Física - Pamer

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ÍNDICE GENERAL
Vectores unitarios .............................................................................. 1
Cinemática I ........................................................................................ 5
Cinemática II ........................................................................................ 7
Cinemática III ........................................................................................ 9
Cinemática IV........................................................................................ 15
MCU ........................................................................................................ 17
MCUV ..................................................................................................... 19
Estática I .............................................................................................. 23
Estática II .............................................................................................. 25
Dinámica .............................................................................................. 27
Rozamiento........................................................................................... 31
Trabajo ................................................................................................. 33
Energía ................................................................................................. 37
Impulso ................................................................................................. 41
Movimiento armónico simple ........................................................... 46
Dinámica del MAS .............................................................................. 48
Ondas mecánicas simples y Energía de una onda..................... 50
Hidrostática ........................................................................................ 55
Calorimetría ........................................................................................ 59
Teoría cinética de los gases ............................................................ 65
Termodinámica..................................................................................... 67
Electrostática I ..................................................................................... 73
Electrostática II ..................................................................................... 77
Electrostática III..................................................................................... 79
Electrodinámica .................................................................................. 83
Electromagnetismo I ......................................................................... 87
Electromagnetismo II - Inducción electromagnética ...................... 90
Óptica geométrica I ............................................................................. 94
Óptica geométrica II ............................................................................. 98
Ondas electromagnéticas .................................................................... 102
1UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 1
VECTORES UNITARIOS
FÍSICA
VECTORES CARTESIANOS
I. SISTEMAS DE COORDENADAS A DERE-
CHAS
Un sistema de coordenadas a derechas se utiliza para
desarrollar la teoría que se sigue en el algebra vectorial.
Un sistema de coordenadas es a derechas cuando
colocando el pulgar dirigido en la dirección del eje z
positivo los demás dedos de la mano derecha se cierran
del eje x positivo al eje y positivo, Fig. 1.
Además, según esta regla, el eje z en la Fig. 2 se dirige
hacia fuera, perpendicular a la página.
x
y
z
Fig 1
II. COMPONENTES RECTANGULARES DE
UN VECTOR
Un vector puede tener uno, dos, o tres componentes
rectangulares, dependiendo de cómo se orienta el
vector relativo al sistema de ejes coordenados x, y,
y z.
Por ejemplo:
– Si A

 se dirige a lo largo del eje de x, Fig. 2a,
entonces
xA A
 
 ,
– Si A

 se encuentra en el plano x-y, entonces las
dos componentes xA

 y yA

, serán determinadas
usando la ley del paralelogramo, Fig. 2b, donde
x yA A A 
  
– Si A

 se dirige dentro de un octante en el marco
de x, y, y z, Fig. 2c, A

 es representado por la
suma de sus tres componentes rectangulares,
x y zA A A A  
   
……………..……………………… (1)
III. VECTORES UNITARIOS
Un vector unitario es un
vector libre cuyo módulo es la
unidad. Si A

 es un vector cuyo
módulo A 0 , entonces un
vector unitario teniendo la
misma dirección del A

 es
representado por:
A
Au
A


 ......................... (2)
DESARROLLO DEL TEMA
2UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
VECTORES UNITARIOS
TEMA 1
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Reescribiendo esta expresión tenemos
AA A u 
 
 ....................... (3)
Donde el vector A

 es una magnitud vectorial
cualquiera, por ejemplo: un vector fuerza. Todo vector
posee pues un módulo, representado por la cantidad
escalar A y una dirección determinada por el vector
adimensional Au

, Fig. 3.
III. VECTORES UNITARIOS RECTANGU-
LARES
La manera de simplificar las operaciones en el algebra
vectorial, se hace uso de los vectores unitarios
rectangulares (versores rectangulares) ˆˆ ˆi, j y k , los
cuales serán usados para definir las direcciones positivas
de los ejes x, y y z.
z
x
yi
k
j
Fig 4
Haciendo uso de la ecuación (3), las componentes del
A

 en la Fig. 2 se pueden expresar en función de los
Vectores Unitarios Rectangulares.
Por ejemplo:
Si A

 esta dirigido a lo largo del eje x positivo se
expresara como sigue
x
ˆA A i

Si A

 se encuentra en el plano x - y se expresara como
sigue
x y
ˆ ˆA A i A j 

Si A

 se dirige dentro de un octante del marco x, y y
z, se expresara como sigue
x y z
ˆˆ ˆA A i A j A k  

……………… (4)
También es posible representarlo así:
x y zA (A ,A ,A )

IV. MAGNITUD DE UN VECTOR CARTE-
SIANO
Siempre es posible obtener la magnitud de un vector
cuando esta expresado en términos de sus
componentes rectangulares.
Por ejemplo:
Si: x y x yˆ ˆA A i A j (A ,A )  

Su módulo será: 2 2x yA A A 
Si: x y z x y zˆˆ ˆA A i A j A k (A , A , A )   

Su módulo será: 2 2 2x y zA A A A  
A los ángulos que forman el vector con cada uno de
los ejes rectángulares se les denomina ángulos
directores, y a los cosenos correspondientes cosenos
directores para los cuales se cumple:
Az
Z
y
AyAx
x


A
yx zAA ACos Cos Cos
A A A
     
2 2 2Cos Cos Cos 1     
3UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 1
VECTORES UNITARIOS
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Luego el vector se puede expresar como:


x y z x y zA A i A j A k (A ;A ; A )
A A(Cos i Cos j Cos k)
    
     
 
 


V. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El producto escalar (punto) de dos vectores a

 y b

(no nulos) se define por:
b
a

a.b | a | b | Cos 
   
 (Escalar)
Propiedades del producto escalar.
1. a . b b .a
   
2.    a . b b . a     
3. a. (b c) a.b a.c  
      
4. 2 2 2 2x y za. a | a | a a a    
  
5. Si: a b: a.b 0 
   
Expresión en componentes rectangulares:
1.    ˆi.i j. j k .k 1; i . j i .k j .k 0            
2. 

x y z
x x y y z z
x y z
a a i a j a k
a .b a b a b a b
b b i b j b k
      
   
 
 
  

VI. PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
Para dos vectores A y B
 
 (no nulos) su producto
vectorial (aspa) es otro vector N A B 
  
 con las
siguientes características:
1. Módulo: | N | | A B | | A || B | Sen   
    
2. Direccción: Perpendicular al plano definido por
A y B
 
3. Sentido: Determinado por la regla de la mano
derecha.
(a) El producto vectorial entre dos vectores es un
vector perpendicular a ambos vectores en la dirección
dada por la regla de la mano derecha (b). Si se cambia
el orden de los vectores en el producto vectorial, se
invierte el sentido del vector.
A
A x B
Sentido 
Positivo
 de A a B

B
(a)
A
B
B x A A x B= –
(b)

Propiedadesdel producto vectorial:
1. A B –B A  
   
2.  A B C A B A C     
      
3. A B (A B)    
   
4. Si: A // B : A B 0 
   
Expresión en componentes rectangulares:
1.   
  
  
i i j j k k 0
i j k j k i k i j
ˆj i –k k j –i i k –j
     
     
     
  
     
    
2.  
  
x y z x y z
y z z y z x x z x y y x
A A i A j A k B B i B j B k
A B i A B – A B j(A B – A B ) k(A B –A B )
     
   
    
   
4UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
VECTORES UNITARIOS
TEMA 1
Exigimos más!
Problema 1
Dado los vectores A

 y B

 tales que:
A B i j  
  
 y A B 2i j  
  
Hallar 2 2A B
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
Resolución:
Como:
A B i j
A B 2 i j
   
   
   
   
32A 3i A i y
2
1B i j
2
  
  
   
  
piden: A2 – B2
 
2
2 2
22 2 3 1A B 1
2 2
 
                
 
9 1 1
4 4
  
Respuesta: A) 1
Problema 2
Determine el módulo del vector
resultante si:
A 8 i 5 j
B 4 i 6 j
C 9 2 j
 
  
  
  
  
  
A) 13 B) 21
C) 26 D) 29
E) 30
Resolución:
Se sabe
R A B C
(8i 5 j) ( 4 6 j) ( 9i 2j)
R ( 5i 1j) ( 5;1)
  
       
    
  
     
  
2 2|R | ( 5) (1) 26    

Respuesta: C) 26
Problema 3
Determine el vactor resultante del
sistema de fuerzas mostrado.
1 3F 5 i F 6 i 
   
 2F 4 i 
 
A) 5 i

B) 6 i

C) 7 i

D) 8 i

E) 9 i

Resolución:
Sabemos:
1 2 3R F F F
(5 i) ( 4 i) (6i)
7i
  
   

   
  

Respuesta: C) 7 i

problemas resueltos
5UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 2
CINEMÁTICA I
FÍSICA
I. CONCEPTO
Podemos decir que la CINEMÁTICA, es parte de la
mecánica que estudia el movimiento mecánico de
los cuerpos, sin considerar las causas que lo originan o
la modifican, es decir estudia las características geo-
métricas del movimiento mecánico.
• ¿Qué es el movimiento mecánico?
Es el cambio continuo de posición de un cuerpo
con respecto a otro.
Por ejemplo observemos el movimiento del balón
mostrado en la figura, este realiza movimiento me-
cánico, por que cambia de posición respecto al
jugador "A".
• ¿Por qué decimos que el movimiento mecáni-
co es relativo?
Porque depende del observador o cuerpo de refe-
rencia. Por ejemplo en el gráfico vemos que para
el observador "A" el foco realiza movimiento me-
cánico pero para el observador "B" no, porque no
cambia de posición respecto a él.
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
(A)
(B)
V
foco
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
(A)
(B)
V
foco
El foco
cambia de
posición
El foco no
cambia de
posición
II. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁ-
NICO
El movimiento mecánico posee los siguientes elementos:
A. Vector posición ( r )
Nos indica la posición del móvil en un instante de
tiempo.
• Ar : Vector posición en (A).
• Br : Vector posición en (B).
B. Vector desplazamiento (r)
Es aquel vector que nos indica el cambio de posi-
ción del móvil.
B Ar r r
UnidadS.I.(metros :m)
  
C. Espacio (e)
Es la longitud de la trayectoria entre 2 puntos cual-
quiera. Esun escalar que se expresa en cualquier
unidad de longitud.
D. Distancia (D)
Es la longitud o módulo del vector desplazamiento.
d | r | 

DESARROLLO DEL TEMA
6UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
CINEMÁTICA I
TEMA 2
Exigimos más!
III. MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO
Velocidad ( V )
Es una magnitud física vectorial que nos expresa me-
diante su valor la rapidez con que un cuerpo cambia
de posición y además nos indica en qué dirección se
mueve el cuerpo.
Además la velocidad se puede medir en un intervalo
de tiempo (velocidad media) o en un instante
(velocidad instantánea).
Velocidad media ( MV )
Se define:
B A
M
r r rV UnidadS.I.m/s
t t
  
 
El módulo de la velocidad media se calcula:
M
dd | r | V UnidadS.I.m/s
t
  

d: distancia (metros: m)
t: tiempo (segundos: s)
También se define la rapidez media (m) como:
e UnidadS.I.m/s
t
 
e : espacio (metros: m)
t : tiempo (segundos: s)
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
(M RU)
Es aquel movimiento rectilíneo en el que el móvil reco-
rre distancias iguales en tiempos iguales, es decir su
velocidad permanece constante.
 
