Límites y Continuidad en Matemática II

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1 
Matemática II 2007 
Modulo Modulo Modulo Modulo 2222 
 
 
Límites y continuidad 
 
 En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del 
cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos de continuidad, derivabilidad e 
integración que se verán más adelante. Comenzaremos con una idea intuitiva del estudio del 
comportamiento de una función alrededor de un punto o cuando los valores de x crecen 
indefinidamente. 
 
 1-Comportamiento de una función alrededor de un punto: 
 
 Si la función f está definida para valores de la variable x cercanos a x0., queremos estudiar el 
comportamiento de los valores de f(x) cuando x se aproxima a x0. 
 
Definición 
 
Si f está definida en un intervalo abierto alrededor del punto x0 , aunque no lo esté en x0 , 
diremos que f(x) tiene límite L, cuando x tiende a x0, si el valor de f(x) se hace arbitrariamente próximo 
al valor de L cuando x se aproxima a x0, y lo escribiremos así : 
 
 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= 
 
 
 
Ejemplos: 
1) Dada 
2 1
( )
1
x
f x
x
−=
−
 queremos saber cómo se comporta f(x) en un entorno del punto x=1: 
 
La función se define en todos los números reales excepto en x=1. Podemos simplificar la fórmula, 
factorizando el numerador, para valores distintos de 1. 
 
 
( 1)( 1)
( ) 1, 1
1
x x
f x x para x
x
− += = + ≠
−
 
 
La gráfica de f(x) es la recta y=x+1 menos un punto, el (1,2) 
En la gráfica aparece un “agujero” en este punto. Podemos de todos modos hacer el valor de f(x) tan 
cercano a 2 como queramos, eligiendo x suficientemente cercano a 1. 
 
 
 
 
 
 
 2 
Matemática II 2007 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Decimos que f(x) está arbitrariamente cercano a 2 cuando x se aproxima a 1, o 
simplemente f(x) se aproxima a 2 cuando x se acerca a 1 , y escribimos: 
 
1
lim ( ) 2
x
f x
→
= 
 
Notar que para el valor x= x0 la función puede no estar definida o puede no tomar el valor L. En este 
caso f no está definida en x=1, sin embargo el límite cuando x se acerca a 1 es 2, ya que el valor del 
límite es el valor de la función para valores próximos a 1 y no necesariamente en 1. 
 
 
2) Sea x x<1 
 
 f(x) = 
 1 x≥1 
 
 Esta es una función definida a trozos. 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 1 x 
 
 
 Acá notamos que tenemos que analizar separadamente el valor de la función cuando x se 
aproxima a 1 por valores mayores a él, y cuando x se aproxima a 1 por valores menores a él. 
1 
x 
y 
2 - 
 3 
Matemática II 2007 
 
 Sin embargo vemos que en ambos casos el valor de la función se acerca a 1 , por lo tanto 
decimos que : 
1
lim ( ) 1
x
f x
→
= 
 
 
3) Sea x x<1 
 
 f(x) = 
 x-1 x≥1 
 
 Esta es una función definida a trozos, su gráfica presenta un “salto” en x=1. 
 
 
 
 
Vemos que f(x) puede aproximarse tanto como queramos al valor 0 cuando x se aproxima a 1 
por valores mayores a 1, pero cuando x se aproxima a 1 por valores menores que 1 la función se acerca 
a 1, luego no es cierto que cuando x se acerca a 1, los valores de f(x) se acercan a un número L y por 
lo tanto, este es un ejemplo donde diremos que no existe )(
1
xflím
x→
. 
 
Sin embargo, como dijimos, f(x) puede aproximarse tanto como queramos al valor 0 cuando x 
se aproxima a 1 por valores mayores a 1, de modo que diremos que “el límite de f(x), cuando x tiende 
a 1 por la derecha es 0”, lo que escribiremos 0)(
1
=
+→
xflím
x
 y análogamente, “el límite de f(x), cuando 
x tiende a 1 por la izquierda es 1”, lo que escribiremos 1)(
1
=
−→
xflím
x
. A estos límites los llamaremos 
límites laterales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
Matemática II 2007 
 
Definición 
 
1. Si f está definida a la izquierda de x0 , aunque no lo esté en x0 , diremos que el límite de f(x), 
cuando x tiende a x0 por la izquierda es L, si f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor de L 
cuando x se aproxima a x0 por la izquierda, y lo escribiremos así : 
 Lxflím
xx
=
−→
)(
0
 
 
2. Si f está definida a la derecha de x0 , aunque no lo esté en x0 , diremos que el límite de f(x), cuando 
x tiende a x0 por la derecha es L, si f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor de L cuando x se 
aproxima a x0 por la izquierda, y lo escribiremos así : 
 Lxflím
xx
=
+→
)(
0
 
 
 
Observaciones: 
 
La expresión 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= es equivalente a decir 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x L y f x L
+ −→ →
= = 
 
Se tiene entonces que: 
• si 
0 0
1 2 1 2lim ( ) lim ( )
x x x x
f x L y f x L con L L
+ −→ →
= = ≠ ⇒ 
0
lim ( )
x x
f x
→
no existe 
• si 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
no existe f x o no existe f x
+ −→ →
⇒ 
0
lim ( )
x x
f x
→
no existe 
 
 
Propiedades: 
 
