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1 Análisis Matemático I Unidad Temática: Límite y continuidad de funciones reales de variable real 1. Explique el significado de 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1− 𝑓(𝑥) = 4 y 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = 6 En esta situación, ¿es posible que lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) exista? Justifique 2. Si bien la función 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) 𝑥 no se encuentra definida cuando 𝑥 = 0 conjeture, utilizando un graficador, el valor del 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 sen(𝑥) 𝑥 (si este límite existe). 3. Si bien la función 𝑓(𝑥) = sen ( 𝜋 𝑥 ) no se encuentra definida cuando 𝑥 = 0 conjeture, el valor del 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 sen ( 𝜋 𝑥 ) (si este límite existe). Para ello vamos a tender a 0 de diferentes maneras: a. Determine el valor de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 …, o sea para 𝑥 = 1 𝑛 , con 𝑛 ∈ ℤ y 𝑛 ≥ 1 b. Determine ahora el valor de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 2, 2 5 , 2 9 , 2 13 …, o sea para 𝑥 = 2 4𝑛+1 , con 𝑛 ∈ ℤ y 𝑛 ≥ 0 c. Por último, determine el valor de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 2 3 , 2 7 , 2 11 …, o sea para 𝑥 = 2 4𝑛+3 , con 𝑛 ∈ ℤ 𝑦 𝑛 ≥ 0 d. ¿Qué sucederá en las proximidades del punto 𝑥 = 0? …………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… e. Grafique la función y corrobore sus conclusiones 4. Demuestre que 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 |𝑥| = 0 y que 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 |𝑥| 𝑥 no existe. 5. Grafique la siguiente función 𝑓(𝑥) = { 2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1 𝑥 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1 (𝑥 − 1)2 𝑠𝑖 𝑥 > 1 Determine los valores de a para los cuales existe el 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 6. Considere la función 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 < 2 2𝑥 − 5 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 Encuentre los valores de las constantes a y b para que existan 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑓(𝑥) y 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑓(𝑥) 7. Determine el valor del límite, si existe: GUIA DE ACTIVIDADES N°2 2 Sección 1: a. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 3𝑥2−4𝑥−11 2𝑥+1 b. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑥2−9 𝑥−5 c. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √3𝑥3 + 5 3 d. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−8 𝑥− √𝑥 3 4𝑥−10 Respuestas: a) − 7 5 b) 0 c) 2 d) 1 7 Sección 2: e. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−3+ 𝑥+2 𝑥+3 f. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4− 𝑒𝑥 (𝑥−4)3 g. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥+2 (𝑥−1)2 h. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3+ ln(𝑥2 − 9) i. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0− 𝑥3−8 𝑥4 j. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ (3𝑥4 + 2𝑥5) k. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥7 l. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 2 𝑥 +1 𝑥2+3 Respuestas: e) −∞ f) −∞ g) +∞ h) −∞ i) −∞ j) −∞ k) +∞ l) 0 Sección 3: m. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥2+𝑥−6 𝑥−2 n. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2+𝑥−2 5𝑥−5 o. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 2𝑥2−8𝑥 𝑥2−3𝑥−4 p. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (4+𝑥)2−16 𝑥 q. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥+2 𝑥3+8 r. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−4 𝑥2+5𝑥+4 𝑥2+3𝑥−4 s. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2−2𝑥+1 𝑥4−1 t. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→7 √𝑥+2−3 𝑥−7 u. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 √𝑥+5−3 (2−𝑥)2−4 v. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2−3𝑥+2 √𝑥−1 w. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥−2 √6−𝑥−√𝑥+2 x. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 2𝑥−2 𝑥2−2𝑥+1 y. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1+ 2𝑥2+2𝑥 𝑥3−3𝑥−2 z. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 2𝑥+2 𝑥−3 aa. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 4𝑥+1 5−2𝑥 bb. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 3𝑥3−2𝑥+1 −𝑥+2 cc. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑥2+2 𝑥3+𝑥2−3 dd. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑥+2 √9𝑥2+1 ee. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 2𝑥−5 √4𝑥2+1 ff. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ √𝑥2 + 4 − √𝑥2 − 1 gg. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ √𝑥2 + 3𝑥 − 𝑥 Respuestas: m) 5 n) 3 5 o) 8 5 p) 8 q) 1 4 r) 3 5 s) 0 t) 1 6 u) 1 24 v) −2 w) −2 x) ∞ y) +∞ z) 2 aa) −2 bb) −∞ cc) 0 dd) 1 3 ee) −1 ff) 0 gg) 3 2 8. Si 3𝑥 − 5 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑥2 − 3𝑥 + 4 para 𝑥 ≥ 0, encuentre el 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑓(𝑥). 9. Realice a mano alzada un posible gráfico de una función f que satisfaga las condiciones dadas: a. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = +∞, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0− 𝑓(𝑥) = −∞, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 1, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 1. 3 b. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑓(𝑥) = +∞, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 3, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −3 c. 𝑓(2) = 1, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑓(𝑥) = −∞, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑓(𝑥) = −1, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = −2, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4− 𝑓(𝑥) = 2, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4+ 𝑓(𝑥) = −3 10. Encuentre el límite, si existe. Si no existe, explique por qué: a. 𝑙𝑖𝑚 x→2 (3𝑥 + |𝑥 − 2|) b. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−4 |𝑥+4| 2𝑥+8 c. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥2−4 |𝑥−2| Respuestas: a) 6 b) 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 c) 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 11. En la teoría de la relatividad, la fórmula de la contracción de Lorenz 𝐿 = 𝐿0√1 − 𝑣2/𝑐2 expresa la longitud L de un objeto como función de su velocidad v respecto a un observador, donde L0 es la longitud del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz. Encuentre 𝑙𝑖𝑚 𝑣−>𝑐− 𝐿 e interprete el resultado. ¿Por qué se necesita el límite por izquierda? 12. ¿Hay un número real a tal que 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 3𝑥2+𝑎𝑥+𝑎+3 𝑥2+𝑥−2 exista? Si es así encuentre los valores de a y del límite. 13. Un depósito contiene 550 L de agua pura. Se bombea salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al depósito a una velocidad de 25 L/min. Demuestre que la concentración de sal t minutos después (en gramos por litro) es 𝐶(𝑡) = 30𝑡 22 + 𝑡 ¿Qué sucede con la concentración cuando 𝑡 → +∞? 