Sucesiones y Series

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SUCESIONES
Y
SERIES INFINITAS
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
LIMA - PERU
IMPRESO EN EL PERU 
01 - 02 - 2008
3ra. Edición
DERECHOS RESERVADOS
|
I Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, ¡ 
¡ electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó j 
1 de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.
11 .... ... ..... . _ ... ..._ ,......... i
§
i RUC N ° 10070440607
1 Escritura Pública
i1?
N° 4484 %
|
1 Hecho el Deposito Legal en la 
j Biblioteca Nacional del Perú N° 2 0 0 7 - 12603.
|
j Ley de Derecho del Autor N° 13714
1
1 Edición 3ra - Reimpresión 1ro
iii
En la presente obra intitulada “Sucesiones y Series de Números Reales ” en su 
3era. Edición, se expone en forma concreta y precisa los fundamentos teóricos de las 
Sucesiones y Series. Se resuelven gran número de ejemplos y ejercicios como 
aplicaciones de los diversos teoremas y técnicas.
La selección de los ejemplos, ejercicios y problemas de cada capítulo, es 
consecuencia de la experiencia adquirida en la docencia universitaria y sugerencias 
brindadas por ios colegas dei área de matemáticas de las diversas universidades del 
país.
En el primer capítulo se estudia las Sucesiones, se establecen sus principales 
propiedades y se demuestran algunos criterios de convergencia no muy usuales.
En el segundo capítulo se desarrolla el concepto de Series. En la solución de 
algunos ejercicios se han utilizado las llamadas funciones especiales y se han calculado 
explícitamente algunas sumas de series principalmente utilizando las reglas 
TELESCÓPICAS .
Las series de potencia se desarrollan en el tercer capítulo, se calculan 
explícitamente el radio de convergencia y se estudia la diferenciación e integración de 
las mismas, así como las series de Taylor.
La lectura del presente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento de las 
propiedades de los Números Reales, del Cálculo Diferencial e Integral y de las 
Funciones Especiales.
La presente obra es recomendable para todo estudiante de Ciencias 
Matemáticas, Física, ingeniería, Economía y para toda persona interesada en 
fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real.
Deseo expresar mi más profundo agradecimiento al Doctor Pedro Contreras 
Ch. por las observaciones y sugerencias brindadas.
Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a esta pequeña obra;
Eduardo Espinoza Ramos.
Este libro lo dedico a mis hijos: 
RONALD, JORGE y DIANA 
que Dios ilumine sus caminos para que 
puedan ser guías de su prójimo
INDICE
c a p ü BMHI
1. SUCESIONES.
1.1 Definición I
i .2 Definición 3
1.3 Definición 5
1.4 Propiedades de Límites de Sucesiones 7
1.5 Teorema • 10
. '• ‘ , . \ ¿ i ./■ : V • . ? ‘ ■ ’ L i"
1.5.1. Teorema de la Media Aritmética 10
1.5.2. Teorema de la Media Geométrica 12
tr •
1.5.3. Teorema 15
1.5.4. Teorema del Encaje para Sucesiones 16
1.5.5. Teorema (Criterio de la Razón por la convergencia de Sucesiones) i 7
1.6. Sucesiones Divergentes. 20
1.7. • Sucesiones Monótonas y Acotadas. 21
1.8. Teorema 24
1.9. Teorema 25
1.10. Sucesiones de Caucby ‘ 26
l . 11. Teorema.- (Fórmula de STIRLINO) 27
1.12. Teorema.-(Criterio de Stolz-Cesaro) 28
1.13. Ejercicios Desarrollados 29
1.14. Ejercicios Propuestos 76
C A P Í T U L O I I
2. SERIES INFINITAS.
2.1 Definición 98
2.2 Definición 100
N> 
K>
2.3 Propiedades 103
2.4 Teorema 106
2.5 Series Especiales 107
2.6 Series Infinita?; de Términos Positivos 112
2.7. Teorema 112
.7.1. Teorema (Criterio de Comparación Directa) 112
.7.2. Teorema (Criterio de Comparación por Límite) 115
2.7.3. Teorema (Criterio de la Razón o Criterio de D ’ALEMBERT) 117
2.7.4. Teorema (Criterio de la Integral) 119
2.7.5. Teorema (Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy) 122
2.8. Series Infinitas de Términos positivos y negativos 125
2.8.1. Teorema (Criterio de Leibniz) 125
2.8.2. Teorema 127
2.8.3. Teorema (Criterio de la Razón para Series Alternantes) 130
2.8.4. Teorema (Criterio de RAABE) 133
2.8.5. Teorema 136
2.9. Ejercicios Des arrollados 137
'2.10. Ejercicios Propuestos 173
C A P Í T U L O I I I
3. SERIES DE POTENCIA.
3.1. Definición 215
3.2. Propiedades 216
3.3. Definición 216
3.4. Diferenciación de Series de Potencias 218
3.5. Integración d^Series de Potencia 218
3.6. Serie de Taylor 219
3.7. Ejercicios Desarrollados 221
3.8. Ejercicios Propuestos 242
Sucesiones 1
CAPÍTULO I
1. S U C E S I O N E S
1.1 DEFINICIÓN.-
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números 
enteros positivos, cuyo rango es un conjunto arbitrario.
Trataremos solamente de sucesiones de números reales, es decir:
Consideremos una función S : 77 -a R, tal que, V/? g Z t , S(n) e R, es un 
elemento de la sucesión.
En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-ésimo término de la 
sucesión.
Notación.- A una sucesión infinita Sj , S 2 ,... representaremos por
ÍS„} . Gráficamente se tiene:1 ’ n > I
Z+ /
1 
2 
3
? Eduardo Espinazo Ramos
Ejemplos:
(T) La sucesión 1, 4, 9, 16....... n2, ... se escribe así {n2 j //>!
(T ) Los cinco primeros términos de la sucesión ¡-—— \ n̂ son:
ni
i i 1 1 L W
” ’ 2 ’ 6 ’ 24 ' 120
(T ) Hallar el término n-ésimo de la sucesión 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...,
En efecto.
S, = 1 = 1 + 0
S2 = 3 = 2 + 1 
S3 = 6 = 3 + 3 
S4 = 10 = 4 + 6 
S5= 15 = 5 + 10 
S, = 21 = 6 + 15
c " ~ 1Sn = /H J1
2
De acuerdo a la regla de correspondencia de los primeros términos
obtenemos que:
■ " ' ' L + [h)E
n -1 
n h .n
i
Sucesiones 3
©
Luego la sucesión podemos escribir así: (
n(n4 i)
> >n> 1
2
® Si la sucesión {Sn j 
hallar S7.
En efecto: Si = 1 
S, = 1
n> 1 está definido por: S| = 1, S2 = 1, Sn+! = Sn + Sn.,,
53 = S2 + S, = 1+1 = 2
54 = S3 + S2 = 2 + 1 = 3 por definición de la sucesión
S5 = S4 + S3 = 3 + 2 = 5
S6 = S5 + S4 = 5 + 3 = 8
S7 = S6 + S5 = 8 + 5 = 1 3
¡1.2 DEFINICION.-
Una sucesión {S n} /?>!, se dice que tiene límite L, si para todo c > 0, existe un 
número N > 0, tal que: |5;/ - L < £ , para todo n > N y denotaremos por
lim Sr = L
11—>X
En forma simbólica , se tiene:
lim S„ = L o V s > 0, 3 N > |S„ - L \ < s
//->«
Ejemplos.- Usando la definición de límite probar que:
Límite de {
n +1
n t n>\
, es 1, cuando n -> x
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
n +1
l im = 1 » > 0, 3 N >0 / V// > => | S„
n—>qo fj
En efecto: Sw--Z,| =
n +1
t \
n
—, pero necesitamos que ISn - L 
n
i= — < 8 , 
/?
de donde: n > —, luego basta tomar /V > —, es decir:
8 8
| |
l im -1 <=> V f > 0, 3 N > — / n > N , entonces
n 8
n +1 -1
n
< 8
©
Solución
lim (1 + ( - l ) /? —) = 1 <=> V¿*>0, 3 N = ? ! n > N => |S„ - L
n->cc /7
En efecto: & l l¡ i + ( - i ) " —_ i — ( - i r -
1
n n n
Pero debe cumplirse que 5 - Ln < 8 , para ello hacemos — < £ , de donde:/?
/7 > N > — . Luego \ / s > 0, 3 N > -- / \Sn - L\< 8 . 
8 8
lim 2 ^ = 1
n-
Solución
Sucesiones 5
lim 2 = 1 <=> V¿r > O, 3 = ?/» > A'
//—>X
“ L < s
En efecto: S - Ln
1
1
1
2 ^ - |
1 _ - > £
<
1
1 - 2 ^1
7 \fñ
®
Luego: |SW - ¿| < 11 -2 ^ " | = 2 ^ -1 < ¿r => 2 ^ < £ + 1, entonces,
log 2 < log(¿* +1) => 4n >
lo g 2 ?
tomar n > A' > ( — )“
log(¿r + l)
log 2
log(f + 1)
, de donde:
/ log 2 a
n > ( ------------ ), hasta
log(¿* + 1)
1.3 DEFINICION.-
Se dice que una sucesión es convergente cuando tiene límite, en caso
contrario la sucesión es divergente.
Ejemplos.- Determinar si es convergente ó divergente las sucesiones
siguientes:
; n + l »
1 O i 1 t/,- ,2/7 + 1
Solución
Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular 
el límite de la sucesión, es decir:
6 Eduardo Espinozct Ramos
©
r» i t /7 + 1Por io tanto {--------} >, es convergente.
2/? +1
* 1 > //>1 
3/7" —n
Solución
Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular 
el límite de la sucesión, es decir:
2 + 1
lim S„ = lim = l im ------= -
ti—>x //—>x 3/7 — /7 /7->x ̂ 1 3 “O 3
n
i í ^ ̂ ~ *4- ^Por lo tanto: {— , es convergente./ / 4 — 1
3/?“ - n
© 9 /7" ~ 77
Solución .
En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de 1
ó • i - v /?2 4 - 1 i* / 1 { 1 a 1sucesión, es decir: lim ó • = l im — = lim (—■+ — - ) = — + U = — .
;i->* //->* 2/72 ;i-»x 2 2/7 2 2
/7~ + 1
Por lo tanto: ¡ ~}„>i , es convergente.
2/7”
{3 y ± l }
'2 /í3 + l ’"£l
Solución
rv
Sucesiones 7
En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de la
1
sucesión, es decir: lim Sn - lim
3 +
- lim n3 ' 3 + 0 2
//—>x /,->x 2nJ + 1 "->x ̂ 1 2 + 0 3
- i - +
77
n l , 3« + 1Por lo tanto: {— r >,, es convergente.
2/; + 1 '
1.4 PROPIEDADES DE LIMITES DE SUCESIONES.-
Consideremos dos sucesiones convergentes \S„ 1
4
constante, entonces:
i) lim k = k
n—>x
i i) lim k Sn = A' lim
n—>r
iii) lim (ó’ ± 5 ' ) = lim ± lim S ' iv) lim = lim Sr . lim S' ' II II ' II II II II IIn—»x ~ ..... ~ IIil—>~s. II—>r //—>> ii—̂ y.
o lim
V) lim " - /,_>x , si lim + 0
II —►x
La demostración de estas propiedades es análoga, a la de los límites de 
funciones reales, por lo tanto se deja para el lector.
Observación.- Para hallar el límite de una sucesión {S/;}w>¡, se calcula el
límite del término n-ésimo de la sucesión Sn cuando n —» x,
es decir:
Ejemplos.- Calcular los límites siguientes
8 Eduardo Espinoza Ramos
i . *
© lim (1 + n + n2)n
n—»x
Solución
lim (1 + n + n2)n = lim [(/? + n1 )(1 h-----—-)]" *
ii—> x //—>x ^ yi ~
i “ 1lim (// + /?“ )". lim (1 + --------)
//—>x //—»x ^ + /7“
lim e¿"("+" + lim[(l + — L _ )" +'r' ]''("+,': )
/ /—>X /í—>X j j
ln<"+" : > lim ' — i ± ? ü lilim
lim e " .e .
I I—>X / /—>X
e " . eM = ( 1) (1) = 1
lim (1 + // + n~)n = 1
/ /*4X
© . . V 3 / / 3 + 2 « - 1 - \ / 3 « 3 - 2ii - 1|im ?
" >X V / 7 + /7~ + 3 / 7 — V / 7 ” + / 7 " - 3 / 7
Solución
Racionalizando el numerador y denominador.
V3/?3 +2 /7 -1 - >/3/7̂ - 2 /7 - 1 .. 4/?( V+73 + /72 + 3/7 + Vft + /7“ — 3/7 )
lim ■ : = = = = = = = = = = - h m = = = = = — = = = = = =
V/7' + //“ + 3/7 - \ /7'1 + n2 — 3/7 /,_>x 6/7(v 3/7̂ +2/7-1 + v3/7'7 - 2/7 - 1)
Sucesiones 9
-i,;i±¿±Í±) 
' ^ 3 í z r x + . r ^ T2 3 \ 2 3n n V n n
_ 2 1 + 1. _ _ 2 _ _ 2>/3
3 V3+V3 3n/3 9
( T ) l i m ( V 2 / í +-1 - \¡n + \)(\j2n~ + 1 - V « 2 + l ) s e n 2 (—)
/?—>x //
Solución
r . . . ' •
Primero racionalizamos a la expresión:
i ^
lim (\¡2n + \-yJn~+\ ){\¡2n2 + 1 - \ l n 2 + 1 )sen2 (—)
« - > 0 0 n
3 l 2 ,H sen (■—)
= lim — ------- ------ jJ?= = ---- j=r-.....
,,_*x (V2/7 + 1 + + 1 ) (V 2 n~ + 1 + sin2 + 1)
2
~ 3 sen(--) 3 . 
n\ - ) 2 {
n ( ~ )
= lim n
( v/2w + l + s f ñ + \ )(y¡2«2 + 1 + + 1)
,2 ' 3
sen(-> 2 n n)2
lim( ü-)2
II —>X
(
n
(—) (yfln + 1 + yjn +1 ) ( V 2 / r + 1 + V /72 + l )
2^ 2V2
(V2 + 1)(V2 +1) (V2 + 1)"'
10 Eduardo Espinoza Ramos
. x na + \r, . ;7(3 + l <g-(-----)
l im [3 -2 (------- )] 2 »°
l i ­ na
Solución
x fna+\.
na -f-1 )
l im [3 -2 (— — )] 2 = lim [(l+ — ) 2 ]
n >oo na na
na ¿ na
1 x //<v+l 4-21im—tg—(-----)
" ■*■' na " 2 na e* ,donde:
r 1 7 T ,n a + 1 ■ t t . i x 2
lim — tg — (--------) = lim x tg —(1 + x) = —
«->* na 2 na v~>o 2 ;r
1.5 TEOREMA.-
1.5.1 TEOREMA DE LA MEDIA ARITMETICA.-
Consideremos una sucesión {an ¡ ,?>] convergente, si lim an = a , entonces:
II —> X
6fi + ¿2? + ... + ¿Z..hm — ---- =
«->00 /?