1) •••• Si f(x)=k k, constante, ⇒ 
0
lim ( )
x x
f x k
→
= 
 
2) • Si f(x)=x ⇒ 
0
0lim ( )x x
f x x
→
= 
 
3) • Si 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= , 
0
lim ( )
x x
g x M
→
= (L y M son números reales), entonces: 
 
a) 
0 0 0
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x g x f x g x L M
→ → →
+ = + = + 
 
 b) 
0 0 0
lim[ ( ). ( )] lim ( ). lim ( ) .
x x x x x x
f x g x f x g x L M
→ → →
= = 
 
c) 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
kf x k f x kL
→ →
= = 
d) Si 
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
≠ 0
0
0
lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x x
x x
x x
f xf x L
g x g x M
→
→
→
= = 
 
 
 5 
Matemática II 2007 
 
4) • Si 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= , lim ( )
x L
g x M
→
= ⇒ 
0
lim ( ( ))
x x
g f x M
→
= 
 
5) • Si m y n son números enteros ⇒ 
0
lim[ ( )]
m m
n n
x x
f x L
→
= cuando 
m
nL es un número real 
 
 
Ejemplo: 
Calcular 
3 2
21
4 3
lim
4x
x x
x→
+ −
+
 
 
Usaremos las propiedades para analizar los límites del numerador y denominador. 
Notemos que : 
3
1 1 1 1
lim lim lim lim 1
x x x x
x x x x
→ → → →
= = usando la propiedad 2, y la propiedad 3b 
 
2
1 1 1
lim4 4lim lim 4
x x x
x x x
→ → →
= = usando la propiedad 3c, la 2 y la 3b 
 
1
lim 3 3
x→
− = − usando la propiedad 1 
Por lo tanto usando la propiedad 3a , 3 2
1
lim 4 3 1 4 3 2
x
x x
→
+ − = + − = 
 
 
Del mismo modo usando las propiedades adecuadas, analicemos el límite del denominador: 
 
2
1 1 1 1
lim 4 lim lim lim4 1 4 5
x x x x
x x x
→ → → →
+ = + = + = 
 
Por lo tanto, usando la propiedad 3d, 
3 2
21
4 3
lim
4x
x x
x→
+ −
+
= 
3 2
1
2
1
lim 4 3 2
lim 4 5
x
x
x x
x
→
→
+ −
=
+
 
 
Es importante señalar que el límite del denominador es distinto de 0, y que todos los límites que fuimos 
calculando parcialmente son números reales. 
 
 
Teorema del encaje: 
 
Sean f, g y h tres funciones definidas en un intervalo abierto (a,b) que contiene al punto c, tales que : 
 
 ( ) ( ) ( ) , ( , ),h x f x g x x x a b excepto posiblemente en c≤ ≤ ∀ ∈ 
 
Luego si lim ( ) lim ( ) lim ( )
x c x c x c
h x L y g x L f x L
→ → →
= = ⇒ = 
 
 
 
 
 6 
Matemática II 2007 
 
 y 
 
 
 
 g(x) 
 
 f(x) 
 
 
 h(x) 
 x 
 c 
 
 
 
 
Funciones acotadas 
 
Definición: Se dice que una función f está acotada en un intervalo I si existen constantes m y M 
tales que ( ) , Im f x M x≤ ≤ ∀ ∈ (m es la cota inferior y M la cota superior) 
 
Ejemplos: 
Las funciones 
5 5
 , cos , 3 , cos , , 9 cos6
3x
sen x x senx sen x
x
 
 
 
+ + están acotadas. 
 
Teorema. Si la función f está acotada en un intervaloabierto que contiene al punto a y la función g 
verifica que el lim ( ) 0
x a
g x
→
= , entonces .lim ( ). ( ) 0
x a
f x g x
→
= 
 
(Se demuestra usando el teorema del encaje. El resultado también es válido para límites laterales) 
 
Ejemplos: 
1) 
0
1
lim . 0
x
x sen
x→
= 
2) 2
2
5
(4 ).
2
lim
x
x cos
x→−
 −  + 
=0 
3) ( )2
3
1
3 .cos 0
3
lim 
x
x
x+→
 − = − 
 
Observación: Estos límites existen sin embargo no pueden obtenerse por la regla del límite de un 
producto de funciones, se obtienen aplicando el teorema precedente. 
 
 
 
 
 
 
 7 
Matemática II 2007 
 
Definición formal de límite: 
 
Sea f(x) definida sobre un intervalo abierto alrededor de 0x excepto posiblemente en 0x . Decimos que f 
tiene límite L, cuando x tiende a 0x , y escribimos 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= , 
Si para cada número ε >0 , existe un número δ >0, tal que para toda x 
 
0< 0x x− <δ ( )f x L⇒ − <ε 
 
 
Esta es la definición que formaliza el concepto de límite, nos permite demostrar que el límite de 
una función es un número L y nos permite también demostrar algunas propiedades de límites. Veremos 
solamente un ejemplo para ilustrar su significado. 
 
 
 Ejemplo: 
Demostrar que 
1
lim5 3 2
x
x
→
− = 
El 0x de la definición en nuestro caso vale 1 y L vale 2. Para todo número real ε , debemos encontrar un 
número δ tal que si 0< 1x− <δ ( ) 2f x⇒ − <ε 
 
Hallamos δ trabajando hacia atrás, a partir de la desigualdad ( ) 2f x − <ε , 
Escribimos entonces 5 3 2 5 5x x− − = − <ε 
Tenemos entonces 5 1x− <ε 1 < 
5
x
ε
⇒ − 
Por lo tanto, dado cualquier ε podemos encontrar un δ , que depende de él, en este caso δ =ε /5 
 
Entonces si 0< 1x− <δ = 
5
ε
 5 3 2 5 5 5 1 <5
5
x x x
ε ε⇒ − − = − = − = 
Esto demuestra que 
1
lim5 3 2
x
x
→
− = . 
El valor de δ = 
5
ε
 no es el único que satisface la definición. Cualquier valor positivo menor que 
5
ε
 
también cumple las condiciones. 
 