Se cumple: d vt
donde: d: distancia (m – km)
v: velocidad (módulo) (m/s – km/h)
t: tiempo (s – h)
• Tiempo de encuentro (te)
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
teVA VB
d
A B
dte Unidad(s)
V V


• Tiempo de alcance (ta)
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
ta
VA Va
d
A B
dta Unidad(s)
V V


7UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 3
CINEMÁTICA II
FÍSICA
I. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFOR-
MEMENTE VARIADO (MRUV)
Es aquel movimiento rectilíneo con aceleración cons-
tante, es decir el móvil varía su velocidad en la misma
proporción en intervalos de tiempos iguales. Por ejem-
plo, si un cuerpo acelera con 3 m/s2, decimos que
cada segundo su velocidad varía en 3 m/s.
 a = 3m/s2
A. Elementos del MRUV
• v0 : Velocidad inicial (m/s)
• vF : Velocidad final (m/s)
• a : aceleración (m/s2)
• t : tiempo (s)
• d : distancia (m)
B. Ecuaciones
2
0
0 F
F 0
2 2
F 0
11. d v t at
2
v v Cada cantidad viene con su2. d t
2 respectivo signo el cual depende
3. v v at del sentido tomado como positivo
4. v v 2ad
  

      

  

  
C. Desplazamiento en el enésimo segundo (dn)
n 0
1d v a(2n 1)
2
  
• n : enésimo segundo
• a : aceleración (m/s2)
• v0: velocidad inicial (m/s)
II. MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE
Es aquel movimiento con aceleración constante de tra-
yectoria vertical, donde la única fuerza que actúa es la
fuerza de la gravedad (Es decir no se considera la
resistencia del aire)
• Elementos y Ecuaciones del MVCL
v0
vF
t
g
(A)
(B)
h
 1. h = v0t 
1
2 gt
2 2. h = 0 Fv v t
2
 
 
 
 3. vF = v0  gt 4. vF
2 = v0
2  2gh
Donde:
• v0 : Velocidad inicial (m/s)
• vF : Velocidad final (m/s)
• g : aceleración de la gravedad (m/s2)
• h : altura (m)
• t : tiempo (s)
 Análisis del MVCL
(A)
v0
(B)
vM
vN NM
P
g HMAX
DESARROLLO DEL TEMA
8UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
CINEMÁTICA II
TEMA 3
Exigimos más!
• Se cumple:
i) tSUB = tBAJ = g
v 0
tVUELO = tSUB + tBAJ = g
v2 0
ii) H MAX = g2
v 20
iii) vA = vB y vM = vN
(A alturas iguales rapideces iguales)
iv)  NMBA vv y vv 
(A alturas iguales las velocidades no son iguales)
v) vp = 0m/s (En el punto más alto la rapidez es nula)
 Los números de Galileo
Considerando g = 10 m/s2, se cumple:
1s
 v0=0 m/s
g=10m/s2
10
s
m
1s
20
s
m
1s
30
s
m
1s
40
s
m
5m
15m
25m
35m
9UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 4
CINEMÁTICA III
FÍSICA
GRÁFICAS DEL MRU - MRUV
I. GRÁFICAS EN CINEMÁTICA
En el estudio de las magnitudes cinemáticas es co-
mún encontrar una relación entre dos o más magni-
tudes, de tal manera que si aumenta el valor de una
de ellas, entonces cambia el valor de la otra (aumen-
tando o disminuyendo); por lo tanto se afirma que
entre ellas existe una proporción (directa o inversa)
a una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc, en ge-
neral se dice que una de ellas está en función de la
otra.
Cuando una magnitud es función de otra, entonces
se puede construir una gráfica que relacione a dichas
magnitudes y para ello se emplean los ejes rectangu-
lares x – y, cinemática encontramos que la veloci-
dad, la aceleración y la posición de móviles se pue-
den expresar en función del tiempoy por lo tanto se
pueden construir los gráficos correspondientes.
Importantes
A. Proposición Directa
y
xO
Magnitud
Dependiente

x
Magnitud
Independiente
y k(Cons tan te)
x
y kx
k Tg (pendiente)

 
 
B. Variación Lineal
y
xO x
V0
0y kx y 
C. Cariación Cuadrática
y
xO x
y Semiparábola
 
2
2
y k(Constante)
x
y kx

 
II. EN EL MRUV
A. Gráfica V - t
En este caso la gráfica es una línea horizontalpara-
lela al eje del tiempo, esta se debe a que la veloci-
dad es constante y no depende del tiempo trans-
currido.
V
tO t
V
DESARROLLO DEL TEMA
10UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
CINEMÁTICA III
TEMA 4
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Propiedad:
d Área
Observación:
(a) Primer cuadrante  área (+)
 Desplazamiento hacia la derecha
(b) Cuarto cuadrante  área (–)
 Desplazamiento hacia la izquierda
Nota 1.
Así por ejemplo
V
t
O
k
d(+)
 
d
V
Movimiento hacia
la derecha (d = 0)
V
k
O
d(–)
t
 
d
Movimiento hacia
la izquierda (d = 0)
V
Propiedades
1. El área comprendida entre la recta representati-
va y el eje temporal nos da la distancia recorrida.
d = Área
2. La sumatoria algebráica de las áreas considerando
signos positivos para los ubicados encima del eje
positivo y signo negativo para los ubicados por
debajo, nos da el desplazamiento efectuado.
debajoarriba
del eje 1 del eje 1d S – S  
Otro ejemplo:
yx1
O
x2
t1
t2
t
V
+V1
O
–V2
t1 t2
t
V2
x2
V1
O x1
2. Gráfica x – t
En este caso la gráfica es una línea recta inclina-
da la cual no necesariamente pasa por el origen
de coordenadas, esto se debe a que el móvil va
cambiando de posición durante el transcurso del
tiempo.
x
t
x
x0

0
t
Propiedad.
V Tg 
11UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 4
CINEMÁTICA III
Exigimos más!
Importante:
(a) Desplazamiento hacia la derecha.
x
x0

0
t
V
0 x0
x
 V tg (positivo)  
(b) Desplazamiento hacia la izquierda.
x0
0
t

V
0 x0
x
. . .
V Tgx Tg (negativo)   
(c) Cuerpo en reposo.
 
x
x0
O
t
t
V 0 
 Ejemplo:
Se presenta un móvil con MRU represente
sus gráficos. V – t y x – t.
V
5s
5 m 25m 45m0m
V V
5s
20m 20m
Solución:
Hallando la velocidad:
d 20V 4m/s
t 5
  
Construyendo las gráficas tenemos.
V(m/s)
1
2
3
4
5
6
7
5 10
t(s)
0
x(m)
10
20
30
40
50
5 10
t(s)
0
1. Gráfica a – t
En este caso la gráfica es una línea horizon-
tal paralela al eje del tiempo, esto se debe a
que la aceleración es constante y no de-
pende del tiempo transcurrido.
a
0 t
t
a
Propiedad:
t 1V V – V área  
2. Gráfica V – t
En este caso la gráfica es una línea recta
inclinada cuya pendiente puede ser positiva
o negativa, esto se debe a que la velocidad
del móvil va cambiando continuamente ya
sea aumenta o disminuyendo asó como
tambien cambiando su dirección.
12UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
CINEMÁTICA III
TEMA 4
Exigimos más!
V
0 t
t
Vt
Vi

Propiedad:
a Tg d área  
Observaciones:
Si el móvil parte del reposo la gráfica es:
V
t
V1
t0
Si el móvil desacelera la gráfica es:
V
V1
0
a = Tg

t

t
Peso:
Tg Tg a Tg     
3. Gráfica x – t.
En este caso la gráfica es un arco de pará-
bola cuyo eje es vertical paralelo al eje de
coordenadas (x), si el móvil parte del repo-
so la gráfica es una semiparábola, cumplién-
dose que en cada punto de la gráfica la pen-
diente nos da la velocidad instantánea del
móvil.
 
x
x0
O
t
t
x Arco de 
parábola

Propiedad:
V Tg 
Para recordar:
(a) Área debajo de la gráfica (MRU).
 
10
20
30
40
50
60
1 2 3 4 5 6
t(s)
V(m/s)
Área
Área = (6 – 2)(40) = 160
 d = 160 m
(b) Área debajo de la gráfica (MRUV).
5
10
15
20
25
30
2 4 6 8 10
t(s)
a(m/s )2
Área
Área = (8 – 2)(25) = 150
 d = 150 m/s
0
Para recordar:
(a) Área de triángulo
b
b
b.hÁrea
2

13UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 4
CINEMÁTICA III
Exigimos más!
Problema 1
Una partícula se muestra a lo largo del
eje x de acuerdo a la gráfica posición
(x) - tiempo (t).
Hállese su velocidad media entre. t1 = 5s
y t2 = 15s.
20
10
8
–10
5
15 t
25(s)
x(m)
O
A) 3 m/s
B) – 1,5 m/s
C) –3 m/s
D) 2 m/s
E) 1,5 m/s
Resolución:
Recordemos que la velocidad media se
determina por:
2 1
m
2 1
x – xxV
t t – t
 

De la gráfica: 1 1t 5s x 20m   y
2 2t 15s x 10m   .
m m
(–10) – (20) mV V –3
(15) – (5) s
   
Respuesta: C) –3 m/s
Problema 2
Dos móviles A y B recorren la misma
recta, variándo sus velocidades según
indica la gráfica v-t. Si en el instante
en que sus velocidades se igualan, el
desplazamiento de A es el triple del
desplazamiento de B, obtener la ace-
leración de B (en m/s2).
V(m/s)
10
10
B
A
O
t(s)
A) 2
B) 4
C) 0,2
D) 0,4
E) 5
Resolución:
Recordemos que en la gráfica v-t el
desplazamiento (distancia) está indica-
da por el área que encierran la gráfica
con el eje de los tiempos.
Las velocidades se igualan cuando las
gráficas se cortan, luego hallando el
instante cuando se igualan.
V
10
10
B
A
O
t
A2A
t
10(t – 10)A
2
 ..........(1)
10t3A
2
 .................(2)
(1) en (2):
103 (t – 10)
2
10 t
2
t 15s 
Luego la aceleración de B:
10a a 2
t – 10
  
Respuesta: A) 2
Problema 3
Un móvil de mueve a lo largo del eje
x, y su velocidad varía con el tiempo
de acuerdo a la gráfica que se mues-
tra. Señale la veracidad (V) o falsedad
(F) de las siguientes proposiciones.
( ) El desplazamiento durante los pri-
meros 15 es –750m.
( ) La velocidad media durante los pri-
meros 10 s es 25 m/s.
( ) La longitud total recorrida duran-
te los 15 s es 1250 m
50
0
–100
5 15t(s)
A) VVV
B) FFF
C) VFV
D) FFV
E) VFF
problemas resueltos
14UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
CINEMÁTICA III
TEMA 4
Exigimos más!
Resolución:
50
0
–100
5 15
V
A2 A3
10 t
A1
(V) Desplazamiento ( x)
1 2 3 1 2 3x A – A – A A – (A A )
x 50(5) – 100(10)
x –750m
   
