Matematicas_III_Relaciones,_Funciones

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Universidad aUtónoma de nUevo León
Matemáticas 3:
Relaciones, funciones
y geometría analítica
Alejandro Nava
Alma Vázquez
Juan Cuéllar
Mario Leal
Salvador Rodríguez
Revisión técnica: Francisco Martín Contreras Amaya
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Jesús Ancer Rodríguez
Rector
Rogelio Garza Rivera
Secretario General
Juan Manuel Alcocer González
Secretario Académico
Alejandro Galván Ramírez
Director de Estudios de Nivel Medio Superior
Biblioteca Universitaria “Raúl Rangel Frías”, 4º piso
Av. Alfonso Reyes No. 4000 Nte., Col. del Norte
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e-mail: denms@uanl.mx
Título de la obra: 
Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica
Cuarta edición, 2013
© Universidad Autónoma de Nuevo León
© Comercializadora y Editora de Libros S.A. de C.V.
© Alejandro Nava Segovia
© Alma Rosa Vázquez Ortiz
© Juan Antonio Cuéllar Carvajal
© Mario Alberto Leal Chapa
© Salvador Rodríguez Vértiz
Portada: © Dirección de Imagen Institucional 
ISBN (Ediciones DeLaurel): 978-607-7967-68-2
 
Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción 
o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en 
cualesquiera formas, sean electrónicas, mecánicas o por fotocopia,
sin el consentimiento previo y por escrito de la Universidad Autónoma 
de Nuevo León y el editor.
Impreso en México
Printed in México
Junio de 2013
Ediciones DeLaurel
es una marca registrada de
Comercializadora y Editora de Libros, S. A. de C. V.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial 
Mexicana, Reg. Núm. 3680
Cuidado editorial: Equipo DeLaurel
Diseño de portada: Claudia Novelo Chavira
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Presentación
En cumplimiento de la Visión 2020 UANL, la Dirección de Estudios de Nivel Medio 
Superior, a través de la publicación de los libros de texto correspondientes a cada una de 
las unidades de aprendizaje que conforman el plan de estudios de Bachillerato General, 
promueve la formación integral del estudiante en la generación y aplicación del conoci-
miento como un proceso continuo de mejora en la calidad de la formación universitaria.
El Modelo Educativo de la Universidad Autónoma de Nuevo León está constituido por cin-
co ejes rectores que promueven la educación centrada en el aprendizaje y la educación 
basada en competencias, la flexibilidad curricular, la internacionalización y la innovación 
académica. La concreción del modelo se reproduce en cada nivel de estudios que la ins-
titución ofrece a través de estos ejes.
Este modelo integra los programas y proyectos académicos que están orientados a garan-
tizar una oferta educativa con alto nivel de calidad y pertinencia, acorde con las necesida-
des de la sociedad en los ámbitos económico, social, político y cultural. 
El presente texto de Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica forma par-
te de las unidades de aprendizaje del área de formación propedéutica del plan de estudios 
del bachillerato general. La primera parte de este curso, llevará al alumno a la compren-
sión de lo que es una función matemática, entenderá la relación entre dos variables y con 
ello identificará diferentes fenómenos y comportamientos naturales tales como el creci-
miento de poblaciones, variaciones en los mercados, etc. La segunda parte da una visión 
más matemática, ya que abordará el tema de las secciones cónicas, con lo que el alumno 
tendrá un buen marco referencial para la modelación de situaciones del mundo real.
Estoy convencido de que la excelencia de los programas educativos que nuestra insti-
tución ofrece en todos sus niveles, asegura la formación de ciudadanos con la solidez 
académica y la capacidad para responder al desafío histórico de nuestra sociedad, con la 
visión global que amerita la época actual, con la firme convicción de su identidad regio-
nal y nacional, y con el compromiso para participar con responsabilidad en beneficio de 
nuestro país.
Dr. Jesús Ancer Rodríguez
Rector 
Educación de clase mundial, un compromiso social
3
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Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica
4
Agradecimiento
Nuestro sincero reconocimiento a los maestros integrantes de los Comités Técnicos Académicos de la 
Dirección de Estudios de Nivel Medio Superior, quienes colaboraron como autores en las versiones pre-
vias a la presente obra.
Gracias por compartir con la comunidad educativa y cada generación de estudiantes de preparatoria, sus 
conocimientos, creatividad y experiencias al caminar juntos en este devenir de formación académica.
Antonio Montemayor Soto †
Blanca María Borghes Alonso
Fernando Javier Gómez Triana
José Luis Guerra Torres
María Elena Padilla Soto 
Miguel Ángel Torrecillas González
Roberto Sánchez Ayala
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Contenido
Presentación 3
Agradecimiento 4
Prefacio 9
Etapa 1. Relaciones y funciones polinomiales 11
 1.1 Introducción 12
 I. Formas de representar una relación 12
 II. Gráficas 14
 III. Funciones en el mundo real 22
 IV. Gráfica de funciones y relaciones. Criterio de la recta vertical 25
 1.2 Funciones y relaciones lineales 29
 I. Función lineal 29
 II. Propiedades de la gráfica de una función lineal 31
 III. Formas de la función lineal o ecuación de la recta 39
 IV. Ecuaciones de funciones lineales a partir de su gráfica 41
 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 44
 V. Funciones lineales como modelos matemáticos 47
 VI. Desigualdades e inecuaciones lineales 56
 VII. Desigualdades e inecuaciones lineales en una variable 60
 Conjunto solución de una inecuación 60
 VIII. Desigualdades e inecuaciones lineales en dos variables 64
 IX. Aplicación de desigualdades a modelos matemáticos 70
 1.3 Función cuadrática 73
 I. Forma general de la ecuación de la función cuadrática 73
 II. Gráfica de una función cuadrática 75
 III. Dado un valor de y, calcular x 79
 IV. Valores no reales de x, para un valor real dado de y 84
 V. Números imaginarios y complejos. Potencias de i 89
 Suma y producto de números complejos 96
 VI. Dos tópicos importantes de la función cuadrática 99
 VII. Bosquejo de la gráfica de la función cuadrática 102
 Aspectos importantes de la gráfica 102
5
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Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica
 VIII. Aplicaciones de la función cuadrática a problemas del mundo real 104
 Objeto en movimiento vertical 104
 IX. Ecuación de la función cuadrática a partir de su gráfica 112
 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables 112
 Determinación de la ecuación particular de una función cuadrática,
 conociendo de ella tres puntos coordenados 115
 1.4 Función polinómica de grado superior 121
 I. Factorización de polinomios de grado superior. El teorema del factor 121
 II. Raíces o soluciones de una función polinómica 125
 III. Teorema del residuo 128
 IV. División sintética 130
Etapa 2. Funciones algebraicas racionales e irracionales 137
 2.1 Función algebraicas racionales e irracionales 138
 I. Introducción a las funciones algebraicas racionales 138
 II. Introducción a las gráficas de funciones racionales,
 discontinuidades y asíntotas 141
 III. Más sobre gráficas de funciones algebraicas racionales 147
 IV. Introducción a las funciones algebraicas irracionales 154
 V. Gráfica de funciones irracionales 155
 2.2. Función variación 158
Etapa 3 Funciones exponenciales y logarítmicas 171
 I. Introducción a las funciones exponenciales 172
 II. Exponenciación para exponentes racionales 174
 III. Potencias y radicales sin calculadora 178
 IV. Ecuaciones exponenciales 181
 Ecuaciones exponenciales resueltas por aproximaciones181
 Ecuaciones exponenciales resueltas por logaritmos 183
 V. Logaritmos con otras bases 188
 VI. Propiedades de los logaritmos 192
 VII. Demostración de las propiedades de los logaritmos 198
 VIII. Función logarítmica 202
 IX. Gráfica de la función logarítmica 204
 X. Funciones exponenciales como modelos matemáticos 205
6
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Etapa 4. Geometría analítica 213
 4.1. Introducción a la geometría analítica 213
 I. Sistemas de coordenadas cartesianas 214 
 II. Fórmula de la distancia entre dos puntos 218
 III. Punto medio de un segmento de recta 221
 IV. Ángulo de inclinación de la recta. Pendiente 226
 V. Pendiente de una recta dadas las coordenadas de dos puntos 226
 VI. Ecuación de la recta en el plano 229
 Ecuación de la recta en forma punto-pendiente 230
 Ecuación de la recta en la forma pendiente-intersección 231
 Ecuación simétrica de la recta 231
 VII. Distancia de un punto a una recta 233
 4.2 La circunferencia 237
 I. Las secciones cónicas 237
 II. La circunferencia 238
 III. Ecuación de la circunferencia en la forma general 244
 4.3 La parábola 253
 I. Introducción 253
 II. Ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en F (a, 0) 253
 III. Ecuación en una parábola con el vértice en el origen, eje focal sobre el eje X 
 y foco en F (–a, 0 ) 260
 IV. Ecuación de una parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje Y
 y foco en F (0, a) 263
 V. Traslación de ejes 270
 Ecuaciones de transformación cuando se realiza una traslación de ejes coordenados 271
 VI. Ecuación de una parábola con vértice en el punto V (h, k), distinto al origen 272
 VII. Ecuación de una parábola en forma general 275
 4.4 La elipse 283
 I. Introducción 283
 II. Ecuación de una elipse con centro en el origen, cuyo eje focal está sobre el eje X. 284
 Simetría 286
 Dominio y rango de la ecuación de la elipse 287
 Coordenadas de los vértices 288
 Coordenadas de los puntos extremos del eje menor 288
7
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Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica
 Relación entre las cantidades a, b y c de una elipse 289
 III. Excentricidad de una elipse 290
 IV. Ecuación de la elipse con centro en el origen, cuyo eje focal está sobre el eje Y 294
 V. Ecuación de la elipse con centro en el punto C (h, k) y eje focal paralelo al eje X 298
 VI. Ecuación de una elipse con el centro en el punto C (h, k) y cuyo eje focal es 
 paralelo al eje Y 300
 VII. Ecuación general de la elipse 302
 4.5 La Hipérbola 305
 I. La hipérbola 305
 Relación entre las cantidades a, b y c de una hipérbola 309
 Dominio y rango de la relación x 
2
a 2
 – y 
2
b 2
 5 1 309
 Excentricidad de la hipérbola 310
 Asíntotas de una hipérbola 310
 Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola x 
2
a 2
 – y 
2
b 2
 5 1 311
 II. Ecuación de una hipérbola con centro en el origen y cuyos focos están en el eje Y 317
 III. Ecuación en la forma reducida de una hipérbola con el centro C (h, k) y cuyo 
 eje focal es paralelo al eje X 321
 IV. Ecuación de una hipérbola con centro C (h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y 322
 V. Ecuación general de una hipérbola 323
8
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Prefacio
El texto de Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica fue diseñado 
como un curso de matemáticas intermedia para alumnos del tercer semestre de 
bachillerato, con una estructura más formal como libro de aplicaciones, con soporte 
de álgebra. 
