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El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos Fourier Números complejos Tema I – Álgebra Lineal Ma Carmen Chacón Quintanilla Marcela A Juárez Rios TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 Orígenes Herón De Alejandría (100) La primera referencia escrita de la raíz cuadrada de un número negativo la encontramos en la obra Stereometría de Herón de Alejandría. Es este trabajo comparece la operación √𝟖𝟏 − 𝟏𝟒𝟒 aunque es tomada como √𝟏𝟒𝟒 − 𝟖𝟏 Hay una referencia a raíces cuadradas de números negativos en la obra aritmética de Diofanto se puede observar el intento de cálculo del área de un triángulo rectángulo de Perímetro 12 y Área 7. Las soluciones contienen raíces de números negativos. Diofanto (275) Mahavira (850) Comenta en su tratado de los números negativos que “como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por lo tanto, no puede tener raíz cuadrada” Da las primeras explicaciones a este tipo de problemas, lo describe de la siguiente forma: “El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de un numero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un numero negativo ya que un número negativo no es un cuadrado.” Bhaskara (1150) Tartaglia y Cardan (1545) Jerome Cardan publica su obra “El gran arte” en el que presenta un método para resolver ecuaciones de grado 3 y 4. En su obra presenta lo siguiente: “Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyo producto sea... 40, es evidente que esta cuestión es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma” 𝑋 + 𝑌 = 10 → 𝐷𝐼𝑉𝐼𝐷𝐼𝑅 10 𝐸𝑁 𝐷𝑂𝑆 𝑃𝐴𝑅𝑇𝐸𝑆 𝑋 ∗ 𝑌 = 40 → 𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝑇𝑂 𝐷𝐸𝐴 40 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 5 + √−15 , 5 − √−15 (5 + √−15 )( 5 − √−15) = 40 Buscaron raíces exactas con polinomios de segundo y tercer grado. Planteo que como −𝟐 + √−𝟏𝟐𝟏 𝒚 − 𝟐 − √−𝟏𝟐𝟏 solo se diferencian en un signo, lo mismo debía suceder con sus raíces cúbicas. Rafael Bombelli (1556) René Descartes (1596) Bautizó con el nombre de imaginarios a los nuevos números, apunto también que toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado, aunque números no reales podían ser alguna de ellas. TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 Usaron números imaginarios en la resolución de integrales. Leibniz y Jhoan Bernoulli (1667) Christian Huygens (1673) Expresa la impresión del primero sobre la identidad √1 + √−3 + √1 − √−3 = √6 , que le había mencionado Leibniz en una carta y expresa: “Lo que me escribes sobre cantidades imaginarias que, no obstante, cuando son sumadas da una cantidad real, me es sorprendente y totalmente nuevo. Uno nunca creería que esto es cierto y debe haber algo escondido en ello que es incomprensible para mí.” Fue el primero en usar la notación 𝒊 = √−𝟏 , haciendo uso de los números complejos al relacionar la exponencial con las funciones trigonométricas 𝒆𝒊 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒙. Lo expresaba de la siguiente manera: “Como todos los números imaginables son mayores, menores o iguales a cero, entonces es claro que la raíz cuadrada de un número negativo no puede ser uno de estos números, [...] y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales números, que por su naturaleza son imposibles y ordinariamente son llamados imaginarios o números falsos, porque solo existen en la imaginación.” Euler (1777) Wessel (1797) La representación geométrica de los complejos como puntos del plano tiene sus primeras citas en sus trabajos. No obstante, sería la referencia de Gauss la que tendría el impacto suficiente. En cuya tesis doctoral (1797) se daba la primera prueba correcta del teorema fundamental del álgebra, apuntó a finales de 1825 que “la verdad metafísica de √−𝟏 es elusiva”. En 1831 publica un trabajo donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma, llamados ahora Números de Gauss, y la representación geométrica de los mismos. Carl Friedrich Gauss (1797) Hamilton (1833) Da la primera definición algebraica rigurosa de los números complejos como pares de los números reales. Da una definición abstracta de los números complejos como clase de congruencia de polígonos. Cauchy (1847) TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a3 1.1 Definición y origen de los números