URJC _ Doble Grado en Ingeniería Química e Ingeniería Ambiental _ Control de Procesos Químicos _ 7_FUNCION_

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 1 
 
 
7 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA – SISTEMAS DE PRIMER 
ORDEN 
 
 
Introducción 
 
Trabajar en el dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de 
ecuaciones sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de 
función de transferencia. En general un proceso recibe una entrada u(t) y genera una 
salida y(t). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace tendremos una entrada 
U(s) que genera una salida Y(s). La función que relaciona salida con entrada se 
denomina función de transferencia g(s). 
 
 
 
De modo que Y(s) = g(s)×U(s) . 
 
 
Sistemas de primer orden 
 
Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general 
aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O 
sea que se reducen al formato siguiente: 
 
 
 
 
 donde k se denomina ganancia del proceso y  es la constante de tiempo del sistema. 
 
En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables 
“desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 , 
u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veamos un ejemplo: un tanque completamente agitado que recibe un caudal v y se le 
extrae el mismo caudal: 
uky
dt
dy
τ
        
     
     skUsYs
skUsYssY
skUsYyssY



1τ
τ
0τ
   
     
 
1τ
1τ





s
k
sg
sUsgsY
sU
s
k
sY
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 2 
 
 
 
Del balance de materia 
 
 
 
Como V es constante porque entra y sale el mismo caudal 
 
 
 
Estado estacionario: dC/dt = 0 ; Cs= Cin . Por lo tanto 
 
 
 
 
 
 
Que es de la forma 
 
 
 
donde = V/v , y = C – Cs , u = Cin – Cin s 
 
 
 
Respuestas de sistemas de primer orden a diferentes entradas 
 
Seguimos manejándonos con el esquema 
 
 
donde 
 
 
 
Escalón de magnitud U a tiempo t = 0 
Sabemos que 
 
 
Por lo tanto 
 
 
 
vCvC
dt
VCd
in 
C
V
v
C
V
v
dt
dC
in 
     ssinins CC
V
v
CC
V
v
dt
CCd


 
   sininss CCCC
dt
CCd
v
V


uky
dt
dy
τ
 
1

s
k
sg

 
s
U
U

L
 
 1τs


s
Uk
sY
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 3 
 
 
Tomando antitransformadas 
 
 
O bien 
 
 
Que escrito en forma adimensional es 
 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t/tau
s
a
lid
a
 a
d
im
e
n
s
io
n
a
l
 
 
 
Por ejemplo: consideremos un tanque de V = 5m
3
 con v = 1 m
3
/min, concentración en 
estado estacionario 1.25 mol/m
3
. Considerar un cambio en la concentración de entrada 
desde 1.25 mol/m
3 
a 1.75 mol/m
3
. 
 
U = 0.5 mol/m
3
 
 
 = 5 min 
 
 
 
Por lo tanto la respuesta en el dominio del tiempo será 
 
 
Siendo y la variable reducida por lo que la concentración en el tanque será 
 
0 5 10 15 20 25
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
t (min)
C
 (
m
o
l/
m
3
)
 
 
Ver „ejem7.1.sce‟ y „ejem7.1.cos‟ (este último en Scicos). 
 
 
τ1
1τ
1 te
ss







 1-L
   τ1 teUkty 
   τ1 te
Uk
ty 

 
 
ss
sY
ss
U
sU
5.0
15
1
5.0





   515.0 tety 
   515.025.1 tetC 
file:///D:\cursos\DCP\CD%20DCP\EJEMPLOS\ejem7.1.sce
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 4 
 
 
Conociendo la respuesta de una función de primer orden a un escalón en la entrada se 
pueden estimar los parámetros de la función de transferencia del proceso: 
 
Estimación de la ganancia: 
 
 
O bien 
 
 
Estimación de la constante de tiempo: 
 
Identificando el valor de tiempo en el cual la respuesta vale 0.632 del valor final: 
 
