Cálculo Diferencial Moisés

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Cálculo 
Diferencial
♦ La Derivada
♦ Curvas Planas, Ecuaciones Paramétricas
♦ Derivadas Parciales
♦ Derivación Implícita
♦ Aplicaciones de la Derivada
♦ Diferenciales
♦ La Derivada de la Función Inversa
♦ Polinomio de Taylor
MOISÉS LÁZARO C.
Autor : Moisés Lázaro Carrión
Estudios : Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de 
la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.).
Experiencia Docente:
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Ricardo Palma
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Universidad Nacional de Ancash - Santiago Antúnez de Mayolo
Universidad Nacional del Callao
Universidad Particular San Martín de Porres
La presentación y disposición en conjunto de:
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
CÁLCULO DIFERENCIAL
Autor: Moisés Lázaro Carrión
Son propiedad de: Dis. Imp. Edit. Lib. MOSHERA S.R.L.
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autoriza­
ción escrita de la editorial.
Decreto Legislativo.................................................................................. : 822
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°... : 2014-02916 
International Standard Book Number ISBN.................................... : 978-9972-813-81-8
Derechos reservados ©
Cuarta edición: Marzo 2014 
Tiraje: 500 ejemplares
Obra editada, impresa y distribuida por: 
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D ed ico este libro a lodos los
trabajodores de la ¿SdiforiaI
AAoshera S .R .jL . por su s a ­
crificada labor en hacer rea­
lidad la presente obra.
IV
PRÓLOGO
Con el título de CALCULO DIFERENCIAL, que es parte de todo curso de Aná­
lisis Matemático I, se presenta al lector que sigue las carreras de: Ciencias, 
Ingeniería, Economía, Administración y Contabilidad el presente Libro que
contiene ocho capítulos bien definidos que son:
Capítulo 1: La derivada de una función y los teoremas relativos al tema.
Capítulo 2: Representación paramétrica de las curvas, su gráfico y deri­
vadas.
Capítulo 3: Derivadas parciales y sus aplicaciones a la economía.
Capítulo 4: Derivación implícita y sus aplicaciones.
Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada, los máximos y mínimos de una
función, problemas de aplicación, los puntos de inflexión y
gráfica de funciones.
Capítulo 6: La diferencial de una función, como aplicación lineal, apli­
caciones de la razón de cambio a diversos problemas.
Capítulo 7: La derivada de la función inversa, su existencia y teoremas.
Capítulo 8: El polinomio de Taylor, su aplicación para aproximaciones a
funciones.
Cada uno de los capítulos están sustentados con sus respectivas defini­
ciones y teoremas, para los cuales he tenido cuidado de respetar su riguro­
sidad y formalidad para que el lector no caiga en error alguno.
El libro tiene la característica de ser: didáctico, práctico y riguroso. Se
han hecho diversos y variados ejemplos que ayudarán al estudiante a salir
de dudas y sobre todo reforzar su aprendizaje.
Sugiero al lector respetar los enunciados y definiciones tal como se dan,
una alteración de ello sólo llevará a situaciones incongruentes y ahondaría
las dudas.
Agradezco al economista Cesar Sandoval M. por su gentil colaboración
en el capítulo relativo a las aplicaciones a la Economía.
EE A u ím .
VI
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1: LA DERIVADA
0 Introducción
0.1 Función Real de una Variable Real .................................................... 1
0.2 Puntos de Acumulación.......................................................................... 2
0.3 Límite de una Función............................................................................ 3
0.4 Funciones Continuas ............................................................................... 7
1 La Derivada
1.1 Derivada de una Función en un Punto ............................................. 9
1.2 Otra Forma de Definir la Derivada de f en a .................................. 12
1.3 La Función Derivada ............................................................................... 13
1.4 Derivadas Laterales ................................................................................. 13
1.5 Interpretación Geométrica de la Derivada ...................................... 14
1.6 Derivada de una Función en un Intervalo....................................... 15
2 Teoremas Sobre Derivadas ................................................................................. 16
3 Velocidad y Aceleración ...................................................................................... 26
4 Razón de Cambio y Análisis M arginal............................................................ 31
4.1 Coste Marginal ......................................... ¿................................................. 31
4.2 Razón Porcentual de Cambio ................................................................ 32
4.3 Ecuación de la demanda, Función Ingreso Total,
Función Ingreso Marginal, Función de Ganancia.......................... 33
4.4 La Función Ingreso T o ta l....................................................................... 34
4.5 La Función Ganancia............................................................................... 36
5 Diferenciabilidad de una Función en un Punto.......................................... 39
5.1 Ejemplos........................................................................................................ 41
6 La Derivada de la Composición de dos Funciones....................................... 44
6.1 Problemas .................................................................................................... 47
7 Derivación por Medio de Fórmulas.................................................................. 58
7.1 Ejercicios Diversos .................................................................................... 87
7.2 Ejercicios Propuestos ............................................................................... 97
7.3 Problemas .................................................................................................... 99
v ii
1 Introducción.............................................................................................................. 103
2 Parametrización, Ecuaciones Paramé tricas................................................. 104
3 Función Vectorial..................................................................................... 117
3.1 Imagen de una Función Vectorial.......................................................... 117
4 Definición de Curva Plana................................................................................... 118
4.1 Parametrización de una Curva.............................................................. 118
5 Camino o Trayectoria............................................................................................. 119
6 Curva Cerrada (lazo)............................................................................................. 120
7 Punto Múltiple......................................................................................................... 120
8 Curva Regular........................................................................................................... 122
9 Derivada Paramétrica........................................................................................... 127
10 Tangentes................................................................................................................... 128
11 Gráfica de una Curva en Coordenadas Paramétricas................................129
12 Importancia de los Caminos................................................................................ 150
Capítulo 3: DERIVADAS PARCIALES
1 Definición de una Función que Depende de dos Variables...................... 152
2 Derivada Parcial de f respecto a “x ” y Respecto a “y” ............................. 152
3 Derivadas Parciales Aplicadas a la Microeconomía (Multiplicadores
de Lagrange) Demanda de Bienes de Consumo, Demanda de
factores de Producción........................................................................................ 154
Capítulo 4: DERIVACIÓN IMPLÍCITA
0 Introducción
1 Definición .................................................................................................................. 165
2 Derivación Implícita.............................................................................................. 165
2.1 Problemas ...................................................................................................... 166
2.2 Ejercicios Propuestos................................................................................ 185
3 Derivada Logarítmica Aplicando Propiedades y
Derivación Implícita............................................................................................ 188
4 Derivadas de Orden Superior............................................................................ 194
viii
Capítulo 2: CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
1 Aplicaciones Geométricas de la Derivada.................................................... 203
1.1 Ecuaciones de las Rectas: Tangente y Normal................................ 203
1.2 Problemas..................................................................................................... 204
2 Angulo Entre Dos Curvas................................................................................. 212
3 Máximos y Mínimos de una Función............................................................ 216
3.1 Definición 1 ................................................................................................... 216
3.2 Definición 2 ................................................................................................... 216
3.3 Aclaraciones en estas Definiciones ....................................................... 216
3.4 Definición 3 ................................................................................................... 217
3.5 Definición 4 .................................................................. 217
3.6 Definición 5 ................................................................................................... 217
3.7 Ejemplos Aclaratorios............................................................................... 217
4 Puntos Críticos de una Función...................................................................... 219
4.1 Definición...................................................................................................... 219
4.2 Ejemplos........................................................................................................ 219
5 Teoremas Relativos a la Derivada.................................................................... 223
6 Funciones Derivables en un Intervalo........................................................... 227
7 Aplicaciones del Teorema del Valor M edio................................................. 235
8 Función Lipschitziana......................................................................................... 237
9 Problemas Resueltos Sobre el T.V.M .............................................................. 237
9.1 Otros Problemas Respecto al T.V.M ..................................................... 241
10 Regla de L "hopital para el Cálculo de Límites
Indeterminados de la Forma Ij- y 22............................................................. 248
10.1 Problemas...................................................................................................... 250
11 Funciones Crecientes y Decrecientes............................................................ 257
12 Criterios para Extremos Relativos.................................................................. 259
13 Problemas Relativos a Máximos y M ínimos............................................... 262
13.1 Funciones Polinómicas.............................................................................. 262
13.2 Funciones Racionales................................................................................. 273
13.3 Funciones Irracionales.............................................................................. 279
13.4 Funciones Exponenciales......................................................................... 288
13.5 Funciones Logarítmicas........................................................................ «... 292
14 Problemas de Máximos y Mínimos................................................................ 298
15 Concavidad y Puntos de Inflexión................................................................... 323
15.1 Reglas para Posibles Puntos de Inflexión.......................................... 331
15.2 Aplicaciones al Trazado de la Gráfica de una Función.................. 332
Capítulo 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA
ix
Capítulo 6: DIFERENCIALES
1 Incremento de una Variable Independiente e
Incremento de una Función............................................................................. 337
1.1 Definición....................................................................................................... 337
1.2 Error Relativo y Error Porcentual Aproximado............................... 341
2 Diferenciales............................................................................................................ 344
3 Razón de Cambio.................................................................................................... 348
3.1 Problemas de Aplicación........................................................................... 350
Capítulo 7: LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
1 Teoremas Relativos a Funciones Inversas.................................................... 363
2 Dos Teoremas Relativos a la Continuidad de la
Inversa de la Función f, Cuando f es Continua......................................... 364
3 Derivada de la Función Inversa.................... 366
4 Derivada de las Funciones Trigonométricas Inversas.............................. 374
5 Derivada de Funciones Trigonométricas
Inversas Compuestas........................................................................................... 380
Capitulo 8: POLINOMIO DE TAYLOR
1 Polinomios de Taylor y Aproximaciones........................................................ 395
1.1 Definición del n-ésimo Polinomio de Taylor...................................... 395
1.2 Resto de un Polinomio de Taylor........................................................... 401
Problemas Propuestos................................................................................................... 412
LA DERIVADA
O. INTRODUCCION
Antes de definir la derivada de una función real de una variable real, recordemos bre­
vemente cuatro definiciones previas: función real de una variable real, punto de acu­
mulación, límite de una función y continuidad de una función.
0.1. FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL
Dado el subconjunto A c R , diremos que “/ es una función o aplicación definida en A 
y con valores en IR ” a toda correspondencia f que asocia a cada elemento x g A con 
un único elemento /(x) e R llamado el valor de la función que asume en el punto x.
NOTACIÓN:
a) La notación / : A > R se lee “/ es una aplicación de A en IR
A : es el dominio de la función.
donde IR : es el conjunto de llegada. El rango de la función / es un subcon­junto del conjunto de llegada.
f(A) = { /(x) / x g A} es la imagen de A p o r /o el rango de/.
b) La notación x > f{x) indica “a x corresponde el valor /(x) ’
“x” es la variable independiente.
0.1.1.GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN /: A > R
Gr{f) = { (x, f(x)/x e A }
L - gráfica de f
Ejemplo 1.
Sea la función / : [-1 ,8 )-----> R definida por f(x) = -3 + vx +1
En este ejemplo tenemos:
a) El dominio de/, es el intervalo [-1,8) .
< ! >
Moisés Lázaro C.
b) El rango de f e s un subconjunto de R . ¿Cómo se halla?
Se halla “ACOTANDO” la función a partir del dom in io .
Así: x e [-1,8) ^ - l < x < 8
Sumar 1 => 0 < x +1 < 9
Extraer raíz => 0 < y/x + 1 < 3
Por 2 => 0 < 2>/x + l < 6
Sumar -3 => -3 < -3 + 2Vx + l < 3
El rango de /es el intervalo [-3,3} = /( [—1,8))
c) El valor de/ en 3 es /(3) = -3 + 2 ^ 3 + 1 =1
d) La expresión algebraica “ -3 + 2Vx + l ” es la regla de correspondencia de ¡a 
función f, el cual nos permite calcular el valor de la función / en cada x e [-1,8).
e) Graficar la función /.
G r(/) = {(jc,j>) e [ -1 ,8 ) x [ -3 ,3 > /y = -3 + 2Vx + l }
Como vemos: Gr (/) cz [-1,8) x [-3 ,3 ) 
El dominio está contenido en el Eje X. 
El rango está contenido en el Eje Y.
0.2. PUNTO DE ACUMULACIÓN
Sea A c f ? . Un número real a € R se llama punto de acumulación del conjunto
A cuando todo intervalo abierto ( a - e , a + e ) , de centro en “a” contiene algún punto
x € A diferente de A. dicho de otra manera:
“ a € R es punto de acumulación de A, si y sólo si, para todo e > 0 existe algún 
x e A , tal que ( a - e , a + e ) n . Esto es, 0 < |x-a| < s .
LA DERIVADA
0
Ejemplo 2.
En los intervalos: <a,b>, [a,b], ( - 00, b), (a,+00); son puntos de acumulación los 
extremos a, b y todos los puntos interiores a cada intervalo.
NOTA: Si “a” es punto de acumulación de A , puede ocurrir que q g A
o que a <£ A.
0.3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 
Definición.
Sea / : A > R una función con valores reales definida en un subconjunto AczJR.
Sea Xq un punto de acumulación de A . Diremos que el número real L es el límite de 
/(x) cuando x tiende a x0 y escribimos.
si para cada número real s > 0, dado arbitrariamente, podemos encontrar otro núme­
ro real S > 0 tal que se cumple |/(x) - L\ < e siempre que x e A a 0 < |x-xq| < S.
Abreviando, escribimos:
lim f (x) = L si, y sólo si (V s > 0) (3 8 > 0) tal que
x -> x 0
XG A A 0 < |x-Xq! < 8 |/(x)-L|<¿:„__________________ '___ / ___________ jV" - y
x G A n (x 0 —¿)',x0 + S ) f (x )e A n ( L - e , L + e )
Ejemplo 3.
Dado la función f(x) = * +Q,2x **0
x - 0 .04x x * +0.2
a) Calcular lim / ( x ) .
x-^0
b) Aplicando la definición de límite, halle S en términos de s.
Solución.
0
Moisés Lázaro C
b) lim
x > o
l _ 
x + 0.2 5 si, y sólo si, dado s > 0, existe
J> 0ta lq u e x e R -{0 ,0 .2 , -0.2} a 0 < |x-0| < S =>
i^ jT ¿
x + 0.2 < €
BUSCAR ¿EN TERMINOS DE ¿
Partir de r-5x + 0.2
(necesitamos la hipótesis | x - x01 < S ). 
Veamos:
1 \ 1 1 5 - I r 5* - 1 - _ 5 |r i
± } x + 0 9 u x + 0 9 “ x 4 - 0 9
, sumar, simplificar y factorizar hasta encontrar el término |x|
|x + 0.2|
2) Por hipótesis, se tiene: |x| < 8 .
Faltaría acotar la función — . . Para tal efecto, elegir un S' tal que
|x| < 8 < Sf => |x| < S' de modo que su tamaño no sea mayor que la distancia de 
“0” a la asíntota x = -0.2 (dicha distancia es 0.2). Por ejemplo, convendría elegir 
Sr = 0.1 o 0.03, etc. si elegimos Sf = 0.1 tendremos:
|x| < 0.1 =>
Sumar 0.2 => 
Invertir =>
-0.1 < x <0.1
0.1 < x + 0.2 <0.3 
J^< l <_L
0.3 x + 0.2 0.1
1T < - 209 < 10 3 x + 0.2
|x + 0.2| <10
3) Al retomar al paso 1) tendremos: 5[x| + < (5£)(10) = 50£ hacer
50 S = s => S = -^ .
Como hay 5r - 0.1 y = elegimos el más pequeño, es decir hacemos 
5 - min| 0.1, j , ees cualquier número real positivo muy pequeño, casi cero.
LA DERIVADA
0.3.1. LIMITES LATERALES. 
Ejemplo 4.
Sea la función:
/ ( *)
l
x + l 
X + l
X < —1
-1 < x < 2
3 - V x -2 , x >2
En esta función tenemos que los extremos -1 
y 2 son puntos de acumulación.
Así tenemos:
a) -1 es punto de acumulación a la izquierda de (-o o ,-l)
b) -1 es punto de acumulación a la derecha de (-1,2)
c) 2 “ “ “ “ a la izquierda de (-1,2)
d) 2 “ “ “ “ a la derecha de ( 2 , + o o )
Es en estos puntos, donde se estudian los limites laterales.
Empecemos a analizar:
a) En el punto de acumulación x = -1 , se tiene:
/) lim /(x )= lim - ^ = -^ = - 0 0
X - » - 1 X - > - I
X < —1
x +1 < 0
En este caso decimos que, el límite por la izquierda de -1 no existe.
NOTA: Cuando en el resultado obtenemos - o o o + oo , diremos que no existe
límite (este hecho es porque el - o o y el + o o no son números reales, so­
lo son símbolos)
//) lim f(x) = lim = -1 + 1 = 0 
x->-l+ x->-l
X > —1
En este caso, afirmamos que, el límite por la derecha de -1 existe y su valor es ce­
ro.
< í >
Moisés Lázaro C.
Conclusión: En el punto de acumulación x = -1 , no existe límite. En efecto, por 
la izquierda es -oo y por la derecha es cero, son resultados que no podemos com­
parar ya que -oo no es un número real. Se comparan entre dos números reales.
b) En el punto de acumulación x = 2 , se tiene:
j ^
i) lim /(x) = lim (3 - J x - 2) = 3 - 0 = 3
x -> 2 + x -> 2
x>2
ii) lim /(x) = l i m ( x + l ) = 2 + 1 = 3
x —>2 x —>2
x<2
> son iguales
Conclusión: Cuando los límites laterales existen y son iguales, diremos que
lim /(x ) = 3 , el cual es único.
x —>2
DEFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES 
A) LÍMITE A LA DERECHA
Sea la función / : ( x 0,b) > E , b = + o o o finito.
Diremos que lim f(x) = L s.s.s. (V ^ > 0 ) (3 ^ > 0 )
X - » X q i
x>x0 número real
tal que x e (x0,b) a 0 < x - x 0 <£ implica |/(x)-L| < s.
B) LÍMITE A LA IZQUIERDA
Sea la función /:(fa ,x0) -----> R , b = -o o .
Diremos que lim f (x) = L s.s.s. (V s > 0 ) (3 ¿ > 0) 
tal que x e <b,x0) a 0 < x 0 - x < S implica |/(x)-L| < s .
Ejemplo 5. En la función /(x) = » x * 1
Se tiene: a) lim f(x) = lim —2— = -2- = +00i + 1 + -X — 1 + ux - » l x -> l
X > 1 X > 1
x - l > 0
LA DERIVADA
o
b) lim /(x ) = l im z ó ^ r p z n ) )
x -> l x -» l
X < 1 X < 1
x -l< 0
_2__ 
+ 0 “ + 00
Conclusión: En el punto de acumulación x = 1, no existe límite.
0.4. FUNCIONES CONTINUAS
En funciones reales con una variable real surgen dos interrogantes de gran importancia:
1) Cuándo una función es continua en un punto?
2) Cuándo una función es continua en un intervalo?
Antes de responder estas interrogantes, observemos el gráfico de la siguiente función.
/ ( * ) =
x + 5 
3 
2
1
X + 1
2
|x — 2| 
1
2
I x - 2|
- 6 < x < -3 
x = -3 
- 3 < x < -1 
-1 < x < 0
0 < x < 2 
x = 2 
x > 2
Sí observamos en los puntos: -3, -1, 0 y 2 que son los extremos de los intervalos
(puntos de acumulación), la función f(x) sufre las siguientes manifestaciones:
a) En el punto x = -3 e Dom(/), la función / tiene un “agujero” . Es decir, / no es 
continua en x = -3 , pero esta discontinuidad se puede evitar.
b) En el punto x = - 1 g D om (/), la función / se ha roto “totalmente”, es imposible de 
evitar dicha rotura. Es decir, / no es continua en x = -1 (hay discontinuidad infinita).
c) En x = 0 , la función / no tiene agujero ni ha sufrido rotura. Es decir, /(x) es con­
tinua en x = 0 .
d) En x = 2 , la función / tiene una rotura inevitable. Es decir, /(x) es discontinua en 
x = 2 (discontinuidad infinita).
En cambio, si observamos el comportamiento de la función en cada intervalo, tene­
mos los siguientes resultados:
a) En el intervalo abierto (-6 ,-3 ) la función /(x ) no tiene agujeros ni roturas, el 
trazo de la línea es ininterrumpida; matemáticamente hablando, f(x) es continua 
en el intervalo ( -6 ,-3 ) .
b) En el intervalo abierto ( -3 ,-1 ), f(x) es continua.
c) En el intervalo abierto ( -1 ,-2 ), f(x) es continua.
d) En el intervalo abierto (2,+qo) , f(x) es continua.
La idea de continuidad, es el tema central de LA TOPOLOGIA porque ella trata de la
deformación continua de las figuras geométricas. Por ejemplo una línea cerrada sim­
ple se puede reducir “continuamente” en un punto.
0.4.1. DEFINICIÓN PUNTUAL DE CONTINUIDAD.
Dado la función / : A > R , diremos que / es continua en el puntoa e A , si cumple
Io / está definida en “a”, es decir existe /(a ) .
2o Los límites laterales en “a” son iguales, es decir: lim f(x) = lim /(x )
NOTA: La 3a condición define la continuidad de la función / en el punto
a e A. Las condiciones Ia y 2a se mencionan sólo por carácter 
didáctico.
DEFINICIÓN EQUIVALENTE
Sea / : A > R
Diremos que la función / es continua en el punto a e A , si y sólo si para todo s > 0
dado arbitrariamente, podemos hallar S > 0 tal que.
x g A a |x-a| < 8 implica | / (x)- / (a )| < s
0.4.2. DEFINICIÓN INTERVALICA DE CONTINUIDAD.
Diremos que / : A > R es continua.
cuando / es continua en todos los puntos de A . (A es un intervalo).
Moisés Lázaro C.______________________________
LA DERIVADA
0
1. LA DERIVADA
La interrogante que nos planteamos ahora, es: ¿cómo se halla la pendiente de una 
recta que es tangente a una curva?
0 es el ángulo de inclinación de la recta 
tangente y la tgOes la pendiente de la recta.
Respuesta: La pendiente de la recta ¿uT que es tangente a la curva en el punto 
x = j es la derivada de f(x) en el punto x = ■§■ • Para llegar a esta afirmación pasa­
ron siglos. Los genios Isacc Newton (1642 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 - 
1716) descubrieron el cálculo diferencial y el cálculo integral. Este descubrimiento 
revolucionó toda la matemática hasta entonces conocidas.
A continuación daremos la definición de la derivada de una función en un punto de su 
dominio.
1.1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
DEFINICIÓN: Sea la función / : A > E , A c E y “a” un punto de acumulación
perteneciente al dominio de /(A = Dom (/)).
y
N
X
Por ejemplo: dado la curva /(x) = 4 - x2 ,
cómo se halla la pendiente de 
una recta que es tangente a la 
curva en el punto x = j ?
Diremos que / es derivable en el punto “a” cuando existe el límite f'(a) = lim
En caso afirmativo, el límite f f(a) se llama la derivada de/en el punto a.
Ejemplo 1.
Dada la función /(x) = 4 - x2 , hallar la derivada de / en ^ .
Moisés Lázaro C.
Solución:
/ ( g ) = 1 ^ donde
f(x) = 4 - x '
X~>2 X“ 2
= lim
2 154 - x z-
37
2
= lim ■= lim
2 I X-7T
= i™ - ( x + l ) = - ( l + l ) = - 1
2
Conclusión: / ( 1 ) = -1
í es la pendiente de la recta tangente en X = |
CASO 1 J Si existen los limites laterales lim ■■ y lim , pero no_____________ / v — n v" - n 7 1
son iguales; diremos que / no es derivable en “a” . Es el caso de la fun­
ción /(x) = |x|, que no es derivable en x = 0 .
CASO 2 ) Si lim Í l í t - M = ± 00 , diremos que no existe la derivada de / por la
x —>a+
x>a
derecha de x = a .
CASO 3 Si lim = ±0 0 , diremos que no existe la derivada de / por la
x->a 
x < a
3 /—izquierda de x = a . Es el caso de la función /(x) = V* , que no existe la 
derivada de / en x = 0 .
LA DERIVADA
0
Ejemplo 2.
En esta función, se tiene: /(x) es continua en los puntos x = 0 , x = 2 y x = 4 pero 
no es derivable en dichos puntos.
