UCM _ Doble Grado en Matemáticas e Ingeniería a Informática _ Topologia _ topologia_

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topologia/Sierpinski.pdf
24 de marzo de 2015
Un teorema de Sierpinski
Manuel Morán
Se llama continuo a un espacio topológico compacto, conexo y Hausdorff. El siguiente
resultado se debe a Waclaw Sierpinski (1882–1969).
Teorema. Un continuo no es unión numerable no trivial de cerrados disjuntos.
Demostración. Por reducción al absurdo suponemos X =
⋃
k≥1 Fk con los Fk cerrados dis-
juntos y al menos dos de ellos no vaćıos: 2 ≤ #{k : Fk 6= ∅}. Afirmamos que:
(1) Existe un continuo X1 ⊂ X tal que X1 ∩ F1 = ∅ y 2 ≤ #{k : Fk ∩X1 6= ∅}.
En efecto, si F1 = ∅ basta tomar X1 = X, por tanto supondremos F1 6= ∅. Por hipótesis
existe i1 6= 1 con Fi1 6= ∅. Por ser F1 y Fi1 compactos disjuntos en un espacio Hausdorff,
existen abiertos disjuntos U ⊃ F1, V ⊃ Fi1 . Más aún, V ∩ U = ∅, pues si hubiera un punto
x ∈ V ∩ U , por ser adherente a V su entorno U tendŕıa intersección no vaćıa U ∩ V 6= ∅.
Ahora, como Fi1 es no vaćıo, tomamos x ∈ Fi1 y consideramos la componente conexa
C(x) de x en V . Claramente C(x) es un continuo, y por construcción C(x)∩F1 = ∅. Vamos
a ver que
(2) C(x) coincide con la intersección de todos los conjuntos B ⊂ V que contienen al punto x
son a la vez cerrados y abiertos en V .
Denotemos esa intersección A =
⋂
B. Cada uno de los B es abierto y cerrado en V por
tanto B ∩C(x) es abierto y cerrado en C(x). Como además B ∩C(x) 6= ∅ (contiene al punto
x), concluimos que B ∩ C(x) = C(x), esto es C(x) ⊂ B. En suma, C(x) está contenido en
A =
⋂
B. Para el otro contenido A ⊂ C(x), probaremos que
(3) A es conexo.
Supongamos A = K1 ∪K2, con K1,K2 cerrados disjuntos de A. Como A es cerrado en
V , que lo es en X, los dos conjuntos K1,K2 son cerrados en X y por tanto compactos. Por
ser X Hausdorff, existen dos abiertos disjuntos W1,W2 de X tales que W1 ⊃ K1 y W2 ⊃ K2.
El punto x estará en uno de los Ki, por ejemplo x ∈ K1 ⊂W1.
De A =
⋂
B ⊂ W1 ∪ W2 tomando complementarios resulta
⋃
(X \ B) ⊃ (X \ W1) ∩
(X \W2). Este último conjunto es cerrado en X, luego compacto, y podremos extraer un
subrecubrimiento finito ⋃
finito
(X \B) ⊃ (X \W1) ∩ (X \W2).
Tomando complementarios de nuevo:⋂
finito
B ⊂W1 ∪W2,
y la intersección finita de la izquierda, que denotamos B0, es un conjunto abierto y cerrado
de V que contiene al punto x. Ahora observamos que
1
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sierpinski.html
(4) B∗0 = B0 ∩W1 es un subconjunto abierto y cerrado de V que contiene a x.
Ciertamente, como W1 y W2 son disjuntos y B0 ⊂W1 ∪W2 tenemos
B0 ∩W1 = B0 ∩ (X \W2),
y el lado izquierdo de esta desigualdad nos dice que el conjunto es abierto, mientras el lado
derecho nos dice que es cerrado.
De (4) deducimos que B∗0 es uno de los B que intervienen en la intersección A =
⋂
B.
Por consiguiente
K2 ⊂ A =
⋂
B ⊂ B∗0 ⊂W1,
luego K2 ⊂W1 ∩W2 = ∅.
Todo esto muestra que no podemos escribir A como unión de dos cerrados disjuntos no
vaćıos, luego A es conexo y queda probado (2): C(x) = A.
Para completar la demostración de (1), observemos que si C(x) 6⊂ V , como C(x) ⊂
⋃
k Fk,
debe existir i2 6= i1 con Fi2 ∩ C(x) 6= ∅, y X1 = C(x) seŕıa el continuo buscado. Aśı que
veamos que efectivamente
(5) C(x) 6⊂ V .
Pero, si C(x) =
⋂
B ⊂ V , tomando complementarios⋃
(X \B) ⊃ X \ V,
y como X \ V es compacto, debe haber un subrecubrimiento finito⋃
finita
(X \B) ⊃ X \ V.
De nuevo complementando, obtenemos
⋂
finitaB ⊂ V . Tal intersección finita es: (i) abierto en
V , luego en V , luego en X, y (ii) cerrado en V , luego en X. Además, contiene al punto x,
y como X es conexo, resulta que coincide con todo X. Hemos llegado a una contradicción:
X ⊂ V y X \ V ⊃ U 6= ∅. Esto completa la demostración de nuestra afirmación (1).
Ahora, podemos repetir todo el argumento con X1 =
⋃
k Fk ∩ X1 para obtener otro
continuo X2 ⊂ X1 tal que X2 ∩ F2 = ∅ y al menos dos cerrados Fk ∩X2 no vaćıos. Es claro
que por inducción, empezando con X0 = X, obtenemos una colección numerable de continuos
encajados Xn ⊂ Xn−1, n ≥ 1, tales que
Xn ∩ Fn = ∅ y 2 ≤ #{k : Fk ∩Xn 6= ∅}.
Es claro que esta sucesión de cerrados Xn tiene la propiedad de la intersección finita:
X1 ∩ · · · ∩Xp = Xp 6= ∅,
para cualquier p ≥ 1, luego como X es compacto,
⋂
nXn 6= ∅.
Por fin, sea z un punto de esa última intersección. Al estar z en X, podemos encontrar
un Fk que lo contiene, y por ello:
z ∈ Fk ∩
⋂
n
Xn ⊂ Fk ∩Xk = ∅.
Este absurdo termina la demostración del teorema.
2
Ilustremos la utilidad del resultado anterior con un ejemplo:
Ejemplo. En un conjunto numerable Z con la topoloǵıa TCF de los complementos finitos
todos los caminos son constantes.
Consideremos un camino σ : [0, 1] → Z continuo para TCF . Por ser σ una aplicación
continua y ser los puntos k ∈ Z cerrados en TCF , σ−1(k) es cerrado en [0, 1]. Además dados k
y l distintos, todas las imágenes inversas Fk = σ
−1(k) son cerrados de [0, 1]. Como claramente
los Fk son disjuntos y recubren el continuo [0, 1], por el teorema de Sierpinski existe un único
σ−1(k) 6= ∅ y por tanto [0, 1] = σ−1(k), o lo que es lo mismo σ[0, 1] = {k}. Es decir, σ es
constante. �
3
topologia/exTOEL.pdf
TOPOLOGÍA ELEMENTAL
Muestras de examen
Febrero 2007
TEORÍA
1. Definir el producto de dos espacios topológicos.
2. Definir compactificación de Alexandroff.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
(1) La adherencia de una unión es la unión de las adherencias.
(2) Toda aplicación continua suprayectiva es identificación.
(3) La imagen continua de un espacio Lindelöf es siempre Lindelöf.
(4) La unión de dos conjuntos disjuntos nunca es conexa.
(5) Las componentes conexas son conjuntos abiertos.
(6) Dos espacios con el mismo grupo fundamental son necesariamente homeomorfos.
PROBLEMAS
1. Se considera en X = R × Z la topoloǵıa T producto de la usual Tu en R y la de los
complementos finitos TCF en Z.
(1) Estudiar la continuidad de la aplicación f : (X,T)→ (R.Tu) : (t, k) 7→ t− k.
(2) Probar que si M ⊂ X es compacto, entonces:
(i) M ∩ (R× {k}) es compacto para cada k ∈ Z, y
(ii) existe L > 0 tal que |t| ≤ L para todo (t, k) ∈M .
(3) Demostrar que el conjunto
M = {(1, 0)} ∪
⋃
k≥1
[0, 1− 1
k
]× {k}
es compacto. ¿Es cerrado?
(4) Estudiar si una unión finita
[0, 1]× {k1} ∪ · · · ∪ [0, 1]× {kr}
es un conjunto conexo. ¿Y la unión infinita
⋃
k≥1[0, 1]× {k}?
2. Sea X ⊂ R3 el tronco de cilindro {x2 + y2 = 1,−2≤z≤2}, y sean E,F ⊂ X las dos
circunferencias {x2 +y2 = 1, z = 1}, {x2 +y2 = 1, z = −1}. En M se considera la relación
de equivalencia
p = (x, y, z) ∼ p′ = (x′, y′.z′) si y sólo si p = p′ o z = z′ = +1 o z = z′ = −1.
(1) Encontrar un subespacio de R3 homomorfo al espacio cociente M/ ∼.
(2) Calcular el grupo fundamental de M/ ∼.
(3) ¿Es cierto en general que al hacer un cociente el grupo fundamental se simplifica?
1
Septiembre 2007
TEORÍA
1. ¿Cuándo se dice que una aplicación continua es abierta?
2. Definir espacio simplemente conexo.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
(1) La adherencia de la intersección es la intersección de las adherencias.
(2) Si todos los puntos de un espacio son cerrados, el espacio es Hausdorff.
(3) Todo subespacio cerrado de un espacio compacto es también compacto.
(4) Todo espacio con una base numerable de abiertos es separable.
(5) La imagen continua de un espacio conexo es aśımismo un espacio conexo.
(6) Toda aplicación continua no suprayectiva de un espacio en una esfera es homóto-
pa a una aplicación constante.
PROBLEMAS
1. Se consideran en el plano R2 los triángulos semiabiertos de vértice (a, b) ∈ R2 y
anchura ε > 0 definidos por
U = {(x, y) ∈ R2 : x− y ≥ a− b, x+ y ≥ a+ b, a ≤ x < a+ ε},
y equipamos R2 con la topoloǵıa T que tiene todos esos triángulos por base de abiertos.
(1) Calcular la adherencia (en T) de un triángulo semiabierto U .
(2) Estudiar si (R2,T) es Lindelöf. ¿Y localmente compacto?
(3) Demostrar que
los únicos conjuntos conexos para esta topoloǵıa son los puntos.
(4) ¿Existe alguna topoloǵıa T1 en R tal que T sea la topoloǵıa producto T1 × T1? ¿Y
tal que (R2,T) sea homeomorfo a (R2,T1 × T1)?
2. Sea S ⊂ R2 el conjunto
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
En S se considera la relación de equivalencia definida por las relaciones
(x, y) ∼ (x, y); (1, y) ∼ (0, y); (x, 1) ∼ (x′, 1) para 0 ≤ x ≤ 1.
(1) Encontrar un subespacio de R3 homeomorfo al espacio cociente X = S/ ∼.
(2) Mostrar que X es simplemente conexo.
(3) ¿Es X homeomorfo a una esfera?
2
Febrero 2008
TEORÍA
1. Enunciar alguna condición suficiente para que una unión de conjuntos conexos lo sea
también.
2. Definir cuándo dos espacios tienen el mismo tipo de homotoṕıa.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
(1) El interior de la unión de dos conjuntos es la unión de sus interiores.
(2) Si un espacio tiene una base numerable de abiertos, las adherencias se calculan
mediante ĺımites de sucesiones.
(3) Una aplicación continua biyectiva de un espacio compacto sobre un espacio
Hausdorff es un homeomorfismo.
(4) Si un espacio no es conexo, su imagen por una aplicación continua tampoco es
conexa.
(5) Las componentes conexas por caminos son subconjuntos cerrados.
(6) Dos espacios con el mismo tipo de homotoṕıa son necesariamente homeomorfos.
PROBLEMAS
1. En el plano R2 se considera la topoloǵıa T de la que una base consiste en los cuadrados
abiertos de centro un punto arbitario p ∈ R2 y lado arbitrario ε > 0, menos los puntos
6= p de las dos diagonales.
