Apunte Control Automático Digitalizado (E Mutazzi) - Manuel Encinos

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UTN - FRRo 
 
 
Apuntes de C átedra de 
Control Automático de Procesos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jefe de Cátedra: Eduardo Mutazzi 
Jefe de Trabajos Prácticos: Jorge Caporale 
 
 
 
 
 
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Indice 
 
Capítulo 1: Introducción ........................................................................................................................... 3 
El problema del control. ....................................................................................................................... 3 
Capítulo 2: Principios del control automático ........................................................................................ 16 
Control por realimentación o feed-back control. ................................................................................ 16 
Control en avance o feed-forward control. ......................................................................................... 16 
Control en cascada. ............................................................................................................................. 16 
Diagramas en bloque. ......................................................................................................................... 17 
Funciones de transferencia. ................................................................................................................ 18 
Funciones temporales especiales. ....................................................................................................... 22 
Capítulo 3: Características de los Procesos. ........................................................................................... 27 
Generalidades. .................................................................................................................................... 27 
Capítulo 4: Sistemas de Primer Orden.................................................................................................... 34 
Capítulo 5: Sistemas de Segundo Orden ................................................................................................ 45 
Elemento de retardo de segundo orden. .............................................................................................. 45 
Overshoot (sobrepeso) ........................................................................................................................ 51 
Capítulo 6: Reguladores. ........................................................................................................................ 65 
Función del regulador. ........................................................................................................................ 65 
Capítulo 7: Ajuste de Reguladores. ........................................................................................................ 99 
Capítulo 8: Desarrollo de un sistema de control. .................................................................................. 111 
Otros métodos de ajuste. ................................................................................................................... 112 
Ajuste de controladores mediante el diagrama de Bode. .................................................................. 122 
Apéndice 1 ........................................................................................................................................ 135 
Tabla de operaciones y funciones transformadas ............................................................................. 135 
Tipo de sistemas de control. ............................................................................................................. 135 
Ubicación de los aparatos de un sistema de control ......................................................................... 137 
Equipos da medición de variables de lo procesos............................................................................. 139 
Visualización en sala de control ....................................................................................................... 140 
Válvula de control ............................................................................................................................ 141 
Terminología. ................................................................................................................................... 144 
Símbolos básicos de instrumentación. .............................................................................................. 145 
Símbolos típicos de instrumentación para temperatura. ................................................................... 147 
Símbolos típicos de instrumentación para caudal. ............................................................................ 147 
Símbolos típicos de instrumentación para presión. .......................................................................... 148 
Símbolos típicos de instrumentación para nivel. .............................................................................. 148 
Simbología de instrumentación (miscelánea). .................................................................................. 149 
CONSIDERACIONES SOBRE ESQUEMAS DE CONTROL ....................................................... 150 
SIMBOLOGIA: ................................................................................................................................ 150 
Identificación: ................................................................................................................................... 150 
Esquemas de Control de Procesos y Operaciones Unitarias. ................................................................ 154 
CONTROL DE NIVEL EN RECIPIENTES .................................................................................... 154 
CONTROL DE RANGO DIVIDIDO .............................................................................................. 154 
CONTROL DE NIVEL LIQUIDO EN SISTEMAS DE TRES FASES .......................................... 155 
INSTRUMENTACION GENERAL PARA CONTROL DE NIVEL .............................................. 156 
CONTROL DE CAUDALES ............................................................................................................... 156 
CONTROL DE CAUDALES EN BOMBAS ................................................................................... 156 
CONTROL EN VENTILADORES .................................................................................................. 158 
CONTROL EN COMPRESORES ................................................................................................... 159 
INSTRUMENTACION EN HORNOS ............................................................................................ 160 
CONTROL EN OPERACIONES DE INTERCAMBIO DE CALOR ................................................. 162 
NOTAS PREVIAS: .......................................................................................................................... 162 
VALVULA DE CONTROL ............................................................................................................. 162 
CONTROL EN AVANCE EN INTERCAMBIADORES DE CALOR ............................................... 162 
CONTROL CONVENCIONAL ....................................................................................................... 163 
SISTEMA DE CONTROL CON by—PASS (DERIVACION) ....................................................... 165 
CONTROL EN TORRES DE DESTILACION: .............................................................................. 168 
 
 3
Control automático de procesos. 
Capítulo 1: Introducción 
Un proceso es un conjunto de operaciones (simultáneas o secuenciales) que producen 
transformaciones de la materia de carácter físico y/o químico. 
La figura 1)a) muestra un proceso no controlado (la planta) mientras que en la figura 1)b) se muestra 
el mismo proceso, pero ahora controlado. 
 
 
Figura 1) 
Las 3 variables asociadas al proceso son: variables controladas, lasmanipuladas y las de carga. 
Los parámetros que indican la calidad del producto o las condiciones de operación del proceso se 
denominan variables controladas. 
Las variables manipuladas incluyen posición de válvula, velocidad de motor y paso de álabe, etc. 
Además, hay veces que se manipula un lazo de control para controlar otra variable en esquemas de 
control más complicados: por ejemplo, se puede manipular una variable de caudal para controlar 
temperatura o nivel. 
Todas las variables que afectan una variable controlada, menos la que está siendo manipulada, se 
definen como cargas. 
Con frecuencia, la variable controlada en un proceso puede ser la variable de carga para otro. 
En la figura 2 se aprecia un esquema básico de calentamiento de un líquido por medio de vapor. 
El problema del control. 
La relación entre las variables controladas, manipuladas y de carga define la necesidad de un control 
de proceso. La variable manipulada y las distintas variables de carga pueden aumentar o disminuir la 
variable controlada según el diseño del proceso. Las variaciones de la variable controlada reflejan el 
balance entre las cargas y la variable manipulada. 
 
Figura 2) 
 4
El problema del control es el de determinar el único valor de la variable manipulada que establece un 
equilibrio entre todos los efectos sobre la variable controlada y mantener estacionaria esta variable en el 
valor deseado. Otros factores tales como velocidad de respuesta, forma de la misma e interface de 
operador también son importantes en el diseño de sistemas de control. 
 
El problema del control puede ser resuelto de dos maneras, cada una correspondiente a una filosofía 
básica de diseño de los sistemas de control. 
Los sistemas con realimentación generan la señal de control en base a la diferencia entre los valores 
de medición real y de referencia. 
En los sistemas con avanacción, la señal de control se genera a partir de valores basados en las 
distintas variables de carga a medida que éstas van afectando al proceso. 
 
Sistemas con realimentación. 
Estos sistemas son más comunes que los con avanacción. Un esquema básico puede verse en la figura 
3. En la misma se aprecian los tres elementos básicos de control: el sensor de la variable que se desea 
controlar, el controlador, que compara dicho valor con el de ajuste y el elemento de acción final (válvula) 
que opera sobre variable manipulada. 
 
Figura 3) 
 
 
Así pues, el controlador comienza a actuar cuando la variable controlada empieza a variar como 
respuesta a variaciones en las cargas. 
Sistemas con avanacción. 
Mientras el control con realimentación es reactivo por naturaleza y responde al efecto de una 
perturbación, los esquemas con avanacción responden directamente a las perturbaciones. 
En la figura 4, se aprecia un esquema básico. Los transmisores miden los valores de las variables de 
carga, mientras una unidad de cálculo computa la señal correcta de control para el valor de referencia y 
las condiciones de cargas existentes. De esta manera, los cambios en las condiciones de carga provocan 
un cambio directo de la señal de control sin esperar que se modifique la variable controlada. 
Por lo general, esta técnica es más complicada, más costosa y se requiere una mayor comprensión 
del proceso que en los sistemas con realimentación. Por lo tanto, el control con anavacción normalmente 
se reserva para aplicaciones difíciles y críticas. 
 
 
 
 
 
 5
 
 
Figura 4) 
Un método combinado se presenta en la figura 5. En este sistema, se opera a través de las variables 
de carga (anavacción), pero con el apoyo de la realimentación. 
 
 
 
 
Figura 5) 
El controlador con realimentación por dentro. 
Todos los controladores con realimentación deben tener ciertos elementos en común (figura 6). La 
función de control con realimentación siempre tiene dos entradas y una salida. Una entrada será la señal 
de medición proveniente del transmisor; la otra es el valor de referencia. Para los controladores con 
realimentación, la señal de referencia se denomina set-point, el que normalmente representa el valor 
deseado de la medición. 
Los valores de medición y de set-point son comparados, dentro del controlador, mediante 
sustracción. La diferencia se denomina error y es la entrada al mecanismo, circuito o algoritmo que 
genera la salida, Por lo general esta respuesta contiene componentes proporcionales, integral y derivativo 
(PID), aunque no siempre todos ellos están presentes en el controlador. 
 
 6
 
Figura 6) 
 
Arranques y emergencias 
En condiciones de arranque y emergencia, el controlador incluirá también un generador manual de 
señal de control que puede ser accionado por el operador. 
En los lazos simples, el controlador posicionará directamente una válvula, mientras que en los 
esquemas más complicados, la señal será la entrada a otro instrumento. 
Normalmente, el controlador tendrá asociada una interface de operador. Como mínimo, esta 
interface exhibirá los set-points, la medición, la salida actual y el estado remoto/local y 
automático/manual. 
Lazo abierto vs. Lazo cerrado. 
La figura 3) muestra un lazo cerrado de control. La salida del controlador afecta a la medición y 
viceversa. Este lazo cerrado posibilita el control a través de la realimentación. 
Si este efecto se rompe en cualquier dirección, el lazo se dice que está abierto, y ya no hay más 
control con realimentación. Un lazo de realimentación se puede abrir por distintas razones. 
Colocación del controlador en manual, lo cual hace que la salida permanezca constante (a menos que 
sea modificada por el operador) aún cuando cambie la medición. 
Falla del sensor o transmisor, con lo cual termina la capacidad del controlador de observar la variable 
controlada. 
Saturación de la salida del controlador a 0 o 100% de la escala, con lo que termina la capacidad del 
controlador de actuar sobre el proceso. 
 
