Mecánica

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Fermín Alberto Viniegra Heberlein
nació en Coyoacán, D.F. en 1939. Hizo
sus estudios de licenciatura en la
Facultad de Ciencias de la UNAM; los
de posgrado los realizó en Alemania,
en la Universidad Albert-Ludwig y los
concluyó en la UNAM, obteniendo el
grado de Doctor en Ciencias en 1970.
Desde 1965 es profesor de
la Facultad de Ciencias. Se ha desem-
peñado también como investigador
en la Comisión Nacional de Energía
Nuclear, en el Instituto Mexicano del
Petróleo y como profesor de Posgrado
e Investigación de la ESIME, del IPN.
Durante sus años sabáticos, ha sido
profesor invitado en la UAM-Azcapot-
zalco y en la Universidad Autónoma
de Chapingo. Ha ocupado además, di-
ferentes puestos académico-admi-
nistrativos en la UNAM.
El doctor Viniegra ha dirigido
20 tesis de licenciatura, 20 de maes-
tría y tres de doctorado; es uno de los
autores del programa de doctorado
en ciencias de la ESIME del IPN, es
autor de más de treinta artículos de
investigación y ha escrito y publicado
cinco libros sobre enseñanza y sobre
física.
Otros títulos de esta
colección:
Manuel de Llano
Enrique Yépez
Miztli Yépez
Berta Oda Noda
René Garduño
Antonio Sarmiento Galán
Dr. Julio Martinell Benito
Dr. José Antonio García Barreto
Angélica L. Gelover-Santiago
Gerardo Carmona
Mécanica cuántica
Mecánica análitica
Introducción al análisis
gráfico de datos
experimentales
Datos y reportes en el
laboratorio de mecánica
Gravitación
Solución de problemas de
teoría electromagnética
Simulación del modelo de
Ising con el método de
Monte Carlo
Termodinámica clásica
Mecánica
Libro1
Fermín Viniegra Heberlein
Mecánica
Libro 2
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Este es el segundo libro que se publica sobre el grantema de la mecánica de un conjunto de tres que
deberán aparecer. Aquí se presenta el desarrollo de la
mecánica analítica. Se trata de dar un paso más; de inter-
narse en las ideas que sobre la mecánica surgieron allá
por el siglo XVIII y con las cuales las interacciones físicas
entre los cuerpos y los agentes dinámicos tuvieron una
expresión clara y profunda.
En este libro se han descrito las ideas de estos
cuatro gigantes de la física: Euler, Lagrange, d'Alembert y
Hamilton, en forma ordenada y didáctica, pensando que
el material que se cubre, muy bien puede formar parte
de un primer curso de mecánica analítica a nivel de una
licenciatura en ciencias o en ingeniería mecánica.
Se exponen los temas acerca los llamados
formalismos o formulaciones de Lagrange y Euler, de las
coordenadas generalizadas y el principio de d'Alembert
que permitieron obtener las ecuaciones de Lagrange. Así
mismo, se ve cómo estas ecuaciones diferenciales sur-
gen rápida y fácilmente como consecuencia del formida-
ble principio de Hamilton de la acción extremal; se dis-
cute el concepto y se aplica, tanto en el caso de cons-
tricciones holonómicas, como en el de aquellas que no
dependen nada más de las coordenadas generalizadas y
el tiempo. El método de los multiplicadores indetermi-
nados se estudia dentro de este contexto.
Finalmente, la teoría no puede quedar completa
sin el tema de las leyes de conservación asociadas a las
simetrías de un sistema de partículas. Por ello el teorema
de Nöther se expone en forma detallada en esta obra.
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9 7 8 6 0 7 2 0 0 0 0 0 1
ISBN 978-607-2-00000-1
*Edit002060*Pub0035485*
Temas de física
Mecánica
Libro 2
Mecánica
Libro 2
Fermín Alberto Viniegra Heberlein
FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM
Mécanica. Libro 2
1a edición, 2008
Facultad de Ciencias
Circuito exterior s/n
Ciudad Universitaria, México 04510, D.F.
cse@fciencias.unam.mx
ISBN obra completa: 978-970-32-4498-0
ISBN libro 2: 978-607-2-00000-1
Diseño de portada: Laura Uribe
Tipografía y figuras: Mauricio Vargas Díaz
Impreso y hecho en México
D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México
A la memoria de mi madre
Anna Helene Heberlein Lang
(1910-1967)
CONTENIDO
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
5. La mecánica analítica . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.1. Las fuerzas de constricción o Jean le Rond d’Alembert . . 1
5.2. El principio de d´Alembert . . . . . . . . . . . . 10
5.3. Constricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.4. La mecánica analítica de Joseph Louis Lagrange . . . . 33
5.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.6. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 59
6. El principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 67
6.1. El principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . 67
6.2. El método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange 84
6.3. Coordenadas ignorables y leyes de conservación . . . . 93
6.4. Teoría clásica de campos . . . . . . . . . . . . . 106
6.5. El teorema de Nöther . . . . . . . . . . . . . . 127
6.6. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 150
7. Aplicaciones de la mecánica . . . . . . . . . . . . 159
7.1. El trompo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2. La mecánica de fluidos de Stokes . . . . . . . . . . 189
7.3. Las ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . 213
7.4. Los fluidos Stokesianos . . . . . . . . . . . . . 231
7.5. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 235
8. Mecánica analítica de fluidos . . . . . . . . . . . . 243
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.2. Representaciones de fluidos . . . . . . . . . . . . 252
vii
8.3. Transformaciones de coordenadas . . . . . . . . . 259
8.4. El principio de invarianza y las ecuaciones de flujo . . . 281
8.5. Lagrangianas. Ecuaciones constitutivas y ecuaciones de ba-
lance de momento . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.6. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 311
Contenido
viii
PRÓLOGO
En una noche estrellada, limpia, lejos de las luces y los humos de las ciu-
dades, de pronto, sin previo aviso, un pequeño punto luminoso en el fir-
mamento comienza a brillar más y más, hasta convertirse en la estrella
que tiene el mayor brillo de todas. Quienes han presenciado este fenó-
meno, han dejado constancias, a través de sus relatos, del espectáculo que
es contemplar una nova. Llega a tener tal brillo, que, según refieren estos
observadores, la luz que irradia alumbra casi como la luna llena en una no-
che de octubre.
La ocurrencia de novas no es algo cotidiano. Por el contrario; rara vez
los seres humanos hemos tenido la suerte de presenciar un acontecimien-
to así. Se cuenta que los chinos, en el año 1074, registraron la supernova
que dio lugar a la nebulosa del Cangrejo que se observa hoy en día.
En el siglo XVI, caminando a casa después del trabajo, Tycho Brahe, el
gran astrónomo danés, observó uno de estos eventos celestiales. De hecho,
fue él quien les dio a estos fenómenos el nombre de “novas”. Observan-
do y cavilando, llegó a la conclusión de que esas estrellas que de pronto
explotan, tienen que ser fenómenos “translunares”; es decir, que ocurren
mucho más lejos que la Luna. Con esta conclusión puso de cabeza a los
eruditos y teólogos de su época, pues mostró que en el cielo, mucho más
allá de las esferas donde transitan los planetas; allá donde están las estre-
llas, hay cuerpos celestes que sufren mutaciones violentas. En contra de lo
que se pensaba, lejos, muy lejos de nuestro ámbito, donde Dios puso los
astros; donde su obra se concluyó, ocurren hechos que muestran que el
Universo no es estático. La obra de Dios, parece pues, no ser perfecta, inmu-
table y eterna. Allá, en la Europa del siglo XVI, con el descubrimiento de
las novas, el pensamiento tradicional tuvo que iniciar las profundas refor-
mas que gradualmentelo han venido limpiando de falsos conceptos, de su-
persticiones y de miedos.
Hoy se sabe que una supernova es una anciana estrella que, después de
haber consumido todo su combustible (oxígeno), sufre una fenomenal im-
ix
plosión; se derrumba sobre sí misma debido a la fuerza de la gravedad y,
como consecuencia de ella, explota posteriormente, liberando cantidades
ingentes de energía, luz, radiación y materia pesada. Las supernovas son
las fábricas últimas donde los elementos densos de la tabla periódica
son creados. Es allí, en los núcleos de esas estrellas en proceso de muerte,
donde el hierro y otros metales se forman como resultado de los procesos
de fusión. Así, el hierro, el carbono y todos los elementos de que estamos
hechos, alguna vez, hace muchísimos millones de años, fueron material de
eyección de una nova o de una supernova. En este sentido todos los seres
vivos de este planeta somos en realidad extraterrestres, pues venimos de no-
vas y supernovas a años luz de distancia.
Pero así como en el cielo de vez en cuando un punto comienza a brillar
con una intensidad cada vez mayor hasta hacer que otros cuerpos celestes
se vean eclipsados por su brillo, también esto ocurre con ciertos individuos
cuyos pensamientos, cuya obra, han marcado un hito luminosísimo que
alumbra el camino de la humanidad. A no dudarlo, se puede equiparar la
obra de Isaac Newton, con una supernova que dio luz al pensamiento mo-
derno; que alumbró con tal intensidad que opacó las supercherías y mitos
y puso a la humanidad en el camino de descubrimientos y desarrollos só-
lidos, eficientes y productivos que hoy ha tomado. El mundo después de
Newton, ha sido el de la ciencia, el del conocimiento cierto, verdadero; el
que se puede contrastar con la realidad.
Como una onda expansiva, la mecánica de Newton se propagó rápida-
mente por todo el mundo. Centenas de personas, atraídas por los espec-
taculares resultados de la mecánica newtoniana, se involucraron en estudios
teóricos, en sus laboratorios o en los observatorios astronómicos, para com-
probar los resultados de la teoría, o bien, para tratar de encontrar algún
hecho, algún resultado, algún signo que contradijera a la mecánica clásica
y echar abajo el esquema del genio de Woolthorpe, en Inglaterra. Un am-
biente de efervescencia intelectual se dio, primero en la Europa del siglo
XVIII y no ha terminado de darse en todo el mundo. Nuevos resultados
comenzaron a aparecer aquí y allá en relación con este tema, nuevas fórmu-
las para describir fuerzas, nuevos procedimientos para atacar variados pro-
blemas que involucran cuerpos materiales en movimiento, nuevos teoremas.