complejos La teoría de los números complejos surge por primera vez al tratar de resolver una ecuación de segundo grado. Considerando la ecuación general de segundo grado con coeficientes reales 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 y con base en el teorema fundamental de álgebra que garantiza que de acuerdo al grado de la ecuación se tendrán exactamente dos raíces. Al aplicar la fórmula general se tiene 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 donde el discriminante establece las condiciones para las soluciones de la ecuación, esto es si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 es: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 existen dos raíces reales diferentes 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 existe una raíz real con multiplicidad dos 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 las soluciones de la ecuación no son reales (no tiene solución real) Y con ello se inicia el estudio, en determinar las soluciones cuando el discriminante es negativo 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 Por ejemplo si se tiene la ecuación 𝑥2 + 1 = 0 y se requiere su solución. El lógico pensar que no existe ningún número real que al elevarse al cuadrado y sumando uno de cero, o visto de otra forma 𝑥2 + 1 = 0 → 𝑥2 = −1, no es posible que un número real al elevarse al cuadrado genere un número negativo. Al resolver la ecuación 𝑥2 + 1 = 0 → 𝑥2 = −1 → 𝑥 = ±√−1 surge una nueva clasificación de números, definiendo con ello a los números imaginarios. Euler fue el primero en usar la notación 𝑖 = √−1 concibió que con la ayuda de la unida imaginaria, representada con la i, se establecía una igualdad, y con ello la solución de la ecuación sería 𝑥 = ±√−1 = ± 𝑖 Con base en ello el campo de números que se tenía hasta el momento se amplia para construir ahora un campo denominado como números complejos Los números complejos se pueden representar de tres formas diferentes: I. Forma binómica o rectangular {z = a + bi} II. Forma polar o trigonométrica {𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑟𝑐𝑖𝑠𝜃} III. Forma exponencial o Euler {𝑧 = 𝑟𝑒𝜃𝑖} TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a4 Forma binómica o rectangular Un número complejo es una expresión matemática de la forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎, 𝑏 son números reales, i es la unidad imaginaria. 𝑎 es la parte real del número complejo, se representa como 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎 𝑏 es la parte imaginaria del número complejo, se representa como 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏, 𝑖 es la unidad imaginaria. Cuando 𝑎 = 0, el número complejo será 𝑧 = 𝑏𝑖, el cual se denomina número imaginario puro. Si ahora 𝑏 = 0, el número complejo será 𝑧 = 𝑎, es decir ahora se tendrá un número real. Unidad imaginaria 𝑖 Para la unidad imaginaria 𝑖, se tiene 𝑖 = √−1 𝑖 2 = −1 𝑖3 = 𝑖2𝑖 = −𝑖 𝑖4 = 𝑖2𝑖2 = 1 Ejemplo De los siguientes números complejos determina a) la parte real, b) la parte imaginaria Número a) Parte real b) Parte imaginaria 𝑧 = 3 − 5𝑖 𝑅𝑒(𝑧) = 3 𝐼𝑚(𝑧) = −5 𝑧 = 6𝑖 𝑅𝑒(𝑧) = 0 𝐼𝑚(𝑧) = 6 𝑧 = −2 + √3𝑖 𝑅𝑒(𝑧) = −2 𝐼𝑚(𝑧) = √3 ¡Importante! La parte real e imaginaria de un número complejo es un número real. Representación gráfica de los complejos (Diagrama de Argand) El concepto de plano complejo permite representar geométricamente un número complejo. Considerandola pareja ordena como (𝑅𝑒(𝑧), 𝐼𝑚(𝑧)) = (𝑎, 𝑏), es decir graficamos la parte 𝑅𝑒(𝑧) sobre el eje horizontal (𝑒𝑗𝑒 𝑥) denominándose eje real, y la parte 𝐼𝑚(𝑧) sobre el eje vertical (𝑒𝑗𝑒 𝑦), denominado eje imaginario. TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a5 Otra forma de representar un número complejo es como vector de posición, es decir el punto inicial será el origen y el final (donde se coloca la sagita) son las coordenadas (𝑎, 𝑏). Esto es, 𝑎 es la componente horizontal y 𝑏 es la componente vertical del vector. Ejemplo Representar en el diagrama de Argand los números 𝑧1 = 3 + 2𝑖, 𝑧2 = −3 − 3𝑖, 𝑧3 = 2 − 𝑖 𝑦 𝑧4 = 3𝑖 Solución TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a6 Conjugado de un número complejo Dado el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se denomina como conjugado de 𝑧, y se denota 𝑧̅ al número complejo 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, es decir el conjugado de un número complejo cambia el signo de la parte imaginaria. Para un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, su conjugado es 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 se cumple que 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑅𝑒(𝑧̅) 𝑦 𝐼𝑚(𝑧) = −𝐼𝑚(𝑧̅) Ejemplo De los siguientes números complejos determina su conjugado Número Conjugado 𝑧 = 3 − 5𝑖 𝑧̅ = 3 + 5𝑖 𝑧 = 6𝑖 𝑧̅ = −5𝑖 𝑧 = −2 + √3𝑖 𝑧̅ = −2 − √3𝑖 𝑧 = −3 𝑧̅ = −3 Geométricamente, dos números complejos son conjugados si y sólo si son reflexiones respecto al eje real Propiedades de los números complejos conjugados i. 