Capitulo 2 sistemas dinamicos

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INTRODUCCIÓN AL MODELAMIENTO Y ANÁLISIS DE
SISTEMAS DINÁMICOS - CAPÍTULO 2
Luis Francisco Cómbita Alfonso
5 de mayo de 2020
Caṕıtulo 1
Descripción de entrada-salida
Para poder llevar a cabo del estudio anaĺıtico de un sistema es necesario, en primera instancia,
plantear las ecuaciones matemáticas que describen el comportamiento de dicho sistema. Existen
múltiples métodos para representar los sistemas, unas veces su determinación obedece a la natura-
leza de las variables que manejan, mientras en otros casos puede ser el tipo de análisis requerido
el que direcciona la representación matemática utilizada. De igual manera la complejidad de las
representaciones matemáticas y la dificultad asociada a su manipulacin ocasionan que en múltiples
aplicaciones se prefieran modelos que no están basados exclusivamente en ecuaciones matemáticas
como sucede en las situaciones donde se utilizan por ejemplo la lógica difusa, las redes neuronales,
los algoritmos genéticos, entre otros.
En este caṕıtulo se introduce el concepto de la descripción de entrada salida y se plantea una
metodoloǵıa sencilla, para obtener el modelo matemático de diversos tipos de sistemas f́ısicos. Se
inicia con circuitos eléctricos, dado que en general los estudiantes de este curso ya han estudiado
por lo menos un curso básico de análisis de circuitos, hecho que se aprovecha para proponer un
análisis con una metodoloǵıa que es similar, lo que en la mayoŕıa de las ocasiones resulta atractivo
para los lectores.
En los sistemas estudiados en este texto se asume que tienen uno o varios terminales de entrada y
uno o varios terminales de salida. Las entradas o las causas son las excitaciones en los terminales
de entrada y en general se denotan por la letra u, mientras las salidas, los efectos o las respuestas
son denotados por la letra y y corresponden a mediciones hechas en los terminales de salida.
1.1. Definición
La descripción de entrada salida proporciona una relación matemática entre la entrada y la salida
de un sistema. En el desarrollo de esta descripción se asume que no está disponible o no es de
interés la estructura interna del sistema, lo que dicho de otra forma es que sólo se tiene acceso al
sistema a través de sus terminales de entrada y salida.
A partir de este planteamiento es común que los sistemas representados mediante la descripción de
2
1.1. DEFINICIÓN 3
entrada salida sean considerados como una caja negra con terminales de entrada y salida. Dado
que en esta descripción sólo es importante la relación entre la entrada y la salida, es posible obtener
dicha representación a partir del análisis de para entrada salida, lo cual en múltiples ocasiones no
es suficiente para conocer su estructura interna.
1.1.1. Sistemas de convolución
A continuación se desarrolla una descripción matemática de un sistema lineal e invariante en el
tiempo, para lo cual se aprovechan las definiciones presentadas en la seccin 1.2. La presentación
que se realiza a continuación es una aproximación intuitiva que nos lleva a un resultado adecuado,
puesto que un desarrollo más riguroso requiere el manejo de la teoŕıa de distribuciones que es un
tema que desborda los alcances de este libro. Para llevar a cabo este análisis es necesario definir la
función pulso as:
δ∆(t) =

0, para t < 0
1
∆ , para 0 ≤ t ≤ ∆
0, para t ≥ 0.