Comprobemos:
a) En x = 0 . Comprobemos:
i) /+ (0) = lim
x -> 0
/ ( * ) - / ( 0) 
x - 0 = lim =x -» 0 +
>/íx - 0
x - 0
3rr ,
= lim = + qo Este resultado implica que no existe / + ( 0 ) .
x -» 0
i i) /_(0)= lim ÍÍ£l_IÍ21= iim JjL = _<» ; implica que no existe f'_( 0).
x-»0~ X x -> 0 “ x
Estos resultados nos indican que / no es derivable en x = 0 .
b) En x = 2 .
f(x)-flx) f / ( x ) = - ( x - 4 )
i) f+ (2) = lim /( , donde \
xh>2+
x>2
' 1 /(2 ) = 3/4(2) =2
= lim = Km 0 l 4 1 = - l
x - 2 x -» 2 x - 2
Moisés Lázaro C.
ii) / : ( 2 ) = l i m ^ p
x —>2
donde{
[ / ( 2 ) = 2
x<2
= lim 
x ->2
3V57-2
x - 2
= l i m _ nm + ^ / ( 4 x j ( 8 j + )• = lim
x -»2 x 2 x -»2
= lim ( x - 2 )
x -± 2 ( x - 2 ) ( ^ / ( 4 x ) 2 +.....................4
Como podemos apreciar, los limites laterales son números reales diferentes, por 
tanto /(x) no es derivable en x = 2 .
c) En x = 4.
/) / ; (4 )= lim
x ->4 x - 2
//) fl(4)= lim 1~— = -1x_>4 x ¿
> DIFEREmES
No existe / '(4 ) . Es decir/no es derivable en x = 4 .
1.2. OTRA FORMA DE DEFINIR LA DERIVADA DE / e n a.
Sí en la definición f\a) - lim
X-KX
hacembsel cambio de variable: x - a - h
Obtenemos:
f'(a) = lim
0
f(a + h) - f ( a) 
h — ©
L
NOTA:
x - a = Ax = h
La derivada d efen a.
LA DERIVADA
< 5 >
1.3. LA FUNCION DERIVADA
Si / es una función, entonces.
/'(x) - lim f{x + h ) - f ( x )
h->0
— ® se llama la FUNCIÓN DERIVADA DE f .
Ejemplos:
n) Si /(x) = xn, entonces /'(x) = nxn_1 es la función derivada de /.
l>) Si /(x) = e x , entonces f'(x) = e x es la función derivada de/.
»■) Si /(x) = senx , entonces f' (x) = eos x es la función derivada de /.
NOTACION: Si y es función de y "(y = / (x ) ) , la “derivada de y con respecto a x” 
se denota por:
y' = /'(*) = ^ = -^ = Dxy
> /a notación de Leibniz (/)
1.4. DERIVADAS LATERALES
Si en la definición f(a) = lim — (̂ P) , hacemos: x - a = h
x = a + h
Pendremos: f(a) = lim f(a + h) - f (a)
h-> 0
Tanto ® como © definen “La derivada de / en a e A 
DEFINICIONES:
Supongamos que el dominio de la función / : A -----> R lo expresamos como
A ==<b,a] kj [a,c>, definimos:
f {a)m fcn íí* k M = iim M J ? )
v X ~ Ü k nx-*<r A ~ u h-> 0+
x>a ft>0
Sí este límite existe; diremos que //(a ) es la derivada de / a la derecha de a.
Moisés Lázaro C.
ii) f l (a)= lim = lim Íl£±^LIÍ£l? s[ este límite existe; diremos que i
x -» c f X a h->O" n ¡i
x<a h<0
/_' (a) es la derivada de / a la izquierda de a.
OBSERVACIÓN: En 2 aparece una nueva función, que es q(h)=
definida en el conjunto B = {h e J R -{0 } /a + h e A } .
1.5. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Dado la función / : A -----> R
¿qué interpretación geométrica tiene /'(a ), a e A?
Observemos el gráfico:
Tenemos la recta secante £ que corta a la función f(x) en los puntos Q(a,/(a)) y 
P (x ,/(x )), siendo Q un punto fijo y P un punto que se mueve acercándose a Q.
Deseamos que la recta secante £ se convierta en la recta tangente £ T , esto ocurrirá
cuando P se mueva hasta coincidir con Q. Pero a medida que P se acerca a Q la pen­
diente de £ irá variando hasta “coincidir” con la pendiente de £ T .
La pendiente de la recta-secante £ es: tga =
Cuando P se mueve por la curva acercándose a Q, la variable “x” se va acercando al 
punto “a” y por lo tanto la diferencia x - o se hace cada vez más pequeña acercándo­
se a cero.
LA DERIVADA
I s decir, cuando x —»a entonces ( x - a ) —>0 y la pendiente tga de «£, se convierte 
en tg#, que viene a ser la pendiente de .
I n el límite, se expresa del siguiente modo:
pendiente de <£T = tg0 - lim = f'(ct)
Conclusión: f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el
punto “a” .
I ecuación de la recta tangente J£T es: y - f(a) = f'(a)(x - a).
Ejemplo 3.
I lallar la ecuación de la recta que es tangente a la curva y = 4 - x2 en el punto x = j 
Solución.
1 ecuación de la recta tangente en Vz es:
= / r( i ) ( - d o n d e
4x + 4 y -1 7 = 0
15
4
ver ejemplo 1.
1.6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO CERRADO
Sea la función f:[a,b] ---- > E
Se dice que / es derivable en un punto x0 e [a, b] si cumplen las tres siguientes propo­
siciones:
1) Si x0 € (a,b) , entonees las derivadas laterales en x0 existen y son iguales.
2} Si xo - a , entonces existe la derivada lateral por la derecha de a .1
3) Si x0 ~b, entonces existe la derivada lateral por la izquierda de a.
1 Leibniz, es el matemático q u e formalizó la derivada f'(a) com o el límite de la función
f ( x ) - f ( a) .—L1- L cuando x -> a.
Moisés Lázaro C.
1.7. INTERPRETACION GEOMETRICA
Cuando decimos que / : [a, b] -----> R es derivable
en todo punto x0 e [a,b], geométricamente significa 
que por cada punto (x,f(x)) perteneciente al gráfico 
de / se puede trazar una sola recta tangente.
2. TEOREMAS SOBRE DERIVADAS
TeofwncHj (La derivada implica continuidad, el recíproco no es cierto)
Sea la función / : I -----> R , I = dominio de / y a e l .
Si / es derivable en a entonces / es continua en a.
Demostración:
Recordar que: fe s continua en a,si lim f(x) = f (a) , entonces bastará demostrar:
x —>a
lim [/(x)-/(a)~| = 0 , x - a = h
x - > a
lim [ /(h + a ) - / (a ) l = 0 * = h + °
h-> 0L J
» lim f(h + a) = f(a)
h—>0
lim f ( x ) = f(a)
x -» 0
Veamos:
1) Si existe la derivada /'(a ), entonces existe lim
x-»a
2) Partir de lim [ / ( x ) - / ( a ) l
x->a
lim [ / ( x ) - / ( a ) ] = lim ̂ ̂ (x - a) ,
Se ha dividido y multiplicado (x - a) 
= lim Ü£W<£l . lim (X_ a)
/ ' (a)
= 0
LA DERIVADA
< 5 >
3) Luego, f es continua en el punto a.
NOTA: El recíproco de este teorema no siempre es verdadero, es decir, si una
función/es continua en a, no implica que/sea derivable en a.
Ejemplo 4.
La función /(x) = |x| es continua en 
cero, pero no es derivable en cero.
Probemos:
a) La derivada por la derecha de cero es:
/+ (0) = lim f--x- Q 0) = lim lim (1) = 1
x->0
x>0
x - » 0 x ^ x ^ O
b) La derivada por la izquierda de cero es:
/ ( * ) - / ( 0)/-(O) = lim
x-»CT u x ->0 
x <0
x -> 0
Como observamos, las derivadas laterales existen pero no son iguales, por lo tanto, la 
función f(x) » jx| no es derivable en cero. 
En general, todas las funciones con valor absoluto de la forma f(x) = |G(x)| no son 
derivables eti los puntos xeff? en los cuales G(x) « 0 .
Por ejemplo:
i) f(x) = |x2 - 4|, no es derivable en x = ±2 .
//) /(x) = 2|x - 1| - 3x|2x + 1|, no es derivable en los puntos x = 1, x = ~ .
Ejemplo 5.
3 i--------
La función /(x) = yjx-a es continua en x = a , pero no es derivable en x = a , pues 
las derivadas por la derecha y la izquierda de x = a no existen.
< 2 >
Moisés Lázaro C.
Demostremos:
/) / > ) = Um « £ t « £ U l' - ' " r x / v — rt v _ /°r
: lim l-w = +ao
x->a + <x - o)
Como observamos, la derivada de / por la derecha de a, no existe. Similar cosa octirre 
con /_'(a).
CONCLUSIÓN: /(x ) = \ /x-a no es derivable en a.
Teorema 2 | Si /(x) = k , k es una constante real, en ton ces /'(x) = 0 para to d o
--------------- 1 x e R .
Prueba:
1. La derivada de / en x, es /'{x) ~ ■* * , h&0
2. Por hipótesis, se tiene f ( x )~ k ...
h-*0 h h~+ 0*-h -* /t~»0
Ilustración Gráfica.
y _ k El gráfico de la función constante es una recta paralela al
 EJE X, su ángulo d e inclinación es cero y p o r tanto su
pendiente es tg0° = 0 el cual coincide con su derivada.
Pues si y = fe => y' = 0 = tgO° .
^ orem a^ 3 j Si /(x) = x , entonces /'(x) = 1 para todo x <= R . 
Prueba:
1. La derivada de /e n x, es / '(x ) = lim f^x + h)~JM ̂ h * 0
h -~>0 11
LA DERIVADA
Ilustración Gráfica
2. Como /(x) = x , entonces /(x + h) = x + h .
3. Sustituir 2. en 3.
f ( x ) = lim h + x - x
h—>0
= lim 1 = 1 
h-> 0
| T e o r o m a T J ( R e g la d e la P o te n c ia )
Si /(x) = xn, donde n es un número racional, entonces f f(x) = nxn_1
Prueba: (Probaremos para el caso cuando “n” es un número entero positivo)
/ ( x + h ) - / ( x )1. La derivada de/en x es: /'(x) = lim
h -> o n
2. Como f(x) = xn entonces /(x + h) = (x + h)n.
3. Sustituir, 2 en 1.
1,'kvn (* + h)"-x"/'(x )= limh->0
= lim
o
[ ( x + h ) - x ] [ ( x + h ) n” 1 + ( x + h ) " ~ 2 x + ............+ xn^ 1 ]
= lim T(x + h)n 1+(x + fi)n 2x + ........ + xn 1 ~\
l* v n ■— -J
.n -1 + x " -1 +. .+ Xn -1
hay n términos
= nx n-l
— ® — 
EJEMPLOS:
Moisés Lázaro C.
FUNCION
1) / W = xü
2) f ( x ) = x 3
SU DERIVADA 
f'(x) = 5x4
/'(x )= -fx 33 '
_ 2 
3 \/x
FUNCION
3) /(x) = x~
4) /(x) = 4 -
= x"5 f'(x) = -5 x “b = —
SU DERIVADA 
/'(x) = -3 x -4
7eoreiTicr5j| (REGLA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN) 
Si g(x) = c/(x) => g'(x) = c • f ’(x) , c es un número real.
Prueba.
1. La derivada de g en x, es g'(x) = lim 8(x+f slx) , h* 0
h~>0 h
2. Pero g(x + h) = c /(x + h) , entonces g'(x) = limc / ( x + h ) - c / ( x )
h-+0
_ c [ / ( x + / i ) - / ( x ) ]
hlimh->0
= c lim 
0
/( x + h ) - / ( x )
/'(*)
■cf\x).
EJEMPLOS:
FUNCIÓN SU DERIVADA
1) g(x) = 5 x ...... g ’(x) = 5(1) = 5
2) g(x) = |x3 g'(x) = |(3x2) = 2x2
3) £ - í ( K § )
1
1 2 ^ /?
FUNCION
4) y = - f
Vx
SU DERIVADA
5) S = 6 íK í = 6 ( l ! - » )
_ _3_
~ St
2-Jx3
LA DERIVADA
| J mor ama é ] j (REGLA DE LA SUMA)
La derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas 
es decir: Si ¿u{x) = /(x) + g(x) => ¡u'{x) = f ’(x) + g'(x)
1 ‘i ud>;l.
