UC3M _ Grado Ingeniería de Telecomunicaciones _ Tecnologías de alta frecuencia _ TAF traspa

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TAF traspas1/Ejercicios T1 TAF.pdf
TECNOLOGÍAS DE ALTA FRECUENCIA 
EJERCICIOS TEMA 1: GUÍAS DE ONDA Y LÍNEAS DE TRANSMISIÓN 
 
1. En una guía de ondas de sección cuadrada de lado a se pide: 
a) las frecuencias de corte de los modos. 
b) Comprobar que existen dos modos dominantes. 
c) Calcular la potencia transmitida por cada uno de ellos. 
d) Calcular la potencia transmitida por la superposición de ambos. 
 
Solución: a) ( , ) =
√∈
√ + b) TE10 y TE01 c) Es idéntica si las amplitudes 
de los campos son iguales. = | | d) P = 2 PTE10 
 
 
2. Una guía rectangular vacía tiene unas dimensiones interiores a=86 mm y b=43 mm. 
Calcular: 
a) La banda de utilización cuando sólo se propone el modo dominante. 
b) La máxima potencia que puede transmitir el modo dominante dentro de 
dicha banda (máximo campo admisible 30 V/cm) 
 
Solución: a) 1.75 GHz b) 19.11 W 
 
 
3. Calcular el radio que deberá tener una guía circular vacía para que la frecuencia de 
corte del modo dominante coincida con la de la guía rectangular del problema anterior. 
Comparar el ancho de banda monomodo de las dos guías. 
 
Solución: a) 5.05 cm b) BW = 0.78 GHz es inferior al caso anterior 
 
 
4. Para una guía rectangular de dimensiones a x b, calcular los valores de x para los 
que las amplitudes de Hx y Hz del modo dominante sean iguales (polarización circular). 
Calcular para qué frecuencias dicho valor de x es a/4. 
 
Solución: a) = atan b) √2 
 
 
5. Considere una estructura stripline como línea de transmisión (ver figura) donde la 
anchura de la tira es W y la altura entre las placas paralelas es b: 
 
 
 
Ordene con relaciones de “menor que” (<), y “aproximadamente igual” (≈) los valores 
de la impedancia característica de la línea para los casos indicados en la tabla. 
(Ejemplo: Z0A < Z0C ≈ Z0D < Z0B < Z0E). Razone la respuesta. 
 
 A B C D E 
Anchura W 2W 2W W 3W 
Altura b 2b b 2b 2b 
 
 
Si Z0A =50Ω con dieléctrico de r =4.5, ¿cuál será la impedancia característica de la 
misma línea con dieléctrico de r =9? 
 
Solución: Z0C < Z0E < Z0A ≈ Z0B < Z0D 
 
 
6. Considere una estructura microstrip como línea de transmisión (ver figura), donde W 
denota la anchura de la tira y h la altura del substrato: 
 
 
Ordene con relaciones de “menor que” (<), y “aproximadamente igual” (≈) los valores 
de la velocidad de fase en la línea para los casos indicados en la tabla. (Ejemplo: vfA < 
vfC ≈ vfD < vfB < vfE). Razone la respuesta. 
 A B C D E 
Anchura W 2W 2W W 3W 
Altura h 2h h 2h 2h 
 
Si en los casos anteriores se utiliza un substrato de r mayor, ¿aumenta o disminuye la 
velocidad de fase? 
 
Solución: vfC < vfE < vfA ≈ vfB < vfD 
 
 
7. El siguiente diagrama representa la sección transversal de una guía de ondas, 
donde los trazos negros representan conductor perfecto 
 
a) ¿Qué tipos de modos pueden propagarse? 
b) ¿Cuántos modos TEM están soportados, si hay alguno? 
c) Para cada uno de ellos, indicar su velocidad de fase. 
d) Si la permitividad del dieléctrico se duplica (ε' = 2 ε), indicar las nuevas 
velocidades de fase en función de las originales. 
 
Solución: a) TE, TM y TEM b) 2 c) 0f
r
c
v

 d) '
2
f
f
v
v  
 
 
8. El siguiente diagrama representa la sección transversal de una guía de ondas, 
donde los trazos negros representan conductor perfecto. 
 
Considere igualmente las secciones transversales de las Figuras 2 y 3, que 
corresponden a versiones, escalada (factor de escala F) y rellena de dieléctrico, 
respectivamente, de la mostrada en la Figura 1. 
 
a) ¿Qué tipos de modos pueden propagarse? 
b) Para el primer modo, razone la relación entre las velocidades de fase de 
dicho modo correspondiente a la estructura de guiado de sección 
transversal de la Figura 2 y la mostrada en la Figura 1. Ídem con las 
impedancias características. 
c) Ídem del apartado anterior, comparando las estructuras correspondientes a 
la Figura 3 y la Figura 1. 
 
Solución: a) TM, TE y TEM b) 
2
1
1f
f
v
v
 ; 
2
1
1c
c
Z
Z
 c) 
3
1
1c
c r
Z
Z 
 
 
9. El siguiente diagrama representa la sección transversal de una guía de ondas, 
donde los trazos la sección transversal de una guía de ondas, donde los trazos negros 
representan conductor perfecto y las zonas grises, dieléctrico. Como puede 
apreciarse, se trata de una guía coaxial vacía en su mayor parte, con un soporte 
dieléctrico para el conductor central. Responda razonadamente a las preguntas 
siguientes: 
 
a) ¿Qué tipos de modos pueden propagarse? 
b) Indique dos características del modo fundamental. 
c) Para el modo fundamental, estime dos cotas, una superior y otra inferior, de la 
velocidad de fase. 
d) A la vista del resultado anterior, ¿qué sucede si εr=1.01? 
 
 
10. Los esquemas que se muestran a continuación representan las secciones de cinco 
guías de onda diferentes. Las partes negras son de conductor perfecto y las grises de 
diélectrico de permitividad ε > ε0 sin pérdidas mientras que las zonas blancas están 
vacías. 
 
a) Responda razonadamente a las siguientes preguntas: 
i. Para cada caso, indique razonadamente qué tipos de modos 
sorportan las estructuras. En el caso de que soporten modos TEM 
indique el número de ellos. 
ii. A continuación se muestran tres diagramas de dispersión. La 
pendiente de la línea discontinua es la velocidad de la luz en el 
vacío. Relacione el modo fundamental de cada una de las 
estructuras de la pregunta anterior con su diagrama de dispersión, 
justificando en cada caso la respuesta. 
 
b) Se tiene el siguiente diagrama de dispersión con los dos primeros modos 
de la guía de onda WR-90 utilizada en el laboratorio. 
 
Se pide calcular de manera aproximada a partir del diagrama: 
i. Ancho de banda monomodo (propagación del modo fundamental en 
exclusiva) en GHz. 
ii. Constantes de atenuación y fase del modo fundamental en las 
frecuencias de 3.18GHz y 11.9GHz. 
iii. Velocidad de fase y de grupo a la frecuencia de 11.9 GHz para el 
modo fundamental. 
 
 
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440450
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14x 10
10
 =  [nep/m] + j [rad/m]

 [r
ad
/s
]
Diagrama de Dispersión WR-90
 
 
Primer Modo
Segundo Modo
Constante Propagación Vacío
TAF traspas1/guias-lineas2009_def.pdf
Capítulo 2:
Guías de onda y líneas de transmisión
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
En el presente capítulo se va a analizar una solución general 
de las ecuaciones de Maxwell, en un medio sin fuentes,en el 
que se permitirá la existencia de variación de las magnitudes 
con las tres coordenadas espaciales. 
Dada la complejidad del problema completo nos centraremos 
en problemas que pueden ser descritos sistemas curvilíneos 
ortogonales con simetría de traslación. 
TAF-2- 1
Emisor Receptor
Transmisión de energía electromagnética por soporte 
físico Medios de Transmisión
Línea Bifilar, Cable coaxial
Guías de onda metálicas
Estructuras planares
Guías de onda dieléctricas: fibra óptica
Teoría electromagnética de las ondas guiadas
Field Theory of Guided Waves
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Transparencia tomada de referencia 6
TAF-2- 2
Frecuencias
1 KHz
10 KHz
100 KHz
1 MHz
10 MHz
100 MHz
λλλλ Denominación
Audio
Muy Baja
Frecuencia
Baja
Frecuencia
Frecuencias
Medias
Alta
Frecuencia
Muy alta
Frecuencia
100 Km
10 Km
1 Km
100 m
10 m
1 m
Medio de Transmisión
Línea
Bifilar
Cable
Coaxial
Circuitos
Impresos
P.C.B.
Línea strip
Distancia Circuitería
Tipo
Onda Guiada
100 MHz
1 GHz
10 GHz
100 GHz
100 THz
1 PHz
Frecuencia
Ultra alta
Frecuencia
Microondas
Milimétricas
1 m
10 cm
1 cm
1 mm
Infrarrojos
Visible
Ultravioleta
Guías
de
onda
Fibra
Óptica
Línea µµµµ strip
Línea strip
Líneas
coplanares
guías
dieléctricas
planas
1 µµµµm
Transparencia tomada de referencia 6 Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
TAF-2- 3
CerradosCerrados
Dieléctrico
Homogéneo
Multi-
dieléctricos
Guía
rectangular Guía
circular
Guía
coaxial
Guía imagen Línea microstrip Fin-line
CLASIFICACIÓN DE LOS MEDIOS DE TRANSMISIÓN
Abiertos
Dieléctrico
Homogéneo
Multi-
dieléctricos
Línea bifilar
Línea trifásica
Línea microstrip Línea coplanar
Guía acanalada 
Fibra salto de índice
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Transparencia tomada de referencia 6
TAF-2- 4
INTRODUCCIÓN (I)
• Definición: medio sin fuentes donde pueden variar las magnitudes electromagnéticas con 
tres coordenadas espaciales. Limitaciones:
– Complejidad del problema EM completo
– Descripción del problema mediante 
sistema curvilíneo ortogonal (u1, u2, u3)
– Simetría de traslación: u3=cte, 
planos paralelos entre sí.
– Los factores de escala quedan: 
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
– Los factores de escala quedan: 
• Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia en un medio homogéneo 
caracterizado por ε y µ en donde no existen fuentes:
zu
u
h
u
h
h ˆˆ;0;1 3
3
2
3
1
3 ==∂
∂
=
∂
∂
= 







=⋅∇
=⋅∇
⋅=×∇
⋅−=×∇
0
0
H
E
EjH
HjE
�
�
��
��
ωε
ωµ
Tomando rotacionales en las 
dos primeras y considerando
las otras dos εµωγ
γ
γ
⋅⋅−=




