UC3M _Universidad Carlos III de Madrid_ _ Grado en Ingeniería Mecanica _ Electrica _ Transp_Blo

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Bloque 2 
Análisis de circuitos 
alimentados en corriente 
alterna
Fundamentos de Ingeniería Eléctrica
3.1. Condensadores y bobinas
Condensadores
Un condensador es un elemento pasivo capaz de 
almacenar potencia a través del campo eléctrico.
q
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
u
+
i
-
• Dos placas metálicas separadas una 
distancia d y con un dieléctrico entre 
ellas que impide un flujo de carga.
•En régimen permanente: circuito abierto. 
Tensión en bornes igual a la aplicada 
anteriormente.
• La tensión en bornes es fruto de un 
trasvase de carga en dt inicial. También 
hay polarización.
•Inicialmente poca oposición al paso de 
carga. 
• Se establece un campo eléctrico que 
almacena la potencia suministrada por la 
fuente.
- q
E
-
Capacidad
• La carga desplazada es proporcional a la tensión 
aplicada
Cuq 
C = Capacidad 
SI: [F]=Faradios 
• La capacidad de un condensador depende de su 
geometría
d
A
C r0
m
pF
85,80 donde
C
Condensadores
• Los condensadores 
reales suelen 
presentar pérdidas
• Consideraremos 
condensadores 
ideales
R
C
C
Relación u/i
Cuq 
dt
du
C
dt
dq
=>
)(ti
=>
dt
du
Cti )(
• Si u=cte => i=0 => En corriente continua un condensador se comporta 
como un circuito abierto.
dtti
C
dt
dt
du
t
t
t
t
 
00
)(
1
dtti
C
tutu
t
t

0
)(
1
)()( 0=>
• La tensión en un condensador no puede variar bruscamente
C
i
+ -
u
Carga de un condensador
Aunque un condensador en continua se comporta como un circuito 
abierto durante el transitorio circula corriente
10
0.002
Carga y descarga de un 
condensador
Al abrir el interruptor el condensador se descarga por la resistencia de 5 W
Apertura interruptorCierre interruptor
Potencia y energía
dt
du
uCtitutp  )()()(
•Energía almacenada entre 0 y t
0
2
1
)(
0
2
0
 
tt
Cudt
dt
du
CudttpW (Suponiendo que u(0)=0)
La energía almacenada es siempre mayor o igual que cero. 
Si el condensador cede potencia lo hace a expensas de la energía 
previamente almacenada => Es un elemento pasivo
La potencia puede ser > ó < que 0 => el 
condensador absorbe o cede potencia
Asociación de capacidades en 
paralelo
Asociación de capacidades en 
serie
u1 u2 un
C1 C2 Cn
u
i
+ + +- - - -+ n
uuuu  ....21
i
Cdt
du
k
k 1
iCi
CCC
i
C
i
C
i
Cdt
du
dt
du
dt
du
dt
du
eq
n
n
n
*/1
1
...
11
1
...
11
....
21
21
21










neq CCCC
1
....
111
21

Bobinas
Una bobina es un dispositivo capaz de almacenar 
potencia gracias al campo magnético generado.
F
i
• Al circular corriente por la bobina 
aparece un flujo magnético 
• F depende de la corriente
LiN F
L=Coeficiente de autoinducción de la 
bobina (o inductancia propia)
SI:[H]=Henrios
fe
fe
l
SNN
L
22

R
Relación u/i
• Si i que recorre la bobina es variable en el tiempo => 
F es variable => Se induce una f.e.m. que se opone 
al flujo (Faraday Lenz).
dt
di
L
dt
d
Neu 
F

Si i=cte =>u=0 => En 
corriente continua una 
bobina se comporta 
como un cortocircuito
dt
di
L
dt
d
N 
F
dttu
L
dt
dt
di
t
t
t
t
 