Demostración
Como lim an = a
n —>oc
=> an = a + Sn , donde: lim Sn = 0 , por lo tanto, a la suma
expresamos asi:
<7, + ¿z2 + ... + cin a + ó'| + a + S2 +... + a 4- Sp + a -f óp+{ + ... + a +
/? n
na $\ + $2 +••• + Sp S +l + J 2 + ••• + ^— + L_ + _i t--------------n
n n n
Como la suma 8i + S2 + ...+ 8P = k (constante) por ser una suma finita, como:
S:
i - P
< e , entonces: (i
Sucesiones 11
<>p+1 + dp+2 + -+ $ n < + ^ p + 2 n < M £ , por lo tanto su límite
de,
¿/i +a2 + ... + 0w
n
, es: lim
//—>x
Cl i + Ü-) + ... + ün a
n
Ejemplos: Calcular los siguientes límites:
© lim --I .. 
,H X V16/?2 +3
Solución
mu -—=====— .
^ yj\6n2 + 3
Í3 Í5— + > /--- h
¡4 ]V 5 'v 6
(/i + 2 
n + 3
lim
"->x Vl6«2 +3 "
Í3 Í4 Í5 . í— + ,
14 y<5 /̂ 6 V
// + 2 
n + 3
(—)(1) = —, de donde se tiene: lim —= JL= = = —
4 4 ',_>x \J\6n2 + 3 4
a d em á s: lim
//-->x V n + 3
= 1 y por el teorema de la media aritmética se tiene:
5 n + 2 \ _—f-... ■+■. /—— i — 1 •
6 V/2 + 3
1 4 5 /7 + 3
l i m —y . (9 H 1----- h...H—----- )
/7—>X \/l -8 /í3 5 6 ” + 4
Solución
r 1 4 5 " + 3l i m —I (9 H H h ... H )
>i-»oc 3/j _8„3 5 6 rt + 4
12 Eduardo Espinoza Ramos
1.5.2.
9 n 4 5 n + 3 .1 ... 1 1lim —■■■■■■ — lim —■======== (— !--- 1- ... h— --) — — O 4- (— )(1) — —
"~>x %/l — 8//3 — C Í ? 5 6 " + 4 " 2 2
donde: l im .. - - = = 0, lim —r~~^== - - — y como lim —— = I
" ^ x V 1 - 8 / j3 ',->cc v i - 8 n 3 2 «-** n + 4
1 4 5 /? + **por el teorema de la media aritmética se tiene: lim + ----- - ) = 1
»->x // 5 6 77 + 4
TEOREMA DE LA MEDIA GEOMETRICA.-
Consideremos una sucesión {«„}„>] convergente, si lim an - a , entonces:
/ /—►X
Demostración
Como lima,, = a => ln( lim a„) - ln (a ) , de donde: lim(ln(aw)) = ln(n),
w-»x n—>x //—>x
 ]
sea */„ = (¡/a,,a2—an ^ *n?/// = ^ y j a l .a1...an = — (ln<r/, + ln a 2 +... + ln¿z/?)
~ n
Tomando límite cuando n —> oc y aplicando el teorema de la media aritmética 
lim ln(í//;) = lim — (ln ¿/, + ln a2 + ... + ln an)
//—»x >oo /7
, ln¿/, +ln¿7-, + ... + lna„ • / . ,
ln(lim un)= l im 5-------- 1 = ln(hm ^ a ^ a 2...an ) = \na
//->x /Í-»X // >x
Levantando el logaritmo en ambos miembros: lim !¡Ja].a1-..an = a
//—>x
Ejemplo.- Calcular los siguientes límites:
Sucesiones 13
lim "i
'3 5 7 2« + l
«->ot V 5 8 11 3/7 + 2
Solución
Se observa que: a, = — , a-, = —, ún = — , . . 1 , de donde:
1 5 2 8 3 1 1 " 3/7 + 2
lim ¿7,; = lim ------ -- = —, luego el teorema de la media geométrica se tiene:
A/-»QO //—>X 3/7 + 2 3
23 5 7 2/7 + 1
lim ” — .— ...------— - -
/,->x V 5 8 11 3/7 + 2 3
© lim J Ü 2 , I " Í . . . Í Wn->ceyln(5) l nlü ln(5/í)
Solución
Se observa que: a¡ =
ln3 
In 5
lnó 
ln 10
?
ln(3/7)
ln(5//)
, de donde:
lim a
n—»x
tiene:
n lim -- - - -- = 1 , luego por el teorema de la media geométrica se /;—>x ín(5/?)
, l n 3 l n ó l n ( 3/7)
l i m "I . --------- . . . ---------------= 1
»->oo V l n 5 l n 1 0 l n ( 5 / ? )
r
OBSERVACION.- Existen limites que se calculan mediante la integral
definida (veamos el caso particular)
Para la integral definida sobre el intervalo [0,1], de donde
b - a 1 - 0 1
= -------- = -------- = — , c
n n n
i i i
t = a + /Ar = 0 + — = — => c ¡= —
n n n
■
l im y- lim
* é i) , >OQ
1 * i 1 
n n
14 Eduardo Espinazo Ramos
Ejemplos.- Calcular los siguientes límites:
/J-»X fj
Solución
Al límite dado lo expresaremos en una integral definida
+ + ... + sÍel i * l / “ “l im --------------------------- = lim — (en +e" + ... + e n )
/;—>oc ti //—>x fj
lim — S> ' é,,? = j áv - ex / = e - 1
//->x 77 JL / o
/ = !
/// . nT 2 . . n¡ n.. yje + yje + .,. + \le
l im --------------------------- = e -1
//—>x /7
//
® l i m//—>x 4-? or + n/•=I
Solución
7 4-77“ /?->* / ...4 / 2 , 1 77 ^
lim
^ * ^ ( 1 ) 2 + 1 " ^ nÁ-? \ + (I)2
77 /?
r1 ¿v 
j ) i+ * 2
¿vrc/g x I = «rc/g 1 - arctg 0 = -----0 =
/ o 4
(T ) lim
16 +26+... + t?6
777—>X ^
Solución
Sucesiones 15
lim----------- = lim _((_)«> + (-)*+... + (-)")
«->x n n-+K n n n n
= , i m l V ( V = f , V v = ^ /
«->* a? n J } 7 /
’ ■' = 1 - 0 = 1
o 7 7
lim
l6 + 26 + ... + M6 I
n->* ;j7 7
1.5.3. TEOREM A.- Demostrar que: lim rn = 0 , si 0 < r < 1 y si r > 1,
/ I - 4 X
lim r" = + og
/?—>x,
Demostración
De acuerdo a la definición 1.2 se tiene: V £ > 0, buscaremos un numero 
N > 0, de tal manera que: r" - 0 < ¿r, V n > N
In
Luego: r ” - 0 = rn < <=> n ln r < ln 8 o n > = N , puesto que
Inr
ln s
0 < r < 1, por lo tanto: dado e > 0, 3 N = —— , tal que:
ln r
V n > N - , es decir: lim r" = 0
lnr
Ejemplos.-
r n - 0 < ¿ ,
2 2
1J lim (—)" = 0 puesto que r = — < 1
//-»x 3 3
© 4 4
lim (—)"= +oc puesto que r = — > 1
/?—>x 3 3
16 Eduardo Espinazo Ramos
1.5.4. TEOREMA DEL ENCAJE PARA SI CESIONES.-
Si V / ? g Z + , 3 N > 0 , tal que: a„ < cn < hn , V n > N y si
lim an = lim bn = L , entonces lim cn - L
ii—>00 n—►x 11—̂x
Demostración
Por hipótesis tenemos: lim an = L <=> V c>0, 3 TV, > 0 / n > N ] => - ¿| < £ ,
. //—>x
es decir: L - e < < L + ¿;a . . . (o
lim bn = L <=> V e > 0, 3 N 2 > 0 / n > N2 => |fy, - L\ < £ , es decir
II—̂X
L~s <b„ < L +£
Sea /V = max [N ], A2}, entonces tenemos:
L - s < an < c#7 <bn <L + s , de (1), (2) e hipótesis
Luego tenemos L - e < cn < L + e => cn - ¿| < ¿'
Por lo tanto, dado s > 0, 3 N = max {A ,, W2}, tal que:
n > N => |c„ - L < e , de donde: lim = £ , por definición 1.2.
Ejemplo.- Probar que lim c o s = 0
/?—>x //
Solución
\f n e Z + , -1 < cos n < 1, como n e Z + => — > 0 , entonces
1
/?
Sucesiones 17
1 C0S'7 ^ 1 i- 1 r 1 a— < ------- < — , y como lim — = lim — = 0
n n n n ¡¡
r w i o i- eos(n) _Luego por el teorema 1.8, se tiene: l im --------- = 0
n— //
Ejemplo.- Demostrar que: lim yfa +b" = b , 0 < a < b
//—»x.
Solución
Como 0 < a < b => 0 < => < a" + bn < 2b" => b < \[an +bn < y¡2b
como lim b = lim \¡2b = b , entonces por el teorema 1.8 se tiene:
>x //—»x
lim yfci'1 +bn - /}
II—>OC
1.5.5. TEOREMA.- (CRITERIO DE LA RAZON PARA LA 
CONVERGENCIA DE SUCESIONES).-
Sea [Sn] _ una sucesión de números reales./!> 1
Si lim
n—>x
n - \
n
< 1, entonces lim Sn - 0 y por lo tanto. La sucesión {Sn } ,
//—>x
es convergente.
Demostración
Por hipótesis se tiene: lim
Sii-
ii
< 1 , sea r un número real, tal que:
lim
rt—> OC
/I—1
S.n
< r < 1 z z > 3 N > 0 / ' lim
n
n-
Sn
< r , siempre que n > N
18 Eduardo Espinoza Ramos
Sea p g Z + / p > N
5p
< r => p < r S, , de donde:
Sp+2 < r V+1 < r' 5/> , en general se tiene:
< r S. , de donde: - r S, 5 /’
como 0 < r < 1 => lim/*' = 0 (teorema 1.7)
k —y x
Luego l i m - r
k —>x
5
p
k - 0 y por el (teorema 1.8) se tiene:
lim S k = 0 , por lo tanto:
A->x
lim = 0
Ejemplos.- Demostrar que:
5"
lim — - 0
//-»x //!
Solución
Sea S/í
5"
;j!
■tf+l
=> S„= (« + !)'
, entonces por el criterio de la razón:
lim
II—»x
/?+! lim
//—>x
■//+!
(« + !)!
■//
/?
lim
//—>x
az!5/?+i
(/? h- 1) ! 5"
= lim 0 < 1
n + 1
5"
Luego por el teorema (1.9) se tiene: lim — = 0
/?-->x n !
Sucesiones 19
© nlim — = O/?—»x y 1
Solución
Sea Sn = — => 5 , - - - - - - , entoncesn yi /, + 1 -y/+l
lim
/;—>x
// +1
5n
= lim
/7->x
(w +1).3"
n.3n+l
. . /? + 1 1 
= lim = - < 1
' 3 n 3n-
n
Luego por el teorema (1.9) se tiene: lim — = 0
// —>QC 3 "
® n ̂lim — - 0n—>x fjn
Solución
Aplicando el criterio de la razón para sucesiones convergentes.
Sea S
n\
n snn
_ (n )!
"+1 " ( H + i r 1
, entonces:
lim
//—»x
*n+\
n
lim
//—>x
(/> + !)? 
( « + l )"+l
n\
nn
lim A," (W + 1)! = l im ( - ÍL )-
/? + 1
lim[(1 +-—í- )_<"+l)j - ("+l> = e í-«+i = e- ‘ = i - < |
«-^x n + 1
/7 J
Por lo tanto por el teorema 1.9 se tiene: lim —1 = 0
n >x n n
20 Eduardo Espinoza Ramos
Se ha dicho que una sucesión es divergente cuando no tiene límite, esto puede 
ser, divergente a + oo ; a - oo u oscilante.
a) DEFINICIÓN.- Sea [Sn} , una sucesión, diremos que: Sn —> +oc ,
cuando n —> oo, si para todo M > 0, existe N > 0, tal 
que: Sn > M , V n > N
O I 1Ejemplo.- Probar que lim 3“/? = +oo
n —>oo
Solución
V M > 0 , 3 N - ? (que depende de M), tal que:
32" 1 > M => (2n — 1)ln 3 > InM , es decir n > f 1) = Ar
2 ln 3
b) DEFINICIÓN.- Sea {S„}/7>1 , una sucesión, diremos que: Sn -> -o c ,
cuando n —> oo, si para todo M > 0, existe N > 0, tal 
que: Sn < - M , V n > N
Ejemplo.- Probar que lim 1 — 2/7 = -oo
//—»oc
Solucem
V M > 0, 3 N = ? / l - 2 n < -M => n> = N
Luego V M > 0, 3 N = — — / 1 - 2n < -M, V n > N
*
Sucesiones 21
c) DEFINICIÓN.- Si la sucesión {^w}w>l diverge, pero no a - oo, ni
a + oo, y además toma valores positivos y negativos en
forma alternada, diremos que la sucesión {Sn } , es oscilante.
Ejemplo.- La sucesión j ( - l ) ” j es oscilante, pues la sucesión es
-1, 1 ,-1,..., si n es par lim (-1 )"= 1 y cuando n es impar
w—
l im (-l)" = - 1 , Luego ¿f lim ( - l ) " , por lo tanto, no es convergente; pero
>7—>oo n >x
tampoco diverge a +oo, ni a -oo, por lo tanto, es oscilante por definición c).
a) DEFINICIÓN.- Sea {Sn , una sucesión, entonces:
i) Si Sn < Sn+l, V n > N => la sucesión es creciente.
¡i) Si Sn+]< S n , V n > N => la sucesión ^ es decreciente.
A una sucesión que sea creciente o decreciente le llamaremos monótona. 
OBSERVACIÓN.-
Si Sn < Sn+l diremos que la sucesión es estrictamente creciente.
Si Sn+l < su diremos que la sucesión es estrictamente decreciente. 
Ejemplos.-
Determinar si la sucesión {—- — } >, es creciente, decreciente o no monótona.
2/7 +1
Solución
22 Eduardo Espinazo Ramos
1 2 3 4 n n + 1
Escribiremos los elementos de la sucesión
3 ’ 5 ’ 7 ’ 9 2// + 1 ’ 2/? + 3
Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van creciendo 
cuando n crece.
, 7 7 / 2 + 1 . f .
En general tenemos: < ... (1)
2/7 + 1 2/7 + 3
La desigualdad ( 1) se verifica si encontramos otra desigualdad equivalente en 
al cual podemos afirmar que es valida.
Así por ejemplo en la desigualdad (1) podemos escribir:
2/7_ + 3/7 ^ 2/7“ + 3/7 + 1 ... (2)
La desigualdad (2) es valida porque el miembro de la derecha es igual al de la
izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad (1) es valida.
Es decir: Sn < Sn+l, luego la sucesión es creciente.
Determinar si la sucesión {—}/;>i es creciente, decreciente o no monótona.
ti
Solución
Escribiremos los elementos de la sucesión {— }n>], 1, — , — , — — , ------ ---
n 2 3 4 /7 /2 + 1
Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van decreciendo 
cuando n crece.
1 1
En general tenemos: < — •••(!)
/7 + 1 n
Sucesiones 23
La desigualdad (1) escribiremos en otra desigualdad equivalente para ver su 
validez.
n < n + 1 ... (2)
La desigualdad (2) es validad porque el miembro de la derecha es igualdad al 
miembro de la izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad (1) es valida.