=−∆
=−∆
22
2
2
0
0
o
o
o
HH
EE
��
��
(1)
TAF-2- 5
INTRODUCCIÓN (II)
• Resolución de las ecuaciones (1) (tomamos la del campo eléctrico)
– Separación del campo en componentes longitudinal y transversal: 
– Sistema con simetría de traslación
022 =−−∆+∆ zoTozT EEEE
����
γγ
( ) z
z
E
EzEE
EE
EE z
zTzz
zoz
ToT ˆˆ
0
0
2
2
2
2
⋅







∂
∂
+∆=⋅∆=∆⇒




=−∆
=−∆ �
��
��
γ
γ
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Aplicando la técnica de separación de variables:
• Las ecuaciones diferenciales han de ser igual a una constante
– constante en la dirección transversal
– constante en la dirección longitudinal

( ) ( )zZuuFE Ez ⋅= 21, 0
1 2
2
2
=−
∂
∂+
∆
o
E
ET
z
Z
ZF
F γ (2)
( ) ( ) 2222222
2
2
2 ;4 
1
;3 ococc
E
ET
z
Z
ZF
F γγγγγγγγ =+⇒−=⇒=
∂
∂=∆
222 β−= kkc
(Pozar)
TAF-2- 6
INTRODUCCIÓN (III)
• La solución de la ecuación (3) tiene sólo componentes transversales y (4) 
longitudinales
• La forma de esta solución puede ser
– Solución A: formada por ondas progresivas y regresivas: componente 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )zDzCzZ
zBzAzZ
⋅⋅+⋅⋅=
⋅⋅+⋅−⋅=
γγ
γγ
senhcosh
expexp
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
– Solución A: formada por ondas progresivas y regresivas: componente 
longitudinal
– Solución B: constituye una onda estacionaria.: componente transversal
• El campo en la dirección longitudinal será: 
donde se ha considerado sólo la onda progresiva
( ) ( )
( ) ( )



⋅−⋅⋅=
⋅−⋅⋅=
zuuFzH
zuuFzE
Hz
Ez
γ
γ
exp,ˆ
exp,ˆ
21
21
�
�
TAF-2- 7
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (I)
• MODOS TEM: transversales electromagnéticos, no hay campo eléctrico ni magnético 
longitudinal
– las ecuaciones de Maxwell quedan
– calculando el rotacional en sentido longitudinal y utilizando la otra ecuación
0;0 == zz HE
��
( ) ( )zuuFE
EE
oETEM
ToTz
T
⋅−⋅=
=⋅−∆
γ
γ
exp,
0
21
2
��
��
tt
tt
EjH
HjE
��
��
⋅⋅=×∇
⋅⋅−=×∇
εω
µω
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
– Introduciendo esta expresión en el correspondiente rotacional se puede extraer el 
valor del campo magnético transversal como: 
– Los vectores están contenidos en planos perpendiculares a z.
– El vector se obtiene a partir de la expresión (3)
– No confundir la impedancia del modo TEM que coincide con la intrínseca del 
medio y sólo depende de las características del medio con la impedancia 
característica que depende del material que rellena la línea y de la forma de la 
misma
( ) ( )zuuFE oETEM T ⋅−⋅= γexp, 21
ε
µη ==×= TEM
TEM
T
T ZZ
Ez
H ;ˆ
�
�
HE
��
 ,
H
�
(3)
TAF-2- 8
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (II)
• MODOS TM: transversales magnéticos, no existe componente longitudinal del campo 
magnético por lo que también se les llama modos E: 
• La componente longitudinal es de la forma:
• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y tomando 
la segunda
0=zH
�
( ) ( )
( )



=−∆
⋅−⋅⋅=
0:,
exp,ˆ
2
21
21
EcETE
Ez
FFuuFcon
zuuFzE
γ
γ
 
�
zTToTz EjHH
���
×∇=−∆ ωεγ 2
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM. 
– La solución para modos TM: 
– está contenido en planos perpendiculares a z
zTToTz EjHH ×∇=−∆ ωεγ
TT
zT
c
T
zT
c
zT
o
T
Ez
j
H
EE
zE
j
E
j
H
��
�
��
×=⇒







∇=
×∇−=×∇
−
=
ˆ
ˆ
2
222
γ
ωε
γ
γ
γ
ωε
γγ
ωε
H
�
ωε
γ
jH
Ez
Z
T
T
TM =
×= �
ˆ
TAF-2- 9
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (III)
• MODOS TE: transversales eléctricos, no existe componente longitudinal del 
campo eléctrico por lo que también se les llama modos H: 
• La componente longitudinal es de la forma:
• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y 
tomando la segunda
0=zE
�
( ) ( )
( )



=−∆
⋅−⋅⋅=
0:,
exp,ˆ
2
21
21
HcHTH
Hz
FFuuFcon
zuuFzH
γ
γ
 
�
HjEE
���
×∇−=−∆ ωµγ 2
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
tomando la segunda
– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM
– La solución para modos TM: 
– está contenido en planos perpendiculares a z
– Se puede definir una impedancia del modo como 
zTToTz HjEE
���
×∇−=−∆ ωµγ 2
TT
zT
c
T
zT
c
T
Ez
j
H
HH
H
j
E
��
�
��
×=⇒







∇=
×∇=
ˆ
2
2
ωµ
γ
γ
γ
γ
ωµ
E
�
γ
ωµj
H
Ez
Z
T
T
TE =
×
= �
ˆ
TAF-2- 10
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (IV)
• Cuando no se satisface ninguna de las condiciones anteriores la solución se forma por 
superposición de los casos anteriores. La técnica de separación de variables deja de 
ser válida cuando la sección no es un cilindro recto. 
• Las condiciones de contorno laterales definen la variación de los modos.
• Las condiciones en planos z=cte determinan cuántos y cuáles son los modos. 
• La constante de propagación viene determinada 
– Por las características del medio: modos TEM 
µεωγγ jo ==
22
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
– Por las características del medio: modos TEM 
– Por las características del medio y las condiciones de contorno
• La constante de propagación es una función compleja de ω: 
– Constante de atenuación describe cómo varían las amplitudes de los campos
– Constante de fase la forma cómo varía la fase del campo
– Longitud de onda: distancia entre dos puntos de igual fase:
– Velocidad de fase: velocidad con que se desplazan los planos de fase constante
– Dos situaciones: 
• Modo no se propaga. Modo se propaga
22
co γγγ −=
( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=
( ) ( )
( )
π
ω
ω
ωβ
πωλ
2
2 fv==
( ) ( )ωβωα ≥ ( ) ( )ωβωα ≤
TAF-2- 11
CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (I)
• Determinan cuántos y cuáles modos son necesarios considerar para obtener la solución 
completa.
• Casos más comunes
– Región limitada por un conductor perfecto sin discontinuidades.
– Características de buen conductor
– Parte de la superficie límite se encuentra en el infinito
– Discontinuidades en el medio (línea microstrip)
n
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
– Discontinuidades en el medio (línea microstrip)
• Condiciones de conductor perfecto:
– La región de contorno es un conductor perfecto:
– Modos TE: la segunda condición la cumplen automáticamente
• De la primera se deriva: 
τ
] ( )] ]



=
=×
⇒=+×⇒=×
0
0ˆ
0ˆ0ˆ
z
CT
CzTC E
En
EEnEn
�
���
] ( )] ( ) ( )] ( )]
( ) 0ˆˆˆˆ
0ˆ0ˆˆˆˆˆˆˆ
2
=
∂
∂=
∂
∂
⇒⋅





∂
∂+
∂
∂⋅=⋅
=⋅⇒=⋅−⋅=××=×
n
F
n
H
n
H
n
n
H
Hn
HnHnzznHzHnEn
Hzzz
c
T
CTCTTCTCT
τ
τγ
γ�
�����
(4)
TAF-2- 12
CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (II)
• Condiciones de conductor perfecto:
– Modos TM:
• La condición Ez=0 supone C es una línea de Ez cte, su gradiente es normal
• Tomando la segunda condición de (4): tiene dirección normal 
– Modos TEM:
• Las condiciones coinciden con el planteamiento de un 
problema estático.
• Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores
TE
�
] 0;0ˆ =×∇=×
TETCT
FEn
��
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores
• El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático
• En una región limitada por un recinto simplemente conexo no puede haber modos TEM
• En una región multiplemente conexa:
• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1. 
• La corriente que fluye viene dada por la ley de Ampere
• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente
( )
⇒




⋅∇=⋅∇
Φ−∇=
ED
yxF TET
��
�
ε
, ( )
( )



=Φ
=Φ∆
cteyx
yx
C
T
,
0,
( ) 0, =Φ∆ yxT
∫ ⋅=Φ−Φ=
2
1
2112 ldEV
��
C1
C2
∫ ⋅=
C
ldHI
��
TAF-2- 13
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA 
CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)
• Teorema de Green:
– Sea un campo vectorial definido a partir de un potencial como: 
– Cálculo de la divergencia
– Teorema de Green para dos dimensiones
• Condiciones de contorno de conductor perfecto
( ) ( )yxFyxFA ,,* ∇⋅=�
( ) ( ) ( ) ( )yxFyxFyxFyxFA ,,,, ** ∆⋅+∇⋅∇=∇ �
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅∇⋅=∆⋅+∇⋅∇⇒⋅=∇ CSCS ldyxFyxFyxFyxFyxFyxFldAA tt
����
,,,,,, ***
∫∫ ⋅∂
∂⋅=∆⋅+∇⋅∇
CS
TTT ldn
F
FFFFF
t
�***
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Condiciones de contorno de conductor perfecto
• Ambas integrales son positivas luego tiene que cumplirse
– la constante de propagación es real si ω< ωc luego no se propaga y el modo está al corte
– la constante de propagación es imaginaria si ω> ωc , el modo se propaga
• La propagación es de tipo paso alto con 
∂n
⇒⋅=∆





=
∂
∂
=
FF
n
F
TE
FTM
cT
C
H
E
2
0:)(
0:)(
γ ∫∫ ⋅⋅⋅−=∇⋅∇
tt S
c
S
TT dsFFFF
*2* γ
02 <cγ
µεπ
γ
2
2
c
cf
−
=
TAF-2- 14
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA 
CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)
• En función del valor de la frecuencia de corte se puede poner:
– El signo + corresponde a f>fC. 
– El signo - corresponde a f<fc
• Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión
2
2
2
22
2
1;
1
;1
f
f
Z
f
f
Z
f
f c
TM
c
TE
c
o −⋅±=
−
±=−⋅±= ηηγγ
Así ZTE , por debajo del corte, será inductivo y ZTM capacitivo.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión
• Existe un número infinito de soluciones (autofunciones) cada una correspondiéndose con 
un valor de (autovalores). El menor de dicho autovalor corresponde a un modo TE2cγ
TAF-2- 15
2
2
c
f
f
f
1
c
v
−
==
β
ω
vf vg= c2
F
re
cu
en
ci
a
)m/1(),m/nep( βα
fc
ββββ
αααα
1
2
2
c
2
2
2
c
2
=




