMW . La superficie interna de la pared esta perfectamente aislado y la superficie externa se expone a un ambiente a 89ºC. El coeficiente de convección entre la pared y el ambiente es de 570 CmW º/ 2 calcule la distribución de temperatura, y la temperatura máxima. DATOS Incógnita T (x) Condiciones - régimen permanente - coordenadas rectangulares i=0 , q=x - con generación de energía Eentra Esale r kr r dT dr d d dz d( ) dr k dT d d d dz dr d z kz dT dz d d dr d dz Egenerado Vg d g dr d r ( ) g r dr d dz Ealmacenado m Cp T V Cp T r dr d dz( ) Cp dT d r k dr d dz k kr kz k 1 r r r dT dr d d 1 r 2 dT d d d z dT dz d d g k Cp dT d 1 r r r dT dr d d 1 r 2 2 Td d 2 2 z Td d 2 g k Cp dT d g 0 1 r r r dT dr d d 1 r 2 2 Td d 2 2 z Td d 2 Cp dT d dT d 0 1 r r r dT dr d d 1 r 2 2 Td d 2 2 z Td d 2 g k 0 g 0 dT d 0 1 r r r dT dr d d 1 r 2 2 Td d 2 2 z Td d 2 0 h T L Q=0 g k L 10cm g 0.41 10 6 W m 3 k 19 W m C T 89C h 570 W m 2 C Univ. Erwin Choque Conde Página 17 SOLUCIÓN: ........ 1) Por la condición de frontera de segunda clase Por la condición de frontera de tercera clase Calor generado = Calor por convección Se reemplaza en la ecuación 1 La temperatura máxima es cuandox=0 T k g q T q qq i i 11 0 1 0 0 k g x T x xx 0 k g x T x x k g x T x k g x T 1Cx k g x T xCx k g T 1 xCx k g T 1 2*1 *2 2 )( CxCxk g T X 0101 )( )0( Cxk g f x xT x C1 0 hg QQ )T)((*** LXxTAhVg )2 *2 (**** 2 TCLk g AhLAg Tk Lg h Lg C *2 ** 2 2 Tk Lg h Lg x k g T X *2 ** *2 2 2 )( Th Lg xL k g T X * * *2 22 )( Th Lg L k g T XX * 0* *2 22 0)( Tx0 g 2 k L 2 g L h T Tx0 268.82456 C Univ. Erwin Choque Conde Página 18 21. Una varilla larga de acero inoxidable de 20 mm *20 mm de sección transversal cuadrado, esta aislado en tres de sus lados y se mantiene a una temperatura de 400ºC en el lado restante. Determínese la temperatura máxima en la varilla cuando esta conduciendo una corriente de 1000 Amperios. La conductividad térmica y eléctrica del acero inoxidable se puede suponer que es de 46 CmW º/ y 1.5E4 1 cm y se puede despreciar el flujo de calor en la varilla. DATOS: Condiciones - régimen permanente - coordenadas rectangulares i=0 , q=x - con generación de energía Incógnita: SOLUCIÓN: El área transversal La resistencia El calor generado El calor generado por unidad de volumen De la Ecuación general de la conducción ........ 1) Por la condición de frontera de segunda clase Por condición de frontera de primera clase En la ecuación 1) La temperatura máxima es cuando x=0 : I a a L WT a 20mm I 1000 A ke 1.5 10 4 1 cm kt 46 W m C Tw 400C L 1m Tmax º C ( ) At a a At 0.0004 m 2 R 1 ke L At R 0.00167 G I 2 R G 1666.66667 W g G V g G At L g 4.16667 10 6 W m 3 T k g q T q qq i i 11 0 ke g x T x 2*1 *2 2 )( CxCxkt g T X 0101 )( )0( Cxkt g f x xT x C1 0 2 *2 2 )( Cakt g TT waXX wTakt g C 2 *2 2 T x( ) g 2 kt a 2 x 2 Tw x 0m 0.001 m 0.02m 0 0.01 0.02 400 405 410 415 420 T x( ) x Tmax g 2 kt a 2 Tw Tmax 418.11594 C Univ. Erwin Choque Conde Página 19 22. Una pared plana de dos materiales, A y B, la pared del material A tiene una generación de calor uniforme g=2.1E6 3/ mW kA=65 CmW º/ y un espesor LA=50 mm . El material B de la pared no tiene generación y su kB=150 CmW º/ y el espesor LB=20 mm . La superficie interior del material A esta bien aislada mientras que la superficie exterior del material B se enfría con un flujo de agua con CT º30 y h=5000. CmW º/ 2 . a) Dibuje la distribución de temperatura que existe en el compuesto bajo condiciones de estado estable, b) Determinar la temperatura To de la superficie aislada c) Calcule la temperatura T2 de la superficie enfriada. DATOS: Incógnitas: a) T(x) b) To c) T2 Condiciones - régimen permanente - coordenadas rectangulares i=0 , q=x - con generación de energíaSOLUCION: De la Ecuación general de la conducción en la pared plana se tiene Por la condición de frontera de segunda clase Por condición de frontera de primera clase El volumen de la placa generada Balance de energía h LA g k LB KA KB 2 T Q=0 T 1 T g 2.1 10 6 W m 3 A 1m 2 LB 20mm KA 65 W m C T 30CLA 50mm KB 150 W m C h 5000 W m 2 C 2*1 *2 2 )( CxCxK g T A X 0101 )( )0( CxK g f x xT A x C1 0 2 *2 2 1)( CLK g TT A A aXX 1 2 *2 2 TL K g C A A Vvol LA A Vvol 0.05 m 3 Qg Qk Qh g Vvol A h T2 T T2 g LA h T T2 51 C g Vvol KB A LB T2 T1 T1 g LA LB KB T2 T1 65 C Univ. Erwin Choque Conde Página 20 La temperatura máxima 23. Graficar la distribución de temperaturas donde en una placa formada de un material de conductividad 30 CmW º/ de 20 mm de espesor, en el que se genera calor a una rapidez de 5*E7 3/ mW . La placa esta refrigerada por ambos lados con agua en un lado a 60ºC y en el otro a 90ºC con un coeficiente de traspaso de calor de 8500 CmW º/ 2 y 7900 CmW º/ 2 en uno y otro lado respectivamente. Calcule también la temperatura máxima y su posición. DATOS: La solución general es: TA x1( ) g 2 KA LA 2 x1 2 T1 x1 0mm 0.1mm 50mm TB x2( ) T1 g LA KB x2 LA x2 50mm 55mm 70mm 0 0.02 0.04 0.06 50 100 150 TA x1( ) TB x2( ) x1 x2 x1 0 TA x1( ) 105.38462 C T T2 T1 2 T 1 h1 h2 L x p kp 30 W m C T2 90C Lp 20mm h1 8500 W m 2 C gp 5 10 7 W m 3 h2 7900 W m 2 C T1 60C 2 x Td d 2 gp kp 0 x Td d gp kp x C1 T gp 2 kp x 2 C1 x C2 Univ. Erwin Choque Conde Página 21 Por condiciones de frontera de primera clase: x 0 kp x Td d h1 T1 T x( ) kp C1 h1 T1 C2 x Lp kp x Td d h1 T x( ) T2 kp gp Lp 2 kp C1 h1 g Lp 2 2 kp C1 Lp C2 T2 C1 T1 T2 gp Lp 2 2 kp gp Lp h2 kp h1 kp h2 Lp C1 17927.97457 C m C2 kp C1 h1 T1 C2 123.2752 C T x( ) gp x 2 2 kp C1 x C2 x 0mm 1mm 20mm 0 0.01 0.02 120 140 160 180 200 220 T x( ) x x Td d g k x C1 0 x C1 kp gp x 0.01076 m T x( ) 219.69889 C Univ. Erwin Choque Conde Página 22 24. Un alambre de cobre de 1 mm de diámetro esta uniformemente aislado con un material plástico de forma que el diámetro externo del conductor aislado es de 3 mm el conductor esta expuesto a un ambiente de 38ºC. El coeficiente de transmisión de calor desde la superficie exterior del plástico a los alrededores es de 8.5 CmW º/ 2 a) Cuál es la máxima corriente que en régimen estacionario puede conducir este alambre sin que sobrepase en ninguna parte del plástico