Las primeras 3 etapas están dedicadas a lo que es llamado “precálculo” en el que 
las aplicaciones fueron tomadas de modelos matemáticos de fenómenos del mundo 
real. El alumno debe seleccionar una clase de función que se ajuste a la situación 
dada y derivar la ecuación correspondiente que se acomode a la información del 
problema. La ecuación, entonces, es utilizada para predecir valores cuando una de 
las dos variables es conocida. Algunas veces el alumno debe usar los resultados de 
los problemas para hacer interpretaciones acerca del mundo real, por ejemplo, el 
significado de pendiente, etc. Los problemas requieren que el alumno utilice varios 
conceptos matemáticos en un mismo problema. Esto contrasta con los “problemas 
expresados con palabras” tradicionales de álgebra elemental, en los cuales un mis-
mo concepto es usado en varios problemas. 
En la etapa 4 se exponen los principios y conceptos básicos de la Geometría analíti-
ca, tan necesarios para el estudiante de Nivel Medio Superior que desee seguir cur-
sos de matemática superior o de ingeniería, sin embargo, las enseñanzas expuestas 
en esta parte también son de gran utilidad para aquellos que decidan tomar cursos 
no tan ligados con las matemáticas puras, ya que podrán desarrollar sus habilida-
des en el diseño de situaciones que requieran habilidades espaciales y analíticas, 
además de la adquisición de una cultura general más amplia, ya que se hace una 
complementación de los temas más selectos de matemáticas en este nivel.
Junio de 2013
Atentamente 
Comité Técnico Académico de Matemáticas
9
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10
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11
El concepto de función es uno de los más importantes en la Matemática. El vasto número y la variedad 
de sus aplicaciones no sólo justifican, sino que hacen necesario su estudio. Una función, en matemáti-
cas, es el término usado para indicar cierta relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Las 
funciones y relaciones son importantes porque pueden ser utilizadas para describir la relación entre dos 
variables en el mundo, entre otras cosas.
Cuando vamos al mercado o algún centro comercial, siempre relacionamos un conjunto de determina-
dos objetos (por ejemplo, productos alimenticios) con el costo en pesos, para así saber cuánto podemos 
comprar. Una persona que confecciona uniformes debe saber cuánto tiempo se lleva en cada uno para 
calcular el número de uniformes que puede confeccionar en un lapso determinado.
Veamos las siguientes citas en donde es utilizado el concepto de función:
“La utilización de anticonceptivos es desigual entre distintos países y dentro de un mismo país. Varía en 
función del ingreso, la educación, el grupo étnico, la proximidad a las clínicas y la fortaleza de los programas 
de planificación familiar”.1
“El tiempo requerido para el trabajo doméstico se calcula en función de tres variables: número de 
miembros del hogar, presencia de menores de 10 años y un índice de la intensidad del trabajo 
doméstico…” 2
Ahora veamos situaciones relacionadas con nuestro ámbito escolar, situaciones que pueden expresarse 
en términos de dependencia:
1 El estado de la población mundial, http:/www,unfpa.org/swp/index_ spa.htm
2 La pobreza en México (2000-2004), http:/www.jornada.unam.mx/2005/11/25/034oleco.php
Expresiones de “dependencia” entran al campo de las funciones y las relaciones.
“La calidad en el aprendizaje depende del tiempo y la calidad del estudio realizado”.
“La distancia recorrida por un vehículo depende de su velocidad”.
Etapa
1Relaciones y funciones polinomiales
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12
Etapa 1
Actividad 
Las funciones y relaciones son de mucho valor y utilidad para comprender y resolver problemas de la 
vida diaria, problemas de finanzas, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de 
anatomía, de geología y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
En esta etapa presentaremos una panorámica general del tema Relaciones y funciones polinomiales, el 
cual iremos desarrollando a detalle a lo largo del curso.
Las relaciones y funciones pueden ser expresadas además en términos de una ecuación que nos dice 
cómo dos variables están relacionadas: por medio de tablas de valores, conjuntos de pares ordenados, 
y diagramas de Venn.
I. Formas de representar una relación1.1 Introducción 
El concepto de relación (o de función) involucra la existencia de variables dependientes e independien-
tes. Así, dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna 
regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y; se dice que Y es una relación o función 
de X.
En una ecuación se llama variable independiente a la que se asignan libremente valores, mien-
tras que la variable cuyos valores dependen de aquella, se llama variable dependiente.
Definición
 Reconocer las diferentes formas de representación de las relaciones y funciones.
Objetivo
Veamos la siguiente afirmación: “Todo número tiene su doble”.
Identifica la(s) variable(s) independiente(s) y la variable dependiente en cada una de las siguientes 
ecuaciones.
 1. y = 3x - 6 2. A = π r 2
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Relaciones y funciones polinomiales
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N
...
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N
...
A cada número del primer conjunto se le asigna un número del segundo conjunto. La relación descrita 
la podríamos representar como parejas de números:
{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), …}
Donde el primer número de cada par está donde se inicia la correspondencia y el segundo número de 
cada par donde termina la correspondencia.
 
Puede expresarse el mismo ejemplo mediante una tabla de valores, denominando a los elementos del 
primer conjunto como x y a los elementos del segundo conjunto como y.
x 1 2 3 4 5
y 1 4 6 8 10
La relación que estamos mostrando sigue una cierta “regla”, que es precisamente que cada elemento se 
corresponde con su doble, lo cual puede expresarse de la siguiente manera:
r: N ¶ N
 x ¶ 2x
Si nos centramos en el conjunto de los números naturales, podríamos representar la afirmación dada 
como una correspondencia entre números, tal como sigue:
Esto es, la relación r, va del conjunto de los números naturales al conjunto de los naturales, y a cada 
elemento x del conjunto de salida, le asigna 2x, que es su doble, en el conjunto de la llegada. Tal como lo 
señalamos en la tabla de valores, a los elementos del segundo conjunto, podemos llamarlos y; entonces 
la regla se escribe como la ecuación y = 2x.
r: N ¶ N
 x ¶ y = 2x
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14
Etapa 1
Nótese que la gráfica es el conjunto de puntos y no la línea que los une, porque la relación hace referen-
cia al conjunto de los números naturales solamente.
Si la relación está definida en los números reales, entonces la gráfica estará compuesta no sólo por unos 
puntos, sino por la unión de estos por medio de una línea.
La forma más usual y práctica de representar y trabajar con relaciones y funciones es cuando éstas están 
dadas en forma de ecuación y se representan en el plano cartesiano.
II. Gráficas
 Representar en el plano cartesiano la ecuación de una función o relación.
Objetivo
Dada la ecuación de una función o relación la gráfica podrá ser trazada más fácil, si primero transfor-
mas la ecuación de tal forma que la variable y quede de un solo lado de la ecuación. La gráfica de una 
ecuación puede ser trazada al hallar suficientes puntos para obtener cierto patrón. Una vez trazada la 
gráfica tú podrás decidir si la relación es o no una función, basado en las explicaciones que daremos en 
este capítulo.
10
y
x
5
0
0 1 2 3 4 5
Lo cual puede graficarse en el plano cartesiano:
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Relaciones y funciones polinomiales
15
 x + 2y = 8 Escribe la ecuación.
 2y = – x + 8 Resta x en ambos lados de la ecuación.
 1 y = – — x + 4 Divide todo por 2.
 2
Todo lo que necesitas para obtener pares ordenados es dar todos los valores que quieras a x. Hay algunos 
que resultan más prácticos que otros, por ejemplo, en esta ecuación donde los valores de x deben ser divi-
didos entre 2, es recomendable asignarle a esta variable valores que sean números múltiplos de 2.
Si haces tu tabla de valores y marcas los puntos en un sistema de coordenadas encontrarás una gráfica 
como la que se muestra en la figura 1.
x y
2 3
4 2
6 1
8 0
y
x
Podemos observar que en la ecuación x + 2y = 8, para cada valor que le damos a x obtendremos un 
único valor de y; y ésta es la variable dependiente porque el valor que obtienes depende de los valores 
que hayas escogido de la variable x, la cual es la variable independiente. La variable dependiente se 
marca en el eje vertical.
La gráfica de la figura 1 es una línea recta; muchas funciones y relaciones tienen gráficas que no son 
rectas, como lo podemos ver en el siguiente ejemplo:
Figura 1
Ejemplo
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16
Etapa 1
y
x
6420
0
5
–2–4–6
Figura 2
Veamos ahora algunas definiciones de conceptos básicos:
 1
 Grafica y = — x 2
 2
 Procedimiento
 Haz una tabla de valores y luego marca los puntos como se muestra en la figura 2.
 Solución
x y
 – 3 4.5
 – 2 2
 – 1 0.5
0 0
1 0.5
2 2
3 4.5
4
—
3
8
—
9
2 1
 1y = — x 2 Escribe la ecuación.
 2
 1y = — (–3)2 Sustituye x por –3.
 2
y = 4.5
 1y = — (–2)2 Sustituye x por –2.
 2
 4y = 2 Hazlo así para los siguientes valores de x = –1, 0, 2, 3, —, 2
 3
Ejemplo
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Relaciones y funciones polinomiales
17
Observa que en los ejemplos 1 y 2 puedes darle a x cualquier valor real. Algunas veces no todos los va-
 2lores de x son permitidos. Por ejemplo, en la ecuación y = –––––, x no puede tomar el valor 2, porque se
 2 – x
tendría una división por cero, la cual no está definida; entonces se calculará el valor de y para valores de x 
diferentes de 2. En este caso, el dominio es el conjunto de valores distintos de 2. Al conjunto de todos los 
valores que pueden obtenerse para y por sustitución de todos los valores permisibles de x se llama rango.