(1) Estudiar la continuidad de la aplicación f : (R,Tu) → (R2,T) : t 7→ (t, λt), para
λ = 0, 1. ¿Es R2 conexo por caminos con esta topoloǵıa?
(2) Mostrar que T no es una topoloǵıa producto.
(3) Probar que esta topoloǵıa es primer axioma de numerabilidad. ¿Es además sepa-
rable? ¿Y segundo Axioma?
(4) Demostrar que en esta topoloǵıa un cuadrado cerrado no es compacto, y deducir
que los conjuntos compactos tiene interior vaćıo.
2. Sea H ⊂ R2 un hexágono regular cerrado con dos vértices opuestos en (0, 1) y (0,−1),
y consideremos la relación de equivalencia
(x, y) ∼ (x, y) y (0, 1) ∼ (0,−1).
(1) Encontrar un subespacio de R3 homeomorfo al espacio cociente H/ ∼.
(2) Calcular el grupo fundamental de H/ ∼.
(3) ¿Es cierto en general que un cociente de un espacio simplemente conexo deja de
serlo?
3
Septiembre 2008
TEORÍA
1. ¿Qué es un espacio separable?
2. Definir homotoṕıa de caminos con extremos fijos.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
(1) El interior del complementario es el complementario del interior.
(2) Toda aplicación continua y biyectiva es un homeomorfismo.
(3) Todo espacio que cumple el 2o axioma de numerabilidad es localmente compacto.
(4) Los cocientes de espacios compactos son también compactos.
(5) La imagen continua de un espacio conexo es conexo.
(6) Todos los lazos de una esfera son homótopos a un lazo constante.
PROBLEMAS
1. Se consideran en el semiplano H : y ≥ 0 de R2 la topoloǵıa T generada por los discos
abiertos de centros (a, b) con b > 0, y los “semidiscos”
S = {(x, y) ∈ H : (x− a)2 + y2 < ε, y > 0} ∪ {(a, 0)}.
Se pide:
(1) ¿Qué topoloǵıa induce T en el borde L : y = 0 de H?
(2) Estudiar si (H,T) es separable.
(3) Decidir qué cuadrados [a− ε, a+ ε]× [b− ε, b+ ε] son compactos, y utilizarlo para
determinar si H es localmente compacto con esta topoloǵıa.
(4) Estudiar si (H,T) es conexo por caminos.
2. Se consideran en R2 los conjuntos
S = {x2 + y2 ≤ 1} ∪ {1 ≤ x ≤ 2, y = 0} y T = {x2 + y2 = 1} ∪ {(2, 0)},
equipados con la topoloǵıa usual. En S se identifican entre śı todos los puntos de T (y
nada más), y se denota X el espacio cociente resultante. Se pide:
(1) Describir un subespacio de R3 homeomorfo a ese espacio cociente X.
(2) Mostrar que el grupo fundamental de X es Z.
(3) ¿Es X homeomorfo a una circunferencia?
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Febrero 2012
TEORÍA
1. Describir la topoloǵıa de un cociente de un espacio topológico.
2. Enunciar el teorema del punto fijo de Brouwer.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
(1) Una unión de conjuntos cerrados puede no ser cerrado.
(2) Si un espacio es 1er axioma de numerabilidad y separable, entonces tiene una
base numerable.
(3) Una biyección continua entre espacios compactos es un homeomorfismo.
(4) Un cociente de un espacio conexo por caminos es también conexo por caminos.
(5) El producto de dos espacios contráctiles es contráctil a su vez.
(6) Dos espacios simplemente conexos son necesariamente homeomorfos.
PROBLEMAS
1. Un subconjunto W del plano R2 se llama radialmente abierto si para cada punto
p ∈ W y cada recta L que pase por el punto, W ∩L contiene un intervalo abierto centrado
en p.
(1) Probar que los conjuntos radialmente abiertos son los abiertos de una topoloǵıa T
en R2. ¿Qué relación tiene con la usual?
(2) Estudiar que topoloǵıa induce T en las circunferencias. ¿Cumple T el segundo
axioma de numerabilidad? ¿Y el primero?
(3) Construir sucesiones de puntos del plano que convergan a un punto en la topoloǵıa
usual, pero no en esta topoloǵıa T. ¿Es (R2,T) un espacio localmente compacto?
(4) Estudiar que topoloǵıa induce T en las rectas. ¿Es R2 con esta topoloǵıa conexo
por caminos?
2. Sea H ⊂ R2 el rectángulo cerrado con vértices (−1, 1), (−1,−1), (1,−1) y (1, 1), y
consideremos en él las dos relaciones de equivalencia definidas por
R : (x, 1) ∼ (x,−1), (x, 0) ∼ (0, 0),
S : (x, 1) ∼ (−x,−1), (x, 0) ∼ (0, 0).
(1) Describir subespacios de R3 homeomorfos a los espacios cocientes X = H/R e
Y = H/S.
(2) Calcular el grupo fundamental de X.
(3) Decidir si X e Y son homeomorfos.
3.♠ Demostrar que un espacio X que cumple las dos condiciones siguientes es compacto:
(a) Cada punto tiene una base de entornos cerrados.
(b) Toda imagen continua de X en un espacio Haussdorff es cerrada.
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Septiembre 2012
TEORÍA
1. Definir espacio localmente conexo.
2. Explicar qué grupo fundamental tiene la circunferencia.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
(1) Si un conjunto abierto no vaćıo tiene frontera vaćıa, entonces su complementario
es abierto.
(2) Un espacio que tiene una base numerable es separable.
(3) Si dos subconjuntos densos tienen intersección no vaćıa, entonces esa intersección
es también un subconjunto denso.
(4) Un subespacio cerrado de un espacio localmente compacto es también localmente
compacto.
(5) Todo abierto conexo del plano es conexo por caminos.
(6) Si una aplicación continua entre dos espacios toppológicos induce un isomorfismo
entre sus grupos fundamentales, entonces es un homeomorfismo.
PROBLEMAS
1. Sea X ⊂ R2 el semiplano cerrado {y ≥ 0}, P ⊂ X el semiplano abierto {y > 0} y L
la recta {y = 0}.
(1) Mostrar que se puede definir en X una topoloǵıa estrictamente más fina que la
usual tomando como entornos de los puntos p ∈ P los discos abiertos de P centrados en
p, y como entornos de los puntos p ∈ L los conjuntos {p}∪D donde D es un disco abierto
de P tangente a L en p.
(2) ¿Qué topoloǵıa induce T en L? Estudiar qué axiomas de numerabilidad cumple T.
(3) Estudiar si son compactos en esta topoloǵıa T: (i) el triángulo cerrado y ≤ 1, y ≥
x, y ≥ −x, (ii) el disco cerrado x2 + (y − 1)2 ≤ 1.
(4) Describir un subconjunto E ⊂ X que sea conexo por caminos para la topoloǵıa
usual y no para T.
2. Sea H ⊂ R2 el rectángulo cerrado con vértices (−1, 1), (−1, 0), (1, 0) y (1, 1), y consi-
deremos en él la relación de equivalencia definida por
R : (x, 1) ∼ (x, 0), (0, 0) ∼ (0, y), (1, 0) ∼ (1, y).
(1) Encontrar subespacio de R3 homeomorfo al espacio cociente X = H/R.
(2) ¿Es X localmente homeomorfo al plano?
(3) Calcular el grupo fundamental de X.
6
Junio 2013
TEORÍA
1. Enunciar una condición suficiente para que una unión de conexos sea conexo.
2. Explicar qué es un retracto de deformación.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
(1) La adherencia del interior de un conjunto cerrado es igual al propio conjunto.
(2) Un subespacio de un espacio separable es separable.
(3) Dos espacios no homeomorfos tienen compactificaciones por un punto no homeo-
morfas.
(4) Un subespacio abierto de un espacio localmente conexo es locamente conexo.
(5) Un espacio con una cantidad finita de componentes conexas es la suma topológica
de ellas.
(6) Dos caminos continuos en la esfera unidad de R3 con los mismos extremos son
homótopos con extremos fijos.
4. Sea X un espacio Hausdorff, K ⊂ X un compacto y a ∈ X un punto que no está en
K. Demostrar que a y K tienen entornos abiertos disjuntos.
PROBLEMAS
1. Se consideran en el plano R2 los subconjuntos W a, a ∈ R2, obtenidos suprimiendo en
una bola abierta B de centro a una cantidad finita de segmentos (a, b) con b ∈ R2.
(1) Mostrar que se puede definir en R2 una topoloǵıa T estrictamente más fina que la
usual tomando como base de abiertos la colección de todos los W a anteriores.
(2) ¿Qué topoloǵıa induce T en las rectas? ¿Y en las circunferencias?
(3) Estudiar si esta topoloǵıa T cumple el primer axioma de numerabilidad.
(4) Encontrar sucesiones que converjan en la topoloǵıa usual, pero no en T.
(5) Estudiar la local compacidad de T.
2. Sea H ⊂ R2 el rectángulo cerrado con vértices (−1, 0), (1, 0), (1, 1) y (−1, 1), y consi-
deremos en él la relación de equivalencia definida por
R :

(−1, y) ∼ (0, y) ∼ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1,
(0, 1) ∼ (x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1,
(0, 0) ∼ (x, 0) para −1 ≤ x ≤ 0.
(1) Encontrar un subespacio de R3 homeomorfo al espacio cociente X = H/R.
(2) Mostrar que un semicono x2 + y2 = z2, 0 ≤ z ≤ 1, tiene cualquiera de sus gene-
ratrices por retracto de deformación. (Nótese que un semicono es homeomorfo a un disco
cerrado.)
(3) Calcular el grupo fundamental de X.
(4) Explicar brevemente que espacio se obtendŕıa suprimiendo la tercera condición de
la relación R.
(5) ¿Y qué grupo fundamental tendŕıa ese espacio?
7
Septiembre 2013
TEORÍA
1. Enunciar dos axiomas de numerabilidad y explicar si uno implica otro.
2. Definir el grupo fundamental de un espacio.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
(1) Una aplicación continua transforma entornos de un punto en entornos de su
imagen.
(2) El producto de dos espacios localmente compactos es localmente compacto.
(3) La intersección de dos conjuntos compactos puede no ser compacto.
(4) Una biyección continua de un espacio compacto en śı mismo es abierta.
(5) Un espacio localmente conexo tiene una cantidad finita de componentes conexas.
(6) Dos caminos continuos en un toro con los mismos extremos son homótopos.
4. Demostrar que un espacio locamente compacto tiene compactificación por un punto, y
que es única salvo homeomorfismo.
PROBLEMAS
1. Se consideran en el plano R2 los subconjuntos W a, a ∈ R2, construidos como se indica
en la figura, para todos los posibles ángulos positivos θ < 1
4
π y amplitudes ε > 0.
a
θ
θ
ε
ε
(1) Mostrar que se puede definir en R2 una topoloǵıa T to-
mando como abiertos los conjuntos U ⊂ R2 tales que para cada
a ∈ U existe W a ⊂ U . ¿Son los W a abiertos en esta topoloǵıa?
(2) Mostrar que T induce la topoloǵıa usual en las rectas ho-
rizontales y verticales. ¿Y en las demás?
(3) Estudiar si el plano con esta topoloǵıa cumple el 2o axioma
de numerabilidad. ¿Es separable?
(4) Estudiar si el espacio (R2,T) es localmente compacto.
(5) Mostrar que (R2,T) es conexo por caminos.
2. Sea H ⊂ R2 la unión de los dos rectángulos de la figura, y consideremos en él la
relación de equivalencia R definida como se especifica a continuación (y representada en
la figura mediante flechas):
(x′, 0) (x, 0)
(−2, y) (1, y)
(−1, y′) (0, y′)u u
u uu u
−2 −1 0 1
1
< <
∨ ∨∧ ∧R :

(x, 0) ∼ (x′, 0) x′=−2+x, −1≤x≤0,
(−2, y) ∼ (1, y)) para 0 ≤ y ≤ 1,
(−1, y′) ∼ (0, y′) para 0 ≤ y′ ≤ 1,
(1) ¿Qué espacio es el cociente H/R?
(2) Explicar cuál es el grupo fundamental de ese espacio.