 
 
O bien evaluando 
 
 
en t = 0 
 
 
 
Ejemplo: El operador de un proceso realiza un cambio en el caudal de entrada pasando 
de 20 a 17.5 gal/min y encuentra que la presión cambia de 50 a 55 psig como se muestra 
en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
U
y
U
ty
k
t 





 sGk
s 0
lim


    UkeUky   632.01τ 1
 τ
τ
te
Uk
dt
dy 
τ0
Uk
dt
dy
t



 
 
gpmpsig
gpm
psig
U
Y
k 2
205.17
5055







    UkeUky   632.01τ 1
5minτ
2.535632.050

 psigP
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 5 
 
 
Impulso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O en forma adimensional 
0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
s
a
lid
a
 a
d
im
e
n
s
io
n
a
l
t/tau 
 
 
 
Procesos autorregulados 
 
Son aquellos en los cuales un cambio en las variables de entrada conduce a un nuevo 
estado estacionario en forma automática. Por ejemplo los sistemas de primer orden. 
 
Veamos un ejemplo: un RCAI con una reacción química de primer orden r = k C 
Del balance de masa 
 
 
 
 
 
En estado estacionario dC/dt = 0 
 
 
 
Restando la ecuación de balance en estado estacionario 
 
 
 
  AA δL
   sU
k
sY
1τs

 
1τs

Ak
sY
τ
1τ
1 te
s







 1-L
  τteAkty 
  τte
kA
ty 
 
kVCvCvC
dt
VCd
in 
inC
V
v
Ck
V
v
dt
dC







k
V
v
C
V
v
C
sin
s


 
   sininss CC
V
v
CCk
V
v
dt
CCd








DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 6 
 
 
 
 
 
 
 
Que es de la forma 
 
 
con 
 
 
 
 
 
Véase „ejem7.2.sce‟. 
 
 
Otro ejemplo: RCAI con reacción química de 2º orden r = k C
2
 
 
 
 
 
 
 
En estado estacionario dC/dt = 0 
 
 
 
 
 
Si linealizamos la función 
 
 
 
 
 
 
 
Que también es de la forma 
 
con 
 
 
 
 
 
 
 
Ver „ejem7.3.sce‟. 
 
   sininss CC
k
V
v
V
v
CC
dt
CCd
k
V
v



























1
uky
dt
dy
τ
sinins CCuCCy
k
v
V
k
V
v
V
v
k
k
V
v



























1
11
τ
  2
2VCkvCvC
dt
VCd
in 
2
2CkC
V
v
C
V
v
dt
dC
in 
0
2
2  sinss C
V
v
C
V
v
Ck
2
2
2
2
4
k
C
V
v
k
V
v
V
v
C
sin
s














 
   sinin
sin
s
s
s CC
C
f
CC
C
f
dt
CCd








 
   sinin
s
s
s
s
CC
Ck
V
v
V
v
CC
dt
CCd
Ck
V
v


























 22 22
1
uky
dt
dy
τ
sinins
ssss
CCuCCy
v
V
CkCk
V
v
V
v
k
V
v
Ck
V
v
Ck
V
v







































2222 21
1
2212
1
τ
file:///D:\cursos\DCP\CD%20DCP\EJEMPLOS\ejem7.2.sce
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 7 
 
 
 
Sistemas de primer orden más tiempo muerto 
 
Muchas veces en los procesos industriales se introducen tiempos muertos; 
particularmente en la industria química suelen asociarse al transporte de fluidos por 
cañerías. Por ejemplo, en el siguiente esquema, si se produce un cambio en la 
concentración de entrada Cin puede demorar un cierto tiempo  en que dicho cambio 
llegue a la entrada del tanque. 
 