Falla del actuador de válvula a causa de la fricción o residuos en la válvula 
Cuando un lazo de control no parece estar operando adecuadamente, lo primero a verificar es si el 
lazo está o no cerrado. A menudo, se gasta mucho tiempo en tratar de ajustar un controlador cuando el 
problema está en alguna otra parte en el lazo. 
Realimentación positiva vs. negativa. 
Aún cuando el lazo se encuentre perfectamente cerrado queda por verificar si la acción del 
controlador es positiva o negativa, lo que es crucial para el desempeño del lazo. 
La acción del controlador debe ser tal que se oponga a la variación de la variable controlada. 
Así en el ejemplo de la figura 3), si hacemos que la acción sea positiva el sistema se vuelve 
inestable. En efecto cuando pasamos de manual a automático (figura 7-a), un aumento en la temperatura 
de salida del líquido origina un aumento en la cantidad de vapor de calefacción lo que a su vez aumenta 
aún más la temperatura desequilibrando al proceso. 
 7
Si en lugar de aumentar, la temperatura de salida disminuye, también lo hace la entrada de vapor con 
lo que el líquido continúa enfriándose. Los dos casos originan inestabilidades como puede apreciarse en 
la figura 7)a). 
 
Figura 7) 
 
Una respuesta negativa en cambio logra el control. En efecto, al aumentar la temperatura de salida, 
se cierra algo la válvula de vapor lo que origina una disminución de dicha temperatura. El control 
mantiene este estado hasta que la temperatura de salida sea la deseada. 
Por el contrario, si la temperatura de salida disminuye, el controlador tiende a abrir más la válvula 
con lo que la temperatura de salida aumenta hasta alcanzar el valor deseado. Este esquema se aprecia en 
la figura 7)b). 
Es evidente que la elección de la acción dependerá del caso particular. En el caso anterior como en el 
control de nivel de un tanque manipulando la entrada, la acción correcta es aumento-disminución. En 
cambio, si el nivel del tanque se controla con la salida, la acción será aumento-aumento. En efecto, al 
aumentar el nivelde líquido en el tanque se debe abrir más la válvula de salida, mientras que si el nivel 
baja se debe cerrar algo la salida para permitir que el nivel alcance el valor deseado. 
 
Figura 7) 
 8
Oscilación. 
Incluso una acción elegida correctamente puede provocar inestabilidades en el proceso. Siendo que 
la respuesta del sistema no es instantánea, la temperatura estando por sobre el set-point en su descenso 
(provocada por el cierre parcial de la válvula de vapor por acción del controlador) cruza dicho valor y 
esto, al ser detectado por el sensor provoca una apertura parcial de la válvula de vapor para contrarrestar 
dicho efecto. Este fenómeno provocado por el retraso entre la acción y la reacción da lugar a oscilaciones 
como las mostradas en la figura 7)c). 
 
 
 
 
Figura 7) 
 
De esta forma, la combinación de realimentación negativa y demoras en el proceso significa que la 
oscilación es la respuesta natural de un lazo de realimentación a una perturbación. Las características de 
esta oscilación constituyen los medios primarios para evaluar el desempeño de un lazo de control. 
Específicamente, el interés se centra en el período y la relación de amortiguamiento del ciclo. 
En dicha figura se aprecian 2 oscilaciones, una sostenida (cuyo período se mide en tiempo entre 2 
picos) y otra que se amortigua (con una relación de atenuación que indica el grado de decaimiento). 
Cabe destacar que dicho ciclo no se presenta sólo en la variable controlada sino también en todas las 
afectada por ella, inclusive la variable manipulada. 
Característica de la oscilación. 
Las características exactas de la oscilación en un lazo particular dependerán principalmente de los 
ajustes a las respuestas proporcional, integral y derivativa dentro del controlador. Ajuste incorrectos 
pueden hacer que la oscilación obtenida sea demasiado larga o se incluso se prolongue a lo largo del 
tiempo. 
Para un buen control la oscilación debe caer rápidamente hacia el valor deseado o set-point. En 
particular si la relación de atenuación B/A=1/4, se dice que la amortiguación es un cuarto de onda. En 
este caso un valor así indica un buen grado de control. 
Cabe destacar que la existencia de la oscilación es debida a la búsqueda del equilibrio por el método 
de prueba u error. 
Características del proceso. 
La existencia de demoras en el proceso tiene un efecto fundamental sobre el desempeño del lazo de 
realimentación. Sin una comprensión de las causas y características de estas demoras, es imposible 
evaluar cuales serán los modos de control (proporcional, integral, derivativo) requeridos o la posibilidad 
de éxito de un control con realimentación en una aplicación particular. 
Básicamente, las demoras se pueden agrupar en dos categorías: tiempo muerto y capacidad. 
 9
Tiempo muerto. 
En la figura 8) se muestra un proceso que tiene esencialmente una respuesta con tiempo muerto 
puro. Una válvula dosificadora hace depositar material sobre una cinta transportadora, habiendo un 
transmisor de peso que mide la cantidad de material. 
Al aumentar la dosificación en una señal en escalón, la cantidad transportada aumentará 
inmediatamente, pero el registro sólo lo notará al pasar sobre la balanza. 
El tiempo que el sensor tarda en “enterarse” del cambio se llama tiempo muerto, que se define como 
el retardo entre la variación de la señal de control y el comienzo de su efecto sobre la medición. 
Otras fuentes de tiempo muerto pueden ejemplificarse en los agitadores que influyen notablemente 
sobre el tiempo muerto en lazos que monitorean composición, tales como pH, densidad o potencial 
redox. 
 
 Figura 8) 
 
 
Es importante conocer y reducir (en lo posible) el valor de tiempo muerto ya que durante el mismo, 
el controlador no tiene información de la variación producida y el sistema puede hacerse difícil de 
controlar. 
Capacidad y sus efectos. 
Los procesos con tiempo muerto puro son raros; virtualmente cada lazo de control incluye, y es 
dominado, por elementos de capacidad. 
Un elemento de capacidad es la parte del sistema que puede acumular materia y/o energía. En la 
figura 9)a) se visualiza un tanque que representa una capacidad simple (almacenamiento de materia). Se 
manipula el caudal de entrada al tanque al afectar el nivel; el caudal de salida del tanque es la variable de 
carga. Inicialmente, el nivel permanece constante puesto que los caudales de entrada y salida son iguales. 
 10 
Así pues, la válvula y el caudal responden inmediatamente a una señal en escalón, pero no así el 
nivel que al ir aumentando en virtud de la acumulación (=entrada-salida), también lo hace la presión 
hidrostática sobre el fondo lo que origina un aumento del caudal. 
 
Todo esto provoca que el aumento de nivel sea cada vez más lento hasta alcanzar un valor 
estacionario en el punto en que el caudal de salida iguala al de entrada. 
 
 
Figura 9)a) 
 
Un fenómeno similar ocurre con el recipiente de la figura 9)a) derecha, con la diferencia de que en 
lugar de almacenar materia acumula energía sólo que ahora es la temperatura la que responde a la 
variación en la entrada. 
 
Figura 9)b) 
 
Las respuestas de estos elementos de capacidad difieren de las del elemento de tiempo muerto en dos 
aspectos significativos: 
No hay ningún atraso antes de que la medición comience a variar, esto es, no hay ningún tiempo 
muerto asociado con un elemento de capacidad simple. 
La capacidad inhibe la velocidad con la que la medición puede variar. 
 
Cuanto mayor sea el tanque en comparación con los caudales, más lentamente varía el nivel. Por lo 
tanto, el elemento de capacidad en el proceso tiende a atenuar las perturbaciones. Esto facilita el control, 
mientras que el tiempo muerto lo entorpece. 
 
 11 
 
Figura 9)c) 
 
El tamaño de la respuesta se mide por su constante de tiempo. En la figura 9)c) se muestra con más 
detalle, la respuesta del nivel de la figura 9)b). Puesto que los caudales de entrada y salida se aproximan a 
la igualdad asintóticamente, nunca serán completamente iguales (al menos en teoría). 
En cambio, la respuesta se cuantifica por una constante de tiempo que se define como el tiempo 
requerido para completar el 63,2% de la respuesta total. (Este número no es arbitrario, sino que tiene su 
significado en relación a las ecuaciones diferenciales que modelan el proceso). 
Como una primera aproximación, la constante de tiempo de un elemento de capacidad será 
aproximadamente igual a su tiempo de residencia, que se define como el volumen dividido por el caudal 
(en unidades consistentes). 
En la figura 9)b) también se muestra la respuesta de un elemento de capacidad a una señal de control 
cíclica. A una variación cíclica en el caudal de entrada le corresponde una señal similar al de salida con 
igual período. 
La variación de la señal de medición, en cambio dependerá fuertemente del período. Si la señal de 
control oscila muy rápidamente, la oscilación del nivel será pequeña, en cambio si la señal de control 
varía lentamente, la oscilación del nivel será mayor. 
Modelando el proceso. 
Los procesos con capacidad simple y tiempo muerto puro existen sólo en teoría. Todos los procesos 
reales incluyen un cierto número de cada uno de estos elementos dinámicos. 
Por ejemplo, el intercambiador de calor incluye un tiempo muerto asociado con el tiempo que se 
requiere para que el agua caliente circule desde el intercambiador hasta el sensor. 
Por su parte, las capacidades identificables son: 
Volumen del actuador de aire de la válvula de control; 
Volumen del casco del intercambiador; 
Energía almacenada en los tubos; 
Energía almacenada en el agua en los tubos; 
Energía almacenada en la termo-vaina y el sensor 
 
Si los controles son neumáticos, también hay una capacidad y un tiempo muerto efectivos asociados 
con cada línea de transmisión. Esta es una situación típica: uno o dos tiempo muertos identificables y un 
cierto número de capacidades grandes y pequeñas. 
Los tiempos muertosen serie son aditivos: un atraso de 1 minuto seguido de otro de 2 minutos se 
combinan para dar un atraso de 3 minutos. 
 
 
 
 
 12 
 
Figura 10) 
Sin embargo, el efecto combinado de varias capacidades en serie no es tan obvio como se aprecia en 
la figura 10). La entrada escalón aparece en el punto 1. El punto 2 muestra la respuesta de una capacidad 
simple a una entrada escalón (figura 9-c). Los puntos 3 y 4 muestran el efecto de las subsiguientes 
capacidades. El efecto neto es que una secuencia de capacidades parece (hacia el controlador) a la 
combinación de un atraso de tiempo muerto, seguido por una capacidad simple con una constante de 
tiempo τ1 que es mayor que la constante de tiempo de las capacidades individuales. 
La respuesta de lazo abierto de un intercambiador de calor a una variación escalón de la salida del 
controlador se muestra en la figura 11). Inicialmente, la temperatura permanece constante pero luego 
comienza a crecer y alcanza un nuevo valor de estado estacionario. Aún cuando sea en realidad un 
conjunto intrincado de elementos de tiempo muerto y capacidad, a los fines de proyectar el lazo de 
realimentación se lo puede representar normalmente por un modelo con tiempo muerto más capacidad. 
Los parámetros de este modelo pueden ser tomados como el tiempo muerto aparente y las constantes de 
tiempos aparentes. 
 
Figura 11) 
 13 
Si bien esta representación puede resultar obvia para el proyectista, el controlador no puede ver la 
diferencia. Puesto que el tiempo muerto dificulta el control mientras que la capacidad lo facilita, se puede 
obtener una estimación de la dificultad del control calculando la relación entre el tiempo muerto aparente 
y la constante de tiempo aparente. Esta relación τTM/τ1 también tendrá un fuerte efecto sobre los ajustes de 
control. 
Ganancia y fase. 
En las figuras 12) se muestran un elemento perteneciente a un lazo de control de realimentación. 
Este elemento podría ser el proceso, la válvula, el transmisor o el controlador. Cada uno de estos 
elementos tiene una entrada y una salida. El primer parámetro, la ganancia, describe la cantidad de 
variación a la salida que será provocada por una variación a la entrada. Se deben considerar las ganancias 
de estado estacionario y dinámica. 
Para una entrada escalón, la salida del elemento comienza a variar y alcanza un nuevo valor. La 
ganancia de estado estacionario GEE se define como el cociente: 
( ) ( ) )1(/ EntradaSalidaGEE ∆∆= 
 
No perder de vista las unidades involucradas en cada variable. Por ejemplo si una variación de 10% 
en la entrada produce una variación de 200 Kg/h en el caudal de vapor, la ganancia de E.E., será: 
)2(%/)/(2010/200 hKgGEE == 
 
 
Figura 12)a) 
 
Sin embargo, las señales que recorren el lazo de control normalmente varía cíclicamente. La 
sensibilidad de un elemento a una entrada cíclica se mide por su ganancia dinámica. Cuando la entrada 
varía cíclicamente, la salida también la hará con el mismo período (figura 12-b). 
La ganancia dinámica se define como el cociente: 
)3(/ ESD AAG = 
En el caso del intercambiador, suponer que una variación de 200 Kg/h en el caudal de vapor produce 
una variación de 20ºC en la temperatura de salida. La ganancia dinámica para esta situación es, entonces: 
( ) )4(//º1,0/200/º20 hKgChKgCGD == 
 
El segundo parámetro de la respuesta de un elemento a una entrada cíclica es el ángulo de fase que 
se muestra en la figura 12)b). A causa de los atrasos dentro del elemento, el pico de la salida no coincide 
con el pico de la entrada. El ángulo de fase φ de un elemento mide este desplazamiento. 
Un ciclo completo de cualquier señal periódica se considera que tiene 360 grados. Si el pico del ciclo 
de salida se produce transcurrida la cuarta parte del ciclo de entrada, el ángulo de fase es: 
 14 
( )( ) )5(º904/1360 −=−=ϕ 
En la ec. 5, el signo negativo indica que el pico de salida ocurre después del pico de entrada. Esto se 
denomina demora de fase. También es posible que el pico de salida se produzca antes del pico de entrada, 
en cuyo caso se denomina adelanto de fase. 
 
 
Figura 12)b) 
 
Aplicaciones de lazo cerrado. 
Los parámetros de ganancia y fase son fundamentales para comprender el comportamiento de un 
lazo de realimentación. Estos parámetros son esencialmente importantes en el estudio de la sintonía del 
controlador puesto que ambos son funciones del período de la señal de entrada. 
Cuando un lazo de control de realimentación es perturbado por un cambio de las condiciones de 
carga o en el set-point, comenzará a oscilar con un cierto período característico de ese lazo. Cada 
elemento en ese lazo ve una señal de entrada que varía con ese período. 
Comenzando en cualquier punto dentro del lazo, consideremos los efectos sobre esa señal a medida 
que va recorriendo el lazo. La señal aumenta o disminuye al pasar a través de cada elemento de acuerdo a 
la ganancia de ese elemento. Al mismo tiempo, la señal sufrirá un cierto desplazamiento de acuerdo a la 
magnitud del ángulo de fase asociado a ese elemento. 
Para que el ciclo continúe, el efecto total de estos desplazamiento debe ser igual a 360º, de modo que 
la señal vuelva a su punto de partida. En consecuencia: un lazo de control de realimentación variará 
cíclicamente con un período tal que la suma de los ángulos de fase sea igual a 360º 
Otro aspecto importante es el efecto neto sobre la magnitud de la señal que depende del producto de 
las ganancias individuales, o sea la ganancia de lazo abierto, GLA: 
( ) ( ) ( ) ( ) )6(TDPDVDCDLA GGGGG = 
donde, 
(GD)C : ganancia dinámica del controlador 
(GD)V : ganancia dinámica de la válvula 
(GD)P : ganancia dinámica del proceso 
(GD)T : ganancia dinámica del transmisor 
 
 
Las unidades dimensionales para las ganancias individuales deben estar especificadas de modo tal 
que se cancelen cuando se calcula la ganancia de lazo abierto a partir de la ec. (6). Si esa ganancia es 
 15 
mayor que 1,0, la señal arribará al punto de partida mayor que al comienzo. Mientras continúa su 
recorrido por el lazo, seguirá creciendo. 
 
En cualquier punto dentro del lazo, como ser en la entrada de medición al controlador, la señal 
aparecerá como una oscilación siempre creciente. Por lo tanto, un lazo de control de realimentación será 
estable sólo cuando el producto de las ganancias dinámicas en el lazo sea menor que 1,0. 
Los ajustes de las respuestas proporcional, integral y derivativa afectan los parámetros de ganancia y 
fase del controlador y, a su vez, el comportamiento de todo el lazo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Capítulo 2: Principios del control automático 
En cualquier operación de control, ya sea manual o automática, existe necesariamente las siguientes 
etapas: 
a) Verificación del estado de la variable que se desea controlar 
b) Comparación de su valor instantáneo con un valor de referencia 
c) Una acción correctiva que tienda a llevar a la variable al valor deseado. 
 
Cuando en el sistema a controlar se llevan a cabo cambios físico-químicos se habla de control de 
procesos. 
Control por realimentación o feed-back control. 
El principio fundamental ya fue explicado en la Introducción (pag 2). Su funcionamiento comprende 
a las 3 etapas descriptas. En particular, la 3 etapa puede ser manual (efectuada por un operario) o bien 
automáticamente. 
Cuando la señal medida se emplea para corregir a la variable manipulada se dice que el sistema es 
cerrado. Por el contrario, cuando el valor medido no se emplea para el ajuste, se dice que el sistema es 
abierto. En el caso de que sea un operario quien efectúe el control, el mismo se dice que es a lazo abierto. 
Control en avance o feed-forward control. 
Ver también avanacción (pag 3). En estos casos el controlador responde a las alteraciones 
producidas en las cargas, y luego de evaluar el impacto que tendrán sobre el sistema, toma las medidas de 
acción necesarias.La forma en la que lo hace el controlador es a través de un modelo matemático del sistema presente 
en el mismo. Pero puesto que estos modelos no son perfectos, aún, es que este tipo de control se respaldan 
con un realimentación dando lugar a esquemas combinados (ver pag. 4, figura 5). 
Control en cascada. 
El arreglo de un controlador que suministra el set-point a otro controlador es conocido como 
controlador en cascada y es usado comúnmente en control de realimentación o feed-back control. 
El controlador de temperatura en vez de actuar sobre la válvula de vapor, actúa sobre el sep-point del 
control de caudal de vapor. 
De esta manera las perturbaciones que se podrían producir sobre la temperatura ts por fluctuaciones en el 
caudal de vapor son eliminadas por el propio regulador. 
 
 
Figura 13) 
 17 
Diagramas en bloque. 
En estos esquemas el elemento en estudio se presenta a modo de caja negra en la cual una salida está 
relacionada con una entrada a través de modificaciones o transformaciones que le impone dicha caja 
negra. 
A su vez, el comportamiento de la caja negra se representa mediante una ecuación (A). 
Esquemáticamente: 
 
Figura 14) 
La ecuación que se encuentra dentro del bloque representa el comportamiento dinámico del 
elemento bajo estudio y que pueden tomar la forma de ecuaciones diferenciales, relaciones gráficas, etc. 
Esta ecuación que relaciona la entrada con la salida del bloque se denomina función de transferencia. 
Cada bloque sólo tiene una entrada y una salida., pero pueden existir puntos donde haya flujos de 
más de una señal. Para componer la señal resultante de ambas, por convención, se utiliza un círculo para 
representar la suma algebraica de las señales que ingresan a ese punto y una señal de salida 
correspondiente a dicho resultado. 
 
