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Calculo-Actuarial-Contingencias-de-vida-individual
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CALCULO ACTUARIAL:
CONTINGENCIAS DE VIDA
INDIVIDUAL
Jaime Abel Huertas Campos
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas y Estadística
1 O 2 - ..
L
368.3201
H887c Huertas Campos, JaimeAbel, 1965-
Cálculo actuaria! : contingencias de vida individual /Jaime
Abel Huertas Campos. - Bogotá: Universidad Nacional de Co-
lombia. Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas y
Estadística, 2001.
p.: 245 il.
ISBN : 958-701-042~6
l. Matemáticas en seguros 2. Matemáticas en seguros de
vida I. Tít. II. Tít. : Contingencias de vida individual
AdC-Biblioteca Leopoldo Guerra Portocarrero U.N.
CÁLCULO ACTUARIAL: Contingencias de vida individual
© UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Facultad de Ciencias
Profesor Jaime Abel Huertas Campos
Primera edición, 2001
ISBN: 958-701-042-6
Diseño de carátula y diagramación: Clara I. Bermúdez S.
cbermudez@latinmail.com
Diagramación en Jb.TEX
Impresión:
Universidad Nacional de Colombia
EDITORIAL UNIBIBLOS
Director: Luis Eduardo Vásquez Salamanca
Teléfono: 316 5290 - 316 5000 Ext. 19645
Fax: 316 5357 - 316 5000 Ext. 19646
E-mail: unibiblo@dnic.unal.edu.co
Bogotá, D.C., Colombia
Prefacio
Una visión no rigurosa de la ciencia actuaria! permite establecerla como una
aplicación matemática que relaciona teoría del interés y probabilidad con el
fin de ponerle un precio al riesgo. El resultado es una teoría con notaciones
complejas y conceptos no fácilmente comprensibles.
Los conceptos presentados aquí se limitan al estudio de.las contingencias
que afectan la vida humana o "contingencias de vida" . Son de "vida indivi-
dual" cuando afectan a una sola persona, y lógicamente de "vida múltiple"
cuando afectan a dos o más vidas. Todo el libro estará centrado a las
contingencias de vida individual.
Siendo un tema tan importante, la gran mayoría de las fuentes biblio-
gráficas conocidas en nuestro medio, generalmente son demasiado teóricas,
con niveles de abstracción difíciles de asimilar y comprender por los lectores
principiantes o sin mucha experiencia en el tema. Algunos otros presentan
aspectos que llegan más a lo comercial que a lo teórico y por tanto, com-
prensibles para un reducido núcleo de personas. Además, ciertos manejos
matemáticos para la solución de ejercicios propuestos no están consignados
en los principales libros que abordan esta teoría, lo cual implica un tropiezo
para el estudiante cuando los conceptos no son bien entendidos en las aulas
de clase ..
Si bien no es crucial el desarrollo de un texto que solucione las inquietudes
que aquí se presentan, si es muy importante que el conocimiento matemático
sea dirigido claramente en sus principios y presentado integralmente, no sólo
en esta ciencia, sino en todas aquellas donde la matemática hace presencia.
L
11
El presente texto dirigido a lectores principiantes de la matemática actua-
rial, aportará los conocimientos de una ciencia poco difundida en nuestro
país, con teoría básica explicada en todo su contexto y enfocada hacia algu-
nas aplicaciones. En este se hace una integración del conocimiento citado en
los libros actuariales y relacionados más importantes, con aporte didáctico
y de aplicación del autor. Es una contribución a la enseñanza en nuestro
territorio del desarrollo académico existente.
El contenido del texto permitirá a lectores no expertos, abordar fácilmente
temas teóricos más profundos o iniciar muchas aplicaciones prácticas. Tam-
bién servirá de consulta rápida a las personas que tengan trabajos constantes
en el área.
,
Indice General
Prefacio
1 Teoría general del interés
1.1 La función de acumulación.
1.2 La tasa de interés efectivo .
1.3 El interés simple . .
1.4 El interés compuesto
1.5 Valor presente ....
1.6 Tasa efectiva de descuento .
l. 7 Tasas nominales de interés y descuento .
1.8 Tasa instantánea de interés
1.9 Anualidades básicas ....
1.9.1 Anualidad temporal vencida e inmediata.
1.9.2 Anualidad temporal anticipada
1.9.3 Anualidad temporal diferida .
1.9.4 Perpetuidades ....
lll
i
1
1
2
3
3
4
5
7
10
13
13
14
14
15
lV
1.9.5 Anualidad pagadera con más frecuencia que la conver-
sión de interés 16
1.9.6 Anualidades continuas 18
1.9.7 Anualidades variables 19
1.9.7.1 Anualidades con crecimiento en progresión arit-
mética ........................ · . . . 19
1.9.7.2 Anualidad con pagos que varían en progresión
geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.7.3 Anualidad con pagos decrecientes . 32
2 Modelos de sobrevivencia 35
2.1 La función de sobrevivencia
2.2 Probabilidades condicionales.
2.2.1 La función de densidad de T
2.3 Esperanza de vida . . . . . . . . .
35
39
40
43
2.3.1 Tiempo futuro de vida en años enteros 44
2.4 La tabla de mortalidad . . . . 47
2.4.1 La fuerza de mortalidad 50
2.4.2 Otras funciones de la tabla de mortalidad 52
2.4.3 Probabilidades condicionales a edades fraccionadas 53
2.4;3.1 Forma lineal para lx+s . . . 54
2.4.3.2 Forma hiperbólica para lx+s 56
2.4.3.3 Forma exponencial para lx+s 57
2.5 Tablas selectas . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 Modelos de sobrevivencia paramétricos . 60
2.6.1 Distribución uniforme de X
2.6.2 Ley de Gompertz .
2.6.3 Ley de Makeham .
2.6.4 Distribución Exponencial de T
3 Seguros de vida
3.1 Apartes ...
3.1.1 Economía del riesgo
3.1.2 Ley de los grandes números
3.1.3 Clasificación de los seguros de vida .
3.1.4 Tarifa .....
3.2 Modelo matemático
3.2.1 Edad actuarial
3.3 El seguro dotal puro
3.4 Seguros pagaderos al final del año de muerte
3.4.1 Seguro entero de vida
3.4.2 Función de conmutación
3.4.3 Seguro temporal a n años
3.4.4 Seguro diferido ..... .
3.5 Seguros pagaderos más frecuentes que el año
3.6 Seguros pagaderos en el momento de muerte.
3.7 El seguro dotal .....
3.8 Aproximación por DUM
3.9 Seguros variables ....
V
61
61
62
62
67
67 ·
67
68
68
69
70
72
73
74
74
76
79
80
81
82
86
87
89
vi
3.9.1 Seguros con crecimiento aritmético ..... 89
3.9.2 Seguros enteros con crecimiento geométrico 98
3.9.3 Beneficios acumulados ........ 101
3.9.4 Seguro discreto temporal decreciente 102
3.10 Aplicación . . . . . . 104
3.10.1 Bases técnicas 105
3.10.2 Prima neta. 105
3.10.3 Tarifa . . .. 109
3.11 Productos del seguro de vida 110
3.11.1 Plan vida universal 110
3.11.2 Seguro exequial .. 111
3.11.3 Seguros para el medio financiero . 112
3.11.3.1 Cobertura de hombre clave . 112
3.11.3.2 Protección entre Socios . . . 113
3.11.3.3 Seguro de amortización de créditos 113
3.11.4 Seguros complementarios y adicionales 114
!
4 Rentas de vida 119
1,
4.1 Rentas de vida anuales vencidas . 120
4.1.1 Renta vitalicia inmediata 120
4.1.2 Renta temporal inmediata . 125
4.1.3 Renta diferida . . . . . . . . 125
4.2 Rentas de vida anuales anticipadas 1'27
4.3 Fórmulas que relacionan rentas y seguros 129
4.4 Rentas de vida pagaderas más frecuentes que el año
4.5 Rentas continuas
4.6 Rentas variables
4.6:l Rentas crecientes139
4.6.2 Rentas decrecientes .
vii
131
137
139
147
4.7 Rentas de vida completas vencidas y anticipadas distribuibles 148
4.8 Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5 Primas netas
5.1 Primas totalmente discretas
5.1.1 Las primas netas como factor de acumulación
5.2 Primas semicontinuas
5.3 Primas fraccionarias .
5.4 Primas totalmente continuas
5.5 Primas distribuibles
5.6 Primas comerciales .
6 Reservas de primas netas
6.1 Reserva de las primas totalmente discretas .
6.1.1 Reservas retrospectivas .
6.1.2 Relaciones especiales ..
6.2 Reserva de primas semicontinuas
· 6.3 Reserva de primas fraccionarias .
6.4 . Reservade primas totalmente continuas
159
160
166
168
169
172
174
175
181
183
191
192
195
197
200
viii
6.5 Reserva de duraciones fraccionales .....
6.6 Reserva de rentas contingentes inmediastas
6. 7 Valores de cesión . . . . . . .
6.8 Seguros saldado y prorrogado
6.9 Participación de utilidades . .
Anexos
Glosario de notaciones
Bibliografía
Respuestas a ejercicios propuestos
Índice
201
204
206
208
211
215
227
233
235
241
Capítulo 1
Teoría general del interés
El interés puede ser definido como una compensación que se obtiene por
el préstamo de un capital. La compensación y el capital pueden ser o no,
montos de dinero; sin embargo esta modalidad es la más generalizada.
1.1 La función de acumulación
Al dinero inicial de una inversión en un período de tiempo se le denomina
"principal" y a la cantidad recibida al final del período, "valor acumulado".
De acuerdo con la definición de interés es claro que:
Interés Ganado = Valor Acumulado - Principal
La característica de todo capital es considerada en función del tiempo t de ser
productivo y de los parámetros de interés fijados. Tal regla de productividad
supone al tiempo como su principal característica de variación y también
al interés pero como un parámetro constante para tiempos variables. Por
tanto, para determinar los valores acumulados de una inversión, se define
primariamente, una función con el tiempo como única variable y con un
parámetro cuyo valor es un factor de interés.
l. a( t) : Función de acumulación para un capital de una unidad monetaria
2. t : Tiempo de la inversión
1
2 Teoría general del interés
La función de acumulación tiene dos características principales:
a) a(O) 1
b) a(t) es creciente
La duración o término de una inversión es medida en períodos de tiempo. La
frecuencia con la cual el interés es pagado y reinvertido se denomina período
de conversión de interés, el cual puede ser de cualquier longitud aunque el
más usual es el año, y dentro de él, los subperíodos más comunes el mes y el
trimestre. En tanto no se haga referencia específica del período de tiempo, se
asume que será anual. Otra forma usual en el desarrollo del tema financiero
es la de considerar el principal y los flujos de capital si existen, como una
unidad monetaria, para deducir después cualquier situación particular.
Para una inversión de capital k > O la función de acumulación es
A(t) = k • a(t), y el interés ganado en el n-ésimo período (t = n) es:
In A(n) - A(n - 1) (1.1)
1.2 La tasa de interés efectivo
Si bien el interés es el capital obtenido por una inversión, la tasa de interés
es el factor que lo genera. La tasa efectiva de interés notada por "i" es el
monto de dinero que gana una inversión de una unidad monetaria en un
período, el cual debe ser pagado al final del período.
i = a(l) - a(O) (1.2)
Siempre se supondrá. en el presente texto que el valor acumulado es
mayor al principal invertido, lo cual conduce a que las tasas de interés sean
positivas. La tasa efectiva de interés usualmente es expresada en porcentaje.