(1.1)
Como se observa el área bajo esta función es 1. Si se aproxima a la funcin lmite a la que tiende es:
δ(t) = ĺım
∆→0
δ∆(t) (1.2)
que es un impulso unitario o función delta dirac. Esta función resulta útil puesto que nos permite
aproximar una señal continua mediante pulsos aśı:
x(t) =
∞∑
k=0
δ∆(t− k∆)x(k∆)∆ (1.3)
que corresponde a una suma ponderada de pulsos desplazados. En la medida que se hace tender
∆ a cero la sumatoria se convierte en integral y una seal cualquiera puede ser representada por la
siguiente integral
x(t) =
∫ ∞
0
δ(t− τ)x(τ)dx (1.4)
Retomando nuestro problema, consideremos un sistema lineal e invariante en el tiempo, que ini-
cialmente este en reposo, es decir, con condiciones iniciales nulas en t = 0 . Si a dicho sistema se
le aplica una entrada δ(t) y se mide la salida, a dicha salida le asignaremos h(t) que comnmente se
conoce como la respuesta impulso del sistema. Si el sistema es causal, la respuesta al impulso debe
cumplir que:
h(t) = 0 para t < 0 (1.5)
Usando la seal pulso como entrada se tendr la siguiente situación:
δ∆(t)→ h∆(t) (1.6)
Que significa que una entrada pulso δ∆(t) produce una respuesta pulso h∆(t). Por lo tanto, si
aprovechamos que el sistema es invariante en el tiempo se tiene:
δ∆(t)δ∆(t− k∆)→ h∆(t)h∆(t− k∆) (1.7)
4 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
Y utilizando la propiedad de homogeneidad se tiene que:
δ∆(t− k∆)x(k∆)∆→ h∆(t− k∆)x(k∆)∆ (1.8)
Si ahora se aprovecha la propiedad de aditividad se tiene que
∞∑
k=0
δ∆(t− k∆)x(k∆)∆→
∞∑
k=0
h∆(t− k∆)x(k∆)∆ (1.9)
Por lo tanto si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la respuesta del sistema con condiciones
iniciales nulas es:
y(t) ≈
∞∑
k=0
h∆(t− k∆)x(k∆)∆ (1.10)
Si ahora se considera el caso cuando δ → 0 la entrada se convierte en un impulso unitario y por lo
tanto la salida se convierte en la respuesta impulso, es decir
h(t) = ĺım
∆→0
h∆(t) = salida a una entrada δ(t) (1.11)
Por lo tanto la sumatoria en (2.10) se convierte en integral y la aproximación cambia a igualdad,
aśı:
y(t) =
∫ ∞
0
h(t− τ)x(τ)dτ (1.12)
La cual es una ecuación básica en análisis de sistemas y es llamada la descripción de entrada salida
del sistema.
1.1.2. Sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales
En la anterior sección se vio que la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo con con-
diciones iniciales cero está dada por (2.12), expresión que fue desarrollada utilizando las condiciones
de linealidad, invarianza en el tiempo y causalidad. Dicha descripción, aunque es muy general, no
es conveniente para propósitos de análisis y diseño. A continuación se desarrolla una descripción
matemática diferente, que requiere que los sistemas sean de parámetros concentrados.
1.2. Descripción de entrada − salida de sistemas f́ısicos
A continuación se estudia la representación de algunos tipos de sistemas f́ısicos mediante la utiliza-
ción de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y con coeficientes constantes. Para los sistemas
f́ısicos se prefiere utilizar la representación mediante ecuaciones diferenciales dado que como dichos
modelos resultan, como se explicó en el captulo 1, de la aplicación de leyes f́ısicas y dichas leyes ge-
neralmente se expresan mediante ecuaciones diferenciales. Adicionalmente es importante considerar
que para nuestro propósito nos limitaremos a sistemas cuyas caracteŕısticas puedan ser descritas
mediante parámetros concentrados.
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 5
1.2.1. Circuitos eléctricos
Los circuitos eléctricos son sistemas conformados por la interconexión de resistencias, inductancias
y capacitancias. Aunque en algunas ocasiones las inductancias y las capacitancias pueden ser des-
critas mediante una distribución, en este libro solo se analizan los casos en los cuales pueden ser
considerados como parámetros concentrados.
A continuación se presentan las variables que se utilizan comúnmente e los circuitos eléctricos,
para analizar su comportamiento dinámico, que son el voltaje y la corriente.
El voltaje sobre un elemento es el trabajo (enerǵıa) requerido para mover una carga unitaria
positiva desde el terminal negativo (−) al terminal positivo (+). La unidad del voltaje es el voltio,
V .
La corriente es la variación del flujo eléctrico de carga con respecto al tiempo que circula a través de
un elemento, una corriente es positiva cuando circula del terminal positivo del elemento al terminal
negativo. La unidad de la corriente es el Amperio, A .
Ahora se examinan los parámetros de los diferentes elementosque intervienen en un circuito eléctri-
co:
Resistencia: es la propiedad f́ısica de un elemento o dispositivo que impide el flujo de corriente
y se representa mediante el śımbolo R. La relación algebraica entre el voltaje a través de los ter-
minales y la corriente que pasa a través de él en general puede describirse por una curva de evs.
i. Una resistencia lineal es un dispositivo para el cual el voltaje y la corriente son directamente
proporcionales el uno al otro. Las relaciones constitutivas que muestran el comportamiento de una
resistencia están descritas mediante la ley de Ohm:
eR(t) = R · iR(t) (1.13)
iR(t) =
1
R
· eR(t) (1.14)
El śımbolo que se utiliza para representar una resistencia en un circuito eléctrico se muestra en
la figura 2.1, donde adicionalmente se representa la polaridad de la cáıda de voltaje y el sentido
de flujo de corriente a través de ella. La resistencia es el parámetro disipativo desde el punto de
Figura 1.1: Diagrama esquemático de la resistencia
vista de la enerǵıa, ya que disipa toda la enerǵıa que le es suministrada, convirtiéndola en calor. El
paámetro R depende fundamentalmente de la geometŕıa y las caracteŕısticas f́ısicas del elemento,
aśı como también de la temperatura.
