La Mecánica Cuántica

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La Mecánica Cuántica 
#1 
Indice 
Prólogo 
1. El modelo atómico planetario de Bohr I 
2. El modelo atómico planetario de Bohr II 
3. La espectroscopía de rayos-X 
4. La extraña ecuación de Max Born 
5. Vectores y matrices I 
6. Vectores y matrices II 
7. El análisis de Fourier 
8. La regla de multiplicación de Heisenberg 
9. Observables compatibles e incompatibles 
10. Oscilador armónico simple: solución matricial 
11. Matrices y probabilidad 
12. El principio de incertidumbre I 
13. El principio de incertidumbre II 
14. El experimento Stern-Gerlach 
15. El spin del electrón 
16. Momento angular: tratamiento matricial I 
17. Momento angular: tratamiento matricial II 
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18. Momento angular: tratamiento matricial III 
19. La energía rotacional 
20. Matrices y sub-matrices 
21. Solución matricial del átomo de hidrógeno 
22. Funciones matriciales 
23. De la mecánica clásica a la mecánica matricial 
24. La matriz momentum como generadora de traslación 
25. La matriz generadora de rotación 
26. Rotaciones de las matrices de Pauli 
27. El aspecto estadístico de la Mecánica Matricial 
28. Evolución temporal de los sistemas físicos 
29. Matrices continuas 
30. Ondas de materia 
31. La ecuación de Schrödinger 
32. Solución matemática de la ecuación de onda 
33. Solución numérica de la ecuación de Schrödinger 
34. Interpretación probabilista de ψ I 
35. Interpretación probabilista de ψ II 
36. Interpretación probabilista de ψ III 
37. Operadores y esperanzas matemáticas I 
38. Operadores y esperanzas matemáticas II 
39. Oscilador armónico simple: solución ondulatoria 
40. La función delta de Dirac 
41. Transmisión y reflexión de partículas I 
42. Transmisión y reflexión de partículas II 
43. Transmisión y reflexión de partículas III 
44. Transmisión y reflexión de partículas IV 
45. El potencial delta de Dirac 
46. Ondas de simetría circular y esférica 
47. La notación bra-ket de Dirac 
48. El espacio de Hilbert I 
49. El espacio de Hilbert II 
50. Operadores Hermitianos 
51. Los operadores escalera I 
52. Los operadores escalera II 
53. El principio de incertidumbre, revisitado 
54. El acto de medición 
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55. Momento angular: análisis ondulatorio I 
56. Momento angular: análisis ondulatorio II 
57. Momento angular orbital: funciones de onda I 
58. Momento angular orbital: funciones de onda II 
59. Polinomios de Legendre: aspectos matemáticos 
60. La función de onda radial 
61. La función de onda del momento angular del spin 
62. El principio de exclusión de Pauli 
63. El proceso de construcción Aufbau 
64. El acoplamiento LS 
65. La suma de momentos angulares 
66. Las reglas de selección 
67. Técnicas de aproximación I 
68. Técnicas de aproximación II 
69. Técnicas de aproximación III 
70. Técnicas de aproximación IV 
71. Perturbación y estados degenerados I 
72. Perturbación y estados degenerados II 
73. Modelos perturbativos para átomos hidrogenoides 
74. El efecto Stark I 
75. El efecto Stark II 
76. Corrección perturbativa relativista 
77. La estructura fina del hidrógeno 
78. Perturbaciones dependientes del tiempo I 
79. Perturbaciones dependientes del tiempo II 
80. Perturbaciones dependientes del tiempo III 
81. Interacción con un campo electro-magnético I 
82. Interacción con un campo electro-magnético II 
83. Interacción con un campo electro-magnéticoIII 
84. El método de aproximación WKB I 
85. El método de aproximación WKB II 
86. El método de aproximación WKB III 
87. El método de aproximación WKB IV 
88. El enlace molecular I 
89. El enlace molecular II 
90. La hibridación de los orbitales atómicos 
91. La teoría de los orbitales moleculares 
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92. Teoría del campo cristalino 
93. Operadores clase T 
94. El espacio-posición y el espacio-momentum I 
95. El espacio-posición y el espacio-momentum II 
96. El espacio-posición y el espacio-momentum III 
97. El espacio-posición y el espacio-momentum IV 
98. La partícula libre I 
99. La partícula libre II 
100. La ecuación de movimiento de Heisenberg 
101. Mecánicas Matricial y Ondulatoria: equivalencia 
102. Evolución temporal de las ondas de materia I 
103. Evolución temporal de las ondas de materia II 
104. Estados coherentes 
105. El operador de traslación 
106. El operador de evolución del tiempo 
107. Las representaciones de Heisenberg y Schrödinger 
108. Operadores de rotación I 
109. Operadores de rotación II 
110. Los grupos de rotación I 
111. Los grupos de rotación II 
112. Los grupos de rotación III 
113. La simetría como piedra angular 
114. Representaciones irreducibles I 
115. Representaciones irreducibles II 
116. Los coeficientes Clebsch-Gordan I 
117. Los coeficientes Clebsch-Gordan II 
118. Los coeficientes Clebsch-Gordan III 
119. Operadores tensoriales 
120. El momento de cuadripolo 
121. El teorema Wigner-Eckart I 
122. El teorema Wigner-Eckart II 
123. Mecánica Estadística Cuántica I 
124. Mecánica Estadística Cuántica II 
125. Mecánica Estadística Cuántica III 
126. Mecánica Estadística Cuántica IV 
127. Mecánica Estadística Cuántica V 
128. Mecánica Estadística Cuántica VI 
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http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-iii.html
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http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-v.html
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-vi.html129. La matriz densidad I 
130. La matriz densidad II 
131. El láser 
132. El teorema virial 
133. Espectroscopías de resonancia magnética I 
134. Espectroscopías de resonancia magnética II 
135. Espectroscopías de resonancia magnética III 
136. Espectroscopías de resonancia magnética IV 
137. Esparcimiento clásico de partículas 
138. Esparcimiento de las ondas de luz 
139. Aspectos matemáticos de las ondas esféricas 
140. El método de las ondas parciales 
141. La aproximación de Born I 
142. La aproximación de Born II 
143. El teorema óptico 
144. La ecuación Lippmann-Schwinger 
145. El teorema adiabático I 
146. El teorema adiabático II 
147. La Mecánica Cuántica Relativista 
Recursos de software 
Constantes fundamentales y factores de conversión 
Bibliografia 
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#2 
Prólogo 
Empezaremos con la pregunta más obvia: ¿por qué otro texto sobre 
Mecánica Cuántica, habiendo ya tantos libros excelentes en el mercado? 
La respuesta obvia sería: la gran mayoría de esos libros fueron 
publicados e impresos en una época en la que no existía Internet. Se 
trata de libros que sólo pueden obtenerse y consultarse en las 
bibliotecas y librerías, y ello suponiendo que no sean libros que han 
dejado de imprimirse desde hace varias décadas. La segunda respuesta 
obvia sería: dados los costos actuales de impresión de libros técnicos y 
científicos, en su mayoría se trata de libros de costo elevado que no se 
encuentran disponibles a la venta en la mayoría de las librerías y tienen 
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http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-teorema-adiabatico-ii.html
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/07/la-mecanica-cuantica-relativista.html
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http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/bibliografia.html
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/indice.html
que ser pedidos bajo orden especial con tiempos de espera que pueden 
durar semanas. Una tercera respuesta obvia sería: la mayoría de los 
textos que tratan sobre Mecánica Cuántica están escritos en un idioma 
extranjero, en Inglés, en Alemán, e inclusive en Ruso, Alemán o Japonés. 
A las anteriores razones para elaborar un texto sobre Mecánica 
Cuántica podríamos agregar otras, siendo una de ellas la queja 
frecuente de que muchos textos relegan material importante a ejercicios 
y problemas puestos al final de cada capítulo para los cuales la gran 
mayoría de las veces ni siquiera se proporciona respuesta, ya no se diga 
un procedimiento de solución. Y aunque esto tal vez no represente 
obstáculo alguno para aquellos que cuenten con un buen maestro y que 
estén atendiendo clases en una escuela de amplio prestigio, para 
aquellos autodidactas que no tienen el privilegio de poder asistir a 
clases a una institución de educación superior tal vez no haya algo más 
frustrante que el tener que estar batallando con un libro en el que 
muchos resultados importantes son relegados a ejercicios y problemas 
para los que no se dá respuesta alguna y por lo tanto no hay forma en la 
cual el estudiante autodidacta pueda medirse a sí mismo su 
comprensión del material. 
