Actuarial_Modulo_I

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Calculo Actuarial II
Juan Isaula
Modulo I
Calculo Actuarial II
Juan Isaula
Modulo I
Asesoría c� Matemáticas - Económica
La esencia de las matemáticas no es hacer
las cosas simples complicadas, sino hacer las
cosas complicadas simples.
S Gudder.
Dedication.
For my friends
Contents
1 Tabla de Mortalidad 1
1.1 Función de Supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Factor de Actualización Actuarial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Principio del colectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Modelos de Seguro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Seguro Dotal (Endowment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Prima anual de seguros de vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Ejercicios Resueltos - Considerando la tabla de mortalidad Colombiana
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.4 Seguro de Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.5 Seguro Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.6 Seguro Ordinario Diferido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.7 Seguro Temporal Diferido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.8 Seguro Mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.9 Resolución de Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
vii
1
2
1. Tabla de Mortalidad
Siempre busca la manera de
divertirte con las matemáticas .
— Juan Isaula
Una tabla de Mortalidad (o de Supervivencia) contiene los elementos bási-
cos que permiten calcular las probabilidades de muerte y supervivencia en una
población homogénea, a partir de las cuales se llevan a cabo los cálculos actuari-
ales.
Una tabla de mortalidad típica puede tener la siguiente estructura:
� �� �� �� ��
0 0.012964 12964.000 1000000 72.80
1 0.001011 997.893 987036.000 72.75
2 0.000704 694. 171 986038.107 71.82
...
...
...
...
...
107 1.000000 4396.000 4396.000 0.50
108 1.000000 000.000 000.000 0.00
La primera columna representa las edades de los individuos, que únicamente
toma valores enteros. La segunda columna representa las probabilidades de que
los individuos de edades � = 0� 1� 2� �� mueran antes de un año. En módulos previos
a este curso hemos denominado �� a dichas probabilidades. La última columna
representa como sabemos, la esperanza de vida (abreviada) a las distintas edades.
Conocidos los valores de las �� se pueden calcular fácilmente las demás proba-
bilidades básicas ����� ����|� �� (aunque solamente para valores enteros de �� � y
�). Del curso de matemática financiera sabemos que �� = 1 − �� y también que
��� = �� · ��+1 · · · ��+�−1. Además, es claro que ��� = 1 −� �� . Finalmente tenemos
que �|��� =� �� ·� ��+�.
Por tanto, la tabla de mortalidad nos proporciona la distribución de probabilidad
3
de la variable aleatoria K� (número completo de años de vida hasta la muerte de (�)).
Incluso la última columna se puede obtener a partir de los �� , ya que, como
sabemos por apartado 1.5.2 en Matemáticas de los seguros de vida se verifica que
�� =
�∞
�=0 �+1�� . En consecuencia las tablas de mortalidad podrían constar tan
solo de una única columna de valores de �� . Pero tradicionalmente las tablas de
mortalidad incluyen dos columnas más que informan de los valores de dos nuevas
variable denotadas como �� y �� y que definimos a continaución.
Consideremos un grupo de �0 recién nacidos, por ejemplo �0 = 1000000 (la elección
de su valor es arbitraria). La supervivencia hasta la edad � de uno cualquiera
de los recién nacidos es un suceso aleatorio que se puede representar como una
variable aleatoria de Bernoulli, que toma el valor 1 con probabilidad �(�) y el valor
0 con probabilidad 1 − �(�). Ahora, definamos una nueva variable aleatoria como ��
que represente el número total de recién nacidos que sobreviven hasta la edad � .
Tendremos que
�� = �0 · �(�)
los valores de �� (número esperado de recién nacidos que sobreviven a las distintas
edades � = 0� 1� 2� 3� ��) están tabulados en la cuarta columna de nuestro ejemplo
de la tabla de mortalidad. Vemos a así, que el numero esperado de recién nacidos
que llegan a cumplir un año es 987036, el de los que llegan a cumplir dos años
de edad es 986038�107, etc. Obviamente los valores de �� decrecen según aumenta
la edad � , hasta llegar a la edad límite ω (108 años en nuestro ejemplo) en donde
evidentemente se tiene que �ω = 0.