00
)(
1
dttu
L
titi
t
t

0
)(
1
)()( 0=>
La corriente en una 
bobina no puede 
variar bruscamente
i
+
-
u
Simulación conexión de una 
bobina en continua
Al disminuir la resistencia aumenta el tiempo
de estabilización. t=0.02s
Inicialmente, al aparecer la
corriente, dΦ/dt↑↑=>u ↑↑.
Mucha oposición al paso
de i.
En régimen permanente,
u=0. Poca oposición al
paso de i.
Carga y descarga de una bobina
1. Antes de cerrar: UL=0
2. Primer transitorio: La bobina se carga 
y entre sus terminales aparece 
tensión: por la resistencia circula 
corriente
2. En régimen permanente UL=0
3. Segundo transitorio: La bobina se 
descarga por la resistencia (se 
comporta como una fuente de 
corriente)
Primer transitorio. 
Cierre.
Segundo transitorio. Apertura.
Potencia y energía
dt
di
Lititutp  )()()(
•Energía almacenada entre 0 y t
0
2
1
)(
0
2
0
 
tt
Lidt
dt
di
LidttpW (Suponiendo que i(0)=0)
La energía almacenada es siempre mayor o igual que cero. Si la 
bobina cede potencia lo hace a expensas de la energía previamente 
almacenada => Es un elemento pasivo.
La potencia puede ser > ó < que 0 => 
la bobina absorbe o cede potencia
Asociación de bobinas en 
serie y en paralelo
Neq LLLL
1
...
111
21

u
i1 ii2 iN



N
k
kNeq LLLLL
1
21 ......
u1 u2 uN
u
. . . .
i
Resumen elementos pasivos
dt
tdi
Ltu
)(
)( 
dt
tdu
Cti
)(
)( 
t
t
dtti
C
tutu
0
)(
1
)()( 0
)()( tRitu  )()( tGuti 
dttu
L
tii
t
t

0
)(
1
)( 0
• Bobina
• Resistencia
• Condensador
3.2 Introducción. Representación de 
ondas sinusoidales mediante fasores
Corriente alterna 







2
)( 0

tsenUtu
o bien







2
cos

sen
Corriente alterna
   tUtu cos)( 0
u
t

Corriente continua
0)( Utu 
u
t
U0
Características de una onda 
sinusoidal
)cos()(   tYty m
• Ym=Valor máximo= valor de pico=valor de cresta
• y(t)= Valor instantáneo
•T=Periodo= tiempo que se tarda en completar un ciclo completo [s]
•f= Frecuencia= número de ciclos que se describen por segundo=1/T [Hz]
y
t

Ym
T
Características de una onda 
sinusoidal
• = Pulsación; T= 2 => = 2f [rad s-1]
• =Ángulo de fase [rad]
(El ángulo de fase en ocasiones se expresará en grados por comodidad, 
pero no es correcto dimensionalmente)
y
t

Ym
T
)cos()(   tYty m
Desfase relativo
)cos()( um tUtu  
)cos()( im tIti  
u(t)
i(t)
30º -40º
70º
u está adelantada 70 º respecto a i
IU  
Desfase entre u e i
• <0, u en retraso resp. a i
• >0, u en adelanto resp. a i
• =0 “en fase”
• =90º “en cuadratura”
• =180º “en oposición”
Valor medio y valor eficaz
• Valor medio
0)cos(
1
)(
1
00
  tdtYT
tdty
T
Y
T
m
T
medio 
2
1
0
2 m
T
Y
dtty
T
Y   )(
• Valor eficaz
El valor eficaz de una corriente periódica es el valor de una corriente 
continua que al circular por una resistencia R produce en un tiempo T la 
misma cantidad de energía disipada
)cos()(   tYty m
Resumen de notación
• Valor instantáneo: y 
• Valor eficaz: Y
• Valor máximo: Ym
• Fasor: Y
)cos(2)cos()(   tYtYty m
Repaso números complejos

onencial
j
polarbinómica
ezzbjaz
exp
 

1j 1
2j |z|

Im
Re
a
b
Fórmula de Euler:
 jsene j  cos
 senzjzezbjaz j  cos
Análisis de circuitos con 
excitación alterna
uR RiuR tt
t
t
c di
C
u
0
)(
1
dt
tdi
LuL
)(