El dominio* de una función o relación es el conjunto de valores permitidos en la variable indepen-
diente.
El rango de una función es el conjunto de valores de la variable dependiente correspondiente a 
todos los valores de la variable independiente en el dominio.
Definición
Definición
En el siguiente dibujo mostramos lo que serían el dominio y el rango gráficamente.
* La palabra dominio proviene del latín Domus que significa “casa”. Así que el dominio de una relación o función es donde la 
variable independiente “vive”.
y
x
Rango
Dominio
Relación es cualquier conjunto de pares ordenados o cualquier correspondencia entre conjuntos.
Función es una clase especial de relación para la cual hay exactamente un valor de la variable 
dependiente (y) y para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio.
Tenemos entonces que los dos ejemplos mencionados antes son relaciones, pero también funciones. 
Ahora veamos ejemplos de relaciones que no son funciones.
Figura 3
Definición
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18
Etapa 1
 Haz la tabulación y gráfica de la ecuación: y = ± x
 Procedimiento
 La x sólo puede tomar valores no negativos, ya que las raíces de números negativos no son núme-
ros reales, por lo tanto, la tabulación incluiría valores como los siguientes:
 Solución
x y
 0 0
 0.5 ± 0.7
 1 ± 1
 2 ± 1.4
 4 ± 2
 9 ± 3
y
x
2
20
0
–2
–2 4 6 8
La definición de función requiere que a cada elemento x del dominio le corresponda un único valor y del 
rango, lo cual no se cumple en este ejemplo, por lo tanto, tenemos una relación que no es función.
Figura 4
Actividad 
Discute con tus compañeros y maestro el dominio y el rango de la relación del ejemplo anterior.
Ejemplo
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Relaciones y funciones polinomiales
19
Actividad 
 Grafica la relación dada del siguiente conjunto de pares ordenados y señala si se trata de una 
función o no.
{(0, - 1), (0, - 2), (0, 0), (1, 1), (2, 0) }
 Solución
¿A cada elemento x le corresponde una única y?
Vemos que a cada elemento x (el 0) le corresponden tres valores diferentes de y,por lo tanto, esta rela-
ción no es una función.
y
x
1
10
0
–1
–2
2–1–2–3 3
Figura 5
1. Discute con tus compañeros y maestro cuál de los siguientes casos son funciones y cuáles no lo son:
a) {(1, 2), (2, 1)} d) {(–3, 5), (3, –5), (2, 3), (–2, 6)}
b) {(a, b), (a, c), (c, d ), (e, f )} e) {(3, 2), (3, –2), (4, 1), (4, –1)}
c) {(x, 1), (y, 1), (z, 1)} f) {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)}
 5 Traza la gráfica de y = — para valores de x que están entre 1 y 5 incluyéndolos, y determina el
 x
 rango. Señala si se trata de una función.
Ejemplo
Ejemplo
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20
Etapa 1
Procedimiento
Haz tu tabla de valores sustituyendo algunos valores del dominio dado para que encuentres los 
valores correspondientes en el rango.
Solución
 5La gráfica y = — pasa por los puntos que se muestran en la tabla.
 x
x y
 1 5
 2 2.50
 5/2 2
 3 1.66
 4 1.25
 5 1
 
 5La ecuación y = — es una función.
 x
y
x
5
0
–5
–5 50
Figura 6
1. En este ejemplo el domino se ha restringido a valores de x entre 1 y 5 incluyéndolos, 
pero de hecho la x puede tomar todos los valores reales, excepto el cero.
2.	 La	utilización	de	los	símbolos	de	desigualdad	(<,	≤,	>,	≥)	es	para	indicar	el	intervalo	de	
valores	permisibles	que	puede	tomar	la	variable,	por	ejemplo	(–3	≤	x	<	4),	“x” es igual o 
mayor a –3, pero menor a 4. Esto es: los valores están entre –3 y 4, incluido solamente 
el –3.
Notas
Dominio:
D = {x / 1 ≤ x ≤ 5}
Rango:
R = {y / 1 ≤ y ≤ 5}
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Relaciones y funciones polinomiales
21
1. Para los siguientes problemas traza la gráfica de la relación, señala su rango e indica si se trata o 
no de una función.
a) y = – 0.5x; dominio = {números reales}
b) y = x – 5; dominio = {enteros positivos} 
 5
c) y = — ; dominio = {x / – 5 ≤ x ≤ – 1}
 x
d) y = 0. 4x + 5; dominio = { x / –2 ≤ x ≤ 10}
e) y = | x + 2 | ; dominio = {números reales}
f) y = x 2 + 5.4x + 1; dominio = {números positivos}
2. De las figuras siguientes determina el dominio y el rango de la función representada.
Ejercicios
y
x
10
0
–10
–5–10 50 10 15
5
0
2
–2–4 20 4
–2
El	punto	o	círculo	negro	(•)	indica	≤	,	≥	;	esto	es,	que	el	punto	sí	pertenece	a	la	gráfica.
El hueco ( )	indica	<,	>;	esto	es,	que	el	punto	no	pertenece	a	la	gráfica.
Nota
a)
b)
3. Haz un bosquejo de una gráfica que tenga cada una de las siguientes características.
a) Dominio = {x / –1 ≤ x ≤ 4}, rango = { y / –1 ≤ y ≤ 10}
b) Dominio = {x / 0 < x < 5}, rango = {y / –2 < y ≤ 0}
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22
Etapa 1
III. Funciones en el mundo real 
Dada una situación del mundo real, en la cual el valor de una variable depende del valor 
de	la	otra,	bosquejar	una	gráfica	razonable	mostrando	esta	relación.
Objetivo
 5En la sección anterior trazaste gráficas de funciones que tenían ecuaciones tales como y = —.
 x
En situaciones del mundo real hay, casi siempre, dos cantidades variables que están relacionadas de tal 
forma que el valor de una variable depende del valor de la otra. Por ejemplo:
1. La posición de una aguja del velocímetro depende de lo rápido que se desplace el automóvil.
2. La distancia que hayas recorrido depende de qué tiempo has estado viajando (y qué tan rápido 
vayas también).
3. El peso de una persona depende, entre otras variables, de su estatura.
En casos como el ejemplo 2 puedes decir que la distancia recorrida es una función del tiempo. Si tienes 
nociones de la relación entre distancia y tiempo, puedes ser capaz de escribir una ecuación que vincule 
las dos variables. Aun si no supieras lo suficiente como para desarrollar una ecuación, puedes dibujar una 
gráfica razonable que representa dicha relación. En esta sección bosquejarás esta clase de gráficas.
 El tiempo que te toma llegar a casa desde el parque de fútbol y la velocidad a la que te desplazas 
están relacionadas mutuamente (El desplazamiento puede ser en diversos medios de transporte: 
caminando, en bicicleta, autobús o automóvil). Bosqueja una gráfica razonable mostrando esta 
relación.
 Procedimiento
Como todavía no sabemos cuál variable depende de la otra, tu primer trabajo será determinar esta 
situación. Debes preguntarte cuál de las siguientes sugerencias es más razonable:
“El tiempo que me toma llegar a casa depende de qué tan rápido me desplace”.
“Qué tan rápido viaje, depende de cuánto me toma llegar a casa”.
La mayoría de la gente piensa que el primer planteamiento es más razonable y escogen el tiempo 
como la variable dependiente. Así, la velocidad es la variable independiente. Traza la variable de-
pendiente en el eje vertical y marca las coordenadas en la figura 7.
Ejemplo
UANL Mate 3 Cap. 1.indd 22 21/06/13 12:15
Relaciones y funciones polinomiales
23
 La gráfica puede mostrarnos cómo escoger una velocidad moderada para un tiempo moderado 
como en la figura 7. Entonces piensa en lo que ocurre; si varías la velocidad el tiempo es variable; 
a mayor velocidad, menor tiempo y a menor velocidad mayor tiempo.
 Solución
T
V
Velocidad
(v, t)
T
ie
m
po
Figura 7
Cuando tengas los suficientes puntos que digan lo que la gráfica quiere mostrar, únelos con una 
línea curva. La figura 8 muestra la gráfica completa. Te toma siempre cierta cantidad de tiem-
po no importa qué tan rápido te desplaces, por lo tanto, la gráfica nunca toca el eje horizontal. 
Similarmente, nunca llegarías a casa si la velocidad fuera cero, la gráfica no toca el eje vertical.
Una línea recta que se acerca a la gráfica, pero nunca la toca como lo hacen los ejes horizontal y vertical 
en la figura 8 se llama asíntota. La palabra viene del griego y significa “no están juntos”.
T
V
Velocidad
T
ie
m
po
Figura 8
Una asíntota es una recta fija a la cual la gráfica de una función tiende a unirse; en otras pa-
labras, la distancia entre un punto de la gráfica y la recta llamada asíntota tiende a cero. Para 
los casos que vamos a estudiar en este curso basta con pensar que la gráfica nunca va a tocar 
a la asíntota.
Definición
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24
Etapa 1
En el ejemplo 1 la velocidad debe ser siempre positiva. La velocidad negativa no tiene significado. Así, 
el dominio de esta función es: dominio = {v / v > 0}. Solamente los valores positivos del tiempo tienen 
sentido en este ejemplo. No puedes llegar a casa antes de que inicies o en el instante que empiezas. Así 
el rango de la función es: rango = {t / t > 0}.
 Si tomas una chuleta del refrigerador y la metes al horno caliente, el cocimiento de la carne de-
pende el tiempo que ésta haya estado en el horno. Diseña una gráfica razonable.
 Procedimiento
 La figura 9 muestra una gráfica razonable. Cuando el tiempo es menor que cero, la carne aún está 
en el refrigerador. Para el tiempo mayor que cero, la carne se calienta, rápidamente al principio, 
después más lentamente y finalmente aprovecha la temperatura del horno muy gradualmente.
 Es discutible si la carne realmente alcanza la temperatura del horno, ya que éste está cerrado y na-
die puede notar la diferencia. Así, la línea punteada de la temperatura del horno es una asíntota.
 Solución
 El dominio en este caso incluye ambos valores, positivos y negativos, del tiempo.
El rango es el conjunto de temperaturas entre la temperatura del refrigerador y la temperatura del 
horno.