 
 
 
Límites de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas: 
 
Lema: 
0
lim 0sen
φ
φ
→
= 
 
 
 
 
 
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Matemática II 2007 
 
Demostración: 
Supongamos 0<φ <
2
π
. Vemos en el gráfico que 0 y s≤ ≤ y 
O bien 0 rsen rφ φ≤ ≤ 
Como r>0 tenemos 0 senφ φ≤ ≤ 
 y s 
Como 
0 0
lim 0 0 lim 0y
φ φ
φ
+ +→ →
= = x x 
 
El Teorema del Encaje nos permite concluir que 
 
0
lim 0sen
φ
φ
+→
= 
 
Tomando 
2
π− <φ <0, análogamente tenemos que 
0
lim 0sen
φ
φ
−→
= 
 
Por lo tanto 
0
lim 0sen
φ
φ
→
= 
Hemos demostrado un caso particular del primer inciso del teorema siguiente. 
 
Teorema: 
 
Para cualquier número real a: 
 
lim
lim
lim
lim
a
a
x a
x a
x a
sen sena
cos cosa
e e
lnx lna
φ
φ
φ
φ
→
→
→
→
=
=
=
=
 
0
lim 1
sen
φ
φ
φ→
= 
0
1
lim 0
cos
φ
φ
φ→
− = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
Matemática II 2007 
 
Actividades: 
 
1) Sea f(x) una función polinomial de grado n. Muestre utilizando las propiedades que 
correspondan que : 
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
= 
2) Sea f(x) una función racional. Muestre utilizando las propiedades que correspondan que si: 
 0
( )
( ) ( ) 0
( )
p x
f x con q x
q x
= ≠ ⇒ 
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
= 
3) Sea f(x) una función y n un número natural. Muestre utilizando las propiedades que 
correspondan y el principio de inducción que si : 
0 0
lim ( ) lim[ ( )] n n
x x x x
f x L f x L
→ →
= ⇒ = 
4) Calcular los siguientes límites: 
 
a) 3 5
1
lim 4
x
x x x
→−
+ + 
b) 2 2
2
lim( 1)( 3 2)
x
x x x
→
− + + 
c) 
3
21
1
lim
1x
x
x→
+
+
 
d) 
233
1
lim
1x x→ −
 
e) 
2
2
7 10
lim
2x
x x
x→
− +
−
 
 
 
5) Mostrar que si 
0 0
lim ( ) 0 lim ( ) 0
x x
f x f x
→ →
= ⇒ = 
 
6) Teniendo en cuenta la condición que satisface la función g, calcular el límite indicado: 
 
 a) 2
1
lim ( ) ( ) 2 3( 1)
x
g x si g x x x
→
− ≤ − ∀ ∈ℝ 
 
 b) 4
3
lim ( ) ( ) 4 2(3 )
x
g x si g x x x
→
+ ≤ − ∀ ∈ℝ 
 
 c) 2
2
lim ( ) ( ) 3 5( 2)
x
g x si g x x x
→−
− ≤ + ∀ ∈ℝ 
 
7) Calcular los siguientes límites utilizando los límites laterales: 
 
a) 2x 1x ≥ 
 
f(x) = 
 3 2 2x x x− + <1 
 
b) ( )
x
f x
x
= 
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Matemática II 2007 
 
 8) Calcular los siguientes límites enunciando qué propiedad usa. 
a) 2
5
1
( 5)
5
lim .
x
x sen
x→ +
−
−
 
b) 2
2
1
lim( 4).cos( )
2x
x
x→
−
−
 
c) 2
6
( ). 
5
36
6
lim
x
x
x
sen
→−
 
 
 
−
+
 
 
9) Calcular indicando las propiedades usadas 
 
a) 
1
lim ( )sen
φ
πφ
→−
 b) 2
2
lim( 1) ( )cos
φ
φ πφ
→
− 
 
c) 
0
(9 )
lim
(7 )
sen
senφ
φ
φ→
 d) 
0
1
lim
cos
senφ
φ
φ→
−
 
 
e) 
20
lim
3 2
sen
x xφ
φ
→ +
 f) 
0
lim
cosφ
φ
φ→
 
 
 
 
 Como hemos visto en muchos casos, el límite se evalúa por sustitución directa del valor de 
0x en la función. Sin embargo en algunas funciones esto no es posible, como vimos en el ejemplo 2 del 
inicio del módulo, cuando las funciones están definidas a trozos, es decir tienen una definición hasta un 
valor de x y otra definición a partir de ese valor, necesitamos del estudio de los límites laterales. 
 
 Aún con esta alternativa del estudio de límites laterales hay algunos límites que tampoco pueden 
calcularse de este modo. 
 
 
Limites indeterminados: 
 
Nos referimos con esta terminología a aquellos límites en los que al primer intento de hacer una 
sustitución directa aparecen indeterminaciones. 
 