Ri
dt
tdi
Ldi
C
tu
t
t
 
)(
)(
1
)(
0
tt
Para obtener el valor de i(t) se debe resolver la ecuación diferencial:
dt
tdi
R
dt
tid
Li
Cdt
tdu )()(1)( 2
 i(t)=ih+ip
(Reg. permanente+Reg.transitorio)
+
u(t)
i
uL
uc
Conocemos u(t) y queremos calcular i(t)
RLC uuutu )(
¡Resolución compleja en 
sistemas reales!
Analogía senoides-fasores
En corriente alterna las tensiones y corrientes 
serán funciones sinusoidales del tipo: 
 ( ) 2 cosy t Y t  
Amplitud 
(Ym)
desfase respecto al 
origen
f 2
viene impuesta por la 
fuente de alimentación

Ym
y
t
Las magnitudes de interés son Y y 
Representación fasorial
Vamos a demostrar que existe una correspondencia entre una función 
sinusoidal y(t) y un número complejo Y que se defina como:
)cos(2)(   tYty
YY
Relación entre senoides y 
fasores 
   tYty cos2)(
 jYeY Y multiplicando por ejt
    tjsentYYeeYe tjtjj    cos)(
relación de Euler
   tYe tj   cosRe 2Y2
Una función sinusoidal queda unívocamente representada por su fasor
correspondiente.
Representación fasorial
Re
Im
Ym
0 t
y(t)
tYty cos2)( 

Re(Y)=Y
t=0
Definimos un número complejo Y que gira en el plano complejo a velocidad ω y 
vamos analizando cuanto vale su parte real en los distintosinstantes de tiempo
/2  3/2
t=/2
Re(Y·j)=0
t=
Re(Y·-(1))=-Y
t=3/2 Re(Y·(-j))=0
   tYe tj   cosRe 2Y2
Analogía entre senoides y 
fasores giratorios
• Existe una correspondencia entre una función sinusoidal y un 
vector complejo. 
• Una función sinusoidal es la proyección de un vector giratorio 
sobre uno de los ejes de un sistema coordenado (eje real y eje 
imaginario).
Definición de fasor
Y

Ycos(t+)
YY 






2
mYY
t
• En corriente alterna representaremos las funciones 
sinusoidales u(t) e i(t) mediante fasores equivalentes.
• Se denomina fasor a la cantidad compleja jYeY
Im
Re
Relación entre senoides y 
fasores 
   tYty cos2)(
 jYeY Y multiplicando por ejt
    tjsentYYeeYe tjtjj    cos)(
relación de Euler
   tYe tj   cos2Re Y2
Una función sinusoidal queda unívocamente representada por su fasor 
equivalente
Suma de sinusoides mediante 
sus fasores correspondientes
   221121 cos2cos2)()(   tYtYtyty
Fasores correspondientes
11
Y1Y 22 Y2Y
     
   )cos(Re
ReReRe




tYe
eeee
tj
tjtjtjtj
2YY2
YY2Y2Y2
21
2121
21 YY Y )( 21 YY  angle
Diagrama fasorial
Diagrama en el que se 
representan los fasores 
correspondientes de las 
tensiones y corrientes de un 
circuito en el plano complejo
Fuente: Wikipedia
3.3. Respuesta de los 
elementos pasivos a una 
excitación de tipo sinusoidal. 
Impedancia y admitancia
Relación entre senoides y 
fasores 
   tYty cos2)(
 jYeY Y multiplicando por ejt
    tjsentYYeeYe tjtjj    cos)(
relación de Euler
   tYe tj   cos2Re Y2
Una función sinusoidal queda unívocamente representada por su fasor 
correspondiente
Resumen elementos pasivos
dt
tdi
Ltu
)(
)( 
dt
tdu
Cti
)(
)( 
t
t
dtti
C
tutu
0
)(
1
)()( 0
)()( tRitu  )()( tGuti 
dttu
L
tii
t
t