En los ejercicios que siguen desarrollarás práctica en el diseño razonable de gráficas de situaciones co-
tidianas de acuerdo con el objetivo de esta sección. Muchas de estas situaciones reales aparecerán en 
capítulos posteriores cuando estudies relaciones que tienen gráficas como éstas.
Tiempo
Temperatura
Temperatura
del horno
Temperatura del
refrigerador
Dentro del
refrigerador
Dentro del
horno
Figura 9
Ejemplo
UANL Mate 3 Cap. 1.indd 24 21/06/13 12:15
Relaciones y funciones polinomiales
25
IV. Gráfica de funciones y relaciones.
 Criterio de la recta vertical
1. Para cada uno de los problemas diseña una gráfica razonable.a) El número de latas de aluminio que has recolectado está relacionado con la cantidad de di-
nero que obtendrás al vender las latas.
b) La altitud que alcance una pelota de fútbol, depende, entre otras cosas, del número de se-
gundos que trascurran desde que ésta fue pateada.
c) Cuando llenas el tanque de gasolina de tu carro y empiezas a manejar, la cantidad de gaso-
lina que quede en el tanque depende de la distancia que has recorrido.
d) Cuando abres la llave de la bañera, la cantidad de agua acumulada y el número de segundos 
que transcurren desde que abres la llave están relacionados una con otro.
e) Una mujer desea perder algo de peso; para lograrlo ella reduce su dieta de 5 000 calorías 
por día a 1 000. Su peso depende del número de días que transcurran desde que redujo la 
cantidad de calorías de sus alimentos.
f) Tu automóvil se descompuso en la carretera y tienes que empujarlo. La velocidad a la cual se 
desplace el auto depende qué tanto lo empujes.
g) La calificación que podrías obtener en un examen determinado depende de cuánto hayas 
estudiado.
h) Cuando abres la llave del agua caliente y ésta corre, su temperatura depende del número de 
segundos transcurridos desde que la abriste.
Dada	una	relación,	graficar	y	decir	si	la	relación	es	o	no	una	función.
Objetivo
Ya has aprendido a graficar la ecuación de una función y has observado que todas tiene un rango en 
común, para cada valor que le das a x obtienes un único valor de y.
A continuación se muestran algunas gráficas. Rápidamente sabrás si ellas son funciones, si trazas una 
línea vertical imaginaria a lo largo de toda la figura, si la línea vertical (se muestra con una línea punteada) 
corta la gráfica sólo una vez, eso quiere decir que para cada valor de x existe un único valor de y. En tal 
caso el gráfico corresponde a una función. En caso contrario corresponde a una relación.
Ejercicios
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26
Etapa 1
Revisemos el ejemplo de la página 16. Teníamos la ecuación y = ± x , con su gráfica; si pasas una línea 
vertical imaginaria por cualquier parte de la figura observarás que siempre la corta en dos puntos, excep-
to en x = 0. Esto te indica que para cada valor de “x” estás obteniendo 2 valores deferentes de “y”, lo cual 
confirma que se trata de una relación. Como ya lo hemos dicho, si para cada valor de “y”, se obtiene un 
único valor de “x” tenemos una función.
x y
0 0
1 1 ó – 1
4 2 ó – 2
9 3 ó – 3
16 4 ó – 4
y
x
2
20
0
–2
–2 4 6 8
Figura 11
El dominio en este ejemplo es: {x /x ≥ 0} y el rango es:{y / y ∈ }
Figura 10
A esto se le llamaría criterio de la línea vertical.
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Relaciones y funciones polinomiales
27
 Grafica | y | = x Di si la relación es o no una función.
 Procedimiento
 Los valores convenientes de x deben ser mayores o iguales que cero, porque si le das un valor 
negativo a x, la ecuación no tiene solución. Si | y | = – 2 la ecuación no tiene solución. La gráfica de 
| y | = x se muestra en la figura 12.
 Solución
x y
0 0
1 1 ó – 1
2 2 ó – 2
3 3 ó – 3
4 4 ó – 4
Figura 12
y
x
Aquí la gráfica no corresponde a una función, puesto que para cada valor de x mayor que cero se 
obtienen 2 valores diferentes de y.
El dominio de la relación es: {x / x ≥ 0}. El rango de la relación es: {y / y ∈ }
Ejemplo
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28
Etapa 1
1. En cada uno de los siguientes casos indica si la relación es o no función. Toma, como dominio, 
al conjunto de todos los valores de x para los cuales hay varios valores correspondientes de y que 
son números reales.
a) 9y = x 2 c) | x | = x + 2 e) 5x - 2y = 10
b) 2y = x + | x | d) y 2 = 4x
2. Indica si cada una de las siguientes gráficas representa o no una función.
a) e) i)
 
b) f) j) 
 
c) g) k)
 
d) h) l)
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
5
x
–5
0
–5 –5–5 –50
y
5
x
–5
–5 –5–5 –5
0
0
–5
0
0
y
5
x
–5
–5 –5–5 –5
0
0
–5
0
0
Ejercicios
UANL Mate 3 Cap. 1.indd 28 21/06/13 12:15
Relaciones y funciones polinomiales
29
Los científicos acostumbran describir algunas situaciones prácticas con ecuaciones 
que incluyen dos o más variables; luego con las ecuaciones obtienen gráficas que les 
permiten una mejor comprensión de estas situaciones y pueden prever el comporta-
miento de una variable si sabe como se comportará la otra.
Pongamos como ejemplo el caso de un objeto que se mueve con una velocidad cons-
tante de 12 metros por segundo: si llamamos x al tiempo transcurrido y representamos 
por y la distancia que separa al objeto del punto de partida en un instante x, el científico 
concluye que el movimiento queda descrito por la ecuación y = 12x. Con esta ecuación 
se puede establecer exactamente la posición del objeto para cualquier valor permisible 
de x, y recíprocamente se puede determinar qué tiempo debe de transcurrir para que el 
objeto móvil se haya desplazado una cierta distancia, así, cuando x = 5 segundos, y = 
60 metros: o bien cuando el objeto se encuentra a 90 metros de su punto de partida. Es 
decir, cuando y = 90 metros, el tiempo transcurrido es: x = 7.5 segundos.
Los pares ordenados (x, y ) que hacen cierta la ecuación, reciben el nombre de solucio-
nes de la misma, entonces (5, 60) y (7.5, 90) son dos soluciones de la igualdad y = 12x. 
El par ordenado (2, 20) no es solución en esta ecuación, porque si x = 2 entonces y = 
24 y 24 ≠ 20. Como x puede sustituirse por un número infinito de valores y como a cada 
x le corresponde una y, la ecuación anterior tiene infinitas soluciones; esto nos impide 
enlistarlas y para representarlas es necesario obtener su gráfica o parte de ésta.
En la sección anterior aprendiste que una función relaciona dos variables. En esta sección 
estudiarás una clase especial de función, que probablemente sea las más simple y una 
de las más útiles: la función lineal.
Pero como también nos toca estudiar relaciones y no sólo funciones, aprovecharemos 
el momento para estudiar las inecuaciones lineales, a partir de nuestro conocimiento 
muy básico de las relaciones de desigualdad, que ya las hemos utilizado para las nota-
ciones de dominio y rango.
29
1.2 Funciones y relaciones lineales
I. Función lineal
Reconocer la forma de la ecuación y la gráfica de la función lineal.
Objetivo
A las funciones se les nombra de acuerdo a su ecuación. Por ejemplo, si la ecuación es: y = 3x + 5 se 
le asigna el nombre de función lineal porque y es igual a un polinomio lineal (o de primer grado) en la 
variable x.
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Etapa 1
30
Actividad 
Si una ecuación particular tiene m = 0, como en y = 7, entonces y será igual a un polinomio de grado 
cero y la ecuación será llamada función constante y no función lineal.
Como la gráfica de una función lineal es una línea recta y una línea recta queda determinada cuando 
conocemos dos de sus puntos, las gráficas de estas funciones las obtendremos graficando en el plano 
dos de sus soluciones y trazando después la recta que los contiene.
Una función lineal es una función cuya ecuación general es: y = mx + b, en donde m y b son 
constantes y m ≠ 0.
La ecuación y = mx + b se conoce como ecuación general, pero si damos valores concretos a m y b como 
en y = 3x + 5, entonces la ecuación es llamada ecuación particular.
1. Selecciona valores de x y encuentra los valores correspondientes de y; grafica los puntos y traza 
las gráficas de las siguientes funciones:
a) y = x + 3 b) y = 2x + 3 c) y = 0.5x + 3
d) x = 0x + 3 e) y = –2x + 3 f) y = –3x + 3
2. A partir de las gráficas anteriores que trazaste, contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Por qué las funciones de primer grado son llamadas funciones lineales?
b) ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio de coeficiente de la x si la b permanece fija?
3. Ahora realiza las gráficas de las siguientes funciones:
a) y = 2x b) y = 2x + 1 c) y = 2x + 2
d) y = 2x –1 e) y = 2x–2 f) y = 2x –3
4. ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio del término constante si la m permanece fija?
5. ¿En qué se diferencian las gráficas de las funciones de los incisos e y f del problema 1 del resto 
de las funciones del presente ejercicio?
6. Elabora tus conclusiones con base en las respuestas que diste para las preguntas 2, 4 y 5. 
Compártelas con tu grupo y discute los resultados.
La gráfica de cualquier función lineal cortará al eje x. ¿Y al eje de la y?
Definición
Ejercicios
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 30 20/06/13 23:17
Relaciones y funciones polinomiales
31
II. Propiedades de la gráfica de una función lineal
Identificar elementos básicos de la función lineal: pendiente e intersecciones con ejes, 
y utilizarlos para una graficación rápida. Reconocer la ecuación de rectas horizontales y 
verticales e identificar cuál es función y cuál no lo es.
Objetivo
¿Cómo se puede medir lo “inclinado” de una recta? Veamos cómo se realiza esto en la recta cuya ecua-
ción es: y = 2x – 3.