A las anteriores objeciones se puede agregar una más, el hecho de 
que en el enfoque moderno de la enseñanza de la Mecánica Cuántica 
hay la tendencia a la adopción de un punto de vista rigurosamente 
formal, deductivo, en el cual se parten de ciertos postulados y 
definiciones y se procede a la derivación de fórmulas y teoremas sin 
entender muchas veces lo que está sucediendo detrás de todo el aparato 
matemático. En este enfoque riguroso se ha perdido la perspectiva de 
cómo fué que tras el exitoso desarrollo del modelo planetario del átomo 
de Bohr se desarrolló la Mecánica Cuántica Matricial. Antes de que la 
Mecánica Cuántica Ondulatoria de Schrödinger hiciera su aparición, con 
la Mecánica Matricial de Heisenberg ya se habían logrado avances 
importantes. Pese a ello, no es raro encontrarse con la sorpresa de que 
hay estudiantes a nivel de Doctorado en Física que no tienen ni siquiera 
la más vaga idea de cómo fue que se desarrolló la Mecánica Matricial, 
acostumbrados como están a pensar desde el punto de vista de la 
Mecánica Ondulatoria. En este trabajo se intenta rescatar el origen y 
desarrollo de la Mecánica Cuántica a partir de la Mecánica Matricial, y 
cómo posteriormente resultó que tanto la Mecánica Ondulatoria como la 
Mecánica Matricial resultaron ser esencialmente lo mismo pero visto 
desde perspectivas matemáticas diferentes. 
La estructura de esta obra refleja la opinión muy particular del autor 
de que la Mecánica Cuántica como está siendo enseñada el día de hoy es 
al revés de como debería de ser enseñada. Por convención casi 
universal, se empieza casi siempre con la Mecánica Ondulatoria a partir 
de la ecuación diferencial de Schrödinger, y sólo después se introduce al 
alumno a la Mecánica Matricial, y ello en muchos casos de modo 
incompleto que no permite apreciar la equivalencia que hay entre ambos 
ramas de la Mecánica Cuántica. Históricamente, antes de que hubiera 
una Mecánica Cuántica Ondulatoria basada en la ecuación de 
Schrödinger, había ya una Mecánica Cuántica Matricial, y las 
matemáticas utilizadas en ella para explicar el mundo sub-atómico 
estaban basadas no en la aplicación de ecuaciones diferenciales sino en 
la aplicación de matrices. El principio de incertidumbre formulado 
originalmente por Werner Heisenberg surgió de la aplicación de las 
matrices al estudio de la Mecánica Cuántica, y la justificación del mismo 
dentro de la Mecánica Ondulatoria solo vino después. Muchas de las 
ideas elementales fácilmente entendibles a través de la aplicación de las 
matrices prescindiendo de los menos intuitivos operadores diferenciales 
se pueden tranportar posteriormente a la Mecánica Ondulatoria 
teniendo una visión más clara de lo que está sucediendo. Esta visión fue 
lo que le permitió a los fundadores de la Mecánica Cuántica poder 
seguir adelante. Al invertirse el orden de las cosas, resulta fácil terminar 
enredado en un conjunto de postulados y definiciones aparentemente 
inconexos cuya agresividad sólo puede ser enfrentada con la esperanza 
de que conforme se va avanzando se va aclarando el orden de las cosas, 
lo cual no siempre sucede. Una ventaja indudable de la Mecánica 
Matricial es que sus fundamentos pueden ser transmitidos sin el 
prerequisito de que el interesadoen estudiarla haya tomado un curso de 
cálculo infinitesimal. En su mayor parte, con una noción básica de 
vectores y matrices suplementada con algunas definiciones como las 
que se proporcionan aquí, la Mecánica Matricial puede ser entendida 
cuando aún no se tiene idea alguna de lo que son las integrales y las 
diferenciales. En contraste, la Mecánica Ondulatoria exige como 
requisito indispensable el manejo no sólo de las herramientas del 
cálculo infinitesimal sino inclusive del material que se ve en un curso 
ordinario de ecuaciones diferenciales. Desde el punto de vista 
pedagógico, tiene mucho sentido empezar primero con la Mecánica 
Matricial que con la Mecánica Ondulatoria. 
Generalmente es reconocido el hecho de que el papel publicado en 
julio de 1925 por Werner Heisenberg es el que dió fin a la “Teoría 
Cuántica Vieja”, y que con la exposición de su Mecánica Matricial se dió 
entrada a la Mecánica Cuántica tal como se conoce y se practica en la 
actualidad. Desafortunadamente este trabajo, el cual inició la revolución 
teórica de la Mecánica Cuántica, es considerado como material de difícil 
lectura debido en parte a que Heisenberg, adhiriéndose a las 
convenciones de formalidad y rigorismo, le proporcionó a los lectores 
muy pocas pistas sobre cómo fue que llegó a los resultados 
consignados en su trabajo. Llenar estos huecos no es fácil, aunque con 
un poco de imaginación podemos intuír cuál fue la línea de pensamiento 
seguida por Heisenberg para describir los fenómenos del mundo sub-
microscópico usando matrices. Curiosamente, cuando Heisenberg 
dedujo su famosa “fórmula de sumación de términos cuadráticos”, no se 
había dado cuenta de que se trataba en realidad de la regla para la 
multiplicación de matrices. Afortunadamente, pronto entraron otros 
académicos de prestigio en acción, los cuales reconocieron que la nueva 
ciencia era en esencia una ciencia basada en el uso de las matrices. 
Independientemente, Erwin Schrödinger inspirado en las ideas de Louis de 
Broglie desarrolló otro tipo de Mecánica Cuántica basada no en el uso de 
matrices sino en el uso de operadores diferenciales. Las similitudes no 
tardaron en aflorar, como tampoco pasó mucho tiempo antes de que se 
lograra la unificación operacional de ambas ideas en una sola. 
Desafortunadamente, muchos textos contemporáneos en el tema de 
la Mecánica Cuántica no hacen una distinción clara entre lo que es la 
Mecánica Matricial de Heisenberg y lo que es la Mecánica Ondulatoria de 
Schrödinger, y en cambio hacen un excelente trabajo en revolver ambos 
conceptos desde el inicio de modo tal que el lector muchas veces no 
está seguro sobre las diferencias entre los procedimientos y las 
filosofías de ambas escuelas de pensamiento. Con la finalidad de evitar 
las confusiones que de tales mescolanzas injustificadas devienen, se ha 
trazado una línea divisoria clara entre ambas ramas de la Mecánica 
Cuántica, poniendo pie firme en la Mecánica Matricial y desarrollando 
esta escuela de pensamiento como si la Mecánica Ondulatoria no 
http://es.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberg
http://es.wikipedia.org/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger
http://es.wikipedia.org/wiki/Louis-Victor_de_Broglie
http://es.wikipedia.org/wiki/Louis-Victor_de_Broglie
existiese. Eventualmente, al llegar al tema “Ondas de materia”, se hace 
un parteaguas y se deja atrás a la Mecánica Matricial para estudiar la 
Mecánica Cuántica desde la perspectiva ondulatoria. Esto permite una ir 
distinguiendo las semejanzas y las diferencias, hasta que eventualmente 
se llega al punto de lo que podríamos llamar la “gran unificación” de 
ambas filosofías demostrando la equivalencia matemática que hay entre 
ambas sin revolver sus conceptos fundamentales. 
Cualquiera que quiera asimilar los conceptos de la Mecánica Cuántica 
en la forma convencional en la cual se enseña hoy en día, prescindiendo 
casi por completo de lo que es la Mecánica Matricial, puede lograrlo aquí 
con la lectura de las primeras entradas tituladas “El modelo atómico 
planetario de Bohr” y “La espectroscopía de rayos-X”, saltando después 
directamente a la sección titulada “Ondas de materia”. Pero en caso de 
hacer tal cosa, el lector tal vez no tendrá ni siquiera una idea remota de 
cómo se integra la Mecánica Matricial de Heisenberg a la Mecánica 
Ondulatoria en la cual se basa la enseñanza contemporánea de la 
Mecánica Cuántica, como tampoco le será posible concebir que se 
puedan llevar a cabo análisis mecánico-cuánticos prescindiendo por 
completo del uso de conceptos tales como las funciones de onda. Y lo 
que es peor, eventualmente tendrá entre manos un revoltijo de ambas 
técnicas sin poder distinguir claramente las diferencias técnicas que las 
separan, penetrando en un mar de confusiones que muchos terminan 
arrastrando inclusive hacia sus estudios de post-grado. Aquí se ha 
optado por establecer una diferencia clara entre ambas técnicas, 
eventualmente demostrando la equivalencia que hay entre ellas cuando 
sus diferencias conceptuales se han vuelto evidentes. Se sigue, de 
hecho, la misma ruta cronológica en la cual fue creciendo 
históricamente la Mecánica Cuántica moderna, desde el nacimiento de la 
Mecánica Matricial hasta el desarrollo posterior de la Mecánica 
Ondulatoria. 
Una ventaja indudable del estudio así sea somero de la Mecánica 
Cuántica es que proporciona una respuesta a los estudiantes del 
Álgebra Lineal que al ser confrontados con material aparentemente 
abstracto como las matrices Hermitianas, los valores propios eigen, los 
espacios vectoriales, la ecuación característica de una matriz, la 
normalización de vectores, etc, no tardan en formularse la pregunta: ¿y 
para qué puede servir todo esto? ¿Qué utilidad práctica puede tener? 
Todo este material aparentemente inaplicable en nuestra vida cotidiana 
es precisamente lo que nos hizo posible explicar exitosamente toda una 
amplia variedad de fenómenos físicos que no tienen nada de abstracto. 
De hecho, fue precisamente el desarrollo de la Mecánica Cuántica lo que 
posibilitó el desarrollo y el enorme interés actual en el Álgebra Lineal. 
De no ser por la Mecánica Cuántica, el interés en esta materia seria más 
académico que práctico. 
Esta obra adopta el mismo espíritu de elaboración que el utilizado en 
una obra anterior, La Teoría de la Relatividad. No se ha puesto un solo 
problema o ejercicio para el que no se esté dando respuesta alguna, ni 
se han escatimado pasos que permitan seguir el desarrollo de un tema 
con un cien por ciento de comprensión. En donde lo he considerado 
conveniente, he metido problemas de ejercicios de práctica que el lector 
puede intentar resolver por sí mismo antes de irse un poco más abajo 
del mismo para ver su solución. En ningún caso he incluído problema o 
ejercicio para el que yo no dé solución alguna, porque es mi objetivo no 
dejar con dudas a los lectores. Y esto aplica a toda la obra, marcando un 
distanciamiento con otros autores que proponen una cantidad a veces 
abundante de problemas al final de cada capítulo sin dar respuesta 
alguna a los mismos. Tomemos por ejemplo el problema 13-6 
postulado en el libro “Introduction to Quantum Mechanics” de Robert H. 
Dicke y James P. Wittke al final del capítulo 13 que dice así: 
 13-6. Se llevan a cabo mediciones compatibles sobre un átomo de un solo 
electrón, produciendo los resultados de que l = 3, j = 7/2 y mj = 1/2. (a) ¿Cuál 
es la probabilidad de que una medición posterior de Sx produzca 1/2? (b) Si un 
conjunto posterior de mediciones produce l = 1, ml = 0 y ms = 1/2, ¿cuál es la 
probabilidad de que una medición posterior producirá j = 3/2? 
Para este problema, los autores no sólo no proporcionan un método 
abreviado de solución, ¡ni siquiera proporcionan las respuestas 
numéricas que habrían cabido fácilmente en medio renglón! Entonces, 
¿qué caso tiene utilizar el conjunto particular de valores proporcionado 
por losautores, si no hay ni siquiera una respuesta numérica contra la 
cual se puedan comparar los resultados? Suponiendo que una respuesta 
sea proporcionada, y si los autores hicieron bien su trabajo y la 
respuesta dada por ellos es la correcta, entonces obtener una respuesta 
igual a la proporcionada por los autores puede servir como estímulo y 
como confirmación de que el material del texto ha sido entendido 
correctamente. Y si la respuesta obtenida es diferente a la respuesta 
dada por los autores, esta retroalimentación también puede servir como 
estimulo y como aliciente para buscar el error o la equivocación que se 
pudo haber cometido. Pero cuando no se proporciona ningún tipo de 
respuesta, no hay tales estímulos ni alicientes, y antes bien la 
experiencia puede resultar frustrante en especial para los autodidactas 
que están estudiando un libro por cuenta propia. Hay contadas 
excepciones a ésta lamentable falta de apoyo de carácter didáctico, 
siendo una de ellas el libro Problemas y Ejercicios de Mecánica 
Cuántica del Profesor Luis de la Peña elaborado en Castellano con la 
ayuda de la Profesora Mirna Villavicencio, disponible en Internet, en el 
cual se proporcionan todas las respuestas junto con procedimientos de 
solución a todos los problemas propuestos por el mismo Luis de la Peña 
en su libro Introducción a la Mecánica Cuántica. 
Sobre esto último habrá quienes argumenten que para ello están las 
instituciones de educación superior, para aclarar y despejar dudas. Sin 
embargo, ello supone que todos los maestros en todas las instituciones 
de educación superior son capaces de resolver correctamente y sin 
pérdida de tiempo todos los problemas del libro que está siendo 
utilizado como texto para un curso de Mecánica Cuántica. Mi 
experiencia personal me ha mostrado y confirmado en demasiadas 
ocasiones que esto no siempre es el caso, y no es inusual la situación en 
la cual sobre algún problema en particular un maestro tenga tantas 
dudas como el alumno. 
Por otro lado, pese a que se pudiera argumentar que los 
autodidactas que necesitan ayuda son aquellos que no están inscritos 
formalmente en alguna institución de educación superior, este 
argumento se desmorona ante el hecho de que la gran mayoría de 
textos (y así lo presumen sus autores) contiene más material y más 
problemas que los que pueden ser cubiertos en un período ordinario de 
clases (anual, semestral, etc.), de modo tal que ni siquiera en 
circunstancias ideales será posible cubrir los procedimientos de solución 
para todos los problemas propuestos en cualquier libro de texto típico, 
y de hecho ni siquiera será posible cubrir el material principal “por falta 
de tiempo”. No creo que haya ni siquiera en las escuelas de enseñanza 
media algún maestro de álgebra o de trigonometría que haya cubierto 
en el salón de clases todos los treinta o cuarenta capítulos de los que 
consta el libro que seleccionó para impartir su materia, a menos de que 
el libro haya sido diseñado específicamente para poder ser cubierto en 
su totalidad en un período ordinario de clases (lo cual nunca ocurre). Y 
peor aún, aunque en un libro intermedio de 40 capítulos se hayan 
alcanzado a cubrir únicamente 35 capítulos, suele ocurrir con 
demasiada frecuencia que en cursos posteriores (más avanzados) los 
maestros dán por cubiertos “previamente” esos cinco capítulos que no 
se alcanzaron a cubrir en el ciclo educativo anterior “por falta de 
tiempo”, lo cual no es tomado como justificante de la ignorancia parcial 
aunque verdaderamente lo sea. Esto le deja al alumno la tarea de tener 
que seguir estudiando por cuenta propia aquello que no se pudo ver en 
el salón de clases, lo cual significa que en realidad todos los estudiantes 
son autodidactas, lo quieran o no. Si agravando la situación está el 
hecho de que muchos libros están incompletos (en el caso del libro de 
Robert H. Dicke y James P. Wittke, los autores no proporcionan 
procedimiento alguno de solución a ninguno de los problemas en 
ninguno de los capítulos de su libro), el aprendizaje se puede convertir 
en una experiencia frustrante e inclusive desagradable. En principio, al 
terminar un curso un estudiante debería saber cómo resolver la 
totalidad de los problemas propuestos al final de cada capítulo por el 
autor o los autores del libro que haya sido seleccionado para impartir la 
materia; esto calificaría incondicionalmente al alumno para pasar al 
siguiente nivel. A como están las cosas, es dudoso que inclusive el 
maestro típico del estudiante típico sepa resolver o haya resuelto todos 
los problemas del libro que está utilizando para impartir su curso, con 
lo cual el estudiante pesimista se puede preguntar a sí mismo en alguna 
ocasión: ¿cómo se espera que yo conozca y domine bien la materia, si ni 
siquiera el que me la impartió lo ha logrado? Y si bien en muchos cursos 
de química, física y matemáticas se considera no sólo aceptable sino 
incluso inevitable el que no se alcanzarán a cubrir los materiales en su 
totalidad, ¿desearía alguien ponerse en manos de un médico que 
tampoco alcanzó a cubrir en su totalidad sus libros de texto? ¿Quién 
quiere tomar el riesgo de atenderse del mal que lo aqueja con un 
médico que de los 50 capítulos de cierta materia que debería de haber 
cubierto sólo alcanzó a cubrir 49, con la posibilidad de que los 
conocimientos que requiere el médico para el diagnóstico y tratamiento 
correcto del paciente se encontraban precisamente en ese capítulo que 
ya no alcanzó a ver “por falta de tiempo”? Afortunadamente, con el 
advenimiento de Internet, a nivel internacional se está produciendo ya 
una purga de todas estas deficiencias, y tal vez no está lejano el 
momento en el que nuevas generaciones se pregunten cómo nos fue 
posible vivir con este tipo de situaciones por tanto tiempo al igual que 
nosotros nos preguntamos hoy cómo le fue posible a nuestros 
antecesores el poder vivir en los tiempos antes de los cuales fuese 
inventado el papel sanitario (un invento relativamente reciente, 
concebido por Arthur Scott a principios del siglo XX) o sin el teléfono 
celular o sin los antibióticos, ya no se diga el Internet. 