 
 
(F) velocidad media (0; 10 s):
1 2
m
A – A 5(50) – 5(100)V
10 10
 
Vm = –25 m/s
(V) Longitud recorrida:
   1 1 2 3L A A A L 50 (5) 100 (10)     
 L 1250m
VFV
Respuesta: C) VFV
15UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 5
CINEMÁTICA IV
FÍSICA
I. MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAI-
DA LIBRE (MPCL)
A. Concepto
Es aquel movimiento con aceleración constante,
cuya trayectoria es una línea curva denominada
parábola. También podemos decir que este es un
movimiento compuesto porque está formado por:
Eje x: MRU 
si : g // ejeY
Eje y: MVCL




B. Elementos
Donde:
• q: ángulo de elevación
• L: alcance horizontal
• tv: tiempo de vuelo
• HMax: altura máxima
Análisis del movimiento
 H MAX
(A)
V0y
Vx
V
Vy V
Vx
V =VP x
Vx
Vy V g
V0y
Vx
V
y
x
Se cumple:
1.
V : permanece constante
V : varía debido a la aceleración de
 la gravedad
x
y
2. oyv SUB BAJ
2V
t t t
g
  
3.
2
oy
MAX
V
H
2g

4. 2 2x yV V V 
5. VM = VN (a alturas iguales rapideces iguales).
6. VP = Vx (no es cero).
C. Fórmulas del MPCL
Para resolver un problema de MPCL, no hay fórmu-
las, se utilizan las ya conocidas del MRU (en el eje x)
y las del MVCL (en el eje y), teniendo en cuenta
que el tiempo es común en ambos ejes.
Eje x: x = Vx . t
Eje y: 20
1y V t gt
2
 
0 F(V V )ty
2


F 0V V gt 
2 2
F 0V V 2gy 
D. Propiedades
1. 
MAX4HTan
L

2. 
 90    
DESARROLLO DEL TEMA
16UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
CINEMÁTICA IV
TEMA 5
Exigimos más!
3. Alcance horizontal máximo: (LMAX):
2
MAX
VL cuando 45
2g
   
4. 
h hTan
a b
  
Problema 1
El gráfico muestra la velocidad versus
la posición x de una partícula que parte
del origen de coordenadas en el
instante t = 0 s con una aceleración
constante. Dadas las s iguientes
proposiciones:
I. La aceleración de la partícula es de
8 m/s2.
II. La partícula pasa por x = 4,0 m en
el instante t = 1,0 s.
III. La velocidad de la partícula en el
instante t = 5,0 s es de 20,0 m/s.
Señale la alternativa que presenta la
secuencia correcta después de
determinar s i la propos ición es
verdadera (V) o falsa (F).
UNI 2009 - II
A) FFF B) FFV
C) VFV D) FVF
E) VVV
Resolución:
Del gráfico:
2 2
fV Vo 2ad   36 = 4 + 2a(4)
 a = 4 m/s2
Ecuación posición x = xo + Vot + 
1
2 at
2
 
 x = 2t + 2t2  V = 2 + 4t
I. Falso a = 4m/s2
II. Verdadero para t = 1s; x = 4m
III. Falso en t = 5s; V = 22m/s
Respuesta: D) FVF
Problema 2
Uncuerpo es soltado desde una altura
de 180 m. Hallar la rapidez final cuando
este llega al suelo. (g = 10 m/s2)
180mt g
Vi=O
A) 50 m/s B) 20 m/s
C) 60 m/s D) 30 m/s
E) 10 m/s
Resolución:
Aplicamos: 2i
1h V t gt
2
 
21180 (0)t (10)t
2
t 6 s
  

Ahora: usamos  VF = Vi + g
t
VF = 0 + (10)(6)
VF = 60 m/s
Respuesta: C) 60 m/s
Problema 3
Un proyectil es lanzado verticalmente
hacia arriba con una rapidez de 20 m/s,
si el proyectil choca contra el techo con
una rapidez de 10 m/s, calcular a que
altura está el techo. (g = 10 m/s2)
A) 20 m B) 10 m
C) 5 m D) 15 m
E) 30 m
Resolución:
Aplicaciones  2 2F iV V 2gh 
Reemplazando valores:
 (10)2 =(20)2 – 2(10)H
 H = 15 m
Respuesta: D) 15 m
problemas resueltos
17UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 6
MCU
FÍSICA
I. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
(M.C.U.)
En este movimiento el móvil recorre una circunferen-
cia a un arco de cincunferencia con una rapidez cons-
tante. En este movimiento se tiene los siguientes ele-
mentos:
A. Desplazamiento angular ()
Ángulo que barre el radio cuando el móvil pasa de
una posición a otra, se expresa en radian.
B. Desplazamiento lineal (S)
Arco recorrido por el móvil al pasar de una posición
a otra, se expresa en metro. Se cumple la rela-
ción:
S AB R  
C. Velocidad Tangencial (V)

Determina la rapidez con la cual el móvil recorre su
trayectoria:
ArcoRecorrido
V
Unidad de tiempo


 unidad: m/s; km/h; ....
 
D. Velocidad angular ( )

Determina la rapidez con la cual varía la posición
angular. Se representa por un vector perpendicu-
lar al plano de la trayectoria cuyo sentido se deter-
mina por la regla de la mano derecha.
Ángulo barrido
Unidad de tiempo


 Unidad rad/s
R V V WR  

E. Aceleración centrípeta c(a )

Determina el cambio en dirección del vector velo-
cidad. Se representa por un vector perpendicular
al vector velocidad y siempre indica hacia el centro
de la trayectoria:
c
2
2
c
a V
V
a R
R

 
 
 
* Una propiedad del MCU es la de ser un movi-
miento períodico, es decir, se repite a interva-
los regulares de tiempo. Debido a esto se tie-
nen las siguientes cantidades:
DESARROLLO DEL TEMA
18UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
MCU
TEMA 6
Exigimos más!
a. Periodo (T,P)
Tiempo mínimo al cabo del cual se repite el
movimiento
 
b. Frecuencia (f)
Rapidez con la cual se repite el movimiento.
Cumpliéndose:
T 1f
19UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 7
MCUV
FÍSICA
I. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME-
MENTE VARIADO (M.C.U.V)
A. Conceptos previos
1. Aceleración tangencial o lineal ( Ta )
Si un cuerpo se desplaza por una curva y el valor
o módulo de su velocidad tangencial cambia, en-
tonces aparece la aceleración tangencial cuya di-
rección será tangente a la circunferencia y su sen-
tido será tangente a la circunferencia y su senti-
do coincidirá con el de la velocidad tangencial si el
movimiento es acelerado y será de sentido opuesto
a ella, si el movimiento es desacelerado.
Unidades: 
2 2
m cm; ;etc
s s
a
V
R
Movimiento acelerado
a
V
R
Movimiento desacelerado
2. Aceleración angular ()
Si un cuerpo se desplaza por una curva y su
velocidad angular cambia, entonces aparece la
aceleración angular cuya d irección es
perpendicular al plano de rotación y su sentido
coincidirá con el de la velocidad angular si el
movimiento es acelerado y será de sentido
opuesto a ella si el movimiento es desacelerado.
Unidades:
2 2 2 2
rad rad rev rev; ; ; ; etc
s min s min


Movimiento acelerado


Movimiento desacelerado
DESARROLLO DEL TEMA
20UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
MCUV
TEMA 7
Exigimos más!
3. Aceleración (a)
Se denomina así a la resultante de la aceleración
tangencial con la aceleración centrípeta, tam-
bién se le denomina aceleración instantánea.
V
acp
a
Movimiento acelerado
aT
V
acp
a
Movimiento desacelerado
aT
Por el teorema de Pitágoras
2 2
T cpa a a 
B. Características del M.C.U
1. Ta = constante; Ta  constante
2.  = constante;  = constante
3. cpa  constante; cpa  constante
4. En tiempos iguales la rapidez tangencial "V"
cambia cantidades iguales.
5. En tiempos iguales la rapidez angular " " cambia
cantidades iguales.
6. En tiempos iguales recorre arcos diferentes
realiza desplazamiento angulares diferentes.
C. Fórmulas
1. Tangenciales
aT aT
V1
V1
t
RR
S
Este gráfico es de un M.C.U.V. __________.
• f 1 TV V a t  
• 2 2f 1 TV V 2a S  
• 21 T
1S V t a t
2
  
• n 1 T
1S V a (2n 1)
2
  
Sn = arco recorrido en el número de segundo
"n" (n-ésimo segundo)
Además: 1 fV VS
t 2


2. Angulares
i

R
R

f f
i
t
Este gráfico es de un M.C.U.V. _________.
• f i t    
• 2 2f i 2    
• 2i
1t t
2
    
• n i
1 (2n 1)
2
     
n : ángulo descrito en el número de segundo
"n".
Además: i f
t 2
   
3. Relación entre la aceleración tangencial
"aT" y la aceleración angular "a"
f o f i f i
T
V V R R
a R
t t t
       
     
Ta R 
D. Movimiento de rodamiento
Cuando una rueda se mueve con rozamiento por
el piso se observa que su movimiento es el
resultado de un movimiento de traslación del centro
de la rueda y un movimiento de rotación con
respecto al centro de la rueda.
21UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 7
MCUV
Exigimos más!
Resultante Traslación RotaciónV V V 
Velocidad resultante de cualquier punto de la rueda
Importante
Método práctico para determinar la velocidad re-
sultante V de un punto de la rueda:
V
V1
C.I. (Centro instantáneo)
1 ciV R  
1 ci 1V R  
1 1
V R
V R

donde:
ci : es la velocidad angular con respecto al centro
instantáneo.
En un movimiento curvilíneo:
aN
V
La aceleración normal es perpendicular a la velocidad
(V):
2
N
Va 

 : Radio de curvatura
Problema 1
Una part ícu la se mueve en una
trayectoria circular de 4 m de radio de
tal manera que cada 4 segundos su
rapidez aumenta en 20 m/s. Si la
partícula partio del reposo, calcular el
desp lazamiento angular (en rad)
después de 8 s de recorrido.
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
Resolución:
Aceleración tangencial:
2
T
va 5m/s
t
 