Por ejemplo : si 
2
( )
9
x
h x
x
−=
−
, y queremos calcular 
9 9
2
lim ( ) lim
9x x
x
h x
x→ →
−=
−
 por sustitución directa , 
vemos que el denominador es cero, por lo tanto no podemos utilizar la propiedad 3b para resolverlo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática II 2007 
 
Criterio para límites indeterminados: 
 
Si 
0
( )
lim
( )x x
f x
L
g x→
= y 
0 0
lim ( ) 0 lim ( ) 0
x x x x
g x f x
→ →
= ⇒ = 
 
Demostración: 
 
 
0 0 0 0
( ) ( )
lim ( ) lim ( ) lim .lim ( ) .0 0
( ) ( )x x x x x x x x
f x f x
f x g x g x L
g x g x→ → → →
= = = = 
 
Notemos que una expresión equivalente a este criterio es su contrarrecíproca, es decir : 
 
Si 
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
≠
0 0
( )
lim lim ( ) 0
( )x x x x
f x
no existe o g x
g x→ →
⇒ ≠ 
 
 
En la práctica en general estamos interesados en el cálculo de límites de la forma: 
 
0
( )
lim
( )x x
f x
g x→
 y observamos que 
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
= 
 
Entonces usando la contrarrecíproca del criterio decimos que 
 
Si 
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
≠ y 
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
=
0
( )
lim
( )x x
f x
no existe
g x→
⇒ 
 
Si
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
= y 
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
=
0
( )
lim
( )x x
f x
no podemos asegurar la existencia o no de
g x→
⇒ 
 
Volvamos al ejemplo: 
Analicemos los límites de f y de g , en nuestro caso ( ) 2 ( ) 9f x x y g x x= − = − 
 
9 9 9 9
lim ( ) lim 2 1 lim ( ) lim 9 0
x x x x
f x x y g x x
→ → → →
= − = = − = 
 
Por lo tanto usando la contrarrecíproca del criterio , como 
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
≠ y 
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
=
0
( )
lim
( )x x
f x
no existe
g x→
⇒ 
 
Otros ejemplos: 
1) Sea 
2 6
( )
3
x x
h x
x
+ −=
+
 , calcular si es que existe , 
3
lim ( )
x
h x
→−
 
 
Como 2
3 3 3
lim( 3) 0 lim( 6) 0 lim ( )
x x x
x y x x h x
→− →− →−
+ = + − = ⇒ puede existir o no. 
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Matemática II 2007 
 
Es decir que el criterio no nos asegura la existencia del límite!!! 
 
Usamos entonces la técnica de cancelación, factorizando o hallando las raíces de 2 6x x+ − .Escribimos entonces: 
 
2
3 3 3 3
6 ( 2)( 3)
lim ( ) lim lim lim 2 5
3 3x x x x
x x x x
h x x
x x→− →− →− →−
+ − − += = = − = −
+ +
 
 
Notar que esta cancelación podemos hacerla para 3x ≠ − , y como el límite es el estudio de la función 
cuando el valor de x se aproxima a -3 , no importa el valor de x en -3, por lo tanto podemos no 
considerarlo. 
 
 
2) Sea 
1 1
( )
x
h x
x
+ −= ; calcular si es que existe , 
0
lim ( )
x
h x
→
 
 
Como 
0 3 0
lim 0 lim( 1 1) 0 lim ( )
x x x
x y x h x
→ →− →
= + − = ⇒ puede existir o no. 
 
Usamos la técnica de racionalización: 
 
0 0 0 0 0
1 1 ( 1 1)( 1 1) 1 1 1 1
lim ( ) lim lim lim lim
2( 1 1) ( 1 1) 1 1x x x x x
x x x x
h x
x x x x x x→ → → → →
+ − + − + + + −= = = = =
+ + + + + +
 
 
 
3) Sea 
2
1
( )f x
x
= ; calcular si es que existe , 
0
lim ( )
x
f x
→
 
 
Como 2
20 0 0
1
lim 0 lim1 1 0 lim
x x x
x y
x→ → →
= = ≠ ⇒ no existe 
 
 
Límites infinitos: 
 
Sea f(x) una función definida en (a,b) que contiene al punto x0. La expresión 
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞ 
indica que la función crece indefinidamente y la expresión 
0
lim ( )
x x
f x
→
= −∞ indica que la función 
decrece indefinidamente. 
 
Significa que el límite no existe. Es decir que la función crece o decrece sin cota cuando x 
tiende a x0. 
Indicamos entonces el comportamiento no acotado de una función cuando x se acerca a x0 por derecha 
o por izquierda de la siguiente manera: 
 
Si f crece sin cota cuando x tiende a x0 por derecha, 
0
lim ( )
x x
f x
+→
= +∞ 
 13 
Matemática II 2007 
 
Si f decrece sin cota cuando x tiende a x0 por derecha, 
0
lim ( )
x x
f x
+→
= −∞ 
 
Si f crece sin cota cuando x tiende a x0 por izquierda, 
0
lim ( )
x x
f x
−→
= +∞ 
 
Si f decrece sin cota cuando x tiende a x0 por izquierda, 
0
lim ( )
x x
f x
−→
= −∞ 
 
Asíntota vertical: 
 
Si f(x) tiende a + o a∞ − ∞ cuando x tiende a x0 por la derecha o por la izquierda, se dice que la 
recta de ecuación x= x0 , es una asíntota vertical de la gráfica de f. 
 
 
Ejemplo: 
 
Calcular 
0
1
lim
x x→
 
 
Como 
0 0 0
1
lim 0 lim1 1 0 lim
x x x
x y
x→ → →
= = ≠ ⇒ no existe 
 
Notemos en el gráfico que sigue, que la función tiene un comportamiento no acotado cuando x 
tiende a 0. 
Analizamos los límites laterales, notando que cuando x se acerca a 0 con valores positivos la función 
crece sin cota y cuando x se acerca a 0 con valores negativos la función decrece sin cota . Por lo tanto 
escribimos : 
0 0
1 1
lim , lim
x xx x− +→ →
= −∞ = +∞ 
 
Por lo tanto la recta de ecuación x=0 es una asíntota vertical de la gráfica de f 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 14 
Matemática II 2007 
 
Definición formal de límite infinito: 
 
