UAX _ Grado en Ingeniería Aeroespacial _ Mecánica _ mecanica_z

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mecanica/3mecanica1314 (2).doc
Mecánica Racional y Analítica (GAE)
Tema 3: Oscilaciones
3.1. Una masa m=2 kg está sometida a la acción de un muelle de constante k=10 kg/m y a un amortiguador de constante C. El sistema está situado sobre un bloque que se mueve hacia la derecha con una velocidad v=5t2 m/s. Sabiendo que el sistema parte del reposo cuando el muelle tiene una elongación nula, calcular:
a) Valor que tiene que tener la constante del amortiguador para que el movimiento sea crítico
b) Ecuación diferencial del movimiento y solución general del mismo.
3.2. Dado el sistema de la figura se sabe que al cabo de 10 s la amplitud se reduce a la mitad. Calcular la masa del bloque:
Datos: C=0,69 Ns/m, k=100 N/m
3.3. Una masa de 400 kg se puede deslizar sin rozamiento sobre una recta horizontal, está unida a un muelle de constante elástica igual a 100000 N/m y existe un amortiguamiento viscoso del que se comprueba que reduce la amplitud a su mitad cada 10 s. Inicialmente está sin velocidad a una distancia de 0,5 m de la posición de equilibrio. Se pide: 
a) Valor del amortiguamiento
b) Ecuación del movimiento y posición al cabo de 40 s
c) Frecuencia de resonancia para una acción exterior armónica y factor de amplificación. 
3.4. Sobre una masa m actúa un amortiguador C=1,609 Ns/m y un muelle de constante k=100 N/m. Sabiendo que parte del reposo con una amplitud inicial de 3 m, se pide calcular:
a) El valor de la masa si la amplitud al cabo de 10 s se ha reducido a la quinta parte
b) La solución del movimiento calculando todas las constantes
3.5 Para el muelle y el bloque que se muestran en la figura, se sabe que un terremoto horizontal produce una aceleración de 5t m/s2. Sabiendo que m= 2 kg y que k=100 N/m, se pide calcular la solución de la ecuación diferencial de movimiento.
3.6. Una masa m=2 kg está sometida a la acción de un muelle de constante k=100 N/m. El sistema está situado sobre un bloque que se mueve hacia la derecha con una aceleración constante a. Sabiendo que el sistema parte del reposo cuando el muelle tiene una elongación de 0,2 m y que al cabo de 0,222 s su velocidad es de 0,71 m/s, calcular a.
3.7. Obtener la ecuación de movimiento del bloque superior de 5 kg de masa, sabiendo que el bloque inferior de masa de 10 kg se mueve con una velocidad igual a 5t m/s. La constante del muelle es k=50 N/m. El sistema parte del reposo en el instante inicial. No hay rozamiento.
3.8. Plantear la ecuación de un sistema amortiguado forzado sabiendo que la masa es de 2 kg, la constante del muelle de 3 N/m, el amortiguador de 20 Ns/m y la fuerza exterior es igual a 
(
)
t
2
sen
5
×
. También se sabe que parte del reposo en x=0. 
3.9. Para el muelle y el bloque que se muestran en la figura, se sabe que un terremoto horizontal produce una aceleración de 5 m/s2. Sabiendo que m= 2 kg y que k=100 N/m, se pide calcular la solución de la ecuación diferencial de movimiento suponiendo que el bloque está apoyado sobre un suelo rugosos de coeficiente (=0,2.
3.10. Una masa de 10 kg se mueve hacia la derecha sometida a la acción de un muelle de k= 50 kg. Se sabe que el suelo es rugoso de ( = 0,5 y que la masa parte con velocidad de 5 m/s cuando el muelle no tiene tensión. Se pide:
a) Ecuación de movimiento
b) Solución de la misma
c) Tiempo que tarda en pararse por primera vez.
d) Distancia a la que se produce esta parada.
3.11. Una partícula de masa m=1 kg está unida a un muelle de constante k =3 N/m y a un amortiguador de constante C=30 Ns/m. Sobre ella actúa una fuerza armónica F(t)=2sen(5t). La partícula está apoyada sobre un suelo rugoso de coeficiente 0,5.
a) Escribir la ecuación diferencial del movimiento. 
b) y su solución, sabiendo que en t=0, x=0 (parte del reposo con velocidad nula) 
3.12. A la pared de un vagón de tren, está unido un muelle de constante k=50 N/m y una masa de 5 kg. El vagón tiene un movimiento horizontal dado por la ley: 
2
2
)
3
(
6
t
t
sen
x
+
=
Si la masa parte pegada a la pared, sin velocidad, calcular
a) La ecuación diferencial de movimiento
b) Máxima longitud alcanzada por el muelle
3.13. Una masa de 100 kg oscila en un plano inclinado 30º debido a la acción de un muelle de constante 50 kg/m y un amortiguador de 0,85 kg s/cm. Si parte en t=0 de la posición de equilibrio y sin velocidad, calcular la ecuación de movimiento así como el valor de todas las constantes.
Repetir el problema para k=0,85 kg s/m.
3.14. Una masa m=1 kg se halla sujeta a un resorte lineal de constante k=100 N/m, con un amortiguamiento viscoso de constante C. El valor de C es tal que, sometido a vibraciones libres, la amplitud del movimiento se reduce a la mitad al cabo de un tiempo T=20ln2 (s). El sistema se halla sometido a una fuerza senoidal de intensidad máxima q. Se pide calcular el factor de amplificación dinámico de resonancia.
NOTA: Se denomina factor de amplificación dinámico al cociente entre la amplitud máxima debida a la carga senoidal y la amplitud estática para una carga q constante
3.15. Una masa m se encuentra oscila en una cuña sobre un plano inclinado 30º debido a la acción de un muelle de constante k. La cuña baja por el plano con una aceleración a=10 m/s2. Escribir la ecuación diferencial de movimiento y su solución. No hay rozamiento.
3.16. Un muelle de constante k= 50 kg/m se encuentra unido a un bloque de masa m = 2 kg que a su vez está en una cuña que desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado 60º. Sabiendo que la partícula parte del reposo se pide las ecuaciones diferenciales del movimiento y la solución de la ecuación diferencial del movimiento.
3.17. Un cubo de arista a y densidad la mitad de la del agua está flotando con la cara superior horizontal. Se empuja un poco hacia abajo, sin hundirlo del todo, y se suelta sin girarlo, de modo que se mueve siempre con la misma orientación. Calcular la frecuencia de las oscilaciones.
3.18. Un bloque de 4 kg de masa se mueve entre guías verticales suspendido por dos muelles iguales de constante recuperadora elástica k1 = k2 = 50 N/m, como se indica en la figura. Calcular:
a) Ecuación de las pequeñas oscilaciones del sistema.
b) Periodo y frecuencia del movimiento resultante.
c) Velocidad y aceleración máxima del bloque si la amplitud del movimiento es A=60 mm.
d) Determinar la masa que debería tener el bloque para que su periodo de oscilación sea 1 s.
3.19. En la figura mostrada calcular el periodo de oscilación del bloque de masa m
3.20. El sistema de la figura consta de una masa, dos muelles y un amortiguador de características: m =20 kg; k= 50 N /m; k= 70 N /m; C= 80 N s /m
Determinar:
a) Ecuación diferencial del movimiento y su solución general
b) Coeficiente de amortiguamiento crítico, indicando el tipo de amortiguamiento del sistema
c) Frecuencia de la vibración libre y frecuencia de la vibración libre amortiguada
d) Valor del pseudoperiodo justificando su existencia
e) Si inicialmente, la masa se desplaza de su posición de equilibrio estable A = 5 cm , calcular la energía mecánica comunicada inicialmente al sistema indicando si se conserva en el transcurso del movimiento o no
3.21. Disponemos de tres muelles idénticos. 
a) Los unimos en serie, uno a continuación de otro (ver figura), y fijamos uno de los extremos libres al techo, en tanto que del otro extremo suspendemos un bloque de masa m. Cuando duplicamos la masa suspendida, el extremo inferior del conjunto serie desciende una distancia adicional h. ¿Cuánto vale la constante elástica de cada muelle? 
b) Con los tres muelles disponemos ahora un montaje paralelo (cada muelle tiene un extremo unido al techo) y suspendemos una masa 3m. ¿Cuál será la frecuencia de las oscilaciones de este sistema? (figura no incluida).
3.22. La torre de la figura está sustentada por un pilar empotrado en una cimentación que se mueve debido a un terremoto con una aceleración horizontal constante de 5 m/s2. La masa es de 100 kg y el pilar equivale
a la acción de un muelle de 1000 N/m. Si el sistema parte del reposo estando el pilar en posición vertical, se pide calcular el desplazamiento de la masa respecto del terreno al cabo de un tiempo de /5 (s).
3.23. Un bloque de 25 kg se sostiene mediante la disposición de que se muestra. Si el bloque se desplaza verticalmente de su posición de equilibrio hacia abajo, determínense: a) el periodo y frecuencia del movimiento resultante y b) la velocidad y aceleración máximas del bloque si la amplitud del movimiento es 30 mm
3.24. Un equipo tiene un bastidor rígido de masa M sobre una fundación elástica que puede idealizarse como un resorte de constante k que permite únicamente el movimiento vertical, con un amortiguamiento del 5% del crítico. Dentro del bastidor hay un motor cuyo efecto dinámico equivale a 
una masa m con excentricidad e girando a una velocidad angular constante . Se pide:
1) Ecuación diferencial del movimiento
2) Solución general de la ecuación anterior, tanto para el régimen transitorio como para el permanente (pasado suficiente tiempo).
Se considerará que en el instante inicial la masa excéntrica está en la posición inferior con el bastidor en reposo
3) Obtener el valor de  que produce resonancia para la amplitud del movimiento y calcular dicha amplitud resonante
3.25. Un detector de vibraciones simplificadas en un sistema masa-resorte, como se indica en la figura, se usa para medir la aceleración vertical de un tren con movimiento senoidal que tiene una frecuencia vertical de valor (0 rad/s. La masa m, y la constante del resorte k, así como la amplitud del movimiento relativo medida en el instrumento, Ar, son datos. PRIVATE 
Encuéntrese la aceleración vertical máxima del tren. ¿Cuál es la amplitud del movimiento senoidal del tren?
m
k
60º
k1 k2
k 2k
k 
k 
m 
k 
k1 k2
C
m
k 
h
m
k 
k 
6 kN/m 
24 kN/m 
25 kg
3 kN/m 
k
x2
1 Universidad Alfonso X el Sabio
_1286734287.unknown
_1439621230.unknown
__MACOSX/mecanica/._3mecanica1314 (2).doc
mecanica/4mecanica1314-1 (3).doc
R
2
6
5
w
Mecánica racional y analítica
Tema 4: Cinemática del sólido rígido en el plano (Primera parte) 
4.1. Calcular la velocidad del punto B de la barra, la velocidad angular la barra, la aceleración angular de la barra y la aceleración lineal del punto B, sabiendo que la barra desliza por la pared y el disco rueda sin deslizar con velocidad angular ( constante
4.2. El disco de la figura desciende por el plano inclinado rodado sin deslizar con velocidad angular de valor 5t. Calcular la velocidad y aceleración del punto más alto del disco en el instante t=0.
Inclinación del plano 30º
4.3. Un disco de 5 metros de radio rueda sin deslizar con una rotación constante de 2 rad/s sobre otro disco fijo de radio R. La aceleración del CIR vale 16 m/s2.Calcular R. 
4.4. Calcular la relación entre las velocidades angulares, para que la aceleración del punto A no tenga componente según la horizontal
4.5. El disco de la figura rueda sin deslizar en todo momento con velocidad angular constante (. Inicialmente rueda por una recta y luego pasa a rodar sin deslizar por una curva de radio desconocido. Calcular el valor de dicho radio, para que la aceleración del CIR , cuando está en la parte curva sea de 
4.6. Un triángulo rectángulo isósceles desliza con velocidad constante sobre un plano horizontal. Un disco de radio r se apoya ese triángulo y sobre un plano vertical, de forma que no existe deslizamiento en el contacto disco-triángulo.
Se pide:
a) C.I.R. del disco, velocidad angular del disco y velocidad del centro del disco.
b) Velocidad y aceleración del punto más alto del disco.
4.7. En el mecanismo plano de la figura, el disco de centro O y radio R rueda sin deslizar sobre la recta fija r, siendo v la velocidad de su centro. Una semirrecta AB se mueve en el mismo plano, rodando sin deslizar sobre el disco anterior y describiendo el punto A la recta r. Se pide:
a) Centro instantáneo de rotación del movimiento absoluto de la semirrecta
b) Velocidad angular de dicha semirrecta
c) Velocidad absoluta del punto A
d) Aceleración angular de la semirrecta AB
e) Aceleración absoluta del punto A
4.8. En el instante representado en la figura, el disco rueda sin deslizar con 2 rad/s y 3 rad/s2, ambas horarias. Calcular la aceleración del punto B de la barra AB en ese instante, sabiendo que se mueve por una recta horizontal.
Radio = 1 m. Longitud de AB = 2 m.
B se encuentra sobre la deslizadera.
El ángulo de inclinación de la barra es de 30º.
4.9. Un disco de radio r rueda da sin deslizar con una rotación constante ( según se muestra en la figura, pasando por las posiciones A y B. Calcular la relación entre la aceleración del CIR en la Posición A y la aceleración del CIR en la Posición B
4.10. Dos discos iguales de radio r ruedan sin deslizar con una rotación constante ( según se muestra en la figura. Calcular la relación entre la aceleración del CIR entre los dos discos, para las posiciones dadas.
4.11. Dos discos de radio r ruedan sin deslizar con una rotación constante ( según se muestra en la figura. Calcular la relación entre la aceleración del CIR para los dos discos cuando están situados respectivamente en la Posición A y en la Posición B de la figura
4.12. Dos discos de radio r ruedan sin deslizar con una rotación constante ( según se muestra en la figura. Calcular la relación entre la aceleración del CIR para los dos discos cuando están situados respectivamente en la Posición A y en la Posición B de la figura.
4.13. Dos discos de radio r ruedan sin deslizar con una rotación constante ( según se muestra en la figura. Calcular la relación entre la aceleración del CIR para los dos discos cuando están situados en la Posición A y en la Posición B de la figura
4.14. Dos discos de radio r ruedan sin deslizar con una rotación constante ( según se muestra en la figura. Calcular la relación entre la aceleración del CIR para los dos discos cuando están situados en la Posición A y en la Posición B de la figura
45º
v
Posición A
Posición B
r
3r
3r
r
Posición A: Disco 1
Posición B: Disco 2
r
4r
4r
r
Posición A: Disco 1
Posición B: Disco 2
r
4r
r
Posición A: Disco 1
Posición B: Disco 2
4r
r
r
Posición A: Disco 1
Posición B: Disco 2
R
r
r
Posición A: Disco 1
Posición B: Disco 2
2R
r
r
4
_1307263098.unknown
__MACOSX/mecanica/._4mecanica1314-1 (3).doc
mecanica/axoides.pptx
EJEMPLOS DE AXOIDES
MECÁNICA RACIONAL Y ANALÍTICA
GRADO EN INGENIERÍA AEROESPACIAL
Dra Laura Abad Toribio
‹Nº›
2009/2010
Nombre Autor
1
Z fijo
Z ’ móvil
Cono rodando sin deslizar sobre cono
En el transcurso del movimiento del sólido, el eje instantáneo modifica su posición con respecto a un referencial de ejes fijos en el espacio XYZ, generando una superficie reglada que recibe el nombre de  AXOIDE FIJO, Por otra parte, el eje instantáneo, en su movimiento con respecto a un SR de ejes ligados al sólido X’Y’Z’, genera otra superficie reglada que recibe el nombre de AXOIDE MÓVIL. En cada instante, ambos axoides deben tener una recta común, que es el eje instantáneo correspondiente a dicho instante (EIR), de modo que ambos axoides son tangentes a lo largo de la recta mencionada
FIGURA 1
‹Nº›
2
EIR

