Laboratorio 2 2020 (2)

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UES – FIA – ESCUELA DE INGENIERIA QUIMICA E INGENIERÍA DE ALIMENTOS 
OPERACIONES UNITARIAS I 
 
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LABORATORIO No.2: 
ANÁLISIS DIMENSIONAL 
 
1. Objetivo 
 
Caracterizar metodologías que son fundamentales para facilitar el análisis de problemas 
complejos a través de la reducción del número de variables y por tanto de la reducción de 
información requerida para llevarlo a cabo. 
 
2. Base Teórica 
 
El análisis dimensional es un método mediante el cual se examinan las dimensiones de los 
fenómenos físicos y de las ecuaciones asociadas, para tener una nueva apreciación en la solución 
de problemas determinados. El análisis dimensional es importante cuando se tiene la necesidad de 
analizar el comportamiento de las variables que intervienen en el fenómeno en estudio y las 
relaciones entre éstas; aproximando la situación física real a un modelo matemático. 
 
El modelo matemático se convierte en una ecuación de cálculo para el fenómeno en estudio, o 
para representar, en muchos casos, la relación de los parámetros en estudio como una función de 
números adimensionales, los que en consecuencia determinan las características de operación del 
sistema. 
 
Entre los métodos de análisis dimensional de mayor uso se tienen los siguientes: a) Método de 
Rayleigh; b) Método de Buckingham. 
 
3. Desarrollo de la práctica 
 
3.1 Método de Rayleigh 
 
Los pasos para aplicar el método de Rayleigh son los siguientes: 
 
 
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1. Seleccionar el sistema de unidades a aplicar con sus correspondientes magnitudes primarias: 
M L t, F M t, F M L t. 
2. Expresar la magnitud en estudio (por ejemplo, G) como una serie de potencias de los 
parámetros correspondientes, en donde los exponentes son números enteros (+) y (-), fracciones 
de éstos o cero. Así, por ejemplo: G =  (La Mb tc Fd Te f) 
En general sobre el planteamiento en 2, se definen: 
 
n: Equivale al Número de parámetros o magnitudes físicas. Este caso n = 7 
r: Equivale al Número de magnitudes primarias o número de ecuaciones buscadas 
e = n – 1: Corresponde al Número de exponentes de la serie de potencias; equivalente al 
número de incógnitas. 
i = n – r: Es el Número de relaciones adimensionales a establecer o de grupos de 
dimensiones relacionadas por un mismo exponente. 
Para resolver el sistema de ecuaciones, se debe fijar un número: 
j = n – 1 – r = e – r 
Incógnitas (exponentes), y así resolver el sistema planteado en función de éstas. 
 
3. Sustituir en la serie de potencias de las magnitudes, las dimensiones que las caracterizan, en 
base a su definición original. 
 
M1 L2 t -1 = ( La ) ( Mb ) ( tc ) ( Md Ld t-2d ) (Te ) ( Mf L-3f ) 
 
Como la ecuación deber ser dimensionalmente homogénea, la suma algebraica de los 
exponentes de las unidades de la izquierda, debe ser igual a la de sus unidades semejantes a la 
derecha. 
Ejemplo, para la dimensión de la L, se establece la ecuación: 2 = a + d – 3f 
De la misma forma se establece una ecuación para cada magnitud primaria, hasta contar con 
un número (r) de ecuaciones en el sistema buscado y con un número (e) de incógnitas o 
exponentes correspondientes. Para su solución se plantean un número (j) de exponentes, 
expresando unos en función de los otros y llegar al final a sustituir de nuevo en la serie potencias. 
Finalmente se agrupan las dimensiones con exponentes iguales, formando así las diferentes 
relaciones buscadas. Los valores de los coeficientes y exponentes finales se determinan 
experimentalmente. 
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3.1.1 Ejemplo de Aplicación del Método de Rayleigh 
 
La caída de presión en una tubería por la que circula un fluido incompresible es función de: 
 
1. Las propiedades del fluido (densidad (ρ) y viscosidad (μ). 
2. Características de la tubería Longitud (L), diámetro interno (D) y rugosidad (ε). 
3. Propiedades del movimiento relativo del fluido (La velocidad media V). 
 
Es decir que: 
(-ΔP) =  (ρ, μ, L, D, , V) 
 
Determinar los grupos funcionales en los que se pueden agrupar las variables, en función de los cuales 
se puede explicar la caída de presión. 
 