Como a(O) = 1, la fórmula en (1.2) puede representarse de la forma:
. a(l) - a(O) A(l) - A(O) I1
'1, = _..;___.;__;_ = ----,--- = --
a(O) A(O) A(O)
(1.3)
Contingencias de vida individual 3
Por tanto, la tasa de interés efectiva también se puede definir matemá-
ticamente como la razón entre el interés ganado en un año y el principal
invertido.
1.3 El interés simple
La acumulación del principal invertido tiene dos formas principales de pre-
sentarse. En la primera de ellas la inversión gana un interés igual cada
período; los valores acumulados resultarían como:
valor acumulado al final del primer período: 1 + i
valor acumulado al final del segundo período: 1 + 2 i, ...
Generalizando, la función de acumulación o valor acumulado al final del
t-ésimo período, quedaría de la forma:
a(t) = 1 + i · t t>O
Ejemplo 1.1: $100 invertidos a una tasa del 30% anual de in-
terés simple acumulan en 3 meses, y en 5 años, las siguientes
cantidades respectivamente:
100 a(O, 25) 100 (1 + O, 3(0, 25)) = 107, 5
100 a(5) = 100 (1 + O, 3(5)) = 250 A
1.4 El interés compuesto
(1.4)
El interés ganado de un principal invertido es reinvertido automáticamente
y también genera interés en el período siguiente, luego el interés ganado
será diferente en cada período. La función de acumulación en éste modelo
de canceÍación d!;l interés, se obtiene a partir del siguiente balance de una
unidad monetaria.
L
4 Teoría general del interés
Período Balance inicial Interés Balance al final del período
1
2
3
t
1 1, (1 + i)
(1 + i) i(l + i) (1 + i) + i(l + i) = (1 + i)2
(1 + i)2 i(l + i)2 (1 + i)2 + i(l + i)2 = (1 + i)3
(1 + i)t-1 i(l + i)l-1 (1 + i)l-1 + i(l + i)l-1 = (1 + i)l
a(t) (1 + il
Ejemplo 1.2: Con los datos del ejemplo 1.1, pero suponiendo
una tasa de interés compuesto se obtiene:
100 a(O, 25) = 100(1 + O, 3)º•25 = 106, 8
100 a(5) = 100(1 + 0, 3)5 = 371, 3 A
(1.5)
La fórmula en (L5) produce mayores valores acumulados que la fórmula en
(1.4) si t > 1 y menores si O < t < l; cuando t = 1 los acumulados son
iguales.
Una tasa constante de interés compuesto, implica una tasa constante de
interés efectivo; la deducción de esta conclusión es como sigue:
a(n) - a(n -1)
a(n -1)
En lo que resta del capítulo todos los resultados asumirán interés com-
puesto, pues este es la base para el desarrollo actuaria! de los capítulos
siguientes.
1.5 Valor presente
Es de mucho interés conocer cuánto se debe invertir en el momento para
acumular un capital en el futuro. Si específicamente interesa saber cuánto
invertir para obtener una unidad monetaria al final del período y se nota
esta cantidad por la letra v, entonces:
Contingencias de vida individual 5
v(l + i) = 1
1
v=--
l+i
(1.6)
En interés compuesto a v se le conoce corno factor de descuento y a. (1 +i)
corno factor de acumulación. La función de descuento es:
-l(t) 1 t
ª. = (1 +i)C = V
Ejemplo 1.3: El dinero que se debe depositar inicialmente para
obtener $100 al final de 5 años a una tasa de interés compuesto
del 30% está dado por:
100 a-1(5) = 100v5 = 100(1, 03)-5 26, 93 A
1.6 Tasa efectiva de- descuento
El descuento D, es la deducción hecha o interés pagado sobre un principal
invertido, el cual es devengado al inicio del período de vigencia del préstamo.
La tasa efectiva de descuento se nota por "d" y por intermedio suyo, se
acumula un capital inicial para generar un interés que debe ser pagado al
comienzo del mismo.
La tasa de interés de descuento del n-ésirno período, es la relación entre
el monto· de interés ganado durante el período de tiempo y la cantidad de
dinero obtenido al final de este:
dn == A(n) - A(n -1) = ~
A(n) A(n)
Ejemplo 1.4: Por $100 prestados al 36% de interés vencido, se
réciben los mismos $100 al comienzo del año y se pagan $136
al final, y a un interés anticipado, se reciben $64 y se deben
devolver $100 al final.· En ambos casos el interés es de $36 pero
varía el principal; en el caso del pago de interés anticipado, se
dice que se han descontado $36 del capital en préstamo. .;.
l
6 Teoría general. del interés
Las tasas de interés y descuento son equivalentes, si para un principal
invertido durante la misma cantidad de tiempo, se obtiene el mismo valor
acumulado.
Ejemplo 1.5: Continuando con el ejemplo 1.4, contando con
un principal de $64 para obtener un valor acumulado de $100 al
final del año, es necesario usar una tasa de interés efectivo del
56,25%.
64(1 + o, 5625) = 100
Con un principal de $64 es obtenido el mismo valor acumulado
de $100 si la tasa de descuento es d 36% o si la tasa de interés
es i = 56,25%. Asi pues, se dice que d =36% e i = 56,25% son
equivalentes. A
Asumiendo que una persona toma prestada una unidad monetaria a una
tasa efectiva de descuento d, entonces el principal es (1 - d) y el interés
ganado es d,luego de (1.3):
. INTERES d
2
=PRINCIPAL= 1-d
d=-i-
l+i
iv
(1.7)
(1.8)
La cantidad d es el capital necesarjo a invertir a comienzo de período para
acumular un monto de capital i, a una tasa de rendimiento i. Similarmente
se puede afirmar que un capital de tamaño i descontado con V(i) finaliza en
un capital de tamaño d. La notación v(i) hace referencia al cálculo del factor
de descuento con base en una tasa efectiva de interés i. Reemplazando (1.7)
en (1.6):
v 1-d (1.9)
El resultado (1.9) es fácil de interpretar, pues ambos lados de la igualdad
representan el valor presente de una unidad para ser pagada a fin de período.
Otra fórmula importante es obtenida reemplazando (1.9) en (1.8):
Contingencias de vida individual 7
d = i(l - d)
id= l -d (1.10)
Como la diferencia de principales entre 1 y 1 - d es d, entonces la dife-
rencia de intereses que hay entre los dos métodos de acumulación es igual a
tomar la diferencia de principales y sacarle el interés.
De las definiciones de a(t) y a-1(t), y de las relaciones entre las tasas i
y d, se obtiene:
a(t) = (1- d)-t
a-1(t) = (1- d)t
1. 7 Tasas nominales de interés y descuento
Las tasas de interés pueden también convertir el dinero con más frecuencia
que una vez por período de medida y se denominan nominales. La notación
para la tasa de interés pagadera m veces por período es i(m). Para una tasa
nominal anual si el período de conversión es mensual entonces m = 12 y si
es trimestral m = 4. Para cada m-ésima parte del año la tasa efectiva de
interés es i(m) /m.
Ejemplo 1.6: Si por una inversión de $100 se reconoce el 36%
de interés nominal anual capitalizable mensualmente, entonces
en cada mes se deberá liquidar el interés con una tasa mensual
efectiva de:
i{l2) - 36% - 3°"
12 - 12 - lO
En el primer mes el interés es de $3 y el valor acumulado de
$103, el cual genera un interés para el segundo mes de $3,09 y
un valor acumulado de $106,09. Continuando así se obtiene un
_capital acumulado a fin de año de $142,57. Bajo una tasa de
interés efectiva del 36% el valor acumulado es de $136, inferior
al obtenido con la tasa nominal mensual. Ji.
l
8 Teoría general del interés
La fórmula de equivalencia entre i e i(m) se obtiene del balance de una
unidad a lo largo de los m subperíodos de un período.
Sub período Balance inicial Interés Balance fin de período
1/m 1
i(m) . ·(m)
1+-i -m m
2/m l+i<m> ·(m) ( ·(m)) ( ·(m)) 2 _i_ 1+-i- 1+-i -m m m m
m/m
( ·{m))m-1 1+-i -
m
·{m) ( •{m)) m-1 _i_ 1+-i-
m m
( i(m)) m 1 + -:;:;¡:
Sabiendo que al invertir una unidad monetaria a una tasa de interés
efectivo i, se llega a un balance a final de año de (1 + i), entonces:
i(m) = m [(1 + i)l/m - 1]
Por procedimiento similar:
d(m) m · [1 (1 - d) 1fm] = m • [1 - v1fm]
Según (1.9) y (1.14):
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Contingencias de vida individual 9
De (1.11) y (1.16) es obtenida una fórmula para encontrar tasas nomi-
nales de interés y descuento equivalentes:
(
i(m)) _ ( d(m))-l
1+- - 1--
m m
(1.17)
Fórmulas más generales para obtener tasas equivalentes son:
(
iCm))m ( i(p))p
1+- = 1+-
m p
(1.18)
(
d(m))-m _ (. d(p))-p
1-- - 1--
m p
(1.19)
(
i(m)) m _ ( d(P.) )-p
1+- - 1--
m p
(1.20)
Generalizando a(l) se llega a la función de acumulación con tasas nomi-
nales:
(
i(m)) m•t ( d(m) )-m•t
a(t) = 1 +--;;:; = 1--;:;:- (1.21)
Las equivalencias de tasas se mantienen para las efectivas de cada sub-
período. Según (1.8) d = iv, entonces la equivalencia después de cancelar
cada m de las efectivas queda como:
(1.22)
Así mismo, las equivalencias a (1.6), (1.7), (1.9) y (1.10) son:
vlfm = 1
1 + i(m)jm (1.23)
10 Teoría general del interés
v1fm = 1 - im) /m
~ i(m) d(m) = i(m) - d(m)
m
Ejemplo 1. 7: $100 al 36% nominal anual convertible mensual-
mente acumulan en dos años:
(
. ) 12 (2) ( ) 24
100 a(2) = 100 1 + i~;> = 100 1 + ºi~6 = 203, 28
Usando la nominal de descuento:
(1.24)
(1.25)
(1.26)
100 a(2) = 100 ( 1 - di1;> )-12 (2) = 100 ( 1- º•lt95)-24 = 203, 28 A
Las tasas que convierten el dinero con menos frecuencia que una vez
por período no son discutidas por no ser generalizadas dentro del cálculo
actuarial.
1.8 Tasa instantánea de interés
También es conocida como la fuerza del interés y se nota como 8t, Bajo esta
tasa el pago de intereses es hecho en intervalos infinitesimales de tiempo.