(3) ¿Qué espacio cociente resulta si se define una nueva relación de equivalencia S
escribiendo x′ = −1− x en la primera ĺınea de R?
(4) Mostrar que este segundo cociente H/S es un espacio contráctil.
(5) Utilizar una subrelación común de R y S para expresar H/R y H/S como cociente
de un mismo espacio que sea contráctil. ¿Qué dice esto de la contractibilidad de un espacio
y de sus cocientes?
8
Junio 2014
TEORÍA
1. ¿Qué es una botella de Klein?
2. Definir la topoloǵıa cociente.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
(1) El complementario de un conjunto denso no puede serlo también.
(2) Un subespacio de un espacio localmente compacto es localmente compacto.
(3) Si las compactificaciones de Alexandroff de dos espacios conexos son homeomor-
fas, los espacios lo son también.
(4) El producto de dos espacios separables es separable.
(5) Un espacio localmente conexo es la suma topológica de sus componentes conexas.
(6) Dos lazos en la esfera unidad de R3 con distinto punto base pueden no ser
homótopos.
4. Sea ρ : X → A ⊂ X un retracto de deformación. Demostrar que la aplicación Y 7→ ρ(Y )
es una biyección entre el conjunto de componentes conexas de X y el de componentes
conexas de A.
PROBLEMAS
1. Se consideran en R2 los subconjuntos
Uaε,r = R2 \ {ε ≤ ‖x− a‖ ≤ r}, 0 < ε < r, a ∈ R2.
(1) Mostrar que en R2 hay una topoloǵıa T, menos fina que la usual Tu, que tiene
como base de entornos de cada punto a ∈ R2 la colección de todos los Uaε,r anteriores.
(2) Demostrar que un conjunto (6= R2) es cerrado en T y sólo si es compacto en Tu.
¿Qué topoloǵıa induce T en los subconjuntos compactos para Tu?
(3) La aplicación f(t) = (t, 1/t) está definida para t 6= 0. ¿Se puede extender a t = 0
para obtener una aplicación continua f : (R,Tu) 7→ (R2,T)?
(4) Mostrar que (R2,T) es un espacio localmente compacto.
(5) ¿Es (R2,T) conexo por caminos?
2. Sea H ⊂ R2 el rectángulo cerrado con vértices (−2, 0), (2, 0), (2, 1) y (−2, 1), y consi-
deremos en él las tres condiciones siguientes
R :

(−1, y) ∼ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1,
(−2, y) ∼ (2, y′) para 0 ≤ y, y′ ≤ 1,
(x, 0) ∼ (x′, 0) para −1 ≤ x, x′ ≤ 1.
}
: R′
Como se indica, sean R la relación de equivalencia generada por todas ellas y R′ la generada
por la segunda y la tercera.
(1) Encontrar un subespacio de R3 homeomorfo al espacio cociente X = H/R.
(2) Construir un retracto de deformación de H compatible con la relación R y explicar
qué retracto induce en X.
(3) Calcular el grupo fundamental de X.
(4) Repetir el proceso con la relación R′, y sea X ′ = H/R′.
(5) Los espacios X y X ′ tienen el mismo tipo de homotoṕıa, pero ¿son homeomorfos?
9
Septiembre 2014
TEORÍA
1. Enunciar el lema de elevación para aplicaciones con valores en la circunferencia.
2. Definir dos axiomas de numerabilidad ninguno de los cuales implique al otro.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
(1) Si dos conjuntos tienen el mismo interior, entonces tienen la misma adherencia.
(2) La intersección de dos conjuntos localmente cerrados es localmente cerrado.
(3) La unión de dos conjuntos localmente conexos es localmente conexo.
(4) El producto de dos espacios localmente compactos es localmente compacto.
(5) Un espacio simplemente conexo es contráctil.
(6) El grupo fundamental de una superficie orientable es abeliano.
4. Demostrar que un conjunto estrellado es contráctil.
PROBLEMAS
1. Se consideran en el espacio R2 los triángulos
Tε,λ : 0 ≤ x < ε, 0 ≤ y ≤ λx, 0 < ε, λ.
Se pide:
(1) Mostrar que se puede definir en R2 una única topoloǵıa T que tiene como base de
entornos de cada punto a ∈ R2 la colección de todos los triángulos a+ Tε,λ.
(2) ¿Qué topoloǵıa induce T en las rectas?
(3) Estudiar qué axiomas de numerabilidad cumple el espacio (R2,T).
(4) Mostrar que (R2,T) no es locamente compacto.
(5) Calcular las componentes conexas de este espacio. ¿Hay caminos
no constantes?
2. Sea C ⊂ R2 el cuadrado cerrado con vértices (−1,−1), (1,−1), (1, 1) y (−1, 1), sea
R la relación de equivalencia generada por (−1, y) ∼ (1, y) y sea X = C/R el espacio
cociente correspondiente. Ahora consideramos los conjuntos A ⊂ C1 ⊂ C0 ⊂ C siguientes:
A =
(
[−1, 1]×{±1}
)
∪
(
{±1}×[−1, 1]
)
,
C1 = C \ (−1, 1)× {0},
C0 = C \ {(0, 0)}.
La restricción de R a A, C1 y C0 define sendas relaciones de equivalencia y denotamos Y ,
X1 y X0 los correspondientes espacios cocientes.
(1) Describir los espacios Y ⊂ X1 ⊂ X0 ⊂ X mediante subespacios de R3.
(2) Construir un retracto de deformación Rt de C0 sobre A compatible con R tal que
Rt(C1) ⊂ C1.
(3) Deducir que Y es retracto de deformación de X0 y también de X1.
(4) Calcular los grupos fundamentales de los espacios Y,X1, X0 y X.
(5) ¿Cuáles de los espacios Y,X1, X0 y X tienen igual tipo de homotoṕıa? ¿Cuáles son
homeomorfos?
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Junio 2015
TEORÍA
1. Definir la topoloǵıa cociente.
2. Caracterizar la compacidad mediante subconjuntos cerrados.
3. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
(1) Si dos conjuntos tienen la misma frontera y uno está contenido en el otro, en-
tonces tienen el mismo interior.
(2) En un espacio Hausdorff, la intersección de dos conjuntos localmente compactos
es localmente compacto.
(3) La intersección de dos conjuntos localmente conexos es localmente conexo.
(4) El producto de dos espacios Lindelöf es Lindelöf.
(5) Dos espacios contráctiles son homeomorfos.
(6) El grupo fundamental del plano proyectivo es infinito.
4. Demostrar que el grupo fundamental no depende del punto base.
PROBLEMAS
1. Se considera en R2 la colección B de todos los abiertos usuales más todos los subcon-
juntos de Q2. Se pide:
(1) Mostrar que B es base de una topoloǵıa en R2. Compararla con la topoloǵıa usual
Tu. ¿Es (R2,T) Hausdorff?
(2) Estudiar qué axiomas de numerabilidad cumple el espacio (R2,T).
(3) Mostrar que un compacto de T lo es de Tu, pero no rećıprocamente: un segmento
cerrado que contenga un punto con ambas coordenadas racionales no es compacto para
T.
(4) ¿Es (R2,T) localmente compacto?
(5) Calcular las componentes conexas de este espacio.
2. En el paralelogramo K ⊂ R2 de vértices (0, 0), (2, 0), (3, 1) y (1, 1) se considera la
relación de equivalencia R generada por
(x, 0) ∼ (1, 1−x) ∼ (2, 1−x) ∼ (2+x, 1), 0≤x≤1,
como se representa en la figura siguiente
(1) Describir un subespacio de R3 homeomorfo al espacio cociente X = K/∼.
(2) Sea A ⊂ K la unión del cuadrado {1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} y los dos segmentos
{0≤x≤1, y=0}, {2≤x≤3, y=1}. Construir un retracto de deformación ρs de X sobre
A compatible con R, es decir, tal que si p ∼ q entonces ρs(p) ∼ ρs(q).
(3) Deducir que A/∼ es retracto de deformación de K/∼ = X.
(4) Calcular el grupo fundamental de X.
(5) Estudiar que pares de puntos p, q ∈ X tienen entornos (arbitrariamente pequeños)
homeomorfos.
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TOPOLOGÍA GENERAL (curso 2007/08)
Hoja 1
1. Si f : (X,T ) → (X ′, T ′) es un homeomorfismo, entonces T es la topoloǵıa inicial para f y T ′ es
la topoloǵıa final para f .
2. Sea X un espacio con la topoloǵıa inicial inducida por la familia de aplicaciones fα : X → Xα,
para α ∈ A. Si cada Xα tiene la topoloǵıa inicial dada por una colección de aplicaciones
gαλ : Xα → Yαλ, para λ ∈ Lα, entonces X tiene la topoloǵıa inicial dada por las aplicaciones
gαλ ◦ fα : X → Yαλ, para α ∈ A y λ ∈ Lα. (Nota: esta propiedad se conoce como la propiedad
transitiva de las topoloǵıas iniciales. Hay también la correspondiente propiedad transitiva para
las topoloǵıas finales.)
3. Sea {Xi, i ∈ I} una familia de espacios topológicos, y Ai ⊂ Xi . Demostrar que la topoloǵıa
producto en ΠAi coincide con la topoloǵıa heredada como subespacio de ΠXi.
4. Consideremos RN, el conjunto de las sucesiones de números reales, y la aplicación f : R→ RN
definida por f(t) = (t, t, . . .). Estudiar si esta función es continua respecto de la topoloǵıa
producto y la topoloǵıa de las cajas en RN.
5. (Topoloǵıa producto y convergencia puntual) Sea x1,x2, . . . una sucesión de puntos en el espacio
producto Πα∈AXα. Probar que esta sucesión converge al punto x si, y sólo si, la sucesión
πα(x1), πα(x2), . . . converge a πα(x), para cada α.
6. Sea {Xi, i ∈ I} una familia de espacios topológicos, y Ai ⊂ Xi un subconjunto cualquiera, para
cada i ∈ I.
(a) Probar que en el espacio producto se verifica la igualdad Πi∈IAi = Πi∈IĀi.
(b) Estudiar si se verifica una relación análoga para el producto de los interiores de los Ai.
(c) Encontrar fórmulas para la clausura e interior de subconjuntos respecto de la topoloǵıa de
las cajas.
7. Sea R∞ el subconjunto de RN formado por las sucesiones que son “finalmente cero”, es decir,
las sucesiones (x1, x2, . . .) tales que xi 6= 0 sólo para un número finito de valores de i. Estudiar
la clausura de R∞ en RN respecto de la topoloǵıa producto.
8. En (R, Tu)R, estudiar la clausura y el interior de los siguientes subconjuntos:
A = {f : R→ R | f es acotada},
B = {f : R→ R | f es estrictamente creciente},
C = {f : R→ R | f toma valores en Z},
D = {f : R→ R | f es continua acotada}.
9. Se considera el espacio Π
n∈N(R, Tn) siendo
Tn =
{
T[) si n es par
T(] si n es impar
1
i) Determinar el interior y la clausura de
M = {f : N→ R| − 1 < f(n) < 1,∀n ∈ N}.
ii) En este espacio, determinar la convergencia de las sucesiones {fk}k∈N y {gk}k∈N siendo
fk(n) = (−1)n
1
k
, gk(n) = (−1)n+1
1
k
.
10. Dado un conjunto de ı́ndices J , se define en RJ la distancia ρ̄ como
ρ̄(x,y) = sup{d̄(xα, yα) |α ∈ J}
donde d̄ es la distancia acotada de R. Comprobar que ρ̄ es, efectivamente, una distancia. La
topoloǵıa que induce en RJ se denomina topoloǵıa uniforme.
(a) Probar que la topoloǵıa uniforme es más fina que la topoloǵıa producto y menos fina que
la topoloǵıa de las cajas. Las tres topoloǵıas son distintas si J es infinito.
(b) Consideramos J = N; dado x = (x1, x2, . . .) ∈ RN, y dado 0 < � < 1, sea
U(x, �) = (x1 − �, x1 + �)× . . .× (xn − �, xn + �)× . . . .
(i) Probar que U(x, �) no es igual a la bola Bρ̄(x, �), ni siquiera es un abierto de la topoloǵıa
uniforme.
(ii) Probar que Bρ̄(x, �) =
⋃
δ<� U(x, δ).