Algo importante es que los valores de las probabilidades básicas de muerte y
supervivencia ��� , ��� , �|��� pueden calcularse fácilmente a partir de dichas �� . En
efecto,
�� = �0�(�) =⇒ �(�) =
��
�0
=⇒ �(� + �) = ��+��0
y por tanto:
��� =
�(� + �)
�(�) =
��+�
��
��� = 1 −� �� =
�� − ��+�
��
�|��� =
�(� + �) − �(� + � + �)
�(�) =
��+� − ��+�+�
��
https://drive.google.com/file/d/1XtV8YSzYT5tBnoDo2TqHhf7f0cA9GiSN/view
1.1. FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA 4
Por otro lado, tenemos a �� que representa el número de individuos del grupo
inicial de �0 recién nacidos que mueren entre las edades � y � + � . LLamaremos a
su esperanza ��� (d de dead, muertos):
��� = �� − ��+�
En particular, tomando � = 1 obtenemos el número esperado de individuos que
mueren entre las edades � y � + 1 y denotaremos como �� :
�� = �� − ��+1
Nota: John Graunt publico la primera tabla de mortalidad.
A continuación recordaremos ciertos conceptos que serán de mucha utilidad más
adelante:¿Qué es un modelo?
Es una versión simplificada de la realidad.¿Qué es un modelo deterministico?
Un modelo deterministico va a depender únicamente de las entradas.
Ejemplo: El estado del agua (depende de la presión y temperatura)¿Modelo Estocastico?
En un modelo estocástico, las salidas no solamente dependen de las entradas y es
imposible poder predecir e comportamiento de esas salidas.
de Ejemplo: Salida de una moneda, salida de dados.
Ejemplo: Otro ejemplo, puede ser si se conoce la edad de alguien � años. ¿Cuál es
la edad de fallecimiento de esa persona?
1.1 Función de Supervivencia
Aunque en las tablas solamente aparecen los valores de �� para � entero, la función
�� puede perfectamente definirse para cualquier � real y positivo. en tal caso �� se
denomina Función de Supervivencia.
En el apartado 1.2.3 en Matemáticas de los seguros de vida definimos la función de
supervivencia como aquella que para cada edad � proporciona la probabilidad de
que un recién nacido alcance con vida dicha edad y la denotamos como �(�). Ahora
definimos la función de supervivencia como �� , numero esperado de individuos del
colectivo inicial �0 recién nacidos que sobreviven a la edad � .
La fuerza de mortalidad y la función de supervivencia se encuentran relacionadas.
https://drive.google.com/file/d/1XtV8YSzYT5tBnoDo2TqHhf7f0cA9GiSN/view
1.1. FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA 5
En efecto, en el apartado 1.4 en Matemáticas de los seguros de vida se probó que
µ� = −
��(�)
�(�)
pero
�(�) = ���0
=⇒ ��(�) = �
�
�
�0
y, por tanto,
µ� = −
���
��
= − ��� ln(�� )
Luego, conocida la función de supervivencia se puede calcular la fuerza de mortal-idad, que resulta ser la variación relativa de aquella. Inversamente el lector puede
comprobar que
�� = �0�−
� �
0 µ���
Así, por ejemplo cuando la fuerza de mortalidad es constante (ley exponencial) se
comprueba fácilmente a partir de la fórmula anterior que
�� = �0�−µ�
Como mencionamos anteriormente Graunt incluyó la primera tabla de mortalidad
de la historia, relativa a la población de Londres. Dicha tabla es:
� ��
0 100
6 64
16 40
26 25
36 16
46 10
56 6
66 3
76 1
Los registros de mortalidad a los que tuvo acceso Graunt indicaban la causa de
la muerte y el sexo de los difuntos, pero no su edad. Graunt registró la propor-
ción quemorián de enfermedades infantiles (las cuales presumiblemente han de ser
niños), añadiendo la mitad de las que morián de enfermedades como sarampión o
viruela (que afectan igualmente a niños y adultos), y concluyendo que 36 de cada
100 personas morián antes de los 6 años. Esto proporciona la segunda fila de su
https://drive.google.com/file/d/1XtV8YSzYT5tBnoDo2TqHhf7f0cA9GiSN/view
1.2. FACTOR DE ACTUALIZACIÓN ACTUARIAL 6
tabla de motalidad. La hipótesis de que casi nadie sobrevivía a los 76 años de edad
proporciona su última fila.
