Problemario_Calculo-48 - Eduardo Gonzalez Garcia

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Propiedades de la integral definida 
En los siguientes ejercicios vamos a utilizar el siguiente resultado. 
 
Regla de sustitución para integrales definidas 
 
 Teorema. Si 𝑢 = 𝑔′(𝑥) es una función continua en el intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] y si 
𝑓 es continua sobre el rango de 𝑢 = 𝑔(𝑥) entonces 
 
∫𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑔(𝑏)
𝑔(𝑎)
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑔(𝑏)) − 𝐹(𝑔(𝑎)). 
 
Donde 𝐹 es una antiderivada de la función 𝑓. 
 
Evalúa las siguientes integrales 
𝟏.− ∫ −2cos2𝑥 ∙
𝜋
2
 
0
sen 𝑥𝑑𝑥 
Solución Sea 𝑢 = cos 𝑥 entonces 𝑑𝑢 = − sen 𝑥𝑑𝑥. Notamos que cuando 
𝑥 =
𝜋
2
 se hace que cos (
𝜋
2
 ) = 0 y que cuando 𝑥 = 0, cos(0) = 1. Y por la regla 
de sustitución pata integrales definidas 
−2∫ cos2𝑥 ∙
𝜋
2
 
0
sen 𝑥𝑑𝑥 = 2∫ 𝑢2𝑑𝑢 = {−
2
3
𝑢3}
0
11 
0
= −
2
3
. 
 
𝟐.− ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑒
1
𝑑𝑥 
Solución Sea 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 entonces 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥. Para 𝑥 = 𝑒 y 𝑥 = 1 obtenemos 
𝑢 = 1 y 𝑢 = 0 respectivamente, por lo tanto, por el teorema de cambio de 
variables pata integrales definidas 
∫
ln𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑢𝑑𝑢 = [
1
2
𝑢2]
0
1
=
1
2
1
0
𝑒
1
 
 
 
 
 
142 
 
𝟑.− ∫
√1 + √𝑥
√𝑥
4
1
𝑑𝑥 
Solución Sea 𝑢 = 1 + √𝑥 entonces 𝑑𝑢 =
1
2√𝑥
𝑑𝑥. Para 𝑥 = 1 y 𝑥 = 4 se tiene 
𝑢 = 2 y 𝑥 = 3 respectivamente, de manera que 
∫
√1 + √𝑥
√𝑥
4
1
𝑑𝑥 = 2∫ √𝑢
3
2
𝑑𝑥 = 2 {
2
3
𝑢3 2⁄ }
2
3
= 3.15. 
𝟒.− ∫ |1 − 𝑥|𝑑𝑥
2
0
 
Solución. La grafica de 𝑓(𝑥) = |1 − 𝑥|; 𝑋 ∈ [0 , 2] es la siguiente 
 
Es claro que 𝑓(𝑥) = |1 − 𝑥| ≥ 0 para toda 𝑥 ∈ [0 , 2] y se observa que 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)
1
0
𝑑𝑥 +∫ 𝑓(𝑥)
2
1
𝑑𝑥
2
0
= ∫ (1 − 𝑥)
1
0
𝑑𝑥 +∫ (𝑥 − 1)
2
1
𝑑𝑥 =
1
2
+
1
2
= 1. 
 
𝟓.− ∫
1
2
[1 − 
|𝑥 + 3|
2
]
−1
−5
𝑑𝑥 
Solución. La grafica del integrando 𝑓(𝑥) está dada en la siguiente figura. 
 
143 
 
Por lo tanto 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)
−3
−5
𝑑𝑥 +∫ 𝑓(𝑥)
−1
−3
𝑑𝑥 
−1
−5
 
 = ∫ (
1
4
𝑥 + 
5
4
)
−3
−5
𝑑𝑥 +∫ (−
1
4
𝑥 − 
1
4
)
−1
−3
𝑑𝑥 =
1
2
+
1
2
= 1. 
 
7.− ∫
𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑥6
𝑑𝑥.
𝜋
2
− 
𝜋
2
 
Solucion. Como el integrando 
𝑓(𝑥) =
𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑥6
 
Es una función continua y además es impar en el intervalo de integración [− 
𝜋
2
,
𝜋
2
], 
entonces 
∫
𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑥6
𝑑𝑥 = ∫
𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑥6
0
−
𝜋
2
𝑑𝑥 +∫
𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑥6
𝜋
2
0
𝑑𝑥
𝜋
2
− 
𝜋
2
 
 = −∫ 
𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑥6
 𝑑𝑥 +
𝜋
2
0
∫
𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑥6
𝜋
2
0
𝑑𝑥 = 0. 
 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑥6