EC.DIF.OVIDIO.2DO PARCIAL

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#
EXAMEHEg RSSUHX.TOS SSGL'F{NS
,''.' €. EJERG¡CIOS RÉSU€LTOS SS ESTANDAfi UNIVERSAL
2(z +l)z' +2(l ¡'z + z2 +2: = f (t)
.f (t) =sect, - cost t - senz t
, L':'{*;=i"**(;;}
.f (x) = e-' +i e-G'\ sen(x - tJf lt)dt
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/(0)=l , /(0)=-l
b,,v
)
ECUACIONES
DIFERENCIALES
UNIVERSIDAD I\IAYOR DE SAN ANDRES
FACULTAE DE INGENIERIA
CURSO BASICO
Incluye:
t nxÁ*muns DEL SEGUNDo PARCIAL DE LA MATERIA DE
ECUACIONES DIFERENCIALES, TOMADOS EN LA
FACULTAD DE INGENITnÍ¡. cunso sÁslco.(200s-2014)
.:. EJERCICIOS DE rsrÁxn¡.n UNIvERSAI-.
Autores:
ING. JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
uNrv.: ovrDlo r¡.cuÑl coLQUE
Este tra6ajo está" 6eúra"{o af IngeníBro:
3{ernán ?ascuaf Cntz Lfanos
LA PAZ - BOLIVIA
PROLOGO
La presente
de problemas
mater¡a de
de
LI-ANOS e
estándar
Quiero
Conde por su
agradecer a :ni
para la
Los problemas
maravillosa
materia. El
A mis queridos
sus h'rjos. A
compañeros),
DEDICADO
AL
UN
UN GRAN
TRABAJO
l#t
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reopilación
parcial la
Ia FACULTAD
CRUZ
de
Uberhuaga
s. Además
la sugerencias
aprender esta
en la
adelante a
(Amigos y
AMIGO Y
SOBRETODO
IRAMOS EL
JULItr CESAR UBERHUAGA TONDE ,BVtOrB TACUÑA eOLqUE SOLUtrIBNARIO DE EXAMENES
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 2A7 SEMESTRE.II' 2008
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Solución:
Cuando se tiene la
solución, luego por
diferencial buscada.
Para la ecuación se tiene
que las constantes de la
x. (Esto porel hecho de
las constantes)
Multiplicando por: r a
yx=A+Bx2+Cl-
Y'x+ Y =g¡28 x+3C
:+ y'x+y=
Mulüplicando
y'+yx-t =28+3Cx-
y'+yx-'=28+3Cx
y'+ y'x-' - yxa =3C
y" + y' ,-t - y'x-' -
Multiplicando todo
ly'+x2y'-2xy'+
Solución:
Sea la ecuación
de laecuaci{
ntes se tengaenl{/
ta ecuacron .vé-
:acion,,¡@'mos
ningurfffunción de
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por una función de
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como se cqsce que: I
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-l-dt.. 'r e"Y" =COS(fnX)l-Cl' '¡ cos'0n¡)
¿ = cos(lnx)Jsec26n x¡dqn
luego la solucion homogenea
ErvrorB recuñ¡ trtrLeuE
JULIO CESAR UBERHIJABA BONDE OVIDIO TACUÑA CBLQUE
Pa¡a la solucion particular ny, n usaremos la formula de Green para las soluciones:
l1 = cos(lnr) zr. yz= sen(Lnx) ademas: .{a ={sec,(lnx¡l¡¡
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i cos (h t)sen (ln x) - sen 0n ¡) cos (ln:) Iv,=Jffi'isedlnt)dt o".t :(cos' (lnt) + ser¡' (ln r)) ' 
. \fr
, lo^i-
to = senQnx)JcosQnr):secQn t)dr+ cos(lnr)isen (lnr)!sec(nr)dr ^d€;ot6-
y, = s en b x)i1 ¿ - cos (ln x) i r, 6o 4 rqt r) = (ln x)sen (ln r¡ * *r¡rg¡?L, * O,it o -P-
/o =0nr)sez0nx)+cosQnx)lnlcos(lnx)l ¿?'
Lasolución general estarádada Wri y= yh+yp rr.Q-
y = C, cos (ln r) + C rs en (ln x) + (ln x)sez (ln r) + cos (ln:).lfufcos (n x)l
no se üene asumiremqsG:y'(0) = 6. ¡t¡ego para encontrar esa constante usaremos la segunda
condición que plantede'n el probtema: ,(, = O
/'+e/=l8rrf il¿{ }
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"{n r# - l'Ío) * ert"r = r sl + s1
t#414'=r8{+s1+r + r,",=r8OSy*r6fu*rd,
l- -r rl
{, =tritr#.+i i* 
e1s' -s" * K =l
L 
"I (s'+9)s (s'+9)
Resolver: f+9y=19¡++ .y(0)=0 , 4z\=0
trvlotg recuña E:trLeuE üULItr CEETAR UBERHUAEiA CONDE
t
JULIO CESAR UtsERHUAGA CONOE qVIOIE TACUÑA EOLQUE
)K
y(t) = 2t - i sen3t + 1- cos 3t +il sen3t ......Íf55
Para encontrar K usaremos la condición: lo\ = 0 :)
tzJ
^ ^3tr 2 3tt - 3tt K 3r+ v=¿---sen-+l-cos-+-sen-23 2 2 3 2
\---i/J l---wJ \----vJ
-10-t
=+ K =3tr+5 Enlaecuacion [1]yordenando setendra"
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y(t)=1+2t -1sen3t -c'os3t + trsen3t +lsen3t33
=
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,, ^1 2 3 I s k 3' ll,-.,,it.\=-----T---f-- tr! I(D' s' 3 (s'+9) s (s'+9) 3 (s'+9) l[ '
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I '-t en h ecuación [1]l.lr\=O
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*ru ={+1+r =r {,, =j#13*i.']=[1.*)[3.i.']=:.].+. i.,i.,i
vG\=l+t+Lt' +!tt *Ltn + | tu2612360
y(t)=l+zt -cnsft¡'sen3t + ttsen3t
@ noon"r h ecuecion integro diferencial: r' -i cos1l, - |gh 
i I ='U - t ; y(0) = 1
la ecuacion diferencial: y'-2y= f(t)
(l-r ; o>L
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¡(r)=.lcosr; A<t<!,-l' lo ; r<o
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trvtDttr recuñe cELquE .JULIO trESAR UBERHUAG¡A trONDE
'JULIO CEÉAR UEERHUAGA CONDE ovrDto racuÑA 6trLouE
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Solución:
Sea la ecuación diferencial:
sr*,-¿p-2{q ={,)
Para calcular {s¡ primero
Mediante el Escalón ljnitario
2s2+s
{r =É
Reduciendo
2s2 +s+2
("-riF -tt
s-s'-l
En la ecuacién [3]
tunción continua O"r n":;¿
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y'-2y = f (t
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f (t)=-plt-; l+corr\ -/ l']tl
-tlE-,=-"' *r*j-L-\" s l¡'+ll
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Bvroln r¡suña trELeuE .IULIcl CESAR UEIERHUAG¡A CtrNDE
¡JIJLIB SESAR UBE¡THUAEA trtrNOE
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FVIDItr TACUÑA COLQUE sOLUCIONARIO DE EXAMENEsl
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Solución:
Ordenando la ecuación diferencial: 3" +
:: 2 -.-A ,r, ^*9frl-já,*zr=o ....lld
ajórmula de Abel, Rara elWrpHano.
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Sean fas soluciones h(x) , /r(x) ,
w lt{x), tz?),vr(x)J = w = ce- o
P(x)o'(,)=Ti;+t Asumremos ür
Por condición del problema:
w'll,@), tz@),¿(*)] = v2"-' - 
d
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e'( , 2x 2\
fl/ =--=l x- --+- ¡=-e-'(x2-r\ -1 r) \
lgualando las ecuaciones [2j y
I Dk)
e t stz;;'" = _e-, (x, + 2x + 2)
l-¡=e6 o,l , l
lnle 't*z*z 
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tlr* \-x' -2x d¡ =-¡+hl- x'-zx-zl il#(-)
. 2x+2
= -I i----. x'+2x+2
,.^ro
¡¡s)".0.
Solución:$ l¡'-í* -F..¡
6r<i.ryfb'la ecuación diferencialv apli&qdó propidoaaes de integrales se tendrá.
,iii -or=ie-' e'-' cosl(t-r)dr 
ll \ _
s'rr, - s -t!o) .y'!0) + 3sr,", - t o# - r{, =, {,}ifp':", zr} = 4 Ujfi7
- 1 
i.]l 
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+r+r(s' + 3s - 4){rr = ñ. rr-_ ry + 2,
= - -P(x) -t+ -?F4' x2+2x+2 -l'-m
=, _z#u=ffi
Q **"r".* ¿fir'-+, = -imkr -"¡.ar'F+yp¡ =1, ./'(0) = 0
EVIDIE TAGUÑA trtrLQUE JULItr EESAR UBERHUAGA trtrNDE
¡JULIg trESAR UBERHUAG|A trONDE EVIFTO TACUÑA COL6UE
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-i{- r'!\o' (s+4)(s-1)(s+1) (s-1)'+2' (s+a)(s-l) (s+4[s+l)(s,-2s+5)'(s+4)(s-t) """rr
Reducie,ndo por fracciones parciales:
| 4 ,,,*r-
=) s+3 _i*_g_ '"'ry(s+4)(s-1) s+4 sJI jt
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oodl+;-rO'
t = - r, 
(s f1Xs2 r 2s + 5) + -l-(s + 4)(s'? - 2s + 5) + (s + 4)(s + t) (l(s - tl * ¡) .üF
Igualando grados del polinomio:
s'; g=-lala7 = A=-7 *{87' 24'" 232 J{2
so: 1=-a+ ?l-qn*+n + B=:- A87 24 116 r-
l -t 1 --Lr,-,lo-L =8'L__ 87Lz4- z3z'" '''lr6=@_-zq_ 7 (s-l) _3 2
(s+4)(s+l[s'-2s+5) s+4 s+l (s-l)'+2' 
..O 
s+4 s+l )32(s-l)z +22 ' z3z (s-l)'?+22
Reemplazando en la ecuacion [l] iV'r r _)- ! ! llr,",=-n*u-7 (s-l)-*3 1--*5-5 ll r,lr'(s) -s+4' *t- nzG_ú¡*- zn1r4V;-;+4-r{ ll" t,
,4/ ll
v(t\=- t r'' *Lr-' - 7 ¿ *"ÑJ-"'r*zt +!"', +&'87 24 ,rr 
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vft)=!e' +!r-'+ 82 ,u' - 7 e'enszt+J-"'r*2¡5 24 435 232 232=-of
Soluciónl-
fiffiy*r=
.#o'" o"
2r-.i=e' :-ttTz¿á
v,=4=ú_.dt =4.dt =dy .r"-,' & dxdt dt& dt-'
rdo según la regla de la cadena se tiene:
J" !¿*,¿tl*
A'
yt=/¿-t '!!-'dt
-l- (2r- 1)ln' (2x -l) ........tI1 Ecuación diferencial de Legendre:
(s +4)(s+1
trvttrttr TAEUñA toLtruE .JULItr ÉESAR UBERHUAGiA BDNDE
!,ULIO CESAR UtsÉRHUACA EONOE
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ovrDro rAcluñaocouduE SOLUTIC'NARIE OE EXAMENES
,' =ft{l)= *(*" #) #= * *(L' *)=)L*(ft-ff)= u,=4"-2,(d'z! -dy\- , \dt' dt)
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o#-o*.y=J7'-er :e
Reemplazando en la ecuación [11
de la ecuacion [2] hallamos la
cuya ecuacion caracteristica sera:
luego la solucion homogenea es:
Pa¡a la solucion particular }l, "
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ft=€z A !z=te2 ademas:
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"ityo=1lG-u),ll-u'du=-' 4i !<o
#o*an¿o ala va¡iable orieinal
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(, r'F-t, = illa,cs en u^7f"1 r - u'
<)
La solución nnf"%,est¡ará dada
-O!
h\ L o2t
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C zte2 + 
:-\arcs en t + t
-u')
,. .1,;
\t-t- )"
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EvtDlo rÁ,cuñA trtrLeuE JULIE trEsiAR UEERHUAGiA EEINDE
JULItr CESAR UEERHUAGA TONDE trVtDItr TAÉUÑA E9LQUE SOLUCIONARIB DE EXAMENES
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Resolver: y' + 4y = f (t) , .y(0) = -1 fQ)
Sofución: -O
6áTñ""ionoitereñi¡al: y'+4y=,r(r) .....,.,t11 ll¿{ } ;*)f
s{s¡-r(0)+4{,r ={,r :+ {, =fr({r-l) ........t21 *"-a-
Para calcular {s¡ Primero definiremos la función /(r) representada por r4ffunción continua por tramos.
Det grafico se puede identificar las funciones: *
i(,) =l 
4-4sm2t ; o<t'% oto[+ ,'>% \o-
Medianie el Escalón Uniiario .ü-
f (t)=(4-4se"zülpo¡-p(,-i)).^(,-t)="orur-o,e,ztlao-a(,-;)l
nnrcanao-ol3tranlormflfu?"*; 1 ) ,.)
