Clase 08.05.2020 Repaso TP2 ejerc.18 I-J y 25

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Clase 08.05.2020 de Repaso TRABAJO PRÁCTICO 2 – 
 
 
EJ.2-18 i) 
Lo primero que tengo que hacer es ver cuánto vale ese límite: 
lim
𝑥→ +∞
2𝑒𝑥+1
𝑒𝑥−1
 = 
∞
∞
 ⟹ no tiene resultado ya que es indeterminado. 
 
Para eso debo salvar la indeterminación para saber que valor toma ese límite. 
Para este caso aplicamos una técnica parecida al del los cocientes de polinomios, 
divido numerador y denominador todo por 𝑒𝑥. 
Entonces nos queda: 
lim
𝑥→ +∞
2𝑒𝑥
𝑒𝑥
+
1
𝑒𝑥
𝑒𝑥
𝑒𝑥
−
1
𝑒𝑥
 = 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 ⟹ lim
𝑥→ +∞
2𝑒𝑥
𝑒𝑥
+
1
𝑒𝑥
𝑒𝑥
𝑒𝑥
−
1
𝑒𝑥
 
Pasando en limpio nos queda: 
EJ, 18 i EJ, 18 J EJ, 25 
 
lim
𝑥→ +∞
2+
1
𝑒𝑥
1−
1
𝑒𝑥
 = 
 
El ejercicio pediá calcular el límite para 𝑥 → +∞ 
Ahora mi pregunta es cuánto vale el límite de esa misma función para 𝑥 → −∞ 
 
lim
𝑥→ −∞
2𝑒𝑥+1
𝑒𝑥−1
= 
 
 
EJ.2-18 J) 
 
lim
𝑥→ ∞
2+3𝑥
2+2𝑥
 = 
 
Ahora tenemos que cuánto vale este límite? 
Podemos calcularlo así cómo está? Si o NO y que valor toma? 
 
Bueno lamentablemente acá antes de calcularlo lo vamos a tener que abrir. Que 
quiere decir abrirlo? 
Y vamos a tener que calcularlo para 𝑥 → +∞ y para 𝑥 → −∞, ya que tienen 
resultados distintos por estar en juego en esta ecuación un función exponencial. 
 
∴ por lo tanto nos queda: 
2 
 
-1 
 
 
Para 𝑥 → +∞ 
lim
𝑥→ +∞
2+3𝑥
2+2𝑥
 = 
∞
∞
 
 
 Para 𝑥 → −∞ 
lim
𝑥→ −∞
2+3𝑥
2+2𝑥
 = 
 
Entonces para la rama de la parte izquierda obtuve el valor del límite de forma 
inmediata, en cambio para la rama derecha me dio indeterminado y debo trabajar 
de forma algebraica para salvar la indeterminación. 
 
lim
𝑥→ +∞
2+3𝑥
2+2𝑥
 = 
∞
∞
 
 
Entonces hacemos como hicimos en el primer ejercicio, dividimos numerador y 
denominador todo por 3𝑥. 
lim
𝑥→ +∞
2
3𝑥
+
3𝑥
3𝑥
2
3𝑥
+
2
3𝑥
𝑥 = 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 ⟹ lim
𝑥→ +∞
2
3𝑥
+
3𝑥
3𝑥
2
3𝑥
+
2
3𝑥
𝑥 
 
Entonces pasando en limpio: 
 
lim
𝑥→ +∞
2
3𝑥
+1
2
3𝑥
+
2
3𝑥
𝑥 = lim
𝑥→ +∞
1
(
2
3
)
𝑥 = 
1 
 
+∞ 
 
Podemos checkearlo con el gráfico: 
 
 
 
 
lim
𝑥→0
(1 + tan 𝑥)
𝑘
3𝑥 = 1∞ 
 
El resultado a simple vista me da una indeterminación. 
Vamos a salvar la indeterminación para poder saber o averiguar el valor de K ∈ ℜ 
Este tipo de límite se puede resolver aplicando: 
lim
𝑧→0
(1 + 𝑧)
1
𝑧 = 𝑒 lim
𝑧→∞
(1 +
1
𝑧
)
𝑧
= 𝑒 
Por lo tanto debemos intentar llevar el límite a esa fórmula: 
 
lim
𝑥→0
(1 + tan 𝑥)
1
tan 𝑥
(
𝑘
3𝑥
) tan 𝑥
= 𝑒
 lim
𝑥→0
 
𝑘
3𝑥
tan 𝑥
 ∴ lim
𝑥→0
(1 + tan 𝑥)
1
tan 𝑥 = e 
 
Entonces nos queda: 
 