Algunas fórmulas que debe considerar, dichas fórmulas fueron obtenidas a partir de
la teoría previa.
• �� = 1 − ��
• ��+1 = �� − ��
• �� = �� · ��
• �(�) = ���0
• �� =
�ω−1
� ��
��
= 1 · �� + 1 · ��+1 + 1 · ��+2 + ��� + �ω−1��
Dichas fórmulas fueron utilizadas para completar la siguiente tabla de mortali-
dad Tabla de Mortalidad 1 - Ejemplo
1.2 Factor de Actualización Actuarial
Introduciremos el factor de actualización actuarial a partir de la siguiente sencilla
operación de seguro: una persona de edad � recibirá un capital unitario si sobrevive
dentro de n años, esto es, si alcanza con vida la edad � + � .
Ciertamente, al depender la prestación de la supervivencia o no de (�) a la edad
� + � , tomaremos como variable aleatoria fundamental a T� , tiempo de vida hasta
la muerte o vida residual de (�), cuya función de distribución G� (�) supondremos
conocida.
En este caso nos interesan dos sucesos:
• (�) alcanza con vidad la edad � + � , esto es, T� > � .
• (�) fallece antes de alcanzar la edad � + � , esto es, T� ≤ � .
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1l0TxhZLlAw8dzwXf2uvi2mAKTEsg0qbc/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
1.3. PRINCIPIO DEL COLECTIVO 7
Ambos poseen probabilidades conocidad ��� y ��� respectivamente.
Por otra parte el valor actual de los capitales de la prestación, cuya cuantia depende
del valor que tome T� , puede expresarse mediante la siguiente función de T� :
Z = � (T� ) =
�
0 �� T� ≤ �
�� �� T� > �
donde � = (1 + �)−1 es el factor de actualización financiera para un periodo de un
año y �� el correspondiente a � años. � es el tipo de interés técnico de la operación.
Ciertamente Z es una variable aleatoria. Obtengamos sus principales momentos:
a) Su esperanza matemática o valor actual actuarial, es igual a
E (Z ) = 0 ·� �� + �� ·� ��
se representa por �E� y se denomina factor de actualización actuarial. Por
tanto, dicho factor se define como
�E� = �� ·� ��
b) varianza. Puesto que
E (Z 2) = 02 ·� �� + �2� ·� �� = �2� ·� ��
Por tanto,
V ��(Z ) = E (Z 2) − [E (Z )]2 = �2� ·� �� − �2�(��� )2
= �2� ·� �� (1 − ��� )
= �2� ��� ·� ��
El factor de actualización actuarial se define, pues, como la esperanza matemática
(o valor actual actuarial) de una cierta variable aleatoria.
1.3 Principio del colectivo
Este dice que el valor actual actuarial (v.a.a)
V ����(I�������) = V ����(E������) −→ Principio del colectivo .¿Para qué nos va a servir ésto?
Nos ayudara a poder hacer un calculo para el primer seguro que veremos en el
modulo I (seguro Dotal).