Luego Sn+] < Sn , entonces la sucesión es decreciente.
y
b) DEFINICION.- Ai numero A le llamaremos cota inferior de la
sucesión {£„} . si A < Sn , V n e Z + , y al numero
B le llamaremos cota superior, si Sn < B , V n e Z + .
Ejemplos.-
I ) En la sucesión {—- — }/;>¡, una cota inferior es cero, cuyos elementos2 n +1
1 2 3 n . . 1
son: otra cota interior es - , en general una cota
3 5 7 2/2 + 1 3
. 1
inferior es menor o igual que — .
2jp En la sucesión el 1 es una cota superior, en general cualquier
n
número mayor o igual que 1 es cota superior.
c) DEFINICIÓN.- Si A es cota inferior de {S„}n>{ y A > C para toda
cota inferior C de {S,,} ; entonces A ser llama la
máxima cota inferior de {Sn} .
24 Eduardo Espinoza Ramos
Si B es cota superior de {*£„} >, y si B < D para toda cota superior D de 
{Sn }„>| ’ entonces: B se llama la mínima cota superior de {Sn }w>j .
f
d) DEFINICIÓN.- La sucesión {S,,} diremos que esta acotada, si y
solo si, tiene cota superior e inferior, es decir: 
|Sk | < k , V // e Z + .
Ejemplo.- La sucesión {— \n¿x es acotada.
n
Sea [Sn} una sucesión, entonces:
i) Si [Sn es creciente y acotada superionuente, entonces es
convergente.
ii) Si {5W} es decreciente y acotada interiormente, entonces {Sn }m>1 , es
convergente.
Demostración
i) { /̂i}w>1» es ac°tada superiormente, por hipótesis a = mínima cota
superior de [Sn} , dado un número 8 > 0,' se tiene que a - s, no es
cota superior de {£„}>. , pues a - 8 < a y a es la mínima cota
superior de la sucesión como a - 8 no es cota superior, 3 un número 
entero positivo N > 0, tal que: a - s < Sn , V n > N ... (1)
Tenemos Sn < a , V n e Z + ... (2), a es la mínima cota superior.
Si Sn < Sn+i , V n > N ...(3), ({£„}>! es creciente por hipótesis).
Sucesiones 25
Luego S„ < Sn pero n > N .... (4),
De (1), (2), (3) y (4) , se tiene que: a - 8 < Sn < Sn < a < a + 8 
siempre quen > N => {Sn } es convergente y su límite es la mínima
cota superior,
ii) La demostración es similar que (i).
r
OBSERVACION.- El teorema establece que toda sucesión monótona y
acotada es convergente.
1.9 TEOREMA.-
Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración
Para demostrar que: Sn < k , V n
Sea {SAJ} , una sucesión convergente y sea L su límite, es decir:
lim Sn = L V s> 0
tenemos: Sn - L < s , V n > N
Sn = S„ - L+ L => Sn < S „ - L + |L\ < £- + |¿ |de donde: S„ < ¿r + |¿ |, V n>N
Sea A- = max |j5 ,|, |5 , | , |53|,...,|S(I|, e + \L\ j , luego se tiene: SH < k , V n.
26 Eduardo Espinazo Ramos
1.10. SUCESIÓN DE CAUCHY.-
a) DEFINICION.- Sea ana sucesión, se dice que es una sucesión
de cauchy, si para todo £•>(), 3 N > 0 / m > N , n > N
entonces S - 5• ni n < £ .
Ejemplos.-
© La sucesión {—}„>] es de Cauchy.n
En efecto: V € > 0, 3 N = ? / V m > N, n > N < £
Sn | -
1 1
m n
— 0 < c , V n.
ií) Si m > n => Sm - Sn
1
ni n
= < — pero debe cumplir qué:
n m n
ISm — Sn <£ => ~ < £ de donde: n> — = N , (m > n > N). Luego
n £
bastará tomar -- — .
i 1 1 1 1 1 S - SSi n > m => K-s„ — — < — como
m n m n m
< £ ,
entonces: — < £ => m > — = N . Luego bastará tomar N = — (n >m>N). 
m £ £
© La sucesión {—— }„>| , es de cauchy.n
En efecto: V c > 0, 3 N = ? / n, m > N < £
Sucesiones 27
K-s,, n i 4-1 n 4-1
m n
_i__ i 
w n
, se reduce al ejemplo anterior, luego bastará
tornar N -
1.11. TEOREMA.- (FORMULA DE STIRLING).-
Demostrar que para n grande: n\ = yjlirn n"e ” aproximadamente.
Demostración
Por definición de la función GAMA, se tiene:
f (n + 1) = x ne Xdx - •//In.v-.v ie ax
La función n Ln x - x, tiene un máximo relativo para x = n (queda como 
ejercicio probar).
Haciendo la sustitución x = n + y en la ecuación (I):
r v , i \ -a I «ln(/;+v)-v j -n „l ( « 4-1) = e i e ■ a y ~ e \ e
//ln/?+//ln(l + -)-Y
" dv
-n
... (2)
2 3
X X
También se conoce que: ln(l 4* x) ~ x k — -2 3
... (3)
y i
Haciendo x = — , además y - Vn v , se tiene:
28 Eduardo Espinoza Ramos
Para n grande, una buena aproximación es:
ÍhX_________________________e e íh = y ¡ 2 x n r í 'e~ " —,(5 )
X
Además f(/? + l) = w! ... (6)
Por lo tanto de (6) en (5) se tiene: ni = sflñn n"eti -n
yjnl
Ejemplo.» Calcular l im -----
/;~>x /7
Solución
\¡ni n e xi,2¡2nn 1 —
l im = l im ----------------- = - lim ~\¡2nn
/;->x i\ >x fj £ n —>x
J
1 lim In - y j lnn 1 —~ — 1 Hni— j 1
= - e " ~ 2,1 = - e " = - e = -
e e e e e
1.12. TEOREMA.- (CRITERIO DE STOLZ-CESARO).-
Sea {£/„}„>i y {bn \n¿| , dos sucesiones tal que:
i) Si lim an = lim = 0 y la sucesión {/>„}/>>!* es monótona ó.
//—>x //—>x
ii) Si lim bn = +oc , y la sucesión , es monótona, entonces:
//—»x
lim ^ = lim a"+i a" = /l 
"~>x t>„ "-*x b„+i-b„
_ , , ln(/?!)
Ejemplo.» Calcular l im --------
«->»ln(w")
Sucesiones 29
Solución
Sea
a„ = ln(«!) 
b„ = ln(n")
a„+l = ln (« + l)!
l*h+i =ln(/7 + l)"+l
,im f!» = lim = lim J K » + D! - ln « !
bn " ^ K + \ - K w—>x ln(/7 + \ )n^ ] - ln n n
- l im /?
(/7 4- l)ln(/7 + 1) ~/7 ln .77
lim
//—>x
ln(/7 +1)
77. ln(— —) 4- ln(/7 4-1) 
7?
= lim
/»—>x
ln(l 4 - / 7) ” lne 1
I i ln 14- ln e 1
ln(l + - - ) + ln(l 4-n ) n
77
lim ^ = 1
//—VX; ln(n")
1.13. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
® Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión
(2w + 5)2"+5«"~3
(4h + 1)',+2(« + 3)2"
Solución
ó1., =
(2/? + 5)2" " V ~ 3
/-v \2ii+5/i . ^ \2/?+5 /;-3( ln) (1 + — ) n
l n
(4« + l)',+2(K + 3)2" (4/j)«+2(1 + ± )»+2n2»(1+2 )2»
4/7 77
30 Eduardo Espinoza Ramos
2 2"+5/i2"+V _V 2"(1 + — )2"+5 2 2n+5n 2+” (l + — ) 2" +s
2 n 2 n
4 "+2nl,+2 (1 + -^-)"+2 (1 + - ) 2" 22n+4 > r 2 (1 + (1 + - ) 2"
4 n n 4/i n
2(1 +-—-)2,l+5 
 2 n
(l + - - )"+3(1 + - ) 24/? /?
2n 5 ( 2 u + 5 )
2[(1 + — )T ] ^ ' ~ 2-5 _s
lim S„ = l im =2— —— = —-— = 2e 4
, 4„( — ) 3 - < - > - ,
[1+— ] 4,1 [1 + - ] 3 " e4e6
4/7 n
( T ) Calcular lim V2n6 +1 s e n ( -^ - ) .s e n (^ ^ - ) .s e n (^ ^ - )
//—>x fj -f* 1 /7 4- 1 /7 4- 1
Solución
s e n ( -^ - ) = sen(;r — — ) = sen(—— )
n 4-1 n 4-1 /? 4-1
/ 3/777* \ / - 37T \ / 3/T \
sen( ) = sen^3/r j = sen^ j
n 4-1 n 4-1 // 4-1
sen( = sen (5 ;r- - --) = sen(-1-- - ) , de donde:
n 4-1 n 4-1 / ? 4-1
lim y¡2nb +1 se n ( -^ - ) .s e n ( -^ ^ - ) .s e n (1- ^ )
//— A7 4- 1 /7 + 1 /? 4- l
lim V2/76 4- 1 s e n ( — ) . s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ - ) 
/i—>x • /? 4-1 « + r /2 + r
Sucesiones 31
= lim -7— - " - ( / ? + 1)3 sen(— ) . s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ - ) 
(n + \Y n + \ n + Y 77 + r
y¡2n6 + 1
\jn +1l ) 3
>/ 2 t 76 + 1
í 77 + 1I)3
l im i . . l im ( /? + l ) 3 s e n ( —:— ) . s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ - ) ... ( i )
„ - > x ( „ + i V , - > x V K n + V 77 + T /? + 1
yjln6 + 1 rz 
lim —--------- — = v2 ...(2)
'?-*x (/? + l )3
1 1
Sea z = ------ n +1 = — ; • cuando n - » ce, z —» 0
77 +1 z
lim (az + 1)3 sen( ).sen( ) .s e n (-^ -- ) = lim z 3 sen ;rz.sen 3/rz.sen 5/r.
11 >x /? + 1 77 + 1 77 + 1 r - > x
.. sen/rZ _ sen3;rZ . sen 5/rZ , . *
= lim 7T .3/T-----------.>/T----------- = \37T ...(3)
/tZ 3 nZ, 5 ti
Ahora reemplazamos (2), (3), en ( 1)
lim J~2n" + 1 sen(---~ -).s e n ( ~ —) .sen(— ) = 15\/2/r3
77 + 1 /? -f 1 77 + 1•• % .
1 1 13«( 7 ) Calcular lim z?6f—=====
W V ; r + 3
J
+ 3 \/«" + 3
Solución
lim ^ [ _ L = _ _ L =rp = lim nH
"~>x f n 2 + 3 ^ ; j" + 3 "“** ’<Jn2 + 3 %//;" + 3
6 '«2 + 3 n3„
lim — 7 — -̂ (1 — W—— ) 
«-**(71+3) . V/z" + 3
32 Eduardo Espinoza Rumos
r
V + 3 „ ///' +3
- i¡m( 4 - V [ ( i - J £ i i ) - - f e ] -
/,->x n~ +3 V n +3
- 3 lim/; { h ~ r ,
_ ( 1) e v«"+3 - ^ ̂ donde: lim «y,
n->x
« “ + 3 n ~ + 3/?/,.--------- = hm n -----------
V a? " + 3 «->* V a? " + 3
= lim «I - - +3) = lim ?i -
//—>x \ n”(l+3n ") \ 1 + 3/7 "
/72 + 3
.. I , / / r + 3 \ L n { n ~ + 3 ) - L n (1+3// " )
1 mi — ¿ / / y ------- — y l im ----------------------------------
(? v l + 3 / / " / — g " ' ' n — ( P — 1
Aplicando la regla de L ’Hospital
® 3 ( ^ 7 l ->/«)
Evaluar lim - t- - ......... —
//->x 2ÍV/7 + 1 - s / n \
Solución
Racionalizando numerador y denominador
3 í yfñ~+T —-\/77 J ̂ 11 V /T + T —V
lim — — — — = — lim
/?
//— 2(>/w+T->/í?) 2 «-►* i(^ ( / | + 1)2 + /̂/7>//i + l + y[¡¡2)
3 VA?+ 1 - >//7
= — lim
2 x ^ / / ? 2 -i- 2 n + 1 + %//72 + /? +yfñ~
- lim ^
1 1 1+ — + —9 }/?“ /? /7
2 / /->x / 2 1 / 1
'l + - + - y + 3/1 + - + 1
Sucesiones 3 3
3 ( O + 0 + 0 ( 3 ( O ̂ ^
2 ̂ U Í T o + H i +Ó + 1 ~ 2 1 + ] + 1 '
3 (</rt+”l - I f ñ ) 
lim ——— z~ — = O
/7_>x 2Í v n + 1 — \ n j
!
( ? ) Calcular el límite: lim n(a" - 1 ) , a > O
n—»x
Solución
Hacemos Z = \ j a - 1 => sfa - Z +1 => —án a = ln(l + z) de donde:
n-
I ln (1 + z) Ina
- — z=> n = — , cuando n ~> oo z —» 0, entonces:
n Ina ln(l + z)
t- ( ~ 1 \ i - ln<2 , 1 , ilim nya” - 3) - lim — :------ z - ln a. lim ------------~ = ln a.---- = ln a .
--->oln(í + z) -->o i íne
ln(l-fz)-
Lim n (a n - 1) = ln a
n —>x
( ? ) Estudiar la convergencia ó divergencia dél a sucesión {7̂ ?}„>, donde:
T (3/? + l)2 (/? -f 7),,+2 
(3/7 + (/7~ + 5) ^ ) (/7 + 3)/?
Solución
Para determinar la convergencia ó divergencia de la sucesión calcularemos el 
límite de Tn, es decir:
34 Eduardo Espinoza Ramos
( 3« + 1)2 (rt + 7) 2 
lim Tn = l i m ---------------------j---------------- = lim
77—»X //—>x J. //—»x
,//(377 + («2 + 5)2)(/;+ 3)'
,im ( Í l 2 ) . Bm VSTTAT7
» - » * 77 + 3 «-+*
(« + 7 ) + /3« +1 V« + 7
(« + 3)" ( 3/7 + V0? + 5)
77+-3 - / 3 H— ̂ ̂/1 H----
l i m ( ( l + -------- ) 4 ) ' ,+3. l i m —-----
7 7 — > X / / - j - 3 7 7 — > x / 5
3 + 4 /1 + —
rr
lim— r ^|3 + 0^¡\+Ó 4 n/3¿7" >' 77+-.' _____________________ — / + ------
3+VTTo 4
V3
Como lim 7̂ , = , por lo tanto la sucesión } /;>1 , es convergente.
