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3.1 Considere la pared plana de la figura 3.1, que separa los fluidos caliente y frío a 
temperaturas T∞, 1 y T∞, 2 respectivamente. Con el uso de balances de energía como 
condiciones de frontera en x = 0 y x = L (véase la ecuación 2.27), obtenga la 
distribución de 
temperaturas dentro de la pared y el flujo de calor en términos de T∞, 1, T∞, 2, h1, h2, k 
y 
L. 
CONOCIDO: Pared plana unidimensional que separa los fluidos calientes y fríos en 
T∞, 1 y T∞, 2, 
respectivamente. 
ENCONTRAR: Distribución de temperatura, T (x) y flujo de calor, q'x ', en términos 
de T∞, 1, T∞, 2, h1, h2, k y L. 
ESQUEMÁTICO: 
 
SUPUESTOS: (1) Conducción unidimensional, (2) Condiciones de estado estable, (3) 
Constante 
propiedades, (4) radiación insignificante, (5) sin generación. 
ANÁLISIS: Para las condiciones anteriores, la solución general a la ecuación de 
difusión de calor 
 
Las constantes de integración, C1 y C2, se determinan mediante el uso de balance 
energético de superficie condiciones en x = 0 yx = L, Ecuación 2.23, y como se ilustra 
arriba, 
 
Para BC en x = 0, Ecuación (2), use la ecuación (1) para encontrar 
 
 
 
y para el BC en x = L para encontrar 
 
Multiplicar Eq. (4) por h2 y Eq. (5) por h1, y agrega las ecuaciones para obtener C1. 
Entonces sustituto 
C1 en la ecuación (4) para obtener C2. Los resultados son 
 
 
 
Según la ley de Fourier, el flujo de calor es una constante y de la forma
 
3.3 La ventana trasera de un automóvil se desempaña uniendo un elemento de 
calentamiento 
delgado de tipo película transparente a su superficie interior. Al calentar eléctricamente 
este elemento, se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna. 
(a) Para una ventana de vidrio de 4 mm, determine la potencia eléctrica que se requiere 
por unidad de área de la ventana para mantener una temperatura en la superficie interna 
de 15°C cuando la temperatura del aire interior y el coeficiente de convección son T∞, i 
= 
25°C y hi = 10 W/m2·K, mientras la temperatura del aire exterior (ambiente) y el 
coeficiente 
de convección son T∞, 0 =-10°C y ho = 65 W/m2·K. 
(b) En la práctica, T∞, 0 y ho varían de acuerdo con las condiciones climáticas y la 
velocidad 
del automóvil. Para valores de ho = 2, 65, y 100 W/m2·K, determine y elabore una 
gráfica del requerimiento de potencia eléctrica como función de T∞, 0 para -30 ≤ T∞, 0 
≤ 
0°C. De sus resultados, ¿qué concluye acerca de la necesidad de operar el calentador 
con valores bajos de ho? ¿Cómo resulta afectada esta conclusión por el valor de T∞, 0? 
Si 
h ∝ V n, donde V es la velocidad del vehículo y n es un exponente positivo, ¿cómo 
afecta 
la velocidad del auto a la necesidad de la operación del calentador? 
 
CONOCIDO: Temperatura de la superficie interna deseada de la ventana trasera con 
aire prescrito dentro y fuera condiciones 
ENCONTRAR: (a) la potencia del calentador por unidad de área requerida para 
mantener la temperatura deseada, y (b) calcular y trazar el requerimiento de potencia 
eléctrica en función de T∞, o para el rango -30 ≤ T∞, o ≤ 0 ° C con ho de 2,20, 65 y 100 
W / m2⋅K. Comente sobre las necesidades de operación del calentador para baja 
presión. Si h ~ Vn, donde V es el la velocidad del vehículo yn es un exponente positivo, 
¿cómo afecta la velocidad del vehículo a la necesidad de un calentador? ¿operación? 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
SUPUESTOS: (1) Condiciones de estado estable, (2) Transferencia de calor unidimensional, (3) 
Calentador uniforme flujo, q'h ', (4) propiedades constantes, (5) efectos de radiación insignificantes, (6) 
resistencia de película insignificante. 
PROPIEDADES: Tabla A-3, Vidrio (300 K): k = 1.4 W / m⋅K. 
ANÁLISIS: (a) A partir de un balance de energía en la superficie interna y el circuito térmico, se deduce 
que durante un área de superficie de la unidad, 
 
 
 
(b) El requisito de potencia eléctrica del calentador en función de la temperatura del 
aire exterior para diferentes los coeficientes de convección exterior se muestran en la 
gráfica. Cuando ho = 2 W / m2⋅K, el calentador es innecesario, ya que el vidrio se 
mantiene a 15 ° C por el aire interior. Si h ~ Vn, concluimos que, con un vehículo 
superior velocidades, la convección exterior aumentará, lo que requiere una mayor 
potencia térmica para mantener los 15 ° C condición. 
 
 
COMENTARIOS: Con q'h '= 0, la temperatura de la superficie interna con T∞, o = -10 ° 
C estaría dada por 
 
PROBLEMA 3.9 
Una placa de acero de 1 m de largo (k = 50 W/m·K) está 
bien aislada en sus lados, mientras que la superficie superior 
está a 100°C y la superficie inferior se enfría por convección 
mediante un fluido a 20°C. En condiciones de estado estable 
sin generación, un termopar en el punto medio de la placa 
revela una temperatura de 85°C. 
¿Cuál es el valor del coeficiente de transferencia de calor por 
convección en la superficie inferior? 
SOLUCION: 
Primero hallamos el calor por unidad de área por conducción ya que no nos 
especifica el área: 
𝑄𝑐𝑜𝑛 =
(100 − 85)℃
0.5𝑚
50
𝑤
𝑚𝐾
 
 
𝑄𝑐𝑜𝑛 = 1500
𝑤
𝑚2
 
Luego hallamos la temperatura (T1) ya que no conocemos: 
𝑄𝑐𝑜𝑛 =
(85℃ − 𝑇1)
0.5𝑚
50
𝑤
𝑚𝐾
 
1500 =
(85℃ − 𝑇1)
0.5𝑚
50
𝑤
𝑚𝐾
 
 
De ahí en la pregunta nos pide el valor del coeficiente de transferencia de calor por 
convección en la superficie inferior consideramos que el calor que ingresa es igual al 
calor que sale: 
𝑄𝑐𝑜𝑑 = 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣 
𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ(𝑇1 − 𝑇∞) 
1500
𝑤
𝑚2
= ℎ(70 − 20)℃ 
ℎ = 30
𝑤
𝑚2𝐾
 
PROBLEMA 3.10 
Una ventana térmica de vidrio consiste en dos piezas de vidrio de 7 mm de 
espesor que encierran un espacio de aire de 7 mm de espesor. La ventana 
separa el aire del cuarto a 20°C del aire ambiente del exterior a -10°C. El 
coeficiente de convección asociado con la superficie interna (lado del cuarto) es 
10 W/m2·K. Si el coeficiente de convección asociado con el aire exterior 
(ambiente) es he = 80W/m2·K, ¿cuál es la pérdida de calor a través de una 
ventana que tiene 0.8 m de largo por 0.5 m de ancho? No tome en cuenta la 
radiación, y suponga que el aire encerrado entre las hojas de vidrio está 
estancado. 
 
CONOCIDO: Dimensiones de una ventana. Habitación y condiciones de aire 
ambiente. 
ENCONTRAR: (a) Pérdida de calor a través de la ventana, (b) Efecto de la 
variación en el coeficiente de convección exterior para construcción de paneles 
doble y triple. 
ESQUEMATICO (Panel doble): 
 
 
 
 
 
 
 
SUPUESTOS: (1) Condiciones de estado estable, (2) Transferencia de calor 
unidimensional, (3) Constante propiedades, (4) efectos de radiación 
insignificantes, (5) el aire entre los vidrios está estancado. 
PROPIEDADES: Tabla A-3, vidrio (300 K): kg = 1,4 W / m⋅K; Tabla A-4, Aire (T 
= 278 K): ka = 0.0245 W / m⋅K. 
ANÁLISIS: Del circuito térmico, la pérdida de calor es 
𝑞 =
𝑇𝛼,𝑖 − 𝑇𝛼,𝑒
1
𝐴 (
1
ℎ𝑖
+
𝐿
𝐾𝑣
+
𝐿
𝐾𝑎
+
𝐿
𝐾𝑣
+
1
ℎ𝑒
)
 
 
𝑞 =
20°𝐶 − (−10°𝐶 ) 
1
(0.4𝑚2)
(
1
10 𝑤 𝑚2⁄ . 𝑘
+
0.007𝑚
1.4 𝑤 𝑚𝑘⁄
+
0.007𝑚
0.0245 𝑤 𝑚𝑘⁄
+
0.007𝑚
1.4 𝑤 𝑚𝑘⁄
+
1
80 𝑤 𝑚2. 𝑘⁄
)
 
 
𝑞 =
30°𝐶
(0.25 + 0.0125 + 0.715 + 0.0125 + 0.03125) 𝐾 𝑊⁄
 
 
𝑞 =
30°𝐶
1.021 K/W
= 29.4 𝑊 
COMENTARIOS: La mayor contribución a la resistencia térmica se debe a la 
conducción a través de la aire cerrado Tenga en cuenta que este aire podría 
estar en movimiento debido a las corrientes de convección libres. Si el coeficiente 
de convección correspondiente excedió 3,5 W / m2⋅K, la resistencia térmica sería 
menor que eso predicho al asumir la conducción a través del aire estancado. 
 
PROBLEMA 3.13 
La pared compuesta de un horno consiste en tres materiales, dos de los cuales son 
de conductividad térmica conocida, kA = 20 W/m·K y kC = 
50 W/m·K, y de espesor conocido, LA = 0.30 m y LC = 
0.15 m. El tercer material, B, que se intercala entre los 
materiales A y C, es de espesor conocido, LB = 0.15 m, 
pero de conductividad térmica,kB, desconocida. 
En condiciones de operación de estado estable, las mediciones revelan una temperatura 
de la superficie externa Ts, 0 = 20°C, una temperatura de la superficie interna Ts, i = 
600°C, y una temperatura del aire del horno T∞ = 800°C. Se sabe que el coeficiente de 
convección interior h es 25 W/m2·K. ¿Cuál es el valor de kB? 
 