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Hoja 2
1. Variaciones del conjunto de Cantor
(a) El conjunto de Cantor mitad es el conjunto C 1
2
de los números x ∈ [0, 1] tales que x =∑∞
n=1
xn
3n donde xn es igual a 0 ó a 1, para todo n. Demostrar que C 12 es homeomorfo al
conjunto de Cantor C.
(b) Sea T el conjunto de los números del intervalo [0, 1] que se pueden escribir en base 7
utilizando sólo los d́ıgitos 0 y 6. A este conjunto le llamamos conjunto de Cantor delgado.
(c) Sea S el conjunto de los números del intervalo [0, 1] que se pueden escribir en base 7
utilizando sólo los d́ıgitos 0, 2, 4 y 6. Estudiar si T y S son homeomorfos al conjunto de
Cantor C.
(d) Hacer un dibujo que aproxime el conjunto C × C. Probar que C es homeomorfo a C × C.
infinito).
2. Autosemejanza del conjunto de Cantor. Probar que f(x) = 3x es un homeomorfismo entre
el subconjunto de Cantor I0 ∩ C y el conjunto total C.
3. Probar que el conjunto de Cantor es homogéneo. Es decir, si a, b ∈ C, entonces existe un
homeomorfismo f de C tal que f(a) = b. (Sugerencia: ver C como producto infinito).
2
4. El conjunto de Cantor como “conjunto prisionero”. Consideramos la siguiente aplicación:
f :x→
{
3x si x ≤ 0.5
−3x+ 3 si x > 0.5
Comenzando con un punto inicial, x0, consideramos la sucesión de sus imágenes iteradas:
x0, x1 := f(x0), . . . , xn := f(xn−1), . . . Si esta sucesión tiende a −∞, decimos que el punto
x0 se escapa (por ejemplo, los números negativos se escapan). Si la sucesión es acotada, decimos
que x0 es un punto prisionero (por ejemplo, x0 = 0 es prisionero). ¿Qué puntos se escapan y
cuáles son prisioneros?
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Hoja 3
1. En RR, sea E = {f
∈ RR | f(x) = 0 ó 1, y f(x) = 0 sólo una cantidad finita de veces} y sea
g ∈ RR la función idénticamente cero. Demostrar que g ∈ Ē. Calcular la clausura de E. Para
cada punto g ∈ Ē, estudiar si existe una sucesión en E que converja a g.
2. Sean: (i) (X,TCF ), con X un conjunto infinito y TCF la topoloǵıa de los complementos finitos
(ii) (X,TCN ), con X un conjunto infinito no numerable y TCN la topoloǵıa de los complementos
numerables.
(a) ¿Qué sucesiones convergen y a qué puntos?
(b) ¿Es X primer axioma de numerabilidad?
(c) ¿Se puede caracterizar la clausura (cerrados, abiertos, continuidad) por sucesiones?
(Una de las respuestas muestra que la condición de I A.N. no es necesaria para caracterizar la
clausura por sucesiones).
3. Encontrar espacios topológicos X,Y y una aplicación F : X → Y que no sea continua pero con
la propiedad de que si xn → x en X, entonces F (xn)→ F (x) en Y .
4. Demostrar que en cualquier espacio topológico la unión de una sucesión convergente con un
punto ĺımite es un conjunto compacto. Sin embargo esta afirmación es falsa si se sustituye
sucesión por red.
5. Sea (xλ)λ∈Λ una red en Πi∈I(Xi, Ti) que tiene un punto de aglomeración. Probar que por todo
j ∈ I, (pj(xλ))λ∈Λ tiene un punto de aglomeración en (Xj , Tj). Probar que el rećıproco no es
cierto.
6. Sea X un conjunto y T , T ′ dos topoloǵıas en él. Probar que si para todo punto x ∈ X y toda red
convergente (sd)d∈D a x en (X,T ), se tiene que la red también converge a x en (X,T ′), entonces
T ′ ⊂ T .
Deducir que si se tiene ∀x ∈ X
(sd)d∈D → x en (X,T ) ⇐⇒ (sd)∈D → x en (X,T ′),
entonces T = T ′.
3
7. Probar que la intersección de dos filtros F y G es el filtro generado por la familia {F ∪G |F ∈
F , G ∈ G}. ¿Es F ∪ G un filtro o está contenido en algún filtro?
8. (a) Caracterizar los filtros convergentes en un espacio con la topoloǵıa discreta y en un espacio
con la topoloǵıa trivial.
(b) SeaX un conjunto infinito y F el filtro de los conjuntos cuyos complementarios son conjuntos
finitos. Estudiar la convergencia de F en la topoloǵıa de los complementos finitos.
9. Demostrar que un filtro libre en un conjunto infinito X es más fino que el filtro de los comple-
mentarios de las partes finitas de X.
10. Correspondencia entre redes filtros. Una red (xλ)λ∈ L es universal si para cada E ⊂ X se verifica
que existe λ0 ∈ Λ tal que ∀λ ≥ λ0, xλ ∈ E, o bien existe λ1 ∈ L tal que ∀λ ≥ λ0, xλ ∈ X − E.
(a) Un punto x es punto de aglomeración de una red (xλ) sii x es punto de aglomeración del
filtro generado por (xλ).
(b) Un punto x es punto de aglomeración de un filtro F sii x es punto de aglomeración de la
red con base F .
(c) Una red (xλ) converge a un punto x si y sólo si el filtro generado por (xλ) converge a x.
(d) Un filtro F converge a un punto x si y sólo si la red con base F converge a x.
(e) La red con base un ultrafiltro es una red universal; el filtro generado por una red universal
es un ultrafiltro.
11. Probar que un espacio es de Hausdorff si y sólo si todo filtro (o equivalentemente toda red)
converge a lo sumo a un punto.
12. Dada una aplicación suprayectiva f : X → X ′ entre dos conjuntos y un filtro F en X ′, demostrar
que el conjunto
{f−1(F ) |F ∈ F}
es una base de filtro en X. Se denota por f−1(F) el filtro generado por dicha base. Para
f : R→ Imf , f(x) = x2, y F = {F ⊂ R | 0 ∈ F}, encontrar limF y lim f−1(F) con la topoloǵıa
usual. Lo mismo para F = {F ⊂ R | 1 ∈ F}.
13. Demostrar que la intersección de los elementos de un ultrafiltro U de un conjunto X contiene a
lo más un punto y que si ⋂
F∈UF = {x},
entonces U = {A ⊆ X|x ∈ A}.
14. Dado un filtro F en un espacio topológico, sea F ′ = {F̄ siendo F ∈ F}. ¿Qué relación hay entre
F y el filtro F̄ generado por F ′?
Estudiar la veracidad de la afirmación siguiente
x ∈ limF ⇐⇒ x ∈ lim F̄ .
15. En N se considera la topoloǵıa T = {∅, P,N} siendo P = {2k | k ∈ N}. Encontrar en este
espacio topológico los puntos ĺımite y de acumulación de los filtros engendrados por las bases
B1 = {C ⊂ N |N− C es finito}, y B2 = {{1, 3, ..., 2k + 1} | k ∈ N}.
4
16. Sea F un filtro definido en un espacio métrico (X, d). Se dice que F es de Cauchy si para todo
ε > 0, existe un F ∈ F tal que d(x, y) < ε, para cualquier par de puntos x, y ∈ F . Probar:
i) Si (xn)n∈N es una sucesión de Cauchy, el filtro asociado también es de Cauchy.
ii) Si F es un filtro de Cauchy, entonces F converge a todos sus puntos de acumulación.
17. En el espacio (R, Tu)R, para cada n ∈ N, se considera el subconjunto
Mn =
{
f ∈ RR | f(x) > − 1
n
∀x ∈ R
}
.
i) Determinar la adherencia y el interior de Mn.
ii) Sea F el filtro generado por {Mn |n ∈ N}. Determinar los puntos de aglomeración y con-
vergencia de F .
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Hoja 4
Axiomas de numerabilidad y separación.
1. Sea (X, d) un espacio métrico. Demostrar:
(a) X es I AN;
(b) X no es necesariamente II AN;
(c) si X es compacto, entonces es también II AN (Indicación: Sea An un recubrimiento finito
de X por bolas de radio 1/n.)
(d) son equivalentes: IIAN, Lindelöf y separable (probar: (i) metrizable y separable implica
IIAN; (ii) metrizable y Lindelöf implica IIAN).
2. Sea (R, T[ )) la recta de Sorgenfrey, es decir, R con la topoloǵıa generada por la base {[a, b) | a, b ∈
R, a < b}.
(a) Probar que (R, T[ )) satisface todos los axiomas de numerabilidad excepto el segundo. Probar
que es normal pero no metrizable.
(b) Probar que (R, T[ )) × (R, T[ )) no es de Lindelöf y no es normal. Estudiar el resto de los
axiomas de numerabilidad y separación.
3. Demostrar que RR con la topoloǵıa producto no satisface el I AN.
4. Propiedades hereditarias. Una propiedad es hereditaria si, siempre que un espacio satisface
esa propiedad, la satisfacen también todos sus subespacios.
(a) Los siguientes axiomas son propiedades hereditarias: I AN, II AN, Hausdorff, regular,
completamente regular, metrizable.
(b) Ser de Lindelöf y ser normal son propiedades hereditarias para subconjuntos cerrados.
(c) Separable no es propiedad hereditaria.
5. Propiedades multiplicativas.
5
(a) Los axiomas Hausdorff, regular y completamente regular son propiedades multiplicativas
respecto de productos arbitrarios.
(b) Los axiomas I AN, II AN, separable y metrizable son propiedades multiplicativas respecto
de productos numerables.
(c) Ser de Lindelöf y ser normal no son propiedades multiplicativas.
6. Sea T = {A ⊂ R | A = G−H,G ∈ Tu, card(H) ≤ card(N)}, siendo Tu la topoloǵıa usual de R.
Probar que T es una topoloǵıa en R y estudiar los axiomas de numerabilidad y de separación
de (R, T ).
7. Estudiar los axiomas de separación de (R, T ), siendo T la topoloǵıa generada por Tu ∪ P(Q).
8. Plano de Moore: Sea X = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0}.
• Para cada P = (x, y) con y > 0 se considera la familia de subconjuntos V(P ) = {B(P, �) | 0 <
� < y}, donde B(P, �) es la bola abierta centrada en en el punto P y de radio � (respecto
de la distancia usual);
• para cada P = (x, 0) se considera la familia de subconjuntos V(P ) = {D(P, �) | � ∈ R+},
donde D(P, �) = {(x, 0)} ∪ {(u, v) ∈ R2 | v > 0, (u− x)2 + v2 < �2}.
Sea B =
⋃
P∈X V(P ) y T la topoloǵıa generada por B. Estudiar los axiomas de separación y
numerabilidad del (X,T ).
9. Plano de Niemytzki: Sea X = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0}.
• Para cada P = (x, y) con y > 0 se considera la familia de subconjuntos V(P ) = {B(P, �) | 0 <
� < y};
• para cada P = (x, 0) se considera la familia de subconjuntos V(P ) = {G(P, �) | � ∈ R+},
donde G(P, �) = {P} ∪B((x, �), �).
Sea B =
⋃
P∈X V(P ) y T la topoloǵıa generada por B. Estudiar los axiomas de separación y
numerabilidad del (X,T ).
10. (Lema de Jones) Sea (X,T ) un espacio normal, tal que tiene un subconjunto denso D y un
subespacio cerrado y discreto E. Probar que card(E) < 2card(D). (Ayuda: encontrar una
aplicación inyectiva entre el conjunto P(E) de las partes de E y el conjunto P(D)).
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
6
Hoja 5
1. Sea X = [0, 1]× [0, 1] y ∆ = {(x, x) |x ∈ [0, 1]} la diagonal. Para un punto (x, y) 6∈ ∆, y � > 0,
se considera el subconjunto
N�((x, y)) = {x} × (y − �, y + �) \∆;
para un punto (s, s) ∈ ∆, � > 0 y F un subconjunto finito de R se considera el conjunto
B(�, (s, s), F ) = {(x, y) ∈ X | y ∈ (s− �, s+ �), x 6∈ F}
(banda horizontal abierta menos una cantidad finita de rectas verticales). Se considera el espacio
(X,T ) donde T es la topoloǵıa generada por la base
B = {N�((x, y)) |x 6= y, � > 0}
⋃
{B(�, (s, s), F ) | s ∈ [0, 1], � > 0, F ⊂ R finito}
a) Estudiar la topoloǵıa inducida en las rectas horizontales, verticales, y en la diagonal ∆.
b) Estudiar los axiomas de numerabilidad.
c) ¿Es (X,T ) compacto?
d) Estudiar los axiomas de separación de (X,T ). SeaA = ∆\{(0, 0)} y seaB = {(x, 0) |x > 0}.