77~>X 4
2 ^ 7 7 - 1
( ? ) Calcular el límite lim — ) "
77—» X f ] ~ + 4/7
Solución
2 - /72 —1 , . 77"' +~4/7 ( 3 - 4 / 7) /g- —1 3 - 4 / 7 77" - 1
l i m ( = l i m [ ( l + ~ ” ) 3“4" ] ,,;+4" '' = e" " " w "
7/->0o + 4/7 /,- > x 72“ + 4 / 7
1 3 4 3
-1+ 1------;-~
l im » i r
- 4 / 7 + 3 / 7 " + - 4 / / - 3 «->/■ , I - 1 + - 0 1
lm i r ~ T + l + _ £ ’77'+-4/?' —. ^ //
2 /r_l 1M n +3 \ ------- 1
— — — ) = -»->x /r +4/? £
1 + 0 e
Sucesiones 35
( éT) Calcular lim (eos — + .y sen —) n
Solución
a ci
Sea z = — de donde: n = — , Cuando n —» oc <z> z -> 0
n z
/ ci C l \ a
lim (eos—4- xsen —)" - lim (eos z + xsen z ) r - lim I" 1 + (eos z - 1 + xsen z )
«~»x n fj r —*x 2 —»x
a
_i
1
lim[(l + (eos z — 1 + xsenz))cosz-l+xsenz ]
c/|cosr-l+.vsen.
= e
cosr-l+.vsen 2 «.lim-------------------
2 ->< I 7 = e
a. lim
: ->()
( -eos 2 sen 2
 + .Y--------
_ e „(-0+M
lim (eos—+ sen —)" = e
/i->x n n
( 9) Calcular lim (l.+ /? + «2) /;
n —>x
Solución
Aplicando la propiedad e nü = a
0 1 \ * + n + n~) ” = e"
, - In( 1+//+/?') .. 1 + 2/í
lim ln(l+«+/■/”)" *,m----------------- *,m
//—>x
0e i >r n — e *' i+w+w — £>w =1
lim (l -f n + n 2>) n = 1
//—>x
© 1 - eos" —Calcular lim>x /?
sen
1
/?
36
t
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
i ii ̂ / , 1 \ / i 1 3 1 i! —) 1 \
S - eos — (1 - eos - 1 + cos " + cos — + ••• + eos )
lim - J L = lim----------n------------n--------- n_------------_ j j __
/ / -»x 1 //—>x 1 1
se n — 2 sen — .eos
n 2 n 2 n
 ̂ 2 1 1 2 ̂ n-1 1 \2 sen — ( I 4-cos —-t-cos - + ...4-cos —)
l i m - i » ZZ_ ZL —
//—>cc 1 12 sen — .eos
ln ln
0 1 O 1 /»—1 í \+ cos — + eos*' — 4-... 4- cos —)
1 n n n= lim sen 
n —>x 2/7 1eos
2/7
/I 1 1 IX l - c o s /7-
= 0 (1 + I + I + - + 1 ) = 0 . l i m-------- —zl = o
>x 1
sen — 
n
: i l ) Calcular lim —= L = r + —4- — -f .. .+ —
^ v r + 9 ^ 4 + " 4 7 3 / 7 + 1
Solución
En el presente ejercicio aplicaremos el teorema de la media aritmética.
1 / 5/7" 2 4 2/7 \
lim - 7= = = ( ------- + — + — + + -------- )
1 7 v4 + /7 4 7 3/7 + r« - > ° ° V l + 9 « 2
5/r 1 / 2 4 2»lim ■ + lim + —+ ... + ----
n —̂ 00 \ 1 + 9/?2 (4 4-/?) n ~ > 00 \ 1 + 9 / r 4
Sucesiones 37
.2 4 2/7 \
c ! ( — + — + . . . 4 )
ü m —= = = = = --------- + l i m —= = = = = r — — --------- 3 h + J _
19 + 4 (-- + 1 ) n ~>CCJ 9 +
n~ n V /r
5 1 2 5 2 17 . _ r 2/7 2+ — — , donde: lim
V9 + 0( 0+l ) \¡9 + 0 3 3 9 9 ' ' «-»*3/1 + 1 3
,, „ ,• i , ln(4n) „ 3 8 13 5 « - 2 xHallar lim « //(— ----- — ...------------------- )
»-*» V ln(10/?) 2 5 8 3 « - l
Solución
En el presente ejercicio aplicaremos el teorema de la media geométrica.
r I , ln(4w) #f 3 8 13 5/7-2 r „r ln(4/i) ,. ¡ J Y 1 T ~ 5 Ü ~ 2
lim n\n{ ) — ... ) = lim >Jn — — lim " — ...--------
ln( 10/?) 2 5 8 3/7-1 n-*x> ln(l ()//) 2 5 8 3/7-1
= (l).(l).— = —, donde: = lim yfñ = 1 y lim - - - -- - 1
3 3 /7-̂ ac ln( 10/?)
3 8 13 5/7-2 5/7-2 5
l i m " — . . . --------- l i m ---------- = —
// >ao V 2 5 8 3/7 — 1 »-»<* 3/7 — 1 3
- -v í 2 A / l n 2 l n 3 ln ( //) .
13j Calcular lim sen(2;r eos— ) ( ---- -4-— - + . . .+ ------------) -
n~>yi n ln3 ln 4 ln(/?4-l)
Solución
ln(/7) l n ( / 7 ) 77 4-1
Sea a = --------— => lim a - -l im -------------= l im -------= 1
l n ( /7 4-1) /;->0C /?—>X l n ( /7 4-1) ii-4x n
en el cálculo de este límite aplicamos el teorema de la media aritmética.
38 Eduardo Espinoza Ramos
( 2 w ln2 ln3 ln(/?) .
l i m n s e n ( 2 tc e o s — ) . ( --------+ --------+ . . . + ------------— )
n ln 3 l n 4 l n ( « + l )
2 I In2 ln 3 ln(n) ,
l i m n s e n ! ¿ n e o s — ) — ( -------+ —— + . . . + ----------------- )
n-Kx> n n ln 3 ! n 4 ln ( /? + l )
, 1 / ln 2 ln 3 ln(/?) >.
lim n sen( 2 / r eos—) lim - i - —~ + t — +...+ ”--------—) .«(1)
//->x n n—>oon ln 3 ln4 ln(i? + l)
Ahora calculamos cada uno de los límites.
1 l n 2 ln 3 í n ( / / ) .
= lim — ( ----- + ——+ ...+ ------------) = i (por el teorema de la media aritmética)
n —̂ x / / l n 3 l n 4 ln( /7 + l )
2 2
Sea z = — =>« = — , cuando n —> x => z -» 0 
n z
( 2 x 2 / x - 2 n c o s ( 2 ; r e o s z ) sen z
lim A ? s e n ( 2 / r c o s — ) = lim — s e n ( 2 ; r c o s z j - 2 lim ------------------------------------------
n -->o z -->o 1
= -4ti eos (2ti). 0 — 0
Luego estos límites reemplazamos en (1) se tiene.
, 2 x / l n 2 l n 3 l n ( n ) ,
.'. lim s e n ( 2 ; r e o s — ) ( ------+ ------+ ...+ ------ -— ) = (0)( 1) = 0
n ■—>x n l n 3 l n 4 ln( /7 + l )
14) Calcular A= lim N ̂(A72 -h ) 2
s—' //—;►x Z ^
A=1
Solución
Sucesiones 39
En el presente ejercicio aplicaremos el criterio de la suma de Riemann es decir:
I f ( x )d x = lim N ^
Jb "-*00 '
/ ■ ( - ) - 
n n
/=!
A = lim S ' ( n 2 + Á'2)"2 = lim V — = lim V * 1_1
n-+cc n->cc 2 , 2 n ~ > * / k i A7
/=! /=! Vn +A /=! J 1 + ( - - ) -
/?
I .— = ln(x + yjl + x 2) / =l n ( l +V2)
V íT 7 7 ob
(TÍ) Hallar l im -( íg (-^ -) + íg ( - ^ ) + ... + /g ( -^ ) )
//-»» n 4/7 4/7 4/7
Solución
Aplicando la suma de Riemann
40 Eduardo Espinoza Ramos
16J Calcular lim —[ln(¿/ + —) + \n(a + —) + ...+ ln(a + —)], a > 0
// ->cc n n n n
Solución
Aplicando la suma de Riemann.
1 1 2 n
l im — [ln(¿/ 4- — ) 4- ln (a + — ) + . . . + l n (a + — )]
//-»oc n n n n
n j
= lim ^ 1 \n(a + ~ ) .— = i 1 n(ci + x)dx - - ( l )
W->« Ammmá n n J)
/=//
Ahora integrando por partes se tiene:
Sea
u = ln(# + jc) 
dv = dx
. dx 
du = -----
i ln(¿7 + x)dx - x l n ( r / + .y) - I — - — dx - x \n(a 4- x) - 1 ( 1 —
J J .Y + Í/ J A +
)dx 
4- a
- x ln (a + x) - x + a ln (x 4- a) = (x + a) ln (x + a) - x ... (2)
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
1 1 2 n
l i m — [ l n ( f l + — ) 4 - l n ( r / + + l n ( a 4 - — )] = ¡ l n (a + x)dx
n n n n í
[(x + tf)ln(A' + f l ) - .y] j = ((a + 1) ln (a + 1) - 1) - (a ln a - 0)
(a + 1) ln (a’+ 1) - a ln a - 1
Sucesiones 41
500 500 ‘ 500
(17) Calcular lim[- — + _ - i - 7Kr + ...+ Í L _ ]
"-»« (« + 1)501 (rt + 2 ) 501 (n + n ) 501
Solución
Aplicando la suma de Riemann
^ 5 0 0 ^ 5 0 0 500
” W57+<+r+'+í+F1
, 5 0 1 501 501 n.. r n n n _ 1
— lim [-------- — H---------- r—+ ...H ¡TñTJ’—
"->x (/? + 1) (;/ + 2) (/? + /?) , n
l i m [ ( — )500 + ( — )501 + ... + (— )501]
n->QC n 4- 1 77 + 2 77 + 77 77
lim [----- f ----- —-----+... h---------------] - —
(1 + 1)501 (1 + 2 )501 (1 + / f )50i /I
77 77 77
#!->« _ ,, * v
,=i (1 + - ) 
77
+ 1 ) 50,
1 / ' _ _ J 1_ 1 I
/ o ~ 5 00 9 500 ~~ 5 0 0 9 500500(.v+l)500 ' o 500 2500 500 25
Calcular lim an , donde an es dado por:
/?—>X
, ,1 + 2 0 » , , , 2 + 2 0 » 
l„<— - > ln( - -
ait = — + -------- - ------ + ...+
1 + 20/7 2 + 20/7 77 + 20/7
42 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Aplicando la suma de Riemann se tiene:
i + 20» 2 + 20»
ln(--------- ' ln(—------ } ln(2 n
lim a„ = lim[- + — -f i-------- + ... + -B ± iL ]
//->x fi >x 14- 20// 2 + 20a/ n + 20//
rv. f i i.
ln( 20 + —) ln(20 + —) ln(20 + - )
= l im [ f - + -----------f - + ... + ------------ * - ] -
20 + - 20 + - 20 + - n
n n n
,¡m y ln(20v . r ^ _ 2 0 _ tx ) ¿v
m . i J)//—+ X mmmamm ~ A/=1 20 + 20x
/?
/ ' = —[ ln 2 21 - l n 2 20] 
2 / o 2
l im r//; = — [ ln 2 21 - l n 2 20]
//—>x 2
I 2 //
3 ó ~ n ~
j (sen—)en (sen—)en (sen—)e”
© Calcular lim —[-—— h — + ...+ ------------- ]
//—>x /7 1 2 , // x/ ? > x n » ~ ..sc-7/ — s /̂z — sen{—)
n n n
Solución
1 . 2 n^ ^ ^ _
( s e n - )e '1 (sen—)en (sen—)e" .
o _ _ r n , /7 , A ? ! 1Sea a„ = [-------- — + -------- — +...+ — - ] -
sen— sen— sen(-)
n n n
Sucesiones
\
43
" sen3(—)enian - / —— , ahora tomando límite.
/=i sen
i n
n
" y sen3(—)en 
lim ¿7., = lim j -----
n-+0C ' r*
i=1
II l
sen
1
n
j sen 3 a v
sen x
J 3sen x - 4sen x 
) .ve/7 x
dx
n
í3 exdx 4sen~ x.ex dx = 3ex dx - 4 cos 2 a ) dx
ex dx + 2 ex cos 2 a dx = [V + (<?A eos 2 a + 2ex sen 2 a ) ] j
1
(5e - 1 -r íe cos 2 a -i- 4 es en 2 a )
Verificar que:
l i m [ - + —
/?~»x ] -f- 2/7 + 2/7“ 4 + 4/7 + 2/7“
/7 n 1
+. . . + — ------------------— ] = a r c t g ( - )
n~ +2n(n) + 2n~ 3
Solución
Sea a., =
n
+
n
1 + 2/? + 2n2 4 + 4/7 + 2/72
/7
7 “7
/?“ -f 2/7(/?) -f 2/7“
Dividiendo entre/?“ al numerador y denominador
44 Eduardo Espinoza Ramos
r 1 1Cl — [—■— t------ :----i------------1--------:— I- . . . +
2 1
2 _]I
i r n~ o2 2 + 2 ( - ) + ~ j 2 + 2 « ( - ) + -
n n n n u n
= t
i + 1 1 J+ ... H-------------------------- ]
n ^ i „ j u ~ n
(—)2 +2( —) + 2 ( - ) 2 + 2 ( - ) + 2 2 ( - ) + 2 
n n n n n n
n
a a I < 7 7
1
).— , ahora tomamos límites:
— ( - ) 2 + 2( - - ) + 2 77 
/7 /?