SOLUCION 
 
SE CONOCE: Espesor de tres materiales que forman una pared compuesta y térmica, 
conductividades de dos de los materiales. Las temperaturas de la superficie interna y externa del 
compuesto; también, temperatura y coeficiente de convección asociados con el gas contiguo. 
ENCONTRAR: Valor de conductividad térmica desconocida, kB 
ESQUEMA: 
𝐿𝐴 = 0.3𝑚 
 𝐿𝐵 = 𝐿𝐶 = 0.15𝑚 
𝐾𝐴 = 20𝑊/𝑚 ∙ 𝐾 
𝐾𝐶 = 50𝑊/𝑚 ∙ 𝐾 
 
 
 
 
SUPOSICIONES: (1) Condiciones de estado estable, (2) Conducción unidimensional, (3) 
Constante propiedades, (4) resistencia de contacto insignificante, (5) efectos de radiación 
insignificantes. 
ANÁLISIS: refiriéndose al circuito térmico, el flujo de calor puede expresarse como 
 
 𝑞´´ =
𝑇𝑠,𝑖 − 𝑇𝑠,𝑒
𝐿𝐴
𝐾𝐴
+
𝐿𝐵
𝐾𝐵
+
𝐿𝐶
𝐾𝐶
=
(600 − 20)℃
0.3𝑚
20𝑊/𝑚 ∙ 𝐾
+
0.15𝑚
𝐾𝐵
+
0.15𝑚
50𝑊/𝑚 ∙ 𝐾
 
 
𝑞´´ =
580𝑊/𝑚2
0.018 + 0.15/𝐾𝐵
 (1) 
 
El flujo de calor puede obtenerse de 
𝑞′′ = ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑠,𝑖) = 25𝑊/𝑚
2 ∙ 𝐾(800 − 600)℃ (2) 
𝑞´´ = 5000𝑊/𝑚2 
 
Sustituyendo en la ecucacion para encontrar el flujo de calor, (2) en (1) encontrando 
 
0.15
𝐾𝐵
=
580
𝑞´´
− 0.018 =
580
5000
− 0.018 = 0.098 
𝐾𝐵 = 1.53𝑊/𝑚 ∙ 𝐾 
 
COMENTARIOS: Es probable que los efectos de la radiación tengan una influencia significativa 
en el calor neto flujo en la superficie interna del horno 
PROBLEMA 3.20 
 
𝑇∞ = 800℃ 
ℎ = 25𝑊/𝑚2 ∙ 𝐾 
𝑇𝑠.𝑖 = 600℃ 
𝑇𝑠.𝑒 = 20℃ 
𝐿𝐴 𝐿𝐵 𝐿𝐶 
Una pared compuesta separa gases de combustión a 2600°C de un líquido 
refrigerante a 100°C, con coeficientes de convección del lado de gas y del líquido 
de 50 y 1000 W/m2·K. La pared se compone de una capa de óxido de berilio de 
10 mm de espesor en el lado del gas y una placa de acero inoxidable (AISI 304) 
de 20 mm de grosor en el lado del líquido. La resistencia de contacto entre el 
óxido y el acero es 0.05 m2·K/W. ¿Cuál es la pérdida de calor por área unitaria 
de superficie del compuesto? Dibuje la distribución de temperaturas del gas al 
líquido. 
 
CONOCIDO: Materiales y dimensiones de una pared compuesta que separa un 
gas de combustión de un líquido refrigerante. 
ENCUENTRE: (a) Pérdida de calor por unidad de área, y (b) Distribución de 
temperatura. 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
 
 
 
SUPUESTOS: (1) Transferencia de calor unidimensional, (2) Condiciones de 
estado estable, (3) Propiedades constantes, (4) efectos de radiación 
insignificantes. 
PROPIEDADES: Tabla A-1, St. St. (304) (T ≈1000K): k = 25,4 W / m⋅K; Tabla A-
2, Óxido de berilio (T ≈ 1500K): k = 21.5 W / m⋅K. 
ANÁLISIS: (a) El flujo de calor deseado puede expresarse como 
𝑞′′ =
𝑇𝛼,1 − 𝑇𝛼,2
1
ℎ1
+
𝐿𝐴
𝐾𝐴
+ 𝑅𝑡𝑐 +
𝐿𝐵
𝐾𝐵
+
1
ℎ2
)
 
 
𝑞′′ =
(2600 − 100)°𝐶
1
50
+
0.01
21.5
+ 0.05 +
0.02
25.4
+
1
1000)
 
 
𝑞′′ = 34,600 𝑤 𝑚2⁄ 
 
(b) Las temperaturas de la superficie compuesta pueden obtenerse aplicando la 
velocidad apropiada ecuaciones. Del hecho de que q '' = h1 (T∞, 1-Ts, 1), se 
deduce que 
𝑇𝑆,1 = 𝑇∞,1 −
𝑞′′
ℎ1
= 2600℃ −
34,600 𝑊 𝑚2⁄
50 𝑊 𝑚2. 𝑘⁄
= 1908℃ 
 
Con q '' = (kA / LA) (Ts, 1-Tc, 1), también se deduce que 
𝑇𝑐,1 = 𝑇𝑠,1 −
𝐿𝐴𝑞
′′
𝐾𝐴
= 1908℃ −
0.01𝑚 × 34,600 𝑊 𝑚2⁄
21.5 𝑊 𝑚2. 𝑘⁄
= 1892℃ 
 
Del mismo modo, con q '' = (Tc, 1 -Tc, 2) / Rt, c 
 
𝑇𝑐,2 = 𝑇𝑐,1 − 𝑅𝑡,𝑐𝑞′′ = 1892℃ − 0.05
𝑚2. 𝑘
𝑊
= 162℃ 
 
y con q '' = (kB / LB) (Tc, 2-Ts, 2), 
 
𝑇𝑠,2 = 𝑇𝑐,2 −
𝐿𝐵𝑞
′′
𝐾𝐵
= 162℃ −
0.02𝑚 × 34,600 𝑊 𝑚2⁄
25.4 𝑊 𝑚. 𝑘⁄
= 134.6℃ 
 
 
La distribución de temperatura es por lo tanto de la siguiente forma: 
 
 
COMENTARIOS: (1) Los cálculos se pueden verificar volviendo a calcular q '' de 
𝑞′′ = ℎ2(𝑇𝑠,2 − 𝑇∞,2) = 1000 𝑊 𝑚
2⁄ . 𝑘(134.6 − 100)℃ = 34,600 𝑊 𝑚2⁄ 
 
(2) Las estimaciones iniciales de las temperaturas medias del material son 
erróneas, especialmente para el acero inoxidable. Para una precisión mejorada, 
los cálculos deben repetirse utilizando valores k correspondiente a T ≈ 1900 ° C 
para el óxido y T ≈ 115 ° C para el acero. (3) Las principales contribuciones a la 
resistencia total se realizan por el límite del gas de combustión capa y el 
contacto, donde la temperatura desciende más. 
PROBLEMA 3.21 
 
Dos placas de acero inoxidable de 10 mm de espesor están sujetas a una 
presión de 
contacto de 1 bar bajo condiciones de vacío para las que hay una caída 
general de temperatura de 100°C a lo largo de las placas. ¿Cuál es la caída de 
temperatura a través del 
plano de contacto? 
SOLUCION: 
CONOCIDO: espesor, diferencia de temperatura global, y la 
presión por dos placas de acero inoxidable. 
ESQUEMA: 
 
PROPIEDADES: tabla A-1, acero inoxidable (T=400K), 
k=16.6W/mK. 
ANALISIS: (a). con: R´´t,c ≈ 15 × 10−4 𝑚2𝐾/𝑊 de la tabla 3.1 
𝐿
𝑘
=
0.01𝑚
16.6𝑊/𝑚𝐾
= 6.02 × 10−4𝑚2𝐾/𝑊 
Resulta que: 
𝑅"𝑡𝑜𝑡 = 2 (
𝐿
𝑘
) + 𝑅"𝑡,𝑐 = 27 × 10
−4𝑚2𝐾/𝑊 
Por lo tanto: 
𝑞" =
∆𝑇
𝑅"𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
100°𝐶
27 × 10−4𝑚2𝐾/𝑊
= 3.70 × 104𝑊/𝑚2 
 
(b) desde el circuito termal: 
∆𝑇𝑐
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
=
𝑅"𝑡,𝑐
𝑅"𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
15 × 10−4𝑚2𝐾/𝑊
27 × 10−4𝑚2𝐾/𝑊
= 0.556 
Por lo tanto: 
∆𝑇𝑐 = 0.556(𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2) = 0.556(100°𝐶) = 55.6°𝐶 
COMENTARIOS: la resistencia de contacto es significativa en relación 
con las resistencias de conducción. El valor de la resistencia térmica de 
contacto disminuirá, sin embargo, con el aumento de la presión. 
 
PROBLEMA 3.22: 
Considere una pared plana compuesta integrada por dos materiales de conductividades térmicas 
kA = 0.1 W/m·K y kB = 0.04 W/m·K y espesores LA = 10 mm y LB = 20mm. Se sabe que la 
resistencia de contacto en la interfaz entre los dos materiales es 0.30m2·K/W. El material A está 
al lado de un fluido a 200°C para el que h = 10W/m2·K, y el material B a un fluido a 40°C para 
el que h = 20 W/m2·K. 
(a) ¿Cuál es la transferencia de calor a través de una pared que tiene 2 m de altura por 
2.5 m de ancho? 
(b) Dibuje la distribución de temperaturas. 
 
SOLUCION 
 
CONOCIDO: Temperaturas y coeficientes de convección asociados con fluidos en el interior y 
exterior superficies de una pared compuesta. Resistencia de contacto, dimensiones y 
conductividades térmicas asociado con materiales de pared. 
ENCUENTRE: (a) Tasa de transferencia de calor a través de la pared, (b) Distribución de 
temperatura. 
ESQUEMÁTICO: 
 
SUPUESTOS: (1) Condiciones de estado estable, (2) Transferencia de calor unidimensional, (3) 
Radiación insignificante, (4) propiedades constantes. 
ANÁLISIS: 
(a) Calcule la resistencia total para encontrar la tasa de calor 
𝑅𝑡𝑜𝑡 =
1
ℎ1𝐴
+
𝐿𝐴
𝐾𝐴𝐴
+ 𝑅𝑡,𝑐 +
𝐿𝐵
𝐾𝐵𝐴
+
1
ℎ2𝐴
 
 
𝑅𝑡𝑜𝑡 = [
1
10 × 5
+
0.01
0,1 × 5
+
0.3
5
+
0.02
0.04 × 5
+
1
20 × 5
]
𝐾
𝑊
 
𝑅𝑡𝑜𝑡 = [0.02 + 0.02 + 0.06 + 0.10 + 0.01]
𝐾
𝑊
 
𝑅𝑡𝑜𝑡 = 0.21
𝐾
𝑊
 
𝑞 =
𝑇∞,1 − 𝑇∞,2
𝑅𝑡𝑜𝑡
=
(200 − 40)℃
0.21 𝐾/𝑊
= 762𝑊. 
 