PASO 1. Seleccionar para este caso, el sistema de magnitudes primarias FMLt 
 
PASO 2. 
a) Expresándolo como una serie de potencia se tiene: 
 
(-ΔP) =  (ρa, μb, Lc, Dd, e, Vf) (Ec. 1) 
 
Aplicando las relaciones FMLt, seleccionadas en el paso 1. 
 
(-ΔP) =  (ρa, μb, Lc, Dd, e, Vf, gcg) (Ec. 2) 
 
b) Aplicando el método de Rayleigh 
 
n = 8: parámetros o magnitudes físicas (-ΔP, ρ, μ, L, D,  , V, gc) 
 
e = n - 1 = 7: exponentes (a, b, c, d, e, f, g) 
 
r = 4: magnitudes primarias (FMLt) = Número de ecuaciones linealmente independientes 
buscadas. 
 
i = n – r = 8 – 4 = 4: Relaciones adimensionales buscadas 
 
J = n – 1 – r = 3: Incógnitas o exponentes a definir para las relaciones buscadas. 
 
 
 
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PASO 3. 
 
a) Sustituyendo en la serie de potencias de las magnitudes, las dimensiones que las caracterizan, 
en base a su definición original. 
 
(-ΔP) = F L
-2 ρ = M L-3 μ = F L-2b t 
 
L, D,  = L V = L t-1 gc = M L F
-1t-2 
 
Sustituyendo en la Ecuación 2 
 
F1L-2 = K (Ma L-3a) (Fb L-2b t b) (Lc) (Dc) (c) (Lf t -f) (MgLg F -1gt -2g) 
 
b) Se busca un numero r = 4 ecuaciones linealmente independientes. Aplicando que la suma 
algebraica de los exponentes de las unidades de la izquierda, debe ser igual a la de sus unidades 
semejantes a la derecha para las magnitudes seleccionada FMLt. 
 
F1: 1 = b - g Ec. 3 
 
L-2: -2 = -3a - 2b + c + d + e + f + g Ec. 4 
 
t 0 : 0 = b - f - 2g Ec. 5 
 
M0: 0 = a + g Ec. 6 
 
c) Se tiene un sistema de r = 4 ecuaciones con e = 7 incógnitas, por lo que se buscarán las 
relaciones entre las incógnitas, para contar con 4 ecuaciones y 4 incógnitas. Se selecciona para 
el caso dejar las ecuaciones en función de b, c y e. 
 
De Ec. 3: g = b – 1 Ec.7 
 
De Ec.6: a = – g Ec. 8 
 
Ec. 7 en Ec. 8: a = 1 - b Ec. 9 
 
De Ec. 5: f = b – 2 g Ec. 10 
 
Ec. 7 en Ec. 10: f = b – 2b + 2 
 
Simplificando: f = 2 – b Ec. 11 
 
Sustituir Ecs. 7, 8, 9 y 11 en Ec. 4 
 
– 2 = – 3a – 2b + c + d + e + f + g 
 
– 2 = – 3 (1 – b) – 2b + c + d + e + (2 – b) + (b – 1) 
 
Simplificando d = – c – b – e Ec. 12 
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d) Sustituir ecuaciones 7, 9, 11 y 12 en la serie de potencias de la ecuación 2. 
 
(-ΔP) = k (ρa, μb, Lc, Dd, e, Vf, gcg) 
 
(-ΔP) = k (ρ(1-b), μb, Lc, D (-c –b –e ), e , V(2-b), gc(b-1)) 
 
Agrupar en función de exponentes comunes: (Valor No, b, c, e) 
 
(-ΔP) = k (ρ1ρ - b μb) (Lc) (D – b D -c D-e e) (V2 V-b) (gcbgc-1) 
 
(-ΔP) = k (ρ1gc-1 V2) (ρ - b μb D – b V-b gcb) ( Lc D -c ) (D-e e ) 
 
(-ΔP) gc / ρ V
2 = k (μ gc / ρ D V)b ( L/D)c ( / D)e 
 
Analizando los grupos formados, se tienen cuatro relaciones adimensionales donde: 
 
1. La primera relación establecida, (-ΔP) gc / ρ V2 se conoce como el coeficiente de presión 
2. La segunda relación adimensional (μ gc / ρ D V) b, se conoce como Número de Reynold y se 
ha determinado experimentalmente que b = -1 
Por lo que: 
NRe = ρ D V / μ gc 
3. La tercera relación encontrada (D/L)c es la relación adimensional de diámetro a longitud de 
tubería, para c = 1 
4. La cuarta relación encontrada se conoce como rugosidad relativa de tubería, para e = 1, por lo 
que rugosidad relativa = ( / D) 
 