F(r) = 4L - 4"!'Ñ - *1',17; = 4r- l*=- +"-' rfo
ReemRlazando p\É ecuación [2]
,-.=-diL-'2 -'" r \ttq?r+fla;-4-z u-4e '? FTT-I)
J'4-s 8 8 {,¡4J = ------: - -:-;---:-:------=- - 
-¿ 
:,...... ijl\r"' s(s+4) (s'+4)(s+4) (s'+4)(s+4)
Reduciendo mediante fracciones parciales:
4-sl-212+ 
-=_+_
s(s+4)ss+4ss+4
svrDro TAEUñA soLeuE dULItr CES¡AR UEIEF,HUAG¡A EtrNDE
JULIg CESAR UBERHUAEA trONDE
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ovrDro rAtruñA Eotcus SOLUCTONARIO OE EXAMENEB
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,ar+-?.?:f?r'",r,1rur-11,4''1)-?"o,r(,-t).t*"r('-i)lr(,-;)
ovtoto r¡cuña trc¡LeuE .JUL¡O CESAR UEERHUAEiA BONDE
JULIO CESAR UBERHTJAGA CONOg OVIDIÚ fACUÑA COLtrUE SOLUCItrNARIO DE EXAMENES
SEGUNDO EXAMEN PARGIAL MAT 207 SEMESTRE. II' 2009
O to ta ecuación diferencial xzy' -5xy' + a(r)y = 0 Determinar a(¡). Si se conoce que
v¡(x) - 1yzft) lnx
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$oluclén:
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!+fft=
usaremos la fórmula de Abel
-l P -'dt
l__Ax
Se tiene de la cóndición O"iproor"r" qr", & I hr, además 4,.. =-l''I' iij..: i:i n yr : \,, X
DOIUCtOn:
ordenñAb h ecuqffn diferencial:
4, !¡ú"iÉAfei s- stgx)(1t' + v) = Q.tlI ilx-
. " (J'+ y)
dx
t¿:+ y'*y=sen3xcoslxK + f"+y=-5 ,.......[|,
lse¿'xcos- x,lr
OV
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¿+4/aü
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h, = f ,t,,u (yt)'
¡t , ¿rr I xt
fTdr ---:r.z-+ =) ,i + (.y,)'=¡'!)'= ¡' + lqr9;AYx (yr)' \):+ !4= lx3ln ¡ í ,i"¿4 --.". .i, ,:."' ('
Para encontrar a(r) reemplazaremos uná'de las solucioúeyen la ecuacion [1], por simplicidad toma¡emos la
Solución:
solucion mas simple: J-
+ Éit Ft',.''-ll- y;=13,) --n- il=t6x
*o'-l(fr"l).qP(;;')-c. + 6r-15x+ xa(x)=0 + a(x)=)"..:' ...|@.'j +
Q Resotver la
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y' + y' +!(7 cot gx-8tgx)(y' + y) = 0
mfi'ffi -i* Iffi#.:[{7cotw-8tw)dx=!o
rfr," * r¡ * ] 
qr"*¡ + | n1"osr) = ¡4¡¡ = lnly" + y) = h [r*{'*rj'r)
10 trvrDro r¡cuñe trtrLeuE .tULIO trESAR UBERHUAGA trtrNDE
JULIO trESAR UBERHUAGA CONDE OVIDIO TACUÑA EtrLQUE SOLUCIONARTtr DE EXAMENES
de la ecuacion [l] planteamos la solucion homogenea: :+ y, + y =O
cnyaecuacionca¡acteristicasera: :9 r2+1=0 + r=!i
luego la solucion homogenea es: :+ /¡ = q cos¡ +Crsen x ..,....12f
Pa¡a la solucion particular ).'o 
n usa¡emos la formula del¡¡
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i lYtr'l lzatl ^ . ',,=1ffffi¡,00,=l
Vn, Y''ptl
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,,=+l*,116'r,"li-{i,
La sotución senerat **i¡"9J 0"l:
Solución:
Sea la ecuación: y" 1t¡ + +i ag¡ú¿t - 
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y (t -,tl a 
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= zu(t - |) * out, - r¡ """, [1]
,o= rr**i---84!-
r cosrsezr(cot92, )i
ovtDto raeuñA ElELeuE dULIO CESAR UEERHUAE¡A GC'NDE ll
JULItr CESAR UBERHUAGA CONOE
Aplicando la transformada de Laplace. Con la propiedad de convolucion:
It r
l[ *) f (t - c] dcl = go* f {t)= eE{")
LO
para ra ecuación direrenciar se tiene: 
Ii[,r:ri!)r, _ r)p(t _ t)
s'? {o - s ¡0) - t' (ü * + t {a {,)\ . r, g @ a (t)\ = * {t i) r(, - 1). ; r[, j ) ] .' f 6 k - r)\ _ga
s'4r, +1+4e*'.{r,r*, =:*"i" 1!"i' *4"-z' 
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,,.,=r=J "''--J-*[ - ? *"(o*-t'-t')1r-;" ,*{-(r) -(s'?+4)- (s2+4) fstis'++¡ 4(s'?+4)s J' arQ
Y,,, = 2;] ̂ "-* -I=]^.fi. á. ii irhl,=: #ri;\!/ (s'+4) 2(s' ++¡ 
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U -&X z,)a t ll, 
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y(t)=2senl(t-2) - üs en2t u ft\ + ll z, -, "rz(, - 
L\ -, 
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z(, - z\1 r(, - z\z "' 4L \ 2) \ 2))',\ 2)
trvtolo rAcuña coLtruE SOLUEItrNARIO DE EXAMENES
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$g!¡¡ción: Sea la ecuación diferencial:
'*-ry*n') ={q -
y' + y = "r(t) ........ tll ll¿ { }
_. l_ I
1,", =-----4o,- . ........t2]rJ, s+1 \"'s+l
z y' + y = f(t) con la condición y(0) = -1 .
--+-----#r--} tti 'l 3,;i 21 1 .'
i1 avtDrü¡ TAcuñA trtrLeuE .JUL¡O trgsAR I..!BERHUAG¡A C¡ANtrE
JULIO CESAF U€ERHUAGA 6ONDE BVIDIB ?AtrUÑA CtrL6'UE SOLUgIONARIT DE EXAMENES
Para calcular {s¡ Primero definiremos la función /(r) representada por una función continua por tramos.
Del grafico se puede identificar las funciones:
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f (t) = 2s en2t pp¡ - z, ^z| - $ i
f (t) = 2s en2t pro - z *' z 
[r 
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Aplicando la transformada de
Reemplazando en la
ó _ 4 _-a, 4s j4'_ftot=--;--€ -'--€tu/ s'+4 s'+4
4 4 4+s2+l-
(s+lx; +4) = 5'Gtd;
2s ^ s+l-l
----
(s+1)(s'+4) (s+1)(s'+
s
+4)
^ ll rtI l
is+1)ll- t'
cos2r]tr(r)1,_, ,,
o
Mediante et Escatón Unitario _ iili
f (t) = z s enztlao> rt, - itfi fi ,
Y, = 1l- * + s enzt - 2 cos"] ut'rii
trvtDtE¡ TAEUñA BtrLeuE JULIO EESAR UEERHUAG¡A Bt]NDE 13
ÚUI-IB trEsAR UEERHUABA CCNDE trVIOIO TACUNA COLG]UE StrLUCI6NARIO OE EXAMENES
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sEGUNpq EXAMEN FAR.CIAL MAT 207 SEMESTRF - l/_a010
R.tolvr!¿ec¡¡ación diferen"tial y'-4y'=2-2x-12x2 ytol =yí,rl =0=)16) =0.
$elucíén:*
Primero se debe encontrar. el
ffiffi =5.=.Í.É.S.+ =#t&.ípr$;* fix(s-2)(s+2)sa
2s2 - 2s - 24 ---f (, + z)r' - fr f*tp' +Elst - +¡C + n e - W\c(s2 - 4)s + 6(s2 - 4)
Igualando miembro a miembro los coeficientes de los poiino#í..*¿*,
."t -po=E 
")YiB=l 
v
s'4,,-":'jg-'ffil=;-i-rri o.\r
'-Fi7*r-2453^A
-{?.r': 0---:-+ - +l =i6 r6
Reernplazando en la ecuacion [1]
'u,;fl#.:.J.i.Í ilr'{}_\l
,u, 1-Sa* *. 1 "-u 
nI * * * 1* - u* = I *' +! *' + *' - ] "u * 3 "-u"'616 1ó 8 22! -31. 8 '4
oi-
transformada de Lagqog
y" -4y' =2-2x-
-20
2s2 -2s-24 ru
9#sEón:
Fcuación diferencial de coeficientes variables:
para resolver el ejercicio usaremos el método dá,ia
es se encuentran en el orioen x=0. .?iniciales se encuentran en el origen x = 0. *{^\
^Q\/
t6 16
x2 y' - x y' +2y = 2¡cot g0nx) ...... ill
¡ I r 1 J ,J J -a-=¿*x*-x- +x' --e-'+-e "!8 4 t6 16
ffi Rutotoutlaecu*eión 'x' yo - ry' + 2y= 2xcot g(ln x)
\¿!a ov¡g¡c¡ rgcuña ÉELeLiE ..!ULIO CESAR UE¡ERHUAGA trtrNDE
JULIO CESAR IJBERHUAÉA EENDE trVIDIO TATUÑA EOLQIJE
Es una ecuación diferencial de EULER, esta se resuelve con el siguiente cambio de variable:
Cambio de variable: ¡= e' Derivando
x=et dO ) dx=e,dt =
. dv dvdt dvdt dv
It =:=¿.-=L.-=:.e'' dx dxdt dtdx dt
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*-24*zy=2e'|cotsdt' dt
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de la ecuacion [2] planteamos la solucio{t
i:
cuya ecuacion caracteristica sera: + "Jt
luego la solucion homogenea es: = ,h :
Para la solucion particular "f, " usarem{s {
lt=etcost A lz=dsent ademas{il
de la ecuacion [2] planteamos la soluci
\ cosl¿sfr-
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senu ';
4 = 2e\@lnlcos ec r - cot g rl + cos r) - z' cti s
La so.lrqbión general estará dada poÍ y = yh+ ye
¡4¡,ra ( q cos r + C rs en t) + 2 et s ent lnlcos e c t - cot g
Retomando ala variable original sabiendo ademas qué;
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u'=L¡r1=L( ,-' dY\.¿t =* .a ¡' &\'/ e[ dt)dt dxdt\
Reemplazando en la ecuación [1]
l"' tt'l
=ilii'{4-34 r1"¡au=i,,=[ffilf<ad"=1"7 
"" 
o
Vk", v,url le'(cosrr
trvloto fAEuñA trBLeuE .JULItr EESAR UBERHUA6A EONDE l5
JULIO CESAR UBERHUABA C6NDE gVIOfg TACUÑA EtrLG¡IJE SOLUCIgNARIO DE EXAMENES
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$ R"rolo., laecu¡ciónintegrodiferencial l'-6ie^aty(.X,)d)"=7+e-3' ; y(0)=l
'',:l
dd convolucion, además se tiene las condiciones
aplica.r. la Jransformada de Laplace. a-\It
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o'(s)
+1X
r(s -
iibr: s(i;2)(s+3)'?
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I s" +,st-\ s+
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(s+1)(
snAs:¿-¿:
i¿,'.s+3'(s+3)2
+r)s+f {s-z)s
necesano se tencra:
to trvtDtt] TAtruñA trtrLeuE JULIEI trEsAR UBERHUAE¡A GtrNOE
JULIO CESAR UBERHUABA BONDE OVTDIA TACUÑA OOLQIJE BOLUCI gNARIO OE EXAMENES
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Solución:
Aplicando la transfrormada de Laplace a la
y'+4y = f(t) ll¿{ }
s'r*, -s4p t'Ío)++rr, =4n
+ r,,, =fr(2"+1+{,¡) .....
Para calcular {4 Primero definiremos la
Se sabe que: sen(0+nn)=-ssnQ
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r (,) = - *.1'Q - l)r(, - ;). *, I
t=Hi.ffi(3'"
',,,=';^affi¡-Fb ó['*^.,? \
ruou?.*for.uda inversa d.' , ,1 , ' , 12 ,
O' (s'++) (s'++J
Seguo el teorema de convolucion tenemos que:
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rr,.,= -"i' frr* "+' * 4 Gsf
:+ ",r=*[r,t-ffi*,
i'' {,-á ó} = i, 
senzt * senzt) = tl **;';ü
ovrorÍt r¡cuña EtoLQUE JULttr trEstAR UBERHUAGIA E¡ENDE 17
dULIO trEBAR UBERHUA6A CONDE OVIDIB TACUÑA ÉOL@UE SOLUCIONARItr DE EXAM€NES
Por identidades trigonometricas : sena . senB =][.o*a - É) - cos(a + B)]
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/(r)=[2J"# +!,"n?¡' ffi-Í*,,g s+)l#t3n) :"' [' [ 
-*etri .t +)
ai*: i)*,i,t;ll],('-,
18 cVID¡tr TAtruÑA GÚLQUE JULIC¡ CESAR UBERHUAEIA CtrNDE
JULIO CESAR UBERHUAGA CBNDE OVIDIO TACUÑA CgLQUE SE}LUCIONARjB DE EXAMENES
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 207 SEMESTRE.II/ 2O1O
*Jt-r, -gs +g s2 -gs+g!-.-_-)=- =-=- FD (s2+4s+4)2 
[G+zir]'
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Soluciónl
f(x)=(2x- sen2x)2
Desa¡rollando el cuadrado : /(x) =
$imFlificando, para esto usamos
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.f (x)= 4x2 -2x+2xcos2r* 
I -]"o,42
f(x) = 4x' -2x+1+2xco. zr-].o,
Primero analicemos el operador
Elanulador de: 4x2-Z*+2 es:
El anulador de: 2xcos2x es:
I
Elanuladorde: -acos2x: -+ (D2a'
Elanuladorde: lcos4xes: -+ (
8
El anulador de la ecuacion [1] sera el
GEntonces: y
Sotución: 4tr
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s2+4s+4
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- 1 l2(s+2\ 28 I 1:
-!-
-(s) (s+2)2 (s+2)a '(s+2)a (s+2)2 (r+
ovrDlc¡ ncuñ¡ coLeuE JULItr EESAR UBERHUAGiA trENDE 19
J!JLIO ÉEsAR UBERHUAGA CC}NDE OVIDIO TAtrUÑA trOLOUE
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D _ 1 12 28 ¡¡-lf)
'q')-(u+l)' -(r+A''(r+¿f lir' 1 i
sabiendo que: .I;r {_ é_)y= K 
"_*r,_,- l(s + a)" J (r-1)!
