fISICA esencial - Luisa Rámirez

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A Colección
Esencial
Magnitudes físicas 
Lectura de motivación 13
Conceptos previos 14
Magnitudes físicas 16
Análisis dimensional 22
Resolvemos juntos 30
Practiquemos lo aprendido 39
Movimiento vertical de caída libre
(MVCL)
Lectura de motivación 
Conceptos previos 
Movimiento vertical de caída 
libre (MVCL)
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
167
168
169
182
197
Análisis vectorial
Lectura de motivación ' 45
Vector 46
Resolvemos juntos 69
Practiquemos lo aprendido 83
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Lectura de motivación 91
Conceptos previos 92
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) 97 
Resolvemos juntos 104
Practiquemos lo aprendido 117
Movimiento rectilíneo 
uniformemente variado (MRUV)
Lectura de motivación 125
Conceptos previos 126
Movimiento rectilíneo uniformemente 
variado (MRUV) 131
Resolvemos juntos 144
Practiquemos lo aprendido 158
M ov im ien to parabólico de caída libre
(MPCL)
Lectura de motivación 205
Definición 206
Descripción del movimiento 
parabólico 209
Ecuaciones vectoriales del MPCL 220
Ecuaciones generales del MPCL 222
MPCL como superposición de 
dos movimientos 226
Movimiento parabólico en un 
plano inclinado liso 228
Ecuación de la trayectoria 229
Resolvemos juntos 232
Practiquemos lo aprendido 248
Movimiento circunferencial 
Lectura de motivación 259
Concepto 260
Elementos 260
Movimiento circunferencial
uniforme (MCU) 261
Movim iento circunferencial
uniformemente variado (MCUV) 268 ;
Resolvemos juntos 274 !
Practiquemos lo aprendido
'■ . i
289 !; 
:
Estática
Lectura de motivación F 297 I 
:
Concepto 298 | :
Equilibrio mecánico 299 i :
Interacción 300
Fuerza O7) 301 I
Ley de acción y reacción
(tercera ley de Newton) 301
Fuerzas usuales 303
Diagrama de cuerpo libre (DCL) 311 j
Operaciones con fuerzas - 313 i
Primera condición del equilibrio
mecánico ‘ 316 : . :
Resolvemos juntos 325
Practiquemos lo aprendido 341
:
1 Fue rza de ro zam ien to :
Lectura de motivación 351 I
352 |Concepto
Representación de la fuerza i
353 j 
353 !
de rozamiento
Tipos
367 í:rResolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido 385 1
M om en to de una fu e rza
4J
Lectura de motivación 393
Concepto
394
Propiedades 399
Momento resultante (M q S) 401
Segunda condición para el 
equilibrio mecánico 404
Equilibrio mecánico 405
Resolvemos juntos 411
Practiquemos lo aprendido 427
Dinám ica
-fe i
Lectura de motivación 437
Dinámica rectilínea 438
Dinámica circunferencial 447
Resolvemos juntos 456
Practiquemos lo aprendido 473
Trabajo mecánico
Lectura de motivación 481
Definición 482
Trabajo de una fuerza constante 485
Trabajo de una fuerza variable 490
Trabajo de una fuerza F de módulo 
constante y tangente a la trayectoria
en todo instante 492
Trabajo neto (w neto) 493
Resolvemos juntos 499
Practiquemos lo aprendido 513
| Energía
i Energía mecánica en el MAS 582
•
Lectura de motivación 523 Péndulo simple
584
Concepto 524 i Resolvemos juntos
590
Ley de la conservación de la energía 525 j Practiquemos lo aprendido 606
Tipos de energía 526
Relación entre el trabajo y la energía 1 * | J. ( Ondas mecánicas
mecánica (w F-EM) 533 yte
Lectura de motivación 615
Conservación de la energía mecánica '535
Concepto 616
Potencia mecánica (PM) 538
Propiedades 617
Resolvemos juntos' 543
Tipos 617
Practiquemos lo aprendido 557 ‘
Elementos 618
Función de onda 624
Movimiento armónico simple (MAS)
Lectura de motivación
Ondas sonoras 627
565
Conceptos previos 566 j
Resolvemos juntos 634
Movimiento armónico simple (MAS) 568 í
Practiquemos lo aprendido 646
Ecuaciones del MAS 572 Glosario 652
Periodo de oscilación en el MAS 580 1 Bibliografía 655
;s\ S
■mé
Wtmímm
i-W¡¡m
mgm
WWÉW4' ! -
CAPITULO
La física trabaja haciendo modelos de diversos fenómenos 
para estudiarlos con mayor exactitud. Esto requiere c u a lif i­
car o medir las variables presentes en un fenómeno.
La medida consiste en establecer relaciones cuantitativas 
entre las diversas variables que intervienen en los fenóme­
nos físicos que tienen lugar en la naturaleza. Aquellas pro­
piedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos 
naturales, y que son susceptibles de ser medidas, reciben el 
nombre de magnitudes físicas. Así, la longitud, la masa, la 
velocidad, el tiempo, la temperatura son ejemplos de mag­
nitudes físicas.
Aprendizajes esperados
• Reconocer un fenómeno físico en el espacio donde nos 
desarrollamos.
• Identificar las magnitudes fundamentales y derivadas en 
los problemas a desarrollar.
• Diferenciar las magnitudes escalares de las vectoriales en 
la vida cotidiana..
• Realizar operaciones algebraicas con las magnitudes 
físicas.
¿Por qué es necesario este eonociniSenSo?
Este capítulo explica a los estudiantes que la física es una 
ciencia experimental en la cual se busca conocer las leyes 
de la naturaleza. Estas leyes se corroboran a través de ex­
perimentos que implican realizar mediciones. Por lo tanto 
la medición es uná operación física y se realiza mediante las 
magnitudes, las cuales se dividen por su origen y su natu- 
raleza.
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ff \ |'///
En el año 1600, Galileo utilizó 
un ingenioso patrón de medida 
::r;en:Ía catedral de Pisa; observó 
:: que las lamparas se quedaban 
balanceando después de que se 
encendían con una vara.
■-VT
\
|{i| i Ruiv Galileo midió el tiempo, del mo- 
:: vímiento de vaivén contando el 
número de latidos de su propio i • pulso.
Mli______________ ..
M a g n itu d e s f ís ica s
1. CONCEPTOS PREVIOS
1.1. Física
La concepción de la física ha variado a lo largo del tiempo. 
Inicialmente, se la consideró como una filosofía natural, pues 
su fin era el estudio de la naturaleza tal y como se veía. Hoy en 
día es una ciencia natural, como lo son la química y la biología, 
que estudia el comportamiento y la interacción de la materia, 
la energía, el espacio y el tiempo. Abarca desde el estudio de lo 
infinitamente pequeño, como las partículas subatómicas, hasta 
lo infinitamente grande, como el universo y los cuerpos celes­
tes que lo componen.
Máquina a vapor del s. xvm 
que era utilizada para trans- 
mitir moví m i en to a.d ¡versos 
^mecanismos, Y*
La física ha proporcionado a la humanidad las bases para el 
desarrollo tecnológico actual. Gracias a los avances en el estu­
dio de sus leyes fundamentales, se ha logrado enviar misiones 
espaciales, se han creado los microcircuitos, las computadoras, 
las técnicas de formación de imágenes que se usan en la in­
vestigación científica y la medicina, los medios de transporte 
modernos y los grandes avances en las telecomunicaciones.
En conclusión, la física es una ciencia de la naturaleza que se
encarga del estudio de los fenómenos físicos que ocurren en 
nuestro entorno.
tomografo, útil herramienta 
medica, basa su funcionamiento 
en el estudio de los rayos X.
Capítulo 1
Magnitudes físicas
1.2. Fenómenos físicos
Son cambios que se dan en la naturaleza, principalmente 
aquellos en donde no se altera la composición química de los 
cuerpos.
Ejemplos
1. Como podemos notar, el hielo ha experimentado un cambio 
de estado, pero la sustancia sigue siendo agua, ya que no 
se alteró su composición química.
yfvS . enerqia
agua
sólida
solar
' hielo 
0°C
luego
V i
agua
líquida
J.
2. Observam os la deformación de un resorte.
w ̂ \*) ii
3. Observam os ehm ovim iento de un balón antes y después 
del impacto. lV 7-
4. Observam os que la reflexión de la luz permite ver nuestro 
entorno.
Importante
Los fenómenos en los cuales se 
altera la composición química 
de los cuerpos se denominan
fenómenos químicos.
\\ •: \ ' : • * | / * J ' • > ’ ’
Ejemplo
La oxidación, la cocción de los 
alimentos, la fermentación, la 
combustión de la madera, etc.
affe ' ; -
hif f§| - , ■'
. .. / ..
f -'i—p 
Combustión Oxidación,
A 5
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5. Observamos que en el choque de dos ca­
nicas hay disipación de energía en forma 
• de calor.
6. Observamos que lavaporización del agua 
se da a 100 °C a nivel del mar.
Respecto a los ejemplos, los cuerpos experi­
mentan cambios, pero no varían su compo­
sición molecular. Asimismo, solo se realizan 
descripciones cualitativas de los fenómenos; 
ahora, si deseamos medir, calcular y comparar, 
es decir, hacer una descripción cuantitativa, 
usaremos las magnitudes físicas. ' / ' t
j-
2. MAGNITUDES FISICAS 
Una magnitud es todo aquello que puede ser 
medido, lo cual nos permite definir alguna cuali­
dad de un objeto o fenómeno físico empleando 
una unidad patrón con su respectivo símbolo.
M a g n i t u d 1JN IDAD PATRON S»M ¿0
m asa k ilog ram o kg
long itud m etro m
tiem p o segundo s
Ejemplos
1. La balanza de pesas determina la masa.
2. La distancia que desciende la pelota se 
mide en metros.
— pelota
2.1. Clasificación
2.1.1. Por su origen
a. Magnitudes fundamentales
Son aquellas magnitudes que sirven de base
para expresar las demás magnitudes.
Las magnitudes fundamentales según el Siste­
ma5 Internacional son siete.
. .
film M ? Tri d 5 .v ti Tuv*
• I
long itud m etro m
tiem po segundo s
masa k ilo g ram o kg
tem peratura kelvin K
in tensidad de 
co rriente am perio A
cantidad de 
sustancia m ol m o l
in tensidad
lum inosa cande la cd
Capítulo 1 Magnitudes físicas
b. Magnitudes derivadas .
Son aquellas magnitudes que se expresan en función de las 
magnitudes fundamentales.
r 4 ' - s i ■ n g i m i
•-VS ím b o lo
área metros cuadrados m2
volumen metros cúbicos m3
densidad kilogramos por metros . cúbicos
kg/m3
velocidad metros por segundo m/s
aceleración metros por segundo al cuadrado m/s2
fuerza newton N
trabajo joule ,s? j J
energía
jí .¿.y
j joule - J
\ , ' I r presión ' J
potencia
cantidad de 
movimiento
pascal '■
--- . - » || ¿S— / < --. ..
watts
kilogramos metros 
.*/ v por segundó
\ 1 Pa 
W
kg • m/s
torque o momento
de una fuerza, 7J..... ......... ..
newton metro N-m
cantidad de carga coulomb C
velocidad angular i radianes por segundo rad/s
Ejemplos
1. La fuerza elástica ( se mide en newtorr (N).
Dato curioso
En 1999, la sonda espacial Mars 
Climate Orbiter debía aproxi­
marse a Marte solo hasta 147 km 
por encima de su superficie, 
pero los datos revelaron que 
lo hizo a 57 km, por lo que la 
nave se quemó. Todo se debió 
a un error en la navegación. El 
equipo controlador en tierra, 
fabricante de la sonda espacial, 
la diseñó y construyó utilizando 
el sistema inglés de unidades, 
mientras que la empresa encar­
gada de programar los sistemas 
de navegación utilizaba el Siste­
ma Internacional de Unidades, 
lo que trajo como consecuencia 
que la nave se desviara y la son­
da se quemara.
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2. La velocidad (v) con la cual se desplaza el automóvil se 
mide en metros por segundo (m/s).
,, .t-. s .. i-^y////>Patoiciirio— =; -
: CCú = = = > £
t v / 'V ; v. g: = 2%
1 11 iisi Los sistemas de medición - ; 
rxrr.-La^medición es un procedimien- 
— ~r::::to;por mecho del cual se asigna-/ 
-^ n v a lo r numérico a una propie-yy 
< ^ r :™dadifísica¡ tomando como refe-S i.''. ‘ * . '
±r rencia una propiedad similar lia- rrN , imada patrón, la cual se adopta 
S • i como unidad
. Los sistemas de medición se han 
C ¡ l -I , i desarrollado debido a la nece- 
H i j : j f i sidad del hombre por conocer,
111 h i con exactitud los fenómenos 
= j observados; Han sido varios; sin 
v ; ..;1; embargo, el más utilizado es el 
i Sistema Internacional (SI).
