Torque e momento angular

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UNIDAD 3: TORQUE Y MOMENTO ANGULAR 
Torque: Magnitud vectorial, definida como la capacidad de una fuerza de producir un giro. Su 
dirección es ortogonal al plano definido por los vectores 𝒓 y 𝑭. 
𝝉𝒐 = 𝒓𝐱𝑭 
𝜏 = |�̅�||𝐹|𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
𝝉: [𝑁𝑚] 
 
 
Para calcular torques es necesario indicar el centro de momentos 𝑂, respecto del cual se define el 
vector �̅�, así como también el sistema de coordenadas a utilizar. 
A continuación, vamos a presentar distintas alternativas para calcular el momento de una fuerza 
(torque), para el caso particular en el cual �̅� y 𝐹 son ortogonales. 
Método 1: Resolvemos el producto vectorial por determinantes. 
�̅� = 𝑟𝚤 ̂
𝐹 = 𝐹𝚥 ̂
𝜏̅ = �̅�x𝐹 =
𝚤̂ 𝚥̂ 𝑘
𝑟 0 0
0 𝐹 0
 
𝝉𝒐 = 𝒓𝑭𝒌 
Método 2: Aplicamos las propiedades del producto vectorial, para lo cual primero identificamos el 
plano que contiene a los vectores que conforman dicho producto. Luego, sabemos que el resultado 
es un vector, cuya dirección es perpendicular al plano definido anteriormente 
Para este ejemplo, el plano que contiene a �̅� y 𝐹 es el 𝑥𝑦, o sea que la dirección de 𝜏̅ es sobre el eje 𝑧. 
Podemos obtener el sentido de este vector si colocamos correctamente el valor del ángulo 𝛼 en la 
expresión del torque. Para ello tenemos que determinar el ángulo barrido 𝛼, yendo desde �̅� a 𝐹 en 
sentido anti horario (Siempre y cuando utilicemos terna derecha), colocando dichos vectores en un 
mismo origen. 
En este caso 𝜶 = 𝟗𝟎°, entonces: 
𝜏 = |�̅�||𝐹|𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛(90°) 
𝜏 = 𝑟𝐹 
Como nos dio positivo, el vector 𝜏̅ tiene dirección 𝑧 positivo. 
𝝉𝒐 = 𝒓𝑭𝒌 
�̅� 
𝐹 
𝑂 
�̅� 
𝐹 
𝑂 
𝛼 
�̅� 
𝐹 
𝑂 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
�̅� 
𝐹 
�̅� 
�̅� 
𝐹 
𝛼 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
�̅� 
𝐹 
�̅� 
𝑂 
 
 
 
 
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Si ahora la fuerza 𝐹 tiene dirección sobre el eje 𝑦 negativa, el sentido del torque se invierte: 
En este caso 𝜶 = 𝟐𝟕𝟎°, entonces: 
𝜏 = |�̅�||𝐹|𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛(270°) 
𝜏 = −𝑟𝐹 
Como nos dio negativo, el vector 𝜏̅ tiene dirección 𝑧 negativo. 
𝝉𝒐 = −𝒓𝑭𝒌 
Método 3: Calculamos el módulo del torque (con 𝜶 = 𝟗𝟎°), sabiendo que la dirección de 𝜏̅ es sobre 
el eje 𝑧. Luego el sentido se lo otorgamos utilizando la regla de la mano derecha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento angular: Magnitud vectorial, se la denomina también como el momento de la cantidad de 
movimiento. Su dirección es ortogonal al plano definido por los vectores 𝒓 y 𝒑. 
𝑳𝒐 = 𝒓𝐱𝒑 
𝑳𝒐 = 𝒓𝐱𝒎𝒗 
𝑳: 𝑘𝑔
𝑚
𝑠
 
 
Como 𝐿 se obtiene a partir de un producto vectorial, la metodología para definir la dirección y sentido 
de este vector es la misma que utilizamos para torques. 
 
 
 
�̅� 
𝐹 
𝛼 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
�̅� 
𝐹 
�̅� 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
�̅� 
𝐹 
�̅� 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
�̅� 
𝐹 
�̅� 
�̅� 
�̅� 
𝐿 
𝑂 �̅� 
𝑚 
𝑂 
 
 
 
 
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Movimiento circular: Si la trayectoria de la partícula es circular, los vectores �̅� y �̅� son ortogonales en 
todo momento. 
𝐿 = �̅�x𝑚�̅� 
𝐿 = 𝑚�̅�x�̅� 
𝐿 = 𝑚|�̅�||�̅�|𝑠𝑒𝑛(90°) 
𝐿 = 𝑚𝑅𝑣 
𝐿 = 𝑚𝑅(𝜔𝑅) 
𝐿 = 𝑚𝑅 𝜔 
𝐿 = 𝐼 𝜔 
𝑳𝒐 = 𝑰𝒐𝝎 
Para el caso de una partícula moviéndose de acuerdo a una trayectoria circular, la dirección y 
sentido del momento angular 𝑳 coincide con la del vector velocidad angular 𝝎. 
Conservación del momento angular: Partimos de la definición del momento angular, para una 
partícula que se mueve de acuerdo a una trayectoria genérica, y derivamos respecto del tiempo. 
𝐿 = �̅�x�̅� 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
𝑑(�̅�x�̅�)
𝑑𝑡
 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
𝑑�̅�
𝑑𝑡
x�̅� + �̅�x
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= �̅�x�̅� + �̅�x∑𝐹 
𝒅𝑳𝒐
𝒅𝒕
= ∑𝝉𝒐 
 
Si la sumatoria de los torques que actúan sobre la masa es igual a cero, el momento angular se 
conserva. 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 0 
𝑑𝐿 = 0 
∆𝑳𝒐 = 𝟎 
 
 
𝑚 
𝑅 
𝜔 
�̅� �̅� 
𝑂 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
�̅� 
𝐿 
�̅� 
𝜔 
𝐼 = 𝑚𝑅 Momento de inercia de la 
partícula respecto de 𝑂 
En la unidad 2 expresamos la 
segunda ley de Newton como: 
∑𝐹 =
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
𝒗 y 𝒑 son paralelos. Entonces: 
�̅�x�̅� = 0 
Torque resultante: 
∑�̅� = �̅�x∑𝐹