1.4. MODELOS DE SEGURO 8
1.4 Modelos de Seguro
1.4.1 Seguro Dotal (Endowment)
donde
Z =
�
0 �� T� < �
1 �� T� > �
Nos interesará el valor actual actuarial del costo,
V ����(C����) = E [Z ] = 1· ��� +0· ��� =� �� −→ Sin considerar la parte financiera
Considerando la parte financiera:
V ����(C����) = 1 · ��� · �� + 0 =� �� · ��
�E� = 1 · ��� · �� =� �� · �� −→ Esto es un Dotal
Dicho Dotal previo, me paga una cantidad si sobrevivo un tiempo.
Para calcular estos modelos de seguro se requiere probabilidades.Ejemplo 1
Utilizando la tabla Tabla de Mortalidad 1 - Hoja 1; calcular el valor de un Dotal de
600,000 para una persona de edad 24 y que se pagara la suma asegurada si llega
vivo a los 60, usar � = 4%.
Solución
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1l0TxhZLlAw8dzwXf2uvi2mAKTEsg0qbc/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
1.4. MODELOS DE SEGURO 9
Entonces,
V ����(B���� ����) = 600000 · �E�
= 600000 · 36E24
= 600000 · 1 · 36�24 · �36
= 600000 · ·0�87627 · (1 + 0�04)−36
= 128,111.75
Si en lugar de comprar el seguro, yo lo hubiese ahorrado, pues, tendría lo siguiente:
V F = 128� 111�75(1 + 0�04)36 = 525,761.98
Ahora , la pregunta es:¿Qué será mejor, el dotal o el ahorro?
Es claro, que es mejor recibir los 600,000. Sin embargo, es una desición personal.Ejemplo 2
Determinar la prima de un dotal que paga 80,000 a una persona de edad 20 años,
si llega vivo a los 35 años. Utilice la tabla Tabla de Mortalidad 1 - Hoja 1 y tasa
� = 5%.
Solución
Por tanto,
P���� = 80� 000 · 15E20 = 80000 · 1 · 15�20 · �15
= 80000 · 0�97309 · (1 + 0�05)−15
= 37,445.98
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1l0TxhZLlAw8dzwXf2uvi2mAKTEsg0qbc/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
1.4. MODELOS DE SEGURO 10
Factor de Actualización y Capitalización
−→ V ���� = � · �E� −→ Factor de Actualización Actuarial
−→ V �F �� = � · 1
�E�
−→ Factor de Capitalización Actuarial
Marcha Progresiva
Buscar prima en función de la tabla.
Imagine que tiene 1000 personas que tienen 20 años y a todos les vende el dotal
con una prima de 32,000 y les dice que si llega a la edad de 35 años entonces le
dará 800000. Ahora, la pregunta es: ¿Cuantos llegan vivos a la edad estipulada?.
Sin embargo, no se le ajustara el capital para pagar los seguros con dicha prima,
eso se debe que la prima se escogio al azar. Para comprobar lo que menciono
pueden ver en Tabla de Mortalidad 1 - Hoja 2
Utilizando el principio del colectivo para determinar el dotal �E�
V ����(I�������) = V ����(E������)
Llamaremos a C = Valor prima pura única, entonces
C · �� = 1 · ��+� · ��
C = 1 ·
�
��+�
��
�
��
= 1 · ��� · ��
�E� = 1 ·
��+�
��
�� · �
�
�� =
��+� · ��+�
�� · ��
= D�+�D�
Los actuarios inventaron el valor conmutado, dicho valor se usaba en la época donde
no existían computadoras y es una D.
Valor conmutado D� = �� · �� .