//
lim an = lim
//—> JO I tT
1 1
/' " ' / J t ^ ( - ) 2 + 2 ( - ) + 2 77 
/7 7/
7
í/v
fi ^ J I
I — = arctg(x + 1) / = arctgl - arctg 1 = arctg(-)
J U v + ir + i / o 3
NOTA.-
tg z = 2
y = a r c / g l [ / g v = 1
r — / e v 2 - 1 1 1 1t g ( z - y ) = — = -—- = — = t g ( z~ y) = — => z - y = arctg(-)
\ + tg y Jg z 1 + 2 3 3 3
= tf/T'/g 2 - ¿7/r/g 1 = c/rcYg 2-
© Probar que: lim (2 + ------+ ... + — ) = ln 2A/->x /7 A/ + 1 2^7
Sucesiones
Solución
V i 1 1 1 x_ r n 1 1 i 1l i m ( — i-----------t - ... 4 ) — l i m [14— —■— h -----------] —
n n 4-1 2 n j 1 ^ , n n
n n
n
l i m - 4 - l i m [ — — 4-— “ ■ 4 - . . . 4 - — -— ] — = 0 4- j i m \ ' ( — -
-* L mJ/;~»x n H->« 11 4--- i _j. 1 +
n n
t i n
n
//—>X <- , /
/=) 1 + -n
d.x
o
—:— = jn^x + [) / - !n 2 - ln 1 - ln 2 - 0 = ln 2 
*4-1 / o
i- 1 1 1 1 . , .11 m ( — f"---------- f f - . . . 4 ) — 1 n ~
/;~>x n n 4-1 // 4- 2 2 n
22 r* i i r / n fl nC a l c u l a r l i m ( — ------- 4- — ------- --4- ... + — -------- 7 )
/>—»x 4- J // 4- 2■*>- 4- /7
Solución
l i m [” 4 7 ------ 7 4-. . . 4- —7 - ) - l i m [ - f -
/;->x/7- + i /?“ 4- 2 “ n~ + n~ "-+*> 1 + (1 )2 i +
n n
4-. . . 4-
1 4- (
u
- l i m
//—>x
‘j'i
¿/.Y /
 T = a /r /g -v /
1 4- A' ' 0
= a r e / ? 1 - arctg0 = 0 = —
4 4
46 Eduardo Espinoza Ramos
4 yjT
arctg(-) arctg(-) —
¿ 3) Calcular l im(----------— ------------ + -— -)
//->x 1-4-// 2 + /7 // + n
Solución
. L , 2 7Tarctg(-) arctg(-) —
l i m ( ---------- ^ + -- - - - - - - - - -2 - + . . . + 4 '
/;—>x 1 + // 2 + /7 /? + //
1 2 n
arctg — ¿//r/g — arctg — .
lim [----- ^ + -------- * + ... + ------ 2 - ] -
n—>rc 1 + a/ 2 4" n i _j_ ^ ^
n
_ " a r c t g ( - ) ,
, U m y _ i « - . i = f í í H í i * . . . d )
//—>*' ÁmmJ . ./" /? J, 1+A*, = 1 l + ( ~ )
n
Integrando por partes se tiene:
u = arctg x , _ r/.v
r/.Y —̂ 1 + a"
V ~ 1 + jc v = ln(l + *)
Í arctg x / ' f1 ln(l + A')---------- c/.Y = <7/'C7g a*. ln(l + a) / - I —
1+A- / 0 J[, l+.Y"
(/A*
2 , n 2 - f l ü ü f í * . . . ( 2 )
4 J» l + .v2
TC
Ahora haremos x = tg 0 => dx - sec" O dO , para x - 0; 0 - 0, x - 1; 0
í lní l ± A2dx = f ln(1.+. . ^ sec2 OdO1 + A'2 Jb \ + tg~0
Sucesiones 47
n
f4 l n ( l + tgü)sec~ O s e c " O d O
it 
•—
4
ln(l + tg6)d0
n
71
Como i + t g d =
n n sen (— ~ 0 ) + sen O eos (i + sen6 i
e o s 6 eos 0
2sen — cos(— ~ 0) \/~2 cos(~- - 0 )
eos <9 eos #
í Tt ti R ■ nln(l + jt)1 + x dx - j ^ 4 l n ( l + tg v 2 cos( 0)0)d0 = | 4 l n ----— - 4 - d Oeos 0
n
b
4 ln y¡2 d0 + ¡ ln(cos(“ - 6))d0
K ».
4
ln eos 6 d 0
iln(l + x) , '7i— .— — dx = — ln1 + x Á 8
712+f 71ln(cos ( ~ ~ 0 ) ) d 0 4 fn(cos O)d0 ... (3)
Sea U - — - 0 => du = -dO, 0 = 0; u ~ — \ Ó = — ; u = 0 
4 4 4
7Tr 71ln(eos( 0))dO =4 71
4
Wl
ínfeos u)(-du) = ln(cos«)í/i/
b
Í4)
Ahora reemplazamos (4) en (3) se tiene:
í I n ( l - K v ) , zr 1 n 2 --- dx = -------- +8
;r 
»—
4
ln(cost/)¿/u
/T►—
4
ln(cos<9)¿/$ =
;r ln 2
T ~
.(5 )
48 Eduardo Espinazo Ramos
Ahora reemplazamos (5) en (2) se tiene: 
arctg x n /Tin 2 tc
 —— dx = —ln2 ~ — ln 2 ... (6)
1 + x 4 8 8
Por último reemplazando (6) en ( 1) se tiene:
1 2 /r
arete— are te— — . ^
r / n n 4 . Tin 2lim(-------A 4-------------— + ... + —— ) = ---
x 1 -f n 2 + n n + n 8
Estudiar la convergencia de la sucesión {bn \n>j , donde: bn = yju"' .ih2 ,
P
con itp - l h— , calcular su límite si es convergente.
n
Solución
Sea A = lim bn => ln k = ln( lim bn ) = lim \n{bn )
//—»x n —»x n —>x
ln ^ = lim ln yju"' .u^ ...u"" = lim — ln(¿/|/| .w“2 )
n —>x /í—̂ x
lim —[«, ln í/j + w2 + ••• + **„ lnz//? ]//—>x
1 1 1 ^ ^
lim —[(l H— ) ln(l h— ) -f (l h— ) ln(l -i— ) + ... + (i h— ) ín(l + —)] 
/;-> x n n n n n n n
n 4
lim N ' (l + — )ln(l + —).— = j (l +x)ln(l + x)<:/v 
«-►o Z—J n n n J)
/=!
ln k - (1 + x) ln(l 4- x)dx = jn( i + x) - j = 2 ln 2
3
Sucesiones 49
- 2 ̂ 2-1 _2
ln A' = 2 ln 2 — => k - e 4 = 4e 4
4
3
l i m . « 22 = 4 ¿? 4
11 —>X
25) Calcular lim — kj(cw + b)(an + 2/7)...(a/? + /7¿)
 ̂ /?->* /7
Solución
Sea 6/; =~kj(an + b)(cm + 2b)...{an + /7¿>) 
n
h 2 2
bn ="l(a"+-)(a+ — b)...(a + - b )
11 n n
1 / O
ln(¿„) = — [ln(a + —) + ln(a + —.¿) + ... + ln( a + — b)]
n n n n
n 11
ln(bn) = j ln(a +—b )—, tomando límite lim ln(/),.) = lim / ln(a + — b).—
ÁmmJ n n n-+rc n->'i n n
/=1 /=!
ln( lim bn) ~ i ln(cz + bx)dx - [xln(cz + bx) + — ln(<rz + bx)- x]/
«->*. Jb b / o
, , # , ✓ , x . a 1 * , . # , <2 + /> fln(¿z + 6 ) + ln(zz + b) ~ i — ln a - ln(¿z + />) + — ln( ) - 1
b b b a
1 , w/ í ,tt~^b., I íci 4- /?) (zz + Z?) .
—[ln(<7 + /?) +ln( ) " ] - ! = — ln(- — —)~ l
h a b a°
50 Eduardo Espinoza Ramos
V
(a + ,b)«+/>
a l)a .e
lim bn = 11
11- v x
{a + b r n (a + b)
a
h
\ l a hV tí .e a
a h .e
26
a a a a
Calcular lim cos—.eos— .eos— ...cos —
//—»x 2 ?2 93 * 9"
Solución
Sea sen 2a = 2 sen a.cos a => cos a =
sen 2 a 
2 sen a
a a a a sen a
cos —. cos — . cos — ... cos —
2 2 2 2"
asen — 
2
a a
sen —r sen -
9~ 9
c/ ~ ~ asen— 2 s e n - - 2 sen—-
2 2 2
2 sen
tí
sen tí
2" sen a2»
a a a a .. sentí
lim cos —.eos — .eos— ...cos— = h m ---------
//—>T 2 22J //—>x 2" sen
a
»//
t í 1Sea Z = — n> — = — , cuando n —>oc <=> z —> 0
2" tí 2"
sene/ ..
l im --------------= sen a. lim
sen a .. 
lim
sentí sene/
(1) = . . . (2)
/ / —> X ~ / /2" sen
t í
2"
>o tí sen z tí r—>o sen z a a
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
Sucesiones 5 1
.. a a a a sena 
lim eos—.eos— .eos— ...eos— = —— 
w->x 2 ?3 7" a
27} Calcular lim n ( l - t g 2— ) 
" J #»-**■/= 1 V 7'
Solución
0 7 o e o s 'a - s e n 'X 1- t g ' xSea eos 2x = eos' x - sen ' a* = — = - — —
sen' a* + eos' a* 1 + tg ' x
l - tg 'A ' o 7 1 , 1 , 7 eos2xeos 2A' = ----- — = (1 - tg x) eos a* , de donde: 1 - tg ' x = —
sec' x eos ' x
lim ; r ( l ~ t g - ~ ) = !itn ( l - t g 2 ~ - ) ( l - t g 2 - t g 2 ~ )
n —>x /=1 7 //-» x . ¿ 7 “ x
a i a \e o s - ----- cosí----- )
.. i cosa ? 2" \ ,• cosalim ( --------- .--------— ...— — ----- ) - lii—L i m
/ ? ~ » x ' o a 7 a 7 a ' / /~>x / a \ / a \ 7 a
eos' — eos' — eos' — cosí — jeost —r )... eos' —2 7 7/; 7 7~ 7 n
eos . a . lim — -— . l im ----------— --------------- = cos .a ( l)(—- —) = ~—
sen a tg an ~ > r . Cl n — o Cl Cl Cleos— eos - e o s — . . . e o s —
2” 2 2 T
" /, 7 a \ a
lun /r(l - tg" — ) -----
„~>x/=i 2‘ tg a
2 8 ) Calcular lim ( —p J = r + --= : ----- + ...+ . - )
w" * x V / i 2 + 1 v « 2 + 2 ' y jn2 + n
Solución
Este límite se obtiene acotando, es decir:
5 2 Eduardo Espinoza Ramos
r i i i< <
\[ñ2 + // \[n2 + 1 \j n2 + 1
1 1 1< <
\//i2 +/? Vt?2 + 2 V/72 +1
, 1_ < 1_ < 1 _ _
1 y[ñ2~+~ñ yfñ2 +3 \l n2 + 1
1 1 1< <
V w + 77 Vaí2 + ai yfn~ + 1
V
sumando
1 1 1 1 1
H + . . . -f ,------- -------- — . H , ■ ■■ " f . . .
Vt?2 + /i V/2“ + 27 \¡n~+~n y¡n~ +1 v / T - f 2
1 1 1
-f < —===== + ...+
\ ¡ n 2 + n \[ñ 2 -f 1 y[ñ 2 ~ + T
77 1 1 1 / 7
H = = = = = - + . . . H ... r .-.r <
V a / 2 + /i V a / 2 + 1 V/ 7“ + 2 V / 7 2 + n V a / 2 + 1
Ahora tomando límite se tiene:
n / 1 1 1 \ . 77—==== < lim ( + f = )< lim —f = =
sin 2 + 77 V 7 7 2 + 1 v 77” + 2 v 7/2 + 77 V « 2 + 1
1 < lim . ■■■■:— H---1 + ... H ............. < 1
"~*x V / r + 1 V«2 +2 Vh2 +«
Sucesiones 53
. . 1 1 1lim —===r===r H ^ r . ~f
1J~n2 +1 yj n2 + 2 yfn2 + n
Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión donde:
S „ = 2 ( i ) + 3 ( i ) ¡ + 4 ( i )> + ... + ln + l ) ( I ) -
Solución
Sea 5 „ = 2 ( | ) + 3 ( i ) 2 + 4 ( i ) 3 +... + («+ l)(-i)" . . . ( I )
4 4 4 4
1
Multiplicando por — a la expresión (1) se tiene:
4
—S - 2(—)2 + 3(~) + 4(—)4 + . . . + (n -f l)(—);,+1 . . . (2)
4 4 4 4 4
Restando la expresión (2) de la expresión ( 1) se tiene:
5 + ( ~ ) 2 + ( - ) 3 + ( - ) 4 + ... + ( - ) " - (n + l ) ( I )
" 4 " 2 4 4 4 4 4
n+\
5 4 Eduardo Espinoza Ramos
l ¡ m S , = l i m ( í + l [ í ( l - ( V ) ] - í i l Í l ) )
„->* 3 12 3 4 3 4"+l
2 1 , 4 4 2 I 7
= — + — [—(1- 0)1 — (0) = — h 0 = —
3 12 3 3 3 0 9
lim S„ - —
" 9
3®) Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión \ S n } W>1, donde:
S = * *3 ~ 1 = (23 ~lX3-, -l) . . .( /t3 - l )
*=2A3 +1 (23 +1)(33 + 1)...(/í3 + 1)
Solución
" A3 - 1 (23 - 1)(33 - 1)(43 - i )...(/r3 - 1)
" ‘=2 A-3 + 1 (23 + 1)(33 + 1)(43 + l)...(n3 +1)
_ (2 — 1)(22 +2 + 1 ) (3 - l) (32 + 3 + 1)(4-1)(42 +4 + 1M )(<r + /; + !)
" (2+ l)(22 - 2 + l)(3+!)(32 - 3 + 1)(4 + 1)(42 —4 + 1)...(« + 1)(/¡2 - » +1)
Como n3 - 1= (n - 1 )(n2 + n + 1), (n + 1 )3 + 1= (n + I + 1) ((n + 1 )2 - (n + 1) + 1)
= (n + 2)(n2 + n + I )
_ " A3 — 1 1 .2 .3 . . . ( « — 2 ) ( /7 2 — « + 1 )(« — l) (w 2 + / J + 1)
" <=2A3 +1 9.4.5.6.7...h(//2 — 3h + 3)(« + l )(«2 - / í + 1)
1 .2 .3 .4.5.. .( /7 — 2 )(// — 1)(//_ + // + 1) \ .2.3 .(n 2)(n - \ )(n" +n + 1)
9.4.5.6.7.../?(/7 -i-1 )(/72 -3 /7 + 3) 9./z(/? + l)(/z2 - 3 /7 + 3)
,. . “ T A3 - 1 ,. 1.23 .(n - 2)(n - 1)(«2 + « + 1) 6 2
lim I I = l i m ---------------------------------------- = — = —
n —> xnk= 2 A3 + 1 w -> x 9 ./7(/7 + l)(/72 — 3/7 + 3)
Sucesiones
.*. lim
II —> X
n
~ T k - \ 2
k = 2 * +1
„ . . /H + l (« + 0 2 ' ( w + 0 " \Calcular lim ( ------ 4------------- + ... + - ------— )
n x a t a ? 3 n 11 *
Solución
/ r /2 + 1 (^2 + l ) 2 (tí + l)^ 1 -t 1 -v
lim ( I f - ------- + ... + - ------- —- +
// -> x a?“ /?3 n " r! ^
= lim ( [ i + ü ± 1 + C l l Z + ... + Í ” 1 - 1 )
/? n " // n n
lim[(l + (l + —) + (l + — ) 2 -f ... + (l + — Y ) - - - —]
w-*» n n n n n
l i m ( ( l + — ) - l ) ( l + ( l + —) + ( l + —) 2 4-... + ( l - f ~ ) w)
/ ? - > x n n n n
lim [(1 + - ) w - 1] - - = e - 1 - 0 = e - 1
« — > x / ? A i
• ]im ( iL ± l+ C í 0 1 + + (" + 1.) * )V 1 \ x... r f
n-+co a?“ aí a2
■•yc i
~>"n\
32) Demostrar que: l im - 0
« - 4 X f j n
Solución
Aplicando el criterio de la razón para sucesiones convergentes
56 Eduardo Espinoza Ramos
lim
//->X
J //+ I = lim
//—>x
(« +1)»+i
2 ".n \
= lim 2 -= lim«-»* 2"(n + \)"r'j¡! (« + !)"
= 2 lim (— )" = 2 lim[(l + — L )- | ''-rl,]”»+i = 2e~{ = - < 1
h-»x n + 1 «->x n +1 e
-*n l2 //!