Seleccionamos dos valores de x y encontramos los correspondientes valores de y:
si x = 1, entonces y = –1
si x = 4, entonces y = –4
graficamos los puntos y trazamos la gráfica.
x
desp. = 3
(4, 5)
elev. = 6
(1, –1)
y
Figura 13
La recta pasa por los puntos (1, 1) y (4, 5). Entre estos puntos se “eleva” una distancia vertical de 6 uni-
dades y se “desplaza” una distancia horizontal de 3. Se define la pendiente de una recta como sigue:
 cambio en la distancia vertical 6
Pendiente de una recta = ––––––––––––––––––––––––––––––––––– = — = 2
 cambio en la distancia horizontal 3
Una propiedad de las gráficas de las funciones lineales es que la razón
elevación
–––––––––––––––––
desplazamiento
es constante, no importa qué pareja de puntos escojas. Esta razón es el coeficiente del término en x en 
la ecuación y = mx + b.
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 31 20/06/13 23:17
Etapa 1
32
Cuando encontramos el cambio en una distancia, por lo general restamos a las coordenadas del primer 
punto las correspondientes del segundo. Así, si (x1, y1) y (x2 y2) son dos puntos de una recta, entonces 
la elevación y el desplazamiento podemos escribirlos como:
Elevación = y2 - y1, y la denotamos como ∆y (se lee “delta y ”)
Desplazamiento x2 - x1 , y lo denotamos como ∆x (se lee “delta x ”)
 elevación
La pendiente m de una función lineal es la razón ––––––––––––––––, donde el desplazamiento 
 desplazamiento
es la distancia horizontal entre dos puntos de la gráfica y la elevación es la distancia vertical 
entre ellos (nótese que elevación y desplazamiento pueden ser positivos o negativos).
x
Δy = y2 – y1
Δx = x2 – x1
(x1, y1)
(x2, y2)
y
Figura 14
Fórmula de la pendiente
Si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos de la gráfica de una función lineal, entonces: 
 y2 – y1 ∆yPendiente = m = ––––––– = ––– con x2 ≠ x1 x2 – x1 ∆x
 y1 – y2también puede escribirse: m = –––––––
 x1 – x2
Definición
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 32 20/06/13 23:17
Relaciones y funciones polinomiales
33
Tal y como debes haber respondido en la actividad al inicio de esta sección, la gráfica de la función lineal 
no constante es una recta que debe cortar el eje y en algún punto. Regresemos a la gráfica de la ecua-
ción y = 2x –3. Como lo observaste en los problemas del ejercicio 1 de la página 30, la recta corta el eje y 
en el punto donde y = –3. A este número se le llama “intersección y ” de la recta, y es el valor del término 
constante (b) en la ecuación y = mx + b.
De nuevo, tomando la respuesta de la actividad mencionada, cualquier recta (excepto el caso de que 
sean paralelas al eje x) tendrá que cortar al eje x en algún punto. En este caso la recta corta al eje x en 
el punto donde x = 1.5. Al número 1.5 se le llama “intersección x ” de la recta.
Se puede encontrar la gráfica de la ecuación de otra forma: determinando las interseccio-
nes con los ejes.
Nota
Para encontrar la intersección x, observa que el punto donde la recta corta al eje x es cuando y = 0 en la 
ecuación y = 2x – 3, obtienes x = 1.5. Así, la intersección x es 1.5 y la gráfica pasa por el punto (1.5, 0)
De manera semejante, para encontrar la intersección y, observa que en el punto donde la recta corta al 
eje y es cuando x = 0. Haciendo x = 0 en la ecuación, obtienes y = – 3. La intersección y es –3 y la gráfica 
pasa por el punto (0, –3). Ver figura 15.
x
(0, –3)
(1.5, 0)
y = 2x – 3
y
Figura 15
Intersecciones con los ejes
La intersección y de una función es el valor de y cuando x = 0. La intersección x de una función 
es el valor de x cuando y = 0.
Definición
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Etapa 1
34
Observa la gráfica de la figura 16.
b = 3
m = 1
y = x + 3
x
y
x
y
x
y
x
y
b = 5
m = 2.5
y = 2.5x + 5
b = 5
m = –2
y = –2x + 5
b = 3
m = 0
y = 0x + 3
Figura 16
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Relaciones y funciones polinomiales
35
Actividad 
A manera de resumen tenemos:
Contesta lo siguiente:
1. Las gráficas de las funciones lineales son siempre__________
2. ¿A qué llamamos pendiente de una recta? _________________
3. ¿La pendiente de una recta está dada por qué parte de la ecuación?
4. El valor de la m determina la inclinación de la recta así:
a) Si m es positiva__________________
b) Si m es negativa __________________
c) Si m = 0 _______________________
5. ¿Cuándo una función recibe el nombre de función constante? ______________
6. El valor del término constante (b) señala el punto donde la gráfica cruza el ___________
Forma pendiente-intersección
Si y = mx + b, entonces m es la pendiente de la recta y b es la ordenada de la intersección con el eje 
y (es decir, la intersección y u ordenada al origen).
 2
 Traza la gráfica de la ecuación: y = — x + 4
 3
Ejemplo
 Procedimiento
Tenemos que:
 21. La pendiente es — y la intersección y es igual a 4 (porque y = 4 cuando x = 0).
 3
2. Por lo tanto, coloca tu lápiz sobre el eje y, ahora 4 unidades arriba del origen en el punto (0, 
4). Avanza 3 unidades hacia la derecha y luego sube 2 unidades para señalar otro punto de la 
gráfica. Repite el proceso si es necesario para obtener más puntos.
3. Une estos dos puntos con una línea recta.
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Etapa 1
36
x
y
3
2
x
y
 Figura 17a Figura 17b
 Encuentra la intersección y. A partir de ahí encuentra el segundo punto.
 Solución
Dibuja la recta uniendo los dos puntos.
x
y
Figura 17c
Las siguientes gráficas muestran los tres pasos anteriores.
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 36 20/06/13 23:17
Relaciones y funciones polinomiales
37
Actividad 
 Traza la gráfica de la ecuación: 5x + 7y = 14
 Procedimiento
Puedes cambiar esta ecuación a la forma y = mx + b. Así:
 5x + 7y = 14
 7y = –5x + 14
 5
 y = - — x + 2
 7
 5Entonces m = - — y b = 2.
 7
Como en este caso la pendiente es un número negativo, uno de los dos, la elevación o el despla-
zamiento debe ser negativo (y el otro debe ser positivo). Partiendo del punto (0, 2) de la gráfica, 
puedes avanzar 7 unidades hacia la derecha y luego bajar 5, o bien desplazarte 7 unidades hacia 
la izquierda y luego subir 5 para encontrar el otro punto de la recta. La siguiente figura muestra la 
gráfica de la ecuación anterior.
 Solución
x
y
y = –-– x + 25
–7
+7
–5
–7
+5
Figura 18
¿Cuál será la gráfica de la función y = una constante? Por ejemplo:
a) y = 5 b) y = –2 c) y = 0
¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal?
¿Cuál es la pendiente de una recta vertical?
Ejemplo
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 37 20/06/13 23:17
Etapa 1
38
 Traza la gráfica de la ecuación: x = 6.
 Procedimiento
De esta ecuación no se puede despejar y. Pero el trazo de la gráfica es fácil. Como x es siempre 
6 sin importar cuál sea y, la gráfica es una recta vertical. Esta relación no es una función, pues 
existe más de un valor de y cuando x es 6. Como puedes ver, a partir de la fórmula de pendiente, 
la pendiente de una recta vertical no existe.
 Solución
x
y
x = 6
0 20
5
4 6 8
Figura 19
Seguramente no tuviste dificultad en resolver la actividad previa, pasamos ahora a resumir:
Rectas horizontales y verticales
Si y es constante, la gráfica es una recta horizontal cuya pendiente tiene un valor 0.
Si x es constante, la gráfica es una recta vertical, por lo cual no tiene pendiente.
1. Traza correctamente la gráfica de las siguientes ecuaciones en papel cuadriculado. Utiliza el 
concepto de pendiente e intersección y, donde sea posible.
 5 1
 a) y = — x –1 b) y = — x + 3 c) y = 5x – 6 d) y = x + 9
 2 4
 e) 3x + 3y = 12 f) 4x – 5y = 25 g) y = 2x h) y = 5
 i) x = 3 j) x = 0
Ejemplo
Ejercicios
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 38 20/06/13 23:17
Relaciones y funciones polinomiales
39
Actividad 
 III. Formas de la función lineal o ecuación de la recta
1. Las relaciones y = -5, x = 3, x = 0, no son llamadas funciones lineales, aunque sus gráficas sean 
línea rectas. Sin embargo, la razón es diferente en cada caso. Explica por qué a cada una de 
estas relaciones no se les llama función lineal.
2. Muestra que la relación y - 8 = 3(x -1) es una función lineal convirtiéndola a la forma y = mx + b. 
Traza la gráfica.
Veamos la relación que tiene como ecuación: y - 4 = 2(x - 5).
Si sustituyes (x, y ) por (5, 4) ambos miembros de la ecuación serán iguales a cero. Así (5, 4) es un punto 
de la gráfica porque satisface la ecuación. Distribuyendo el 2 nos queda:
y - 4 = 2x - 10
Luego, sumando 4 a ambos miembros, la ecuación queda:
y = 2x - 6
por lo tanto, la relación anterior es una función lineal cuya pendiente es 2. Esto mismo es lo que segura-
mente hiciste en el inciso b de la actividad previa.
Una ecuación lineal como y - 4 = 2(x - 5) se dice que está en forma punto– pendiente, porque en la 
ecuación aparecen las coordenadas de un punto y la pendiente de la recta.
La forma familiar y = mx + b de la ecuación de una función lineal es llamada forma pendiente –intersec-
ción.
Otra forma de la ecuación de una función lineal es Ax + By = C, siendo A, B y C constantes reales y en 
donde ambas variables están en un solo lado de la ecuación y el término constante en el otro; en este 
texto a esta ecuación se le llamará forma ordinaria.
Escribir La ecuación de una función lineal en cualquiera de sus formas:
 Forma pendiente-intersección.
 Forma punto-pendiente.
 Forma ordinaria.
 Forma intersección o simétrica.
Objetivo
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Etapa 1
40
Actividad 
La ecuación de una función lineal también puede ser escrita como:
 x y
— + — = 1
 a b
La cual se denomina forma intersección, porque a y b representan las intersecciones de la recta con los 
ejes horizontal (x) y vertical (y), respectivamente.
