3_Sucesiones

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Notas de clase - Cálculo I
3. Sucesiones numéricas
Definición: Una sucesión numérica (infinita) de números reales es una función a : N→ R.
La siguiente notación es la usual para designar una sucesión
{an}n∈N = {a1, a2, a3, . . .},
donde an ∈ R para todo n ∈ N y an se dice que es el término general de la sucesión.
Ejemplos:
(i) an =
1
n , n ∈ N.
(ii) an = (−1)n, n ∈ N.
(iii) bn = n
3 − n, n ∈ N.
(iv) cn =
rn
n! , n ∈ N, donde n! = 1 · 2 · · · (n− 1) · n y r ∈ R (fijo!).
En la siguiente figura estan representados algunos términos de las sucesiones en (i) y (ii).
Figura 1
En el primer gráfico la sucesión ”parece tender” al cero y en el segundo la sucesión oscila entre 1 y −1
indefinidamente.
Con respecto al estudio de sucesiones estamos interesados en saber ”hacia donde va” una sucesión cuando
n se hace cada vez más grande en magnitud; para ello necesitamos precisar la frase ”hacia donde va”, el
término preciso es el de ĺımite o convergencia de una sucesión.
Se dice que una sucesión {an} converge o tiene por ĺımite a un valor ` ∈ R si para cada intervalo de la
forma (`− �, `+ �), con � > 0 arbitrario y fijo, existe N ∈ N (el cual puede depender de �) tal que
an ∈ (`− �, `+ �), ∀n ≥ N.
Esto es equivalente a decir que para cada � > 0 existe N ∈ N tal que
`− � < an < `+ �, ∀n ≥ N ⇐⇒ |an − `| < �, ∀n ≥ N.
Escribiremos esto último en una definición. Para ello, introducimos los siguientes śımbolos: +∞ (el +
infinito) y −∞ (el - infinito). Tales śımbolos NO son números y significan que −∞ < x < +∞ para todo
x ∈ R. La notación n→ +∞ significa que n ∈ N se hace cada vez más grande en magnitud a la derecha del
cero sin cota superior, y se lee: ”n tiende al + infinito”. Con esta notación ponemos {an}+∞n=1 = {an}n∈N.
Definición: Una sucesión {an}+∞n=1 tiene por ĺımite el valor ` ∈ R (o converge hacia ` ∈ R) si para cada
� > 0 existe N ∈ N tal que
|an − `| < �, ∀ n ≥ N.
Si este es el caso escribimos
lim
n→+∞
an = `.
La expresión an → ` significa que la sucesión {an} converge hacia ` y ` es su ĺımite.
1
2
Importante: Si una sucesión converge en R, entonces su ĺımite es único. Si no existe lim
n→+∞
an o
lim
n→+∞
an = ±∞ diremos que la sucesión diverge. El significado de las expresiones lim
n→+∞
an = +∞ y
lim
n→+∞
an = −∞ estan contenidas en las siguientes definiciones.
Definición: Una sucesión {an}+∞n=1 diverge al +∞ si para cada M > 0 existe N ∈ N tal que
M < an , ∀n ≥ N.
Si este es el caso, escribimos lim
n→+∞
an = +∞.
Definición: Una sucesión {an}+∞n=1 diverge al −∞ si para cada M > 0 existe N ∈ N tal que
an < −M , ∀n ≥ N.
Si este es el caso, escribimos lim
n→+∞
an = −∞.
Ejemplo 1: Veamos, por definición, que lim
n→+∞
1
n
= 0.
Dado � > 0, existe N ∈ N tal que 0 < 1
�
< N . Ya que 0 < 1n+1 ≤
1
n para todo n ∈ N se sigue que
0 <
1
n
≤ 1
N
< �, ∀n ≥ N.
Trivialmente, esto último es equivalente a ∣∣∣∣ 1n − 0
∣∣∣∣ < �, ∀n ≥ N.
Luego, por la definición de convergencia, podemos escribir que
lim
n→+∞
1
n
= 0.
Para concluir el ejemplo veamos como escoger el número natural N para ciertos números � > 0 dados.
Si � = 331 , entonces es suficiente escoger N >
31
3 , por ejemplo al tomar N = 11 resulta∣∣∣∣ 1n − 0
∣∣∣∣ < 331 , ∀n ≥ 11.
Si � = 15000 , entonces es suficiente escoger N = 5001, luego∣∣∣∣ 1n − 0
∣∣∣∣ < 15000 , ∀n ≥ 5001.