1 1 a derivada de u en x, es u ’(x) = lim M>'x + h'¡ ̂ h^Q
/i->0 "
2 Pero ju(x + h) = f(x + h) +g(x + h) => ju'(x)= lim — + g x̂ + h,^ [fM + gM]
0 n
= lim [ f l x + /l> ~ f(x )] + [ g l :,c + h) ~ 8 lx )]
h-> 0 h
= lim ! Í 1 ± 1 } U M + lim 9 ( x + h ) - g ( X) 
h-> 0 h h->0 h
f ' M + s'(x)
HJEMPLOS:
FUNCIÓN SU DERIVADA
1) ¿t(x) = 2 x4 + 3 x2 - 5x + 2 ju'(x) = 2 (4 x 3 ) + 3 (2 x ) -5 ( l) + 0
= 8 x 3 + 6 x - 5
2 ) V = ^ - - ^ - + x - 5 .............................. J = l ( 3 x 2 ) - i ( 2 x ) + l - 0
= 3 x 2 " 2 x + 1
3) S = 5^/t2 - 4 + 5 í - 8
r
= 5t2/3- 2 r 3 + 5 t - 8 A = 5 ( | r 1/3 ) -2 ( -3 t “4) + 5 ( l ) - 0
^ + 4 + 5
3 vt t
4) c = J + 3Q
= 2Q“1+ 3Q ^ = 2 ( -Q -2 ) + 3
= - 4 + 3
Q2
2 2 x Moisés Lázaro C.
Teorema 7 | (DERIVADAS DEL SENO Y COSENO)
a) Si /(x) = senx , entonces f'(x) = cosx
b) Si g(x) = eosx, entonces g'(x) = -senx
Pmeba.
i derivada de f en x, es: f f(x) =
h-> o
2. Como /(x) = senx => /(x + h) = sen(x + ñ)
a) 1. La derivada d e /en x , es: f ( x ) = lirn̂ ^ x + ĥ , h^O
3. Sustituir 2 en 1. f' (x)= lim
h —> 0
sen(x + h) - senx
4 t~\ / n X + /l + X X + /i — X. Pero: s e n (x + n ) - s e n x = 2 e o s — 2— s e n — 2—
o 2x + h h= 2 eos—g— sen-fj-
5. Sustituir en 3. /'(x) = lim
/i->0
0 2 x + h h 2 eos— -— sen--
2cos ■— + ̂ / sen-¿ \ ^
: ¿imn— — i ̂ \ 2
= C O S X
b) 1. La derivada de g en x, es cj'(x) = lim g x̂ + — x ̂ , h * 0
h-> 0 n
2. Pero g(x + h) - cos(x + h) , entonces g'(x) = lim CQŜX + ̂ c-— •
h->0 h
3 / f »\ r> X + /l + X X + h - X. cos(n + n)-cosx = -2sen— 2— sen— §— 
= -2sen2x2+" sen-|
4. Sustituir en 2 : gf(x) = lim
o 2 x + h ; h -i
-2 sen— 2"— sen7 1 1s_ j
h-> 0 2 \|
= -senx
LA DERIVADA
< § >
EJEMPLOS:
FUNCIÓN
1) y - 2x + senx + 2cosx
SU DERIVADA 
y' = 2 + cosx + 2(-senx)
= 2 + cosx -2sen x
’/) y = 3sen£ + 5cos£ —r = 3cos£ -5sen£
| Teorema 8 | (REGLA DEL PRODUCTO)
Si /z(x) = f(x) g{x) , entonces //(x ) = f(x) g'(x) + /'(x) g(x) .
Prueba.
1. La derivada de u en x, es u\x) - iim ¿rix + h)-//(*)
* h->o h
2. Pero ju(x + h) = f(x + h) g{x + h) , entonces / / ( x ) = lim —
h-> 0 n
3. Restar y sumar /(x + h) g(x):
EJEMPLOS:
FUNCIÓN 
1) /(x) = X 2 • C O S X
, /x x = [im f (x + h)g(x + h ) - f ( x + h)g(x)+f(x + h)g(x) - f (x)g(x) 
h->0 h
• f (x + h)[g(x + h ) - g ( x ) ] + [ f ( x + h ) - f ( x ) ] g ( x )= lim
o
= l imí
h-+0{
f {x + h)[g{x + h) - g { x ) ] [f {x + h)- f{x)~]g{x) 
h + h
f(x)-g'(x) + f\x)-g(x)
SU DERIVADA 
/'(x ) = x 2 [eos x]' + (eos x) (x2)'
o= x [-sen x] + (eos x) (2x)
n= —x senx + 2xcosx
2) y = ( l - x 3)senx = (1 - x3) [senx]' + senx[l - x3}' 
= (1 - x3) [eos x]+senx[0 - 3x2 ] 
= {1 - x3 )cosx - 3x2 senx
Moisés Lázaro C.
3) y = 2cosx + 3xsenx = 2(cosx)' + 3 [ (x)'senx + x(senx)' ] 
= 2 (-se n x ) + 3 [l-se n x + x cosx]
= -2senx + 3senx + 3 xcosx 
= senx + 3xcosx
Teorema 9 j (REGLA DEL COCIENTE)
La derivada del cociente de dos funciones derivables /(x) y g(x) 
está dada por:
1. La derivada de ¡uenxes: ju'(x) = lim ^x + h) ? h^O
h-> 0 n
2. Como ju(x) = -^4 entonces //(x + h) = ,̂x + m' g{x) ' £(x + h)
4. Restar y sumar el término /(x) g(x) en el numerador:
¿ /'(x ) = lim f ( x + h)9{h) - f{x)g{x) + / ( x ) g ( x ) - f {x)g{x + h)
hg(x + h)g(x)
= Hm [ / ( x + h) ~ / ( x ) ] g ( x ) ~ / ( x ) lg(* + h ) - g ( x ) ]
~ h -±o hg(x + h)g{x)
Si: ju{x) = ~|~y entonces ju'(x) =
Prueba:
f ( x + h) f ( x )
3. Sustituir en 1 ur{x)= lim 3{x + h)—iíüL
_ i* /(x + h) g ( x ) - / ( x ) g ( x + h) 
h ilo hg(x + h)g(x)h g(x + h) g{x)
_ g { x ) f { x ) - f { x ) g ,{x)
[ g{x)}2
EJEMPLOS:
LA DERIVADA
FUNCIÓN SU DERIVADA
(1 - cosx)2 
1 - cosx - x(0 +senx) 
(1 - cosx)2 
1 - cosx - xsenx 
(1 - cosx)2
dy _ (1 — x 2 ) (1 + x 2 )' - (1 + x 2 )(1 — x 2 )'
(1 — x2 ) ( 2 x ) - ( l + x2 ) (|-2x)
< § >
Moisés Lázaro C.
3. VELOCIDAD Y ACELERACION
Supongamos que un objeto (una pelota, una partícula o cualquier otro móvil) se mue­
ve por acción de una fuerza. Por ejemplo, si usted, deja caer un objeto de un edificio, 
dicho objeto cae por acción de la gravedad. Si se lanza una pelota desde un punto A, 
según la fuerza que le aplicamos, va recorrer cierta trayectoria en forma de parábola, 
hasta caer al suelo.
En ambos casos, al moverse el objeto o la pelota, por acción de una fuerza, describe 
una trayectoria rectilínea o parabólica, respectivamente. Cada punto P de la trayecto­
ria pertenece a una función S(t) que da la posición (respecto del origen) del móvil 
como función del tiempo t, llamado función de posición.
El conjunto {(í,s)/s = S(t) , t e [a,b]} es la gráfica de la función S(t) y cada pareja 
(t,s) es la posición de un punto P del móvil.
Los conceptos de VELOCIDAD y ACELERACIÓN de un objeto cuya función de posición 
de un punto P está dado por el conjunto de puntos {(£,$)/$ = S(£),£€[0,b]}, son 
simples derivada de la función S(t) respecto al tiempo t
Supongamos que la posición de un punto P esta dado por el conjunto de puntos 
{ (tís)/s = S(t) , £ g [G,b]} donde £ es el tiempo y s = S(£) es la trayectoria que recorre
el punto R Si el tiempo varía de £0 a t se tiene que:
a)
S( t ) - S( t 0 )
t-to es la velocidad media de P durante el lapso de tiempo [£0,£].
f S(t) - S{t0) = AS ES LA VARIACIÓN DE LA TRAYECTORIA
Donde
[ t - t 0 = A t ES LA VARIACIÓN DEL TIEMPO
AS = Expresa la variación de la trayectoria respecto al tiempo (o velocidad del 
^ móvil durante el lapso de tiempo [£0, í ] , t = £0 + A i .
cuando At —> 0 se 
convierte en
lim = 4r = ....... expresa la variación instantánea del recorrido respecto al
Ai—>0 Á t d t
= S’(tQ)
L _
tiempo y es la velocidad del objeto P en el tiempo £0 • 
derivada de S respecto a £ en t0 .
I >) S'(t) = es la velocidad instantánea del móvil P en el tiempo t0.
En general S'(t) = V{t) es la función velocidad instantánea en cualquier t e [0,¿>]
Si derivamos la función VELOCIDAD obtenemos la aceleración del móvil.
Así:
q(tb) = V'(to)= lim^ : r (t̂ , t - t o = h = M
> ̂ t —> Íq 0
- = lim V(t0 + h )-V (t0)
h-> 0 h
 es la aceleración del
móvil en el tiempo t0 .
Donde- es la aceleración media del móvil P
 ̂ en el lapso de tiempo [í0 ,t0 + h] .
En Consecuencia: a(í0) = V'(t0) = Sff(t0)
A
------------- La aceleración del móvil P en el
tiempo £q es la segunda derivada de
la función S(t) en el tiempo t0 .
I lagamos dos ejemplos aclaratorios:
Ejemplo 1.
Supongamos que un objeto cae libremente de un edificio de 144 pies de altura y la 
función de la caída libre es:
S(t) = -16í2 +144 ; te [0,3]
Se pide: a) Graficar S(t).
b) Hallar la función velocidad.
c) Hallar la velocidad del objeto cuando ha transcurrido el primer se­
gundo.
d) Hallar la función aceleración.
e) ¿Qué tiempo transcurre cuando el objeto toca el suelo?
______________________________ LA DERIVADA_______________________
— (§}
Solución:
Moisés Lázaro C.
a) El gráfico de S(t) es una parábola de vértice en 
(0,144).
Cuanto t = 0 => S(0) = 144 que expresa la altu­
ra del edificio (altura inicial del objeto).
b) La función velocidad es:
S'(t) = -32t
c) La velocidad del objeto en el primer segundo 
transcurrido es:
S'(l) = -32pies/seg
i
1------------EL SIGNO NEGATIVO INDICA QUE
EL OBJETO ESTÁ BAJANDO.
d) La aceleración es la segunda derivada de la función S(t):
A(t) = S"(t) = -32pies/seg2
f1 Es la aceleración de la gravedad. Nos indica que
en la caída libre de los objetos la aceleración es 
constante. Experimentalmente la aceleración de
la gravedad es g = -3 2 ,1 7 4 pies/seg2 .
e) Si el objeto toca suelo, entonces S(t) = 0 , es decir: -16t2 +144 = 0
En 3 segundos toca suelo dicho objeto. t2 =9 => t = 3
NOTA: En general, la posición de un objeto en caída libre está dada por la
función S(t) = ^gt2 + u0t + s0 . 
donde: üq = es la velocidad inicial con que se suelta el objeto.
Sq = altura inicial del objeto
g = -32,174 pies/seg2 es la aceleración debida a la gravedad.
LA DERIVADA
< s >
Ejemplo 2.
Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 128 m/seg , su 
distancia “s” sobre el punto de partida después de t segundos está dada por
s 128é - 4.912 . Se pide:
1) Hallar el tiempo que ha tardado la pelota en tocar el suelo.
So lu ció n :
Hasta hacer s = 0 => 128t -4 .9 t2 => t = 0 , t = 26.2 , luego, la posición de la pelota 
está dada por el conjunto { (t,s)/s = 128í - 4.9t2 , t e [0,26.2]}.
2) Se Pide:
a) Encuentre una expresión para la velocidad media en el intervalo de tiempo 
[ t i, ti + h ].
b) Encuentre la velocidad media del intervalo de 2 a 2.1 seg usando el resultado 
de (a) del intervalo de 2 a 2.01 seg. y del 2 a 2.001 seg.
c) Halle la velocidad en el tiempo ^ .
d) Halle la velocidad para t - 2, usando el resultado de c).
e) Calcule a los cuántos segundos de haber sido lanzada la pelota, lleva una velo­
cidad de 50 m/seg., de 48 m/seg.
f) ¿Cuándo su velocidad es cero? ¿a qué altura está en ese instante? ¿Es esa la 
máxima altura que alcanza la pelota?
g) Calcule la aceleración en el tiempo ^ .
h) Halle la función velocidad y la función aceleración, 
i ) Grafique la función s(t).