6 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
La capacitancia es una medida de la capacidad de un dispositivo para almacenar enerǵıa en forma
de cargas separadas o como un campo magnético.
Las relaciones constitutivas que muestran el comportamiento de una capacitancia son:
ec(t) = ec(t0) +
1
c
∫ t
t0
ic(τ)dτ (1.15)
ic(t) = C ·
d
dt
ec(t) (1.16)
El śımbolo que se utiliza para representar una capacitancia en un circuito eléctrico se muestra en
la figura 2.2, donde adicionalmente se representa la polaridad de la cáıda de voltaje y el sentido de
flujo de corriente a través de ella.
Figura 1.2: Diagrama esquemático de la capacitancia
La capacitancia corresponde al parámetro potencial desde el punto de vista de la manera como
maneja la enerǵıa, ya que tiene la capacidad de almacenar enerǵıa en forma potencial como campo
eléctrico.
La inductancia es una medida de la capacidad de un dispositivo para almacenar enerǵıa en forma
de campo magnético.
Las relaciones constitutivas que muestran el comportamiento de una inductancia:
eL(t) = L ·
d
dt
iL(t) (1.17)
iL(t) = iL(t0) +
1
L
∫ t
t0
eL(τ)dτ (1.18)
El śımbolo que se utiliza para representar una inductancia en un circuito eléctrico se muestra en la
figura 2.3, donde adicionalmente se representa la polaridad de la cáıda de voltaje y el sentido de
flujo de corriente a travs de ella. La inductancia corresponde al parámetro inercial desde el punto
de vista de la manera como maneja la enerǵıa, ya que tiene la capacidad de almacenar enerǵıa en
forma cinética como campo magnético.
Ahora para completar el proceso de modelamiento se requiere utilizar una ecuación de balanceo,
que en el caso de los circuitos eléctricos puede ser de dos formas, una relacionada con los voltajes
del circuito y otra relacionada con las corrientes, que se conocen como las leyes de Kirchhoff.
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 7
Figura 1.3: Diagrama esquemático de la inductancia
La Ley de Kirchhoff de voltajes establece: ”La suma algebraica de voltajes alrededor de cualquier
trayectoria cerrada, malla, en un circuito es cero”. Que matemáticamente puede ser expresada como∑
j
ei(t) = 0
La Ley de Kirchhoff de corrientes establece: ”La suma algebraica de las corrientes que entran a
cualquier nodo en un circuito es cero” . Que matemáticamente puede ser expresada como∑
j
ij(t) = 0
En los circuitos eléctricos se utilizan las dos ecuaciones de balanceo en general, a continuación se
presentan tres ejemplos.
Ejemplo c1:
Encontrar una ecuación diferencial que describa la relación entrada − salida para el siguiente
circuito, si u(t) es una fuente de voltaje y que y(t) es la cáıda de tensión en el condensador.
La ley de Kirchhoff de voltaje establece que:
u(t)− eR(t)− eL(t)− ec(t) = 0 (1.19)
Y la ecuación para la salida esta dada por:
y(t) = ec(t) (1.20)
luego se obtiene:
u(t) = R · i(t) + L · d
dt
i(t) + y(t) (1.21)
Como la ecuación sólo debe contener términos dependientes de la entrada y de la salida es necesario
remplazar i(t), luego si se tiene que:
i(t) = C · d
dt
y(t) (1.22)
Remplazando (2.22) en (2.21) se tiene:
u(t) = L · C · d
2
dt2
y(t) +R · C · d
dt
y(t) + y(t) (1.23)
Que finalmente se puede expresar como:
d2
dt2
+
R
L
· d
dt
y(t) +
1
L · C
y(t) =
1
L · C
u(t) (1.24)
8 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
Utilizando el operador D ≡ ddt se obtiene:(
D2 +
R
L
·D + 1
L · C
)
y(t) =
1
L · C
u(t) (1.25)
Que es la representación entrada − salida del circuito RLC de la figura, y como se esperaba es una
ecuación diferencial que solo tiene como términos derivadas de la salida y de la entrada.
Figura 1.4: Circuito RLC para el ejemplo c1
Ejemplo c2: Encontrar la ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico del circuito
que se muestra en la Figura 1.5, si e(t) es una fuente de voltaje y es la entrada del sistema, y(t) es
la cada de tensión sobre el condensador C, que es considerada como la salida del sistema.
Por simplicidad en la escritura de las ecuaciones se utiliza el operador D. La caida de tensión sobre
la inductancia L es x(t).