1. Sea f(x) definida sobre un intervalo abierto alrededor de 0x excepto posiblemente en 0x . Decimos 
que f tiende a ∞ , cuando x tiende a 0x , y escribimos 
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞ , 
Si para cualquier número B>0 , existe un número δ >0, tal que para toda x 
 
0< 0x x− <δ ( )f x⇒ >B 
 
2. Decimos que f tiende a - ∞ , cuando x tiende a 0x , y escribimos 
0
lim ( )
x x
f x
→
= −∞ , 
Si para cualquier número B<0 , existe un número δ >0, tal que para toda x 
 
0< 0x x− <δ ( )f x⇒ <B 
 
 
Actividades: 
 2x+3 x>2 
10) Dada la función 
 f(x)= 2 x=2 
 
 2x2-1 x>2 
 
Calcular si es que existen los siguientes límites 
a) 
0 2 4
lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
x x x
f x b f x c f x
→ → →
 
 
 
 
11) Dada la función 
 2x-1 x≤ 1 
 f(x)= 
 x2+2 x>1 
 
Calcular si es que existen los siguientes límites 
a) 
1 1 3
lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
x x x
f x b f x c f x
→− → →
 
 
12) Calcular si es que existen los siguientes límites: 
a) 
1
1
lim
1x
x
x−→
−
−
 b) 
1
1
lim
1x
x
x+→
−
−
 c) 
1
1
lim
1x
x
x→
−
−
 
 
d) 
2
2
lim
2x
x
x−→
−
−
 e) 
2
2
lim
2x
x
x+→
−
−
 f) 
2
2
lim
2x
x
x→
−
−
 
 
 
 
 15 
Matemática II 2007 
 
g) 
2
22
4
lim
3 2x
x
x x→
−
− +
 h) 
2
21
1
lim
3 2x
x
x x→−
−
+ +
 i) 
3
21
1
lim
1x
x
x→−
+
+
 
 
j) 
2 2
0
( )
lim
h
x h x
h→
+ −
 k) 
2
22
2
lim
4 4x
x x
x x→
−
− +
 l) 
27
2 3
lim
49x
x
x→
− −
−
 
 
 
m) 
38
8
lim
8x
x
x→
−
−
 n) 
0
lim
h
x h x
h→
+ −
 ñ) 
31
1
lim
1x
x
x→
−
−
 
 
 
o) 
5
41
1
lim
1x
x
x→
−
−
 p) 
0
1 1
lim
x
x x
x→
+ − −
 q) 
364
8
lim
4x
x
x→
−
−
 
 
 
 
13) Decidir en cada caso si la función presenta una asíntota vertical en x=-1 
 
a) 
2 1
( )
1
x
f x
x
−=
+
 b) 
2 1
( )
1
x
f x
x
+=
+
 c) 
2 6 7
( )
1
x x
f x
x
− −=
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Matemática II 2007 
 
2-Comportamiento de una función en el infinito: 
 
 
Una función f definida en el intervalo (a, +∞ ) , se dice que lim ( )
x
f x L
→∞
= , 
si cuando x crece , sin cota, los valores de f se acercan al valor L. Es decir que f(x) se hace tan cercano a 
L como se quiera, tomando un x suficientemente grande. 
 
Del mismo modo tomando una función f definida en (−∞ ,a) , diremos que lim ( )
x
f x L
→−∞
= , 
si cuando x decrece sin cota , los valores de f se acercan a L. 
 
 
Propiedades: 
 
1) lim
x
x
→∞
= ∞ 
 
2) lim
x
x
→−∞
= −∞ 
3) 
1
lim 0
x x→∞
= 
4) 
1
lim 0
x x→−∞
= 
5) Si lim ( )
x
f x L
→∞
= , lim ( )
x
g x M
→∞
= , L , M ∈ℝ ⇒ 
 
a) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x x x
f x g x f x g x L M
→∞ →∞ →∞
+ = + = + 
 
 b) lim[ ( ). ( )] lim ( ).lim ( ) .
x x x
f x g x f x g x L M
→∞ →∞ →∞
= = 
 
c) lim ( ) lim ( )
x x
kf x k f x kL
→∞ →∞
= = 
d) Si lim ( ) 0
x
g x
→∞
≠ 
lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x
x
x
f xf x L
g x g x M
→∞
→∞
→∞
= = 
Las propiedades del punto 5 son válidas cuando x tiende a −∞ 
 
 
Asíntota horizontal: 
 
Si lim ( ) / lim ( )
x x
f x L y o f x L
→∞ →−∞
= = diremos que la recta de ecuación y=L es una asíntota 
horizontal de la gráfica de f(x) 
 
 
 
 
 17 
Matemática II 2007 
 
Ejemplo: 
 
Tomemos la función usada en el ejemplo para el cálculo de una asíntota vertical. En este caso como 
intentaremos ver si tiene asíntota horizontal nos interesa calcular el límite cuando x tiende a ±∞ 
Calcular 
1
lim
x x→∞
 
 
Por la propiedad 3 
1
lim 0
x x→∞
= y por la propiedad 4 1lim 0
x x→−∞
= 
 
Notemos que la función toma valores cada vez más pequeños a medida que x crece. 
 