Reportes de resultados experimentales y artículos con desarrollos teóri-
cos novedosos inundaron las revistas científicas de la época. Casi literal-
mente se puede decir que una atmósfera impregnada por las ideas de la
Prólogo
x
mecánica se respiraba en los años posteriores a la publicación de los Prin-
cipios matemáticos de la filosofía natural de Newton.
La onda expansiva de aquella “supernova” que fue Isaac Newton, se pro-
pagó por todos los ámbitos de Europa. Unos cincuenta años después de la
publicación de la mecánica, tres extraordinarios talentos científicos se en-
contraron en Berlín, Alemania, para trabajar en un nuevo modelo de la teo-
ría. Leonhart Euler, Joseph Louis Lagrange y Jean le Rond d’Alembert
se reunieron durante unas semanas para trabajar en lo que ahora se conoce
como la Mecánica Analítica. Se trata de un modelo nuevo; un enfoque
original, mucho más profundo del tema.
Después de esas semanas de intenso trabajo, los tres genios regresaron
a sus lugares de origen, no sin antes escribir artículos sobre el novedoso en-
foque de la mecánica que habían elaborado. Así, el mundo científico pudo
contemplar nuevamente el intenso brillo intelectual de esta obra.
Unos ochenta años después, en la primera mitad del siglo XIX otro astro
de intenso brillo vino a poner sobre el tema de la mecánica analítica, el bro-
che de oro con el cual el modelo quedó completo. Rowan Hamilton, desde
Irlanda fue a quien le correspondió el sitio para completar aquel estu-
pendo equipo de cuatro caballeros; como el d’Artagnan de los tres mos-
queteros.
Tal como se conoce ahora, la mecánica analítica es toda una teoría en
sí misma. Contiene su propio conjunto de postulados y se desarrolla si-
guiendo procedimientos del cálculo variacional. Esta teoría, por supues-
to, llega a exactamente los mismos resultados que la mecánica clásica de
Newton, pero lo hace de una forma mucho más simple. No nada más eso.
El concepto mismo de lo que es la dinámica, tiene en la mecánica analí-
tica su interpretación más profunda. Aquí es donde se echaron las bases
para la moderna interpretación de todas las interacciones: la gravitacional,
la electromagnética y las nucleares. En la mecánica analítica se comprende
el significado profundo de las leyes de la conservación, como simetrías de la
naturaleza. Con la mecánica analítica es posible tratar fuerzas, cosa que
en el esquema newtoniano no se podía hacer. Pero el resultado conspicuo del
nuevo modelo es que no nada más es posible plantear con sencillez los
problemas que involucran a los cuerpos materiales y los agentes físicos que
los afectan, sino que también es posible ahora hallar métodos precisos y
confiables de solución de las ecuaciones diferenciales propias de este tema.
Soluciones cerradas, o en el peor de los casos, soluciones en series o aproxi-
Prólogo
xi
madas, se obtienen de la mecánica analítica de Euler, Lagrange, d’Alembert
y Hamilton.
Éste es el segundo libro que se publica sobre el gran tema de la mecáni-
ca, de un conjunto de tres que deberán aparecer. En éste, se presenta el
desarrollo de la mecánica analítica; el que contiene los llamados forma-
lismos o formulaciones de Lagrange y Euler. Se trata de dar un paso más; de
internarse en las ideas de la mecánica que surgieron allá por el siglo XVIII
y con las cuales las interacciones físicas entre los cuerpos y los agentes
dinámicos tuvieron una expresión clara y profunda.
En este libro se han descrito las ideas de estos cuatro gigantes de la físi-
ca en forma ordenada y didáctica, pensando que el material que se cubre,
muy bien puede formar parte de un primer curso de mecánica analítica a
nivel de una licenciatura en ciencias o en ingeniería mecánica. Se exponen
los temas acerca de las coordenadas generalizadas y el principio de d’Alem-
bert que permitieron obtener las ecuaciones de Lagrange. Así mismo, se ve
cómo estas ecuaciones diferenciales surgen rápida y fácilmente como conse-
cuencia del formidable principio de Hamilton de la acción extremal.
Las constricciones es un tema que debe comprenderse bien para sacar
el mayor provecho de la formulación. Por ello, en este libro se discute el
concepto y se aplica; tanto en el caso de constricciones holonómicas,
como en el de aquellas que no dependen nada más de las coordenadas ge-
neralizadas y el tiempo. El método de los multiplicadores indetermina-
dos se estudia dentro de este contexto.
Finalmente, la teoría no puede quedar completa sin el tema de las leyes
de conservación asociadas a las simetrías de un sistema de partículas. Por
ello el teorema de Nöther se expone en forma detallada en esta obra.
La mecánica analítica pudo resolver problemas que, o no había sido po-
sible resolverlos con la vieja teoría newtoniana, o bien que su resolución
había sido obtenida en forma abstrusa y laboriosa. La dinámica del cuerpo
rígido es un ejemplo de esto último. Por ello, en este libro se hace una expo-
sición prolija del tema, mostrando cómo, con la ayuda de las ideas de
Lagrange y Euler, así como con el ingenio de aquella brillante física deci-
monónica; Sonia Kowalewskaia, la dinámica de los cuerpos rígidos pudo
comprenderse en forma más fácil y más profunda con las ecuaciones de
Lagrange.
Como un ejemplo de un problema de dinámica que había resistido más
de cien años todo intento de resolución, en este Libro 2 se deducen las
Prólogo
xii
ecuacionesdiferenciales fundamentales de la mecánica de fluidos, desde
la perspectiva de la mecánica analítica. Este trabajo es obra del autor; es
el resultado del trabajo de muchos años que concluyó con el estableci-
miento de todo el esquema teórico para describir la conducta de los flui-
dos a partir del principio de Hamilton y el cálculo variacional. Tal como
ha quedado, aparece como una extensión lógica y natural de la mecánica
analítica. En muchos textos sobre el tema, se tiende a mostrar cómo las
ideas de la mecánica de Lagrange y Hamilton devienen en el campo de la
mecánica cuántica y otras teorías de la física moderna. El autor está con-
vencido que, si bien esos grandes temas de la física teórica son funda-
mentales para la formación de científicos, la mecánica de fluidos debe ser
considerada por encima de esos temas para preparar a los estudiantes que
en el futuro se dediquen a la investigación. Es notable que el tema de los
fluidos hasta muy recientemente se ha incluido en los currícula de las escue-
las de física, cuando debía tenerse como uno de los temas prioritarios
para sus extensas y aún poco conocidas aplicaciones en la ingeniería y la
industria modernas.
Muchos años de estudio, de investigación y de docencia han condu-
cido al autor a confeccionar este libro. La profunda experiencia de esos
largos años han permitido crear un texto para la enseñanza de la mecánica
como el que ahora ha aparecido aquí. Se ha cuidado, como en el primer
libro, cubrir los cuatro aspectos que se tienen por básicos: la fundamen-
tación de los conceptos, el desarrollo teórico-matemático, las aplicaciones
de la teoría y la ubicación histórica de los temas.
Pero nada de esto hubiese sido posible sin la concurrencia, la ayuda y
la crítica de muchas personas que desinteresadamente le han dado al autor
los ánimos y los estímulos para realizarlo. Sería imposible dar crédito aquí
a todos los que intervinieron en la confección del libro. Pero es impor-
tante mencionar a algunos que con su ayuda materializaron la obra. A la
señorita Rosa de la Cruz Ramírez Rosas y al señor Benito Guadalupe Cruz,
por haber ayudado en la transcripción a medios electrónicos el libro. A la
señora Martha Pöhls Padilla, quien, con paciencia y cuidado ayudó en la
corrección, la transcripción y en muchas ocasiones reconstruyó y volvió
a ordenar y organizar el manuscrito original. A esta persona debo un
agradecimiento muy especial por su amistad y su ayuda. Pero a quien de-
seo agradecer muy especialmente por haber leido, corregido y transcrito
electrónicamente los tres libros que forman esta obra es la Dra. Barbarela
Prólogo
xiii
Dávila Carmona. Sin su paciencia y dedicación este trabajo nunca hubiera
salido. Un profundo agradecimiento y reconocimiento es necesario dar
a las autoridades de la propia Facultad de Ciencias, por su apoyo econó-
mico. Muy especialmente es necesario agradecer al Dr. Ricardo Vera, Jefe
del Posgrado en Ciencias e Ingeniería de los Materiales de la UNAM por
el apoyo económico que brindó para la edición de este libro. Finalmente, es
muy grato y alentador para el autor, haber recibido del Programa de Apoyo
a Proyectos Institucionales para el Mejoramiento de la Enseñanza (PAPIME)
de la UNAM, el financiamiento que ha hecho posible en buena medida la
materialización de los tres libros MECÁNICA (PE-103705).
Ciudad Universitaria, México, 2008
Prólogo
xiv
CAPÍTULO 5
LA MECÁNICA ANALÍTICA
5.1. Las fuerzas de constricción o Jean le Rond d’Alembert
No es difícil imaginar el impacto que causó el trabajo de Isaac Newton
después de la publicación de su obra Principios matemáticos de la filo-
sofía natural. El mundo científico de pronto tuvo un método para hacer
ciencia; para buscar de manera precisa explicaciones ciertas a los fenóme-
nos naturales. El método científico ha sido desde entonces la estrategia
formidable para hallar respuestas, para predecir acontecimientos y para
llevar a cabo experimentos científicamente correctos, con los cuales el
conocimiento avanza. La observación, la ordenación, el análisis y, poste-
riormente, la síntesis del conocimiento han sido las piedras angulares de
la ciencia desde entonces.
Pero güero hubiera sido el trabajo de Newton si solamente hubiese que-
dado en un mero recetario, en un listado de consejos de tío viejo, para
hacer el trabajo científico. En su obra, particularmente en aquella parte de
los Principios matemáticos que versa sobre la mecánica, establece el esquema
fundamental de esta teoría; ese que se mencionó al principio del libro.