 γ−
β−










µε
γ−
ω
1
2
2
c
2
2
2
c
2
=




 γ−
α+










µε
γ−
ω
µεωβ =
CARACTERÍSTICAS DE LOS 
MODOS PARA CONDICIONES DE 
CONDUCTOR PERFECTO (III)
)m/1(),m/nep( βα
1αααα
2αααα
3αααα 4
αααα 5αααα
6αααα
1ββββ
2ββββ
3ββββ
4ββββ
5ββββ
6ββββ
fc1
fr
ec
ue
nc
ia
fc6
fc5
fc4fc3
fc2
Frecuenciafc 2 fc 3 fc
c
2
2
c
g f
f
1cv −=
∂
∂=
β
ω
f
)m/1(),m/nep( βα
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Transparencia tomada de referencia 6
TAF-2- 16
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA 
CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)
• Conclusiones: 
– Si se traza una recta ω=cte se verán inmediatamente los modos que se propagan.
– También se puede obtener la velocidad de fase, que depende de la frecuencia 
(dispersión) y es siempre mayor que la velocidad de la luz en el medio.
– Si la frecuencia es menor que la frecuencia correspondiente al menor no existe 
ningún modo que se propague constituyendo dicha fc la frecuencia de corte absoluto.
– El modo de menor fc se denomina modo dominante y el resto modos superiores.
– En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta
2
cγ
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
– En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta
• Medio con pérdidas (se supone que no hay pérdidas magnéticas):
– La constante de propagación será: 
– La permitividad se modifica como:
– Luego queda:
– Frecuencia de corte: valor de f que hace α=β
( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=
''' εεε j−=
( ) ( )




−⋅−=−
⋅=
⇒−−⋅−=−=+=
2222
2
222222
'
''2
'''
c
cco jj γµεωβα
µεωαβ
γεεµωγγβαγ
'2
2
µεπ
γ c
cf
−
= ε
εη
ε
ε
η
ε
εγγ '1;
'
1
;
'
1 2
2
2
22
2
⋅−⋅=
⋅−
=⋅−⋅=
f
f
Z
f
f
Z
f
f c
TM
c
TE
c
o
TAF-2- 17
• Las constantes de atenuación y fase quedan entonces:
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA 
CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (V)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 


 ⋅+−⋅−+−⋅−−⋅=



 ⋅+−⋅−+−⋅−⋅=
2222222
2222222
''''
2
1
''''
2
1
µεωγµεωγµεωβ
µεωγµεωγµεωα
cc
ccd
''' εε <<
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• En el caso que las pérdidas dieléctricas sean pequeñas:
– La constante de fase coincide con la obtenida despreciando las pérdidas
– La constante de atenuación vale: 
• Para modos TEM, considerando resulta: 
δ
β
µεω
ε
ε
β
µεωα tg
2
'
'
''
2
' 22 ⋅⋅=⋅⋅=d
''' εε <<
δδµεω
ε
εµεωα tgktgd ⋅=⋅
⋅
=⋅
⋅
=
22
'
'
''
2
'
TAF-2- 18
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (I)
 
Condiciones de contorno para conductor perfecto
ax
x
H
H
TE
z
z
,0en 0
0 :


 ==
∂
∂
⇒=∂ 

=−
∂
∂⋅+
∂
∂⋅
⇒=
2
2
2
2
2
0
)()(),(
c XYy
Y
X
x
X
Y
yYxXyxF
γ
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
byaxETM
by
y
Hn
TE
z
z
z
,0;,0en 0 :
,0en 0
0 :
===





==
∂
∂
⇒=
∂




=−−
∂∂⇒=
222
22)()(),(
cyx
c
kk
yxyYxXyxF
γ
( )
( )
( )
( )zy
b
n
senx
a
m
QsenzETM
zy
b
n
x
a
m
PzHTE
b
n
k
a
m
k
CA
ykDyCsenkyxY
xkBxAsenkyxX
mnmnz
mnmnz
yxyy
xx
γππ
γππ
ππ
−⋅⋅⋅=
−⋅⋅⋅=




==
==
⇒



+=
+=
expˆ:
expcoscosˆ :
;
0
cos),(
cos),(
,
,
�
�
Aplicando separación de variables y las condiciones de contorno para despejar
las constantes, resulta:
22
2
22
22
0
, 




+




+−=




−⋅
−
=
b
n
a
m
kkj c
c
nm
ππµεω
γγ
γ
Nomenclatura Pozar
TAF-2- 19
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (II)
Distribución de campo Distribución de corriente
µεa
fc
2
1
10 =
Modo dominante TE10
( )
( )
( )zx
a
PH
H
zx
a
senP
a
H
EE
zx
a
P
aj
E
z
y
x
zx
y
1010,
10,
1010,
10,10,
1010,
expcos
0
exp
0
expcos
γπ
γπ
π
γ
γπ
π
ωµ
−⋅=
=
−⋅⋅=
==
−⋅−= 
Banda X: a=22.86 mm, b=10.16mm
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Ubicación de modos para el caso a=2b
TAF-2- 20
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (III)
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Tomado de referencia 4 Distribución de campos en la guía rectangular
TAF-2- 21
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (IV)
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
TAF-2- 22
GUÍA ESTRANGULADA (REENTRANTE O RIDGED)
• Ancho de banda de la guía rectangular
está limitado a una octava.
• Los “raíles” disminuyen la frecuencia 
de corte del fundamental.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
de corte del fundamental.
• La capacidad de transmitir potencia 
decrece
• Posibilidad de adaptar impedancias
TAF-2- 23
GUÍAS CIRCULARES (I)
Utilización de coordenadas cilíndricas.
Condiciones de contorno para conductor perfecto
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
: 0
,
: 0
1 1 1
0
z
a
z a
c
H
TE
F R P
TM E
F F P
F k
P
ρ
ρ
ϕ
ρ ρ ϕ ρ ϕ
ρ γ
ρ ρ ρ ρ ϕ ϕ
=
=
∂ = ∂ ⇒ = ⋅
= 
  ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + − = − =  ∂ ∂ ∂ ∂  
ẑ
r ˆ
φ̂
ẑ
r̂
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
( )
2 2 2
2 22 2 2
2 2 22 2
22 2
0
1
0
c
cc
F k
P
R RR R P
k R
R RR R P
ϕ
ϕ
ρ γ
ρ ρ ρ ρ ϕ ϕ
ρ ρρ ρ γ ργ ρ
ρ ρρ ρ ϕ
⋅ + − = − =  ∂ ∂ ∂ ∂  
⇒ 
∂ ∂∂ ∂ ∂   + ⋅ − + ⋅ =+ ⋅ − = −   ∂ ∂∂ ∂ ∂ 
Las soluciones de ambas ecuaciones son del tipo:
)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP +=
)()()( ργργρ cncn DYCJR +=Modos TE Modos TM
( ) )()cos()(),( ργφφφρ cnH JnBnAsenF += ( ) )()cos()(),( ρφφφρ cnE kJnBnAsenF +=
φ̂
TAF-2- 24
GUÍAS CIRCULARES (II)
( )
µεπ
γγγ
ργ
ρ ρ
a
p
f
a
p
a
p
J
H
nm
nmc
nmnm
nmc
cn
a
z
2
00
'
,2'
2
0
'
,
'
=⇒













−=⇒=
=⇒=
∂
∂
=
n p’n1 p
’
n2 p
’
n3
0 3.832 7.016 10.174
1 1.841 5.331 8.536
Modos TE Modos TM
0)(0),( =⇒= akJaE cnz φ
2
2
0
22
0 




−=−=
a
p
k nmcnm γγγ
µεπa
p
f nmcmn
2
=
n pn1 pn2 pn3
0 2.405 5.520 8.654
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
1 1.841 5.331 8.536
2 3.054 6.706 9.970
1 3.832 7.016 10.174
2 5.135 8.417 11.620
Distribución de modos
TAF-2- 25
GUÍAS CIRCULARES (III)
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Tomado de referencia 4
Distribución de campos en la guía circular
TAF-2- 26
GUÍAS CIRCULARES (IV)
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
TAF-2- 27
GUÍA DIELÉCTRICA
• Guía de permitividad εr2 sobre dieléctrico
de permitividad εr1. Todo sobre plancha 
Metálica.
• Los campos quedan confinados en el 
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Los campos quedan confinados en el 
dieléctrico de mayor permitividad.
• Soporta modos TE y TM en la medida que toda
la energía se concentre en el dieléctrico.
• Ventaja: poco peso, reducidas dimensiones
• Problema: grandes pérdidas en empalmes y
en dobleces.
TAF-2- 28
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN
• Dos características importantes como sistemas de transmisión:
– Capacidad de propagarse a cualquier frecuencia
– Constancia de velocidad de fase lo que supone ausencia de dispersión
• Retomando la expresión
– Vo no depende de los puntos elegidos
– La magnitud V(z) define de forma unívoca el potencial entre los dos conductores
• Ambos conductores están recorridos por corrientes iguales en sentido contrario
( ) ( )zVzVldEV o ⋅−==⋅=Φ−Φ= ∫ γexp
2
1
2112
��
C1 C2
( )⋅−⋅=⋅= ∫ γ
��
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Se puede definir una impedancia característica
– η depende del medio
– k depende de la geometría de la línea
– Resultado independiente de z
• El concepto de línea de transmisión se asocia a cualquier sistema transmitiendo un modo 
TEM.
• Permite introducir los sistemas funcionando como circuitos con las constantes R, G, L y C 
cuando las dimensiones transversales sean pequeñas.
( )zIldHI o
C
⋅−⋅=⋅= ∫ γexp
��
cte
ldH
ldE
I
V
Z
C
o ⋅=⋅
⋅
==
∫
∫
�
��
2
1
TAF-2- 29
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (II)
• Consideremos un cuadripolo simétrico (a=d)
• Introduciendo las ecuaciones de propagación en las del cuadripolo
( )
( )


−⋅=
−⋅=
=−⇒



+=
+=
lII
lVV
bca
aIcVI
bIaVV
o
o
γ
γ
exp
exp
1
12
122
221
221
I1 I2
V1 V2
( ) = lZb γsenh
Si es recíproco
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Formando la red en T: 
( )
( )
( )
( )
( )






