transfomada de laplace analisis12

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Resumen
Calcular por definición las integrales de:
1. Ejercicio 1
L
{
d2x(t)
dt2
}
(1)
Por definición:
L {f(t)} =
∫ ∞
0
e−stf(t) · dt(Dennis, 1993.) (2)
Entonces:
L
{
d2x(t)
dt2
}
= L { x′′(t)} (3)
Aplicando la definición de Laplace:
L { x′′(t)} =
∫ ∞
0
e−stx′′(t) · dt (4)
Según la definicion de integración por partes:∫
udv = uv −
∫
vdu.(Thomas, 2005) (5)
Suponiendo que x” es continua, integrando por partes:
L { x′′(t)} = e−stx′′(t) |∞0 +s
∫ ∞
0
e−stx′(t) · dt (6)
Volviendo a aplicar integración por partes:
L { x′′(t)} = e−stx′′(t) |∞0 +s(e−stx(t) |∞0 +s
∫ ∞
0
e−stx(t) · dt) (7)
L { x′′(t)} = e−stx′′(t) |∞0 +s(e−stx(t) |∞0 +s2e−stX(t) · dt |∞0 (8)
Sustituyendo:
L { x′′(t)} = −x′(0)− sx(0) + s2X(0) (9)
Reacomodando y finalmente:
L
{
d2x(t)
dt2
}
= s2X(s)− sx(0)− x′(0) (10)
1
2. Ejercicio 2
L {cos(wt)} (11)
Aplicando la definición de Laplace:
L {cos(wt)} =
∫ ∞
0
cos(wt)e−st · dt (12)
Aplicando integracion por partes:∫ ∞
0
cos(bx)e−ax · dx = a
a2 + b2
eaxcos(bx) +
b
a2 + b2
eaxsen(bx).(Thomas, 2005)
(13)
Entonces:∫ ∞
0
cos(wt)e−st · dt = −s
s2 + w2
e−stcos(wt) +
w
s2 + w2
e−stsen(wt) |∞0 (14)
= ĺım
t→∞
(
−s
s2 + w2
e−stcos(wt)+
w
s2 + w2
e−stsen(wt))−( −s
s2 + w2
e−s(0)cos(w(0))+
w
s2 + w2
e−s(0)sen(w(0))
(15)
∫ ∞
0
cos(wt)e−st·dt = ( −s
s2 + w2
ĺım
t→∞
e−stcos(wt)+
w
s2 + w2
ĺım
t→∞
e−stsen(wt))−( −s
s2 + w2
)
(16)∫ ∞
0
cos(wt)e−st · dt = 0 + 0 + ( s
s2 + w2
) (17)
L {cos(wt)} = s
s2 + w2
(18)
2