Figura 15) 
En cada señal se especifica el signo correspondiente a la operación algebraica. 
Las reglas básicas del álgebra de diagramas de bloque es: 
I. A cada bloque le entra una sola señal y lo abandona una sola. 
II. A un sumador entran 2 señales, cuyos signos deben especificarse, y lo abandona una sola 
señal 
Para obtener el diagrama en bloques, se observa el sistema físico real y se va dividiendo este en 
secciones según su función y se identifican sus respectivas entradas y salidas. Los distintos bloques se van 
interconectando entre sí de acuerdo con el sentido en el que la información recorre el sistema físico. 
Veamos esto mediante el ejemplo de un lazo de control de caudal: 
 
Figura 16) 
 18 
En este esquema los elementos que lo conforman son: 
1) Placa orificio (o elemento primario medidor de caudal) 
2) Transmisor de presión diferencial (convierte el ∆P producido a través de la placa orificio en 
una señal eléctrica o neumática) 
3) Línea de transmisión (a) 
4) Controlador de caudal (que compara el valor real de caudal con el valor de ajuste o set-point 
y produce una señal para corregir desviaciones) 
 
 
5) Línea de transmisión (b) 
6) Válvula de control (o elemento final de control) 
Para su representación en un diagrama en bloque se debe analizar cómo funciona el regulador. Este 
mide la variable a controlar y la compara con un valor de referencia (set-point) y para ello resta sus 
valores. Esta diferencia u error se emplea para calcular la posición que debe adoptar el elemento de 
acción final. 
Tanto la señal controlada como la manipulada se conducen a través de líneas de transmisión, por lo 
que deben incluirse en el diagrama en bloque, como así también las características del controlador y de la 
válvula. 
Todo esto, puede expresarse mejor en forma gráfica, como muestra la figura 17) 
 
 
Figura 17) 
Con respecto a las líneas de transmisión debemos aclarar que su característica está dada por la 
velocidad con que se transmite la señal, pudiendo ser muy rápidas, en cuyo caso: B=M y D=A, o puede 
ser lenta o muy lenta, como en el caso de la líneas neumáticas, en cuyo caso: B ≠ M y D≠ A y existe un 
desplazamiento en el tiempo entre entrada y salida. 
Del diagrama vemos que este es un lazo cerrado con realimentación dado que instante a instante, a 
través de la señal error (E) el controlador modifica su acción para hacer que ese error sea cero. 
En general los lazos de control con realimentación toman la forma que hemos visto en este ejemplo 
(en cuanto a su notación). 
Funciones de transferencia. 
Consideremos el siguiente caso: 
A un tanque pulmón, de un producto x le llega un flujo Q1 y en condiciones estacionarias le 
abandona un flujo Q2=Q1. 
 
Figura 18) 
 19 
En un momento dado se corta Q1 (Q1=0) y se desea conocer el comportamiento de Q2 y la altura del 
tanque durante un cierto tiempo hasta que pueda reestablecerse Q1. 
Por balance sabemos que: 
Entrada – Salida = acumulación (1) 
 dhAdtQdtQ ∗=− 21 (2) 
 
con: V= volumen del tanque 
 A= área del tanque 
 
El caudal de salida (Q2) variará en función del nivel de líquido en el tanque y la resistencia al paso 
del fluído (R) dada principalmente por la válvula de salida. 
h
R
hk
h
R
hk
1
Q vacío)(tanque chico esh Cuando
1
Qlleno) (tanque grande esh Cuando
2
2
=∗=
=∗=
 (3) 
Si la altura no varía mucho podemos suponer que: 
 h
R
Q
1
2 = (4) 
R independiente de h. Si reemplazamos (4) en (2), 
 dhAdt
R
h
dtQ ∗=∗−∗1 (5) 
 
 
R
h
dt
dh
AQ +∗=1 (6) 
 
Para t=0 (Q1=0) la ec. 6 nos queda: 
 h
ARdt
dh ∗
∗
−= 1 (7) 
Como R es función de h no se trata de una ecuación diferencial lineal como habíamos expuesto en 
(4) donde era aproximadamente constante. 
Pero si en (7) integramos en el entorno en el cual R se mantiene constante denominado entorno de 
linealización: 
 ∫∫ ∗
−=
th
h
dt
RAh
dh
0
1
0
 (8) 
 
 t
RAh
h
LnhLnhLn ∗
∗
−==− 1
0
0 (9) 
 
t
RAe
h
h *
1
0
−
= (10) 
 
t
RAehh *
1
0
−
∗= (11) 
Si damos valores a la ecuación (11) y representamos gráficamente; 
 20 
 
Figura 19) 
 
Evidentemente el modelo matemático (Q2=h/R) no tiene validez física en toda la extensión (hasta 
h=0) pero sí es lo suficientemente aproximada para pequeños valores de variación de h. 
En un problema real conociendo el tiempo que Q1 podría estar cortado, dimensionando 
adecuadamente a A (capacidad del tanque) y operando sobre R, se puede establecer una variación de 
altura que siga la ley deducida. 
Definiciones y restricciones 
El comportamiento ya sea en estado estacionario o transitorio (dinámico) de un sistema puede ser 
determinado, resolviendo las ecuaciones diferenciales que lo representan. 
Esto puede ser una tarea larga y tediosa, pero existe una técnica para resolverlas que es el uso de la 
Transformada de Laplace. En estos casos el problema se plantea en términos de una segunda variable que 
permite resolver el problema en forma algebraica. Luego de hallada esta solución, regresando a la 
variable original se obtiene la solución de la ecuación diferencial planteada. 
La limitación de este procedimiento es que sólo puede ser aplicado en ecuaciones diferenciales 
lineales, 
En general una ecuación diferencial lineal se expresa como: 
 
)()(
)()(
01
1
1 txtypdt
td
p
dt
tyd
p
n
n
nn
n
n =+⋅⋅⋅⋅++ −
−
+ (12) 
 
donde los coeficientes pi no son funciones de y(t) o sus derivadas. En general una solución con los 
coeficientes dependientes del tiempo es difícil. 
En la mayoría de la operaciones químicas las ecuacioneslineales que los representan no son lineales 
para un rango amplio de aplicación, pero en un rango estrecho. En este último caso los coeficientes se 
pueden considerar independientes del tiempo y constantes sin mayor error y el resultado obtenido es 
aceptable a los fines prácticos. 
Entonces tenemos que para un proceso de control la ecuación diferencial básica que describe el 
comportamiento de un sistema, en un entorno limitado del punto de operación es generalmente de la 
forma: 
 
)()(
)()(
01
1
1 txtym
dt
tyd
m
dt
tyd
m
n
n
nn
n
n =+⋅⋅⋅⋅++ −
−
− (13) 
y puede resolverse en forma algebraica por medio de las transformadas de Laplace. 
 
Transformadas de Laplace- Repaso 
Son un caso particular de las transformadas de integración cuya ecuación general es: 
 ∫=
b
a
dttftsKsg )(),()( (14) 
 21 
donde: 
 g(s)= función transformada 
 K(s,t)= núcleo de la transformación 
La ecuación 14) nos demuestra que hemos pasado de un dominio temporal a uno nuevo dominado 
por la variable s. 
Para las transformadas de Laplace se cumple que: 
tsetsKba *),(0 −=∞== 
 
 dttfesg ts ∗∗= ∫
∞
− )()(
0
* (15) 
Resumiendo: f(t) (en el dominio temporal) mediante una transformada considerada por la ec (15), 
pasa a ser una función g(s) (donde s=α+j*ω) en el dominio de los números complejos. 
Por convención, la notación utilizada es: 
( )[ ] ( )sgtfL = 
La operación inversa se denota: 
 
( )[ ] ( )tfsgL =−1 
 
Propiedades de las Transformadas de Laplace. 
1) Por definición: 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )tfsgLysgtfL == −1 
 
 
L y L-1 son únicas y entra ambas existe una relación biunívoca. 
 
2) Linealidad: 
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]thLbtfLathbtfaL +=+ siendo a y b, ctes 
 
3) Teorema del cambio 
 
( )[ ] ( )asgtfeL ta −= 
4) Teorema del desplazamiento: 
( )[ ] [ ])(tfLeatfL as−=− donde a es una constante 
 
5) Transformada de la derivada: 
a) La transformada de la derivada primera de una función es igual a la transformada de la función 
sin derivar multiplicad por s, menos el valor de la función sin derivar para t=0: 
( )[ ] ( )[ ] ( )0ftfLstfL −=′ 
 
b) La transformada de la derivada segunda de una función es igual a la transformada de la función 
sin derivar multiplicada por s2 menos el valor de la función sin derivar para t=0 multiplicada por s 
menos la derivada primera de la función para t=0. 
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )002 ffstfLstfL ′−−=′′ 
c) O genéricamente: 
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )000 121 −−− −⋅⋅⋅−′−−= nnnnn ffsfstfLstfL 
 
6) Transformada de la integral: 
La transformada de la integral de una función es igual a la transformada de la función dividida por s 
más la integral para t=0 también dividida por s: 
( )[ ] ( )[ ] ( )∫∫ =+= 011 tparatfstfLsdttfL 
 22 
 
7) Teorema del valor inicial: 
( )
∞→→
=
st
sgsLimtfLim
0
)(
 
8) Teorema del valor final: 
( )
0
)(
→∞→
=
st
sgsLimtfLim
 
 
9) Teorema de la convolución o producto de comparación: 
Al resolver un sistema de ecuaciones diferenciales por transformada de Laplace se obtiene un 
resultado g(s) con el cual luego se recurre a tablas para hallar L-1[g(s)]=f(t) que representa en el dominio 
temporal la solución a dicha ecuación diferencial. 
Puede suceder que la función g(s) no figure en tablas, pero que se la pueda descomponer en 2 
funciones g1(s) y g2(s) cuyas antitransformadas f1(t) y f2(t) sí figuran en tablas, si se cumple que 
g(s)=g1(s)*g2(s) se aplica entonces el denominado teorema de convolución para hallar: 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]sgsgLsgLtf 2111 ∗== −− 
y se cumple que : 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ==−∗=∗−
t
tftftfdtffsgsgL
0
212121
1 *ςςς 
 
Siendo f1(t) y f2(t) las antitransformadas de g1(s) y g2(s) respectivamente y el símbolo * indica que se 
ha aplicado el teorema de convolución entre f1(t) y f2(t). 
 
Funciones temporales especiales. 
Veamos ahora algunas funciones temporales especiales que luego aplicaremos al estudio de control 
de procesos. 
Función impulso δ(t). 
Esta definida como aquella que tiene amplitud infinita para tiempo=0 pero que el producto de la base 
por la altura es constante e igual a 1. En la figura 20) vemos que cuando t tiende a 0, b disminuye y h 
aumenta pero el producto b*h=1 y constante. 
 