.

.
Z
Z ’
Los dos axoides son conos del mismo semiángulo que los conos iniciales

AXOIDE FIJO
AXOIDE MÓVIL
La precesión es el giro respecto del eje Z fijo
La rotación propia o spin el giro respecto a Z’ móvil
El eje instantáneo de rotación contiene a la velocidad angular del sólido 
‹Nº›
3
Z
Z ’
Cilindro rodando sin deslizar sobre cono apoyado en superficie horizontal
FIGURA 2
‹Nº›
4
EIR

.

.
Z
Z ’
Los dos axoides son conos de semiángulo diferente
En realidad habría que dibujar la parte superior, pero lo hemos representado así para ver mejor el dibujo

AXOIDE FIJO
AXOIDE MÓVIL
‹Nº›
5
Z
Z ’
Cono rodando sin deslizar sobre cilindro apoyado en superficie horizontal
FIGURA 3
‹Nº›
6
EIR

.

.
Z
Z ’
Los dos axoides son conos de semiángulo diferente

AXOIDE FIJO
AXOIDE MÓVIL
‹Nº›
7
Z
Z ’
Disco unido a varilla horizontal con punto fijo A, que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal
A
FIGURA 4
‹Nº›
8
Z
Z ’
AXOIDE FIJO
AXOIDE MÓVIL
EIR


.
.

Los dos axoides son conos de semiángulo diferente
A
‹Nº›
9
Z
Z ’
Disco unido a varilla con punto fijo, que rueda sin deslizar sobre superficie horizontal
A
FIGURA 5
‹Nº›
10
Z
Z ’
EIR
AXOIDE FIJO
AXOIDE MÓVIL

.

.

A
Los dos axoides son conos de semiángulo diferente
‹Nº›
11
Z
Z ’
Cono que rueda sin deslizar sobre superficie horizontal
FIGURA 6
‹Nº›
12
Z
Z ’
El axoide móvil es un cono y el axoide fijo es un plano
EIR
AXOIDE FIJO
AXOIDE MÓVIL


.
.

No siempre los axoides son conos
13
Z
Z ’
Cilindro que rueda sin deslizar sobre superficie horizontal. El cilindro tiene un extremo fijo A
A
FIGURA 7
‹Nº›
14
A
Z
Z ’
El axoide fijo es un cono y el móvil es un plano


EIR
.
.

AXOIDE FIJO
AXOIDE MÓVIL
No siempre los axoides son conos
‹Nº›
15
Z
Z ’
A
Este cono tendría los mismos axoides que el cilindro anterior
FIGURA 8
‹Nº›
16
Z
Z ’
A
Este cono tendría los mismos axoides que el cilindro anterior
AXOIDE MÓVIL
AXOIDE FIJO
.



.
‹Nº›
17
Esfera dentro de un cilindro
Z
Z ’
FIGURA 9
‹Nº›
Z
Z ’
AXOIDE MÓVIL
AXOIDE FIJO

.
.