=
=
=
⇒




−=−
+=
la
Z
l
c
lZb
bcal
bcal
o
o
o
oo
o
o
γ
γ
γ
γ
γ
cosh
senh
senh
exp
exp
2
2
c
a
z
c
zz
c
a
z
bca
=
==
=
=−
22
21112
11
1
2
1211 zz − 1211 zz −
12z
TAF-2- 30
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (III)
• Introduciendo los valores: 
• En el caso en que l sea muy pequeña: 
( )
( )l
l
ZZ
o
o
o γ
γ
senh
1cosh −=
( )
( )l
l
ZZ
o
o
o γ
γ
senh
1cosh −=
( )
o
o
Z
l
Y
γsenh=
µ
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
εµωγ
ε
µη
⋅⋅−=
⋅=⋅=
2
o
o ctecteZ
( )δεεεε
εωωε
ωµ
tg1''''
'''
2
jj
l
k
j
k
Y
l
kjZ
−⋅=−=






⋅




 ⋅+=
⋅⋅=
( )
2
l
ZZ oo
γ=
( )
o
o
Z
l
Y
γ=
( )
2
l
ZZ oo
γ=
Carácter inductivo
Capacidad más conductancia
TAF-2- 31
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (IV)
• El circuito equivalente (en ausencia de pérdidas en conductores) queda:
LCj
Z
G
C
L
Z
o
o
o
⋅+⋅=
=
ωγ
2Gl Cl
2
l
L
2
l
L








⋅=
⋅⋅==
⋅=
o
o
C
C
Z
G
Z
L
ηε
δωηωε
η
µ
'
tan
''
Expresiones sin pérdidas 
en los conductores 
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Simplificaciones adicionales:
– A: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo
– B: Líneas de muy baja impedancia: carácter capacitivo
– C: Pérdidas en los conductores


⋅=
oZ
C ε '
y con bajas pérdidas
en el dieléctrico
Ll
Cl
B
Gl Cl2
l
L 2
l
L
2
l
R
2
l
R
C
βααωγ jLCj
Z
RZ
G
C
L
Z
cd
o
o
o
++=⋅+
⋅
+⋅=
=
22
A
TAF-2- 32
LÍNEA COAXIAL (I)
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Dos formas de resolución: a partir del problema electrostático o a partir de la 
ecuación de Helmholtz.
• Problema electrostático: 
• El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM







==
==
⇒=⋅=⇒=⇒==
a
b
KL
a
bK
G
a
b
KZa
b
K
K
a
b
C
ln
2
ln
''2''
ln
22
ln'
ln
'2
0
π
µµ
πεωωε
π
ηη
π
επε
TAF-2- 33
LÍNEA COAXIAL (II)
• Es necesario conocer los valores de la función potencial Φ(ρ,φ)
• Ecuaciones
a considerar: 
0
),(1),(1
2
2
2
=
∂
Φ∂+





∂
Φ∂
∂
∂
φ
φρ
ρρ
φρρ
ρρ
)()(),( φρφρ PR=Φ
2
21
φρ
ρ
ρ
ρ
d
Pd
Pd
dR
R
−=





∂
∂
022
2
=+ Pk
d
Pd
φφ
02 =−





∂
∂
φρ
ρ
ρ
ρ
k
d
dR
R
• Soluciones: 
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
ab
bV
d
dR
ln
ln
),(0 0
ρφρ
ρ
ρ
ρ
=Φ⇒=





∂
∂
ρ
ρ
φρφρ ˆ
ln
),(),( 0
ab
V
e t =Φ−∇=
φ
πρ
φρφρ ˆ
2
),(ˆ
1
),( 0
I
ez
Z
h
TEM
=×=
• Soluciones: 
)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP +=
π
η
2
ln
0
0
0
ab
I
VZ ==
TAF-2- 34
TECNOLOGÍAS PLANAS
• Características: 
– Coste económico. Chapa barata y proceso de fabricación sencillo mediante 
fotograbado.
– Reducido peso que los hace ligeros.
– Dimensiones reducidas
– Permiten la integración de circuitos MIC (Microwave integrated circuits) y 
MMIC (Monolithic Microwave Integrated Circuits)
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
MMIC (Monolithic Microwave Integrated Circuits)
– Están formados por materiales metálicos y dieléctricos. 
• Opciones tecnológicas: 
– Línea stripline (triplaca)
– Línea microstrip
– Línea coplanar
– Línea de ranura
TAF-2- 35
LÍNEA STRIPLINE (TRIPLACA): INTRODUCCIÓN
• Se puede considerar derivada de la coaxial.
• Proceso de construcción: superposición de 
placas
• Recinto doblemente conexo: modos TEM
• También soporta modos TE y TM que 
conviene eliminar
– Tornillos entre los planos de masa
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
– Separación entre planos menor de λ/4
• Análisis: 
– Expresiones semiempíricas
– Ábacos y curvas
– Aproximación electrostática.
• Formulación: 
1 2
2
p
p
vf
v
f
ϖ π λπβ µε λ
⋅= = = ⇒ = rr
pv
εγεεµϖϖβ 000 === CvC
LC
C
L
Z
p
1
0 ===
TAF-2- 36
LÍNEA STRIPLINE: FORMULACIÓN
Impedancia característica
bW
b
Z
er 441.0
30
0 +
=
ε
π






<−
>
−=
35.0)35.0(
35.00
2
b
W
forbW
b
W
for
b
W
b
We
Anchura de la línea





>−−
<
=
1206.085.0
120
0
0
Zforx
Zforx
b
W
r
r
ε
ε
441.0
30
0
−=
Z
x
rε
π
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías

Atenuación en los conductores ( )
( )
( )
( )
( )
( ) 



 ++⋅
+
+=
−
−
+⋅+
−
+=






>
<
−
⋅⋅
=
−
t
W
W
t
tW
b
B
t
tb
tb
tb
tb
W
A
mNp
ZB
bZ
R
ZA
tb
ZR
r
s
r
ors
c
π
π
π
ε
ε
π
ε
α
4
ln
2
1414.0
5.0
7.05.0
1
2
ln
12
1
/
120 para
16.0
120 para
30
107.2
0
0
0
3
TAF-2- 37
LÍNEA STRIPLINE: ÁBACOS
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Impedancia característica de la línea triplaca en función de 
sus parámetros: anchura (W), grosor (b) y espesor de metal (t) 
Tomado de referencia 5
TAF-2- 38
LÍNEA MICROSTRIP: INTRODUCCIÓN
• Proceso de construcción: placa fotograbada
• Recinto NO doblemente conexo*: no soporta 
modos TEM sino cuasi TEM que son una 
superposición híbrida de modos TE y TM que 
conviene eliminar.
• Aplicaciones:
– Estructuras de transmisión: pocos campos 
desbordados, altas permitividades, bajos 
espesores.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
espesores.
– Estructuras radiantes: gran campo 
desbordado bajas permitividades, espesores 
grandes.
• Análisis: 
– Expresiones semiempíricas
– Ábacos y curvas
– * Recinto simplemente conexo es aquel en el 
que se puede ir desde cualquier punto del 
recinto a otro por cualquier línea sin salirse 
del recinto
e
p
c
v
εµεβ
ϖ === 1
ee
p
k
v
εεεµϖϖβ 000 ===
TAF-2- 39
LÍNEA MICROSTRIP (II)
Modelo con medio homogéneo de permitividad efectiva εe
re εε <<1
Wd
rr
e
121
1
2
1
2
1
+
−++= εεε
Concepto de permitividad efectiva


≤ + 1
8
ln
60
dWfor
Wd
Impedancia característica
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
( )[ ]





≥
+++
≤




 +
=
1
444.1ln667.0393.1
120
1
4
ln
0
dWfor
dWdW
dWfor
dW
Z
e
e
ε
π
ε
Anchura de línea
( )







>











−+−−+−−−
<
−=
2
61.0
39.0)1ln(
2
1
12ln1
2
2
2
8
2
dWforBBB
dWfor
e
e
d
W
rr
r
A
A
εε
ε
π
r
rr
rr
Z
B
Z
A
ε
π
εε
εε
0
0
2
377
11.0
23.0
1
1
2
1
60
=






+
+
−++=
Atenuación mNp
kk
re
er
re
er
d
)1(
)1(
2
tan
)1(
)1(
2
tan 0
−
−=
−
−=
εε
εεδ
εε
εεδα mNp
WZ
Rs
c
0
=α σ
ϖµ
2
0=sR
TAF-2- 40
LÍNEA MICROSTRIP (III)
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Tomado de referencia 5
Impedancia característica y permitividad efectiva de la línea microstrip en función de 
sus parámetros: anchura (W), altura de substrato (h)
TAF-2- 41
LÍNEA DE RANURA
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos
• Soporta modos cuasi TEM
• La eficiencia es menor que la microstrip
• Modificando la separación entre placas se consigue variar la impedancia. Se 
consiguen fácilmente impedancias altas aumentando la separación entre placas.
TAF-2- 42
LÍNEA COPLANAR
• Es como una línea slotline pero con un conductor central
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Es como una línea slotline pero con un conductor central
• El voltaje de la señal es aplicado entre el conductor central y los planos de masa. 
• Soporta modos cuasi-TEM pares o impares 
• Constante dieléctrica efectiva: 
• Menos dispersión que la microstrip en bajas frecuencias
• Formulación: 
2
1+= re
εε