Escribiendo la ecuación para el nodo x(t) se tiene
i1 = i2 + i3
1
R1
[e(t)− x(t)] = 1
LD
x(t) +
1
R2
[x(t)− y(t)]
(1.26)
Como la resistencia R2 está en serie con el condensador C, la corriente i3 se puede escribir como
1
R2
[x(t)− y(t)] = CDy(t) (1.27)
Reescribiendo (1.26) y (1.27) como un sistema de ecuaciones se tiene[
1
LD
+
1
R1
+
1
R2
]
x(t)−
[
1
R2
]
y(t) =
[
1
R1
]
e(t)
−
[
1
R2
]
x(t) +
[
CD +
1
R2
]
y(t) = 0
(1.28)
Resolviendo el sistema de ecuaciones para y(t) se tiene[[
1
LD
+
1
R1
+
1
R2
] [
CD +
1
R2
]
−
[
1
R2
]2]
y(t) =
[[
1
R1
] [
1
R2
]]
e(t) (1.29)
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 9
De manera que la descripción de entrada salida queda determinada por[
CL(R1 +R2)D
2 + (CR1R2 + L)D +R1
]
y(t) = [LD] e(t) (1.30)
O normalizando la derivada de orden superior de la salida[
D2 +
CR1R2 + L
CL(R1 +R2)
D +
R1
CL(R1 +R2)
]
y(t) =
[
LD
CL(R1 +R2)
]
e(t) (1.31)
Figura 1.5: Circuito RCL para el ejemplo c2
Ejemplo c3: Para el circuito mostrado en la Figura 2.3, encuentre una ecuación diferencial de entra-
da − salida que relacione la corriente que circula a travs de la inductancia y(t) y la tensin aplicada
a la entrada e(t).
Dado que la salida de este circuito es una corriente resulta conveniente aplicar la ley de volta-
jes de Kirchhoff.
Las ecuaciones de malla establecen:
e(t)− ec(t)− eR1(t) = 0 (1.32)
− eR1(t)− eR2(t)− eL(t) = 0 (1.33)
Escribiendo los voltajes en función de las corrientes de malla se tiene:
e(t)− 1
CD
i(t)−R1 [i1(t)− i2(t)] = 0 (1.34)
−R1 [i1(t)− i2(t)]−R2 [i2(t)]− LD [i2(t)] = 0 (1.35)
Ahora si se escriben las ecuaciones como un sistema lineal de ecuaciones se tiene:[
1
CD
+R1
]
i(t)− [R1] i2(t) = e(t) (1.36)
− [R1] i1(t) + [R1 +R2 + LD] i2(t) = 0 (1.37)
Dado que la salida y(t) = i2(t) se tiene:
[1 +R1CD] i1(t)− [R1CD] y(t) = [CD] e(t) (1.38)
− [R1] i1(t) + [R1 +R2 + LD] y(t) = 0 (1.39)
10 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
Resolviendo este sistema para despejar y(t) se tiene:
y(t) =
[R1CD] [R1] e(t)
[1 +R1CD] [R1 +R2 + LD]− [R1CD] [R1]
(1.40)
Lo que escrito como una ecuación diferencial que corresponde a la descripción de entrada − salida
del circuito de la figura 2.6 es:[
R1LCD
2 + (R1R2C + L)D +R1 +R2
]
y(t) = [R1CD] e(t) (1.41)
Figura 1.6: Circuito RCL para el ejemplo c3
1.2.2. Sistemas mecánicos de traslación
El movimiento de traslación es definido como un movimiento que tiene lugar a lo largo de una ĺınea
recta. Los elementos que forman parte de los sistemas mecánicos de translación se pueden modelar
mediante la utilizaciónde parámetros concentrados, como la masa, la elasticidad y la fricción.
Las variables usadas para describir el movimiento de translación normalmente son el desplaza-
miento, la velocidad, la aceleración y la fuerza, todas ellas funciones del tiempo y aunque en el
estudio de la f́ısica son consideradas vectores, en el estudio que se lleva a cabo en este libro son
consideradas cantidades escalares en donde solamente es relevante su magnitud y sentido.
El desplazamiento, x(t), es medido con respecto a una condición de referencia, la cual general-
mente es la posición de equilibrio del cuerpo, normalmente la unidad de medida utilizada es el
metro, m. La velocidad, v(t), normalmente se expresa como la derivada del desplazamiento corres-
pondiente, para medirla se utiliza el metro por segundo, m/s. De forma similar, la aceleración,
a(t), se expresa como la derivada de la velocidad correspondiente o como la segunda derivada del
desplazamiento correspondiente, para medirla se utiliza el metro por segundo cuadrado, m/s2. La
fuerza, f(t), es la capacidad de acción f́ısica de modificar el estado de reposo o movimiento de
traslación de un cuerpo, la unidad de medida utilizada para la fuerza es el Newton, N .