Si t1= 2, ^ +h = 2.1=>h = 0 .1 . Luego: Vm = 128-9.8(2)-4.9(0.1) = 107.91 
V ( ) = lim (128 - 9.8 tx - 4.9 h ) = 128 - 9.8 ^
Solución:
a)
128 { t i + h ) - 4.9 { t i +h )2 - [ 128 ta - 4.9 ]
h
128 íj +128 h - 4 .9 1\ - 9.8 tx h - 4.9 h2 -1 2 8 + 4 .9 1\
h
128 h - 9.8 ti h - 4.9 h2 _ h d 2 8 -9 .8 f r -4 .9 h ) _ 1 9 ,= 128-9 .8 ^ - 4.9 hh h
Moisés Lázaro C.
d) V(2) = 128 - 9.8(2) = 108.4
e) Si V = 50 m/seg 
Si V = 48 m/seg
50 = 128 - 9.81
* _ 1 2 8 -5 0 _ 78 _ 780 _ - 7 O ~ Q ^
=> t £ § -------0 8 - ' o s ' - / -y ~ S s e S-
=> í =
9.8 98
48 = 128 - 9.8f
1 2 8 -4 8
9.8 = 8.16 seg.
f) Tenemos V(t) = s'(t) = 1 28 -9 .8 1
Entonces V{t) = 0 si 128 - 9.8t = 0 => t = ̂ = 13.06 seg.
En el instante í = , La altura será y|- j = 128 ( y|- j - 4.9 ( j
= 835.7 es la máxima altura
g) La aceleración es V’(t) = s"(t) = -9 .8 , para todo t e (0,26.2).
h) V = {{t,v)/v = 1 2 8 -9 .8 1, t e (0,26.2)} ; A = {(f,a )/a = -9 .8 , t e [0,26.2]}
PROBLEMAS.
1. La altura S en el tiempo t de una naranja que se deja caer desde una altea de 
1350 pies de altura viene dado por S(t) = -16í2 +1350, con S medida en pies y í
a) Hallar la velocidad media en el intervalo [1,2].
b) Hallar la velocidad instantánea para t = 0.5 y t = 1.5.
c) ¿Qué tiempo demora en llegar al suelo? . „
d) Hallar la velocidad de la naranja al tocar el suelo.
LA DERIVADA ,
2. La velocidad de un camión que parte del reposo esta dada por la función 
v = ̂̂ con v medida en metros por segundo. Hallar la aceleración después de:
a) 3 segundos b) 5 segundos c) 20 segundos.
En los Ejercicios del 3 al 5 aplicar la función de posición S(t) = -1612 + v0t + S0
3. Se lanza un cohete hacia arriba desde una base terrestre con velocidad inicial de 
384 pies/seg. Hallar su velocidad después de 5 y 10 segundos.
4. Se deja caer una moneda desde 600 pies de altura. ¿Cuál es su velocidad al llegar 
al suelo?
5. Para estimar las alturas de un edificio se deja caer desde lo alto una piedra. Hallar 
la altura del edificio si golpea al suelo 6,8 segundos después de soltarla.
6. Un auto viaja a 66 pies/seg. en el momento en que el conductor pisa el freno. Su 
función de posición es S(t) = -8 ,2 5 12 +661 con S medido en pies y t en segun­
dos. Hallar su posición, su velocidad y aceleración para £ = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 .
4. RAZÓN DE CAMBIO Y ANÁLISIS MARGINAL
(APLICACIONES A LA ECONOMÍA)
Definiciones. 
4.1. COSTE MARGINAL
Supongamos que la función C(q) exprese el costo total en dólares de fabricar q uni-
= c'(q) es el COSTE Marginal por unidad, y expresa la razón de cambio instantá­nea de cambio del coste total con respecto a la producción.
Además: C'(qg ) = lim • es el coste marginal cuando
q~*q° Q~Qo se han producido q0.
4.1.1. Coste Real.
El coste de producir la q -é s im a unidad, es: C (q ) - C ( q - 1 ) = = carnb‘° e n c
1 ^ V i/ V J ' q - ( q - l ) cambio en q
Moisés Lázaro C.
4.1.2. Coste Medio.
< es el coste medio
 El coste medio por unidad, es el costo total divi­
dido por el número de unidades producidas.
4.2. RAZÓN PORCENTUAL DE CAMBIO
Si y es función de x (y = f ( x ) ) , la RAZÓN PORCENTUAL DE CAMBIO DE y CON RES­
PECTO A x está dada por la fórmula:
Razón Porcentual de Cambio = 100 | y j 
donde: Y' = ^ = f'(x) .
Problema 1 j Suponga que el coste total en dólares de la fabricación de q unidades 
es c(q) = 3q2 + q + 500 .
a) Use el análisis marginal para estimar el coste de fabricación de la 41 unidad.
b) Calcule el coste real de fabricación de la 41 unidad.
Solución:
a) Se pide hallar C'(41).
En primer lugar, hallar C'(q) : C'(q) = 6q +1
En segundo lugar, hallar C'(41) : C'(41) = 6(4) +1 = 247
b) El coste real de la 41 unidades:
C(42) - C(41) = [3(42)2 + 42 + 500] - [3(41)2 + 41 + 500] = 250
Problem ^^J Sea C(x) = mx + b , m > 0 , b > 0 la función lineal de costo total:
a) Graficar C(x) y diga qué representa la constante b.
b) Hallar la función del costo promedio.
c) Halle la función de costo marginal promedio.
d) Grafique la función de costo promedio en el mismo plano.
LA DERIVADA
Solución: 
a) C(x) = mx + b es una línea recta de pendiente m > 0 , lo cual
nos indica que el ángulo de inclinación de la 
recta es agudo y la función es creciente. Como 
b > 0 y “x” es el número de unidades produ­
cidas debe ser x > 0 , entonces la recta se ubi­
ca en el primer cuadrante en forma creciente.
y
b
X La constante b = c(0) es el COSTO FIJO.
b) La función de costo promedio es: mx + b
que la llamaremos Q(x) = m + & < es un hipérbola.
cuando x -» + o o entonces Q (x)— 
o sea m es asíntota horizontal.
c) El costo marginal promedio es: Q'{x) = —\
V
4.3. ECUACIÓN DE LA DEMANDA, FUNCIÓN INGRESO TOTAL, FUN- 
CIÓN INGRESO MARGINAL, FUNCIÓN DE GANANCIA (O LUCRO).
Consideremos dos variables: “P” el precio y “x” la cantidad de mercancía que se de­
manda (que se solicita) la relación entre “p” y “xv expresada por la ecuación 
F(p,x) = 0 es la ECUACIÓN DE LA DEMANDA. Cuando el precio “P” de un bien baja 
entonces lá cantidad demandada “x” crece y al revés si el precio sube la cantidad de­
mandada baja, este comportamiento de demanda nos indica que la relación 
F(p, X) = 0 es DECRECIENTE.
p
Si p1 baja a p2 , entonces Xj sube a x2 .
En el gráfico:
X
Moisés Lázaro C.
Si de la relación F(p,x) = 0 despejamos “P” en términos de “x” obtendremos la
función P = P(x) que la llamaremos “la función del precio” .
Y es la cantidad que se solicita.
En la ecuación: p = P(x) se tiene: i P(x) es el precio que se paga por la 
cantidad “x”.
4.4. LA FUNCION INGRESO TOTAL
Definición 1
El ingreso total = (cantidad demandada) (precio de cada unidad)
RM P M
rr = R(x) = xP(x) x > 0
£
P(x) = R( x )
t - se llama ingreso promedio
Esta igualdad nos indica que “el ingreso promedio y el precio por unidad son iguales” .
Definición 2 | Si R(x) es el INGRESO TOTAL, (en unidades monetarias) obtenido 
cuando se demandan “x” unidades de mercancía, entonces defini­
mos la función Ingreso Marginal como la derivada de R(x) con res­
pecto a x.
Es decir:
De modo que, el ingreso marginal para x = x1 está definido por P'ÍXj), siempre que 
exista R'(xi) y expresa la razón de cambio del ingreso total por cambio unitario en la 
demanda cuando x1 unidades son demandadas.
Puede ser: Rf(x1) > 0 , R'(x1) = 0 o R,(x1) < 0.
LA DERIVADA
Problem ^^J Supongamos que la ecuación de la demanda de cierta mercancía es 
p2 + x -1 6 = 0 . Hallar las funciones del precio, del ingreso total y 
del ingreso marginal. Trazar las curvas de la demanda, del ingreso to­
tal y del ingreso marginal en el mismo sistema de coordenadas.
Solución:
a) La función del precio se halla despejando “P” de la ecuación de la demanda: 
p2 + x -1 6 = 0 .
=> p2 - 16 - x
=> p = +Vl6 - x ; p = P(x) 
se elige el signo positivo porque el precio es positivo, entonces
es la función del precio.p = V l6 - x
con 1 6 - x > 0 <= > 0 < x < 1 6
b) El ingreso total {IT), es: R(x) = x • P(x)
R(x) = x V l6 -x 
con 0 < x < 16
c) El ingreso marginal (IM) , es:
R'(x) = (x)V 16- x + x (V l6 -x ) ' 
= V l6 -x + X
( 2 /̂16 - x:)
IM: R'(x ) = -% ~ 3x- , 0 < x < 16
' ’ 2 ^ / 1 6 - x
Moisés Lázaro C.
4.5. LA FUNCIÓN GANANCIA
Definición 3 | La ganancia que obtiene un comerciante es la diferencia entre el in- 
greso total y el costo total.
Si denotamos por S(x) la función ganancia, se tiene:
S(x) - R(x) C(x) — ®
Como: R(x) = xP(x) => S(x) = xP(x)-C(x)
Si en (T) hallamos la primera y segunda derivada obtenemos:
S'(x) = R'(x) - C'(x) ................................. 0
S"(x) = R"(x) - C"{x) ..............................0
LA DERIVADA
<37>
Analicemos la ecuación (? ) :
a) S'(x)> 0 <=> R '(x)-C '(x)> 0
<=> H'(x)>C'(x)
Por lo tanto, la ganancia es creciente si y sólo si el ingreso marginal es mayor que 
el costo marginal.
b) ¿Para qué valor de “x” (llamado nivel de producción), la utilidad es máxima?
S(x) tiene máximo relativo en un número “x” si S'(x) = 0 y S"(x) < 0 .
D e ® , si S'(x) = 0 => R '(x)-C '(x) = 0 => J?'(x) = C'(x)
D e ® , si S"(x)< 0 => R "(x )-C "(x )< 0 => R"(x)<C"(x)
En la figura, observamos:
1. \AB¡ = f?(x)-C(x) = S(x)
2. El máximo absoluto de S(x) ocurre cuan­
do la longitud del segmento AB es la ma­
yor de todas las otras verticales. Esto ocu­
rre cuando existe un punto x donde las 
rectas tangentes en A y B son paralelas y 
esto se cumple cuando C'(x) = i?'(x).
Problema 4 I Supongamos que la ecuación de la demanda de cierta mercancía es 
P = 6 -0 .0003x, donde x es el número de unidades producidas 
mensualmente y P dólares es el precio de cada unidad. El número de 
dólares del costo total de la producción de x unidades es 800 + 3x . 
Si la utilidad mensual es máxima, encontrar:
a) El número de unidades que se producirán cada mes
b) El precio unitario.
c) La ganancia mensual.
Solución:
DATOS:. 1
P = 6 - 0.0003x
[ C(x) = 800 + 3x
x e [0,20,000]
Se pide hallar el valor de “x” y “p ” tal que maximice la ganancia. Según la teoría, la 
función ganancia se maximiza en un valor de x tal que: R’(x) = C'(x) y R”(x) < C "(x).
Moisés Lázaro C.
Veamos:
1. La función R(x) es:
Al derivar 
Derivar otra vez
R(x) = xp
= x(6-0.0003x)
R(x) - 6 x - 0.0003x2 ; x e [0,20,000]
R'(x) = 6 - 0.0006x
R"(x) = -0.0006
2. La función costo total es: C(x) = 800 + 3x
Derivar 
Derivar otra vez
3. La función ganancia es:
C'(x) = 3
C"(x) = 0
S(x) = fí(x) - C(x) = 6x - 0.0003x2 - 800 - 3x
S(x) = 3x - 0.0003x2 - 800 x e [0,20000]
4. Igualar Rr{x) con C'(x): 6 ~0.0006x = 3
x = 5,000
Como: -0.0006 < 0 , entonces la función S(x) tiene 
máximo en x = 5,000 y P = 6 - 0.0003 (5,000) = 4,5
5. Luego , la ganancia máxima es: S(5,000) = 3(5,000) - 0.0003(5,000)2 - 800
= 15,000-7 ,500-800 
= 6,700
Conclusión: Para tener mayor utilidad mensual se deberán producir 5000 uni­
dades mensuales para venderlas a 4,5 dólares cada una para ob­
tener una ganancia de 6,700 dólares.
