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ECUACIONES DIFERENCIALES 
LORENA MARITZA TERRIOS GUZMÁN 
 
CAPÍTULO 1: GENERALIDADES DE LAS 
ECUACIONES DIFERENCIALES 
 
 
1.1 Definición de ecuación diferencial y clasificación 2 
 1.1.1 Clasificación según el tipo 2 
 1.1.2 Clasificación según el orden y el grado 2 
 1.1.3 Clasificación según linealidad 3 
1.2 Solución de una ecuación diferencial ordinaria 4 
1.3 Problemas de valor inicial y problemas de valor frontera 7 
Taller 1 9 
 
 
Lorena Maritza Terrios Guzmán 
CAPÍTULO 1: GENERALIDADES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 
2 
 
 
Capítulo 1 GENERALIDADES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 
 
 
En este capítulo se presentan conceptos básicos de las ecuaciones 
diferenciales tales como la definición de ecuación diferencial, solución 
de una ecuación diferencial, problema de valor inicial y problema de 
valor frontera. También una clasificación de las ecuaciones 
diferenciales y distintas representaciones (simbolización) algebraicas de 
estas lo cual permitirá familiarizarse con esta teoría y lograr una mejor 
comprensión de la misma. 
 
 
1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL Y CLASIFICACIÓN 
 
 
Definición 1. Una ecuación que contiene derivadas (ordinarias o parciales) de una o más variables 
dependientes respecto a una o más variables independientes se denomina ecuación diferencial (ed). 
 
 
1.1.1 CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO 
 
 
Definición 2. Una ecuación que contiene derivadas ordinarias (o diferenciales) de una o más 
variables dependientes respecto a una única variable independiente es una ecuación diferencial 
ordinaria (edo). 
 
Definición 3. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables 
dependientes respecto a dos o más variables independientes es una ecuación diferencial parcial 
(edp). 
 
 
1.1.2 CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN Y EL GRADO 
 
 
Definición 4. Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada (ordinaria o 
derivada parcial) de mayor orden que interviene en la ecuación diferencial. 
 
Definición 5. Se denomina grado de la ecuación diferencial al exponente de la derivada de mayor 
orden. 
 
 
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1.1.3 CLASIFICACIÓN SEGÚN LINEALIDAD 
 
 
Definición 6. Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación diferencial lineal si es de la forma 
𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+⋯+ 𝑎2(𝑥)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
 
Donde 𝑔(𝑥) se llama función de entrada. 
 
Es decir, una ecuación diferencial es lineal si se satisfacen las siguientes condiciones: 
- Es una ecuación diferencial que contiene derivadas ordinarias de una única variable dependiente 
respecto a una única variable independiente. 
- La función de entrada y los coeficientes de cada una de sus derivadas son funciones explícitas de la 
variable independiente. 
- El exponente de la variable dependiente y de sus derivadas es siempre 1. 
 
Si alguna de las condiciones anteriores no se cumple se dice que la ecuación diferencial es no lineal. 
 
Nota: 
 Si 𝑔(𝑥) = 0, la ecuación se denomina ecuación diferencial homogénea y si 𝑔(𝑥) ≠ 0, se llama 
ecuación diferencial no homogénea. 
 Otras formas de representar una ecuación diferencial ordinaria que contiene derivadas ordinarias 
de una única variable dependiente respecto a una única variable independiente son: 
 𝑎𝑛(𝑥)𝑦
(𝑛) + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦
(𝑛−1) +⋯+ 𝑎2(𝑥)𝑦
′′ + 𝑎1(𝑥)𝑦
′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
 𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥), 𝑦′′(𝑥),… , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 𝑔(𝑥) 
Ejemplo 1: 
Clasifiquemos las siguientes ecuaciones diferenciales: 
a) 𝑦′′ − 𝑦′ + 6𝑦 = 3𝑥 + 1 b) 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑥 + 𝑦 
c) 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕3𝑣
𝜕𝑦2𝜕𝑡
=
𝜕𝑢 
𝜕𝑡
 d) (
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
)
2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑒𝑥𝑦 = 𝑥 
 
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Solución: 
Ecuación diferencial Tipo Orden Grado Linealidad 
𝑦′′ − 𝑦′ + 6𝑦 = 3𝑥 + 1 edo 2 1 es lineal 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑥 + 𝑦 
edo 1 1 Es no lineal, contiene derivadas ordinarias 
de más de una variable dependiente 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕3𝑣
𝜕𝑦2𝜕𝑡
=
𝜕𝑢 
𝜕𝑡
 
edp 3 1 No aplica 
(
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
)
2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑒𝑥𝑦 = 𝑥 
edo 3 2 Es no lineal, el exponente de una de las 
Derivadas es distinto de 1. 
 