el limiten de operación que es de 93ºC? las conductividades caloríficas y eléctricas se suponen constantes para el cobre y son 377 CmW º/ y 5.7E5 1 cm respectivamente, para el plástico kp=0.35 CmW º/ b) Cual es el flujo de calor c) Grafique la distribución de temperatura. DATOS: Condiciones - régimen permanente - coordenadas cilíndricas i=1 , q=r - con generación de energía El área transversal El área de transferencia de calor por convección El área media logarítmica del aislante De la ecuación general de la conducción Para nuestras condiciones Q h d=1mm D=3mm Tw1 kais Kcu T T2 d 1mm Lcu 1m D 3mm T 38C eais D d 2 h 8.5 W m 2 C eais 0.001 m Tw1 93C kais 0.35 W m C kcu 377 W m C cu 5.7 10 5 1 cm Atcu 4 d 2 Atcu 7.85398 10 7 m 2 Ae D Lcu Ae 0.00942 m 2 Amais Lcu D d( ) ln D d Amais 0.00572 m 2 T k g q T q qq i i 11 0 1 1 1 k g r T r rr Tr g r 2 4 k C1 ln r( ) C2 Univ. Erwin Choque Conde Página 23 Por las condiciones de frontera Balance energético De la siguiente relación La distribución de temperatura La generación interna es: a) Calor transferido b) La distribución de temperatura El área media variable 0 1 *2 0* 0 )( )0( C k g r rT r C1 0 Qgeneracio Qconduccion Qconveccion 2 *4 )2/(* 2)( 2 )2/( Ck dg TrT dr C2 g d 2 8 k T2 Tr g 4 kcu d 2 2 r 2 T2 0 r d 2 Qconduccion Qconveccion kais Amais eais Tw1 T2 Ae h T2 T T2 kais Amais Tw1 h Ae T eais h Ae eais kais Amais T2 90.88355 C Qgeneracion Qconduccion g Vvol I 2 R h Ae T2 Tw1 I h Ae cu Atcu T2 T Lcu I 13.772 A g I 2 cu Atcu 2 g 5.39412 10 6 W m 3 Qk kais Amais eais Tw1 T2 Qk 4.23653 W Qh Ae h T2 T Qh 4.23653 W Qg g Atcu LcuQg 4.23653 W T1 r1( ) g 4 kcu d 2 2 r1 2 Tw1 r1 0mm 0.1mm 0.5mm Am 2 Lcu ln 2 r d r d 2 Univ. Erwin Choque Conde Página 24 25. Considere un tubo solidó largo, aislado en radio externo r2 y enfriado en el radio interior r1 con generación uniforme de calor g 3/ mW dentro del solidó de k CmW º/ . a) Encontrar la distribución de temperatura b) T máximo c) La rapidez de transferencia de calor por unidad de longitud del tubo. Si por el interior circula agua a T y “h”. DATOS Incógnitas a) T (x) b) T max=T2 c) d) Condiciones - régimen permanente - coordenadas cilíndricas i=1 , q=r - con generación de energía De la Ecuación general de la conducción para pared cilíndrica .......1 ) Por la condición de frontera de segunda clase T2 r2( ) Tw1 g Atcu 2 kais ln 2 r2 d r2 0.5mm 0.6mm 1.5mm 0 5 10 4 1 10 3 1.5 10 3 90 91 92 93 94 T1 r1( ) T2 r2( ) r1 r2 h T R ro T2 T1 ais lan teQ R m( ) g W m 3 r m( ) k W m C T1 Q T k g q T q qq i i 11 0 1 1 1 k g r T r rr 1 2 * 2 C k rg r T r Tr g r 2 4 k C1 ln r( ) C2 0 1 2 * 1 )( )( R C k Rg f r rT Rr C1 g R 2 2 k Univ. Erwin Choque Conde Página 25 Por la condición de frontera de tercera clase Calor generado = calor por convección En ecuación 1 a) b) c) d) 26. Un recipiente a presión de un reactor nuclear se puede trazar en forma aproximada como una gran placa de espesor L, la superficie interior de la placa en x=0 esta aislada, la superficie exterior en x=L se mantiene a una temperatura uniforme T2; el calentamiento de la placa por rayos gama se puede representar por un termino de generación de la forma de xJegxg *0 *)( donde 0g y J son constantes y “x” se mide desde la superficie aislada interior. Encontrar: a) Distribución de la temperatura T(x), b) temperatura de la superficie aislada c) Determinar el flujo de calor en x=L. DATOS: T2 L Incógnitas a) T (x) b) T 1 c) Condiciones - régimen permanente - coordenadas rectangulares i=0 , q=x - con generación de energía hg QQ )T)((*** rorrTAhVg )2)ln(* 2*4 (**2**)(* 0 2 2 00 2 0 2 TCrk gR r k g LrhLrRg Tr k gR r k g rh rRg C )ln(* 2*4**2 )( 2 0 2 2 0 0 2 0 2 Tr k gR r k g rh rRg r k gR k gr rT )ln(* 2*4**2 )( )ln(* 24 )( 0 2 2 0 0 2 0 222 Trr k g rh rRg r r k gR rT )( *4**2 )( )ln(* 2 )( 220 0 2 0 2 0 2 TRr k g rh rRg r R k gR TT Rr )(*4**2 )( )ln(* 2 max2 220 0 2 0 2 0 2 T rh rRg Trr k g rh rRg r r k gR T rr 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 **2 )( )( *4**2 )( )ln(* 2 1 0 )1(****2*)1(* 01 TTLrhTThAQh )( 20 2 rRg L Qh )( 20 2 rRg L Qg )( 20 2 rRg L Qk o ´ o ´ xJegxg *0 *)( X L Q=0 T2 T1 0g J Q Univ. Erwin Choque Conde Página 26 ... 1) Para calcular C1 y C2 aplicamos condiciones de frontera Por la condición de frontera de segunda clase Por condición de frontera de primera clase En la ecuación 1 b) Temperatura máxima c) El flujo de calor T k g q T q qq i i 11 0 k g x T x x ke eg x T xJ * 0 * 1 * * *0 C Jk eg x T xJ xC Jk eg T xJ )1 * * ( * 0 2*1 * * 2 * 0 )( CxCJk eg T xJ x 01 * * 01 )( 0*0 )0( CJk eg f x xT J x Jk g C * 1 0 2*1 * * 2 * 0 2)( CLCJk eg TT LJ LXX LJk g Jk eg TC LJ * ** * 2 0 2 * 0 2 L Jk g Jk eg Tx Jk g Jk eg T LJxJ x *** * * ** * 0 2 * 0 2 0 2 * 0 )( 20)*(2 * 0 )( 1* * 1 * * T L x Jk Lg e Jk eg T xLJ LJ x 20*2020)0*(2 * 0 )( * * 1 * 0 1 * * 1 * * T Jk Lg e Jk g T LJk Lg e Jk eg T LJLJ LJ oxx kJ g e kJ g Ak kJ g e kJ g Ak x T AkQ LJLx xJ Lx ** (** ** (**** 0*00*0 LJe J g A Q *0 1 Univ. Erwin Choque Conde Página 27 27. Se genera calor en el interior de una partícula esférica de catalizador debido a una reacción química. La partícula, de 8 mm de diámetro, tiene conductividad térmica igual a 0.003 Kscmcal **/ , y tiene temperatura superficial de 300 °C. La generación de calor decrece linealmente hacia el centro de la partícula debido al decrecimiento en la cantidad de material que reacciona (mayor camino de difusión). La generación está dada por 3 *5.67 cm cal R r g Suponga que la generación de calor se balancea exactamente con las pérdidas convectivas en la superficie. Determine la distribución de temperaturas y la temperatura máxima. El catalizador tiende a perder actividad por encima de los 700 °C; ¿Excede esta temperatura? DATOS: Incógnitas T (x) Condiciones - régimen permanente - coordenadas esféricas i=2, q=r - con generación de energía Por condiciones de frontera La temperatura máxima está en el centro de la esfera T2 g=67.5R/r[cal/m3] R kpr 0.003 cal cm s C dpr 8mm R dpr 2 R 0.004 m Twe 300C M 67.5 cal cm 3 s T k g q T q qq i i 11 2 1 **12 * 3 )( Cr C kR rM T pr x 0 )( )0( rx xT C1 0 weRrX TT )( C2 M R 3 12 R kpr Twe T r( ) M 12 R kpr R 3 r 3 Twe r 0mm 0.6 mm 4mm 0 2 10 3 4 10 3 300 400 500 600 T r( ) r Tmax M R 3 12 R kpr Twe Tmax 600 C Tmax 700C Univ. Erwin Choque Conde Página 28 28. Encontrar la distribución de temperatura y el flujo de calor en estado estable de una esfera hueca de radio interior “a” y de radio exterior “b” cuya conductividad térmica es constante “k” y en la que se genera calor a una tasa de 2*rcg 3/ mW a la superficie limite en r=a se mantiene a una temperatura uniforme Ta. La superficie en r=b disipa calor por convección (cuyo coeficiente es h) ,hacia el medio de temperatura T . DATOS: C a b Ta h Incógnitas a) T (x) b) Condiciones - régimen permanente - coordenadas esféricas i=2, q=r - con generación de energía .......... 