Clase4_Semestre2021_II

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Estadística 
I
Profesora: Mg. Carla Zúñiga Vilca
Son aquellos valores que
representan a un conjunto de datos
y que generalmente están ubicados
en la parte central de la distribución.
Estas medidas solo se calculan para
variables cuantitativas.
Los estadígrafos de TENDENCIA
CENTRAL de uso mas frecuente
son: la media aritmética, la mediana
y la moda.
MEDIA ARITMÉTICA
DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS
Variable cuantitativa discreta Variable cuantitativa continua 
Llamado también “promedio 
aritmético”, es la medida más 
conocida y utilizada en su forma 
más sencilla
Se calcula sumando todos los 
valores que toma la variable 
dividido entre el total de datos. 
𝑥 =
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 +⋯+ 𝑋𝑛
𝑛
=
 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
𝑋 =
 𝑋𝑖
′ . 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
 
 
𝑋 : media aritmética 
𝑋𝑖
′ : marca de clase 
𝑓𝑖 : frecuencia absoluta simple 
𝑛: tamaño de la muestra 
1. Para determinar las preferencias por los servicios de la compañía SS, dedicada al reparto de productos, se
realizo en cierta ciudad una encuesta a 18 negocios que usan los servicios de SS. Los siguientes resultados
indican las veces que cada negocio usó los servicios de la compañía en un lapso de dos meses
consecutivos:
10 12 9 10 8 13
10 9 12 11 10 8
8 12 13 11 9 10
Calcular la media aritmética e interpretar
EJEMPLOS
2. Los siguientes valores son mediciones del peso en toneladas de tanques de petróleo registrado en los
últimos 6 meses: 229, 232, 239, 232, 259, 254. Calcule la media aritmética e interprete.
3. Después de examinar los registros de facturación mensuales de una compañía consultora el 
auditor toma una muestra de 30 de sus cuentas no pagadas en dólares. Las cantidades 
adeudadas a la compañía fueron:
11 11.2 12.2 12.3 13.4 13.4 15.1 15.8 15.8 16.2
17.3 17.9 18 18.3 18.4 18.5 19.1 19.6 20.1 20.5
21.3 21.9 22.3 22.7 22.7 23 23.9 24.6 26.4 26.8
a. Construya la tabla de distribución de frecuencias con 6 intervalos
b. Calcule e interprete la media aritmética.
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA 
 
➢ La suma total de n valores es igual “𝑋 𝑛”. 
 
➢ La media de una constante es igual a la misma constante. 
 
➢ La media del producto de una constante por una variable, es igual al 
producto de la constante por la media de la variable. 
 
➢ La media de la suma de dos variables, es igual a la suma de las 
medias de cada una de dichas variables. 
 
➢ Si cada uno de los “n” valores de 𝑋𝑖 es trasformado en: 
𝑌 = 𝑎𝑋𝑖 + 𝑏, siendo “a” y “b” constante, entonces, la media de 
los “n” valores “y” es: 
NOTA: 
 
 
➢ La media es un valor promedio, por tanto no significa que 
todos los valores observados resultan ser iguales. 
 
➢ La media siempre está influenciada por los valores extremos, 
sean mayores o menores. 
 
➢ La media aritmética no divide en dos partes iguales a un 
conjunto de datos. 
 