_____________
3. La probeta determina el volumen de los líquidos en mili 
litros (mL) siendo 1 mL=10-3 L=10~6 m3.
Aplicación 7
Respecto al Sistema Internacional de Unidades, indique las 
proposiciones verdaderas o falsas según corresponda.
L El kelvin es una unidad de la magnitud física fundamental.
II. La cantidad de sustancia y la masa son la misma magnitud 
física fundamental.
III. El pascal es una unidad de la magnitud física fundamental.
Resolución
I. Verdadera
Cuando se trata de la temperatura, la unidad de medida es 
el kelvin.
II. Falsa
Si bien es cierto que la cantidad de sustancia y la masa son 
magnitudes fundamentales; sin embargo, conceptuaren- 
te ambas son diferentes.
III. Falsa t
El pascal es una unidad que pertenece a una magnitud den- 
vada denominada presión.
Capítulo 1
Magnitudes físicas
A plicación 2 Luego
f 1000 m̂ jSeñale si las siguientes proposiciones son 72 >rn f 1X
verdaderas o falsas: / '\ 3 6 0 0 s J
I. Una longitud de 10 nm es igual a 10-8 m.
II. Una velocidad de 72 km/h es igual a Simplificamos y obtenemos que
20 m/s. 72 km/h=20 m/s
III. La cantidad de carga eléctrica tiene como 
unidad el coulomb (C). III. Verdadera
Resolución La unidad de la cantidad de carga
_ . / I I
, f , t ... ^ ... ^
Prefijos para las unidades del SI
l i l i
Ú . 10“12 pico- P _ —
9 1er9 .nano- /-n
— r-1 . 10"6 micro- / ‘ i
1 io - 3 mili- m. --
5 ..1CT2 . .. centi- 1 c
m
l i I i
l i l iih
( i 103 ..... kilo- y k % * j
106 mega- M
109 giga- G
%¿
HÁlqunas conversiones
11ilT tI -, -> ->
■ . 1 min=60 s • 1 h=3600's
. 1 km=103m
Verdadera 
L= lOfífn
—^
V 9 m"
y p Á
¿=10x10 9 m=10 8 m
10 nm=10 m 
Verdadera
De las conversiones, tenemos que
1 h=3600 s 
1 km=1000 m
es el coulomb (C).
2.1.2, Por su naturaleza
á. Magnitudes escalares
Están definidas mediante un número con su
respectiva unidad de medida.
Ejemplos ■-
• Si el volumen del recipiente es 2 L, entonces 
tendremos la ¡dea clara de esta magnitud
y física. El valor es 2 y la unidad es el litro (L).
• La masa de las naranjas es 10 kg
unidad de 
medida
m= 10 kg
valor
numérico
• Hoy llegamos hasta 30 °C
unidad de 
medida
T= 3g°c
valor
numérico
Las magnitudes escalares se caracterizan por 
que se pueden sumar y restar algebraica­
mente. Por ejemplo, si sumamos volúmenes:
3 m +5 m =8 m3 o si restamos temperaturas- 
180 K-50 K=130 K.
9
COLECCION ESENCIAL
Asimismo, las magnitudes escalares pueden ser 
positivas o negativas; por ejemplo, la tempera­
tura (-40 °C), el tiempo (10 s), la masa (10 kg),
la longitud (15 m), la densidad (lOOO-^- , el
v m v
área (2 m2), el volumen (5 m3), la energía (5 J), 
el trabajo mecánico (10 J), la presión (4000 Pa), 
entre otras.
b. Magnitudes vectoriales
Están definidas mediante un número, su uni­
dad de medida y una dirección. La fuerza y la 
velocidad son magnitudes vectoriales que se 
representan mediante segmentos de recta lia- 
mados vectores.
Asimismo, las magnitudes vectoriales se deno­
tan con una letra que lleva una flecha encima; 
por ejemplo, la velocidad (v), la aceleración (a), ¡ 
la fuerza (f ), entre otras.
•
Ejemplos
1. La veleta es un antiguo instrumento que se 
utiliza para indicar la dirección y el sentido 
del viento. También puede servir para de- 
terminar la rapidez del viento, esto se logra 
contando el número de vueltas que dan los 
hemisferios de los puntos cardinales. La di­
rección del viento que indica la veleta de la 
figura es el Norte.
2. La velocidad de la esfera es 20 m/s hacia la
derecha.
unidad de 
medidavalornumérico \
v=20 m/s (—►)
* i S I i * -
dirección hacic 
ia derecha
3. Carlitos se desplaza 8 m hacia la izquierda.
d: desplazam iento
Af
Su desplazamiento es
J k jP
' i ■/ € jr ¥ C# ̂
% unidad de 
medida
d - 8 m (<—)
valor ‘
numérico dirección hac¡c 
la izquierda
4. Una persona ejerce sobre un auto una 
fuerza de 10 N hacia la izquierda.
unidad de 
medida
F = 10 Ñ (<—)
■aloi t : '"""v '
----1 dirección h<,u;
U q̂uierdvinumérico
Magnitudes físicas
Las magnitudes vectoriales se pueden sumar 
o restar geométricamente, como la acelera­
ción (o), la velocidad angular (to), la acelera­
ción de la gravedad (g), la cantidad de movi­
miento (p), el impulso (/), entre otras.
II. Falsa
v*//V a - ' í ' — - s y '
ImportaiTic:
’Las magnitudes escalares pueden ser a su vez
• La masa es una magnitud fundamental y 
escalar.
• El volumen es una magnitud derivada y 
escalar.
En cambio, las magnitudes vectoriales única-
mente pueden ser derivadas.
.
r- l; Ejemplos
■ •La velocidad es una magnitud derivada y 
vectorial.
. • La fuerza es una magnitud derivada y vec
torial.
r - T V . S . . • Lfii ■■ i;
g '% %
A plicación 3 \ m
Señale si la proposición es verdadéraj^falsa.
|. Algunas magnitudes físicas escalares pueden 
presentar dirección.
II. Las magnitudes físicas vectoriales no tienen 
unidades de medida, t-
III, Una magnitud física escalar se puede sumar 
a otra de tipo vectorial.
Resolución
I. Falsa
Las magnitudes escalares no requieren de 
una dirección para quedar definidas. Solo 
requieren de un valor numérico y una uni­
dad de medida.
Todas las magnitudes vectoriales tienen 
unidad de medida.
III. Falsa
No se pueden sumar una magnitud vecto 
rial con una escalar, porque tienen caracte­
rísticas diferentes.
Aplicación 4
¿Cuántas magnitudes son vectoriales?
I. velocidad
II. masa .-
III. aceleración de la gravedad
IV. fuerza de gravedad
V. fuerza magnética
f i r
Resolución (•>
Las magnitudes vectoriales son cuatro: velo­
cidad, aceleración de la gravedad, fuerza de 
gravedad y fuerza magnética. Mientras que la 
masa es una magnitud escalar.
Aplicación 5
¿Cuántas magnitudes son escalares y vectoria­
les, respectivamente?
velocidad 
desplazamiento 
masa r 
temperatura
• longitud
• ' tiempo
• aceleración
• fuerza
Resolución
Las magnitudes vectoriales son cuatro: veloci­
dad, desplazamiento, aceleración y fuerza.
Las magnitudes escalares son cuatro: masa, 
temperatura, longitud y tiempo.
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Importante///M i '' "ff/¿ ̂ ...
Ĵ yj I jj ¡ywr-, 11 ̂ v v ... ̂^
: Cuando uno se refiere a una 
i ecuación dimensional, no se re- 
fiere a una ecuación como en el- 
j álgebra, sino se hace referencia 
| a una propiedad.
.j Ejemplo
W 'W t >/•/// 's/S////// ~ ■
i • 8 m+2 kg=10 s
; Esta operación no se puede 
¡ | realizar, ya que los símbolos 
I de m, kg y s indican diferen-
; tes propiedades.
V '(;////.
M j j | \(f//i Y 8 m+100 cm=9 m 
. •' Esta operación sí se puede
realizar, ya que todas ellas 
\ tienen una misma propiedad;;
i (8 m o L, 100 cm o L, 9 m o L)
.
I Por lo tanto, la ecuación dimen-* ' ’" • i i
! r i / ^ n o l n n q p i m o r ^ n + i n o n: sional no es una cantidad.
3. ANÁLISIS DIMENSIONAL
Relaciona las magnitudes aprovechando el hecho de que las 
dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas.
Toda unidad física está asociada con una dimensión física. Asi, 
por ejemplo, el metro es la unidad de medida de la dimensión 
longitud (¿), el kilogramo es la unidad de la dimensión masa 
(M), el segundo es del tiempo (T). Asimismo existen otras uni­
dades, las cuales pueden expresarse en términos de las dimen­
siones L, M y T.
a,*! i \ ”**•*
Importante
El símbolo empleado para representar la ecua-
ción dimensional son los corchetes [ ].| * '■■■■■■■ v 1 8*
Ejemplo .
• [masa] se lee: “Ecuación dimensional de la■ t ... T VV- A.' '•>masa
[aceleración] se lee: “Ecuación dimensional' 
l de la aceleración V , ¡ ‘'0 T§ í
' j],;
•'«wsssjsssas«»" ¡̂gsL. .</
3.1. Ecuaciones dirnensioóe, < | gnitudes
fundam enta les • ff ^
Son siete en el Sistema Internacional.
Magnitud
longitud
tiempo
masa
temperatura 
intensidad de corriente 
cantidad de sustancia 
intensidad luminosa
L
T
M0
/
N
J
• mentales. as ma9n|tudes funda-
Capítulo i
Magnitudes físicas
3.2. Ecuaciones dimensionales de algunas 
magnitudes derivadas
■ • -
área L2
volumen l?
densidad M L '3
velocidad LT~:
aceleración LT-2
fuerza MLT~2
, v trabajo ML2T~2
potencia ML2T~3
energía ML2T~2 " >,
presión / ’ ML~]-T~2,
impulso
frecuencia
MLT~1*.... .......
' •: T~\
carga eléctrica V IT
calor ML2T~2
..........................................:............... ..................%JÍ*
velocidad angular f -1
Aplicación 6 . * V j p
Determine la ecuación dimensional de las si­
guientes magnitudes:
a. área ' g. trabajo
b. volumen— h. potencia
c. velocidad i. presión
d. aceleración j. frecuencia
e. fuerza k. carga eléctrica
f. densidad
Resolución
a. Hallamos la ecuación dimensional del 
área (ZA).
P ~ C
IL ___ c
h
■ _________________________
El área del rectángulo es 
ZA=basexaltura
Luego
[ZA]=[base]x [altura]
Por lo tanto, la base y la altura son longi­
tudes.’
[Ik] = LxL
, C-----~
\m=L2
___________X
b. Hallamos la ecuación dimensional del 
volumen (V).
El volumen de una tabla es 
p % \/=largoxanchoxaltura 
Luego
- [V/] = [largo] x [ancho] x [altura] 
-> [V]=LxLxL
c. Hallamos la ecuación dimensional de la 
velocidad (v).
v
Sabemos que 
y _ distancia 
tiempo
Luego
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d. Calculamos la ecuación dimensional de la 
aceleración (o).
f. Hallamos la ecuación dimensional de la 
densidad (p).
Por definición
cambio de la velocidado =
tiempo
Luego
M =
[Av]
M
donde Av es el cambio de la velocidad; la
f % \
cual se profundizará en el tema del MRUV.
# áfCJlr,«
/.T“ 1
la ] =
T
[o]=¿r-2
e. Hallamos la ecuación dimensional de la 
fuerza (f). ■
m F
- L J ' —>
Por definición
F=masaxaceleración
Luego
[F]=[masa] x [aceleración]
-> [F]=MxLT~2
—
[F]=MLT?
Por definición 
masa
P =
Luego
volumen
[p ]=
lm]
[V]
r i M
[p ]=ML -3
1
g. Calculamos la ecuación dimensional del 
trabajo (W).
£Bi r
MI /, |
I
*----- d
Por definición
"W= fuerza x distancia
Luego
[W]=[F]x[d]
[W]={m LT~2)(L)
I | IV] M i ' 7 ?
—>
2
h. Calculamos la ecuación dimensional de la 
potencia (P).
. motor de 
; 1000 W
/ de potencia
Por definición 
, _ trabajoP =
tiempo
Luego
M ; t v
2 -ft- 3[P)=M^T%
i. Hallamos la ecuación dimensional de< lá;
Por definición 
fuerzaP =
Luego
area
w - i a - w -
MLT~2
,2
[ P l - M r ' r 2
Por definición
1 . 1
f =
Luego
periodo T
w - i r ”
-1
[ f]= r
Hasta ahora las ecuaciones dimensionales se 
han escrito en función de la longitud (L), la 
masa (M) y el tiempo (7), pero también se pue­
den emplear las otras cuatro magnitudes fun- 
‘ damentales: la temperatura (0), la intensidad de 
corriente eléctrica (/), la intensidad luminosa (J) 
y la cantidad de sustancia (N), por ejemplo
§
k. Calculamos la ecuación dimensional de la 
carga eléctrica (g).
. ■ *~drg3 eléctrica I
--------f-
-۩
Por definición
r ,
9 = intensidad , , . 
de corriente JX l^emPo)
Luego
M= intensidad ' 
_de corriente
k/1-"/;
X [tiempo]
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3.3. Reglas de las ecuaciones dimensionales
3.3.1. Regla 1
La adición o sustracción no se aplican a las 
ecuaciones dimensionales, sino que sumando 
o restando magnitudes de la misma naturaleza 
obtendremos otra de la misma naturaleza.
a. LT^+LT~^=LT^
No se cumple en la suma.
b. L~3M-L~3M=L~3M 
Observe que no da cero.
3.3.2. Regla 2
c. Los exponentes son números; dado que 
y=ex, tendremos que
d. Las constantes matemáticas en sus diferen­
tes formas son adimensionales (no tienen 
unidades).
* [7t]=1 • [V5] = 1 • [80]=1
e. Los ángulos son considerados cantidades 
adimensionales.
Las leyes de la multiplicación y la división son 
aplicables a las ecuaciones dimensionales. \ i
a.
T ■
b. Lx LT~^=L2T~̂ ■
M AT2 3 3
c. ------- = M T
MT~1 .
•
3.3.3. Regla 3 % \ . J r
Las constantes matemáticas (números) son
aquellas que carecen de unidades. Además, 
la ecuación dimensional de un número es la 
unidad.
[número]=1
[7i rad]=1 [40o]=1
Aplicación 7
En la siguiente ecuación:
Y = 7T---------
> msena
¿qué magnitud representa Y? Se sabe que P es 
presión, IA es área y m es masa.
Resolución
Nos piden [K]
Se tiene que
M = [7l] [p ][a ] 
M is e n a] (I)
a. La razón trigonométrica es un número.
:
[cos45°] = 1 .___________ )
b. La función logarítmica es un número.
[log'b]=1
Como b es también un número, tendremos 
[b]=1.
De la teoría tenemos lo siguiente:
* [P]: ML^T~2
* [A]: L2 _
* [m]\ M
* [ti]: 1
* [sena]: 1
presión
área
masa
constante matemática 
razón trigonométrica
Magnitudes físicas
Reemplazamos en (I).
M r 17“ 2x/.2
M = (1)-
-> [Y]=lt
Mx( 1)-2 OD
Sabemos que para la aceleración
[a]=LT - 2
Finalmente, de comparar (II) y (III),tenemos 
|Y]=aceleración
3.4. Principio de homogeneidad
En una ecuación homogénea de adición o sustracción, todos 
los términos tienen la misma ecuación dimensional.
M %_ y-, </’
Si la ecuación A+ B -C -D es dimensional-mente correcta, en­
tonces se debe cumplir que [A]=[B]=[Q=[D}; es decir, ambas 
magnitudes deben presentar la misma ecuación dimensional. 
Á esta igualdad se le denomina principio de homogeneidad.
A plicación 8
Compruebe si las siguientes fórmulas físicas son dimensional­
mente correctas: d=vxty vF=vQ+at, donde d: distancia, t: tiem­
po, o: aceleración y v: velocidad
Resolución
Importante
El -análisis dimensional sirve para comparar la 
veracidad de las fórmulas físicas usando el prin­
cipio de homogeneidad.111 i11 < > i (> i í •>■■■ “-c . > .•
Reto a l saber
Si la ecuación es dimensional­
mente correcta, determine la 
dimensión de y.
7iy = Sxlog ax
donde a es aceleración, § es 
área y v es velocidad.
A) LT B) LT2 
D) L2T
C) L~2T 
E) L2T2
UNMS.M 2012-11
Se tiene
d -v x t -> [d] = [v][t]
L = Jxf x J* —> L=L
Por lo tanto, es dimensionalmente correcta.
i
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Asimismo, vF=v0+ot
-> N = N = M [ t i
L T -^ L r^ LT ^ xT
-> / . r W r ^ / r - 1
ü
Por lo tanto, es dimensionalmente correcta. 
A plicación 9
Se muestra una ecuación homogénea, donde 
B y C son magnitudes desconocidas y D es la 
densidad. Halle [S].
A=fi+CSDsenG
Resolución A ' \
/ ' j t r \ Recordemos que el exponente SO sen 8; es un |
número y su ecuación dimensional es 1/ - S
-M, |
—» [SDsen0]=1
—>
[S][D] [sen 0]=1 
[S]x M¿"3x ( 1)=1 
1[s]=
% m
fÆ
ML-3 *S'JP
[5]=M-1/.3
r
A plicación 10
Determine las dimensiones que deben tener A 
y B en la siguiente ecuación homogénea:
20VP=mA+aB
donde
- V\ volumen - m: masa
- P: peso - a: aceleración
Resolución
Nos piden [A] y [B].
Usamos el principio de homogeneidad en la 
ecuación planteada.
[20 VP] = [mA¡-[aB]
1 er 2. o "7! ̂ •
Igualamos el 1er y 2.° término.
[20 }[V)[P]=[m][A\
m |H¡. " &
-> (1 )L1x LMT~2=M[A]
Igualamos el 1ery 3 ertérmino.
[20][\/][P]=[a][B]
-» 0) /.3x¿M7'~2=¿7'"2[g]
[5]=¿3M
M i »
Para investigar
Ciencia, tecnología y sociedad
La mayoría de los países han adoptado el Sistema Internacional de medidas Solo h
el mundo que utilizan otros sistemas de medidas: Estados Unidos Rirm.ni, i ■ ay tfeS pa'ses en
Estados Unidos utiliza el sistema inglés para medir distancias y pesos V ' ena' En 'a actualidad'
¿Qué inconvenientes comerciales y económicos cree que tiene oara por.'. Qi
parte de los Estados Unidos? q para Peru el uso de' sistema ¡ngtés por
■ V
M
agnitudes físicas
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema M° 1_____________________
Respecto a los siguientes fenómenos, indique 
si son físicos (F) o químicos (Q).
I. dilatación del mercurio en un termómetro
II. oxidación de un clavo
III. freír pescado
IV. evaporación del agua en el mar
A) FQFQ B) FFQQ C) QFFQ 
D) QOQF E) FQQF
Resolución
I. Físico
La dilatación del mercurio es un fenóme­
no físico, puesto que si lo colocamos en 
un niño con fiebre, este no experimenta 
cambios en su composición química, solo 1 
se expande.
II. Químico- -
La oxidación de un clavo es un fenómeno 
químico, ya que si lo exponemos al medio- 
ambiente, cambiará su composición quí­
mica.
óxido
III. Químico
Al freír un pescado, este cambia de color, 
olor y sabor; es decir, se da una reacción 
química.
IV. Físico
La evaporación del agua es un fenómeno 
físico, ya que, al cambiar de estado, este no 
altera su composición química.
Problema N.’ 2'~ _________________ .
¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas no es 
fundamental en el Sistema Internacional (SI)?
A) masa
B) tiempo
C) longitud
D) temperatura
E) área
Resolución
Las magnitudes fundamentales son siete en 
el SI: masa, longitud, tiempo, temperatura, in­
tensidad de corriente, cantidad de sustancia e 
intensidad luminosa.
Por lo tanto, el area no es una magnitud fun­
damental.
i Clave í E )
k3<
Problema NA 3
Indique cuántas de las siguientes magnitudes 
no son fundamentales en el SI: presión, área, 
temperatura, longitud, intensidad de corriente
y fuerza.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Resolución
'De la anterior relación de magnitudes se tie­
ne que tres son fundamentales: temperatura, 
longitud, intensidad de corriente. Mientras que 
la presión, el área y la fuerza son magnitudes 
derivadas.
Problema NA 4
De las siguientes magnitudes, señale cuántas 
corresponden a una magnitud escalar.
• ^distancia • temperatura ,
• velocidad • aceleración '
• masa .
\¡Clave i )
•...................................
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución
Las magnitudes escalares no requieren de una 
dirección para quedar definidas, como la dis­
tancia, la masa y la temperatura.
Por lo tanto, 3 son escalares y 2 vectoriales.
] Clave V•..............•Tí***“
Problema M.° 5 - ______ ______ _ _ _ _
De la siguiente relación de magnitudes físicas, 
¿cuál no es una magnitud física vectorial?
A) aceleración
B) fuerza
C) velocidad
D) desplazamiento
E) volumen
Resolución
Las magnitudes vectoriales son aquellas que 
presentan dirección, como el caso de la ace­
leración, fuerza, velocidad y desplazamiento.
Por lo tanto, el volumen no es vectorial, es
escalar, f
j Clave i }
y ' ̂x,V - « -
Problema N.* * * 6
De la siguiente relación de magnitudes físicas, 
¿cuántas son escalares y vectoriales, respecti­
vamente?
• densidad
• fuerza de tensión
tiempo
velocidad
• trabajo aceleración
A) 2; 4 B) 4; 2 
D) 3; 3
C) 5; 1 
E) 1; 5
Resolución
Las magnitudes escalares son la densidad, el 
trabajo y el tiempo. Mientras que las vectoria­
les son la fuerza, velocidad y aceleración.
i Clave i ;...........
Problema N.° 7
Determine la ecuación dimensional de x si 
x=A ■ fi, donde A: área y B: volumen.
a ) r
D) Z.
B) L-
-4
C) D 
E) L-5Resolución
Nos piden [x], Se tiene que x=A-fi. 
Luego ~
[x]=[A]-[B\ -> . [x]=L2-L3
[x]=L2+s
[x]=LS
/'v ■ :: Clave1:K
Problema N.° 8
Determine la dimensión de A en la siguiente 
ecuación: • •
A = mv2
~T~
donde m: masa, F: fuerza y v: velocidad.
A) L 
D) LT
B) L-1
-1
C) LT 
E) L-T -2
Resolución 
Nos piden [A].
Se tiene que A =
mv
~ T
Luego
U]= [m][vY
[Fi
—>
MLT
[A]=L
: Clave \
Problema N.‘ B _________ .
Calcule la dimensión de B en la ecuación 
F xd 2B =
mv
donde F: fuerza, d: distancia, m: masa y vs ve­
locidad.
A) M 
D) L
-1 B) M
-1
C) L 
E) LT -1
Resolución 
Nos piden [,
Se tiene que fi =
£,:%;
Nos piden [fi].
' F x d 2
mvc
Luego
[fi] =
[F]x[df
[m]x|y]2
—> [b ] - MLT (¿)2 M l f ^ x / M x ([r1)2 M / f *
[B]=L
Problema N/ 10
! Clave \ C }
km2
Halle la dimensión de k en la ecuación n t 
siendo m: masa, t: tiempo y ti=3(1415
B) MT2 C) M 7"1 
E) M~2T
A) MT
D) M2T
Capítulo 1
Resolución 
Nos piden [k].
Se tiene que n
km¿
ô><>e<><x*<>o<x<KX>'X><><><x>c*oc><><><x><><>c><x̂
Observación
Dado que el exponente debe ser un número, 
entonces su ecuación dimensional es la unidad.
0KXx>‘X><X><>X><X><><><>C<><><><*>O<X><><><><>C<><̂̂
Luego
km2 
. t
[k]M2
= 1 -4 IkilrnY
M
=1
= 1 -> [k ] = A r /
M¿ i Jó I /' A
[k]=M~zT
{ Clave j )
Problema N / 11
Deterjriine la dimensión de R en la ecuación 
rf_ - ò
[sec19°] 0
donde F: fuerza y a: aceleración.
A) M B) M~1 C) M2
D) M- E) M -2
Resolución 
Nos piden [/?].
Observamos que sec19° es un número, en­
tonces el exponente necesariamente es un 
número.