La forma general de estos procesos será 
 
 
 
Y en el ejemplo que estamos viendo será  = Vtubería / v por lo que 
 
Del balance de masa en el tanque 
 
 
 
 
Llamando u = Cin – Cin s , y = C – Cs ,  = V/v y tomando transformadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si en un proceso de primer orden con tiempo muerto hay un cambio en escalón de 
magnitud U a tiempo t = 0 
 
 
 
 
 
 θτ  tuky
dt
dy
   θ*  tCtC inin
*
inC
V
v
C
V
v
dt
dC

 θ tC
V
v
C
V
v
dt
dC
in
        
     
     sUeksYs
sUeksYssY
sUeksYyssY
s
s
s









1τ
τ
0τ
   
     
 
1τ
1τ







s
ek
sg
sUsgsY
sU
s
ek
sY
s
s


 
s
U
U
L
 
s
Uek
sY
s 



1τs

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 8 
 
 
 
antitransformando 
0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t (min)
y
 
 
 
Procesos integradores 
 
Veamos el siguiente ejemplo: sea un tanque de almacenamiento, con área transversal 
100 ft
2
 , inicialmente está entrando y saliendo el caudal vin = vout = 5 ft
3
/min , h0 = 4 ft , 
H tanque = 10 ft . A la 1:00 pm el flujo de entrada se cambia a 6 ft
3
/min . 
 
Del balance global de masa 
 
 
Y como el área transversal es constante 
 
 
Restando la solución de estado estacionario 
 
 
Si el flujo de salida es constante 
 
 
Que es de la forma 
 
si llamamos 
 
Tomando tranformadas 
 
 
 
 
 
antitransformando 
 
 
 
 
 
 
 1τs



s
eUk
sY
s
   tparaty 00
        tparaeUkty t τ1 U = 0.5 a t = 0 
k = 2 [unidades salida/entrada] 
 = 5 min  = 5 min 
 
outin vv
dt
dV

outin v
A
v
Adt
dh 11

     soutoutsinins vv
A
vv
Adt
hhd

 11
   sinins vv
Adt
hhd

 1
uk
dt
dy

sinins vvuA
khhy  1
       
   
 
  tukty
s
u
ksY
sU
s
k
sY
yskUyssY





2
000
 
t
ft
ft
fth
tv
A
hh ins
2
3
100
min/56
4
1



DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 9 
 
 
Resolviendo por ejemplo para h = 10 ft 
0 100 200 300 400 500 600
4
5
6
7
8
9
10
tiempo (min)
h
 (
ft
)
 
 
 
 
Procesos caracterizados por más de una variable 
 
Cuando un proceso está caracterizado por más de una variable de estado, la(s) salida(s) 
puede(n) estar dada(s) por varias funciones de transferencia. Consideremos por ejemplo 
un tanque agitado calentado eléctricamente, a caudal constante. 
 
 
Del balance de energía 
 
Si el proceso estaba inicialmente en estado estacionario 
 
Entonces 
 
 
 
 
O escribiendo en variables desviación 
 
 
El término V/w tiene unidades de tiempo y puede llamarse  , la constante de tiempo 
del sistema. 
 
A su vez 1/wC puede denominarse K, la ganancia del sistema, pues relaciona la variable 
de entrada con la de salida en estado estacionario: 
 
 
 
 
hr
ft
ft
ftftt 10min600
min/56
100
410
2
2



  QTTwC
dt
dT
CV in 
  sssin QTTwC  ,0
      sssinin QQTTTTwC
dt
dT
CV  ,
       sssinins QQ
wC
TTTT
dt
TTd
w
V

 1
,

Q
wC
TT
dt
Td
w
V
in



 1
..
1
eeenQ
wC
TT in 


DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 10 
 
 
O sea que escribimos 
 
 
Tomando transformadas y como T’(0)=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para concretar más el ejemplo, supongamos que el tanque agitado es de 1.60 ft
3
, opera 
con un flujo de 200 lb/min de un líquido con C = 0.32 Btu/lbºF y  = 62.4 lb/ft
3
. Se ha 
alcanzado el estado estacionario con un flujo de calor de 1920 Btu/min y una 
temperatura de entrada de 70ºF. Calcular la respuesta de un sistema frente a un cambio 
súbito de la temperatura de entrada a 90ºF. 
 