0
)(
1
)( 0
• Bobina
• Resistencia
• Condensador
Respuesta de los elementos 
pasivos 
• Vamos a analizar la respuesta de los tres elementos 
pasivos (resistencia, inductancia y capacidad) a una 
excitación sinusoidal en el domino del tiempo y en el 
dominio de la frecuencia. 
• Imaginemos que conocemos la corriente que circula 
por cada uno de ellos, que es de la forma:
• Y queremos calcular la tensión entre sus terminales, 
que será del tipo:
 itIti   cos2)(
 utUtu   cos2)(
Respuesta de los elementos 
pasivos
• Buscamos encontrar los valores de U y u en función 
de I, i y los valores de los parámetros R, L y C.
• Los fasores corriente y tensión son: 
   tju etUtu  URe2cos2)( uU U
i IΙ
• A partir de las relaciones entre u(t) e i(t) en cada uno de 
los elementos pasivos determinaremos su respuesta. 
   tj eRe2ωtcosI2i(t) i I
Resistencia
Riu 
 ( ) 2 Re j tu t e  U
 ( ) 2 Re j ti t e  I
     Re Re Rej t j t j te R e R e   U I I
ReR
RIU 
iu  
IU R iu RU  I=> En una resistencia la 
tensión y la intensidad 
están en fase
u(t) i(t)
I
u=i
U
Im
Re
u, i
t
Bobina
dt
di
Lu 
 ( ) 2 Re j tu t e  U
 ( ) 2 Re j ti t e  I
   2 Re Re 2 Re 2j t j t j tdi d de e e
dt dt dt
  
 
   
 
I I Ij
I no depende del tiempo
     tjtjtj eLeLe   IjIjU ReReRe 
ReL
dt
di
Lu  =>
IU Lj º9090  i
jj
iu LeeLjLU
i 

III=>
Bobina
LIU 
º90 iu 
º90 iu LIU 
)( iu  
En una bobina la tensión 
está adelantada 90º 
respecto a la corriente
i(t) u(t)
I
i
U
Im
Re
u
u, i
t
Condensador
dt
du
Ci 
 tjetu URe2)( 
 tjeti IRe2)( 
IU
C
j


 º90
11 90 

  i
jj
iu
C
ee
CC
j
U i 





III=>
   tjtj Cee  UjI ReRe 
dt
du
Ci  =>
ReC
U no depende del tiempo
   tjtjtj ee
dt
d
e
dt
d
dt
du  UjUU Re2Re2Re2 






CUjI =>
i(t) u(t)
Condensador
I
C
U

1

º90 iu 
º90
1
 iu I
C
U 


)( iu  
En un condensador la 
tensión está retrasada 90º 
respecto a la corriente
I
i
U
Im
Re
u, i
t
u= i -90º
Impedancia compleja
• Las relaciones fasoriales U=f(I) en los elementos pasivos son: 
IU R
Resistencia
IU Lj
Bobina
IU
C
j



Condensador El fasor tensión puede expresarse 
como el producto de una cantidad 
compleja por el fasor corriente.
ZU
I+
-
• Impedancia: Cociente entre el fasor tensión y el fasor corriente
Se verifica la “Ley de Ohm en notación fasorial”
ZIU  Z es un número complejo, 
pero no un fasor, ya que no se 
corresponde con ninguna 
función sinusoidal en el dominio 
del tiempo
Impedancia
RR Z
Resistencia
LjL Z
Bobina
C
j
C


Z
Condensador
Z, R y X se expresan en [W]
jXRZ
  RZRe
  XZIm
componente resistiva: “Resistencia”
componente reactiva : “Reactancia”
0 LX L 
0
1