Luego
'RF_
. o J
Magnitudes físicas
[R ]M JJ^ [ R U Ó
M
[R]=M-1
: Clave
Problema N/12________________________
La ecuación F=-kv2 es dimensionalmente 
correcta.
Calcule la ecuación dimensional de k, donde 
F: fuerza y ve velocidad.
A) ML 
D) M~\
B) ML -1 C) ML2 
E) M 2L
Resolución 
Nos piden [/r].
ÍS¡|j C-
Se tiene que 
F--~--kv¿
Luegó
[F ]= [-1 ]W M 2 
-> M ¿ r2=lxw(/.r- ')2
.-. W = M i_ A/f / -1
i Clave
Problema N.* 13_______
Si la ecuación E = yj2kv2 es dimensionalmente 
correcta, ¿cuál es la dimensión de Ac?
Considere que f es energía y v es velocidad.
A) ML 
D) M r 1
B) M C) M -1 
E) ML2
COLECCION ESENCIAL
Lumbreras EditoresResolución 
Nos piden [k].
Se tiene que E = V2kv2.
Luego
[ E U U z J k M 2
-> M t2r 2=1xW(/.7“1)2
M jír^ = [k ]x j ír
[fc]=M
Problema N.° 14
C/ove u H
Si la ecuación d = ■ — es dimensionalmente 
o(sen0) ' |
correcta, ¿cuál es el valor de x? Considere que
d: distancia, v: velocidad y a: aceleración. f £
A) 5 B) 3
D) 4
Resolución 
Nos piden x.
, ,x
Se tiene que d =
C) 2 
E) 1
o(sen0)
Luego
[d]= WY
-» L =
[o] [sen©]
i lI T -V
l t ~2 a
L2r 2=Lxr x
t ____ J
Igualamos los exponentes. 
.% x=2
Clave I C )
Problema N.° 15
Determine la dimensión de B en la ecuación 
5F x t - \¡3B x m
donde F: fuerza, t: tiempo y m: masa.
A) LT 
D) LT~2
B) LT -1 C) LT2 
E) r V
Resolución 
Nos piden [B].
Se tiene que SFxt-43Bxm .
Del principio de homogeneidad, se cumple 
l5 ]W M = [^][fl][m ]
—> u tfLT ~ r x l f = T lB ]x tf 
•••: : S ¡ • ■
; Clave ■
Problema N.’ 16
Halle la dimensión de a y (3 de la siguiente 
ecuación:
V=axlh+$xD
donde l/; volumen, Ik: área y D: densidad.
A) L;M-1/.6 B) L-.ML6-Q L] M r 6
D) i.-'1; Mi.5 E
Resolución 
Nos piden [a] y [p].
Del principio de homogeneidad tenemos que
di)
M = ta][A] = [p][o]
(i)
De (I)
M=[cc][A] -> L3=[a]L2
[a]=¿
De (II)
M=[0][D] -> L3=[$]ML~3
Problema N.° 18
El valor de la velocidad para un auto se deter­
mina según
v = \J B2 -2A H
donde v: velocidad y H: distancia.
Determine [B]x[A\.
-3ML
[p]=M"1¿5
Clave vA?
Problema 17
Si la»ecuación es dimensionalmente correcta,; 
determine la dimensión de R.
(A + B) sen aR =
Ó
donde A. velocidad y C: densidad.
,,
4
f%. 'ÍV 4 >
'
* A
A) ML5T 
D) M -2¿77"-1
b) /w_2¿7r c) M2/.7r
E) M2L7T2
«■A. <
Resolución 
Nos piden [/?].
Aplicamos el principio de homogeneidad.
[a ] [sen a] [fi][sena]
[/?]=
[C]2 le í
(I)
De (I) 
[/?] =
¿7~1x1 £7“ 1 . , , ,
(m l~3)2 ^
-» [R]=M~¿L'+br
A) LZT3 
D) LT
B) ¿27"_3
-1
O ¿ “2r 3
E) l ~3
Resolución 
Nos piden [A]x[fí], 
Se tiene que
• = y ¡ ^ 2AH -» v2=B2-2AH
Del principio de homogeneidad se cumple que
# H Jr (ÍP
l v f = [B? = [2}[a
S iT
i* >
.-. [/?]=M"2¿7r 1
i Clave \ D
De (I)
[V]2=[B]2 -> G.7"_1)2=[6]2 
De (II)
[V]Z=[2)[A][H]
-> (/.7'~1)2=1x[/4]xZ.
¿27"’2=[A]x ¿ -» [A]=/T~2
Luego
[e]x[A]=/.r1x/.7“ 2
.-. [ñ]x[A]=t2r - 3
i C/ove i B }
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Problema N.’ 19
Si la ecuación F = k xa + m — es dimensional-
b
mente correcta, indique qué magnitudes físi­
cas representan k y b, donde F: fuerza, a: ace­
leración, m: masa y ve velocidad.
A) tiempo y masa
B) área y tiempo
C) masa y tiempo
D) longitud y masa
E) densidad y longitud
Resolución 
Nos piden [k] y [b].
Aplicaremos el principio de homogeneidad.
f l_ /
1 1 i
I : : ' V[F] = W W = [m ]M
-T~ — i— lb\ | ¡k
W Jf
( i )
De (I)
M = M [o] -> 'w f* = [k ] jJ^ 
.-. M = M
De (II)
[F] = [m]M _> M ^ = M x ^
4 4 ;:r "
[̂ ] = 7-
Problema N.° 20
i Clave í’■.............Jw r
La ecuación de la energía mecánica de 
un sistema bloque-resorte está dado por 
^-/\V¿+Bxz+Chl donde v\ velocidad, h: altura 
respecto al piso y x: estiramiento del resorte. 
Determine la dimensión de ABC.
A) M3LT B) M3LT 4 C) ML5T
3-t— 2
D) M2LzT~2 E) M3L3r 4
Resolución
Nos piden [AxBxC].
Del principio de homogeneidad, se cumple
(iii)
EL
[e] = [a]Iv? = [B][x? =lc][h]
(ID •
De (I)
m l2t~2=[A]{lt ~̂ )z
=[Á\jk^- -> [a ]=m
í
De (II) , ,« íJí „ > ..4 .
M¿2r 2=[l3]iL2 [fí]=M7"~2
#1
De (III)
27 2=[C]xZ. [C]=MLT~2
Luego
[AxfíxC]=MxM7"~2xM/.7"~2
[Ax Bx C]=M3LT~4
; Clave :
Problema N.* 21
La amplitud {A) en un movimiento oscilatorio
J82 +f - íVse determina según A = ^B2 +
donde A es amplitud (en metros) y v es veloci­
dad. Determine [B][W].
A) LZT
D) r 2r 1
B) LT- i Q r Y -2
E) LT~3
mm
Capitulo 1 Magnitudes físicas
Resolución 
Nos piden [B][W]. 
Se tiene
/A2 = S2 + —Vwj
^ = ^ -4 -— > [W ]= r'
[n/]2
[B][W]=LT^
Problema N.° 22
; Clave [
La energía cinética de un móvil de masa m y 
velocidad v es E=kmavb. Si k es una constante 
matemática, halle los exponentes ay b.
A) 1 y 2
B) 1 y 1
C) 2 y 2
D) 3 y 2
E) 1 y 3
Resolución
m
Comparamos la base L. 
¿?=2
Comparamos la base M. 
(7=1
i Clave [Á
Problema N.° 23
En un movimiento circular de radio /?, si la ve­
locidad del móvil es v la aceleración centrípeta 
se halla con acp=kvaRb, siendo k una constante 
matemática. Halle los exponentes a y b.
A) 2 y -1
B) 2 y - 3
C) 2 y - 2 f
D) - 2 y 4
E) 3 y —1
Resolución 
Nos piden ay b.
Se tiene que
[acp]=lk]MaÍR]b
-> LT~2=m{LT~')a[L]b
LT '2=LaT~axí.b
LT-Z=La+bT-a
Comparamos la base T. 
a- 2
(7
Nos piden oy¿.
Se tiene que [C]=[/r][/77]°[u]¿.
-> ML2T~2=0)MaÍLT~1)b 
ML2T~2=MaLbT~b
Comparamos la base L 
a+b=1 -» 2 + ¿»=1 
b=-1
; C/ove i A i• *........ «... .'n.«’ ’
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Problema N/ 24
Si la ecuación dada es dimensionalmente co­
rrecta, donde §: área, o: aceleración y i/: veloci­
dad, halle la ecuación dimensional de y.
7iy = §xlog|—
\ v J
A) L2T 
D) LT~2
B) LT C) LT2 
E) L~2T
Resolución
Nos piden [y].
Usamos las ecuaciones dimensionales.
M [y ] = [§][*]
•(D[yM2M(l)
[y]=L2[x]
log ax^
u ; . y
(i)
La función logaritmo se aplica a los números.
Luego, ax
~ )
debe ser un número.
la][x] . %. • vmtr
W - Í 4 M =
LT-1
[a] LT-2
- [x]=T (II)
Reemplazamos (II) en (I).
M = l2t
; Clave ( : }
Problema N.’ 25
Si la ecuación es homogénea, determine las 
ecuaciones dimensionales de A y B.
VJ-AgH-BP
donde
- W: trabajo
- g: aceleración de la gravedad
- H: altura
- P: potencia
A) M y r~1 B) M2 y T C) M y T
E) M “1 y r~1D) M y - r
Resolución 
Nos piden [A] y [fij.
Usamos el principio de homogeneidad en la 
ecuación planteada.
ÍW\ = [AgH] = \BP]
Igualamos el 1.er y 2.° término. 
m = [A][g][H]
ML2T 2=[A]LT~zx L
[A] =M
Igualamos el 1.er y 3.er término. 
[W]=[B][P]
-> M í2r 2=[fi]xM[2r 3
[B] = T
i Clave i ■
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Indique cuáles de los siguientes casos son 
fenómenos físicos.
I. la deformación de un resorte
II. la combustión de la madera 
ill. la oxidación de los metales 
IV. el movimiento de un balón
A) solo IV B) I y IV C) II y III
D) I, II y IV E) todos
t
2. Respecto a las siguientes proposiciones, 
indique la secuencia correcta de verdad (V) 
o falsedad (F).
I. Todo fenómeno químico implica una 
reacción química.
II. Al mascar una manzana se observa en 
ella un fenómeno químico (se oscurece).f í» !
III. Cuando la fruta se descompone, es un 
caso de fenómeno físico.
A) VVV 
D) VVF
B) FVV C)?' FFF s;<i 
E). FFV
3. Indique cuál no es una magnitud funda­
mental para el Sistema Internacional, p
A) masa
B) densidad
C) longitud
' D) temperatura 
E) intensidad de corriente
4. De la siguiente relación de magnitudes 
físicas, ¿cuántas son escalares?
• fuerza < • desplazamiento
• temperatura • densidad
• tiempo
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
5. De la siguiente lista de magnitudes físicas, 
¿cuántas son escalares y vectoriales, res­
pectivamente?
• velocidad • aceleración
• longitud • masa
• volumen • área
A) 3; 3 
D) 4; 2
B) 2; 4 C) 1; 5 
E) 5; 1
De la siguiente relación de magnitudes, 
¿cuántas son vectoriales?
• trabajo • tensión en una cuerda
• densidad • aceleración
• velocidad • potencia mecánica
A) 3 B) 2
D) 4 .
C) 1 
E) 5
.Determine la ecuación dimensional de y si 
, y={AxB)4, donde 4: área y B: volumen.
A) L4 
D) L~20
B) L10 C) L 
E) L
20
15
8. Determine la dimensión de x en la siguien 
te ecuación:
x=25-/77-g-sen20°
Considere que m es masa y g es aceleración
A) MLT 1 B) MLT~2 
D) MLT
C)
E) MZLT~2
Si la ecuación A -4 tíRx es dimensionalmen 
te correcta, determine x, donde 4: área 
R: radio.
A) 1 
D ) f
B) 3 C) 2 
E) -2
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10. La siguiente ecuación es dimensionalmen- 
te correcta:
A=tan30°-fí-Cx
Determine x. Considere que A: longitud, B: 
aceleración y C: tiempo.
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
11. La ley de gravitación de Newton se expresa 
por la ecuación
F =_ G /7i1 x m2
donde F: fuerza, /r?1 y m 2: -masas y d: dis­
tancia. Determine la dimensión de G.
I %j¡|* w
A) ML7~1 B) M t}r f C) M~2L2T~] 
D) M '\ 3T~2 %E) MLT <
12. La siguiente ecuación es dimensionalmen-' 
te correcta:
T=2nLxgy ^
Determine x+y. Considere que T: tiempo,
L: longitud y g: aceleración de la gravedad.