Desde el concepto de espacio euclideo tridimensional como el escenario de
los acontecimientos naturales y del tiempo absoluto, estrictamente monó-
tono y como parámetro elemental de la mecánica, hasta el establecimiento
de sus leyes del movimiento. Luego de proponer el concepto de fuerza y las
ecuaciones empíricas que lo definen para cada tipo particular de interacción
(sea ésta de acción inmediata o de contacto, como se les conoce, o bien de
acción a distancia), llevan al establecimiento de ecuaciones diferenciales.
Estas son las ecuaciones diferenciales de movimiento. Integrándolas e im-
poniendo las condiciones iniciales pertinentes a cada problema, se arriba a
las ecuaciones de movimiento; esto es, aquellas funciones que vinculan las
posiciones en el espacio, con el tiempo.
1
Para volver operativo su esquema y poder seguir su estrategia, Newton
inventó el cálculo diferencial e integral; así nomás se dice, aunque ya pen-
sándolo con cuidado se cae en la cuenta de las dimensiones colosales del
trabajo. Uno solo de éstos que han sido descritos aquí en unas cuantas
líneas, hubiera sido, por sí solo, objeto de reconocimiento para el genio que
lo creó, pues este señor no sólo hizo el cálculo diferencial e integral, sino
que cambió la concepción del mundo.
La historia del hombre ha estado marcada por unos cuantos hitos;
piedras magníficas que permiten entender cómo ha llegado a ser lo que
es. Así, un día, un venerable homínido comenzó a pensar en forma orde-
nada y unificada. Su nombre y su familia están perdidos en las neblinas
añejas de los milenios, así que ni siquiera se le puede rendir el tributo que
merece, ni se le puede mencionar en las clases de las escuelas elementales
para que los niños tengan que recitar su nombre y su estirpe. Millones de
años después, en lo que ahora es Grecia otro ser, esta vez un hombre hecho
y derecho, se dio cuenta por primera vez, que pensaba. Durante milenios
el ser humano ha pensado, pero tuvo que pasar todo este tiempo para
que alguien, también anónimo, hiciera el portentoso descubrimiento de
su propio pensamiento. Así, en ese entendido, la gente pensante se puso
a hacerlo pero ordenadamente, planteándose preguntas y proponiendo
respuestas a ellas. La filosofía había nacido.
Naturalmente, de tanto pensar y hacerlo así, sin cortapisa alguna, co-
menzó la mente y el conocimiento a perderse y a confundirse. Durante cer-
ca de dos mil años, el talento intelectual buscó su camino. De Grecia,
pasó al norte de África, a Egipto, a Fenicia; regresó y se asentó por un
tiempo en Persia y volvió sobre sus pasos hasta el occidente de África.
Entró por Iberia y llegó a Inglaterra y de allí al resto de Europa.
Y mientras marchaba buscando un lugar que le brindara la luz y el
camino, se fue perfeccionando.
Con Copérnico, con Tycho Brahe y Johannes Kepler, pero sobre todo,
con Galileo y Newton, el pensamiento humano fue llevado a alturas nunca
antes imaginadas siquiera. De pronto, los fenómenos celestes, o celestia-
les, como se llamaban, dejaron de ser del dominio de las religiones; dejaron
de ser el reino de la magia y la superstición, donde las cosas ocurren por
mandato de una mente divina, colosal, inaccesible al limitadísimo horizon-
te humano y por lo tanto inexplicables, para convertirse en hechos per-
fectamente simples, llanos y lógicos, sobre la base de una premisa que
La mecánica analítica
2
vincula una causa a un efecto: la fuerza y el cambio del estado de movi-
miento de las cosas materiales.
Depronto resultó que los hechos de la vida cotidiana aquí en la Tierra,
como el tiro de una carreta por la yunta de bestias, o el vuelo de la saeta
por el aire desde la ballesta al blanco, o también el giro de las aspas de un
molino por la fuerza del viento, son fenómenos de la misma categoría que
el movimiento de los planetas y de los satélites o incluso, las revolucio-
nes de la materia estelar de una galaxia alrededor del centro. Todos: la
carreta, la flecha, o la galaxia son cuerpos materiales cuyos movimientos
se deben a la presencia de las fuerzas.
Aquello fue como una machincuepa de la mente; un vuelco de ciento
ochenta grados que puso al cielo al alcance de cualquier mortal y llevó al
ser humano a una dimensión infinita.
Cuentan sus biógrafos que una de las razones por la cual Newton se
resistió durante tantos años a publicar su obra, fue que, según él, la huma-
nidad aún no se encontraba preparada para recibir ese conocimiento y
temía que pudiese ser utilizado, no para construir y progresar, sino para
hacer daño y destruir (no estaba muy equivocado por cierto). Bueno, la
verdad es que si bien pudo sentir, en efecto, escrúpulos por la potencia
de sus leyes y el impacto negativo que pudiera darse por la perversa apli-
cación de ellas en perjuicio de la humanidad toda, también hay que ubicar-
se en el contexto de su compleja personalidad. Un tipo un tanto misán-
tropo que no toleraba ni la mínima crítica, que evitaba la proximidad y
el contacto físico con otras personas y tenía arranques de ira irrefrena-
bles cuando alguien osaba expresar disentimiento a sus iniciativas, al
grado de llevarlo a la horca. Una personalidad como la que tuvo Isaac
Newton no era proclive, de manera alguna, a comunicar; a comunicar-
se con sus semejantes. Su obra monumental, los Principios matemáticos
de la filosofía natural, fue un libro que Newton nunca deseó escribir y
publicar. De hecho él no lo escribió, o al menos no lo hizo en su forma
definitiva. Su amigo, su único y grande amigo Edmond Halley (1656-
1742) fue quien llevo a cabo la escritura y publicación del trabajo,
pagando de su propio bolsillo los gastos de esta tarea. A tal grado fue
remiso Newton en su ánimo de divulgar, que si por él hubiera sido, su
pensamiento muy probablemente jamás hubiera abandonado el escrito-
rio donde guardaba sus hojas manuscritas, sus cálculos e ideas geniales,
allá en la granja de la abuela, en Woolsthorpe y el ser humano nunca hu-
Las fuerzas de constricción o Jean le Rond d’Alembert
3
biera tenido la oportunidad de conocer al más grande genio que los tiem-
pos han visto. A tal grado fue amigo fraterno Edmond Halley que en
parte alguna de la obra de Newton aparece su nombre y pocos, muy pocos,
saben que fue él con quién la humanidad entera adquirió una deuda de
gratitud perenne.
Muy a pesar del genio, se publicó su obra y con ello, buena parte de sus
temores se volvieron realidad. A la vuelta de unos meses Newton se hizo
famoso, primero en Inglaterra y luego, cuando la buena nueva de que la
humanidad tenía al fin una poderosa herramienta para encontrar la ver-
dad, se hizo aún más famoso. Los “chicos de la prensa” de aquel enton-
ces lo asediaron y no había lugar al cual el hombre aquel quisiera ir, que
no estuviese lleno de esa gente que buscaba entrevistarlo para publicar
sus ideas y su pensamiento. Su vieja amiga, la Srita. Ashley, se hizo pre-
sente después de muchos años de separación —desde que Newton iba a
ingresar apenas a la Universidad de Cambridge— y quiso renovar sus
vínculos de amistad tanto tiempo cortados. Aparecieron obras de teatro
donde el nombre y la personalidad de Newton se representaban de diver-
sas formas; unas ensalzándolo como genio, otras ridiculizándolo como
misántropo. Fue el precio doloroso de la fama que tuvo que pagar el co-
loso aquel por haber permitido el desliz de publicar sus trabajos. Nunca le
perdonó a Halley por ello y se pasó el resto de la vida gruñendo sus des-
venturas por su ligereza.
El hecho es que sus ideas se divulgaron y con ello asestó una colosal
nalgada a la humanidad con la cual hizo que el pensamiento y el talen-
to humanos se proyectaran a alturas insospechadas hasta entonces. Sus
leyes se comenzaron a enseñar en todas las universidades y los centros
científicos y la palabra Mecánica se convirtió en el tema que todo hom-
bre y mujer de conocimiento debería comprender y sobre ella debería
trabajar.
Tal como lo presentó al mundo, Newton (Halley) ofreció un platillo
que si bien era aceptable, aún tenía que ser cocinado un poco en el horno
del talento y de la inteligencia para poder degustar al detalle sus alcan-
ces. Las leyes de la mecánica fueron establecidas escuetamente, sin pre-
ámbulo y con muy poco comentario, haciéndolas simples en su enunciado
pero escondiendo su significado profundo. Al través del tiempo han apa-
recido, después de los Principios, cientos o tal vez miles de libros sobre la
mecánica; los ha habido excelentes, estupendos, con escritura clara y atrac-
La mecánica analítica
4
tiva, que “engancha” desde el principio a quien los lee y ya no los puede
dejar hasta no haber concluido su lectura. Los hay interesantes por los
problemas que tratan y resuelven y que se han convertido con el paso del
tiempo en clásicos, por el valor que han adquirido en la formación de cien-
tíficos e ingenieros y, por supuesto, abundan los malos y los pésimos. Año
con año aparecen nuevos mamotretos de mecánica clásica que da dolor
saber la cantidad de papel y horas de trabajo que se gastaron en esas pau-
pérrimas publicaciones.
Buenos, regulares o malos, todos los libros de mecánica comienzan
por establecer las leyes de Newton, igual como pasó con éste. Todos los
autores, sin excepción, al escribir las leyes lo hacen apegándose lo más es-
trechamente posible a la letra de Newton; a la forma como él mismo las re-
dactó en su libro. Ninguna libertad se permiten al momento de postular
los fundamentos, los tabiques cimientos de la teoría. Y una vez escritas las
leyes, no añaden más comentario o aclaración, que aquellos que el autor
original puso entonces. De tal suerte ha sido esta práctica más un acto de
liturgia que de divulgación científica en la que el autor no solamente no se
permite licencia alguna en la proposición de los postulados, sino que tam-
poco la tolera el profesor en su cátedra y cancela con ello, en muchas oca-
siones, la curiosidad creadora de quien cuestiona por el contenido y sig-
nificado de este o aquel concepto.
Particularmente perturbadora resulta la segunda ley de la mecánica,
si se lee con cuidado: “La causa del cambio del estado de movimiento es
solamente la fuerza”… O bien, matemáticamente,
porque para muchos, en la segunda ley se halla la definición de la fuerza
misma y ésta es que la fuerza es el cambio del estado de movimiento de
los cuerpos.