Luego la aceleración angular:
2T
T
a 5a R .rad/s
R 4
     
Entonces el desplazamiento angular:
   22ot t 5 8W 40rad2 4 2         
Respuesta: B) 40
Problema 2
Al encender un motor eléctrico su eje
desarrolla un MCUV. Si durante el
segundo segundo logra g irar 60
vueltas, determinese el número de
vueltas que logró durante el primer
segundo.
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
Resolución:
Usando la gráfica w- t.
w
t
2h
h
0 1 2
x = ?
60
 
h(1)x .........(1)
2

2h(2)x 60 .......(2)
2
 
problemas resueltos
22UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
MCUV
TEMA 7
Exigimos más!
(1) en (2): x + 60 = 4 . (x)
 x 20 
Respuesta: A) 20
Problema 3
Una partícula desarrolla un movimiento
circular. Si al pasar por el punto P tiene
una aceleración 2a (–4i 3j)m/s 
  
calcule su rapidez angular (en rad/s)
en el punto P.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 2
E) 3
Resolución:
Notemos que la aceleración centrípeta
tiene valor de:
2 2
ta 4m/s w R w 1rad/s   
4 m
O
y
x
P
Respuesta: A) 1
23UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 8
ESTÁTICA I
FÍSICA
I. CONCEPTO
Estudio de las fuerzas y de las condiciones del equilibrio.
II. EQUILIBRIO
Estado de un cuerpo en el cual no se modifica su estado
de reposo o movimiento.
III. FUERZA
Toda vez que dos cuerpos interactúan entre sí surge
entre ellos una magnitud, que además de valor tiene
dirección, sentido y punto de aplicación, llamada fuerza.
Es esta magnitud que hace que los cuerpos estén en
equilibrio, que cambien la dirección de su movimiento,
o que se deformen. En general asociamos la fuerza
con los efectos de: sostener, estirar, comprimir, jalar,
empujar, tensar, atraer, repeler, etc.
IV. FUERZAS ESPECIALES
A. Peso (W)
Llamamos así a la fuerza con que la Tierra atrae a
todo cuerpo que se encuentre en su cercania. Es
directamenteproporcional con la masa de los cuer-
pos y con la gravedad local. Se le representa por un
vector vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra.
 
B. Normal (N)
Se le llama también fuerza de contacto. y viene a
ser la resultante de las infinitas fuerzas electromag-
néticas que se generan entre las superficies de
dos cuerpos cuando éstos se acercan a distancias
relativamente pequeñas, predominando la fuerza
repulsiva. La linea de acción de la normal es siem-
pre perpendicular a las superficies en contacto.
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/= /=/=/=/=/=/=/=N
 
N
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
N2
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
N1
C. Tensión (T)
Esta es la fuerza electromagnética resultante que
se genera en el interior de una cuerda o un alam-
bre y que surge para oponerse a los efectos de
estiramiento por parte de fuerzas externas que ac-
túan en los extremos de aquellos. En estas fuerzas
predominan los efectos atractivos.
T
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
Ejemplos:
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
 
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=
=/=/=/=/=/=/
DESARROLLO DEL TEMA
24UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
ESTÁTICA I
TEMA 8
Exigimos más!
 
V. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO
Diremos que un cuerpo se encuentra en equilibrio de
translación cuando presenta una aceleración lineal nula
(a 0) , y esto ocurre cuando la resultante de las fuerzas
que lo afectan es cero.
x
y
F 0
R F 0
F 0
    

Observación:
En la práctica un cuerpo en equilibrio de traslación puede
encontrarse en reposo continuo (V = O), o moviéndose
con velocidad constante. Al primer estado se le llama
Equilibrio Estático, y al segundo Equilibrio Cinético.
• NO OLVIDAR QUE: Llamamos equilibrio mecánico al
estado de reposo o de movimiento rectilíneo uni-
forme que presenta un cuerpo en un determinado
marco de referencia.
• DEBES SABER QUE: Un cuerpo rígido permanece
en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas si y solo
si estas fuerzas tienen igual módulo, y están dirigidas
según la misma recta en sentidos contrarios.
Observación:
Si un cuerpo está en equilibrio y le hacemos el D.C.L.
y resulta que sólo le afectan tres fuerzas, entonces
dichas fuerzas dibujadas en secuencia formarán un
triángulo.
N
T
W N
T
W
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
=/
25UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 9
ESTÁTICA II
FÍSICA
I. MOMENTO O TORQUE DE UNA FUERZA
Momento de una fuerza
Recibe el nombre de momento de una fuerza, respecto
de un centro "O" 
F
O(M )

, una magnitud que caracteríza
la acción rotativa de la fuerza alrededor de ese punto.
Su magnitud es igual al producto, del módulo de la fuerza
F por su correspondiente longitud de brazo L.
Por ejemplo:
Observación:
1. 
2. Un mismo momento de fuerza puede ser creado por
una fuerza pequeña, cuyo brazo es grande y por
una fuerza grande cuyo brazo es pequeño.
1 1 2 2F L F L 
3. En el sistema internacional SI en calidad de unidad
de momento de fuerza debe adoptarse el momento
de la fuerza igual a 1N, cuya línea de acción esta
alejada del eje de rotación a 1 m. Esta unidad se lla-
ma newton-metro (N.m).
4. Un cuerpo capaz de girar alrededor de un punto o
eje de giro, estará en equilibrio, si la suma algebraica
de los momentos de las fuerzas aplicadas con rela-
ción a este punto se anula.
F
0
a
M 0
2 condiciónde equilibrio

5. Para que un cuerpo esté en equilibrio, es necesario
que se anule la resultante de las fuerzas aplicadas,
así como la suma de los momentos de éstas.
F
0F 0 y M 0  
No todo equilibrio del cuerpo es realizable en la prác-
tica. Sólo pueden ser obtenidos el equilibrio estable
o bien el indiferente.
 
Equilibrio
estable
Equilibrio
inestable
Equilibrio
indiferente
DESARROLLO DEL TEMA
26UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
ESTÁTICA II
TEMA 9
Exigimos más!
Problema 1
Un bloque sólido de arista 10 cm y ma-
sa 2 kg se presiona contra una pared
mediante un resorte de longitud na-
tural de 60 cm como se indica en la
figura. El coeficiente de fricción está-
tica entre el bloque y la pared es 0,8.
Calcule el valor mínimo, en N/m que
debe tener la constante elástica del re-
sorte para que el bloque se mantenga
en su lugar. (g = 9,81 m/s2)
UNI 2011 - II
10 cm
60 cm
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//
A) 49,05 B) 98,10
C) 147,15 D) 196,20
E) 245,25
Resolución:
Ubicación de incógnita
La incognita está en la fuerza elástica
en el resorte que presiona el bloque
contra la pared.
Análisis de los datos o gráficos
Hacemos el D.C.L del bloque:
/
/=
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//
//=
//=
//=
//=
//=
//=
//

mg
felast
" " es la fuerza normal
Operación del problema
Para el equilibrio:
F F    F F    
mg =  elastf  
Reemplazando una ecuación en otra y
tambien los datos:
2 x 9,81 = 0,8 x K(10–1)
Operando: K = 245, 25 N/m
Conclusión y respuesta
K = 245, 25 N/m
Respuesta: E) 245, 25
Problema 2
Para elevar el contenedor de 15 kN de
peso (ver figura) se emplea un motori-
zador cuyo cable ejerce una tensión F
de magnitud variable como se muestra
en la gráfica: Fuerza versus Tiempo. Cal-
cule en qué tiempo (en s), el contene-
dor empieza a subir. (1kN = 103 N)
F
contenedor
F(kN)
25
0 5 t(s)
//=//=//=//=//= //=//= //=//=//=
UNI 2010 - II
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Resolución:
Ubicación de incógnita
Tiempo: t
Análisis del gráfico
Peso del bloque = 15kN
Operación del problema
Para subirlo F = mg
mg
F
 
25
15
t 5
F(kN)
t(s)
25 15 t 3s
5 5
  
Respuesta: B) 3s
Problema 3
Un bloque de peso W está suspendido
de una vara de longitud L cuyos extre-
mos se posan en los soportes "1" y "2"
como se indica en la figura. Se quiere
que la reacción en el soporte "1" sea 
veces la reacción en el soporte "2". La
distancia x debe ser:
UNI 2009 - I
A)
L
1

  B)
L
2 1 
C)
L
2

  D)
L
1 
E)
2L
1 
Resolución:
Condición: 1 2R R 
Como son 3 fuerzas paralelas, tenemos:
L – x x L
1 1
 
  
Lx
1

 

Respuesta: D) L 1 
problemas resueltos
27UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 10
DINÁMICA
FÍSICA
I. INERCIA
La comparación de los resultados de la acción de una
misma fuerza sobre cuerpos diferentes conduce a la
noción de la inercia de los cuerpos. La inercia carac-
teriza la propiedad de los cuerpos materiales de cam-
biar más rápido o más lentamente la velocidad de su
movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas.
La masa del cuerpo (m) es una magnitud física escalar
que es la medida cuantitativa de la inercia del cuerpo.
En mecánica se considera que la masa es constante
para cada cuerpo dado, osea no depende de la veloci-
dad del cuerpo cuando es pequeña comparada con la
velocidad de la luz.
A. 2.a ley de Newton
Toda fuerza resultante no nula que actúa sobre un
cuerpo de masa constante le comunica una acele-
ración resultante, que tiene la misma dirección y
sentido que la fuerza resultante, siendo su valor
directamente proporcional al valor de la fuerza re-
sultante e inversamente proporcional a la masa del
cuerpo.
F4
F1
F2F3
y
x
FR
a
m
FR  F=
m
Luego: RF m a
B. Fuerza de gravedad (P)
Es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la
Tierra (planeta) sobre un cuerpo que se encuentra
en sus cercanías.
Su dirección es vertical y hacia abajo (señala hacia
el centro de la Tierra). Su punto de aplicación es
el centro de gravedad del cuerpo.
P m g
Nota: Si un cuerpo está en caída libre, la única
fuerza que actúa sobre él es su peso.
C. Aplicación de la Segunda ley de Newton
1. Movimiento rectilíneo
Para este caso la aceleración es paralela a la
trayectoria rectilínea y en éste caso se reco-
mienda descomponer las fuerzas en una com-
ponente paralela y perpendicular a la trayec-
toria rectilínea.
Luego:
 x xF ma ; y yF ma
Ejemplos:
• 

  
 
  


x x
1 2
y y
1
F ma
F Cos F ma
F ma 0
F Sen N P
DESARROLLO DEL TEMA
28UNI SEMESTRAL2013 - III FÍSICA
DINÁMICA
TEMA 10
Exigimos más!
• 
 

 


x x
y y
F ma 0
F ma
F P ma
• 

 
 

 


x x
y
F ma
mgSen ma
a gSen
F 0
N mgCos
Para sistemas de cuerpos que tienen la misma
aceleración en valor se puede aplicar:


 

(favor de a) (contrade a)F Fa
masas
Ejemplos:
•
 
 
 
2 1 2 1
1 2 1 2
P P (m m ) g
a
m m m m
•


2
1 2
m g
a
m m
2. Movimiento circular
La fuerza resultante se descompone en com-
ponentes radial (fuerza centrípeta) y tangencial
(fuerza tangencial). Las fuerzas sobre el cuerpo
también se descompone en componentes ra-
diales y tangentes.
• Eje radial (y)
 cp radiales cpF F ma
 
2
2
cp
mVF mW R
R
Donde:
   