Problema 5 | Si en el problema 4, el gobierno le aplica 30 centavos de impuesto al 
monopolista, por cada unidad producida.
Solución:
1. Cuando se exige un impuesto de 30 centavos por unidad, entonces el costo au­
mentará en 0 ,3 0 x , así tendremos que el nuevo costo será:
C(x) = (800 + 3x) + 0.30x = 800 + 3.30x
LA DERIVADA < § >
2. Para maximizar S(x), hacer C'(x) = R'(x)
3.30 = 6 - 0.0006x
O.OOOóx = 2.7 
x = 4,500
3. Como se tiene: P(x) = 6 - 0.0003x
S(x) = R (x)-C (x )
= 6 x - 0.000x2 - 3.30x - 800 
= 2.7x -0.0003x2 -800
se obtienen: p(4,500) = 6 - 0.0003(4,500) = 4,65
y S(4,500) = 2.7(4,500)-0.0003(4,500)2 -800 
= 5,272
5. DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTODefinición 1 Sea la función / : / -----> R definida en el intervalo abierto L Su­
pongamos que / es continua en I.
Definimos:
1. El incremento de x es: h = Ax = x - x0
donde: x = x0 + h
2. El incremento de la función / es A/(x) = /(x0 + h) - /(x0)
3. La razón de cambio de / respecto a x es:
4. Si existe / '(x 0), entonces una buena aproximación de la función / en el punto 
x = x0 + h e I , es: /(x0) + h/'(x0); esto es: /(x0 + h) = /(x0) + h/'(x0)
Definición 2 Con la hipótesis de la definición 1, definimos: 
f e s diferenciable en x0 , si existe /'(x0) y además
Ji m f (xo + h ) ~f (xo )~h f ' (xo )
7 ' ' 1 '; 3'"'''“ V 'r v.
Moisés Lázaro C.
Ejemplo Aclaratorio:
Sea la función / : (0,2) -----> R definido por f(x) = 2x2 . ¿Es / diferenciable en
x = l?
Solución:
1. Hallar /'(1):
/ '( !)= l¡m /(i+*¡>-/(D.= lim 2(l±iñ=2ílñ = 4
2. Hallar el límite: lim M + V - f W - V ' M =
h
= 1 ¡m 2(1 + 2/ i + /i2 ) - / ( 1 ) - > i ( 4 ) _ l i m 2 h i = 1 ¡m 2 f l = 0 
h -^ 0 h h - > 0 h h —>0
3. Probar que lim 2h = 0:
h ^ O
Dado £ > 0, 3 8 > 0 tal que \2h - 0| < £ siempre que \h\ < 8 a he R .
Busquemos 8 en términos de s:
Empezaren: \2h\ = 2\h\
Como |h| < S entonces 2\h\ < 2 8 .
Hacer 28 = £ => 3 =
Ejemplo Gráfico: Sea la función / : [a,b] > R que aparece en el siguiente
gráfico.
LA DERIVADA
Fijémonos en los puntos A , B, C , D, Ey F:
- La función es continua en todos los x e [a,b].
- En X j, / es continua, es derivable y / '(x j) > 0.
- En x2 , la función es continua pero no es derivable, es decir ^ f'(x2) .
- En x3 , / es continua, es derivable y /'(x3) = 0
- En x4 , / es continua, es derivable y f'(x4) = 0
- En x5 , / es continua, es derivable y /'(x5) < 0
- En x6 , f e s continua pero no es derivable, es decir ^ f'(x6) .
NOTA: En las “puntas aguja” la función no es derivable, porque las derivadas
laterales existen pero son diferentes.
5.1. EJEMPLOS
1. Sea la función / : H
nidapor /(x) = y x - 2 . 
¿Es / derivable en x = 2 ?
* TR defi- 2. Una función está definida del modo 
siguiente:
ax + b si x > c
Solución:
Por definición de derivada de / en 2, es:
(a, b, c constantes) hallar los valores 
de a y b (en función de c) tales que 
/'(c) existe.
Solución:
MÉTODO I
i) Si /(x) es derivable en x = c , es
decir, si existe f'(c) , entonces:
Este resultado nos indica que NO EXISTE
la / '(2 ) . /+(c)
/-'(c)
Por lo tanto, afirmamos que / no es deri­
vable en x = 2 . (1).... lim (E±bH££zb)= lim
X - C
ii) Si existe f'(c) => f es continua en 
x = c .
Moisés Lázaro C.
(2 )
Luego: lim /(x )= lim f(x)
X —» c+ x —̂ c
ac + b = c2 .................
De (2) obtenemos:
lim ax + b~(ac + b) — ]jj-Q x2 - c 2 
+ x - c - x — cx -» c x -^c
lim ^Lz£l= iim LLzLHl í í )
lim (a) = lim (x + c)
X —>c x - > c
a = c + c
a = 2c (3)
Sustituir (3) en (2): (2c)c + b = c
b = c
METODO II
i) Si /'(c) existe -----> /+(c) = f!_(c)
Donde:
í W - f M ] , , , - " ] , . , - "
/-(0 = / ' ( x ) ] , <c= 2 x ] j[, c =2c 
//) Como / es derivable en x = c , enton­
ces f(x) es continua en x = c luego: 
lim /(x) = lim /(x)
b = - c ¿
3. Una función / está definida del modo 
siguiente:
/ ( * ) =
1*1
, S l | X | > C < - » X > C V X < — c
a + bx , si|x|<c<-»-c<x<c
Hallar los valores d e a y b (en función 
de c), tales que existe f ' (c).
Solución:
i) Si/'(c) existe fí(c)= fl{c) 
- V = 2bc
cz
— l j = b
2 c 3
Donde: Si 0 < c
/+{c) = /'(x) ] X = C
_ _ 1
- £ ( ± ) ]
/ » - / ' < * ) ] x<c= £ ( o + t>x2) ] „ e
= 2bx 1 = 2 beJ X = c
¿7) Como /(x) es derivable en x = c , 
entonces /(x) es continua en x = c 
luego:
lim /(x) = lim /(x)
■J- = a + be2 .............. (a
I _ a + -
- = a - 4 -c 2 c
2 = 2 a c - 1 <-» 3 = 2 a c
£ = a
LA DERIVADA
4. Existe un polinomio,
o o
P(x) = ax + bx + ex + d tal que 
P(0) = P(l) = -2 , P'(0) = -1 y 
P”(0) = 10 . Calcular a, b, c y d.
Solución:
q o
/) Como P(x) = ax + bx +cx + d 
=> P(0)= 0 + 0 + 0 +d 
P(0) = -2 => d = - 2
//) A dem ás, si
P(x) = ax3 + bx2 + ex + d 
=> ^P(l))=a + b + c + d^
—2 — a + b + c. — 2 
0 = a + b + c ................(1)
i ¡i) Como P(x) = ax3 + bx2 + ex + d
=> P'(x) = 3ax2 +2bx + c
P'(0)= 0 + 0 +c 
-1 = c ........................ (2 )
/v) Como P'(x) = 3ax2 + 2bx + c 
=> P"(x) = 6ax + 2b
10 = 2b 
5 = b ...................... (3)
v) Reemplazar (3) y (2) en (1): 
0 = a + 5 - l
0 = a + 4 <=> a = -4
5. Para cada uno de las siguientes fun­
ciones diga usted en qué puntos no 
son derivables. Justifique su repuesta.
a) /(x) = |3x-l|
b) g(x) = ■
c) b(x) = ■
4x2 -1 
l - 4 x 2
l - 4 x 
-l + 4x
si | x | > 1/2 
si | x | < 1/2
si x < -1 /4 
si x > -1 /4
6. Demuéstrese que la función definida
/(* ) =
x2sen-̂ , para x * 0 
0 , para x = 0
es diferenciable para todo x e JR, pe­
ro /'(x) no es continua en 0 y que 
/"(O) existe para x * 0 , pero que 
/"(O) no existe.
< 5 >
Moisés Lázaro C.
6. LA DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN DE DOS FUNCIONES
(REGLA DE LA CADENA)
S ° /
A —
Si (g ° f)(x ) = g(f(x))
=> (S0/)'(x ) = / f(x)-g'(/(x)) 
= S'(/(x))-/'(x)
Aclaraciones para la Aplicación de la Regla de la Cadena:
Io La notación “ g o / ” se lee “/compuesta con g” o “la composición d e / y g”
A A
I-------------- I o aplicación
 2o aplicación
2o La función “ g o / ” existe, si Im(/) n Dom(g) ^ (¡>.
3o La derivada de una composición de dos funciones, es igual al producto de la deri­
vada de la primera aplicación por la derivada de la segunda aplicación. Ejemplos:
a) Si ( /°g )(x ) = /(g(x)) => (/ ° g)'(x) = g'(x) • /'(g(x))
b) Si ( goho f)(x ) = g(h(/(x))) => (g o h o f)'(x) = f'(x) ■ h’(f(x)) • g’(h{f(x)))
4° Regla práctica para derivar una com posición de dos o más funciones.-
Para poder derivar con gran facilidad una composición de dos o más funciones, es 
mejor' construir un DIAGRAMA DE FLECHAS que representen a las funciones, de 
modo que queden bien definidas y diferenciadas las variables independientes de 
las variables dependientes
LA DERIVADA 45
Ejem plo
1. Sea la función y = sen (4 - 3x2). Hallar —.
En ésta función tenemos que y = g(f(x)) =
Donde: Si
g = sen/
/ = 4 - 3 x 2
dg
d f
ÉL
d x
= eos /
= -6 x
E ntonces: ^ = [ e o s / ] [ - 6 x ] = [ c o s ( 4 - 3 x 2 )] [ - 6 x ] = - 6 x c o s ( 4 - 3 x 2 )
Teoremc^^J Si g(x) es derivable en x0 y / es derivable en g(x0), entonces j ° g 
es derivable en x0 y; (/ o g)'(x0) = [/'(g(x0))][g'(x0) ] .
Demostración:
Paso 1 . Se sabe que (/ o g)(x) = /(g(x)), por definición de composición.
Paso 2 . Por definición de DERIVADA de la fundón {/ o g)(x) = f(g(x)) en el punto
( / ° 9 ) ( x ................*
En * podemos multiplicar en el numerador y el denominador el término
Así tendremos:
lim 
hH> o
/ ( g ( * 0+ h ) ) - / ( g ( x o )) 
h
l im f ( 3 ( x O + h ) ) ~ f ( 8 ( x o ) )
h^, 0 . g ( * o + /l) - g ( * o )
#(h)
lim
k->0
/(g (* o ) + fc)- / (g(*o)) 
k
ñ ff(x 0))
g ( x 0 + h) - g ( xq ) 
g { x 0 + h ) - g { x Q )
lim
h~> o
g ( Xq + h ) - g ( Xq )
Se supone que el término g(x0 +h)-g(x0) es diferente de cero cuando h es 
diferente de cero.
Moisés Lázaro C.
Paso 3. El problema fundamental radica, ahora, en demostrar que una función (que 
la llamaremos <fi(h) adecuadamente construida y que contiene a la función
/(ff(x0 + h ) ) - /( g ( x 0 )) s e a con tjn u a e n h = 0
g { x 0 + h ) - 3 { x0 )
Para ello, definimos la función (/>{h) del siguiente modo:
[ /(8(x0+h))-/(g(xq)) Si g(x0 + h ) -s (x o )^ 0 
<p(h) = \ s(x0 + /i)-s(x0) ’ u ' u'
[ / '(s U o )) , Si g(x0 + h )-g (x 0 ) = 0
Intuitivamente tenemos:
/) Si h = 0 , entonces g(x0 + h) - g(x0) = 0 y en consecuencia <fi{0) = /'(g(x0)) 
n) lim <p{h)= lim mxo+V-f (9(xo)) = í { ( })
0 ^ g(x0 + h )-»g (x 0) 9(x0 + h) - g ( x 0 )
Lo cual prueba, intuitivamente, que <fi(h) es continua en h = 0.
Paso 4. Ahora, analicemos cuidadosamente, la función (j){h):
i) Por hipótesis se tiene que la función / es DERIVABLE EN EL PUNTO g (x 0 ) . 