<<
















−
+
≤<






= −
1173.0
1
1
2ln
4
173.002ln
10
aWfor
W
a
aW
aW
aWfor
W
a
Z
e
e
ε
πη
επ
η
TAF-2- 43
TABLA COMPARATIVA (I): tipos de estructuras 
de transmisión
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Tomado de referencia 4
TAF-2- 44
TABLA COMPARATIVA (II)
Características Coaxial Guía onda Stripline Microstrip
Modos: Habitual
Secundario
TEM
TM,TE
TE10
TM,TE
TEM
TM,TE
Cuasi-TEM
Híbrido TM,TE
Dispersión No Media No Baja
Ancho de Banda Alto Bajo Alto Alto
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Pérdidas Medias Bajas Altas Altas
Capacidad de 
Potencia
Media Alta Baja Baja
Tamaño Grande Grande Medio Pequeño
Dificultad de 
Fabricación
Media Media Fácil Fácil
Integración con 
otros Elementos
Difícil Difícil Regular Fácil
TAF-2- 45
MATERIALES EN MICROONDAS
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Tomado de referencia 1
TAF-2- 46
BIBLIOGRAFÍA
1. Wadell, B.C.: "Transmisión Line Design Handbook", Artech House, 1991.
2. David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second Edition 1998, John Wiley&Sons. 
(capítulo 3)
3. Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill, 
1992. (capítulo 3)
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
1992. (capítulo 3)
4. Ramo, Whinnery y Van Duzer: “Fields and waves in communication electronics” John 
Wiley 1969. 
5. Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design", Wiley Interscience, 1988. 
(capítulo 2)
6. Harlan Howe: "Stripline Circuit Design"; Microwave Associates Burlington; Artech 
House 1974. 
7. J. Esteban, M. A. González,
M. Lambea y J. Rebollar; “Enfoque para el estudio de ondas 
guiadas en la ETSIT-UPM”, URSI Symposium Nacional, Oviedo 2006
TAF-2- 47
TAF traspas1/Lineas_de_transmision2009.pdf
Capítulo 3:
Herramientas para el análisis de líneas de 
transmisión: Carta de Smith
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
En el presente capítulo se va presentar la carta de Smith que 
constituye una herramienta básica en el análisis y diseño de 
cualquier circuito de microondas.
El fundamento de la carta de Smith es la transformación de 
impedancias y coeficientes de reflexión haciendo uso de una 
representación polar en el plano de los coeficientes de 
reflexión. De esta forma se obtiene una representación 
acotada del conjunto de todas las impedancias pasivas 
existentes.
TAF-3- 1
ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA
Dada una línea de transmisión:
i(z,t)
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
v(z,t)
∆z
z
Se puede obtener un modelo circuital equivalente de la misma…
TAF-3- 2
i(z,t)
v(z,t)
R∆z L∆z
G∆z
C∆z v(z+ ∆z,t)
i(z + ∆z,t)
ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA
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Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
∆z
R = resistencia en serie por unidad de longitud, Ω/m
L = inductancia en serie por unidad de longitud, H/m
G = conductancia en paralelo por unidad de longitud, S/m
C = capacidad por unidad de longitud, F/m
TAF-3- 3
Ecuación del telegrafista
Por las leyes de Kirchhoff:
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =∆+−
∂
∂⋅∆⋅−⋅∆− tzzv
t
tzi
zLtzizRtzv
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =∆+−
∂
∆+∂∆−∆+⋅∆− tzzi
t
tzzv
zCtzzVzGtzi
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Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
∂t
∆z 0
( ) ( )
t
tzi
LtziR
z
tzv
∂
∂⋅−⋅−=
∂
∂ ,
),(
,
( ) ( )
t
tzv
CtzvG
z
tzi
∂
∂⋅−⋅−=
∂
∂ ,
),(
,
Aplicación de la T. Fourier en t
TAF-3- 4
( ) ( ) ( )zIjwLR
dz
zdV ⋅+−=
( ) ( ) ( )zVjwCG
dz
zdI ⋅+−=
Similitud con las ecuaciones de Maxwell
ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
( ) ( ) 02
2
=− zV
dz
zVd γ
( ) ( ) 02
2
=− zI
dz
zId γ
( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ
CONSTANTE DE PROPAGACIÓN
TAF-3- 5
( ) zozo eVeVzV γγ ⋅+⋅= −−+
( ) zozo eIeIzI γγ ⋅+⋅= −−+
ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
jwCG
jwLRjwLR
Zo +
+=+=
γ
−
−
+
+
−==
o
o
o
o
o
I
V
Z
I
V
( ) [ ] [ ]zozozozo
o
eVeV
jwLR
eVeV
Z
zI γγγγ
γ ⋅−⋅
+
=⋅−⋅= −−+−−+1
( )
o
z
o
z
o
Z
eVeV
zI
γγ ⋅−⋅=
−−+
TAF-3- 6
( ) ( )
( ) zo
z
o
ezwtV
ezwtVtzv
α
α
φβ
φβ
⋅++⋅
+⋅+−⋅=
−−
−++
cos
cos,
 
ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA
(dominio temporal)
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Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
β
πλ 2= fwvp ⋅== λβ
TAF-3- 7
Línea sin pérdidas
LCjwj =+= βαγ LCw=β
0=α C
L
Zo =
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Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
( ) z
o
oz
o
o e
Z
V
e
Z
V
zI ββ ⋅−⋅=
−
−
+
( ) zozo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+ LCw
π
β
πλ 22 ==
LC
w
vp
1==
β
TAF-3- 8
Línea cargada
i(z,t)
v(z,t) z ZLZo,β
Origen de referencia
en la carga
La onda regresiva aparece cuando la línea tiene una condición de cierre
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Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
( ) z
o
oz
o
o e
Z
V
e
Z
V
zI ββ ⋅−⋅=
−
−
+
( ) zozo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+
z = 0
z = -l
TAF-3- 9
Definición del coeficiente de reflexión
( )
( ) ooo
oo
L ZVV
VV
I
V
Z −+
−+
−
+==
0
0 +−
+
−= o
oL
oL
o VZZ
ZZ
V
oL
oL
o
o
ZZ
ZZ
V
V
+
−==Γ +
−
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Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
( ) [ ]ljljo eeVzV ββ −+ ⋅Γ+=
( ) [ ]ljlj
o
o ee
Z
V
zI ββ −
+
⋅Γ−=
TAF-3- 10
Onda estacionaria
( )2
2
1
2
1 Γ−=
+
o
o
av Z
V
P Pérdidas de retorno: ( )Γ⋅−= log20RL dB
( )
( )lj
lj
o
zj
o
eV
eVeVzV
βθ
ββ
2
22
1
11
−+
−++
⋅Γ+⋅
=⋅Γ+⋅=⋅Γ+⋅=
 
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Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
( )lj
o eV
βθ 21 −+ ⋅Γ+⋅ 
( )Γ+⋅= + 1max oVV
( )Γ−⋅= + 1min oVV
Γ−
Γ+
===
1
1
min
max
V
V
SWRROE
∞<< SWR1
TAF-3- 11
Coeficiente de reflexión en cualquier punto 
de la línea
( ) ( ) lj
lj
o
lj
o
e
eV
eV
l ββ
β
20 −+
−−
Γ=
⋅
⋅=Γ COEFICIENTE DE REFLEXIÓNEN EL RESTO DE LA LÍNEA
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Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
( )
( )
( )
( )ljZZ
ljZZ
ZZ
e
e
lI
lV
Z
Lo
oL
oolj
lj
in β
β
β
β
tan
tan
1
1
2
2
+
+=
Γ−
Γ+=
−
−= −
−
Ejemplos de casos particulares…
TAF-3- 12
Línea cortocircuitada
i(z,t)
v(z,t) z
0
l
Zo,β
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Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
l
( ) [ ] ( )zsenVjeeVzV ozjzjo βββ ⋅⋅−=−= +−+ 2
( ) [ ] ( )z
Z
V
ee
Z
V
zI ozjzjo βββ cos2
00
⋅=+=
+
−
+
( )ljZZ oin βtan=
TAF-3- 13
Línea en circuito abierto
i(z,t)
v(z,t) z
0
l
Zo,β
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
l
( ) [ ] ( )zVeeVzV ozjzjo βββ cos2 ⋅=+= +−+
( ) [ ] ( )zsen
Z
Vj
ee
Z
V
zI ozjzjo βββ ⋅⋅=−=
+
−
+
00
2
( )lZjZ oin βcot⋅−=
TAF-3- 14
Línea λ/2
i(z,t)
v(z,t) zZo,β ZL
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
z = 0
z = -l
Lin ZZ =
TAF-3- 15
Línea λ/4
i(z,t)
v(z,t) zZo,β ZL
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
z = 0
z = - l
L
o
in Z
Z
Z
2
=
TAF-3- 16
Línea acoplada a otra línea
Zo Z1
Γ T
z
0
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
o
o
ZZ
ZZ
+
−=Γ
1
1
( ) [ ]zjzjo eeVzV ββ ⋅Γ+= −+
( ) zjo eTVzV β−+ ⋅⋅= z>0
z<0
0
oZZ
Z
T
+
=Γ+=
1
121
TAF-3- 17
Propiedades del coeficiente de reflexión y 
de la onda estacionaria
• Como consecuencia de la reflexión en la carga, las amplitudes de voltaje y 
de corriente permanecen estacionarias a lo largo de cada abscisa de la 
línea.
• Los máximos ocurren cuando . 
• Los mínimos ocurren cuando 
• Máximos de voltaje coinciden con mínimos de corriente y viceversa.
• En una línea sin pérdidas el módulo del coeficiente de reflexión permanece 
( ) πβθ nl 22 =−
( ) ( )πβθ 122 −=− nl
• En una línea sin pérdidas el módulo del coeficiente de reflexión permanece 
constante. Este lugar geométrico es una circunferencia en el 
plano complejo de 
• Existe una transformación bilineal entre impedancias y coeficientes:
• A cada coeficiente de reflexión le corresponde uno, y sólo uno, valor de 
impedancia. 
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
( ) ( ) ljel β20 −Γ=Γ
( )lΓ
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) 0
0
2
2
1
1
01
01
ZlZ
ZlZ
lZ
l
l
Z
e
e
lZ oolj
lj
+
−=Γ⇒⋅
Γ−
Γ+=⋅
Γ−
Γ+= −
−
β
β
TAF-3- 18
Carta de Smith
Im(Γ)
2 familias de rectas perpendiculares 2 familias de circunferencias perpendiculares
x
1
1
+
−=
+
−=Γ
L
L
oL
oL
L
Z
Z
ZZ
ZZ
L
L
LZ Γ−
Γ+=
1
1 Correspondencia
biunívoca 
Plano complejo de impedancias.
Representación cartesiana.
Plano semiinfinito.
Plano complejo de coeficientes ΓL.
Representación polar.
Plano limitado
por la circunferencia | ΓL|=1.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Biyección 
Re(Γ)
r
x
TAF-3- 19
Carta de Smith
( ) ( )( ) oZl
l
lZ
Γ−
Γ+=
1
1 ( ) ( ) jxr
Z
lZ
lZ
o
+==
lj
Lejvuw
β2−Γ=+=
1
1
+
−=
+
−=Γ LoLL
Z
Z
ZZ
ZZ )(1
)(1
jvu
jvu
jxr
+−
++=+
Normalización
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
1++ LoL ZZZ
( )
( ) 22
22
1
1
vu
vu
r
+−
+−=
( ) 221
2
vu
v
x
+−
=
( )2
2
2
1
1
1 r
v
r
r
u
+
=+