Estudiar si existen abiertos disjuntos que separen A y B.
2. En R2 se considera la topoloǵıa dada por la siguiente base B = B+ ∪ B− ∪ B0, donde:
B+ = {D((x, y), �) |x ∈ R, y > 0, 0 < � < y}
(donde D((x, y), �) es el disco abierto centrado en (x, y) y de radio �);
B− = {{x} × (a, b) |x ∈ R, a < b < 0}
(es decir, B− son intervalos verticales abiertos contenidos en el semiplano inferior);
B0 = {A((a, 0), �) | a ∈ R, � > 0},
donde A((a, 0), �) = {(x, y) | y > 0, (x− a)2 + y2 < �} ∪ {(a, y) | − � < y ≤ 0}
a) Estudiar los axiomas de numerabilidad de (R2, T (B)) (I AN, II AN, separable y Lindelöf).
b) Estudiar si (R2, T (B)) es regular.
c) Se consideran los subconjuntos C1 = {(x, y) |x ≤ 0, y ≤ −1}, C2 = {(x, y) |x > 0, y ≤ −1}.
¿Existen dos abiertos disjuntos que los separen? La misma pregunta con los subconjuntos
D1 = {(x, y) |x ≤ 0, y ≤ 0}, D2 = {(x, y) |x > 0, y ≤ 0}.
3. Doble ćırculo de Alexandroff. Se considera el espacio (X,T ) donde X = C1 ∪ C2, Ci es la
circunferencia de R2 de centro el origen y radio i, i = 1, 2, y T es la topoloǵıa generada por la
base (utilizamos notación de los números complejos para los elementos de R2).
B =
{
{z} | z ∈ C2
}
∪
{
V (z, �) | z ∈ C1, � > 0
}
V (z, �) =
{
w ∈ X |Arg(w) ∈ (Arg(z)− �,Arg(z) + �)
}
−
{
2eiArg(z)
}
.
7
a) ¿Es (X,T ) compacto?
b) Estudiar los axiomas de separación de (X,T ).
c) Estudiar los axiomas de numerabilidad.
d) Demostrar que no toda aplicación continua de C2 (con la topoloǵıa inducida de X) en R
se puede extender a una aplicación continua de X en R.
4. Topoloǵıa de los quesitos en R2. Se considera en R2 la topoloǵıa T generada por la base
B =
{
V ((a, b), α, �) | (a, b) ∈ R2, α > 1, � > 0
}
donde V ((a, b), α, �) es el subconjunto de los puntos (x, y) del plano que verifican
y − b > α(x− a), y − b > −α(x− a),
cortado con la bola abierta centrada en (a, b) y de radio �, y unido el punto (a, b).
a) Estudiar la topoloǵıa restringida a las rectas de R2.
b) Estudiar los axiomas de numerabilidad.
c) Estudiar si la aplicación f : (R2, T )→ (R, Tu) definida como
f(x, y) =
{
0 si y ≥ 1
1 si y < 1
es continua.
d) Estudiar los axiomas de separación.
5. En R se considera la “topoloǵıa del lazo” T generada por la familia
B = {(x− ε, x+ ε) |x 6= 0, 0 < ε < |x|}∪
{(−∞,−n) ∪ (−ε, ε) ∪ (n,∞) |n ∈ N, ε > 0}.
Demostrar que el filtro de Frechet converge a 0 en esta topoloǵıa. Estudiar los axiomas de
separación y numerabilidad de (R, T ). ¿Es compacto? ¿Es metrizable? ¿Se puede encontrar un
subespacio de R2 homeomorfo a (R, T )?
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Hoja 6
1. El lema de Urysohn para espacios métricos.
a) Sea (X, d) un espacio métrico y A un subconjunto cerrado de X. Para un punto x ∈ X,
definimos la distancia de x al cerrado A como d(x,A) = inf{d(x, a) | a ∈ A}. Demostrar
que ésto define una aplicación d(−, A):X → R que es continua.
b) Sea (X, d) un espacio métrico y A,B dos cerrados disjuntos de X (con la topoloǵıa Td
asociada a la métrica). Demostrar que la función
f(x) =
d(x,B)− d(x,A)
d(x,B) + d(x,A)
es una función de X en [−1, 1] continua y tal que f(A) = {1}, f(B) = {−1}
8
c) Consideremos X = R2 y d la distancia eucĺıdea, y sean A = {(−1, 0)} y B = {(1, 0)};
dibujar las ĺıneas de nivel de la función f .
2. Sea Z un espacio topológico. Si Y es un subespacio de Z, diremos que Y es un retracto de Z su
existe una aplicación continua r : Z → Y tal que r(y) = y para cada y ∈ Y .
a) Probar que si Z es Hausdorff e Y es un retracto de Z, entonces Y es cerrado en Z.
b) Sea A un conjunto de R2 consistente en dos puntos. Probar que A no es un retracto de R2.
c) Sea S1 la circunferencia unidad de R2. Probar que S1 es un retracto de R2 \ {(0, 0)}. ¿Es
también retracto de R2?
3. Un espacio Y se dice que tiene la propiedad universal de la extensión si para cada terna formada
por un espacio normal X, un subconjunto cerrado A de X y una función continua f : A → Y ,
existe una extensión de f a una aplicación continua de X en Y .
a) Probar que RJ tiene la propiedad universal de la extensión.
b) Probar que si Y es homeomorfo a un retracto de RJ , entonces Y tiene la propiedad universal
de la extensión.
4. Sea Y un espacio normal. Se dice que Y es un retracto absoluto si para cada par de espacios
(Y0, Z) tal que Z es normal e Y0 es un subespacio cerrado de Z homeomorfo a Y , el espacio Y0
es un retracto de Z.
a) Probar que si RJ tiene la propiedad universal de la extensión, entonces Y es un retracto
absoluto. (El rećıproco también es cierto, aunque más dif́ıcil.)
b) Probar que si Y es un retracto absoluto e Y es compacto, entonces Y tiene la propiedad
universal de la extensión. (Indicación: Utilizando el teorema de Tychonoff se obtiene que
[0, 1]J es normal. Construir un embebimiento de Y en [0, 1]J .)
5. a) La espiral logaŕıtmica es la adherencia C en R2 de la curva
x = et cos t, y = etsen t.
Demostrar que la espiral logaŕıtmica es un retracto de R2. ¿Se puede definir una retracción
espećıfica r : R2 → C?
b) Probar que el eje anudado K de la figura es un retracto de R3.
K
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
9
Hoja 7
1. Sea X un espacio con particiones continuas de la unidad para recubrimientos finitos. Probar
que entonces:
(1) Existen funciones meseta: para cualquier entorno abierto U de un conjunto cerrado C
existe una función continua f : X → R que es ≡ 1 en C y ≡ 0 fuera de U .
(2) Se tiene extensión local por 0 : toda función continua f : U → R definida en un entorno U
de un punto a ∈ X se extiende a una función continua F : X → R que coincide con f en
un entorno de a tal vez menor V ⊂ U , y es idénticamente nula fuera de U .
2. Sea (R, T ) el conjunto de los reales dotado de la topoloǵıa cuyos abiertos son los subconjuntos
de la forma U ∪ V donde U es un abierto de la topoloǵıa usual y V un subconjunto cualquiera
de irracionales. Probar que el espacio (R, T ) es paracompacto.
3. Probar que un espacio paracompacto y Hausdorff es normal.
4. Probar que los siguientes espacios no son paracompactos:
(a) El plano de Niemytzki.
(b) El espacio X = R2 dotado de la topoloǵıa cuya base está dada por discos eucĺıdeos abiertos
centrados en todos los puntos z ∈ R2, exclúıdos una cantidad finita de diámetros y añadido
de nuevo el punto z.
5. Probar que un subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Hoja 8
1. Se consideran las siguientes sucesiones de funciones continuas de R en R:
(a) fn(x) =

0 si |x| ≥ 1/n
nx+ 1 si −1/n ≤ x ≤ 0
−nx+ 1 si 0 ≤ x ≤ 1/n
(b) fn(x) =

0 si x ≤ 0 ó x ≥ 2/n
nx si 0 ≤ x ≤ 1/n
−nx+ 2 si 1/n ≤ x ≤ 2/n
(c) fn(x) =

0 si x ≤ 0 ó x ≥ 2n
(1/n)x si 0 ≤ x ≤ n
−(1/n)x+ 2 si n ≤ x ≤ 2n
(d) fn(x) =

0 si x ≤ 0 ó x ≥ 2n
(1/n2)x si 0 ≤ x ≤ n
−(1/n2)x+ 2/n si n ≤ x ≤ 2n
En cada uno de los casos, estudiar si (i) la sucesión converge puntualmente; (ii) si converge
uniformemente en los compactos de R; (iii) si converge uniformemente; (iv) si la función ĺımite
es continua.
2. Sean X,Y espacios topológicos. Demostrar que (Y
X , TCA) es T1 o Hausdorff si y solamente si
Y lo es.
10
3. Estudiar la clausura y el interior de los siguientes subconjuntos de RR con respecto de: (a)
la topoloǵıa producto; (b) la topoloǵıa compacto-abierta; (c) la topoloǵıa uniforme sobre los
compactos; (d) en la topoloǵıa uniforme.
(i) El conjunto C(R,R) de aplicaciones continuas.
(ii) El conjunto B(R,R) de aplicaciones acotadas (con respecto de la métrica eucĺıdea).
4. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de II son compactos (a) con la topoloǵıa producto; (b)
con la topoloǵıa compacto-abierta?
(i) {f ∈ II | f(0) = 0}
(ii) {f ∈ II | f es continua y f(0) = 0}
(iii) {f ∈ II | f es diferenciable y |f ′(x)| ≤ 1 para todo x ∈ I}.
5. Estudiar si los subconjuntos {fn |n ∈ N} del ejercicio 1 tienen clausura compacta en RR con:
(a) la topoloǵıa producto; (b) la topoloǵıa compacto-abierta.
11
topologia/proto.pdf
Grado en Matemáticas. UCM
TOPOLOGÍA ELEMENTAL
Raquel Dı́az, Francisco Gallego Lupiañez, Feliciana Serrano, Jesús M. Ruiz
PROBLEMAS1
Lista 0. Para empezar
Número 0.1. Comprobar las leyes distributivas para la unión y la intersección de conjun-
tos, y las leyes de De Morgan.
Número 0.2. Sea f : A→ B. Sean A0 ⊂ A,B0 ⊂ B.
(a) Demostrar que A0 ⊂ f−1(f(A0)) y que se da la igualdad si f es inyectiva.
(b) Demostrar que f(f−1(B0)) ⊂ B0 y que se da la igualdad si f es sobreyectiva.
Número 0.3. Sea f : A → B y sean A1, A2, Al ⊂ A y B1, B2, Bl ⊂ B para todo l ∈ L.
Probar que f−1 conserva las inclusiones, uniones, intersecciones y las diferencias de conjuntos:
(a) Si B1 ⊂ B2, entonces f−1(B1) ⊂ f−1(B2).
(b) f−1(
⋃
iBi) =
⋃
i f
−1(Bi).
(c) f−1(
⋂
iBi) =
⋂
i f
−1(Bi).
(d) f−1(B1 \B2) = f−1(B1) \ f−1(B2).
Demostrar que f conserva solamente las uniones y las inclusiones:
(e) Si A1 ⊂ A2, entonces f(A1) ⊂ f(A2).
(f) f(
⋃
iAi) =
⋃
i f(Ai).
(g) f(
⋂
iAi) ⊂
⋂
i f(Ai); se da la igualdad si f es inyectiva.