A) 0 
D) 2,5
B) 2
F
C) 0,’5 
E) -1
13. La ecuación A = -+ B es dimensionalmente 
correcta.
Halle la dimensión de B si F es fuerza y t 
es tiempo.
A) MLT"2 B) ML 
D) MLT' 3
C) MLT
E) LT '2
\ 14. Si la ecuación W = 4y¡2vx •my es dimensio­
nalmente correcta, halle x+y.
Considere que W: trabajo, v: velocidad y 
m\ masa.
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
15. Determine la dimensión dexs i la siguiente 
expresión es dimensionalmente correcta: .
W = ■ F-vL
x-log100
Considere que W. trabajo, F: fuerza y v: ve­
locidad.
A) LT 
D) L1Í
-1 B) LT -2 O
E) L2T2
16. Si la ecuación dNsen30 =P es dimensional- 
mente correcta, determine las dimensiones 
de /^Considere que d: densidad y P: presión.
A)' L 4T 4 B) L2T2t - 2 -4
D) L4T' 4
C) LT 
E) L~4 T4
17. Si A representa el área, determine la di­
mensión de m y n, respectivamente. 
7Alog200 = 2̂ [m + 5nz sen60°
A) L; L4 
D) L\ L
B) L '4-,L C) L;L ' 4 
E) L~4] L~4
18. La ecuación para la altura H de un objeto
está dada por H = At + ̂ ~
2 '
Determine [A], [x] e y si tes tiempo y B es 
aceleración.
A> 1 B) i 3; 2 q L: 2
D> LT ; 2 E) L2: 3
Capítulo 1
Magnitudes físicas
19. La posición (x) de un bloque que oscila se 
determina según x = /4sen(cof+ 0), 
donde x: posición (en metros), t: tiempo y 
. 0: ángulo. Determine las dimensiones de A 
y cd, respectivamente.
A) L ; r ' B) L;T 
D) L; T2
C) M 
E) L;T- 2
20. Si la ecuación H =
( 2ux\a¿b
~2¿y
sen0 es dimen-
sionalmente correcta, determine x+y. 
Considere que H: altura, a: velocidad, b: ra­
dio y c: aceleración.
0s s
A) 1 B) -1 / : C)
D) -2 ' / E)AQ"’\
21. Halle la dimensión de x en la ecuación 
H = -+—, donde rrr. masa, c/: dís-
m-senQ d \%.i f
tancia y g: aceleración de la gravedad.
A) MT2 
D) MT
B) MT~2 O :MT
E) M2J-1 f2r-2
22. De la siguiente ecuación, determine las di­
mensiones de k.
,2
/T7l/
s = 3 kT
donde S: adimensional, m: masa, v: veloci­
dad y T: temperatura.
A) MLT2Q B) M/.27"20~1 C) MLzT2Q 
D) ML'^T2Q E) /w rV 2©
23. Dada la siguiente ecuación dimensional-
-Bdmente correcta: A=ve
, A
determine la dimensión de —.
Considere que i/: velocidad, t: tiempo y 
e: base del logaritmo neperiano.
A) ¿ r 1 
D) r 1r 1
B) LT
-2C) LT 
E) ¿2r 1
24. Determine las dimensiones de /? si la 
siguiente ecuación es dimensionalmente 
correcta:
\3x4R = Wvk[n-(\ogk)~ 
donde H/: trabajo y v: velocidad.
A) ML2T~4 B) MLzT~2 
D) ML¿T~3
C) M\?T~3
E) MT -3
25. Si la ecuación o = /?sen| a + — es dimen-
sionalmente correcta, determine la dimen­
sión de X, donde a: aceleración, v: veloci­
dad, a: ángulo y t: tiempo.
A) L 
D) LT
B) L-1 C) L¿ 
E) LT -1
26. La siguiente ecuación define la veloci­
dad {v) en función del tiempo (f) de un 
cuerpo que se desplaza sobre una superfi­
cie horizontal:
v=Acocos(cof)
Determine la ecuación dimensional de A.
A) ¿7“ 1
D) 7” 2
B) L C) 7“ 1
E) LT
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
27. La fórmula del periodo del péndulo simple 
está dada por T=2nLxgy.
Determine los valores de x e y, donde 
T: tiempo; L\ longitud del péndulo y g: ace­
leración de gravedad; además, 71=3,1416.
A) i ; - 14 4
D) — — ; 1 
6 6
B) - 1
1 1 C) — ; - - 
5. 5
1 1 
E) - 
8 8
28. La siguiente ecuación es dimensionalmente 
homogénea: 
vyF = P(ü +m— , donde r. radio, F: fuerza,
. r .<#&**»*«**»
m: masa, P: cantidad de movimiento, v e ­
locidad y co=velocidad angular.
Halle los valores de x e y. %
A) 1; -2 
D) 4; 3
B) 1; 2 C) 2; -1 
E) 4;-3
29. Halle las dimensiones d e xe y s i la siguien­
te ecuación es homogénea: 1% ,
xvyjy¡3 + D sen 37°=yAl}
donde v: velocidad, A: área, D: densidad y
L: longitud.
A) ML] L¿T B) ML3T; LT C) MLc] L r 
D) ML~4T]ML~7
r 2 . i 7— 1
E) ML~3; LT~}
30. Halle la ecuación dimensional de 5 si la 
siguiente ecuación es adimensional:
/ i3/?
r2s
donde A.área, /?: radio y T: tiempo.
A) i 5r 2 
D) ¿4r 2
B) ¿ V 2 C) ¿57 "3
E) ¿6r - ’
31. La velocidad (v) de un cuerpo depende de 
su aceleración (a) y de la distancia recorri­
da (d). A partir de la ecuación física dimen­
sionalmente correcta v=2 axdy, determine 
x-y.
A) 1 
D) -2
B) 2 C) -1 
E) 0
32. Si la siguiente ecuación es dimensional­
mente correcta:
mx(H -h)(x+y)
2Qsen0 =
tz eos 37°
donde m\ masa; H, h: alturas; t: tiempo y 
Q: energía calorífica, determine x+y+z.
A) 0 
D) 3|
B) 1 C) 2 
E) 4
33. Halle la dimensión de N si la siguiente 
; ecuación es correcta:
logfx+--l
t K~e “ n)
Adonde co: velocidad angular y t tiempo.
B) TA) 1 
D) T~2
C) 7_1 
E) 72
34. Halle la dimensión de — si la
B ecuación
A=vcos[B-kt) es homogénea, 
donde v\ velocidad y t tiempo.
A) LT~2 
D) T
B) LT-1 C) L 
E) 1
35. Halle la fórmula dimensional de K si la
,-------- ( - N
ecua­
ción /c = Vòf/T+ò) - + sen0 (z-b) es dimen-
^ J 
sionalmente correcta, donde h: altura.
A) L B) L2
D) L“1
C) L3 
E) r 2
Capitulo 1 '
Magnitudes físicas
36. Si la siguiente ecuación física es dimensio- 
nalmente correcta:
\sen(oo0)a
Qfícos((3+60°) = l R + j
donde R: radio, f: frecuencia y co: velocidad 
angular, halle las unidades de [ax0] en 
el SI.
A) ms 
D) m
B) ms-1 C) ms 
E) s
-2
37. Si .la siguiente ecuación es dimensional­
mente correcta:
r ^
W sen a = 6d2B v1 - epV J
donde W: trabajo, d: distancia,’ p: presión, 
v: volumen y e: número rea!, determine la
relación 1 R
B ..w
A) LT' 
D) T
B) ML —1 *
-1
C) MLT 
E) L2 • "
38. Un ventilador depende de su velocidad an­
gular (co) con que gira las hélices, también 
del radio de cada hélice (/?) y la densidad 
del aire (D)..
Halle una expresión que permita encontrar 
la potencia (P) que desarrolla el ventilador. 
Considere que K es una constante adimen­
sional.
A) P=K(úzR5D
C) P=K(ú2RD5
D) P=K(ü3RsD
B) P=Ku sR3D
E) P=K(úRD¿
39. En un nuevo sistema de unidades creado 
por nosotros donde las magnitudes fun­
damentales son área {A), fuerza (B) y ve­
locidad (Q, ¿cuál sería la ecuación dimen­
sional de masa en función de las nuevas 
magnitudes fundamentales?
A) ABC 
D) A~V2BC2
B) ABC - 2 C) /4£T1C 
E) AVZBC— 2
40. La presión hidrostática (P) que soporta un 
j f ' punto en el interior de un líquido está en 
"" ' función de la densidad del líquido (p), de 
la aceleración de la gravedad (g) y de la 
profundidad (/?) a la que se encuentra el 
punto. Determine una expresión para la 
presión hidrostática.
A) Kpgh2 B) Kpgh
D) Kpg-^h2
C) Kp2gh2 
E) Kpgzh~2
Claves
1 6 11 . - ! 16i i 21 26 31 ; 36
2 y. 7 12 ! 17i ; 22 27 32 37
3 • 8 13 ! 18 i 23 28 33 38
4 9 14 ' ‘ i 19 i 24i 29 34 39
5 10 15 ; 20 j 25 30 35 40
ANÁLISIS VECTORIAL
En nuestro país y en el mundo entero se practican muchos 
deportes de aventura en los que se aprovecha la fuerza del 
viento, como el parapente, el paracaidismo, el paseo en ve­
leros, entre otros. Este misterioso carácter del viento ha cau­
tivado a la humanidad desde tiempos muy remotos. Grandes 
navegantes, como Cristóbal Colón y hasta los españoles in­
vasores de América Latina, usaron, su impulso para navegar 
a través de vastas regiones de la Tierra. El viento también ha 
dado forma a la superficie terrestre y cumple un rol decisivo 
en la dispersión de semillas y en la determinación del clima. 
El principal factor que determina la dirección y magnitud de 
los vientos es la diferencia de densidad entre dos regiones 
de la atmósfera, pues el aire fluye espontáneamente desde 
las zonas de mayor densidad de aire hacia las zonas de 
menor densidad. Este flujo de aire es precisamente lo que 
denominamos viento.
Aprendiiajes esperados
• Definir un vector como una herramienta matemática que 
nos permita representar las magnitudes vectoriales.
• Diferenciar las operaciones escalares respecto de las 
operaciones vectoriales.
• Reconocer los métodos que nos permitan comprender 
las operaciones de adición, sustracción y multiplicación 
de vec.tores.
¿P@r qyá 05 necesario este conocimiento?
Este capítulo explicaa los estudiantes la importancia que tie­
nen los vectores para la física, puesto que a través de ellos se 
representan las magnitudes vectoriales, las cuales nos per­
mitirán describir y comprender mejor los fenómenos físicos. 
En ese sentido, el concepto de vector se estableció para po­
der describir matemáticamente el espacio en el que vivimos- 
todos los vectores, como la fuerza, velocidad y aceleración 
están relacionados con el espacio. Todos los fenómenos físi­
cos se desarrollan en el espacio; por ello, para describir co­
rrectamente un fenómeno físico se requiere necesariamente 
el uso de vectores.
Importante
Gal ¡leo Gálilei fue uno de. los 
primeros en utilizar vectores al 
estudiar el movimiento de los 
proyectiles; tuvo la necesidad 
de representar la velocidad en 
un instante dado. Asimismo, 
Isaac Newton utilizó los vecto­
res para representar las fuerzas 
Y operar con ellas al establecer 
las leyes del movimiento.
En términos biológicos, un vec­
tor es cualquier agente (perso­
na,': animal o microorganismo) 
que transporta y transmite una 
enfermedad a otro organismo 
vivo. Los vectores biológicos; se 
estudian por ser causa de enfer­
medades, pero también como 
posibles curas.
; : ....... — :
A n á lis is v e cto ria l
1. VECTOR
Es un segmento de recta orientado (flecha), el cual nos permite 
representar geométricamente las magnitudes vectoriales.
Ejemplos
Veamos algunas magnitudes vectoriales representadas geomé­
tricamente.
1. El desplazamiento de un proyectil
4. La aceleración de la gravedad cuando los cuerpos experi­
mentan caída libre
Capítulo 2 Análisis vectorial
1.1, Representación de un vector
Notación
Un vector se puede representar con cualquier letra del alfabe­
to, con una pequeña flecha en la parte superior.
P: se lee “vector P”.0 \ 7 0 :/{s % ' ■
También se denota indicando el origen y el extremo del vector. 