    
   
 cp
van hacia alejan del
F F F
el centro centro
• Eje tangencial (x)
 RTangencial tangencial TF F ma
Para el M.C.U.
   T RTangenciala 0 F F Tangencial 0
 R cpF F módulo constante
Observación:
La fuerza centrípeta (Fcp) es la componente
radial de la fuerza resultante. Su papel es des-
viar continuamente el cuerpo del camino recti-
líneo que recorrería por inercia en ausencia de
la fuerza actuante. La fuerza centrípeta es la
suma de las fuerzas radiales y genera a la acele-
ración centrípeta y por lo tanto cambia la direc-
ción de la velocidad tangencial para que el cuer-
po pueda girar. La componente tangencial
(FR Tangencial) de la fuerza resultante es la suma
de las fuerzas tangenciales y produce a la ace-
leración tangencial y por lo tanto modifica el
módulo de la velocidad tangencial, es decir ace-
lera o retarda el movimiento.
29UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 10
DINÁMICA
Exigimos más!
Problema 1
En el sistema mostrado en la figura, la
polea tiene peso despreciable. Si la
fuerza de rozamiento en la superficie
horizontal es f, determine la aceleración
del bloque de masa m, en función de
F, f y m.
UNI
Nivel fácil
A)
F 2f
2m
–
B)
F 2f
2m
+
C)
2(F f)
2m
+
D)
F 2f
2m
–
E)
2F f
2m
–
Resolución
Asumiremos que la cuerda unida al
bloque se rompe D.C.L.:
La 2.da ley de Newton determinará la
relación:
F fFa 2a a
m m
–
= =
Fma f
2
= –
F 2fa
2m
–=
Respuesta: A) 
–F 2f
2m
Problema 2
Un ascensorista cuya masa es de 60
kg esta sobre una balanza en un
ascensor en movimiento, está le indica
que pesa 760 N.
Asumiendo g = 9,8 m/s2, la magnitud
y dirección de su aceleración será:
UNI
Nivel intermedio
A) la aceleración es hacia arriba.
B) la aceleración es hacia abajo.
C) la aceleración es hacia la derecha
D) la aceleración es hacia la izquierda.
E) No hay aceleración.
Resolución:
Debemos comparar el valor de la fuerza
con el de la reacción normal.
Fg = m.g
Fg = (60)(9,8) = 588 N
N = 760 N
 FN > Fg
Por la 2.da ley de Newton
FR = m.a
N – mg = m.a
760 – 588 = 60.a
a = 2,866 m/s2
La dirección es hacia arriba pues FN > Fg.
Respuesta: A) la aceleración es
hacia arriba.
Problema 3
Si RA y RB son las reacciones entre los
bloques m y M para los casos A y B
respectivamente, calcule la relación
RA/RB. No tome en cuenta el
rozamiento (M > m)
Caso A:
Caso B:
UNI
Nivel difícil
A)
M
m
B) m
M
C)
m
M
D)
2m
M
E)
m
M
problemas resueltos
30UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
DINÁMICA
TEMA 10
Exigimos más!
Resolución:
Al ser la misma fuerza y conjunto de
masas hallaremos las aceleraciones en
ambos casos, siendo estas iguales.
A:
 FR = m.a
RA = m.aA ... (1)
B:
 FR = m.a
RB = M.aB ... (2)
(1) (2)
AA
B
m aR
R
=

BM a
Por lo tanto
A
B
R m
R M
=
Respuesta: A) m/M
31UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 11
ROZAMIENTO
FÍSICA
I. ROZAMIENTO
La resistencia que se opone al resbalamiento, o a su
tendencia a resbalar, de un cuerpo sobre otro es una
fuerza tangente a la superficie de contacto, que recibe
el nombre de rozamiento. Las superficies en realidad
no son lisas por lo que la reacción de un cuerpo sobre
otro no es normal a dicha superficie de contacto.
Si se descompone la reacción (F) en dos componen-
tes, una perpendicular (N) y otra tangente a la super-
ficie de contacto, la componente tangencial (f) a di-
cha superficie se denomina fuerza de fricción o roza-
miento. En consecuencia, los diagramas del cuerpo li-
bre para problemas donde interviene el rozamiento son
los mismos que para aquellos en que intervienen su-
perficies lisas, salvo que ha de incluirse una fuerza de
rozamiento tangente a la superficie de contacto.
2 2
F f N
f N
F f N
 

 
  
 
 
Se suele hablar de dos tipos de rozamiento:
• Rozamiento estático (fs): Cuando no hay movi-
miento relativo entre los cuerpos en contacto; es
decir, cuando ninguno se mueve, o ambos se des-
plazan como si fueran uno solo, oponiéndose a cual-
quier intento de movimiento relativo.
En este caso la fuerza de rozamiento desarrollada es
exactamente suficiente para mantener el reposo relati-
vo con las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
Esto implica que la fuerza de rozamiento estático es
una fuerza regulable o variable alcanzando un valor
máximo o límite, el cual depende de la normal y de la
aspereza de la superficies en contacto. Por lo tanto
la fuerza de rozamiento estático cumple con:
 
límites s
0 f f
• Rozamiento cinético (fk): Se genera cuando
los cuerpos en contacto se encuentran en
movimiento relativo. La fuerza de rozamiento
es constante y prácticamente independiente
del valor de la velocidad o aceleración relativa.
A. Coeficiente de rozamiento
Constante experimental que permite comparar las
propiedades de rozamiento de pares distintos o
iguales de materiales en diferentes condiciones de
sus superficies en contacto, y con objeto de cal-
cular la fuerza de rozamiento máxima correspon-
diente a una fuerza normal cualquiera.
El coef ic iente de rozamiento estático de 2
superficies cualesquiera se define como la razón
del rozamiento máximo o límite a la fuerza normal
correspondiente:
  límite
s
s
RozamientoLímite (f )
Fuerzanormal(N)
Donde el rozamiento límite es el rozamiento que
existe cuando las superficies están a punto de em-
pezar a moverse la una con respecto a la otra (esta-
do de movimiento inminente).
En general, cuando las superficies en contacto se
mueven una respecto a la otra, el rozamiento dismi-
nuye. En este caso, la razón de la fuerza de rozamien-
to a la fuerza normal se define como coeficiente de
rozamiento cinético.
  kk
Rozamiento Cinético (f )
Fuerzanormal(N)
El valor del coeficiente de rozamiento tiene que
determinarse experimentalmente, y es una constante para
dos materiales cualesquiera determinados, cuando las
superficies de contacto están en una condición fijada. No
obstante, varía mucho para diferentes condiciones de las
superficies y con la naturaleza de los cuerpos en contacto.
DESARROLLO DEL TEMA
32UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
ROZAMIENTO
TEMA 11
Exigimos más!
B. Leyes de rozamiento
Los resultados de un gran número de experiencias
sobre el rozamiento en superficies secas, publicadas
por C.A. de Coulomb en 1781, proporcionaron las
primeras informaciones sobre las leyes del rozamiento,
obteniéndose las siguientes leyes:
1. La fuerza máxima de rozamiento que puede
producirse es proporcional a la fuerza normal
entre las superficies en contacto.
2. Esta fuerza máxima es independiente del
tamaño de la superficie de contacto.
3. La fuerza límite de rozamiento estático es ma-
yor que la fuerza de rozamiento cinético,
siempre que actúe la misma fuerza normal.
4. El coeficiente de rozamiento cinético es menor
que el coeficiente de rozamiento estático.
5. La fuerza de rozamiento cinético es independiente
de la velocidad relativa de los cuerpos en contacto.
Problema 1
Si F1 = 100 N y F2 = 40 N, y además mA = 7 kg
y mB = 3 kg y no existe rozamiento, halla la
reacción entre los bloques A y B.
(g = 10 m/s2).
F1 F2
A B
UNI
Nivel fácil
A) 78 N B) 12 N C) 58 N
D) 48 N E) 56 N
Resolución:
Al igual que en el caso anterior, un
análisis de las fuerzas nos permite
afirmar que el sistema acelera hacia la
derecha. Hagamosel D. C. L.:
100
NA
NB
40
70 30
a
R R
1) Para (A) 100 – R = 7a..........(1)
2) Para (B) R – 40 = 3a ..........(2)
De (1) y (2) 60 = 10a
 6m/s2 = a
  R – 40 = 3(6)
 R = 58N
Respuesta: C) 58 N
Problema 2
Un bloque pequeño de 500 g gira en
un plano horizontal , tal como se
muestra. Si la cuerda mide 20 cm y la
velocidad angular es 6 rad/s, halla la
tensión en la cuerda.
W
UNI
Nivel fácil
A) 7,8 N B) 2,6 N C) 5,8 N
D) 3,6 N E) 4,6 N
Resolución:
Hagamos un D. C. L.
T
N
mg
1) En dirección vertical:
Fy 0 , N m.g.
2) En dirección horizontal: RF m.a.
2
CT m.a m cos R 
   2 1T 0,5 6
5
   
 
T 3,6N
Respuesta: D) 3,6 N
Problema 3
Una piedra de 2 kg gira en un plano
vertical mediante una cuerda de 1 m
de longitud. Si la velocidad en la
posición mostrada es 10 m/s, halla la
tensión de la cuerda en dicha posición.
(g = 10 m/s2).
UNI
Nivel fácil
A) 148 N B) 220 N C) 108 N
D) 260 N E) 36 N
Resolución:
Hacemos un D. C. L.:
T
V
mg
 R CF m.a
 
2vT m.g. m
R
 
  
 210T – 2 10 2
1

 T 220N
Respuesta: B) 220 N
problemas resueltos
33UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 12
TRABAJO
FÍSICA
I. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE
( FW )
Sea una fuerza constante y paralela al desplazamiento,
el trabajo que esta fuerza desarrolla sobre el bloque al
desplazarlo una distancia "d" viene dado por:
 
 
FA BW = F d
Donde:
F : fuerza que realiza el trabajo (en N).
d : desplazamiento (en m).
FW : Trabajo de la fuerza "F".
El trabajo se calcula como el producto escalar de F y d .
II. UNIDAD DEL TRABAJO
La unidad del trabajo que utilizamos con mayor fre-
cuencia es el "Joule" que es el trabajo desarrollado por
una fuerza de un newton al mover su punto de apli-
cación un metro en su propia dirección, esto es:
Joule = Newton x metro; 1 J = 1 N x m
El nombre de Joule se adoptó en honor del físico inglés
James Prescott Joule (1818-1869), cervecero de profesión,
pero a quien su acomodada posición económica, permitió
hacer notables investigaciones en la física.
Al ubicar un eje de coordenadas (eje x) en la dirección
del movimiento, se puede observar como varía "F" en
relación a su posición "x" para luego graficar "F" vs "X".
En nuestro caso, F es constante y presenta el mismo valor
en cualquier posición, siendo su gráfico (F vs X) el siguiente:
Al calcular el trabajo obtenemos:
 