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1l0TxhZLlAw8dzwXf2uvi2mAKTEsg0qbc/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
1.4. MODELOS DE SEGURO 11
Agregaremos una columna con el valor D� en Tabla de Mortalidad 1 - Hoja 2, el
lector lo puede visualizar yendo a Tabla de Mortalidad 1 con Dotal - Hoja 2, con
esto erá facil venir también y decir:
P���� = 80000 · D35D20
= 37,445.98
Otro Ejemplo
P = 20000 · 35E30 = 20000 ·
D65
D30
= 20000 · 307�456932� 216�59600 = 2,774.14
1.4.2 Prima anual de seguros de vida
Es importante aclarar que los pagos de seguro son al final del periodo.¿Cuál es la probabilidad de fallecer de una persona de edad �?
Es 1�� = ��
Entonces, el valor actual actuarial de un seguro que me dará 1 lempira si fallece
alguién, pues es:
V ���� = 1 · �� · � = 1 ·
��
��
· � ya que �� = ����
Ejemplo
La señora Claudia quiere un seguro de vida anual de 200,000 con una edad de 40
años. Utilizando la tabla Tabla de Mortalidad 1 - Hoja 1 para mujeres y una tasa
� = 4%, determinar el valor de la prima.Solución
�40 = 0�00253 −→ Obtenido de la tabla 1 - Hoja 1
Luego, tenemos que
P = 200000 · 0�00253 · (1 + 0�04)−1 = 486.53
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1l0TxhZLlAw8dzwXf2uvi2mAKTEsg0qbc/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1w8Icf0Msoo3WRnCIi9rngLoVrhMLKIUP/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1l0TxhZLlAw8dzwXf2uvi2mAKTEsg0qbc/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
1.4. MODELOS DE SEGURO 12
1.4.3 Ejercicios Resueltos - Considerando la tabla de mortalidad Colom-biana
• Se cosntruyo la tabla de mortalidad partiendo de los datos colombianos, el
lector la puede ver en Construcción tabla de mortalidad - Datos Colombianos
• Calcule el valor de la probabilidad que una persona de 20 años sobreviva los
30 años.
Solución
Basaremos dicha probabilidad a partir de la tabla construida en ítem previo:
10�20 =
S(30)
S(20) = 0.96521
• Calcule el valor de un dotal de45,000 para una persona de 20 años que será
pagado si llega a los 30 años, utlizando la tabla de mortalidad colombiana
construida en ítem 1 con una tasa de interés del 5%.
Solución
V D = 45000 · D30D20
= 26664.98452
• Calcule el monto de un seguro anual con una suma asegurada de 600,000 para
una persona de 40 años, utilizando la tabla de mortalidad del primer item y
una tasa de interés del 5%.
Solución
La prima de seguro unitario será: 0�003991994(1 + 0�05)−1 = 0�0038019 Por
tanto, la prima del seguro es:
prima del seguro = 600000 · 0�0038019 = 2281.13971
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rr8m3m_AQPcnAOkJbzAJkP901uxaJIzT/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
1.4. MODELOS DE SEGURO 13
1.4.4 Seguro de Vida
Basicamente un seguro de vida tiene una notación siempre con una A y con el la
edad (�) a la cual inicia el seguro. Edad con la cual esta vigente a partir de ella en
adelante, como se ilustra a continuación
Dicho seguro recibe el nombre de Seguro ordinario de vida. Y se determina con
el principio del colectivo y se vera que un seguro ordinario no es más que la suma
de un montón de seguros anuales todos traídos a valor presente, de la siguiente
manera:
��A� = 1 · �� · �1 + 1 · ��+1 · �2 + ��� + 1 · �ω−1 · �ω−� (1.1)
(1.1) es igual siempre que las sumas aseguradas sean iguales, pero cuando las
sumas aseguras son distintas entonces es otra prima. Note que, con base en (1.1),
tenemos que
A� =
�
�
���
��
��
��
�1 +
�
�
��✓
1|��
��+1
��
�2 + ��� (1.2)
Recordar que
C� = �� · ��+1 (1.3)
D� = �� · �� (1.4)
Luego, usando (1.3) y (1.4), obtenemos que (1.2) se vuelve:
A� =
C�
D�
+ C�+1D�
+ ��� + Cω−1D�
=
�ω−1
�=� C�
D�
= M�D�
Lo anterior es una descritización de la varibale (T� ) de los años esperados al nacer.