 (b) Esto seguido de: 
𝑇𝑆,1 = 𝑇∞,1 −
𝑞
ℎ1𝐴
= 200℃ −
762 𝑊
50 𝑊/𝑚
= 184.8℃ 
 
𝑇𝐴 = 𝑇𝑆,1 −
𝑞𝐿𝐴
𝐾𝐴𝐴
= 184.8℃ −
762𝑊 × 0.01𝑚
0.1 𝑊/𝑚 ∙ 𝐾 × 5𝑚2
= 169.6℃ 
𝑇𝐵 = 𝑇𝐴 − 𝑞𝑅𝑡,𝑐 = 169.6℃ − 762 𝑊 × 0.06
𝐾
𝑊
= 123.8℃ 
𝑇𝑆,2 = 𝑇𝐵 −
𝑞𝐿𝐵
𝐾𝐵𝐴
= 123.8℃ −
762 𝑊 × 0.02𝑚
0.04𝑊/𝑚 ∙ 𝐾 × 5𝑚2
= 47.6℃ 
3.23 El rendimiento de los motores de turbinas de gas se mejora aumentando la tolerancia 
de las hojas de las turbinas a los gases calientes que salen del combustor. Un método para 
lograr altas temperaturasde operación implica la aplicación de un revestimiento de 
barrera térmica (TBC) para la superficie externa de una hoja, mientras pasa aire de 
enfriamiento a través de la hoja. Por lo común, la hoja está fabricada de una superaleación 
de alta temperatura, como Inconel (k ≈ 25 W/m·K), mientras una cerámica, como 
circonia (k ≈ 1.3 W/m·K), se usa como revestimiento de barra térmica TBC. Considere 
condiciones para las que gases calientes a T∞, o = 1700 K y aire de enfriamiento a T∞, i = 
400 K proporcionan coeficientes de convección de la superficie externa e interna de ho = 
1000 W/m2·K y hi = 500 W/m2·K, respectivamente. Si un TBC de circonio de 0.5 mm de 
espesor se une a la pared de una hoja de Inconel de 5 mm de espesor por medio de un 
agente de unión metálico, que proporciona una resistencia térmica entre las interfaces de 
t, c R′′ = 10-4 m2·K/W, ¿es posible mantener el Inconel a una temperatura que esté por 
debajo de su valor máximo permisible de 1250 K? Deje de lado los efectos de radiación, 
y aproxime la hoja de la turbina como una pared plana. Elabore una gráfica de la 
distribución de temperaturas con y sin el TBC. ¿Existe algún límite al espesor del TBC? 
 
Solución: 
CONOCIDO: Condiciones de convección de la superficie externa e interna asociadas con 
revestimiento de circonia, Inconel pala de turbina. Espesor, conductividad térmica y resistencia 
interfacial de los materiales de la cuchilla. 
Temperatura máxima permitida de Inconel. 
ENCONTRAR: si la cuchilla opera por debajo de la temperatura máxima. Distribución de 
temperatura en la cuchilla, con y sin el TBC. 
ESQUEMÁTICO: 
SUPUESTOS: (1) Conducción unidimensional, de estado estacionario en una pared plana 
compuesta, (2) Constante Propiedades, (3) radiación insignificante. 
ANÁLISIS: para un área unitaria, la resistencia térmica total con el TBC es: 
 
Con un flujo de 
calor de: 
 
 
Las 
temperaturas de la superficie interna y externa del Inconel son: 
 
Sin el 
TBC, 
 
Las temperaturas de la superficie interna y externa del Inconel son entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El uso del TBC facilita el funcionamiento del Inconel por debajo de Tmax = 1250 K. 
COMENTARIOS: dado que la durabilidad del TBC disminuye con el aumento de la temperatura, 
lo que aumenta con grosor creciente, los límites al espesor están asociados con consideraciones 
de confiabilidad. 
3.24 Un chip de silicio se encapsula de modo que, 
bajo condiciones de estado estable, la totalidad de 
la potencia que se disipa se transfiere por 
convección a una corriente de fluido para el que 
ℎ = 1000 𝑊/𝑚2. 𝐾 y 𝑇∞ = 25°𝐶. El chip se 
separa del fluido mediante una cubierta de placa de 
aluminio de 2 mm de espesor, y la resistencia de 
contacto de la interfaz clip/aluminio es 0.5 × 10−4 𝑚2. K/W. 
Si el área de la superficie del chip es 100 𝑚𝑚2 y la temperatura máxima permisible es 85°C, 
¿cuál es la disipación de potencia máxima permisible en el chip? 
 
SOLUCIÓN 
CONOCIDO: 
Superficie y temperatura máxima de un chip. Espesor de la cubierta de aluminio y resistencia 
de contacto de chip / cubierta. Condiciones de convección fluida. 
ENCONTRAR: 
Potencia de chip máxima. 
ESQUEMATICO: 
 
SUPUESTOS: 
(1) Condiciones de estado estable, (2) Transferencia de calor unidimensional, (3) Pérdida de 
calor insignificante desde los lados y la parte inferior, (4) La viruta es isotérmica. 
PROPIEDADES: 
Tabla A.1, Aluminio (T ≈ 325 K): k = 238 W / m.K. 
ANÁLISIS: 
Para una superficie de control sobre el chip, conservación de los rendimientos de energía 
 
 
�̇�𝒈 − �̇�𝒔𝒂𝒍𝒆 = 𝟎 
𝑷𝒄 −
(𝑻𝒄 − 𝑻∞)𝑨
(𝑳 𝑲⁄ ) + 𝑹"𝒕,𝒄 + (𝟏 𝒉⁄ )
= 𝟎 
𝑃𝑐.𝑚𝑎𝑥 =
(85 − 25)℃(10−4𝑚2)
[(0.002 238⁄ ) + 0.5 × 10−4 + (1 1000⁄ )] 𝑚2. 𝐾 𝑊⁄
 
𝑃𝑐.𝑚𝑎𝑥 =
60 × 10−4℃. 𝑚2
(8.4 × 10−6 + 0.5 × 10−4 + 10−3) 𝑚2. 𝐾 𝑊⁄
 
𝑃𝑐.𝑚𝑎𝑥 = 5.7 𝑊 
 
COMENTARIOS: 
La resistencia dominante es la debida a la convección (𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 > 𝑅𝑡,𝑐 ≫ 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑). 
 
3.32 Una tubería de vapor de 0.12 m de diámetro exterior se aísla con una capa de silicato 
de calcio. 
(a) Si el aislante tiene 20 mm de espesor y las superficies interna y externa se mantienen 
A Ts, 1 = 800 K y Ts, 2 = 490 K, respectivamente, ¿cuál es la pérdida de calor por unidad 
De longitud (q′) de la tubería? 
(b) Deseamos explorar el efecto del espesor de aislante sobre la pérdida de calor q′ y la 
Temperatura de la superficie externa Ts, 2 con la temperatura de la superficie interna fija a 
Ts, 1 = 800 K. La superficie externa se expone a un flujo de aire (T∞ = 25 °C) que mantiene 
un coeficiente de convección de h = 25 W/m2·K y a grandes alrededores para los que Talr 
= T∞ = 25 °C. La emisividad de la superficie de silicato de calcio es aproximadamente 
0.8. Calcule y dibuje la distribución de temperaturas en el aislante como función de la 
coordenada radial adimensional (r - r1)/ (r2 - r1), donde r1 = 0.06 m y r2 es una variable 
(0.06 ≤ r2 ≤ 0.20 m). Calcule y dibuje la pérdida de calor como función del espesor del 
aislante para 0 ≤ (r2 — r1) ≤ 0.14 m. 
Solución: 
CONOCIDO: Espesor y temperatura de la superficie interna del aislamiento de silicato de calcio 
en una tubería de vapor. 
Condiciones de convección y radiación en la superficie exterior. 
ENCONTRAR: (a) Pérdida de calor por unidad de longitud de tubería para el espesor de 
aislamiento prescrito y la superficie exterior temperatura. (b) Pérdida de calor y distribución de 
temperatura radial en función del espesor del aislamiento. 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUPUESTOS: (1) Condiciones de estado estable, (2) Conducción unidimensional, (3) Propiedades 
constantes. 
PROPIEDADES: Tabla A-3, silicato de calcio (T = 645 K): k = 0.089 W / m⋅K. 
ANÁLISIS: (a) De la Eq. 3.27 con Ts, 2 = 490 K, la tasa de calor por unidad de longitud es 
 
 
 
 
(b) Realizando una energía para una superficie de control alrededor de la superficie exterior del 
aislamiento, se deduce que: 
q'cond = q'conv + q'rad 
 
 
Donde 
 
Resolviendo esta ecuación para Ts, 2, la tasa de calor puede ser determinado de 
 
Y de la ecuación 3.26 la distribución de temperatura es 
 
 
Como se muestra a continuación, la temperatura de la superficie exterior del aislamiento Ts, 2 
y la pérdida de calor q 'decaen precipitadamente con un espesor de aislamiento creciente a 
partir de los valores de Ts, 2 = Ts, 1 = 800 K y q '= 11,600 W / m, respectivamente, en r2 = r1 (sin 
aislamiento). 
Cuando se traza como una función de un radio adimensional, (r - r1) / (r2 - r1), la disminución 
de temperatura se convierte más pronunciado con el aumento de r2. 
 
 
 
 
 
 
 
Tenga en cuenta 
que T (r2) = Ts, 2 aumenta con la disminución de r2 y una distribución de temperatura lineal se 
aborda como r2 se acerca a r1. 
COMENTARIOS: Un espesor de capa de aislamiento de 20 mm es suficiente para mantener la 
superficie exterior temperatura y temperatura por debajo de 350 K y 1000 W / m, 
respectivamente. 
 
PROBLEMA 3.33 
 
Considere el calentador de agua que se describe en el problema 1.29. 
Deseamos 
ahora determinar la energía necesaria para compensar las pérdidas de calor 
que ocurren 
mientras el agua está almacenada a la temperatura establecida de 55°C. El 
tanque cilíndrico 
de almacenamiento (con extremos planos) tiene una capacidad de 100 
galones, y 
se usa uretano en espuma para aislar las paredes lateral y de los extremos del 
aire ambiental 
a una temperatura promedio anual de 20°C. La resistencia a la transferencia de 
calor está dominada por la conducción en el aislante y por la convección libre 
en el aire, 
para el que h ≈ 2 W/m2·K. Si se usa calentamiento por resistencia eléctrica 
para compensar 
las pérdidas y el costo de la potencia eléctrica es $0.08/kWh, especifique las 
dimensiones 
del tanque y del aislante para las que los costos anuales asociados con las 
pérdidas de calor son menores de $50. 
SOLUCION: 
CONOCIDO:temperatura y el volumen de calentador de agua 
caliente. Naturaleza de material aislante del calentador, la 
temperatura del aire ambiente y del coeficiente de convección. 
Costo unitario de la energía eléctrica. 
ENCONTRAR: dimensiones del calentador y espesor de aislamiento para las 
que los costos anuales asociados con las pérdidas de calor son menores de 
$50. 
 