1) Por condición de frontera de primera clase ...... 2) Realizamos balance térmico en r=b ....3 ) De ecuaciones 1 y 2 ....4 ) La distribución de temperatura será: Th a b xJegxg *0 *)( Ta Q T Q T k g q T q qq i i 11 r k rC r T r 4 2 * k rC r T r rr 2 2 2 *1 2 3 1 *5 * r C k rC r T 1 *5 * 52 C k rC r T r r r C k rC T 2 3 1 *5 * 2 1 *2 *20 * 4 C r C k rC Tr 1 4 1*2 20 * 2 T a C k aC C 2 1*2 20 * 4 1)( Ca C k aC T ar T r brconveccion porsale Q br conduccionporQ . . )T(*)(* br Th brx T k r k C b 3 5 k C1 b 2 h C b 4 20 k 2 C1 b C2 T C2 k h C b 3 5 K C1 b 2 C b 4 20 k 2 C1 b T C1 b 3 C 5 h C 20 k b 4 a 4 T1 T 2 a 2 b k h b 2 2 1 *2 *20 * 4 C r C k rC Tr Univ. Erwin Choque Conde Página 29 29. Determinar el radio critico de aislamiento de una esfera hueca (conductividad k) de radio exterior r=b y interior r=a si el coeficiente de convección exterior es de h y la temperatura en r=b es T1y la del medio ambiente es de T El área media cuadrática del aislante El área externa Por el teorema de Máximos y Mínimos 30. Se desea aislar térmicamente un tubo por el que circula vapor de agua saturado, con el objeto de evitar en lo posible pérdidas de calor y condensaciones.El material aislante tiene conductividad calorífica k=0.41 CmhrkJ º*/ . y la temperatura de los alrededores permanece constante e igual a 293 K . Si el coeficiente de transmisión de calor externo para todo el tubo aislado puede suponerse independiente del diámetro externo del mismo. a) Es posible que en algún momento el incremento de espesor del aislante aumente las pérdidas de calor b) Grafique el flujo de calor en función del espesor del aislante c) Calcule el radio critico de aislamiento d) El caudal de calor máximo perdido con el espesor crítico. Haga un gráfico de espesor contra flujo de calor. Datos: Tvap H2O = 393 K. Diámetro externo del tubo 0.01 m coeficiente externo h=41.87 CmhrkJ º*/ 2 Desprecie la resistencia de la pared del tubo. a) El espesor del aislante define el flujo de calor como también su conductividad y el coeficiente de T.C. por convección El área media logarítmica de aislamiento (para un cilindro) DATOS T2 ri re=Rcrit h T Amais Ae Ai 4 ri re Ae 4 re 2 Q T2 T Rt 0 Rais Rh Q T r kais Amais 1 Ae h T re ri kais 4 ri re 1 4 re 2 h 4 kais T re ri ri re kais h re 2 re Qd d 4 kais T re ri ri re kais h re 2 re ri re ri ri re 2 ri 2 2 kais h re 3 0 1 2 kais h re 0 rcrit re 2 kais h de 0.001m Lw 1m h 41.87 10 3 J hr m 2 C T1 20Cre de 2 Tsat 120Ckas 0.41 10 3 J hr m C re 0.0005 m Amais 2 L rais re ln rais re Univ. Erwin Choque Conde Página 30 El área externa para la transferencia de calor por convección El flujo de calor b) c) El radio crítico de aislamiento d) El calor máximo Ae 2 L rais Q T r kas Amais 1 Ae h Q rais Tsat T1 2 Lw kas h rais h rais ln rais re kas rais 0m 0.001 m 0.04m 0 0.01 0.02 0.03 0.04 5 10 15 20 Q rais rais rcrit kas h rcrit 0.00979 m Qmax Tsat T1 2 L kas h rcrit h rcrit ln rcrit re kas Qmax 18.00334 W Univ. Erwin Choque Conde Página 31 31. Para demostrar la conveniencia de aislar las conducciones de vapor, se hizo circular vapor por un tubo desnudo de 1´´ y 1 metro de longitud, y posteriormente por el mismo recubierto de una capa de aislante de 20 mm de espesor, obteniéndose los datos siguientes: Tubo desnudo Tubo aislado Peso del condensado 160 hrg / 43.8 hrg / Presión de vapor (Sobre presión) 63.5 mmHg 63.5 mmHg Temperatura de la superficie del tubo 102ºC 102ºC Temperatura de la superficie del aislante --- 39ºC Temperatura del aire 37.5ºC 30.5ºC Calor latente de condensación 2251.7 kgkJ / 2251.7 kgkJ / Titulo del vapor 99% 99% Determínese: a) El porcentaje de ahorro de calor obtenido con el aislante. b) El coeficiente de convección del tubo desnudo c) El coeficiente de convección para el tuvo aislado La conductividad térmica del aislante. a) Para el tubo desnudo Para el tubo aislado b) c) d) ESPESOR ÓPTIMO TÉCNICO ECONÓMICO DE AISLAMIENTO md 0.160 kg hr ma 0.0438 kg hr d 1in Tw 102C Tw1 39C Lt 1m Td 37.5C Ta 30.5C eais 20mm Xv 0.99 hfg 2251.7 10 3 J kg Qdes md hfg Xv Qdes 99.0748 W Qais ma hfg Xv Qais 27.1217 W Q% Qdes Qais Qdes Q% 72.625 % Qdes hdes Ades T hdes Qdes d Lt Tw Td hdes 19.2495 W m 2 C Qais hdes Ades T hais Qais d 2 eais Lt Tw1 Ta hais 15.53 W m 2 C Qais k Am T aais Am 2 eais Lt ln 1 2 eais d Am 0.1329 m 2 kais Qais eais Am Tw Tw1 kais 0.0648 W m C Univ. Erwin Choque Conde Página 32 32. Para efectuar un determinado aislamiento térmico pueden emplearse dos tipos de aislante ambos disponibles en planchas de 2 cm de espesor. El aislante A cuesta 26 2/ mSus y su conductividad térmica es de 0.04 CmW º/ , el aislamiento B cuesta 40 2/ mBs y su conductividad térmica es k=0.03 CmW º/ se supone que la temperatura en ambas caras será de 500ºC y 40ºC y los dos materiales son capaces de resistir estas temperaturas. Bajo esta hipótesis determinar a) El espesor optimo técnico económico del aislante a) A b) B c) El aislante mas conveniente. Se supone en todos los casos un año laboral de 340 días al año de 24 horas día, el combustible cuesta 3.9Bs el millón de kilojulios. El aislante se cambiara cada 15 años para ambos casos. DATOS: Incógnitas: a) b) Aislante más económicoc) a) SOLUCION: Para el aislante A) Costo fijo Costo variable El costo total será: b) Para el aislante B) Costo fijo Costo variable eais 0.02m A 1m 2 T1 500C T2 