EIR
Los dos axoides son conos de semiángulo diferente
‹Nº›
Cono dentro de un cilindro
Z
Z ’
FIGURA 10
‹Nº›
El axoide fijo es un plano, el axoide móvil es un cono
EIR
Z
Z ’
AXOIDE FIJO
AXOIDE MÓVIL



.
.
No siempre los axoides son conos
‹Nº›
Cono rodando sobre cilindro
Z
Z ’
FIGURA 11
‹Nº›
Z
Z ’
FIGURA 11


.
.
AXOIDE FIJO
AXOIDE MÓVIL
‹Nº›
Esfera rodando sin deslizar sobre cilindro
FIGURA 12
Disco dentro de cilindro
FIGURA 13
¿Sabría dibujar los axoides?
‹Nº›
FIGURA 14
¿Sabría dibujar los axoides?
A
FIGURA 15
A
Varilla
Disco
Varilla
Disco
Triángulo
Esfera
FIGURA 16
‹Nº›
__MACOSX/mecanica/._axoides.pptx
mecanica/AXOIDES[1] (2).pdf
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. CONTINUACIÓN: AXOIDES 
Problema 1: 
Un cono de revolución de semiángulo 30° y radio de la base R se mantiene tangente a un cilindro fijo de 
revolución y radio R de forma que se cumple en todo instante que: 
a. Los dos ejes (el del cono y el del cilindro) son coplanarios, de forma que alguna generatriz del 
cilindro coincide con alguna generatriz del cono. 
b. La circunferencia de la base del cono no desliza sobre el cilindro 
c. El vértice del cono se mantiene a una velocidad v 
d. Se pide 
e. Los axoides 
f. Aceleración del vértice 
g. Componente de pivotamiento de la rotación 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 
Sobre un disco horizontal que gira con una velocidad angular Ω alrededor de su eje, rueda sin deslizar un cono 
de semiángulo 30°, con una rotación ω alrededor del suyo propio. Calcular la relación entre las dos rotaciones 
para el axoide fijo sea un cono de semiángulo cónico 45°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ω 
ω 
Problema 3 
El sólido de la figura rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal (fija) manteniendo fijo el punto A. Está 
compuesto de una varilla delgada de longitud 2R y masa M y un disco de radio R y masa M. 
a) Calcular los axoides 
b) Calcular la relación entre la precesión y el spin 
c) Sabiendo que la velocidad de centro del disco es v, se pide ahora 
La velocidad angular 
La aceleración angular 
La aceleración del centro del disco 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 
El sólido de la figura rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal (fija) manteniendo fijo el punto A. Está 
compuesto de una varilla delgada de longitud 2R y masa M y un disco de radio R y masa M. 
a) Calcular los axoides 
b) Calcular la relación entre la precesión y el spin 
 
 
 
 
 
Problema 5 
Por el interior de un cilindro de radio R fijo rueda, pivota y desliza un cono cuya 
sección meridiana es un triángulo rectángulo en V. Ambas superficies tienen en 
todo momento una generatriz común, habiendo deslizamiento en todos los 
puntos de la misma a excepción de A, en el que existe solamente rodadura y 
pivotamiento. Sabiendo que el punto A gira alrededor de OZ, con ω . Se pide: 
1) Hallar el Eje Instantáneo de Rotación 
2) Hallar el vector rotación y las velocidades de rodadura y pivotamiento. 
3) Axoides 
4) Aceleración del punto A del cono. 
2R 
R 
A 
60° 
A 
2R 
R 
 
Problema 6 
Una esfera de radio 10 cm da vueltas en el fondo de un cilindro hueco de 
diámetro 40 cm de tal manera que es tangente en todo instante a la base del 
cilindro y a su pared lateral interiormente. No hay deslizamiento en ninguno 
de los puntos de contacto. La esfera da una vuelta alrededor del fondo del 
cilindro, cada segundo. Calcular los axoides fijo y móvil del movimiento de 
la esfera y la velocidad del punto de ella situado en el eje del cilindro. 
 
 
 
 
 
Problema 7 
El cono de la figura de radio R y altura R se mueve de manera que el vértice A recorre una circunferencia fija 
de radio R, situada en el plano horizontal a una altura R. La velocidad del vértice es constante y de valor v. 
Además, la base del cono que se mantiene vertical en todo momento rueda sin deslizar por un plano 
horizontal. Se pide 
a) Axoides 
b) Relación entre precesión y spin 
c) Aceleración angular del cono 
d) Aceleración del punto de contacto entre el cono y el plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
R 
R A 
 
Problema 8 
 
Una esfera de radio r y centro C puede girar alrededor de una barra que la atraviesa diametralmente tal y 
como muestra la figura. La esfera debe permanecer tg a un plano fijo rodando sin deslizar sobre él. El 
extremo A de la barra se sujeta a un eje fijo y se hace solidario al mismo de forma que se constituye un 
sólido rígido que se hace girar con una velocidad angular w constante alrededor del eje. Se pide: 
Calcular y dibujar los axoides del movimiento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
 
 
2r 
__MACOSX/mecanica/._AXOIDES[1] (2).pdf
mecanica/catenarias (4).pdf
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES. APLICACIÓN A LAS CATENARIAS 
 
1. INTRODUCCION 
 
La flexibilidad de los hilos hace que su estudio difiera en cierto modo de los sistemas discretos 
considerados hasta ahora en el curso de Mecánica. Uno de los objetivos principales del 
estudio de los hilos será determinar la configuración que adoptan, a priori desconocida. 
Sin embargo, resulta apropiado su estudio en el ámbito de la mecánica de sistemas rígidos ya 
que comparten una propiedad esencial: las fuerzas internas (las que no permiten la extensión 
del cable) no desarrollan ningún trabajo.
En este aspecto crucial se diferencian de los sistemas 
deformables y estructurales, en los que se produce una energía de deformación interna bajo 
carga. 
 
Las características que definen los hilos flexibles e inextensibles y se admiten como hipótesis 
de partida son las siguientes: 
1. Sección despreciable. Se considera que el hilo posee una dimensión predominante, mucho 
mayor que los otros dos, por lo que puede ser idealizado según una línea, sin sección 
transversal. Tan sólo será necesario considerar esta sección a efecto de calcular su peso 
específico o peso propio por unidad de longitud, q, en función de la sección transversal y su 
densidad (si la sección es circular, la longitud es superior al radio) 
2. Flexibilidad perfecta. El hilo no resiste esfuerzos de flexión, y por lo tanto tampoco de corte. 
Tan sólo resiste esfuerzos en dirección tangencial o longitudinal. 
3. Inextensibilidad. Cuando está sometido a tracción, el hilo es lo suficientemente rígido (en 
dirección longitudinal) como para que se pueda despreciar su extensibilidad. Por el contrario, 
sometido a compresión, el hilo no ofrece resistencia y se arruga. 
 
 
Estas hipótesis son por supuesto una idealización que conforma el modelo de hilos flexibles 
inextensibles al que se ciñe este capítulo. En circunstancias reales, los cables o cuerdas no 
cumplen exactamente ninguna de las hipótesis anteriores; sin embargo, en numerosos casos 
prácticos es suficientemente válida esta idealización. 
 
2. ECUACIÓN VECTORIAL DEL EQUILIBRIO 
 
El hilo queda definido por su curva directriz, 
r(s), que supondremos parametrizada en 
función de la longitud de arco s de la 
misma. En un punto dado del hilo definido por 
s podremos considerar una sección normal A, 
en la cual definimos como cara frontal A+ la 
que está orientada en sentido de s creciente, 
y cara dorsal A− la orientada en sentido de s 
decreciente. 
 
 
 
Si se considera el hilo cortado por esta sección (ver figura), la parte que queda por detrás 
queda limitada por la sección frontal A+, en la que el efecto del hilo por delante que se ha 
eliminado puede sustituirse por una fuerza T que se denomina tensión. Si por el contrario se 
considera la parte del hilo por delante, queda limitado por la sección dorsal A−, sobre la que el 
resto del hilo produce una fuerza −T, de forma que esté en equilibrio con T. En principio T 
podría llevar cualquier dirección, aunque como veremos más abajo su dirección será tangente 
al propio hilo. Por otra parte, debe ser siempre T > 0 de forma que corresponda a una tracción, 
T < 0 correspondería a un esfuerzo de compresión que no puede ser resistido. 
 
Consideremos ahora un elemento PQ del hilo (ver figura), de longitud infinitesimal ds. El punto 
P corresponde a s y el punto Q a (s + ds). La sección en P será dorsal y la sección en Q frontal. 
Sobre el hilo actúa una carga continua q por unidad de longitud. Al cortar el elemento de 
hilo por los puntos P y Q, el equilibrio del mismo queda garantizado por la tensión del hilo en 
cada extremo. 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
 
En primer lugar, 
establecemos el equilibrio 
de fuerzas sobre este 
elemento de hilo. 
 
Las fuerzas que actúan sobre 
el mismo son: 
Tensión en P: (−T ) 
Tensión en Q: (T + dT ) 
Cargas externas: (qds) 
 
Expresando vectorialmente dicho equilibrio, la resultante de las fuerzas aplicadas deber ser 
nula. Por tanto: 
−T + (T + dT ) + qds = 0 
 
de donde resulta la ecuación vectorial del equilibrio: 
 
 
 
 
dr = ds t≈PQ, siendo t el vector unitario tangente al hilo 
 
Para completar las condiciones de equilibrio, expresamos la anulación de los momentos en Q 
(en estática, recordamos que también la suma vectorial de momentos debe ser cero). 
 
 
 
 
donde hemos supuesto que la resultante de cargas exteriores (qds) actúa en un punto 
intermedio del elemento, definido por (−ξdr) desde Q, siendo ξЄ(0,1). Prescindiendo de 
infinitésimos de 2º orden, resulta 
 
 
 
De aquí se deduce que la tensión ha de ser tangente al hilo 
 
 
Expresemos ahora la ecuación del equilibrio en función de 
sus componentes en el triedro de Frenet. La denominada 
fórmula de Frenet permite expresar la derivada de la tangente 
como: 
 
 
, 
siendo n la normal principal y R el radio de curvatura. 
 
 
La tensión lleva la dirección de la tangente, quedando definida 
por un escalar T de forma que T= Tt (recordamos que t es el 
vector unitario tangente, indicado en la figura) 
 
Sustituyendo en la ecuación del equilibrio: 
dT + qds = 0 
(dT/ds) + q = 0 
(−dr) ^(−T ) − ξdr ^ qds = 0 
dr ^ T = 0 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
 
 
Podemos extraer de esta última expresión las componentes según las direcciones del triedro. 
 
Denominando (qt, qn, qb) las componentes de q según cada una de las direcciones tangente, 
normal y binormal: 
 
 
 
Observaciones: 
• La componente qb según la binormal es nula. Esto quiere decir que el hilo adopta una 
configuración que contiene a la fuerza q en su plano osculador, definido por los 
vectores (t,n). 
• Si no existe componente tangencial de la fuerza aplicada (qt = 0), la tensión del hilo se 
mantiene constante. 
• Si además la fuerza normal (qn) es constante, el radio de curvatura adoptado será 
también constante, resultando una circunferencia como configuración de equilibrio del 
hilo. 
 