Por lo tanto la recta de ecuación y=0 es una asíntota horizontal de la gráfica de f 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición formal de límite cuando x tiende a infinito: 
 
1. Sea f(x) definida sobre un intervalo abierto (a,∞ ). Decimos que f tiene límite L, cuando x tiende a 
infinito, y escribimos lim ( )
x
f x L
→∞
= , 
Si para cualquier número ε >0 , existe un número M>0, tal que para toda x 
 
x>M ( )f x L⇒ − <ε 
 
2. Decimos que f tiene límite L, cuando x tiende a menos infinito, y escribimos lim ( )
x
f x L
→−∞
= , 
Si para cualquier número ε >0 , existe un número M<0, tal que paratoda x 
 
x<M ( )f x L⇒ − <ε 
 
 18 
Matemática II 2007 
 
Limites en el infinito de funciones racionales: 
 
 Sea f una función racional ⇒ 
 
1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
...
lim ( ) lim
...
n n
n n
m mx x
m m
a x a x a x a x a
f x
b x b x b x b x b
−
−
−→∞ →∞
−
+ + + + += =
+ + + + +
 
 
 
1 2
1 02 1
1 2
1 02 1
( ... )
lim
( ... )
n
n n
n n n n n
mx
m m
m m m m m
a x aa x a x
x a
x x x x
b x bb x b x
x b
x x x x
−
−
−→∞
−
+ + + + +
= =
+ + + + +
 
 
 
1 02 1
2 1
1 02 1
2 1
( ... )
lim
( ... )
n n
n n n n
x m m
m m m m
a aa a
x a
x x x x
b bb b
x b
x x x x
−
− −
→∞ −
− −
+ + + + +
= =
+ + + + +
 
Notamos que cuando x tiende a ∞ , todos los términos del numerador, salvo na tienden a 0 y todos los 
términos del denominador salvo mb tienden a 0. Luego tenemos que 
 
 ∞ si n>m 
1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
...
lim ( ) lim
...
n n
n n
m mx x
m m
a x a x a x a x a
f x
b x b x b x b x b
−
−
−→∞ →∞
−
+ + + + += =
+ + + + +
 n
n
a
b
 si n=m 
 0 si n<m 
 
 
 
Ejemplos: 
 
1) 
2 2 2 2
2 2 2 2
5 8 3 (5 8 / 3/ ) 5 8 / 3 / 5 0 0 5
lim lim lim
3 2 (3 2 / ) 3 2 / 3 0 3x x x
x x x x x x x
x x x x→∞ →∞ →∞
+ − + − + − + −= = = =
+ + + +
 
 
2) 
2 3 2 3 2 3
3 3 3 3
5 8 3 (5 / 8 / 3/ ) (5 / 8 / 3 / ) 0 0 0
lim lim lim 0
3 2 (3 2 / ) (3 2 / ) 3 0x x x
x x x x x x x x x
x x x x→∞ →∞ →∞
+ − + − + − + −= = = =
+ + + +
 
 
3) 
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 8 3 7 (2 8 3/ 7 / ) (2 8 3/ 7 / )
lim lim lim
2 (1 2 / ) (1 2 / )x x x
x x x x x x x x x x
x x x x→∞ →∞ →∞
+ − + + − + + − += = = ∞
+ + +
 
 
Actividades: 
 
14) Calcular los siguientes límites: 
a) 
2
2
( 1)
lim
1x
x
x→∞
+
+
 b) 
2
lim
1x
x
x→∞ −
 c) 
2 5 1
lim
3 7x
x x
x→∞
− +
+
 d) 
2
2
( 1)
lim
1x
x
x→∞
+
+
 
 
 
 19 
Matemática II 2007 
 
15) El proceso realizado para calcular límites de funciones racionales , puede realizarse también para 
funciones que tienen potencias no naturales de x. Dividimos numerador y denominador por x elevado al 
mayor exponente del denominador y partimos de allí. Calcular: 
 
a) 
12
lim
3 7x
x x
x
−
→∞
+
−
 b) 
2
lim
2x
x
x→∞
+
−
 c) 
3 5
3 5
lim
x
x x
x x→∞
−
+
 
 
16) Obtener las asíntotas de las siguientes funciones: 
 
a) 
2
2
( )
4
x
f x
x
=
−
 
 
b) 
2
( )
1
x
f x
x
=
+
 
c) 
3
2
( )
1
x x
f x
x
+=
−
 
 
17) Dibuje la gráfica de una función con dominio real que cumpla con las siguientes propiedades: 
 
f(-4)=0 f(-2)=0 f(0)=3 f(2)=-3 f(4)=0 f(5)=0 
 
4 0
5 2
2 2
4 4
lim ( ) 0 lim ( ) 0
lim ( ) 0 lim ( )
lim ( ) lim ( )
lim ( ) 0 lim ( )
lim ( ) 3 lim ( )
x x
x x
x x
x x
x x
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
− +
− +
→− →
→ →−
→ →
→ →
→−∞ →∞
= =
= = ∞
= ∞ = −∞
= = ∞
= − = −∞
 
18) Calcular: 
a) lim
x
senx
→∞
 b)lim cos
x
x
→∞
 
 
 
 
Orden de Magnitud: 
 
Estudiaremos a través del orden de magnitud el comportamiento en el infinito de un cociente de 
dos funciones y el cálculo de límites que conducen a indeterminaciones de la forma 
∞
∞
 . 
Mostraremos cómo comparar las razones de crecimiento de funciones cuando aumenta x. Puede 
notarse que las funciones exponenciales , como 2x xy e parecen crecer con más rapidez cuando aumenta 
x que las funciones polinomiales y racionales, observemos el siguiente gráfico: 
 
 
 20 
Matemática II 2007 
 
 
 y 
 
 xe 
 2x 
 
 
 
 80 
 60 
 2x 
 40 
 20 
 x 
 1 2 3 4 5 6 7 
 
 
Esta observación nos conduciría a decir que 
2
2
lim lim 0
x
xx x
e x
y
x e→∞ →∞
= ∞ = , demostraremos en lo 
que sigue que, en efecto es así. 
 