(d) f(A1 \A2) ⊃ f(A1) \ f(A2); se da la igualdad si fes inyectiva.
Número 0.4. Probar que el conjunto Q de los números racionales es numerable. Probar
que el intervalo I = [0, 1] no es numerable, y que R no es numerable.
Número 0.5. (Distancias en Rn) Comprobar que cada una de las siguientes es una dis-
tancia en Rn. Estudiar cómo son las bolas en cada una de ellas.
(a) d(x, y) =
√∑n
i=1(xi − yi)2.
(b) ρ1(x, y) =
∑n
i=1 |xi − yi|.
(c) ρ2(x, y) = max{|x1 − y1|, . . . , |xn − yn|}.
(Para la primera, utilizar la desigualdad de Minkowsky:
√∑
(ai + bi)2 ≤
√∑
a2i +
√∑
b2i . )
Número 0.6. Sea C(I) el conjunto de las aplicaciones continuas del intervalo I = [0, 1] en
R. Probar que:
(a) ρ(f, g) = supx∈I{|f(x)− g(x)|} es una distancia en C(I).
(b) σ(f, g) =
∫ 1
0 |f(x)− g(x)|dx es una distancia en C(I).
Estos ejemplos muestran distancias interesantes y útiles en espacios distintos de Rn.
1Versión 2013.2
1
Número 0.7. (Distancias acotadas) Una distancia ρ en M es acotada si existe una cons-
tante A tal que ρ(x, y) ≤ A para todos x, y ∈M . Probar que si ρ es una distancia cualquiera
en M , entonces ρ∗(x, y) = min{ρ(x, y), 1} es también una distancia y es acotada.
Lista 1. Espacios topológicos
Número 1.1. Sea X un conjunto, y TCF la familia de todos los subconjuntos de X cuyo
complementario es finito, más el conjunto vaćıo. Probar que TCF es una topoloǵıa en X.
Esta topoloǵıa se llama, por razones evidentes, topoloǵıa de los complementarios finitos.
¿Qué topoloǵıa obtenemos si X es un conjunto finito?
Número 1.2. Sea X un conjunto infinito, y TCN la familia de todos los subconjuntos de
X cuyo complementario es numerable, más el conjunto vaćıo. Probar que TCN es una topo-
loǵıa en X. Esta topoloǵıa se llama, por razones evidentes, topoloǵıa de los complementarios
numerables. ¿Cuándo obtenemos la topoloǵıa discreta?
Número 1.3. En un conjunto X se considera la familia T de todos los subconjuntos con
complementario infinito, vaćıo o todo X. Estudiar si T es una topoloǵıa.
Número 1.4. Sea X un conjunto infinito y T una topoloǵıa en la que todos los conjuntos
infinitos son abiertos. Demostrar que T es la topoloǵıa discreta.
Número 1.5. En un conjunto X está definida una topoloǵıa T, y se considera un subcon-
junto S ⊂ X. Probar que
T′ = {∅, G ∪ S : G ∈ T}
define una topoloǵıa en X. Comparar T y T′.
Número 1.6. Sean T1 y T2 dos topoloǵıas en un conjunto X. Mostrar que su intersección
T1 ∩ T2 es también una topoloǵıa. ¿Se puede decir lo mismo de su unión T1 ∪ T2? Construir
la topoloǵıa menos fina que contiene a esa unión.
Número 1.7. En el plano X = R2 se considera la familia T de todos los subconjuntos U
tales que para cada punto (a, b) ∈ U existe ε > 0 con
[(a− ε, a+ ε)× {b}] ∪ [{a} × (b− ε, b+ ε)] ⊂ U.
Estudiar si T es una topoloǵıa en X.
Número 1.8. En X = R2 se consideran los subconjuntos
Gt = {(x, y) ∈ X : x > y + t} con t ∈ R.
Demostrar que estos subconjuntos, junto con ∅ y X, son los abiertos de una topoloǵıa en X.
¿Es esto mismo cierto si t ∈ N?, ¿y si t ∈ Q?
Número 1.9. Sea ω un elemento que no está en R, y denotemos X = {ω} ∪ R. Sea T la
colección de todos los subconjuntos G ⊂ X tales que: o bien (i) ω /∈ G, o bien (ii) ω ∈ G y
X \G es finito. Estudiar si T es una topoloǵıa en X.
2
Número 1.10. En el espacio (X,T) del número 5, determinar la adherencia de un conjunto
A ⊂ X según la intersección S ∩A sea o no vaćıa.
Número 1.11. En el conjunto finito X = {a, b, c, d, e} se considera la topoloǵıa T cuyos
abiertos son los subconjuntos
∅, X, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}.
Calcular la adherencia de los conjuntos {a}, {b} y {c, e}. ¿Es denso alguno de ellos? Calcular
el interior y la frontera del conjunto {a, b, c}. Determinar los sistemas de entornos de los
puntos e y c.
Número 1.12. Describir el operador adherencia en un espacio con la topoloǵıa discreta.
¿Qué subconjuntos son densos? ¿Cuál es la base de entornos más simple de un punto dado?
Número 1.13. Describir el operador adherencia en un espacio equipado con la topoloǵıa
trivial. ¿Cuáles son los subconjuntos densos? ¿Cuáles son los entornos de un punto dado?
Número 1.14. Sea X un conjunto. Definir en X una distancia que tenga asociada la
topoloǵıa discreta. ¿Se puede hacer lo mismo para la topoloǵıa trivial?
Número 1.15. La topoloǵıa usual Tu en un espacio af́ın Rn es por definición la asociada a
la métrica eucĺıdea. En el caso de la recta X = R, esa topoloǵıa se obtiene tomando como base
la colección de los intervalos abiertos. Usando otros intervalos se pueden definir topoloǵıas
diferentes. Por ejemplo, se puede tomar como base la colección de los intervalos semiabiertos
por la derecha [a, b) (resp. por la izquierda (a, b]), y obtener una topoloǵıa T[,) (resp. T(,]).
Comparar esas topoloǵıas entre śı y con la usual.
Número 1.16. En R2 se considera la familia B de todos los subconjuntos
B((x, y), ε) = [(x, x+ ε)× (y, y + ε)] ∪ {(x, y)}, (x, y) ∈ R2, ε > 0.
(a) Demostrar que B es base de una topoloǵıa T en R2.
(b) Estudiar la relación de esta topoloǵıa con la topoloǵıa usual Tu del plano.
(c) Hallar el interior de [0, 1]× [0, 1] y la adherencia de (0, 1)× (0, 1) en T y en Tu.
Número 1.17. En R2 se considera la topoloǵıa T del número 8. ¿Son las rectas cerrados
de esta topoloǵıa? Si no lo son, ¿cuál es su adherencia? Calcular:
(a) Las adherencias de los cuadrantes A : x ≥ 0, y ≤ 0 y B : x ≥ 0, y ≥ 0,
(b) El interior y la adherencia del conjunto {x > y} ∪ {x > −y}.
(c) ¿Tiene algún punto (x, y) algún entorno cerrado distinto de todo el plano?
Número 1.18. Sea d la distancia eucĺıdea en el plano R2. Se definen otras dos distancias
mediante
D(P,Q) =
{
0 si P = Q,
d(O,P ) + d(O,Q) si no,
y
δ(P,Q) =
{
d(P,Q) si O,P y Q están alineados,
d(O,P ) + d(O,Q) si no,
donde O es el origen, y una tercera
ρ(P,Q) =
{
|y1 − y2| si x1 = x2,
|y1|+ |x1 − x2|+ |y2| si no,
3
donde P = (x1, y1) y Q = (x2, y2). Se consideran
entonces las cuatro topoloǵıas del plano
asociadas a las cuatro métricas d,D, δ, ρ. Hallar en todas ellas el interior y la adherencia de:
(a) Una recta,
(b) [0, 1)× [0, 1),
(c) [0, 1]× [0, 1], y
(d) [1, 2]× [1, 2].
Número 1.19. Sea T la topoloǵıa de la recta real R cuyos abiertos no vaćıos son los
subconjuntos U ⊂ R que contienen todos los números enteros k ≥ 1 (esto es, 1, 2, 3, . . . ∈ U).
(a) ¿Tiene cada punto un entorno mı́nimo?
(b) Describir las operaciones de clausura e interior.
Número 1.20. Se consideran en el plano R2 los triángulos semiabiertos de vértice (a, b) ∈
R2 y anchura ε > 0 definidos por
U = {(x, y) ∈ R2 : x− y ≥ a− b, x+ y ≥ a+ b, a ≤ x < a+ ε},
y equipamos R2 con la topoloǵıa T que tiene todos esos triángulos por base de abiertos.
Calcular la adherencia (en T) de un triángulo semiabierto U .
Número 1.21. Un subconjunto W del plano R2 se llama radialmente abierto si para cada
punto p ∈W y cada recta L que pase por el punto, W∩L contiene un intervalo abierto centra-
do en p. Probar que los conjuntos radialmente abiertos son los abiertos de una topoloǵıa T en
R2. ¿Qué relación tiene con la usual? Estudiar que topoloǵıa induce T en las circunferencias
y en las rectas.
Lista 2. Aplicaciones continuas
Número 2.1. Sean (X,T), (X ′,T′) dos espacios topológicos y f : X → X ′ una aplicación.
Probar que f es continua si y sólo si existe una base B′ de T′ tal que f−1(B′) ∈ T para cada
B′ ∈ B′. Enunciar y probar el resultado análogo para subbases.
Número 2.2. Sea (X,T) un espacio topológico, A ⊂ X y χA : (X,T)→ (R,Tu) la corres-
pondiente función caracteŕıstica:
χA(x) =
{
1 si x ∈ A,
0 si x /∈ A.
Probar que χA es continua en a ∈ X si y sólo si a /∈ Fr(A).
Número 2.3. Probar que si un espacio topológico (X,T) tiene la propiedad de que todas
las aplicaciones f : (X,T)→ (R,Tu) son continuas, entonces T es la topoloǵıa discreta.
Número 2.4. Sean f : (X,T) → (X ′,T′) y g : (X ′,T′) → (X ′′,T′′) aplicaciones conti-
nuas cuya composición g ◦ f es un homeomorfismo. Probar que si g es inyectiva (resp. f es
suprayectiva), entonces f y g son homeomorfismos.
4
Número 2.5. Se considera la aplicación
f : R→ R2 : t 7→
(
t
1 + t4
,
t3
1 + t4
)
,
y se denota X = f(R). Se equipan R y R2 con las topoloǵıa usuales, y X ⊂ R2 con la
topoloǵıa relativa T = Tu|X. Mostrar que f : (R, Tu) → (X,T) es una aplicación continua y
biyectiva, pero no un homeomorfismo.
Número 2.6. Describir los homeomorfismos entre espacios con la topoloǵıa de los comple-
mentos finitos. ¿Y con la topoloǵıa de los complementos numerables?
Número 2.7. Sea f : R → R la aplicación dada por f(x) = x2. Estudiar si f es continua
con las siguientes topoloǵıas:
Tu → TCF, Tu → TCN, TCF → Tu, TCF → TCF, T[,) → Tu, Tu → T[,), T[,) → T[,).
(Estas topoloǵıas se definieron en la lección anterior.)
Número 2.8. Demostrar que si una aplicación f : R → R es continua para Tu → T[,) y
también para Tu → T(,], entonces es una aplicación constante.
Número 2.9. Sea f : R→ R2 la aplicación f(x) = (x, x2). Estudiar si es continua para las
siguientes topoloǵıas:
Tu → Tρ (número 1.18), Tu → T (número 1.16), TCN → Tu, T[,) → T.
Número 2.10. Se equipa R2 con la topoloǵıa Tρ. Estudiar la continuidad de:
(a) Las traslaciones τ : (R2,Tρ)→ (R2,Tρ).
(b) Los giros θ : (R2,Tρ)→ (R2,Tρ).
(c) Las simetŕıas σ : (R2,Tρ)→ (R2,Tρ) respecto de una recta .
Número 2.11. Lo mismo que en el número anterior, reemplazando la topoloǵıa Tρ por la
topoloǵıa Tδ del número 1.18.
Número 2.12. Se considera la aplicación R → Z : x 7→ [x] = parte entera de x. Estudiar
qué topoloǵıas en Z hacen continua esta aplicación, cuando en R se considera la topoloǵıa
usual.