Esto significa que:
f'(s(x0)) =
De modoque V s > 0 , 3Sr >0 tal que, para todo k,
Si 0 < |fc| < Sf => f { g { x 0 ) + k ) - f { g { x q)) < s (/a)
tí) Por otro lado tenemos que g es derivable en x = x0 y por lo tanto g es 
Como g es continua en x = x0, se cumple: 3 8 > 0 , tal que para todo h,
Si 0 < }fc¡ < 8 => |g(xo + /i)-g(xo)f < 8 ’ (Ha)
iii) Basado en la proposición (//a ) consideremos un h cualquiera con |h| < ó 
de modo que, si k = g (x 0 + h ) ~ g ( x 0 ) * 0 , entonces:
g ( x 0 +h) = g ( x 0 ) + k (///a)
LA DERIVADA <47>
Sustituyendo (iiia) en la función 0(h) del paso 3, tendremos:
/L\ /(g (x 0 + h ) - / ( g ( x 0 )) /(g (x 0 +J e)-/(g (x0 ))
g ( x 0 + h ) - g ( x 0 ) k (zi7P)
iv) Volviendo a (//a) tendremos: |Jc| < Sr
v) Sustituyendo (///p) en (/a): Si 0 < |fc| < 8* |$h)-/'(s(x0))| < s
vi) Por otra parte, según la definición de la función <j>{h) , visto en el paso 3, 
tendremos: Si g(x0 +h)~ g(x0) = 0 => </>{h) = /'{g(x0))
vw) De éste modo, está garantizado que |̂ (h) - /'(g(x0))| < £
Lo cual indica que lim <p(h} ~ / '( g(x0)).
En consecuencia la función (j)(h) es continua en h = 0 .
Conclusión.- Por el paso 4 hemos demostrado que la función <p(h) es continua en
el punto h = 0 . Por el paso 2 hemos demostrado que: 
( / ° g)'(xo) = / ' (£(xq)) * g'(xo), lo cual garantiza la demostración de la 
REGLA DE LA CADENA.
[6.1. PROBLEMAS
(T) Dada la función h(x) = f ( x - V x - x 2 ), hallar ^ ) sabiendo que /'(O) = 2 .
Solución:
= /'(0) 
= 2
Moisés Lázaro C.
2) Sean las funciones: y = - 3¿/ + 3 a ¡u = , hallar .
Solución:
i) Observando las dos ecuaciones, podemos relacionar a través del siguiente diagra­
ma:
y ► H > x se iee “y es función de / / ’ a “// es función de x”
ii) Luego, la fórmula de la derivada de ésta función compuesta, será: =
iii) Pero
si y - f i -3ju + 3
X — 1SI LL -----
r x + 1
£ = 3 / - 3
dfi _ (x + l ) ( l ) - ( x - l ) ( l ) _ 2
d x (x+ir (x+ir
/v) Sustituir (///) en (ii): =
(x + 1)2
- 2 4 x 
(x + 1)2
(3 ) Hallar ^ , si z = 3//2 -2// + 5 donde ¡u = 1/ 4 - y 2 , y = j .
Solución:
1) De Las 3 ecuaciones, al relacionarlos, obtenemos el siguiente diagrama de flechas:
Se lee “z es función de /i” a “// es función de y” a “y es función de x”
LA DERIVADA
4) Sustituir 3 en 2: ^ = [ 6 / / - 2 ]
1
i
i
l
1 ho
1
x 2 .
= 2(3 f i -1 )
(S ) Si /(x) = eos (sen (eos (1 - x2))), hallar .dx
S olu ción :
Paso 1: Antes de derivar analicemos cuantas funciones hay en la composición.
/(x) = cos(sen(cos(l - x2 )))
En /(x) existen la composición de 4 funciones que al derivar se harán cua-
Paso 2: Para obtener ^ podemos empezar a derivar de 1 y terminar en 4 o vice­
versa. Si derivo partiendo de 1 para terminar en 4, será:
^ = [—2x] [~ se n (l-x 2 )] [c o s (co s (l-x 2 ))] [-sen(sen(cos(l - x2 )))]
= -2 x s e n ( l -x 2 )co s (co s (l-x 2 ))sen (sen(cos(l-x2 )))
( 5 ) Si f(x) = tg3 (sen2 (4ax -1- b)) . Si a y b son constantes, hallar .
Solu ción :
Paso 1. Analicemos cuántas funciones existen en la composición.
Veamos:
4 5 2 3
*
/(x) = tg3(sen2 (4ax + b))
En f(x) existen la composición de cinco funciones, que al derivarse apare­
cerán cinco factores.
Moisés Lázaro C.
Paso 2. Al derivar partiendo de 5 para terminar en 1, obtenemos:
— - [3tg2(sen2(4ax + b))] [sec2(sen2(4ax + b))] [2sen(4ax + b)] [cos(4ax + b)] [4a]dx
= 24a eos (4ax + b) sen (4ax + b) sec2 (sen2 (4ax + b)) tg2 (sen2 (4ax + b)) 
También se puede empezar a derivar por 1 y terminar en 5.
( 6 ) Si g(x) = sen(x2 + sen(x2 + senx2)), hallar - j .
Solución:
Paso 1: Veamos cuántas funciones existen en la composición:
p p p
g(x) = sen(x + sen(x + senx ))
Paso 2: Empezaré a derivar de 1 para terminar en 2. 
Veamos:
cíx = [ +sen(x2 +senx2 )) [cos(x2 + sen(x2 + senx2 ))] 
= ^2x + -^(sen(x2 +senx2 )) [cos(x2 +sen(x2 +senx2 ))]
y
4
empezar a derivar por 3 para terminar en 4 
= [2x + (2x + 2xcosx2)cos(x2 + senx2 )] [cos(x2 + sen(x2 + senx2 ))] 
= 2[x + (x + xcosx2 )cos(x2 +senx2 )] [cos(x2 + sen(x2 +senx2 ))]
(7 ) Si f(x) = sen , hallar
Solu ción :
LA DERIVADA
< E >
Él
dx dx
sen x J
eos
eos
3x 2 sen [ 1 -x 3 eos í
sen x ) V sen x
3 x s e n x - x c o s x
É l - YZ
dx *
3 sen x ^ 1 3 Í 3 s e n x - x c o s x ,- — - X ------------- ó----------- COS x 3 
sen x
!f— 1^ sen x J
COS
COS
sen x j
S) Sea g(x) = / ̂ — -j |, si / es una función diferenciable en todo JR con
determinar g'(0).
Solución:
I. Tenemos: g(x) = f I
2. Hagamos: //(x) =
.'L Entonces: g(x) = f(ju(x))
4. Derivar: g'(x) = f'(ju(x)) ju'(x) donde
ÉL
dju
JU(X) = dx (x + ir
r>. Luego: S'(x) = / ' [ ^ y )
x2 + 2x - 1 
(x +1 ) 2
x2 + 2x — 1 
(x + 1)2
/ '( !) = 2 ,
, _ 2 \ Moisés Lázaro C.
6 . Por lo tanto: g'(0) = /'| o + i 0 + 1
0 + 0 - 1
(0 + 1 ) 2
= / '( l)[-l] , Pero /'(l) = 2 
= 2[-l] 
g '(0 ) = - 2
( 9 ) Si /(x) = sen((x + l)2 (x + 2)), hallar 
Solución:
f ( x ) = ((X +1 )2(x + 2))' cos((x + l)2(x + 2))
= [(x + 1)2 (x + 2)' + (x + 2) ((x + 1)2 )' ] cos((x + 1)2(x + 2)) 
= [(x + 1 )2 (1 ) + (x + 2)(2(x + 1 ))] cos((x + 1 ) 2 (x + 2))
= (x + l)(x +1 + 2x + 4)cos((x + l)2(x + 2))
= (x +1) (3x + 5 )cos ((x +1 )2 (x + 2))
(10) Si /(x) = sen (x sen x) + sen (sen x2) , hallar f'(x) =
Solución:
f'(x) = (x sen x)' eos (x sen x) + (sen x2)' sen (sen x2)
= (x eos x + sen x) eos (x sen x) + 2x eos x2sen (sen x2)
( 1 1 ) Si /(x) = (((x2 + x )3 + x )4 + x )5 , hallar: ^ 7 = /'(*)■
Solución:
/'(x) = 5(((x2 + x)3 + x)4 + x)4(((x2 + x)3 + x)4 + x)'
(4((x2 + x )3 + x )3 ((x2 + x )3 + x )' + 1)
/'(x) = 5(((x2 +x)3 + x)4 + x )4 (4((x2 + x )3 + x )3(3(x2 + x)2(2x + 1) + 1) + 1)
LA DERIVADA
(l2) Si
Solución:
Haciendo
Pero: y ! ■
M'-
Además
f ( x ) = s e n ¿
x - sen x
// = - x2 + 3
’■(...
 ̂x-sen2x J
, tendremos:
/ ' = 2 sen//{sen//)'
= 2 sen//(eos//)// 
= //'sen 2 / / ............ (1)
- j ( 2 x ) - ( x 2 + 3 ) j ^
x - sen~ x y . ^ 2
x - sen x
SI K = ■
x - sen x
(x + sen2 v){2x) - (x2 + 3) (1 + 2seni/ eos y y f) 
(x + sen2 v)2
(2 )
1/ = (x - sen2 x) (2x) - x2(l - 2senx cosx) 
(x -s e n 2 x )2
r _ 2x2 - 2x sen2 x - x2 + x2 sen2x 
(x -se n 2 x)2
f x2 - 2x sen2 x + x2 sen2x
y =
(x - sen2 x )2
(3 )
Sustituir (3) en (2):
Moisés Lázaro C.
Sustituir (4) en (1):
m =
2 x (x + sen2 v) - (x2 + 3) - f - 2x sen^ x + sen 2x \ 0 1+ 9 9 \ s e n 2 v
ív (x - sen x) )
(x + sen2 1/)2
sen 2 (i
@ Hallar / ' en términos de g’ , si f{x) = g(x + g(a)).
Solución:
Haciendo x + g(a) = ¿u(x), tenemos: f{x) = g(¿u(x))
entonces: f'(x) = [g '(//U )] [ju'(x)]
= [fl'(//U))][ 1 + 0]
= 3 '(x + g(a))
(l4 ) Si: f(x) = g(xg(a)), hallar / ' en términos de g ' .
Solución:
Hagamos ju(x) = xg{a), entonces tendremos: /(x) = g(//(x))
Al derivar /(x) con respecto a x obtenemos: /'(x) = g'{/u{x)) • ju'(x).
Como /u(x) = xg{a) => ju'(x) = g(a) ..................................................
Sustituir (2) en (1): f'(x) = g'(xg(a)) g(a)
( 1)
(2)
@ Hallar / ' en términos de g ' , Si f(x) = g(x + g(x)).
Solución:
/ ' M = (s'(x + g(x))) (x + g(x))'
= (g'(x + g(x))) ( 1 + g ’(x)) g ’(x + g(x))
LA DERIVADA
[55
(ló ) Si: /(x + 3) - g(x2) , hallar g'(4 ) sabiendo además que /'(5) = 8 . 
Solución:
Derivando en la ecuación /(x + 3) = g(x2) obtenemos:
[f'(x + 3)] [x + 3]' = [g'{x2)] [x2 ]'
[/'(x + 3)][l + 0] = [g'(x2)][2x]
f'{x + 3) = 2x g ’(x2) ..........................(1 )
Como: /'(5) = 8 => x + 3 = 5
x = 2 .......................... (2 )
Sustituir (2) en (1 ): / '( 5 ) = 2(2) g'(4)
8 = 4g'(4) => g ’( 4) = 2
(Í7) Sea: / C o J * 2* " * ’
0 , x , 0
Supongamos también que h y k son dos funciones, tales que:
h'(x) = sen2 (sen(x + 1 )) k'(x) = f(x + 1 )
h(0) = 3 k(0) = 0
Hallar: (/) ( / o h)(0) ; (//) (le o / ) ’ , (///) a ’(x2) , donde a(x) = h(x2)
Solución de til:
1. Por definición de la derivada de una “composición de dos funciones” tenemos- 
(/oh )'(0 ) = /'(h(0 ))-h'(0 ).
2. Por hipótesis, se tiene Si h'(x) = sen2{sen (x + 1)) 
=> h'{0) = sen2(senl)
3. Reemplazar (2) en (1): (/ o h)'(0) = /'(3) • sen2(senl)— <3>
Moisés Lázaro C.
„ _ . .. ,, . x sen- , x / 04. De la ecuación: /(x) = < x
[ 0 , x = 0
[ x 2 í ( c o s - ) ( —L'j\ + 2 xsen— , x * 0
obtenemos / (x) = j \' x '\ x ) J x
[ 0 , x = 0
| -eos— + 2 xsen— , x * 0 
f'(x) = \
( 0 , x = 0
5 . Si: x = 3 => /'(3) = -co s -j + 6 sen-|
6 . Sustituir (5) en (3): ( /o h )’ (0) = ^-cos-| + 6 sen-ljsen 2 (senl)
@ Si: y = /(//) y ju = g(x) , demostrar:
d3y _ dy_ m d3ju o d2y # d2ju djj, d3y # / d/¿ 
dx 2 _ dM dx3 d //2 * dx2 * dx d //3 \ j
Demostración:
1 . Si y = /(//) A M = S(x ) ? entonces el diagrama de flecha es: y — > fi ——> x 
Entonces: ^ =
2. En el anterior problema teníamos: )
dx2 d/r dx2 dM2 \ d x !