 
Figura 20) 
Puede verse más claramente en la figura 21), pero a pesar que parece tener espesor, es sólo para 
poderse graficar. En particular: 
para t<0 δ(t)=0 
 
para t>0 δ(t)=0 
para t=0 δ(t)=∞ 
y en transformada de Laplace : 
( )[ ] 1=tL δ 
 23 
 
Figura 21) 
Función escalón H(t) 
Se define como aquella función que tiene una amplitud cero hasta t=0 y en ese momento toma un 
valor finito igual a la unidad. 
para t<0 H(t)=0 
para t>0 H(t)=1 
 
además : ( ) ( )tHdtt
t
==∫ 1
0
δ 
La transformada de Laplace, es : 
( )[ ]
s
tHL
1= 
 
Figura 22) 
Función Rampa R(t) 
Es una función que vale cero hasta el instante t=0 y a partir de allí toma valores crecientes en forma 
lineal con el tiempo. 
para t<0 R(t) = 0 
para t>0 R(t) = K*t 
( ) ( )TtHdttHdttHtR
TT
=== ∫∫
00
)()( 
La transformada de Laplace es : 
( )[ ]
2
1
s
tRL = 
 
Figura 23) 
Función de transferencia. 
Consideremos la siguiente ecuación diferencial: 
 24 
 
( ) ( ) ( )tHMRtC
dt
tCd
T ∗∗=+∗ (16) 
donde T= constante de tiempo del sistema 
M*H(t) describe una entrada en escalón de magnitud M al sistema 
Si transformamos por Laplace y suponemos que C(0)=0: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCsCsTsCCTsCsTtC
dt
tCd
TL +∗∗=+∗−∗∗=




 +∗ 0 
( )[ ]
s
MR
tHMRL
∗=∗∗ 
donde R y M son constantes 
igualando ambos miembros: 
 ( ) ( )
s
MR
sCsCsT
∗=+∗∗ (17) 
 ( ) ( )1+∗
∗=
sTs
MR
sC (18) 
Antitransformándola, queda: 
 ( )[ ] ( )




+∗
∗= −−
1
11
sTs
MR
LsCL (19) 
 
 ( ) 



 −∗∗= − T
t
eMRtC 1 (20) 
En el trabajo matemático del estudio de control de procesos las transformadas de Laplace son útiles 
para la determinación de la respuesta de cada proceso a distintas perturbaciones 
Como lo que interesa es la la variación del proceso en algunas de sus variables, denominada 
dinámica del proceso, a partir de cierto instante en el cual se introduce una perturbación, puede 
considerarse a las condiciones anteriores a la perturbación como un estado estacionario o de reposo o 
como nivel o condición de partida. 
De esta manera las condiciones iniciales resultan conocidas simplificando el tratamiento matemático. 
Todo sistema esta caracterizado por la relación que existe entre una variable de entrada y una 
variable de salida. Esta relación de variables generalmente define, para cada sistema en particular, una 
función característica para la cual fue diseñada o construida y permite posteriormente estudiar cómo las 
variaciones de una se reflejan en la otra o sea, cómo la variable de salida o perturbada (output) está 
relacionada con la variable perturbadora o de entrada (input). 
Definimos entonces a la función transferencia de un sistema como la relación que existe entre la 
variable perturbada o salida dividida la variable perturbadora o de entrada: 
 




=
ENTRADA
SALIDA
ciatransferendeFunción (21) 
Para el estudio de estas relaciones es muy útil la transformada de Laplace, es decir que el cociente 
antes definido se transforma en la relación que existe entre la transformada de Laplace de la salida y la 
transformada de Laplace de la entrada. 
Si analizamos la ecuación con que empezamos el tema vemos que: 
 ( ) ( ) ( ) s
M
sT
R
sTs
MR
sC
11 +∗
=
+∗
∗=(22) 
en este caso la variable perturbada es C(s) y la variable perturbadora o entrada es M(s) con lo cual la 
función de transferencia está dada por: 
( ) ( )[ ]
s
M
tHMLsM =∗ 
( )
( ) 1+=== sT
R
sM
sC
ENTRADA
SALIDA
ciatransferendeFunción (23) 
 
, que es una característica del proceso, ya que R y T lo son. 
 25 
Por convención se designa KG(s), en forma genérica a la función de transferencia de un sistema, y 
esta nomenclatura se utiliza en los diagramas de control. 
También por convención se utilizan letras mayúsculas para la función en el dominio de la variable 
compleja s y minúsculas en el dominio temporal t. 
Al utilizar la sigla KG(s) estamos representando los 2 estados por los que atraviesa un proceso al 
sufrir una variación en la entrada. Una de ellas, K, representa la parte estática del proceso que no se altera 
con las variaciones de la entrada y que se denomina ganancia estática del sistema. La otra, representada 
por G(s), es la porción dinámica que determina la respuesta del proceso. Del ejemplo: 
 
 ( )
1
1
+
==
sT
sGyRK (24) 
En la práctica común al realizar los diagramas en bloque se los efectúa en el dominio transformado s 
a las cuales se las considera tácitamente escritas y se colocan sólo las letras mayúsculas. 
También por convención, se denomina con la letra H la función de transferencia del mecanismo de 
medición de realimentación. 
Un diagrama en bloques típico es como el que mostramos en la figura (24) donde dentro de cada 
bloque se han escrito las funciones de transferencia que lo caracterizan individualmente. 
 
Figura 24) 
 
Y las letras mayúsculas (E,M,N, etc) representan las entradas y salidas de los distintos bloques. La 
salida de cada uno de ellos estará dado por el producto de su función de transferencia y se entrada 
respectiva, por ejemplo: 
 ( )( )ppeepp
ee
GKGKEGKMN
EGKM
==
=
 (25) 
Si bien las funciones de transferencia que hay dentro de cada bloque puede ser muchas y variadas, la 
mayoría de ellas pueden ser representadas por las combinaciones de 5 funciones de transferencia. 
 
 
Tipo de K G(s) 
 
Denominación 
 
 1 
 
K 
 
 
Elemento proporcional 
 
 2 
 ST
1
 
 
 
 
Elemento de capacidad 
 3 
1
1
+ST
 
 
 
Elemento de primer orden 
4 
1
1
12
1
2
2
1
22
++
++
STST
bieno
STST ε
 Elemento de segundo orden 
5 SLe− 
Elemento de tiempo muerto o 
demora 
 
 
 26 
Finalmente veamos como podemos obtener algunas funciones de transferencia del sistema 
resolviendo el diagrama en bloques: 
Caso 1: 
Queremos hallar C(s)=f[M(s)] para la cual resolvemos por partes: 
 
( ) ( )22 GKNSC = (1-1) 
 
( ) ( ) )11(11 −= endoreemplazanyGKMSN 
 
( ) ( )( )( )2211 GKGKSMSC = 
 
y la función de transferencia será: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )SGKSGKSM
SC
SGK 2211== 
 
Caso 2: 
 
 
 
en este caso, 
( ) ( ) ( )SBSASC += (2-1) 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) )12(11
22 −



=
=
endoreemplazan
SGKSMSB
SGKSUSA
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )SGKSMSGKSUSC 1122 += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
Capítulo 3: Características de los Procesos. 
Generalidades. 
Para utilizar el diagrama en bloques para el análisis de los sistemas de control, es necesario conocer 
la función de transferencia tanto en el estado estacionario o estático como para el comportamiento 
dinámico. 
En cada proceso físico debe conocerse para cada paso, cual es la función de transferencia específica, 
la que se representa por un bloque. En cada bloque, en general, la función transferencia específica será de 
alguno de los 5 tipos que hemos mencionado (Pág. 31) o combinaciones de ellas. 
Generalmente al estudiar un sistema físico, si podemos establecer un modelo matemático, trabajando 
sobre el mismo obtenemos resultados similares a los que experimentamos sobre el sistema físico, pero 
puede suceder que el modelo matemático también represente a otro sistema físico diferente del primero, 
con lo que las conclusiones obtenidas será válidas para predecir el comportamiento de ambos sistemas. 
Por ejemplo, es bien conocida la analogía que existe entre los sistemas eléctricos e hidráulicos que 
responden al mismo tipo de ecuaciones matemáticas. Sabiendo, por ejemplo, que una diferencia de 
potencial (V) se corresponde con una diferencia de altura hidrostática, etc. 
Pero esto nos permite extendernos hacia otra aplicación. 
Si tenemos un sistema bajo estudio y no accesible a una experimentación directa y si por razones de 
tipo práctico el modelo matemático resulta muy incómodo para el cálculo numérico, puede utilizarse un 
sistema físico análogo al primero, fácil de construir y experimentar, del cual se puedan obtener una serie 
de conclusiones aplicables al sistema físico original bajo estudio. 
Veamos entonces algunas de esas analogías en los elementos que hemos definido. 
Elemento Proporcional. 
La resistencia eléctrica presenta ciertas analogías con las características de flujo, difusión y 
transmisión del calor. 
 
I
E
I
EE
ROhmdeleyPor
∆=
−
=→ 21 (26) 
CorrientedeFlujo
PotencialdeDiferencia
sistenciaR == Re 
 
 
 
En el flujo de líquidos turbulentos a través de una apertura como la de la figura 27) se cumple: 
Velocidad: ( ) hghhv 22 21 =−= ρ (27) 
 
Caudal: hgAKQ 2= (28) 
 
K: coeficiente cte para una abertura dada, 
La fórmula (28) es una relación no lineal entre el caudal y la diferencia de potencial. No obstante es 
posible “linealizar” el sistema para un punto de operación particular (Q0) alrededor del cual los cambios 
que se pueden efectuar a ∆h son pequeños comparados con el valor total de h. 
En estos casos podemos decir que el flujo a través de la apertura es equivalente a una resistencia 
eléctrica dado que estará representado por la siguiente ecuación: 
flujoelencambio
potencialdediferencialaencambio
dQ
dh
RQ ==0 (29) 
Siempre alrededor de Q0 (entorno de linealización). 
Vemos que en realidad la resistencia hidráulica R será diferente para cada valor de Qi. 
De la aplicación de la ec. (28) en la (29) se deduce que: 
 hgAKQ ∆= 22220 (30) 
si diferenciamos esta igualdad, 
dhgAKdQQ 22 220 = (31) 
 28 
22
0
0 AKg
Q
dQ
dh
RQ == (32) 
En estas condiciones de flujo (Q0) a un pequeño cambio en el potencial (dh) resultará un cambio 
proporcional en el caudal. 
 