 
3. ECUACIONES EN COORDENADAS CARTESIANAS 
 
Definimos los vectores siguientes: 
 
 
Considerando que la tensión se puede expresar 
como T = Tt, las ecuaciones de equilibrio se 
pueden escribir ahora como tres ecuaciones 
escalares (las que se muestran a la izquierda del 
texto).. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
 
 
4. CASOS DE FUERZAS CONSERVATIVAS 
Supongamos que q, fuerza aplicada por unidad de longitud del hilo, se puede obtener de un 
potencial V: 
 
q = −grad(V); dV = −q · dr 
 
Puesto que q es una fuerza por unidad de longitud, V tiene la dimensión de energía por unidad 
de longitud, es decir de fuerza. 
 
Proyectemos la ecuación vectorial (dT/ds) + q=0 en la dirección tangente: 
 
dT · t + qds · t = 0 → dT + q · dr = 0; → dT -dV = 0→ dT=dV 
 
T = V + h , siendo h es una constante de integración arbitraria. 
 
Esta expresión es de gran utilidad práctica, puesto que permite de forma muy sencilla obtener 
la tensión en cada punto del hilo. 
 
5. EJEMPLO: HILO HOMOGÉNENO SOMETIDO A SU PROPIO PESO EN UN CAMPO 
GRAVITATORIO SIMPLIFICADO. CATENARIA 
 
Sea el peso de valor q por unidad de 
longitud del hilo (ver figura). El potencial 
gravitatorio es: 
V = qy, 
siendo “y” el eje vertical por lo que 
aplicando la expresión T = V + h 
obtenemos la tensión en cada punto del 
hilo como: T = qy + h 
 
En la práctica conviene elegir un origen de 
coordenadas de forma que se anule la 
constante arbitraria h. Esto se consigue 
situando el origen a una distancia a = T0/q 
por debajo del vértice o punto más bajo de la curva de equilibrio, siendo T0 la tensión del hilo en 
dicho vértice. Así resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Denominamos las componentes vertical y horizontal de la tensión TV y TH respectivamente 
 
Si el peso del hilo por unidad de longitud es q, el campo de fuerzas será q = −qj, por lo que: 
dTV = qds 
integrando: 
 
 
 
donde se ha elegido como origen de arcos (s = 0) el vértice o punto más bajo de la curva, con 
tangente horizontal (TV = 0). 
 
La tensión total es : 
 
 
T = qy es la tensión total del hilo 
 
T0=qa es la tensión horizontal 
 
a es el parámetro de la catenaria. 
TV = qs; TH = T0 (cte) 
T = qy 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
que se puede escribir como: 
 
 
El origen de coordenadas se ha elegido a una distancia a por debajo del vértice
de la curva, de 
forma que la tensión más baja, en el punto de tangente horizontal, vale 
 
 
 
 
De las expresiones anteriores se deduce la relación 
 
. 
 
 
Esta condición es una propiedad que cumple la curva de equilibrio del hilo, denominada 
catenaria. 
 
La determinación precisa de la ecuación de la catenaria se realiza a continuación 
 
Como ya hemos dicho se denomina CATENARIA a la curva de equilibrio que adopta un hilo 
uniforme sometido a su propio peso. 
 
Supongamos que éste vale q por unidad de longitud, es decir: 
q = −qj. 
 
Tomando el eje y como vertical y el eje x horizontal, las ecuaciones cartesianas del equilibrio 
con Fx = 0 y FY = −q son: 
 
De la primera ecuación: 
 
Aplicando la regla de la cadena a la segunda ecuación: 
 
 
en función de T0 
 
Reorganizando términos y aplicando de nuevo la regla de la cadena, 
T0 = qa 
y2 = s2 + a2 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
 
Llamando a = T0/q (parámetro de la catenaria) y y’ = dy/dx, y considerando 
 
la ecuación se convierte en la siguiente: 
 
 
La primitiva de esta expresión es: a senh−1(y’). Integrando con la condición inicial que 
corresponde a situar el origen de abscisas en el vértice o punto de tangente horizontal, 
 
 
se obtiene: 
. 
 
e integrando de nuevo con la condición inicial (y(x=0)=a), resulta finalmente: 
 
 
Obtengamos ahora la longitud del arco de la catenaria entre dos puntos dados. Para ello, 
integramos el elemento infinitesimal de arco ds : 
 
ds2=dx2+dy2=dx2(1+y’2)=dx2(1+senh2(x/a))= dx2 cosh2(x/a) 
 
Por tanto, el arco s medido entre el vértice (x = 0) y un punto cualquiera de abscisa x es: 
 
 
 
 
MUY IMPORTANTE, muchas veces en los problemas de HILOS, las fuerzas se operan en kg 
si el peso unitario q viene expresado en kg/m. 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
 
 
 
6. CONFIGURACIÓN DE EQUILIBRIO DEL HILO 
 
Hay que dar el parámetro de la catenaria, a, la luz, y la flecha 
 
 
 
7. TIPOS DE APOYOS QUE APARECEN EN LOS PROBLEMAS DE HILOS 
 
8. PÉRDIDA DEL EQUILIBRIO 
 
Los cuerpos pueden perder el equilibrio de varias formas: 
 
- Deslizando (∑ = 0

F ) 
- Volcando (∑ = 0

M ) 
Flecha= yB-yA 
Flecha= xB-xA 
B 
A 
Longitud=SB-SA 
FIGURA BÁSICA 
POLEA: Iguala tensiones totales 
 
 
 
Tv 
N To 
P 
Deslizadera lisa con peso 
To N 
Deslizadera lisa sin peso 
T 
T’ 
T’ To 
CARRITO: Iguala tensiones horizontales 
To 
P 
Deslizadera rugosa con peso 
Tv 
N 
Tv 
Fr, dependerá del sentido del movimiento 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
- El bloque puede deslizar y volcar (Equilibrio estricto) ∑ = 0

F y ∑ = 0

M 
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mecanica/Cinemáticasólidoextra.pdf
 
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1 
Mecánica Racional y Analítica (GAE) 
MÁS EJEMPLOS DE CINEMÁTICA DEL SÓLIDO 
RÍGIDO 
 
Problema 1 
La hélice de un avión gira a razón de ω r ad / s , en tanto que el 
avión tiene una velocidad horizontal, s egún e l d ib ujo de v m/s . 
Determinar la velocidad y aceleración del punto O señalado en la 
figura situado a una distancia L del centro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 
Un disco de radio R está girando alrededor de su eje de 
simetría con velocidad angular ω y aceleración angular α. 
Simultáneamente, el disco está girando, con velocidad 
angular constante Ω, alrededor del eje z de la figura. 
Determinar la velocidad y aceleración del punto P del 
perímetro del disco (ver figura). 
 
 
 
 
 
Problema 3 
En el esquema que se muestra en la figura, el brazo tiene una 
longitud l y está girando alrededor de un eje fijo que pasa por 
O. En un instante dado, su velocidad angular es ωb y su 
aceleración angular αb. El otro extremo del brazo arrastra un 
disco de radio R, que rueda sin deslizar por el interior de 
una pista fija. 
a) Determinar la velocidad lineal y la aceleración lineal del 
punto C de la barra en ese instante. 
b) Determinar el CIR del disco y la velocidad angular del disco. 
c) Determinar la velocidad del punto A. 
 
Problema 4 
La varilla AC de figura tiene un movimiento plano tal que su extremo 
A desliza a lo largo de un eje horizontal, en tanto que la varilla pasa 
por un pasador fijo y orientable (B) situado a una distancia fija h del 
eje horizontal. Supongamos que el extremo A de la varilla se 
mueve con velocidad constante v según el dibujo 
a) Calcular la velocidad angular de la varilla. 
b) Calcular la velocidad del punto de la varilla que se 
encuentra en B. 
c) Calcular la aceleración del punto A 
d) Calcular la aceleración normal del punto B 
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1 
Mecánica Racional y Analítica (GAE) 
Tema 2: Dinámica de la partícula 
INTRODUCCIÓN 
 
Dinámica: Parte de la mecánica que estudia las leyes que determinan el movimiento de los cuerpos. 
Sus objetivos son dos: encontrar las causas que lo provocan y predecir su evolución. En este 
capítulo nos centraremos en la dinámica clásica o newtoniana, válida para objetos macroscópicos 
que se mueven a velocidades mucho menores que la de la luz en el vacío (c = 299792458 m/s). 
 
 
INTERACCIONES 
 
El movimiento de un sistema se ve influido por la presencia de otros, y viceversa. Esta influencia 
mutua se conoce como interacción. En la vida diaria se observan multitud de interacciones fricción, 
peso, viscosidad, tensiones... 
 
 
SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES 
 
El movimiento de una partícula parece distinto según se observe desde un SR u otro. 
 
Definimos un tipo especial de SR, que llamaremos Sistema de Referencia Inercial (SRI) como 
aquel en el cual todas las partículas libres se mueven con velocidad constante (que en particular 
puede ser nula) o lo que es lo mismo, con aceleración nula. En un SRI las partículas libres o están 
en reposo o se mueven en línea recta con vr constante. La tendencia de las partículas a moverse con 
v
r constante en los SRI se conoce como principio de inercia (resistencia al cambio). 
 
• Si S es un SRI y S’ otro SR, cuyo origen se mueve con velocidad uniforme V
r
y cuyos ejes no 
giran respecto a S, entonces S’ también es inercial. 
• Si vr es la velocidad de la partícula libre observada desde S, la velocidad v ′r observada desde S’ 
es: constante=−=′ Vvv
rrr
 
• Por tanto existen infinitos SRI, cuyos orígenes se mueven con velocidad relativa constante 
y que no giran unos respecto a otros (de modo que en dos SRI S y S’ las aceleraciones a
r
y 
a ′r de una partícula son iguales). 
• Supongamos que desde un SRI observamos dos partículas que interaccionan entre sí, pero 
están aisladas del resto del Universo. Como ya no son libres, sus velocidades 1v
r
y 2v
r
no 
serán constantes. Experimentalmente se observa que asociada a cada partícula existe una 
propiedad escalar llamada masa inercial m, positiva, tal que la siguiente expresión permanece 
constante en un SRI: constante2211 =+ vmvm
rr
 
 
MOMENTO LINEAL (CANTIDAD DE MOVIMIENTO) 
 
Se define el momento lineal (o cantidad de movimiento) de una partícula como el producto de su 
masa por su velocidad: vmp
rr ⋅= Como 0>m , pr es un vector que tiene la misma dirección y 
sentido que la velocidad y su módulo es m veces mayor. En el S.I. el momento se mide en
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2 
1smkg −⋅⋅ . Se puede expresar ahora la ley de inercia diciendo que una partícula libre se mueve 
siempre con momento constante. 
 