1 2
F
x x 2 1
desplazamiento
W = F x – x

Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos:
Área:  2 1F x – x .
¡El área bajo la gráfica "F vs X" es numéricamente igual
al trabajo!
1 2
F
x xW Área 
A. Y ¿qué sucede si la fuerza no es constante?,
¿sigue siendo el área bajo la gráfica igual al
trabajo?
Si la fuerza es de módulo variable pero de dirección
constante, entonces, el área bajo la gráfica "F vs X"
sigue siendo igual al trabajo, aunque en este caso
puede que el área no sea de una región conocida.
Los detalles de su demostración tienen que ver
con una rama de la matemática llamada cálculo
diferencial e integral, que no son motivo de nuestro
estudio.
En este caso el módulo de la fuerza toma distintos
valores para cada posición, sin embargo, el área
bajo la curva "F vs X" sigue siendo igual al trabajo.
variable
1 3
F
x xW = Área
DESARROLLO DEL TEMA
34UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
TRABAJO
TEMA 12
Exigimos más!
Para el caso de una dependencia lineal de "F" res-
pecto de "X" se puede utilizar el concepto de fuerza
media.
 1 2 2 1
media
F + F
Área = x - x
2
Área = F . d
 
 
  
 
B. Y ¿qué sucede si varía su dirección?
Respuesta: Si la fuerza es variable en dirección, el
problema es muy complejo y aún mayor si lo es
también en módulo, el análisis de este tipo de pro-
blemas requiere del ya mencionado cálculo dife-
rencial e integral para su solución. Pero no temas
tigre dentro de muy poco ingresarás a la universidad
y aprenderás a usar estas herramientas.
Sin embargo hay un caso más, el cual es muy sencillo,
se trata del trabajo que desarrolla una fuerza cons-
tante en módulo, dirección variable, pero tangente
a la trayectoria (colineal con la velocidad).
En el gráfico, F es siempre tangente a la trayectoria,
varía en dirección pero su módulo siempre es el mismo.
El trabajo que desarrolló F al trasladar su punto de
aplicación de A hacia B se halla así:
variableF
ABA BW F  
III. TRABAJO TOTAL O NETO (Wneto)
El trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo sobre el cual
actúan varias fuerzas es la sumatoria de los trabajos realizados
por cada fuerza independientemente de las demás:
NETO F F F2 31
A B A B A B A BW W W W ...      
Nótese que esta suma es escalar, los sumandos pueden
ser positivos, negativos o cero, lo mismo ocurre con el
resultado.
También se puede hallar el trabajo neto como el trabajo
de la fuerza resultante, así, si:
2 3R 1F = F + F +F +...
Nótese que es una suma vectorial, para obtener RF
hay que tener bastante cuidado con las direcciones y
los módulos de cada fuerza.
RFNETO
A B A B
NETO
A B R
W W
W F d Cos
 


 
 
• Si RF 0 (cuerpo en equilibrio) 
NETOW = 0
• Si el movimiento del bloque es uniforme (movimiento
a rapidez constante).
F V
90º
R 
 = 
 NETOW = 0
Reflexión
Cuando se trata de hallar el trabajo hay que espe-
cificar muy bien quién es el que realiza el trabajo y
sobre quién se realiza. Así por ejemplo, si un joven
empuja un cajón sobre una superficie horizontal apli-
cándole una fuerza de 10 N y desplazándolo 3 m se
puede evaluar fácilmente el trabajo que éste desarrolla
sobre el bloque 
joven
sobre el
bloqueW 30 J , sin embargo por la
tercera ley de Newton, durante el proceso, el cajón
ejerce una fuerza sobre el joven que tiene la misma
magnitud y de sentido opuesto a la que ejerce el joven,
tal es así que si hallamos el trabajo que realiza el cajón
sobre el joven sería 
joven
sobre el
bloqueW 30 J .
35UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 12
TRABAJO
Exigimos más!
FCajón FCajón
d
Joven
sobre
cajón
Cajón
sobre
joven
W = –W
FJoven = –FCajón
En general cuando un cuerpo "A" realiza un trabajo "W"
sobre un cuerpo "B"; el cuerpo "B" realiza sobre el cuerpo
"A" un trabajo "W" de signo contrario (por la fuerza de
reacción, que tiene un sentido opuesto a la de acción).
IV. POTENCIA
La definición de trabajo no mencionó el tiempo em-
pleado, por ejemplo, si se quiere desplazar un bloque
una distancia horizontal de 5 m mediante una fuerza
horizontal de 10 N el trabajo que se tiene que desarro-
llar sería: FW =F d=10N (5m)=50 J independiente-
mente de cuanto tiempo nos tardemos, pues podría
ser 1 s, 1 día, 1 año, etc. Pero muchas veces necesita-
mos conocer la rapidez con la cual se efectúa un traba-
jo, esto se describe en términos de potencia que es el
trabajo efectuado en la unidad de tiempo, esto es:
m
Trabajo F dPotenciamedia= F V
Tiempo t
  
En general la potencia se puede expresar:
P F  ... (**)
m m
instantánea instantánea
P P
P P
    
    
Si se tiene un mecanismo cuya potencia es determi-
nada, la ecuación (**) muestra que cuanto menor
sea  mayor será la fuerza ejercida.
Eficiencia de una máquina ( )
Toda máquina necesita de un suministro de potencia
para realizar algún tipo de trabajo, esto es, para desa-
rrollar una potencia útil. Así se define la eficiencia de
una máquina como la razón entre las potencias útiles a
la entregada a la máquina.
útil
entregada
P
P

 
Note que la eficiencia es un número adimensional y
que  < 1 pues:
entregada útilP P
Esto es, toda la potencia que se entrega a una máqui-
na no es aprovechada íntegramente por esta para rea-
lizar trabajo, pues hay pérdidas por rozamiento que
normalmente se presencia en forma de calor (la má-
quina se calienta). Por ejemplo, cuando conectas una
licuadora al toma-corriente (suministro de potencia),
se entrega potencia a la licuadora y esta realiza trabajo
al mover sus cuchillas, sin embargo notarás queel motor
se calienta advirtiendo que hay pérdidas de potencia.
Sin embargo se cumple:
entregada perdidaútilP P P 
Observación
La eficiencia se suele expresar también en términos
de tanto por ciento esto es:
útil
entregada
P
100%
P
 
36UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
TRABAJO
TEMA 12
Exigimos más!
Problema 1
Un arandele puede deslizar por un eje
sin fricción; hallar el trabajo realizado
por F

 desde A hasta B. (AB = 10 m)
Nivel intermedio
A) 140 J B) 150 J C) 160 J
D) 170 J E) 180 J
Resolución:
De la definición
FW F.AB Cos =
 F
4W 20 10 160 J
5
  
 
= =
Respuesta: C) 160 J
Observa que la solución es equivalente
a descomponer la fuerza o el
desplazamiento con tal que rF // 
 
.
Problema 2
Hallar el trabajo del peso cuando la masa
m = 5 kg se dirige de "A" a "B" por la
trayectoria mostrada. (g = 10 m/s2)
y =101
y =42
x =11 x =62
y
x
(m)
Nivel intermedio
A) 190 J B) 250 J C) 230 J
D) 300 J E) 180 J
Resolución:
Siendo la gravedad constante; el
desplazamiento en la dirección del peso
es 10 – 4 = 6 m.
      mg 1 2W mg y y 5 10 6= – =
mgW 300 J=+
Este resultado es general e
independiente de la trayectoria.
 mg 1 2W mg y mg y= –
Respuesta: D) 300 J
Problema 3
Si solo el 20% de la potencia de un
motor fuera aprovechable, dicho motor
eleva el bloque (m = 100 kg) con
velocidad constante de 0,5 m/s. ¿Cuál
es la potencia nominal que indica la
etiqueta del motor?
Nivel intermedio
A) 1 090 W B) 2 500 W
C) 2 300 J D) 3 000 W
E) 1 800 J
Resolución:
• Sea P. Entregada = 100 K
Como sólo se aprovecha el 20%
 P. Útil = 20 k y
P. Perdida = 80 k
• Sabemos: P.útil = F . V
 20 k = F . 1
2
F = 40 k; pero
1 000 N = F = mg
1 000 N = 40k
 k = 25
 P.Nominal = P.Entrega = 100k = 100(4)
 P.Nominal = 2 500 w
Respuesta: B) 2500 W
problemas resueltos
37UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 13
ENERGÍA
FÍSICA
I. ENERGÍA MECÁNICA
A. Concepto
Capacidad para desarrollar trabajo mecánico, esto
es transmitir movimiento mecánico.
B. Tipos de energía mecánica
1. Energía cinética (EK)
Es la energía asociada al movimiento de los
cuerpos.
2
K
1E mV
2

Donde:
m : masa del cuerpo (en kg)
V : rapidez del cuerpo (en m/s)
EK: energía cinética (en J)
2. Energía potencial (Ep)
Es la energía que tienen los cuerpos y que está
asociada a la interacción con otros cuerpos, esto
es, depende de su ubicación o posición frente a
otros cuerpos. Estudiaremos las siguientes clases
de energía potencial.
• Energía potencial gravitatoria (Epg)
Si dicha posición es una altura respecto a
la tierra o a cualquier nivel de referencia,
donde se asume dicha energía como nula.
N.R.
Epg = 0
h
g = cte E = mghpg
Donde:
m: masa del cuerpo (en kg)
h: altura (en m)
g: aceleración de la gravedad (en m/s2)
Epg: energía potencial gravitatoria (en J)
Observación:
La "Epg" es relativa; pues depende del nivel
de referencia que se tome como cero.
• Energía potencial elástica (Epe)
Si dicha posición es una desviación respecto
a una posición de equilibrio, la presentan
co-múnmente los cuerpos elásticos cuando
son deformados.
DESARROLLO DEL TEMA
38UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
ENERGÍA
TEMA 13
Exigimos más!
21Ep Kx
2

Donde:
x: deformación del resorte (en m).
K: constante de fuerza del resorte en (N/m).
Epe: energía portencia elástica (en J).
En conclusión
La energía mide las diversas formas de movi-
miento e interacción de las partículas que
conforman un sistema.
C. Relación entre el trabajo y la energía
 