El estilo de la obra es informal, como debe serlo cuando su propósito 
es eminentemente educativo. Dejaremos la elegancia y el rigorismo para 
la publicación de trabajos científicos en jornales en los que se lleva a 
cabo la revisión de pares. Se ha hecho un esfuerzo por recurrir a todo el 
arsenal disponible de elementos didácticos y pedagógicos para poder 
mantener centrada la atención del lector sobre el tema que se está 
discutiendo, incluyendo numerosas figuras y diagramas así como el uso 
de colores en donde tal cosa sea conveniente para resaltar la 
importancia de algo en específico; y del mismo modo me he permitido 
agregar pasos extra en la derivación de resultados que frecuentemente 
son omitidos en los textos impresos. El objetivo de todo esto es que que 
los materiales puedan ser comprendidos de una manera intuitiva. 
Aunque en una cadena de razonamientos hay muchas explicaciones y 
muchos pasos que son más que obvios para el maestro o para el 
especialista, pasos que son omitidos en la publicación de trabajos 
científicos, muchas veces hay cosas que no son tan obvias para los que 
están iniciando por vez primera el estudio de una rama nueva del 
conocimiento, y es aquí en donde cualquier explicación adicional o 
comentarios extra pueden ser de gran ayuda para ayudarle al lector a 
comprender mejor una idea sin dejarle dudas sobre la misma, y de esto 
es de lo que trata a fin de cuentas todo el esfuerzo que se ha estado 
llevando a cabo en esta obra. La obligación del maestro no es dar 
explicaciones elegantes, su obligación es dar explicaciones entendibles, 
su obligación es enseñar, y en la medida en que el maestro pueda lograr 
esto habrá cumplido (o fracasado) en su misión fundamental que 
consisteen la transmisión de conocimientos. Las explicaciones 
elegantes, concisas, abstractas, rigurosas (y de preferencia poco 
entendibles) se pueden dejar para la publicación de trabajos científicos 
para cuya lectura se supone que los lectores están familiarizados e 
inclusive son expertos en el tema. Una vez entendidos los materiales, el 
lector podrá hacer compactaciones a su gusto en la notación volviendo 
la terminología tan abstracta que tal que tal vez sólo él sabrá a ciencia 
cierta de lo que está hablando. Desafortunadamente, muchos textos mal 
llamados “introductorios” de Mecánica Cuántica están elaborados de 
esta manera, suponiendo que los lectores ya son unos avezados 
conocedores en la materia y que sólo están leyendo los materiales para 
formalizar su entendimiento, o bien siempre tendrán a la mano un 
experto en la materia que les podrá disipar todas sus dudas lo cual 
lamentablemente no es la regla sino la excepción. 
Este texto intenta adoptar una introducción amigable a la Mecánica 
Cuántica, en lugar del procedimiento axiomático formal y riguroso al 
que se ha acostumbrado a someter a varias generaciones de 
estudiantes. Un formalismo cargado de notaciones nuevas es aceptable 
cuando las ideas básicas han sido plenamente desarrolladas y la 
evolución de las mismas ha sido plenamente comprendida, pero está 
totalmente fuera de lugar cuando los materiales están siendo 
transmitidos a alguien por vez primera. Ni siquiera los “padres” 
fundadores de la Mecánica Cuántica moderna como Max Planck, Max 
Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan, Erwin Schrödinger, Wolfgang 
Pauli, Eugene Wigner y otros empezaron cómodamente a partir de un 
conjunto básico de postulados derivándolo todo, porque si ése hubiera 
sido el caso entonces habría bastado un sólo hombre, un buen 
matemático, para obtenerlo todo a partir de un conjunto de postulados 
básicos. Detrás de la sofisticación matemática que vemos hoy en día se 
encierra el hecho de que en sus inicios los constructores de la Mecánica 
Cuántica recurrieron mucho a su intuición guiándose en todo momento 
por los resultados experimentales que se estaban obteniendo en los 
laboratorios alrededor del mundo, e inclusive tuvieron numerosos 
fracasos y decepciones antes de que el “gran panorama” se fuera 
ensamblando poco a poco a partir de las piezas del rompecabezas y que 
esta rama científica tomara la forma que tiene actualmente. El 
mismo Max Planck reconoció en su momento que llegó a su famosa 
fórmula: 
para la explicación de la radiación térmica del cuerpo negro como un 
acto final de desesperación antes del cual había agotado ya 
prácticamente todas las posibilidades clásicas para la explicación del 
http://es.wikipedia.org/wiki/Max_Planck
fenómeno, cuando dijo en 1901: “... todo el proceso fue un acto de 
desesperación ya que tenía que encontrarse una interpretación teórica a 
cualquier precio, sin importar lo elevada que pudiera ser...”. El precio 
que se tuvo que pagar fué el tener que aceptar que la Naturaleza, a nivel 
sub-atómico, se mueve en “brincos” en lugar de hacerlo en la forma 
suave y continua a la que estaban acostumbrados los físicos clásicos. 
Vale la pena reproducir aquí sus propias palabras en su discurso 
pronunciado el 2 de junio de 1920 con motivo del Premio Nóbel que 
muy merecidamente le fué otorgado: 
Durante muchos años, [mi meta] fue resolver el problema de la distribución de 
energía en el espectro normal del calor irradiado. Después de que Gustav 
Kirchhoff hubiese demostrado que el estado de la radiación de calor que tiene lugar 
en una cavidad delimitada por cualquier material emisor y absorbente a una 
temperatura uniforme es totalmente independiente de la naturaleza del material, se 
demostró una función universal que era dependiente sólo de la temperatura y la 
longitud de onda, pero de ningún modo de las propiedades del material. El 
descubrimiento de esta destacable función prometía una visión más profunda de la 
conexión entre la energía y la temperatura que es, de hecho, el problema principal en 
la termodinámica y por tanto en toda la física molecular. ... 
En esa época mantuve lo que hoy serían consideradas ingenuamente inocentes y 
asumibles esperanzas, de que las leyes de la electrodinámica clásica nos permitirían, 
si se abordaran de una forma suficientemente general evitando hipótesis especiales, 
comprender la parte más significativa del proceso que esperaríamos, y por tanto 
lograr la meta deseada. ... 
[Varios métodos diferentes] mostraron más y más claramente que un importante 
elemento de conexión o término, esencial para llegar a la base del problema, tenía 
que estar perdido. ... 
Estuve ocupado... desde el día en que yo [establecí una nueva fórmula para la 
radiación], con la tarea de encontrar una interpretación física real de la fórmula, y 
este problema me llevó automáticamente a considerar la conexión entre la entropía y 
la probabilidad, es decir, el tren de ideas de Boltzmann; posteriormente tras varias 
semanas del más duro trabajo de mi vida, la luz penetró la oscuridad, y una nueva 
perspectiva inconcebible se abrió ante mi. ... 
Debido a que [una constante en la ley de la radiación] representa el producto de 
la energía y el tiempo ... la describí como el cuanto elemental de acción. ... Mientras 
que fuera mirado como infinitamente pequeño ... todo estaba correcto; pero en el 
caso general, sin embargo, un hueco se abría en un lugar o en otro, que se convertía 
en más importante cuanto más débiles y rápidas se considerasen las vibraciones. 