Cientos de discusiones han ocurrido en torno a esta cuestión en los
últimos trescientos dieciséis años. Si los pensamientos pesaran, el planeta
Tierra ya hubiera aumentado notablemente su inercia y la Luna hubiese
terminado por caer en los océanos terrestres.
Lo cierto es que así de escueta, la segunda ley de la mecánica, la más
importante aseveración para plantear y resolver problemas acerca del mo-
vimiento de los cuerpos materiales, debe entenderse simplemente como
� ��F p�
Las fuerzas de constricción o Jean le Rond d’Alembert
5
una relación de causa a efecto, donde la causa es la fuerza y el efecto es el
cambio de estado de movimiento.
Hay que notar sin embargo, que en esa relación cada elemento perte-
nece a un ámbito diferente; así, el cambio de estado de movimiento es
del cuerpo que “percibe” la fuerza, en tanto que ésta tiene su origen en
cualquier parte excepto en el cuerpo mismo. La fuerza puede ser causada
por el golpe que recibe un objeto directamente, de un martillo, que es el
que lo hace pasar del reposo al movimiento. Pero también puede ser esta
fuerza el resultado de un fenómeno que se originó en otra parte muy
lejos del cuerpo estudiado y en otra época, como esel caso de la interac-
ción gravitacional que obliga a una estrella a moverse en torno al centro
galáctico alejado cientos de miles de años luz del astro. Una fuerza así,
que se originó tan lejos en la distancia y en el tiempo, tuvo que viajar,
que propagarse de algún modo a través del espacio físico para llegar a la
estrella y urgirla a cambiar su estado de movimiento.
Newton entendió perfectamente la esencia de su ley y propuso, a
modo de muestra, dos ejemplos con los cuales pudo resolver espectacu-
larmente un conjunto de problemas: el primero fue el caso de la gravi-
tación local, es decir, el peso que los cuerpos masivos tienen aquí, sobre
la superficie terrestre, que los hace caer y rodar, y el segundo fue el de la
gravitación general, la que urge a todo cuerpo cuando se halla en pre-
sencia de otro, con la cual se resolvió en particular el problema de Kepler
y se obtuvieron sus leyes y el problema de Halley y su famoso cometa.
Estos problemas en realidad son uno mismo y ya fueron estudiados en
el Libro 1.
Puede imaginarse que después de haberse publicado esta obra, dece-
nas de hombres de ciencia se pusieron afanosamente a sintetizar nuevas
ecuaciones constitutivas; es decir nuevas fórmulas empíricas que pudieran
representar otras interacciones entre agentes físicos y cuerpos materiales
y que pudieran alimentar la famosa fórmula newtoniana de fuerza igual
al cambio del estado de movimiento. Muy pocos en verdad coronaron con
éxito su búsqueda.
Robert Hooke (1635-1703) propuso su célebre máxima; la llamada ley
de la elasticidad, ut tentio sic vis, que traducida a una fórmula matemáti-
ca expresa que la fuerza con la cual un cuerpo elástico (un resorte por
ejemplo) tiende a recuperar una deformación en cierta dirección, es pro-
porcional a la deformación misma, o bien:
La mecánica analítica
6
donde k es la constante de dureza del material, x es la magnitud de la defor-
mación y el signo menos se pone en la fórmula para indicar que la fuerza
actúa en sentido opuesto a esa deformación.
Posteriormente un ingeniero militar, Charles Augustin de Coulomb
(1736-1806), realizando experimentos con masas metálicas cargadas con
electricidad estática en los extremos de una balanza de torsión que él mis-
mo desarrolló, pudo establecer otra ecuación constitutiva: la ley que lle-
va su nombre y que describe la interacción electrostática entre cuerpos
cargados (véase figura 5.1.1):
donde q y Q representan las cargas eléctricas de los cuerpos, �r� � r��� es la
distancia entre ellos y �
0
es la llamada constante de permitividad eléctri-
ca del vacío, que en el Sistema Internacional de Unidades tiene el valor
Así, la moda fue desde entonces, buscar ecuaciones constitutivas que
representaran distintas fuerzas de la naturaleza.
Después de Coulomb sólo tres personajes tuvieron éxito en sus inten-
tos: Antoon Hendrik Lorentz (1853-1928) y Lenard y Jones, tal como se
mencionó al principio de este libro.
Hay, sin embargo, un tipo curioso en la historia de la mecánica, que vale
la pena mencionar aquí. Se trata de alguien que en realidad no se hizo
famoso por el éxito, sino por el fracaso en sus investigaciones.
La fecha exacta de su nacimiento no se conoce, pues sólo se sabe que
una fría madrugada de noviembre de 1717 la mujer de un humilde zapa-
tero se despertó sobresaltada al escuchar unos golpes en la puerta de su
pobre casita en las afueras de París. Al acudir a ver quien podría a esas ho-
ras llamar a la puerta, descubrió un cesto de mimbre de esos que se lla-
�
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128 85419 10� . � �
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F kx ,��
Las fuerzas de constricción o Jean le Rond d’Alembert
7
man moisés, dentro del cual, cuidadosamente cubierto por un pequeño
cobertor de lana y una sábana de seda azul, igualmente chica, estaba un
bebé que a la sazón debería tener tan solo algunas horas de nacido.
Tan pronto como la mujer y su esposo metieron el cesto y desenvolvie-
ron el paquete, se percataron del contenido. El hombre salió nuevamente
de la casa para tratar de ver si aún alguien estaba afuera, en la calle, pero no
encontró alma alguna. La callejuela estaba absolutamente desierta, obs-
cura y fría.
Mientras tanto, en el interior de la casucha aquella, la mujer del zapa-
tero descubrió una nota prendida de la chambrita del bebé con un alfiler
de seguridad y que decía algo así como: “… este es el producto de un sin-
cero y profundo amor que no puede ser revelado. He sabido que ustedes
son honrados y trabajadores, así que les encargo que cuiden de la salud y
el bienestar del bebé. Nada les faltará en lo económico pues yo velaré por
ello. Gracias. Ch. D.”
La mecánica analítica
8
q
Q
� r� � r� � �
r�
r� �
0
FIGURA 5.1.1. Interacción electrostática (atracción o repulsión) entre dos cuerpos
cargados eléctricamente, con cargas q y Q; separados una distancia �r� � r��� entre sí.
Y en efecto, nunca les faltó dinero para atender a esa sorpresiva res-
ponsabilidad; mes a mes, a la puerta de la casa, muy de mañana, tocaba
alguna persona y deslizaba por debajo un sobre lacrado con algunos bille-
tes… y un saludo firmado Ch. D.
El niño creció rollizo y sano; los papás adoptivos lo criaron con amor
y cuidado; con el dinero que recibían pudieron ahorrar y poner una za-
patería más grande y hasta pagar un par de aprendices.
Juan (Jean), que fue como lo llamaron sus padres, acudió al colegio
de Mazarín, de la orden de los jansenistas en París. Sus condiscípulos lo
llamaron “el redondo” (le Rond) por sus hermosas mejillas y su figura
regordeta, así que desde el principio fue Jean le Rond para todo mundo.
Ya mayor, cuando estaba en sus dieciocho años, el esposo legítimo de
Madame de Tencin, la madre biológica de Jean, murió dejando a su viu-
da una nada despreciable herencia. Fue entonces cuando ella pudo con-
traer nupcias con aquel que había sido su amante durante tanto tiempo; el
Chevalier de Destouches, el padre del niño expósito. Por fin aquel mucha-
cho pudo conocer a sus verdaderos padres y recibir el apellido d´Alembert
por el condado que heredó.
Jean le Rond d´Alembert (1717-1783) estudió leyes, pero nunca liti-
gó; estudió medicina, pero nunca tuvo la oportunidad de ayudar a morir
a enfermo alguno y finalmente se dedicó a las matemáticas y a la física,
donde realmente halló su vocación. Publicó muchos trabajos sobre dis-
tintos temas de esta ciencia, pero el que más lo absorbió fue aquel que tuvo
que ver con hallar una fórmula para las “fuerzas muertas”.
Todas las fuerzas, según Newton, tienen como respuesta en los cuer-
pos materiales el cambio de su estado de movimiento. En cierto sentido,
las fuerzas deben entenderse como provocadoras del movimiento de los
objetos. Son por así decirlo, las causantes del movimiento.
No obstante, existen ciertos agentes físicos que al actuar sobre los cuer-
pos, lejos de provocar el movimiento de ellos, lo impiden, lo constriñen.
Estas son fuerzas con un carácter opuesto a las otras, las fuerzas vivas, las
que realizan los cambios del movimiento de los cuerpos. Éstas en cambio,
son las fuerzas de reacción, las fuerzas que apagan el movimiento.
Para hacer una primera clasificación de las fuerzas, en aquellas primeras
épocas de la mecánica se les llamó a unas, las fuerzas vivas; esto es, aque-
llas que, por decirlo brevemente, provocan el movimiento, como la gravi-
tación, la electricidad y el magnetismo. Las otras, las que en vez de provo-
Las fuerzas de constricción o Jean le Rond d’Alembert
9
car, tienden a apagar el movimiento, fueron llamadas consecuentemente
las fuerzas muertas. Hoy en día ya no se usa esa clasificación; todas son
fuerzas, pero las antes llamadas fuerzas muertas reciben ahora el nombre
genérico de fuerzas de constricción.
Pues bien, el personaje que ocupa esta historia fue uno de tantos talen-
tos científicos que se dedicó a la física y a las matemáticas. En particular,
d´Alembert atacó el problema de las fuerzas muertas, con la intención de
hallar una fórmula, una ecuación constitutiva generalque las representa-
ra en forma matemática. Sabía que podía hacerlo, pues contaba con los
elementos necesarios para ello: había estudiado con gran profundidad la
obra de Newton, se había empapado en las matemáticas superiores hasta
convertirse él mismo en un poderoso matemático que dio solución a una
buena colección de problemas; mismos que publicó en revistas científi-
cas del más alto nivel. Estos trabajos le valieron, por cierto, reconoci-
miento internacional, a tal grado, que comenzó a viajar para conocer a otros
científicos que lo invitaron a colaborar con ellos en la búsqueda de solucio-
nes teóricas a problemas de la mecánica, como pasó con Leonhard Euler y
Joseph Louis Lagrange, con quienes investigó el problema del cuerpo rí-
gido en Alemania en la época que Euler pasó en ese país como matemá-
tico de la corte. También en su natal Francia, d´Alembert cobró noto-
riedad. Cuando Denis Diderot (1713-1784), el brillante filósofo francés
decidió editar la Encyclopédie, ese magnífico testamento de la era de la
ilustración, llamó a d´Alembert para que se encargara de recopilar la infor-
mación y escribir acerca de la física, cosa que por supuesto hizo con el ma-
yor de los esmeros.