¿Qué pasa cuando usted tiene una variable continua de los años esperados al
nacer?.
Cuando se tiene una variable de los años esperados al nacer para una persona
que tiene una edad � y puede fallecer con cualquier edad mayor que � y a eso
le llamamos vida residual, entonces como calcular un seguro cuando ya no es
1.4. MODELOS DE SEGURO 14
una variable discreta de una edad en particular que tenga alguién como se vio
previamente, ¿que pasa si no, si estamos hablando que se le va a pagar justo en el
momento en el que fallezca y va fallecer con una edad que puede ser cualquiera de
una distribución?. Bueno, a dicho seguro se le denomina
Ā� =
� ∞
0
V � · �� (�)�� (1.5)
donde ��� = G� (�) y �� (�) es la función de densidad de G .
Entonces, como se calcula para un seguro con una tabla de mortalidad:
Ejemplo de un seguro anual - Hoja 4
Ejemplo de un seguro ordinario - Hoja 5
¿Cual de todas las leyes de mortalidad que no tiene un ω, es decir que usted puede
vivir infinito?Resp: Es de la más básicas, es la ley exponencial. Dicha ley tiene varias forma de
decirlas, por ejemplo una de las formas es:
µ� = µ −→ es decir, µ� es constante ��� S(�) = �−µ·�
donde,
��� = 1 −� �� = 1 −
S(� + �)
S(�) = 1 −
�− µ�+�
�−µ�
G� (�) = 1 − �−µ�
y la función de densidad para G� (�) sería �� (�) = µ�−µ� en (0� ∞).
Basados en esta ley exponencial, podemos preguntarnos: ¿Cuál sería el seguro de
vida ordinario para una persona de edad �?Resp:
Ā� =
� ∞
0
(1 + �)−� · µ�−µ���
=
� ∞
0
�−δ� · µ�−µ��� δ : Interés continuo
= µ
� ∞
0
�−(δ+µ)���
= µδ + µ ·
�
−�|δ+µ|�
�∞
0
= µδ + µ Prima Continua
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1w8Icf0Msoo3WRnCIi9rngLoVrhMLKIUP/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1w8Icf0Msoo3WRnCIi9rngLoVrhMLKIUP/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
1.4. MODELOS DE SEGURO 15
¿Como saber que una inversión esta viva o muerta?Resp: Todo depende de si me genera dinero o no la inversión.
Ejemplo
Calcular la prima de un seguro anual para una persona de edad 32, con una suma
asegurada de 2000, � = 5%.
Solución
P����32 = 2000 ·1 �32 · �� �� �
1�� �����
= 2000 · C32D32� �� �
2�� �����
= 2000 · A132:1� �� �
3�� �����
(1.6)
Ahora, cambiemos un poco el problema. ¿Qué pasa si � fuera 33, cuánto sería la
prima ?Resp:
La prima sería:
P����33 = 2000 ·
C33
D33
(1.7)
Note que si definimos una prima total que quiero que me la cobren en el momento
32, entonces:
P���� ����� = P����32 + P����33 ×1 E32 Trasladamos la �����33 a 32.