A continuacin se examinan los parámetros de los diferentes elementos que componen los siste-
mas mecánicos de traslación:
La masa, M , es considerada como una propiedad de un elemento que almacena energa cintica
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 11
del movimiento traslacional, por lo que es considerada el parámetro inercial en un sistema mecáni-
co de traslación. La representacin gráfica que se utilizará en este texto para la masa se muestra
en la figura 2.7, las unidades empleadas para medir la masa son los kilogramos, kg. La relación
constitutiva que describe su comportamiento es:
fM (t) = Ma(t) = M
d
dt
v(t) = M
d2
dt2
x(t)
La elasticidad, K, es la caracteŕıstica de un cuerpo de cambiar su forma cuando es sometido a
Figura 1.7: Diagrama esquemático para el parámetro masa
una fuerza. Esta caracteŕıstica se manifiesta como una fuerza de restauración que tienen todos los
cuerpos para recobrar su estado original, una vez desaparece la fuerza deformante, o lo que se puede
entender como una memoria de forma. Los elementos con esta caracteŕıstica almacenan enerǵıa
potencial, por lo cual es considerado el parámetro potencial en un sistema mecánico de traslación.
El elemento más común que presenta esta caracteŕıstica es el resorte que sufre una deflexión cuando
es sometido a una fuerza. Todos los resortes reales son no lineales en alguna medida, sin embargo,
si la deformación del resorte es pequea. La representación gráfica que se utilizará en este texto para
el resorte se muestra en la figura 2.8, la unidad utilizada para medir la elasticidad es el Newton /
metro, N/m. El comportamiento de un resorte puede ser modelado mediante la siguiente relación
constitutiva.
fK(t) = Kx(t)
Cuando existe movimiento o una tendencia al movimiento entre dos elementos existe la fuerza de
Figura 1.8: Diagrama esquemático para el parámetro elasticidad
fricción, B , usualmente de naturaleza no lineal. Las caracteŕısticas de la fuerza de fricción entre dos
superficies en contacto generalmente depende de factores tales como la composición de las superfi-
cies, la presión entre las superficies, su velocidad relativa, entre otros, por lo que una descripción
matemática exacta de este tipo de fuerzas es dif́ıcil. Existen tres tipos de fricción: viscosa, estática
y de Coulomb, estas dos últimas tienen un modelamiento no lineal por lo que no serán consideradas
en este texto.
12 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
La fricción viscosa representa una fuerza retardante que es una relación lineal entre la fuerza
aplicada y la velocidad. El diagrama esquemático para la fricción viscosa es generalmente un amor-
tiguador y se muestra en la figura 2.9, este elemento es considerado el parámetro disipativo en un
sistema mecánico de traslación, dado que la enerǵıa se convierte en calor y no puede retornar al
sistema. La unidad utilizada para medir la elasticidad es el Newton / metro / segundo, N/m/s. La
relación constitutiva para la fricción viscosa es
fB(t) = Bv(t) = B
d
dt
x(t)
La ecuación de equilibrio utilizada en este tipo de sistemas es la segunda ley de Newton que
Figura 1.9: Diagrama esquemático para el parámetro fricción
establece que: ”La suma algebraica de fuerzas que actúan sobre un cuerpo ŕıgido en una dirección
dada es igual al producto de la masa del cuerpo y su aceleración en la misma dirección”. Que
matemáticamente puede ser expresada como∑
i
fi(t) = Ma(t)
Ejemplo t1
Encontrar la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema mostrado en la figura
2.10, si la entrada es la fuerza f(t) aplicada a la masa M y la salida es el desplazamiento de la
masa x(t).
Para resolver este problema lo primero que se requiere es realizar el diagrama de cuerpo libre
para la masa M , el cual se observa en la figura 2.11.