Formas de la ecuación general de una función lineal
 y = mx + b Forma pendiente-intersección: m es la pendiente de la recta y b es la 
intersección y de la recta.
 y – y1 = m(x – x1) Forma punto-pendiente: m es la pendiente de la recta y (x1, y1) es un 
punto de la recta.
 Ax + By = C Forma ordinaria. A, B y C son números reales.
 x y
 — + — = 1 Forma intersección o simétrica: a es la intersección x de la recta y b es
 a b la intersección y de la recta.
A partir de la recta cuya ecuación en la forma punto– pendiente es:
 3
y – 8 = – — (x + 4)
 2
a) Traza la gráfica.
b) Transforma la ecuación a la forma pendiente– intersección.
c) Transforma la ecuación a lo forma ordinaria.
d) Transforma la ecuación a la forma intersección.
1. Para las siguientes ecuaciones, realiza lo que se te pide:
• Determina la pendiente y las coordenadas del punto que aparece en la ecuación.
• Traza la gráfica de la recta.
• Transforma la ecuación a la forma pendiente– intersección.
• Transforma la ecuación a lo forma ordinaria.
• Transforma la ecuación a la forma intersección.
Ejercicios
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Relaciones y funciones polinomiales
41
IV. Ecuaciones de funciones lineales a partir de su gráfica
 2 1
a) y - 2 = — (x - 6) b) y + 7 = - — (x - 2) c) y - 5 = -2x
 3 2
2. Para las siguientes ecuaciones, realiza lo que se te pide:
• Determina la pendiente y la intersección con el eje y.
• Traza la gráfica de la recta.
• Transforma la ecuación a la forma punto-pendiente.
• Transforma la ecuación a lo forma ordinaria.
• Transforma la ecuación a la forma intersección.
 1
a) y = -2(x + 7) b) y = — (x – 8) c) y = -3x + 7
 4
3. Escribe la ecuación en la forma punto-pendiente para las funciones lineales descritas.
 a) Pasa por el punto (1, 7), y tiene pendiente –3.
 b) Pasa por el punto (6, 6), y tiene pendiente 5.
 9
 c) Pasa por el punto (- 1, 0), y tiene pendiente —.
 2
 -2
 d) Pasa por el punto (2, - 8), y tiene pendiente –––.
 7
 2
 e) Pasa por el punto (- —, 5), y tiene pendiente 3. 5
Graficar funciones lineales a partir de ciertos datos y construir la ecuación de la función.
Objetivo
Suponiendo que alguien dijera “si la ecuación de una función lineal es y = 4x –7, ¿Qué valores tienen la 
pendiente y la intersección y de dicha recta?” Tú dirías; ¡eso es fácil! Los valores son 4 y –7, respectiva-
mente”. También es fácil para ti contestar a la pregunta inversa: si la pendiente y la intersección y de una 
recta son –3 y 10. ¿Cuál sería la ecuación? La respuesta es: y = – 3x + 10.
En esta sección utilizarás la información dada acerca de la gráfica de una función lineal para que deter-
mines su ecuación particular.
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 41 20/06/13 23:17
Etapa 1
42
 Encuentra la ecuación particular de una función lineal cuya gráfica pasa por el punto (5, –7) y 
 –2
 cuya pendiente es –––.
 3
 Procedimiento
Como los datos son un punto y la pendiente, la forma más sencilla para encontrar el resultado será 
utilizar la forma punto-pendiente:
 2
y – y1 = m(x – x1), donde x1 = 5, y1 = – 7 y m = – — 3
Por lo tanto la ecuación es: 
 Solución
 2
y + 7 = - — (x –5)
 3
No es necesario transformar esta ecuación a cualquier otra forma, a menos que te lo pidan.
 Encuentra la ecuación particular de una función lineal cuya gráfica pasa por los puntos (–4, 5) y 
(6, 10).
 Procedimiento
Este tipo de problema se puede reducir al tipo de problema anterior si primero determinas el valor 
de la pendiente, utilizando la fórmula:
 y2 - y1 10 - 5 5 1m = ––––––– = ––––––––– = ––– = —
 x2 - x1 6 - (-4) 10 2
Y después escoger cualquiera de los dos puntos dados para utilizar la forma punto– pendiente.
 Solución
 1 1
y - 5 = — (x + 4) o y - 10 = — (x - 6) 
 2 2 
Ejemplo
Ejemplo
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 42 20/06/13 23:17
Relaciones y funciones polinomiales
43
Observa que estas dos ecuaciones son equivalentes, porque si transformaras cada una de ellas a la for-
ma pendiente-intersección, ambas quedarían así:
 1y = — x + 7
 2
Observemos la siguiente gráfica:
x
y
3
3
2
2
R1 R2
 2La figura muestra dos rectas paralelas; la pendiente de ambas rectas es —.
 3
 3
En la figura de abajo, la pendiente de la recta R1 es —; la pendiente de la recta R2, perpendicular a R1
 4 4
es - —.
 3
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
Nota
x
y
–4
3
490°
3
R1
R2
Figura 21
Figura 20
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 43 20/06/13 23:17
Etapa 1
44
Si una de las dos rectas perpendiculares no tiene pendiente significa que la otra recta es horizontal. Estos 
principios se pueden usar para encontrar ecuaciones particulares.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
Dos rectas son perpendiculares si el valor de la pendiente de una de ellas es el “opuesto 
del recíproco” de la otra.
Nota
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas: R1 y R2 son paralelas si sus pendientes son iguales, m1 = m2, o si ambas carecen de 
pendientes.
 1
Dos rectas: R1 y R2, son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y opuestas, m1 = – –––, m2
o bien si una es horizontal y la otra vertical.
 Encuentra la ecuación particular de la función lineal cuya gráfica pasa por el punto (–1, 5) y es 
perpendicular ala recta cuya ecuación es 3x + 4y = 28.
 Procedimiento
 3
Transformando esta ecuación a la forma pendiente-intersección obtienes que: y = ––– x + 7.
 -4
 3 4
La pendiente de la recta dada es –––, por lo tanto, la pendiente de la recta que buscamos debe ser —
 -4 3
 3(el opuesto del recíproco –––). -4
 Solución
 4
 y – 5 = — (x + 1)
 3
Ejemplo
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 44 20/06/13 23:17
Relaciones y funciones polinomiales
45
 Encuentra la ecuación particular de la recta horizontal que pasa por el punto (7, 5).
 Procedimiento
 La manera más sencilla de resolver este problema es darse cuenta que la ecuación de una recta 
horizontal es de la forma y = constante. Así determinas directamente que la ecuación es:
 Solución
 y = 5
Este ejemplo también se puede resolver considerando que la pendiente de una recta horizontal es 
0, y luego, utilizando la ecuación de la forma punto-pendiente obtienes que: y – 5 = 0 (x – 7), la 
cual puedes transformar a: y = 5. La gráfica se muestra en la siguiente figura.
x
y
–2 2 40
0
5 (7, 5)
6 8
Figura 22
 Encuentra la ecuación particular de una recta vertical que pasa por el punto (7, 5).
 Procedimiento
 La única manera de resolver este problema es saber que la ecuación de una recta vertical es de la 
forma x = constante y determinar inmediatamente que la ecuación es x = 7.
 Solución
 Ya que la pendiente de una recta vertical no existe, entonces no puedes utilizar la forma punto-
pendiente ni la forma pendiente intersección. La gráfica se muestra en la siguiente figura.
Ejemplo
Ejemplo
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Etapa 1
46
x
y
–2 2 40
0
5 (7, 5)
6 8
Figura 23
1. Para los problemas:
• Determina le ecuación de la recta descrita.
• Transforma la ecuación, si es necesario, a la forma pendiente-intersección.
• Transforma la ecuación a la forma ordinaria Ax + By = C. donde A, B y C son constantes 
reales.
 a) Tiene pendiente 8 y la intersección y es -9.
 b) Pasa por el punto (2, -6) y tiene una pendiente -1.
 8
 c) Pasa por el punto (-3, 8) y tiene una pendiente - —.
 5
 d) Pasa por los puntos (5, 0) y (8, – 11).
 e) Pasa por los puntos (12, -4) y (-5, -4).
 f) Pasa por el punto (7, -2) y es paralela a la recta y = –2x + 13.
 g) Pasa por el punto (3, – 5) y es perpendicular a la recta y = – 2x + 13.
 h) Pasa por el punto (2, – 6) y es paralela a la recta 9x –6x = 11.
 –2
 i) Tiene pendiente de ––– y la intersección x es -3.
 3
 j) Su intersección x es de 4 y su intersección y es 4.
 k) Es horizontal y pasa por el punto (1, -6).
 l) Es vertical y pasa por el punto (1, -6).
 m) Pasa por los puntos (6, 2), (5, 3) y (1, 7).
Ejercicios
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Relaciones y funciones polinomiales
47
Actividad 
V. Funciones lineales como modelos matemáticos
Introducción a los modelos lineales
José Garza se traslada diariamente en su automóvil de su casa en Monterrey a su trabajo en Saltillo. Mientras 
va conduciendo, la distancia a la ciudad de Saltillo depende del número de minutos que hayan transcurrido. 
Cuando lleva manejando 20 minutos se encuentra a 45 km de su destino y cuando ha manejado 32 minutos 
le faltan 27 km.
Si y es el número de kilómetros que le faltan a José para llegar a Saltillo y x es el número de minutos que ha 
estado conduciendo. Haz lo siguiente:
a) Escribe la información de relación tiempo-distancia como dos pares ordenados.
b) Ubica estos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas.
c) Considera que la relación anterior, tiempo-distancia es una función lineal. Traza la gráfica del inciso b en 
el sistema coordenado.
d) Determina una ecuación particular para esta función. Transfórmala, si es necesario, a la forma pendiente-
intersección.
e) Utiliza la ecuación anterior para calcular la distancia que le falta recorrer a José para llegar a Saltillo si ha 
estado conduciendo 40 minutos.
f) Utiliza la ecuación anterior para predecir el tiempo total que le tomará a José llegar a su destino.
Dada una situación en la cual dos variables del mundo real estén relacionadas lineal-
mente.
 Bosquejar la gráfica.
 Encontrar la ecuación particular.
 Utilizar la ecuación para predecir valores de la otra variable.
 Comprender el significado del valor de la pendiente y las intersecciones en el mun-
do real.