ESQUEMA: 
 
 
HIPOTESIS: (1) un dimensional.- la conducción en estado estacionario 
atravez de paredes laterales y de extremo, (2) la resistencia de 
conducción dominado por el aislamiento, (3) temperatura de la superficie 
interior es aproximadamente la del agua (𝑇𝑠,1 = 55°𝐶), (4) propiedades 
constantes, (5) de radiación insignificante. 
PROPIEDADES: tabla A.3, espuma de uretano (T=300K); k=0.026W/mK 
ANALISIS: para reducir al mínimo la perdida de calor, las dimensiones del 
tanque, que minimizan el área superficial total, debe ser seleccionado. 
con 𝐿 =
4∀
𝜋𝐷2
 , 𝐴𝑠,𝑡 = 𝜋𝐷𝐿 + 2 (
𝜋𝐷2
4
) =
4∀
𝐷+𝜋𝐷2/2
 , y el diámetro del tanque 
para que 𝐴𝑠,𝑡 en un extremo se determina a partir de: 
𝑑𝐴𝑠,𝑡
𝑑𝐷
=
−4∀
𝐷2
+ 𝜋𝐷 = 0 
Resulta que: 
𝐷 = (
4∀
𝜋
)
1/3
 𝑦 𝐿 = (
4∀
𝜋
)
 1/3
 
Con 
𝑑2𝐴𝑠,𝑡
𝑑𝐷2
=
8∀
𝐷3
+ 𝜋 > 0 , las condiciones anteriores producen el mínimo 
deseado a una 𝐴𝑠,𝑡 por lo tanto, para ∀= 100𝑔𝑎𝑙 ×
0.00379𝑚3
𝑔𝑎𝑙
= 0.379𝑚3 , 
𝐷𝑜𝑝 = 𝐿𝑜𝑝 = 0.784𝑚 
La pérdida de calor total atraves de las paredes laterales y extremas es: 
𝑞 =
𝑇𝑠,1 − 𝑇∞
ln (
𝑟2
𝑟1
)
2𝜋𝑘𝐿𝑜𝑝
+
1
ℎ2𝜋𝑟2𝐿𝑜𝑝
+
2(𝑇𝑠,1 − 𝑇∞)
𝛿
𝑘 (
𝜋𝐷𝑜𝑝
2
4 )
+
1
ℎ (
𝜋𝐷𝑜𝑝
2
4 )
 
Comenzamos mediante la estimación de la perdida de calor asociado con 
una gruesa capa de 25mm de aislamiento. Con 𝑟1 =
𝐷𝑜𝑝
2
= 0.392𝑚 𝑦 𝑟2 =
𝑟1 + 𝛿 = 0.417𝑚 se deduce que 
𝑞 =
(55 − 20)°𝐶
ln (
0.417
0.392)
2𝜋(0.026𝑊/𝑚𝐾)0.784𝑚
+
1
(
2𝑊
𝑚2𝐾
) 2𝜋(0.417)784𝑚
+
2(55 − 20)°𝐶
0.025𝑚
(
0.026𝑊
𝑚𝐾
) (
𝜋
4
) (0.784𝑚)2
 
 
𝑞 =
35°𝐶
(0.483 + 0.243)𝐾/𝑊
+
2(35)°𝐶
(1.992 + 1.036)𝐾/𝑊
= (48.2 + 23.1)𝑊
= 71.3𝑊 
Por lo tanto, la perdida de energía anual es: 
𝑄𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 71.3𝑊(365𝑑𝑖𝑎𝑠) (24
ℎ
𝑑𝑖𝑎𝑠
) (10−3
𝑘𝑊
𝑊
) = 625𝑘𝑊ℎ 
Con un costo de energía eléctrica por unidad de $0.08𝑘𝑊ℎ, el costo anual 
de la perdida de calor es: 
𝐶 = ($0.08𝑘𝑊ℎ)625𝑘𝑊ℎ = $50.00 
Por lo tanto, un espesor de aislamiento es: 
𝛿 = 25𝑚𝑚 
Satisface el requisito de costo prescrito 
COMENTARIOS: el aumento de 6.7% en el costo anual de la perdida de 
calor es pequeña, proporcionando por justificación para el uso de las 
dimensiones optimas de calentador. 
PROBLEMA 3.34 
 
Un calentador eléctrico delgado envuelve la superficie externa de un tubo 
cilíndrico 
largo cuya superficie interna se mantiene a una temperatura de 5°C. La pared 
del 
tubo tiene radios interno y externo de 25 y 75 mm, respectivamente, y una 
conductividad 
térmica de 10 W/m·K. La resistencia térmica de contacto entre el calentador y 
la 
superficie externa del tubo (por unidad de longitud de tubo) es t,c R′′ = 0.01 
m·K/W. La 
superficie externa del calentador se expone a un fluido con T∞ = -10°C y un 
coeficiente 
de convección h = 100 W/m2·K. Determine la potencia de calentamiento por 
unidad de 
tubo que se requiere para mantener el calentador a To = 25°C. 
 
SOLUCION: 
 
CONOCIDO: radio interior y exterior de una pared de tubo que se calienta 
eléctricamente en su superfice exterior y esta expuesto a un fluido de h 
prescrito y T∞. resistencia de contacto térmico entre el calentador y la pared del 
tubo y la pared de la temperatura superficial interior. 
 
ENCONTRAR: la potencia del calentador por unidad de longitud necesaria para 
mantener una temperatura del calentador de 25°C 
 
 
 
 
 
 
 
ESQUEMA: 
 
 
 
 
 
HIPOTESIS: (1) condiciones de estado estable, (2) conducción de una 
dimensión, (3) propiedades constantes, (4) descenso de temperatura 
insignificante a través del calentador. 
 
ANALISIS: El circuito tiene la forma 
 
La aplicación de un balance de energía de una superficie de control sobre 
el calentador, 
𝑞´ = 𝑞´𝑎 + 𝑞´𝑏 
𝑞´ =
𝑇0 − 𝑇𝑖
ln (𝑟0/𝑟𝑖)
2𝜋𝑘
+ 𝑅´𝑡,𝑐
+
𝑇0 − 𝑇∞
(
1
ℎ𝜋𝐷0
)
 
𝑞´ =
(25 − 5)°𝐶
ln (75𝑚𝑚/25𝑚𝑚)
2𝜋 × 10𝑊/𝑚𝐾
+ 0.01
𝑚𝐾
𝑊
+
[25 − (−10)]°𝐶
[
1
(
100𝑊
𝑚2𝐾
× 𝜋 × 0.15𝑚)
]
 
𝑞´ = (728 + 1649)𝑊/𝑚 
𝑞´ = 2377𝑊/𝑚 
COMENTARIOS: la conducción, de contacto y resistencia por convección 
son 0.0175,0.01 y 0.021 mK/W, respectivamente. 
 
 
3.41 La sección del evaporador de una unidad de refrigeración consiste en tubos de 
pared 
delgada de 10 mm de diámetro a través de los que pasa el fluido refrigerante a una 
temperatura de -18°C. Se enfría aire conforme fluye sobre los tubos, manteniendo un 
coeficiente de convección de superficie de 100 W/m2·K, y en seguida se dirige a la 
sección 
del refrigerador. 
(a) Para las condiciones precedentes y una temperatura del aire de -3°C. ¿cuál es la 
rapidez 
a la que se extrae calor del aire por unidad de longitud del tubo? 
(b) Si la unidad de descongelación funciona mal, lentamente se acumulará escarcha 
sobre la superficie externa del tubo. Evalúe el efecto de la formación de escarcha sobre 
la capacidad de enfriamiento de un tubo para espesores de la capa de escarcha en el 
rango 
0 ≤ δ ≤ 4 mm. Se supone que la escarcha tiene una conductividad térmica de 0.4W/m·K. 
(c) Se desconecta el refrigerador después de que falla la unidad de descongelamiento y 
de que se ha formado una capa de escarcha de 2 mm de grosor. Si los tubos están en aire 
ambiente para el que T∞ = 20°C y una convección natural mantiene un coeficiente de 
convección de 2 W/m2·K, ¿cuánto tiempo tardará la escarcha en derretirse? Se supone 
que la escarcha tiene una densidad de 700 kg/m3 y una entalpía de fusión de 334 kJ/kg. 
 
CONOCIDO: diámetro del tubo y temperatura del refrigerante para el evaporador de 
un sistema de refrigerante. Coeficiente de convección y temperatura del aire exterior. 
ENCONTRAR: (a) Tasa de extracción de calor sin formación de escarcha, (b) Efecto 
de la formación de escarcha en la tasa de calor, (c) Tiempo necesario para que una capa 
de escarcha de 2 mm de espesor se funda en el aire ambiente, h = 2 W / m2⋅K y T = 20 ° 
C. 
 
 
 
 
 
 
 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
SUPUESTOS: (1) Condiciones unidimensionales de estado estacionario, (2) 
Resistencia de convección insignificante para flujo de refrigerante (T∞, i = Ts, 1), (3) 
Resistencia de conducción de pared de tubo insignificante, (4) Insignificante 
intercambio de radiación en la superficie externa. 
ANÁLISIS: (a) La capacidad de enfriamiento en la condición descongelada (δ = 0) 
corresponde a la tasa de calor extracción del flujo de aire. Por lo tanto 
 
 
(b) Con la capa de escarcha, hay una resistencia adicional (de conducción) a la 
transferencia de calor, y la extracción la tasa es
 
 
Para 5 ≤ r2 ≤ 9 mm yk = 0,4 W / m⋅K, esta expresión produce 
 
 
La extracción de calor, y por lo tanto el rendimiento de la bobina del evaporador, 
disminuye con el aumento de las heladas espesor de la capa debido a un aumento en la 
resistencia total a la transferencia de calor. Aunque la convección la resistencia 
disminuye al aumentar δ, la reducción es superada por el aumento en la conducción 
resistencia. 
(c) El tiempo necesario para fundir una capa de escarcha de 2 mm de espesor se puede 
determinar aplicando una energía equilibrio, Eq. 1.11b, durante el intervalo de tiempo 
diferencial dt y a un volumen de control diferencial que se extiende hacia adentro desde 
la superficie de la capa. 
 
PROBLEMA 3.44 
Una corriente eléctrica de 700 A fluye a través de un cable de acero inoxidable que tiene un 
diámetro de 5 mm y una resistencia eléctrica de 6×10-4 Ω/m (por metro de longitud de cable). El 
cable está en un medio que tiene una temperatura de 30°C, y el coeficiente total asociado conla 
convección y la radiación entre el cable y el medio es aproximadamente 25 W/m2·K. 
(a) Si el cable está expuesto, ¿cuál es la temperatura de la superficie? 
(b) Si se aplica un recubrimiento muy delgado de aislante eléctrico al cable, con resistencia de 
contacto de 0.02 m2·K/W, ¿cuáles son las temperaturas superficiales del aislante y del cable? 
(c) Hay cierta preocupación sobre la capacidad del aislante para resistir temperaturas elevadas. 
¿Cuál espesor de este aislante (k = 0.5 W/m·K) dará el valor más bajo de la temperatura máxima 
del aislante? ¿Cuál es el valor de la temperatura máxima cuando se usa dicho espesor? 
 