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(s+ 2
Eatonc,es
,
(,r+2
t12
*a - tr*zr' - (s + 2)a
- J'-[r¿"1 = ---\-/ ls +
Iuego la solucion hoiiog- enea 
"*,- 
* ! ¡ = e' (Ct cos x + CSenx) .......t2]
P¿ra la solucion particular n/u n usaremos Fl metodo-de váriacion de paramefros, para las soluciones:
Ir =etcos¡ A lz=e'se¡ix ademas: frr=*
o\Y,'g,r"fj t 
1, fll .'
a.La$Lcioo'f ri pr*t**"r?l;aeJa*uacion [1 ] planreamos fu ;olÉ.¡¡ii ftáftAg.ftA: . .3'. :;ffi6 y, + 6y = g
cffiecuacioncaracteristicasera: = 3r2 -6r+6=e + qrÍjt =-l =) r=j,ti
DVrbttr reuuñe galrpuE JULIE¡ trESAR UBERHUA6A EtrNOE
JULIB CESAR UEERHUAGA CONDE OVIDItr TACUÑA COLOUE SOLUCIONARIO DE EXAMENES
La solucion particular tiene la forma: I o = ütlt + ury, .......f3f
Para ello determinamos el wroskiano:
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W =e2'
Resolviendo el sistema se tiene:
Reemplazacdo en la ecuacion [3]
Solución:
Sea la ecuación diferencial:
=e" f,?"t, tjrrjgg sl\ s ey2 x) = e2'
despejandd "y"
+*
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F=-*Lu,=-l*o
l"+* L,,=!*0,
t. ,
I p = utlt + urY, = !¡¡lsos xle' cos x
La solución generaiestará dada por:
y = e' (C, cos x + Crsenx) +1e' cos
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de la ecuacion [l] planteamo$,i
É
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Expresando como difefficiales :+
ou
Cuya ecuaciorlrcFracteristica sera: :+
como operadores.
ovtoto rAcuñA troLeuE .JULTO CES¡AR UBERHUABA CONDE 2l
JULItr EESAR UBERHUAGA CONDE OVTDIO TACUÑA CtrLG'UE SOLUCIONARIO DE EXAMENES
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Usando las siguientes propiedades
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#r=#o,I 1o+ o¡"a
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-+-or 
-l19D',I
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. 7.i!5,
Yp=4+:3,ei
La solución
Soluciónl
Primero la
la
Sea la
f(t)=t'-
r
a'
^¿oo
ao*
2 !t3+-e'-96
, por lo tanto es conveniente aplicar
de una forma adecuada.
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{n=3-á.2;:.|:#.+-$tt
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"r"l =;-t *t-,o *", ilr'{ }
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i _J-._ii: JL._
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I I s)_+_._ |
s' 2 s2+4)'"' .\O" /\t' s" 2 s'í'/.i s':¡=!*:
n+*-É.; +.;1r#É-f.'
22 ovlDto rAcuñA coLeuE JULIO trESAR UE ERHUAGiA CONDE
trVIOIO TACUÑA COLEUE SOLUCIONARIO DE EXAMENEE
Sabiendo que: r'' { k\= k r"^ [s" J (n-1)!
fft\=s-!t+2o rz -16 ¡ +Lf =5-4t+llt 2l 3! 4t
+ tr=*[*+,+3+{,¡)
I
*1++\*.Fn.nl
t--t^t-t="[;i.¿,J.¿.É.[*
Resolver la ecuacion diferencial:
.y(0)=l , y'(0)=3
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Solución:
Aplicando la transformada de Laplace a la
y"+/=cosh(¡)+f(t) ll¿{ }
s'?{,¡ - sy(o)-#. {, = É* {n
Para calcular {s¡ primero definiremos la
l( z\ "1 (vf (t) = s enzt p(t) - s en2llt - ;J . =4u1r -
trvrDtct TAcuñ.A ctrLeuE JULIO EE5iAR UBERHUAGA CENDE
JULItr CESAR UBÉRHUAEA CgNDE EVIDIg TACUÑ,/\ COLOUE BOLUEIONARIO DE EXAMENE9
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,, I s .l s ,r 3 .l(^ 1 2'\r 
= ----(s) Zs2+1 2s2_l's2+l's2+l' 3[-sr+l s2+4)
I s I s 1l I I 2 l(^ | 2 )-i" il--rrr
r,.\ =._-T ---T-r L--- tc - tL \ r\r' 2s'+l 2s'-l 3s'+l 3s'+4 3[ s'+l s'+4) rr ('
\o'+/
')-
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y(r) = [1.or r * ].orn r * ] r", t - ! s enzt\ p1t) + ! (z s ent - s enzt) p@l\¿ h:i. e;4¡,.l r / l,i
ü.b-i'g¡,.rlcosnr)r(rr+il^*('-t)-'*,?;i;Y,T-i)
24 avtotg recuñe claLqtuE JULItr GESiAR UAERHUAE¡A CEI¡!¡DS
JULIO CSSAR UBERHUAGA CONOE OVIOItr TACUÑA COLQUE SOLUCIONARItr OE EXAM€NES
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 207 SEMESTRE .I/ 2011
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Solución:
Simplificando y agrupando la
Cambio de variable: 2x-l = e'
2x-l=e, dO ) 2dx=e,d
(2x-1)2 y' -4(2x-1¡r' = ¡ (2x-t'ex-r)t
, dv dvdt dvdt dv
r_f =..:=¿--=L.-=_J--' dx dxdt dtdx dt
r=ft{t)=ft(r,*)#
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"'' (o "'' (# - *))- *' ("1,
/,a ,\
I {Z-9)-89=¿ !''
\df dt ) dt e'' +l
de la ecuacion [2] hallamos la
Reemplazando en la ecuación
cuya ecuacion caracteristica
luego la solucion homogenea
Pa¡a la solucion particular }lp
t,=l A y2=e3t *(Stt ;J
:-l +-4u
6J^e" +l
ovtoro tacuña coLeuE ¡JULrEl trESAR UE|ERHUAG¡A CONDE 25
JULIO CES¡JR UBERHUAGA CONOE ovtoro TAcuÑa coLQUE SOLUCIONARIO DE EXAMENES
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, ^ = -! -": arcts(et, - 
| ,- I z, ,l
3 3 " 6rnle-+rl
La solucién general estará dada por: y = yh + y e
Solución: Sea la ecuación diferencial homogénea: '
(s en x - cos x) y' - (2s enx) yt +(senx + cos x)y =- Q x ll (sen x - cos xI 0
.^^.--. rt,"-i':r..,*.r'- -- .=i -fZsenx ,::'ilúi+:üiS¡ -,:,.:: .+;
Qt
p,¡,";:':.-;""';,"u¿ffi .#ili0,'¡er¿iñ,$"rl**,J;'l
convolución, por lo tárito esicEñveñiente apliér lá
lái,écuación integro diferencial dada tiene núcleo de
transfqrmada de Laplace.
!G) = ,- l,rt - it¡t
"* \
{"r = É-'* yr,l = ¡a: l.{'}¡
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{,, =f-ri{,, =,*rfi;fr".{'r.'{ } - va,tJ senx''
Si consideramos aru *6Tutf$npieslai'óorno:, y, , = y, ) t, = senx
Entonces tu otru rotlq¡qn*g$pr¡ede iatcul¿ir.usando'la formula de Abel de la ecuacion Il]
v,= v,l#a1¡Si""a; que: {,, =-:Í:-"!:::0), - (2" ''.'-:' a--' ' (¡) s"n x _ cos x
¡&-0, [r¿,r-@sr-6r'r¿dd, l¿,-l*'.,"*¿,
y2= senxpgJ'-7:-¿x = senxl""""-:" dx= senxrr""""r'*" d,
^\- 
sen-r ¿ sen'x ¿ sen'x
,rV '*ld(s"n¡-w't
^J' ¡g" 
J '",'-*' , te'.h(sear-cr) . - ,e'(senx_cosx\)t{}senxl u,¡, ox=senxJ nr\ dr=senxJ-: sen\----dx-[p,,,¿, 
= 
"f \Xy,= y,[l]at ,uft-oo que:4.\. \lrf Jer.r-cosx
Fr1 ({z' - r )' + ( 2x - r )3 arct g (2x - 1 ) +i t lt * C"., l)
' :r . +1 ': - \,
¡41 Áf¡*8lui:ión particular de la ecuación dif*áciat.
(sen r - cos x)y'';: (2senx + (senx + cos r).y = 0 Determinar la so
)A gvrDrB Tacuñe coLquE JULIO CESAR UBERHUABA CONDE
úULIE CESAR UBERHUAGA CONOE OVTOIO TACUÑA CBL6UE SBLLICIE NARIO DE EXAMENES
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|e'ñ'-6t ' |e'lz= senx 1-- r;ax- senx i-
Ir=l - dx Integrmdopor
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I . a6¡+SE .
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dx= senxl:----;-dx
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Tambien se podria encontrar
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obtenida la
diferencial:
Se puede noiar que la ecuación [1] es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Entonces buscamos
su factor integrante:
c¡vroro rAtruñA etrLeur JULrtr.ÉESAR UBERHUAGA ÉIf NDE 27
s{r, *(s' +z)rur=l+K+s +-
^9
"(
{h *l
rd(sa:-w¡)
, a . *nt-$x
lr= t"r*[!- , dx= senxl¿ sen-x
¡ e' senx - c,os x e'Y"=senxl-dJ sen'x
como: y=Cryr+Cry.,
JULTO CESAR UEERHUASA CONDE OVIDIO TACUÑA COLgUE =trLUCIONARIg 
DE EXAMENES
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K+S ,r-=f,;\tn =*-i
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luego la..,eyaluamos en: li,,
:r*.:-"'it.
ion [3] iordenando.
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Sea la ecuación diferencial: y'-3!=.ft¡ .'.'..til ll¿{ }
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JULIO trESAR IJBERHUAGA trONOE OVTDIO TACUÑA COLOUE SOLUCIONARIO OE EXAMENES
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Para determinar {r¡ , primero se debe definir la func!ón {,,, teniendo en cuenta que es una función
periódicacon: I=3
Definiendo la función {,, se tiene:
^ lf ;0<¡<lItt=lz-1t-2¡2 
; r<r<3
Aplicando lá transformada de Laplace,
r!1T'Llral = iF le-" f,,dr
/ r I ft 3
Llfu,] = Fut= .:=LI, "' t'dt + ! e
o,=.!f :(r-ial;-
{,=,![-+('.:.3).i i
{" =*=[-n'l*3-"*[i-
.. l r [ -.4 z¡/-\ =--........'.'._t -É 
-T--\o, (s-3) l-e-" L r' .r'
e-'41v =- - --------i-¿- --(r, l_ei" (s_3)r: 1_r-rr (sl¡l
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Se sabe que:
-4:=r*f ,-t- =ir-"rznt .fl-e-"" ;i fr <)l _1 trl _1I =27._23Q'9- 3(s-3)s3 s-3 '99 ' st ' s3
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G=5(+ 3-i) = *5 #F ¿" = 3.?Í3*!'n b ecuación r3l
ovtDttr TAeuña cBLeuE JULIO CESAR UBERHUAE¡A trONDE
.JULItr CESAF¡ UtsERHUAEA CBNOE OV!OItr TAtrUÑA COL6UE SDLUCItrNARIÉ DE EXAMENES
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JULID GESAFI UBERHUAGA CONDE OVIOIO TACUÑA CtrLQUE SOLUCIONARIO DE EXAMENES
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SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 207 SEMESTRE II /2011
0 tt y{x) , yr(x).Son soluciones de !a ecuación diferencial lineal homogénea:
x(l - x ln x)y" + (1 + x2 ln x)y' - (x + l)y = Q Deterrrinar \teyt,r,.i
Solución:
Para una ecuación diferencial: y' + Pp¡/' +Q,,y = 0 ....... [11
El Wronskiano se define como: Ytl =\re),y,e.tl= g r'l\no'
Llevando la ecuación diferencial dada a la fcrma de la ecuación [1]
," * (1 + ¡' ln ¡) v,- --Ej])- v = 0 ....... i2r' x(l-xlnx)' ¡(1 -¡lnx)-
ldentificamos:
o _ (1+x2 lnx)
'(') - r(l-xkrr)
Por lo tanto el Wronskiano sera:
w = g ;!\aa'- ";i$#" = 
c e,, ......f3)
é,
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en -l
l-ue" ueu -l ueu -l ue'-l
r, = ! t au * !ffi n - !fr:_! a" 4$ +lnlue' - { - z = r + tn lx h x - ll - h x = en [3]ue" -1 *'-1 ^t>
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= C e'*hl,b,-r1-r"' - 
" 
¿"(xln ¡ - i#T
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{-
\v,(i,v,ol='ÚE)
Oáenando la ecuación diferencial para la cual multiplicamos por: (3x + 2)2
Q x + 2)2 y' - 3(3x + 2) y' + 18 y = Q x + 2)tg2 (ln(3r + z)) .... ". [i]
La ecuación ['l] es una ecuación diferencial de Legendre
Cambio de variable: 3x+2=é Derivando según la regla de la cadena se tiene:
Resohcfi y, - ,^31' 
=. 