Objetivo
En la sección anterior elaboraste gráficas que relacionaban dos variables del mundo real. Algunas de 
ellas eran líneas rectas. Ahora has aprendido cómo encontrar la ecuación de una función lineal si tienes 
cierta información acerca de su gráfica. Esta ecuación la puedes utilizar para calcular valores de una 
variable si conoces los valores de la otra. Por lo tanto, la ecuación de una función la puedes usar para 
predecir valores de una variable del mundo real. Cuando una función se utiliza de esta forma se le co-
noce como modelo matemático.
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Etapa 1
48
 Cuando conduces del estadio de fútbol de regreso a tu casa, el número de kilómetros que te faltan 
para llegar a tu destino depende del número de minutos que has estado conduciendo. Supón que 
te encuentras a 11 km de tu casa cuando ya has conducido por 10 minutos, y a 8 km de casa 
cuando has estado manejando por 15 minutos.
 Si consideras que la distancia varía linealmente con el tiempo, resuelve:
a) Define las variables por el tiempo y la distancia. Bosqueja la gráfica.
b) Encuentra la ecuación particular expresando la distancia en términos de tiempo.
c) Predice la distancia a tu casa cuando has estado conduciendo por 20, 25 y 30 minutos.
d) ¿Cuánto tiempo tienes que conducir para encontrarte a 7 km de tu casa?
e) ¿Cuál es el valor de la intersección-distancia y qué significa en el mundo real?
f) ¿Cuál es el valor de la intersección-tiempo y qué significa en el mundo real?
g) Para que obtengas respuestas razonables, cuál es el dominio de esta función lineal?
h) ¿Cuáles son las unidades de la pendiente? De acuerdo con estas unidades. ¿Qué supones 
que representa la pendiente de la recta en el mundo real? ¿Qué significado tiene el hecho 
de que la pendiente sea negativa?
 Procedimiento
a) Sea t = número de minutos que has estado conduciendo.
 Sea d = número de kilómetros que te encuentras de tu casa.
Para resolver este problema de la forma más sencilla debes escribir la información dada como dos 
pares ordenados. Como d depende de t, entonces los datos serían (10, 11) y (15, 8).
 Solución
 Como se considera que las dos variables están relacionadas linealmente, la gráfica será una línea 
recta. Si realizas la gráfica observarás que no contiene puntos fuera del primer cuadrante porque 
tanto t como d son mayores o iguales que cero.
20 400
0
10
20
Ejemplo
Figura 24
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 48 20/06/13 23:17
Relaciones y funciones polinomiales
49
 Procedimiento
b) Como los datos del problema son las coordenadas de dos puntos de la recta, puedes utilizar la 
fórmula de la pendiente y determinarla.
 8 - 11 3
m = ––––––– = - —
 15 - 10 5
Sustituyendo el valor de la pendiente y las coordenadas de la primera pareja ordenada en la forma 
punto-pendiente obtienes:
 3
d - 11 = - — (t - 10)
 5
La pregunta dice que la variable d debe ser expresada en términos de t. Entonces necesitas trans-
formar la ecuación anterior a la forma pendiente-intersección.
 Solución
 3
d = ––– t + 17
 - 5
 Procedimiento
c) Para predecir la distancia cuando es dado el tiempo, sólo requieres de sustituir los valores 
dados de t y calcular la d correspondiente.
 Solución
 –3
Para t = 20 min d = ––– (20) + 17 = 12 + 17 = 5 km
 5
 –3
Para t = 25 min d = ––– (25) + 17 = 15 + 17 = 2 km
 5
 –3
Para t = 30 min d = ––– (30) + 17 = –18 + 17 = –1 km
 5
Observa que sustituyendo t por 30 (minutos) se obtiene un valor negativo para la distancia. Como 
probablemente no conducirás más allá de tu destino, el dominio de la función debe limitarse antes 
de que t valga 30 minutos.
 Procedimiento
e) Para predecir el tiempocuando estás a 7 km de distancia de tu casa, sustituye d por 7 y re-
suelve la ecuación resultante.
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 49 20/06/13 23:17
Etapa 1
50
 3
 7 = ––– t + 17 sustituyendo d por 7
 –5
 3 3
— t = 10 sumando — y restando 7
 5 5
 50 5
 t = ––– multiplicando por —
 3 3
 Solución
 Aproximadamente t = 16.66 s.
 Procedimiento
e) La intersección d es 17, y es el valor de d cuando t = 0. Cuando t = 0 estás justamente par-
tiendo hacia tu casa.
 Solución
 Por lo tanto la distancia entre el estadio de fútbol y tu casa debe ser de 17 km.
 Procedimiento
f ) La intersección t es el valor de t cuando d = 0. Haciendo d = 0 en la ecuación obtienes:
 –3
 0 = ––– t + 17
 5
 3
 — t = 17
 5
 85
t = –––
 3
 Solución
 t ≈ 28.33 s.
 Cuando d = 0 significa que has llegado a tu casa y el tiempo que te lleva es de 28.3 minutos.
 Procedimiento
g) El dominio deberá ser {t / 0 ≤ t ≤ 28.33}, que son los valores de t permisibles durante el tra-
yecto a tu casa.
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 50 20/06/13 23:17
Relaciones y funciones polinomiales
51
 Procedimiento
h) La pendiente de una recta es elevación/desplazamiento. La elevación está en kilómetros y el 
desplazamiento en minutos. “Por” es un palabra para decir “dividido por”, entonces…
 Solución
 3
Las unidades de la pendiente son km por min. Esto significa que tu velocidad es de — km/min. El 
 5
signo negativo de la pendiente te indica que la distancia del estadio a tu casa está decreciendo en
 5
— km/min.
 3
Debes saber que las predicciones realizadas a partir de un modelo matemático no son precisamente exac-
tas, pues las consideraciones originales que haces cuando se establece el modelo pueden cambiar.
 En el ejemplo que acabas de ver se consideró que la relación entre las variables era una función lineal y 
con pendiente constante. Pero si en el trayecto la velocidad varía, la gráfica realmente tendría pendiente 
diferente en lugares distintos.
Lo anterior quiere decir que la gráfica real puede no coincidir totalmente, sino sólo parecerse a la del 
modelo lineal y ésta puede solamente utilizarse como una aproximación.
Algunas veces tendrás que determinar la relación que existe entre dos variables; y en ciertos casos con-
cluir que la relación entre ellas es una función lineal. En el ejemplo 2 verás este tipo de problemas.
 En un establecimiento que vende piezas de cristal, el precio de cada vaso de vidrio es de $3.00, 
más un cargo único de $2.00 por la caja, el servicio, etcétera.
a) Determina una ecuación que exprese la cantidad total a pagar por un paquete de vasos como 
una función del número de vasos comprados.
b) Explica por qué la función del inciso anterior es una función lineal.
c) Predice el precio de una caja que contiene una docena de vasos.
d) ¿Cuántos vasos habrá en la caja si el costo por ella es de $47.00?
e) Traza la gráfica de la función usando un dominio adecuado.
 Procedimiento
a) Si v = número de vasos que contiene la caja.
 Si c = costo total del paquete.
Ejemplo
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 51 20/06/13 23:17
Etapa 1
52
 Solución
 Entonces la ecuación es: c = 3v + 2.
b) La función anterior es lineal porque la ecuación es de la forma:
 c es igual a una expresión de primer grado (lineal) en la variable v.
 Procedimiento
c) Si v = 12, c = 3(12) + 2 = 36 + 2 = 38
 Solución $38.00
 Procedimiento
d) Si c = 47, 47 = 3v + 2
45 = 3v 
 45
v = –––
 3 
v = 15
 Solución 15 vasos
 Procedimiento
e) La gráfica se muestra en la siguiente figura. El dominio de la variable v es precisamente el con-
junto de los números enteros no negativos. También la intersección c, en el valor 2 del eje vertical 
se excluye, ya que v = 0 y probablemente nadie compre una caja vacía ni pague el servicio.
 Solución
50
0
20
C
10 V
Figura 25
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 52 20/06/13 23:17
Relaciones y funciones polinomiales
53
1. Resuelve los siguientes problemas:
 a) Después de 10 minutos de haber empezado a leer un cuento, a Anita le faltan 35 páginas 
para terminar de leerlo, y después de 50 minutos de lectura todavía le faltan 5 páginas para 
terminarlo.
 Considera que el número de páginas que le faltan por leer varía linealmente con el número de 
minutos que ha estado leyendo. Escribe la ecuación particular expresando las páginas que 
le faltan en términos del tiempo en minutos de lectura y úsala para predecir el tiempo que le 
tomará terminarlo de leer. Luego bosqueja la gráfica.
 b) Cuando te picas con un alfiler transcurre un instante antes de que digas “¡ay!”. El tiempo de 
esta reacción varía linealmente con la distancia entre tu cerebro y el lugar donde te picaste. Si 
el señor Garza pincha a Pedro en la mano y en el pie, estima un tiempo de reacción de 15.2 
y 22.9 milésimas de segundo, respectivamente. Considerando que la mano se localiza a una 
distancia de 100 cm y el pie a 170 cm del cerebro de Pedro:
• Escribe la ecuación particular expresando el instante de tiempo en términos de la dis-
tancia.
• ¿Cuánto tiempo se tardaría Pedro en decir “¡ay!” si se picara en el cuello, a 10 cm del 
cerebro?
• ¿Cuál es el valor de la intersección-tiempo y qué representa en el mundo real?
• Bosqueja la gráfica de esta función.
• Como las unidades de la pendiente son milésimas de segundo por centímetro, su recipro-
co es la velocidad con que viaja un impulso nervioso en cm/ms. ¿Cuál es la rapidez de un 
impulso nervioso en cm/s?
 c) Basados en la información proporcionada por el departamento de investigación de biología, se 
encontró que la frecuencia con la que un grillo chirría es una función lineal de la temperatura. 
A 15°C los grillos emiten 76 chirridos por minuto y a 19°C emiten 100 chirridos por minuto.
• Escribe la ecuación particular expresando la razón de chirridos por minuto en términos de 
temperatura.
• Predice la razón de chirridos por minuto para 31°C.
• ¿Cuál será la temperatura si cuentas 130 chirridos por minuto?
• Calcula la intersección-temperatura. ¿Qué significado tiene este número en el mundo real?