Por lo que se establece que la caída de presiónen flujo de fluidos incompresibles en tuberías es función 
de: 
(-ΔP) gc / ρ V
2 =  (NRe, L/D, / D) 
 
3.2 Método del Teorema Pi () de Buckingham 
 
Los pasos para aplicar el método del Teorema Pi de Buckingham son los siguientes: 
 
 
 
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1. Obtener las variables que describen el problema. 
2. Seleccionar las dimensiones de referencia (N) que corresponden a las variables. 
3. Descomponer las variables en sus dimensiones, de manera tabulada. Para ello se ordenan 
de la más sencilla a la más compleja y se desglosan en los exponentes de sus dimensiones. 
4. Elegir las variables de referencia de acuerdo con los siguientes criterios: 
 Debe ser igual a N variables de referencia. 
 Entre todas deben contener todas las dimensiones. 
 Deben se sencillas e independientes entre sí. 
5. Establecer las ecuaciones dimensionales y obtener los números . Para ello se plantea el 
producto de las variables de referencia con cada variable restante y enseguida se 
desglosan en cada dimensión. 
6. Por último, se verifican los números  obtenidos. 
 
3.2.1 Ejemplo de Aplicación del Método del Teorema Pi () de Buckingham 
 
Los números adimensionales son herramientas muy importantes para el flujo de fluidos. 
Determinar los grupos adimensionales en los que se pueden agrupar las siguientes variables: 
 
1. Las propiedades del fluido: densidad (ρ) y viscosidad (μ). 
2. Características de la tubería Longitud (L), diámetro interno (D) y rugosidad (ε). 
3. Propiedades del movimiento relativo del fluido (La velocidad media V). 
4. ΔP variación de presión. 
 
Es decir que: (ΔP, ρ, μ, L, D, , V) 
 
Solución: 
 
1. Variables del problema: ΔP, ρ, μ, L, D, , V. Por tanto, M = 7. 
2. Dimensiones de referencia: [L], [M], [t]. Por tanto, N = 3. 
Por lo que  es igual a M – N = 7 – 3 = 4 números adimensionales. 
3. Ordenamiento en orden de complejidad. 
 
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Variables Unidades L(m) t(s) M (kg) 
D m 1 0 0 
L m 1 0 0 
 m 1 0 0 
V m s-1 1 -1 0 
ρ kg m-3 -3 0 1 
μ kg m-1s-1 -1 -1 1 
ΔP kg m-1s-2 -1 -2 1 
 
4. Variables de referencia, donde N = 3, sencillas e independientes entre sí (D, V y ρ). 
5. Ecuaciones dimensionales. Como resultaron 4 números adimensionales, entonces: 
𝜋1 = 𝐷
𝑎1 𝑥 𝑉𝑏1 𝑥 𝜌𝑐1 𝑥 𝐿 
𝜋2 = 𝐷
𝑎2 𝑥 𝑉𝑏2 𝑥 𝜌𝑐2 𝑥  
𝜋3 = 𝐷
𝑎3 𝑥 𝑉𝑏3 𝑥 𝜌𝑐3 𝑥 μ 
𝜋4 = 𝐷
𝑎4 𝑥 𝑉𝑏4 𝑥 𝜌𝑐4 𝑥 ΔP 
Para 𝝅𝟏: 
 
Para 𝝅𝟐: 
[𝐿] = 𝑎1 + 𝑏1 − 𝑐1 + 1 = 0 𝑏1 = 0 [𝐿] = 𝑎2 + 𝑏2 − 3 𝑐2 + 1 = 0 𝑏2 = 0 
[𝑡] = 0 − 𝑏1 + 0 + 0 = 0 𝑐1 = 0 [𝑡] = 0 − 𝑏2 + 0 + 0 = 0 𝑐2 = 0 
[𝑀] = 0 + 0 − 𝑐1 + 0 = 0 𝑎1 = −1 [𝑀] = 0 + 0 + 𝑐2 + 0 = 0 𝑎2 = −1 
𝜋1 = 𝐷
−1 𝑥 𝑉0 𝑥 𝜌0 𝑥 𝐿 𝜋2 = 𝐷
−1 𝑥 𝑉0 𝑥 𝜌0 𝑥  
𝜋1 = 𝐿/𝐷: Conocido como coeficiente de 
resistencia. 
𝜋2 = /𝐷: Conocido como rugosidad 
relativa. 
 