SOLUCION 
 
CONOCIDO: flujo de corriente eléctrica, resistencia, diámetro y condiciones ambientales 
asociado con un cable. 
ENCUENTRE: (a) la temperatura de la superficie del cable desnudo, (b) la superficie del cable 
y las temperaturas de aislamiento para una capa delgada de aislamiento, (c) espesor de aislamiento 
que proporciona el valor más bajo de la máxima temperatura de aislamiento El valor 
correspondiente de esta temperatura. 
ESQUEMA: 
 
 
 
 
SUPUESTOS: (1) Condiciones de estado estable, (2) Conducción unidimensional en r, (3) 
Propiedades constantes. 
ANÁLISIS: 
(a) La tasa a la cual el calor se transfiere al entorno se fija por la tasa de la generación de calor en 
el cable. Realizando un balance de energía para una superficie de control sobre el cable, se deduce 
que 𝐸𝑔 = 𝑞 o, para el cable desnudo, 
 
Ι2𝑅𝑒
´ 𝐿 = ℎ(𝜋𝐷𝑖𝐿)(𝑇𝑠 − 𝑇∞) 
Con: 
 
𝑞′ = Ι2𝑅𝑒
′ = (700𝐴)2(6 × 10−4Ω/𝑚) = 294𝑊/𝑚 
 
Esto seguido de: 
𝑇𝑠 = 𝑇∞ +
𝑞′
ℎ𝜋𝐷𝑖
= 30℃ +
294𝑊/𝑚
(25𝑊/𝑚2 ∙ 𝐾)𝜋(0.005𝑚)
 
 
𝑇𝑆 = 778.7 ℃ 
 
(b) Con una fina capa de aislamiento, existen resistencias de contacto y de convección para 
calentar transferencia desde el cable. La tasa de transferencia de calor se determina calentando 
dentro del cable, sin embargo, y por lo tanto sigue siendo el mismo. 
𝑞 =
𝑇𝑠 − 𝑇∞
𝑅𝑡,𝑐 +
1
ℎ𝜋𝐷𝑖𝐿
=
𝑇𝑠 − 𝑇∞
𝑅𝑡,𝑐
′′
𝜋𝐷𝑖𝐿
+
1
ℎ𝜋𝐷𝑖𝐿
 
 
𝑞′ =
𝜋𝐷𝑖(𝑇𝑠 − 𝑇∞)
𝑅𝑡,𝑐
′′ + 1/ℎ
 
 
 
Y resolviendo para la temperatura de la superficie, encontrando: 
𝑇𝑆 =
𝑞′
𝜋𝐷𝑖
[𝑅𝑡,𝑐
′′ +
1
ℎ
] + 𝑇∞ =
294
𝑊
𝑚
𝜋 (0.005𝑚)
[0.02𝑚2 ∙
𝐾
𝑚
+ 0.04𝑚2 ∙
𝐾
𝑚
] + 30℃ 
 
𝑇𝑆 = 1153℃. 
 
La temperatura de aislamiento se obtiene a partir de 
 
𝑞 =
𝑇𝑆 − 𝑇𝑖
𝑅𝑡,𝑐
 
o´ 
𝑇𝑖 = 𝑇𝑠 − 𝑞𝑅𝑡,𝑐 = 1153℃ − 𝑞
𝑅𝑡,𝑐
′′
𝜋𝐷𝑖𝐿
= 1153℃ −
294𝑊/𝑚 × 0.02𝑚2 ∙ 𝐾/𝑊
𝜋(0.005𝑚)
 
𝑇𝑖 = 778.7℃ 
 
(c) La temperatura máxima de aislamiento podría reducirse al reducir la resistencia a la 
transferencia de calor desde la superficie exterior del aislamiento. Tal reducción es posible si 𝐷𝑖 <
𝐷𝑐𝑟. Del ejemplo 3.4. 
𝑟𝑐𝑟 =
𝑘
ℎ
=
0.5 𝑊/𝑚 ∙ 𝐾
25 𝑊/𝑚2 ∙ 𝐾
= 0.02𝑚 
 
⋅ Por lo tanto, Dcr = 0.04m> Di = 0.005m. Para minimizar la temperatura máxima, que existe en 
la superficie interna del aislamiento, agregue aislamiento en la cantidad: 
 
𝑡 =
𝐷𝑜 − 𝐷𝑖
2
=
𝐷𝑐𝑟 − 𝐷𝑖
2
=
(0.04 − 0.005)𝑚
2
 
𝑡 = 0.0175𝑚. 
 
La temperatura en la superficie del cable puede ser obtenido de: 
 
𝑞′ =
𝑇𝑠 − 𝑇∞
𝑅𝑡,𝑐
′′
𝜋𝐷𝑖
+
𝑙𝑛(𝐷𝑐𝑟/𝐷𝑖)
2𝜋𝐾 +
1
ℎ𝑟𝐷𝑐𝑟
=
𝑇𝑠 − 30℃
0.02𝑚2 ∙ 𝐾/𝑊
𝜋(0.005𝑚)
+
𝑙𝑛(0.04/0.005)
2𝜋(0.5𝑊/𝑚 ∙ 𝐾)
+
1
25
𝑊
𝑚2 ∙ 𝐾
𝜋(0.04𝑚)
 
 
Por lo tanto: 
 
294
𝑊
𝑚
=
𝑇𝑠 − 30℃
(1.27 + 0.66 + 0.32)𝑚 ∙
𝐾
𝑊
=
𝑇𝑠 − 30℃
2.25𝑚 ∙
𝐾
𝑊
 
𝑇𝑠 = 692.5℃ 
 
Reconociendo esto q = (Ts - Ti)/Rt,c, encontramos: 
𝑇𝑖 = 𝑇𝑠 − 𝑞𝑅𝑡.𝑐 = 𝑇𝑠 − 𝑞
𝑅𝑡,𝑐
′′
𝜋𝐷𝑖𝐿
= 692.5℃ −
294
𝑊
𝑚 × 0.02
𝑚2 ∙ 𝐾
𝑊
𝜋(0.005𝑚)
 
𝑇𝑖 = 318.2℃ 
 
COMENTARIOS: El uso del espesor de aislamiento crítico en lugar de un revestimiento delgado 
tiene el efecto de reduciendo la temperatura máxima de aislamiento de 778.7 ° C a 318.2 ° C. Uso 
del aislamiento crítico el espesor también reduce la temperatura de la superficie del cable a 
692.5C desde 778.7C sin aislamiento o de 1153°C con una fina capa. 
PROBLEM 3.46 
A través de un tubo de acero (AISI 1010), de 60 mm de diámetro interior y 75 mm de diámetro 
exterior, fluye vapor a una temperatura de 250°C. El coeficiente de convección entre el vapor y 
la superficie interna del tubo es 500 W/m2·K, mientras que entre la superficie externa del tubo y 
los alrededores es 25 W/m2·K. La emisividad del tubo es 0.8, y la temperatura del aire y los 
alrededores es 20°C. ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de longitud de tubo? 
 
SOLUCION 
 
CONOCIDO: La temperatura y el coeficiente de convección asociados con el flujo de vapor a 
través de una tubería de diámetros interno y externo prescritos. Emisividad de la superficie externa 
y coeficiente de convección. Temperatura del aire ambiente y alrededores. 
ENCONTRAR: calor perdido por unidad de longitud. 
 
ESQUEMA: 
 
 
SUPUESTOS: (1) Condiciones de estado estable, (2) Transferencia de calor unidimensional, (3) 
Propiedades constantes, (4) El entorno forma un recinto grande alrededor de la tubería. 
PROPIEDADES: Tabla A-1, Acero, AISI 1010 (T ≈450 K): k = 56.5 W / m⋅K. 
ANÁLISIS: En referencia al circuito térmico, se sigue de un balance de energía en el exterior 
superficie que 
 
𝑇∞,𝑖 − 𝑇𝑠,𝑜
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑
=
𝑇𝑠,𝑜 − 𝑇∞.𝑜
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑜
+
𝑇𝑠,𝑜 − 𝑇𝑠𝑢𝑟
𝑅𝑟𝑎𝑑
 
 
O de las Eqs. 3.9, 3.28 and 1.7, 
 
𝑇𝑠,𝑖 − 𝑇𝑠.𝑜
(
1
𝜋𝐷𝑖ℎ𝑖
) + 𝑙𝑛 (
𝐷𝑜
𝐷𝑖
) /2𝜋𝐾
=
𝑇𝑠,𝑜 − 𝑇∞.𝑜
(
1
𝜋𝐷𝑜ℎ𝑜
)
+ 𝜀𝜋𝐷𝑜𝜎(𝑇𝑠,𝑜
4 − 𝑇𝑠𝑢𝑟
4 ) 
 
523𝐾 − 𝑇𝑠,𝑜
(𝜋 × 0.6𝑚 ×
500𝑊
𝑚2
∙ 𝐾)
−1
+
𝑙𝑛 (
75
60)
2𝜋 ×
56.5𝑊
𝑚 ∙ 𝐾
=
𝑇𝑠,𝑜 − 293𝐾
(𝜋 × 0.075𝑚 ×
25𝑊
𝑚2
∙ 𝐾)
−1 
 
+0.8𝜋 × (0.075𝑚) × 5.67 ×
10−8𝑊
𝑚2
∙ 𝐾4[𝑇𝑠,𝑜
4 − 2934]𝐾4 
523 − 𝑇𝑠,𝑜
0.0106 + 0.0006
=
𝑇𝑠,𝑜 − 293
0.170
+ 1.07 × 10−8[𝑇𝑠,𝑜
4 − 2934] 
 
De un juicio y error de la solucion, 𝑇𝑠,𝑜 ≈ 502𝐾. Por lo tanto el calor perdido es: 
 
 
𝑞′ = 𝜋𝐷𝑜ℎ𝑜(𝑇𝑠,𝑜 − 𝑇∞.𝑜) + 𝜀𝜋𝐷𝑜𝜎(𝑇𝑠,𝑜
4 − 𝑇𝑠𝑢𝑟
4 ) 
 
𝑞′ = 𝜋(0.075𝑚)25
𝑊
𝑚2
∙ 𝐾(502 − 293) + 0.8𝜋(0.075𝑚)5.67 ×
10−8𝑊
𝑚2 ∙ 𝐾4
[5024 − 2434]𝐾4 
 