𝑧̅̅ = 𝑧 ii. 𝑧1 + 𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑧1̅ + 𝑧2̅ iii. 𝑧1𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧1̅𝑧2̅ iv. [ 𝑧1 𝑧2 ] ̅̅ ̅̅̅ = 𝑧1̅̅ ̅ 𝑧2̅̅ ̅ v. 𝑧̅ = 𝑧 ↔ 𝑧 𝜖 ℝ vi. 𝑧̅ = −𝑧 ↔ 𝑧 𝜖 𝐼 vii. (𝑧̅)𝑛 = 𝑧𝑛̅̅ ̅ viii. 𝑘𝑧̅ = 𝑘𝑧̅̅ ̅, 𝑧 𝜖 ℝ TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a7 Ejemplo Realiza las operaciones indicadas, indicando la propiedad aplicada - 2 + 3𝑖̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ = - 5𝑖 + 2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = - 3(4 − 2𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = - −4̅̅ ̅̅ = Solución - 2 + 3𝑖̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ = 2 + 3𝑖 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑖 - 5𝑖 + 2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 2 − 5𝑖 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 - 3(4 − 2𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 3(4 − 2𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 3(4 + 2𝑖) = 12 + 6𝑖 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑖𝑖𝑖 - −4̅̅ ̅̅ = 4 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑣 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a8 1.2 Operaciones con números complejos Los números complejos definen la misma estructura algebraica que los números reales, es decir, cumplen los axiomas de campo bajo las propiedades de cerradura, conmutativa, asociativa, elemento inverso y elemento idéntico. Igualdad Dos números complejos son iguales si y sólo si la parte real es igual y la parte imaginaria es igual, esto es, si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1 = 𝑧2 si y sólo si 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑 Otra forma de expresar la igual de dos números complejos es 𝑧1 = 𝑧2 ↔ 𝑅𝑒(𝑧1) = 𝑅𝑒(𝑧2) 𝑦 𝐼𝑚(𝑧1) = 𝐼𝑚(𝑧2) Suma Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1 + 𝑧2 será 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 Resta Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1 − 𝑧2 será 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖 Multiplicación por un escalar Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑘 𝜖 ℝ, entonces 𝑘𝑧 será 𝑘𝑧 = 𝑘(𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑘𝑎) + (𝑘𝑏)𝑖 Multiplicación Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1𝑧2 será 𝑧1𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎(𝑐 + 𝑑𝑖) + 𝑏𝑖(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖 2 = como 𝑖2 = −1 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 Multiplicación Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1/𝑧2 será 𝑧1 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 Para realizar la operación se multiplica y divide por el conjugado del complejo del denominador, TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a9 𝑧1 𝑧2 = ( 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 ) ( 𝑐 − 𝑑𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖 ) = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) 𝑐2 − 𝑑2𝑖2 = 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖2 𝑐2 + 𝑑2 = = (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖 𝑐2 + 𝑑2 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑐2 + 𝑑2 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 𝑐2 + 𝑑2 𝑖 Ejemplo Determina el valor de 𝑥 para que los números complejos 𝑧1 = 𝑥 2 + 6 + 2𝑥𝑖 𝑦 𝑧2 = 15 + 6𝑖 sean iguales. Solución Para que dos números sean iguales, sus partes reales y sus partes imaginarias deben ser iguales, con ello, 𝑥2 + 6 = 15 𝑦 2𝑥 = 6 resolviendo 𝑥2 + 6 = 15 → 𝑥2 = 9 → 𝑥 = ±√9 = ±3 2𝑥 = 6 → 𝑥 = 3 Por lo tanto ambas ecuaciones se cumplen sólo para 𝑥 = 3 Ejemplo Determina las siguientes operaciones a. (𝟐 + 