Ejemplo 2: Veamos que la sucesión (−1)n no es convergente. Dicha sucesión es un ejemplo de sucesión
oscilante.
El gráfico de la sucesión (−1)n ya debeŕıa convencernos de que tal sucesión no converge. Igualmente
probaremos este hecho anaĺıticamente. Mostraremos que (−1)n no converge a ningún ` ∈ R. Para ello
estudiaremos los siguientes casos por separado: ` = 1, ` = −1, ` 6= 1,−1.
Caso ` = 1. Sea � = 1. Para cada N ∈ N tenemos que 2N + 1 > N luego
|a2N+1 − 1| = |(−1)2N+1 − 1| = | − 1− 1| = 2 > 1 = �, ∀N ∈ N.
Por lo tanto (−1)n 9 1 (el śımbolo 9 significa: no converge a o no tiende a). El caso ` = −1 es similar.
Luego (−1)n 9 −1.
Caso ` 6= 1,−1. Al tomar � = 12 min{|`+ 1|, |`− 1|}, resulta
|aN − `| = |(−1)N − `| > �, ∀N ∈ N.
3
Por lo tanto an 9 `. Hemos mostrado aśı que (−1)n no converge a ningún ` ∈ R. En otras palabras, no
existe lim
n→+∞
(−1)n.
Ejemplo 3: Si an = 5, ∀n ∈ N, entonces trivialmente lim
n→+∞
an = 5. Este ejemplo ilustra el hecho que
una sucesión constante converge a la constante misma.
Ejercicio resuelto: Utilizar la definición de ĺımite infinito para mostrar que lim
n→+∞
n3 − n = +∞.
Solución: Dado M > 0 y arbitrario, debemos encontrar N ∈ N tal que n3 − n > M , para todo n ≥ N .
Para ver esto, primero fijamos M > 0. Luego, sea N ∈ N un natural fijo tal que N > M y N ≥ 2, por lo
tanto N2 − 1 ≥ 3 > 1. Luego, si n ≥ N , entonces
n3 − n = (n2 − 1)n ≥ (N2 − 1)N > N > M.
Siendo M > 0 y arbitrario se sigue, por definición, que lim
n→+∞
n3 − n = +∞.
Ejercicio: Mostrar por definición que lim
n→+∞
n = +∞ y que lim
n→+∞
(−n3) = −∞.
A continuación listamos ciertos hechos concernientes a las sucesiones.
H1) Si lim
n→+∞
an y lim
n→+∞
bn existen ambos en R, y α, β son constantes reales fijas, entonces
lim
n→+∞
(α · an + β · bn) = α · lim
n→+∞
an + β · lim
n→+∞
bn
lim
n→+∞
(an · bn) = lim
n→+∞
an · lim
n→+∞
bn
Además si lim
n→+∞
bn 6= 0, entonces para algún N ∈ N se tiene que bn 6= 0 ∀n ≥ N y
lim
n→+∞
(
an
bn
)
=
lim
n→+∞
an
lim
n→+∞
bn
.
H2) Si lim
n→+∞
an = ` ∈ R, entonces el conjunto {a1, a2, ..., aj , ...} es acotado. Esto es: existe una constante
M > 0 tal que |an| ≤M para todo n ∈ N.
H3) Si {an}+∞n=1 es una sucesión monótona creciente (es decir: aj ≤ aj+1, ∀j ∈ N) y acotada entonces
lim
n→+∞
an existe en R.
H4) Si {an}+∞n=1 es una sucesión monótona decreciente (es decir: aj+1 ≤ aj , ∀j ∈ N) y acotada entonces
lim
n→+∞
an existe en R.
H5) lim
n→+∞
an = 0 si y sólo si lim
n→+∞
|an| = 0.
H6) Teorema del emparedado: Sean {an}, {bn} y {cn} tres sucesiones tales que
an ≤ bn ≤ cn, ∀n ∈ N.
Si an → ` y cn → ` (con ` ∈ R), entonces bn → `.
En la práctica cuando se quiera aplicar el teorema del emparedado a una sucesión {bn} para calcular su
ĺımite uno debe encontrar dos sucesiones {an} y {cn} tales que an ≤ bn ≤ cn (∀n), y sus respectivos ĺımites
(los cuales deben ser iguales) sean más fáciles de calcular que el ĺımite de la sucesión {bn} dada. Ver ejemplo
6 abajo.