Después de una vida colmada de éxitos y logros científicos, Jean le Rond
d´Alembert murió en su natal París, a los sesenta y seis años de edad, el 29
de octubre de 1783.
5.2. El principio de d´Alembert
Durante cerca de cuarenta años, d´Alembert trabajó con ahínco, buscan-
do sintetizar una expresión matemática para las fuerzas muertas; las que
cohíben el movimiento. Para algunos, la tarea no parecía demasiado difícil,
como en el caso del péndulo simple, como el que se muestra en la figura
5.2.1. Una lenteja pesada, con una masa M, unida a un punto fijo o fulcro
La mecánica analítica
10
en O, mediante una cuerda delgada, con masa despreciable y con una
longitud l fija, es sacada de su posición de equilibrio y luego liberada a la
acción de la gravedad. Como se sabe, la fuerza de gravedad de la Tierra
actúa sobre la masa, siempre en la dirección del centro del planeta, de mane-
ra tal que si la lenteja del péndulo estuviese libre, es decir, que si la masa
M no estuviese unida a la cuerda inextensible y ésta a su vez no estuviera
fija al fulcro O, entonces el movimiento del cuerpo sería simplemente
una caída libre. Con esta perogrullada se trata de recalcar que la existen-
cia de la llamada fuerza de tensión T que ejerce la cuerda sobre la lenteja
juega un papel importante en el desarrollo del movimiento.
En cierto sentido, la tensión T constriñe el movimiento que de otro
modo pudo haberse realizado simplemente por la acción de la gravedad y
obliga a la lenteja a moverse como lo hace, en un movimiento de una sola
El principio de d’Alembert
11
x
0
y
α
α
�Mg cos α
�Mg
�Mg sen α
FIGURA 5.2.1. Un péndulo simple ejecuta su movimiento debido a su peso y a la
fuerza de reacción de la cuerda: la tensión T.
dimensión sobre un arco de círculo, siempre a la distancia fija l del ori-
gen.
La fuerza de tensión T es un ejemplo simple de una fuerza de cons-
tricción o, como antes se les conocía, de una fuerza muerta. Actúa como
una reacción a la componente del peso del cuerpo, en la dirección del
centro de masa de la lenteja al fulcro y su magnitud es tal que anula esta
componente. Así, si se usa un sistema de coordenadas polar con el origen
en O, entonces, para este caso particular, se puede representar a la fuerza
de tensión como:
(5.1)
siendo, como es costumbre, M la masa, g la aceleración de la gravedad, �
el ángulo de amplitud instantánea del péndulo y ê
r
el vector unitario
radial.
Se puede afirmar que al ocurrir la fuerza de tensión T�, el cuerpo, en
efecto, limita su movimiento al de una trayectoria a lo largo de un arco
de circunferencia cuyo radio es l; es decir, la longitud del brazo del pén-
dulo. El movimiento, si bien ocurre en el plano, debe ser consistente con
la ecuación de la circunferencia
(5.2)
La expresión (5.2) se conoce como la ecuación de constricción corres-
pondiente a la fuerza de tensión (5.1). Es de verse en (5.2) que, tal como
se mencionó anteriormente, el movimiento se puede describir entonces
con una sola variable independiente, puesto que la otra muy bien se des-
peja de la primera; es decir,
(5.2. a)y x�� �l 2 2 .
x y2 2 2� � l .
�
T e Mg
mv
er r�� �ˆ ˆcos ,�
2
l
La mecánica analítica
12
Es en este sentido que la tensión disminuye los grados de libertad que
hubiera podido tener el cuerpo para moverse en un solo plano.
Otro ejemplo simple de las llamadas fuerzas de constricción podría ser
el caso de la fuerza de reacción que actúa sobre un cuerpo que se desliza a
lo largo de un plano inclinado (ver figura 5.2.2). Aquí nuevamente ocurre
que el peso del cuerpo se descompone en dos partes: una, a lo largo del
plano, que es la que provoca el movimiento y la otra, perpendicular a la ante-
rior, que apunta normalmente hacia abajo del plano. La reacción del peso
sobre el cuerpo es una fuerza N� cuya dirección es la misma que la anterior,
pero que apunta en sentido opuesto, de modo que la cancela; esto es:
(5.3)
Se puede afirmar aquí que para el cuerpo sobre el plano inclinado, hay
una fuerza de constricción N� que limita su movimiento a una sola dimen-
sión y que está dada por la fórmula (5.3).
D´Alembert enfrentó problemas más complicados, como el tratar de
hallar una expresión matemática para la fuerza de constricción que obli-
ga a una moneda como la de la figura 5.2.3 a rodar sin resbalar sobre un
plano horizontal, en cuyo caso la constricción no lo es tanto a la direc-
ción del movimiento, como en los casos anteriores, sino a las componentes
�
N jMg� �ˆ .cos� 0
El principio de d’Alembert
13
�
Mg cos �
Mg
Mg sen �
�
N�
FIGURA 5.2.2. Un cuerpo de masa M se desliza cuesta abajo debido a la acción
de la gravedad. El peso se descompone en una componente que provoca el mo-
vimiento y otra que se equilibra con la fuerza de reacción del plano N.
de la velocidad del cuerpo; tanto en su traslación como en su rotación alrede-
dor del centro de masa del disco. En efecto, si la velocidad con la que el
centro de masa del disco se desplaza tiene una magnitud v, entonces
Pero al mismo tiempo, el vector velocidad v� se puede descomponer en
sus dos componentes cartesianas x� y y� las cuales, en términos del ángulo 	
que se forma entre la línea desde el origen de coordenadas hasta el punto
de contacto del disco sobre el plano y el eje Ox son:
de modo que se tiene un sistema de ecuaciones para las velocidades
� �x R� �sen�
 0
�y v�� cos� ,
�x v� sen� ,
v R� �
.
La mecánica analítica
14
FIGURA 5.2.3. Una moneda rueda sin resbalar sobre un plano horizontal.
Como se ve, la constricción de “rodar sin resbalar” da como resultado
un sistema de ecuaciones diferenciales que si bien matemáticamente pue-
den ser tratadas e integradas haciendo uso, por ejemplo, de un factor
integrante, físicamente se halla la solución sólo si a priori se conoce la trayec-
toria que sigue el disco sobre el plano, cosa que normalmente no ocurre.
En todo caso, para el problema de un disco que rueda sin resbalar sobre
un plano, la fuerza de constricción es, sencillamente, la componente ver-
tical que anula al peso del cuerpo, pero no es posible encontrar para ella
una fórmula matemática en función de las coordenadas o las componentes
de la velocidad que permita conocer su vínculo directo con las ecuacio-
nes de constricción anteriores. Las ecuaciones de constricción, por su parte,
no se expresan en función de las coordenadas del punto de contacto, sino en
términos de las componentes de la velocidad del disco, de tal suerte que el
modo como se constriñe el movimiento tampoco es claro, pues para co-
� �y R� �cos�
 0
El principio de d’Alembert
15
y
z
x0
	
�
R�
FIGURA 5.2.4. Disco vertical rodando sin resbalar sobre un plano horizontal. R es
el radio del disco, � es el ángulo barrido; 	 es el ángulo del radio vector desde el
origen O al punto de contacto, v� es la velocidad instantáneadel disco.
nocer este asunto habría que integrar las ecuaciones. Como se mencionó
arriba, solamente conociendo previamente la trayectoria se puede hallar
solución a las fuerzas de constricción. Más adelante se regresará a estos pro-
blemas, dentro del contexto de las ecuaciones diferenciales de Lagrange
para la mecánica.
El problema que se presenta con las fuerzas de constricción, en esencia,
es que su naturaleza depende de las fuerzas aplicadas, es decir, de aque-
llas que provocan el movimiento; no tienen ellas mismas un origen único
que pueda identificarse en alguno de los agentes de la naturaleza como lo
es la gravitación, la electricidad, etc. Las fuerzas muertas son, ni más ni me-
nos que las fuerzas que evidencian la validez de la tercera ley de Newton
y que aparecen siempre que otra fuerza se aplique a un cuerpo. Así, si lo que
urge a un péndulo simple es la gravedad, entonces la fuerza de constricción
se modela como el opuesto de la componente del peso de la lenteja, en la
dirección al origen. Igualmente ocurrirá si la fuerza aplicada es, por citar
otro ejemplo, magnética; en tal evento, la fuerza de constricción va a ser
aquella que aparece para limitar el movimiento causado por aquélla y su
expresión matemática va a adquirir los elementos del agente aplicado que
dio lugar a esa reacción.
D´Alembert pasó muchos años buscando el origen de las fuerzas de
constricción sin éxito. Su idea era que todas debían tener un origen co-
mún en los cuerpos; una especie de fuerza potencial que reside en cada
partícula material y que está lista para manifestarse tan luego como ese
cuerpo se vea urgido por una fuerza aplicada.
Buscó por todas partes. Trató de hallar la esencia última de las fuerzas
de constricción en la estructura misma de la materia. Sin embargo, nunca
pudo hacer la síntesis de ellas. Después de cuarenta años de búsqueda, se
dio por vencido. Tuvo que aceptar que no existe otro origen de las fuer-
zas muertas que la propia tercera ley. Así, las fuerzas de constricción que-
daron como imágenes virtuales de las otras fuerzas: de las aplicadas sim-
ple y llanamente. El origen de estos fantasmas dinámicos no lo es tanto en
los cuerpos mismos, como supuso, sino en el ente prístino que originó la
interacción. El cuerpo resulta ser el espejo donde se refleja ésta en cuanto se
manifiesta.