Sean f(x) y g(x) funciones definidas y positivas para valores grandes de x, 
 
El orden de magnitud de f es mayor que el orden de magnitud de g (f >>g ) si : 
( )
lim
( )x
f x
g x→∞
= ∞ 
 
El orden de magnitud de f es menor que el orden de magnitud de g (f <<g ) si : 
( )
lim 0
( )x
f x
g x→∞
= 
 
El orden de magnitud de f es igual al orden de magnitud de g si : 
( )
lim
( )x
f x
L
g x→∞
= > 0 
 
 
 
Teorema: 
 
Para todo ,realα α >0, lnx xα ≫ 
 
Demostración: aceptaremos que x > lnx x +∀ ∈ℝ , su demostración requiere del concepto de 
derivada que veremos más adelante. 
 
 
 
 21 
Matemática II 2007 
 
Si x> 0 tenemos que 
ln x
x
<
1x
x x
= , 
 
Si x>1 tenemos que 0< 
ln x
x
<
1
x
 
 
Dado que 
1 ln
lim 0 0 lim 0 lim 0
x x x
x
y
xx→∞ →∞ →∞
= = ⇒ = gracias al Teorema del Encaje 
 
Veremos finalmente que 
ln
lim 0
x
x
xα→∞
= : 
 
 
ln 1 ln
lim lim
x x
x x
x x
α
α αα→∞ →∞
= 
 
Definiendo u xα= y teniendo en cuenta que cuando ,x u→ ∞ → ∞ , obtenemos: 
 
ln 1 ln
lim lim 0
x u
x u
x uα α→∞ →∞
= = 
Por lo tanto, 
ln
lim 0
x
x
xα→∞
= y entonces α∀ >0, ln x xα≪ , como queríamos demostrar. 
 
 
 
Teorema: 
 
Para todo ,realα α >0, xe xα≫ 
 
Demostración: tomemos ( )
xe
f x
xα
= 
 
Comenzaremos estudiando el comportamiento de ln( ( ))f x 
 
ln( ( ))f x =ln ln ln ln
x
xe e x x x
x
α
α α= − = − 
 
Tenemos entonces que : 
 
ln
lim ln( ( )) lim( ln ) lim[ (1 )]
x x x
x
f x x x x
x
α α
→∞ →∞ →∞
= − = − 
 
Teniendo en cuenta que : 
ln ln ln
lim 0 lim(1 ) 1 lim[ (1 )]
x x x
x x x
x
x x x
α α
→∞ →∞ →∞
= ⇒ − = ⇒ − = ∞ 
 22 
Matemática II 2007 
 
Obtenemos que : lim ln( ( ))
x
f x
→∞
= ∞ 
 
Entonces ln ( )lim ( ) lim f x
x x
f x e
→∞ →∞
= , 
 
definiendo ln ( )u f x= y teniendo en cuenta que cuando ,x u→ ∞ → ∞ , obtenemos 
 
ln ( )lim ( ) lim limf x u
x x u
f x e e
→∞ →∞ →∞
= = = ∞ y por lo tanto lim
x
x
e
xα→∞
= ∞ como queríamos demostrar. 
 
A partir de los resultados anteriores podemos establecer la siguiente relación de órdenes de magnitud: 
 
ln , ,xx x eα α α∀ ∈≪ ≪ ℝ >0 
 
 
Actividades: 
 
19) Calcular los siguientes límites: 
 
a) lim
xx
x
e→∞
 b) 
2ln
lim
x
x
x→∞
 c)
0
lim ln
x
x x
+→
 
 
 
 
 
 
3- Continuidad en un punto: 
 
 
Definición: una función f(x) se dice continua en 0x , si se cumple que: 
0
0lim ( ) ( )x x
f x f x
→
= 
 
Por lo tanto deben satisfacerse las siguientes condiciones: 
 
• f debe estar definida en 0x 
• debe existir el 
0
lim ( )
x x
f x
→
 
• el valor de dicho límite debe coincidir con el valor de la función en el punto 0x 
 
 Intuitivamente f será continua en 0x si no presenta “saltos” o “ agujeros”, o dicho de otro modo, 
si podemos trazar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. 
 
 
 
 
 23 
Matemática II 2007 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 y y 
 
 
 ⋅° 
 
 
 
 0x 0x 
 f(x) no es continua en 0x f(x) no es continua en 0x 
 
 
 
 
 
 
 
 0x 0x 
 f(x) es continua en 0x f(x) es continua en 0x 
 
 
Propiedades: 
 
Sean f y g funciones continuas en 0x : 
• (f+g) es continua en 0x 
• (f.g) es continua en 0x 
• f
g
 es continua en todo 0x / 0( ) 0g x ≠ 
 
• La composición de funciones continuas es una función continua: 
 Si f es continua en 0x y g es continua en 0( )f x g f⇒ � es continua en 0x 
 
•
0 0
lim ( ( )) ( lim ( ))
x x x x
g f x g f x
→ →
= 
 
 
Si alguna de las condiciones que debe satisfacer f para que sea continua en 0x no se cumple , se dice 
que f es discontinua en 0x 
 24 
Matemática II 2007 
 
Clasificación de las discontinuidades: 
 
• f es discontinua en 0x y 
0
lim ( )
x x
f x f
→
∃ ⇒ presenta en 0x una discontinuidad evitable 
 
• f es discontinua en 0x y 
0
lim ( )
x x
f x f
→
¬∃ ⇒ presenta en 0x una discontinuidad no evitable o 
esencial 
 
 
 Las discontinuidades llamadas evitables nos dicen que es posible hacer una redefinición de f de 
manera que resulte continua en 0x . 
 Las discontinuidades denominadas inevitables o esenciales, nos dicen que esto no es posible. 
 