Figura 1.10: Sistema mecánico de traslación para el ejemplo t1
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 13
Figura 1.11: Diagrama de cuerpo libre para la masa M del ejemplo t1
El sentido de las fuerzas fK(t) y fB(t) representa el hecho de que dichos elementos consumen
enerǵıa y no son un aporte de enerǵıa al sistema. Las magnitudes de las fuerzas fK(t) y fB(t) están
dadas por:
fk(t) = Kx(t) (1.42)
fB(t) = BDx(t) (1.43)
Ahora la ecuación de equilibrio para este caso es la segunda ley de Newton que establece que∑
j fi(t) = Ma(t), luego se tiene:
f(t)− fK(t)− fB(t) = Ma(t) (1.44)
f(t)−Kx(t)−BDx(t) = MD2x(t) (1.45)
Y escribiendo como una ecuación diferencial, se obtiene la relación de entrada salida:[
MD2 +BD +K
]
x(t) = f(t) (1.46)
En ocasiones se presenta la ecuación (2.47) en forma normalizada, es decir haciendo uno el co-
eficiente de la derivada de orden superior de la salida, lo que en este caso produce la siguiente
ecuación: [
D2 +
B
M
D +
K
M
]
x(t) =
1
M
f(t) (1.47)
Ejemplo t2:
En la figura 2.12 se muestra un sistema mecánico de traslacin. B1 Y B2 representan el coefi-
ciente de fricción viscosa entre el aire que rodea a las masas M1 y M2 respectivamente. Encontrar
la descripción de entrada salida para el sistema si la salida es el desplazamiento de la masa M1 y
la entrada es la fuerza f(t) aplicada a la masa M2. En los problemas que se muestran en este libro
no se considera la fuerza de la gravedad, a menos que se indique expĺıcitamente lo contrario. Por
facilidad en el planteamiento de las ecuaciones se definen los desplazamientos y1(t) y y2(t) para las
masas M1 y M2 respectivamente.
14 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
Figura 1.12: Sistema mecánico de traslación para el ejemplo t2
Cuando el sistema a analizar tiene más de una masa se hace necesario realizar un diagrama de
cuerpo libre y una ecuación de equilibrio para cada masa.
Figura 1.13: Diagrama de cuerpo libre para la masa M1 del ejemplo t2
En el diagrama de cuerpo libre para la masa M1 mostrado en la figura 2.13 se puede observar que
todos los elementos que se encuentran acoplados a la masa M1 ejercen una fuerza de oposición, como
se indica con el sentido de las flechas. No hay ninguna flecha en el mismo sentido del desplazamiento,
puesto que no hay ninguna fuerza externa que tenga el mismo sentido del desplazamiento y1(t). Las
magnitudes correspondientes a las fuerzas mostradas en la figura 2.13 se muestran en las siguientes
ecuaciones:
fK1(t) = K1 [y1(t)] (1.48)
fK2(t) = K2 [y1(t)− y2(t)] (1.49)
fB1(t) = B1D [y1(t)] (1.50)
fB3(t) = B3D [y1(t)] (1.51)
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 15
La ecuación de equilibrio resultante en este caso es:
0− fK1(t)− fK2(t)− fB1(t)− fB3(t) = M1D2 [y1(t)] (1.52)
Remplazando (2.49),(2.50),(2.51) y(2.52) en (2.53) se tiene:
−K1 [y1(t)]−K2 [y1(t)− y2(t)]−B1D [y1(t)]−B3D [y1(t)]= M1D2 [y1(t)] (1.53)
Ahora el diagrama de cuerpo libre para la masa M2 se observa en la figura 2.14. En el diagrama de
Figura 1.14: Diagrama de cuerpo libre para la masa M2 del ejemplo t2
cuerpo libre se puede observar que aparece nuevamente una fuerza de oposicin fK2(t) que tiene una
magnitud diferente a la que se tienen para el cuerpo con masa M1, puesto que en este diagrama el
desplazamiento de referencia es y2(t). Las magnitudes de las fuerzas mostradas en la figura 2.14 se
muestran en las ecuaciones:
fK2(t) = K2 [y2(t)− y1(t)] (1.54)
fB2(t) = B2D [y2(t)] (1.55)
En este caso se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio:
0− fK1(t)− fB2(t) = M2D2 [y2(t)] (1.56)
Remplazando (2.55) y (2.56) en (2.57) se tiene:
−K2 [y2(t)− y1(t)]−B2D [y2(t)] = M2D2 [y2(t)] (1.57)
Ahora si se escriben las ecuaciones (2.54) y (2.58) como un sistema de ecuaciones simultáneas se
obtiene: [
M1D
2 + (B1 +B3)D) +K1 +K2
]
y1(t)− [K2(t)] y2(t) = 0 (1.58)
− [K2] + y1(t) +
[
M2D
2 +B2D +K2
]
y2(t) = f(t) (1.59)
Como y(t) = y1(t) se resuelve el sistema para y1(t) de donde se obtiene:
y(t) =
[K2] f(t)