• En forma general este principio se puede enunciar diciendo que el momento total de un sistema 
aislado de partículas es constante constante...321
1
=+++==∑
=
ppppP
N
i
i
rrrrr
. 
• Suponiendo que la masa es constante, podemos expresar el cambio en el momento de una 
partícula en un tiempo t∆ como: ( ) vmvmp rrr ∆=∆=∆ . Para dos partículas: 21 pp
rr ∆−=∆ 
 
 
FUERZA 
 
Se llama fuerza neta que actúa sobre una partícula al cambio respecto al tiempo del momento de 
una partícula:
 dt
pd
F
r
r
= 
Si la partícula es libre , ctep =r y 0
rr
=F . 
 
2112 FF
rr
−= donde 12F
r
es la fuerza sobre la partícula 1 debido a su interacción con la partícula 2 y 
21F
r
es la fuerza sobre la partícula 2 debido a su interacción con la partícula 1. 
 
dt
vd
mv
dt
dm
dt
vmd
F
r
r
r
r
+== )( . La gran mayoría de los sistemas tienen masa constante con lo que 
el primer término del sumatorio sería nulo. Sin embargo en ciertos casos la masa varía con el 
tiempo 
 
• Ejemplo: El caso más simple es el ejemplo de la gota de agua, mientras cae la humedad 
puede condensarse en su superficie o el agua puede evaporarse resultando un cambio en la 
masa. Otro ejemplo sería el movimiento de un cohete. 
Si m es constante: am
dt
vd
mF
r
r
r
== . Como 0>m , la fuerza tiene la misma dirección y 
sentido que la aceleración y el módulo es m veces mayor. 
 
� Observa entonces que la conocida expresión amF r
r
= no siempre es válida 
• Si F
r
es constante 
m
F
a
r
r = es también constante y el movimiento es uniformemente 
acelerado. 
 
 
Si la partícula m interactúa con las partículas m1, m2 ,m3..., cada una produce un cambio en el 
momento de m que es caracterizado por las fuerzas respectivas ,... , , 321 FFF
rrr
El cambio total del 
momento de la partícula m es: FF
dt
pd N
i
i
rr
r
==∑
=1
. Esta fuerza recibe el nombre de resultante 
aplicada sobre m. 
 
 
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3 
En el S.I: la fuerza se mide en N ( 2skgm −⋅⋅ ). En el sistema cgs la unidad de fuerza es la DINA, 
1N=105 dinas. 
 
 
LEYES DE NEWTON 
 
Los principios que hemos ido introduciendo se resumen en las llamadas leyes de Newton: 
 
• Primera ley: Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento uniforme 
rectilíneo en tanto no actúe sobre él una fuerza que le obligue a cambiar de estado. 
 
• Segunda ley: La variación de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza 
motriz aplicada y ocurre en la dirección en que se aplica la fuerza. 
 
• Tercera ley: Para cada acción existe siempre una reacción igual y dirigida en sentido 
contrario, es decir, las acciones mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y dirigidas 
en sentidos contrarios. 
 
PESO 
 
En la Tierra los objetos caen debido a la atracción gravitatoria. Como la Tierra es prácticamente 
esférica, la fuerza que ejerce sobre cualquier partícula está dirigida hacia su centro, y su módulo 
depende de la distancia al mismo. 
 
Llamando M a la masa de la Tierra, R a su radio y n̂ a un vector unitario normal a la superficie 
terrestre y dirigido hacia fuera, la fuerza sobre m será: 
gmn
R
GM
mF
rr ≡⋅




−⋅≈ ˆ
2
 
donde g
r
es la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. (g =9.8 ms-2). 
 
A la fuerza gm
r
se le llama peso de la partícula. Por “g” solemos denotar el valor medio, g cambia 
con la latitud y con la altura. 
 
FUERZAS DE CONTACTO. COEFICIENTE ESTÁTICO Y CINÉTICO. 
 
Cuando las superficies de dos sólidos están en contacto (como el caso de un bloque o un libro 
apoyado en una mesa) aparece una fuerza que dificulta su deslizamiento relativo: es la llamada 
fuerza de contacto. 
 
 
Es práctico separar esta fuerza en sus componentes tangencial 
y normal a la superficie de contacto. La primera se llama 
fuerza de rozamiento rF
r
y la segunda se conoce como fuerza 
normal N
r
. 
 
 
 
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4 
Esta fuerza de rozamiento se llama fricción por deslizamiento y se debe a la interacción entre las 
moléculas de los dos cuerpos, llamada de cohesión si los dos cuerpos son del mismo material y de 
adhesión si los dos cuerpos son de diferente material. 
 
Es proporcional a la normal de presión de un cuerpo sobre otro. La constante de proporcionalidad, 
µ, se llama coeficiente de fricción o rozamiento (adimensional). Tr uNF
rr ⋅−= µ siendo 
vvuT /
rr = el vector unitario en la dirección del movimiento. 
 
Existen dos tipos de coeficientes de fricción, el estático µe tal que al multiplicarle por la normal, nos 
da la fuerza mínima necesaria para poner en movimiento relativo dos cuerpos que están 
inicialmente en reposo, y el cinético µc , tal que al multiplicarse por la fuerza normal nos da la 
fuerza necesaria para mantener dos cuerpos en movimiento uniforme relativo. 
 
µe > µc.. 
 
• Ejemplo: Plano inclinado con rozamiento. Hacemos 
que un bloque de masa m ascienda por el plano 
inclinado (y no se separe del mismo) aplicando una 
fuerza f
r
 formando un ángulo β con la dirección 
paralela al plano. Queremos calcular la aceleración del 
bloque 
Al igual que antes: 
∑
∑
=
=
0y
x
F
maF
 
Ecuación de movimiento: maFmgf r =−− θβ sencos 
En la dirección perpendicular al plano: 0cossen =−+ θβ mgfN . 
 
Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano cuando el bloque asciende por el plano es 
µ ⇒ ( )βθµµ sencos fmgNFr −== 
( ) mafmgmgf =−−− βθµθβ sencossencos 
La aceleración del bloque será: 
( )
m
fmgmgf
a
βθµθβ sencossencos −−−= 
 
� Un error muy frecuente es igualar a la normal a la proyección del peso en esa misma 
dirección. Acabamos de ver que esto no es así en muchos problemas. . 
 
 
FUERZAS SOBRE SÓLIDOS EN FLUIDOS 
 
Cuando un sólido se mueve en el seno de un fluido experimenta fuerzas debido a 
interacciones electromagnéticas (choques) con las partículas del mismo. Comentamos dos de 
ellas, el empuje y la viscosidad. 
 
El empuje es una fuerza opuesta al peso del sólido y cuyo módulo es igual al peso del fluido 
desalojado . Si la densidad del fluido es ρ y el volumen del fluido V, su módulo es ρVg . Se 
suele designar con E
r
. 
 
 
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5 
El rozamiento viscoso se opone al movimiento del sólido en el fluido y depende de la 
velocidad relativa respecto del mismo. Se caracteriza por un parámetro asociado a cada 
fluido llamado viscosidad η (kgm-1s-1) 
 
La fuerza de fricción puede obtenerse suponiendo que es proporcional a la velocidad y 
opuesta a ella: Tr uvF
rr ⋅−= κη , donde el coeficiente κ depende de la forma del cuerpo. 
 
Si el cuerpo se desplaza en un fluido viscoso bajo la acción de una fuerza F
r
, la ecuación de 
movimiento resultante es: mavF =−κη 
 
Suponiendo una fuerza constante la aceleración produce un aumento en v y por tanto en la 
fuerza de fricción. Cuando 0=⇒= avF κη la partícula continúa moviéndose en la 
dirección de la fuerza con una velocidad constante denominada velocidad límite o terminal. 
 
 
FUERZAS ELÁSTICAS 
 
Ley de Hooke: Si sobre un muelle no actúa ninguna fuerza éste tiene una 
longitud natural Lo. Al aplicar una fuerza el muelle se resiste a ser 
deformado debido a la interacción electromagnética entre las partículas 
que lo constituyen. La fuerza necesaria para modificar su longitud 
natural
una cantidad x se llama elongación, es opuesta a ésta y 
proporcional a ella, kxF −= , siendo k la constante elástica del 
muelle. 
 
 
• Ejemplo: El muelle, movimiento armónico simple (lo 
veremos con mucho detalle en el tema siguiente de 
oscilaciones correspondiente a este curso de Mecánica 
Racional y Analítica 
 
 
CUERDAS Y POLEAS 
 
Polea: Dispositivo mecánico de tracción o elevación, formado por una rueda montada en un eje, 
con una cuerda que rodea la circunferencia de la rueda. Tanto la polea como la rueda y el eje 
pueden considerarse máquinas simples que constituyen casos especiales de la palanca. 
 
Suponiendo que la cuerda es inextensible y de masa despreciable 
aparece una fuerza denominada tensión T
r
. 
 
 
 
 
 
 
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6 
Si la polea tiene rotación las tensiones son diferentes y además 
de realizar el sumatorio de fuerzas tendremos que calcular los 
momentos sobre el eje de la polea. 
 
 
 
Un caso especial lo constituyen los denominados tambores rugosos, cuando existe rozamiento entre 
la cuerda y la polea. En este caso, la ecuación que relaciona las tensiones viene dada por la relación: 
βµeTT 12 = . Recordamos que µ es el coeficiente entre las cuerdas sobre la polea. 
 
•••• Ejemplo: En el sistema de la figura calcular las 
tensiones y aceleraciones. Las poleas no giran y no 
hay rozamiento entre la cuerda y la polea. 
 