3. Derivar con respecto a x: J - ^ j = j +
LA DERIVADA
D esarrollo de: j
C o m o (y es fu n d ó n de ju) a {ju es fu n ción d e x) o sea: y ------ > ¡ u ------- > x
T am bién se tiene:
( ^ es fu nción de ju) a {ju es fu nción d e x) o sea: > y ------- > x
De la caden a : ^ ------ > ju » x
O btenem os* - 4 - ( É L ) = j L Í É L ) . ÉJLvjuienemus. d x \ d M ) d//\ d M J dx
_ d2y d/i
d p i 2 d x
Desarrollo de
d x ^ y d x J
Por derivada d e p oten cia se tiene: ¿ 7 ̂(■3 7 ) = ' ~ d x { ^ )
— OÉJL ĉ2/j
" Cl x • d x 2
D esarrollo de: - f í - ^ 4dx y dM2
Como (~|- es función de //) a (//es función de x) o sea: > p
De ia cadena; ■-— > ¡ i > x
Moisés Lázaro C.
7. DERIVACION POR MEDIO DE FORMULAS
Prescindiendo de la diferenciabilidad, derivar usando tablas:
E ¿ w - o
'--------------------- Derivada de una constante con
Ejemplos* respecto a x es igual a cero.
1. Si y = 2Ln3 + e ~2 => ^ - = 0 , s iy = /(x)
ES UN NUMERO REAL 
(CONSTANTE)
2. £ ( -3 /2 ) = 0 3. £(V 2) = 0
4. £ ( 5 ) = 0 5. Si: f(t) = 2 S - 5 => & = 0 , etc.
| 2 | ■£ (X ) = 1 La derivada de la función identidad es igual a
' t______
Ejemplos:
la unidad (La derivada de una variable con 
■ respecto a sí misma es igual a la unidad)
1. 4f = l 2. £ = 1 3. £ = 1 4.ay dt dz dp
5. ^ = 1 6. £ l = 1 7. ^ = 1 etc.
d e d x 1 a x 2
-r~ (xn ) = n x " " 1 La derivada de la potencia de la función
| identidad es igual a: bajar la potencia y
I------------------------ disminuir la potencia una unidad.
Ejemplos:
1. £ ( x 5 ) = 5 - x 5 _ 1 = 5x 4 2. £ ( x 2/3 ) = -|x2/ 3 - 1 = | x -1̂
3. £ ( x “ 3 ) = -3 • x ~ 3 “ 1 = -3 x ~ 4 = —\ 4. £ ( x " 5 / 3 ) = —| • x - 5/ 3 " 1 =
K d i 1 \ _ d /i -1 7 /3 \ _ 17 * -1 7 /3 - 1
dí( ‘5 3V ? ) “ ^ ( ) _ _ T
- _ 1 Z *“ 20/3 
_ 3 1
- 17
3 t 63J t 2
3 - 2 
33,£
_ 5 - 8 /3
3
5
3x2^
LA DERIVADA
d * A
I------------constante
Ejemplos:
1. ^■(3x2) = 3.2x2 ~ 1 = 6 x 
2- ¿ ( K ° ) = | - W x ‘ " - ‘ = 4 * ’
4- = - ¿ r
5- i ( * ) - í í ( y ' I )= í< -ij> - 1 - 1 ) = í ( - y '2) - ^
6 J L Í L \ - _ l j L f r 3 / 2 i - - i . -3 . - 3 / 2 - 1 _ 3 * -5 /2 _ 3
dtl W ? / 4dt 4 2 r “ 8 * --^572
7. Si: y = ! + 2 + 3 H a l l a r ^
* x 2 x 3 ’ d x
Solución: Antes de derivar, expresar cada término como potencia:
y = x _ 1 + 2 x “ 2 + 3 x “ 3
=> cHc = ~x~2 + 2 (-2 x -3 ) + 3 (~3x- 4 )
 L
x 2 X 3 X4 •
8. Si: y = -|--|x + x2 -0 .6 x 4
=> |£ = 0 -| { l)+ 2 x -0 .6 (4 x 3)
-§ + 2 x -2 .4 x 3
Moisés Lázaro C.
9. Si: y = atm +btm + n - 3 f 2 / 3 +
a2 + b2
^ = amtm- 1 + b(m + n) tm + n~1 - 2 r 1/3 + 6a tb
A continuación se dan cuatro fórmulas de derivación, que a veces, el principiante se 
equivoca y aplica una fórmula por otra y en consecuencia el resultado es adverso en el 
proceso de aprendizaje. Para ello describiré en conjunto estas cuatro fórmulas que son 
completamente diferentes ya que la regla de derivación es aplicada a cuatro funciones, 
también, completamente diferente.
Dichas funciones son:
- La función POTENCIA COMPUESTA
- La fundón EXPONENCIAL
- La fundón EXPONENCIAL SIMPLE
- La fundón EXPONENCIAL COMPUESTA
y * lM x )r
y = a/,(x)
Ej.: y = (3x2 - 1)5
y = eMx) Ej.: y = e -x2 +2
y = IM*)]U{X) , Ej.: y ^ l - x 2) ^ 1
Cuando se desea derivar cada uno de las funciones mencionadas, tiene su propio 
Algoritmo (su propia regla o fórmula de derivación). Dichas fórmulas de derivación 
son la 4, 5, 6 , y 7, respectivamente.
u = u(x)
£ ( u " ) = n-u,n - 1 u' donde
u = dudx
■ La derivada con respecto a x, de la función POTENCIA, es igual a “bajar 
la potencia, restar la potencia una unidad y derivar la base” .
Ejemplos:
1. Si: y = /(x ), donde y = (3 + 2x= [sD-r^r2 x3
^ = 3 -(3 + 2x2 ) 3 " 1 (3 + 2xz ) 
= 3 (3 + 2 x )2 (0 + 4x)
= 12x(3 + 2 x ) 2
2\>
2. Si: y = (2b + 3af )2
^ = 2(2b + 3 a t f - 1 (2b + 3at)' 
- 2(2b + 3at) (0 + 3a(l)) 
= 6a(2b + 3at)
LA DERIVADA
3. Si: y = (a2 / 3 - x 2/ 3 ) 2/ 3
=> ^ = | (a2 / 3 _ x 2 /3 )2/ 3 - l (a2 / 3 _ x 2 /3 r
( O - f x 2/3” 1)
- ^ n / o ^ - x ^ 3
í ax + b \ ^4. Si: y = ( q̂ -~ 1 , a, b, c son constantes.
« 3 ( = ± * ) 2 (l<ax + f>)') 
- 3 ( ^ ) 2 (l(a + °))
_ 3a ̂ ax + b j 2
5. Si: y = /̂o + hx3 = (a + bx3 ) 1 / 3
-=> ^ ^ j i a + bx3 )1/3 - 1 (ct + bx3 y 
= { ( a + bx3 r 2 / 3 (0 + 3bx2)
6x2 
3V (0 + bx3 ) 2
6 . Si: / (x ) = --------- 5- Antes de derivar, expresar/(x) como potencia:
6 ( 1 - 3cosx) ^
/ (x ) = —̂ ( l -3 c o s x ) - 2 
=c> ■̂ • = —l [ - 2 ( l - 3 c o s x )- 3 ( l -3 c o s x ) ']
= l ( l - 3 c o s x )- 3 (0 -3 (-s e n x ))
= senx 
( l - 3 c o s x ) 3
Moisés Lázaro C.
7. Si: y = — Ln2x
dy _ i 
d x 4
[2Lnx][Lnx]' = i [ 2 L n x ] [ i ] = ¿ L n x
8 . Sea: y = — h;— 1i —, hallar • Antes de derivar, convertir a potencia:
>sx ’ d x 1
1 O 1y = -^cos x -(co s x )
=> -j- = 3- [-3cos~ 4 x] [cosx]' + l[cosx ] ~ 2 [cosxr
= -cos 4 x [-senx]+ cos ¿ x[-senx]-2
sen x sen x sen xs e n x
r 1 i 1
sen x
o
1 - eos x
2 2 — 2 2 ,eos x eos x eos x eos x
9. Sea: y = >/sen2 x + — . Antes de derivar, expresar como potencia:
eos3 X
y = sen2/ 3 x + eos 3 x 
= -|sen2/ 3 - 1 x (sen x )'-3 cos - 4 x(cosx)'
= |-sen ! / 3 x (cosx )-3 cos 4 x í-sen x ) = —̂ =
3 3 sen x
2 eos x 3 sen x "I á
10. Sea: y = , hallar ^ . Antes de derivar, expresar como potencia.
V = 1 1 + [ 1 + X1 / 3 ] 1 / 3 ]1 / 3
=> ■^ = ¿ [ l + [l + x 1 / 3 ] 1 / 3 ) 1 / 3 “ 1 [ 1 + tl + x 1/3 ]173]'
= j [ i + [ i + x 1/3 ] 1/3 r 2/3 [ o + ¿ t i + x 1/3 r 2/3 [ i x - 2/ 3 ] 
1 1
con x & 0 , x ^ - 1 , x * - 8
LA DERIVADA
Si: y
d y
d x
_dy
d x
Si: y
d y
d x
= ^ L n 3 (x + V x 2 +a2 )
= -y [ 3 • Ln2(x + Vx2 + a2 ) ] Ln( x + Vx2 + a2 )
(x+y[ ^ 7 7 j
1 + -
->/x
(>/*
^/x2 + a2 ( x + yjx2 + a2 ) 
1
V-'
= = L n 2 {x + y[. 2 2 x + a
= ^arctg x - (are senx )3
= -^(arctgx) ly/2 (arctgx)'-3 (aresenx)2 (aresenx)'
= (arctg) - 1/2
1 + x 
1
- 3 (aresenx)
1 4- X
3 (a re se n x
2 ( 1 + x 2 ) y]a r c t g x y j l - x 2
Moisés Lázaro C.
13. Si: y = — 15 10
4 ( x - 3 )4 3 { x - 3 )3 2 (x - 3 ) 2
Como: y = - ^ ( x - 3 ) ~ 4 - ^ ( x - 3 ) " 3 - | ( x - 3 ) “ 2
=> ¿ = - f [ - 4 ( x - 3 ) - 5 ] - f [ - 3 ( x - 3 ) - 4 ] - l [ - 2 ( x - 2 ) - 3 ]
- 15 _1ÍL x + 4 x - 6
( x - 3 ) 5 ( x - 3 ) 4 ( x - 3 ) 3 ( x - 3 ) 5
14. Si: y = log3 x 2 -^ L n 5 (2 x - l ) + -|log2 ( l - x 2 )
^ = 31og2x2[logx2] '- Í 5 L n 4(2 x -l)[L n (2 x -l)] '+ | 2 1 o g (l-x 2 )[log (l-x 2)]'
2 „2= 31og x (X2 )' loge -ÍL n 4 (2 x - l ) ( 2 x - l ) ' 2x -1 + 31og(l-x' 
2 \
1 - x 2
loge
= 31og2 x2 ^ floge -±Ln 4 (2x-l)|^ 2 ^rx] + 31og (l-x -2 x
1 - x 2
loge
_ 6̂ loge • log2 x 2 - _ § _ L n 4 (2x - 1 ) log(l - x2)
Mensaje: Trate de hacer lo propio en cada derivada similar que se
presenta.
£ ( a u) = au -u '-Lna a>° J u=udix)
a^l 1 u' - dx
-tiene 3 tiempos “LA derivada de una exponencial; es igual a la misma 
exponencial, por la derivada del exponente, por el logaritmo natural de la base”
Ejemplos:
1. Si: y = 2X - 2"x + 32x - 2(1 - 5" x )5
dy
dx = 2X (x ) 'L n 2 -2 “x (-x ) 'L n 2 + 32 x (2 x ) 'L n 3 - 2 [ 5 ( l - 5 “x )5 “ 1 ( l - 5 - JC)']
= 2XLn2-2~x ( -1 )Ln2 + 32 x (2 )L n 3 -2 [ 5 ( l - 5 _ x ) 4 (0 -5 ~ x (|c)'Ln5)] 
= 2X Ln2 + 2_xLn2 + (2Ln3) 32x - 10L n 5 (l-5 _x ) 4 5_x