C
XC

Triángulo de impedancias
jX
Z

R Re
Im
jXRZ
cosZR  ZsenX 
R
X
arctg22 XR Z
Impedancia y admitancia
Admitancia jBG 
Z
1
Y
  GYRe
  BYIm
“Conductancia”
“Susceptancia”
Y , G y B se expresan en [S]
GR Y
Resistencia
LjL Y
Bobina
CjC Y
Condensador
jXRZ
Lemas de Kirchhoff en forma 
fasorial
• Primer Lema de Kirchhoff: La suma algebraica de los 
fasores corriente en un nudo es igual a cero.
  0I
• Segundo Lema de Kirchhoff: En un lazo o malla, la 
suma de las elevaciones de tensión de los generadores, 
expresadas en forma fasorial, es igual a la suma de las 
caídas de tensión en las impedancias complejas.
  ZIU
Asociación de impedancias en 
serie y en paralelo
• En régimen sinusoidal permanente es posible agrupar 
elementos pasivos de distinta naturaleza (resistencias, 
inductancias y/o capacidades) una vez que cada uno de 
ellos ha sido caracterizado por su impedancia 
correspondiente.
• Las reglas para determinar las impedancias equivalentes 
de combinaciones de elementos pasivos, son idénticas a 
las estudiadas para los elementos resistivos, sustituyendo 
las resistencias por las impedancias complejas.
Asociación de impedancias en 
serie
• Se dice que dos o más impedancias están en serie si 
por ellas circula la misma intensidad.
Z1 Z2 ZN
U1 U2 UN
U
. . . .
I
eqn21n21n21 IZ)Z...ZI(ZIZ...IZIZU...UUU 
Zeq
U
I
n21eq Z...ZZZ 
Divisor de tensión
• La tensión que cae en cada impedancia es directamente 
proporcional al valor de ésta.
U
Z
Z
Z...ZZ
U
ZIZU
eq
k
N21
kkk 


Z1 Z2 ZN
U1 U2 UN
U
. . . .
I
Asociación de impedancias en 
paralelo
• Se dice que dos o más elementos están en paralelo 
si están sometidos a la misma tensión
Z1 ZNZ2 . . . U
I1 I2 IN
I
U
Z
1
U
Z
1
Z
1
Z
1
I...III
eqn21
N21 
















n21eq Z
1
..
Z
1
Z
1
Z
1

N21eq Y...YYY UYI eqo bien
+
|
UZeq
I
Divisor de corriente
I
Y
Y
I
Z
1
Z
1
I
eq
k
eq
k
k 
1UYI 1 
n21 Y....YY
I
U


I
Y....YY
Y
I
n21
1
1 

Z1 ZNZ2 . . . U
I1 I2 IN
I +
-
Diagramas fasoriales
• El diagrama fasorial de un circuito es la 
representación de sus fasores tensión y 
corriente en el plano complejo. 
•En ocasiones los diagramas fasoriales 
ayudan en el análisis de los circuitos
Diagrama fasorial: circuito RLC serie
U
UR
UL
UC
+
+
+
+
-
-
-
-
I
R
jL
-1/jC
En un circuito serie tomamos I como origen de fases
º0 II
º0º0  RR URIRIU
º90 LILjZLL  IIU
º90
1


 I
CC
j
ZCC

IIU
UL
UC
UR I
UL
UC
UR I
U

• UL>UC => >0 circuito inductivo.
• UL<UC => <0 circuito capacitivo.
•UL=UC => 0 circuito resonante.
¡La suma de módulos no es 
igual al módulo de la suma!
Diagrama fasorial: circuito RX 
paralelo
En un circuito paralelo tomamos U como origen de fases: º0UU
º0
R
U
R
R
U
I
IC
IR U
I

U
+
-
R jX
IR IX
I
jX
X
U
I 
º90
L
X
X
U
I
º90
C
X
X
U
I
Bobina
CondensadorCondensador
IL
IR
U
I