+
−
( )
2
2
2 111
xx
vu =




 −+−
TAF-3- 20
( )2
2
2
1
1
1 r
v
r
r
u
+
=+





+
− Familia de circunferencias 
con r como parámetro 
r
Radio
Centro
+






+
1
1
 
0,
r1
r
 r=0v
r=1
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
u
(1,0)(0,0)
r=∞
TAF-3- 21
Familia de circunferencias 
con x como parámetro 
x
Radio
x
Centro
1
 
1
,1 





v
(1,0)(0,0)
( )
2
2
2 111
xx
vu =




 −+−
x=0
x=1
x=2
x=0.5
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
u
(1,0)(0,0)x=0
x=-1
x=-2x=-0.5
TAF-3- 22
¿Significado del sentido
del movimiento en la carta?
Sentido horario:
hacia generador
Sentido antihorario:
hacia la carga
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 3: 
Líneas de transmisión y carta de Smith
TAF-3- 23
CALCULADOR EN LA CARTA DE SMITH
Para una ROE de 2, llevando una línea vertical podemos ver que
el coeficiente de reflexión en voltaje es 0.33, el coeficiente de 
Reflexión en potencia es 0.11 que, en dB vale 9.54 dB. 
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
TAF-3- 24
Doble carta de Smith ZY
El coeficiente Гv = - ГI
Pasar de impedancias a admitancias
supone girar 180º en la carta anterior.
o hacer una doble lectura en la carta
doble ZY.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
TAF-3- 25
Adaptación de impedancias
• Supone pasar de un punto de coeficiente 
de reflexión (impedancia) original a otro 
final.
• Normalmente, aunque no siempre, el 
punto final es el origen: coeficiente de 
reflexión 0 ó impedancia normalizada 1.
• Para realizar ese movimiento sólo nos 
podemos mover por circunferencias de podemos mover por circunferencias de 
un parámetro constante:
– Movimiento a lo largo de la línea sin 
pérdidas: circunferencia de módulo de 
coeficiente de reflexión constante.
– Inclusión de una celda de adaptación sin 
pérdidas: movimiento por una 
circunferencia de r ó g constante.
– Inclusión de una celda de adaptación sólo 
con pérdidas: movimiento por una 
circunferencia de reactancia constante 
(no es lo habitual).
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
TAF-3- 26
Adaptación de impedancias
Ejercicios de la carta de Smith
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Adaptadores simples Stub simple Doble stub
TAF-3- 27
Adaptadores simples
jX
ZL = 50 +j10Zo = 70
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
d
Encontrar la posición y el valor de la reactancia para conseguir
adaptación en la línea…
TAF-3- 28
ZL
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 
3: Líneas de transmisión y carta de Smith
142.0714.0 j
Z
Z
Z
o
L
L +==
TAF-3- 29
142.0714.0 j
Z
Z
Z
o
L
L +==
Solución A:
Azimut = 0.141 λ
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Impedancia vista = 1 + j0.38
d = (0.141-0.043)λ = 0.098 λ
Solución B:
Azimut = 0.359 λ
Impedancia vista = 1 - j0.38
d = (0.359-0.043)λ = 0.316 λ
TAF-3- 30
Stub simple
YL = 0.4 + j1.35Zo
jB
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
d
l
Encontrar l y d para conseguir adaptación en la línea…
TAF-3- 31
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
TAF-3- 32
Solución A: Azimut = 0.193 λ
d = (0.193-0.153)λ = 0.04 λ
Admitancia vista = 1 + j2.3
Azimut de -j2.3 = 0.315 λ
l = (0.315 – 0.25) λ = 0.065 λ
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Solución B: Azimut = 0.307 λ
d = (0.307-0.153)λ = 0.154 λ
Admitancia vista = 1 - j2.3
Azimut de j2.3 = 0.185 λ
l = (0.25 + 0.185) λ = 0.435 λ
TAF-3- 33
Doble stub
ZrZo
jB1
jB2
λ/4
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
l1l2
Zo
Zo
Zo = 200 Ω
SWR = 6.5
Dmin voltaje a la carga = 0.168 λ
Zr ??
l1 y l2 para adaptación de la línea ?? 
TAF-3- 34
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
TAF-3- 35
Desplazándose 0.168 λ hacia la carga:
Zr = Zo(0.6 – j1.6) = 120 – j320 Ω
Solución A:
Yr = 0.21 + j 0.41
Solución B:
Yr = 0.21 - j 0.41
Admitancia del stub = j0.41 – j0.55 = -j 0.14
Yr = 0.21 + j0.55
Admitancia del stub = -j0.41 – j0.55 = -j 0.96
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Admitancia del stub = j0.41 – j0.55 = -j 0.14
l1 = (0.478-0.25) λ = 0.228 λ
Azimut de –j0.14 = 0.478 λ
Admitancia del stub = -j0.41 – j0.55 = -j 0.96
l1 = (0.379-0.25) λ = 0.129 λ
Azimut de –j0.96 = 0.379 λ
Yin = 1 – j1.95 Yin = 1 + j1.95
Azimut de j1.95 = 0.174 λ
l = (0.25 + 0.174) λ = 0.424 λ
Azimut de -j1.95 = 0.326 λ
l = (0.326 – 0.25) λ = 0.076 λTAF-3- 36
Criterio de Bode-Fano
La demostración del criterio es muy compleja:
H. W. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design, NY, 1945.
R. M. Fano, Theeoritical limitations on the broad band matching of arbitrary
impedances, Journal of the Franklin Institute, vol. 249, pp. 57-83, January 1950, 
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
impedances, Journal of the Franklin Institute, vol. 249, pp. 57-83, January 1950, 
and pp. 139-154 February 1950.
¿Se puede conseguir una adaptación perfecta para un ancho de banda especificado?
Si no se puede, ¿cuál es la relación entre el máximo coeficiente de reflexión
que nos podemos permitir en la línea y el ancho de banda?
¿Se puede evaluar la complejidad de la red de adaptación?
TAF-3- 37
( ) RCdww
π≤
Γ∫
∞
0
1
ln
Módulo Γ
RC
w
m
π≤
Γ
∆ 1ln
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
∆w
w
Γm
TAF-3- 38
Para una carga dada, se puede conseguir un 
ancho de banda elevado a expensas
de aumentar el coeficiente de reflexión….
El coeficiente de reflexión sólo puede ser cero
Principales conclusiones del criterio de Bode-Fano
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
El coeficiente de reflexión sólo puede ser cero
a frecuencias discretas….
Circuitos con Q mayor son más difíciles de
adaptar que los de Q menor:
(Q alta equivale a valores de R y/o C altos)
TAF-3- 39
Teoría de reflexiones múltiples
Zo Z1
Γ T
z
0
RL
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
0
Γ1 T1 Γ3
Γ2
o
o
ZZ
ZZ
+
−=Γ
1
1
1
1
10
10
2 Γ−=+
−=Γ
ZZ
ZZ
1
1
3 ZR
ZR
L
L
+
−=Γ
oZZ
Z
T
+
=Γ+=
1
1
11
2
1
o
o
ZZ
Z
T
+
=
1
2
2
TAF-3- 40
( )
n
n
TT
TTTTTT
∑
∞
=
ΓΓ−Γ−Γ=
=+ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ=Γ
0
323211
3
3
2
2
213
2
2213211 ...
Serie geométrica
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Serie geométrica
( )
( )( )11
1
2
32
3213211 2
1 ZRZZ
RZZTT
Lo
Lo
++
−=
ΓΓ+
Γ−ΓΓΓ+Γ=Γ
Recordar adaptador de λ/4…
TAF-3- 41
Desadaptación de la carga y del generador
i(z,t)
v(z,t) z
0
Zo,β ZLVg
ZG
-l
Γl
ΓG
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Zin ( ) [ ]
gin
in
g
lj
l
lj
o ZZ
Z
VeeVlV
+
=⋅Γ+=− −+ ββ
lj
gl
lj
gin
o
go e
e
ZZ
Z
VV ⋅−
⋅−
+
Γ⋅Γ−+
= β
β
21 og
og
g ZZ
ZZ
+
−
=Γ
TAF-3- 42
{ }
( ) ( )22
2
2*
2
1
1
Re
2
1
Re
2
1
gingin
in
g
in
ginin
XXRR
R
V
Z
VIVP
+++
=






==
Potencia entregada 
a la carga
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Carga adaptada a la línea
( ) ( )22
2
2
1
ggo
o
g
XRZ
Z
VP
++
=
Generador adaptado a la línea cargada
( )2
2
42
1
gg
g
g
XR
R
VP
+
=
Adaptación compleja
g
g R
VP
4
1
2
1 2=
*
gin ZZ =
TAF-3- 43
Línea de transmisión con pérdidas
( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ
wLR << 




+≅ o
o
GZ
Z
R
2
1α
L
Z ≅
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
wCG <<
 oZ2
LCw≅β
C
Zo ≅
Línea de Heaviside
C
G
L
R =
L
C
R=α
LCw=β
TAF-3- 44
( ) [ ]zzo eeVzV γγ ⋅Γ+= −+ ( ) [ ]zz
o
o ee
Z
V
zI γγ ⋅Γ−= −
+
( )
( )
( )
( )lZZ
lZZ
Z
lI
lV
Z
Lo
oL
oin γ
γ
tanh
tanh
+
+=
−
−= Con PL potencia en 
la carga
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 3: 
Líneas de transmisión y carta de Smith
( )[ ] l
o
o
in elZ
V
P α2
2
2
1
2
Γ−=
+ [ ]2
2
1
2
Γ−=
+
o
o
L Z
V
P
( ) ( )[ ]ll
o
o
Linloss eeZ
V
PPP αα 2
22
2
11
2
−Γ+−=−=
+
la carga
TAF-3- 45
CONCEPTO DE COEFICIENTE DE 
DESADAPTACIÓN
• Potencia disponible de un 
generador
• Potencia de entrada a la red 
sin pérdidas
g
g
dg R
V
P
2
8
1 ⋅=
ingg MP
RRV
P ⋅=


 ⋅⋅
=
2
41 Zin
ZgZg
Vg
ΓS Γin
ZL
Red sin 
pérdidas 
Mg
• Adaptación conjugada para máxima transferencia de potencia
• Coeficiente de reflexión conjugado: 
• Relación entre coeficiente de reflexión conjugado y coeficiente de 
desadaptación: 
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
gdg
ingg
in MP
ZZR
P ⋅=





 +
= 28
*
gin ZZ =
gin
gin
in ZZ
ZZ
+
−
=
*
ρ
21 ingM ρ−=
ZinMg
TAF-3- 46
CONCEPTO DE COEFICIENTE DE 
DESADAPTACIÓN (II)
ZgZg
Vg
ΓS Γin
ZL
Red sin 
pérdidas 
• Teorema: el coeficiente de desadaptación a través de una red de 
adaptación sin pérdidas permanece constante a lo largo de toda la 
estructura. 
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
ZinMg M2
M1
21 MMMg ==
TAF-3- 47
Conclusiones (I)
• Se ha presentado la línea de transmisión finalizada que 
origina una onda estacionaria.
• Dicha onda estacionaria viene caracterizada por el 
coeficiente de reflexión en cada punto de la línea. 
– En una línea sin pérdidas es constante el módulo. Esto supone – En una línea sin pérdidas es constante el módulo. Esto supone 
una circunferencia.
– En una línea con pérdidas hay un decrecimiento del módulo con 
la variación de fase. Esto supone una espiral.
– Al haber una aplicación biyectiva entre cada coeficiente de 
reflexión y cada impedancia, a cada coeficiente de reflexión le 
corresponde una y sólo una impedancia.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
TAF-3- 48
Conclusiones (II)
• La carta de Smith constituye la herramienta básica para 
el análisis de cualquier circuito de microondas. 
• Consiste en una representación en el PLANO POLAR 
de los coeficientes de reflexión.
• Por la aplicación biyectiva entre coeficientes de reflexión 
e impedancias a cada coeficiente de reflexión en el e impedancias a cada coeficiente de reflexión en el 
plano polar le corresponde un valor de impedancia o 
admitancia.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
TAF-3- 49
Conclusiones (III)
• Funcionalidades de la carta de Smith:
– Lectura directa del coeficiente de reflexión en módulo y fase 
(mediante la superposición de curvas de resistencia –
conductancia- y reactancia –susceptancia-, también se lee el 
valor de la impedancia). 
– Obtención del valor del coeficiente de reflexión en cualquier 
punto de una línea sin más que hacer una rotación a través de punto de una línea sin más que hacer una rotación a través de 
una circunferencia de coeficiente de reflexión constante (centro 
el origen y radio R).
– Representación de admitancias/impedancias sin más que hacer 
un giro de 180º (en la carta de Smith convencional).
– Adaptación de impedancias mediante movimientos en, 
principalmente, dos familias de circunferencias: coeficientes de 
reflexión constantes y resistencias (conductancias) constantes.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
TAF-3- 50
Referencias
1. David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second 
Edition 1998, John Wiley&Sons. (capítulo 5)
2. Robert E. Collin: "Foundations for microwave 
engineering" New York McGraw-Hill, 1992. (capítulo 5)
3. Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design", 3. Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design", 
Wiley Interscience, 1988, segunda edición. (capítulo 4). 
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. 
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
TAF-3- 51
TAF traspas1/LRF_medida_impedancia_2013.pdf
Capítulo 1
Medida de la impedancia en microondas: 
analizador de circuitos 
En Ingeniería de Microondas los parámetros básicos que 
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, 
Microondas y Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida 
de la impedancia: analizador de redes
En Ingeniería de Microondas los parámetros básicos que 
indican la transferencia de energía entre puertos del circuito, 
son los parámetros de dispersión. La medida de dichos 
parámetros está basada en la medida del coeficiente de 
reflexión (equivalente a la medida de la impedancia por la 
transformación bilineal que las relaciona) que nos determina 
la potencia que se transmite o refleja en un puerto del 
circuito. En este capítulo se explican los fundamentos de 
dicha medida, desde la línea ranurada hasta los analizadores 
de circuitos.
Daniel Segovia Vargas
Medidas en Microondas-6- 1
ÍNDICE (I)
• Fundamentos de la medida de impedancia.
• Línea de ranura
• Puentes de impedancia y bancos reflectométricos
• Analizador de redes (circuitos):
– Medida de cuadripolos
– Prestaciones del analizador de circuitos
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, Microondas y 
Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida de la impedancia: 
analizador de redes
– Prestaciones del analizador de circuitos
– Opción de la medida del tiempo
– Calibración.
Medidas en Microondas-6- 2
MEDIDA DE AMPLITUD
FUNDAMENTOS DE LA MEDIDA DE IMPEDANCIA
LÍNEA DE MEDIDA PUENTES Y BANCOS
Medida de 
amplitud: línea 
de ranura, 
ROE
Comparación de 
amplitudes: 
acoplos 
directivos
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, 
Microondas y Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida 
de la impedancia: analizador de redes
MEDIDA DE FASE
Referencia de 
fase: 
cortocircuito 
terminal
CALIBRACIÓN
Medidas en Microondas-6- 3
ESQUEMA DE UN BANCO DE MEDIDA EN GUÍA
B
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, Microondas y 
Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida de la impedancia: 
analizador de redes
A
C
Medidas en Microondas-6- 4
MEDIDA DE LA IMPEDANCIA CON UNA LÍNEA DE 
MEDIDA (RANURADA)
• En Microondas lo que se mide directamente es el 
coeficiente de reflexión, no la impedancia.
• La expresión del coeficiente de reflexión viene 
dada por:
z=l z=0
V l
I l
Vg
Zl
Zg Zo
Plano de
carga
Zl
Cortocircuito
ONDA 
ESTACIONARIA
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )zjzjV
zjV
V
V
VVV
IZV
IIzjIzjII
VVzjVzjVV
L
r
L
LLL
ri
ri
⋅⋅−⋅Γ=
⋅⋅⋅
⋅⋅−⋅==Γ



+=
⋅=
⇒




−=⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅=
+=⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅=
+
−
−+−+
−+
β
β
β
ββ
ββ
2exp
exp
exp
expexp
expexp
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, 
Microondas y Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida 
de la impedancia: analizador de redes
• En la sonda se recoge una potencia:
• La relación de onda estacionaria nos permite 
averiguar el módulo del coeficiente de reflexión
• Para la fase hay que introducir una referencia (o 
calibración): se coloca un cortocircuito en la 
posición de la carga a medir
Circuito
abierto
Vmax
Vmin
Vmax
Vmin
Carga
capacitiva
Carga
inductiva
Longitud eléctrica
( )zjVV Li ⋅⋅⋅+ βexp
( ) ( )( )ϕββ −⋅⋅⋅Γ⋅+Γ+⋅=⋅⋅−⋅Γ+⋅= zKzjKP LLL 2cos212exp1 22
( )
( )2
2
mín
máx
1
1
L
L
P
P
ROEP
Γ−
Γ+
==
( )
( ) 1
1
1
1
mín
máx
+
−=Γ⇒
Γ−
Γ+
===
s
s
V
V
sROE L
L
L
Medidas en Microondas-6- 5
MEDIDA DE IMPEDANCIA : CARTA DE SMITH
• De la relación de onda estacionaria se 
obtiene el módulo del coeficiente de 
reflexión y de la referencia (calibración) 
la fase de dicho coeficiente.
• Con el coeficiente de reflexión se obtiene 
la impedancia:
0.2 0.5 1 2
 j0.2
-j0.2
0
 j0.5
00
 j2
0
Γ(z)
0(1)
-1(0) 1(inf)
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) 1
1
1
1
1
1
+
−=Γ⇒
Γ−
Γ+==⇒
Γ−
Γ+⋅=
−
+==
zz
zz
z
z
z
Z
zZ
zz
z
z
Z
II
VV
zI
zV
zZ o
ri
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, 
Microondas y Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida 
de la impedancia: analizador de redes
• La impedancia y el coeficiente de 
reflexión están relacionadas por una 
transformación bilineal que permite 
obtener una herramienta gráfica: carta de 
Smith.
( )
( )
( )
( )
( )






+−
=
+−
+−=
⇒






+−
++=+
+=
+
−=Γ⇒+=
22
22
22
1
2
1
1
1
1
1
1
vu
v
x
vu
vu
r
jvu
jvu
jxr
jvu
z
z
jxrz ( )
( )











=




 −+−
+
=+





+
−
22
2
2
2
2
11
1
1
1
1
xx
vu
r
v
r
r
u
-j0.5
-j1
-j2
PLANO ΓΓΓΓ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111 +=Γ⇒Γ−==⇒Γ−⋅=−== zzzzZzzzZIIzIzZ oori
Medidas en Microondas-6- 6
PUENTES Y REFLECTÓMETROS
• La línea de medida mide sólo a una frecuencia
• Es muy laborioso el proceso de medida aunque las bandas sean estrechas.
• Para medir mediante comparación de una carga de referencia con otra carga 
incógnita se necesitará una red de cuatro puertas:
– Una con la carga incógnita.
– Otra con la carga de referencia.
– Un generador de señal.
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, Microondas y 
Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida de la impedancia: 
analizador de redes
– Un generador de señal.
– Un detector donde se refleje la comparación.
• Otras opciones de medida: 
– La doble T/ T mágica (rat race en su versión impresa).
– El acoplador direccional.
– Puentes de impedancia.
– Banco reflectométrico.
Medidas en Microondas-6- 7
UNIONES DE CUATRO GUÍAS: DOBLE T
4
3
1 2
2414 ss =
1122 ss =Simetría
Propiedades de la T plano H
Propiedades de la T plano E
2313 ss −=
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, 
Microondas y Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida 
de la impedancia: analizador de redes
4
2
33
1 1
014 =sOctopolo sin pérdidas














−
−
=
441414
331313
14131112
14131211
0
0
sss
sss
ssss
ssss
S
Medidas en Microondas-6- 8
UNIONES DE CUATRO GUÍAS: T MÁGICA
• Si la doble T se adapta desde las guías 3 y 4 se dice que la doble T es una T 
mágica. De aquí resulta: 
• De donde la matriz de parámetros S de una T mágica tiene la forma:



 00 jrjm ee
04433 == ss
02211 == ss
2
12
14
2
13 == ss
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, 
Microondas y Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida 
de la impedancia: analizador de redes
• La T mágica mantiene las propiedades de la doble T pero, además, tiene 
propiedades de acoplo directivo donde: 
– la relación de amplitud es siempre de 3 dB
– una salida se encuentra desfasada 180º respecto a la otra














−
−
=
00
00
00
00
2
1
jrjr
jmjm
jrjm
ee
ee
ee
ee
S
Medidas en Microondas-6- 9
REFLECTÓMETROS BASADOS EN DOBLE T/ T 
MÁGICA
Generador
Detector
Carga
referencia
Carga 
problema
Doble T/ T mágica
1
2
3
4
a3
b1
a1
b2
a2
b4
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, 
Microondas y Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida 
de la impedancia: analizador de redes
• Un reflectómetro es capaz de medir el módulo del coeficiente de reflexión mediante la 
comparación de las potencias incidentes y reflejadas en la carga problema. 
• El esquema se basa en: 
– La carga de referencia está perfectamente adaptada (a2=0)
Detector1
( )
32
11
22
14
2
13
43
11
1413
4
4114
313111
11
01
P
s
ss
Pa
s
ss
b
bbs
asbs
p
p
p
p
p
p ⋅
Γ⋅−
Γ⋅⋅
=⇒⋅
Γ⋅−
Γ⋅⋅
=⇒