[M1D2 + (B1 +B3)D +K1 +K2] [M2D2 +B2D +K2]− [K2]2
(1.60)
Lo cual escrito como una ecuación diferencial utilizando el operador D es: (M1M2)D4 + (M1B2 +M2 (B1 +B3))D3+(M1K2 + (B1 +B3)B2 +M2 (K1 +K2))D2+
((B1 +B3)K2 +B2 (K1 +K2))D +K1K2
 y(t) = K2f(t) (1.61)
16 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
Ejemplo t3:
Obtener la representación de entrada salida para el sistema mostrado en la figura 2.15. La en-
trada es la fuerza f(t) y la salida es el desplazamiento. En este problema se hace necesario definir
Figura 1.15: Sistema mecánico de traslación para el ejemplo t3
un desplazamiento x2(t) en el punto de unión de los dos amortiguadores y el resorte. Para el plan-
teamiento de las ecuaciones, el desplazamiento de la masa M es x1(t). Ahora se realiza el diagrama
de cuerpo libre, figura 2.16 y la ecuación de equilibrio para la masa M , as:
fB1(t) = B1Dx1(t) (1.62)
fB2(t) = B2D [x1(t)− x2(t)] (1.63)
La ecuación de equilibrio queda aśı
f(t)− fB1(t)− fB2(t) = MD2x1(t) (1.64)
Remplazando (2.63) y (2.64) en (2.65) se tiene
f(t)−B1Dx1(t)−B2D [x1(t)− x2(t)] = MD2x1(t) (1.65)
Figura 1.16: Diagrama de cuerpo libre para la masa M del ejemplo t3
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 17
Ahora es necesario realizar un diagrama sobre un cuerpo ficticio, con masa igual a cero, ubicado
en donde se unen dos o más elementos de tipo potencial y disipativo, como se muestra en la figura
2.17. De donde
Figura 1.17: Diagrama de cuerpo libre para el punto de unión entre los amortiguadores del ejemplo
t3
fB2(t) = B2D [x2(t)− x1(t)] (1.66)
fB3(t) = B3Dx2(t) (1.67)
fK3(t) = K1x2(t) (1.68)
La ecuación de equilibrio resultante es
0− fB2(t)− fB3(t)− fK1(t) = 0 (1.69)
Remplazando (2.67), (2.68) y (2.69) en (2.70) se tiene
0−B2D [x2(t)− x1(t)]−B3Dx2(t)−K1x2(t) = 0 (1.70)
Ahora es necesario escribir las ecuaciones (2.66) y (2.71) como un sistema de ecuaciones simultáneas,
aśı: [
MD2 + (B1 +B2)D
]
x1(t)− [B2D]x2(t) = f(t) (1.71)
− [B2D]x1(t) + [(B3 +B2)D +K1]x2(t) = 0 (1.72)
como x1(t) = x(t) se resuelve el sistema para x1(t), de donde se obtiene
x1(t) =
[(B3 +B2)D +K1] f(t)
[MD2 + (B1 +B2)D] [(B3 +B2)D +K1]− [B2D]2
(1.73)
[
M (B3 +B2)D
3 + (MK1 +B1B2 +B2B3 +B1B3)D
2 + ((B3 +B2)K1)D
]
x1(t) =
[(B3 +B2)D +K1] f(t) (1.74)
1.2.3. Sistemas mecánicos de rotación
El movimiento de rotación puede ser definido como un movimiento que tiene lugar alrededor de
un eje fijo. Los elementos de este tipo de sistema pueden rotar sobre un punto, adquiriendo gran
importancia la forma y los puntos en los cuales se ejercen las acciones sobre el sistema. Dichos
elementos se pueden modelar mediante la utilizacin de parámetros concentrados, como el momento
de inercia o simplemente la inercia, la elasticidad y la fricción.
18 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
Las variables usadas para describir el movimiento de rotación normalmente son el desplazamiento
angular, la velocidad angular, la aceleración angular y el torque, todas ellas funciones del tiempo y
aunque en el estudio de la f́ısica son consideradas vectores, en el estudio que se lleva a cabo en este
texto son consideradas cantidades escalares en donde solamente es relevante su magnitud y sentido.
El desplazamiento angular, θ(t), es medido con respecto a una condición de referencia, la cual
generalmente es la posición de equilibrio del cuerpo, normalmente la unidad de medida utilizada
es el radian, rad. La velocidad angular, ω(t), normalmente se expresa como la derivada del despla-
zamiento correspondiente, para medirla se utiliza el radian por segundo, rad/s. De forma similar,
la aceleración angular, α(t) , se expresa como la derivada de la velocidad correspondiente o como
la segunda derivada del desplazamiento correspondiente, para medirla se utiliza el radian por se-
gundo cuadrado, rad/s2 . El torque,τ(t), es la capacidad de acción f́ısica de modificar el estado de
reposo o movimiento de rotación de un cuerpo, la unidad de medida utilizada para el torque es el
Newton-metro, N −m .