 
En la polea pequeña, al estar en equilibrio, se 
cumple la ecuación: 2112 202 TTTT =⇒=− 
 
Para el bloque de masa m2: 222 amT = 
 
 
Para el bloque de masa m1: 1111 amTgm =− 
 
12 2aa = 
21
1
111121
112211121
4
22
22
mm
gm
aamamgm
amamgmamTgm
+
=⇒=−⇒
=−⇒=−
 
21
1
2 4
2
mm
gm
a
+
= ; 
21
1
22 4
2
mm
gm
mT
+
= ; 
21
1
21 4
4
mm
gm
mT
+
= 
 
 
MOVIMIENTO CURVILÍNEO 
 
Si la fuerza tiene la misma dirección que la velocidad el 
movimiento es en línea recta. Para producir un movimiento 
curvilíneo la fuerza resultante debe formar un ángulo con respecto 
a la velocidad que proporciona el cambio en la dirección del 
movimiento. 
 
 
En una curva plana: NNTT uFuFF
rrr += 
 
 
 
 
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7 
dt
dv
mmaF TT == es la fuerza tangencial, responsable del cambio en la magnitud de la velocidad. 
 
ρ
2v
mmaF NN == es la fuerza normal responsable del cambio en la dirección de la velocidad, ρ 
es el denominado radio de curvatura (recuerda el tema anterior cuando veíamos las componentes 
intrínsecas de la aceleración) 
. 
 
� Si 0=TF no hay aceleración tangencial y el movimiento es uniforme. 
 
� Si 0=NF no hay aceleración normal y el movimiento es rectilíneo. 
 
� ¿Cuánto valdría el radio de curvatura en un movimiento rectilíneo? 
 
A continuación mostramos algunos ejemplos, para que compruebes la solución, en movimientos de 
este tipo: 
 
�: Movimiento en un círculo horizontal: Péndulo cónico. Una 
partícula de masa m suspendida de una cuerda de longitud L gira 
alrededor de la vertical con velocidad angular ω. La partícula 
describe un círculo de radio θsenLR = y la cuerda engendra la 
superficie de un cono. El movimiento tiene lugar en el aire y no se 
considera ningún tipo de rozamiento. Demuestra que el período de 
oscilación viene dado por la ecuación
g
L θπτ cos2= 
 
�: Péndulo cónico sobre superficie 
horizontal: La partícula de masa m 
suspendida de una cuerda se apoya ahora 
sobre una superficie horizontal sin 
rozamiento y gira alrededor de la vertical 
con velocidad angular ω. La partícula 
describe un círculo de radio θsenLR = y la 
cuerda engendra la superficie de un cono. ¿Se 
modificaría la tensión de la cuerda respecto 
del problema anterior? 
 
 
�: Péndulo cónico sobre superficie cónica, ¿Cómo se modificarían 
las ecuaciones de movimiento respecto a los dos casos anteriores? 
¿Seguiría la partícula describiendo una circunferencia horizontal sobre 
el cono si existiese ahora además aceleración binormal? 
 
 
 
 
 
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8 
� Está claro que para mantener siempre el movimiento de una partícula en trayectoria horizontal 
habría que imponer que el sumatorio de las fuerzas verticales fuese nulo. 
 
 
�: Movimiento en un círculo vertical ¿Es un movimiento 
circular uniforme o no uniforme? ¿por qué? Demuestra además 
que la tensión en el punto más alto viene dada por 






+−=
R
v
gmT
2
 y en el punto más bajo por 






+=
R
v
gmT
2
 
 
 
 
 
COMENTARIOS SOBRE LA REACCIÓN NORMAL 
Nos podemos encontrar dos situaciones distintas en un problema de dinámica de la partícula 
 
• Caso 1: Una partícula moviéndose sobre una superficie fija. En este caso aparece sólo una 
reacción normal, perpendicular a la superficie de contacto 
• Caso 2: ¿Qué ocurriría si la superficie a su vez estuviese girando? Que tendríamos que 
considerar otro término más en la reacción normal, debido justamente a la aceleración de 
Coriolis (recuerda el tema anterior de cinemática de la partícula) 
 
Vamos a ver un ejemplo. 
 
Caso 1: Una partícula de masa m se mueve (insertada) sobre medio aro fijo. Dibujamos las fuerzas 
existentes. Dibujamos las aceleraciones y aplicamos las leyes de Newton. 
 
 
Dibujamos las fuerzas y proyectamos el peso 
en la dirección tangente al aro y en la dirección 
normal al aro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dibujamos las aceleraciones. Como el aro no gira no 
tenemos aceleración de arrastre ni aceleración de Coriolis. 
Sólo existe la aceleración relativa que tendría dos términos 
en el caso más general en el que supongamos que además 
la velocidad lineal no es constante (aceleración relativa 
tangente y aceleración relativa normal). 
 
 
 
m 
θ R 
θ&&R 
2θ&R 
θ& 
θ&& 
m 
θ 
R 
N
 
mg 
θmgsen 
θcosmg
 
θ 
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
 
9 
 
En la dirección tangente al aro: θθ &&mRmg =− cos 
 
En la dirección normal al aro: 
2θθ &mRmgsenN =+− 
 
 
� Observar que se toma como sentido positivo el de las aceleraciones 
 
 
Caso 2: Una partícula de masa m se mueve (insertada) sobre medio aro que a su vez se mueve en 
torno a un eje vertical con velocidad angular ω constante en el sentido indicado en la figura. 
Dibujamos las fuerzas existentes. Dibujamos las aceleraciones y aplicamos las leyes de Newton. 
 
 
Dibujamos las fuerzas y proyectamos el peso en 
la dirección tangente al aro y en la dirección 
normal al aro. Ahora nos aparece otra reacción 
normal N2 (perpendicular al plano) debida a la 
rotación con ω 
 
 
 
 
 
 
Dibujamos las aceleraciones. Como el aro gira tenemos aceleración de arrastre y aceleración de 
Coriolis, además de la aceleración relativa que tendría dos términos en el caso más general en el 
que supongamos que además la velocidad lineal no es constante. Al ser ω constante la aceleración 
de arrastre sería sólo normal. Además tenemos que incluir la aceleración de Coriolis. 
 
La aceleración de Coriolis se calcula con θ&R la velocidad relativa y con ω como velocidad 
angular de arrastre (ver el tema de cinemática de la partícula) 
θωθ senRaCoriolis ⋅⋅⋅= &2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dibujando entonces todas las aceleraciones: 
m 
θ 
R 
1N
 
mg 
θmgsen 
θcosmg
 
θ 
ω 
2N
⊗ 
θ 
 
θ& 
 
���� 
θ&R 
ω 
θ 
θωθ senRaCoriolis
⋅⋅⋅= &2 
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el dibujo anterior además hemos proyectado la aceleración normal de arrastre 2cos ωθ ⋅R en 
la dirección tangente al aro y normal al aro. 
 
En la dirección tangente al aro: ( ) θωθθθ coscos 2 mgsenRRm −=⋅⋅+&& 
 
En la dirección normal al aro: θωθθ mgsenNRRm +−=⋅+ 1
222 )cos( & 
 
En la otra dirección perpendicular al plano: ( ) 22 NsenRm =⋅⋅ θωθ& 
 
� Observar que se toma como sentido positivo el de las aceleraciones 
 
� Observar que si el aro no girase la aceleración de Coriolis sería nula y por tanto lo sería N2. 
 
� Podemos definir un vector reacción normal cuyo módulo sería 2221 NNN += . 
 
� Puedes plantear el mismo ejemplo anterior cuando la ω no fuese constante ¿en qué se 
modificarían las ecuaciones? 
 
TRABAJO 
 
El trabajo diferencial dW realizado por una fuerza F
r
a medida que su punto de aplicación 
experimenta el desplazamiento rdr se define como: rdFdW
rv ⋅= . 
θ&&R 
2θ&R 
θ& 
θ&& 
2cos ωθ ⋅R 
ω 
���� θωθ senR ⋅⋅
&2 
22cos ωθ ⋅R 
2cos ωθθ ⋅⋅ senR 
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
 
11 
 
El trabajo realizado por F
r
a medida que el punto A se mueve de la posición 1 a 2 se obtiene al 
integrar la ecuación anterior a lo largo de la trayectoria: 
 
∫∫ ∫ ⋅⋅=⋅=⋅=
2
1
2
1
cosαdrFrdFrdFW
C
rvrv
 
 
Si F
r
 se divide en sus componentes normales ( )αsen⋅F y tangenciales ( )αcos⋅F a la 
trayectoria, se observa que la componente normal no realiza trabajo: ∫ ⋅=
2
1
dsFW T 
Si F
r
 es constante en magnitud y dirección : ( )∫ −⋅=⋅=
2
1
12 rrFrdFW
rrrrr
 
En el SI el trabajo se mide en Julios (J). 
 
• Ejemplo: Trabajo de la fuerza de gravedad gmF r
r
= . 
Al ser una fuerza constante y eligiendo el eje Z como el vertical , kzjyixr AAAA
rrrr ++= , 
kzjyixr BBBB
rrrr ++= , 
( ) ( ) ( ){ } ( )ABABABAB zzmgkzzjyyixxkmgW −⋅−=−+−+−⋅−= rrrr 
 
 
PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA 
 
Definimos el escalar 
m
pmv
Ec 22
22
== como la energía cinética de la partícula 
� Ten en cuenta que el único movimiento posible de la partícula es la traslación, cuando veamos 
sólido rígido, tendremos que considerar otro término más en esta energía cinética debido a la 
rotación del sólido, no así en este tema de dinámica de la partícula. 
 
 
Teorema de las fuerzas vivas: El trabajo efectuado sobre una partícula es igual al cambio producido 
en su energía cinética: 
( ) =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫∫∫∫
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 dt
rd
vdmrd
dt
vd
mrd
dt
vmd
rd
dt
pd
rdFW
r
rr
r
r
r
r
r
rr
∫ ⋅
2
1
vvdm
rr
 
 
 
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
 
12 
Nos fijamos en el integrando: vvd
rr ⋅ ; para ello calculamos este diferencial 
2
)(
2)(
2vd
vdvvdvvdvvvdvvd =⋅⇒⋅=⋅+⋅=⋅ rrrrrrrrrr , por la definición y propiedades del 
producto escalar. Sustituyendo en la integral: 
 
( ) ( ) 122122
2
1
2
1
2
2
222
EcEcWvv
m
v
mvd
mW −=⇒−⋅=⋅== ∫ 
 
FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA POTENCIAL 
 
Una fuerza es conservativa si cumple estas propiedades: 
1) El trabajo para trasladar a una partícula entre dos puntos aplicando esta fuerza sólo depende de 
las posiciones inicial y final, o lo que es lo mismo ∫ ⋅
2
1
rdF
rr
es independiente del camino 
2) El trabajo debido a esta fuerza para desplazar a una partícula en una trayectoria cerrada es nulo o 
lo que es lo mismo 0=⋅∫ rdF
rr
 
 
3) Si F
r
 es conservativa existe una función (energía potencial) tal que: VF ∇−=
rr
 (la fuerza es el 
gradiente negativo del potencial) 
 
4) Una fuerza conservativa tiene rotacional nulo:, 0
rrr
=∧∇ F 
 
Definimos la energía potencial como la capacidad que tiene una fuerza conservativa para realizar 
trabajo. 
 