14. Es posible demostrar que, según ciertas hipótesis, la velocidad v(t) de una gota de lluvia que cae, en el instante t, es 𝑣(𝑡) = 𝑣𝑇(1 − 𝑒 −𝑔𝑡/𝑣𝑇) donde g es la aceleración debida a la gravedad y 𝑣𝑇 es la velocidad terminal de la gota de lluvia. a. Encuentre 𝑙𝑖𝑚 𝑡→∞ 𝑣(𝑡) b. Trace la gráfica de v(t) si 𝑣𝑇 = 1 m/s y g = 9,8 m/s2. ¿Cuánto tiempo transcurre para que la velocidad de la gota de agua alcance el 99% de su velocidad terminal? 15. Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de cada curva. a. 𝑦 = 2𝑥2−3𝑥+1 𝑥2+𝑥−2 b. 𝑦 = 2𝑒𝑥 𝑒𝑥−5 c. 𝑦 = 𝑥−2 √𝑥2−4 d. 𝑦 = −𝑥+3 2𝑥2−8𝑥+6 e. 𝑦 = 𝑒𝑥+2−3 3𝑒𝑥+1 f. 𝑦 = ln ( 𝑥+2 𝑥−2 ) g. 𝑦 = 3𝑥 √𝑥2+1−1 h. 𝑦 = 𝑥 √𝑥−1 Respuestas: a) 𝑦 = 2; 𝑥 = −2 b) 𝑦 = 2; 𝑦 = 0; 𝑥 = ln(5) c) 𝑦 = 1; 𝑦 = −1; 𝑥 = −2 d) 𝑦 = 0; 𝑥 = 1 e) 𝑦 = 𝑒2 3 ; 𝑦 = −3 4 f) 𝑦 = 0; 𝑥 = −2; 𝑥 = 2 g) 𝑦 = −3; 𝑦 = 3; 𝑥 = 0 h) 𝑥 = 1 16. Grafique una función que tenga una discontinuidad por salto finito en 𝑥 = 2, una discontinuidad evitable en 𝑥 = 4 y que sea continua en todos los demás puntos. 17. Si f y g son funciones continuas con 𝑓(3) = 5 y 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 [2𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 4, encuentre 𝑔(3). 18. Explique por qué la función es discontinua en 𝑥 = 𝑎. a. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥 − 2| 𝑎 = 2 b. 𝑓(𝑥) = { 1 𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1 2 𝑠𝑖 𝑥 = 1 𝑎 = 1 c. 𝑓(𝑥) = { 𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑎 = 0 19. Analice si existe el 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) para: a. 𝑓(𝑥) = |𝑥−3| 6−2𝑥 𝑎 = 3 b. 𝑓(𝑥) = { 𝑥3 + 4 𝑠𝑖 𝑥 < −1 5 𝑠𝑖 𝑥 = −1 −𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > −1 𝑎 = −1 Para cada una de las funciones anteriores analice la continuidad en 𝑥 = 𝑎 y, en caso de que haya una discontinuidad, clasifíquela. 20. Encuentre los valores de x en que la función es discontinua. a. 𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑒𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1 b. 𝑓(𝑥) = { 5𝑥2−10𝑥−15 𝑥2−𝑥−6 𝑠𝑖 𝑥 < 3 𝑒2𝑥−6 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 c. 𝑓(𝑥) = { 3𝑥2+2𝑥 𝑥3+𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 ln(𝑥 − 1) 𝑠𝑖 1 < 𝑥 < 2 (𝑥 − 2)2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 d. 𝑓(𝑥) = { 𝑥−8 3−√𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 8 3 𝑠𝑖 𝑥 = 8 21. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa unitaria a una distancia r del centro del planeta es 𝐹(𝑟) = { 𝐺𝑀𝑟 𝑅3 𝑠𝑖 𝑟 < 𝑅 𝐺𝑀 𝑟2 𝑠𝑖 𝑟 ≥ 𝑅 Donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante gravitacional. ¿F es una función continua? 22. ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua en ℝ?5 a. 𝑓(𝑥) = {𝑐𝑥 2 + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 2 𝑥3 − 𝑐𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 b. 𝑓(𝑥) = { 3𝑥 − 𝑐 𝑠𝑖 𝑥 < 1 𝑥2 + 𝑐𝑥 − 8 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 c. 𝑓(𝑥) = { √−1+𝑥−1 𝑥−2 𝑠𝑖 𝑥 > 2 𝑐𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2 23. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. sen(𝑥), demuestre que hay un número 𝑐 tal que 𝑓(𝑐) = 1000. 24. Use el Teorema de Bolzano para demostrar que hay una raíz de la ecuación dada en el intervalo especificado. a. 𝑥4 + 𝑥 − 3 = 0 en (1, 2) b. 𝑒𝑥 = 3 − 2𝑥 en (0, 1) 25. Demuestre que las siguientes ecuaciones tienen al menos una raíz real y luego use su calculadora para hallar un intervalo de longitud 0,01 que contenga una raíz. a. cos(𝑥) = 𝑥3 b. ln (𝑥) = 3 − 2𝑥 26. Demuestre que la ecuación 100. 𝑒− 𝑥 100 = 0,01𝑥2 tiene al menos una raíz real y luego utilice un graficador para hallar la raíz correcta a tres posiciones decimales.
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