Todos esos esfuerzos en salvar las distancias se derrumbaron pronto dejando poco 
lugar a dudas. O bien el cuanto de acción era una cantidad funcional, con lo que toda 
la deducción de la ley de la radiación era esencialmente una ilusión que representaba 
sólo un papel vacío sobre fórmulas sin significado, o bien la derivación de la ley de la 
radiación debía jugar un papel fundamental en la física, y aquí había algo 
completamente nuevo, nunca oído con anterioridad, que parecía requerir que 
revisáramos básicamente todo nuestro pensamiento físico, construido como lo 
estaba, a partir del tiempo del establecimiento del cálculo infinitesimal porLeibniz y 
http://es.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoff
http://es.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoff
Newton, sobre la aceptación de la continuidad de todas las conexiones causativas. La 
experimentación decidió que era la segunda alternativa. 
Estas palabras nos vienen del gran maestro que desde los inicios del 
siglo XX le fijó a los científicos de su tiempo la ruta a seguir para poder 
explicar lo que ocurre en el mundo sub-atómico, y ciertamente no son 
las palabras de alguien que sentado cómodamente en un diván haya ido 
deduciendo axiomáticamente una tras otra las leyes de la naturaleza del 
átomo a partir de un conjunto de postulados que le hayan sido 
proporcionados por alguien más sabio que él o por algún extraterrestre. 
Los postulados existen, claro está. El problema es dar con ellos, y en el 
camino para dar con ellos se van adoptando nuevas ideas y actitudes 
filosóficas cruciales para el entendimiento total de lo que está 
ocurriendo, actitudes e ideas que se pueden perder una vez que los 
postulados están ya identificados reduciendo la labor posterior a una 
mera aplicación de las leyes de la lógica. Si lo que buscamos es un 
tratado formal de la Mecánica Cuántica con el rigorismo propio de los 
profesionales haciendo a un lado las ideas intuitivas que estuvieron 
detrás del desarrollo de la misma, entonces podemos recurrir a la 
lectura de un libro como el Mathematische Grundlagen der 
Quantenmechanik del formidable matemático húngaro Johann von 
Neumann, pero lo más seguro es que un principiante tendrá dificultades 
al no tener ni siquiera la más remota idea de cómo las 
fundamentaciones matemáticas de la Mecánica Cuántica se fueron 
dando, sobre todo si el principiante es un autodidacta que no cuentacon un buen maestro a la mano para aclararle todas sus dudas. 
Tal vez en un principio la Mecánica Cuántica pueda parecerle a 
algunos una rama científica demasiado abstracta con pocas 
aplicaciones. Sin embargo, a ella le debemos muchas de las maravillas 
tecnológicas que disfrutamos hoy en día, trátese de los 
semiconductores que hacen posible las computadoras personales en 
casa y los teléfonos celulares, trátese de los rayos láser que sirven para 
todo desde la corrección de los defectos de la vista hasta las 
investigaciones astronómicas, trátese de la microscopía electrónica, 
trátese de sus aplicaciones a la química y a la nanotecnología, en fin, las 
posibilidades son virtualmente ilimitadas. Existen indudablemente 
ramas del conocimiento humano tales como la Teoría de los Números 
(rama de las matemáticas puras que estudia las propiedades de los 
números, en particular los enteros) en las que se manejan temas de 
http://es.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann
http://es.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann
interés como la demostración del “Ultimo Teorema de Fermat” (lograda 
por Andrew Wiles en 1993) cuyo objetivo desde el principio no son las 
aplicaciones prácticas que puedan tener sino la búsqueda del 
conocimiento por el conocimiento mismo, y de hecho así comenzó la 
misma Mecánica Cuántica. Sin embargo, gran parte del interés actual 
por esta disciplina radica precisamente en las aplicaciones prácticas que 
puedan tener los resultados que de ella se obtengan, y ello abarca a las 
mismas herramientas matemáticas usadas para darle sustento teórico. 
Aquí parafrasearemos a Richard Askey, autor del libro Orthogonal 
polynomials and special functions, cuando dijo algo que asustaría a los 
matemáticos puros que persiguen el estudio de dicha disciplina sin 
tener aplicación alguna en mente: “Uno estudia las funciones especiales 
no por lo que son en sí, sino por las aplicaciones que puedan tener”. La 
teoría detrás de la Mecánica Cuántica es interesante en sí, pero hoy en 
día esperamos y ambicionamos extraerle jugo a las ideas y posibilidades 
que podamos obtener de ella, y hasta ahora no nos ha fallado. 
Tradicionalmente, en los cursos básicos que corresponden a la 
enseñanza media y enseñanza media superior, hay una tendencia de ver 
a las matemáticas como una herramienta de la física. Sin embargo, al 
llegar a cierto punto en esta obra (específicamente, la entrada “Los 
grupos de rotación III”), el lector descubrirá inevitablemente que las 
matemáticas no sólo son una herramienta de la física, sino inclusive 
supeditan a la física (en este caso, la Mecánica Cuántica) por completo a 
las matemáticas. En pocas palabras, las matemáticas dictan lo que es 
posible y lo que no es posible. Lo que no es posible de acuerdo a las 
matemáticas no es posible en la física. Sin matemáticas, no hay física, 
así de simple y llano. Esto no significa en modo alguno que los 
descubrimientos en las ciencias naturales se puedan llevar a cabo en su 
totalidad procediendo axiomáticamente en un pizarrón con ciertos 
postulados. Los experimentos permiten filtrar aquellos postulados 
matemáticos que sirven de base estructural a los fenómenos físicos de 
los demás postulados que no parecen ser aplicables a fenómeno físico 
alguno (no hay, por ejemplo, un proceso natural que sea capaz de 
generar una secuencia de números primos). Seguiremos dependiendo 
de experimentos de laboratorio a mediano y largo plazo. 
Otra cosa que descubrirá (o confirmará) el lector que ya tiene 
algunas nociones sobre los temas tratados es lo que en ocasiones 
parece ser un abismo profundo entre los departamentos de matemáticas 
y los departamentos de física incluso en universidades de prestigio. El 
ejemplo más claro de ello tal vez lo sea la Teoría de Grupos, de 
importancia toral para la física hoy en día. No es inusual encontrar 
textos típicos sobre el tema de la Teoría de Grupos que sólo hablan 
(inclusive alcanzando niveles elevados de sofisticación) acerca de los 
grupos discretos, dejando fuera por completo el tema de los grupos 
continuos, como si esto último no fuera de igual importancia. Sin 
embargo, con la excepción del estudio de los grupos cristalográficos, el 
científico de hoy en día requiere familiarizarse con la teoría de los 
grupos continuos desarrollada inicialmente por Sophus Lie, que resulta 
ser justo de lo que no tratan muchos textos y cursos inclusive a nivel de 
postgrado. El remedio usual en muchas instituciones de enseñanzas 
superior ha sido tratar el tema matemático de los grupos continuos 
dentro de los mismos cursos de física en los que se requieren tales 
bases, al excluír muchos departamentos de matemáticas y muchos 
libros de texto el tema de los grupos continuos. Aunque en esta obra 
resultaría demasiado ambicioso repetir lo que se puede encontrar en 
muchos textos, ello no ha sido impedimento para que las herramientas 
matemáticas indispensables para el desarrollo de la Mecánica Cuántica 
se vayan introduciendo conforme se vayan requiriendo, pensando 
precisamente en la posibilidad de que los temas matemáticos tratados 
posiblemente no están accesibles al lector en los libros que tenga a su 
disposición. 
Aunque la notación matemática requerida en ocasiones nos pueda 
parecer intimidante, no hay aquí intención alguna de adoptar una 
actitud pedante dando por conocidas cosas y temas que posiblemente 
nunca fueron tratados en cursos más elementales en donde debieron de 
haber sido tratados. Si en la discusión de algún tema se han dejado 
puntos obscuros que deberían de ser aclarados, o si hay pasos 
intermedios faltantes que resultan ser necesarios para la comprensión 
de algo, el autor pide mil disculpas de antemano, y solicita la ayuda de 
sus lectores para aplicar las revisiones y correctivos que se requieran. 
Para la solución de los problemas numéricos, se ha utilizado en 
forma aleatoria tanto el sistema de unidades Metro-Kilogramo-Segundo 
MKS-SI (Système International) como el sistema de unidades 
centímetro-gramo-segundo (cgs-Gaussiano), porque se considera 
importante el estar familiarizado en la actualidad con ambos sistemas 
de unidades al haber mucha literatura técnica y científica que utiliza 
tanto uno como el otro. Desafortunadamente, cuando se dá preferencia 
a un sistema de unidades sobre otro en las escuelas, se está 
promoviendo una forma disfrazada de analfabetismo que puede ser 
fuente de confusiones y equivocaciones tarde o temprano. 