+-!L= - e h(3'*z) ,rz ¡kr(3x+2))(3x+2) ' (3x+2)2
Soluqi6¡l:
trvtDrE r¡cuña troLeuE .IULItr trEsiAR UBERHUABA,CONDT 3l
JULIÉ trESAR UBSRHUACA CONDE OVIDIO TADUÑA EgLOUE SOLUCIONARIB DE EXAMENEs
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L$olución general 
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trvrDta rAsuñA trErLquE JULIO CESAR UBERHUAEiA ggNDE
JULIO CESAR UBERHUABA CONOE OVIDIO TAtrUÑA COLqUE
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Retomando ala variable original sabiendo ademas que: e' = 3x + 2 + t = ln (3x + 2)
= .'.
y=Q,c+4{c,cos[ln(3r+2)] +c,senfin73x+2)]+;(se,r[ln(3x+z)]hlsec[rn(lr+z)]+rg[ln(:r+zl]l-z)]Solución:
Primero se debe encontrar, ./1r¡ y luego
Sea la ecuacion diferencial:
Para poder aplicar la tansformada de
partimos de la definicion.
It;t-a>olt>aull-al=<' L0; t-a<0 + t<a
^^ rr -\ | ; ls-fl>t 
:+
plle -f l-71=1 
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Calculamos la transformada
t l¡1t¡\ =i e'' f (t) dt .#*o .+'
r{i,(e¿s-z)}=-1(""n') +(*ttl'r
s,1ir-ut-r)) = i['.,', - "-,r,) \.lta
Aplicando Laplace a h écuación [1] lli
s'? {,¡ - s r(0) - /'!0) + 4{,, = \a (ls - t'l- t)l + z eu'
(s'?+4){r, =l[t+r*" -€'&f+3e'' -2
ovtoto TAEUñA troLeuE .IULIB CESAR UBERHUAGA CONDE
JULIO CESAR UEERHUAAA TONE)E OVTOIO TACUÑA CALAUE €OLUEItrNARIO bE EXAMENES
(s'+4){", =}[r*u*l
{, =6*¡;[t+"'"
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Solución: ,
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p(r - ^l 2) + i s en2(-5) p(-5)) 
-í- ' -í-
P ri m er(¡t: d e¡a eh-éo ntra r, et m¿tooo' mfs ad,'ec
tranq!ffi ada dá LablaeeJ¿ü¡at¡EneÉj
la regla de la cadena. y'=+ , y'=* , y'=d.tt-
Reempüzando 
"n 
l" u"u""ffn oir"r"n"fr s" ten¿r¿'1
el ejercicio usaremos el método de la
en el origen f = 0, para'esto se
Para hallar
Por definición
,o)=(1-i
¡lvlDro rAcuñ-A GtrLquE :lULlO BEE¡AR UÉ¡ERHUAEiA CONDE
JULItr CESAR UBERHUAEiA CONDE OVIDIO TACUÑA COLOUE SOLUCIONARIO DE ENMENES
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#-6iF+l2Z-82=Zx'e" + ttOl =-1 , "ío) =0 , tio)=Z
Aplicamos la transformada de Laplace
' {# -, # + rz fi a,} = 2L {x2 e" I
st z 
rr, - s' z p¡ - tr(r, - "ir) - 
e(s' z r, -
r3z(s) - r'? (-l) -^r (o) -(z) - o(s'
s3 z e) + s2 - 2 - 6s2 zrr, - 6s +l
- 4 s2 -ós+10ut-\------(¡r (s-2)" (r-2), G
_122¿1s¡=-----+G:2y-Gt
Sabiendo oue: /;rf " ] =' L(t-o)'J
2 ", 2 r-, 4z, , =-e" +1e"x-ae"x2 +at¡, 1! 2! 5!
Pero: !p¡=21,¡ y t-2
¡tdla
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ovtotEr rAcuñA troLeuE JUL¡tr eEsaR UEERHUAG¡A trtlNDE 35
JULItr EESAR UBERHUAGA CtrNDE OVIDIE¡ TACUÑA CELQUE SOLLJCIONARIB DE EXAMEI{!S
SEGUNpO EXAMEN PARC|AL MAT e07 SEME$TRE t/ 2012
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Se tiene de la senx
-Í
senx = J (x
¡COSftsenx = I 
-l
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:ii . 'f
sen'x.
Reemplazando
Reemplazando en
b) Para la
caso
en y'+
-senx + (tgx
f (x)senx =2\
yr = t senx,
ehi:onlradas anteriormente, en nuestro
]+-.ry1ruerifr 
t 
,
; -'$" rp*- i's"¿ * /( x)sen x = o
.' 1, É,.' ..'
:. ':,1 j: ' r' ;.
f G)=2:Yi=2catg2x :+ f(x)=2cotg2x
: ,!:rr,
:l .
..
4fr
$sl¡¡s¡.ón:
Se puede notar en la ecuación diferencial que si se reaiiza el cambio de variable, yo = p esta se reduce de
orden.
JO trvtD¡tr recuñe trc¡LFUE JÜLItr C¡ESAR. UBERHUAGIA trÚNC}E
P (2x + 3)2 yw + 2{2x: + 3) yv + y* ="*tt"'l . rr, I l"(2I + 3) I\-.t
JULItr CESAR UBERHUAGA CONOE OVIDIO TACUÑA COLGUE SOLUCItrNARIO DE EXAMENES
Si: ytv = p --U-+ y' = p'
= Reemplazando en la
(2x +3)2 p' + 2(2x +3) p' + p = (2x +3)
La ecuación [] es una ecuación
Cambio de variable: 2x+3 = et
2x+3=e' d(l > 2dx=e'dt
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o'=ft10')=*("" #r) *=
, dp dp dt dp dt do-.
D =: =.:-_=:._=.:..' dx dxdt dt& dt
Reemplazando en la ecuación [1
a,(0,-,(#_*)).",(
/,) ,\
4l {4-gl+4!L+ o="'
ldt' dt ) dt
de la ecuacion [2] hallamos la
cuya ecuácion caracteristica
luégo la solucion homogenea
Para la solucion particular p, "
tt
¡? =cos- A D.=Sen-2"2
l---------.-----
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ovroro rAcuñA trtrLeuE .JULIO CESAR UBERHUAGIA trONOE
JULItr CESAR UBERHUAEA CONOE OVIOIO TACUÑA trALQUE sOLUCIONARIO DE EXAMENES
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=!r"r!'lr"nur'¿r*!"or!'l"orr"'du-!rorl'Ír'du e4 2j 4 2l 4 2l rb¡0¡B
sabeque:Je-senbudu=fip1or*bu-bcosbu) n!e"cosbudu=#-(tr"rur*ororur),eQ. 
¿
I t(e'. .) | t(e'. .) I t -f c)
=lsen=l :(s€nt-cos¡) l+-:cos;l l(senf +cosr) l-lcos:e' ^O' É4 2\2' ') 4 2\2', ',) 4 2 O' 9
=!,",'l"or|-**,i(r.o,'f-rl*{ "or'!,",1*("orl(;z"rn'i\-Io& :4 2 2 I 2\ 2 ) 4 2 2 8 2[- ----2) {f2-
=!r"n'l"or!*!"or'!rrn!-"' ,rn!*r'!+/ --"t ' et - -t e' ' ''lYt' -i "or' n,4"-.. 2---2, 4-"" 2"-,"2 4--,.2*- 2, gt"rr*l"ort-;:b* 2 4 2
et t e' t e'( t t\ ,1,?=-Sen---COS-=-l ser--COS- I .V8 2 8 2 8\ 2 2) ü
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La solución general estará dada pori p - pr,+ pe 6rY
^ t ^ t e'( t t\ ^</'P = L, cos:*L,s€t1:-1-:-l sen--cos- | a)' " 2 ' 2 8\ 2 2) ,.\
Retornando ala variable original sabiendo ademas que.:g¡v)r * 3 =) t = ln(2x +3)
- _. ^^.In(zx+3)l , n ^^.-ltnlzx+3)l (zx+¿,f _ .-f h1zx+3)l _[rn1zx+:;llp=Lrcosl l+L.senl l+-tir{senl- l-cosl 
- 
liL 2 J L 2 J 8-L | 2 J L z )l
Pero del cambio de variable inicial se tiene que: p = yt'
E{?ecuaciónintegrodiferencialsiguienteí f(t)=2t'+g1t¡+ZIf\\sen(21t-Al)dA.ha¡ar
\./ 0
-J , 4 5 ^ l0t3+2ts> fafunción g(r),sabiendoque /(r) r'ienedadaporlaerpresiónzf(t)=-¡'ss53¡1?
Solución: Primero en Ia ecuación integro diferencial aplicaremos la transformada de Laplace al tener núcleo
de convolución.
f(t) =v' + g(t)+2(f(t)* sen(tu)) ll ¿{ }
ovtDro racuñe coLeuE .JULIO CESAR UBERHUAEIA CONDE
y,,=cf*[!{3.1].r_*lx9].qr{,,"1",r;.rf_.*[r3.2]]
Se debe integrar cuatro veceslgfrencontra¡ la solucion buscada )r"
y,, = c,.": L{sP]. **,1^3-]. qr {-, [',,;.',, ] - .", [*3.r]] il lJ lJ
úULIO EESAR UBERHUAGA CONOE OVIDItr TACUÑA COLQUE giOLUCIgNARIO DE EXAMENES
-3! 2F,r, = 2\ + G,si * 24sr .--s- \", \"/ s" +4
:+ ,*.1,, =Í*o.,,
ru=f(f.',r) = {o=f.{.{#q,,......u,
Para encontrar la función {s¡ aplicaremos también la transformada de Laplace a la función /(r)
fO=f,*]""stt+zf +?ts il¿{ } 4¿o
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l',., =-'-*-...-\o, o - o -rri i4n;+rzl++a { 6frs-
Reemplazando la ecuación [2] en [i] se tendrá. 
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; i4 Flr-5.$=5-$.#q", Despejando: G1,¡ .+oo
",,,=(*)(íi.i*)=i*d"[**] *{t-r 2l o"
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+
Dada la ecuación diferencial, rgtolver aplicando la transformada de Laplace:
.)-.tl'+ 4/ = senht + g(t) i y(0) = o
G- | ^. n,.,5r
Solución: AplicanqlYa transformada de Laplace a la ecuación diferencial.
r'+4y= r"rffig¡ il¿{ }.Ors{s¡-4p+a{o =7;*qo
l'o
O + y,^.= | ( 1 \r', s++1sr¡+QoJ """tU
Para calcular Qs¡ Primero definiremos la función g(t) representada por una función continua por tramos.
f / \ / - \fI r ¿ \ I \r \ |
sQ)=senz.tlt'1,-;lol,-lll.y I lL \ ./¡ \ ¿lj -;;r*ffib*r""-
trvroio r¡cuñe trtrLeuE JULIB .trESAR U EERHUAÉA trT]NDE
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JULItr CESAR UE}ERHUABA ÉENOE OVID'O TACUÑA TtrLOUE SgLUCIONARIg DE EXAMENES
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Ordenando la ecuac
De la ecuación [1]ar:
La solución de la ec':r
Por lo tanto se debe
variables podríamos
puede calcular por te
cero una solución se
1, 2 x
r(x+l) (x+1)
Ahora por la fórmula c
Además se conoce qr-
¡ 1--2
-l'' )-
. o J ,lr+tr"
v. =e'l--d:J e¿'
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r,=!4=a' vo, r
,'=-*-l:"8
v,="'(rJ¿"Y--
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Por lq9hto la soluci
PEfla solucion partic
lr="'n Yr=|
Siademas: {¡ = (r*
201
coeficientes
primicial, se
como resultado
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Solución:
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JULIO CESAR UEERHUAGA CtrNDE BVIDttr TACUÑA CtrLBUE SOLUCIONARIO DE EXAMENES
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Solución:
Ordenando la
(x-2)2 y'+5(x-2\
La ecuación [1] es
Cambio de variable:
x-2= e'
Reemplazando en
, dv dvdt #'
V ===L,-=_+-," dx dr dt dt.
,'=fttrl=ft(:¿ -,( ¿', dv)g ¡ _--,
\dt' dt )
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dla ecuacion [2]
dt' - dt
cuyaecuacioncaracteristicasera: :? 12 +4r+8=0 = (r+2)2 =4 + r =-2+2i
luego la solucion homogenea es: ) yt, = e-2, (Ctcos2t +Crsen\t) ..... .t3]
Para la solucion particular Lro 
n usaremos la formula de Green para las soluciones:
el punto: y(0) = a
42 ov¡oto rAcuñA trtrLouE .JULIO CEsiAR UEERHUAGA CONDE
JULIO CESAR TJBERHLIAEA CBNDE
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to =tr"rztf it*r'r-t ¡
4={senzti¡r*zu-tgu¡
La solución general estará
! = e-a (C, cos¿t + Crsenlt) +
Retomando ala variable
n¡rora anal¡za6ñs iá
.o
que halp existir un logariüno
ecuggbY d iferencial no existirá
o
puede notar
imos que la
para: x>2.