AB: se lee “vector AB”. - '' ~ y y
Ambas notaciones: son válidas y pueden usarse
; indistintamente, es decir, P = AB.
Ji i M :M u.i l
1.2, Elementos de un vector 
1.2.1. Módulo del vector
Es la medida, tamaño o magnitud del vector. Está conformado 
por un valor numérico y su unidad de medida.
El módulo del vector P se representa como el vector entre ba­
rras o simplemente con la letra (sin flecha).
Módulo del vector P:\P\o P
unidad de medida
Del gráfico, |P|=10 u
■ valor numérico
Dato curioso
En las instalaciones de dise­
ño de los vehículos premium 
BMW en Munich, Alemania, las 
computadoras y estaciones de 
trabajo de gran potencia es­
tán realizando simulaciones a 
prueba de choques con el fin de 
diseñar vehículos más seguros. 
Los cálculos que los ingenieros 
programan en las computado­
res se basan en los métodos de 
suma vectorial de fuerzas.
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
A plicación 7
Se tiene el siguiente vector. Determine su mó­
dulo.
11
I
__
1 “l
n
n
1 u
1.2.2. Dirección del vector 
Está definida por la medida del ángulo obteni­
do a partir del eje horizontal positivo y la línea 
de acción del vector, medido en sentido anti­
horario.
Dirección del vector P: 0D
Ejemplos
Resolución
Nos piden \a \.
En el gráfico se indica que el lado de cada cua­
dradlo mide 1 u, además, se observa que el 
vector coincide con la hipotenusa de un trián­
gulo rectángulo cuyo lado mide 4 u, tal como j 
se indica en el siguiente gráfico:
Su módulo se determina aplicando el teorema 
de Pitágoras.
\a \ = \¡P~+42 = V16 + 16 = V§2
- ̂ U I = V l6 x2= V Í6xV 2
U I = 4>/2 u
Importante
Para obtener mayor información de ciertos 
j eventos es necesario indicar una dirección. Por 
ejemplo, si dos 'autos, en una pista, son igual 
de rápidos, podemos señalar una diferencia 
indicando hacia donde se dirigen, puesto que 
; las direcciones de sus avances son distintas. Los 
vectores señalan una dirección.
vr\v'
sw-
hI1
.-Q--- <v
-o----nd
Capítulo 2 Análisis vectorial
COLECCION ESENCIAL
..........................••••CSNNÍt N N - ,,,,.,»y -
Dos o más vectores son colinea: ; 
Ies si se encuentran contenidos ’ 
^ L ' c en una misma línea de acción.
l i l i (ff/Árrrrfr'— |4| I ! ?///. A b C ! i//ü —
S^y ' A, B y C son vectores colineales, ...
¡\vl i K////////7//z7^
/ f í ) ' ./. ' V jV 
# / / / £ &Importante
[l| ||
j l j í i | Los vectores paralelos son aque- 
~ irj ' líos que tienen sus líneas de ac- 
í ción respectivamente paralelas.
<:q A-
>
u i i¡ H i h :
■ i ' ■ . - V
1a i; ■ ' - ' ; . .
—» —♦
i A y B son vectores paralelos.
¡m í ■>
Lumbreras Editores
1.4. Multiplicación de un vector por un escalar 
En el estudio de los vectores es necesario comparar un vector 
con otro. De esta manera al encontrarles alguna similitud se les 
da una denominación en particular.
Sea el vector B y un número real n, tenemos el vector nB, 
cuyo módulo será n veces el módulo del vector B y colineal al 
vector B.
vi : T " ?ImportanteiíTTJiT • . . ................
• Si n es positivo, el vector nB
no cambia de dirección.
v.sí : —
• Si n es negativo, el vector nB
...cambia de dirección.
Ejemplo
Sea el vector A de módulo igual a 2 ú.
...-vector A m ~' y ■» '
rad
* ♦ c€ victor A
cuádruple 
del opuesto 
del vector A
opuesto _ 
de! vector A
,\i i f/y;
No olvide
En general, sean los vectores A y B.
Sil! •y---. / 8
V ■
S iA y B son paralelos, se debe verificar que el
U M f i l
. . un número real —i
VülLLir
5i
Capítulo 2
Análisis vectorial
1.5. Descomposición rectangular de vectores 
Es un procedimiento que consiste en expresar un vector en 
función de otros dos vectores mutuamente perpendiculares a 
los cuales se les denomina componentes.
Sea el vector fuerza (f ) cuyo módulo es 50 N'y 0=37°.
Procedimiento para la descomposición
Identificamos las direcciones perpendiculares donde se ubica-
trazamos dichos componentes.
A
F
donde ^
- Fx: componente horizontal del vector F
- Fy. componente vertical del vector F
Ahora para hallar los módulos de los componentes podemos 
hacer uso de la forma geométrica o trigonométrica.
• Primera forma: geométrica
Comparando las hipotenusas, 5F=50 -» k=10 ■ 
Luego, F=(40 N; 30 N).
Dato curioso
La utilidad de la descomposi­
ción rectangular está en com ­
prender algunos cambios que
pueden darse en la horizontal y 
r í
en la vertical.
Por ejemplo, al patear un balón 
de fútbol, la velocidad luego del 
lanzamiento varía por acción 
de la tierra, el aire, etc., pero se 
puede estudiar estos cambios 
conociendo cómo cambian los 
componentes de la velocidad.
El conocimiento de los triángu­
los notables y la proporción de 
sus catetos van a facilitar la des­
composición de los vectores.
Aquí algunos triángulos rectán­
gulos notables.
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Este segundo método es muy útil cuando nc 
se conoce el módulo de la magnitud vectorial, 
pero igual se logra descomponer.
vseh'tí
A plicación 2
Dado el vector A de módulo 20 unidades, ex­
prese el vector A en función de sus compo­
nentes rectangulares.
• Segunda forma: trigonométrica
Luego
F = (50 eos37° ; 50 sen37°) = (̂ 50 x | ; 50 x | 
-> F = (40 N; 30 N)
m sen050 N
mcosG
37°
50cos37
Resolución
Para hallar los componentes rectangulares del 
vector A, usaremos la forma geométrica, ya 
que se conoce el módulo del vector.
Comparamos las hipotenusas de los triángulos 
sombreados.
2k=2Ó, k=10
Luego, |Ax| = 10u y \a y \ = 10 3̂ u. 
A = (l0 u; 1oV3 u)
1.6.¥ector unitario íu v)
Es aquel vector^que tiene la misma dirección 
que el vector A y cuyo módulo es igual a la 
unidad.
'
43 = 1 Uk. —------->
Gráficamente, tenemos
Capítulo 2
Análisis vectorial
Matemáticamente, el vector unitario de un 
vector está definido como la relación entre di­
cho vector y su módulo.
donde
A
- vector unitario del vector A
- A: vector Á *
- \a |: módulo del vector A
|y\ I|Â |: módulo del vector unitario del vector A 
Ejemplo
Determine el vector unitario de A.
¿ y \
Wf A . Ii
 ̂ J
ILmfrT
Nos piden fi¿. \ éT '
A
%
Se tiene
De la descomposición rectangular^ /
/i
(*)/, V '
/4=(3 u; 4 u)
Reem plazamosen (*).
~ 3 u; 4 u 3 u , 4 u
5 5 ' 5
Va = 3 .1 , u5' 5
1.6.1. Vectores unitarios en la dirección de 
los ejes coordenados
a. En el plano
Los vectores unitarios 
paralelos y asociados 
a los ejes coordena­
dos cartesianos X e Y 
(positivos) son ? y j.
Y ‘
J .
i____ ----------->-- t■<---------
X
1i " J
Del-gráfico, se tiene A=Axi +Ayj.
Su módulo Ul = J a x + A?y ,
% donde
T: vector unitario (0 asociado al eje X 
positivo
- j: vector unitario (j ) asociado al eje Y 
positivo
Siendo 1+
 
—
> II 1+
 
’■—
> 
II
| -' / / if//t ...... ' - ■' .. . '
Importante
La dirección de un vector se puede expresar 
mediante los vectores unitarios.
‘ 5 -m/s
- " \Tf-y¿í d.'K-;.. ion
) Se tiene v=5 m/s (+?)
tx modulo
é
<lu't‘cChjn.
10 m/s" Se tiene 5=10 m/s2 (~j)
IííÍIíIlV. .módulo------ ----------■-------------- J
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Ejemplo
Exprese el vector B en términos de los vectores 
unitarios.
De la descomposición rectangular, se tiene
p- X
*Y
~~ ' V -A,C'Q. i v/~‘ Y\ ¿Y
X W J
Del gráfico 
fl=(4; -4) •
... e= 4?-4 i
A plicación 3
Dado el vector A cuyo módulo es de 10 u(de-> 
termine el vector unitario del vector A
~ ¿0- \ g
Se tiene que 
A A
Va = Ul
n
Del gráfico 
A=8?+6j
Del dato 
• |X|=10 u
Reemplazamos en (*).
 ̂ 8?+6?
••• J*a = I(4<'+37)
m W D v'̂
f %
• /'*
Resolución
/s.
Nos piden
De la descomposición rectangular de un vec­
tor, se tiene
Á
.J
Qr
\ & T t : rf#<*ss p a c i o
Todo vector en el espacio puede ser expre­
sado en función de sus vectores unitarios 
(?;?;».
Sea el vector A
Se tiene queDel gráfico, se tiene 
A=AX?+Ayj+ A zk
Su módulo U| = ̂ A2x + Ay + A?z 
siendo |±íi=|±y|=|±fc|=1,
donde k es el vector unitario {k) asociado al 
eje Z positivo.
A plicación 4
Determine el vector unitario del vector A ubi­
cado en el cubo mostrado de 10 u de arista.
A s i
Resolución
a ' ' V
Jos piden
)e la descomposición rectangular en tres di­
mensiones, tenemos
primera
A_
Ul
(*)
Del gráfico
A = 10?+10y+1o£
donde el módulo del vector /I lo determina­
mos de la siguiente forma:
UI = V l02+102 + 102
-> \Á\ = 10>/3 u
Reemplazamos en (*).
- .. 10í+.10?+10?
imTOfttllté - "■ ': ■. ■- ■ ■ .. '
• Todo vector está definido por el producto 
entre su módulo y su vector unitario corres­
pondiente.
A — I A 1 1 1 • * * - lA'i 4
• El módulo de cualquier vector unitario es 
siempre 1.
Todo vector con su respectivo vector unita­
rio siempre son paralelos.
• A los vectores unitarios también se les de- 
í; nomina vectores direccionales porque su
dirección nos da la dirección del vector al 
cual corresponden.
fj . ''N M _~~ ■?'///: Imporíaníe
Sumar vectorialmente no es lo 
mismo que sumar cantidades 
numéricas (escalares), pues aquí 
para sumar, además de los mó­
dulos, importan también las di­
recciones.
<:•' --v •>' j H i U M i n >; í_J
1,7. Operaciones con vectores
Entre las operaciones básicas con vectores, tenemos:
1.7.1, Suma de vectores
Es un procedimiento mediante el cual, dados dos o más vec­
tores, se obtiene un solo vector, denominado vector suma o 
vector resultante (/?), el cual reemplaza a los vectores que se 
suman.
AMOR A SOFÍA
En la imagen anterior podemos percibir que todas las personas 
transfieren movimiento en una sola dirección, la cual nos da la 
idea del vector resultante.
Para sumar vectores, existen dos métodos: el geométrico y el 
analítico.
a. Método geométrico
Este método nos: permite representar gráficamente al vec­
tor resultante.
Método del triángulo
Nos permite hallar la resultante de dos vectores. El procedi­
miento consiste en graficar los vectores uno a continuación 
de otro (en forma consecutiva).
Consideremos a dos jóvenes tratando de mover un auto, a 
los cuales representaremos con los vectores A y fí.
Capítulo 2 Análisis vectorial
Del gráfico, tenemos
punto
final
El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer 
vector con el extremo del último vector.
Matemáticamente
R = A + B (suma vectorial)
¿a**8
A plicación 5 ^« r mmPara el sistema de vectores mostrados, determine e 
sultante.- % #1 W .€/
el vector re-
Resolucion
Nos piden el vector resultante R.
El vector R se determina así:
R = A + B + C (*)
Del gráfico, nótese que la suma de A y B es C debido a que los 
vectores A y B son consecutivos.
Reemplazamos en (*).