𝑞′ = 1231
𝑊
𝑚
+ 600
𝑊
𝑚
= 1831 𝑊/𝑚 
 
COMENTARIOS: La resistencia térmica entre la superficie exterior y el entorno es mucho más 
grande que eso entre la superficie externa y el vapor. 
3.47 Deseamos determinar el efecto de agregar una capa aislante de óxido de magnesio 
al tubo de vapor del problema anterior. Suponga que el coeficiente de convección en la 
superficie externa del aislante permanece a 25 W/m2·K, y que la emisividad es ε = 0.8. 
Determine y trace la pérdida de calor por unidad de longitud de tubo y la temperatura de 
la superficie externa como función del espesor del aislante. Si el costo de generación del 
vapor es $4/109 J y la línea de vapor opera 7000 h/año, recomiende un espesor de 
aislante 
y determine el ahorro anual correspondiente en costos de energía. Elabore una 
gráfica de la distribución de temperaturas para el espesor recomendado. 
CONOCIDO: La temperatura y el coeficiente de convección asociados con el flujo de 
vapor a través de una tubería de radios internos y externos prescritos. Emisividad del 
aislamiento de magnesia de la superficie exterior y convección coeficiente. Temperatura 
del aire ambiente y alrededores. 
ENCONTRAR: pérdida de calor por unidad de longitud q 'y temperatura de la 
superficie exterior Ts, o como una función del aislamiento espesor. Espesor de 
aislamiento recomendado. Ahorro y temperatura anuales correspondientes distribución. 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
 
 
 
 
 
SUPUESTOS: (1) Condiciones de estado estable, (2) Transferencia de calor 
unidimensional, (3) Constante propiedades, (4) El entorno forma un gran recinto 
alrededor de la tubería. 
PROPIEDADES: Tabla A-1, Acero, AISI 1010 (T ≈ 450 K): ks = 56.5 W / m⋅K. Tabla 
A-3, Magnesia, 85% (T ≈ 365 K): km = 0.055 W / m⋅K. 
ANÁLISIS: En referencia al circuito térmico, se deduce de un balancede energía en la 
superficie exterior que 
 
 
Esta expresión se puede resolver para Ts, o como una función de r3, y la pérdida de 
calor puede determinarse entonces por evaluando el lado izquierdo o derecho de la 
ecuación del balance de energía. Los resultados se trazan como sigue 
 
 
La disminución rápida en q 'con el aumento de r3 es atribuible a la contribución 
dominante que el aislamiento 
comienza a hacer a la resistencia térmica total. La convección interior y la conducción 
de la pared del tubo 
las resistencias se fijan en 0.0106 m⋅K / W y 6.29 × 10-4 m⋅K / W, respectivamente, 
mientras que la resistencia del 
el aislamiento aumenta a aproximadamente 2 m⋅K / W a r3 = 0.075 m. 
La pérdida de calor puede reducirse en casi un 91% desde un valor de aproximadamente 
1830 W / m en r3 = r2 
= 0.0375 m (sin aislamiento) a 172 W / m en r3 = 0.0575 m y solo un 3% adicional si el 
aislamiento 
el espesor se incrementa a r3 = 0.0775 m. Por lo tanto, un espesor de aislamiento de (r3 
- r2) = 0.020 m es 
3.49 El vapor que fluye a través de un tubo largo de pared delgada mantiene la pared del tubo 
a una temperatura uniforme de 
500 𝐾. El tubo está cubierto con una 
manta aislante compuesta con dos 
materiales diferentes, A y B. Se 
supone que la interfaz entre los dos 
materiales tiene una resistencia de 
contacto infinita, y que toda la 
superficie externa está expuesta al 
aire, para el cual 𝑇∞ = 300 K y ℎ =
 25 𝑊/𝑚2. 𝐾. 
(a) Dibuje el circuito térmico del sistema. Usando los símbolos precedentes, marque todos los 
nodos y resistencias pertinentes. 
(b) Para las condiciones que se establecen, ¿cuál es la pérdida total de calor del tubo? ¿Cuáles 
son las temperaturas de la superficie externa Ts, 2(A) y Ts, 2(B)? 
SOLUCIÓN 
CONOCIDO: 
Temperatura de la superficie interna de la manta aislante compuesta de dos capas 
semicilíndricas de diferentes materiales. Condiciones del aire ambiente. 
ENCUENTRE: 
(a) Circuito térmico equivalente, (b) Pérdida de calor total y temperaturas de la superficie 
exterior del material. 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
 
SUPUESTOS: 
(1) Condiciones de estado estable, (2) Conducta radial unidimensional, (3) Contacto infinito 
resistencia entre materiales, (4) propiedades constantes. 
ANÁLISIS: 
(a) El circuito térmico es, 
 
𝑹′𝒄𝒐𝒏𝒗,𝑨 = 𝑹′𝒄𝒐𝒏𝒗,𝑩 =
𝟏
𝝅𝒓𝟐𝒉
 
𝑹′𝒄𝒐𝒏𝒅(𝑨) =
𝒍𝒏(𝒓𝟐 𝒓𝟏⁄ )
𝝅𝒌𝑨
 
𝑹′𝒄𝒐𝒏𝒅(𝑩) =
𝒍𝒏(𝒓𝟐 𝒓𝟏⁄ )
𝝅𝒌𝑩
 
 
Las resistencias de conducción se desprenden de la Sección 3.3.1 y Eq. 3.28. Cada resistencia 
es más grande por un factor de 2 que el resultado de Eq. 3.28 debido al área reducida. 
 
(b) Evaluar las resistencias térmicas y la tasa de calor (𝑞 ′ = 𝑞′𝐴 + 𝑞′𝐵), 
 
𝑅′𝒄𝒐𝒏𝒗 = (𝜋 × 0.1 𝑚 × 25 𝑊 𝑚
2. 𝐾⁄ )−1 = 0.1273 𝑚. 𝐾 𝑊⁄ 
𝑅′𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴) =
𝑙𝑛(0.1 𝑚 0.05 𝑚⁄ )
𝜋 × 2 𝑊 𝑚. 𝐾⁄
= 0.1103 𝑚. 𝐾 𝑊⁄ 
𝑅′𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐵) = 8 𝑅′𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴) = 0.8825 𝑚. K 𝑊⁄ 
 
𝒒′ =
𝑻𝒔,𝟏 − 𝑻∞
𝑹′𝒄𝒐𝒏𝒅(𝑨) + 𝑹′𝒄𝒐𝒏𝒗
+
𝑻𝒔,𝟏 − 𝑻∞
𝑹′𝒄𝒐𝒏𝒅(𝑩) + 𝑹′𝒄𝒐𝒏𝒗
 
𝑞′ =
(500 − 300)𝐾
(0.1103 + 0.1273) 𝑚. 𝐾 𝑊⁄
+ 
(500 − 300)
(0.8825 + 0.1273) 𝑚. 𝐾 𝑊⁄
= (842 + 198) 𝑊 𝑚⁄ 
𝑞′ = 1040 𝑊 𝑚⁄ 
Por lo tanto, las temperaturas son: 
𝑇𝑠,2(𝐴) = 𝑇𝑠,1 − 𝑞
′
𝐴𝑅
′
𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴) = 500𝐾 − 842
𝑊
𝑚
× 0.1103
𝑚. 𝐾
𝑊
= 407𝐾 
𝑇𝑠,2(𝐵) = 𝑇𝑠,1 − 𝑞
′
𝐵𝑅
′
𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐵) = 500𝐾 − 198
𝑊
𝑚
× 0.8825
𝑚. 𝐾
𝑊
= 325𝐾 
COMENTARIOS: 
La pérdida de calor total también se puede calcular a partir de 𝑞′ = (𝑇𝑠,1 − 𝑇∞) 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣⁄ , donde 
𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 = [(𝑅′𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴) + 𝑅′𝑐𝑜𝑛𝑣,𝐴)
−1
+ (𝑅′𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐵) + 𝑅′𝑐𝑜𝑛𝑣,𝐵)
−1
]
−1
= 0.1923 𝑚. 𝐾 𝑊⁄ . 
Por lo tanto 𝑞′ =
(500−300)𝐾
0.1923 𝑚.𝐾 𝑊⁄
= 1040 𝑊/𝑚. 
 
 
3.50 Un recubrimiento de baquelita se usará con una varilla conductora de 10 mm de 
diámetro, cuya superficie se mantiene a 200°C mediante el paso de una corriente eléctrica. La 
varilla está en un fluido a 25°C, y el coeficiente de convección es 140 𝑊/𝑚2. 𝐾. ¿Cuál es el 
radio critico asociado con el recubrimiento? ¿Cuál es la transferencia de calor por unidad de 
longitud para la varilla desnuda y para la varilla con un recubrimiento de baquelita que 
corresponde al radio crítico? ¿Cuánta baquelita debe agregarse para reducir en 25% la 
transferencia de calor asociada con la varilla desnuda? 
SOLUCIÓN 
CONOCIDO: 
Temperatura superficial de una varilla circular recubierta con baquelita y fluido contiguo 
condiciones 
ENCONTRAR: 
(a) Radio de aislamiento crítico, (b) Transferencia de calor por unidad de longitud para varilla 
desnuda y para aislamiento en el radio crítico, (c) Es necesario un espesor de aislamiento para 
una reducción de la tasa de calor del 25%. 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
 
SUPUESTOS: 
(1) Condiciones de estado estable, (2) Conducción unidimensional en r, (3) Propiedades 
constantes, (4) Radiación insignificante y resistencia de contacto. 
PROPIEDADES: 
Tabla A-3, Baquelita (300K): k = 1.4 W / m.K. 
ANÁLISIS: 
(a) Del Ejemplo 3.4, el radio crítico es 
𝒓𝒄𝒓 =
𝒌
𝒉
=
1.4 𝑊 𝑚. 𝐾⁄
140 𝑊 𝑚2. 𝐾⁄
= 0.01 𝑚 
(b) Para la barra desnuda, 
𝒒′ = 𝒉(𝝅𝑫𝒊)(𝑻𝒊 − 𝑻∞) 
𝑞′ = 140
𝑊
𝑚2𝐾
(𝜋 × 0.01 𝑚)(200 − 25)℃ = 770 𝑊 𝑚⁄ 
Para el espesor de aislamiento crítico, 
𝑞′ =
𝑇𝑖 − 𝑇∞
1
2𝜋𝑟𝑐𝑟ℎ
+
𝑙𝑛(𝑟𝑐𝑟 𝑟𝑖⁄ )
2𝜋𝑘
 
𝑞′ =
(200 − 25)℃
1
2𝜋 × (0.01 𝑚) × 140 𝑊 𝑚2. 𝐾⁄
+
𝑙𝑛(0.01 𝑚 0.005 𝑚⁄ )
2𝜋 × 1.4 𝑊 𝑚. 𝐾⁄
 
𝑞′ =
175℃
(0.1137 + 0.0788) 𝑚. 𝐾 𝑊⁄
= 909 𝑊 𝑚⁄ 
(c) El espesor de aislamiento necesario para reducir la tasa de calor a 577 W / m se obtiene 
de 
 
𝒒′ =
𝑻𝒊 − 𝑻∞
𝟏
𝟐𝝅𝒓𝒉
+
𝒍𝒏(𝒓 𝒓𝒊⁄ )
𝟐𝝅𝒌
 
𝑞′ =
(200 − 25)℃
1
2𝜋 × (𝒓) × 140 𝑊 𝑚2. 𝐾⁄
+
𝑙𝑛(𝒓 0.005 𝑚⁄ )
2𝜋 × 1.4 𝑊 𝑚. 𝐾⁄
= 577
𝑊
𝑚
 
De una solución de prueba y error, encuentre 
𝑟 ≈ 0.06 𝑚. 
El espesor de aislamiento deseado es entonces 
𝛿 = (𝑟 − 𝑟𝑖) ≈ (0.06 − 0.005)𝑚 = 55 𝑚𝑚. 
 
