Fórmulas de Distribuições e Estatística

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Formulário
Distribuições discretas
Distribuição P (X = k) Suporte Valor médio Variância
H (N,M,n)
(Mk )(
N−M
n−k )
(Nn)
max (0,M + n−N) ≤ k ≤ min (M,n) nM
N
nM(N−M)(N−n)
N2(N−1)
B (n, p)
(
n
k
)
pk (1− p)n−k 0 ≤ k ≤ n np np (1− p)
P (λ) e
−λλk
k!
k ∈ N0 λ λ
G (p) p (1− p)k−1 k ∈ N 1
p
1−p
p2
Distribuições Cont́ınuas
Distribuição f(x) Suporte Valor Médio Variância
U (a, b) 1
b−a a ≤ x ≤ b
a+b
2
(b−a)2
12
Exp (α, δ) 1
δ
e−
x−α
δ x ≥ α α+ δ δ2
N
(
µ, σ2
)
1√
2π σ
e−
1
2 (
x−µ
σ )
2
x ∈ R µ σ2
Distribuições por amostragem
Média
√
n
X − µ
σ
∼ N (0, 1)
√
n
X − µ
S
∼ tn−1
√
n
X − µ
σ
a∼ N (0, 1)
√
n
X − µ
S
a∼ N (0, 1)
S2 = 1n−1
∑
(Xi −X)2 = 1n−1
(∑
X2i − nX
2
)
Diferença de médias
X − Y − (µ1 − µ2)√
σ21
n1
+
σ22
n2
∼ N (0, 1) X − Y − (µ1 − µ2)
Sp
√
1
n1
+
1
n2
∼ tn1+n2−2 S2p =
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
X − Y − (µ1 − µ2)√
σ21
n1
+
σ22
n2
a∼ N (0, 1) X − Y − (µ1 − µ2)√
S21
n1
+
S22
n2
a∼ N (0, 1)
Variância Proporção Quociente de Variâncias
(n− 1)S2
σ2
∼ χ2n−1
√
n
p̂− p√
p (1− p)
a∼ N (0, 1)
σ22
σ21
S21
S22
∼ Fn1−1,n2−1
Teste de ajustamento Teste de aleatoriedade
k∑
i=1
(Oi−Ei)2
Ei
a∼ χ2k−p−1
V− 2n−1
3√
16n−29
90
a∼ N(0, 1)
Regressão linear
Sxx =
n∑
i=1
(xi − x)2 =
n∑
i=1
x2i − nx2 SY Y =
n∑
i=1
(
Yi − Y
)2
SxY =
n∑
i=1
(xi − x)
(
Yi − Y
)
=
n∑
i=1
xiYi − nxY
Estimadores
β̂1 =
SxY
Sxx
β̂0 = Y − β̂1x σ̂2 =
SQE
n− 2 =
SY Y − β̂21Sxx
n− 2
Distribuição dos estimadores
√
n Sxx∑
x2i
β̂0 − β0
σ̂
∼ tn−2
√
Sxx
β̂1 − β1
σ̂
∼ tn−2
(n− 2) σ̂2
σ2
∼ χ2n−2
Predição Qualidade do Ajustamento
Ê (Y |xo )− E (Y |xo )
σ̂
√
1
n
+
(xo − x̄)2
Sxx
∼ tn−2
Ŷ |xo − Y |xo
σ̂
√
1 +
1
n
+
(xo − x̄)2
Sxx
∼ tn−2 R2 = β̂21
Sxx
SY Y