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,,=lP H;rou=i
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lyíro y'ral
e-2'f 1 Iy- =I--l -lcos2tsen2f +-7l ) )
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.JULIO CESAR UBERHUAGA trONOE CVIDID TACUÑA CtrL6UE S¡LUD:ONARItr DE EXAMENES
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S to ta eeuación integro diferencial siguiente: y'(t)+2y(t)+i y(u)du =/(ri , con y(*) = 1 o donde
it ; ocr<l
/(r) esta dada por: f(t)=l*t +2 ;l<t 12 E{allsr la trausforn¡ada de La Placc de:
L0 i t>2 óQ
t-y(D ,t , -l-i " -u ,(r-vlt))dr ,ó',, t -\' 't\')i'' +"
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yit) -- (l-2te-'7pqt7+lt- e4'D
Evaluando en f = 1, luego.
- (t -',¡e-r'-D1r(r -f) - Z [f - e-Gz) - {t -2)e-t'-:) l¡1Í - 2)
.F
Para poder encontrar la transformada de La Place de la integral primero se reQuierg*terminar y(1) por lo
tanio primero se debe encontrar y(r) ! luego evaluarlo en r = 1. {'}-\
Segiaecuacion diferencial: r'Ur*r^r*'lflr4ar= ¡l¡ ilrt I rS,oV
s{s) -lCI + 2rr,l nf {rr = {,i
*
'ttY^</.r /- .V
1., =_;f E"¡ttJ .......[t](¡, (s+i)'\. l+d2 /
Para determinar {r,, primeramente definamos /(rS¡Y
iQ) =t u(t)-tp(t -r)+(2-t)p(t -r)-(2-t)p{t -E)
f (t)=tp(t)-z(r-l)Í(r-l)+ (t -z)p(t -z) ll ¿{ }
y (t) = {r - 2t et } p{fl + lt - e' - t "-' } r 
(t)1, 
-, -, 
- zlt - e' - t "' f r {t)1, _, _,
ovtDrc¡ TAcr.¡ñA cr]LquE .JULItr G€*AR UE¡ERHilAAA AÉNDE
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE OVIDIO TACUNA COLOUE StrLUCIONARIO DE EXAMENES
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Por definicion se sabe: ,,,rtj; :::
y(t) = (t - 2e-1¡ + [r - e0 - 1o;e0 ] o - z [r - e' - 1- r¡e' ] o
y(1)=(1-2e-t)=t-?="-2 Oee-.O
Porsimplisidadsepuedeconsiderarque: y(l) ===K (Constante, dC*
Reemplazando en la integral:
,;,,='í+;(;-;;,, tzt _,3o
A.¡¡iicando la propiedad de la función escalón unitario: ^¿"
t{gQ - a¡ p1t I o)l = 
"-"" 
L,{g(t)} = " 
"' C ,^ ^O+'
Aplicando la transformada de La Place a la ecuación [2] teniendo en cueqg{3 propiedad mencionada.
H,n="-*'L{1"'-"-' o,I V?,.(s)-" "II , "') .?,
Sealapropied ud' LI1QI ? - -l'' Óv r' '-l"J=J4')d'" 'tl/{0F'J=-:'
H,.,=e-K,Li[ r - r lr,={["fr:)t]r"fr[4].l\-, slls_ls+tl sLr,\r+t)J,rL[,.iJ.J"
\-/
",., 
={fr(r)-hf'-l)l -'-$j('*'') - "{?l' .,"['*l¡ - "(?)' .,"frl)"(r) s [-'''z -'('.i4:f '[;J= ' "[;J= , '"(,-'J
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IS$ylión: Para la solución del ejercicio usaremos el método de la transformada de Laplace, como las
coYdiciones iniciales no se encuentran en el origen I = 0, para esto se debe efectuar un cambio de variable,
es decir: t-l=x y lg=z¡,¡debe notarse que cuando f =l = ¡=oluego las condiciones iniciales
cambian a zror=0 , t@)=1, las derivadas también cambian, según la regla de la cadena.
,dz.d2zl=-; , l=-:;ü ü.'
ovrDro recuña coLBUE .JULIO CESAR UBERHUAE¡A CONOE 45
laecuacióndiferencialsiguiente: y'+4y=(t-ll-ll¡-tll , cony(1)=0 ; y'(l)=l
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE OVIOItr TACUÑA COLOUE SOLUC¡trNARIg DE EXAMENES
Reemplazando en la ecuación diferencial se tendrá:
{"r,) :9--l:í,r =I
s2-!]+42 ='-ll'll
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Aplicamos la transformad3 de LaBleq¡** _
'1#.0'l=¿{,-iltll "-S*ts ¡
,''z(,)-,,J;-¿(q'¡e$Éffi r. +&\", g;J .i'.,._,rl
| "',,,t '-t' t''*-q¡¡(s' +4)26,¡=t+, -z{llxll}I*".ror
= 7 _ 
1 [st+t ¡fr,,,1z(E =tr.4)L?-'{lFll}J "' lrl 
,nJr
Para calcular ¿ {lltll} , primero definiremos la función llrll, narte,g¡tera solo pag@Tores de ¡ > 0 esto por ta
r'lefininión r{e la trancfnrmaáa 'lo I oiffÁ*Í ^?definición de la transformada de l-ari6óf
fo;o<xcl ""¡'q*
ll ; l<x<2 --.
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Al ser una función coritinua'iiét'tráitr 'tefiniremos en función.del paso unitario.
llxll= o[p1x- o) -7r(x - l)]+ I lpf, -le?t--z¡l+2[aG -z¡- )i, -t¡]-.l:[¡tg -3)- p(x -a)]+....
.......... + llfifni, - t)l + s [r(x - s) - ¡1x - O] + 6[ rt(x - 6 ) - p(x - T] + .
llxll=¡r1x-t¡- p$-2)+2p[xQ)-21t(x-3)+3p(x-3)-3¡t(x-4)+4p(x-4)-4p(x-5)+
ll'll = ¡.r1x - 9 + p@ - z) + g(í- | + p(x-- 4) + p(x - 5) + ¡t(x - 6) + p(x - 7) + ...........é' :.-
Aplicando ta transp¡m\aOa de Laplace. 
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¿{llrli}¡r$'- (l+e-'¡"-2" +e-3" +e'" +e-s, +e4, +..............)'' ,(v'
_.1
S$ñndo que: (l+e-' *"-2s *"-3s +e4, +e-s, +e*" +........... )=tn,",
¿ íl!jl) = +"-'i "-" -Li"-ru, Reemplazando .n u, ..uu.,on ¡,1 's -.- sfo
46 ovrDttr racuña coLeuE JULItr CESAR UEERHU.ABA tr[]NDE
JULIO CESAR UEERHUAGA CONDE OVIDIB TACUÑA COLOUE SOLUtrItrNARIO DE EXAMENES
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Pero: z(4= lo
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JULTO CESAR UBERHUAGA CONOE OVIDTO TACUÑA COLQUE SOLUCIONARIO DE EXAMENES
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Desanollando el
Simpüficando, para
Primero analicemos
El anulador de: f
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BvrDro rAcuña cBLQUE JULIO CESAR UBERHUAGA Ct]NOE
JULIC¡ 6E9AR IJEERHUABA CBNDE OVIDIO TACUÑA CtrLQUE g;OLUCIONARIE OE EXAMENEE
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Entonces se tendra:
Solución:
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"=1p$r- dx=e'dt
,^*S dv dt dv dt tu!7>L=:.-=L'-=L.e''vdx &dt dt& dt
,'=L¡r'1=d ("-'¿Y)'at -at .'&\ dt)dt &
Reemplazando en la ecuación [1]
.JULIO CESAR UBERHUAG¡A CtrNDE
rr-J$:]T"*"-..
JULIÉ 6EsAR UBERHUACA RONDE gVID¡O TACUÑA CdLQUE gOLUCIONARIC DE EXAMENES
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{# *)-'**rr=e2'ts(2t) =) #-o*.tr=e" ts(zt) .......12j
de la ecuacion [2] hallamos la sclucion homogenea: + ff- +fr"e, = O
cuvaecuacioncaracteristica serz¡: =+ rz -4r +8=0 :+ (r -2)2 =4 t r =2x2i
iuego la soiucion homogenea es: ) y, = ¿2t (Crcos2t +CrsenZt) .......131
Fara la solucion particular ):p 
n usa¡emos la formula de Green para las soluciones:
It= e2' cos}t A 7z = ei'sen2t ademas: fi,¡= e'' tg(zt)
."r, rsfy$)
*da
4 4
La sofución general estará dada por: ¿rYln+1,9r"*,
-r
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y, = - {, *zt cas Zt - { cos } (h lsec 2t + t gztl- s enzt) :+ 7o = -t"orztlnlsec}t +tg?tl
), = e2' (Ct cos?t + C rsm2r¡ - 4^u9*9, l" lseczt + tgZtl
-O're¡
v=""lcr"oszt+cr'":3rg;oszttnlser'zt+tsztlf
(!t+ J
e-original sabiendo ademas qrJe'. e' = xR etornando ala =) ¡ = ln(¡)
$a!ución:
Prinnero se debe encontrar, el método más adecuado para resolver el ejercicio usarernos el método de la
transformada de Laplace, como las condiciones iniciales no se encuentran en el origen t = 0, para esto se
debe efectuarun eambio cle variable, esdecir: t-l=x y -/1r¡ =21,¡debe notarse que cuando t=1 + r=0
trVIDiT¡ TAÚUNA trELQUE JUL¡B CESAR UEÉRFIUAE¡A GT]NDE
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,,=!P A"r,,,au=i
,o l;ti,¡ ' rt )l h
lriro y'ratl
cos2u e'u
e2'coslt ez'sen2t
e2" cos2u e2"sen\u
(sen2u + cos?u) 2e2" (cos}u + senLu
\-"
e'' ^ I cos2r) e'' ^ ll-cos'zu , rV e'ty^=--sen2ti--:: l--cos2ll dupo)3--s¿nys6s2¡-icosZrj(sec2u-cos2u)du2 t 2 ) 2 r,"cos}u J 4 2 ,^
q cos [t4r'? ¡] + c rs enir,,lx'; I - 
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(r' )] n 
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u". [t .qr' ]] + rs [rnlx' ¡]l
le ecuaeión diferencial: !w) -5y' +4y = 6 ; y(1)=y'(1)=3 ; y'Q) = y*(l)--A
JULIO 6ESAR UEERHUAGA trONDE OVIDItr TACUÑA COLQUE SOLUCIONARIO OE EXAMENES
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luego las condiciones iniciales cambian a 
^t(o\=r'(o)=t : 
tirr=z(ol--0,luego las derivadas también
cambian, según la regla de la cadena. y'=+ , yurt -d'"tca- dx4
Reemplazando en la ecuación diferencial se tendrá:
s4 - s2-
|¡-slV++z=a ......tll
Aplicamos la transformada de Laplace
4+-t++42=6 ]=ur1t¡l&' dx' )
,ozrrr- f ,rr- s2z'rr- s zior- zftr-s(s'zzur- srrr- rrr)+ 4z(st = 6I
,'E", - r' 6¡ - s' 1l; - s 1o; - i0) - 5 (s'?z(E - s(3) - (3)) + +, u, = ul
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lsn -5r' + +\ 2, ",= 9+ 3r' +3s2 -l5s -1 5\ / tJ, s 
,^--
Si factorizamos se tendra: , io'
(rn - 5r' + +) = 1s'? - 4xs'? - l) = (s - 2)(s + 2)G - l)qtlY
- 6 . 3s3 +3s2 -15s-15 
1/
'ttl = dF -+)Gt -t)* (s?-4)G' -l)
lti@{:1s':-!!
1 1 1 r^GY -i -i , o
,o, = | * fi* #.,3ft * -* * -a *"-, .,.,
31i:Y
'u,=1*3,3pJ* ilr'{}
sabiendo¿rá' ,'{fi}= rn
,^\- l(s-a'
,u'i#lr" +3e'-e-''/\zz
Pe\ío' lu\=zk\ y x=t-l
,. , =1-1 ,',-t\ +3ett-tt - 
"-u-tt.\tt 2 2
ovtottr TAcuñA troLouE .JULtO CESAR UBERHUAGiA CONDE 5l
JULIO CESAR UEERHUAGA EONDE CVIDIO TACUNA COLQU€ SOLUCIONARIO DE EXAMENES
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@ Resof".. laecuaciónintegro-diferencial: l'=3t2+sent-'ly().)d). ; y(0)=z
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Solución:
Aplicando la
y' =3t2 + sent -
/u/
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()u,, ^21 Is/1s¡ -/10¡ ='F*3d1
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Por la defini
sent * cost =
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r'i¡r, -' /,0, - t10,, * +l{- 4q | * 5iirl
til¡Jp(r-l t||s
=6e-3" ++e'
de La place.
(s' + +s + 5) {s ) = 6e-3" + 5{e-' +51e-' + 2s +'8
52 OVIDIO TACUNA trBLQUE iJULIO CEsiAR UBERHUABA CONOE
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE OVIOIO TACUNA COLOUE SOLUCIONARIO DE EXAMENES
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(s':++s+s){s )=6e-3' +sf a" +2s+8
6 -." - l+s 2s+8-1.,,.,=-c ri-é-¡-\J,, ls' +4s+5) (s' +4s+5\s'-¡,¡¡$¡16.f¡¿¡l)
.. 2s+8 - 1
¡/.\-.--..--:rv-gtJ' (s+2)'+1 (s+2)'+l
(s+2)2 +1 (s+2)2 +l -(s+2
l+s
((s+2)'?+t)s'z
1 ¡¡ = (l(s + 2)+B)s1 + C (G + 2),
1 a s = (A(s + 2)+ B)s'? +C(s2 + 4s +
Ahora igualamos los grados del
s3: O=A+C = A=-C
s2: 0=2A+B+4C+L
)
l= 5C +!