Figura 27) 
 
 
Con esta expresión podemos calcular el valor de una resistencia hidráulica en una zona limitada de 
trabajo. 
Si de la ec. (30) despejamos K2 queda: 
hgA
Q
K
22
2
02 = (33) 
y reemplazando en la ec. (32): 
0
02
0 Q
h
RQ = (34) 
Expresión práctica que nos permite estimar la resistencia hidráulica como el cociente entre la altura y 
el caudal medidos para su punto de operación y multiplicado por 2. 
Veamos el siguiente ejemplo de aplicación: 
Para el esquema de la figura anterior consideremos que h0= 3 m y deseamos verificar el valor de 
caudal para una variación de +10% en la altura según la expresión (28) y según la aproximación lineal. 
Consideremos que el orificio de descarga tiene un diámetro de 3 cm y que K= 0,8. 
24
22
0 101,7
4
)03,0(
4
m
d
A −×=== ππ 
 
seg
mhgAKQ
334
0 1034,42381,92101,78,0
−− ×==×××××= 
 Resolviendo por aproximación lineal y aplicando: 
( ) ( )
23
22)4
33
22
0 /1039,1
8,0101,781,9
1034,4
0
mseg
m
seg
m
KAg
Q
RQ ×=
××
×
==
−
−
 
seg
m
msR
h
Q
Q
h
Rpero
oQ
Q
33
23
10216,0
/1039,1
31,0
0
−×=
×
×=∆=∆→
∆
∆= 
 
( ) segmsegmfffT
33333
0 10556,41021,01034.4
−−− ×=×+×=∆+= 
 
si utilizamos la fórmula del caudal: 
seg
mfT
334 1057,43,381,92101,78,0 −− ×=×××××= 
Siendo el error del 0,3%, luego se cumple: 
0
0 Rf
h
f
∆=∆ (35) 
Si a esto lo representamoscomo diagrama en bloque: 
 29 
 
 
Figura 28) 
 
Donde Rf0 puede considerarse constante bajo las condiciones antes mencionadas y la representación 
gráfica de estas variaciones estaría dada por: 
 
Figura 29) 
 
Si (h1-h2) varía en función del tiempo, f seguiría esa variación instantáneamente por no haber retardos 
y la respuesta transitoria de la salida de un elemento proporcional es idéntica a la entrada excepto en la 
diferencia de magnitudes. 
Si aplicamos la transformada de Laplace a la ec. (35): 
( )[ ] ( )( )[ ] ( ) ( )( )SH
SF
Rf
Rf
SH
thhL
Rf
tfL =∴=−= 0
0
21
0
0
1
 (36) 
De manera que si consideramos un cambio en escalón en (h1-h2) el flujo también experimentará un 
cambio en escalón tal como hemos indicado en la figura 29) para el dominio temporal. 
En el dominio complejo (de la variable S) al elemento proporcional se representa por la letra K. En 
este caso: 
0
1
Rf
K = (37) 
Elemento de capacidad. 
Las leyes de Faraday relacionan la carga de un condensador (o capacitor) con la diferencia de 
potencial del mismo y su capacidad mediante: 
q
e
CeCq =⇒= (38) 
 
q= carga eléctrica (coulomb) 
e= diferencia de potencial (volt) 
C= capacidad (faradio) 
De la definición de corriente eléctrica: 
dt
de
C
dt
dq
i == (39) 
La capacidad es un elemento de reserva de energía. La fórmula (39) nos indica que la corriente que 
fluye al o del capacitor es el producto de la capacidad por la velocidad de variación del potencial (a 
medida que se almacena mayor carga eléctrica aumenta el potencial entre los bornes del capacitor). 
La capacidad de un sistema líquido es directamente análogo a la capacidad eléctrica y puede ser 
representada como un tanque para almacenamiento temporario de líquidos donde el caudal (o corriente) 
que llega al mismo hace variar el volumen contenido dentro del tanque. 
dt
dh
C
dt
dh
A
dt
dV
Q L=== (40) 
 donde A=CL = sección área transversal, 
 30 
 Q= caudal o flujo 
 V= volumen 
 H= altura 
Si transformamos por Laplace la ec (40) 
 
( ) ( ) ( ) ( ) alturathdeadatransfrormSHSHSCSQ L == : (41) 
suponemos la condiciones iniciales conocidas 
( )
( ) ( ) ( )SQSCSHSCSQ
SH
LL
11 =⇒=∴ (42) 
El cociente entra la función de salida y la de entrada es la función de transferencia, en nuestro caso: 
 
( )
( ) SCcaudaldeiación
niveldeiación
SQ
SH
Entrada
Salida
L
1
var
var === (43) 
 
1/(CL S) es la función de transferencia de una capacidad. 
El diagrama en bloques correspondiente será: 
 
Figura 30) 
En general la transformada de Laplace de estas funciones se representa por (1/TS) donde en este caso 
T=CL. 
Si resolvemos la ecuación diferencial (40) obtenemos que: 
dhdt
C
Q
dt
dh
CQ
L
L
=
=
 (44) 
Si integramos ambos miembros: 
0htC
Q
h
L
+= (45) 
Con este caso incluimos h0 para hacer la ecuación más universal, 
 
 
 
LC
Q
tg =α 
 
 
 
 
 
Figura 31) 
 
También vemos que si la sección en el tanque no es constante la altura no variará en forma lineal. 
 
Elemento de retraso primer orden. 
Si tenemos un tanque donde hay un caudal de entrada Q1 y otro de salida Q2, que suponemos 
proporcional al nivel del tanque. 
El caudal Q2 dependerá de h y también de la resistencia RL que ofrezca la válvula. Suponemos que 
RL es lineal con la variación de h (entorno de linealización). Nos interesa conocer la variación de nivel en 
función del caudal de entrada. 
En este caso tendremos: 
 31 
 
Figura 32) 
 
dt
dh
C
dt
dh
AQQ L==− 21 (46) 
 donde A=CL, pero, 
LR
h
Q =2 (47) 
 reemplazando, 
 
1QRhdt
dh
CR LLL =+ (48) 
 
El producto RC aparece con frecuencia en los sistemas de control. Por analogía con los circuitos 
eléctricos se los denomina constante de tiempo y se lo representa con la letra T. 
Las unidades que representan a T son: 
segundosmetros
segundos
metos
metros
CRT LL =












×==
2
 
reemplazando en (48) 
1QRhdt
dh
T L=+ (49) 
aplicando transformada de Laplace a ambos miembros de (49), 
( )[ ] ( ) ( )SQRSHSHST L 1=+ (50) 
una vez más hemos supuesto conocidas las condiciones iniciales, 
( )[ ] ( )SQRTSSH L 11 =+ (51) 
( ) ( )SQ
RS
R
SH L 11




+
= (52) 
si efectuamos el diagrama en bloques, 
 
 
 
Figura 33) 
Y su función de transferencia será: 
( )
( ) 1+= TS
R
SQ
SH L (53) 
 
La expresión (1/TS+1) es la que caracteriza a todos los sistemas de primer orden, así denominados 
por tener una sola constante de tiempo. 
El elemento de primer orden puede obtenerse de la combinación de un elemento proporcional y una 
capacidad. Para ello resolvamos por álgebra de diagramas en bloques el siguiente esquema: 
 32 
 
Figura 34) 
 
Si resolvemos para el bloque superior: 
( )21
1
QQ
SC
H
L
−= (54) 
R
H
Qpero =2 (55) 
SRC
H
Q
SC
H
LL
−= 1
1
 (56) 
1
11
1 Q
SCSRC
H
LL
=





+ (57) 
[ ] 111 QSCSRCSRC
H
L
L
L
=+ (58) 
11
Q
SRC
R
H
L +
= (59) 
11
Q
ST
R
H
+
= (60) 
Para hallar la respuesta temporal de este sistema, debemos resolver la ec. (49), donde consideramos 
que el tanque está inicialmente vacío ya que también suponemos que Q1 varía en forma escalón (para t<0 
Q1=0, para t ≥ 0, Q1=cte. 
1QRhdt
dh
T L=+ (61) 
 
si aplicamos transformada de Laplace a ambos miembros: 
 
[ ] [ ]1QLRhLdt
dh
L L=+



 (62) 
( ) 000 =−=



hyhSHS
dt
dh
Lpero (63) 
[ ] ( )SHhL = (64) 
[ ] ( ) escalónfunciónunatQserpor
S
Q
QL 1
1
1 = 
 reemplazando en (62) 
( ) ( )
S
Q
RSHSHST L
1=+ (65) 
( )[ ]
S
Q
RSTSH L
11 =+ (66) 
 
( ) ( )1
1
1 +
=
STS
QRSH L (67) 
 33 
para hallar la función temporal h(t) debemos antitransformar a (67) 
 
( )[ ] ( )




+
= −−
1
11
1
1
STS
LQRSHL L (68) 
( )[ ] ( )thSHL =−1 (69) 
 
( )
T
t
e
STS
L
−− −=





+
1
1
11 (70) 
( ) 



 −=
−
T
t
L eQRth 11 (71) 
Si representamos gráficamente Q1(t) y h(t) dando valores a t, obetenemos la figura 35). En el gráfico 
de h(t) también hemos representado Q2(t) (línea superior),donde: 
( ) 



 −== − T
t
L
eQ
R
h
tQ 112 (72) 
Vemos que la constante de tiempo T es el valor que requiere para alcanzar el 63% del valor final 
(Q2=0.63 Q1). 
El valor final estará dado evidentemente para Q2=Q1 (o sea para t=∞ en la ec. (72)). En la práctica se 
considera que cuando t=3 T se ha llegado al valor final. 
∞=== tparaQRhhparao Lfinal 1 
 
 
 
 
t h 
0 RL Q1=0,00 
T 0,63 RL Q1 
2 T 0,86 RL Q1 
3 T 0,95 RL Q1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 35) 
 
 
 
 34 
Capítulo 4: Sistemas de Primer Orden. 
Respuesta a señales de entrada Escalón-Rampa-Impulso-Senoidal. 
Impulso escalón [H(t)] 
 
Figura 36) 
( ) ( )tHtXe = (73) 
[ ] ( )[ ]
S
tHLXL e
1== (74) 
tenemos que: 
SST
X
ST
X es
1
1
1
1
1
+
=
+
= (75) 
Si antitransformamos según tablas, 
( )[ ] ( )




+
= −−
1
111
STS
LSXL s (76) 
( )[ ] ( )tXSXL ss =−1 (77) 
( )
T
t
e
STS
L
−− −=





+
1
1
11 (78) 
( ) Tts etX
−
−= 1 (79) 
 