H7) Si para algún N ∈ N se tiene que an ≤ bn ∀n ≥ N y an → +∞, entonces bn → +∞.
H8) Si para algún N ∈ N se tiene que bn ≤ an ∀n ≥ N y an → −∞, entonces bn → −∞.
4
H9) lim
n→+∞
e−n = 0, lim
n→+∞
en = +∞ y lim
n→+∞
ln(n) = +∞.
H10) Si an → ` ∈ R y r ∈ R, entonces er an → er `.
H11) Si an → +∞ y r 6= 0, entonces eran → +∞ si r > 0, y eran → 0 si r < 0.
H12) Teorema: (ĺımite notable)
lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n
= e.
H13) Si an → ` ∈ R, bn → +∞ y cn → −∞, entonces (an + bn)→ +∞ y (an + cn)→ −∞.
H14) Si an → ` > 0, bn → +∞ y cn → −∞, entonces (an · bn)→ +∞ y (an · cn)→ −∞.
H15) Si an → ` < 0, bn → +∞ y cn → −∞, entonces (an · bn)→ −∞ y (an · cn)→ +∞.
De ahora en más utilizaremos estos hechos para calcular ĺımites de sucesiones.
Ejemplo 4: Sea lim
n→+∞
an = ` ∈ R y sea p(x) = 5x2 − x+ 2. Entonces p(an) es una nueva sucesión con
lim
n→+∞
p(an) = p(`).
En efecto, p(an) = 5a
2
n − an + 2, luego del hecho H1) se sigue que
lim
n→+∞
p(an) = lim
n→+∞
(
5a2n − an + 2
)
= 5
[
lim
n→+∞
an
]2
− lim
n→+∞
an + 2 = 5`
2 − `+ 2 = p(`).
Ejemplo 5: lim
n→+∞
(−1)n
n
= 0. Esto se sigue de H5) y el ejemplo 1.
Ejemplo 6: Veamos que lim
n→+∞
ln(n)
n
= 0.
Por las propiedades (6) y (5) del logaritmo natural (ver nota 2 Funciones, p. 6) resulta que
0 ≤ ln(n)
n
=
2 ln(n)
2n
=
2
n
ln(n1/2) ≤ 2n
1/2
n
=
2
n1/2
, ∀n ∈ N.
Por lo tanto
0 ≤ ln(n)
n
≤ 2
n1/2
, ∀n ∈ N.
Ya que 0 → 0 (una sucesión constante converge a la constante misma) y n−1/2 → 0, por el teorema del
emparedado se sigue el resultado del ejemplo.
Ejemplo 7: Veamos que lim
n→+∞
n!
2n− 5
= +∞.
Es claro que n(n − 1) ≤ n(n − 1)! = n! para todo n ≥ 1. Luego n(n− 1)
2n− 5≤ n!
2n− 5
para todo n ≥ 3. Por
H14) tenemos que
n(n− 1)
2n− 5
=
n− 1
2− 5n
=
1
2− 5n
· (n− 1)→ 1
2
· (+∞) = +∞.
Finalmente, por H7) se sigue que lim
n→+∞
n!
2n− 5
= +∞.
Ejemplo 8: Vamos a estudiar el comportamiento de la sucesión rn para cada r ∈ R fijo. Veamos que
5
lim
n→∞
rn =

+∞ si r > 1
1 si r = 1
0 si |r| < 1
no existe si r ≤ −1
 .
Si r > 1 y fijo, tenemos por H11) que
lim
n→+∞
rn = lim
n→+∞
en ln(r) = +∞,
pues ln(r) > 0 para r > 1.
Si r = 1, entonces rn = 1, ∀n ∈ N, por lo tanto
lim
n→+∞
rn = 1, si r = 1.
Para |r| < 1, por H5), es suficiente ver que |r|n → 0. Siendo ln(|r|) < 0 para |r| < 1, por H11) resulta
que
lim
n→+∞
|rn| = lim
n→∞
|r|n = lim
n→+∞
en ln(|r|) = 0.
Luego lim
n→+∞
rn = 0 si |r| < 1.
Si r ≤ −1 entonces no existe lim
n→+∞
rn, pues r2n ≥ |r| ≥ 1 ∀n y r2n+1 ≤ −|r| ≤ −1 ∀n. Luego la sucesión
diverge para r ≤ −1.
Ejemplo 9: Para cada r ∈ R fijo, se tiene que lim
n→+∞
rn
n!
= 0.