5
l+s _ 1 (s+2) _7 _
25 (s +2)2 +1 25 (((s+2)'+t)s'?
Reemplazando en la ecuacion f1] 
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ovtolo rAcuñA coLeuE ¡JULIO CES;AR UBERHUAEiA EC¡NDE )J
OVIOIO TACUÑA COLQUE sOLUCItrNARIO DE EXAMENESJULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
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Solución:
a) Sea Ia funcion: f (x)=le" +3x')
{v<.
^o-<)
Desanollando el cuadrado : f (x) = et' +6et'xt +9xu """tI]
Primero analicemos el operador anulador de cada termino'
El anulador de: e6' es: -+ (D-6)
Elanuladorde: 9x6es: -+ D7
El anuladorde: 6e3'x3 es: - Dolo=r-r=(D4)4
El anulador de la ecuacion [l] sera el minimo comun multiplo' \-r
Entonces: +
v'x2 +2vx= 4l¡3 +0,-r$f,lnx-4x - y'x2 +2yx+lxlnx+4x = 4Ax3
úuftipticando nr"u"qyif-1" por: r-' a toda la expresión para que A no este multiplicada por una funciÓn de
x. <)
y' x-t +2y x-2 4W: lnx+ 4x-2 = 4A Derivando de forma implícita 
se tendrá'
y'rt -<trt'+2y'x-2 -4yt-t -16x-3 ln¡+8x-'-8x-3 = 0
Mulffiicando todo por: x' pa.a simplificar la expresion'
,Sl
b) Cüando se tiene la solución de una ecuación difereqól t",9:.!: d:'lY la.solución tantas constantes-' * t"ng"-lá solución, luego por operaciones matemáticas eliminar las constantes llegando a tener la
ecuación diferencial buscada. )V
Para la ecuación se tiene dos constantes por lo tanto se derivara dos veces' Por simplificación' 
haremos
qr" t". constantes de la ecuación difereniial en cada derivada, no este mulliplicada por ninguna función de
x. (Esto por el hecho ¿e qüü Jer¡u ada1e una constante es cero por lo tanio de forma directa se eliminara
las constantes) .) -
Multiplicando por: x' a toda la expqlión.
y x2 = A xa + B - 4x2ln x Deriv¡{do de forma implícita se t¡ene
yx2 = Axa +B-4x2 lnx QV
OY
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{2
x2yn+xY'-4Y=16lnx
@ee|operadordecoeficientesconstantesqueanu|aa:f(x)=(e,,+3x,)'
b) Hatlar la ecuacién que tiene por solución: / = Ax2 + B x-2 -4lnx
54 ovrDro r¡cuÑa coLQUE JULItr CESAR UBERHUA6A CBNDE
JULi6 EEÉAR LJBERHUAÉA CGNOE ov¡Dro rAcuÑA coLQUE Ec¡LUCItrNARItr DE EXAMÉNES
@ Resolver la ecuaeión diferercial: y' +3y' - y' -3y = 4x' -I
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9olución:
Sea la ecuación diferencial de orden superior de coeficientes constantes: y' +3yo - y' -3y = 4x'- t ""'[t,
de la ecuacion [i] hailanos la soiucion homogen€a: :+ y'+3y''y'-3y =0 
^q/
cuyaecuacioncaracteristicasera: = 13 +3r2 -r-3-0 =+ (r2-1)(r+3;=0:+ r=-3 n r=1 +)rv=-1
luego la solucion homogenea es: ) ln = Cre-3' + Cre' + Cre-' """'l2lOv
Para la solucion particular )', " r¡sa¡emos el metodo de los coeficientes indetemrinados: _^y
A.l ser: /(x) = 4x2 -lun polinomio de grado "2", resonable sospechar que la solucion ptflffil". es de la for¡na.
:+ !,=.\x2 +,4"x+A"......r3r --,,-+ I';=:1'.^ ur¿ulví=o &"
Sustituyendo en la ecuacion [] V
o*(z,q)-(z4x+ 4)4(,\x2 +,4.x+ .4r)= 4x2 -t 
'\ 
orTq
-34t'-(24+z,erlx+(e ,E- 4-z't") = 4*'-l ...'..'141 &'
Igualaodo miembro a miembro los coe{icientes de los poli¡grnios se tendra:
x'i -3,1,=4 '3* t
x : -(z'lr+2,1"1=g :+ '4r=; I
xo: (d,tr*'a"44)=-t + 4b-+ "
r:v 4" I Tl
Reemplazando en laecuacion tll-* + lo=-|x'*;.- U
La solución general estaÉ dqppoti y = yh+ ye
l rr"t' * rro + cre' -!x' -lr-#
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? diferencial de coeftcientes variables: f y'-xy'+2y =xsec(lnx) """ [u
Es una ecuación diferencial de EULER, esta se resuelve con el siguiente cambio de variable:
Cambio de variable: x = e' Derivando según la regla de la cadena se üene:
x=e' l) I dx=e'dt a, 4="'
ffi
O n1áve" ta ecuación diferenci¡l¡ xz y' - x y' + 2y= nsecQn x)
Bvrortr .|.¡euñ¡' GoLQUE ¡JUL¡T] SESAR UEERHUABA CONDE
JULIO CESÁ,R UEERHUAÉA CONDE OVIDTO TACUÑA COLQUE
y=+=+'+=1.4=1.n' = y'="-'1' dx dxdt dtdx dt dt
n, =L(u,\=L("-,av\.a! =¿t .¿ ("-,4\=r',(t!-4-\ = u, ="-,,(¿'!-¿v\'/ - &\/ i-¿[" dt Ia- e a\" d, )-' \E- d, ) + )/ -v G7- d, )
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:+ *("'(#-*))-r(,-'*).r, = e'sec(t) 
n4n
ft -2fi - zr= e' sec (¡) .......[2]
de laecuacion [2] hallanos lasolucionhoiogenea: + *-24*Zy=Odt' dt o
Reemplazando en la ecuación [1]
cuyaecuacioncaracteristicasera: + r2-2r+2=0 =+ (r-1)2=-l :+ l,=|ti .JF
luegolasolucionhomogeneaes: á l¡ = e' (Ctcost+Crserr) ....,,.[3J rS',\ ¿
Para la solucion particular }l, " usaremos la for¡nula de Green para las solucio¿d
-Qlt=e'cost A yr=dsent ademas: f1,¡=etsec(t) \>
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i 9- e- \cos- u - senu cosu + senu cosu + sen'u )
,= ,,¡senu_
lo = 
"' I(cotu 
rent - senucostl ' db= e'sentl du- et glstl!!2.du
,o '.ot6' { lcosz
+ Yp= e'sentde'cosr'hlcosrl
La solución general estará dáda Wt: y = yh+ yD
y = e'(Crcost +Crrrrffi r*t.t +et cost.lúfcosrl = e'[q * st+C2sent+t sent+cost'lnlcostl]/ \¡ . \Y
Retomando ala vqlVe original sabiendo ademas que: e' = x + ¡ = In (x)
= ^tO
Ia ecuación diferencial: y' +2y' +5y =66(t -2)+3t tt(t -3) ; y(0)=2, /'(0)=l
Solución:
Ordenando la ecuación diferencial: y' + 2y' + 5 y = 6 6 (t - 2) + 3 (t - 3 + 3) tt(t - 3)
y' +2y' + 5y = 66(t -2)+3(t -3)¡r(t -3)+9 p(t -3) Aplicando la transformada de La place.
.y = ¡ { 
q cos [ln(x)] + crsen [ln(x)] + [ln(x)] sen [tnix;] + cos [tn1r)]' tn lcos [tnlx;]1]
56 OVIDIO TABL¡NA COLQUE !¡ULIB EEEAR UEERHUABA trtrNDE
JULIB CESAR UEERHUAEA CONDE OVID¡O TACUÑA COLQUE SOLUCIONARIO DE EXAMENES
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3+9s A(s+t)+B C : ,
l?s+r¡,*alp=ffi*;*É ll x((s+1)'+a)s'
3,. 9s = (,1 (s + l) + a) s, + C ((s + t )' * +¡ r * l(tr * r f + +)
3¡ss =(As+ A+B)s, +C(s, +2s+5)s+;(s, +zs+slO
3 ¡)s = (A s + A+a)s, + C(s2 *2, * s), *J(r' . Sl
Ahora igualamos los grados del polinomio para encontrar las constantes:
s3: O=l+C > A=-C ,
Zt?s': 0= A+B+2C+a :) B=-C\Z5 G5
=) c=p"- B=-X :+ A=-?s
, '*",== Ee%1])--27 2 -l-tt((s+r)'++)s' ¿f g+\'z+a zs 1s+1¡1a -;-7
Reemplazan{q& h ecuacion I I ]
rq, [ :e 3lb¡fifo -, (, .,h. 6 (,.,fi; a" * | - I --Gr!- -n + . 4. ?. i 1","
d 
. \- ,lJ-+4 (s+t)-+4 
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zs (s+r),++ 25(s- 
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1q = zffif .t uftt*tffi,*.*f-',fg-e(,.+.4.f.fl,* t'' t
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s : 9=5C+9
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ovrDro .racuñ¡ troLeuE JULIO CESAR UBERHUAEiA CONDE )I
JULIO CESAF UAERHUAGA CONDE OV¡DIO TACUÑA COLOUE SOLUCIONARTO OE EXAMENEs
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1", =2ffi .1 (*#eú (, +# * 4,".*f-'rffi -r#,;;.T.i]',"
,ur=l'"'cos2t+1e-'senztla@+zfe-'senztftti)1,-,-r*)frr*rr+t3e-,cos2t-9e-,sen2tfÁt)1,-,_,
Solución: .)O
<Y :e
))17
v,. = -!-+ 1et - 
r o4r - 
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-2r/Itl -e f=v'JJ]f
Primero la ecuación integro diferencial dada tiene núcleo.de convol,grG, por lo tanto es conveniente aplicarla transformada de Laplace, pero primero agruparemos ae unato${áilüá;.
r'-6ie<'nr(1)d,t = 4+e3, lit,{ } O<,'"
t'-6i.e<'-ttrQ")d),=4+e3t \O
"{,r-yror -6e-' 
* !o=:.* +,",",-oi)'"i-,} r{r,,,}=i.*
"1"¡-ofrrr"=Í.* = .r#¡gt",=fiS
r.,- (s+rx5r-r2) =;"q--á- ;\"' s(s-3)(s+3Xs-2) gV s-3 s+3 s_2
{',=-i+.Á*-;*.;* ür'{ }: s 
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+1"-'rrr2t]pry+3e-Q-2)senfz1t-z¡]pqt -2)+....... *A'
* f 1,, *, f, - 3) + t3 e-cttcos [zqr - :;] - s ra, u), "r[zqt Caf,l a{t -
cos 2/
Q Rerolver la ecuación integro - diferencial: y, - 6i er-, y(),) d ), = 4 + e3l
58 ovrDto rAcuñA coLG¡uE .JULItr CESAR UBERHUAEiA CONDE
JULiO CESAR UEERHUAGA E6NOE trVIDIO TACUÑA COLBUE gBLUCIONARIE' DE EXAMENES
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SEGUNDO EXAMEN PARCIAL MAT 207 SEMESTRE. I T 2Og
Cl Resolverz 2yt,+3yt+ y= 2sin(2¡+ 3)+4cos(2x+ 5)+ e-2'
$!g!S: Para Ia solución homogénea
(;;.1)'¿.i1t='o *o*r=-1 .r=-tt? O'
particufar 
!¡ = cté-' + c'e-'tz 
{roo' 
l"-' "'''rl p"
,, = Í:ffi(z sin (zr + :) + 4 cos (2t + t).,;:¿lt
l:' ' -"-"' ''l g'
v, = 2lilu' 
" 
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- r' r 
z 
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t r z ll2 sin {2t + 3) + 4 cot (¿X) * r-'' ] ar
Por lo tanto
Para la solución
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v, = 2lrlr'" ' - e'''e-'''fl2sin(zt +t)+ +qfrz,t + 5)+ e-'')dt
! p = 2e' l_, li"u'sin (zr + 3) dr + a !' "-' cos (2. t t(tft t + !',r-" atf- 
...
para las integrales," "";;;ti;!:*;#:':r'9* 
!' e- "' cos (2t + s) at + !' "eu"' 
atl
! e" sin{bt + c)a, = ful-bcos(bt + c)+ asin(ór+ c)]
Ie" cos(bt +r{4t = ft¡utt"(br+ c)+ acos( bt + c)]
I p = 2e'[t t'i-t *, t r:#" e, + q] + + llzsin (2r + 5 ) - cos (zr + s )l - f ]i"
... - 2e''| 2[, #p":Ur + r ) - ] sin (2, . r)f.'#[r,t 1r, * 5 ) - l.o, (2, * t,] ?rf][.
¿*(zT.", 
rzx + :) - f 
sin (2r + 3) + 1!sin (zx + s) - !"os 1z' 
+ s¡ -2\" -...