Para 𝝅𝟑: 
 
 
Para 𝝅𝟒: 
[𝐿] = 𝑎3 + 𝑏3 − 𝑐3 − 1
= 0 
𝑏3 = −1 [𝐿] = 𝑎4 + 𝑏4 − 𝑐4 − 1 = 0 𝑏4 = −2 
[𝑡] = 0 − 𝑏3 + 0 − 1 = 0 𝑐3 = −1 [𝑡] = 0 − 𝑏4 + 0 − 2 = 0 𝑐4 = −1 
[𝑀] = 0 + 0 − 𝑐3 + 1 = 0 𝑎3 = −1 [𝑀] = 0 + 0 + 𝑐4 + 1 = 0 𝑎4 = 0 
𝜋3 = 𝐷
−1 𝑥 𝑉−1 𝑥 𝜌−1 𝑥 𝜇 𝜋4 = 𝐷
0 𝑥 𝑉−2 𝑥 𝜌−1 𝑥 ΔP 
𝜋3 = 𝜇/(𝐷𝑥𝜌𝑥𝑉) 
El inverso de esta cantidad es el Número 
Reynolds. 
1/𝜋3 = (𝐷𝑥𝜌𝑥𝑉)/𝜇 
𝜋4 = 𝛥𝑃/(𝜌𝑥𝑉
2): Conocido como número 
de Euler. 
 
Nota: Es importante seguir los pasos en orden y verificar las literales. La experiencia es 
vital en la solución de estos problemas. 
 
 
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4. Reporte de Resultados 
 
El reporte de resultados consistirá en el desarrollo de los siguientes ejercicios: 
 
1. Desarrollar la ecuación general de la Fuerza de Arrastre o Fuerza de Draga (FD), si ésta 
es función de propiedades del fluido (, µ), la propiedad del movimiento relativo de 
fluido velocidad (V) y el diámetro de la partícula (Dp). Donde la constante de 
proporcionalidad es conocida como el coeficiente de arrastre o coeficiente de Draga (CD). 
Utilice el sistema M L t. 
 
2. El número de Reynolds se establece como una función adimensional de las propiedades 
del fluido (, µ), la propiedad del movimiento relativo de fluido velocidad (V) y el 
diámetro de la tubería (D): 
 
NRe =  (, µ, V, D) o NRe =  (, µ, V, D, gc) 
 
Realice el análisis dimensional del mismo para plantear la relación de los parámetros 
establecidos, con el sistema de unidades M L t y conociendo de la influencia de gc, con 
el sistema M F L t, en su análisis. Se conoce que la constante de proporcionalidad y el 
exponente de la relación se ha determinado experimentalmente que son igual a 1 y -1 
respectivamente. 
 
3. El flujo de fluidos en tuberías se ve afectado por la rugosidad de las mismas, para lo cual 
se establece que el coeficiente de pérdidas primarias () o coeficiente de Darcy (fD) es 
función de las propiedades del fluido (, µ), la propiedad del movimiento relativo de 
fluido velocidad (V) y las características de la tubería, (Diámetro de la tubería, D y 
rugosidad y ). 
 =  (V, D, , µ, ) 
 
Demuestre por análisis dimensional el coeficiente de pérdidas primarias es función del 
Número de Reynolds y de la rugosidad relativa:  =  (NRe, /D), conociendo que los 
exponentes de la serie de potencias planteadas son igual a -1 para el NRe y 1 para la 
rugosidad relativa. 
 
4. El caudal o flujo volumétrico a través de un orificio de un tubo capilar horizontal se cree 
que depende de la caída de presión por unidad de longitud (P), del diámetro (D) y de la 
viscosidad (µ). Determinar la forma de la ecuación para evaluar el caudal conociendo 
que la constante de proporcionalidad es de ( /128) 
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5. La caída de presión en una tubería por la que circula un fluido incompresible es función 
de las propiedades del fluido (, µ, tension superficial ()), la propiedad del movimiento 
relativo de fluido velocidad (V) y las características de la tubería, (Longitud (L) y 
Diámetro (D) de la tubería, y de la rugosidad y ); aceleración gravitatoria g y módulo de 
elasticidad volumétrico K. Encontrar los parámetros adimensionales , más indicados 
para el estúdio del sistema mediante el método del teorema Pi de Buckingham: 
 
ΔP =  (D, L, , V, , µ, , g, K) 
 
6. Llene la siguiente tabla comparativa para los diferentes números adimensionales. 
Además, investiga que otros números adimensionales existen y describe su importancia 
en el análisis de flujo de fluidos. 
 
Parámetro Ecuación Descripción de su uso 
Número de Reynolds 
 
Número de Match 
 
Número de Froude 
 
Número de Weber 
Número de Euler