𝟑𝒊) + (−𝟓 + 𝟒𝒊) b. (3 − 4𝑖) − (1 − 𝑖) c. (5 + 3𝑖) + [(−1 + 2𝑖) − (7 − 5𝑖)] d. 3(2 + 7𝑖) + 4(8 − 𝑖) e. (2 − 3𝑖)(4 + 2𝑖) f. 5 − 2𝑖 −1 + 𝑖 g. 3𝑖 2 − 𝑖 − 5 4 + 2𝑖 h. 5 + 5𝑖 3 − 4𝑖 + 20 4 + 3𝑖 Solución a. (𝟐 + 𝟑𝒊) + (−𝟓 + 𝟒𝒊) = (2 − 5) + (3 − 4)𝑖 = −𝟑 − 𝒊 b. (3 − 4𝑖) − (1 − 𝑖) = (3 − 1) + (−4 − (−1))𝑖 = 2 + (−4 + 1)𝑖 = 𝟐 − 𝟑𝒊 c. (5 + 3𝑖) − [(−1 + 2𝑖) − (7 − 5𝑖)] = (5 + 3𝑖) − (−1 + 2𝑖) + (7 − 5𝑖) = = (5 + 1 + 7) + (3 − 2 − 5)𝑖 = 𝟏𝟑 − 𝟒𝒊 d. 3(2 + 7𝑖) + 4(8 − 𝑖) = (6 + 21𝑖) + (32 − 4𝑖) = (6 + 32) + (21 − 4)𝑖 = 𝟑𝟖 + 𝟏𝟕𝒊 e. (2 − 3𝑖)(4 + 2𝑖) = 2(4 + 2𝑖) − 3𝑖(4 + 2𝑖) = 8 + 4𝑖 − 12𝑖 − 6𝑖2 = 𝟏𝟒 − 𝟖𝒊 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 0 f. 5−2𝑖 −1+𝑖 = 5−2𝑖 −1+𝑖 ( −1−𝑖 −1−𝑖 ) = 5(−1−𝑖)−2𝑖(−1−𝑖) 1+1 = −5−5𝑖+2𝑖−2 2 = −7−3𝑖 2 = − 𝟕 𝟐 − 𝟑𝒊 𝟐 g. 3𝑖 2−𝑖 − 5 4+2𝑖 = 3𝑖 2−𝑖 ( 2+𝑖 2+𝑖 ) − 5 4+2𝑖 ( 4−2𝑖 4−2𝑖 ) = 6𝑖−3 4+1 − 20−10𝑖 16+4 = − 3 5 + 6𝑖 5 − 20 20 + 10𝑖 20 = − 𝟖 𝟓 + 𝟏𝟕𝒊 𝟏𝟎 h. 5+5𝑖 3−4𝑖 + 20 4+3𝑖 = 5+5𝑖 3−4𝑖 ( 3+4𝑖 3+4𝑖 ) + 20 4+3𝑖 ( 4−3𝑖 4−3𝑖 ) = 15+20𝑖+15𝑖−20 9+16 + 80−60𝑖 16+9 = − 5 25 + 35𝑖 25 + 80 25 − 60𝑖 25 = 𝟑 − 𝒊 Propiedades para la suma y producto por un escalar de números complejos Sean 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 𝜖 ℂ y 𝑘1, 𝑘2 escalares Para la suma 1) Cerradura 𝑧1 + 𝑧2 𝜖 ℂ 2) Conmutativa 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1 3) Asociativa 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = (𝑧1 + 𝑧2) + 𝑧3 = 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3) 4) Neutro ∃ 0 𝜖 ℂ|𝑧 + 0 = 𝑧 ∀ 𝑧 𝜖 ℂ El cero como número complejo es 0+0i 5) Inverso ∀ 𝑧 𝜖 ℂ, ∃ − 𝑧 𝜖 ℂ|𝑧 + (−𝑧) = 0 Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → −𝑧 = −𝑎 − 𝑏𝑖 Para la multiplicación por un escalar 6) Cerradura 𝑘1𝑧 𝜖 ℂ 7) Asociativa (𝑘1𝑘2)𝑧1 = 𝑘1(𝑘2𝑧1) 8) Distributiva 𝑘1(𝑧1 + 𝑧2) = 𝑘1𝑧1 + 𝑘1𝑧2 (𝑘1 + 𝑘2)𝑧1 = 𝑘1𝑧1 + 𝑘2𝑧1 9) Idéntico ∃ 1 𝜖 ℂ|1(𝑧) = 𝑧, ∀ 𝑧 𝜖 ℂ El número 1 se puede expresar como 𝑧 = 1 + 0𝑖 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 1 1.3 Potencias de 𝒊, módulo o valor absoluto de un número complejo Recordando que 𝑖 representa la unidad imaginaria de un número complejo, y además 𝑖 = √−1, se pueden obtener las potencias de 𝑖 como: 𝒊 = √−𝟏 𝒊𝟐 = −𝟏 𝒊𝟑 = 𝒊𝟐𝒊 = −𝒊 𝒊𝟒 = 𝒊𝟐𝒊𝟐 = 𝟏 𝒊𝟏 = 𝒊 𝒊𝟓 = 𝒊 𝒊𝟗 = 𝒊 𝒊𝟏𝟑 = 𝒊 𝒊𝟐 = −𝟏 𝑖6 = −1 𝑖10 = −1 𝑖14 = −1 𝒊𝟑 = −𝒊 𝑖7 = −𝑖 𝑖11 = −𝑖 𝑖15 = −𝑖 𝒊𝟒 = 𝟏 𝑖8 = 1 𝑖12 = 1 … Como puedes observar las potencias de la unidad imaginaria 𝑖, generan como resultado 𝑖, −1, −𝑖, 1 De forma gráfica se tiene Ejemplo Determina el resultado de 𝑖70, 𝑖103, 𝑖201 𝑒 𝑖244 Solución 𝑖70 = (−1) 70 2 = (−1)35 = −1 𝑖103 = (𝑖)(𝑖)102 = (𝑖)(−1)102/2 = (𝑖)(−1)51 = 𝑖(−1) = −𝑖 𝑖201 = (𝑖)(𝑖)200 = (𝑖)(−1) 100 2 = (𝑖)(−1)50 = (𝑖)(1) = 𝑖 𝑖244 = (−1)244/2 = (−1)122 = 1 TecNM – Campus QuerétaroDepartamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 2 Otra forma de determinar el resultado de una potencia de 𝑖 es factorizar en múltiplos de cuatro (¿por qué 4? Porque es la distancia para que un resultado se repita), y con la tabla inicial de potencias de 𝑖. Por ejemplo 𝒊 = √−𝟏 𝒊𝟐 = −𝟏 𝒊𝟑 = 𝒊𝟐𝒊 = −𝒊 𝒊𝟒 = 𝒊𝟐𝒊𝟐 = 𝟏 𝑖35 = (𝑖4)8𝑖3 = (1)8𝑖3 = (1)(−𝑖) = −𝑖 𝑖98 = (𝑖4)24𝑖2 = (1)24(−1) = −1 𝑖244 = (𝑖4)61 = (1)61 = 1 Resulta sencillo de utilizar, ¿cuál es la mejor? como siempre, la que a ti te guste. Ejemplo Resuelve las siguientes operaciones 𝑖42 𝑖−1 𝑖−18 𝑖4𝑚 (1 + 𝑖)16 1 + 𝑖 𝑖19 𝑖12 𝑖81 (2 + 5𝑖)2 3𝑖 − 1 (−1 − 𝑖)2 (1 + 𝑖)2(1 − 𝑖)3 𝑖5 Solución 𝑖42 = (𝑖4)10𝑖2 = −𝟏 𝑖−1 = 1 𝑖 = ( 1 𝑖 ) ( −𝑖 −𝑖 ) = − 𝑖 1 = −𝒊 𝑖−18 = 1 𝑖18 = 1 (𝑖4)4𝑖2 = 1 −1 = −𝟏 𝑖4𝑚 = (𝑖4)𝑚 = (1)𝑚 = 𝟏 (1 + 𝑖)16 = ((1 + 𝑖)2)8 = (1 + 2𝑖 + 𝑖2)8 = (1 + 2𝑖 − 1)8 = (2𝑖)8 = 28𝑖8 = 256(𝑖4)2 = 256(1)2 = 𝟐𝟓𝟔 1 + 𝑖 𝑖19 = 1 + 𝑖 (𝑖4)4𝑖3 = 1 + 𝑖 −𝑖 ( 𝑖 𝑖 ) = 𝑖 + 𝑖2 −𝑖2 = −𝟏 + 𝒊 𝑖12 𝑖81 = 1 𝑖81−12 = 1 𝑖69 = 1 (𝑖4)17𝑖 = 1 𝑖 = −𝒊 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 3 (2 + 5𝑖)2 3𝑖 − 1 = 4 + 20𝑖 + 25𝑖2 −1 + 3𝑖 = −21 + 20𝑖 −1 + 3𝑖 ( −1 − 3𝑖 −1 − 3𝑖 ) = 21 + 63𝑖 − 20𝑖 + 60 1 + 9 = 81 + 43𝑖 10 = 𝟖𝟏 𝟏𝟎 + 𝟒𝟑𝒊 𝟏𝟎 (−1 − 𝑖)2 = 1 + 2𝑖 + 𝑖2 = 𝟐𝒊 (1 + 𝑖)2(1 − 𝑖)3 𝑖5 = 2𝑖(1 − 3𝑖 + 3𝑖2 − 𝑖3) 𝑖4𝑖 = 2𝑖(1 − 3𝑖 − 3 + 𝑖) 𝑖 = 2𝑖(−2 − 2𝑖) 𝑖 = 2(−2 − 2𝑖) = −𝟒 − 𝟐𝒊 Módulo de un número complejo El módulo o magnitud de un número complejo está asociado a la representación geométrica como vector de un complejo. Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 el módulo o magnitud de 𝑧 se representa por |𝑧| = |𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏2 Lo cual podemos interpretar como la magnitud del vector que representa al número complejo, donde las componentes del vector constituye los lados de un triángulo rectángulo, debido a que los ejes real e imaginario son ortogonales, y aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene |𝑧| = 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 El módulo o magnitud de un número complejo 𝑧 y su conjugado 𝑧̅ son iguales, y se cumple la relación 𝑧𝑧̅ = |𝑧|2 Demostración Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces siguiendo la ecuación se tiene 𝑧𝑧̅ = |𝑧|2 → (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 − 𝑏2𝑖2 = 𝑎2 + 𝑏2 = √𝑎2 + 𝑏2 2 = |𝑧|2 Propiedades del módulo de un número complejo Si 𝑧, 𝑧1, 𝑧2 son números complejos y 𝑘 un escalar, entonces 1) |𝑧| ≥ 0 𝑦 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜 ↔ 𝑧 = 0 2) |𝑧| = |𝑧̅| 3) |𝑘𝑧| = |𝑘||𝑧| 4) |𝑧| = |−𝑧| TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 4 5) |𝑧1 𝑧2| = |𝑧1||𝑧2| 6) | 𝑧1 𝑧2 | = |𝑧1| |𝑧2| ; 𝑧2 ≠ 0 7) |𝑧1 + 𝑧2| ≤ |𝑧1| + |𝑧2| (Desigualdad del triángulo) 8) |𝑧1 − 𝑧2| ≥ |𝑧1| − |𝑧2| Ejemplo Determina el módulo de los números complejos a) 𝑧 = −4 + 2𝑖 |𝑧| = √(−4)2 + (2)2 = √16 + 4 = √20 = 2√5 b) 𝑧 = 5 − 𝑖 |𝑧| = √(5)2 + (−1)2 = √25 + 1 = √26 c) 𝑧 = −3 − 3𝑖 |𝑧| = √(−3)2 + (−3)2 = √9 + 9 = √18 = 3√2 d) 𝑧1 = 2 + 𝑖, 𝑧2 = −3 + 2𝑖 |𝑧1𝑧2| = |𝑧1||𝑧2| = √(2) 2 + (1)2√(−3)2 + (2)2 = √5√13 = √65 |3𝑧1 − 4𝑧2| = |3(2 + 𝑖) − 4(−3 + 2𝑖)| = |6 + 3𝑖 + 12 − 8𝑖| = |18 − 5𝑖| = √182 + (−5)2 = √349 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 5 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo Las operaciones con potencias y raíces de números complejos se pueden resolver con mayor facilidad cuando éstos están representados en forma polar. A partir de la forma binómica de un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, la cual se puede representar como un punto (𝑎, 𝑏) en el plano complejo. Este punto también puede ser representado en términos de coordenadas polares (𝑟, 𝜃) donde 𝑟 ≥ 0, entonces: 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 cos 𝜃 = 𝑎 𝑟 → 𝑎 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 sen 𝜃 = 𝑏 𝑟 → 𝑏 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 con ello 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑟𝑐𝑖𝑠𝜃 Definición (Forma polar de un número complejo) Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, y considerando 𝑎 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑏 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃, entonces se define la forma polar del número complejo como: 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑟𝑐𝑖𝑠𝜃 La forma polar se representa por su módulo 𝑟 y su argumento 𝜃, que es el ángulo entre la parte positiva del eje real y el módulo del vector definido por 𝑧, esto es 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑏 𝑎 → 𝜃 = tan−1 ( 𝑏 𝑎 ) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 Si un número complejo tiene un argumento 𝜃, este argumento más cualquier múltiplo entero de 2𝜋 también es un argumento de 𝑧 La notación para el argumento de 𝑧 es arg(𝑧) y representa el conjunto de todos los argumentos de 𝑧 Como cualesquiera de dos argumento de 𝑧 difieren en un múltiplo de 2𝜋. Se pueden obtener con 𝜃 + 2𝜋𝑛, para 𝑛 entero Pero hay siempre exactamente un argumento de 𝑧 en el intervalo de −𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋 y se denomina argumento principal de 𝑧, es único y se representa como 𝐴𝑟𝑔 (𝑧). TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 6 Si 𝑧 ≠ 0, la rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj corresponde a los valores positivos del 𝐴𝑟𝑔 (𝑧) y una rotación en sentido de las manecillas del reloj corresponden a los valores negativos del 𝐴𝑟𝑔 (𝑧). Si los números complejos están representados en forma polar la definición de igualdad no cambia, es decir, dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento. Nota: si 𝜃 está en grados, entonces 𝜃 + 360° 𝑛 Si un número complejo está en forma binómica 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 se convierte a polar como 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃, donde 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 𝜃 = tan−1 ( 𝑏 𝑎 ) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 Para determinar la ubicación del argumento Condición 𝜃 