=⋅Γ⋅
=⋅+⋅−Γ⋅
Medidas en Microondas-6- 10
REFLECTÓMETROS BASADOS EN DOBLE T/ T 
MÁGICA (II)
• La potencia detectada resulta proporcional al valor del módulo del coeficiente de reflexión 
de la carga problema si s11=0 (T mágica).
• Causas de error:
– Si s11≠0 se produce un error llamado de fase por ser proporcional al argumento de Γp
– Si la carga de referencia no está totalmente adaptado (error de referencia)
( ) ( )
mpmppmpmp
ss Γ⋅+⋅Γ≤Γ≤Γ⋅−⋅Γ 1111 11
[ ] [ ]rmpprmprp PP Γ+Γ≤Γ≤Γ−Γ⇒⋅Γ−Γ⋅= 324 4
1
Grupo de Radiofrecuencia, Electromagnetismo, 
Microondas y Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida 
de la impedancia: analizador de redes
• Ejemplos, supongamos una T mágica con s11=0.0476 y referencia :
– Carga a medir está bien adaptada 
• Error de fase
• Error de referencia
• Cuando la carga a medir está próxima a la adaptada es más importante el de referencia.
– Carga a medir cualquiera 
• Error de fase:
• Error de referencia:
• Es más importante el de fase.
[ ] [ ]rmpprmprp 34 4
0099.0=Γr
0476.0=Γp
%23.00476.00023.19977.0 ±=Γ⇒⋅Γ≤Γ≤⋅Γ
mpmppmp
%)20(0099.00476.0 ±=Γ
mp
5.0=Γp ( )%8.40238.05000.0 ±=Γ
mp ( )%20099.05000.0 ±=Γ
mp
Medidas en Microondas-6- 11
ACOPLOS DIRECTIVOS
• Definición: dispositivo de 4 puertas totalmente adaptado donde, para cada 
puerto de entrada, existe un puerto aislado.
• Tipos de puertos:
– Transmitido: aquel al que se transmite la mayor cantidad de potencia
– Acoplado: aquel al que se transmite la menor cantidad de potencia
– Aislado: aquel al que, idealmente, no se transmite ninguna potencia
• Diferencias con la T mágica:
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Microondas y Antenas, GREMA, UC3M Tema 1: Medida 
de la impedancia: analizador de redes
• Diferencias con la T mágica:
– El puerto acoplado y transmitido no tienen que ser iguales.
– El puerto acoplado y transmitido están desfasados 90º.
• Si entrando por 1 el puerto aislado es el 2, la matriz resulta:














=
00
00
00
00
2414
2313
2423
1413
ss
ss
ss
ss
S
1: entrada
2: aislada
4: transmitida
3: acoplada
Medidas en Microondas-6- 12
PUENTE DE IMPEDANCIA
ass ⋅Γ⋅⋅
• La señal en el brazo 4 se compone de
– Señal reflejada en la carga problema |Γ |: 
1
2
4
3
ΓR
ΓP
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Medida 
de la impedancia: analizador de redes
31413 ass p ⋅Γ⋅⋅– Señal reflejada en la carga problema |Γp|: 
– Señal procedente de a3 debido a un aislamiento imperfecto
– Señal reflejada en la carga de referencia |Γr|: 
• Las dos últimas producen error.
• Se suelen utilizar acoplos de alta relación de acoplamiento (-20dB) para reducir los 
errores. Por lo que si: 
334 as ⋅
31413 ass r ⋅Γ⋅⋅
⇒





<
=
=
01.0
9950.0
1.0
34
14
13
s
s
s
Señal directa de 3: 0.01 a3
Señal reflejada en la referencia: 0.099 a3 |Γr|
Medidas en Microondas-6- 13
PUENTE REFLECTOMÉTRICO
• Se da un paso más respecto al puente de impedancia: se sustituye el oscilador generador 
por un generador de barrido para tener una medida en banda de frecuencia.
• SE SUPONE CONSTANTE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA DE TODOS LOS 
ELEMENTOS EN TODA LA BANDA.
1 4
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de la impedancia: analizador de redes
1
2
4
3
ΓR
ΓP Generador
de barrido
PRESENTACIÓN
Control de frecuencia
Medidas en Microondas-6- 14
BANCO REFLECTOMÉTRICO
• Se da un paso más respecto al puente reflectométrico: se sustituye la carga de referencia 
por un detector que, además de estar adaptado, proporciona una señal de referencia.
• Esto reduce mucho los errores debidos a las inestabilidades de los generadores
4 4
2 2
2 13 13 4 4 4
2 22
1 1 114 14 1214
13
r
p
i g
P P
s sP P P I
PP P Is P s Ps
s
Γ = = = = ≈ =
⋅ ⋅⋅
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de la impedancia: analizador de redes
1
2
4
3
ΓP Generador
de barrido
PRESENTACIÓN
Control de frecuencia
Pr
Pi
P1 P4
Pg
Medidas en Microondas-6- 15
PUENTE INTERFEROMÉTRICO
• Objetivo: medida de cuadripolos por sustitución.
• Se mide la potencia transmitida sin cuadripolo (calibración en transmisión) y con cuadripolo 
Carga
adaptadaGenerador
de barrido
Tmágica
divisora
Tmágica
combinadora
Carga
adaptada
Cuadripolo 
a medirOnda incidente 1 Onda transmitida 1
B
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de la impedancia: analizador de redes
• La señal se divide en dos iguales en una T-mágica o una T.
• Una señal proporcional a la diferencia de las transmitidas en cada brazo se recoge en el 
brazo diferencia (E) de la T mágica.
• Si todos los elementos están bien calibrados la única forma de anular la señal en el brazo 
diferencia es que el cuadripolo a medir sea idéntico al de referencia. 
PRESENTACIÓNAtenuador
calibrado
Desfasador
calibrado
Onda incidente 2 Onda transmitida 2
B= onda transmitida 2 – onda transmitida 1
Medidas en Microondas-6- 16
ANALIZADOR DE REDES
• Es prácticamente el único sistema de medida de impedancias que se emplea en la 
actualidad.
• Puede ser:
– Analizador escalar: mide solamente el módulo de los parámetros de transmisión o 
reflexión.
– Analizador vectorial: mide módulo y fase de los parámetros S.
• Su evolución se ha producido en una doble línea:
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analizador de redes
• Su evolución se ha producido en una doble línea:
– Incremento de prestaciones
• Fiabilidad, precisión, facilidad de manejo, rapidez, estabilidad, integración. 
– Incremento en frecuencia
• Incremento del rango integrado.
• Adición de puentes externos para aumentar más la frecuencia.
Medidas en Microondas-6- 17
DIAGRAMA DE BLOQUE DE UN ANALIZADOR 
ESCALAR
Permite obtener las medidas de los módulos de transmisión y reflexión en 
función de la frecuencia
R
DETECTOR
Referencia
Sistema de
Generador
de barrido
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de la impedancia: analizador de redes
DETECTOR
Transmisión
A
B
DETECTOR
Reflexión
Sistema de
presentación
y control
D.U.T.
Acoplador
de referencia
Acoplador 
de reflexión
de barrido
Carga
Medidas en Microondas-6- 18
DIAGRAMA DE BLOQUE DE UN ANALIZADOR 
VECTORIAL (I)
• El objetivo es la medida de la amplitud y la fase de los parámetros S.
• Respecto al analizador escalar: se sustituyen los circuitos detectores por conversores de 
frecuencia de forma que se reduce la frecuencia de la señal a un valor suficientemente 
pequeño donde se puede obtener la frecuencia de salida en un voltímetro digital.
• Las frecuencias intermedias se obtienen mediante PLL enganchados a una muestra de señal.
– Proceso muy complejo si los márgenes de medida son grandes.
• La sensibilidad llega a valores de -90 a -100dBm con márgenes dinámicos de 80 dB.
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de la impedancia: analizador de redes
Conversor
RF-FI
A
B
Conversor
RF-FI
R
Conversor
RF-FI
Sistema de
presentación
y control
BPF
BPF
BPF
D.U.T.
Acoplador
de referencia
Acoplador 
de reflexión
Generador
de barrido
Oscilador PLL
Carga
Medidas en Microondas-6- 19
DIAGRAMA DE BLOQUE DE UN ANALIZADOR 
VECTORIAL (II)
• Como reflectómetro se usa un acoplador direccional:
– Cubriendo la banda total mediante circuitos de banda muy ancha.
– Mediante varios circuitos conmutados.
• Para medir los cuatro parámetros sin necesidad de desconectarlo al sistema se disponen de 
dos circuitos reflectómetros como se muestra en la figura.
a1 b1 a2b2
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de la impedancia: analizador de redes
D.U.T.
1 2
GENERADOR
Medidas en Microondas-6- 20
ANALIZADOR VECTORIAL (III)
Puente interferométrico con dos acopladores direccionales para evitar la conmutación.
Para la medida de la fase es necesaria la conversión de frecuencia a bandas inferiores.
Va provisto de un receptor de comparación o voltímetro vectorial.
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de la impedancia: analizador de redes
Medidas en Microondas-6- 21
ANALIZADOR VECTORIAL (IV): receptor de 
comparación
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de la impedancia: analizador de redes
Medidas en Microondas-6- 22
ANALIZADOR VECTORIAL (V): prestaciones de los 
modelos iniciales
TRANSMISIÓN
La precisión es muy buena, tanto en amplitud como en fase
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de la impedancia: analizador de redes
Medidas en Microondas-6- 23
ANALIZADOR VECTORIAL (III)
Puente interferométrico con dos acopladores direccionales para evitar la conmutación.
Para la medida de la fase es necesaria la conversión de frecuencia a bandas inferiores.
Va provisto de un receptor de comparación o voltímetro vectorial.
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de la impedancia: analizador de redes
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ANALIZADOR VECTORIAL (VI): prestaciones de los 
modelos iniciales
REFLEXIÓN
La precisión no es tan buena, pero se pueden reducir los errores mediante calibración
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Medidas en Microondas-6- 25
ANALIZADOR VECTORIAL (VII): prestaciones de equipos 
actuales
REFLEXIÓN TRANSMISIÓN
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Medidas en Microondas-6- 26
ANALIZADOR VECTORIAL (VIII): aumento de frecuencia
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de la impedancia: analizador