El principio de conservación de energía expresa que la energía total (la suma de todas las formas 
de energía) permanece constante en un sistema aislado. 
 
� Restringiendo nuestra atención a la energía mecánica definida como la suma de las energías 
potencial y cinética, se enuncia el principio de conservación de la energía mecánica: Si todas las 
fuerzas que actúan en una partícula, cuerpo o sistema cerrado son conservativas, la energía 
mecánica se conserva. 
 
 
( )12
2
1
2
1
2
1
VVdVrdVrdFW −−=−=⋅∇−=⋅= ∫∫∫
rrrr
 ; 21 VVW −= , por tanto el trabajo es igual a 
menos la variación de la energía potencial. 
 
Teniendo en cuenta el teorema de las fuerzas vivas: 22112112 VEcVEcVVEcEc +=+⇒−=− 
 
� Llamando VEE c += a la energía mecánica total: 0=∆E , ecuación que constituye el 
principio de conservación de la energía mecánica. (para fuerzas conservativas) 
 
Si constante=E ⇒ 0=
dt
dE
 
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
 
13 
� Es muy importante a la hora de resolver los problemas de mecánica tener en cuentan que el 
potencial pudiera ser no sólo el gravitatorio, si hubiese muelles deberíamos incluir la energía 
potencial elástica del muelle y si hubiese otro tipo de fuerzas conservativas habría que incluir 
también la energía potencial asociada a estas fuerzas. 
 
• Ejemplo: Energía potencial elástica asociada al muelle de 
constante k de la figura. La partícula se encuentra sobre un aro 
de radio R. Lo que se ha estirado el muelle es θcosR , por 
tanto la energía potencial sería ( )2cos
2
1 θRk ⋅⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Ejemplo: Energía potencial elástica asociada al muelle de 
constante k de la figura. La partícula se encuentra sobre un aro 
de radio R. Lo que se ha estirado el muelle ahora es θR , por 
tanto la energía potencial sería ( )2
2
1 θRk ⋅⋅ 
 
 
 
 
• Ejemplo: Energía potencial gravitacional. 
Como ∫ ⋅−=⇒∂
∂−=⇒∇−= dr
r
GmM
V
r
V
u
r
GmM
VF r 22
rrr
C
R
GmM
V +=⇒ , siendo C 
una constante arbitraria. Esta energía la veremos con detalle en el tema de Órbitas correspondiente 
a este curso de Mecánica. 
 
• Ejemplo: Una partícula de masa m se mueve sobre la curva (vertical) de la figura 
donde además del peso sobre la partícula se aplica una fuerza igual a jiF
rrr
−= 2 . 
Además del potencial gravitatorio tendríamos que añadir la energía potencial asociada a 
esta fuerza, ya que es conservativa. 
Como ⇒∇−= VF
rr
yxVj
y
V
i
x
V
ji +−=⇒
∂
∂−
∂
∂−=− 22
rrrr
 
 
m 
k 
θ 
R 
m 
k 
θ 
R 
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
 
14 
y = x3/3 - 5
-600
-400
-200
0
200
400
600
-10 -5 0 5 10
y
x
 
 
 
ENERGÍA Y FUERZAS NO CONSERVATIVAS 
 
El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas en general es un trabajo negativo ya que las 
fuerzas de fricción se oponen al movimiento. 
 
Llamando W ′ a este trabajo: ( ) WUEUEWE cc ′=+−+⇒′=∆ 12 12 
 
IMPULSO DE UNA FUERZA 
Como ⇒⋅=−=⇒= ∫∫
2
1
12
2
1
t
t
dtFpppd
dt
pd
F
rrrr
r
r
∫ ⋅=
2
1
t
t
dtFI
rr
 se llama impulso 
El cambio de momento lineal de una partícula es igual al impulso. 
 
Si F
r
es constante tFttFI ∆=−⋅=
rrr
)( 12 
 
 
IMPULSO ANGULAR DE UNA FUERZA 
 
El impulso angular alrededor de un punto arbitrario A durante el intervalo de tiempo de t1 a t2 está 
definido como: ∫∫ =×=
2
1
2
1
t
t
A
t
t
A dtMdtFrA
rrrr
, siendo FrM A
rrr ×= el momento de F
r
 alrededor de 
A.
� En equilibrio estático este momento (al igual que la resultante de las fuerzas) sería nulo, en 
dinámica hace que una partícula gire modificando su trayectoria. 
 
 
 
 
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15 
MOMENTO ANGULAR O MOMENTO CINÉTICO 
 
vmrprH A
rrrrr ×=×= es el momento angular con respecto a A de una partícula de masa m que se 
mueve con velocidad v
r
. 
 
Siempre el momento angular o cinético es perpendicular al plano formado por los vectores posición 
y velocidad. En el caso de una partícula describiendo un movimiento circular: 
 ⇒==⇒⊥ ω2mrmrvHvr rr ωr
r
2mrH = . 
 
A veces al momento angular se le designa también por L
r
 en vez de H
r
. 
 
� Este concepto de momento angular o cinético es muy importante, lo veremos con mucho 
detalle cuando estudiemos dinámica del sólido rígido. En este caso la velocidad angular no sería 
paralela al momento cinético y por tanto la ecuación anterior NO SERÍA VÁLIDA. Recuerda que 
en este tema sólo estamos tratando de dinámica de la partícula. 
 
 
RELACIÓN ENTRE MOMENTO ANGULAR Y MOMENTO DE UNA FUERZA 
 
( ) ( )
dt
vmd
rvm
dt
rd
vmr
dt
d
dt
Hd A
r
rr
r
rr
v
×+×=×= ⇒ Frvmv
dt
Ld A
rrrr
r
×+×= ⇒ AA M
dt
Hd r
r
= 
 
 
⇒=⇒= ∫∫
2
1
2
1
t
t
A
t
t
AAA dtMHddtMHd
rrrr
12 AAA
HHA
rrr
−= ecuación que se conoce como 
principio del impulso angular y momento angular. 
 
Si 0
rr
=AA se conserva el momento angular. 
FUERZAS CENTRALES 
 
Si F
r
es paralela a r
r
0
rrr =×⇒ Fr , este tipo de fuerzas se denominan fuerzas centrales. 
 
Cuando la fuerza es central, el momento angular con respecto al centro de la fuerza es una 
constante de movimiento y viceversa. 
 
 
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16 
� La fuerza gravitatoria y la culombiana son fuerzas centrales. Ambas son del tipo 
rrfrF
rr
)()( = . 
 
Dedicaremos especial atención a las fuerzas centrales en este curso de Mecánica cuando veamos el 
tema de Órbitas. 
 
 
 
Autor: Dra Laura Abad Toribio 
Asignatura: Mecánica Racional y Analítica 
Titulación: Grado en Ingeniería Aeroespacial 
Curso: 2013-2014 
__MACOSX/mecanica/._Dinámica partícula GAE.pdf
mecanica/dinámicasolido.pdf
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
Dra Laura Abad Toribio 
 
1 
Mecánica Racional y Analítica (GAE) 
DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 
 
1. INTRODUCCIÓN 
Al igual que vimos cuando estudiamos el tema de dinámica de una partícula, la DINÁMICA 
es la parte de la Mecánica que estudia en este caso cómo se mueve un sólido rígido debido a 
la acción de las fuerzas. 
En los cursos de Física de 1º de ingenierías es habitual el uso del denominado momento de 
inercia. No vamos a hablar en este curso de este concepto. Se puede repasar todo lo 
relacionado con el cálculo de momentos de inercia en el link: 
http://momentosdeinercia.blogspot.com.es/ 
Se recomienda su lectura. 
El link contiene aspectos como: definiciones, tablas, radio de giro, teorema de Steiner, 
ejemplos de integración, péndulo físico, productos de inercia, círculo de Möhr, momentos de 
inercia de figuras compuestas, productos de inercia, tensor de inercia y vídeos asociados. 
Los conceptos de tensor de inercia y de productos de inercia quizás sean desconocidos para 
un estudiante de 2º curso de ingenierías, por lo que en la primera parte de este tema 
comenzaremos a repasar estos conceptos. 
2. TENSOR DE INERCIA 
El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que 
expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes 
tensoriales son: 
 










−−
−−
−−
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
o
IPP
PIP
PPI
I 
O es un punto del sistema de referencia OXYZ. 
Ix, Iy, Iz son los momentos de inercia 
Los Pij son los productos de inercia que además cumplen la propiedad : 
Pij=Pji 
( ) ( )∫∫∫ +=+=+= dmyxIdmzxIdmzyI zyx 222222 ;;)( 
∫∫∫ ====== xzdmPPyzdmPPxydmPP zxxzzyyzyxxy ;; 
 
dm es el diferencial de masa del sólido rígido. 
Si O es el centro de masas de la distribución se llama tensor central de inercia GI . 
 
 
http://momentosdeinercia.blogspot.com.es/
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
Dra Laura Abad Toribio 
 
2 
La matriz de componentes del tensor de inercia es real y simétrica. Por tanto: 
• Los autovalores son reales. 
• Los autovectores pueden tomarse reales, y son ortogonales. 
• Se puede diagonalizar. 
 