Luego por el criterio de la razón se tiene: lim ------- = 0»-»* n"
(ir - 1 )(ir - 2 ) ( r r - 3 - » ) _ _ _
(;J2 + 1 )(/i2 + 3 )(«2 + 5 ) . . . ( i r + ( 2 n + 1))
33) Calcular lim
Solución
Sucesiones 57
l i m — t ( 1+ 2 + 3 4 . . .+ / i ) - l i m " —v ̂ 3
e ' " e ' ” 2"‘ e 2 —— - e l
l ¡ m ( l + 3 + S f . . . + ( 2 H + l l ) / i ( m -M) _P <— lim—1—í— ee- - 'r
( n 2 - l ) ( /¡2 - 2 ) ( r r -3 )...(/;2 -/?) ~.. lim , — ---------- ---------------------------- = e 2
a-*x +l)(/¡- + 3)(/j- + 5)...(«" + (2« + l))
Analizar la convergencia ó divergencia de la sucesión { P n }(l>], donde:
H i í T O O
Solución
i//l\/H\/H\ Sn\
Sea A = lim Pn = lim ) ( ) , tomando logaritmos en ambos lados
«-»x /j->x V 1 2 3 n
ln(”) + ln(”) + ln(") + ... + ln(") 
1 1 - 3 nse tiene: ln A = lim------------r———— -—
Por el criterio de STOLZ.
58 Eduardo Espinoza Ramos
O O (") . O
ln( r )*( f ) ( ”^“¡ - ) 'n( ^ —
("7) C ) O M( k )
ln A = lim ----------------------------- ——^--------= lim -------------- ------ ... ( 1 )
»-»« 2/1 — 1 2/1 — 1
9
Calculando el coeficiente — se tiene:
0A (/i-A )!A ! ( ai — 1 — A) !/í !
(ai - 1>! (ai — Ar) l(/í — l ) ! ai-A:
* (ai - 1 - A)!A!
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
(")
ln /r ( — —- )
4=1 (";) '-v,(",)) . < )
ln .4 = lim ------------------- .= lim — -— -— = lim ' ’
»->fn 2/1 — 1 «-** 2/i — 1 ° 2» — 1
( 2 )
*n( -------- <---- ) ln( — ) „ rz—
; lim n ' e : : £ E L = lim = lim lng ~ lnV ^
h->oc 2/i — 1 «-»« 2/i — 1 »-*«. 2/i — 1
ai—— ln 2 /r — ln // j j | i
: l im - ------------ ----- = ------0 = — = > \ n A = — ,de donde: A = e~’- = \ [ e
2 /1-1 2 2 2
Sucesiones 59
- Hm áQQ( ,)■••()=¿«->xy Ai 1 2 3 /?
3?) Si b| = !, ¿>N = —(2ó„_, +3) para 11 > 2, demostrar que la sucesión {ó(|}„2 i , 
converge.
Solución
Probaremos que la sucesión es creciente y acotada superiormente:
a) Demostraremos por inducción que bn < ó ., V n.
i) pm *n = 2 = > b-, = — (2/>. + 3) = —(2 + 3) = — => b| < b->
" 4 4 ' 4
ii) Supongamos que se cumple n -Ti (hipótesis inductiva) bh <
iii) Demostraremos que se cumple para n = h + 1, es decir, que se
cumple: bh+t < 6 / j +2 , entonces:
Como bll+i< b h+2 => - b „ < ^ b h + 1
1 a 3 1 , 3=í> - b n + - < - b h. , + -
2 4 2 4
=> I ( 2 6 „ + 3 )< i(2 ó „ +1+3)
entonces bh+{ < bh+2, cumple, por lo tanto : {bn }„¿l es creciente.
b) Demostraremos que }„>i es acotada superiormente ó sea b n < 2 .
i) Si n = 2 ó, = 2 (2 + 3) = — < 2 , cumple.
' 4 4
60 Eduardo Espinoza Ramos
ii) Supongamos que se cumple b h < 2 (hipótesis inductiva)
Demostraremos que: b h+i < 2 es decir:
b h < 2 => 2 b h < 4 2 b h + 3 < 7
=> - a b l l + i x - < 2 => v . < 2
4 4
es acotada,
c) Calculando el límite se tiene:
Sea b = lim b n => lim bn = lim — (2¿>„_, +3)
n—>x /;->x • 4
/> = — (2 lim b { +3) => b = —(26 + 3 ), de donde: b = —
4 «->* 4 2
lim b = —
/?->% 2
NOTA.- Si es una sucesión convergente entonces; 3 a , tal que:
lim a n = lim a„_, = lim a „_2 = a
n —> r n—>x >x
Q ó) Si 6, = 2 , =-(2¿>n_ |+ 3 ), analizar la sucesión {^„}„>| y si converge
calcular lim
//—>X
Solución
/?, = 2 , = — (2¿>„_| + 3 ). Demostraremos que se trata de una sucesión de
6
(CAUCHY). primeramente observamos que:
Sucesiones 61
b - , - b , = — ( 2 b , + 3 )- 2 = — 2 = - —, entonces: l é ,—¿,| = —
‘ 6 6 6 1 ' 11 3 2
1*5 _*2| - ( 2 b 2 +3) — (26, +3) 6 6
|6„-A n_ , |= - ( 2 V , + 3 ) - - ( 2 V 2 + 3 )
O o
= 1 (6 - 6 ) - 1 1 5 - 1 5 = > 1 6 - 6 | = - L !
l »-l w-2 ' 3 * 7/7~l ' 2 V 1 ‘ 7 /,_ l w *23 3 3"~' 2 3" 2
Además ló,,-6 ,1 < |6,l r l - b „ \ ; V j > n + 1 ..(1)
Como lim — = 0 , entonces V e > 0, 3 M> 0, tal que:
„ - * * 3« 2 3".2
< £ , V n > M,
5 , , 5
es d e c ir < £ => 3 > — , entonces:
3". 2 l e
. ln (---)
11 ln 3 > ln(— ) => n > -----------= m
2 c ln 3
( 2)
entonces: V n, j > M, tenemos de (1) y (2) , |óJ(- b ^ < < c .
Por lo tanto, la sucesión {ó,, }„>,, es una sucesión de Cauchy y por 
consiguiente es convergente. •
También que b n+l - b n < 0 es decir, b n+l < b n entonces: esyn+\
sucesión decreciente.
una
62 Eduardo Espinoza Ramos
Para calcular lim b „ , hacemos lim b n = r , entonces:
1 , 1 , 1 1 1 2r I
r = lim b „ ., = lim — (2 b „ + 3) = - lim b, , + — => r = — /■ + —=> — = — 
«->» ,,+l „->« 6 3»->* 2 3 2 3 2
Entonces r = — limé,, = —
4 »->* " 4
^ 7 ) Determinar si la sucesión {—j}„>| es creciente, decreciente o no monótona.
Solución
Sea S „ = — => S i = n + V n e Z + , n > 1, sumando n se tiene:
n 'sil ,! + [ +1
2n > n + 1 de donde al multiplicar por — se tiene: — > ^ - 7-, lo que es lo2" 2/J 2
mismo escribir en la forma:
, de donde: se tiene < S „ V n > l,por lo tanto la sucesión
2»+i 2"
’ es decreciente.
(38) Probar la sucesión V2 , x /ÍT f , \ ¡ 2 s [ U 2 ,... , converge a 2 .
Solución
A la sucesión dada expresaremos así:
a] = s/ 2 , a 2 = 7 ^ " , a 3 = ^2 a 2 «„ = V2 a » - 1 » n > 1 •
Ahora demostraremos que la sucesión es decreciente y acotada
superiormente por 2 .
Sucesiones 63
La demostración lo haremos por inducción matemática.
i) para n =1, a¡ = y¡2 < 2 y a\ = \ ¡ 2 < s j 2 s ¡ 2 = a 2
ii) Suponiendo que para n = h, ai, < 2 y ai, < ai,, i
iii) Probaremos para n = h + 1
a i,+\ = sJ2 a i, ¿ V? = 2 , pues 2a h < 4 (hipótesis inductiva)
=> a h+1 < 2 y a hM = < s¡2u, ,'+] = a h+2 pues 2a h < 2 a M (hipótesis
inductiva), entonces: a h+{ < a /l+,.Luego la sucesión {«„}H>| converge a 2.
Estudiar la convergencia o divergencia de la sucesión definida por ar, = s f l ,
1
*„+i = (2 + .v„)2 ,n e Z +
Solución
Sea ,V| = y ¡ 2
.v, = > ¡ 2 + \ Í 2 = - J T + x [
x-, — \j 2 + \¡2 + \¡ 2 — y¡2 + as
x „ = yJ2 + x n - \ ■ Para n > 1 ■
Ahora veremos si es una sucesión no decreciente y acotada
superiormente.
64 Eduardo Espinoza Ramos
Se observa que: x, = s ¡2 < 2
x2 = - J l + \ ¡ 2 < 2 , donde: x, = y f l < s j l + s / l = x2
x3 = y j l + Xi < 2 .donde: x2 = s ¡ 2 + \ Í 2 < y ¡ 2 + \[2~+ s Í 2 = x.
es decir, que: x( < x2 < x, < ..., luego {xn }w2.j, es no decreciente.
Ahora demostraremos que es acotada superiormente por 2, probaremos esto
por inducción matemática.
Sea n e Z + tal que: x„ < 2 y x„ < x„+1
i) 1 e Z +
ii) Suponemos que h e Z + es decir: x h < 2 y x h < x/l+, . entonces:
x i,+1 = s j 2 + x h ¿ ^ 2 + 2 = 2 y xA+l = y j x [ +~ = y j 2 + x ,, < y l 2 + x h+, = x/)+2
Por hipótesis inductiva, es decir: h e Z + => h + 1 e Z + esto demuestra 
que: {x„ }„>), es no decreciente y acotada superiormente, entonces es 
{•v«}«2i» es convergente.
Sea lim x„ - a y desde que x„+, = y¡2 + x n
/;->x
lim xn+| = a => a = s / l + a => « 2 - a — 2 = 0
(a - 2 )(a + 1 ) = 0 => a = 2 y a = - I 
Luego se toma a = 2 por ser sucesión de términos positivos
.'. lim x„ = 2
Sucesiones 65
40) Sea {»„ }„>, una sucesión en R. definida por: «, = 1,
m2 = 2 , , para n > 2. Estudiar la convergencia ó 
divergencia de la sucesión y en caso de convergencia halle iim u n .
n ->x
Solución
Por definición de la sucesión se tiene
► u , = 1
« 2 = 2 además u„ = - ( « , ,_2 +w„-i)
a, =i(«2 +H]) = I (2 + 1) = !
"4 = ” (»3 + “2) = \ ( | + 2) =
1 / ̂ 1 / 7 3 . 13»5 = - ( « 4 + « 3) = - ( _ + - ) = —
1 / X 1 / 7 13x 27''6=-(»5+»4) = -(̂ T + ̂ T)=̂ T
\ , . \ , 2 1 13. 53
I 1 ,1 I 1 I I 1 I I 1 I I 1|«2 —"l| = l . h - « 2 |= 2 > l“4 - » 3 |= p - , |«5 — «4| = —y , |»6 - « 5| = — ,
Iu-, - u A = - V |¿/ , 1 —11 I = — = — como lim — = 0 , entonces, podemos1 ' "i 2 2" 2" "->*■ 2"
encontrar n tal que: -— ■ < e , entonces V n. j > M.
66 Eduardo Espinoza Ramos
Tenemos |«„ - a y| < —— < e , luego {u n }„>|,es una sucesión de cauchy, esto 
es que V e > 0 , 3 M > 0 / n , j >M.
i i 1 2 2
=> \a„ - a ¡ < —— < £ => 2 " > — donde: n ln 2 > ln — => n > -------- = M > 0
1 71 2 ¿r ln 2
por consiguiente {m„}„>| es convergente
TEOREM A.- Si {»„}„>, es una sucesión convergente, entonces cualquier 
subsucesión de la sucesión }„>i converge al mismo punto.
Hallaremos una subsucesión de {»„}„>]•
I 1 I
M i — 1 , ¡ o — l - l — , Uc — 1 H 1 — , U - > , i — 1 H 1 — + — 7- + . . . H - r1 ’ J 9 2 9 ** 2 9 9 >y2n-\
4
lim u2„+l = lim (l + ̂ ( l - ( ^ - ) " ) ) = l + -r = |<(->« 3 4 3 3
5
Luego por la conservación anterior se tiene que: lim u n = —
II-> T . 3
© La sucesión { u „ }„>, está definida como sigue: u, = 1,
m2 = -y/üq",..., u „+1 = y j 5 u n , analizar si {m„}„>| , es monótona y acotada, 
calcular el límite si existe.
Sucesiones 67
©
Solución
Primero veremos si {«„}„>| es una sucesión monótona, como 
»i = I, i h = y j s ü ” , «3 = ^ 5 u 2 u n+1 = ^5«„ , entonces :
//, = 1, i/2 = \/5, «3 = VóVs, «4 = \ S y f 5 J 5 es decir: /<, < < «3 < »4 <„.
Luego la sucesión {«„}„>] es una sucesión monótona creciente.
Ahora veremos si {«„}„>] es una sucesión acotada, de la definición 
tenemos: u n >1, V n e Z * además como : - J s < 5 => 5 y Í 5 < 25
=?■ S ^sT s < 25 V 'T /w f < 5 .....<5
entonces: i/n < 5 , es decir: 1 < u n < 5 , V n e Z +.
Luego } „> i es una sucesión acotada, por consiguiente la sucesión {m„ 
es convergente, entonces: lim u H = 5 , pues la sucesión es creciente.
n—»x
También podemos calcular lim u „ , haciendo r = lim u n , y como
/?— //—>x
“»+! = -v/ów,, , entonces lim n„+1 = lim => r = Vór => r 2 = 5r , de donde: 
r = 0 v r = 5, entonces lim u n = 5 , no puede ser cero (“0”) pues la 
sucesión es creciente y U„ > 1, V n e Z +.
1* +3" +5* + ... + (2 « -l)~Calcular lim
«->*> l2 + 22 + 3 2 + . . . + H 2
68 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
lim — = lim 1 = L
/i-*oc h /»—>cc h — h .n n °/i- 1
ir/,, = 1" + 32 + 5 2 + ... + ( 2 / i - l )2 = l2 + 3 2 + 52 + ... + ( 2 n - 3 )2
[ó„ = 12 + 22 + 3 2 + ... + //2 {¿„_i = l2 + 2 2 + 3 2 + ... + ( / / - l )2
an a n_, — {2.n — 1)~, b n ~~bn_ ¡ —//
,. a(l I2 + 3 2 + 5 2 + ... + ( 2 / i - l )2 K (2/í - 1)2 „
lim — = lim r-5— r — = lim ----------- —̂ - 4
«-»* h «->* 1- + 2 - + 3 - '|->x n~
I2 + 3 2 + 5 2 +... + (2 /í-1 )2 ,
l i m — —̂ = 4
n -> r . ]- + 2 ‘ + 3' + ... + /T
43) Calcular lim H Í ± Z ^ l í 2 í L Z r l ( C0S¿)--
»-»» / r + 7 /) + l n
Solución
1 + 4 . + 7 4 - + n « — 7 1 x
lim
1 + 4 -f 7 +... + (3/i— 2) / t \„ 
( e o s - ;
n - + 7„ + ]
1 + 4 + 7 + ... + (3 /i-2 ) .. / í> , ...
= lim lim (cos—j ... (1)
//->* W- + 7W + | a -*x n
1 + 4 + 7 + ... + (3aí — 2) . . . .