Desafortunadamente, un concepto ampliamente extendido acerca de 
la física cuántica es el concepto erróneo de que la física de las partículas 
sub-microscópicas es una materia sumamente especializada que 
requiere cada vez con mayor frecuencia de experimentos 
extraordinariamente costosos como es el caso del Gran Colisionador de 
Hadrones para el cual se tuvieron que juntar los recursos monetarios 
combinados de varios países europeos y cuyos resultados no se espera 
que tengan una aplicación inmediata en la vida cotidiana. Sin embargo, 
este concepto está fuera de la realidad. Además de las vastas 
aplicaciones que ha encontrado la Mecánica Cuántica en el desarrollo de 
semiconductores y lásers que han hecho posible mil maravillas, hay 
otras ciencias que no pueden prescindir ya de las herramientas que 
proporciona la Mecánica Cuántica, destacando entre ellas la química. 
Todo lo que tiene que ver con el enlace químico está basado en las 
teorías de los orbitales atómicos y moleculares fundamentados sobre las 
nubes de probabilidad que se manejan en la Mecánica Cuántica. En este 
sentido, los químicos resultaron ser más listos que los físicos al 
apropiarse de una buena parte de la Mecánica Cuántica para desarrollar 
su área dejándole a los físicos las migajas a las que ahora están 
confinados en buena medida. De este modo, la teoría del campo 
cristalino, la cual debió de haber sido desarrollada en su totalidad por 
físicos, fuequedando en manos de químicos. al igual que otras áreas 
como la física de los semiconductores que fue quedando en manos de 
los ingenieros electrónicos. De cualquier modo, los avances científicos y 
tecnológicos, vengan de donde vengan, apoyan el argumento de que la 
Mecánica Cuántica es mucho mucho más omnipresente de lo que mucha 
gente supone. De este modo, la añeja aserción atribuida al destacado 
físico-químico Svante Arrhenius de que “un químico que no es físico no es 
nada”, hoy muy bien pudiera leerse como “un químico que no sabe nada 
de Mecánica Cuántica no sabe nada”. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Svante_August_Arrhenius
Como el lector pronto lo descubrirá, esta obra tiene una clara 
intención de cerrar una brecha frecuentemente encontrada en las 
instituciones de enseñanza superior en donde muchos estudiantes se 
quejan de que le entienden muy poco o posiblemente nada al maestro 
de la materia pese a que éste es un especialista reconocido en su 
materia con una vasta cantidad de conocimientos que supuestamente 
deberían de garantizarle al alumno la mejor enseñanza posible. Y en 
esto último es precisamente en donde radica el problema. Podemos 
equiparar el aprendizaje de una nueva rama científica al aprendizaje de 
un idioma extranjero. Al principio hasta las frases más sencillas de la 
lengua extranjera se dificultan. Sin embargo, conforme se avanza en el 
aprendizaje del nuevo idioma y sus símbolos, conforme se va 
adquiriendo fluidez, se van olvidando poco a poco las áreas en donde se 
tuvo la mayor dificultad. Es así como el especialista con una vasta 
cantidad de conocimientos, al que todo se le hace ya fácil a base de la 
repetición constante de los mismos materiales en su cátedra como 
maestro así como la lectura constante en las publicaciones científicas 
especializadas de temas relacionados con su materia, incapaz de 
recordar por más que quiera qué fue aquello en lo que tuvo dificultad, le 
puede parecer incomprensible que cosas que hoy se le hacen muy 
sencillas puedan ser material que cause gran confusión en los neofitos. 
Al francés o al canadiense nativo que sabe hablar el chino a la 
perfección después de muchos años de práctica y estudio le puede 
parecer tedioso el tener que batallar con alumnos que ni siquiera saben 
o pueden darle los buenos días en chino, sin captar bien el hecho de 
que él y sus alumnos están hablando en idiomas totalmente diferentes. 
Lamentablemente, esto implica que el saber mucho no es garantía en lo 
absoluto de que se podrá ser un buen profesor, y por el contrario esto 
puede actuar como un obstáculo en la misión. Esta es la razón del por 
qué en esta obra se muestran pasos de razonamiento, e inclusive pasos 
de álgebra, que son frecuentemente omitidos en muchos libros de 
texto. 
El enfoque moderno de la Mecánica Cuántica hace uso extenso de la 
notación bra-ket introducida por el físico británico Paul Adrien Maurice 
Dirac. Sin embargo, aún hay mucha literatura, trabajos y textos que 
prescinden por completo de la notación bra-ket, enfatizando con ello el 
enfoque tradicional que se le daba a la Mecánica Cuántica antes de la 
http://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac
http://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac
introducción de dicha notación. Puesto que es deseable e importante 
que los estudiosos de la Mecánica Cuántica estén familiarizados con 
ambos tipos de notaciones, en esta obra se han entremezclado ambos 
simbolismos con la finalidad de obtener un dominio sobre ambos 
“lenguajes”. 
Aunque una lectura somera de los primeros materiales puede causar 
la impresión de que la Mecánica Cuántica trata únicamente acerca de 
los mismos cuatro problemas (el oscilador armónico simple, la partícula 
encerrada en una caja unidimensional, el átomo de hidrógeno y la 
partícula libre) vistos de muchas maneras diferentes, esta es una 
apreciación errónea. Si bien es cierto que parece dársele una insistencia 
exagerada a estos cuatro temas al grado de parecer machaconería, ello 
se debe a que se trata de tópicos que se prestan a un análisis 
simplificado que muchas veces produce soluciones exactas, analíticas. 
Por regla general, la Mecánica Cuántica en el mundo real requiere de 
aproximaciones matemáticas que inclusive para las supercomputadoras 
modernas puede representar un trabajo pesado. Si al peso matemático 
teórico le sumamos una comprensión pobre de los fundamentos físicos, 
tenemos la receta que le ha dado injustificadamente a la Mecánica 
Cuántica una mala fama como una materia cuya comprensión está al 
alcance sólo de unos cuantos seres privilegiados. 
Con el propósito de desmitificar la injusta imagen popular que tiene 
la Mecánica Cuántica como una ciencia filosófica abtrusa desconectada 
en cierta forma de la realidad, ocultando sus secretos detrás de un 
lenguaje abstracto e incomprensible, se han incluído en esta obra temas 
tales como la teoría de los orbitales moleculares, el láser, la teoría del 
campo cristalino y las espectroscopías de resonancia magnética, temas 
que usualmente son dejados fuera en la gran mayoriá de los cursos 
introductorios de Mecánica Cuántica pero que demuestran de modo 
palpable que esta ciencia va directamente al fondo del asunto con 
aplicaciones sumamente prácticas en la vida cotidiana, a grado tal que 
una ignorancia de la materia puede ser considerada ya en estos tiempos 
como una forma de analfabetismo. 
Aunque en varias entradas de este trabajo hay material especializado 
que requiere para su comprensión de conocimientos matemáticos que 
en algunos casos sólo están disponibles a nivel universitario, ello no 
debe ser motivo para que el lector se intimide y no eche por lo menos 
un vistazo al resto de un tema tratado para darse una idea de lo que se 
está discutiendo. Se ha hecho un esfuerzo para poner en cada parte algo 
para todos, de modo tal que si algo no parece muy claro es muy posible 
que de cualquier manera si se continúa en la lectura de otros capítulos 
seguramente habrá algo que se encontrará accesible. Se puede dejar el 
material más pesado para una lectura posterior o para ser aclarado con 
la ayuda de un estudiante o de un maestro familiarizado con el tema. 
Para estar al tanto de los avances más recientes en torno a esta área 
importante del conocimiento humano, es recomendable consultar con 
relativa frecuencia no sólo las bibliotecas locales (las cuales con la 
excepción de las bibliotecas de las grandes ciudades en su mayoría no 
contienen todos los libros que el lector desearía consultar) sino también 
los sitios de Internet que están volviendo rápidamente obsoletas a las 
bibliotecas locales y a la lectura impresa. La lectura de esta obra puede 
ser combinada con un enlace tal como el de la American Physical Society 
en http://physics.aps.org. 