El joven realizó trabajo (+) sobre el bloque y este ad-
quirió energía cinética.
La " kf " realiza sobre el bloque trabajo (–) reduciendo
su energía cinética.
Sea en el ejemplo anterior: WJoven = 100 J y fk = –30 J.
 La "EK" que adquiere el bloque al final será EKf = 70 J,
esto es: 
xk Joven f
E = W + W
 La 
f x0K K Joven f
E E = W + W
Generalizando:
Neto KW =ΔE ; 0Neto Kf KW = E – E
1. Fuerzas conservativas
Son aquellas fuerzas cuyo trabajo está asociado
a una función potencial, esto es, su trabajo
puede expresarse como una diferencia de ener-
gías potenciales en sus puntos final e inicial in-
dependientemente del trayecto seguido. Las
fuerzas conservativas más comunes son:
• Fuerza de gravedad  asociada a la Epg.
• Fuerza elástica  asociada a la Epe.
• Fuerza electróstatica  asociada a la Epeléctrica.
F.conservW Ep  
F.conserv
o fW Ep Ep 
39UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 13
ENERGÍA
Exigimos más!
2
BmVm(0)2mg(25) mg(15)
2 2
+ = +
2
BmVmg(25) mg(15)
2
= +
2
BV10g
2
=
BV 2.10.9, 8=
Respuesta: A) VB = 14 m/s
Problema 1
Si la esfera es soltada en el punto "A",
¿con qué velocidad pasará por el punto
"B"?
No considere rozamiento.
15 m25 m
A
B
Nivel de 
referencia
UNI
Nivel intermedio
A) VB = 14 m/s
B) VB = 12 m/s
C) VB = 20 m/s
D) VB = 24 m/s
E) VB = 10 m/s
Resolución:
Como no actúan fuerzas no
conservativas se cumple:
PG(A) C(A) PG(B) C(B)E E E E+ = +
2 2
A B
A B
mV mV
mgh mgh
2 2
+ = +
Observación:
A la suma de las energías cinética y potencial
en un sistema se denomina energía mecánica
total del sistema.
Esfera Esfera Resorte
M K pg peE E E E  
2. Casos en que se conserva "EM"
Si EM = cte  solo deben realizar trabajo las
fuerzas conservativas.
A B C DM M M M
E E E E  
Caso especial
De la conservación de la energía mecánica:
Ahora, si sobre un cuerpo realizan trabajo fuerzas
conservativas y no conservativas tenemos:
F.conserv F.no conserv
K
Ep
W W E
 
  
 
f
F.N.conserv
K p
K p
M M Mo
W E E
E E
E E E
   
  
   
F.N.conserv
MW E
problemas resueltos
40UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
ENERGÍA
TEMA 13
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Problema 2
Determine la energ ía cinética del
cuerpo mostrado de 2 kg.
4 m/s
UNI
Nivel fácil
A) 14 J B) 16 J C) 12 J
D) 10 J E) 8 J
Resolución:
2
C
1E mv
2
= 21 .2, 4
2
= = 16 J
Respuesta: B) 16 J
Problema 3
Hallar la mínima velocidad que se le
debe imponer al bloque para que
llegue a la parte superior del plano
inclinado liso de altura 5 m.
(g = 10 m/s2)
V0
5 m
UNI
Nivel intermedio
A) 4 m/s B) 9 m/s
C) 10 m/s D) 6 m/s
E) 8 m/s
Resolución:
Vemos que no está presente la energía
potencial elástica (¿por qué?) y como
no hay rozamiento ni otra fuerza no
conservativa, entonces la energ ía
mecánica se conserva.
C PG C PG1 1 2 2
E E E E+ = +
2
0vm 0 0 mgh
2
+ = +
M
0v 2 gh=
   0
mv 2 10 5 10
s
= =
Respuesta: C) 10 m/s
41UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 14
IMPULSO
FÍSICA
I. CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Llamada también momentum lineal, es una magni-
tud vectorial que nos caracteriza el movimiento de tras-
lación una partícula, esto es, la cantidad de movimien-
to, es la medi-da vectorial del movimiento de una par-
tícula y se define como el producto de su masa por su
velocidad.
P
v
m
 P mv
Donde:
m: masa de la partícula (en kg)
V : velocidad de la partícula (en m/s)
P : cantidad de movimiento de dicha partícula (en kg m/s)
La velocidad y la cantidad de movimiento
tienen la misma dirección
¿Cuál es el significado físico de la cantidad
de movimiento?
Para averiguarlo veamos el siguiente caso:
Un ciclista y un trailer avanzan con distintas velocidades
hacia un poste. De lo dicho anteriormente, se observa
que el trailer tiene una mayor cantidad de movimiento
que el ciclista, pues tiene una mayor velocidad y masa.
¿Qué sucederá?
Se observa que el joven es fácilmente detenido, sin
embargo, el trailer continuará su avance... ¿Continuará
con la misma rapidez?
Esto es: fue más difícil detener al trailer. ¿Por qué?
Porque tenía mayor cantidad de movimiento
Exactamente, la cantidad de movimiento es
una medida de la dificultad de llevar a una
partícula, que se está moviendo, hasta el
reposo.
Observación
Tal vez estás pensando que este concepto parece
mucho al de inercia y estás en lo cierto, pues la canti-
dad de movimiento depende de la masa (esto es de
su inercia), sin embargo, no confundas, todo cuerpo
que posee masa tiene inercia,pues es una propiedad
inherente de la materia, pero la cantidad de movi-
miento sólo la poseen los cuerpos que tienen veloci-
dad; así, si el trailer estuviese detenido y el ciclista
moviéndose, el ciclista tendría mayor cantidad de mo-
vimiento que el trailer, pues su velocidad es nula:
P mv m(o) 0  
DESARROLLO DEL TEMA
42UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
IMPULSO
TEMA 14
Exigimos más!
A pesar de que el trailer tiene mayor inercia por po-
seer mayor masa.
La resistencia que ofrece un cuerpo, en movimiento,
a ser detenido, esto es, la tendencia que posee a con-
servar dicho movimiento depende tanto de su masa
como de su velocidad o mejor dicho de su cantidad de
movimiento.
¡No olvides!
La cantidad de movimiento es una magnitud vectorial.
•  AP 20i kg m / s  
•  BP 16i 12 j kg m / s   
•  CP 20j kg m / s  
Observamos: A B CP P P 
Aunque tengan igual módulo: A B CP P P 20kg m / s   
II. CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Sea el siguiente sistema de partículas.
• 1 1 1P m V
• 2 2 2P m V
• 3 3 3P m V
Sistema 1 2 3P P P P  
Generalizando para "n" partículas:
n
Sistema 1 2 3 n
i 1
P Pi P P P .... P

     
n
Sistema n1 2 3 3 n1 2
i 1
P mi Vi m V m V m V .... m V

     
Recuerda: n1 2 n1 2CM
n1 2 3
m V m V .... m V
V
m m m .... m
 
   
 sistema CMtotal de sistemaP M V 
Sabemos que la aceleración del centro de masa (CM)
solo se ve afectada por las fuerzas externas al sistema.
De ello tenemos:
Si la externas 0F  CM externas
totalalsistema
Fa 0
M
  
Esto es: CMV Cte
n
sistema CMtotaldelsistema i i
i 1
P M V m v constante

   
Ley de conservación de la cantidad de movimiento
"Si la fuerza externa resultante ejercida sobre un
sistema es igual a cero, la velocidad del centro de masas
del sistema es constante (se conserva)".
Observación:
Se aplica a cualquier sistema aislado de sus alrededores
que por tanto está libre de fuerzas exteriores.
Es más aplicable que la ley de conservación de la ener-
gía mecánica debido a que las fuerzas internas ejerci-
das por una partícula del sistema sobre otra, son fre-
cuentemente de naturaleza no conservativas.
Así pues, pueden hacer variar la energía mecánica total
del sistema, pero como estas no afectan al CM, la can-
tidad de movimiento del sistema se conserva.
Si la externas 0F 
externas
CM
Totaldel sistema
Fa 0
M
 
Esto es: CMV Cte
 sistemaP Cte
III. IMPULSO ( )I
Ya hemos visto anteriormente que es posible transmitirle
movimiento mecánico a un cuerpo mediante una fuerza,
la cual se mide en términos del trabajo realizado.
43UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 14
IMPULSO
Exigimos más!
Pero también es posible dicha transmisión en términos
del impulso (I); una magnitud vectorial que nos mide la
transmisión temporal del movimiento.
Así por ejemplo, al golpear la bola blanca con el taco,
en un juego de billar, ejercemos una fuerza durante
un intervalo de tiempo, relativamente corto; el movi-
miento que podemos transmitirle dependerá tanto de
la magnitud y dirección en que apliquemos la fuerza,
así como del tiempo que dure el contacto taco-bola.
Veamos el caso de una fuerza constante que actúa
sobre un cuerpo durante cierto intervalo de tipo " t ".
El impulso se define como: I F t  . El impulso tiene
la dirección de F .
Donde:
F : fuerza constante (en N)
t : intervalo de tiempo (en s)
I : impulso de la fuerza F (en N.s)
Observación
El impulso tiene la capacidad de generarle variación en
la cantidad de movimiento de un cuerpo.
Esto es, si hay una P es debido a un impulso.
P I 
Observación:
El impulso tiene las mismas unidades que las de la can-
tidad de movimiento:
xx
2
mN s kg
s
 
  
 
 x s = kg x m/s
Esto significa que es posible expresar una magnitud
en función de la otra. ¡Existe una relación entre P e I!
Si graficamos F vs t obtenemos:
• Se observa que F es constante a través del tiempo.
• Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos:
 f oF t t esto es, ÁREA = F t .
¡El módulo del impulso es numéricamente igual al área
bajo su gráfica!
Aunque esta relación la hallamos para F Cte es, en
general, válida si F varía en módulo, pero no en dirección.
Para una fuerza de módulo variable pero de dirección
constante, se tiene:
 Área = |Impulso|
Nota: Una fuerza media (Fm) es una fuerza constante
que genera en igual tiempo un impulso equivalente a
una fuerza variable.
A. Relación entre I y P
La partícula cambia su velocidad y por tanto su cantidad
de movimiento debido a la fuerza resultante RF .
Luego: RF ma
Esto es: f oR
V VF m
t
     
  
of
f oR
I P P
F t m V m V  

Esto es: el impulso resultante sobre una partícula
es igual al cambio en su cantidad de movimiento.
44UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
IMPULSO
TEMA 14
Exigimos más!
IV. TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTI-
DAD DE MOVIMIENTO
Luego:
R RF t I P   
Observa: R
PF
t


Esto es equivalente a la 2.a Ley de Newton, pero es
más general.
O también:
  x xf o xRm V m V F t
f o RmV mV I 
Esto tiene algunas implicancias muy interesantes. Vea-
mos; si estuvieses en un auto al cual se le malograron
los frenos y al tratar de detenerte sólo tiene dos op-
ciones: colisionar contra un muro de concreto o con-
tra una montaña de paja, ¿cuál caso escogerías?, ¿en
cuál de ellos la fuerza media que recibirías sería menor?
 
En cualquiera de los dos casos la variación de la cantidad
de movimiento sería:
0 fP P P   y 0P mV 
O sea, el impulso que recibirá en cualquiera de los casos
sería el mismo.
Esto es:
 muro pajaI I .... 
Pero nota que la interacción del auto al chocar con la
paja es más prolongado, luego:
paja murot t  por ello muro pajaF f
Observa el gráfico y la ecuación (  ):
muro pajamuro pajaF t f t   
muro pajat t  
muro pajaF f
Esto significa que si en un accidente de tránsito el
choque es más prolongado (dura más tiempo) la fuerza
media que reciben los afectados es menor; es más, es
por esta razón que se instalan sistemas de bolsas de
aire y se usan los cinturones de seguridad en los
automóviles.
Ahora razona y responde
Si en el caso anterior solo tuvieras la opción de ir contra
el muro, en qué caso te podría ir mejor si estás en un
auto FORD año 50 (con chasis de acero) o en un TICO
año 2003 (con chasis de lata) ...
¿Ahora entiendes porque en los autos modernos, al
ser diseñado, se desea que la parte delantera sea lo
más blanda posible?
Reflexión
Hasta ahora hemos medido el movimiento de dos
formas:
 
Hemos medido la transmisión del movimiento mecánico
de dos maneras.
Además observa
La transmisión de movimiento se puede expresar como
una variación de movimiento.
 
45UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 14
IMPULSO
Exigimos más!
Problema 1
Una bola de 50 g de masa moviéndo-
se con una rapidez de 10 m/s en la
dirección +x, choca frontalmente con
una bola de 200 g en reposo, siendo
el choque inelástico. Si el coeficiente
de restitución es 0,5. Calcule las velo-
cidades, en m/s, de la bola incidente y
la de la bola que estaba en reposo,
después del choque.
UNI 2010 - I
A) 2 i; i  B) 2i; 2 i   C) 2 i;3 i  
D) i;3 i  E) i;3 i 
Resolución:
Operación del problema
DCH
ACH
Vrelat v1e
Vrelat 2 10
   
v 5 m/s   ............
ahora: inicial finalP P
 

50 10 200 50v  
10 4 v   ............
Relacionando y 
3m/s =3im/s
v 2m/s v =-2 i m/s
  
 
 
 
Respuesta: C) 2i;3i  
Problema 2
Dos masas de plomo idénticas:
e
calC 0,03
g C
   
que están sujetas por hilos de 2 m de
longitud de cada uno, se las deja caer
desde el reposo a partir de la posición
horizontal A. Las dos masas chocan en
la posición B de manera completamente
inelástica, quedando en reposo. Con-
siderando que toda la energía en el
choque se ha transformado en calor,
¿cuál es la temperatura de las masas
(en °C) después del choque? La tem-
peratura inicial de cada masa es 20 °C.
(1 cal =4,18 J, g = 9,81 m/s2)
UNI 2009 - I
A) 18,15 B) 19,15
C) 20,15 D) 21,15
E) 22,15
Resolución:
Cambiando las unidades del Ce:
  2e e3
4,186J JC 3.10 . C 30 4,186
kgºC10
  
Como las masas adquieren cantidades
de movimiento de igual valor pero sen-
tidos opuestos, las masas quedan en
reposo. Toda la energía potencial se
convierte en calor:
Ep Q 2 m   gh Ce 2 m T
   
   e
9, 81 2ghT
C 30 4,186
  
TF – 20 °C = 0,15 °C
TF= 20,15 ºC
Respuesta: C) 20,15 ºC
Problema 3
Para detener un carro de 2000 kg de
masa, que se mueve en línea recta a
25 m/s, se le aplica una fuerza cons-
tante durante 2 segundos, quedando
el carro en reposo. Calcule la magni-
tud del impulso que recibe el carro,
en 104 N.s, durante los 2 segundos.
UNI 2008 - II
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
Resolución:
Ubicación de incógnita
Realizamos un gráfico que nos ayude a
la solución del problema y designamos
por I el impulso que recibe el carro.
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
Del teorema del impulso y la cantidad
de movimiento tenemos:
o| I | m | V | 2000 kg 25m/s  
4| I | 5 10 kg m/s 
Nota:
El dato del tiempo no era necesario
ser usado.
Respuesta: C) 45 10 kg m /s
problemas resueltos
46UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 15
MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE
FÍSICA
I. IMPORTANCIA
El estudio del oscilador armónico constituye en Física
un capítulo muy importante, ya que son muchos los
sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza
y que han sido producidos por el hombre.
II. OBJETIVOS
• Analizar el M.A.S. como un movimiento periódico y oscilatorio.
• Analizar los valores de la energía cinética, potencial
y la fuerza sobre la partícula, en particular, cuando
la partícula pasa por el origen y por las posiciones
de máximo desplazamiento.
• Definir e identificar las principales magnitudes físicas
que intervienen en un M.A.S.
III. HISTORIA
Sabemos que una de las propiedades más importantes de la
materia es el "movimiento" y en la naturaleza, este se pre-
senta en distintas formas; en algunos casos, bastante senci-
llas de analizar como por ejemplo: el movimiento de un auto
o en otros casos más complejos de analizar como por ejem-
plo el movimiento de las moléculas que forman la sustancias.
Con respecto a este último caso, el movimiento de las molé-
culas de una sustancia sólida es un caso de mucha compleji-
dad, pero esa complejidad disminuye considerablemente
cuando hacemos uso de un modelo que se asemeje mucho
a lo que en realidad está ocurriendo y en ese sentido el
movimiento armónico simple (M.A.S.) es de gran utilidad.
Los resultados teóricos que se obtienen al asumir que las mo-
léculas en un sólido desarrollan un M.A.S. son muy próximos a
los resultados que se obtienen en forma experimental.
Y en física, la validez y por ende la aceptación de un modelo, está
en función de cuanto se asemeje a lo que realmente ocurre y
eso lo determinan los resultados. Con esto podemos compren-
der la gran importancia del estudio de este movimiento.
Pero el M.A.S. no sólo sirve como modelo para explicar algunos
movimientos microscópicos sino también algu-nos macroscópicos,
como los movimientos sísmicos y en general los movimientos
ondulatorios. Así por ejemplo: las ondas mecánicas como el
sonido y las ondas que se generan al sacudir una cuerda, son
estudiados y descritos mediante el M.A.S. pero también las
ondas electromagnéticas, como las ondas de radio y televisión
son descritos mediante este modelo.
Por lo expuesto, el M.A.S. es de suma importancia ya que
permite comprender algunos de los movimientos oscilatorios
más complejos que se presentan en la naturaleza.
IV. DEFINICIÓN
A. Movimiento oscilatorio
Es aquel movimiento en el cual el cuerpo se mueve
hacia uno y otro lado respecto a una posición de
equilibrio, o decir efectúa un movimiento de vaivén.
B. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
Es aquel movimiento rectilíneo, oscilatorio y perió-
dico donde su aceleración siempre señala hacia la
posición de equilibrio.
x(-)
V=0 a Vmáx a V=0
X(+)
(-)A A(+)
Q P
P.E. 
P, Q: Extremos
P. E: Posición de equilibrio o punto medio, de PQ.
1. Oscilación simple
Es el movimiento que realiza un cuerpo al ir de
una posición extrema hasta la otra (ABCD).
2. Oscilación doble o completa
Es el movimiento que realiza un cuerpo en ir de
una posición extrema a la otra y luego regresar
a la primera (ABCDCBA).
3. Período (T)
Es el tiempo que emplea un cuerpo en realizar
una oscilación completa.
4. Frecuencia (f)
Es el número de oscilaciones completas que realiza
un cuerpo en cada unidad de tiempo (f = 1/T).
DESARROLLO DEL TEMA
47UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 15
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
5. Elogación (x)
Es la distancia existente entre la posición de equi-
librio y el cuerpo en un instante cualquiera.
6. Amplitud (A)
Es la distancia existente entre la posición de equi-
librio y cualquiera de las posiciones extremas.
Propiedad
T: periodo
w = 22 f
T
 
w: Frecuencia angular del M.A.S, w es constante.
V. ECUACIONES CINEMÁTICAS DE UNA
PARTÍCULA EN M.A.S SOBRE EL EJE X
A. Posición (x)
x(+) = xmáxSen (wt + )
xmáx = A
B. Velocidad (v)
v(+) = vmáxCos (wt + )
vmáx = wA
C. Aceleración (a)
a(+) = amáxSen (wt + )
amáx = w
2A
Donde:
• (wt + ): fase, es el argumento de la función
armónica (en radianes).
• : fase inicial, es un ángulo que nos indica el
punto (x) donde se empieza a medir el tiempo
(t0 = 0).
Propiedades
1. x2 + 
2
2v A
w
    
2. Vmáx = wA (en la P.E. x = 0)
Vmin = 0 (en los externos, x =  4)
3. amáx = w
2A (en los externos)
amin = 0 (En la P.E., x = 0)
Problema 1
Una partícula tiene un movimiento
armónico simple. Si su rapidez máxima es
de 10 cm/s y su aceleración máxima es
de 25 cm/s2, calcule aproximadamente
el producto de su amplitud por el período
del movimiento en (cm. s).
UNI 2012 - II
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
Resolución:
Sabemos que en el M.A.S. la velocidad
máxima y aceleración máxima se dan
en d iferentes posiciones del
movimiento oscilatorio.
•     MÁXV .A 10 A
•     2 2MÁXa .A 25 .A
Tomando las ecuaciones anteriores y
dividiendolas:


10 1
25
   rad2.5 A 4 cm....
s 
Pero: 
  2
T
 
  

2 2T ...................
2.5 
Nos piden el producto de el periodo
con la amplitud, entonces las ecuaciones
 y serán multiplicadas:
 2A.T 4.
2,5  A.T. 10,048
Respuesta: E) 10
Problema 2
Un péndulo simple tiene un período de 1,5 s
sobre la superficie de la Tierra. Cuando se le
pone a oscilar en la superficie de otro planeta,
el período resulta ser de 0,75 s. Si la masa de
este planeta es 100 veces la masa de la Tierra,
el cociente entre el radio del planeta y el
radio de la Tierra, (Rp/RT), es:
A) 2 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
UNI 2011 - I
Resolución:
RP/RT
Análisis de los datos o gráficos
En la Tierra: En el planeta P:
TT = 1,5s Tp = 0,75
Usando:   LT 2 R
GM
...(I)
Siendo: R: Radio del planeta
G: Constante universal
M: Masa del planeta
L: Longitud del péndulo
T: Período
Nos piden:



Pp
T
T
T
L2 RT GMp
T L2 R
GM
 



P
T
T
T
L2 R
G(100M )0, 75
1,5 L2 R
GM
 P
T
R
5
R
Respuesta: C) 5
Problema 3
Un sistema masa-recorte oscila de manera
que la posición de la masa está dada por
 x 0,5 sen(2 t), donde t se expresa en
segundos y x en metros. Halle la rapidez,
en m/s, de la masa cuando x = –0,3 m.
A) 0, 2 B) 0, 4 C) 0, 6
D) 0, 8 E) 
UNI 2010 - I
Resolución:
Ecuación de la posición: x = ASen (wt)
 x = 0,5 Sen(2  t)
Sabemos:
  2 2V A x    2 2V 2 0,5 (0,3)
 V 2 0, 4  V = 0,8  m/s
Respuesta: D) 0,8  m/s
problemas resueltos
48UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 16
DINÁMICA DEL MAS
FÍSICA
I. DINÁMICA DEL M.A.S.
La fórmula resultante ( RF

) que actúa sobre el cuerpo
que realiza un M.A.S, se llama fuerza recuperadora, se-
ñala hacia la P.E. y su magnitud es directamente pro-
porcional a la elongación.
P.E. 
a
x
FR
Por la 2.a ley de Newton:
RF

 = m a

RF

 = 2mw x

En la P.E., x = 0  RF