Bobina
3.4. Resolución de circuitos en 
corriente alterna
Análisis de circuitos 
alimentados en C.A.
• Se sustituye el circuito en el dominio del tiempo por 
un circuito en el dominio de la frecuencia.
– Los elementos pasivos se sustituyen por sus impedancias 
complejas correspondientes.
– Las corriente y tensiones en el dominio del tiempo se 
sustituyen por sus fasores correspondientes.
• Se aplican los lemas de Kirchhoff en forma fasorial.
Lemas de Kirchhoff en forma 
fasorial
• Primer Lema de Kirchhoff: La suma algebraica de los 
fasores corriente en un nudo es igual a cero.
  0I
• Segundo Lema de Kirchhoff: En un lazo o malla, la suma 
de las elevaciones de tensión de los generadores, 
expresadas en forma fasorial, es igual a la suma de las 
caídas de tensión en las impedancias complejas
  ZIU
Métodos de resolución de 
circuitos
• Todos los métodos estudiados para la resolución de 
circuitos alimentados en corriente continua, son 
directamente aplicables a circuitos alimentados en 
alterna, trabajando en el dominio de la frecuencia. 
– Método de las corrientes de malla.
– Principio de superposición: Especialmente útil cuando en un 
circuito existen fuentes de distinta frecuencia que actúan 
simultáneamente.
– Teoremas de Thevenin y Norton.
Diagramas fasoriales
• En muchas ocasiones la 
representación de las 
tensiones y corrientes de un 
circuito en diagramas 
fasoriales es de gran ayuda 
a la hora de resolver 
circuitos alimentados en 
corriente alterna. 
3.5 Potencia en alterna
Potencia en un circuito de C.A.
)cos(2)(   tIti
tUtu cos2)( 
u(t)
i(t)
Circuito 
eléctrico
Tomaremos la tensión como origen de fases.
•Si >0 (i retrasada respecto a u): Carga inductiva
•Si <0 (i adelantada respecto a u): Carga capacitiva
Potencia instantánea
   ttUItitutp coscos2)()()(
      coscos
2
1
coscos
      tUIUItUI 2coscoscos2cos
2
1
2
término 
constante
término fluctuante de 
frecuencia doble que 
u e i
Potencia instantánea
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
V,A,W
p(t) u(t) i(t) P
Potencia instantánea
Potencia instantánea
Signo de la potencia
i>0 y u>0 => p>0 i>0 y u<0 => p<0
i<0 y u<0 => p>0 i<0 y u>0 => p<0
¿Cómo puede ocurrir que una carga a veces absorba y otras ceda potencia?... 
Las bobinas y los condensadores consumen potencia en determinados 
instantes (p>0) y luego la devuelven a la fuente (p<0)
22
2
1
2
1
CuLiW 
Potencia media
 


cos
)2cos(cos
1
)(
1
00

 
IU
dttIUIU
T
dttp
T
P
TT
La potencia instantánea se puede expresar como la 
suma de una potencia media y una potencia fluctuante
)2cos()(   tIUPtp
Potencia instantánea
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
V,A,W
p(t) P p(2wt)
Potencia 
media
+ + + ++
- - - - -
Potencia 
fluctuante
Potencia
Potencia activa y reactiva
tsensenIUtIUP  22coscos 
 )2cos()( tIUPtp
    sensen coscoscos
cos IUP
senIUQ 
Definición:
Potencia media = potencia activa 
Potencia reactiva
)2())2cos(1()( tQsentPtp  
Potencia instantánea
)2())2cos(1()( tQsentPtp  
• La potencia instantánea absorbida o generada por un 
circuito consta de dos términos:
– Término constante: P = POTENCIA ACTIVA, igual al valor medio de la 
potencia instantánea.
– Término oscilante de pulsación 2, que a su vez se descompone en 
dos sumandos:
• Amplitud P y pulsación 2
• Amplitud Q, pulsación 2, retrasado 90º
• Amplitud de la potencia fluctuante: “Potencia aparente”.
tP 2cos
tQsen 2
UIS cos IUP senIUQ 
Resumen 
cos IUP
22 QPIUS 
senIUQ 
cos.. 
S
P
pf
• Potencia activa:
• Potencia reactiva:
• Potencia aparente:
• Factor de potencia:
= argumento impedancia compleja
–Cargas inductivas >0 
–Cargas capacitivas <0 
1..0  pf
[W]
[VAr]
[VA]
Potencia en una resistencia
ΙRU
º0
RR Z tUtu cos2)( 
tIti cos2)( 
RIU 
2cos RIUIUIPR  
0 UIsenQR
RR PUIS 
Una resistencia 
únicamente consume 
potencia activa
Potencia en una resistencia
Potencia instantánea
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t
V,A,W
p(t) u(t) i(t) P
)2cos1()( tPtp RR 
La potencia instantánea consumida varía entre 0 y 2·PR
en función de los valores absolutos de u e i
Potencia en una bobina
IωLjU
LjL Z
º90
LLj 
UU
I=> I retrasada 90º respecto a U
IU L º90
0cos  UIPL
022  IXILUIUIsenQ LL 
LL QUIS 
Una bobina consume
potencia reactiva
tUtu cos2)(  )cos(2)(   tIti
Potencia en una bobina
Potencia instantánea
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
V,A,W
p(t) u(t) i(t) P
)2()( tsenQtp LL 
•La potencia instantánea oscila en torno a 0: hay un intercambio 
entre la fuente y la bobina.
•La potencia media es 0.
Potencia en un condensador
I
Cj
1
U
Cj
C