PROBLEMA 3.51 
 
CONOCIDO: temperatura de la pared del tubo y condiciones de convección 
asociadas con el flujo de agua a través del tubo y formación de la capa de hielo 
en la superficie interna. 
 
ENCONTRAR: Espesor de capa de hielo δ. 
 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
 
 
 
SUPUESTOS: (1) Conducción unidimensional, de estado estacionario, (2) 
Termal de tubería indistinta resistencia, (3) resistencia insignificante al contacto 
hielo / pared, (4) Constante k. 
 
PROPIEDADES: Tabla A.3, Hielo (T = 265 K): k ≈ 1.94 W / m⋅K. 
 
ANÁLISIS: Realizando un balance de energía para una superficie de control 
sobre la interfaz hielo / agua, sigue que, para una longitud unitaria de tubería, 
 
𝑞′𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑞′𝑐𝑜𝑛𝑑 
ℎ𝑖(2𝜋𝑟1)(𝑇∞,1 − 𝑇𝑠,1) =
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,𝑒
ln(𝑟2 𝑟1⁄ )/2𝜋𝑘
 
 
Dividiendo ambos lados de la ecuación por r2, 
 
ln(𝑟2 𝑟1⁄ )
𝑟2 𝑟1⁄ )
=
𝑘
ℎ𝑖𝑟2
×
𝑇𝑠,𝑖 − 𝑇𝑠,𝑒
𝑇∞,𝑖 − 𝑇𝑠,𝑖
=
1.94 𝑊 𝑚. 𝑘⁄
(2000 𝑊 𝑚2. 𝑘)(0.05𝑚)⁄
×
15℃
3℃
= 0.097 
La ecuación se cumple con r2 / r1 = 1.114, en cuyo caso r1 = 0.050 m / 1.114 = 
0.045 m, y la capa de hielo espesor es 
 
𝛿 = 𝑟2 − 𝑟1 = 0.005𝑚 = 5𝑚𝑚 
COMENTARIOS: Sin flujo, hi → 0, en cuyo caso podría ocurrir r1 → 0 y bloqueo 
completo, la tubería debe estar aislada. 
 
3.52 Considere el sistema de almacenamiento de oxígeno líquido y las condiciones 
ambientales del laboratorio del problema 1.35. Para reducir la pérdida de oxígeno debida 
a la vaporización debe aplicarse una capa de aislante a la superficie externa el contenedor. 
Considere el uso de un aislante de hoja de aluminio laminado/vidrio mate, para el que la 
conductividad térmica y la emisividad superficial son k = 0.00016 W/m·K y ε = 0.20, 
respectivamente. 
(a) Si el contenedor se cubre con una capa de aislante de 10 mm de espesor, ¿cuál es el 
Porcentaje de reducción en la pérdida de oxígeno en relación con el contenedor sin 
recubrimiento? 
(b) Calcule y trace la masa de evaporación (kg/s) como función del espesor del aislante 
- 155 - 
t para 0 ≤ t ≤ 50mm. 
Solución 
CONOCIDO: Diámetro de un contenedor esférico utilizado para almacenar oxígeno líquido y 
propiedades del aislamiento material. Condiciones ambientales. 
ENCUENTRE: (a) Reducción en la pérdida de oxígeno por evaporación asociada con un espesor 
de aislamiento prescrito, (b) Efecto del espesor del aislamiento en la tasa de evaporación. 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
 
 
SUPUESTOS: (1) Conducción de estado estable y unidimensional, (2) Resistencia de conducción 
insignificante de pared del contenedor y resistencia de contacto entre la pared y el aislamiento, 
(3) pared del contenedor en el punto de ebullición de oxígeno líquido. 
ANÁLISIS: (a) Aplicando un balance de energía a una superficie de control sobre el aislamiento, 
Eentra-Esale=0 sigue que q’conv + qrad = q’cond = q. Por lo tanto, 
 
 
Donde: 
 
 
Y, de la ecuación 1.9, el coeficiente de radiación es 
 
 
 
Con t = 10 mm (r2 = 260 mm), ε = 0.2 y T∞ = Tsur = 298 K, una solución iterativa de la ecuación 
del balance de energía rinde Ts, 2 ≈ 297.7 K, donde Rt, conv = 0.118 K / W, Rt, rad = 0.982 K / W y 
Rcond = 76.5 K / W. Con el aislamiento, se deduce que el aumento de calor es qw ≈ 2.72 W Sin el 
aislamiento, el aumento de calor es: 
 
 
 
Donde, con r2 = r1, Ts, 1 = 90 K, Rt, conv = 0.127 K / W y Rt, rad = 3.14 K / W. Por lo tanto, 
qwo = 1702 W 
Con la tasa de evaporación de masa de oxígeno dada por? M = q / hfg, la reducción porcentual 
en el oxígeno evaporado es: 
 
 
Por lo tanto, 
 
 
 
(b) Usando la ecuación (1) para calcular Ts, 2 y q como una función de r2, la tasa de evaporación 
correspondiente? m = q / hfg, puede ser determinado. Las variaciones de q y? M con r2 se trazan 
de la siguiente manera. 
 
 
 
 
 
 
 
Debido a su conductividad térmica extremadamente baja, se asocian importantes beneficios con 
el uso de una capa delgada de aislamiento. Las reducciones de casi tres órdenes de magnitud en 
q y? M se logran con r2 = 0.26 metro. Con el aumento de r2, q y? M disminuyen desde los valores 
de 1702 W y 8 × 10-3 kg / s en r2 = 0.25 ma 0.627 W y 2.9 × 10-6 kg / s en r2 = 0.30 m. 
COMENTARIOS: Los aislamientos de lámina metálica / lámina de vidrio laminado son 
extremadamente efectivos y corresponden las resistencias de conducción son típicamente 
mucho más grandes que las normalmente asociadas con la convección de superficie y radiación 
3.54 Una esfera hueca de aluminio, con un calentador eléctrico en el centro, se utiliza en 
pruebas para determinar la conductividad térmica de materiales aislantes. Los radios interior y 
exterior de la esfera son 0.15 y 0.18 m, respectivamente, y la prueba se hace en condiciones de 
estado estable, en las que la superficie interna del aluminio se mantiene a 250°C. En una 
prueba particular, una capa esférica de aislante se funde sobre la superficie externa de la 
esfera y alcanza un espesor de 0.12 m. El sistema está en un cuarto para el que la temperatura 
del aire es 20°C, y el coeficiente de convección en la superficie externa del aislante es 
30 𝑊/𝑚2. 𝐾. Si se disipan 80 W por el calentador bajo condiciones de estado estable, ¿cuál es 
la conductividad térmica del aislante? 
 
SOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.59 
La energía que se transfiere de la cámara anterior del ojo a través de la córnea varía 
considerablemente dependiendo del uso de un lente de 
contacto. Trate al ojo como un sistema esférico y 
suponga que el sistema se encuentra en estado estable. 
El coeficiente de convección ho se mantiene inalterable 
con y sin el lente de contacto en su sitio. La córnea y el 
lente cubren un tercio del área de la superficie esférica. 
Los valores de los parámetros que representan esta 
situación son los siguientes: 
 
r1 = 10.2 mm r2 = 12.7 mm 
r3 = 16.5 mm 
T∞, i = 37°C T∞, o = 21°C 
k1 = 0.35 W/m.K k2 = 0.80 W/m.K 
hi = 12 𝑊/𝑚2. 𝐾 ho = 6 𝑊/𝑚2. 𝐾 
 
(a) Construya los circuitos térmicos, marcando todos los potenciales y flujos para los 
sistemas excluyendo e incluyendo los lentes de contacto. Escriba los elementos de 
resistencia en términos de parámetros apropiados. 
(b) Determine la pérdida de calor de la cámara anterior con los lentes de contacto y sin 
ellos. 
(c) Discuta la implicación de los resultados. 
 
PROBLEMA 3.55 
 
Un tanque esférico para almacenar oxígeno líquido en un transbordador 
espacial se 
construye de acero inoxidable de 0.80 m de diámetro exterior y una pared de 5 
mm de 
espesor. El punto de ebullición y la entalpía de fusión del oxígeno líquido son 
90 K y 
213 kJ/kg, respectivamente. El tanque se instalará en un compartimiento 
grande cuya 
temperatura se mantendrá a 240 K. Diseñe un sistema de aislamiento térmico 
que mantenga 
las pérdidas de oxígeno debidas a la ebullición por debajo de 1 
kg/día. 
SOLUCION: 
CONOCIDO: dimensiones del contenedor del almacenamiento 
esférico de oxigeno liquido (LOX) de acero inoxidable. Punto de 
ebullición y calor latente de fusión de LOX. Temperatura ambiente 
ENCONTRAR: sistema de aislamiento térmico que mantiene la 
evaporación por debajo de 1kg/dia. 
ESQUEMA: 
 
SUPUESTOS: (1) condiciones de estado estacionario unidimensionales, 
(2) resistencias térmicas insignificantes asociadas con la convección 
interna y externa, conducción en la pared del contenedor y contacto entre 
la pared y el aislamiento, (3) radiación insignificante en la superficie 
exterior, (4) conductividad térmica de aislamiento constante. 
PROPIEDADES: tabla A.1 304 acero inoxidable (T=100k): 𝑘𝑠 =
9.2𝑊/𝑚𝐾; tabla A.3, reflectamente, aislamiento de papel de aluminio de 
vidrio (T=150K): 𝑘𝑖 = 0.000017𝑊/𝑚𝐾. 
ANALISIS: El aumento de calor asociado con una perdida de 1kg/dia es, 
𝑞 = 𝑚ℎ𝑓𝑔 =
1𝑘𝑔
𝑑𝑖𝑎
86.400𝑠
𝑑𝑖𝑎
(2.13 ×
105𝐽
𝑘𝑔
) = 2.47𝑊 
Con una diferencia de temperatura global de (𝑇∞ − 𝑇𝑏𝑝) = 150𝐾, la 
resistencia térmica total correspondiente es, 
𝑅𝑡𝑜𝑡 =
∆𝑇
𝑞
=
150𝐾
2.47𝑊
= 60.7𝐾/𝑊 
Dado que la resistencia de conducción de la pared de acero es 
𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑠 =
1
4𝜋𝑘𝑠
(
1
𝑟1
−
1
𝑟2
) =
1
4𝜋 (
9.2𝑊
𝑚𝐾 )
(
1
0.35𝑚
−
1
0.40𝑚
) = 2.4 ×
10−3𝐾
𝑊
 
Esta claro que se debe confiar exclusivamente en el aislamiento y que 
debe seleccionarse a un aislamiento especial de muy baja conductividad 
térmica. La mejor opción es un aislamiento altamente reflectante de 
lamina/vidrio mateado que fue desarrollado para aplicaciones criogénicas. 
Se deduce que 
𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑖 =
60.7𝐾
𝑊
=
1
4𝜋𝑘𝑖
(
1
𝑟2
−
1
𝑟3
) =
1
4𝜋 (
0.000017𝑊
𝑚𝐾
)
(
1
0.40𝑚
−
1
𝑟3
) 
Que rinde r3=0.4021m. El espesor mínimo de aislamiento es por lo tanto 
𝛿 = (𝑟1 − 𝑟2) = 2.1𝑚𝑚 
COMENTARIOS: La perdida de calor podría reducirse muy por debajo del 
máximo permitido agregado mas aislamiento. Además, en vista de las 
restricciones de peso asociadas con el lanzamiento de vehículos 
espaciales, se debe considerar fabricar el contenedor LOX de una 
material mas liviano. 
 