Calculando lim (por el criterio de S iO LZ)
«-»* + 7/j + 1
a(i = 1 + 4 + 7 + ... + (3m_ 2 ) ía„_t = 1 + 4 + 7 + ... + (3 « -5 )
Sucesiones 69
1+4 + 7 + ... + (3/7-2) a ,• 3/7--2 3
lim = lim — = lim — — = lim = — ... (2)
"-»* ; r + 7 « + l ' //„ »-»-'* b n - b n_, «->*2/7 + 6 2
Sea 2 = — => ií = — , cuando n —> x , z —> 0 
« r
i 1 /(cosr-1)
lim (eos—)" = lim (co sr)- = l im [ ( l+ (c o s r - l ) ) cos-_1]
/(—>x f¡ r—>0 - A
l¡m,<“*£z!)
= -- = <? = 1 ... (3)
Ahora reemplazamos (2) y (3) en (1)
1 +4 + 7 + ... + (3» - 2) / t /• 3 \ / \ 3
l ,m 3 I : ( e o s - ) = ( - ) ( ! ) = -
"->*• n ~ + 7/7 + 1 // 2 2
( í ^ Analizar la convergencia ó divergencia de la sucesión {i/,,},,» donde
/30" +40" + ... + 600"
"~V ñ
Solución
V n e Z \ 30" < 40", 40" < 50"...., 590" < 600"
600" < :-—— ■ < 58.v600", donde: 58 es el número de sumandos
n
600 < -l30* + 4°* t ™+ 60ÍL a 600,58-
. V n
Luego según el teorema del encaje (1.8) se tiene :
lim 600 = lim 600.v58" - 600 de donde : lim + . . . + 600 _ ^ q q
«~>x \ n
por lo tanto la sucesión es convergente.
70 Eduardo Espinóla Ramos
45) Calcular lim ^ ± Ü ü í
3n + 5/1-2
Solución
J an =sj l + l2 +V1 + 22 +...+ Vw
=>i
= \/l + l2 +sl\ + 22 +... + y¡]
[¿„ = 3/i2 + 5 /I -2 k - , I
I KJ 1 7
Ahora aplicamos el criterio de STOLZ.
b n «->» - b „ - \ " ~ yr- 6/1 + 2 6
'/ l + l2 + \ J \ + 2 2 + . . . + sJ\ + n 2 1lim ------
3 /r + 5 n - 2 6
4ó) Calcular lim — ln[(l + eos— ) ( l + eos— )...(l + cos— )] 
«->x n n n n
Solución
Aplicando Riemann se tiene:
lim — ln[(l + cos—)(l + cos— )...(l + co s— )] =
«->» n n n n
= lim — [ln(l + eos —) + ln(l + cos — ) + ...+ ln(l + co s— )]
«->x n n n n
« r
= lim — % ' ln(l + cos— ) = I ln( 1 + eosa)í/.y •••(!)
«->x n n J,
/=1
Ahora calculamos la integral ln(l + cos.v)r/.v, mediante la introducción de 
un parámetro.
Sucesiones 71
Sea F ( a ) = f ln(l + a eos x ) d x , derivando con respecto a a .
F \ a ) = I C° S V— d x (integración de función racional de seno y coseno) 
1 + a eos x
0 -v 2 d z 1 - z~
Sea tg — = z => d x = c o s .v = ---
2 \ + z 2 1 + z
para x = 0, z = 0 ; z —> «
1 -z
PfW V/A* I
F \ a ) = Ír eosx d x 1 + a eos x J, 1 + -2 2 d z1 + «(,--1 +z~
=2f _______ =-2fi) fl + z2 + a ( l - z 2)](l + z 2) J,
(z 2 - l)d z
[ l + z 2 +<2' ( l - z 2)](l + z 2) i , [l + « + (1 -a r )z 2 ]( l + z2)
2 r (z 2 - l)r/z 2 r ____(z 2 -lV /z
1 - a J, ( l_ l« + .:)(1 + .2) a - 1 J, ( z 2 + a 2) ( z 2 + l)
i - a
donde: a =
1 + a
11 -a 
calculando la integral f (c2 - 1)<7: 
J ( z 2 + a 2 ) ( z 2
72 Eduardo Espinoza Ramos
= A ( z 3 +z) + C ( .3 + a 2 z ) + B ( : 2 + \ ) + D ( : 2 + a 2 )
= ( A + C ) z 2 + ( B + D ) z 2 + ( A + a 2 C ) z + B + a 2 D
A + C = O 
B + D = \
A + a 2C = O 
B + a 2D = - 1
zl = 0 
B " 2+¡a2-i
C = O
D = —
(3)
reemplazando (3) en (2) se tiene:
f (z2 - \ )d z a 2 4-1 f d z 2 j* d z
J(z2 + «2)(z2 + 1) ~ a2 -1 Jr2 +a2 a2-l Jz2 +1
t r + 1 1 z 2= ——arctg —arctg za -1 aa a2-1 (4)
Ahora reemplazamos (4) en (1)
2 r«2+l z 2 rF'(a) =-----[—— - arctg —̂ arctg z] /
a a ' - 1 ' cl - a a ' -1 a
2 a +1 1 n
\ - a a 2 -1 a 2 a 2 -1 2 J
;r ^ a ' + l - 2 a ^ _ n ̂(a -1 )" ̂
l-a (a2-l)« l-a (a~-\)a
1 + a
FXa) = — = Vi-a jl-a (« + !)« l-a l+ar + |l+a
l-a v 1 -a
Sucesiones 73
K (Vl + ff - s f \ - a )Vl-ar
l - o 1 + a + V¡ + o Vi - o
n ( Vl + o - -J \ - a ^
\ / l - o Vl + a ^ - v / l + o + V l - o j
71
71---- .
Vi - o 2 
ti a re . s e n a + k , pa ra
F(0) = 7i (0) - n (0) = k = 0 => k = 0 , de donde: F(a) = n a - n are.sen a .
F( a ) = JT ln( 1 + a cos x ) d x = Tía - n aresen a
F(l)= f ln(l + c o s x ) d x = t i - t t Í — ) = x - —
J, 2 2
Í 7) Calcular l i m * + ^ . + ̂ ■t ,".+ /?- , sjn usar Riemann.
a >00 n '
Solución
Aplicando el criterio de STOLZ, se tiene: lim — = lim — — = L , donde:
" ^ b „ - b n A
ti , 2(1 - Vi - o 2 ) s , i - Vi - o 2 \^ —T=r~ ) =
Vi - O 2 Vi + o s f l - a 2
Ahora integrado F ( a ) = I( /T - ^ — ) d a + A = ;t u
J V i - o 2
c a l c u l a r k h a c e m o s a = 0.
í</„ = 16 + 2 6 + 36 +... + k6 í«„_,*= l6 + 2 6 + 3 6 + ... + (m-1 )6
U, =»? =(«-D7
74 Eduardo Espinoza Ramos
lim ^ = lim ü " = lim — ----
- 6(,_! «-»*7« -2 1 /í +35/t -35 /;'’ + 21«i -7/7 + 1
* lim 1
21 35 35 21 7 1 7 _ o + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 7
7 - + — + T
n i r n n n n
lim
l6 + 26 + 3 h + ... + /ih
' p + 2 P + 3 P + . . . + n p 1
48j Demostrar que; lim ———------- = ------ Si P > -1.
n->» n P + 1
Solución
\ p + 2 p +2>p + . . . + n p t í 1 \ p /2\/> í n \ i ’ ~\ ^
lim j - f - = lim L (-) + ( - ) +•■• + ( - ) J -«-** n «->* n n n n
« l i m Y ( ^ ) ' \ - = [ x p d x ' o -
n-* > n n J, P + 1 / ü P + 1 P +
lim
lf + 2P + 3 P +... + n p 1
p+l P + 1H-*X „
49) Sea a g R, arbitrario, »„(a ) = 1 ° + 2 “ +...+n° . Calcular lim — -----
n->x t¡ i/j; (í/)
Solución
, . , n _ n ü • i 1 \ .0+1 — íí +• I Í7 +1 í/ + ]í//;(a ) = l + 2 +...+/* , entonces:^m;i (# + 1) = 1 +2 +3 +...+//
n u n ( a ) = n \ + n ¿ + . . . + n
Sucesiones 75
//„(« + 1) T'+l + 2U+I +3"+l + ... + h"+i
lim ------ = lim --------------------------------;----- , para a = O«->*• mtn(a) n\“ +n2a +... + n
1 + 2 + 3 + .. . + n /?(« + !) 1
= lim -------------------- = lim ------- -— = —.
n - n . n + n + ... + 11 2 n ~ 2
Ahora calculamos para a > 0 (aplicando el criterio de STOLZ)
"~* k n u „ ( a ) «->* / i ! í „ ( a ) - ( « - l ) í / „ _ , ( a )
(l"+l + 2"+i +... + /7‘,+l) - ( ! " " + 2"+l +... + ( /7 -l)“+l)
= lim
( n \ “ + n 2 “ +... + 77./)1' ) - ( (« -1 )1 " +(77-1)2“ + ... + ( /j-1 )( /i-1)" )
1
= lim ------------------------------------ (nuevamente STOI.Z)
«->-/ i° + 2U + .. .+ (/7 - 1)1' + 11.11“
7í"rl - ( / / - l ) ‘,+ i
: l i m ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(1" + 2U +. . . + (77-1)" + / 7 . f l " ) - ( l " + 2" +... + ( 7 7 - 2 ) " + ( / 7 - l ) ( / ! - l ) " )
1 + «, a >0.
Simplificando: .-. lim ü d £ ± !> = <£±Ü , a > 0
»i-»® 7777„(fl) 2
® 1 + ¿> eos — 1 + b eos ■—Calcular lim ~ [ ln ( M + ... + ln(-------------^ - ) ]
il-* x - 77 , /T , 77/T1 + £7 COS — 1 + C7 COS-----
11 II
Solución
76 Eduardo Espinoza Rumos
1 + b cos ~ 1 + 6 eos —
|,m £ [ , „ ( ----------- ! L ) - .. . + ,„(. JL .)]
a— ¡i x n x
I + a cos - - I + a cos —
// n
= lim — [(ln(l + b c o s —)+... + ln(l + b c o s — ))-(ln(l + c i c o s —)+...+ ln (l+ a eos— ))] 
n n n ti n
= lim — [ N 1 ln(l + b eos——) - N ' ln(l + ¿/cos— )]
n-+ x n ¿ — 4 n n
li a
Z
Í X X I X X
l n( l+6cos— - lim > ln(l + a c o s— ).— 
n n «-»* ii n
<=i /=i
= í ln(l + b c o s x ) d x — JT ln(l +acos.v)c/.v
/1 + Vi — b~ \ . /1 + Vi — u ~ \ , / ! + Vi — b~ \
: n ln( ) - a ln( ) = a ln( r = f )2 2 1 + Vl-w
JZ H7T1 + b eos — 1 + h e o s — , , f. 73
lim —[ln( J . ) + ... + !„(■----------- JL_)] = /Tln( ------j = )
H-+X X n x I . J i , , -1 + a cos — ! + a eos — i + v i «
n n
1.14. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión:
( - i r 1,. ^ , a o ¡
• . , 5 ! » 2 I
n + \ " w n ^ ( 2 n - l l
7\ ( (-l)".v2"~' , ^ (Cosw.v, ^ ( n ,' r i so iv"21 >£/ ' 2 i,» ,/»>i1.3.:>...(2//-1 ) ^ t i + n 3 + 1
Sucesiones 77
II.
i sen— 1„21
Escribir la expresión para el n-ésimo término de la sucesión.
© 1 ,4 ,7 .10 ,...
n i r
© -1 ,2 ,7 ,1 4 ,2 3 ,...
W W 3 4 5
III.
© 2 ,-1 , — , - — , — ,... 
w 2 4 8
© 2,1 + —,1 + - ,1 + —,... 
W 2 3 4
1.3 1.3.5 1.3.5.7 
Usando la definición de límite (1.2) demostrar que:
©
4 -2 ai 2 
lim--------= —
«-»* 3/7 + 2 3 © lim " = ' 2« + l 2
©
1 + 2.10" 2hm------------= —
"->*■5 + 3.10" 3 ©
,. 2/7 + 1 
Inri------- = 2
»-»« n + 3
© lim k = kn~»x © ,im(2+(- , r ) = 2w->cc n
© 4n +1 4lim -------= —"->'* 5/7-4 5 © lim — = 0 i r
i
lim 3" = 1
íí—>x
© r %n alim--------= 4
»-** 2/i + 3
© sen/7 lim-------= 0H->X a ©
3/7 2 — w — 1
lim —----------= 3
«-»* /;“ +« + !
© 5-/J 1lim--------= —«->*2 + 3/7 3 © lim (o + -y ) = a//—►ce
78 Eduardo Espinoza Ramos
IV.
lim
->00
17
Calcu
©
©
©
®
©
©
®
1 + 2 + 3 + ... + « 1
//3 ~ 3
5/i“ + 8/i + 1 ,
u n -----— = -5
5 + 3n - l i ­
a r los siguientes límites.
. Vv -5/7 + 4un
->°° 2/7“ + 77
( i - s f ñ x J ñ + 2 )
8 /;-4
l2 + 2 2 + 32 +... + T72un------ -------
l * + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 
(l + //)(2 + / 7 ) 2
im ( \ f ñ +1 — %/« + !)
« + í7\2„+3tm(—-)
- > * 77 + 1
( a " + b " im V—r—)—>X ¿
im ( s j n 2 + a n + b - v n 2 + a ' n + b ' )
->00
I
( 9) l imÍ2 + 3/74 )^
17—>00 ' '
16) lim ■%/7z + l — \ ¡ n ~ \ = 0
Rpta: 
Rpta: -
Rpta: 
Rpta: -
Rpta: e
Rpta: e2(o-l)
Rpta: \ f a b
Rpta:
a - a '
|3+21n(»+l) Rpta: e 4
Sucesiones 79
® lim s j n 2 + a n 2 - s j n 2 - a n 2/Í-»X Rpta:
2 a
3
I3 + 2 3 + 33 + ... + n3 
lim -------------------------- Rpta:
1
«-»X, 2« + 1 1 - 1 8
©
1 + 3 +5 + ... + (2 / ; - l ) 2/7 + 1 
Inn —------- -----------------------------
«-«o n +1 2
Rpta:
3
2
©
, . 1 1 1 1lim - + — + - + ....-t-----
»-»«2 4 8 2"
Rpta: I
© lim («Vi* - n )/!—»oo ' ' R pta:
ln(or)
© lim ,n^ + e " ^ R pta: 1
© lim n 2 (eos—- l )¡I R pta:
1
2
©
(3 n 2 + l)(l - e o s —) 3
lim " Rpta:
(#|2 _ 2)ln( , + _!_) 2
© íim ( ln(,,fl))]„«"' 
» - » * ln(/i¿>)
Rpta: * § )
© lim -4^(6 + 18 + 30 + .... + 6(2/z — 1))n - > x n -
Rpta: 6
80 Eduardo Espinazo Ramos
i- sin +1 —sfñ i2/— _ 32 l) lim —= = ——=• \ íh Rpta: —
3«4.sen: ( —)ln ( l+ — )
2 2 ) l im -------------------- 2 - Rpta: 3>/2
(m + 2)cos( ™ ) 
v4 n + r
23) lim ŵ ~ .1. Rpta: 1
«-** ln(/j)
(25) lim i*/tg(—— - ) Rpta: 1
« - > » \ 2 / 7 4 - 1
_ i - i - r~
(2ó) lim n(arctg/zn)[(l+ —) 2 - ( l + —) 4 ] Rpta: -------
g ) l im - i r í " ) RPta: y
28) lim (W + 1)e ‘— - Rpta: 0»-»« ne "
Sucesiones 81
g ) iitn[3(-1l +-3' +52+; + (2l,- |)2)P" Rpta: 1
»->X 4,,-1
i- (n + ’l)ln(n) + ln(« + l) " „32) lim - - ■■■ ■ ...... Rpta: 1
" «-»* ' ln(/i)
33) lim eo s--.eo s—...eos— Rpta:
^ 4 8 2"
35) Detemiinar el límite de la sucesión.