Que es el caso que hemos visto al final del capítulo anterior. La respuesta corresponde a la graficada 
en la parte inferior de la figura 35). Si trazamos la tangente a Xs(t) en el orígen (para t=0): 
T
e
Tdt
dX
t
T
t
s 11
0
=



−−=
=
−
 (80) 
Vemos entonces que el valor de T puede determinarse gráficamente de dos formas: 
a) En la respuesta a una función escalón prolongar la tangente al orígen hasta encontrar el valor 
final y de allí extraer el valor de T. 
b) El valor de t para el cual el sistema alcanza el 63% del valor final (para t=T). 
El valor de T, que recibe el nombre de constante de tiempo del sistema, caracteriza el tiempo de 
permanencia en régimen transitorio,ya que habíamos dicho que para t=3 T se cumple que Xs=0,95 Xe y 
consideramos terminado el régimen transitorio. 
En realidad como la respuesta del sistema es exponencial, teóricamente no se alcanza el valor final 
hasta un tiempo infinitamente grande. 
En la práctica al alcanzar el 95% del valor final se considera que ha cesado el régimen transitorio 
(t=3 T); 
95.011 3
3
=−=−= −
−
eeX T
T
s (81) 
Respuesta a la función Rampa. 
( )[ ]
2
1
S
tRL = (82) 
 
( )
2
1
1
1
SST
SX s +
= (83) 
 35 
 
Para resolver la antitransformada de (83) podemos utilizar el teorema de convolución: 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )tftfdtffSgSgL t 210 2121
1 ×=−= ∫
− ςςς (84) 
definimos ( ) ( ) ( )
T
t
etf
STS
Sg
−
−=→
+
= 1
1
1
11 (85) 
 ( ) ( ) 11 22 =→= tfSSg (86) 
aplicando (84): 
ςςς
ςς
dedde
t
T
tt
T ∫∫∫
−−
−=




 −
000
1 (87) 
( ) ( ) =−+=−−−=
−−−
∫∫ TT
tt
T
t
eTeTt
T
d
eTd
0
00
ςς
ς
 
 




 −−=−+=
−−
T
t
T eTtTeTt 1
2
 
( )



 −−=∴
−
T
t
s eTttX 1 (88) 
para t >>> T o sea para t →∞ , Xs=t-T 
 
para la entrada Xe=t → vemos que existe una diferencia entre la entrada y la salida, constante a través del 
tiempo que se denomina error dinámico. 
 
 
Figura 37) 
Ese error dinámico estará dado por: 
se
T
t
T
t
T
t
XX
eTeTtteTTtt



 −=



 −+−=



 +−−
−−−
11
 (89) 
para t >>> T diferencia = error dinámico = T 
Si la función rampa fuera K*t el error sería K*T ya que, 








 −−=
−
T
t
s eTtKX 1 (90) 
Respuesta a una función impulso. 
( ) ( ) 1=→= ee XtSX δ (91) 
( ) 1
1
1 ×
+
=
ST
SX s (92) 
( ) Tts eTSTLtX
−
=





+
= 1
1
1
 (93) 
para: 
 36 
( )
( ) 0
1
36,0
1
0
=∞=
==
=→
tXt
T
XTt
T
tXt
s
s
s
 
 
El valor de la variable dependerá del valor de la constante de tiempo. Si esta es grande el sistema 
prácticamente no reacciona a la función impulso y el efecto del impulso se diluye. 
Mediante la acción de cualquiera de las tres funciones temporales, escalón, rampa o impulso, 
obtendremos la información sobre el comportamiento del sistema físico. 
Este comportamiento no sólo es útil desde el punto de control automático sino también de la 
operabilidad misma de la planta o sistema 
El tipo de acción a aplicar (escalón, rampa o impulso) dependerá de que tipo de respuesta interesa 
considerar en el sistema. 
Si bien hasta este momento nos hemos limitado a un sistema de primer orden, este estudio puede 
extenderse a sistemas de orden superior. 
Respuesta a una señal que varía sinusoidalmente. 
Análisis armónico. 
1
1
+
=
STX
X
e
s (94) 
( ) ( )[ ] [ ]
22 S
tsenLtXLtsentX ee +
===
ω
ωωω (95) 
 
221
1
SST
X s ++
=
ω
ω
 (96) 
 
para hallar L-1[X s(S)] aplicamos el teorema de convolución: 
( )[ ] 





++
= −−
22
11
1
1
SST
LSXL s ω
ω
 (97) 
( )tfe
TST
L T
t
1
1 1
1
1 ==





+
−− (98) 
( )tftsen
S
L 222
1 ==





+
− ω
ω
ω
 (99) 
( ) ( ) ( ) =×=×= − tsene
T
tftftX T
t
s ω
1
21 
( ) ( )
ςωςω
ω
ςςω
ςς
desen
T
de
T
sen T
t
t t
T
t −
−
−
−
∫ ∫== 0 0
11
 
 
(multiplicamos y dividimos por ω) 
Recordemos que: 
( ) ( ) duvvuddvuduvdvuvud −=⇒+= (100) 
 37 
( )
( ) ( ) =−−





−=
−−−−−−
∫∫ T
d
ete
T
desen
T
T
t
t
t
T
t
t
T
t ςωςω
ω
ςςω
ω
ςςς
0
0
0
coscos
11
 
 
( ) ( ) =






+−−−= ∫
−
−− t T
t
T
t
deet
T 0
cos11*cos
1 ςςωω
ω
ς
 
















−+



 −= ∫
−−−−− t T
tt
T
t
T
t
T
d
esenesen
T
te
T 0
0
22
1
cos
1 ςςωςω
ω
ω
ω
ςς
 
 
la última integral es Xs 
s
T
t
s X
T
tsen
T
te
T
X
2222
11
cos
1
ω
ω
ω
ω
ω
−+



 −=⇒ − (101) 



 −+=





+∴ − tTeTtsen
wTT
X T
t
s ωωωωω
cos
11
1
2222
 (102) 



 −+
+
= − tTeTtsen
T
X T
t
s ωωωωω
cos
1
1
22
 (103) 
















+
−+
++
+
+
=
−
t
T
T
tsen
TTT
eT
X
T
t
s ω
ω
ωω
ωωω
ω
cos
11
1
1
1
1 22222222
 
 
2222 1
1
.
1
1
.
ωω T
termdosen
T
termeldivididohemos
++
 
El término 1+T2ω2 lo podemos representar como indica la figura 38) según un triángulo rectángulo 
donde podemos definir el ángulo φ como: 
 
 
 
221 ω
ωϕ
T
T
sen
+
−= 
 
 
 
 Figura 38) 
ωϕ
ω
ϕ Ttg
T
−=
+
=
221
1
cos 
 
( )ωϕ Ttgarc −= (104) 
( )ϕωϕω
ωω
ω
sen*coscos*sen
1
1
1 2222
tt
TT
eT
X
T
t
s +
+
+
+
=
−
 
 
( )[ ]ϕω
ωω
ω +
+
+
+
=
−
t
TT
eT
X
T
t
s sen
1
1
1 2222
 (105) 
 38 
 
( ) ( )[ ]ϕω
ωω
ϕ +
+
+
+
−=
−
t
TT
e
X
T
t
s sen
sen
2222 1
1
1
 (106) 
 
para t=0, 
0
1
sen
1
sen
2222
=
+
+
+
−=
ω
ϕ
ω
ϕ
TT
X s (107) 
 
De la ecuación (106) vemos que cuando a un sistema de primer orden se le aplica a la entrada una 
función sinusoidal se obtiene a la salida también una función sinusoidal de amplitud menor (está 
multiplicada por 
221
1
ωT+
) y compuesta de dos términos. 
El primer término representa la respuesta transitoria 








+
− −
221
sen
ω
ϕ
T
e T
t
 dado que a medida que t 
aumenta este término va disminuyendo hasta que finalmente desaparece. 
El segundo término, ( )








+
+
ϕω
ω
t
T
sen
1
1
22
 representa la respuesta permanente del 
sistema, que también es una función sinusoidal de menor amplitud y desfasada un ámgulo φ con respecto 
al valor original. 
 
Ejemplo: 
Consideremos el caso del termómetro que sumergimos en un baño que oscila en ±20ºC 
sinusoidalmente con un período de 100 seg. que el termómetro tiene una constante de tiempo de 25 seg. 
Queremos saber que temperatura indicará el termómetro. 
Aplicando a la ec. (106) los siguientes parámetros: 
 T= 25 seg 
 ω= 0,0628 1/seg 
 T* ω= 25 * 0,0628 = 1,57 
φ =-arc tg(T* ω)=-arc tg(1,57) = 57,5º ≡ 16 seg 
 
( )
( )



 ++
+
= − 160628,05,57
0628,0*251
º20 25
2
senesen
C
X
t
s 
C
C
Xmáximaamplitud s º8,10
57,11
º20
2
=
+
= 
 
pero este valor de temperatura máxima no coincidirá con la temperatura máxima del baño que estará 
desfasada con respecto a ella debido a la presencia de φ a 16 segundos después. 
Esto es considerando que salvo el primer ciclo, el período transitorio no tiene gran acción y no será 
más tenido en cuenta. Gráficamente: 
 
 39 
 
Figura 39) 
 
 
[ ] [ ] ( )ϕω
ωω
ϕ +
+
=
+
−=
−
t
TT
e T
t
sen
1
1
2
1
sen
1
2222
 
 
Vemos también que tanto Xe como Xs dependen de ω, cuanto mayor sea esta (más rápida la variación 
de temperatura del baño), el termómetro podría llegar a no medir ninguna variación (depende también del 
T del termómetro) 
Luego que ha desaparecido el período transitorio el término permanente depende, para una entrada 
senoidal, de la frecuencia de la señal de entrada y de su propia constante de tiempo. 
Vamos a definir la respuesta en frecuencia de un proceso como varía la salida ante las variaciones de 
frecuencia (ω) de la señal de entrada. Para ello veremos que relación de amplitud y fase existe en la salida 
ante una entrada senoidal, luego que los transitorios hayan desaparecido. 
Sabemos que esta salida será de menos amplitud y desfasada un ángulo φ con respecto a la entrada, 
pero también será sinusoidal. 
Si recordamos la notación vectorial, en el plano de los números complejos tenemos que: 
ααα senje j +=cos (108) 
 
Donde: α= ángulo descripto = ωt 
 ω = velocidad angula de giro del vector A 
 t = tiempo 
 
 
Figura 40) 
 
)1(cos ==+= vectormóduloAparatsenjte tj ωωω 
 40 
1cos22 =+== ttsenmóduloM ωω (109) 
Además una función sinusoidal se puede representar como un vector giratorio tje eXeX
ω=
→
 
donde su proyección instantánea sobre un eje (en este caso el vertical) va indicando en cada momento los 
valores que va tomando lamagnitud sinusoidalmente variable. 
Esta nos representa los distintos valores de Xe a medida que ω va variando de 0 a ∞. 
De igual manera ( )ϕω −
→
= tjs eXsX (110) 
Si hacemos el cociente salida sobre entrada (función de transferencia): 
 
( )
ϕ
ω
ϕω
ω
j
tj
tj
e
s
e
s e
Te
e
X
X
X
X −
−
+
==
221
1
 (111) 
Representando vectorialmente a (110) vemos que el vector salida atrasa un ángulo φ y en módulo es 
221
1
ωT+
 veces menor. 
 