Como corresponde a una obra de esta extensión, se ha suministrado 
al final de la misma una Bibliografía que incluye textos que van desde 
los más elementales hasta los que suelen considerarse más avanzados. 
También dentro de la Bibliografía, y reflejando el impacto que está 
teniendo la enciclopedia universal virtual Wikipedia como vasto 
repositorio de información suministrando una cantidad creciente de 
conocimientos en todas las áreas del saber humano, accesibles 
gratuitamente y en forma instantánea a todas horas del día, se han 
incluído hipervínculos que conducen a los lectores pueden encontrar 
otras referencias de apoyo a los materiales condensados en esta obra, 
dándoles rostro y biografías a los pioneros que a principios del siglo XX 
llevaron a cabo los descubrimientos que sentaron las bases de la 
Mecánica Cuántica. La Wikipedia tiene otra ventaja adicional que la pone 
por encima de otros enlaces que se pudieran facilitar: persistencia. ¿En 
cuantas ocasiones el lector no se llegó a encontrar con la desagradable 
sorpresa de que después de encontrar un enlace interesante regresó 
tiempo después solo para descubrirque dicho enlace ya no existía y que 
posiblemente hasta el sitio en el que se encontraba alojado el enlace 
tampoco existe, habiendo sido borrada toda la información junto con 
todas las imágenes? Esta es la principal razón por la cual me he 
abstenido en esta obra de citar enlaces cuya duración a largo plazo no 
http://physics.aps.org/
esté garantizada. Muchos autores e inclusive muchas instituciones 
educativas aún no han tomado nota sobre las desagradables 
consecuencias en cascada que puede tener la eliminación o inclusive la 
mera modificación de enlaces en los cuales han puesto en disponibilidad 
mundial algo considerado de interés para compartir con el resto del 
mundo. Un ejemplo de ello es el siguiente enlace que conducía hacia 
una tabla periódica de los elementos puesta en-línea por la Universidad 
Autónoma de Madrid, tan bien elaborada que inclusive en Estados 
Unidos varios educadores lo estaban citando dentro de sus bibliografías 
(y algunos aún lo citan, como el Doctor James B. Calvert de la 
Universidad de Denver): 
Ya para el 2010 este enlace era un enlace muerto, sin que hubiese 
sido restituído a su condición original. Cuando este tipo de cosas 
ocurren, todos los autores que han citado una página que ya no existe 
se quedan con este enlace colgado en el aire, acumulándose a los otros 
enlaces que han estado citando y que tambien están terminando como 
enlaces muertos. Aunque se supondría que es obligación de todo autor 
el estar verificando periódicamente (¿diariamente?) si los enlaces que 
cita en alguna de sus obras todavía siguen vigentes, conforme la obra 
acumulada del autor va creciendo esta tarea de revisión continua se 
convierte en una tarea prácticamente imposible de llevar a cabo, en 
detrimento de los lectores a quienes está dirigido el material que se está 
elaborando. La dura realidad es que muchos autores que citan 
numerosos enlaces cuya permanencia en-línea no está garantizada a 
perpetuidad simple y sencillamente carecen del tiempo requerido para 
estar checando diariamente los enlaces que citan con la finalidad de ver 
si aún están vigentes, y si no lo están actualizarlos o removerlos por 
completo. Esta es una buena razón por la cual las bibliotecas públicas 
que aún acostumbran coleccionar material impreso no pasen de moda, 
al tener los libros una presencia física sólida y tangible que no puede ser 
eliminada con una simple secuencia de teclados frente a un monitor de 
computadora. 
Para aquellos estudiantes de grados pre-universitarios, desde los 
estudiantes de las escuelas primarias hasta los estudiantes de 
bachillerato pasando por los de las escuelas secundarias que no cuentan 
aún con los conocimientos necesarios de álgebra, trigonometría y 
cálculo infinitesimal para poder entender en su totalidad lo que aquí se 
expone (de cualquier manera, habrá una buena cantidad de material que 
sí podrán entender gracias a los apoyos visuales que han sido incluídos), 
esta obra les podrá ayudar para hacerles mucho más aceptable los 
trabajos y sufrimientos que tengan que enfrentar para poder aprender 
esas materias, porque una de las cosas que muchos estudiantes 
enfrentan cuando son expuestos por vez primera a ramas de las 
matemáticas como el álgebra y la trigonometría es la pregunta típica: ¿y 
para qué me va a servir todo esto? En esta obra encontrarán la respuesta 
a esta pregunta, porque es precisamente para cosas como la Mecánica 
Cuántica (que a su vez es la base de la Física y la Química 
contemporáneas) que se requiere el conocimiento de tales materias 
enseñadas en los grados escolares pre-universitarios. La 
microelectrónica que ha hecho posible muchas de las maravillas del 
mundo moderno, especialmente las computadoras e Internet, así como 
los rayos láser que han hecho posible los discos compactos CD y DVD, 
funciona a niveles sub-microscópicos regidos por las leyes naturales 
que aquí se estudian. Y el campo científico relativamente nuevo 
conocido como la nanotecnología apenas está empezando a despegar. 
En estos momentos, las posibilidades son virtualmente ilimitadas. Los 
países que van a la vanguardia en el desarrollo de las nuevas 
tecnologías que están llevando a la especie humana hacia su siguiente 
grado de evolución son países que han dedicado una inversión 
económica extraordinaria para la enseñanza y el desarrollo así como la 
aplicación práctica de todo lo que tenga que ver con la Mecánica 
Cuántica. Los países que no lo han hecho o que no lo han hecho con la 
importancia y premura requeridas son países que se están quedando 
rezagados condenándose a sí mismos a un estancamiento económico, o 
lo que es peor, a una mera subsistencia basada en la simple explotación 
y exportación de las materias primas con las que cuenten, si es que 
cuentan con materias primas que puedan explotar y exportar. 
En virtud de que esta obra presiona los recursos tipográficos de los 
navegadores (browsers) de Internet hasta su máxima capacidad (como 
resultará obvio por la variedad de simbología matemática que se utiliza 
aquí), hay la posibilidad de que en la reproducción de texto aquellos 
errores que parecen ser errores tipográficos en realidad no lo sean en 
virtud del posible fallo del navegador para poder interpretar 
correctamente el código fuente HTML de la página Blogger que está 
siendo consultada. Un ejemplo de esto podría ser la reproducción 
dentro del texto principal de una expresión como la siguiente: 
 
En la forma en la que se acaba de dar esta fórmula, como un archivo 
de imagen PNG, no hay posibilidad alguna de que la imagen pueda ser 
truncada poniendo parte de la expresión en una línea y el resto de la 
expresión en la línea siguiente de texto. La mayoría de los navegadores 
siempre se adaptará para reproducir un archivo de imagen sin 
subdividirlo. Inclusive, si la fórmula se dá por separado en texto como 
texto ordinario centrado y si la fórmula no es muy larga (ocupando dos 
o más líneas) en una manera como se muestra a continuación: 
3x - 4z-7 + 25 
la fórmula también será reproducida fielmente en la mayoría de los 
navegadores. El problema se suscita cuando se mete alguna expresión 
como ésta siendo parte del texto ordinario, algo como esto que se está 
poniendo aquí a continuación: 8x - 6y. Si la expresión algebraica no 
cabe en una línea, lo más probable es que el primer término de la 
fórmula (8x) sea puesto al final de una línea, posiblemente junto con el 
signo negativo (-) si es que hay espacio para ello al final de la línea, y 
que el otro término (6y) sea puesto al principio de la siguiente línea de 
texto, posiblemente junto con el signo negativo, habido el hecho de que 
los espacios en blanco entre los caracteres son utilizados como guía 
para subdividir y separar porciones de texto consideradas como 
diferentes “palabras”. Aunque se lleve a cabo una truncación así, una 
fórmula como ésta sigue siendo entendible. Sin embargo, en el caso de 
una fórmula como la que se dió arriba en texto centrado, aunque todos 
los caracteres tipográficos del segundo término están juntos (el número 
4 con su signo negativo, la variable z y el exponente 7 con su signo 
negativo), si el signo menos que antecede al exponente 7 es 
interpretado no como un signo menos aritmético sino como 
un guión tipográfico, entonces dependiendo del monitor y de la 
resolución de la imagen (lo cual es usado por la computadora para 
subdividir el texto) es muy probable que si el término: 
4z-7 
se encuentra cerca del final de una línea de texto, al final de la línea 
se pondrá 4z y al inicio de la siguiente línea se pondrá el exponente 
negativo 7 pero en tipografía de super-índice, lo cual vuelve confusa la 
http://4.bp.blogspot.com/-FNL5pGNphTo/TxdAyAmhDeI/AAAAAAAAUnc/DesuYxKdaRc/s1600/expresion+algebraica.png
lectura correcta de la expresión. Una forma en la cual se podría evitar 
esto sería la inclusión de alguna función que le indiqueal navegador 
que no es posible subdividir este tipo de caracteres matemáticos. 
Desafortunadamente, al momento de elaborar esta obra, no había 
recurso alguno para obligar a la mayoría de los navegadores a hacer 
esto (esta es una de las razones por las cuales se ha hecho uso 
extensivo de imágenes PNG para la reproducción de fórmulas). Al 
momento de estar esta obra en su etapa avanzada 
(2012), Blogger todavía no había incorporado la capacidad para elaborar 
páginas capaces de reproducir fórmulas echando mano de recursos 
como MathML o como MahtJax. Afortunadamente, para casos como 
estos, el usuario siempre puede ampliar o reducir horizontalmente el 
tamaño de la página, con lo cual los caracteres de texto que están al 
final de una línea pueden ser forzados a pasar a formar parte de la 
siguiente línea (o viceversa). Y en el caso de navegadores como el 
Mozilla Firefox, la función de “Vista” (View) permite ampliar o reducir el 
tamaño de texto (con la función “Zoom”), lo cual puede reacomodar el 
texto matemático de modo tal que sea legible (si algún lector encuentra 
otro remedio para esta deficiencia inherente en los navegadores que les 
impide distinguir lo que es texto ordinario de lo que es texto 
matemático, agradecería mucho que me lo hicieran saber). 
Desafortunadamente, la interpretación correcta de la tipografía depende 
no sólo del navegador que está siendo utilizado, también puede 
depender de la versión del navegador que está siendo utilizado e incluso 
del sistema operativo que está corriendo en la computadora. Para la 
elaboración de este trabajo se utilizó el navegador Mozilla Firefox en su 
versión 3.6.17, bajo un sistema operativo Windows XP Service Pack 3. Si 
hay tipografía de carácter dudoso en la reproducción de estos 
materiales, sobre todo en lo que respecta a la simbología matemática, 
vale la pena instalar otro tipo de navegador en la máquina (por ejemplo, 
Chrome de Google) en su versión más reciente. Si los problemas 
persisten, el autor agradecería un correo electrónico de sus lectores 
informándole sobre la naturaleza de los errores tipográficos que se 
vayan encontrando, así como el título de la entrada en donde son 
encontrados (resulta casi imposible estar buscando en toda la obra 
algún error que puede estar ubicado en cualquiera de las decenas de 
entradas que la forman.) 
Puesto que en cierta tipografía matemática la reproducción fidedigna 
como texto ordinario no es factible, como ocurre en el caso de las 
sumatorias Σ en las cuales se acostumbra poner debajo de las mismas el 
índice a partir del cual se empieza a llevar a cabo la sumación (por 
ejemplo, i.=.1), al incluír sumatorias como parte del texto ordinario el 
índice inferior de la sumación se cambia aquí para ponerlo como un 
sub-índice después de la sumatoria: 
 
De este modo, Σ.m.μpmk debe ser entendido como una sumatoria que 
se lleva a cabo en μ sobre el índice m. 
La otra dificultad que puede enfrentar el lector tiene que ver más con 
los conocimientos que haya adquirido que con la cuestión de la 
tipografía, aunque no por ello se debe dejar intimidar. A manera de 
ejemplo, aunque el significado de las derivadas parciales como ∂g/∂z se 
ve en cursos posteriores a los cursos introductorios de cálculo 
infinitesimal, en muchos casos el lector puede tratar de darle lectura a 
una derivada parcial como si fuese una derivada ordinaria, lo cual es 
válido cuando se trata de funciones como f (x) que dependen de una 
sola variable: 
 
Es solo cuando una función depende de dos o más variables, como 
en el caso de la función g(x,y,z), cuando la derivada parcial adquiere 
relevancia, (de hecho el concepto de la derivada parcial es una extensión 
del concepto de la derivada ordinaria, llevado de una variable 
independiente a dos o más variables independientes en lo que se 
conoce como cálculo multivariables), teniéndose entonces que: 
 
En una situación así el lector que no esté familiarizado con el tema 
puede consultar alguna de muchas de las fuentes disponibles en 
Internet para aclarar las dudas que haya al respecto. De cualquier modo, 
en esta obra se trata de dar explicación a toda aquella tipografía 
matemática que no resulte familiar. 
http://1.bp.blogspot.com/--XdBo1cGOqQ/TxdKiULG4wI/AAAAAAAAUnk/w2Zjm_gQcK0/s1600/tipografia+en+sumatorias.png
http://1.bp.blogspot.com/-Y2eyf_7Kmzo/TxdM6PK1LBI/AAAAAAAAUns/xZ8ScydjWJs/s1600/derivadas+parciales+y+ordinarias+1.png
http://2.bp.blogspot.com/-Q7UjAM19ulg/TxdPxhFppGI/AAAAAAAAUn0/8mAJ7aoCE_w/s1600/derivadas+parciales+y+ordinarias+2.png
De vez en cuando surge la pregunta acerca de la posible 
disponibilidad de esta obra en el formato de almacenamiento PDF 
(Portable Document File), un sistema multi-plataforma que mantiene la 
misma presentación visual en varios sistemas operativos (Windows, 
Unix, Linux, Mac) y que facilita la impresión de los documentos, 
desarrollado por la empresa Adobe Systems. Hay tres razones por las 
cuales esta obra no está disponible en este formato. La primera es que 
algunos de los archivos gráficos en esta obra son archivos gráficos 
animados, lo cual no se puede traspasar a un documento impreso, e 
inclusive las versiones de PDF que pueda haber para las computadoras 
caseras no están equipadas para la reproducción de este tipo de 
archivos. Otra dificultad es que hay muchas máquinas en uso con 
sistemas operativos que hoy se considerarían primitivos (Windows 95, 
Windows 98) y en las cuales la reproducción de imágenes con los 
colores correctos en archivos PDF podría dejar mucho que desear, e 
inclusive tal vez lo único que se logre es la impresión o la visualización 
del documento en blanco y negro, restándole la ventaja didáctica a la 
cromaticidad de muchas figuras incluídas en esta obra. Y la tercera 
dificultad es que Blogger no permite la reproducción de documentos en 
formato PDF, los documentos tienen que ser reproducidos como 
páginas HTML elaboradas para la Web. 
En esta obra, salvo algunas excepciones aisladas, se han evitado al 
máximo las referencias a documentos técnicos y científicos en Internet 
que han sido puestos en sitios tales como SpringerLink en virtud de que 
estos sitios no sólo no hacen accesibles los documentos que archivan de 
manera gratuita, sino que por cada documento que consta de unas diez 
o quince páginas hacen un cobro entre 30 y 40 dólares por documento, 
lo cual significa que para consultar apenas unos diez documentos en un 
sitio como estos el lector tiene que estar preparado para erogar unos 
300 ó 400 dólares, lo cual va totalmente en contra del espíritu de 
Internet de que la información pueda fluír libremente alrededor del 
mundo al menor costo posible de un lado a otro. Tal vez los autores que 
colocan sus trabajos en estos sitios de acceso caro no se dan cuenta de 
que ellos mismos se están limitando severamente el universo de sus 
posibles lectores, sobre todo en países en los que no se cuenta con las 
amplias cantidades de dinero que se requieren para poder accesar los 
documentos que ellos elaboran. El cobro exagerado para poder 
descargar y leer un documento que consta de tan sólo diez o quince 
páginas no está justificado a menos de que se trate de un documento 
realmente extraordinario, excepcional, como los papeles originales de 
Erwin Schrodinger, Albert Einstein y Max Born, y esos papeles se pueden 
obtener gratuitamente de varios sitios de Internet, puestos a disposición 
del público internauta general mundial por instituciones académicas de 
prestigio que laboran sin fines de lucro, a diferencia de los sitios que 
cobran entre 30 y 40 dólares por descargar de ellos algo que consta de 
unas cuantas páginas. 
Parafraseando a Jimmy Wales, el fundador de Wikipedia, este trabajo 
es una pequeña contribución al ambicioso objetivo de un mundo en el 
que todas las personas y cualquier persona tengan libre acceso a la 
suma total de los conocimientos de la humanidad.