Ejercicio 1: 
Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales. Si es ordinaria identificar la función de entrada. 
a) 𝑦′′ + 𝑥𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) b) 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
4
− 𝑒𝑥𝑦 = 𝑥 
c) (𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑦′′ + 𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥2 d) 𝑦(4) − 2𝑥𝑦′′ + 𝑦 = 3 + 𝑙𝑛𝑥 
e) 𝑡2𝑦′′′ + 𝑡𝑦′′ − 2𝑦′ =
𝑡
𝑡+1
 f) 𝑡𝑑𝑦 + 𝑙𝑛𝑡𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 
 
 
1.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA 
 
 
Definición 7. Dada una ecuación diferencial 𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥), 𝑦′′(𝑥), … , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 𝑔(𝑥) se 
denomina: 
a) Solución particular de la ecuación diferencial en un intervalo 𝐼 ⊂ ℝ a una función 𝑦 = 𝜑(𝑥) que 
posee al menos 𝑛 derivadas continuas en 𝐼 tal que 𝐹(𝑥, 𝜑(𝑥), 𝜑′(𝑥), 𝜑′′(𝑥), … , 𝜑(𝑛)(𝑥)) = 𝑔(𝑥). 
b) Solución general (o familia de soluciones) de la ecuación diferencial en un intervalo 𝐼 ⊂ ℝ al 
conjunto de soluciones particulares de la ecuación en dicho intervalo. 
 
Ejemplo 2: 
Ecuación diferencial: 𝑦′′ + 4𝑦 = 0 
Solución particular: 𝜑(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 
Solución general: 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 
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Ejercicio 2: 
Verificar que las funciones dadas en el ejemplo 2 representan una solución particular y la solución 
general de la ecuación diferencial dada. 
Nota: 
 El intervalo I de la definición 7 se conoce como intervalo de definición o intervalo de existencia o 
intervalo de validez, o dominio de la solución. Y la función 𝜑, también se denomina integral de la 
ecuación y a su gráfica, curva integral o curva solución. 
 La solución (particular o general) de una ecuación diferencial puede estar definida implícita o 
explícitamente, respecto a la variable o variables independientes. 
 Cuando se resuelve una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, normalmente se obtiene 
una solución que contiene una sola constante (o parámetro), la cual representa al conjunto de 
soluciones llamado familia de soluciones (o solución general). Por ejemplo, la ecuación diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 tiene como familia de soluciones a 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥. Cada valor del parámetro C identifica un 
elemento de la familia de soluciones. La figura 1 muestra algunos elementos de dicha familia. 
 
 
Figura 1 
 
 La solución general de una ecuación diferencial 𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥), 𝑦′′(𝑥), … , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 𝑔(𝑥) es 
de la forma 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛) = 0, donde 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 son constantes arbitrarias denominadas 
parámetros. 
 Una solución particular de una ecuación diferencial es una solución libre de parámetros. 
 Geométricamente, las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria son curvas en ℝ2. 
 
 
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Ejemplo 3: 
Dadas 
16𝑦 − 𝑥4 = 0 (1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥√𝑦 (2)
 
Veriquemos que (1) es solución de (2) 
Solución: 
Observemos que (1) está dada en forma implícita, pero también se puede expresar en forma 
explícita, esto es 
 𝑦 =
1
16
𝑥4 (3) 
(1) y (3) son equivalentes. 
 
En (3), derivando explícitamente respecto a 𝑥 obtenemos, 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
4
𝑥3 (4) 
Sustituyendo (3) y (4) en (2) tenemos que:𝑥3
4
= 𝑥√𝑥
4
16⁄ = 𝑥
𝑥2
4
⟺
1
4
𝑥3 =
𝑥3
4
 (5) 
 
(5) es una identidad, por lo tanto 16𝑦 − 𝑥4 = 0 es solución de 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥√𝑦 
 
Ejercicio 3: 
a) Comprobar que 𝑦 = 𝜑(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 es solución de 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0. 
b) Mostrar que 4𝑥 − 2
𝑦
𝑥
+ 𝑦2 = 1 es solución de (2𝑥2 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0 . 
Ejercicio 4: 
Mostrar que cada función dada es solución general de la ecuación diferencial correspondiente. 
a) 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
∫ 𝑒𝑡
2
𝑑𝑡
𝑥
0
+ 𝐶𝑒−𝑥
2
, 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 1 
b) 𝑦 = 𝐴𝑥−1+𝐵𝑥 + 𝐶𝑥𝑙𝑛𝑥 + 4𝑥2, 𝑥3𝑦′′′ + 2𝑥2𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 12𝑥2 
Tarea 1: 
a) Determinar si 𝑥 = 𝑦 ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑡2)
𝑥
0
𝑑𝑡 es solución de 𝑦 = 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦2𝑐𝑜𝑠(𝑥2). 
b) Establecer si 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠𝑥𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥) es solución de 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 
c) Mostrar que 𝑘(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥𝑒𝑦 𝑥⁄ es solución de (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 
d) Determinar si (𝑦 − 𝐶)2 = 𝐶𝑥 es solución de 4𝑥(𝑦′)2 + 2𝑥𝑦′ − 𝑦 = 0 
 
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1.3 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y PROBLEMAS DE VALOR 
FRONTERA 
 
 
Definición 8. Un problema que busca determinar una solución particular a una ecuación diferencial 
sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un único valor de 
la variable independiente se denomina problema de valor inicial. Tales condiciones se llaman 
condiciones iniciales. 
 