($7) Calcular lim [a + * +C ]», a. b. c > 0
/i—va. ^
1.2 2.3 w.(n+1)
40) Calcular lim —-— + —-— + —!— + ... + -
34) l i n ^ - ^ — + - - -— + ... + ̂ — ) R pta: —
^ » - » * 2: - l 3 - 1 / r - 1 4
y¡2 + J 2 , ....... • Rpta: 2
” + 3
(36) Calcular el límite lim (— ) " Rpta: e
«-»* + 4„
í i 1
-a» +¿1" + c" •
, 0 , , , , , (4,í + 7)4"+V - 5 n . 6438) Calcular lim a„ , si a„ = — Rpta. —
« -» " • (I6/1+ !) (« +3)
(3?) Calcular l im(— 4-----+ Rpta. 1
/»—VX - - - - -
«-+«.1.2.3 2.3.4 3.4.5 //(// + !)(« + 2)
82 Eduardo Espinoza Ramos
V.
0 Calcu|ar |jm sen e )sen(i- )lnt/, 3 , , - - 2 n - 4 )
scn( — — )sen(— )ln(/í4 - 4 « 3) 
+ 2 e " 2 + e ' "
42) Calcular lim [>/« + 1-V/J + 1]■Jn (43J Calcular lim
II—
(1 + /?)'4//
2> ’>"
<=1
■ a " + c " ■44) Calcular lim [——— ], a, c > O ~ 2 lim \ln2 + 1 - s jn + 1
® lim s j l n * + 51/ ' + 1 - s j l n * - 3/íh + 5n//—> /
1 y j/ i 2 + p n + c/ - \ J 11~ + n i + s
Calcu
©
©
©
©
©
ar los siguientes límites aplicando los criterios que les corresponde. 
2 3 4 rt + \
1111 •(t + 7n 3 4 5 n + 2 )
im — ( 2 2 + 2 * + 2 8 + ... + 2 2'~) 
-»* 5 n
I i 7 2"-l
Rpta: 1
Rpta:
1 } 7 ■2" -I
7 ln(7”) ( 52 +54 +5S +,.. + 5 r )
s / l - 2 7 n 3 ln<9” )
/ . 2 \ / l n 2 ln 3 ln(«)
im sen^2^cos—^ H------- + ... + -
n ln 3 ln4 ln(n + l)
)
mi í'i
->*V3« +2« + l 6 12 6n
Rpta:
Rpta: 0
Rpta:
35
Sucesiones 83
® , / i n J Ino l n i « \ „lim " 5 n ( -----.------- ... ) Rpta: 1»-»-V In7 ln 14 ln7»
© lim — + +... + 2sl22n- ' ) Rpta: -
n-»x 9 ri 9
limii
® r (V 25)n + (V 4 0 ) ''+ (V 6 4 )" lim [—------ ^ — ! _ Y Rpta; 4o
2 5 10 ; r + 1
ío) lim — (3 4 + 3 7 + V ~ 2 + . . . + l " : + i ) Rpta:
- ^ /)->* l n
(T í) lim Rpta: -
w n->* V 8 23 5i r + 1 • 5
VI. Calcular los límites siguientes:
/"T\ \ + 2s¡2+3yf}+ ... + nJ7i 2
( 1 ) lint - - - ■ - r- ~r=------------- Rpta: —
W /; \ f ñ 5
( 2) lim (— — r + — - —- + ... + — — 7 ) Rpta: —
n-»x (/; + !)" (« + 2)‘ (/í + /j)~ 2
84 Eduardo Espinoza Ramos
C s ) lim(~!~ + — - —- + ... + —í-r-) Rpta: O»-»* n~ (n + 1)" (2n)~
© lim Rpta; 1 (2 7 2 -1 1
«-»* n 3
( 7 ) l im( L = + ,—1=zt= + ...+ ■ - ■■■ ) Rpta: \r \(\ + sÍ2)w "^\f77\ fu-+2- V777
D lim ( 2 + V v + - + X* ° RPta:n-»« /j- -t-1 ~.v_ n ' + 2 ' x n ' + n ' x ~
arctg .v
® l n 2 71 i i t t „ 1lim "/sen— .sen — ...sen— Rpta: —»->%V 2 n 2/7 2« 2
lim -íj- V P c p "
n-*y. yi~ iw i d
P=\
10) lim ~~T / P e " Rpta: 1
. ¡_ . |
® I¡m — ( e " + 2 e +... + //.e_l) Rpta: —( l — )m-*oc M- 2 e
r. ¿ \ , l r ^ 2 n 2 n i 2n « — 1 •>«-! i12) lim —[sen —.eos"— i-sen — eos" -i-... + sen ;r.cos n J
«-** n n n n n n n
2
R pta: - —
3 n
| _
lim — y j ( n + 1 )(/7 + 2)(/; + 3)...(/; + /;) Rpta: —
//—>x ¡i e
Sucesiones 85
. . . .. 1 + 2“ + 3r/ + ... + «“
15) lim — Rpta:n“+l ' a +1
1 2 n
16) lim sen (-^ -)(e " + e " + . . . + e " ) Rpta: tt( 1 — <?_ l)H-»X. /( + 1
(¡7) Si f(x) es continua en [a.b]. Demostrar que:
lim ^ f ( a + k — )= f f ( x ) c l x
n->x n +—+ II 1 ,
k= I
18) Demostrar que: lim —(sen —+ sen — + ... + sen——-/)=-* C° SÍ
19j lim - [ - J a 2 —V + ~ J a 2 ~ +... + - Ja 2 ~ ] ̂ n a V ir a v n~ a \ ir
r. b H r a b IRpta. — S a ~ - 1 + — arcsen —
2 a 2 a
® 3 3 3Calcular lim[———r + —r ~— r + --- + ~r~— r l V+l4 /; + 2 n4+n4
sÍ2Kpta.
(2 l) Calcular el limite siguiente:
Rpta. -1 1 1 (3 + 2 7 2 ) - ^ ^ 
8 16
lim e m " s e n ( e l00" ) s e n (— )[(1 + - ) 2 +(1 + —)2 +... + (1 + —)"]
5// - 6 1 2 n
© Calcular lim — [ y ¡ 2 + y ¡ 2 * + . . . + 2̂ 2 2"“' ] 
»->x 5/7
86 Eduardo Espinoza Ramos
VII.
23} Calcular lim [1 ̂ + 2 r + ... + « /,][tg—
(24) Calcular lim — [—
«-> /. n
s e n ( - ) ( ——) sen— ( — ) s e n ( - - ) v n . v 11 n | \ " n 1
2 x - 2 . 2 ti _ 2 o r r
|+ cr,c _ i+CUS — l+cos -
IT - n «
n
. s/í + 2 \¡2 . +... + n ' i f ñ 325} lim ------------n r --------- Rpta. -
a >x «“Vn '
@ lim — <j/(3aj + 1) (3// + 2)...4m Rpta.n —> x /7
1 .nr — ------—— — „ . 256
2 1 e
27) l i m- [ ( « + — )3 + ( « + —)3 + ... + ( «+ — )3] Rpta. a 3 + ^ ü
2
^ 8 ) Calcular el límite de la sucesión {«„!„>,. definida como:
« + 1 / 7 + 2 2/7 „ . 3- + ... + - Rpta. -
n 2 1 2 1 An +1 n + 2 n + n **
Determinar si las sucesiones dadas son convergentes ó divergentes.
© RPta: Converge.
n~
® n Rpta: Diverge.
n
{■Jn + 1 ->/«}„>) Rpta: Converge.
© {— s e n ^ - ¡„ s , Rpta: Diverge.
« + 1 2
Sucesiones 87
© , *• , Rpta: Diverge.V + IO*’" 1
© R pta: Converge.
© D ¡V Rpta: Diverge.
® { ln (n )-ln (« + l)}„2| R pta: Converge.
®
j \Jn sen(e'V) |
1 n + l ln£l
Rpta: Converge.
® { j V " v 4 „ „ Rpta: Converge.
©
n
Rpta: Converge.
© {yjn(n + 4) -«}„>, Rpta: Converge.
© ! f : £ ^n
R pta: Converge.
® {yjn + sfñ - \jn - yfñ } Rpta: Converge.
t \ l n 2 + 5n - ! - \ / « 2 + 3) Rpta: Converge.
1 U s T i
88 Eduardo Espinoza Ramos
{T 7T UV n + v n
Í8) {4r+4 +...+4}Jftl
r
n ! "í«>i
VIII.
A. Demostrar que:
(T ) l im— = 0 
w a—*o n !
B.
( T ) lim 5 - ^ = 0 , a > 1
( s ) lim a " = 0 si 0 < a < 1
( 7 ) lim = 0
^ «-»' ( 2 n ) \
© f ln(2 + i? ,1 , í «>i3 n
(2w)
© lim \/« = In—*rr
( ? ) lim
(10.000)''
= 0
( ? ) lim = 0 
«-»* ( h ! )‘
8 ) lim Ííi!2— = 0
® lim s ¡ a " + b " + c " = c . si a, b, c > 0, c > a, c > b/;—>x
a(a - ! ) ( « - 2)...(« - n ) x "
(10J lim
//—>x
= 0 si x e <-l . l>
Hallar el límite de las sucesiones siguientes cuyo n-ésimo término es: 
( 7 ) a n = -s fb* ~ y fh * V b 2" Rpta: b
Sucesiones 89
® \¡>r + >r +1 - si ir + «4 + 1 2
a„ = ■ ■■ , ■ - Rpta: —
Vn2 + n + 1 - s j n + n 2 + 1 * ^
a„ = s i + n+ \ - sin'* +4n~ + \ Rpta: -
® 1,0.1,0.01,0.001,... Rpta: 0
® — , — , —í— , Rpta: 1W 1.1 1.01 1.001 1.0001
© s ¡ 2 , V2 W 2 . ^ 2 + 72 + 7 2 ,... Rpta: 2
( ? ) 0 .2 ,0 .23,0 .233,0 .2333.... Rpta: —
W 30
® V2 , ^ [ 2 j r .... Rpta: 2
® {7 « (7 « + l -%/” )}„>! Rpta: —
® <5̂ - » - «p» 5
® í « 2 3 sen«!i _{ — ,„2I Rpta: O
11 +1
lim ^ +1
límites.
C. Si a n > O y lim + , entonces: lim ‘§ü~n = L . Calcule los siguientes
C-> 
t e
n
90 Eduardo Espinoza Ramos
O lim \[ñ Rpta:
( 7 ) lim '-¡Jn* + n4 Rpta: 1
/,_>x
( 3) lim —p-— Rpta: 0
V x sin"
IX. Determinar si cada sucesión dada es creciente, decreciente ó no monótona. 
( 7 ) {s/ñ}n2l Rpta: C reciente
2
( 2) Rpta: Creciente
n + 1
^ 3) { ( ~ ^ ) " s f ñ } „> 1 Rpta: no Monótona
© f " +2 ] }/>>! RPta : Decreciente
n
( 7 ) Rpta: Creciente
4/I
( ó ) { . }„>, Rpta: Creciente
V4 n 2 +1
( 7 ) { — ■ 2n }„>| Rpta: Decreciente
8 ) {— }„2I Rpta: Creciente
© { " ---- -}„>i RPta : Creciente
Sucesiones 91
X.
Q o) {cosmj},^, Rpta: No Monótona
{sen/ni},,^ Rpta: No monótona
® 2 "{—"}H>, Rpta: Decreciente
í i ) {— —— }„>i Rpta: Creciente^ 2"+100
r N rl.3 .5 ...(2 « -l) ,
My \ -------- —-------f n > \ Rpta: Decreciente
TÍ) { — Rpta: Decreciente
^ 1.3.5...(2«-1)
ló ) {ln(——*)}„>| Rpta: Decreciente
n
( 7 ) Calcular l i m P n , siendo Pn = — \ f a ^ . s [ a * . 2s [ a ^ . . . i\ J a 2" Rpta: a
/>—»x Cl
. <x . a , a , a „ senh a
Calcular lim cosh —.cosn— .cosh—-...cosn— Rpta:-----------
«->* 2 2 2 2'' «
C T\ /- + 1 i- 1P + 2 r + 3 P +... + « p P + l I( 3 ) Calcular lim Rpta: —
n-»*, n 2
( 4) Calcular lim (1 + .v)(l-t-cc2)(1 + .v4)...(1 + jc2" ) si |x | <1 Rpta: —-—
V- X n-»x 1 - jf
( T ) Hallar lim n ' d a í . a 2 : . o „ siendo U m n ' a n = a Rpta: a . e11— v r >1— +'/■
92 Eduardo Espinoza Ramos
("ó) Hallar lim ------------------------------------------- Rpta: e />fl
''-*T /?(// - - 2 ) . . . ( n ~ p + 1)(« - p ) " p
© Sea m e R .arbitrario, si la sucesión {S,,(/»)} > , esta definido por
S ( m ) = 1"' + 2 ' " + . . . + n " ' . Calcular lim ——
"->< n S J m )
Rpta: Si m = 0, 5 = —, si m > 0, S = -—— , si m < 0, S = - ------------
2 2 + /« 2 - m
Determinar el parámetro X para que el limite cuando n —» tc de la
n
(n — k + 1)(k + 2 )
expresión. A = [ - ^ ]"" sea finito y determina el valorÁn~(n + \)
de u para que valga e, se supone . finito. Rpta: // = -
6 8
( 9} Hallar lim a„ siendo a, = 1, a-, = 2, a 3 = 3, a 4 = 4 . Sabiendo que
^— >1 ->x
Aan = a n - \ + a „ -2 + a n-3 + a„-4^ n > 4 R Pta: 3
10J Determinar el número a de manera que: 
lim ‘sja^n"' + n 2 + 1 + - 2)n"' + a + l , sea finito (m impar m > 1) y
calcular dicho límite para los distintos valores de m.
Rpta: a = 1, — si m = 3 y si m = 5, 7
a ,•> a i asen a + 2 ' sen — + 3" sen — + ... + n sen —
© Calcular lim ---------------------------- ;---- — Rpta:
Sucesiones 93
^ 2) Probar que la sucesión , y ¡ 3 y ¡ 3 ^ ¡ 3 converge a vi
( Í I ) Hallar el límite de la sucesión, a , , a - , , en la que cada
término es media aritmética de las dos que preceden. Rpta:
ai + 2a-,1 • —!____ —
T 4 ) Hallar lim - ^ ( 2 + — + — + . . . + + V ) Rpta: — (Sug. Stolz-Cesaro)
»-*=r- n 2 3“ « 2
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