PROBLEMA 3.56 
Una sonda esférica crioquirúrgica se incrusta en tejido enfermo con el propósito 
de 
congelarlo y, por tanto, destruirlo. Considere una sonda de 3 mm de diámetro 
cuya superficie 
se mantiene a -30°C cuando se incrusta en tejido que está a 37°C. Una capa 
esférica de tejido congelado se forma alrededor de la sombra, con una 
temperatura de 
0°C en la fase frontal (interfaz) entre el tejido normal y el congelado. Si la 
conductividad 
térmica del tejido congelado es aproximadamente 1.5 W/m·K y la transferencia 
de 
calor en la fase frontal se caracteriza por un coeficiente de convección efectivo 
de 50 
W/m2·K, ¿cuál es el espesor de la capa del tejido congelado? 
SOLUCION: 
CONOCDIO: diámetro y temperatura de la superficie de una 
criosonda esférica. Temperatura del tejido circundante y coeficiente 
de convección efectivo en la interfaz entre el tejido congelado y el 
normal. 
 
ENCONTRAR: espesor de la capa de tejido congelado. 
ESQUEMA: 
 
 
SUPUESTOS:(1) condiciones unidimensionales de estado estacionario, 
(2) resistencia de contacto insignificante entre la sonda y el tejido 
congelado, (3) propiedades constantes. 
ANALISIS: realizando un balance de energía para una superficie de 
control sobre el frente de la fase, se deduce que, 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 0 
Por lo tanto, 
ℎ(4𝜋𝑟2
2)(𝑇∞ − 𝑇𝑠,2) =
𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1
[(
1
𝑟1
) − (
1
𝑟2
)]
4𝜋𝑘
 
𝑟2
2 [(
1
𝑟1
) − (
1
𝑟2
)] =
𝑘
ℎ
(𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1)
(𝑇∞ − 𝑇𝑠,2)
 
(
𝑟2
𝑟1
) [(
𝑟2
𝑟1
) − 1] =
𝑘
ℎ𝑟1
(𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1)
(𝑇∞ − 𝑇𝑠,2)
=
1.5𝑊
𝑚𝐾
(
50𝑊
𝑚2𝐾
) (0.0015𝑚)
(
30
37
) 
(
𝑟2
𝑟1
) [(
𝑟2
𝑟1
) − 1] = 16.2 
(
𝑟2
𝑟1
) = 4.56 
Se deduce que 𝑟2 = 6.84𝑚𝑚 y el espesor del tejido congelado es 
𝛿 = 𝑟2 − 𝑟1 = 5.34𝑚𝑚 
PROBLEM 3.61 
Una capa esférica de radios interior y exterior ri y ro respectivamente, se llena con un material 
generador de calor que proporciona una rapidez de generación volumétrica uniforme (W/m3) de 
q. La superficie externa de la capa se expone a un fluido que tiene una temperatura T∞, y un 
coeficiente de convección h. Obtenga una expresión para la distribución de temperaturas de estado 
estable T(r) en la capa, y exprese los resultados en términos de ri, ro, q, h, T∞, y la conductividad 
térmica k del material de la capa. 
 
SOLUCION 
 
CONOCIDO: generación de calor volumétrico que ocurre dentro de la cavidad de una capa 
esférica de dimensiones prescritas. Condiciones de convección en la superficie exterior. 
ENCONTRAR: Expresión para la distribución de temperatura en estado estable en el caparazón. 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
SUPUESTOS: (1) Conducción radial unidimensional, (2) Condiciones de estado estable, (3) 
Propiedades constantes, (4) Generación uniforme dentro de la cavidad del casco, (5) Radiación 
insignificante. 
ANÁLISIS: Para las condiciones prescritas, la forma apropiada de la ecuación de calor es 
 
𝑑
𝑑𝑟
[𝑟2
𝑑𝑇
𝑑𝑟
] = 0 
 
Integramos dos veces y obtenemos: 
𝑟2
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 𝐶1 𝑦 𝑇 = −
𝐶1
𝑟
+ 𝐶2 
 
Las condiciones de contorno se pueden obtener de los balances de energía en el interior y el 
exterior de las superficies. En la superficie interna (ri), 
 
�̇�𝑔 = �̇�(4/3𝜋𝑟𝑖
3) = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑖 = −𝐾(4𝜋𝑟𝑖
2)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
)𝑟𝑖 
𝑑𝑇
𝑑𝑟
)𝑟𝑖 = −�̇�𝑟𝑖/3𝐾 
 
En la superficie externa (ro), 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑜 = −𝐾4𝜋𝑟𝑜
2
𝑑𝑇
𝑑𝑟
)𝑟0 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ4𝜋𝑟𝑜
2[𝑇(𝑟𝑜) − 𝑇∞] 
 
𝑑𝑇
𝑑𝑟
)𝑟0 = − (
ℎ
𝐾
) [𝑇(𝑟𝑜) − 𝑇∞] 
 
De las Eqs. (1) Y (3), 𝐶1 = −𝑞𝑟𝑖
3/3𝐾. De las Eqs. (1), (2) y (4) 
 
−
𝑞𝑟𝑖
3
3𝐾𝑟𝑜
2 = − [
ℎ
𝐾
] [
𝑞𝑟𝑖
3
3𝑟𝑜𝐾
+ 𝐶2 − 𝑇∞] 
 
𝐶2 =
𝑞𝑟𝑖
3
3ℎ𝑟𝑜
2 −
𝑞𝑟𝑖
3
3𝑟𝑜𝐾
+ 𝑇∞ 
 
Por lo tanto, la distribucion de temperatura es: 
 
𝑇 =
𝑞𝑟𝑖
3
3𝐾
[
1
𝑟
−
1
𝑟𝑜
] +
𝑞𝑟𝑖
3
3ℎ𝑟𝑜
2 + 𝑇∞ 
 
COMENTARIOS: Note esto, 𝐸𝑔 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑖 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑜 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 
 
 
 
PROBLEMA 3.62 
𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜, 𝑞 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑜 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 
𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝐾 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑖 
 
𝑟𝑜 
𝑟𝑖 
Un transistor, que se aproxima como 
una fuente de calor hemisférica de radio ro 
= 0.1 mm, se empotra en un sustrato de 
silicio grande (k = 125 W/m·K) y disipa 
calor a una velocidad q. Todas las fronteras 
del silicio se mantienen a una temperatura 
ambiente de T∞ = 27°C, excepto para una 
superficie plana que está bien aislada. 
Obtenga una expresión general para la distribución de temperaturas del sustrato y evalúe 
la temperatura superficial de la fuente de calor para q = 4 W. 
 
SOLUCION 
 
CONOCIDO: Disipación de radio y calor de una fuente semiesférica incrustada en un sustrato 
de conductividad térmica prescrita. Condiciones de frontera de origen y sustrato. 
ENCONTRAR: Distribución de la temperatura del sustrato y temperatura de la superficie de la 
fuente de calor. 
ESQUEMÁTICO: 
 
 
 
 
 
 
SUPUESTOS: (1) La superficie superior es adiabática. Por lo tanto, fuente hemisférica en semi-
infinito medio es equivalente a fuente esférica en medio infinito (con q = 8 W) y transferencia de 
calor es unidimensional en la dirección radial, (2) condiciones de estado estable, (3) propiedades 
constantes, (4) Sin generación. 
ANÁLISIS: la ecuación de calor se reduce a 
 
1
𝑟2
𝑑
𝑑𝑥
(𝑟2
𝑑𝑇
𝑑𝑟
) = 0 𝑟2
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 𝑐 
 
𝑇(𝑟) = −
𝐶1
𝑟
+ 𝐶2. 
Condiciones de limite: 
𝑇(∞) = 𝑇∞ 𝑇(𝑟0) = 𝑇𝑠 
 
 
Por lo tanto, 𝐶2 = 𝑇∞ y 
 
𝑇𝑠 = −
𝐶1
𝑟𝑜
+ 𝑇∞ Y 𝐶1 = 𝑟𝑜(𝑇∞ − 𝑇𝑠) 
 
La distribucion de temperatura es: 
 
𝑇(𝑟) = 𝑇∞ + (𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝑟𝑜/𝑟 
 
Y el flujo de calor es: 
 
𝑇∞ = 27℃ 
𝑞 = 4𝑊 
𝑟𝑜 = 0.1𝑚𝑚 
𝑇𝑠 
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑖𝑐𝑖𝑜 
𝐾 = 125 𝑊/𝑚 ∙ 𝐾 
𝑞 = 8𝑊 
𝑇∞ 
𝑟𝑜 = 0.1𝑚𝑚 
 
𝑞 = −𝐾𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= −𝐾2𝜋 𝑟2 [−
(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝑟𝑜
𝑟2
] = 𝐾2𝜋 𝑟𝑜(𝑇𝑠 − 𝑇∞) 
 
Esto seguido de: 
 
𝑇𝑠 − 𝑇∞ =
𝑞
𝐾2𝜋 𝑟0 
=
4𝑊
125
𝑊
𝑚 ∙ 𝐾 2𝜋 (10
−4𝑚)
= 50.9℃ 
 
𝑇𝑠 = 77.9℃ 
COMENTARIOS: Para que la aproximación media semiinfinita (o infinita) sea válida, 
las dimensiones del sustrato deben ser mucho más grandes que las del transistor.