R = A+_B + C
c
/. ~R = 2C
Dados dos vectores _A y 8, se ;
f - - - ,
v cumple que R = A + 8 > y tam 
bien se puede expresar de la ;
WV I i i I i 11 i i J///J ' r-----!----------*
siguiente forma:v R = B + A i ya lí |1 ñ 11 A , . .— 7 s
que para la suma vectorial se : 
cumple la ley conmutativa.\ ,5 t K i » > iw .T O v í > » y .v .w * » í« r iv ^ V * * ..« ; \ \ \ * V \ \ V v \ *
Importante
Si con los vectores dados se for­
ma una figura cerrada (polígo­
no cerrado), es decir, el origen 
del primer vector coincide con 
el extremo del último vector; 
entonces el vector resultante es 
nulo.
A
punco
..Inicial
mX
Xy/ 
pur io ri
d ; •; ; A 4
, punte- / 
in¡oa¡ /
\ C--' pnin'j • al
x .
0
VVx'x
En ambos casos
L> o I R X j J
'LiÜJU
Método del polígono
Es un método que nos permite determinar
el vector resultante de tres a más vectores.
Consideremos tres lanchas tratando de 
mover un contenedor, las cuales represen­
taremos con los vectores A, B y C.
A plicación 6
Para el sistema de vectores mostrados, deter­
mine el vector resultante.
punto
final
El procedimiento para determinar el vec­
tor resultante es el mismo del método del 
triángulo.
Matemáticamente
r = a + b + c (suma vectorial)
Resolución
Nos piden /?.
El vector resultante lo determinamos de la si­
guiente forma:
~R = A+~B + C + D+~E (*)
Del gráfico podemos notar que los vectores A, 
;?$ ,C y D forman un polígono cerrado.
W * -
i| Reemplazamos en (*).
R = A + B + C + D + Ev------ v------ '
\cero
R = í
b. Método analítico
Son métodos con los que mediante el uso 
de ecuaciones matemáticas podemos de­
terminar los elementos (módulo y direc­
ción) del vector resultante.
Método del triángulo
A través de este método podemos resolver 
un triángulo vectorial si conocemos algu­
nos de sus lados y ángulos usando la ley 
de senos.
Capítulo 2
Análisis vectorial
Consideremos a dos jóvenes tratando de 
trasladar una caja con frutas, a los cuales 
representaremos con los vectores A y B.
Resolución
Nos piden U i
Del sistema de vectores, tenemos
De la ley de senos, se verifica
Ul fel !/?k
sen(3 senO
V
seria
J
A plicación 7
Para el sistema de vectores que se muestra, 
determine el módulo de A si IB |=15>/2 *lí
Luego, de la ley de senos
Isl Ijl
sen45° sen53°
Reemplazamos valores.
M - M ^ ¡5 x ¿ í
y r r 5 ' 4
= 24 u
Método del paraielogramo 
Es un método que nos permite hallar el 
módulo del vector resultante usando la ley 
de cosenos. Para ello, los vectores deben 
formar un ángulo en sí.
Consideremos a dos jóvenes jalando un 
bote.
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Del gráfico, tenemos
donde la resultante es la diagonal del pa- 
ralelogramo, la cual es trazada desde el 
origen de los vectores.
Vectorialmente, tenemos
R -= A + B
En módulo
\r \ = J a ¿ + B 2 + 2 M - f i
A plicación 8 \ ' J
Para el siguiente sistema de vectores;determi­
ne el módulo del vector resultante. %j
Considere \a 1=2 u y |fí|=1 u.
Resolución
Nos piden |/?|.
Representamos gráficamente el vector resul­
tante.
Se sabe que
\p\ = y¡A 2 +B2 +2-A-B-cosQ 
Reemplazamos valores.
|/?| = ̂ 22 + 12 + 2-2-1-cos60°
\ r \ = ̂ 4 +1+ X x
|r | = V5 + 2 
\r \ = \I7 u
Casos particulares
1. Si los vectores A y B son mutuamente per­
pendiculares
W
\ " 1M
B
Entonces
r \ ~ V/í2 + (teorema de Pitáaoras’*
Ejemplo
Determine el módulo de la resultante de
los vectores mostrados.
A *
4 u
□__
Nos piden \R
Análisis vectorial
Representamos gráficamente al vector R.
’ R
Bu '
Se tiene que
IffU '/Á2+s2
Reemplazamos valores.
|ff| = V42 + 82 S * * ~ ~ * * \,
Ir 1=4^5 u . / S Z \ ^
f;.
2. Si los vectores A y B tienen la misma direc­
ción (0=0°)* ,0^
A ■ 8
Del gráfico, ubicamos los vectores en for­
ma consecutiva.
y a A 8
Ó • £> .
i i
i |R| R I Entonces
Entonces
\r \ = a +b
Esta resultante es la máxima.
Ejemplo
Determine el módulo de la resultante para 
los vectores mostrados.
3 u
4 u
Nos piden |/?|.
Para este caso, los módulos de los dos vec­
tores se suman directamente.
3 u 4 u
7 u R
\R\=7 u
3. Si|los vectores A y B tienen direcciones 
opuestas (0=180°)
Del gráfico ubicamos los vectores en forma 
consecutiva.
7? I
— —
R B
- A -B iA>B)
Esta resultante es la mínima y la dirección 
del vector resultante la determina la direc­
ción del vector de mayor módulo.
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Análisis vectorial
Ejemplo
120°
5 u
R= 5u
Oato curioso
1 |iW p) rriétodo del paralelogramo, la diagonal; 
trazada del origen de los vectores nos repre-
j sentaba el vector resultante. Ahora si trazamos
■■
7 • /No*y { ******
A / \ D/ \ líMt*,$ '\ ' '¡m ' x /m \
llpf , i
Sf • 4~ xíC'-- /V / /
■ — ' - •>
> « í < ' • / T ' ■ :• ¿ :• • w V: ' • -•'<-■• .y >* ' .# * > / . •<.
’f, ‘------------■ • \ '- . « ■ w i.-'f-D -A -B
| n sí|\ {>
donde
I s | m h h t /////■: ■<■■■■ / 
Demostración
Se tiene B + D = A. 
Luego, D = A -B .
También se tiene
A,
. v -
Demostración
Se tiene A + D = B..
Luego ,D = B -A .
Para ambos casos, el módulo del vector dife­
rencia (d ) se obtiene de la ley de cosenos.
ü\ = jA " +B?-2A B cosí)
1.7.2. Producto de vectores
En el álgebra vectorial se definen dos formas 
para realizar el producto de vectores: una es el 
producto escalar y la otra es el producto vec­
torial.
a. Producto escalar
Es una operación en la cual al multiplicar 
escalarmente dos vectores, el resultado es 
una cantidad escalar.
Primera forma
Si se conoce el módulo de cada vector y el 
ángulo que forman los dos vectores
Se define como
- * -:m • i : y0̂ Jjpk / r----- >
ó H ■■■' . ' V- 
■ i . . ■ A s = U l I s lc o s e !
■' í ; M ¡ } <! ; ^ : K.__ --------- -------------- )
• ís. — llamado también
producto punto
donde 0 es el ángulo que forman entre sí 
los vectores AyB .
Ejemplo
Sean A y B dos vectores. Calcule A-~B.
Nos piden A-B.
Se tiene que A B = Ulle|cos0.
COLECCIÓN ESENCIAL
Reemplazamos valores.
/A-6 = 2x4xcos60°= 8x-
Z
A-B = 4 u 2
Propiedades
1. A-B = B-A (propiedad conmutativa)
2. A-{b + c ) = A-B + A-C (propiedad distri­
butiva)
3. a{A-B) = {aA)-'B = A-{ciB)
Es un número real.
4. A B = 0
Esta propjedad se cumple cuando los 
vectores A y B son mutuamente per­
pendiculares.
5. A A M f ■ \
.4^ ^ ¡
‘ . • , . -----—’—:— '—■— -------------------- 1I _ ' / £ ■ mDato curioso
Para el caso de los vectores unitarios cartesia- 
• nos ( i l j, k), tenemos
II! : ‘ ' I fe W .JK . %
%■ Jp 7 •'■ / - ■
V/s
■
Si los vectores unitarios son colineales, 
aplicando la quinta propiedad se verifica
I í l i l i A A A A . ., -í =y -7=A:-A:=1
'//////
Si los vectores unitarios son perpendiculares, 
aplicando la cuarta propiedad se verifica
T - j - j - k -
,v..
t k-0
Segunda forma
Si tenemos los vectores A y B en función de 
sus componentes cartesianos, es decir,
A=AX?+Ayj+ Azk
B=BX?+Byj+Bzk
El producto escalar se determina de la si­
guiente forma:
A - B = A..By + A. B., + A BA 1 A V V Z Z
Es una multiplicación directa de sus módulos.
Ejemplo
Sean A y B dos vectores. Calcule A • B. 
A=2?+3j+5k 
~B=5?+2j-k
Nospiden A-B. 
r ; ' Se tiene que
t, ' j , ' , s
»■B=AA + AyBy+AA
V
Reemplazamos valores.
A-~B=(2)(5) + (3)(2) + (5)(-1)
-> A-B=10 + 6-5 
A B=11
Aplicación 9
Si los vectores
^=2?+4mj+r y 8=6?+2y-4¡t
son mutuamente perpendiculares, halle m.
Resolución
Nos piden m.
De la cuarta propiedad del producto escalar 
tenemos que
A-B =0
Capítulo 2 Análisis vectorial
Luego
¿•fl=(2)(6) + (4m)(2) + (1)(-4) 
-> 0=12 + 8m -4 
-» 0=8+8m 
m=-1
; s ' - : . \W i\
Dato curioso
r| u I I \ i f 777/i / J ff/S s S ,S. ■ ■ - - v ^ y y \W A
Muchas magnitudes físicas resultan del pro-
i ducto escalar de dos magnitudes vectoriales.
: Por ejemplo, la cantidad de trabajo mecánico
(W) es el producto escalar de la fuerza (f) y el
desplazamiento (d).
W -F'd
_-___......Ò
b. Producto vectorial
Es una operación en la cual al multiplicar: 
vectorialmente dos vectores, el resultado 
es otro vector.
Primera forma /S, %
Si se conoce el módulo de cada vector y el 
ángulo que forman los vectores entre sí.
Notamos que el resultado del producto 
vectorial es otro vector, el cual es perpen­
dicular al plano formado por A y fí.
Su módulo se determina así:
\Ax c u u i r¿i sen 0
Ejemplo
Sean A y B dos vectores, calcule el módulo 
de A x f í . r . ' ■ ■
Nos piden Uxfíl.
Representamos geométricamente el pro­
ducto vectorial AxB.
Se tiene que Uxfi| = U||slsene. 
Reemplazamos los datos.
U x fì| = (5)(6)sen30°=30 x ~ 
••• U x fíl = 15 u2
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Propiedades
t 4 x 6 = -6 x 4 (anticonmutatividad)
2. A x {b +c ) = A x B + A x C (propiedad dis­
tributiva)
3. m ( íx f i) = (mÁ)x 8 - /Íx(mfí)
Es un número real. —̂
4. 4 x 6 = 0
Esta propiedad se cumple cuando los 
vectores A y B son paralelos.
f í /í 'V"///■*■..- 7~7 * B” 7' *...... .......
Importante
! | u U ! | f f J / S J J j f j v -N H .N : ""«TT! * -< *, \ ' >. A
« - - :: : £ é ■ 'ZZZZXZz z ' . . . ■ \ f-
■ ■■ ■ . • < ' y tWifw.
< >— A — ► W/J
X ■
ai | í | ¡X / / / / / / / / / / / x x z
\M 5 ¡ ||S ■ * ........i • Si los vectores unitarios son coli
aplicando la cuarta propiedad se verifigl̂ .
H í i - l t n i x x , X ' .-• — », V>
\u In l i i i l f / X * ~7 x T = j x j = k x k = o ^
• Si los vectores unitarios son perpendiculares,
aplicando la definición general se tiene r .
XXs ,y'¿y y?'X</f; 7 x j= k
s\ . XV
¡xk=i
i / f- / / / / y ■ S / -\lf /// //
m i! r / / / /,n|; MxX/fi/Z f:; ' ■ : -'///y//• .v • : ■ . —---
, X\ XV/rxr =) - ' ■
x.x̂ ,xy/.x' \
Segunda forma
Si tenemos los vectores A y B en función de 
sus componentes cartesianos, es decir,
A=Axi+Ayj+ Azk 
B=B¿+B j+Bzk
El producto vectorial se determina a través 
del siguiente determinante:
AxB =
? J k 
Ax Ay Az 
Bx By Bz
AxB=(AyBz - ByAz)7 - (AxBz - BxAzV +
+ {A:,By~BxA 'X
Aplicación 7 0
Sean los vectores
A=3'i+4j-k 
B=2?+j+2k
• M
Determine el módulo del producto vectorial
A x B x x %x%
Resolución
f'Nos piden U xe l.