MEDIANA
Es el valor que divide al total de las observaciones o distribución, en dos partes iguales; significa que cada
parte equivale al 50% del total de datos.
1. Cálculo de la mediana de datos no agrupados
Para calcular la mediana, los datos se ordenan en forma ascendente o descendente
a. Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que ocupa el centro de la serie.
Ejemplo:
Los siguientes datos, corresponden al número exportaciones de esparrago, en siete ciudades: 10;
18; 12; 14; 15; 9; 20.
Halle la mediana correspondiente.
Ordenamos la serie en forma ascendente : 9; 10; 12; 14; 15; 18; 20
La Me = 14 , por que ocupa el término central de las serie.
Interpretación: El 50% de las ciudades tienen hasta un máximo de 14 toneladas en exportaciones 
de esparrago y el otro 50% supera dicho número.
b. Si el número de datos es par, la mediana se halla calculando el promedio de los valores 
centrales.
Ejemplo:
Halle la mediana de los siguientes datos que corresponden a los pesos (kg) de un grupo de
alumnos : 35; 29; 45; 25; 38; 42
Ordenamos los datos: 25; 29; 35; 38; 42; 45
Entonces: 
2
3835+
=Me Me = 36,5
Interpretación:
El 50% de alumnos tienen un máximo 36,5 kg de peso y el otro 50% supera dicho valor.
2.a .- Variable cuantitativa discreta (TDF sin intervalos)
2. Cálculo de la mediana de datos agrupados
Ejemplo: (cuando n/2 no coincide con ningún F)
Calcular la mediana correspondiente a la distribución de 38 viviendas según el número de
habitaciones
1º Se halla n/2 =38/2 = 19 ( no coincide con ningún 
F )
2º Se ubica un Fi inmediato superior a 19 o sea Fi = 24. 
3º Luego observamos que X i es 6 
Entonces: 
Me = 6
Nº de 
habitaciones
Nº de 
viviendas F
2
3
5
6
7
8
4
5
8
7
10
4
4
9
17
24
34
38
38
Xi
Fi
Interpretación. El 50% de viviendas tiene hasta 6
habitaciones y el otro 50% tiene mas de 6 habitaciones.
Ejemplo. (cuando n/2 coincide con algún F).
La siguiente distribución, presenta las notas obtenidas en el examen de
Fundamentos de Estadística de 36 alumnos. Halle e interprete la mediana.
Notas
X
Nº de 
alumnos F
10
11
12
13
14
15
16
2
6
10
7
6
3
2
2
8
18
25
31
34
36
36
1º Se halla n/2 =36/2 = 18 ( coincide con un F )
2º Se ubica un Fi inmediato superior a 18 o sea Fi = 25. 
Luego determinamos su respectiva Xi = que es 13.
3º Obtenemos el valor de Xi-1 ( o sea el valor anterior a xi) 
que es 12.
4º Calculamos la 
mediana con la 
expresión: 
2
1 ii xxMe
+
= −
5,12
2
1312
=
+
=Me
Interpretación: El 50% de alumnos tienen notas menores a iguales a 12,5 y el otro 50% tienen notas
mayores a 12,5
FiXi
Xi-1
2.b .- Variable cuantitativa continua (TDF con intervalos)
b1. Si n/2 no coincide con algún F, entonces, se utiliza la formula:
i
i
i
A
f
F
n
LiMe










−
+=
−1
2
Li = Limite inferior del intervalo 
correspondiente a Fi
Fj = es la frecuencia acumulada inmediato 
superior a n/2.
Fj-1 = frecuencia acumulada anterior a Fi.
fj = frecuencia simple del intervalo 
correspondiente a Fj.
Ai = amplitud de intervalo de clase.
Notas Nº de 
alumnos F
[05 – 07>
[07 – 09>
[09 – 11>
[11 – 13>
[13 – 15>
[15 – 17>
[17 – 19]
1
3
5
9
15
11
4
1
4
9
18
33
44
48
48
1º Se halla n/2 ; n/2 = 48/2 = 24
2º Se ubica Fj inmediato superior
a N/2 ( el valor es 33), para 
identificar el intervalo donde se 
encuentra la mediana.
3º Como N/2 no coincide con 
ningún F, aplicamos:
i
i
i
A
f
F
n
LMe