50C etecA etecB Q kais Aais T n eais CfA n Cua A a n 26 1 15 1.733 n Bs a ño CvA Q E kA AA T n eA 0.04 J m s C 1 m 2 500C 40C n 0.02 m 3.9Bs 10 6 kJ 3600 s 1h 24h dia 340dia a ño CvA 105.401 nB Bs a ño CTA CfA CvA CTA 1.733 nA 105.401 nA Bs a ño n CTA d d 0 105.401 nA 2 1.7333 0 nA 7.798 etecA nA eais 8 0.02 0.16 m nA 8 CfB n Cub A a n 40 1 15 2.666 n Bs a ño CvB Q E kB AB T n eB 0.03 J m s C 1 m 2 500C 40C n 0.02 m 3.9Bs 10 6 kJ 3600 s 1h 24h dia 340dia a ño CvB 79.05 nB Bs a ño Univ. Erwin Choque Conde Página 33 El costo total será: c) El costo total será: El aislante mas económico es "A" CTA=27.039Bs/año 33. El aislamiento térmico de un horno cúbico de dimensiones exteriores de 1*1*1 m deberá ser construido utilizando placas de 1” se espesor de aislante, lana de vidrio k=0.04 CmW º/ , cuyo precio es de 8.7 2/ mSus , el costo de mano de obra es de 1 2/ mSus y mantenimiento es de 0.3 2/ mSus . Las temperaturas de trabajo están fijadas en 400ºC y 50ºC en la cara interna y externa respectivamente. El aislante tiene una vida útil de 5 años para un trabajo de 24 horas al día y 300 días al año. El horno es calentando eléctricamente cuyo costo es de 0.059 kWhus /$ . ¿Cuál es el numero de capas de aislante que UD. Colocaría? El área total de transferencia El costo total unitario El costo fijo El calor transferido El costo variable CTB CfB CvB CTB 2.66 nB 79.05 nB Bs a ño n CTB d d 0 79.05 nB 2 2.666 0 nB 5.4449 etecB nB eais 5 0.02 0.1m CTA 1.733 8 105.401 8 CTA 27.039 Bs a ño CTB 2.66 5 79.05 5 CTB 29.11 Bs a ño 400ºC 50ºC aislante n 1'’ w 1m Tw1 400Ceaisl 1in Tw2 50C klvid 0.04 W m C a 5a ños 24 hr diaCu 8.7 Sus m 2 300 dia a ño Cmo 1 Sus m 2 0.059 Sus kW hrCm 0.3 Sus m 2 Atr 6 w 2 Atr 6 m 2 CuT Cu Cmo Cm CuT 10 Sus m 2 Cf n CuT Atr a Cf 12 n Sus a ño Q Atr klvid n eaisl Tw1 Tw2 Q 3307.08 n W Cv Q E Cv 3307.08 W n 0.059 Sus kW hr 24 hr 1dia 300dia 1a ño 58.5354 n Sus a ño Univ. Erwin Choque Conde Página 34 El costo total El número de capas optimo El costo total será El área el espesor técnico económico 34. Calcular el calor trasferido a través de una pared de un horno de 9´´, cuya temperatura interna y externa de las paredes son 980ºC y 198ºC respectivamente. La pared tiene una conductividad de 0.667 CmW º/ . Se adiciona a la pared externa 0.3”de un aislante k=0.04 CmW º/ que reduce la perdida de calor en un 20%. Si el costo del aislante es de 1.37$us/pie cuadrado instalado. Que tiempo será necesario para pagar el aislamiento. Tomar una operación del horno de 24 horas al día y 175 días al año, el costo de la energía es de 0.23$us el millón de kJ. DATOS: CALCULAR: a) (tiempo para pagar) El calor sin aislante es : El calor con aislante es : El costo fijo es: Costo variable Para calcular el tiempo a pagar: Entonces CT Cv Cf CT 58.5354 n 12 n Sus a ño n CT d d 0n 58.5354 12 n 2.2086 n 2 capas CT 58.5354 n 12 n CT 53.2677 Sus a ño eopt n eaisl eopt 0.0508 m Aais 1m 2 L 9in T1 980C T2 198C kpared 0.667 W m C %perd 20% CU 1.37 Sus ft 2 Q1 kpared Aais T1 T2 L Q1 2281.6885 W Q2 0.8 Q1 Q2 1825.3508 W Cf CU Aais a 14.74655 1 a 14.74655 a Sus a ño CV Qaurrado Q1 Q2 456.337 W Sus a ño CV 456.337 J s 0.23Sus 10 6 kJ 3600 s 1hr 24hr dia 175dia a ño 1.5869 CF CV 14.74655 a 1.5868 a 14.74655 1.5869 9.292 a ños Univ. Erwin Choque Conde Página 35 35. Calcular el espesor más económico para aislar una tubería de 200. mm de diámetro interior y 36.5 mm de espesor, que conduce vapor a 300ºC, empleando aislante de amianto (k=0.053 CmW º/ ), el material aislante estará protegido con chapa de aluminio de 0.6 mm de espesor y el conducto esta en un ambiente a una temperatura promedio de 20ºC. A continuación se muestran los costos estimados para la instalación del aislante: Espesor del aislante mm Costo del material aislante m/$ Costo del aluminio m/$ Costo de mano de obra m/$ 50 2274 1035 1380 60 2762 1107 1476 75 3249 1179 1572 90 4383 1269 1692 100 5460 1360 1810 El costo de la producción de vapor es de 1.5 $ por cada 4118 kJ y el ciclo de trabajo es de 7920 añohoras / . Se estima que los coeficientes del lado del vapor y en la superficie exterior estarán en el orden de los 349 y 11.63 CmW º/ 2 respectivamente. La vida útil del aislante es aproximadamente 5 años. DATOS: El calor: El área interna del tubo El área interna del aislante El área externa del aislante El área media del aislante El flujo de calor: El costo variable El costo fijo dt 200mm ka 0.053 W m C h1 349 W m 2 C a 5.yr et 36.5mm T2 20C h2 11.63 W m 2 C Lt 1m T1 300C Q T1 T2 1 h1 Ain eais kais Am 1 h2 Aex Ain L dt Ain 0.1436 m 2 Ainais Lt dt 2 et Ainais 0.8577 m2 Aex L dt 2 et 2 eais Am 2 L eais ln 1 2 eais dt 2 et Q T1 T2 1 h1 L dt eais kais1 2 L( ) ln 1 2 eais dt 2 et 1 h2 L dt 2 et 2 eais Cv Q E E 1J 1s 1.5Sus 4118 10 3 J 3600 s 1hr 7920 hr yr E 10.3856 Sus yr Cf Cu Ainais a Univ. Erwin Choque Conde Página 36 a) Para el espesor de: El costo unitario El espesor más económico es el aislante que tiene como espesor de 90mm 36. En una instalación de compresión de una industria 3000 hrkg / de vapor saturado a 10 Bar (Tsat=179ºC) circula por un tubo de acero k=40 CmW º/ de 2” de diámetro externo y 0.2” de espesor y tiene una longitud de 72 m . El aislamiento de la línea de vapor debido a las condiciones del local es sustituido anualmente. Se sabe que la instalación trabaja 5000 horas por año y la temperatura externa del aislante debe ser mantenida a 30ºC tomando la previsión del cambio de aislante en el momento, se tiene en existencia en el mercado solamente dos tipos de aislante : a) Lana de vidrio en capas de 3” de espesor y 80 cm de longitud k=0.04 CmW º/ y un costo de 10 Sus la capa b) Lana mineral en capas de 2” de espesor y 90 cm de longitud, k=0.025 CmW º/ y un costo de 13 Sus la capa. El costo de energía es 1kJ=0.001672$us calcular: El aislante mas adecuado y el numero de capas a ser comprado Nota: las capas de aislante tienen un ancho requerido para envolver el tubo. DATOS: El área media logarítmica del tubo eais 50mm Cmat 2274 Sus m Cal 1035 Sus m Cmh 1380 Sus m Cu Cmat Cal Cmh Cu 4689 Sus m Cf Cu Ainais a Cf 804.3087 Sus