Una representación de un problema de valor inicial es la siguiente: 
{
 
 
𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥), 𝑦′′(𝑥),… , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 𝑔(𝑥) ⏟ 
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
 
 𝑦(𝑥0) = 𝑦1, 𝑦
′(𝑥0) = 𝑦2, 𝑦
′′(𝑥0) = 𝑦2, … 𝑦
(𝑛)(𝑥0) = 𝑦𝑛⏟ 
𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
 
 
 
Definición 9. Un problema que busca determinar una solución particular a una ecuación diferencial 
sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en dos o más valores 
(distintos) de la variable independiente se denomina problema de valor frontera (o problema de 
contorno). Tales condiciones se llaman condiciones de frontera (o condiciones de contorno). 
 
Ejemplo 4: 
Problema de condiciones iniciales: {
𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0
𝑦(0) = 3 
𝑦′(0) = −2 
 
Ejemplo 5: 
Problema de condiciones frontera: {
𝑦′′ + 4𝑦 = 0 
𝑦(0) = 1 
𝑦 (
𝜋
4
) = 0 
 
Nota: 
 La diferencia entre un problema de valor inicial y un problema de valor frontera es que en el 
problema de valor inicial la función desconocida y sus derivadas se evalúan en un mismo valor de la 
variable independiente, en cambio un problema de valor frontera se evalúa en al menos dos valores 
distintos de la variable independiente. 
 Para resolver un problema de valor inicial o un problema de valor frontera primero se halla la 
solución general de la ecuación diferencial que describe el problema y luego se sustituyen las 
condiciones según corresponda, para determinar el valor de los parámetros y así obtener la solución 
particular. 
 
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Tarea 2: Hallar la solución particular de cada problema (de condiciones iniciales o de contorno), 
conociendo la solución general de la ecuación diferencial que describe cada problema. 
a) 
{
 
 
𝑦′′′ − 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 0
𝑦(0) = 1 
𝑦′(0) = −1
𝑦′′(0) = 0 
 
 
𝑦 = 𝐶1𝑒
2𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 + 𝐶3𝑒
𝑥 
b) 
{
 
 
𝑦′′ − 𝑦′ = 1 − 4𝑥 
𝑦(0) = 1 
𝑦′(0) = −1
𝑦′′(0) = 0 
 
 
𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑒
𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥2 
c) {
𝑥3𝑦′′ = 𝑥 + 6 
𝑦(1) = 6 
𝑦′(−1) = 2 
 
𝑦 =
3
𝑥
− 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
 
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 TALLER 1 
 
 
1. Clasificar cada ecuación diferencial según el tipo, orden, grado y linealidad. 
a) 𝑥𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒𝑥𝑦 = 𝑥 b) 𝑠𝑒𝑛𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
− 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧𝜕𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 
c) 
𝜕3𝑤
𝜕2𝑧𝜕𝑥
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
= 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥𝑦𝑧 d) (𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑦′′′ − (𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑦 = 2 
e) 𝑒𝑥−𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑥2𝑒−𝑦𝑦 = 𝑒−𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 f) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 
g) 
𝑥
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) = 0 h) (𝑦′′)2 − 2𝑥(𝑦′)3 = 𝑙𝑛𝑥 
i) (1 − 𝑡)𝑦′′ − 2𝑡𝑦′ + 𝑡𝑦 = ∫ √𝑥
𝑡
0
𝑑𝑥 j) (𝑦′′)3 − 2𝑥(𝑦′)2 = 1 + 𝑥4 
2. Determinar si la función dada representa una solución de la ecuación diferencial correspondiente. 
a) 𝑦 = 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥; 𝑥𝑦′ = 𝑦 + 𝑥2 + 𝑦2 b) 𝑥 + 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑦; 𝑦2 𝑦′ + 𝑦2 + 1 = 0 
c) 𝑦 = 𝑐2 +
𝑐
𝑥
; 𝑦 + 𝑥𝑦′ = 𝑥4(𝑦′)2 d) 𝑦 = −
1
𝑥2
; 𝑥2𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0 
e) 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥; 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = 0 f) 𝑥 = 𝑙𝑛
2−𝑦
1−𝑦
; 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (2 − 𝑦)(1 − 𝑦) 
g) 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠𝑥𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥); 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 
3. Verificar que 12𝑦 − 𝑦3 = 𝑥3 + 9, es solución del problema con condición inicial 
{
(4 − 𝑦2)𝑦′ = 𝑥2
𝑦(0) = 3 
 
4. Mostrar que 𝑦 = −3 + 𝑒𝑥 es solución del problema de valor frontera: 
{
𝑦′′ − 𝑦′ = 0 
𝑦(0) = −2 
 𝑦′(𝑙𝑛2) = 2