Si 𝑎 > 0 𝜃 = tan−1 ( 𝑏 𝑎 ) 𝑦 𝜃 ∈ (− 𝜋 2 , 𝜋 2 ) Si 𝑎 = 0 y 𝑏 > 0 𝜃 = 𝜋 2 Si 𝑎 = 0 y 𝑏 < 0 𝜃 = − 𝜋 2 Si 𝑎 < 0 y 𝑏 > 0 𝜃 = 𝜋 − tan−1 (| 𝑏 𝑎 |) 𝑦 𝜃 ∈ ( 𝜋 2 , 𝜋) Si 𝑎 = 0 y 𝑏 < 0 𝜃 = −𝜋 + tan−1 ( 𝑏 𝑎 ) 𝑦 𝜃 ∈ (− 𝜋 2 , −𝜋) Ejemplo Obtener la forma polar de los siguientes números complejos (usar el argumento principal) 1) 𝑧 = 𝑖 2) 𝑧 = 1 + 𝑖 3) 𝑧 = −1 − √3𝑖 4) 𝑧 = −3 + 4𝑖 Solución 1) 𝑧 = 𝑖 → 𝑧 = 0 + 1𝑖 → 𝑟 = √02 + 12 = 1 ; 𝜃 = 𝜋 2 → 𝒛 = 𝟏𝒄𝒊𝒔 ( 𝝅 𝟐 ) 2) 𝑧 = 1 + 𝑖 → 𝑟 = √12 + 12 = √2 ; ; 𝜃 = 𝜋 4 → 𝒛 = √𝟐𝒄𝒊𝒔 ( 𝝅 𝟒 ) 3) 𝑧 = −1 − √3𝑖 → 𝑟 = √(−1)2 + (−√3) 2 = √4 = 2 ; 𝜃 = 𝜋 − tan (− √3 −1 ) = − 2𝜋 3 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 7 𝒛 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 (− 𝟐𝝅 𝟑 ) 4) 𝑧 = −3 + 4𝑖 → 𝑟 = √(−3)2 + 42 = √25 = 5 ; 𝜃 = 𝜋 − tan−1 (| 4 −3 |) = 2.21 𝒛 = 𝟓 𝒄𝒊𝒔 (𝟐. 𝟐𝟏 ) TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 8 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo La potencia entera de un número complejo es el producto del mismo complejo, el número de veces que indique la potencia, esto es 𝑧𝑛 = 𝑧𝑧𝑧 ⋯ 𝑧 (𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠) Empleando la forma polar de 𝑧 se tienen los siguientes desarrollos, 𝑧2 = 𝑧𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑟2[𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)] = 𝑟2(cos2 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖2𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 𝑟2(cos2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 2𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃) = 𝑟2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 𝑟2𝑐𝑖𝑠(2𝜃) 𝑧3 = 𝑧𝑧2 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 𝑟3(𝑐𝑜𝑠3𝜃 +𝑖𝑠𝑒𝑛3𝜃) = 𝑟3𝑐𝑖𝑠(3𝜃) 𝑧4 = 𝑧𝑧3 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟3(𝑐𝑜𝑠3𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛3𝜃) = 𝑟4(𝑐𝑜𝑠4𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛4𝜃) = 𝑟4𝑐𝑖𝑠(4𝜃) y así sucesivamente, 𝑧𝑛 = 𝑧𝑧𝑛−1 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟𝑛−1(cos (𝑛 − 1)𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛 − 1)𝜃) = 𝑟𝑛(cos 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃) = 𝑟𝑛𝑐𝑖𝑠(𝑛𝜃) Teorema de De Moivre Si 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) y 𝑛 es un número natural, entonces 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛(cos 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃) = 𝑟𝑛𝑐𝑖𝑠(𝑛𝜃) Ejemplo Si 𝑧 = (1 + 𝑖) , determina 𝑧6 indicando el resultado en forma polar y binómica Solución Primero se convierte 𝑧 = (1 + 𝑖) a su forma polar 𝑧 = (1 + 𝑖) = √2𝑐𝑖𝑠 45° Aplicando el teorema De Moivre se tiene 𝑧6 = (√2) 6 𝑐𝑖𝑠 (6)(45°) = 𝟖𝒄𝒊𝒔(𝟐𝟕𝟎°) = 8 cos 270° + 𝑖8𝑠𝑒𝑛270° = 0 − 8𝑖 = −𝟖𝒊 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a1 9 Ejemplo Si 𝑧 = (2 − 3𝑖) , determina 𝑧10 indicando el resultado en forma polar y binómica Solución Primero se convierte 𝑧 = (2 − 3𝑖) a su forma polar 𝑧 = (2 − 3𝑖) = √13𝑐𝑖𝑠 303.7° Aplicando el teorema De Moivre se tiene 𝑧10 = (√13) 10 𝑐𝑖𝑠 (10)(303.7°) = 371293 𝑐𝑖𝑠(3037°) = 𝟑𝟕𝟏𝟐𝟗𝟑 𝒄𝒊𝒔𝟏𝟓𝟕° = −𝟑𝟒𝟏𝟕𝟕𝟕 + 𝟏𝟒𝟓𝟎𝟕𝟓. 𝟕𝟑𝒊 Nota. Si 𝒏 es un entero positivo y 𝒛 ≠ 𝟎, entonces 𝒛−𝒏 = 𝟏 𝒛𝒏 Ejemplo Determina: a. (2 + 𝑖)−5 b. (1 + 𝑖)−4 Solución a. (2 + 𝑖)−5 = 1 (2+𝑖)5 por lo tanto, se resuelve primero el denominador como (2 + 𝑖)5 = (√5 𝑐𝑖𝑠26.56°) 5 = (√5 ) 5 𝑐𝑖𝑠(5)(26.56°) = 25√5𝑐𝑖𝑠132.82° ahora (2 + 𝑖)−5 = 1 (2 + 𝑖)5 = 1 25√5𝑐𝑖𝑠132.82° = 1 25√5 𝑐𝑖𝑠(−132.82°) = 1 25√5 𝑐𝑖𝑠(227.17°) b. (1 + 𝑖)−4 = 1 (1+𝑖)4 = 1 (√2𝑐𝑖𝑠(45°)) 4 = 1 4 𝑐𝑖𝑠(−180°) = 1 4 𝑐𝑖𝑠(180°) = − 1 4 Raíz n-ésima de un número complejo La raíz n-ésima de un número complejo 𝑧, es cualquier número complejo 𝑤 tal que: √𝑧 𝑛 = 𝑤 → 𝑧 = 𝑤𝑛 Si se consideran dos números complejos 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠𝜃 𝑦 𝑤 = 𝑠 𝑐𝑖𝑠𝜑 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 0 Aplicando el teorema De Moivre se tiene que si 𝑧 = 𝑤𝑛 entonces 𝑧 = (𝑠 𝑐𝑖𝑠 𝜑)𝑛 = 𝑠𝑛𝑐𝑖𝑠 (𝑛𝜑), al ser una igualdad se establece que 𝑟 = 𝑠𝑛 ; cos 𝜃 = cos 𝑛𝜑 ; 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜑 como las funciones seno y coseno tienen un periodo fundamental de 2𝜋 = 360° cada una, los argumentos de 𝜃 y 𝑛𝜑 difieren por múltiplos de 2𝜋, y su relación para 𝑘 entero 𝑛𝜑 = 𝜃 + 2𝑘𝜋 → 𝜑 = 𝜃 + 2𝑘𝜋 𝑛 = 𝜃 + 360°𝑘 𝑛 Al sustituir 𝜑 = 𝜃+2𝑘𝜋 𝑛 en la forma polar de 𝑤 se obtiene el siguiente teorema Teorema Para cualquier