1
Z
º90
1
 CU
Cj


U
I=>
I adelantada 90º respecto a U
I
C
U

1
 º90
0UIcosPC  
0IXI
ωC
1
UIUIsenQ 2C
2
C  
CC QUIS 
Un condensador cede
potencia reactiva
tUtu cos2)( 
)cos(2)(   tIti
Potencia en un condensador
Potencia instantánea
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
V,A,W
p(t) u(t) i(t) P
)2()( tsenQtp CC 
•La potencia instantánea oscila en torno a 0: hay un intercambio 
entre la fuente y el condensador.
•No existe disipación de energía (potencia media es 0).
Conclusión P y Q
• P representa el consumo de potencia en las resistencias 
(P es el valor medio de la potencia disipada).
• Q representa un intercambio de potencia entre las 
bobinas y condensadores y la fuente (Q es una amplitud 
de la potencia intercambiada).
– QC<0=> un condensador cede potencia reactiva
– QL>0=> una bobina consume potencia reactiva
Potencia compleja
carga
i(t)
u(t)
+
)cos(2)(   tIti
tUtu cos2)( 
 II
º0UU
  UIIU º0*IU·S
jQPjUIsenUI  cosS
Se define potencia compleja como:
Triángulo de potencias
Q
P
S

Im
Re
0º<<90º
Q>0 carga inductiva
(P>0, carga)
Q
P
S
-
Im
Re
-90º<<0º
Q<0 carga capacitiva
(P>0, carga)
Teorema de Boucherot
• Principio de conservación de la potencia compleja

I
+
Z1 Z2
I2
I1
  21
*
2
*** SSU·U·U·U·S  IIIII
121
La suma de potencias complejas suministradas 
por las fuentes es igual a la suma de las potencias 
complejas absorbidas por las cargas
U
Importancia del factor de 
potencia
)2())2cos(1()( tQsentPtp  
• P=> potencia media consumida (consumo de potencia en Rs).
• Q=> Amplitud de la fluctuación de potencia entre la fuente y la carga 
(carga y descarga de las bobinas y condensadores).
• Una fuente debe suministrar:
oP. Objetivo. Necesaria.
oQ. Fluctuación de potencia. ¿necesaria?.
• Q contribuye a circulación de corriente por las líneas (con Rp parásita). 
Pérdidas de potencia activa: P=Rp·I
2. 
• Es necesario limitar el consumo de Q.
• Interesa que el f.d.p. sea lo más alto posible.
Inconvenientes de cos pobre
1. Aumenta la corriente consumida.
2. Aumentan las pérdidas en las líneas.
3. Disminuye el rendimiento.
4. Aumenta la caída de tensión en las líneas.
5. Aumenta la potencia aparente consumida.
cos.. 
S
P
pf 22 QPIUS 
Compensación del factor de 
potencia
• Es conveniente trabajar con f.d.p. próximos a la unidad.
• Problema: Cargas típicamente inductivas (p.e., 
motores….).
• Conclusión: necesidad de consumo de potencia reactiva 
para funcionamiento de la mayoría de cargas.
• Es necesario compensar el consumo de potencia reactiva
mediante elementos que:
o No consuman P adicional.
o Cedan Q.
cos.. 
S
P
pf 22 QPIUS 
Condensadores
Compensación de reactiva
cargau(t)
+
P
cos ind
Q
S

P
Se puede colocar un condensador de capacidad C en paralelo con 
la carga que genere parte de la Q consumida
cargau(t)
+
P
cos
P
cos’
Q
S

P
Q’
S’
’
QC
Compensación de reactiva
2CUUIUIsenQ CC  
Potenciareactiva cedida por el condensador
1Csen
2' CUQQQ 
Q
S

P
Q’
S’
’
''  PtgPtgQQ 
)'(2  tgtgPCU 
2
)'(
U
tgtgP
C

 

Capacidad del 
condensador para 
compensar Q