Matemáticas - Esfera

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Esfera
En geometría, una superficie esférica es una superficie de revolución formada
por el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto
llamado centro.
Para los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio, se dice que
forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie
esférica se llama bola cerrada en topología, o esfera, como en geometría
elemental del espacio.1 Obviamente, la esfera es un sólido geométrico.
La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie
semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).
Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para
jugar). Coloquialmente hablando, se emplea la palabra bola, para describir al
cuerpo delimitado por una esfera.
Geometría esférica
Como superficie
Como sólido
Propiedades
Volumen
Área
Ecuaciones de la esfera
Ecuación cartesiana
Secciones
Planos en un punto de la superficie esférica
Plano tangente
Plano normal
Plano binormal
Coordenadas sobre la esfera
Extremos de sólidos en la esfera
Generalizaciones de la esfera
Esferas en dimensiones superiores
Esferas en otras métricas
Esferas en topología
Esferas en física
Véase también
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
Proyección en dos dimensiones de
una esfera definida mediante
paralelos y meridianos.
Índice
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_revoluci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_revoluci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
https://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro
https://es.wikipedia.org/wiki/Euclides
https://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griego
https://es.wikipedia.org/wiki/Uso_coloquial
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Paralelo
https://es.wikipedia.org/wiki/Meridiano
La esfera (superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que tienen la misma distancia a un punto
fijo denominado centro; tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del segmento, se denomina radio.
En este caso se genera al rotar una semicircunferencia , usando como eje de rotación su diámetro.2 Este concepto se usa al definir
la esfera en geometría analítica del espacio.
La esfera (sólido esférico) es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que están, respecto del centro, a una distancia igual
o menor que la longitud de su radio. Este concepto coincide con la definición de bola cerrada en el análisis real de ℝ3. Se genera
al rotar un semicírculo, teniendo como eje de rotación su diámetro.3 
En esta situación, topológicamente, se puede hablar de frontera( Fr) el conjunto de puntos de la esfera de distancia igual al radio;
interior ( Int), el conjunto de puntos de distancia menor que el radio; exterior (Ext), el conjunto de puntos de distancia mayor
que el radio. Cumpliéndose que estos tres conjuntos forman una partición del espacio, de modo que son disjuntos dos a dos y la
unión de los tres es el mismo espacio.4 
Cualquier segmento que contiene el centro de la esfera y sus extremos están en la superficie esférica, es un
diámetro.5 
Cualquier sección plana de una esfera es un círculo.
Cualquier sección que pasa por el centro de una esfera es un círculo mayor, y si la sección no pasa por el
centro es un círculo menor.
Si se da un círculo de una esfera, los extremos del diámetro perpendicular a aquel se llaman polos de dicho
círculo.6 
El volumen, , de una esfera se expresa en función de su radio como:
Se puede considerar el volumen de una esfera como 2/3 del volumen del cilindro
circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo diámetro que la esfera.
Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro:
Esta relación de volúmenes se atribuye a Arquímedes.
Es posible calcular el volumen de una esfera con un margen de error aproximado
al 0.03% sin utilizar el valor de π:
Geometría esférica
Como superficie
Como sólido
Propiedades
Volumen
Datos para hallar el área y volumen
de la esfera respecto del cilindro
circunscrito.
https://es.wikipedia.org/wiki/Volumen
https://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
https://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro
https://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Esfera_Arqu%C3%ADmedes.jpg
El área es 4 veces por su radio al cuadrado.
Demostración
Arquímedes demostró que el área de la esfera es dos tercios respecto al del
cilindro, usando esta definición:
Demostración
El área de la esfera es también igual a la derivada de su volumen con respecto a 
.
En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano tridimensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1),
con centro en el origen, es:
Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.
Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:
La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la
esfera unitaria:
Área
Ecuaciones de la esfera
Ecuación cartesiana
https://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitaria
y en el segundo ejemplo:
En un espacio euclidiano tridimensional, los puntos de la superficie esférica pueden ser parametrizados de la siguiente manera: 
 
 
donde r es el radio, (x0, y0, z0) son las coordenadas del centro y (θ, φ) son los parámetros angulares de la ecuación.
La intersección de un plano y una
esfera siempre es una
circunferencia. La esfera es el único
cuerpo que tiene esta propiedad.
Lógicamente, si el plano es
tangente, el área de contacto queda
reducido a un punto (puede
considerarse el caso límite de la
intersección).
Si el plano pasa por el centro de la
esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la
circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.
Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera,
aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:
Por otra parte, dos esferas se intersecan si:
y
(son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un
triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.