𝑒
lim
𝑥→0
(
𝑘
3𝑥
tan 𝑥)
 =𝑒
1
3 
 
Ahora vamos a trabajar este límite (como en cálculos auxiliares): 
lim
𝑥→0
(
𝑘
3𝑥
tan 𝑥) = 
0
0
 
 
Pero si aplicamos la fórmula de límites especiales para cociente de infinitésimos 
lim
𝑥→0
tan 𝑥
𝑥
 = 1 
lim
𝑥→0
(
𝑘
 3 𝑥
tan 𝑥) = 
0
0
 ∴ lim
𝑥→0
(
𝑘
3𝑥
tan 𝑥) = 
𝑘
3
 
 
Vuelvo a la fórmula que habíamos dejado: 
𝑒
𝑘
3 = 𝑒
1
3 ⟹ 
 
 
 
K=1 
 
 
 
Vamos a comenzar por el 
EJ.2-29 e) 
 
Y=
𝑥
√𝑥2−4 
 
Ante todo calculamos el dominio de la función, para eso debemos plantear la 
siguiente inecuación: 
𝑥2 − 4 > 0 ⟹ 𝑥2 > 4 ⟹ √𝑥2 > √4 
 
|𝑥| > 2 y por la propiedad de módulo eso se descompone de la 
siguiente manera: 
x > 2 ∨ x < -2 ∴ 
Este dominio ya me está mostrando que no vamos a tener intersección con el “eje 
y”, ya que “x” no puede tomar valor “0”. 
 
 
Veamos la intersección con el “eje x”, y =0 
Y = 
𝑥
√𝑥2−4 
 = 0 
Para que esta ecuación tenga resultado cero, el numerador debe ser 0. 
Dℱ: (-∞; -2) U (2;+∞) 
 
 
∄ ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑦 
 
 
 
Y eso ocurre si x=0, pero este valor que toma “x” ,no pertenece al 
dominio de la función. 
 ∴ 
Ahora vamos a calcular la simetría o paridad de la función. 
𝒻(x) = 𝒻 (-x) me dice que la función es par 
O si 𝒻 (-x) = - 𝒻(x) me indica que la función es impar. 
 
Calculemos 𝒻 (-x) 
𝒻 (-x) = 
−𝑥
√(−𝑥)2−4 
 = 
−𝑥
√𝑥2−4 
 = − 
𝑥
√𝑥2−4 
 
 
está función no es para ya que 𝒻(x) ≠ 𝒻 (-x) 
Entonces calculemos - 𝒻(x) 
- 𝒻(x) = − 
𝑥
√𝑥2−4 
 ⟹ entonces podemos decir que es ya que 
 
 
Ahora calculemos los intervalos de positividad y negatividad: 
 
 
∄ ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑥 
 
 
 
 𝒻(-x) = - 𝒻 (x) 
 
 
 
 Impar 
 
 
 
Intervalo de negatividad: 
 
Intervalo de positividad: 
 
Vamos a calcular las Asíntotas: 
 
Asíntota Vertical 
AV → Y = lim
𝑥→ −2−
𝑥
√𝑥2−4 
 = -∞ ∴ hay 
 
AV → Y = lim
𝑥→ 2+
𝑥
√𝑥2−4 
 = +∞ ∴ hay 
 
Asíntota Horizontal 
 
AH → Y = lim
𝑥→ ∞ 
𝑥
√𝑥2−4 
 = 
∞
∞
 da como resultado una Indeterminación. 
 
Entonces debemos salvar la indeterminación, y para este caso se lo hace de la 
siguiente manera: 
Saco factor común 𝑥2 del denominador 
Y = lim
𝑥→ ∞ 
𝑥
√𝑥2(1−
4
𝑥2
) 
 = lim
𝑥→ ∞ 
𝑥
 |𝑥|√(1−
4
𝑥2
)
 = 
 
Cuando nos aparece el módulo nos dice que debemos abrir el límite, en parte 
izquierda lim
𝑥→ −∞ 
 y parte derecha lim
𝑥→ +∞ 
. 
 (-∞; -2) 
 
 
 
 (2;+∞) 
 
 
 
 AV x= -2 
 
 
 AV en x= 2 
 
 
 
Para la rama izquierda lim
𝑥→ −∞ 
 
 
lim
𝑥→ −∞ 
𝑥
 −𝑥√(1−
4
𝑥2
)
 = lim
𝑥→ −∞ 
𝑥
 −𝑥√(1−
4
𝑥2
)
 = lim
𝑥→ −∞ 
− 
1
 √(1−
4
𝑥2
)
 = -1 
 