= P����32 + P����33 ·
D33
D32
= C32D32
+ C33
��D33
· �
�D33
D32
= C32D32
+ C33D32
= C32 + C33D32
Seguro Temporal
1.4. MODELOS DE SEGURO 16
1.4.5 Seguro Temporal
donde, el bosquejo previo representa:
A1� :� =
C� + C�+1 + ��� + C�+�−1
D�
= M� − M�+�D�
ya que
M� = C� + C�+1 + ��� + C�+�−1 + C�+� + ��� + Cω−1
1.4.6 Seguro Ordinario Diferido
Dicho seguro se obtiene con:
�|A� = A�+� ·
D�+�
D�
1.4.7 Seguro Temporal Diferido
La idea se presenta con el siguiente bosquejo:
Se calcula con
�|A1� :� = A1�+�=� ·
D�+�
D�Observación: A parte de la notación de DOTAL que se conoce,
�E� =
D�+�
D�
también hay una expresión de nomenclatura actuarial solo para el dotal. Todo eso,
para analizar otro tipo de seguro que veremos a continuación
1.4. MODELOS DE SEGURO 17
1.4.8 Seguro Mixto
con S�A : suma asegurada. Se calcula como
A� :� = A1� :�����
S����� T �������
+ A� :�1����
D����
= M� − M�+�D�
+ D�+�D�
1.4.9 Resolución de Ejercicios
1. Calcule el valor de la prima pura única de un dotal, para una persona de 36
años, quien desea un monto de 300,000 si llega a la edad de 60 años. Para
resolverlo utilice la tabla de mortalidad que se encuentra en
Ejercicios Resueltos 1.4
Solución
Entonces,
P�P�U = 300000 ·24 E36 = 300000 ·
D60
D36
= 300000 ·0�363968781 = 109,190.63
2. Calcule el valor de la prima pura única de un seguro de vida ordinario, para
una persona de 40 años con una suma asegurada de 60,000.
Solución
P�P�U = 60000 · A40 = 60000 ·
M40
D40
= 60000 · 0�268594825 = 16,115.6895
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_BjW5goXLEO4CDUJzyvIcniFLyzrjzUn/edit?usp=sharing&ouid=102439216980849237095&rtpof=true&sd=true
1.4. MODELOS DE SEGURO 18
3. Cuanto es la prima pura única de un seguro ordinario para una persona que
hoy tiene 24 años de edad hasta los 65 tiene una suma asegura de 800,000 y
a partir de los 65 años en adelante tiene una suma asegurada de 400,000.
Solución
Hay dos formas de hacer este ejercicio:
a)
P�P�U = T ������� + O��������
P�P�U = 400000 · A124:41 + 400000 · |A24
= 400000
�
M24−M65
D24 + +
M24
D24
�
Este tipo de seguro es para alguien que quiere dejar a su familia ase-
gurada y una vez que este jubilado poder disfrutar del mismo seguro.
b) Otra forma de resolverlo es,
P�P�U = 800000 · A24 − 400000 ·41 A24
= 800000
�
M24
D24 −
1
2 ·
M65
D65 ·
D65
D24
�
= 800000
�
M24− 12 M6
D24
�
1.4. MODELOS DE SEGURO 19
Qué es lo principal en que yo tengo que fijarme:
200 · M30D30
−→ Seguro ordinario, con suma asegurada de 200
300 · M36 − M40D3
−→ Seguro Temporal, con suma asegurada de 300
M40
D20
=20 |A20 −→ Seguro ordinario diferido
C��������� �� �
M45 − M55
D30����
���� ���
−→ Seguro temporal diferido
Escriba en notación Actuarial lo siguiente:
C31 + 2C3
D31
entonces en notación actuarial sería:
C31 + 2C3
D31
= A131:1 + 2 ·1 |A
1
31:1
Otra forma es
C31 + 2C3
D31
= A131:2 +1 |A
1
31:1
	Tabla de Mortalidad
	Función de Supervivencia
	Factor de Actualización Actuarial
	Principio del colectivo
	Modelos de Seguro
	Seguro Dotal (Endowment)
	Prima anual de seguros de vida
	Ejercicios Resueltos - Considerando la tabla de mortalidad Colombiana
	Seguro de Vida
	Seguro Temporal
	Seguro Ordinario Diferido
	Seguro Temporal Diferido
	Seguro Mixto
	Resolución de Ejercicios