Cuarenta años infructuosos, pues al cabo de ellos Jean le Rond d´Alem-
bert tuvo que admitir que no parecía existir expresión matemática alguna,
ni ecuación constitutiva, de las fuerzas muertas. El consuelo a tantos años
La mecánica analítica
16
de esfuerzo sin resultado tal vez pudo haberlo dado alguno de los buenos
amigos del señor d´Alembert en la forma de: “… no debes sentirte frus-
trado o derrotado por esto, mi querido Jean. Piensa en tantos otros que
han intentado empresa parecida y que tampoco han visto sus esfuerzos
coronados por el éxito…”. Esto es, que mal de muchos debe ser, en efec-
to, el consuelo de los derrotados.
Curiosamente, el fracaso de d´Alembert para proponer una ecuación
constitutiva de las fuerzas muertas o de constricción ha sido en la mecánica
el más brillante logro. En efecto, pues si bien es cierto que este personaje
nunca pudo hacer su tan deseada síntesis, dejó a cambio un principio
relacionado con las fuerzas de constricción que ha sido excepcionalmente
importante: el principio de d´Alembert.
El principio de d´Alembert se formula casi como una disculpa: no es
posible saber cuál es el origen último, ni las ecuaciones constitutivas para
las fuerzas muertas, pero… las fuerzas de constricción no trabajan. Esto es
lo único que se puede afirmar de ellas en general.
Jean le Rond d´Alembert muy fácilmente hubiera ido a parar en las
voluminosas huestes de científicos desconocidos; de aquellos que lucha-
ron denodadamente por arrebatarle a la señora naturaleza alguno de sus
secretos y que jamás llegaron a lograrlo. Desde Pitágoras hasta Hawking
muy probablemente se cuentan por millares los físicos, los químicos y ma-
temáticos que pasaron por este veleidoso mundo sin apenas haber dejado
impronta. d´Alembert pudo ser, en efecto, uno más y en estos momentos
ninguna mención merecería este curioso personaje que parece haber salido
de una novela de Emile Solá.
¿Qué fue lo que ha hecho notable, no obstante su fracaso al tratar de
caracterizar las fuerzas muertas? Bueno, en realidad fueron varios facto-
res: en primer lugar, el asunto de las constricciones no fue el único trabajo
en física que abordó. De hecho fue un hombre prolífico en la ciencia
pues igualmente publicó sus hallazgos en la dinámica celeste que en la
teoría de las ecuaciones diferenciales y la calidad de todos ellos fue excelen-
te, a tal grado que se convirtió en un reputado hombre de conocimiento.
En segundo término está el momento que le tocó vivir. En aquella época,
después de que Newton sentó las bases del método científico, una pléyade
de brillantes cerebros se aplicaron a continuar con la investigación que
aquel británico había iniciado. Leonhard Euler, harto del frío y del trato
despótico de la soberana rusa en San Petersburgo había emigrado a Berlín,
El principio de d’Alembert
17
Alemania —que a la sazón se había convertido en el centro de la ciencia—
para trabajar como matemático de la corte con Federico II de Prusia, y
había aglutinado en torno suyo a un grupo de brillantes jóvenes para que
lo ayudaran y aprendieran de su talento y su experiencia.
D´Alembert fue invitado por Euler para pasar el verano con él en com-
pañía de otros personajes, entre los que se encontraba el italo-francés
Joseph Louis Lagrange de quién habrá que decir algunas cosas interesantes
más adelante. Allí, en Berlín, en compañía de sus colegas, d´Alembert plan-
teó su problema acerca de las fuerzas de constricción y de lo único que
había podido sintetizar de ellas: que no trabajan.
El grupo se puso a pensar sobre ese asunto y tras algunas reuniones, el
propio d´Alembert, apoyado por Lagrange, pudo generalizar su aserto:
Siempre es posible proponer algún pequeño desplazamiento, real o
virtual, consistente con las fuerzas de constricción que actúan sobre
un cuerpo, para el cual el trabajo desarrollado por éstas es nulo.
Este es el célebre principio del trabajo virtual de d´Alembert, que tan-
ta utilidad a representado para la mecánica.
Para ilustrar este principio se considerará ahora el problema multicita-
do del péndulo simple como el que se mostró en la figura 5.2.1. En tal caso,
la lenteja experimenta desplazamientos �r� que son, en todo punto, norma-
les a la fuerza de tensión T�, así que para cada uno de ellos se tiene que
(5.4)
En otras palabras, la fuerza de constricción T�, en efecto, no trabaja
ante los desplazamientos (reales) del péndulo.
Un poco más complicado resulta el ejemplo de otro péndulo; ese que
está constituido por una lenteja de masa M, igual que el anterior, pero aho-
ra está unido al fulcro mediante un resorte con una constante de dureza k.
Al moverse y después de haber liberado el resorte, el péndulo exhibe una
conducta más complicada, pues, además de ejecutar una trayectoria osci-
latoria horizontal con una amplitud variable, que en esencia es la misma
que la del péndulo simple, oscila radialmente debido al resorte, tal como se
muestra en la figura 5.2.5. Evidentemente, el resorte representa una fuerza
aplicada que tiene como respuesta la oscilación vertical de la lenteja y este
�
T ��r �0.
La mecánica analítica
18
movimiento, superpuesto al arco de circunferencia que describe, da como
resultado la trayectoria que se muestra. Aquí se puede imaginar un
pequeño desplazamiento �r�, consistente con la tensión T�, tal que el tra-
bajo desarrollado por esta fuerza sobre el péndulo sea cero, de acuerdo
con el principio de d´Alembert. El desplazamiento �r� es “virtual”, en el
sentido que, a lo largo de la trayectoria real del péndulo, en general, no se
da realmente; sin embargo, en todo punto de ella es una componente de
movimiento.
Y como ocurre muchas veces en la ciencia, un descubrimientolleva a
otros muchas veces insospechados. El principio de d´Alembert, aplicado
a la estática —aquella parte de la mecánica que trata del equilibrio— per-
mite la resolución de muchos problemas, algunos de ellos sumamente
complicados. Para ilustrar la potencia del principio del trabajo virtual de
d´Alembert, considérese el siguiente ejemplo:
El principio de d’Alembert
19
� Mg
v�
T�
�r�
M
k
0
FIGURA 5.2.5. Un péndulo de masa M se mueve bajo la acción de la gravedad y de
un resorte de constante k. Su movimiento es oscilatorio y se desarrolla alrededor
de un arco de círculo. El desplazamiento virtual �r� es compatible con la fuerza de
tensión T�.
Considérese el mecanismo de la figura 5.2.6. Se trata de dos barras rí-
gidas, rectas; con longitudes l
1
y l
2
dadas, que están articuladas. La del
extremo izquierdo, está unida mediante un perno a un plano fijo horizon-
tal, en tanto que la del derecho termina en un rodillo que rueda sobre la
superficie horizontal. De este extremo se jala con una fuerza F� hacia la
derecha. Si los eslabones tienen una masa m
1
y m
2
, respectivamente, se pre-
gunta cuál será el ángulo O para el cual este mecanismo esté en equilibrio;
es decir, que no presenta tendencia a moverse.
En la figura 5.2.7, se ha representado el sistema de fuerzas que actúan
sobre el mecanismo. Por ejemplo, en el extremo de la izquierda hay dos
componentes de la fuerza de constricción que mantienen al eslabón en esa
posición fija. Son las componentes A
x
y A
y
. En el extremo de la derecha
solamente aparece una componente vertical B
y
de la fuerza de constricción,
ya que aquí el eslabón puede desplazarse horizontalmente. Adicionalmente
hay tres fuerzas aplicadas: los pesos de los eslabones W
1
y W
2
y la fuerza
con que se jala por la derecha F�. En la figura 5.2.7 se ha dibujado tam-
bién un desplazamiento virtual del mecanismo que da como resulta-
do un desplazamiento virtual horizontal �x y uno vertical �y (del cen-
tro de masa). Ambos desplazamientos fueron generados por el giro �	
virtual.
La mecánica analítica
20
A
B
C
	
W W
F
FIGURA 5.2.6. Dos barras articuladas, con un soporte fijo en A y otro deslizante
en B están sujetas a una fuerza que tira del extremo de la derecha, F� y el peso de
cada eslabón, W�
1
y W�
2
. Se trata de hallar el ángulo 	 para el cual este mecanismo
se encuentra en equilibrio.
Por facilidad, supóngase que ambos eslabones son del mismo material
y sus dimensiones también son iguales; esto es, l
1
� l
2
� l; m
1
�m
2
�m.
Supóngase ahora un sistema coordenado 2-D cuyo origen se fija en la
articulación A, de modo que, por ejemplo, la posición del extremo de la de-
recha es x
B
y la ordenada de los centros de masa de ambos eslabones está
en y, como se ve en la misma figura.
En primer lugar hay que expresar los desplazamientos virtuales �x
B
y �y
en términos del desplazamiento virtual angular �	; de la figura se ve que:
(c.1)
y
(c.2)
de modo que si los desplazamientos virtuales se suponen infinitesima-
les, se pueden derivar las expresiones anteriores como si fueran diferen-
ciales:
(5.5. a)� ���xB �� 2l sen
y � 12 l sen�
xB � 2l cos�
El principio de d’Alembert
21
Ax
Ay
y
W4 W2
F
By
	
�	
�xB
XB
y�
FIGURA 5.2.7. Sistema de fuerzas que actúan sobre el mecanismo de la figura 5.2.6.
Se proponen desplazamientos virtuales en las direcciones horizontal, �x
B
y vertical
�y, como resultado del desplazamiento virtual angular �	.
(5.5. b)
Como se ve, para un ángulo �	 dado, un incremento en la dirección
de las ordenadas provoca un decremento en la dirección de las abscisas y
viceversa. Este es en realidad el único grado de libertad que tiene el meca-
nismo.