−
+=
−1
inf
2
De la tabla obtenemos:
Li nf = 13; por ser el limite inferior del intervalo 
correspondiente a Fj.
Fi-1 = 18 , por ser frecuencia acumulada anterior a Fi
f i = 15, por ser frecuencia simple del intervalo 
correspondiente a Fi
Ai = 2
Fi
Li
Fi-1
fi
)2(
15
)1824(
13
−
+=Me
Me = 14
Interpretación: El 50% de alumnos tienen notas hasta 14 y el otro
50% mayores a 14.
Ejemplo:
La siguiente tabla las calificaciones del curso de Estadística I. Halle e interprete la mediana.
b2. Si n/2 coincide con algún F, entonces: 
1º Ubicamos Fi (inmediato superior a n/2).
2º Ubicamos Linf ( limite inferior correspondiente a Fi).
3º Aplicamos la fórmula: Me = Li
Ejemplo
Se aplicó un test a 86 estudiantes, obteniéndose el siguiente resultado. Halle
e interpreta la mediana.
Puntajes
Nº de 
alumnos F
[32 – 40>
[40 – 48>
[48 – 56>
[56 – 64>
[64 – 72>
[72 – 80>
[80 – 88]
6
8
14
15
20
12
11
6
14
28
43
63
75
86
86
1º n/2 = 86/2 = 43
2º n/2 coincide con un F, entonces ubicamos a Fi
(inmediato superior a n/2); Fi = 63
3º Ubicamos Linf = 64
4º Aplicamos Me = Linf Me = 64
Interpretación: El 50% de estudiantes ha obtenido
puntajes menores o iguales a 64 y el otro 50% sus
puntajes son mayores a 64.
Li Fi
Fi-1
MODA
Es la medida de tendencia central que se define como el valor que se presenta con mayor
frecuencia en una serie o distribución de datos.
1. Cálculo de la moda para datos no agrupados
Ejemplos: halle la moda en las siguientes series de datos:
a. 6; 8;6; 3; 4; 6; 9; 10; 3 La Mo = 6 es una serie unimodal
b. 5; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 9; 10; 13 La Mo = 7 y 9 ; es una serie bimodal
c. 12; 15; 31; 23; 42; 16 No tiene moda, es amodal
4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15
4, 7, 12,12 , 15, 16, 20, 20 , 24, 27
7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38
Ejemplos:
2. Cálculo de la moda para datos agrupados
a. Variable cuantitativa discreta (TDF sin intervalos)
En una tabla de frecuencias sin intervalos de clase, la moda es el dato que tiene mayor frecuencia
de la tabla.
Ejemplo.
Halle la moda en la siguiente distribución correspondiente a las notas obtenidas por un grupo de
alumnos en el curso Estadística I.
Notas
X
Nº de 
alumnos
09
10
11
12
13
2
6
10
14
5
La moda es 12, por que es el dato que
tiene mayor frecuencia en la
distribución.
Li = Limite inferior de la clase, que tiene la 
mayor frecuencia.
d1 = diferencia de la frecuencia simple 
mayor y la inmediata anterior.
d2 = diferencia de la frecuencia simple 
mayor y la inmediata siguiente.Ai = amplitud
b. Variable cuantitativa continua (TDF con intervalos)
Se aplica la siguiente formula:
ii A
dd
d
LMo 





+
+=
21
1
Consumo de 
energía
KWH
Número de 
empresas
[00 – 20>
[20 – 40>
[40 – 60>
[60 – 80>
[80 – 100>
[100 – 120>
[120 – 140]
10
15
30
20
12
8
5
100
2º Se ubica el intervalo de mayor frecuencia o sea 
[40 – 60>,
4º Se hallan: 
d1 = 30 – 15 = 15
d2 = 30 – 20 = 10 
5º Se halla Ai = 20
ii A
dd
d
LMo 





+
+=
21
1
6º Se reemplazan los datos en la fórmula
20
1015
15
40 





+
+=Mo Mo = 52
Interpretación. El consumo mas frecuente de energía en las empresas es 52 KWH.
Linf d1
d2
1º Se ubica la mayor frecuencia
3º Se ubica el Li del intervalo anterior
Ejemplo.
Se desea conocer el consumo mas frecuente
de energía en 100 empresas. Halle e
interprete la moda.
RELACIÓN ENTRE MEDIA, 
MEDIANA Y MODA 
Para una distribución unimodal, se cumplen de manera general las siguientes relaciones:
𝑋𝑖−1