a ño Q50 T1 T2 1 h1 L dt eais kais L 2 L( ) ln 1 2 eais dt 2 et 1 h2 L dt 2 et 2 eais Q50 260.62 W Cv Q50 10.3856( ) Cv 2706.695 Sus a ño eais(mm) Cu(Sus/m) Cf(Sus/año) Q(W) Cv(Sus/año) Ct(Sus/año) 50 4689 804,3087 260.62 2706,69 3510,9987 60 5345 916,833 207 2150,866 3067,699 75 6000 1029,18 151,6348 1574,8185 2603,9985 90 7344 1259,72 115,4 1198,5013 2458,2213 100 8630 1480,312 98,031 1018,1176 2498,4296 etub eais a 1.a ño ktub 40 W m C Ltub 72m etub 0.2in de 2in di de 2 etub di 0.0406 m Amed Ltub de di ln de di Amed 10.2989 m 2 Univ. Erwin Choque Conde Página 37 Aislante A) Área media logarítmica del aislante Aislante B) El área enésima del aislante La transferencia de calor es: Costo variable PARA EL AISLANTE A) El costo variable para el aislante A) kaislA 0.04 W m C eaislA 3in Amaisl 2 n Ltub eaisl ln 1 2 n eais de m 2 CuA 10 Sus m 2 kaislB 0.025 W m C An Ltub de 2 eaisl n 1( ) m 2 eaislB 2in CuB 13 Sus m 2 Q T etub Amed ktub n eais Amaisl kaisl T etub Amed ktub 1 2 Ltub kaisl ln 1 2 n eais de W Cv Q J s 0.001672 Sus 1 kJ 3600 s 1 h 5000 h 1 a ño Q 30.096 Sus a ño QA T1 T2 etub Amed ktub 1 2 Ltub kaislA ln 1 2 nA eaisA de 179 30 1.2331 10 5 0.05526 ln 1 3 n( ) CvA 179 30 1.2331 10 5 0.05526 ln 1 3 n( ) 30.096 4484.304 1.2331 10 5 0.05526 ln 1 3 n( ) Sus a ño CfA CuA A n( ) a 10 Ltub 1 de 2 eaislA n 1( ) 2261.94671 0.0508 0.1524 n 1( )[ ] Sus a ño n Q(W) Cv(Sus/año) Cf(Sus/año) Cfac(Sus/año) CT(Sus/año) 1 1944,68843 58527,343 114,906892 114,906892 58642,2499 2 1385,48812 41697,6504 459,627569 574,534462 42272,1848 3 1170,89409 35239,2285 804,348247 1378,88271 36618,1112 4 1051,13576 31634,9819 1149,06892 2527,95163 34162,9335 5 972,42247 29266,027 1493,7896 4021,7412 33287,768 6 915,671965 27558,0635 1838,51028 5860,25151 33418,315 7 872,246162 26251,1205 2183,23095 8043,48247 34294,6029 Univ. Erwin Choque Conde Página 38 PARA EL AISLANTE B) El costo variable para el aislante B) El aislante mas económico es B) lana mineral con 5 capas 37. Un horno semiesférico esta construido con ladrillo refractario cuyo radio externo es 0.5m se aísla con un material k=0.04 CmW º/ de 2.54 cm de espesor cuyo costo unitario es de 4200. 2/ mSus Hallar el espesor optimo técnico económico si el horno es calentado eléctricamente con un costo de 0.68 kWhus /$ el aislamiento tiene un tiempo de vida de 5 años, el trabajo del horno es de 24 horas al día y 300 días al año, la temperatura externa del ladrillo es 400ºC y la externa del aislante tiene que ser tal que no sea un peligro para los trabajadores. No es peligroso El área interna del aislante El área enésima de una semiesfera El área externa del aislante El área media cuadrática del aislante QB T1 T2 etub Amed ktub 1 2 Ltub kaislB ln 1 2 nA eaisB de 179 30 1.2331 10 5 0.08842 ln 1 3 n( ) CvB 179 30 1.2331 10 5 0.08842 ln 1 3 n( ) 30.096 4484.304 1.2331 10 5 0.08842 ln 1 3 n( ) Sus a ño CfB CuB A n( ) a 13 Ltub 1 de 2 eaislB n 1( ) 2940.53072 0.0508 0.1016 n 1( )[ ] Sus a ño n Q(W) Cv(Sus/año) Cf(Sus/año) Cfac(Sus/año) CT(Sus/año) 1 1215,44865 36580,1424 149,378961 149,378961 36729,5214 2 865,928135 26060,9732 448,136882 597,515842 26658,489 3 731,802294 22024,3218 746,894803 1344,41065 23368,7325 4 656,951564 19771,6143 1045,65272 2390,06337 22161,6776 5 607,7549 18290,99 1344,411 3734,474 22025,47 6 572,285352 17223,5 1643,16857 5377,64258 22601,1425 7 545,143947 16406,6522 1941,92649 7319,56907 23726,2213 r0 0.5m eais 2.54cm kais 0.04 W m C Cu 4200 Sus m 2 T1 400C T2 50C Aiais 2 ro 2 m 2 A1 2 r0 2 A2 2 r0 eais 2 Aiais 2 ro n eais 2 m2 A3 2 r0 2eais 2 . Amaisl Aiais Aeais 2 ro 2 n ro eais An 2 r0 n 1( )eais 2 Univ.Erwin Choque Conde Página 39 El espesor óptimo es: Q T n eais kais Amaisl T1 T2 2 kais ro2 n ro eais n eais 87.96459 9.84252 n 0.5 W Cv Q k W hr k hr 0.68Sus k W hr 24hr dia 300dia a ño 4.896 Q Sus a ño Cf Cu A n( ) a Cu a 2 r0 n 1( ) eais 2 5277.87566 0.5 n 1( ) 0.0254[ ] 2 n Q(W) Cv(Sus/año) Cf(Sus/año) Cfac(Sus/año) CT(Sus/año) 1 909,775531 4454,261 1319,46892 1319,46892 5773,72992 2 476,87891 2334,7992 1456,932 2776,4009 5111,2001 3 332,58004 1628,31188 1601,2053 4377,60624 6005,91812 4 260,430604 1275,06824 1752,28871 6129,89495 7404,96319 eopt n eais 2 0.0254 0.0508 m Univ. Erwin Choque Conde Página 40 38. Un horno semiesférico esta construido con ladrillo refractario cuyo radio externo es 0.5m se aísla con un material k=0.04 CmW º/ de 2.54 cm de espesor cuyo costo unitario es de 4200. 2/ mSus Hallar el espesor optimo técnico económico si el horno es calentado eléctricamente con un costo de 0.68 kWhus /$ el aislamiento tiene un tiempo de vida de 5 años, el trabajo del horno es de 24 horas al día y 300 días al año, la temperatura externa del ladrillo es 400ºC y la externa del aislante tiene que ser tal que no sea un peligro para los trabajadores.DATOS: CALCULAR: Q (W)? El área transversalPerímetro de la aleta La relación "m": Longitud corregida: El área de cada aleta es:El rendimiento de la aleta El calor para cada aleta El calor para el total de las aletas 39. De una pared sobre sale una varilla de cobre larga y delgada de k=200 CmW º/ y diámetro de 0.5 lgp . El extremo de la varilla que esta en contacto con la pared se mantiene a 358ºC. La superficie lateral disipa calor por convección al aire que se encuentra a 25ºC cuyo coeficiente de transferencia de calor es 15 CmW º/ 2 determinar a) Distribución de temperatura b) La tasa de flujo de calor que disipa desde la varilla hacia el aire que rodea. c) Que largo deben tener las varillas para suponer longitud infinita. DATOS: SUPERFICIES ALETADAS T h n 8 Tw 340K L 40mm T 300K t 0.4mm hamb 8 W m 2 K H 3mm k 175 W m K At t H At 1.2 10 6 m 2 P 2 H t( ) P 0.0068 m Lc L t 2 Lc 0.0402 mm1 hamb P k At m1 16.095 1 m Aal 2 H Lc 2 L t Aal 2.732 10 4 m 2 tanh m1 Lc m1 Lc 0.8804 Qalt Aal hamb Tw T Qalt 0.077 W Qtalt n Qalt Qtalt 0.6158 W T hL D T1 T1 358Ck 200 W m C T1 25C D 0.5in h 15 W m 2 C Univ. Erwin Choque Conde Página 41 Perímetro de la aleta El área transversal La constante m El modelo matemático de la distribución de temperatura en una aleta Una de las soluciones es: Por condición de frontera Por otra condición (varilla larga) a) La distribución de temperatura b) c) P D P 0.0399 m At 4 D 2 At 1.2668 10 4 m 2 ma h P k At ma 4.8603 1 m 2 x x( )d d 2 ma 2 x( ) 0 x( ) T x( ) T1 x( ) T x( ) T1 C1 e ma x C2 e ma x T x( ) C1 e ma x C2 e ma x T1 1211 *0 2 *0 110)( ** TCCTeCeCTT aa mm XX x T ( ) T1 1 * 2 * 1)( ** TeCeCTT aa mm XX C1 e ma C2 e ma 0 C1 0 C2 T1 T1 T x( ) T1 T1 e ma x T1 x 0m 0.1m 2m 0 0.5 1 1.5 2 0 100 200 300 400 T x( ) x Q h P k At T1 T1 Q 41.0044 W tanh ma Lc 0.99 L tanh 0.99( ) 1 ma L 0.5445 m Univ. Erwin Choque Conde Página 42 40. Una barra de acero hexagonal k=40 CmW º/ es de 3 cm de lado y 23 cm de longitud esta siendo probado para futuras aplicaciones como aleta. La base de la barra de acero se mantiene a 90ºC El otro extremo esta completamente aislado. Aire se hace circular perpendicularmente al eje de la barra a una velocidad de 5 sm / a una temperatura de 27ºC con un coeficiente de convección de 20 CmW º/ 2 . El calor específico del acero es de 0.56 CkgkJ º/ calcular: a) La distribución de temperatura b) La eficiencia de la barra y c) El flujo de calor a través de las paredes laterales de la barra. DATOS: El perímetro de la aletaEl área transversal es: El área de la aleta a) b) 41. En un proceso químico la transferencia calorífica de una superficie al agua se aumenta mediante cierto numero de aletas finas de aluminio k=204 CmW º/ cada uno con espesor de 2 mm y una longitud de 50 mm se cubre a la aleta metálica con una capa de plástico k=0.5 CmW º/ de 0.1 mm de espesor, para impedir la ionización del agua los extremos de las aletas están encajados en una superficie aislada la temperatura de la base en la aleta es de 80ºC, la temperatura media del agua es de 20ºC y un coeficiente de transferencia de calor entre el agua y el revestimiento de plástico es de 0.2 CmW º/ 2 . Determinar a) La distribución de temperatura en la aleta b) La temperatura en la extremidad de la aleta c) La eficiencia de la aleta d) El calor de transferencia. DATOS: T h a L k 40 W m C T 27 C a 3cm h 20 W m 2 C L 23cm Tw 90C P 6 a P 0.18 m at 3 2 a 2 3 at 0.0023 m 2 mh h P k at mh 6.204 1 m Aal P L Aal 0.0414 m 2 tanh L mh L mh 0.6244 Qdis Aal h Tw T Qdis 32.5735 W eis 0.1mm H 1mk 204 W m C Tw 80C t 2mm T 20C L 50mm ham 0.2 10 3 W m 2 C kis 0.5 W m C Univ. Erwin Choque Conde Página 43 Aplicamos la analogía eléctrica Equivalencia El área transversal de la aleta Perímetro de la aleta La constante Modelo matemático de la distribución de temperatura en una aleta Una de las soluciones es: Por condición de frontera Por otra condición (extremo adiabático) a) La distribución de temperatura b) c) d) 1 hT eais kais 1 ham hmod 1 eis kis 1 ham hmod 192.30769 W m 2 C Atra H t Atra 0.002 m 2 Pv 2 t H( ) Pv 2.004 m mv hmod Pv k Atra mv 30.7339 1 m 2 x x( )d d 2 mv 2 x( ) 0 x( ) T x( ) T1 x( ) T x( ) T C1 e mv x C2 e mv x T x( ) C1 e mv x C2 e mv x T wXX TT 0)( C1 C2 Tw T 0 LXx T C2 Tw T e 2 mv L 1 C2 57.3469 CC1 C2 e 2 mv L C1 Tw T e 2 mv L 1 e 2 mv L C1 2.6531 C T x( ) C1 e mv x( ) C2 e mv x T x 0m 0.005 m 0.05m 0 0.02 0.04 0.06 40 50 60 70 80 T x( ) x x L T x( ) 44.6696 C v tanh mv L mv L v 0.5932 Qvr hmod Pv k Atra Tw T tan mv L Qvr 2.2053 104 W Univ. Erwin Choque Conde Página 44 42. Una varilla de diámetro D=25 mm y conductividad térmica k=60 CmW º/ sobresale normalmente de la pared de un horno que esta a 200ºC y esta cubierta de un aislante de espesor 200 mm . La varilla esta soldada a la pared del horno y se usa como soporte para cargar cables de instrumentación. Para evitar que se dañen los cables, la temperatura de la varilla en la superficie expuesta, To debe mantenerse por debajo de un limite de operación especifico Tmax=100ºC. La temperatura del aire ambiental es 25ºC, y el coeficiente de convección es h=15 CmW º/ 2 . a) Derive la expresión de temperatura. b) Calcular el flujo de calor. DATOS: El área transversal de la varilla El calor transferido por conducción de la varilla será: Perímetro de la aleta La constante Modelo matemático de la distribución de temperatura en una aleta Una de las soluciones es: Por condición de frontera Por otra condición (extremo adiabático) hr T Lais Lv T1w T2w Kv 1aislante Dv 25mm T2w 100C T1 25C kv 60 W m C hr 15 W m 2 C T1w 200C Lv 0.3m Laisl 200mm Atv 4 Dv 2 Atv 4.9087 10 4 m 2 Qkv Atv kv Laisl T1w T2w Qkv 14.7262 W Pv Dv Pv 0.0785 m mr hr Pv kv Atv mr 6.3246 1 m 2 x x( )d d 2 mr 2 x( ) 0 x( ) T x( ) T1 x( ) T x( ) T1 C1 e mr x C2 e mr x T x( ) C1 e mr x C2 e mr x T1 wXX TT 20)( C1 e mr Laisl C2 emr Laisl T2w T1 0 LvXx T C1 0 C2 T2w T1 e mr Laisl Univ. Erwin Choque Conde Página 45 a) La distribución de temperatura será: b) El calor transferido por la aleta 43. Un tubo de acero k=45. CmW º/ de 2” de diámetro exterior mediante la superficie de la pared exterior a 100ºC se propone aumentar la rapidez de transferencia de calor por medio de la adición de 12 aletas longitudinales de 2.5 mm de espesor y 20 mm de longitud a la superficie exterior del tubo. El aire circundante se encuentra a 25ºC y el coeficiente de transferencia de de calor es de 25 CmW º/ 2 calcular el incremento de calor. DATOS: El área de transferencia de calor sin aletas El calor transferido sin aletas Longitud corregida El área de las aletas T1 x1 T1w Qkv kv Atv x1 x1 0m 0.1mm 0.2m T2 x2 T2w T1 e mr Laisl x2 T1 x2 0.2m 0.21m 0.7 m 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 50 100 150 200 T1 x1 T2 x2 x1 x2 Qah hr Pv kv Atv T2w T1 tanh mr Lv Qah 13.356 W T h L t ta 2.5mmka 45 W m C La 20mm de 2in T1 25C Tw 100C ha 25 W m 2 C Na 12 Ha 1m Atra de Ha Atra 0.1596 m 2 Qsa Atra ha Tw T1 Qsa 299.2367 W Lce La ta 2 Lce 0.0213 m Aa Na 2 Ha Lce Aa 0.51 m 2 Univ. Erwin Choque Conde Página 46 El área libre de aletas El área total El área transversal de la aleta El perímetro de la aleta La relación El rendimiento de la aleta El rendimiento al área ponderada El calor transferido por las aletas El calor transferido por la superficie libre de aletas El calor transferido total Otro método para el calor transferido 44. A la superficie exterior de un tubo