Ahora, de acuerdo con el principio de d´Alembert, un desplazamien-
to virtual es aquel para el cual las fuerzas de constricción (A� y B�) no tra-
bajan, así que si bien, para garantizar el equilibrio se debe tener que:
(5.6. a)
(5.6. b)
el trabajo desarrollado por estas fuerzas sobre el mecanismo en un des-
plazamiento virtual solamente involucra a las fuerzas aplicadas:
(5.7)
Por lo tanto, de acuerdo con (5.5):
siendo mg el peso W
1
� W
2
� W de cada uno de los eslabones. Suponien-
do que el desplazamiento virtual angular �	 es no nulo, se obtiene final-
mente que:
este es el valor del ángulo que da como resultado un estado de equilibrio
para este mecanismo. Si este problema se hubiese atacado con las ecuacio-
nes de equilibrio (5.6), se hubiese tenido que plantear un sistema de ecua-
ciones para cada eslabón. Si bien este problema es elemental, con el princi-
pio de d´Alembert se simplificó aún más su tratamiento y resolución.
Así, el problema que había abordado d´Alembert años antes, en efecto,
no pudo ser resuelto en general, como él lo deseó, sin embargo, para la pos-
�� tan ;�1
2
mg
F
�
��
�
��
( ) ,mg Fcos sen� � ��� �2 0
F x W y W yB� � �� � �1 2 0.
fy y yA W W B� � � � �� 1 2 0,
fx xA F� � �� 0
� ���y � 12 l cos .
La mecánica analítica
22
teridad se convirtió en el más brillante fracaso que ha ocurrido en la ciencia,
pues esa falta de una formulación unificada de las fuerzas de constricción
dejó como producto de las pesquisas el principio que establece que las
fuerzas de constricción (cualquiera que sea su origen), no trabajan ante des-
plazamientos virtuales. Este prinicpio permitió, a su vez, resolver varios
importantes problemas prácticos de la estática, pero no sólo eso, sino que,
como se verá en seguida, fue la llave que abrió la puerta de otras formu-
laciones de la mecánica.
5.3. Constricciones
El ejemplo anterior de los dos eslabones articulados resulra en este pun-
to interesante por varias razones: en primer lugar, porque si bien apare-
cen fuerzas de constricción, no fue necesario dar una formulación de
ellas, pues mediante el principio de d’Alembert, con la ayuda de los des-
plazamientos virtuales, estas fuerzas sencillamente desaparecen de la escena.
Las únicas fuerzas que se consideran son las fuerzas aplicadas. También
resulta interesante el ejemplo porque por primera vez se menciona el
concepto de grado de libertad. Tal como se introdujo, implícitamente se
propone como una variable independiente que describe parcialmente el
movimiento del sistema. En el caso del mecanismo articulado, el único
grado de libertad es el ángulo 	 medio desde un eje de referencia y que
da cuenta del movimiento de uno de los eslabones, como se mostró en
la figura 5.2.7. En términos de este único grado de libertad, el movi-
miento de todo el mecanismo se puede describir, pues las demás variables
involucradas dependen de él. Un grado de libertad es, pues, aquella
componente de movimiento de un cuerpo o de un sistema de cuerpos
materiales, que se representa matemáticamente mediante una variable
independiente que no necesariamente una distancia. Si bien en el caso an-
terior hay movimientos en la dirección horizontal y en la vertical, mis-
mo que dan lugar a los desplazamientos �x
B
y �y, éstos no son inde-
pendientes, así que no son grado de libertad del cuerpo. Estas variables
dependen del ángulo 	, como quedó ilustrado con las fórmulas (c.1) y
(c.2).
Las expresiones matemáticas (c.1) y (c.2) pueden contemplarse como
aquellas fórmulas que transforman las coordenadas, del sistemas cartesiano
Constricciones
23
a otro en donde el (único) grado de libertad del sistema es una cordenada
generalizada; la variable angular 	.
Mientras d’Alembert pasó aquellos meses en Berlín, junto con Joseph
Louis Lagrange, cuando fueron invitados ambos por Leonhard Euler,
todas estas ideas sobre las fuerzas de constricción y las coordenadas gene-
ralizadas comenzaron a aclararse y a ocupar sus lugares en una estructura
teórica formidable.
La idea general fue más o menos la siguiente: las fuerzas de constricción
satisfacen el principio de d’Alembert; es decir, no generan trabajo alguno
ante desplazamientos virtuales. Esto significa que si se tiene un sistema
de muchos cuerpos urgidos, tanto por fuerzas aplicadas, como por fuer-
zas de constricción,entonces se puede escribir que para cada partícula
del sistema se cumple, de acuerdo con la segunda ley, lo siguiente:
(5.8)
donde F�
i
(a) representa a la fuerza aplicada neta sobre la i-ésima partícula
del sistema, en tanto que f�
i
es la fuerza de constricción neta sobre el mis-
mo objeto.
Ahora bien, sea
Un conjunto de N desplazamientos virtuales infinitesimales; uno por cada
partícula del sistema. Entonces, de acuerdo con el principio de d’Alembert,
(5.9)
así que de (5.8) y (5.9) se obtiene de inmediato lo siguiente:
(5.10)
en donde ya han desaparecido las fuerzas de constricción.
La expresión (5.10) representa una forma lineal en términos de las com-
ponentes de cada uno de los desplazamientos virtuales �r�
i
. Si se tratase
� ��� �F m r ri
a
i i
i
N
i
( ) ,� �
�
� � ��
1
0�
� � …fi ir i N,�� � �0 1 2, , ,
�
� …r i Ni� � �1 2, , ,
� � ��� …F m i N,i
a
i i
( ) , , ,� � �f ri 1 2
La mecánica analítica
24
de un conjunto de variables linealmente independientes, entonces se podría
imponer la condición de que cada uno de los coeficientes de esas (3N )
variables fuese igual a cero y con ello se procedería a la resolución del proble-
ma. Lo malo de todo esto es que las {�x
i
, �y
i
, �z
i
}, no forman un conjunto
de variables independientes. No lo son por la simple razón de que si bien las
fuerzas de constricción han desaparecido de la escena por virtud del princi-
pio de d´Alembert, su acción sigue presente. La forma en que se manifies-
tan las constricciones es por la disminución de los grados de libertad del
sistema. Cada constricción, en efecto, restringe; constriñe el movimiento,
así que le resta un grado de libertad al cuerpo sobre el cual se aplica. En el
ejemplo anterior se hizo evidente el hecho de que las fuerzas de constricción
disminuyen el número de grados de libertad. Así, si se propusieron dos
componentes del desplazamiento virtual; �x
B
y �y, por obra de las fuerzas
de constricción expresadas en (5.5. a) y (5.5. b), estas componentes no son
independientes entre sí, pues ambas pudieron ser descritas en términos de
una sola variable; aquella que representa el grado de libertad.
Una de las más serias limitaciones que presenta la formulación newto-
niana de la mecánica clásica es el hecho de que se describe desde un marco
de referencia euclideo 3-D. Los problemas de la mecánica, de acuerdo con
este esquema, deben ser planteados en coordenadas cartesianas; esta es,
por decirlo de algún modo, la forma natural como se expresa la mecánica
de Newton. Sin embargo, la mayoría de los problemas, debido a sus pecu-
liares simetrías, demandan una formulación con otras coordenadas: polares
bi-dimensionales, cilíndricas, 3-D, esféricas, etc.
Allá en Berlín, reunidos tres de los más grandes talentos de la mecánica:
Euler, Lagrange y d´Alembert, se percataron de esa y de otras debilidades
de la teoría. Se encontraron en un punto crítico, pues por un lado estaba el
espinoso asunto de la imposibilidad de formular las fuerzas de constric-
ción en una sola expresión unificada. Lo que tenían para trabajar era el
principio de d´Alembert. Por otra parte y muy estrechamente vinculado
con lo anterior, estaba el otro problema: el de los dichosos grados de liber-
tad; esto es, la expresión de las constricciones que limita el movimiento de
los cuerpos y su consiguiente manera de describirlos como un conjunto
de variables independientes. En tercer lugar, pero no menos importante,
estaba la cuestión acerca de la limitación del modelo de la mecánica, tal como
lo había establecido Newton originalmente cerca de cien años atrás, en tér-
minos de coordenadas cartesianas.
Constricciones
25
Tras muchas sesiones de discusión y de análisis frente a un problema que
parecía irremediablemente empantanado, las cosas comenzaron a acla-
rarse lentamente para los tres genios. Lo primero que quedó claro fue que
en el problema planteado por d´Alembert, no solamente las fuerzas de
constricción tenían un papel importante. En realidad son cuatro los ele-
mentos que intervienen en ese asunto. Son cuatro vertientes del proble-
ma que se hallan inextrincablemente unidos: las fuerzas de constricción,
las ecuaciones de constricción, los grados de libertad y las coordenadas
generalizadas. No es posible resolver el problema de d´Alembert si en pri-
mer lugar no se ha aclarado el papel preciso que juega cada uno de estos
conceptos y su interrelación con los demás.
Así, las fuerzas de constricción, si bien no parecen admitir una for-
mulación generalizada, limitan el movimiento de los cuerpos. La for-
ma particular como las fuerzas de constricción llevan a cabo esta ac-
ción se puede describir mediante ciertas expresiones geométricas o
cinemáticas que proporcionan el dominio en el cual sucede el movi-
miento y excluyen aquel otro donde éste no puede ocurrir. Estas son
las ecuaciones de constricción. Por cada fuerza de constricción, debe
haber un conjunto de ecuaciones de constricción. Por su parte, el domi-
nio permitido por las fuerzas de constricción, para que ocurra el movi-
miento, da los grados de libertad que tiene el cuerpo o el sistema de cuer-
pos para moverse; esto es, establece a su vez el dominio de ciertas variables
geométricas, dentro del cual el movimiento está permitido por las fuer-
zas de constricción. Los grados de libertad, por lo tanto, deben expre-
sarse matemáticamente como variables reales, acotadas dentro de cierto
dominio. Puede ocurrir que estas variables, estos grados de libertad,
sean coordenadas cartesianas con las cuales se da la ubicación de los
cuerpos en el espacio. Esta es la forma natural como se expresan las
ecuaciones de la mecánica. Pero puede ocurrir y de hecho, en la gran
mayoría de los casos ocurre, que los grados de libertad no se expresan
como coordenadas cartesianas. El ejemplo del péndulo simple que se
comentó anteriormente es uno de estos casos, pues su único grado de
libertad es un ángulo: la amplitud del péndulo. En realidad, cuando
se ataca el problema del péndulo simple, ni siquiera es importante pre-
decir las sucesivas posiciones del centro de la lenteja al través del tiempo.