Para una inversión inicial de una unidad monetaria, la intensidad del
interés lo da el caII!,bio instantáneo de a( t) en t, esto es a' ( t), pero si se
quiere obtener una medida que no dependa del monto inicial de inversión,
esta se obtiene por:
'
Contingencias. de vida individual 11
a' (t) d
8t = - = -'--Ln[a(t)]
a(t) dt
Tomando la integral entre O y t y luego la exponencial:
(1.27)
La fuerza de interés puede variar en cada instante, pero por simplicidad
de aplicación se supone constante, esto es 8t 8, así (1.27) se transforma
en:
a(t)=e6 t (1.28)
Si t = 1 entonces de (1.5) y (1.28), e6 = 1 + i y la equivalencia entre 8 e
i será:
8 = Ln(l +i) (1.29)
i = e6 -1 (1.30)
Fuerza de interés constante implica tasa efectiva de interés constanté,
pero lo contrario no es cierto. Si 8 es constante entonces:
8=
lim
m---+ oo
lim
m---+ oo
Los límites expresan que 8 es una tasa nominal de interés convertible
continuamente y también que es una tasa nominal de descuento convertible
continuamente. La demostración parte de la expresión de i(m) y d(m) por
expansión de la serie de Taylor para la función exponencial alrededor de O,
en 8/m y se deja como ejercicio.
Un caso bastante utilizado es el reconocimiento diario de interés, en cuyo
caso m tomaría el valor de 365. Cuando m toma valores tan grandes como
8. 760 se habla entonces de un reconocimiento de intereses cada hora; o si
toma el valor de 525.600, el reconocimiento es cada minuto.
1
1
1
¡I ,1
¡:
12 Teoría general del interés
Ejemplo 1.8: Anteriormente se mostró que las tasas i = 56, 25%
y d = 36%, son equivalentes. Las nominales efectivas con pagos
diarios, cada hora, cada minuto y la fuerza del interés equivalen-
tes a éstas son:
i(365) = 365(1, 5525(1/ 355) - 1) = 44, 65600%
iC8·760) = 8.760(1, 5625(1/ 8-760) - 1) = 44, 62984%
i(525·600) = 525.600(1, 5625(11525·600) - 1) = 44, 62873%
8 = Ln(l, 5625) = 44, 62871 %
Si el interés es convertible cada hora, el monto reconocido al final
de la primera hora sobre una inversión de $1 '00.000 son casi $51:
(0,4462984 / 8.760) 1'00.000 = 50;9472
Las nominales mensuales equivalentes a las anteriores son:
i(12) = 12(1, 5525(1/ 12) - 1) = 45, 4689%
d(12) = 12(1 - O, 54(l/l2)) = 43, 8090%
La acumulación de capital es la misma si el interés es reconocido
con tasas efectivas mensuales del ( 43,81/12)% o ( 45,47 /12)% a
comienzo y fin de mes respectivamente, o al (44, 62/m)% en frac-
ciones infinitesimales de tiempo tamaño m, o con tasas anuales
del 36% o 56,25% a comienzo o fin de año en su orden. A
Se puede demostrar que en tasas equivalentes numéricamente se tiene
que:
Resumiendo la función de acumulación expresada con distintas tasas de
interés co_mpuesto:
Contingencias de vida individual 13
l. 9 Anualidades básicas
Una anualidad es una serie de pagos hechos en períodos iguales de tiempo.
Se puede asemejar a ésta definición los pagos efectuados para la amortización
de un crédito para compra de vivienda o compra de vehículo, entre otros
casos. Puesto que las anualidades contempladas en matemática financiera
no incluyen ningún elemento de riesgo para hacer efectivos los pagos, éstas
comúnmente se conocen como anualidades ciertas.
Dado que una anualidad es un flujo de pagos en el tiempo, es muy
importante saber cuánto acumulan en el presente y en el futuro. Estos
puntos se discuten a continuación asumiendo interés compuesto.
1.9.1 Anualidad temporal vencida e inmediata: Los pagos se hacen
al final de cada período enun plazo den períodos.
o
1
1
1
1
1
2
1
1
3
I I
l 7
n
Sn¡
1 1
1 1
1 n
Cada . uno de los pagos se lleva a valor presente mediante el factor de
descuento v, teniendo en cuenta el tiempo transcurrido entre el año inicio de
la anualidad y la realización de los mismos. El valor presente de la anualidad
ªni, será la suma de cada uno de los pagos llevados a valor presente.
n n l n+l
~ k '°' k -v ªni = L.,; v = L.,; v - l = -1---v-
k=l k=O
l.-vn
1=--
i
(1.31)
El valor futuro Sn¡ representa la suma de cada pago de una unidad
monetaria llevado al final del período n:
n-1 . k l - (l + i)(n-1)+1
¿(l+i) = 1 (l+i)
k=O
(1.32)
Se puede hallar Sn¡ llevando el monto ªni al final del período n:
14 Teoría general del interés
Ejemplo 1.9: $100 pagaderos al final de cada seis meses durante
4 años a una tasa de interés nominal semestral del 36% tienen
como valor futuro y presente:
100 Ss¡ = 100 1·1~;81 = 1.532, 7100 ~ = 100 Ss¡ v8 = 407,8 A
1.9.2 Anualidad temporal anticipada: Los pagos se efectúan al co-
mienzo de cada período por n períodos, el valor presente se nota por ªni y
el valor futuro por S ni.
ªni
1
1
o
1 1
1 1
I I r ,
1 2
.. n-1 k l _ v<n-1)+1
ªni= ¿v = l-v
k=O
Sn1
1
1
n-l n
(1.33)
(1.34)
Como cada pago en las anualidades anticipadas es hecho un período más
temprano, entonces para obtener equivalencias los pagos de las vencidas
deben actualizarse.
(1.35)
(1.36)
Contingencias de vida individual 15
1.9.3 Anualidad temporal diferida: Los pagos comienzan después de m
períodos y se prolongan por n períodos, y pueden ser anticipados o vencidos;
el valor presente en ambos casos es:
n
m/ªnJ = L vk
k=m+l
n-1 .. "k m/ªnJ = L.,¡ V
k=m
(1.37)
(1.38)
Estos valores presentes pueden expresarse en términos de los valores
presentes de las anualidades inmediatas como:
(1.39)
(1.40)
No hay notación especial para el valor acumulado de las anualidades
diferidas porque dicho :valor es el resultado de (1.32) o (1.34) según sea el
caso.
Ejemplo 1.10: Continuando con el ejemplo 1.9, si los pagos
inician 2 años después, los valores presente ( VP) y futuro ( VF)
de la anualidad son:
V P = 100 4¡~ = 100 ~ v4 = ( 407, 8) (1, 18)-4 = 210, 3
VF = 100 4¡a81 (1 + i)
4+8 = 210, 3 (1, 18)12 = 1.532, 7
Otra forma de encontrar el VF es:
VF = 100 SS]= 100 (15,327) = 1.532, 7 A
16 Teoría general del interés
1.9.4 Perpetuidades: Una perpetuidad es una anualidad con pagos infi-
nitos, por tanto, únicamente puede ser obtenido su valor presente; en el caso
anticipado se tiene:
00 .. '""'k ªooJ =~V
k=O
1
1-v
1
d
(1.41)
El valor presente de 1a perpetuidad vencida de una unidad monetaria:
.. 1 1
ªooJ = ªooJ - = -;-
1,
(1.42)
Si el principal 1/i es invertido a la tasa·i, entonces el interés i(l/i) = 1
puede ser pagado al final de todo período por siempre dejando el principal
intacto.
1.9.5 Anualidad pagadera con más frecuencia que la conversión
de interés: Conocida también como anualidad fraccionaria, reconoce una
tasa de interés para un período pero los pagos se hacen en m subperíodos.
Si el plazo de la anualidad es de n perf odos habrá un total de m • n pagos.
Para obtener el valor presente de las anualidades, cada pago de 1/m se
retrasa con el factor v y el lapso de subperíodos transcurridos. Debido a que
los pagos anuales de una unidad monetaria son fraccionados en m pagos de
1/m, las fórmulas (1.26) a (1.29) tendrán un ligero cambio. En el caso de
pagos vencidos:
(m) _ 1 [Ln·m k/m
a-;:;, - V
n1 m
k=O
1 ¡1-(vlfm)n·m-l -1] 1-vn
m 1 - vl/m - i(m) ~-
(1.43)
(1.44)
De la misma forma son obtenidos el valor presente y futuro de las anua-
lidades an~icipadas:
nm-1
·-(m) 1 L k/m a-;:;,=- V
n1 m
(1.45)
k=O
Contingencias de vida individual 17
(1.46)
La relación entre anualidades de pago anual y fraccionario viene dada
por:
(1.47)
s<m) = _i_s
n] i(m) ni (1.48)
Esta relación entre el caso fraccionario y el discreto se verá frecuente-
mente en las primas de los seguros. Similarmente al desarrollo de (1.47) y
(1.48) se obtiene:
(1.49)
·•(m) d ··
Sn¡ = d(m) Sn1 (1.50)
Las anteriores igualdades se pueden hacer entre los casos vencido y an-
ticipado:
(1.51)
El mismo criterio establecido para concluir (1.35) y (1.36) se usa para
establecer una igualdad entre anualidades vencidas e inmediatas para el caso
fraccionario.
·•(m)
Sn¡ (1 + i)l/m 3(m) ni
Para las anualidades diferidas, como en (1.39) y (1.40) se tiene:
u/~)= Vu at)
.. (m) u .. (m)
u/°i] V ª'nJ
(1.52)
(1.53)
(1.54)
(1.55)
18 Teoría general del interés
Ejemplo 1.11: $100 pagaderos al final de cada seis meses du-
rante 4 años a una tasa de interés efectiva del 36% acumulan el
siguiente monto de dinero:
VF - (2) 100 s<2) - 200 1•364-l -- 4] - 0,33238 - 1.455, 78
Los pagos son multiplicados por dos para obtener el valor del pa-
go total anual, pues la fórmula está concebida para pagos anuales
fraccionados en dos cuotas semestrales. A
Análogamente a (1.41) y (1.42), una perpetuidad con pagos fraccionados
anticipados tiene valor presente 1/ d(m), y si los pagos son vencidos 1/i(m).
1.9.6 Anualidades continuas: Son un caso especial de anualidad con
pagos más frecuentes que la conversión del interés, en donde la frecuencia
es continua, esto es, los pagos se hacen continuamente y son infinitos. Si
el monto total de pago por cada período es de una unidad monetaria, el
valor presente con término de n períodos es notado como ªnl. Una forma
de obtener el valor presente toma el límite al infinito en (1.43) o (1,45).
lim (m) _ lim 1 - vn l - vn
ªni = m---t oo ~ - m---t oo i(m) = --8-
'?\
Aplicando la definición básica:
¡n t vt ( vn - l 1 - vn vdt=-- =--=--
0 Ln(v) -8 8
Procedimiento similar permite llegar al valor futuro:
(1.56)
(1.57)
La relación entre anualidades continuas y discretas parte del resultado
en (1.56) y (1.57).
Contingencias de vida individual 19
Un caso particular de la anterior ecuación usada más adelante es:
(1.58)
Una relación de las anualidades continuas con las fraccionarias es:
(1.59)
(1.60)
...!
1.9. 7 Anualidades variables: Se consideran a continuación anualidades
con pagos que siguen algún ritmo de variación a través del término de la
anualidad. En principio se presentan las crecientes.
1.9.7.1 Anualidades con crecimiento en progresión aritmética:
Se llama progresión aritmética a toda sucesión de términos, donde cada uno
de ellos, a diferencia del primero, se obtiene sumando una cantidad fija al
inmediatamente anterior.