de 32 mm de diámetro exterior se fijan aletas longitudinales de sección transversal rectangular. El tubo y las aletas tienen una conductividad de 200 CmW º/ las aletas tienen un espesor de 3 mm y 6.6 mm de longitud. La relación de superficie de aletas a la superficie total de transferencia de calor es del 70% los coeficientes de transferencia de calor de los fluidos interior y exterior son hi=49 CmW º/ 2 y he=4.9 CmW º/ 2 . Determinar el flujo de calor por metro de longitud de tubo cuando la diferencia de temperatura entre los fluidos interior y exterior es de 90ºC (Despreciar la resistencia del tubo). Longitud corregida Ala de Ha Na ta Ha Ala 0.1296 m 2 ATa Aa Ala ATa 0.6396 m 2 At1 Ha ta At1 0.0025 m 2 Pa 2 Ha ta Pa 2.005 m mal ha Pa ka At1 mal 21.1082 1 m a tanh mal Lce mal Lce a 0.9379 'a 1 Aa ATa 1 a 'a 0.9505 Qa a Aa ha Tw T1 Qa 896.8913 W QLa Ala ha Tw T1 QLa 242.9867 W QTT Qa QLa QTT 1139.878 W QaT 'a ATa ha Tw T1 QaT 1139.878 W %Q QaT Qsa Qsa %Q 280.92854 % H Lt T 90C Lf 6.6 mm he 4.9 W m 2 C d 32mm Aa AT 0.7 Hf 1m kf 200 W m C hi 49 W m 2 C tf 3mm Lc Lf tf 2 Lc 0.0081 m Univ. Erwin Choque Conde Página 47 El área de las aletas El área libre de aletas El área total El número de aletas El área interna El área total El perímetro de la aleta El área transversal de la aleta La relación El rendimiento de la aleta El rendimiento referido al área global externa El calor transferido 45. Se considera un tubo calefactor de 2” de diámetro interior y 1/8” de espesor donde circula agua por el interior y el tubo es de cobre k=380 CmW º/ se propone aumentar la transferencia de calor entre el agua y el medio ambiente (Ti-Te=100ºC) para el cual se propone aumentar aletas de cobre en el tubo solo en el interior, solo en el exterior, en ambos lados. Las aletas son longitudinales y rectangulares de 1.27 mm de espesor, 10 mm de longitud y espaciados 12.7 mm entre centros. ¿Cuál es el porcentaje de aumento de transferencia de calor que se puede lograr poniendo en la tubería con aletas en a) Lado del agua b) Lado de aire c) Ambos lados de la tubería?. Se pueden tomar los coeficientes del lado del aire y del agua a 11.39 y 255.15 CmW º/ 2 respectivamente. La aletaDATOS: Longitud corregida Perímetro de la aleta he hi tL Aa N 2 H Lc Ala d Hf N tf Hf AT Aa Ala Aa 0.7 N 0.7 d Hf 2 0.3 Lc Hf 0.7 tf Hf N 10.1109 N 10 Ala d Hf N tf Hf Ala 0.0705 m 2 Ai d Hf Ai 0.1005 m 2 Aa N 2 Hf Lc Aa 0.162 m 2 AT Aa Ala AT 0.2325 m 2 Pf 2 Hf tf Pf 2.006 m Atf Hf tf Atf 0.003 m 2 mf he Pf kf Atf mf 4.0475 1 m f tanh mf Lc mf Lc f 0.9996 'f 1 Aa AT 1 f 'f 0.9998 Qf T 1 hi Ai 1 'f AT he Qf 83.2658 W di 2in t 1.27 mm L 10mm et 1 8 in Lc L t 2 Lc 0.0106 mH 1m de di 2 et de 0.0571 m Univ. Erwin Choque Conde Página 48 El área transversal El área interna y externa sin aletas El calor transferido sin aletas a) Aletas en el interior del tubo (agua) Para el número de aletas en el interior Área de las aletas interiores: Área libre de aletas interior El área total de transferencia de calor interno Entonces la constante: La eficiencia de la aleta interior: Eficiencia ponderada al área interior El calor transferido con aletas internas b) Aletas en el exterior del tubo (aire) Para # aletas en el exterior Área de las aletas exteriores Área libre de aletas "exterior" S 12.7 mm P 2 H t( ) P 2.0025 m T 100C k 380 W m C hag 255.15 W m 2 C hair 11.39 W m 2 C At t H At 0.00127 m 2 Ai di H Ai 0.1596 m 2 Ae de H Ae 0.1795 m 2 Qsa T 1 hag Ai 1 hair Ae Qsa 194.7195 W L t hi he ni S di ni di S ni 12.5664 ni 13 Aai ni 2 H Lc Aai 0.2765 m 2 ALai di H ni t H ALai 0.1431 m 2 Ati Aai ALai Ati 0.4196 m 2 mi hag P k At mi 32.5383 1 m i tanh mi Lc mi Lc i 0.9619 'i 1 Aai Ati 1 i 'i 0.9749 Qai T 1 'i Ati hag 1 hair Ae Qai 200.5686 W he hi tL ne S de ne de S ne 14.1372 ne 14 Aae ne 2 H Lc Aae 0.2978 m 2 ALae de H ne t H ALae 0.1618 m 2 Univ. Erwin Choque Conde Página 49 El área total de transferencia de calor externo Entonces la constante ¨m¨ en las aletas exteriores La eficiencia de la aleta exterior Eficiencia ponderada al área exterior El calor transferido con aletas externas c) El calor transferido con aletas internas y externas a) b) c) 46. Un calentador de aire consiste en un tubo de acero (20 CmW º/ ), con radios interno y externo r1=13 mm y r2=16 mm , respectivamente y ocho aletas longitudinales fabricadas integralmente, cada una de espesor t =3 mm . Las aletas se extienden a un tubo concéntrico, que tiene radio r3=40 mm y aislado en la superficie externa. Agua a temperatura iT =90ºC fluye a través del tubo interno, mientras que aire 0T =25ºC fluye a través de la región anular formada por el tubo concéntrico más grande. a) Si hi=5000 y ho=200 ¿Cuál es la transferencia de calor por unidad de longitud? DATOS: Ate Aae ALae Ate 0.4595 m 2 me hair P k At me 6.8748 1 m e tanh me Lc me Lc e 0.9982 'e 1 Aae Ate 1 e 'e 0.9988 Qae T 1 Ai hag 1 'e Ate hair Qae 463.3276 W he tL L t hi Qaie T 1 'i Ati hag 1 'e Ate hair Qaie 497.8759 W Q i Qai Qsa Qsa Q i 3.0039 % Q e Qae Qsa Qsa Q e 137.9462 % Q ie Qaie Qsa Qsa Q ie 155.6888 % iT hi 0Tho r1 r2 r3 kn 20 W m C Ti 90C r1 13mm To 25C r2 16 mm hi 5000 W m 2 C r3 40mm t 3mm ho 200 W m 2 C Hi 1m Ln r3 r2 Ln 0.024 mn 8 Univ. Erwin Choque Conde Página 50 El área interna El área media del tubo El perímetro de la aleta El área transversal de la aleta El área de la aleta El área libre de la aleta El área total de transferencia de calor Entonces la constante "m" en las aletas exteriores La eficiencia de la aleta Eficiencia al área ponderada El calor transferido con aletas externas 47. Se calienta agua sumergiendotubos de cobre con pared delgada de 50 mm de diámetro en un tanque y haciendo pasar gases calientes de combustión (Tg=750K) a través de los tubos. Para reforzar la transferencia de calor al agua, se insertan en cada tubo cuatro aletas rectas de sección transversal uniforme, para formar una cruz. Las aletas tienen un espesor de 5 mm y también están fabricadas de cobre (k=400 CmW º/ ). Si la temperatura de la superficie de tubo es Ts=350K y el coeficiente de convección del lado del gas es hg=30 