Secciones
Un círculo máximo divide la
esfera en dos hemisferios
iguales.
Sección de una esfera por un plano.
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_m%C3%A1ximo
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Sphere_halve.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Hemisferio
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Secci%C3%B3n_de_esfera_por_plano.png
En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las
desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que
equivale a una circunferencia de radio cero.
En general, el radio es:
 el medio perímetro.
Es el plano cuya distancia al centro de la esfera es igual a la longitud del radio. O
bien la posición límite de los planos secantes de la esfera cuando su distancia al
centro tiende a la longitud del radio. Dicho plano es único y siempre existe, dado
un punto de una esfera de radio de radio R el plano tangente
viene dado por:
Sin información.
Es el plano perpendicular tanto al plano tangente como al plano normal.
Para localizar un punto de la superficie esférica, las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, por varias razones: en
primer lugar, porque hay tres coordenadas cartesianas, mientras quela superficie esférica es un espacio bidimensional. En
segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más adecuado que las coordenadas ortogonales.
Los dos orígenes ortogonales de las coordenadas esféricas
Se elige un ecuador y un punto del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para
definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamados polos– para
definir el signo del ángulo θ
Intersección de esferas.
Planos en un punto de la superficie esférica
Plano tangente
El plano que toca a la esfera en un
solo punto es llamado plano
tangente. Cada punto de la esfera
tiene asociado un plano tangente.
Para la esfera los puntos antipodales
tiene planos tangente paralelos.
Plano normal
Plano binormal
Coordenadas sobre la esfera
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Esferas_secciones.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Image_Tangent-plane.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_antipodal
Determinación de los puntos mediante ángulos
Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos
ángulos θ y φ. Con el valor de un ángulo sobre el plano horizontal (plano
del ecuador) y otro vertical (desde un polo), se puede localizar cualquier
punto de la esfera.
En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues
permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en
geografía se usan los grados sexagesimales o centesimales: en este caso, θ
es la latitud del punto y φ su longitud si se toma un origen en el punto del
ecuador del meridiano de Greenwich y el otro origen en el polo norte. Las
latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y las longitudes
positivas al hemisferio Este.
Introducir un tercer parámetro r permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone
tomar φ en un intervalo semi-abierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene
coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical, donde sirve cualquier valor de φ.
Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas esféricas (r, φ, θ) serán:
Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las coordenadas esféricas:
Dada una esfera, de radio = R, un cilindro inscrito en ella, tiene los siguientes datos, r= radio y h= altura, cuando
su superficie lateral es máxima:
.7 
Un cilindro de radio = r y altura = h, inscrito en una esfera de radio = R, alcanza volumen máximo si se tiene los
siguientes resultados:
Extremos de sólidos en la esfera
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n
https://es.wikipedia.org/wiki/Geograf%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Grados_sexagesimales
https://es.wikipedia.org/wiki/Grados_centesimales
https://es.wikipedia.org/wiki/Latitud
https://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_(cartograf%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Meridiano_de_Greenwich
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas
https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svg
.7 
Un cono de radio r y altura h, inscrito en una esfera de radio R, alcanza volumen máximo, si ocurre que:
.7 
Se puede generalizar la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. A partir de la cuarta dimensión
ya no es representable gráficamente, pero la definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un
punto fijo. En un espacio euclidiano de cuatro dimensiones, usando un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación de la
esfera de radio 1 centrada en el origen es:
donde t es la cuarta coordenada. Análogamente en un espacio euclidiano de n dimensiones:
Y para una esfera de radio r, y centro (c1, c2, ..., cn):
El volumen de la esfera contenida en la superficie anterior, en dimensión n se calcula por inducción sobre n. Aquí están los diez
primeros valores de Vn(r) y las superficies correspondientes:
Dimensión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Volumen 2r πr2 4πr
3 
3
π2r4 
2
8π2r5 
15
π3r6 
6
16π3r7 
105
π4r8 
24
32π4r9 
945
π5r10 
120
Superficie 2 2πr 4πr2 2π2r3 8π
2r4 
3 π
3r5 16π
3r6 
15
π4r7 
3
32π4r8 
105
π5r9 
12
El volumen de la bola alcanza su máximo en dimensión 5, mientras que la superficie de la esfera lo alcanza en dimensión 7.
Existe la posibilidad de representar una n-esfera o hiperesfera de n dimensiones como fibrado de otra hiperesfera de dimensión
inferior. Esto solo sucede en tres casos:
, puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base y fibra , esta construcción puede
obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números complejos.
Generalizaciones de la esfera
Esferas en dimensiones superiores
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Fibrado
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
, puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base y fibra , esta construcción puede
obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números cuaterniónicos.
, puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base y fibra , esta construcción puede
obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números octoniónicos.
Para dimensión superior no existen otros casos en que esto sea posible.8 
La noción de esfera se generaliza a cualquier espacio métrico así: la esfera de
centro a y de radio r es el conjunto de puntos de ese espacio que distan r del punto a, es
decir:
y la bola correspondiente es:
Para no ser demasiado general,
restrinjámonos al espacio real tridimensional, con distancias provenientes de
distintas normas, y consideramos las esferas unitarias.
Para un vector u(x, y, z) cualquiera, se definen las normas siguientes:
||u||1 = |x| + |y| + |z|. S(O,1) es un octaedro regular (figura a
la derecha).
:u2 = √(x² + y² + z²). Se trata de la norma euclidiana, luego S(O,1) es la esfera
usual. :ux|³ + |y|³ + |z|³). S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera
usual y el cubo (figura a la izquierda). ux|,|y|,|z|). S(0,1) es un cubo.
Cabe tener presente que el concepto geométrico y el concepto topológico de "n-esfera" no coinciden. En geometría, la superficie
de la esfera es llamada 3-esfera, mientras que los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como .9 
La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su
omnipresencia en el mundo físico; en una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso, o entre líquidos no solubles de
diferente densidad, existen fuerzas superficiales que deformarán la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los
puntos de la misma, y este corresponde a una esfera, en ausencia de toda perturbación exterior.
Círculo
Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas
Esferas en otras métricas
Esferas en topología
Esferas en física
Véase también
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuaterni%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Octoniones
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Soluble
https://es.wikipedia.org/wiki/Densidad
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Ecuaciones_de_figuras_geom%C3%A9tricas
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Octaedro_regular.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Esfera_con_norma_3.png
Canica
Casquete esférico
Coordenadas esféricas
Empaquetamiento de esferas
Esfera cornuda de Alexander
Esfera homológica
Número de osculación (problema)
Paradoja de Banach-Tarski
Pseudoesfera
Esferoide
Esfera celeste
1. Bruño, G. M. Elementosde geometría.
2. García Arenas- Bertran Infante.Geometría y experiencias ISBN
968-441-0-29
3. García Arenas y Bertran Infante. Op cit.
4. García y otros. Topología 84-205-0557-9.
5. G. M. Bruño. Elementos de Geometría
6. Bruño. Op. cit.
7. I.P. Natansón. Problemas elementales de máximo y mínimo
Suma de cantidades infinitamente pequeñas. Editorial Mir, Moscú
(1977)
8. Penrose, R.: El camino de la realidad, Ed. Debate, Barcelona,
2006, p. 464, ISBN 84-8306-681-5.
9. Weisstein, Eric W. «Esfera» (http://mathworld.wolfram.com/Spher
e.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram
Research.
Roger Penrose (2005): The Road to Reality: A Complete Guide
to the Laws of the Universe.
William Dunham. "Pages 28, 226", The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great
Proofs, Problems and Personalities, ISBN 0-471-17661-3.
Yann Rocher (ed.), Globes. Architecture et sciences explorent le monde, Norma/Cité de l'architecture, Paris,
2017.
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Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una organización sin ánimo de lucro.
Una de las esferas más perfectas
creadas, refractando la imagen de Albert
Einstein. Se aproxima a la esfera ideal
con un error menor que el tamaño de
cuarenta átomos alineados.
Las pompas de jabón son una buena
representación física de la esfera.
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/Canica
https://es.wikipedia.org/wiki/Casquete_esf%C3%A9rico
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas
https://es.wikipedia.org/wiki/Empaquetamiento_de_esferas
https://es.wikipedia.org/wiki/Esfera_cornuda_de_Alexander
https://es.wikipedia.org/wiki/Esfera_homol%C3%B3gica
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_osculaci%C3%B3n_(problema)
https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Banach-Tarski
https://es.wikipedia.org/wiki/Pseudoesfera
https://es.wikipedia.org/wiki/Esferoide
https://es.wikipedia.org/wiki/Esfera_celeste
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8483066815
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
https://es.wikipedia.org/wiki/Roger_Penrose
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0471176613
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikimedia_Commons
https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Spheres
http://enciclopedia.us.es/index.php/Esfera
https://es.wikipedia.org/wiki/Enciclopedia_Libre_Universal
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Esfera&oldid=118415341
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https://wikimediafoundation.org/wiki/Privacy_policy
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https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Einstein_gyro_gravity_probe_b.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81tomo
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Soap_bubble_green_back.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Pompa_de_jab%C3%B3n