Ó' - +2 co" (2t + 3¡ + asa (zx + 3) - Erio (2" * s) + -lcos (zt + q. +
.f/
Ot r, =-frror(2x+3)-ffsin(2"+l)+ffrin(2r+s)-ffcor(2" +s¡-t|
La solución general estará dada por:. y = yh+ yD
7 = c*-' + c,e-'t2-l!?"or12* * r¡ - ffra tr2, * l)+ ffsi" (zr + s)-ff"os ( 2x + \-?t1
ovloio r¿cuñ¡ trtrLEUE L¡ULIO CESAR UESRHIjAc¡A GDNDE 59
dULIIJ EESAR UEERHUABA CONDE OVIDIO TACUÑA trOLOUE SOLUCIONAR¡O DE EXAMENES
nesorve r yn- 3 y'+ 2y =,az(t - i)u(|,, - +,. +l +)
/ (o) = /'(o) = oa
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Solución:
Por definición de escalón unitario
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Ir-*,,T1-+. t."n"-*,.*., u'u"-7,r4-+
(,-i)t,-z,t,o " 
*t8!=,?::
,0,,-*,.T1 ÍJ"l ',, Í,il:',"''
s'
QO,(l
'[1"
Resolviendo la inecuación:
La ecuación diferencial tiene la forma:
y ^ - 3 y, + 2 y =,," r(, 
rfi(, 
t.l -, (, - ;). p (t - | - p (t - !). r, a - z, lf
y,, - 3 y, + 2 y= qyYzr - sin z (, - +) r(, - +J -,t, r 1, - " ¡ r (t - n¡ - ...
.+r ...- ',"r(, -!)r(,-+)-,inz(t -ztr) p(t-zn)
Aplicando transforgrr# de Laplace:
fto
4tr v = 
--2-f 
r.1r'.r",, + e-t' + e-3,'t2 * "-^f(s-2)(s-i)(r'*4)'
" 
G) = (- i*. 3*. *F; - *h)ft * "t 
s,2 *,-., + e-3.s, 2 * 
"-,., f
A¡ti tra¡sformando:
, =n(iro-L'/2) +2 ei-,t') + j-cor2(t - rx rz\-ftsnz1t - r, tz¡\(t - ktt /2)
60 ovtoro r¡,cuña coLeuE ¡JULIO CESAR UAERHI-'AGA CONOE
JULIO trESAR UBERHUAGA CONOE trVIDIO TACUÑA COLOUE SDLUCItrNARIÉ OE EXAMENES
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O tt dos soluciones de la ecuación diferencial de coeficientes variables
P(x)y"'+Q(x)y'+R(x)y'+H (x)y=o , son ¡ (r)=r',yr(r)=r'
Determinar la tercera solución si se conoce: ll/'(xt,y,x')=64a3
Solución: ¿,
Si se conocen las soluciones:./,(¡) , yz|) , yr(x) Enl'onces usaremos la definición, para el Wroskian$
De donde derivando el mismo resulta. , l)"-lv, lz v"l <y
wlt,G),t,G),y,1,¡l=w=ly¡ yi ;'l ||*t I -r
Vl ,: ,:l ax v(2'
lr, lz y, | *>'
w'lt,G),t.G),r,(x)l =w'=lyi- yi_ yi | ....... trt ,?<-lvi vi vil o</
Reemplazando en la ecuación [1], las soluciones de la ecuación diferenc$fa condición de la derivada del
Wroskiano. Usando la derivada del Wronskiano: 
*g 
-
ll y ,'l l3r'y,,r2/sr,¡120y=g4
t4t,(x',y.x'\=lsxo y, 2xl=64*t ] rY ^^ 64 rlr'1,^, ^l lxei^-2oxv'+4ov=
lOOrt y^ 0l ,.1^'-Lv^)r'aav!-- 
"""'LZl
Es una ecuación diferencial de EULER, esta se resuerlq¡icon el siguiente cambio de variable:
Cambio de variable: x = et Derivartdo según la re$arbe la cadena se tiene:
x=e' do > dx=e'dt = l="-'
, dv dv dt dv dt dv -, ./. -, dyV =:=L.-=L.-=z,e' .YE> V =e - z' dx dx dt dt dx dt ^\) dt
. d , ,, d ( -,dv\ dt ¿tQ ( -,¿v\ -,,(d'y dy)V =-l y l=-l e'a l.- -¡ivr-l e':l-e-l---+- ' | + 1t' =e' dx" ' dr\ at ) aylh dt\ dt ) \dt' dt )
y, =*(y1 
= rB,-Y",, 
(*_r*.r4\¿ dx\t t re' - ( dl' dt' dt )
Reemplazando en $écuación [2]
\// / .1 ,r , \\É1 |:+ .<U''[ 
"'[ * -t*.r+)]-ro"' (,-' !\. oo, =!O ( \df" dt' dt)) \ dt) 5
üiÉr-rcdr *40, =64 .......r3rdt'A' dt' dt ' 3
(> #, ¿2" 't"dYla ecuacion [3] hallamos la solucion homogenea: + # -t;¡-r8!L+ 40y = 0
cuya ecuacion caracteristica sera: + rt - 3r' - l8r + 40 = 0 :? r = -4, r = 5, r = 2
luego la solucion homogenea es: + l¡ = Creu' + Crest + Cre't ..... .t3]
Para la solucion particular ny, n usaremos metodos abreviados:
t¡J
z
n
at
g
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I
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[,
l¡i
tt
!
5
-r,( d'Y ¿Y\
GV- d,)
ovrorB TAcuñA trtrLeuE .JULTE¡ CESAR UBERHUAGA CONDT 61
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE OVTOIO TACUÑA trOLQUE StrLUCIONARIO DE EXAMENES
;'Expresando la ecuacion [3] en forma de operadores, se tendra.
(D' -3D' -18D+ao){ ,\ =9\ O '..Yd*.-..¡*
8
15
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i
Solucion particu
La solución general
Retomando ala variable
:?
Si consideramos: C,
Solución: Sea la
s{s)-/o)-6{
Para calcular I)
Del grafico se
64
403
función continua por tramos.
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4r.4- tz.vf.>'u/\\
^\./ 
F<)9
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fo=1 ;Á
M"d¡?{b:iáJ' 'fi.:.-:
@=(t-coir
"f 
(t) = p(t)- p(t - E) - costp(t)+ cos((t - tt) + | p(t - r) -(7)f^, - tt¡ - p(t -zr)f
f (t) = p(t) - p (t - z) - cost ¡t(t) - cos(t - tr) ¡^tA - D -g: !-A' ¡r1t - ,'S -!:24 p(t - 2r)
-l
a p(t - r)- plt t-
qire: e'=x +' l=
clvrDro recuña coLtruE .JLILIO trESAR UBERHUAGA CONOE
JULIO CESAR UBERHUAGA CtrNOE ovrolo TA6uÑA coLE}UE AOLUCIONARIO OE EXAMEN€S
;'
f (t) = p(t) - p (t - n) - rnst p(r) - oos(l
Aplicando la transformada de
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J
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FF)=9-" -e-'" !-r+' nl-e-o'
- I -,,1 s -o" Jh,-¡=--? -- -'-';---€'(s) s J s2+l - s2+
ltd
J
.r4qlJ
-a- BiVÚ
^rs^v' ;QE I
F
ñtñ
Reemplazando en la ecuación
,, = t*l - s= I'(s) s(s-6) (s-6)(s'z+1)\
I [s+1 s t,rrrl -;[l--T-(I+e
Reduciendo mediante
t
s+l -e:+ 
-=-+
s(s-6) s s-
6
s
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:) I ==36*:(s-0s' s-6l¡¡
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Y^. =J-(!-"-,,!-2fr) s-6\s s s'+1
E\rtoto f/acuÑA Tc,LQUE JULIO trtE/dR UEERHUAC¡A EONDE
JULIO CESAR UBERHUA.ÉA CONOE OVIDIt: TACUÑA COLBUE StrLUCIONARItr DE EXAMENES
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Solución:
Ordenando la ecuación diferencial: y'+2-$-x)-r, 2 2
l-2x _ x2 / - l1x= Y = T_Z*_ *r'..".,U1
/, = (r * *)l 4k'4 =4 a " = 1r *,1 ! 
gü-2r, 
=f."o1 
[, 
-, fry] r,
y, =(r+r)[r+r*]=r(¡+1)+2 =x2 +x+2
La solución de la ecuación Oiterencia{F?ogénea será: yr=Cryr+Cry,
yn = Q@+1)+Cr(x2 +x+2) ^rfPara la solucion particular )aflaremos la fomrura^de Green para las soluciones:
h=xil n /r=x2f;$Z ademas: 4,1=f*7
lrn, /,r)bit lr+r t, +t+zl,.lyu-, ¿frl ilr+t *'+yz!. z,,= l1r$ffifoú = N lt +r t, +t +zl t-2t -Fdt
-"P; viol I r zt+r I
ó1fr'+x+2Xr+1)-t¡*=.ffi;#*=iW;#*
t p = -2(x2 *, * rú & dt + z(x +t)i # + zt + dt
.r.-
trvloto rAtruñA sElLBUE iJULIEI CEE¡AR UEERHUAGA GCINDE
l$ Resolverfaecuacióndiferencial: (7-Zx-x2)y,+2(l+x)y,-2y=) ; /(0)=3 y,(0)=2
Si se conoce: yr=l+ x
¡JULIO CEEAR UBÉRHUACA CBNOE C}VtOIO TAsUÑA EOL4UE SOLlJCI ONARIO DE EXAMENEB
;'
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- 1( ," - \ '/ 2+4¡ )
!,=-2(x2+x+2):l- i-|t*,i+ztr+r)ll- i '' t' ¿¡ x +Lx-l) '2\ x'+Zx-l)
lr= x2
La sclución general estará dada por y = yh + y p
y = c,(x + i) + Cr(x2 + x + 2) + x2
Como se tiene condiciones iniciales se debe encontrar los valores de las constantes: C, ; Cz
Ademas se cumple: ¡o(O) = yi(O) = O "Siempre que tenga condiciones iniciales"
y = ct(x +l) + cz@2 + x + 2) + {
y' =c{+Cz(2x+l)+ft
ri
Evaluando las condiciones iniciales: /(0) = 3 l'(0) = 2
f = r-,*?"r:o = {_q 
= 
^t En ta ecuacion [3][2=0+Cr+0 lCr=2
y=-{x+1)+2(x2 +x+2)+x2 =3xz +x+3
or
.^ür
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^r.h"v=tr.4
Solueiéri +r'
Ecuacióndiferenciaf decoeficientesvariables: x2yr+3xy'+5y=5ln2x+6sm$rx)+21nx"""lll
Gambio de variable: x = e' DerivanOoq@rin la regla de la cadena se tiene:
x=e, ¿o > tix=e,dt *f" *="
o,** -dy.4 =4-.d, =üY-t + v,="-,4' & & dt dt dxp,dt dt
r. =fi(r,)=*Q;ñ *=* *(,' 11="'(#-*) + v' = e-2'(# *)
n""'nr"21óSta ecuacion ¡t¡ + "'(,-''(# #)).zn("' fl)-sv = 5t2 +6sent +2t
oO' -,,( --,,l4ir-- O1]. 2",( 
"-, 
ü\*sv = 5tz +6sent +zto_F'- [" 
- 
l-n_a r- ", l" a )-,,
=+ fforfi*tr=5t2 +2t+6sent .......t21
de la ecuacion [2] hallamos la solucion homogeuea: =+ ff*rfi*r, =O
cuvaecuacionceracteisticasera: + r2+2r+3=0 =+ (r+l)2=-4 a r=-1!2i
Se puede notar que es una ecuación diferencial de EULER, esta se resuelve con el siguiente cambio de:
variable:
@ Resolver la ecuació¡ diferencial: r2l"+3ry'+4¡ft 5h? x+6seri(ln x)+2lnx
c¡vróro rAEUñA csLtruE ¡IULItr SEE¡AR UBERHUAEiA BtrNDE
JULItr CESAR UEERHLJAEA CONDE ovrDro TACUNA EclLquE
luego la solucion homogenea es: t ln = e-' {Ctens2t + Crsen\t) .......t3] ;'
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Pa¡a la solucion particüiar )l, n usare'mos
. ;-r.: ..á¿. : . '". . . il: -i:*': ..-j.
It=d'cos
las soluciones:
t*"n o
+6senu)du
'(su'+2u+6s"nu)du p.
-or
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+ sen2ucas2u+2sen22u\
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2
e'=-
2
yP
yP
yP
y- = --cosf
5
La solución
y=eu(cl
Retomando
Solución:
Sea la ecuación diferencial de orden superior de coeficientes constantes: yV) +5y" +4y'= 6 ..'..[1]
Como se tiene las condiciones iniciales en el origen f = 0, será conveniente aplicar Laplace.