Como el Q se mantiene constante sólo debemos ocuparnos de hallar la G2(s) , 
relacionada con Tin 
 
 
Entonces 
 
 
 
Debemos escribir las ecuaciones en variables desviación. Para ello calculamos la 
temperatura de estado estacionario: 
 
 
 
la señal de entrada en forma de escalón es: 
 
Multiplicándola por la G2 
 
 
 
Antitransformando 
 
Y escribiéndolo en variables reales 
QKTT
dt
Td
in








 






 
QKTTL
dt
Td
L in
       sKssss QTTT in 
     s
s
s
s
K
s inT
1
1
Q
1
T





















         sssss in21 TGQGT 
min5.0
min200
4.6260.1 33



lb
ftlbft
w
V

 
15.0
1
2


s
sG
F
FlbBtulb
Btu
F
Cw
Q
TT
s
s
sins º100
.º32.0min200
min1920
º70, 


 
ss
s
207090
Tin 



 
ss
s
20
15.0
1
T


   tetT 2120 
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 11 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
t (min)
T
 (
ºF
)
 
 
Considérese ahora que al mismo tiempo que la temperatura de entrada aumenta a 90ºF 
el flujo de calor es cambiado a 1600 Btu/min 
 
Ambos cambios en las señales de entrada contribuyen al cambio en la señal de salida. 
Esto se esquematiza con el siguiente diagrama de bloques: 
 
 
 
 
 
 
Ahora 
 
 
 
 
 
 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
100
105
110
115
T
 (
ºF
)
t (min) 
 
Ver „ejem7.2.cos‟. 
 
 
   tetT 2120100 
 
ss
s
207090
Tin 


  
ss
s
32019201600
Q 


  































ssss
K
s
20
1
1320
1
T

min
º
1056.1
.º32.0min200
1
min5.0
2
Btu
F
FlbBtulb
K 



 
     15.0
15
15.0
20
15.0
5
T







ssssss
s
   tetT 2115100 
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 12 
 
 
 
Procesos en serie 
 
La función de transferencia de procesos en serie resulta de multiplicar las funciones de 
transferencia correspondientes a cada proceso por separado. 
 
Consideremos por ejemplo dos tanques en serie (sistema linealizado) 
 
 
 
Del balance de materia para el primer tanque 
 
 
Suponiendo que el caudal de salida es lineal con la altura 
 
Por lo que sustituyendo en la anterior 
 
 
En variables desviación 
 
 
 
 
 
Tomando transformadas 
 
 
 
 
 
 
Del mismo modo para el segundo tanque 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos relacionar todas estas funciones de transferencia 
1
1
1 qq
dt
dh
A in 
1
1
1
1
h
R
q 
1
1
1
1
1
h
R
q
dt
dh
A in 








1
1
1
1
1
1
1
h
R
q
qq
dt
dh
A in
 
  11Q
H
1
1
11
1
in
1




s
K
sRA
R
s
s

 
  111
1 11
H
Q
KRs
s









2
2
2
21
2
2
1
h
R
q
qq
dt
dh
A
 
  11Q
H
2
2
22
2
1
2




s
K
sRA
R
s
s

 
  222
2 11
H
Q
KRs
s

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS 
 
ILM 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Puede verse claramente que la función de transferencia total es el producto de la función 
de transferencia del primer proceso ( 1/(1s+1) ) y de la del segundo ( 1/(2s+1) ) . 
 
La representación en un diagrama de bloques sería 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    11
1
Q
Q
1
1
1
1
Q
H
H
Q
Q
H
H
Q
Q
Q
21in
2
1
1
12
2
2
in
1
1
1
1
2
2
2
in
2







sss
s
s
K
Ks
K
K
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s