Los pagos comienzan por P y aumentan cada período en Q, el cual
puede ser positivo o negativo. En caso que Q < O se debe procurar que
P+ (n-1) • Q > O para evitar pagos negativos. El análisis comienza por los
pagos vencidos, y sólo se dará el valor presente (VPa), el valor futuro con
base en este es fácilmente deducible.
J
20 Teoría general del interés
p P+Q P+2Q P + ( n - 2Q) P + ( n - 1 )Q
o 1 2 3 n-1 n
VPa = P · v + (P + Q)v2 + (P + 2Q)v3 + ...
+(P+(n-2)Q)vn-1+(P+(n-l)Q)vn
Multiplicando por (1 + i) el valor presente anterior y luego restándole al
resultado el mismo V Pa, se obtiene:
VPa(l + i) - VPa = i( VPa)
P+ Qv + Qv2 + Qv3 + .. · + Qvn-l - Pvn - (n - l)Qvn
P( 1 - vn) + Q( v + J + .. · + v71' - n v71')
Despejando i de la ecuación anterior y reemplazando por el resultado de
(1.31): .
(
a - nvn)
V Pa = Pan] + Q . "ñJ . i (1.61)
Del caso general de valor presente se pueden obtener algunos especiales
dando valores especificas a P y Q. En particular si P = 1 y Q 1, se llega
a una anualidad que paga una unidad monetaria al final del primer año, 2
al final del segundo, y así hasta pagar n unidades al final del año n. El valor
presente de la anualidad tiene una notación especial y quedaría como:
.. n
ªnJ - nv
i
(1.62)
Como la anualidad anterior se compone de una serie de anualidades
diferidas de una unidad monetaria, su valor presentepuede desarrollarse
bajo el criterio de suma de valores presentes de tales anualidades diferidas.
,--
Contingencias de vida individual 21
n-1/ªll 1
n-2/ª2] 1 1
21ª n-'-21 1 1 1
1/ª n-11 1 1 1 1
O/ªnJ 1 1 1 1 1
1 1 1 1
I I
T 1
o 1 2 3 n-1 n
n-1
(Ia)ñj = ¿ k/ªn-kj (1.63)
k=O
Algunos procedimientos algebraicos permiten llegar al resultado ilustra-
do en (1.63).
n-1 n-k n-1 k n ·· n '°" k 1 - v '°" v - v ªñl - nv (I a )nj = L.,¿ v --.-- = L.,¿--.- = ----''--.--
i 'I, 'I,
- k=O k=O .
Al tomar el limite den al infinito en (1.62) se obtiene una perpetuidad
cuyo valor presente es: ·
r
(Ia)oo¡ = id (1.64) _
El valor presente de la perpetuidad es usado para deducir los valores
presentes de anualidades que tienen patrones regulares de variación, median-
te una técnica simple de visualización gráfica, para la cual es importante el
siguiente gráfico:
22 Teoría general del interés
pagos
1/id
n • (1/i)
1/id
períodos
o n
El valor presente de la perpetuidad se representa por varias áreas: La pri-
mera identifica una anualidad temporal creciente que va de O hasta n, pos-
teriormente desde n hay dos áreas distinguibles, una representa el valor
presente de una perpetuidad con pagos constantes de n unidades moneta-
rias o n • (1/i), y la otra el de una perpetuidad creciente en una unidad o
(1/id). Por tanto, el valor de (Ia)n¡ se obtiene restando a (1/id) los valores
den• (1/i) y de (1/i) llevados a valor presente.
Esta forma recurrente de hallar valores presentes es usada bastante en el
cálculo de primas de seguros. Otra forma usual muy práctica, es la aplicación
de las diferencias finitas en los flujos de pago. La técnica puede resumirse
como sigue.
Si una anualidad se compone de pagos vencidos R1, R2, ... , Rn su valor
presente viene dado por:
Multiplicando y dividiendo por i en el lado derecho de la igualdad ante-
rior, y como iv = (1- v), entonces:
Contingencias de vida individual
VP
R1 R2v Rn,vn-l
- -. (1- v) + -. (1- v) + • • • + . (1- v)
'I, 'I, 'I,
- ;. (R1 - R1v + R2v- R2v2 + • · • + Rnvn-l - Rn,vn)
'I,
23
= ~ [(R1-Ro)vº+(R2-R1)v+ · · · +(Rn-Rn-1)vn-1+(Rn+1-Rn)vn]
1,
con Ro = Rn+i = O
Se define la diferencia finita de primer orden como tlf(k) = f(k + 1) -
f(k), con y= f(k) y k = O, 1, 2, .... Así, flf(k) corresponde al incremento
que sufre y= f(k) cuando la variable K se incrementa en una unidad. De
aquí su aplicación en las matemáticas financieras, ya que en ellas se estudia,
fundamentalmente, la variación que sufre el dinero al variar el tiempo en un
período.
El valor presente de los n pagos vencidos Rk con k = 1, 2,.,. , n, es
entonces el valor presente de (n+l) diferencias finitas de primer orden de los
pagos; divididos por la tasa i. Si los pagos son anticipados, un procedimiento
similar al anterior, conduce a concluir que las diferencias de primer orden
llevadas a valor presente divididas por la tasa de descuento d, resulta en el
valor presente requerido.
Si la función f está determinada por el flujo de pagos Rk, entonces las
diferencias de primer orden para la anualidad creciente temporal de pagos
vencidos son:
D..Rn, = Rn - Rn-1 = n- (n-1) = 1
D..Rn+i = Rn+i - Rn = O - n = -n
El siguiente esquema muestra los pagos de la anualidad creciente temporal
Rk y las diferencias finitas de primer orden D..Rk,
24
1
1
1
o
1
2
1
1
1
3
1
2
1
4
1
3
I I
l 7
Teoría general del interés
1 -n o
n o o
1 1 1
n-1 n n+l
Aunque los pagos son vencidos el flujo .es representado al inicio del
período, y el efecto de la forma de pago en la anualidad se da con la tasa
que se ponga en el denominador. Si la• tasa fuera la de descuento d, enton-
ces el valor presente obtenido sería el de una anualidad temporal creciente
anticipada.
Una anualidad vencida que i~cia con un pago de 1 y se incrementa en
una unidad cada año hasta llegar a n en el período n y en adelante mantiene
el valor de estos pagos hasta el período n + m, tiene un valor presente que
se nota como (lm¡a)n] y se halla con la ayuda del siguiente esquema:
pagos
o n
1/id
n(l/i)
Edad
n+m
(I ). - 1 1 n n + . 1 - vn nvn+m ªnl - nvn+m mJª n] - -:- - -:-V - -vn m = -- - --- = . ,(1.65)
id id i id i i
Contingencias de vida individual 25
El valor presente de la anualidad en cuestión puede hallarse como suma
de valores presentes de anualidades · diferidas. Además se puede encontrar
como suma de dos valores presentes: una creciente de una unidad monetaria
hasta n y la otra con pago constante de n unidades desde n hasta n + m.
n-1 n-1 k n+m a - nvn+m
(J=a}:;:;i = '°' ª-~ vk = '°' v - ~ = ni .
"'1 n¡ L.,¡ n+m-íq L.,¡ 1, 1,
k=O k=O
Con base en las diferencias finitas:
LlRk 1 1 1 1 o o o -n o
Rk 1 2 3 n n n n o 0
1 1 1 1 1
o 1 2 n-1 n n+l ... n+m-1 n+m n+m+l
Como ya se mencionó, los valores presentes de las anualidades crecientes
anticipadas, pueden determinarse cambiando en los denominadores de los
valores presentes de las vencidas la tasa i por la d. Así, las similares a
(1.61), (1.62), (1.64) y (1.65) son en su orden:
P(l n) (ª -nvn) (ª -nvn) V Pa = ~ V + Q ni d = Pan¡ + Q ni d (1.66)
a -nvn
(Ia)n¡ = ni d (1.67)
(1.68)
26 Teoría general del interés
ii, -nvn+m
(1 ") n] mlª ni = -~-d-- (1.69)
La profundización en esta sección obedece a que, como ya se mencionó
anteriormente, estas metodologías de hallar valores presentes son aplicadas
en la determinación de primas de seguros.
Al fraccionar cada pago en Rk/m de tal forma que en todo el período
el pago total es Rk, entonces cada pago durante el primer período es 1/m,
en el segundo de 2/m y así en adelante, entonces en una temporalidad den
períodos se tiene el valor presente de la anualidad vencida como:
(1.70)
Considérese ahora la anualidad que tiene un pago vencido en la primera
m-ésima de período de 1/m, en la segunda m-ésima 2/m y así en adelante
por n períodos .. Como en cada período hay m pagos, al final del primero
habrá un pago de una unidad, al final del segundo dos unidades, y así hasta
tener al final del n-ésimo un pago de n. Con demostración análoga a la de
(1.61) se llega a su valor presente, el cual no tiene notación especial y está
dado por:
.. (m) n ¾] -nv
VP= i(m) m (1.71)
Se contempla seguidamente la situación en que la tasa de pago cambia
con cada período de pago, y que una anualidad creciente es pagable a la tasa
de 1/m por período al final de la primera m-ésima de un período, 2/m por
período al final de la segunda m-ésima de un período, y así en adelante. El
primer pago en la primera m-ésima de período será 1/m2; ya que este pago
cubre un período de 1/m y la tasa de pago durante el primer período es lim
por período, entonces el segundo pago en la segunda m-ésima de período es
2/m2, y así en adelante. El valor presente de la anualidad resulta al dividir
el resultado de (1.71) por m:
(1.72)
r-
Contingencias de vida individual 27
1.9. 7.2 Anualidad con pagos que varían en progresión geométrica:
Los pagos aumentan cada año en relación con el valor inmediatamente an-
terior, en un factor específico k. Si los pagos son inmediatos por un término
de n años se llega al siguiente valor presente:
(Va)nJ = 1 + v(l + k) + v2(l + k) 2 + ... + vn-1(1 + k)n-1
n-1
- ¿ vi(l + k)Í
j=O
= I: (l+~)j
j=O 1 + i
La notación usada para el valor presente anterior no es estandarizada y
forma parte de una gran gama de anualidades variables con incrementos en
los distintos períodos de pago. El criterio del incremento de esta anualidad
es base para la aplicación de planes de pensión.
Tanto en la teoría del interés como en la matemática actuaria!, la si-
guiente definición de tasa de interés es de suma importancia.
l+i
e= 1 +k -.1 (1.73)
En la anterior ecuación i es la tasa de. interés con la cual se hacen los
descuentos de los pagos y k es el porcentaje de su crecimiento cada período,
con i 2:: k.
En algunas aplicaciones i se asemeja al rendimiento que puedendar los
pagos de la anualidad, y k a un porcentaje de crecimiento de dichos pagos
como medida para contrarrestar los efectos del ritmo inflacionario de una
región. Por tanto, e refleja el exceso que hay del rendimiento que pueden
generar los pagos _de la anualidacl sobre la inflación y se le conoce como tasa
de interés real. El factor de descuento calculado sobre una tasa de interés
real se nota como V(e) :
1 1 +i
V - -
(e) - 1 + e - 1 + k (1.74)
Reemplazando (1.74) en (Va)n] :
28 Teoría general del interés
n-1
(Va)nj = ¿ VÍe) = ªnJ(e) (1.75)
j=O
El valor presente se registra como el de una anualidad anticipada, pero
con una rE?ferencia que hace la salvedad de que el cálculo está basado en una
tasa de interés real.