• Bosqueja la gráfica de esta función en un dominio adecuado.
 d) La cantidad de dinero que desembolsas mensualmente por mantenimiento de tu automóvil 
es función del número de kilómetros por mes que recorriste. Basados en información emitida 
por la revista Mecánica Popular, el costo varía linealmente con la distancia. Si 300 km reco-
rridos en un mes te implicaron un costo de $240 y por 1 500 km gastaste $600:
El siguiente ejercicio te dará la habilidad necesaria en el uso de las siguientes funciones lineales como 
modelos matemáticos.
Ejercicios
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 53 20/06/13 23:17
Etapa 1
54
• Escribe la ecuación particular expresando el costo en términos de la distancia.
• Bosqueja la gráfica de esta función.
• Predice tu costo mensual si recorres 500, 1 000 y 2 000 km/mes.
• ¿Cuál sería tu kilometraje mensual si no debes excederte de $390?
 e) Los puentes en las carreteras casi siempre tienen juntas de expansión, las cuales son abertu-
ras pequeñas en el asfalto, entre una sección del puente y la próxima. Se deja un hueco en 
ese lugar para que el puente tenga espacio para expandirse cuando la temperatura se eleva. 
Supón que un puente tiene una abertura de 1.4 cm cuando la temperatura es de 22°C y que 
el hueco se estrecha a 1 cm cuando la temperatura sube a 30°C. Considera que el ancho de 
la abertura varía linealmente con la temperatura.
• Escribe una ecuación particular del ancho de la abertura como una función de la tempe-
ratura.
• ¿Cuál será el ancho de la abertura a 34° C? ¿Y a –6° C?
• ¿A qué temperatura podría cerrarse completamente la abertura? ¿Qué nombre matemático 
se le da a esta temperatura? ¿Es probable que la temperatura pueda subir lo suficiente 
como para cerrar la abertura?
• Bosqueja la gráfica de esta función lineal.
 f) Supón que tu automóvil tiene 40 meses de uso. En un negocio de autos usados te informan 
que su valor comercial presente esde $20 000, pero hace 10 meses su valor era de $23 000. 
Considera que el valor comercial de un automóvil decrece linealmente con el tiempo.
• Escribe la ecuación particular expresando el valor comercial de tu carro como una función 
del tiempo de uso en meses.
• Si deseas vender tu carro cuando su valor comercial sea de $14 000. ¿Cuánto tiempo lo 
conservarás?
• ¿Por cuánto dinero se deprecia tu auto en valor cada mes? ¿Qué parte del modelo mate-
mático te indica esto?
• ¿Cuándo consideras que el carro ya no tendrá valor?
• ¿Cuál fue el valor comercial de tu carro cuando era nuevo? ¿Qué parte del modelo mate-
mático te indica esto?
• Bosqueja la gráfica de esta función.
 g) Las temperaturas Fahrenheit “F” y Celsius “C” de un objeto están relacionadas por una fun-
ción lineal. El agua hierve a 100° C o 212° F y se congela a 0° C o 32° F.
• Escribe una ecuación expresando F en términos de C.
• El plomo hierve a 1 620° C. ¿Qué temperatura Fahrenheit es ésta?
• La temperatura normal del cuerpo es de 98.6° F. ¿Qué temperatura sería en grados Celsius?
• Si el pronóstico del tiempo dice que el día de hoy habrá una temperatura máxima de 104° 
F. ¿Será un día caluroso, frío o agradable?
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 54 20/06/13 23:17
Relaciones y funciones polinomiales
55
• La temperatura más baja posible es el cero absoluto, –273° C, cuando las moléculas casi 
no tienen movimiento. ¿Qué temperatura es en grados Fahrenheit?
• ¿A que temperatura el número de grados Fahrenheit es igual al número de grados Celsius?
• Bosqueja la gráfica de esta función. 
 h) El número de metros de cable necesarios para un elevador depende del número de pisos en 
servicio del edificio. Supón que m = 7p + 12, donde m es el número de metros de cable del 
elevador y p es el número de pisos de la construcción.
• ¿La relación anterior será una función lineal? ¿Por qué?
• ¿Qué cantidad de cable necesitará un elevador para un edificio de 9 pisos?
• ¿De cuántos pisos es un edificio que utilizó 124 m de cable en su elevador?
• ¿Qué representa la pendiente de la ecuación anterior en el mundo real?
• Bosqueja la gráfica de la ecuación anterior.
 i) Si la constante b en la ecuación y = mx + b es igual a cero, la ecuación queda y = mx y la 
gráfica de la ecuación resultante pasa por el origen, entonces se dice que y varía directamen-
te con x. La cantidad de galletas que debes preparar para una merienda varía directamente 
con el número de personas invitadas. Supón que haces 7 charolas de galletas para servir a 
10 personas.
• Escribe la ecuación particular expresando el número de charolas en términos del número 
de invitados.
• ¿Cuántas charolas de galletas debes preparar para 50 personas?
• ¿Cuántas personas puedes invitar, aproximadamente con 12 charolas de galletas?
• Bosqueja la gráfica de esta función.
 j) La cantidad de combustible que consume un avión varía directamente con el tiempo de vue-
lo. Supón que un avión de carga ligera con motores gemelos consume 300 kg de turbosina 
en 4 horas. La nave puede transportar una carga útil de 940 kg. De este peso, una parte debe 
ser destinada para el combustible, cuyo depósito tiene una capacidad de 500 kg de turbosina 
y el peso sobrante se puede distribuir entre la carga y los pasajeros. Si se incrementa la carga 
o los pasajeros, se tiene que disminuir la cantidad de combustible suministrado y el tiempo 
de vuelo será menor.
• Traza la gráfica de la cantidad de combustible necesario para volar cierto número de horas.
• Escribe la ecuación particular expresando la cantidad de combustible en función del tiem-
po de vuelo.
• ¿Cuántos kg de carga se pueden transportar si el avión debe volar 5 horas para llegar a su 
destino, considerando que el piloto y el copiloto pesan 80 kg cada uno?
• Supón que el avión transportará una carga de 260 kg y a 6 personas que pesan en total 
455 kg. ¿Cuál será el tiempo máximo de vuelo?
UANL Mate 3 Cap. 2.indd 55 20/06/13 23:17
Etapa 1
56
VI. Desigualdades e inecuaciones lineales
Reconocer la relación de orden entre los números reales para poder expresar situaciones 
diversas con base en la simbología de desigualdades. Así mismo representar éstas en sus 
diferentes formas.
Objetivo
El conjunto de números reales posee la propiedad de que se puede establecer una relación de orden 
entre dichos números, por ejemplo:
 1
3 es menor que 7, -2 es mayor que -6, - — es menor que 5.
 2
Dadas las expresiones numéricas a y b, sucede que, o son iguales (a = b) o son diferentes (a ≠ b). Si 
son diferentes, uno de los números es mayor o menor que el otro. A esta relación de ser “mayor que” o 
“menor que” le corresponden los signos >, <, respectivamente.
Podemos visualizar esta propiedad de los números reales si los representamos como puntos en la recta 
real.
0 1
2/3 7/5
2 3 4 5 6 7
 2 7
Como sabemos, la numeración crece hacia la derecha. Observamos entonces que — es menor que —
 3 5
 2 7
porque — queda a la izquierda de — en la recta real.
 3 5
Por otro lado, ¿quién no se ha topado con expresiones como las siguientes?
Mi salario no llega a los $5 000.
La calificación aprobatoria es de 70 puntos mínimo.
Por 50 litros de gasolina tuve que pagar más de $300.
Pues estas y otras expresiones parecidas son ejemplos de situaciones que corresponden a desigualda-
des o inecuaciones.
Se llama desigualdad a cualquier expresión que hace referencia a la relación entre dos 
números y que, por lo tanto lleva el signo de “>” o “<”. Se llama inecuación a aquella des-
igualdad en la que aparece una incógnita.
Definición
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Relaciones y funciones polinomiales
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Actividad 
Resumiendo, dados los números reales cualesquiera, a y b, ocurre una y sólo una de las siguientes cues-
tiones: a es menor que b, b es menor que a, o a y b son iguales.
Simbólicamente representamos estas situaciones de la siguiente manera:
a es menor que b: a < b
b es menor que a: b < a
a y b son iguales: a = b
La relación en el último caso es la igualdad, mientras que en los dos primeros casos se trata de desigual-
dades.
Que a sea menor que b (a < b) es equivalente a decir que b es mayor que a (b > a) así, es claro que da 
lo mismo decir que 4 es menor que 10, a decir que 10 es mayor que 4. Al escribirlo con símbolos sólo 
hay que tener presente que la abertura del símbolo va con el número mayor y la punta con el número 
menor:
4 < 10 o 10 > 4
O incluso, podría escribirse sólo una de las desigualdades —por ejemplo, la primera— y leerla de izquier-
da a derecha (4 es menor que 10) o leerla de derecha a izquierda (10 es mayor que 4).
La desigualdad a ≤ b se lee: a es menor o igual que b ; la desigualdad b ≥ a se lee: b es mayor o igual 
que a.
Los símbolos <, ≤, > y ≥ representan la simbología de desigualdad.
1. Escribe la desigualdad correspondiente entre…
a) …tu estatura y la de uno de tus amigos.
b) …el precio de un auto y el de una moto.
c) …la distancia que hay de Monterrey a Zacatecas y la que hay de Monterrey a Cancún.
2. ¿Cómo escribirías simbólicamente la relación entre…
a) …el número de miembros de tu familia y el número de estudiantes de tu salón?
b) …el número de habitantes de Japón y el número de habitantes de Honduras?
c) … la longitud del río Hudson y la del río Grijalva?
3. Proporciona tres ejemplos de expresiones que involucren desigualdades y compártelas con tus compa-
ñeros.
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Etapa 1
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La representación en una recta numérica de la gráfica de la desigualdad está formada por intervalos. Un 
intervalo de la forma (a, b) que no contiene sus puntos extremos se denomina intervalo abierto. El intervalo 
[a, b] que contiene sus puntos extremos se llama intervalo cerrado. Los intervalos de la forma [a, b) y (a, b] 
se denominan intervalos semiabiertos. Geométricamente un intervalo es un segmento de recta.
En la siguiente tabla se representan los tipos de intervalos de la recta lineal.
Sean a y b números reales con a < b. Los