Número 2.13. Definir homeomorfismos:
(a) Entre un triángulo equilátero y un disco cerrado, que transforme el borde del triángulo
en la circunferencia, y los tres vértices del triángulo en tres puntos prefijados de la misma.
(b) Entre un cuadrado y un disco cerrado, que transforme el borde del cuadrado en la
circunferencia y los cuatro vértices del cuadrado en cuatro puntos prefijados de la misma.
Extender las construcciones a poĺıgonos planos más generales, no necesariamente regulares
ni convexos.
Número 2.14. Demostrar que la topoloǵıa T de los conjuntos radialmente abiertos del
plano (1.21) es la topoloǵıa que cumple las dos condiciones siguientes:
(1) Induce en las rectas del plano la topoloǵıa usual.
(2) Una aplicacion f : R2 → X es continua si lo son todas sus restricciones a rectas.
5
Estudiar la cotinuidad de la función f(x, y) = x
2y
y2+x4
respecto de esta topoloǵıa radial y
respecto de la topoloǵıa usual.
Lista 3. Construcción de topoloǵıas
Número 3.1. Demostrar que si Y es un subespacio de X y Z uno de Y , entonces la
topoloǵıa de Z como subespacio de Y es la misma que como subespacio de X.
Número 3.2. Sea B una base de una topoloǵıa enX y A ⊂ X. Demostrar que los conjuntos
B ∩A forman una base de la topoloǵıa relativa de A.
Número 3.3. En R2 se consideran las topoloǵıas TD, Tδ y Tρ asociadas a las métricas D,
δ y ρ del número 1.18. Describir la topoloǵıa inducida por cada una de esas tres en una recta
de R2.
Lo mismo para la topoloǵıa T del número 1.8.
Número 3.4. Sea T la topoloǵıa del plano R2 definida en el número 1.16. Hallar la topo-
loǵıa inducida por T: (i) en la recta r : x = 0, y (ii) en la recta s : x = y.
Número 3.5. Estudiar si alguna de las topoloǵıas del plano R2 = R × R definidas en los
dos números anteriores es el producto de dos topoloǵıas en R.
Número 3.6. Sea (Xi,Ti), i ∈ I, una colección de espacios topológicos y consideremos
subconjuntos Ai ⊂ Xi, i ∈ I. Probar que la topoloǵıa producto de las relativas Ti|Ai coincide
con la topoloǵıa relativa
∏
i Ti|
∏
iAi.
Número 3.7. Sean X e Y espacios topológicos, y A ⊂ X, B ⊂ Y subconjuntos suyos. Se
equipa X × Y con la topoloǵıa producto. Demostrar que entonces:
(a)
◦
A×B =
◦
A×
◦
B.
(b) A×B = A×B.
(c) Fr(A×B) =
(
A× Fr (B)
)
∪
(
Fr (A)×B
)
.
Número 3.8. Sea (Xi,Ti), i ∈ I, una colección de espacios topológicos y para cada i ∈ I
sea Ai ⊂ Xi. Probar que
∏
iAi es denso en
∏
iXi (con la topoloǵıa producto) si y sólo si
cada Ai es denso en Xi.
Número 3.9. Se considera en X = R×Z la topoloǵıa T producto de la usual Tu en R y la
de los complementos finitos TCF en Z. Estudiar la continuidad de la aplicación f : (X,T)→
(R,Tu) : (t, k) 7→ t− k.
Número 3.10. Se consideran en el plano R2 la topoloǵıa T de 1.20. ¿Existe alguna topo-
loǵıa T1 en R tal que T sea la topoloǵıa producto T1×T1? ¿Y tal que (R2,T) sea homeomorfo
a (R2,T1 × T1)?
Número 3.11. En R2 se consideran las rectas r : y = 0, s : y = 1 y t : x = 0, su unión
M = r∪s∪t, y el segmento A : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1. En M se define la relación de equivalencia R
que identifica todos los puntos de A. Ahora se equipa R2 con la topoloǵıa usual y el conjunto
6
cociente M/R con la topoloǵıa cociente. Sea p : M →M/R la aplicación canónica. Estudiar
si p(t) es entorno de p(A) en M/R, y determinar un subconjunto E ⊂M tal que p(E) lo sea.
Número 3.12. En (R,Tu) se considera la relación de equivalencia siguiente:
xRy si y sólo si x, y ∈ Q (o x = y).
Por otra parte, en (R2,Tu) se define análogamente:
(x, y)S(x′, y′) si y sólo si (x, y), (x′, y′) ∈ Q2 (o (x′, y′) = (x′, y′)).
¿Son homeomorfos el cociente R2/S y el producto R/R× R/R?
Número 3.13. En R con la topoloǵıa usual se define la relación de equivalencia: xRy si
y sólo si x − y es un entero. Demostrar que el espacio cociente R/R es homeomorfo a la
circunferencia S1 : x2 + y2 = 1 con la topoloǵıa relativa como subconjunto de R2.
Número 3.14. Demostrar que la recta proyectiva real es homeomorfa a la circunferencia
S1.
Número 3.15. Demostrar que el plano proyectivo es homeomorfo al espacio cociente ob-
tenido del disco cerrado unidad del plano identificando cada dos puntos
antipodales de su
borde.
Número 3.16. Describir cómo la esfera unidad S2 ⊂ R3 puede obtenerse como espacio
cociente del disco cerrado unidad del plano.
Número 3.17. Explicar cómo el disco cerrado unidad del plano puede obtenerse como
cociente de un cilindro S1 × [0, 1] ⊂ R3.
Número 3.18. Explicar cómo puede obtenerse la esfera S2 mediante un cociente de la
suma de dos discos cerrados.
Número 3.19. Describir el plano proyectivo como cociente de la suma topológica de un
disco cerrado del plano y una banda de Möbius con borde.
Número 3.20. Sea M ⊂ R3 el tronco de cilindro {x2+y2 = 1,−2≤z≤2}, y sean E,F ⊂ X
las dos circunferencias {x2 + y2 = 1, z = 1}, {x2 + y2 = 1, z = −1}. En M se considera la
relación de equivalencia
p = (x, y, z) ∼ p′ = (x′, y′.z′) si y sólo si p = p′ o z = z′ = +1 o z = z′ = −1.
Encontrar un subespacio de R3 homomorfo al espacio cociente M/ ∼.
Número 3.21. Sea S ⊂ R2 el conjunto
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
En S se considera la relación de equivalencia definida por las relaciones
(x, y) ∼ (x, y); (1, y) ∼ (0, y); (x, 1) ∼ (x′, 1) para 0 ≤ x, x′ ≤ 1.
Encontrar un subespacio de R3 homeomorfo al espacio cociente X = S/ ∼.
7
Número 3.22. Sea H ⊂ R2 el rectángulo cerrado con vértices (−1, 1), (−1,−1), (1,−1) y
(1, 1), y consideremos en él las dos relaciones de equivalencia definidas por
R : (x, 1) ∼ (x,−1), (x, 0) ∼ (0, 0),
S : (x, 1) ∼ (−x,−1), (x, 0) ∼ (0, 0).
Describir subespacios de R3 homeomorfos a los espacios cocientes X = H/R e Y = H/S.
¿Son X e Y homeomorfos?
Número 3.23. Sea H ⊂ R2 un hexágono regular cerrado con dos vértices opuestos en
(0, 1) y (0,−1), y consideremos la relación de equivalencia
(x, y) ∼ (x, y) y (0, 1) ∼ (0,−1).
Encontrar un subespacio de R3 homeomorfo al espacio cociente H/ ∼.
Número 3.24. Se consideran en R2 los conjuntos
S = {x2 + y2 ≤ 1} ∪ {1 ≤ x ≤ 2, y = 0} y T = {x2 + y2 = 1} ∪ {(2, 0)},
equipados con la topoloǵıa usual. En S se identifican entre śı todos los puntos de T (y nada
más), y se denota X el espacio cociente resultante. Describir un subespacio de R3 homeomorfo
a ese espacio cociente X.
Lista 4. Separación
Número 4.1. Definir en R una topoloǵıa que no sea Kolmogoroff (= T0). Hágase de manera
que difiera de la usual sólo en los entornos de dos puntos, que sean los únicos que no puedan
separarse entre śı.
Número 4.2. En un espacio topológico X se denota y → x la relación de especialización
x ∈ {y}, Definir una topoloǵıa no trivial en un conjunto con dos puntos x 6= y, tal que la
única especialización existente sea y → x. Estudiar las propiedades de separación del espacio
en cuestión.
Número 4.3. Mostrar con un ejemplo que una topoloǵıa de Fréchet (= T1) puede no ser
Hausdorff (= T2).
Número 4.4. Se equipa R con la topoloǵıa TCF (cuyos abiertos no vaćıos son los conjuntos
con complementario finito). Estudiar las propiedades de separación de este espacio.
Número 4.5. Se considera la aplicación R→ Z : x 7→ [x] = parte entera de x y se equipa
Z con la topoloǵıa final correspondiente a la usual en R. Estudiar qué puntos de Z se pueden
separar de cuáles, y qué axiomas de separación se cumplen en Z con esa topoloǵıa final.
Número 4.6. Mostrar que el cociente de un espacio Hausdorff puede no ser ni siquiera
Kolmogoroff.
Número 4.7. Probar que un espacio es Fréchet si y sólo si cada punto es la intersección
de todos sus entornos.
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Número 4.8. Estudiar si el intervalo abierto X = (−1, 1) es Hausdorff con la topoloǵıa
cuyos cerrados (6= ∅, X) son los intervalos cerrados [a, b] con −1 < a ≤ 0 ≤ b < 1.
Número 4.9. Se equipa el conjunto N de los números naturales con la topoloǵıa cuyos
abiertos son los conjuntos E que cumplen la siguiente condición: si 2n + 1 /∈ E, entonces
2n, 2n+ 2 /∈ E. Estudiar si resulta ser un espacio Hausdorff.
Número 4.10. Estudiar las propiedades de separación de los espacios (R,Tu), (R,TCF) y
(R,T[,)). Utilizar el resultado para distinguirlos topológicamente.
Número 4.11. En R2 se considera la colección B de todos los subconjuntos
V (a, b) = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ a, y ≤ b}.
Demostrar que B es efectivamente base de una topoloǵıa, y estudiar sus propiedades de
separación.
Número 4.12. Sea f : S1 → R una aplicación continua para la topoloǵıa usual de la
circunferencia S1 y la de la recta af́ın R. Mostrar que la topoloǵıa T imagen inversa de f no
es T0.
Lista 5. Numerabilidad
Número 5.1. Se considera en la recta R la topoloǵıa TCF de los complementarios finitos.
Estudiar:
(1) Si converge la sucesión (n)n≥1, y a qué puntos. Lo mismo para las sucesiones
1, 2, 3, 1, 4, 5, 1, 6, 7, 1, . . . y 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, . . .
(2) Si se puede formular una regla para saber cuándo una sucesión converge, y a qué pun-
tos.
Número 5.2. Estudiar los axiomas de numerabilidad del plano R2 equipado con la topo-
loǵıa de 1.7.
Número 5.3. En X = (−1, 1) se considera la topoloǵıa de 4.8. Se pide:
(1) Encontrar una sucesión que converja a todos los puntos del espacio, y un punto al que
converjan todas las sucesiones. Mostrar que ese punto es único, y encontrar una sucesión que
sólo converja a ese punto.
(2) ¿Existe una sucesión convergente (resp. no convergente) en la topoloǵıa usual de la
recta, y que no lo haga (resp. śı lo haga) en esta topoloǵıa T?
(3) Estudiar las propiedades de numerabilidad de esta topoloǵıa T.
Número 5.4. Estudiar los axiomas de numerabilidad de un espacio discreto.
Número 5.5. En un conjunto E se fija un punto p ∈ E, y se considera la topoloǵıa cuyos
abiertos no vaćıos son los conjuntos que contienen dicho punto p. Estudiar los axiomas de
numerabilidad de esa topoloǵıa.
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Número 5.6. Estudiar los axiomas de numerabilidad de R con la topoloǵıa
(1) de los intervalos semiabiertos [a, b),
(2) de los complementarios finitos,
(3) de los rayos [a,→).