Ejemplo 1.12: $100 pagaderos anticipadamente por tres años,
con un incremento anual en los pagos del 22% y con un rendi-
miento del 36% efectivo acumulan:
VF = 100(1, 36)3 + 100(1, 22)(1, 36)2 + 100(1, 22)2(1, 36) = 679, 62
Para desarrollar el ejercicio de otra forma, inicialmente se calcu-
lan e y d(e)·
e = i'~~ - 1 = O, 114754
'
d - e - º•114754 - O 1029411 (e) - l+e - 1,114754 - '
Se concluye cori el dato anterior que i está en exceso de k en
11,4754%; es erróneo y apresurado concluir que el exceso es del
14%. Así, los valores presente ( VP) y futuro ( VF) de la anuali-
dad son:
V P = 100 a-,., = 100 l-v{e) = 100 l-l,ll4754- 3 = 270 1772
.:>¡(e) d(e) 0,1029411 . . '
VF = 100 ¾ce) · (l+i)3 = (270,1772) (1,36)3 == 679,62 A
Sólo se puede trabajar en el sentido anterior con las tasas de interés real
cuando los pagos y sus aumentos coinciden con el período de conversión de
interés. Una anualidad bastante usada se obtiene con el fraccionamiento de
cada pago del período en m subperíodos. El valor presente de la anualidad
anticipada es:
Contingencias de vida individual.
d n-l (l+k)i
= d(m) ¡:: l+i
3=0
29
d ..
= d(m) ªñl(e) (1.76)
Ejemplo 1.13: Un crédito debe ser pagado a 15 años con cuotas
mensuales anticipadas las cuales son fijas al año y crecientes cada
año en un 20%. Si la tasa de interés del préstamo es del 30%
mensual anticipado, la cuota por cada millón de préstamo es:
R = 1'000.000
12 d(12) ¾(e)
Cada uno de los términos que intervienen en la anterior igualdad
tienen los siguientes resultados:
d = 1 - 1 - - = 1 - 1- - = O 262
(
d(12))12 ( 0,3)12 .
12 12 '
i= _d_ =0 355
1..,..d '
= l + i - 1 = l, 355 - 1 = O 12918
e 1 + k 1, 2 '
d = _e_ = O, 12918 = O 1144
(e) 1 + e 1, 12918 '
30 Teoría general del interés
.. 1- (1 + e)-15
~(e)= d(e) =
1 - 1, 12913-15
o 1144 = 7,3282
'
Al reemplazar los términos anteriores se obtienen que
R = 13.020,8
En el siguiente cuadro se presenta una evolución del crédito para
algunos meses de vigencia. El préstamo se cancela el primer
año con doce cuotas de $13.020,8, en el segundo con cuotas de
R(l, 2) = 15.625, en el tercero las cuotas toman un valor de
R(l, 2)2 = 18.750 y así en adelante.
(
Como las cuotas son anticipadas, el capital entregado en préstamo
es de 986.979 y elinterés y abono a capital-son ambos de 13.021
para el primer mes. Del segundo mes en adelante los flujos de
intereses, abonos y saldo, cambian el concepto del primer mes y
se calculan como se explica a continuación.
Los intereses se obtienen multiplicando el saldo del mes anterior
por la tasa de interes efectiva del mes, o también, como el acumu-
lado del mes anterior por la tasa efectiva mensual de descuento,
por ejemplo, para el segundo mes:
I = 986.979 · i(12) /12 = 986.979 · O, 30769/12 = 25.307
I 986.979(1 + ¡(12) ¡12) i 12) ¡12 = 986.979(1+0,30769 /12) o,3/12 = 25.307
El abono a capital equivale al valor de la cuota menos los inte-
reses del mes respectivo, y el saldo del mes de pago, al valor del
saldo del mes anterior menos el abono a capital del mes de pago;
para el segundo se tiene:
Abono = Cuota -Intereses = 13.021 - 25.307 = -12.286
Saldot = Saldot-1 - Abono= 986.979 -(-12.286) = 999.265
1 'i
Contingencias de vida individual
Mes Abono a capital Intereses Cuota Saldo
1'000.000
1 13.021 . 13.021 13.021 986.979
2 -12.286 25.307 13.021 999.265
3 -12.601 25.622 13.021 1.011.867
11 -15.431 28.451 13.021 1.125.033
12 -15.826 28.847 13.021 1.140.859
13 -13.628 29.253 15.625 1.154.487
25 -15.341 34.091 18.750 1.344.886
61 -19.784 52.184 32.400 2.054.953
120 -16.453 83.638 67.185 3.278.336
132 -4.542 85.164 80.622 3.325.941
133 11.465 85.281 96.746 3.314.475
134 11.759 84.987 96.746 3.302.716
180 162.998 4.179 ... 167.177 o
Como las cuotas pagadas hasta el mes 132 o año 11, son inferio-
res al valor de los intereses del mes respectivo, el saldo hasta ese
punto del tiempo de vigencia del crédito siempre es creciente. El
saldo del mes 1 al mes 2 tiene una proporción de crecimiento de
999.265/986.979 - 1 = 1, 24%, proporción que va aumentando
hasta llegar a ser del mes 11 al mes 12 de 1,41%. Del mes 12
al mes 13 la tendencia al crecimiento de la proporción se corta
debido al aumento del 20% en la cuota, y se ubic·a en 1,19%.
Después la proporción retorna al crecimiento y pasa a ser del
mes 23 al mes 24 de 1,37%, y de nuevo, por efecto del aumento
de cuota, del 24 al 25 disminuye a 1,15. En general el compor-
tamiento de tales proporciones de crecimiento del saldo, es de
decrecimiento en los aniversarios del crédito, lo cual se muestra
con algunas cifras en el siguiente cuadro.
mes 2 13 25 37 49 132 133 179 180
% crecimiento saldo 1,24 1,19 1,15 1,10 1,05 0,14 -0,34 -49,4 -100
Desde el mes 133 el efecto de la proporción de crecimiento de
las cuotas, es tal que conduce a que las cuotas sean mayores
que los intereses mensuales, y en consecuencia exista abono a
capital y el valor del saldo comienza a disminuir hasta cancelarse
definitivamente en el último mes de vigencia del crédito.
31
32 Teoría general del interés
Un caso particular para asignar el crecimiento, consiste en hacer
crecer el valor de la cuota anual con la inflación del año anterior.
Al mantener fija la tasa de interés del préstamo, este se pagará
antes de los 15 años si el crecimiento promedio de la inflación es
mayor al presupuestado, en caso contrario, el plazo se prolongará
más allá de lo convenido.
Este comportamiento de los saldos en rentas crecientes geométri-
camente, se presenta también en las reservas de las pensiones
cuyas mesadas aumentan cada año en relación al año inmedia-
tamente anterior con base en un índice particular, y se analizará
en los capítulos 4 y 6. A
1.9.7.3 Anualidad con pagos decrecientes: Un tipo de anualidad
vencida que inicia con un pago de n unidades y luego decrece en una unidad
cada período, tiene un valor presente que se nota por (Da)n¡, el cual se halla
tomando P = n y Q = -1 en la fórmula (1.61).
n-a-;;:;i
(Da)nj == . n,
i
(1.77)
El valor presente de la anualidad anticipada cambia en el denominador
la i por la d.
Los temas tratados hasta aquí son esbozo general de la teoría del interés
y pr:~tenden servir de guía básica al aprendizaje, pero el objetivo principal
de su presentación es introducir al lector en la notación actuaria!. Para
mayor profundización en el tema, una de las consultas que se sugiere es la
del libro "The theory of interest'' de Kellison.
Contingencias de vida individual 33
EJERCICIOS
Secciones 1.4 a l. 7
l. Demostrar que a(l) = 1- d;;: con base en flujos de acumula-( ( >)-m
ción similar a la forma como se obtuvo (1.11):
a. Partiendo de una unidad monetaria que acumulará a(l) en m sub-
períodos.
b. Asumiendo que el valor acumulado futuro de los m subperíodos es
una unidad· monetaria.
2. 'Tres deudas de 150, 100, y 110 deben ser canceladas dentro de 2, 3 y
4 años respectivamente. Si son agrupadas en un pago simple de 365 dentro
de 3 años, ¿ a qué tasa de interés se colocó el dinero en esta transacción?
3. En octubre 1 ° del año Z una deuda ascendía a 7 millones, en abril
1° del año Z + 1 se cancelaron 2,5 millones y en octubre !º·otromillón. ¿A
cuanto asciende la deuda en noviembre 1 ° del año Z + 1, si la tasa de interés
de la transacción es del 20% efectivo anual para el año Z, y del 25% y 20%
para .el primero y segundo semestre del año Z + 1 respectivamente?
4. a. Si i~~;> = 1,008 hallar el valor de i.
b. Hallar iC4) si d(2) = 12%.
I
Sección 1.8
5. Demostrar que 8 = lim
m ---too
lim
m---too
6. a. Realizar los ejemplos 1.2 y l. 7 usando la función de acumulación
en función de la fuerza del interés.
b. Encontrar el valor acumulado de una inversión de una unidad mone-
taria en 6 meses si 8t = 1/(t + 4) con O :S: t s; l.
l
34 Teoría gen.eral del interés
Sección 1.9
7. En ocasiones las corporaciones financieras aplican el concepto de tasa
real con base en tasas nominales. Bajo esta consideración, si una corporación
ofrece créditos con una tasa de interés anticipadá convertible mensualmente
y equivalente a 5 puntos reales por encima de la inflación, calcular la tasa
de interés efectiva anual si la inflación es del 10%.
8. Una persona tiene que pagar una deuda con 36 cuotas mensuales
anticipadas de 1.000 a una tasa del 10% efectivo anual. Si decide cancelar
el crédito en 12 cuotas, ¿cuánto quedaría costando cada cuota?
9. a. ¿Cuánto se debe pagar por cada millón de préstamo en un crédito
cuyas cuotas son mensuales anticipadas y tiene una tasa de interés del 12%
efectivo anual? Realizar los cálculos suponiendo que el crédito es a 3, 5, 15,
20 y 30 años.
b. Realizar el. cálculo suponiendo que las cuotas son fij~ al año y cre-
cientes en una inflación proyectada año por año del 10%.
10. Una persona debe cancelar una deuda de $1.000 en 36 cuotas iguales
al final de cada mes, Encuentre el valor de estas cuotas si las tasas usadas
son i(12) = 9% para el primer año e iC12) = 12% para los dos restantes.
11. Encontrar el valor presente de una anualidad vencida que inicia lós
pagos en una unidad monetaria y se incrementa, en una unidad sucesivamente
hasta llegar a n y luego decrece hasta llegar a un último pago final de una
unidad monetaria.
12. a. Demostrar el resultado (1.66).
b. ¿Cómo quedaría el resultado (1.76) asumiendo pagos vencidos?
1
Capítulo 2
Modelos de sobrevivencia
2.1 La función de sobrevivencia
Función a partir de la cual se calculan probabilidades del tiempo de duración.
Como el tema central del texto son las contingencias de vida, las probabili-
dades analizadas seguidamente hacen alusión al tiempo de sobrevivencia en
humanos.
Una de las inquietudes de quienes analizan la sobrevivencia en humanos
es poder definir una función vital que describa tal comportamiento con buen
grado de certeza. Algo notable al respecto es que el uso de algunas de las
funciones definidas hace muchos años ha perdurado hasta nuestros días.
Definir un modelo de sobrevivencia único para humanos no es fácil si se
tiene en cuenta que el comportamiento varía mucho de una región a otra.
Sin ir tan lejos, la mortalidad en Colombia es bastante disímil a la mortalidad
de sus países vecinos, aun cuando posea caract~rísticas culturales y socio-
económicas semejantes. De todas formas, cuando se piensa en el desarrollo
de un modelo de sobrevivencia, hay patrones generales en la mortalidad que
\ deben tenerse en cuenta:
Se presenta bastante en la infancia.
Disminuye durante la niñez y la adolescencia.
Aumenta de nuevo en la juventud.
Estabiliza en la madurez.
Acelera al llegar a la vejez.
35
36 Modelos de Sobrevivencia
Tasas d~ mortalidad por edad
Tasas
Antes de la presentación matemática de los modelos probabilísticos es
necesario hacer algunas definiciones:
(x) Hace referencia a una persona con edad x.
X Variable aleatoria que representa el tiempo futuro de vida de un
recién nacido .
w Edad mínima a la cual una persona no puede sobrevivir.
(Edad final del modelo)
S(x) Función de sobrevivencia. Probabilidad que un recién nacido
sobreviva a la edad x
S(x)
1
S(x) = P(X > x)
Contingencias de vida individual
La función de sobrevivencia tiene tres características principales:
S(x) es una función d~creciente.
S(O) == l.
S(w) = O.
37
La función de distribución de X o F(x), define la probabilidad de morir
antes de x años. Su derivada es la función de densidad no condicional de X.
F(x) = P(X:::; x) = 1- S(x) (2.2)
. d -d
f (x) = dx F(x) = dx S(x) (2.3)
Otra definición importante es la correspondiente a la fuerza de mortali-
dad, o densidad condicional de fallar. en x dado que se sobrevive a x.
µ(x) = densidad de fallar en x dado que se sobrevive ax
Densidad no condicional de X ·
- P(sobrevivir ax)
Existen otras notaciones para:Ja fuerza de mortalidad, aunque la más
común está dada por el símbolo µ; por simplicidad se acostumbra notar
como µ:,,: en vez de µ(x). De la ecuación anterior se concluye que:
f(x) -Íx,S(x) d
µ:,,: = S(x) = S(x) = - dx Ln[S(x)] (2.4)
(2.5)
La fuerza de mortalidad calculada en un valor particular x, define la pro-
babilidad de morir entre las edades x y x + flt dado que se tiene edad x, es
decir, morir entre un tiempo infinitesimal. Por esto también se le menciona
como probabilidad instantánea de muerte.
38 Modelos de Sobrevivencia
Ejemplo 2.1: Si 8(x) = 1- x/100 con O:;;; x:;,; 100, se evalúa
lo siguiente:
a) 8 cumple las condiciones de ·una. función de sobrevivencia.
-- + '
Según el criterio de la primera derivád.a 8 es decreciente en todo
su recorrido.
8(0) = 1
'8(100) = O
La primera edad para la cual 8(x) = O es w = 100.
b) La probabilidad de que un recién nacido sobreviva más allá
de la edad 20:
P(X > 20) = 8(20) = 1 - 20/100 = O, 8
c) La probabilidad de que un recién nacido muera más allá de
los 20 y antes de los 55 años:
P(20 < X :;,; 55) = P(X > 20) - P(X > 55)
= 8(20) - 8(55) = o, 35
d) La probabilidad de que una persona de edad 20 sobreviva a
los 55:
P(X > 55/X > 20) - P(X>20 ,/\, X>55}
- . P(X>20)
P(X>55}. S~55} .··o 5625 = P(X>20) = S 20) = '
e) La probabilidad de que una personá de edad 20 no sobreviva
más allá de· los 55.
P(X :S 55/X > 20) = 1- P(X > 55/X > 20) = 0,4375
f) A partir de la función de densidad no condicional de X se
verifican las probabilidades de los puntos b y c.
f(x) = -:f:x8(x) = 160
- 100 1 - :e 1
10º -P(X > 20) - J20 100dx - 100 - O, 8
20
. rs
P(20 < X :;;; 55) = J25; 150 dx == · 1i0 bo = O, 35
i
. Contingencias de vida individual
· g) La fuerza de mortalidad evaluada en la edad 20, µ(20):
_ M _ 1100 ....: 1
µx - S(xJ - 1-x 100 - 100-x
µ(20) = 1/80 = 0,0125. Este valor indica la probabilidad de
morir entre los 20 años y los 20 más una pequeña fracción de
tiempo, dado que se tiene edad 20, esto es, la probabilidad instap.-
tánea de muerte a los 20 años.
h) La probabilidad de que un recién nacido muera a la edad 20:
Primero se calcula la probabilidad de sobrevivir a los 20 para
luego contemplar la probabilidad instantánea de muerte. Sean
los eventos:
A : Sobrevivir a los 20 teniendo O años
B : Morir a los 20
De acuerdo con el concepto de probabilidad condicional:
P(AB) = P(A)P(B / A) == 8(20)µ(20) = (O, 8) (O, 0125) =
0,01 A
2.2 Probabilidades condicionales
39
La generalización de las probabilidades condicionales tratadas· en el ejemplo
2.1, comienza por la definición de la variable aleatoria:
T(x): Tiempo futuro de vida de una persona en edad x.
T=X-x
X expresa la edad alcanzada por un recién nacido y T ño es una edad sino
un lapso adicional de tiempo vivido por (x). La probabilidad de sobrevivir
t años más dada una edad x es tPx = P(T(x) > t); su fórmula de cálculo se
deduce como sigue:
S(x + t)
tPx = P(X > x + t / X> x) = S(x + t / X > x) = S(x) (2.6)
11
1
f¡
¡1
I'
1!
1
.,
'
40 Modelos de Sobrevivencia
La probabilidad de muerte antes de t años dada una edad x es:
tqx = P(T(x) ~ t) = P(X ~ :t+ t / X> x) = F(x + t / X> x) (2.7)
Según el concepto de probabilidad condicional y de acuerdo con (2.6):
P(x <X~ x+t) S(x)-S(x+t)
tqx = P(X> x) = S(x) = 1-t Px (2.8)
tPx y tqx dadas por S(y/X > x) y F(y/X > x) respectivamente, son una
modalidad de funciones truncadas inferiormente. En el caso de la función
de densidad y fuerza de mortalidad:
f( IX ) = !}_F( /X ) = d S(x) - S(y) = f(y) Y > x dy Y > x dy S(x) S(x)
X> x _ f(y/X > x) _ f(y)/S(x) _ f(y) _
µ(y/ ) - S(y/X > x) - S(y)/S(x) - S(y) - µy
(2.9)
(2.10)
Es claro ver que xPO = S(x). Para expresar tPx en función de la fuerza
de mortalidad se deduce de (2.4) que -µydy = dLn[S(y)] e integrando desde
x hasta x +t:
1x+t [S(x + t)] - x µydy = Ln S(x) . = Ln[tPx]
Tomando la exponencial y luego haciendo el cambio de variable y = x+s:
(2.11)
La fuerza de mortálidad en términos de las probabilidades condicionales
de sobrevivencia queda como:
(2.12)
Contingencias de vida individual 41
2.2.1 La función de densidad de T: La fórmula tqx es la.función de
distribución de T, por tanto, la derivada encuentra la función de densidad
de To g(t).
()
_ .!!_,_ . _ -S'(x + t) _ S(x + t) [-S'(x + t)] _
g t - dt tqx - S(x) - S(x) S(x + t) - tPx µx+t (2.13)
El resultado puede interpretarse como la probabilidad de morir en un
instante de tiempo infinitesimal entre las edades x + t y x + t + !lt dado que
se tiene edatl x. Otra forma de encontrar el resultado para g(t) es analizarla
como una función de densidad truncada inferiormente.
g(t) = f(x + t /X> x) = S(x + t /X> :z:) µ(x + t /X> x) =t Px µx+t
: g define la probabilidad de muerte instantánea de ( x) en x + t y por me-
dio suyo puede generalizarse el cálculo de probabilidades condicionales de
muerte para una persona de edad X como:
(2.14)
Para el cálculo de probabilidades de muerte entre las edades x + t y
x + t + u para una persona en edad x, o probabilidades de muerte diferidas
usando la función 9,. se tiene:
(2.15)
De acuerdo con las probabilidades condicionales, las probabilidades di-
feridas pueden set expresadas de la siguiente manera:
t/uqx = P(x+t <X< x+t+u/X > x)
= P(X > x + t /X> x) - P(X?:. x + t +u/ X> x)
=tPx-t+uPx
=t+u qx -t qx
De (2.16) surge otra expresión para t/uqx:
(2.16)
(2.17)
(2.18)
42 Modelos de Sobrevivencia
Ejemplo 2.2: Con la información del ejemplo 2.1 se evalúa lo
siguiente:
a) La función de densidad de T, g(t):
( ) _ _ S(:t)) J~x+t~ _ f (:it)) _ 1 g t -t Px µx+t - S x S x+t - S x - 100-:z:
b) La probabilidad de muerte instantánea de un recién nacido a
los 20 años. Aquí x = O y t = 20, luego:
20P0 µ20 = 10J_0 = 0, 01
c) La probabilidad que una persona de edad 20 muera entre los
25 y 35 años:
-1-1==========1-
(20) 25 35
Otra vía para calcular la probabilidad anterior primero mira la
probabilidad de que la persona llegue viva a los 25, y una vez
estando en esa edad, contempla la probabilidad que muera en el
intervalo de edad de 25 a 35:
_ S(25) S(25)-S(35) _ S(25)-S(35} _ 0,75-0,65 _ 0 125
5P20 10q25 - S(20) S(25) ...,. · S(20) - 0,8 - ,
d) La probabilidad que un recién nacido muera antes de los 20
años:
r20 r20 1
20qo = Jo g(y)dy = Jo 100-ody = O, 2
e) La probabilidad que una persona de edad 20 muera antes de
los 55 años:
_ r35 ( ) r35 1
35q20 - Jo g y dy = Jo 100_ 20 dy = O, 4375
r
Contingencias de vida individual 43
2.3 Esperanza de vida
Es un valor usado para representar el promedio del tiempo futuro de vida
de una persona. La esperanza de vida al nacer o tiemp·o esperado de vida
de un recién nacido es:
e8 = E[X] = 100 x J(x)dx = 100 x xPo µx dx
La esperanza de vida para una persona en edad y se define como:
e~ = E[T] = E[X / X > y] - y
Presentar la esperanza de vida con una fórmula más simple requiere del
uso del siguiente teorema, muy útil en el cálculo de valores esperados.