CmW º/ 2 , ¿Cuál es la transferencia de calor al agua por metro de longitud del tubo? DATOS: La longitud de la aleta Ai 2 r1 Hi Ai 0.0817 m 2 Am 2 Hi r2 r1( ) ln r2 r1 Am 0.0908 m 2 Pn 2 Hi t( ) Pn 2.006 m At Hi t At 0.003 m 2 An 2 n Hi Ln An 0.384 m 2 ALa 2 r2 Hi n t Hi ALa 0.0765 m 2 Atn An ALa Atn 0.4605 m 2 mn ho Pn k n At mn 81.772 1 m al tanh mn Ln mn Ln al 0.4898 'al 1 An Atn 1 al 'al 0.5746 Qa Ti To 1 Ai hi r2 r1 Am kn 1 'al Atn ho Qa 2826.601 W H D hg Tg Ts t Dg 50mm Hg 1m Tg 750K Ts 350K tg 5mm hg 30 W m 2 K kt 400 W m K Lg Dg tg 2 Lg 0.0225 m Univ. Erwin Choque Conde Página 51 Área libre de aletas El calor transferido del área libre de aletas Área de las aletas El perímetro de la aleta El área transversal de la aleta Entonces la constante m La eficiencia de la aleta El calor transferido por las aletas Otro método El calor total será: ALa Dg Hg 4 tg Hg ALa 0.1371 m 2 Qla ALa hg Tg Ts Qla 1644.9556 W Aag 4 2 Hg Lg Aag 0.18 m 2 Pal 2 Hg tg Pal 2.01 m Aat tg Hg Aat 0.005 m 2 mg hg Pal kt Aat mg 5.4909 1 m g tanh mg Lg mg Lg g 99.4943 % Qal g Aag hg Tg Ts Qal 2149.077 W Qal1 4 hg Pal kt Aat tanh mg Lg Tg Ts Qal1 2159.8224 W Qt Qla Qal1 Qt 3804.778 W Univ. Erwin Choque Conde Página 52 FLUJO BIDIMENSIONAL 48. Un conducto hueco de sección transversal cuadrada de dimensiones internas de 10*10 cm esta construido con ladrillo de k=0.21 CmW º/ con un espesor de 10 cm . En condiciones de equilibrio la temperatura interna y externa es de 300ºC y 30ºC respectivamente. Estimar la perdida de calor a través del conducto. DATOS: En el nodo 1 En el nodo 2 En el nodo 3 La solución de las tres ecuaciones es: El calor que entra en la pared El calor que sale de la pared 49. Hallar el flujo de calor de una chimenea cuyo interior fluye gases de combustión de tal manera que en el interior tiene 371ºC y la superficie exterior esta a 38ºC las dimensiones de la chimenea es de 60*30 cm y el espesor es de 30 cm esta construido de ladrillo de conductividad k=1.2 CmW º/ . DATOS: El área 1 2 3 300ºC 30ºC 2 5cm 10cm 10cm Tw1 300C Tw2 30C kL 0.21 W m C x 5cm x y 30 300 2 T2 4 T1 0 T1 30 T1 T3 4 T2 0 2 30 2 T2 4 T3 0 T1 153.75 C T2 142.5 C T3 86.25 C QZe 8kL Tw1 T1 2 Tw1 T2 QZe 387.45 W m QZs 8kL T1 Tw2 2 T2 Tw2 T3 Tw2 QZs 387.45 W m 1 2 3 371ºC 38ºC 2 15cm 60cm 45 6 5 30cm T1w 371C kc 1.2 W m C T2w 38C y 15cm Q n k A T x A x y Q Z n k T( ) Univ. Erwin Choque Conde Página 53 Analizando en el nodo 1 Resolviendo estas ecuaciones se tiene: Analizando en el nodo 2 Analizando en el nodo 3 Analizando en el nodo 4 Analizando en el nodo 5 Analizando en el nodo 6 El calor que entra al conducto El calor que sale del conducto 50. Una chimenea de sección cuadrada de 20 cm *20 cm esta construida con ladrillo k=0.81 CmW º/ de 10 cm de espesor, los gases de la chimenea mantiene la temperatura interior de la chimenea a 280ºC el exterior esta compuesto a un ambiente cuya temperatura es de 23ºC y un coeficiente de convección de 10 CmW º/ 2 . Encontrar el flujo de calor a través de la chimenea. DATOS: Nodo 1 Nodo 5 Nodo 2 Nodo 6 Nodo 3 Nodo 4 Nodo 7 2 T2 38 371 4 T1 0 T1 190.69 C T1 371 38 T3 4 T2 0 T2 176.88 C T2 T4 2 38 4 T3 0 T3 107.84 C T4 178.48 CT3 T5 371 38 4 T4 0 T5 197.06 C T4 T6 371 38 4 T5 0 T6 200.72 C 2 T5 371 38 4 T6 0 QZi 4kc T1w T1 2 T1w T2 T1w T4 T1w T5 T1w T6 2 QZi 3532.2 W m QZe 4kc T1 T2w 2 T2 T2w 2 T3 T2w T4 T2w T5 T2w T6 T2w 2 QZe 3531.864 W m 1 2 3 280ºC 2 T h4 5 6 7 w 10cm k 0.81 W m C Tw1 280C T 23C h 10 W m 2 C 2 T2 280 T4 4 T1 0 2 T2 T4 T6 2 h w k T 2 h w k 2 T5 0 T1 T5 T3 280 4 T2 0 2 T3 T5 T7 2 h w k T 2 h w k 2 T6 02 T6 2 T2 4 T3 0 T6 T6 2 h w k T 2 h w k 1 T7 02 T1 2 T5 2 h w k T 2 h w k 2 T4 0 Univ. Erwin Choque Conde Página 54 Resolviendo estas ecuaciones El calor que entra en la pared El calor que sale de la pared 51. Determine el flujo de calor por unidad de profundidad en el segmento circular de la figura siguiente. Supóngase que la conductividad térmica del material es de 0.7 CmW º/ . Una de las superficies es isotérmica y las otras se encuentran a 100ºC y 25ºC. DATOS: Por balance de energía Condiciones Para estado estable Su solución Por condiciones de frontera T1 172.702 C T3 112.0 C T5 81.919 C T7 40.607 C T2 161.566 C T4 87.497 C T6 62.345 C QeZ k Tw1 T1 2 Tw1 T2 QeZ 139.38723 W m QsZ k T1 T4 2 T2 T5 T3 T6 QsZ 139.24265 W m k 0.7 W m C r1 50cm r2 54cm T2 100C Lw 1mT1 25C Eentra Egenerada Esale Ealmacenada Eentra Q Egenerada 0 Esale Q Q d d d Ealmacenada m Cp T Q Q Q d d d m Cp T T dT d r r1 V r Lw r1 d Q k A dT dx k r Lw dT r1 d m V k r Lw dT r1 d d d d V Cp dT d r Lw r1 d Cp dT d 1 r1 2 k Td d d d Cp dT d k Td d d d 0 T C1 k C2 C2 T1 C1 k T2 T1( ) T T2 T1( ) T2 dT d T2 T1( ) Q k A dT r1 d k r1 r2( ) Lw r1 T1 T2( ) Q k r1 r2( ) Lw r1 T1 T2( ) Q 1.3369 W Univ. Erwin Choque Conde Página 55 CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO 52. Se tiene una placa de 10 cm de espesor a una temperatura uniforme de 20ºC que se introduce en un medio a 100ºC adquiriendo instantáneamente esta temperatura. Determinar mediante técnicas numéricas el tiempo necesario para qué el plano medio den la pieza alcance una temperatura de 60ºC. DATOS: En la ecuación general de la conducción para coordenadas rectangulares y sin generación 53. Se hace pasar repentinamente una corriente eléctrica de 5 amperios por un conductor eléctrico de cobre de 1 mm de diámetro con una temperatura ambiente de 25ºC. Calcule la temperatura de la superficie del conductor a los 40 s suponiendo que el coeficiente de transferencia de calor es de 25 CmW º/ 2 . Las propiedades del conductor son: k=386 CmW º/ , c=383 CkgJ º/ y =8950 3/ mkg e =1.8E-8 m* . DATOS: El número de Biot Balance de energía en el volumen de control ....1 ) T1 T2 T1 T dX dX T1 20C X 10cm 2 T2 100C 6 10 6 m 2 s T 60C 2 x Td d 2 1 Td d 2 x Td d 2 Ta 2T Tb X 2 T1 Ta Tb Ta 2T Tb X 2 T1 T X 2 1 Td d T1 T T 1 T1 T d 0 2 X 2 d ln T2 T T2 T1 2 X 2 X 2 2 ln T2 T T2 T1 144.40566 s d L h T T I=5A k 386 W m C I 5A d 1mm Cp 383 J kg C T 25C 8950 kg m 3 t 40s h 25 W m 2 C e 1.8 10 8 m Bi h d 2 k
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