Veamos esto, dado r ∈ R fijo, ∃n0 ∈ N tal que |r| ≤ n0. Sea ahora n > n0 entonces
0 ≤
∣∣∣∣rnn!
∣∣∣∣ = |r|nn! = |r| |r|2 |r|3 · · · |r|n0 |r|(n0 + 1) · · · |r|n
≤ (n0)
n0
n0!
(
|r|
(n0 + 1)
)n−n0
.
Ya que |r|(n0+1) < 1, por el ĺımite calculado en el ejemplo 8, se sigue que
lim
n→+∞
(
|r|
(n0 + 1)
)n−n0
= 0.
Finalmente por el teorema del emparedado resulta que lim
n→+∞
rn
n!
= 0, para cada r ∈ R fijo.
Ejemplo 10: Veamos que lim
n→+∞
n2 + n− 3
n5 + 2n3
= 0.
Al sacar el factor común n5 en el numerador y en el denominador resulta
n2 + n− 3
n5 + 2n3
=
(
1
n3
+
1
n4
− 3
n5
)
(
1 +
2
n2
) ,
al tomar ĺımite, por H1), obtenemos que
lim
n→+∞
n2 + n− 3
n5 + 2n3
=
lim
n→+∞
(
1
n3
+
1
n4
− 3
n5
)
lim
n→+∞
(
1 +
2
n2
) = 0
1
= 0.
6
Ejemplo 11: Veamos que lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)−3n
= e−3.
De H1) y H12) se sigue que
lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)−3n
= lim
n→+∞
1[(
1 + 1n
)n]3 = 1[
lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n]3 = 1e3 = e−3.
7
Ejercicios adicionales 3.
Sucesiones Numéricas
(1) Dar la definición de sucesión numérica.
(2) Dar la definición de ĺımite finito de una sucesión numérica.
(3) Sea {an}+∞n=1 la sucesión definida por
an =
2n+ 4
3n
, ∀n ∈ N.
(a) Graficar los cinco primeros términos de la sucesión.
(b) Dado �0 =
5
103 , determinar un valor N0 ∈ N (que dependerá de �0) tal que
∣∣an − 23 ∣∣ ≤ �0, para
todo n ≥ N0.
(c) Pruebe usando la definición de ĺımite que lim
n→+∞
2n+ 4
3n
=
2
3
.
(4) Dada la sucesión de término general
an =
n− 4 · 2n
2n+1
, n ≥ 1.
(a) Comprobar que la sucesión {an}+∞n=1 es monótona decreciente.
(b) Mostrar que −2 es una cota inferior, esto significa que: −2 ≤ an para todo n ∈ N.
(c) Qué puede decir acerca de la convergencia o divergencia de la sucesión {an}? Justifique su
respuesta.
(5) Mostrar que el ĺımite lim
n→+∞
(−1)n no existe en R. Esto es, demostrar que, cualquiera sea l ∈ R,
lim
n→+∞
(−1)n = l es falso.
(6) Mostrar que lim
n→+∞
an = 0 si y sólo si lim
n→+∞
|an| = 0.
(7) Sea l ∈ R. Mostrar que lim
n→+∞
an = l si y sólo si lim
n→+∞
(an − l) = 0.
(8) Sea l 6= 0. Mostrar que lim
n→+∞
an = l si y sólo si lim
n→+∞
1
an
=
1
l
.
(9) Sean p y q polinomios con coeficientes reales. Mostrar, utilizando las propiedades del ĺımite, que si
lim
n→+∞
an = α y q(α) 6= 0, entonces existe lim
n→+∞
p(an)
q(an)
=
p(α)
q(α)
.
(10) Enunciar el teorema del emparedado para sucesiones.
(11) Comprobar los siguientes ĺımites:
(a) lim
n→+∞
n+ 3
n3 + 4
= 0.
(b) lim
n→+∞
4− n3
n+ 3
= −∞.
(c) lim
n→+∞
1
nK
= 0, donde K es un número natural fijo.
(d) lim
n→+∞
n!
nn
= 0.
(e) lim
n→+∞
4
√
n+ 1− 4
√
n = 0.
(f) lim
n→+∞
sen(n)
n
= 0,
(12) Sabiendo que lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n
= e. Calcular en los siguientes casos el lim
n→+∞
an.
(a) an =
(
1 + 1n
)−2n
.
(b) an =
(
n+1
n
)5n−3
.
(c) an =
(
1 + 17n
)n
.