Entonces tenemos hay AH - → 
 
Para la rama derecha lim
𝑥→ +∞ 
𝑥
 𝑥√(1−
4
𝑥2
)
 = lim
𝑥→ +∞ 
𝑥
 𝑥√(1−
4
𝑥2
)
 = 1 
 
Entonces tenemos hay AH + → 
Graficamos: 
 
 AH en Y = -1 
 
 
 
 AH en Y = 1 
 
 
 
EJ.2-29 b) 
Y = 
3𝑥2+2
2𝑥−1
 = 
 
Ante todo calculamos el dominio de la función, para eso debemos plantear la 
siguiente ecuación: 
2𝑥 − 1 ≠ 0 ⟹ 2𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 =
1
2
 ∴ 
 
 
Ahora cálculo de intersección con el “eje y “, o sea x=0. 
Y (x=0) = 
3𝑥2+2
2𝑥−1
 = -2 
 
Veamos la intersección con el “eje x”, y =0 
Y = 
3𝑥2+2
2𝑥−1
= 0 
Para que esta ecuación tenga resultado cero, el numerador debe ser 0. 
3𝑥2 + 2 = 0 ⟹ 3𝑥2 = -2 ⟹ 𝑥2 = −
2
3
 y esto ∄ (no existe) 
 ∴ 
 
Ahora vamos a calcular la simetría o paridad de la función. 
𝒻(x) = 𝒻 (-x) me dice que la función es par 
O si 𝒻 (-x) = - 𝒻(x) me indica que la función es impar. 
 
Dℱ: ℜ -{ 
1
2
 } 
 
∃ ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑦 Y=-2 
 
 
 
∄ ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑥 
 
 
 
Calculemos 𝒻 (-x) 
𝒻 (-x) = 
3(−𝑥)2+2
2(−𝑥)−1
 = 
3𝑥2+2
−2𝑥−1
 
 
está función no es para ya que 𝒻(x) ≠ 𝒻 (-x) 
Entonces calculemos - 𝒻(x) 
- 𝒻(x) = −
3𝑥2+2
2𝑥−1
 ⟹ entonces la función ya que 
 
 
 
Ahora calculemos los intervalos de positividad y negatividad: 
 
 
 
Intervalo de negatividad: 
 
Intervalo de positividad: 
 
Vamos a calcular las Asíntotas: 
 𝒻(-x) ≠ - 𝒻 (x) 
 
 
 
 no tiene paridad 
paridadImpar 
 
 
 
 ( -∞; 
1
2
 ) 
 
 
 
 ( 
1
2
;+∞ ) 
 
 
 
Asíntota Vertical 
AV → Y = lim
𝑥→ 
1
2
 
3𝑥2+2
2𝑥−1
 = ∞ ∴ hay 
 
Asíntota Horizontal 
 
AH → Y = lim
𝑥→ ∞ 
3𝑥2+2
2𝑥−1
 = 
∞
∞
 da como resultado una Indeterminación. 
 
Entonces debemos salvar la indeterminación, y para este caso se lo hace de la 
siguiente manera: 
Dividimos numerador y denominador por “x” elevado al mayor exponente, o sea 
𝑥2, o también ya podemos hacerlo inmediato, como el numerador es de mayor 
grado que el denominador, esa ecuación tiende a infinito. 
Y = lim
𝑥→ ∞ 
3𝑥2+22𝑥−1
 = ∞ ∴ 
 
Entonces debemos checkear si hay asíntota oblicua: 
AO → pendiente ͢ m = lim
𝑥→ ∞ 
𝑓(𝑥)
𝑥
 = lim
𝑥→ ∞ 
3𝑥2+2
2𝑥−1
𝑥
 = lim
𝑥→ ∞ 
3𝑥2+2
2𝑥2−𝑥
 = 
3
2
 
 
 
Calculamos la ordenada al origen 
 
b = lim
𝑥→ ∞ 
𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 = lim
𝑥→ ∞ 
 
3𝑥2+2
2𝑥−1
−
3
2
𝑥 = lim
𝑥→ ∞ 
 
2(3𝑥2+2)−3𝑥(2𝑥−1)
(2𝑥−1)2
 
 AV en x = 
1
2
 
 
 
 
No hay AH 
 
 
Hay AO m= 
3
2
 
 m 
 
lim
𝑥→ ∞ 
 
6𝑥2+4−6𝑥2+3𝑥
4𝑥−2
 = lim
𝑥→ ∞ 
 
3𝑥+4
4𝑥−2
 = 
3
4
 
 
 
 
Graficamos: 
 
 
 
Hay AO b =
3
4
 
 m 
 
Hay AO y = 
3
2
 𝑥 +
3
4
 
 m