Vamos a repasar brevemente cómo se hace el cálculo de un producto de inercia. 
Ejemplo: 
Supongamos que tenemos una placa rectangular de lados a y b. Calcular los productos de 
inercia respecto de los ejes X e Y y respecto de los ejes X’ e Y’. 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Para calcular el producto de inercia Pxy respecto de los ejes X e Y (que no son de simetría) 
tenemos que hacer la siguiente integral 
442222
2222
0
2
0
2
0
Mabba
ab
MbayxydydxxdAxyxydmPP
bab
o
a
A
yxxy ======== ∫∫∫∫ σσσσ 
σ es la densidad superficial de masa (en kg/m2) que es la densidad que corresponde a una 
figura plana. 
Para hacer ahora el cálculo del producto de inercia Pxy respecto de los ejes X’ e Y’ (que sí son 
de simetría) tenemos que hacer la siguiente integral 
0
22
2
2
22
2
22
2
2
2
======
−−−
−
−
∫∫∫∫
b
b
a
a
b
b
a
aA
yxxy
yxydydxxdAxyxydmPP σσσ 
Por tanto estos ejes X’ e Y’ son los denominados EJES PRINCIPALES. 
Ejemplo: Determine el tensor de inercia respecto de la placa plana triangular de la 
figura. Suponga despreciable el espesor de la placa. 
 
 
 
 
 
 
Y Y’ 
X’ 
X a 
b 
Y 
X 
a 
b 
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
Dra Laura Abad Toribio 
 
3 
Solución: 
















+
=
)(
18
100
0
18
1
36
1
0
36
1
18
1
22
2
2
abm
mamab
mabmb
I o 
 
3. PROPIEDADES DE LOS MOMENTOS Y LOS PRODUCTOS DE INERCIA 
• Los EJES PRINCIPALES son las rectas o ejes formados por vectores propios del tensor 
de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido rígido que gira libremente 
alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio, si el 
cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo 
con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y 
nutación (revisar el tema anterior de cinemática del sólido rígido). 
• Al valor máximo y mínimo de los momentos de inercia respecto de un eje que pasa por 
un punto se les llama MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA 
• Si un eje es de revolución es principal y por lo tanto el momento de inercia o es un 
máximo o es un mínimo. 
• Respecto de los ejes principales los productos de inercia son siempre nulos. 
• Si por ejemplo el eje X es principal, Pxy=Pxz =0 aunque Y y Z no sean ejes principales. 
• Si un cuerpo tiene un plano de simetría, este plano es principal y cualquier eje 
perpendicular a él es un EJE PRINCIPAL. 
• Todo eje perpendicular a dos principales es principal. 
En ejes principales la expresión del tensor de inercia es: 










=
C
B
A
I o
00
00
00
 
Si A=B el tensor se llama cilíndrico. Si A=B=C el tensor se llama esférico. 
La mayoría de los sólidos
rígidos que vamos a estudiar en este tema serán CUERPOS 
HOMOGÉNEOS DE REVOLUCIÓN. Para estos cuerpos: 
• Todos los planos que contienen al eje son de 
simetría, y principales en todos sus puntos. 
• Todas las rectas normales al eje son 
principales en el eje, por ser normales a un 
plano principal. 
• El propio eje de revolución es principal en 
todos sus puntos por la ortogonalidad de las 
direcciones principales: es normal al plano 
que forman las rectas que lo cortan 
ortogonalmente en cada punto. 
 
 
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
Dra Laura Abad Toribio 
 
4 
Ejemplo: 
Calcular el tensor de inercia respecto del punto O y respecto del punto A para un cilindro de 
radio R, masa M y altura H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El eje Z es de revolución, por tanto es un EJE PRINCIPAL. 
El eje X y el eje Y son principales porque son perpendiculares a un plano de simetría 
(señalado en el dibujo y que divide al cilindro en dos partes iguales). 
2
2
1 MRII
GZZ
== 
22
12
1
4
1 MHMRII
GG YX
+== 
 
En la expresión anterior hemos calculado el momento de inercia respecto de los ejes XG e 
YG como la suma del momento de inercia de un disco respecto de estos ejes y de una varilla 
respecto de un eje que pasa por el centro de masas. 
Para una figura plana (como lo es un disco) el estudiante debe recordar el teorema de los 
ejes perpendiculares. 
G 
A 
O A 
X 
Y 
Z=ZG 
X1 
Y1 
Z1 
G YG 
XG 
O 
 
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Dra Laura Abad Toribio 
 
5 
Si queremos calcular ahora los momentos respecto de los ejes X, Y y Z que pasan por O 
podemos aplicar el Teorema de Steiner (o de ejes paralelos). 
CMRIII ZZZ G ====
2
2
1
0
 
BAHMMHMRMdIII GOG XXXYX ==++=+==
2222 )2/(
12
1
4
1
00
 
( )
















++
++
=










=
2
222
222
2
100
02/
12
1
4
10
00)2/(
12
1
4
1
00
00
00
MR
HMMHMR
HMMHMR
C
B
A
I o
 
Nos fijamos ahora en los otros ejes. X1 es un eje que también es principal porque es 
perpendicular a un plano de simetría. 
Por tanto los productos de inercia PX1Y1=PX1Z1=0 










−
−=
11
111
1
10
0
00
ZZY
ZYY
X
A
IP
PI
I
I 
 
Los ejes X1 e XG son también paralelos. La distancia entre los dos ejes es 
2
2
2





+
HR señalada en azul claro en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicamos el teorema de Steiner: 
2
2
222
212
1
4
1
1 












+++=
HRMMHMRI X 
O A 
X 
Y 
Z=ZG 
YG G 
XG H/2 
R 
X1 
Y1 
Z1 
 
Universidad Alfonso X el Sabio 
Dra Laura Abad Toribio 
 
6 
Los ejes Y1 e YG son también paralelos. La distancia entre los dos ejes es también 
2
2
2





+
HR . 
Aplicamos el teorema de Steiner otra vez para calcular IZ1: 
22
2
1
1
MRMRIZ += 
Al aplicar el teorema de Steiner hay que recordar siempre que uno de los ejes debe pasar 
por G y que los dos ejes deben ser paralelos. Según esto, NO se puede aplicar el teorema de 
Steiner entre los ejes X y X1 a pesar de ser paralelos. 
Sólo nos queda calcular los productos de inercia. Aplicamos también el Teorema de Steiner: 
RHMdMdPP
GGZYZY 2
02111 +=+= 
En la expresión anterior hemos tenido en cuenta que PYGZG=0 por ser estos ejes principales, d1 
es la distancia entre Y1 e YG y d2 la distancia entre Z1 y ZG. 
( )
( )
















−
−+++
+++
=
2
3
2
0
2
)2/(
124
0
00)2/(
124
2
22
22
22
22
MRMHR
MHRHRMMHMR
HRMMHMR
I A 
 
Ejemplo: 
Calcular el tensor de inercia respecto del punto G de la figura y respecto del punto A para una 
esfera de radio R y masa M. 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Calcular el tensor de inercia respecto del punto G de la figura y respecto del punto A para una 
esfera de radio R y masa M. 
 
 
 
 
 
 
G A 
G A 
X1 
Y=Y1 
X 
Z Z1 
 
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Dra Laura Abad Toribio 
 
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Los tres ejes XG, YG y ZG son de revolución, por tanto son PRINCIPALES. Por simetría el 
momento de inercia respecto a estos tres ejes son iguales: 
2
5
2 MRCBA === 
















=
2
2
2
5
200
0
5
20
00
5
2
MR
MR
MR
I G 
 
Para calcular los momentos de inercia respecto de los ejes que pasan por A aplicamos Steiner 
(también son principales por ser perpendiculares a un plano de simetría). 
CMRMRMRA ==+= 222
5
7
5
2
 
















=
5
700
0
5
20
00
5
7
2
2
2
MR
MR
MR
I A 
No hemos tenido que aplicar el teorema de Steiner para B al tratarse del mismo eje. 
 
4. ECUACIONES FUNDAMENTALES 
Todos los problemas de dinámica del sólido rígido se basan en tres ecuaciones: 
• La suma de fuerzas 
• La energía mecánica 
• El momento angular o cinético 
 
SUMA DE FUERZAS 
∑ = GaMF 

 
En la expresión anterior aG es la aceleración del CG. 
ENERGÍA MECÁNICA 
La energía potencial gravitatoria siempre se calculará midiendo la distancia desde el CG 
hasta la referencia de potenciales 
GMghV = 
Para un sólido compuesto se puede calcular por separado la energía potencial de cada uno de 
los sólidos o calcular el CG del conjunto. 
 
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Lo más conveniente es repasar cómo se calculan las coordenadas del CG por integración 
directa de líneas, áreas y volúmenes, y aplicando los teoremas de Pappus-Guildin (para líneas 
y para áreas). También hay que repasar cómo se calcula el CG para figuras compuestas. 
 
Para el cálculo de la energía cinética hay que distinguir dos casos, si el sólido tiene o no 
punto fijo. 
 
• SÓLIDO CON PUNTO FIJO 
Si krjqip

++=ω es la velocidad angular de sólido rígido, la energía cinética se calcula en 
la forma: 
 




















−−
−−
−−
==
r
q
p
IPP
PIP
PPI
rqpIE
zyzxz
yzyxy
xzxyx
c ),,(2
1
2
1 ωω  , expresión que resulta muy 
complicada si no se trabaja en ejes principales. 
 
En EJES PRINCIPALES 
( )222
2
1
00
00
00
),,(
2
1
2
1 CrBqAp
r
q
p
C
B
A
rqpIEc ++=




















== ωω

 
expresión que resulta mucho más sencilla 
 Es importante destacar que para SÓLIDO CON PUNTO FIJO la energía cinética sólo 
tiene el termino asociado a la rotación, ya que la velocidad lineal (de traslación) del punto fijo 
es nula. 
• SÓLIDO SIN PUNTO FIJO 
 
( )22222
2
1
2
1
00
00
00
),,(
2
1
2
1
2
1 CrBqApMv
r
q
p
C
B
A
rqpIMvE GGc +++=




















=+= ωω

 
 Para SÓLIDO CON PUNTO FIJO la energía cinética tiene el término asociado a la 
rotación y el término asociado a la traslación (con la velocidad del CG). 
 
MOMENTO ANGULAR O CINÉTICO 
En ejes no principales 
 
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