66 ovrDto rAtruñA trol-quE .JULIO gESiAR UBERHUAÉiA CONDE
JtJLItr CESAR UBE1RHUABA Cc:NDE OVIDIG TACUÑA COLqUE SOLUtrIONARIO Dg EXAMENES
]',(r) l-5ra 14y'=6 ll¿t l
st4r,, - so y1o¡ - s3 y'(o) - s2 y"(o) - s
000
,tr,r, - 1+ 5s'4r¡ r 4"{r¡ = I
J
fs'+5s3++s)2., =.Í+l =\ / 1.,, .f
I
I¡cr=iOrJ)--=\'' s'(s'+4)(s'+1)
v_31,1 2 n I I
'(s) - ts, -;s, +4 - ¿--l-- r 4
31^^ I
v,,, = at #2 sen2t -Zsent +:+--v, 2 4 4 |
Solución:
Sealaecuacidndiferencial: y1
*ay(o) =
0
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s'zru, - s I(0) - rJ9 -,s|fr,, - 4
i '-+o 2
(s'-ss+o)rr¡Éü*r'-t
Para deterp{nai {r.,, primeramente
/{r) 1{r\i- r; + 1i - 4pir - r; + 1r -
/(XYptr - t) - (t -t - 2) p(t- 1) - (r
f$ = + pqt -r¡ - Q -t) p{t -1)- (r - 5)
\r=1o" -i-*-1"" *".*,ulffil
{o = i,-fr -4 ft- -;-+-1o" *r"-r)
@ Resolverlaecuació¡
clvtDt c¡ rac¡.¡ ña gEtLFu E ¡JULItr CESiAR UEERHUAGA trO¡{DT 67
JULIO CESAR UBERHUAEA CBNDE OVTDIO TAtrUÑA COLQUE SOLUCIONARItr DE EXAMEÑE3
]'1 (a"-l l-¡-y'.r \
{", =:_-j:__-_l '- ;' e-' i" e-r' +2s_g Iro, (s_3)(s_2)\ s, s' )
H ,, 2s-8 4s-1 l+4s _,,
a -(s) (s-3)(s-2)s,' (s-3)(s-2)sr- (s_3)(s_2)sr-
3 zr-g =-2 * 4,Í (s-3)(s-2)s-3 s-2
d iL 7 ts I
fl as-l = T _-tr _36 _- 6I (s-3)(s-2)s'? s-3 s-2 s s'
o
i139291
" l+4s o
(s-3)(s-2)s'z s-3 s-2' I s'
(rr 7 i.e t) (tt e ze 1){
{" = (*.3).[*.* .+. ;)"" l.*-* 
.Tu*-
y (t) = (4 e2, - z,' ¡ p1t¡ +ll'e! -7 e2, . 3 - l,] o4>l -l* ":AY," *3 * l,f u|llL9 I 36 6J"'1,,_, L9^4¿"4 36 61 lt=t-s'v'"o
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Solución:
ffir"r ta ecuación orrEptlrapticaremos Ia transformada de Laptace. Además sabiendo que:
\t forl:¡-t¡" 6' ="Fry#{s¡, aplicando Laplace a la ecuación direrencial:
t y'-2y'+2y =2t{¡V
,l 4r 1( ')
(-1)'*l 'd$)'{g-& ¡-zl '{o -y, l*24,, =z {3" 'l- -rJ \ -r/
-&P\",+,'r,;,]-zrro, +zrur=! :e -fu{q -s'\,r-2sYr,r+2ru,=!
-"'r;!, -(+r-zxn =É il"[-i)
+ y1,*9\!v^, =-? .......tl1s- s-
ovtDltr TAtruNA gt]LquE TIULItr trEEiAR UBERHUAEiA CGNDE
y(t) = (4e2' - z¿' I p0 +lt "'ut -! "'<'''t *p- -2",u-,> *3*it -s)lpqt _s¡4 36 6l"6 L,,-,',-[13,'o-"J" L9
Resolver la ecuacién diferen t y'-2y'+2y =2t3 y(0) = y'(0) = 0
JUL¡O CESAR UBERHUA6A CC}NDE OVIDIO TACUÑA CBL6UE SOLL'C¡If, NARIO DE EXAMENES
Se puede notar que la ecuación [1] es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Entonces buscamos
su factor integrante:
¡ ¡4s_2. ,ll_1]* +h¡J . Z
p="lPtttü -"!-7o' =sJ,' ,', =e , =s4e, ;multiplicamosalaecuaciondiferencial[1]
2
,or; {!¡ +(4s-z}s'ze;{, =-?
22
+(,'"i,í.,.]=-+ - a(r,i a",\=- . a, -l--dr[ nt) .r' [ "'J s'
. ( .z \ -: 2 1 2 /
ldl s.e' 4*,, l= | -: " ¿s + ,nr?Y,,r=!t":O(Z\, \ ,",) r s, rr, 2r \sl
z1¿
:) sn"i Y",=Le; +Ctd, 2
TomandoC=0,setendra:
2 12
9 saeiy",=rei+o = J1 x.,=1t¡, 2 \ot 2
1.,
=) 4"r = --i- llZ'l l\o, 2S' rr I J
It3 f
Y/! =--=-'\¡) 2 3l 12 t"
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4tr
trvtBtB rAguñt trg|-euE .IULIB CEEiAR UtsEñHUAGI.A EENDE
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE OVIOItr TACUÑA COLOUE SOLUCIONAR¡O DE €XAMENES
EJERCICIOS VARIOS )'
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Solución: Sea
La ecuación
Que factor izando
Cuyas rafces son
La solución será:
l¡=!=ct'e." +c.
Ahora como el
Cuando ¡=0
Cuando ¡=0
Cuando ¡=0
Se sígue los
La solución
cuestión menos 1. En
encontrada se deriva
y'=2ct.e2'-r-' .lr,(
y'=4cr.e\ *n'.Vr.(
iniciales en l, y' ,
/tol =0 ) 0=c¡'
0=cr+ 
,q,;
r',, =-¡ ) -1=2q.eo::
-l=
/ór=0) g=nq.eoi
0=
Con (l), (2) y (3)
\*cr=Q
2c, - cr +,f7 . cr =
4c, -2c, -2Jl ,
, Fr,
'a..is,r:
condiciones iniciales:
-.-
oY
l-'.::o'rl*
Ahora se sustituyen las condiciones
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:;.0
Solución:
Sea la ecuación diferencial yIY +y'+y'-o
Y r'+rt +rt =o
ovroro racuñ¡ coLquE ¡.IULIO CESAR UBERHUAG¡A CONDE
JULIú] CESAR UEERHUAGA ECNBE EVTDIO TAEUÑA CClLQUE SCSLUCIONARTO DE EXAM ENES
;'
Que fac{or izando
Y las ralces de dicha ecuación son:
r'?.(r'+r+t)=0
4 =0 rz=0
Por tanto:
', 
=-***¡i
h,
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/\4{¿
g-
Soluclón: Sea la ecuación
Primero se halla y¡ para
Y su ecuación caracteristica i l
Cuyas raíces rr = I Y
- Entonces: yr=q.é1,+
Segundo se halla /p(solución
Laraizdela que proviene fu,
por tranto se la toma como
Portanto !p=k-x.ea'
y'n = k. (e-" - 2x, e-2' ].'',
ti = k'(4x'e-"' -
(3), (4) y (5) en (1):
k(-¿"-' + 4x. e-b ) + k(e-b -,
Luego de reducir términos
homcgá:rea
Reemplazando el valor dtsI án'(3): \ill
:::::::"n"o10sl 
r' .'1 \
Finalmente: _ót ,*t ir
ssluélbñ.r-Sea la ecuación diferenbial yf i
o
Primerc: y, t
Y su ecuación caracterlstica r' - 2r - 3
Por tanto las raíces son rt = -l y , ,i=l
h,=n'{'+cr.et' (2)Entonces:
Segundo yo
ovlDttr r¡cuñr tr¡tLsuE ¡IULItr CEEAR UEgRHIJAE¡A trONDE 7l
JULIB CESAR UBERHIIACSA BtrNDE OVTOIO TACUÑA gOLq}UE StrLUCIONARItr DE EXAMENES
La raíz de la que proviene lo = sin(2¡) es o son r =t2i
Por lo tanto lp = a.sin(Zx) + á.cos(Zx) (3) derivando
yi =2a. cos(2x)-Zb.sin(zx) (4)
yi = 4a.si¡(zx) - 4á . cos(Zr) (5)
Se reemplaza (3), (4) V (5) en (1):
Luego de ordenar y simplificar: sin(zx) . (4b -7a) + cos(2x) .(-4 a - 7b) = suyq2¡¡
Ahora por comparación:
4b -7a=1
4a-7b=0
Sustituyendo los valores de "a'y'b" en (3):
y" = -$sin(2x) + $ cos(2x)
Sofución: Sea la ecuación diferencial y' -2y'+ y = e'.arctaa(x
Las rafces de dicha ecuación: ri = 1
La solución homogénea Yh = cr'e' + c2'x'e' i
'1\
), (1)
;'
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Resolviendo el s¡stema ) :=-.8
o=á¡
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'z.vf€¡u-/\\l] F
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g
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Segundo: .Po ) como f(,) = e''tú,an(x) no t¡e¡rlYpérador anulador entonces se utiliza el método de
variac¡ón de parámetros: ¿
EJ
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l"' ,"'l
,, = l r)"' *"rl ,.e'.arctar(t)dt * y- =i@e''e' .-t'e''eL)e''T:tan(t) o,' il"' te' I ^\) 
14 (t+l)e" -te"'
lr' (r+r)/l \*
f o = n'i *tuoa¡'a, - " j ,ffi¡|, Lueso de intesrar
-o lsF
ro = e'fx?'arctu"(r}iTI"(r' + t)) - jl.arctan0 +{r -}arctan(r)]l'
No se tiene con{$dnes límite ni iniciales, por tanto se reemplaza solo el límite superior
y o = "' \r'':áár(x) - f x ln(r 
2 + 1) - ! x2' uctzrt(r) + j r - f arctan(x))-/\
Reducig4dV yo .= !e' {x2 .xctm(x) -.r'ln(t2 + 1) +r- arctan(x)
(v
Finaftrtirte ! = l¡* lp = :. ll y=cr.e' +cr'x.e' +|e'{:
$olución: Sealaecuacióndiferencial ./"*/=sec3x (1)
Primero: y, + y"+y=0 ysuecuacióncaracterísüca r2 +1=0
Lasolución general f= h,* lo
y = q. e-' + c.,. e"-f i"ryñ$*<r,i
O Resolver la ecuación diferenciál: ! -2Y'+Y=¿'
@ Resolver Ia ecuación diferencial: y"r y = sec3 x /ro) = 1; Y<ol= *
11 oVIDIo TAtruÑA EBLQUE .JULIO CESAR L¡E¡ERHUAGA CONDE
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE OVIDIO TACUÑA COLOUE StrLUCIONARIO DE EXAMENES
Cuyasraícesson r=i y r=-i
La solución homogénea y, =q'sinx+cr.cos-x
Segundo: yo ) mediante el método de variación de parámetros:
) y, = l(sinx.cost-cosr.sinf).sec3 t.dtJ
)-
'sec3 t'dt
l¡J
-t
B
'za
I
F
n
ñt
x,
-:v
-o'<)
.fi.7
.yp = sm.rJ cos r'sec' t'dt - cos x I sin t.sec' t.dtrb ¡o r>
yp = sinr'tanlli, -.orr'r".'rl' ,nO'
En este problema ro = 0 ya que así lo indican las condiciones iniciales 
"JtLuego de sustitu¡r límites ) yo = jsecr- jcosx CJ
Lasolucióngeneral y=ct'snxicz.cosx+{secx-}cosx (Z) AiQ
Para hallar los valores de c, y c, debido a las condiciones iniciales, oenvlioo
./' - q.cosx-cr.sinx+ jsecxtanx+ jsinx (3),-€
Para {o¡ =l =r l=cr.sin0+c:.cosO+}sec0-}cos0 =rQ)=t
Para y[>=i =) j=q.cos0-cr.sin0+jsec0.tan 0+|si{pv= cr=!
Reemplazando los valores de c, y c, en (2): 
:) 
.''O
'"'.
y = jsin x+ jsecr + + cosx
l¡J
n
z
n
tn
f
7
It
o
a
É.
tñ
t¡,|
n
j
a
Solución:
Sea la ecuación diferencial
Porcomparación a=l b=+ d=-2 = en (2):
Primero l, ) y"+¿Ñ su ecuación característica 12 + 4 = 0
Cuyas raíces son r-Ii y rz = -2i
Entonces la solución Q6)rbsenea !¡ = ct.sin(2x)+ cr.cos(2x)
Segundo lo ) gYtien. f<¡=4cosx+3sinx-8
Los 2 primero¡tFrminos provienen de la raíz r = ü
El tercer té¡qinb proviene de la raíz r = 0
La solucié¡lfarticular lo = a'sinx+b.cosx+d (2)
Para,h¿llár las constantes a, b y d: derivando (2):
/Á=ü'cosx-á.sinx (3)\//; =-a'srnx-ócosr (4)
Reemplazando (2), (3) y (4) en (i):
-a'sin x - ó.cos x + 4(a.sin x + á'cos ¡ + d) = 4 cos x + 3sin ¡ - g
3¿.sin x + 3ó.cos x + 4d = 4cos¡ + 3sin ¡ - 8
g
o
z
n
tl
tn
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l¡,1
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o
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a
Resolver la ecuación diferencial: y"+4y = 4cos¡+3sinx-8
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"AcuñA 
coLeuE .JULIO trESAR UAERHUAGA CANDE t5
JULIO CESAR UBERHUAGA trONDE OVIDItr TACUÑA COLOUE SOLUCIONARIO OE EXAMENES
)-
.vo = sin x.+ fcor l . .3
Finalmente:
!J
3
P
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tz
i
TJ
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F
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6tñ
Solución: i
Prímero y, ) y"+ 4y Irurueru yh 7 y ++ll,
Las raíces \ = 2i y
La solución Homogénea t
-:li, ?.-i.
:f i;;li;
6i''i:
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-Á.:,1
:a: ¡
r
(2'\r
¿"
Segundo !o ) f<,¡=2
Por trigonometría 2 cos(x).cos(3
El primer término proviene de
El segundo término