 
 4- Continuidad en un intervalo: 
 
 
Definición: 
 
• una función f(x) se dice continua en (a,b), si es continua en cada punto de (a,b) 
 
• una función f(x) se dice continua en [a,b], si es continua en de (a,b) y además se verifica que: 
 
lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
x a x b
f x f a y f x f b
+ −→ →
= = 
 
 
 Hemos aceptado que , ,a a∀ ∈ℝ lim
x a
senx sena
→
= , es decir la continuidad de la función seno. 
 
Ahora estamos en condiciones de demostrarlo: 
 
Debemos ver que lim
x a
senx sena
→
= o equivalentemente que 0 0 00lim ( ) ,h sen x h senx x→ + = ∀ ∈ℝ , 
Lo cual es inmediato ya que: 
 
0 0 00 0
lim ( ) lim cosh cos
h h
sen x h senx x senh
→ →
+ = + = 
 
0 0 0 0 00 0
limcosh cos lim 1 cos 0
h h
senx x senh senx x senx
→ →
+ = + = 
 
 Del mismo modo puede probarse que la función coseno es continua en ℝ , como también las 
funciones exponenciales y logarítmicas. 
 
 
 
 
 
 25 
Matemática II 2007 
 
Teorema del Valor Intermedio: 
 
 
Sea f(x) continua en [a,b] y sea w un valor cualquiera entre f(a) y f(b) , entonces existe c, c∈ [a,b] tal 
que f(c)=w. 
 
Podemos analizar gráficamente el enunciado del teorema: 
 
 
 
 
y 
 f(b) 
 w = f(c) 
 
 f(a) 
 
 x 
 a c b 
 
Corolario 1: 
 
Sea f(x) continua en [a,b] y sea signo( f(a))≠ signo( f(b)) , entonces existe c, c∈[a,b] tal que f(c)=0. 
 
Veamos gráficamente el corolario: 
 y 
 
 
 
 
 
 
 a 
 c b x 
 
 
 
 
Corolario 2: 
 
Sea f(x) continua en [a,b] y f(x)≠ 0 [ ],x a b∀ ∈ , entonces f conserva su signo en [a,b] 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
Matemática II 2007 
 
Actividades: 
 
20) Interprete geométricamente el corolario 2 
 
21) Mostrar que 2( )f x x= es continua en ℝ 
 
22) Mostrar que la funciones polinómicas son continuas en ℝ . 
 
23) Mostrar que ( )f x x= es continua en ℝ 
 
24) Hallar el o los intervalos en los que las siguientes funciones son continuas: 
a) 
23 2
( )
1
x x
f x
x
− −=
−
 
 
 
b) ( )f x = 
23 2
1
x x
x
− −
−
 1x ≠ 
 0 x=1 
 
c) 5 x− 2x ≤ 
 f(x)= 
 2x-3 x>2 
 
d) f(x)=
1 x
x
+
 
 
25) Dada : 
2 4
2
2
x
x
x
− ≠
−
 
 a) f(x)= 
 
 k x=2 
 
Hallar el valor de k para que f resulte continua en ℝ . Graficar 
 
 b) 3 2x x+ ≤ 
 f(x)= 
 cx+6 x>2 
 
Hallar el valor de c para que f resulte continua en ℝ . Graficar 
 
 c) 3x+ 1<x<3 
 f(x)= 
 2 2 1x bx c x+ + − ≥ 
 
 27 
Matemática II 2007 
 
Hallar los valores de b y c para que f resulte continua en ℝ . Graficar 
1
0xe x≠ 
 d) f(x)= 
 
 k x=0 
 
Hallar el valor de k para que f resulte continua en ℝ . Graficar 
 
 e) 
1
1
x
xe x
−
+ >-1 
 f(x)= 
 3x+k x≤ -1 
 
Hallar el valor de k para que f resulte continua en ℝ . Graficar 
 
26) En la figura se muestra la gráfica de una función. Estudie la continuidad de la misma e indique: 
a) ¿Cuáles de las discontinuidades son evitables?¿Cómo definiría la función para hacerla 
continua en ese punto? 
b) ¿Cuáles de las discontinuidades son esenciales? ¿Por qué? 
 y 
 
 
 
 . 
 
 
 ° 
 
 
 a b c 
 
 
 
 
27) 2
1
0x sen x
x
≠ 
 f(x)= 
0 x=0 
 
Demostrar que f es continua en x=0 
 
28) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 
 
a) senx 0≤ x< / 2π 
 f(x)= 
 sen (x-/ 2)π / 2 xπ π≤ ≤ 
 
 28 
Matemática II 2007 
 
 
b) cosx π− ≤ x<0 
 f(x)= 
 sen (x+/ 2)π 0<x π≤ 
 
 
29) Indicar el valor de b para que 
2( 81). , 
, 
9
( )
9
1
9
x
f x
x
x
x
sen
b
− ≠
=
=
  
  − 

 
 sea continua en x = 9 
 
 Enunciar la propiedad que usa. 
 
 30) Indicar el valor de b para que 
2( ). , 
, 
6
( )
6
1
36
6
x
f x
x
x
x
sen
b
≠
=
=
  −  − 


 
 sea continua en x = 6 
 
 Enunciar la propiedad que usa. 
 
 31) Indicar el valor de b para que 
2 1( 16). , 
4
, 
4
( )
4
x
x
x
j x
b x
sen−
−
≠
=
=
  
  
 

 sea continua en x = 4 
 Enunciar la propiedad que usa.