Lo que realmente importa aquí es determinar el ritmo al que cambia
la amplitud y de allí, calcular su período o su frecuencia angular. Así,
La mecánica analítica
26
aunque se obtengan las coordenadas del centro de la lenteja, como fun-
ción del tiempo, este conocimiento carece de importancia.
Entonces es deseable volver a la mecánica clásica, a un esquema más fle-
xible, menos restringido y que permita una formulación generalizada, en
términos de aquellas variables que realmente son pertinentes a cada pro-
blema particular. Y qué mejor manera de expresar las leyes matemáticas
de la mecánica, que una formulación de coordenadas generalizadas que
sean simultáneamente los grados de libertad del sistema.
En otras palabras, volviendo al ejemplo del péndulo simple, si su gra-
do de libertad es un ángulo —la amplitud del péndulo— por qué no se plan-
tea el problema desde el mero comienzo como un sistema con una sola
coordenada generalizada, que para este caso es un ángulo. Una cosa lleva
a la otra: las fuerzas de constricción llevan a las ecuaciones de constric-
ción y éstas conducen a identificar los grados de libertad. Hecho esto
último, se usan los mismos como coordenadas generalizadas para plan-
tear el problema y el asunto queda, al menos en teoría, resuelto.
En lo que sigue se estudiará con detalle el tema de las fuerzas y las ecua-
ciones de constricción, para poder acceder a lo otro: los grados de liber-
tad y las coordenadas generalizadas. Una vez alcanzado este objetivo se
podrá proceder a escribir la mecánica en una forma tal que ya no requiera
necesariamente de la descripción cartesiana.
Se ha recurrido en varias ocasiones al ejemplo del péndulo simple debi-
do a la claridad con que este mecanismo exhibe sus propiedades. El ejemplo
será utilizado nuevamente para ilustrar diferentes aspectos esenciales de
la mecánica y no tanto para hallar soluciones. En ese ejemplo,la fuerza
de constricción puede tener una expresión analítica, como se mostró en
(5.1), y esta fuerza (la Tensión de la cuerda), al impedir el movimiento
radial por oponerse a esa componente del peso, da por resultado una
ecuación de constricción, la (5.2); es decir:
(5.11)
da como resultado
(5.12)2 02 2 2) una ecuación de constricción : x y l� � �
1) cosLa fuerza de constricción:
�
T mg
mv
� ��
2
ll
�
�
�
�
�
� êr
Constricciones
27
que indica que x y y no son variables independientes, pues siempre es posi-
ble despejar a una de ellas en función de la otra. Así que solamente…
3) hay un grado de libertad
Usando una transformación de coordenadas cartesianas a polares se
puede hacer que:
(5.13 a)
(5.13 b)
de modo que ese grado de libertad se identifica con…
4) una coordenada generalizada: 	, que es la amplitud del péndulo sim-
ple.
Así es la secuencia del análisis para cualquier caso de fuerzas de constric-
ción. Por cierto que el papel menos relevante de todos en estos planteamien-
tos lo juega la fuerza de constricción misma; aquella que encabezó la lista.
No importa si en efecto se tiene una fórmula para ella o no. Lo realmente
importante es, en cambio, tener alguna expresión para la constricción mis-
ma, como la que se escribió en el segundo paso del análisis.
En realidad, las fórmulas que provinieron de la ecuación de constricción
son las esenciales, pues de ellas surge la coordenada generalizada.
Son frecuentes los casos en los cuales se presentan fuerzas de constric-
ción que dan lugar a expresiones como la (5.12). Como se ve de ella son
relaciones geométricas entre las coordenadas cartesianas de los cuerpos
en la forma general siguiente:
(5.14)
para el caso de un sistema de N cuerpos en el espacio cartesiano de tres
dimensiones. A las constricciones que dan lugar a ecuaciones de cons-
tricción como la (5.14) se les conoce como constricciones holonómicas.1

( , , , , , , )x y z x y zN N N1 1 1 0… �
y �� l cos�
x � l sen�
La mecánica analítica
28
1 Puede haber más de una constricción holonómica en un problema dado. Cada una
de ellas representa una coordenada cartesiana independiente menos. Así, si un sistema de N
El caso del péndulo elástico; aquel que está compuesto de una lenteja y
un eslabón elástico, como el que se mostró en la figura 5.2.5, correspon-
de también a un problema con un solo grado de libertad. La ecuación de
constricción correspondiente tiene la misma fórmula que (5.12), pero
ahora la longitud del eslabón no es constante, sino que es una función
del tiempo:
(5.15)
Ecuaciones de constricción como esta se pueden establecer en gene-
ral, para un sistema de N cuerpos, mediante funciones del tipo
(5.16)
A estas, se les conoce también como constricciones holonómicas, excep-
to que tienen la característica de depender explícitamente del tiempo, como
se ve en (5.15) y (5.16). Para distinguir estas constricciones de aquellas que
no tienen la dependencia temporal explícita, como es el caso de (5.14), se
hace una subclasificación. Se dice que unas, las representadas por (5.14),
las que no dependen explícitamente del tiempo, son constricciones holo-
nómicas esclerónomas (rígidas), en tanto que las otras, aquellas que sí de-
penden explícitamente del tiempo, como las que se tipifican en (5.15) y
(5.16) son constricciones holonómicas reónomas (fluidas); esto es:
constricciones
holonómicas
esclerónomas: x y
 1, 11 1
1 1 1
0, , , , ,
, , , ,
z x y z
reónomas: x y z x
N N N
N
…
…
� ��
� ,, , , .y z tN N� �
�
�
�
�� �0
� x y z x y z tN N N1 1 1 0, , , , , , , .…� ��
x y t2 2 2 0� � �l ( ) .
Constricciones
29
partículas materiales se mueven debido a ciertas fuerzas aplicadas, pero están constreñi-
das por l ecuaciones de constricción holonómicas del tipo (5.14), entonces ese sistema
posee 3N-l grados de libertad.
Se acostumbra denotar a este conjunto de coordenadas generalizadas por
Al resolver el problema, las soluciones quedarán en la forma de 3N-l funciones del
tiempo; una para cada coordenada generalizada:
q q t k qk k N� ( ) ; , , , .� �1 2 3 1…
q q q N1 2 3 1, , , .… �� �
Tanto las constricciones esclerónomas como las reónomas disminuyen
el número de grados de libertad del sistema; uno por cada ecuación de
constricción. Un sistema de N cuerpos y con l constricciones holonómi-
cas tiene 3N-l grados de libertad.
No todas las constricciones son holonómicas. Por ejemplo, el caso del
disco que rueda sin resbalar sobre una superficie plana horizontal, que se
mencionó anteriormente, queda constreñido en su movimiento por las
ecuaciones (Figura 5.2.4):
(5.17 a)
(5.17 b)
Estas ya no son relaciones entre las coordenadas, como en (5.14) o
(5.16) sino que se representan como funciones de la velocidad. En prin-
cipio es posible integrar las ecuaciones (5.17) haciendo por ejemplo, uso
del método del factor integrante; pero el problema físico de fondo es que,
como ya se mencionó, para poder llevar a cabo esta integración es necesa-
rio conocer previamente la trayectoria que habrá de seguir el disco sobre el
plano. Esto es algo que no se conoce efectivamente o, si se tiene, entonces
no se necesita la integración, pues el problema está resuelto. En todo caso
las ecuaciones (5.17) deben considerarse como casos particulares de una
clase amplia de ecuaciones de constricción que involucran a las compo-
nentes de la velocidad de los cuerpos, de la forma
(5.18)
Constricciones que dan lugar a ecuaciones como la (5.18) son llamadas
anholonómicas; esto es, no holonómicas. Se trata, por supuesto, de ecua-
ciones que, en general, resultan mucho más complicadas para su mani-
pulación que las holonómicas. No obstante, si se piensa en los mismos
términos que para (5.17), se puede imaginar que haciendo uso de algu-
na técnica más o menos elaborada se puedan integrar estas ecuaciones y
convertirlas solamente en relaciones entre coordenadas y el tiempo. El
problema será nuevamente, que para hallar la solución definitiva de ecua-
ciones del tipo (5.18), si es que ésta existe, habrá que especificar previamen-
f x y z x y z x y z x yN N N N N1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , , ,… � � � … � � ��z tN ,� ��0
� �y R� �cos�
 0.
� �x R� �sen�
 0
La mecánica analítica
30
te el sendero que seguirá cada cuerpo en el transcurso del tiempo y esto, tal
como se mencionó arriba, o no se conoce, o si se tiene predeterminado
entonces es innecesaria la resolución del mismo.
En todo caso, lo importante es percatarse que existe la posibilidad de
integrar (5.18) y llevarla hasta una forma del tipo de las ecuaciones de cons-
tricción (5.16). Entonces, aún que el proceso de integración no sea posible,
se concluye que ecuaciones de la clase de (5.18), al igual que las ecuaciones
de constricción holonómicas, disminuyen el número de variables inde-
pendientes; una por cada ecuación de constricción y por lo tanto, el nú-
mero de grados de libertad de un sistema de N cuerpos que se mueven
por el espacio 3-D, y que se encuentra sujeto a l ecuaciones de constric-
ción anholonómicas, como la (5.18) es 3N-l.
Si bien las constricciones que dan lugar a ecuaciones de la clase (5.18)
tornan un problema de mecánica mucho más difícil, se da el evento de algu-
nas otras que lo hacen irresoluble. Por ejemplo considérese un sistema de N
partículas masivas que se mueven libremente en el interior de un recipien-
te cerrado, como podría ser el caso de las moléculas de un gas confinado en
un cilindro rígido e impermeable. Aquí, la constricción que se establece es
que cada partícula podrá moverse dentro de ese espacio sin traspasar un
límite: la pared interior del recipiente. Así, si el contenedor es esférico
(para mayor facilidad), las constricciones tienen la siguiente forma:
siendo R el radio interior del recipiente y r�
i
el vector de posición de la i-ési-
ma partícula de ese gas.
Ecuaciones de constricción como la anterior representan también
constricciones anholonómicas; esta vez se trata de desigualdades. El grave
problema que se presenta con constricciones como estas, que se