Número 5.7. Se equipa la recta real R con la topoloǵıa descrita por las siguientes bases
de entornos:
(i) Para los puntos a 6= 0 los intervalos abiertos, y
(ii) Para a = 0 los conjuntos
(←,−n) ∪ (− 1n ,
1
n) ∪ (n,→), n ≥ 1.
Estudiar los axiomas de numerabilidad de esta topoloǵıa.
Número 5.8. Demostrar que el plano R2 con la topoloǵıa de 1.8 cumple el axioma 2o de
numerabilidad.
Número 5.9. Se equipa el espacio Rn con la topoloǵıa generada por los conjuntos G =
B \A, donde B es una bola abierta y A un conjunto numerable. Estudiar para esta topoloǵıa:
(i) Las sucesiones convergentes.
(ii) Los axiomas de numerabilidad.
Número 5.10. Estudiar las propiedades de numerabilidad del plano R2 equipado con la
topoloǵıa T definida en 1.16.
Número 5.11. Estudiar los axiomas de numerabilidad del plano R2 equipado con la topo-
loǵıa de 4.11.
Número 5.12. Se consideran en R2 las topoloǵıas TD, Tδ y Tρ asociadas a las métricas
definidas en 1.18. Demostrar que ninguna de ellas cumple el axioma 2o de numerabilidad.
Número 5.13. Probar que en un espacio metrizable el Axioma 2o de numerabilidad, la
separabilidad y ser Lindelöf son propiedades equivalentes.
Número 5.14. Estudiar los axiomas de numerabilidad de la esfera, del toro, de la recta
proyectiva, del plano proyectivo y de la botella de Klein.
Número 5.15. Sea T la topoloǵıa de la recta real R cuyos abiertos no vaćıos son los
subconjuntos U ⊂ R que contienen todos los números enteros k ≥ 1 (esto es, 1, 2, 3, . . . ∈ U)
(ver 1.19) Describir las sucesiones convergentes de esta topoloǵıa y sus ĺımites.
Número 5.16. Estudiar si el plano R2 con la topoloǵıa T de 1.20 es un espacio de Lindelöf.
Número 5.17. Estudiar los axiomas de numerabilidad del plano R2 la topoloǵıa T de los
conjuntos radialmente abiertos (1.21).
Número 5.18. En el plano R2 se considera la topoloǵıa T de la que una base consiste
en los cuadrados abiertos de centro un punto arbitario p ∈ R2 y lado arbitrario ε > 0,
menos los puntos 6= p de las dos diagonales. Probar que esta topoloǵıa es primer axioma
de
numerabilidad. ¿Es además separable? ¿Y segundo Axioma?
Número 5.19. Se considera en el semiplano H : y ≥ 0 de R2 la topoloǵıa T generada por
los discos abiertos de centros (a, b) con b > 0, y los “semidiscos”
S = {(x, y) ∈ H : (x− a)2 + y2 < ε, y > 0} ∪ {(a, 0)}.
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Estudiar los axiomas de numerabilidad de esta topoloǵıa.
Lista 6. Compacidad
Número 6.1. Probar que en un espacio T2 una intersección arbitraria de conjuntos com-
pactos es compacto.
Número 6.2. Equipamos el conjunto X = [0, 1]∪ {2} con la topoloǵıa que coincide con la
usual en [0, 1], y tiene por base de entornos de 2 los conjuntos (a, 1) ∪ {2} con 0 < a < 1.
Estudiar si este espacio es compacto. Encontrar dos subconjuntos compactos cuya intersección
no lo sea.
Número 6.3. Estudiar los subconjuntos compactos de TCF y de TCN.
Número 6.4. Mostrar con un ejemplo que la adherencia de un conjunto compacto no tiene
por qué serlo.
Número 6.5. Se consideran en R2 las topoloǵıas TD, Tδ y Tρ asociadas a las métricas
definidas en 1.18. Estudiar qué bolas cerradas son compactas.
Número 6.6. Caracterizar los subconjuntos compactos de R con la topoloǵıa de los rayos
(a,→),
Número 6.7. Sea C el subconjunto de I = [0, 1] construido como sigue. Se toma primero
A1 = I \ (13 ,
2
3), luego A2 = A1 \ (
1
9 ,
2
9) ∪ (
7
9 ,
8
9), y en general An se obtiene suprimiendo los
intervalos abiertos centrales de la división en tres partes de cada intervalo de An. El conjunto⋂
nAn se llama conjunto de Cantor. Mostrar que es compacto.
Número 6.8. En R2 se considera la topoloǵıa cuyos abiertos no vaćıos son los complemen-
tarios de los compactos usuales. Estudiar si el semiplano x ≥ 0 es compacto. ¿Y todo el plano
R2?
Número 6.9. En R se considera la topoloǵıa del número 5.7. Demostrar que con esta
topoloǵıa R es un espacio compacto homeomorfo a la unión de dos circunferencias tangentes
en un punto.
Número 6.10. Se considera en R la topoloǵıa usual. Demostrar que si un subconjunto
A ⊂ Q tiene algún punto adherente irracional, entonces A no es compacto. Deducir que Q no
es localmente compacto (con la topoloǵıa usual).
Número 6.11. Sea f : X → Y una identificación abierta. Demostrar que si X es local-
mente compacto y Hausdorff, también lo es Y .
Número 6.12. Demostrar el teorema de Baire: En un espacio localmente compacto, una
intersección numerable de abiertos densos es densa a su vez.
Número 6.13. Encontrar contraejemplos al teorema de Baire: (i) si la intersección no es
numerable, (ii) si los conjuntos densos que se intersecan no son abiertos, (iii) Si el espacio no
es Haussdorff.
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Número 6.14. Estudiar con qué topoloǵıas de las que han ido apareciendo en estos pro-
blemas es la recta R un espacio localmente compacto.
Número 6.15. Se equipa el plano R2 con la topoloǵıa de 1.16 (resp. la de 4.11). Estudiar
si es un espacio localmente compacto.
Número 6.16. Probar que si dos espacios localmente compactos y T2 son homeomorfos,
entonces lo son sus compactificaciones de Alexandroff.
Número 6.17. Equipar la circunferencia S1 ⊂ R2 con una topoloǵıa de modo que resulte
ser la compactificación de Alexandroff de R con la topoloǵıa discreta.
Número 6.18. Se equipa el conjunto X = (−1, 0) ∪ (0, 1) ⊂ R con la topoloǵıa usual.
Hallar su compactificación de Alexandroff.
Número 6.19. Encontrar todos los subconjuntos compactos del espacio af́ın Rn equipado
con la topoloǵıa de 5.9.
Número 6.20. Se considera en X = R× Z la topoloǵıa T producto de la usual Tu en R y
la de los complementos finitos TCF en Z (ver 3.9). Probar que:
(a) Si M ⊂ X es compacto, entonces:
(i) M ∩ (R× {k}) es compacto para cada k ∈ Z, y
(ii) existe L > 0 tal que |t| ≤ L para todo (t, k) ∈M .
(b) El conjunto
M = {(1, 0)} ∪
⋃
k≥1
[0, 1− 1k ]× {k}
es compacto. ¿Es cerrado?
Número 6.21. Sea T la topoloǵıa de la recta real R de 1.19. Mostrar que (R,T) no es
compacto. ¿Es localmente compacto?
Número 6.22. Estudiar si el plano R2 con la topoloǵıa T de 1.20 es un espacio localmente
compacto.
Número 6.23. Estudiar si el plano R2 la topoloǵıa T de los conjuntos radialmente abiertos
(1.21) es un espacio locamente compacto.
Número 6.24. En el plano R2 se considera la topoloǵıa T de 5.18. Demostrar que en esta
topoloǵıa un cuadrado cerrado no es compacto, y deducir que los conjuntos compactos tiene
interior vaćıo. ¿Es el plano con esta topoloǵıa localmente compacto?
Número 6.25. Se considera en el semiplano H : y ≥ 0 de R2 la topoloǵıa T de 5.18. Decidir
qué cuadrados [a− ε, a+ ε]× [b− ε, b+ ε] son compactos, y utilizarlo para determinar si H
es localmente compacto con esta topoloǵıa.
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Lista 7. Conexión
Número 7.1. Probar que un espacio X es conexo si y sólo si cada subconjunto propio no
vaćıo de X tiene frontera no vaćıa.
Número 7.2. Estudiar si son homeomorfos los intervalos (0, 1) y [0, 1).
Número 7.3. Estudiar si una circunferencia es homeomorfa a la unión de dos circunferen-
cias tangentes en un punto.
Número 7.4. Demostrar que los puntos son los únicos subconjuntos conexos de Q con la
topoloǵıa usual.
Número 7.5. Equipamos el intervalo X = (0, 1) con la topoloǵıa cuyos abiertos 6= ∅, X,
son los conjuntos
(
0, 1− 1n
)
, n ≥ 1. Estudiar si es un espacio conexo.
Número 7.6. En el conjunto Z de los números enteros se considera la topoloǵıa generada
por {0} y los conjuntos con complementario finito. ¿Es Z con ella un espacio conexo?
Número 7.7. Sea θ ∈ R un número irracional, y X = Q ∪ {θ}. Se considera en X la
topoloǵıa cuyos abiertos son los subconjuntos abiertos de Q para la topoloǵıa usual, y los
subconjuntos de X con complementario finito. Estudiar si X con esta topoloǵıa es un espacio
conexo.
Número 7.8. Se considera en R la topoloǵıa del número 5.7. Estudiar si es un espacio
conexo.
Número 7.9. En R2 se consideran las métricas D, δ y ρ de 1.18. Estudiar para cuáles de
las topoloǵıas asociadas es R2 conexo.
Número 7.10. Demostrar que en R2 con la topoloǵıa usual, los complementos de conjuntos
numerables son conexos.
Número 7.11. Consideramos en R2 la topoloǵıa de 1.8. Demostrar que la unión de dos
rectas es un conjunto conexo. ¿Tiene R2 algún subconjunto no conexo?
Número 7.12. Estudiar si es conexo el plano R2 con las topoloǵıas de 1.16, 5.9, y 6.8.
Número 7.13. Se considera el siguiente subespacio del plano R2 con la topoloǵıa usual:
X = {(1, 0), (0, 0)} ∪
⋃
n6=1
{(x, 1n) : x ∈ R}.
Determinar si X es localmente conexo, y hallar sus componentes conexas.
Número 7.14. En R2 sea
X = {(x, 0) : 12 < x ≤ 1} ∪
⋃
n≥1
An,
donde
An = {(x, y) : ny = x, 0 ≤ x ≤ 1}.
Probar que X y X son conexos, pero no localmente conexos.
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Número 7.15. Sea X ⊂ R2 el grafo de la función y = sen
(
1
x
)
para 0 < x ≤ 1, y sea
X̃ = X ∪ {(0, 0)}. Estudiar si X̃ es conexo, y si es localmente conexo.
Número 7.16. Se considera en X = R× Z la topoloǵıa de 3.9: el producto de la usual Tu
en R y la de los complementos finitos TCF en Z. Estudiar si una unión finita
[0, 1]× {k1} ∪ · · · ∪ [0, 1]× {kr}
es un conjunto conexo. ¿Y la unión infinita
⋃
k≥1[0, 1]× {k}?
Número 7.17. Equipamos el plano R2 con la topoloǵıa T de 1.20. Demostrar que los únicos
conjuntos conexos para esta topoloǵıa son los puntos.
Número 7.18. Estudiar si los subespacios siguientes de R2 con la topoloǵıa usual son
homeomorfos: X : (x+ 1)2 + y2 ≤ 4, x2 + y2 ≥ 1 e Y : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 (ambos en R2).
Número 7.19. ¿Cuáles son las componentes conexas del discontinuo de Cantor (6.7)?
Número 7.20. Sea f : S1 → R una aplicación no constante continua para las topoloǵıas
usuales. Sea X el espacio topológico cociente de S1 para la relación: x ∼ y si y sólo si
f(x) = f(y). ¿Cuál es el tipo topológico de X?
Lista 8. Conexión por caminos
Número 8.1. Enunciar y demostrar los teoremas del pivote para conexión por caminos.
Número 8.2. Demostrar que R con la topoloǵıa de los complementos