entero positivo 𝑛, el número complejo 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠𝜃, tiene exactamente 𝑛 raíces distintas dadas por la expresión 𝑤𝑘 = √𝑧 𝑛 = √𝑟 𝑛 𝑐𝑖𝑠 ( 𝜃 + 2𝑘𝜋 𝑛 ) = √𝑟 𝑛 𝑐𝑖𝑠 ( 𝜃 + 360°𝑘 𝑛 ) ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2,3, … 𝑛 − 1 Ejemplo Determina las raíces cubicas de −27 Solución El número en su forma compleja es 𝑧 = 27 𝑐𝑖𝑠 180°, por lo tanto al aplicar el teorema se obtiene: 𝑤𝑘 = √𝑧 3 = √27 3 𝑐𝑖𝑠 ( 180° + 360°𝑘 3 ) = 3𝑐𝑖𝑠 ( 180° + 360°𝑘 3 ) Para 𝑘 = 0 𝑤0 = 3 𝑐𝑖𝑠 60° = 3 2 + 3√3 2 𝑖 Para 𝑘 = 1 𝑤1 = 3 𝑐𝑖𝑠 180° = −3 Para 𝑘 = 2 𝑤2 = 3 𝑐𝑖𝑠 300° = 3 2 − 3√3 2 𝑖 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 1 Gráficamente las raíces son Nota. La distancia angular entre las raíces de un número complejo es igual a 360° 𝑛 , por lo tanto con determinar la primer raíz se puede ir agregando la distancia angular para localizar la siguiente raíz. Ejemplo Determina las raíces quintas de 32𝑖, dando la solución en forma polar. Solución Representando a 𝑖 en su forma polar como 𝑧 = 32 𝑐𝑖𝑠 (90°) Aplicando la expresión para determinar las raíces 𝑤𝑘 = √𝑧 5 = √35 5 𝑐𝑖𝑠 ( 90° + 360°𝑘 5 ) Para 𝑘 = 0 𝑤0 = 2 𝑐𝑖𝑠 18° Para 𝑘 = 1 𝑤1 = 2 𝑐𝑖𝑠 90° Para 𝑘 = 2 𝑤2 = 2 𝑐𝑖𝑠 162° Para 𝑘 = 3 𝑤3 = 2 𝑐𝑖𝑠 234° Para 𝑘 = 4 𝑤4 = 2 𝑐𝑖𝑠 306° Al saber calcular las potencias y raíces de un número complejo, se puede calcular cualquier potencia racional de la forma 𝑧 𝑚 𝑛 , la cual se puede obtener como, 𝑧 𝑚 𝑛 = (𝑧𝑚) 1 𝑛 = ( √𝑧 𝑛 ) 𝑚 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 2 Ejemplo Determina (2 − 𝑖)4/3 Solución Una forma de resolver la expresión es elevando el número complejo primero a la cuarta y posteriormente obtener las raíces cúbicas, para ello puede expresarse el número en su forma polar 𝑧 = 2 − 𝑖 = √5 𝑐𝑖𝑠 333.43° elevando el número complejo a la potencia cuatro 𝑧4 = (√5 𝑐𝑖𝑠 333.43°) 4 = √5 4 𝑐𝑖𝑠 (4)(333.43°) = 25 𝑐𝑖𝑠 253.74° obteniendo las raíces cúbicas 𝑤𝑘 = √𝑧 3 = √25 3 𝑐𝑖𝑠 ( 253.74° + 360°𝑘 3 ) Para 𝑘 = 0 𝑤0 = √25 3 𝑐𝑖𝑠 84.58° Para 𝑘 = 1 𝑤1 = √25 3 𝑐𝑖𝑠 204.58° Para 𝑘 = 2 𝑤2 = √25 3 𝑐𝑖𝑠 324.58° Ejemplo Determina (2 − 𝑖)−2/5 Adicionalmente ahora tiene un exponente negativo lo cual se puede representar como (2 − 𝑖)−2/5 = √ 1 (2 − 𝑖)2 5 es decir, el exponente negativo indica que el número se encuentra en el denominador elevado al cuadrado, y posteriormente se obtienen las raíces quintas. 𝑧 = 2 − 𝑖 = √5 𝑐𝑖𝑠 333.43° → 1 𝑧2 = 1 (√5𝑐𝑖𝑠 333.43°) 2 = 1 5 𝑐𝑖𝑠306.86° = 1 5 𝑐𝑖𝑠 53.14° Obteniendo las raíces quintas 𝑤𝑘 = √ 1 𝑧2 5 = √ 1 5 5 𝑐𝑖𝑠 ( 53.14° + 360°𝑘 5 ) Para 𝑘 = 0 𝑤0 = 1 √5 5 𝑐𝑖𝑠 10.63° Para 𝑘 = 1 𝑤1 = 1 √5 5 𝑐𝑖𝑠 82.63° TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 3 Para 𝑘 = 2 𝑤2 = 1 √5 5 𝑐𝑖𝑠 154.63° Para 𝑘 = 3 𝑤3 = 1 √5 5 𝑐𝑖𝑠 226.63° Para 𝑘 = 4 𝑤4 = 1 √5 5 𝑐𝑖𝑠 298.63° TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 4 1.6 Ecuaciones polinómicas Recordando que, al inicio del tema, se presentó que el origen de los números complejos se dio de la necesidad de resolver ecuaciones polinómicas 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0 Y con frecuencia en la práctica se requiere resolver 𝑎𝑛𝑧 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑧 2 + 𝑎1𝑧 + 𝑎0 = 0 cuyas soluciones se denominan ceros o raíces de la ecuación. Ejemplo Determina las raíces de la ecuación 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 Solución Al ser una ecuación cuadrática se puede aplicar la fórmula de segundo grado, esto es 𝑥 = −(−6) ± √(−6)2 − 4(1)(13) 2(1) = 6 ± √36 − 52 2 = 6 ± √−16 2 = 6 ± 4𝑖 2 = 3 ± 2𝑖 Por lo tanto las raíces de la ecuación son: 𝑥1 = 3 − 2𝑖 , 𝑥2 = 3 + 2𝑖 Ejemplo Resuelve la ecuación 𝑧2 + (2𝑖 − 3)𝑧 + 5 − 𝑖 = 0 Solución La expresión corresponde nuevamente a una ecuación de segundo grado, sólo que ahora es de coeficientes complejos, la cual podemos reescribir como 𝑧2 + (−3 + 2𝑖)𝑧 + (5 − 𝑖) = 0 Aplicando la fórmula de segundo grado 𝑥 = −(−3 + 2𝑖) ± √(−3 + 2𝑖)2 − 4(1)(5 − 𝑖) 2(1) resolviendo las operaciones 𝑥 = 3 − 2𝑖 ± √9 − 12𝑖 + 4𝑖2 − 20 + 4𝑖 2 = 3 − 2𝑖 ± √−15 − 8𝑖 2 (1) Para obtener las soluciones se requiere resolver √−15 − 8𝑖, es decir obtener las raíces cuadradas de −15 − 8𝑖, para ello 𝑧1 = −15 − 8𝑖 = 17 𝑐𝑖𝑠 208.07° TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 5 𝑤𝑘 = √𝑧1 = √17 𝑐𝑖𝑠 ( 208.07° + 360°𝑘 2 ) Para 𝑘 = 0 𝑤0 = √17 𝑐𝑖𝑠 104.04° = −1 + 4𝑖 Para 𝑘 = 1 𝑤1 = √17 