Teorema 2.1: Si Tes una variable aleatoria continua con función de
distribución G(t) tal que G(O) = O, y z(t) es una función positiva, diferen-
ciable y monótona tal que E[z(T)] existe, entonces:
E[z(T)] = roo z(t)g(t)dt = z(O) + roo z'(t)[l - G(t)]dt
lo . lo
La demostración del teorema se deja como ejercicio.
Retomando la esperanza de vida para úna persona con edad y:
e~ = 100 x f(x /X> y)dx-y
- loo x J(x /X> y)dx -y 1
00
J(x /X> y)dx
- 100 (x -y) f(x /X> y)dx
Sea el cambio de variable t = x -y, entonces x = t + y y dx = dt.
44. Modelos de Sobrevivencia
Del teorema 2.1 con z(t) = t y g(t) =t Py µy+t entonces z'(t) = 1 y por
(2.13) G(t) =t qy:
(2.19)
El símbolo de infinito toma el valor w-y. El resultado puede ser obtenido
fácilmente si en vez de aplicar el teorema 2.1, se integra por partes la función
t. g(t). Tomando u= t entonces du = dt; y si v = g(t) =t Py · µy+t entonces
de acuerdo con (2.12) dv = -tPy, así:
¡-y rX) {00
ei = (-t ·t Py)b + lo tPydt = lo tPydt
Ejemplo 2.3: Con la información del ejemplo 2.1:
o 100 100 100 - .X e0 = xPO dx = 100 dx = 50 o . o
Si una población sigue una ley de sobrevivencia S(x) = 1-100/x,
entonces se espera que un recién nacido viva en promedio 50 años.
o = p, dt = S(x+t) dt = 100-x-t dt = 60-t dt _ 1
60 160 . 160 160
e40 t x S(x) 100-x 60 - 30 o o o o .
Se espera que una persona de edad 40 sobreviva en promedio30
años más, esto es, que llegue a los 70. El resultado está muy por
encima de la esperanza de vida de un recién nacido puesto que
el riesgo implicado de morir entre los cero y los cuarenta años,
la persona ya lo ha superado, incrementando así su esperanza de
vida. A
Si la esperanza se limita a valores de T inferiores de uno, se obtiene una
función a(x), qúe determina el número promedio de años vividos entre x y
x + 1 por el grupo que murió entre estas edades.
(2.20)
Contingencias de vida individual 45
2.3.1 Tiempo futuro de vida en años enteros: Muchas aplicaciones en
distintos campos consideran la edad en años enteros, por tanto, es necesario
contar con la siguiente variable aleatoria:
K = [T] : Tiempo futuro de vida en años enteros.
De acuerdo con la definición de la función parte entera se encuentra la
función de densidad de K; como g(k)-:- P(K = k) entonces:
g(k) = P(k ~ T < k + 1) = P(T ~ k) - P(T ~ k + 1)
Dado que Tes variable aleatoria continua, P(T = k) = P(T = k+ 1) = O,
y por tanto:
g(k) = P(T > k) - P(T > k + 1) =k Px -k+l Px =k Px · qx+k = k/qx
(2.21)
Con base en (2.21) se encuentra la función de distribución de K:
k
G(k) = P(K ~ k) = ¿ h/qx = k+lqx con k = O, 1, 2, ... (2.22)
h=O
Definiendo a S como una variable que representa la fracción del tiempo
de vida en el año de muerte, entonces:
(2.23)
La función g(t) proporciona para (x), probabilidades instantáneas de
muerte después de t años y g(k) probabilidades de muerte después de k
años y antes de k + l. Similarmente, la probabilidad de que la muerte
ocurra entre k y k + s donde s es una fracción de año, es:
El uso de K implica un sustancial .cambio. en la formulación y en la
notación, por ejemplo, en la esperanza de vida la notación del caso continuo.
e~ pasa a ser en el caso discreto ex, y la fórmula de cálculo se define por:
1
1
46
00
. ex= ¿k kPxqx+k
k=O
Modelos de Sobrevivencia
Para encontrar una expresión simplificada de ex es necesaria la aplicación
del siguiente teorema, cuya demostración es similar a la del teorema 2.1 y
también se deja como ejercicio.
Teorema 2.2: Si K es una variable aleatoria discreta con función de
distribución G(k) y función de densidad g(k) = D.G(k - 1), y z(k) es una
función positiva y monótona tal que E[z(K)] existe, entonces:
00 00
E[z(K)] = ¿ z(k)g(k) = z(O) + ¿ [1- G(k)] D.z(k)
k=O k=O
Aplicando el teorema 2.2 en ex sean z(k) = k y g(k) = k/qx; entonces
D.z(k) = 1 y por (2.22) G(k) = k+lqx,
00 00
ex = E[K] = O + ¿ [1 -k+I qx] = L kPx (2.25)
. k=O k=l
Descomponiendo kPx se encuentra otra expresión para ex.
w-x w-x
ex= L kPx = LPx k-lPx+l
k=l k=l
Si h = k- l:
(2.26)
Lá esperanza de vida de una persona en edad x si sobrevive un año más,
será igual ala esperanza de vida que tenga en la edad x + l más un año, el
que se ganó al sobrevivira la edad x + l.
Contingencias de vida individual 47
2.4 La tabla de mortalidad
La tabla de mortalidad tradicional es un modelo de sobrevivencia presentado
en formato tabular. Su construcción fue diseñada por actuarios mucho antes
del avance en la teoría estadística de los modelos de sobrevivencia vistos
como distribuciones probabilísticas. La notación resultante tiene algunas
diferencias con la vista hasta el momento.
El modelo tabular no presenta las probabilidades de sobrevivir S(x), a
cambio ilustra el número de sobrevivientes de un grupo inicial lo desde una
edad particular x (preferiblemente x = O) hasta w. Usualmente los modelos
tabulares consideran las edades en años enteros.
Si S(x) es multiplicado por lo el resultado es un número estimado de
sobrevivientes para la edad x. A lo se le conoce como la raíz de la tabla
y generalmente es fijada en miles de unidades, como 10.000 o 100.000. Así
pues, en el modelo tabular el número esperado de sobrevivientes a una edad
x denotado por lx, toma el lµgar que tiene S(x) en el modelo d.e sobrevivencia
probabilístico.
lx = lo S(x) (2.27)
La definición de lx como expansión de S ( x) por una constante lo, conduce
a afirmar que la gráfica de lx tiene forma similar a la de S(x). La ecuación
(2.27) puede deducirse más rigurosamente a partir de la definición de la
variable aleatoria:
Cx: Número de sobrevivientes a la edad x de un grupo inicial lo
Ij es una variable indicadora que representa la sobrevivencia del recién
nacido j:
si la vida j sobrevive la edad x
en otro caso
1
1\
48 Modelos de Sobrevivencia
Ij es variable aleatoria de tipo Bernoulli y por tanto Cx tiene distribución
binomial con parámetros n = lo, o número inicial de sobrevivientes, y pro-
babilidad de éxito (sobrevivir) p = S(x).
Cx ~ B(lo,S(x))
E[Cx] = lx = np = lo S(x)
Para obtener el valor esperado de muertes entre x y x + k o kdx, primero
hay que definir. la variable aleatoria:
k'Dx: Número de muertes entre las edades x y x + k.
k'Dx ~ B(lo,F(x + k) """'. F(x))
k'Dx ~ B(lo, S(x) - S(x + k))
E[k'Dx] =k dx = lo (S(x) - S(x + k)) = lx - lx+k (2.28)
Otras funciones de la tabla son obtenidas a partir de (2.27) y (2.28).
S(x + k) . lx+k / lo lx+k
kPx= = =--
S(x) lx / lo lx
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
La esperanza en años continuos e~ puede aproximarse a partir de ex,
usando para ello una forma particular de la fórmula de Euler-McClaurin
hasta su tercer término para aproximar integrales definidas:
Contingencias de vida individual 49
/n 1 1
Jo f(x)dx ~ [f(l) + f(2) + · · · + f(n)] + 2 [J(O) - f(n)] - 12 [f'(n) - !'(O)]
Sean f(t) = lx+t,n = w-x y dx = dt.
Dividiendo por lx:
En la _siguiente sección se mostrará que el tercer término del lado derecho
de la aproximación sin tener en cuenta la constante 1/12 es -µx, En la
práctica es ignorado y como w-xqx = l; entonces:
(2.33)
Ejemplo 2.4: El anexo 1 presenta la tabla colombiana de mor-
talidad de los asegurados en el período de 1.984 a 1.988. La raíz
de la tabla comienza a edad 20 y la edad máxima estimada que
puede alcanzar la población de asegurados es de 99 años, por
tanto, w = 100.
Por mencionar un caso particular, la probabilidad de muerte de
una persona de 20 años de edad es ·de 0,00345 y su esperanza
d~ vida usando (2.33) es de 52,2 años. Usando una raíz de lo =
100.000 personas para la tabla, se espera que mueran 345 con 20
años de edad.
La tabla del anexo contiene otros componentes que son propios
del cálculo actuarial los cuales serán explicados en su momento.
A
50 Modelos de Sobrevivencia
En la cohorte inicial lo donde cada vida tiene una función específica de
sobrevivencia S(x) se le denomina grupo aleatorio de sobrevivientes. La ta-
bla del anexo 1 considera un grupo cerrado, no hay entradas después del
inicio de lo vidas y el decremento ocurre únicamente por muerte; además,
cada vida está sujeta a las probabilidad~s de muerte fijas determinadas por
las qx de. la tabla. Este grupo así definido se denomina grupo determinístico.
de sobrevivientes. Los fundamentos matemáticos de los dos grupos son di-
ferentes, pero sus propiedades matemáticas son las mismas.
Una forma de estimar un modelo de sobrevivencia tabular, es observar un
grupo de recién nacidos hasta que ocurra su deceso. No obstante el proceso
resulta poco práctico puesto que la aplicación-requiere de mucho tiempo
y de un grupo suficientemente numeroso como para que las estimaciones
sean fiables. Además, para la fecha de obtención del modelo definitivo, la
estructura de la mortalidad habrá tomado virajes importantes, ocasionados
por los adelantos tecnológicos y los cambios en los estilos de vida y la cultura
entre otros, lo cual desvirtúa totalmente la vigencia del modelo.
Si bien a partir de lx pueden obtenerse las demás componentes de la
tabla, en la práctica la estimación de la misma parte de la estimación de los
qx, La metodología consiste en observar un grupo de personas _de todas las
edades en un período de tiempo moderadamente grande y mediante uno de
los métodos de estimación existentes1 , se determinan las probabilidades de
muerte.
Las estimaciones de qx no son otra cosa que frecuencias y no probabilida-
des que presenten en su conjunto, el grado de regularidad que la naturaleza
del fenómeno estudiado presupone. El proceso de regularizar los datos se
conoce como ajuste de tablas2. Una vez ajustada la -tabla, con base en un
grupo inicial supuesto lo, los demás componentes son obtenidos.
2.4.1 La fuerza de mortalidad: Uná expresión paraµ también es de-
terminada a partir de lx. La deducción de su fórmula puede ilustrarse con
base en el siguiente ejemplo.
1Una revisión extensa del tema se puede encontrar en el libro "Survival Models and
Their Estimation" por Dick LoncÍon, capítulos 4 al 9.
2 Un buen compendio de métodos de-ajuste se encuentra en el libro "Graduation" por
Dick London.
Contingencias de vida individual
Ejemplo 2.5: SeaS(x) = O, 25(64 - O, 8x)113 con O~ x ~ 80.
Si lo= 10.000 entonces, l:z: = 2.500 • (64 - O, 8x)113 •
.!!:_l = -2.000 (64 _ 0 8 )-2/3 dx x 3 ' x
La derivada indica la tasa de decremento de lx con respecto a x.
Calculada en una edad de 20 años:
- Írclxl = -23°00 (64-(0,8) 20)-213 = -50,48
20 .
En la edad exacta de 20 años el número de sobrevivientes decrece
aproximadamente a razón de 50 vidas. La medida no sirve como
tasa de muerte puesto que depende del número de sobrevivientes
que existían a la edad 20. Dividir la derivada por l20, conduce a
una tasa de muerte independiente del número de sobrevivientes
del grupo inicial supuesto lo. Como l20 = 9.085, 6 entonces la
tasa de muerte a edad 20 es 50, 48/9.085, 6 = O, 00556 expresada
en términos absolutos. ·
El cálculo de distintos valores para x entre los 20 y 21 años da:
X µa;
20,0 0,00556
20,2 0,00557
20,5 0,00560
20, 7 0,00562
21,0 0,00565
La probabilidad de muerte entre los 20 y 21 años es q20 =
0,00559.
Los qx expresan una probabilidad condicional de muerte anual y
µx variaciones instantáneas de la mortalidad en el año. El con-
cepto puede ser comparado con el concepto de velocidad media.
Si un vehículo gasta una hora al pasar entre dos ciudades a 60
kilómetros de distancia, el vehículo habrá hecho el recorrido a
una velocidad de 60km/h, pero esa velocidad no es más que un
promedio de las distintas velocidades que ha llevado durante el
trayecto. A
1
1
51
52 Modelos de Sobrevivencia
Generalizando el resultado del ejemplo anterior o simplemente por de-
ducción de (2.4), la fuerza de mortalidad también se define como:
(2.34)
2.4.2 Otras funciones de la tabla de mortalidad: Del grupo de so-
brevivientes a edad x, Lx define el total de años vividos entre x y x+ l. Los
sobrevivientes en el intervalo aportan lx+l años vividos a Lx, y los muertos
contribuirán con una fracción de año que en total suma J¿ s lx+s µx+s ds,
así:
Al integrar por partes el segundo término del lado derecho de la ecuaciónanterior se llega a:
(2.35)
Esta medida expresada en unidades de años vividos, indica el tiempo
total que estuvo expuesta la cohorte lx al riesgo de morir. La generalización
al total de años vividos por el grupo lx más allá de la edad x es:
¡w-x
Tx = lo lx+t dt (2.36)
La esperanza de vida puede ser calculada con base en Lx y Tx.
(2.37)
(2.38)
Contingencias de vida individual 53
La esperanza e~:n] es el tiempo esperado de vida de una persona en edad
x previo a x + n. La medida basada en la variable K es ex:n]; las dos dadas
en término de las probabilidades de sobrevivencia son:
e~-n] = ¡n tPx dt · lo
n
e:i::n] = ¿ kPx
k=l
Como se mencionó anteriormente, la fuerza de mortalidad indica las
variaciones instantáneas en la tasa de mortalidad a lo largo de todas las
edades. La medida usada para representar el promedio ponderado_ de esas
tasas µx, se denomina la tasa central de mortalidad, donde la función de
ponderación es S ( x). Si se toma el promedio en el intervalo de edad de x a
x +1 se nota por m:i;.
Jx+l S(y)µ(y) dy Ji S(x + s)µ(x + s) ds J0
1 lx+s µx+s ds
mx = x 1 = 1 = .;;..::...-1~· ---
J:+ S(y) dy fo S(x + s) ds fo lx+s ds
1 11 ,
Pero por (2.34) fo lx+ti µx+s ds = -lx+sb = dx, ademas por (2.35):
(2.39)
La tasa de muerte mx es una relación de casos ocurridos frente a exposi-
ción; algunos métodos la usan para la estimación de los q:i;. Suponiendo que
l:z:+s es lineal en el intervalo [x, x + 1) se llega a la siguiente relación con q:i;:
(2.40)
2.4.3 Probabilidades condicionales a edades fraccionadas: Cuando
existe un modelo matemático para µx es posible calcular las probabilidades
de muerte y de scibrevivencia en edades no enteras. En el caso de los modelos
tabulares no es posible suministrar tales probabilidades en forma minuciosa,
pero el cálculo puede hacerse con aproximaciones basadas en los valores de
la tabla.
l
54 Modelos de Sobrevivencia
2.4.3.1 Forma lineal para lx+s: Una de las formas para calcular sPx
o 8 qx cuando O ~ s ~ 1, es suponer que el comportamiento de lx es lineal
entre x y x + l.
lx lx+s lx+l
-1--1---1-
X x+s x+l
El esquema anterior sirve de guía para hallar lx+s por interpolación lineal.
(2.4Í)
La forma asume que la curva de lx está dividida en líneas rectas siendo
cada una la representación de un año, pero no necesariamente forman en
conjunto una sola línea recta. El número de muertes del año es proporcional
al tiempo transcurrido de dicho año, por esto la aproximación se conoce co-
mo supuesto de distribución uniforme de muertes, abreviadamente supuesto
DUM. Los textos en inglés refieren la abreviatura como UDD. Dividiendo
(2.41) en a ambos lados de la ecuación por lx:
Las fórmulas anteriores asumen linealidad exacta en el modelo de so-
brevivencia, por eso se expresan con igualdades. Pero es muy difícil sino
impósible que este supuesto, así como los que se citarán más adelante, se
cumplan con exactitud en cualquier modelo particular, por esto varios textos
citan las fórmulas para lx+s y sus derivaciones, como aproximaciones.
Es de mucho interés el cálculo de la probabilidad de muerte donde x es
entero Y O ~ s ~ 1; y + s ~ 1 como se indica en el siguiente esquema:
--Cl---l=========l----1-
X x+y x+y+s x + 1
Contingencias de vida individual 55
La probabilidad de muerte entre x y x + y + s puede escribirse como:
Aplicando el supuesto D UM:
(2.42)
La aproximación implica la siguiente deducción para S(x).
S(x)-S(x+s) sS(x)-sS(x+l)
sQx = S(x) = s Qx = . S(x)
S(x + s) = (1- s) S(x) + s S(x + 1)
El supuesto D UM también concluye que µx+s es una función creciente
de x; por (2.12):
-fsS(x + s) - S(x) - S(x + 1)
µx+s = S(x + s) = (1- s) S(x) + s S(x + 1)
Dividiendo numerador y denominador por S(x) en la última expresión
del lado derecho, y según (2.8):
Otras dos aproximaciones importantes son:
56 Modelos de Sobreviven.cia
Con base en el supuesto lineal para lx+s, (2.24) toma la forma:
P[(K = k) n (S::;; s)] =kPx s qx+k =k¡ qx s = P(K =k) P(S::;; s)
Lo cual concluye que K y S son independientes bajo el supuesto DUM.
Como la variable S tiene distribución uniforme en el intervalo (0,1) entonces
E(S) = 1/2, y así:
El resultado se había analizado más generalmente en la sección 2.4 y se
concluyó en (2.33).
En resumen, asumir linealidad para lx en intervalos anuales, es asumir
que la probabilidad de muerte es creciente con la edad y que el número de
muertes es proporcional al tiempo de año transcurrido.
Ejemplo 2.6: Sean q20 = O, 06 y q21 = O, 08. Asumiendo distri-
bución uniforme de muertes, la probabilidad de que una persona
de 20 años muera entre los 20½ y los 21 ½ es:
2.4.3.2 Forma hiperbólica para lx+s= Esta hipótesis asume que el
inverso de lx es una función lineal de s entre x y x + l, esto és lx+s =
(a+ b · s)-1 . Para asegurar continuidad en s = O se hace lx = l/a, y en
s = 1 se hace lx+I = 1/(a + b) luego:
Contingencias de vida individual 57
Apoyados en (2.30), (2.29) y (2.8) las siguientes deducciones algebraicas
concluyen en la aproximación final de 8 qx,
sqx qx
--=s--
lx+s lx+l
S qx S qx
sqx = Px + s qx - 1 - (1 - S )qx (2.45)
Por deducciones algebraicas similares se llega a:
(2.46)
Por (2.46) es fácil ver que· 1-tqx+t = (1- t)qx, Para la fuerza de mortali-
dad se tiene:
(2.47)
La fuerza de mortalidad resultante es una función decreciente de x. Aun-
que la hipótesis no fue propuesta por el. actuario Balducci, se le conoce como
el supuesto de Balducci y sirve para modelar situaciones donde la probabili-
. dad de muerte es decreciente; algo parecido a lo que sucede en la población
de recién nacidos.
2.4.3.3 Forma exponencial para lx+s: Asume que el comporta-
miento de lx+s entre x y x + 1 es de la forma lx+s = a · b8 • Para asegurar
continuidad en s = O se hace lx = a, y en s = 1 se hace lx+l = a· b, entonces:
lx+s = lx · (px) 8 , y dividiendo por lx:
sPx = (Px) 8 (2.48)
(2.49)
58 Modelos de Sobrevivencia
De acuerdo con (2.12) la fuerza de mortalidad sería:
_ -fs(px)8 _ -(px)8 Ln[px] _ -L (p )
µx+s - (px)s - (Px)s - n x (2.50)
Al no depender µx+s de la fracción de tiempo s, la fuerza de mortalidad es
constante entre x y x + 1 y se toma a µx+s = µ. La hipótesis. es conocida
como supuesto de fuerza de mortalidad constante.
También:
-sµ sPx = e
-sµ sPx+y = e
(2.51)
(2.52)
(2.53)
(2.54)
El supuesto modela casos donde la probabilidad de muerte es constante,
situación parecida a la ocurrida en adultos jóvenes.
2.5 Tablas selectas
Los asegurados constituyen una población especial y diferente en muchas
características a la población general de un país, diferencias que son más
acentuadas en países como el nuestro donde la cultura de compra del seguro
de vida no es muy arraigada.
Además de las características especiales que tienen las personas que de-
ciden tomar un seguro de vida, se suman a estas las incluidas dentro de un
proceso de selección hecho por las compañías de seguros, cuando aceptan o
rechazan a sus potenciales asegurados de acuerdo con algunas condiciones
deseables para ella. El hombre ideal que_ querrían aceptar para el seguro,
es probablemente el de un profesional sin defectos médicos o deformidades,
con un peso inferior al promedio en comparación con la altura, que regular-
mente pero no de forma excesiva hace ejercicios y que es sobrio en hábitos
y distracciones. En la práctica resulta muy difícil verificar los hábitos de
Contingencias de vida individual 59
los asegurados y relativamente pocos casos ideales llegan a las manos de los
seleccionadores, no obstante la selección tiene un papel fundamental en los
resultados financieros del seguro.
Esta selección determinada fundamentalmente por exámenes médicos y
el análisis del ambiente laboral y pasatiempos especiales, influye sobre la
mortalidad del grupo durante ~ierto tiempo. En general, es admit~do que
los efectos duran de uno a diez años, y naturalmente, año por año, esos
efectos
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