 
Figura 41) 
 
Si en la función de transferencia de un sistema de primer orden 
1
1
+ST
 reemplazamos S por j ω, 
tenemos que: 
( ) esTjsTjST
e
s XXX
X
X →→→
→
→
=+⇒
+
=
+
= ω
ω 1
1
1
1
 (112) 
 
el término j significa que ( ) syTjs XX
→→
ω son vectores perpendiculares y que sumados dan el 
vector eX
→
. 
 
También se cumple que 
22
22
1
1
ω
ω
ϖϕ
T
X
X
TXmóduloX
Ttgarc
e
s
se
+
=
+==
=
 
Figura 42) 
 
O sea que en análisis frecuencial trabajar con vectores giratorios es lo mismo que trabajar con 
transformada de Laplace reemplazando S por j ω (S=j ω). Lo que nos interesa es determinar cómo 
responderá el sistema a toda gama de frecuencias, en este caso la frecuencia es la velocidad angular ω. 
 41 
Lo que nos interesa es mantener la señal de entrada (Xe) en amplitud constante y variar ω desde 0 a 
infinito y para esas variaciones de ω tendremos un valor de φ y de Xs correspondientea a cada ω. 
Diagrama de Nyquist. 
 Es la representación gráfica en coordenadas polares de φ y de Xs. Tenemos que: 
ωϕ Ttgarc= (113) 
 
( ) 12 +
=
ωT
X
X es (114) 
0º90
0º00
→=→∞=∞→
===→
e
es
Xtgarcsi
XXytgarcsi
ϕϕω
ϕω
 
 
Vemos entonces que entre los dos valores extremos de ω se cumple que φ pasa de 0º a 90º y Xs pasa 
de se igual a Xe a valer 0, lo cual nos indica que la respuesta de un sistema de primer orden para ω=0 es 
igual a la entrada y que cuando ω=∞ su frecuencia atrasa 90º y no tiene amplitud. 
Entre esos dos valores extremos estarán representados todos los demás valores. Además como Xs y j 
Xs T ω son perpendiculares entre sí debido a la presencia de j siempre deberán formar un ángulo recto y la 
suma de ambos vectores siempre es Xe (ver figura 42) por lo cual deducimos que el extremo de Xs se 
mueve sobre un semicírculo de diámetro Xe al variar ω de 0 a ∞. 
 
Figura 43) 
 
Para el punto A, φ1= arc tg T ω1 , 
( ) 121
1
+
=
ωT
X
X eS (115) 
donde, 0 < ω1 < 90º 
eSjS XXTX
→→→
=+ 111 ω (116) 
correspondiente a ω1 pero de amplitud constante, 
Para el punto B, φ2= arc tg T ω2 , 
( ) 122
2
+
=
ωT
X
X eS (117) 
donde, 0 < ω2 < 90º 
eSjS XXTX
→→→
=+ 222 ω (118) 
 
CcomotalpuntounareduceseySypara X 03º90 ==→∞=
→
ϕω 
 42 
 
 
Diagrama de Bode. 
Es otra forma de representar las relaciones entre Xe y Xs , a través del análisis armónico (o sea ante 
las variaciones de ω) y que utiliza coordenadas logarítmicas. 
Para poder utilizarlo debemos definir el decibel (db). No confundir con la unidad decibel que se 
utiliza en sonido donde: 
0
log20
P
P
decibel= donde P0 es la mínima presión que detecta el oído como presión de onda 
sonora. 
El decibel que utilizaremos nosotros es una unidad creada para representar el módulo de un número. 
Se define como: 
NNdecibel db log20== (119) 
 
la sigla Ndb significa que estamos representando los decibeles que corresponden al número N 
aplicando la fórmula (119). 
Si tomamos la expresión general de la función de transferencia de un sistema de primer orden: 
 
( )
1+
=
ST
K
SKG (120) 
y reemplazamos como antes S por j ω, tenemos: 
 
 
( )
( )
ϕ
ω
je
T
K
SKG −
+
=
21
 (121) 
 
donde hemos definido su módulo y su ángulo, 
Para representar en diagrama de Bode cómo varían el módulo y el ángulo se utilizan 2 diagramas: 
a) En uno se representa el módulo, expresado en decibeles versus el logaritmo de ω. 
b) En otro se representa el valor del ángulo φ versus el logaritmo de ω. 
Hagamos el análisis de cómo varía el módulo en función de ω. 
Para frecuencias pequeñas donde ω→0 o T ω<<1 , 
 43 
( )
( )
ledespreciabes
T
térmelqueyaKSKG
21
1
.
ω+
= 
constantenúmerolog20 == KNluego db 
para una frecuencia ω1=1/T , tendremos que (ω T=1), 
( )
( ) 211
2
K
T
T
K
T
K
SKG =
+
=
+
=
ω
 (122) 
dbKK
K
N db 3log202loglog20
2
log201 −=−== (123) 
Para una frecuencia ω1=1/T (denominada frecuencia de corte) mayor que las frecuencias pequeñas 
vemos que el módulo en lugar de permanecer constante ha disminuido en 3 db. 
Para una frecuencia ω2 tal que T ω2 >>1 tenemos que: 
( )
( ) ( ) 222221 ωωω T
K
T
K
T
K
SKG ==
+
= (124) 
 
2
2
log20log20log202 ω
ω
TK
T
K
N db −== (125) 
y nuevamente el módulo ha disminuído en valor en 20 log T ω2. 
Si ahora tomamos ω3=2 ω2, tenemos que: 
 
( )
( ) 2323 21 ωωω T
K
T
K
T
K
SKG ==
+
= (126) 
 
2
2
2log20log20
2
log203 ω
ω
TK
T
K
N db −== (127) 
Si observamos qué relación existe entre (125) y (127) vemos que la disminución de amplitud pasó de 
20 log T ω2 20 log 2 T ω2 que la podemos expresar como: 
[ ] =+−=− 22 log2log202log20 ωω TT (128) 
 
y para hallar la variación le restamos el término anterior: 
 
( ) dbTTSKG 62log20log202log20 22 −=−=−−=∆ ωω (129) 
o sea que cuando la frecuencia aumenta al doble es una recta que cae 6 db. 
Si representamos estos valores en un gráfico logarítmico: 
 
 
Figura 44) 
 44 
En línea llena hemos representado que 20 log KG(S) se mantiene constante en 20 log K hasta un 
valor ω=1/T y a partir de allí es una recta que desciende 6 db cada vez que aumenta la frecuencia al 
doble. 
La respuesta real nos dice que para ω=1/T el valor del módulo desciende 3 db con respecto al valor 
constante y a partir de ω2 desciende 6 db cada vez que aumenta la frecuencia al doble. 
Con respecto al ángulo φ tenemos que: 
º000 ==== tagarcparayTtagarc ϕωωϕ (130) 
º451
1 === tgarc
T
para ϕω (131) 
º90=∞=∞→ tgarcpara ϕ (132) 
y su representación será como muestra la figura 45) 
Estas curvas, al igual que el diagrama de Nyquist, nos permiten predecir en un sistema de primer 
orden, qué amplitud y desfasaje tendrá la función de salida, cuando es excitada con una función 
sinusoidal de frecuencia dada o bien, cómo irá variando su módulo y amplitud cuando varía la frecuencia 
de la señal de entrada. 
Estas curvas son exclusivas para sistemas de primer orden siendo las de orden superior distintas. 
 
Figura 45) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 45 
Capítulo 5: Sistemas de Segundo Orden 
Elemento de retardo de segundo orden. 
La importancia del estudio de los sistemas de segundo orden radica en el hecho de que las respuestas 
que se pueden obtener de su estudio son comparables y aplicables a las que se obtienen de un sistema de 
control. 
Son pocos los sistemas químicos que en lazos abiertos (sin realimentación) presentan características 
oscilatorias, no obstante el lazo cerrado de control tiene características tales que son similares al sistema 
oscilatorio de segundo orden. 
El elemento o sistema de segundo orden está caracterizado mecánicamente por el resorte, un cuerpo 
con su correspondiente masa o inercia y el amortiguamiento (o damper). 
Si consideramos la figura 46) donde de un resorte de constante k pende un cuerpo, cuyo peso es P, y 
al cual le aplicamos una fuerza F, el cuerpo sufrirá un desplazamiento hacia abajo. 
 
 
Figura 46) 
 
La ecuación de equilibrio dinámico del sistema de la figura 46) estará dado por: 
resorterozamientoinerciaaplicda fffF ++= (133) 
ck
dt
dc
p
dt
cd
mF ++=
2
2
 (134) 
donde: 
 F = fuerza aplicada (Newton) 
 m= masa del cuerpo (Kg) 
 p= coeficiente de rozamiento =[fuerza/unidad de velocidad] 
 k= constante del resorte [fuerza/distancia=Nw/m] 
 c= desplazamiento [metros] 
Consideramos que en este sistema las coordenadas iniciales son nulas (el sistema está 
originariamente en reposo y el desplazamiento y velocidad iniciales son nulas). 
Representando la función transferencia