Primeramente, determinemos el producto vec­
torial de 4 x 6 a través del uso de la determi­
nante.
4 x 6 =
A A A
? J k 
3 4 -1 
2 1 2
4xfl=(4x2-1(-1))í-(3x2-2(-1))J+
+ (3x 1 -2 x 4 )k
~AxB=9?-Qj-Sk
Finalmente
\a x b \ = \¡92 +(-8)2+(-5)2 
••• Kxe| = VÍ70
Capítulo 2 Análisis vectorial
Comúnmente, cuando representamos un vector, no nos enfocamos der 
su punto de aplicación. Por ello, se te invita a investigar y conocer más 
tinuación detallaremos.
Para i
Vector libre
Existen magnitudes físicas cuya descripción no requiere precisar el punto de aplicación, pues para cual­
quier punto de aplicación, los efectos físicos siempre serán los mismos. Por ejemplo, la velocidad de un 
automóvil.
V.
concepto
---- , ——
ANALISIS VECTORIAL
representación
Es un segmento de recta que 
representa geométricamente a 
las magnitudes vectoriales.
p —
• \p\: módulo del vector P
• Qp: dirección del vector P
Representación Multiplicación Descomposición Vector
cartesianaV- . ____ ■ v por un escalar-̂---—___-___:_;_^ rectangular unitario
7 Jr =i>
Si n>0 > nB no cambia ! 
de dirección,
Si n<0 -> nB cambia de 
dilección. r
OPERACIONES
>o
V '
donde PÁ =
\ A \
Suma de vectores i ̂ .•....J % % . ;
. , . . . . I , , . ... .
Producto de vectores
- - - - — - - - - —
Método ( - - - - - - 7 w " — ^Método r >Producto Productogeométrico analitic i
V . . V . .... . . . J escalar■ j vectorial
donde
r =A+B+C
donde
R = A + B D = A -B
En módulo
\a ±b \ = \Jaz +B2 ±2AScos0
Primera forma
ce b
Se define A • B = AB eos 63
Segunda forma 
Se define
_A 'B~ AxBx+AyBy+AzBz
Primera forma
AxB
—
Se define su módulo. 
Axfí| = AfisenO
Segunda forma
A x ï = i Ay
+
*z
8, By Sz
E? ■
RESOLVEMOS JUMTOS
Problema N.‘ 1
A partir del gráfico mostrado, determine el 
módulo del vector A.
1 u
A) 6u 
D) 12 u
B) 6^2
/E ) 12 2̂ u \
/ , r ,
| J|k' -fe1Resolución
Nos piden IA |. \
Como se sabe, el módulo es la longitud del 
segmento dirigido. ;;
' f
% mv#
6 u
□ 1
En el triángulo rectángulo sombreado, aplica­
mos el teorema de Pitágoras.|2l = V62+62
... 1̂ 1 = 671 u
i Clave ÍB ;
Problema M.° 2
Del siguiente gráfico, determine la dirección 
del vector B contenida en la siguiente cua­
drícula:
1 u
A) 45° B) 53° C) 60°
D) 120° ; E) 135°
Resolución 
Nos piden 0e.
La dirección es la medida del ángulo que for­
ma, el vector con el eje X positivo.
Del gráfico 
45° + 0fi=18O° 
0fí=135°
i Clave \
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.‘ 3 ____________________________ j Problema N.' ____________________________________
A partir del gráfico, exprese el vector A en tér- j De acuerdo al gráfico mostrado, determine la 
minos de los vectores unitarios. j secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F)
j respecto a las siguientes proposiciones.
Finalmente, de la descomposición rectangular
tenemos
A = (12; -16)
X=12?-16?
Clave í
A=2?+Sj
Verdadera
De igual forma, podemos notar que 
B=6?+3j
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Análisis vectorial■
Problema N.° 8___________________ _
Para los vectores mostrados, determine el 
módulo del vector resultante.
A) 3 u B) 372 u C) 4u
D) 472 u E) 5u
Resolución «ti#»* S»s
Nos piden I/? I.
Para ello trazaremos líneas paralelas a los vec­
tores con la finalidad de formar un paralelo- 
gramo. V /
Problema N,° 9_____________________
Dos fuerzas, F̂ y F2, cada una de 100 N de 
magnitud, actúan sobre un punto como se 
muestra en la figura. Determine la magnitud 
de la fuerza que equilibra estas dos fuerzas.
A) 200 N B) 50 N C) 100^3 N 
D) 100V2 N E) 100 N
U N M SM 2015-1
V i
Resolución"
Nos piden |f3 .
Para que el punto esté en equilibrio, se debe 
cumplir que la fuerza resultante debe ser cero 
o nula; y para el caso de dos fuerzas, estas de­
ben ser de direcciones opuestas y en módulo 
(magnitud) deben ser iguales.
Gráficamente, tenemos
De la ley de cosenos, tenemos
R l=V(1)2 + (3V2) +2x1x372 xcos45°
ff|=Jl + 18 + 6 ^ X - l r -> P | = v S
R =5 u
i Clave i )
Problema N.° 10
Los lados del rectángulo son de 3 u y 6 u. 
Determine el módulo de la resultante.
A) 3 u 
D) 8u
B) 9u C) 6u 
E) 12 u
Resolución 
Nos piden \r \.
I _lDe la descomposición rectangular de vectores, 
se tiene
6 y ■!--------------------^ A
3 u ==
<--------------------
3 r
6 u J C \
Del gráfico, los vectores que tienen^mismo 
módulo pero con direcciones opuestas se 
anulan y los que tienen la misma dirección se 
suman.
6 u
6 u
6 u 6 u
R
|fl|=12 u
Clave \ í }
Problema N.° 11
A partir, del gráfico mostrado, determine la 
medida del ángulo a para que la resultante de 
los vectores sea vertical. (A=12 u; B=16 u).
A) 45° 
D) 37°
B) 30° C) 53°
E) 60°
Resolución ?
Nos piden a.
0* V \ Mí '
Para que la resultante sea vertical, la resultante 
en la Horizontal necesariamente debe ser nula.
Descomponiendo rectangularmente los vecto­
res, tenemos
16cps53c
Por condición del problema 
16cos53°=12cosoc
4
íx
5
a=37°
)éx^- = )2 cosa -> i = cosa
Clave
à 5
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Problema N.° 14
Determine el módulo de la resultante de los 
vectores que se muestran en la siguiente cua-
Problema M.° 15
drícula:
4
1 u
t r - ' ^ " i ~ ----- Oí- Ti
1 P 1i p/r ii - - n-----1-----
1 1 / -- 1
1 1 1 /
i v :d/
i y t
1 A 1
i/■ i i ~i
X 1 1
/ i i i
1 u
A) 3u 
D) 6 u
B) 4u ,€ f 5 u 
E) 8 ú
Resolución 'V ' 1
Nos piden | R |. \ y
Para determinar el módulo de la resultante 
hallemos primeramente el vector R, parado 
cual representamos los vectores como pares - 
ordenados. - ^
% l¡rDel gráfico, tenemos
A=2?+0j 
B= -3?-2 j
c=or-i?
D=S?+6 j 
R=4?+3j 
En módulo
\r \=v 4^+32 
fíl=5 u
; Clave i C }
Una de las operaciones que se realiza con los 
vectores es la suma vectorial. Esta es importan­
te para conocer la resultante de un conjunto 
de vectores, ya sean velocidades, fuerzas, etc. 
Se muestra un conjunto de vectores. Calcule la 
resultante de estos.
A) E
B) D
C) -D
D) C
E) -C
Resolución 
Nos piden7?.
f \ y o
La resultante del sistema de vectores es 
R = A+~B + C + D+1 (*)
Del gráfico, los vectores A, B ,Cy D forman una 
figura cerrada.
Reemplazamos en (*).
R-A+B+C+D+Ev-------v------- '
cero
¡R=E
i Clave . A ••
Capítulo 2
Problema U: 16
De los vectores mostrados, ¿cuál es el módulo 
de su resultante? (|fí|=5 u):
A) 4 u 
D) 6 u
B) 8u C) 3 u 
E) 10 u
Resolución \ v >.\
Nos piden \r \. - , \ . • v / #
Completamos con un vector sobredas líneas 
punteadas del gráfico adjunto.
Del gráfico, se tiene 
R — A + 5 + E + D + C
x x
R=2x
Luego, en módulo
\r \=2\x \ -> Itfl=2x4 
/. |j?|=8u
: Clave i !
Problema NC 17
Los vectores A, B, C, D y E forman el paralelo- 
gramo mostrado en el gráfico.
Calcule B + C+ A-D+ E.
A) A
B) B
C) E
D) -E
E) -B ' '
ftesotucióñ A
Nos piden R = ~B + C + A -D + E.
n
Del gráfico notamos que los vectores A y C son 
opuestos y de igual módulo; de igual forma
los vectores fi y -D . Por lo tanto, se anulan.
Luego
- y —/ —/ —j .
R = ,B + r + / - D +E
R = E
■ Clave [ C )
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Problema N.* 18_______________ _
En un techo se encuentra incrustado fuerte­
mente un clavo. Con la intención de retirar di­
cho clavo, dos personas amarran el clavo con 
cuerdas, y luego jalan de las cuerdas con fuer­
zas de magnitud ^=5 N y F2=1 N, tal como se 
muestra. Determine la magnitud de la fuerza 
resultante que experimenta el clavo.
| |̂=̂ 1 + 25 + Í í x ^ = V l + 25 + 6
|fl|=V32
|fi|=W2 N
: Clave í :.‘; ;. ...........FiiW**
A) 6N B) 9N
D) 2V2 N
Resolución
Problema N.° 19______________________ _
Dos vectores, A y fí, forman entre sí un ángulo 
de 60° y el módulo de A es de 3 u. Calcule el 
módulo de B para que A -B sea perpendicular 
al vector A.
A) X s S u B) 3 u 
D) 2V3 u'
m jfSÉolüdóní5W mw * a % è
í Nos piden I fi |.
C) 1,5 u 
E) 6u
U N M SM 2006-II
Nos piden \R\.
Para determinar el vector resultante,%|razámos 
paralelas a los vectores mostrados^ j-
Representamos gráficamente el enunciado del 
texto.
Del triángulo notable de 30° y 60° se deduce 
que|fi|=6 u.
De la ley de cosenos, se tiene
' i ~
|tf|=>/l2 + 52+2x1x5xcos530 Clave
lfi|=6u
Capítulo 2 Análisis vectorial
Problema N.“ 20
Si abcdefes un hexágono regular cuyo lado es 
de 3 u, determine el módulo de la resultante 
de los vectores mostrados.
b
A) 3V3 u 
D) 3u
B) 3>/2 u jZfTu*****^
E) 6u
I '-z?f yyyResolución |• * \ ysw §
Nos piden\r \. ' V 4 /
Como los lados del hexágono regular son 
iguales, trasladamos el vector B paralelamente 
detrás del vector C.
Notamos que el vector R reemplaza a los vec­
tores; y como está ubicado exactamente en 
un lado del hexágono, entonces su módulo 
será 3 u.
: Clave i
R 1=3 u
Problema N.° 21
En el sistema de vectores se verifica que 
x=nA+mB. Determine m+n.
A) 4
B) 2
C) 1
» !
0 !
Resolución 
Nos piden m+n.
T 3
kr_
A
Como O es punto medio de la figura cuadran­
g lar, entonces también será punto medio de 
ambos lados.
Del triángulo vectorial sombreado
í - 7 7 3 .
x= -A+ -B= nA+ m B
¿ ¿ t
Comparamos términos.
1 1 n = - y m = - 
2 y 2
m+n=1
Clave
Á
9
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.‘ 22 _______________
En el sistema de vectores mostrado, se verifica 
que x=mA+nB. Determine m-n.
A) 1 B) i
3 « i
D) 2
/ f • ,
Resolución / < '
Nos piden m-n. \ ‘i / - ■'
Notamos que la base del triángulo está divi­
dida en tres partes iguales. Aquí ubicaremos
convenientemente un vector auxiliary.
Reemplazamos (I) en (II). 
x + 2 {x - a ) = B
x = -A+ -B= m A+ nB 
3 3 t
Comparamos términos.
Luego, m -n = - 2
3
1m -n = - 
3
■ 1 j •: Clave í
-v *..................
Problema N/33 _________
A partir del sistema de vectores, determine el 
. vector