𝑐𝑖𝑠 284.04° = 1 − 4𝑖 Al sustituir los valores de las raíces en la solución de la fórmula (1) para 𝑤0 = −1 + 4𝑖 𝑧 = 3 − 2𝑖 ± √−15 − 8𝑖 2 = 3 − 2𝑖 ± (−1 + 4𝑖) 2 , 𝑧1 = 3 − 2𝑖 + 1 − 4𝑖 2 = 2 − 3𝑖 𝑧2 = 3 − 2𝑖 − 1 + 4𝑖 2 = 1 + 𝑖 para 𝑤1 = 1 − 4𝑖 𝑧 = 3 − 2𝑖 ± √−15 − 8𝑖 2= 3 − 2𝑖 ± (1 − 4𝑖) 2 , 𝑧2 = 3 − 2𝑖 − 1 + 4𝑖 2 = 1 + 𝑖 𝑧1 = 3 − 2𝑖 + 1 − 4𝑖 2 = 2 − 3𝑖 Por lo tanto, las soluciones son: 𝑧1 = 2 − 3𝑖 𝑦 𝑧2 = 1 + 𝑖 Se puede comprobar el resultado al sustituir las raíces en la ecuación 𝑧2 + (−3 + 2𝑖)𝑧 + (5 − 𝑖) = 0 (2 − 3𝑖 )2 + (−3 + 2𝑖)(2 − 3𝑖 ) + (5 − 𝑖) = 0 4 − 12𝑖 − 9 − 6 + 9𝑖 + 4𝑖 + 6 + 5 − 𝑖 = 0 0 = 0 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 6 Lugar geométrico (con números complejos) Los números complejos admiten una interpretación geométrica que resulta útil. Para ello considera el siguiente cambio 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑝𝑜𝑟 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 y recordando que los números complejos se pueden interpretar como puntos en el plano, se pueden establecer lugares geométricos y regiones a través de ecuaciones y desigualdades. Circunferencias Si 𝑧0 es un número complejo y 𝑟 un número real positivo, la ecuación |𝑧 − 𝑧0| = 𝑟 representa el conjunto de puntos 𝑧 cuya distancia a 𝑧0 es 𝑟. Donde el conjunto que cumple está condición representa geométricamente una circunferencia con centro en 𝑧0 y radio 𝑟. Ejemplo Describe el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen la ecuación |𝑧| = 4 Solución Como se observa 𝑧0 es el origen, por lo tanto se tiene una circunferencia con centro al origen y radio 4, que es la distancia de 𝑧 a 𝑧0. TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 7 Otra forma de identificar el lugar geométrico es 𝑠𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 → |𝑧| = 4 → |𝑥 + 𝑦𝑖| = 4 → √𝑥2 + 𝑦2 = 4 → 𝑥2 + 𝑦2 = 16 Donde 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔 representa la ecuación de una circunferencia con centro al origen y radio 𝑟 = 4 Región circular Si 𝑧0 es un número complejo y 𝑟 un número real positivo, la ecuación |𝑧 − 𝑧0| ≤ 𝑟 representa el conjunto de puntos 𝑧 cuya distancia a 𝑧0 es menor o igual 𝑟. Donde el conjunto que cumple está condición representa geométricamente una región circular con centro en 𝑧0 y radio 𝑟. Si se excluye la igualdad, esto es: |𝑧 − 𝑧0| < 𝑟 se dejarán fuera los puntos de la circunferencia que delimita la región TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 8 Ejemplo Trace el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación a) |𝑧 + 2 + 4𝑖| < 3 b) |𝑧 + 2𝑖| = |1 + 𝑖| c) |𝑧 + 6𝑖| = |𝑧 − 1 + 3𝑖| Solución a. De acuerdo con lo establecido, |𝑧 + 2 + 4𝑖| < 3 → |𝑧 − (−2 − 4𝑖)| < 3 se trata de un región circular con centro en 𝐶(−2, −4) y radio 𝑟 = 3 Si consideramos que 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 entonces |𝑧 + 2 + 4𝑖| < 3 → |𝑥 + 𝑦𝑖 + 2 + 4𝑖| < 3 → |𝑥 + 2 + (𝑦 + 4)𝑖|2 < 32 → (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 4)2 < 9 que corresponde al lugar geométrico identificado. b. Al aplicar el módulo del lado derecho de la igualdad se tiene |𝑧 + 2𝑖| = |1 + 𝑖| → |𝑧 + 2𝑖| = |1 + 𝑖| = √2 Obteniendo |𝑧 − (0 − 2𝑖)| = √2, que representa una circunferencia con centro en 𝐶(0, −2), 𝑟 = √2 TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a2 9 Si consideramos que 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 entonces |𝑧 + 2𝑖| = √2 → |𝑥 + 𝑦𝑖 + 2𝑖| = √2 → |𝑥 + 𝑦𝑖 + 2𝑖|2 = √2 2 → 𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 2 c. Para |𝑧 + 6𝑖| = |𝑧 − 1 + 3𝑖| se tiene que 𝑧 se encuentra en ambos lados de la ecuación, por ello se sustituirá a 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, obteniendo |𝑧 + 6𝑖| = |𝑧 − 1 + 3𝑖| |𝑥 + 𝑦𝑖 + 6𝑖| = |𝑥 + 𝑦𝑖 − 1 + 3𝑖| |𝑥 + (𝑦 + 6)𝑖|2 = |𝑥 − 1 + (𝑦 + 3)𝑖|2 𝑥2 + (𝑦 + 6)2 = (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 𝑥2 − 𝑥2 + 2𝑥 − 1 + 𝑦2 + 12𝑦 + 36 − 𝑦2 − 6𝑦 − 9 = 0 2𝑥 + 6𝑦 + 26 = 0 𝑦 = − 𝑥 3 − 13 3 Lo que representa una recta Si en lugar de tener una igualdad (ecuación) se tuviera una desigualdad, como |𝑧 + 6𝑖| ≤ |𝑧 − 1 + 3𝑖| TecNM – Campus Querétaro Departamento de Ciencias Básicas Álgebra Lineal P ág in a3 0 El lugar geométrico sería una región, que corresponde a todos los puntos que están sobre y debajo de la recta 𝑦 ≤ − 𝑥 3 − 13 3
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