A continuación se examinan los parámetros de los diferentes elementos que componen los siste-
mas mecánicos de rotación:
La inercia, J , es considerada como una propiedad de un elemento que almacena enerǵıa cinética
del movimiento rotacional, por lo que es considerada el parámetro inercial en un sistema mecánico
de rotación. La representación gráfica que se utilizará en este texto para la inercia se muestra en
la figura 2.18, las unidades empleadas para medir la inercia son los kilogramos metros cuadrados,
kg −m2. La relación constitutiva que describe su comportamiento es:
τj(t) = Jα(t) = J
d
dt
ω(t) = J
d2
dt2
θ(t)
Figura 1.18: Diagrama esquemático para representar al parámetro inercia
La elasticidad torsional, K, es la caracteŕıstica de un cuerpo de experimentar una torsión cuando es
sometido a un torque externo. Esta caracteŕıstica que se manifiesta como un torque de restauración
que tienen todos los cuerpos para recobrar su estado original, o lo que se puede entender como una
memoria de forma. Los elementos con esta caracteŕıstica almacenan enerǵıa potencial, por lo cual
es considerado el parámetro potencial en un sistema mecánico de rotación. El elemento más común
que presenta esta caracteŕıstica es el resorte torsional que sufre una torsión cuando es sometido a
un torque neto. La representación gráfica que se utilizará en este texto para el resorte torsional
se muestra en la figura 2.19, la unidad utilizada para medir la elasticidad es el Newton metro /
radian, N − m/rad. El comportamiento de un resorte torsional puede ser modelado mediante la
siguiente relación constitutiva
τK(t) = Kθ(t)
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 19
Figura 1.19: Diagrama esquemático para representar al parámetro resorte torsional
Los tres tipos de fricción presentes en el movimiento de traslación tambin están presentes en el
movimiento de rotación. La fricción viscosa representa un toque retardante y se expresa mediante
una relacin lineal entre el torque aplicado y la velocidad angular. El diagrama esquemático para
la fricción viscosa es generalmente un amortiguador y es el mismo mostrado en la figura 2.9, este
elemento es considerado el parámetro disipativo en un sistema mecánico de rotación, dado que
la enerǵıa se convierte en calor y no puede retornar al sistema. La unidad utilizada para medir la
elasticidad torsional es el Newton metro/ (Rad./segundo), N−m/(rad/s). La relación constitutiva
para la fricción viscosa es
τB(t) = Bω(t) = B
d
dt
θ(t)
La ecuación de equilibrio utilizada en este tipo de sistemas es la segunda ley de Newton, para el
movimiento de rotación que establece que:
”La suma algebraica de torques que actúan sobre un cuerpo ŕıgido en un sentido dado es igual al
producto de la inercia del cuerpo y su aceleración en la misma dirección”.Que matemáticamente puede ser expresada como:∑
i
τi(t) = Jα(t)
Ejemplo r1
El sistema rotacional mostrado en la figura 2.20, consiste en un disco montado en un extremo
de un eje, cuyo otro extremo está sujeto a un punto fijo. El disco sufre una fricción viscosa con
el entorno que lo rodea, cuyo coeficiente es B. El eje tiene un coeficiente de elasticidad torsional
K. La entrada al sistema es el torque aplicado T (t) y la salida es el desplazamiento angular que
experimenta el disco θ(t).
Figura 1.20: Sistema mecánico de rotación para el ejemplo r1
El diagrama de cuerpo libre para el sistema se muestra en la figura 2.21:
20 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
Figura 1.21: Diagrama de cuerpo libre para la inercia J del ejemplo r1
Los torques de oposición tienen las magnitudes descritas por las ecuaciones:
TK(t) = Kθ(t) (1.75)
TB(t) = BDθ(t) (1.76)
Escribiendo la ecuación de equilibrio correspondiente se tiene:
T (t)− Tk(t)− TB(t) = JD2θ(t) (1.77)
Reemplazando (2.76) y (2.77) en (2.78) se tiene:
T (t)− kθ(t)−BDϑ(t) = JD2θ(t) (1.78)
Luego la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema es:∣∣JD2 +BD +K∣∣ θ(t) = T (t) (1.79)
Y en forma normalizada queda aśı:[
D2 +
B
J
D +
K
J
]
θ(t) =
1
J
T (t) (1.80)
Ejemplo r2:
En la figura 2.22 se muestra el diagrama esquemático de un motor acoplado a un tacómetro con
inercia JT y a una carga inercial JL a través de dos ejes, con constate de elasticidad torsional K1 y
K2 respectivamente. El motor tiene inercia JM . Se designa como desplazamiento angular del motor
θM (t) y como desplazamientos angulares del tacómetro y de la carga, θT (t) y θL(t). El coeficiente
de fricción del motor es BM (t).
Figura 1.22: Sistema mecánico de rotación para el ejemplo r2
Obtener un sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas con variables θM (t), θT (t) y θL(t), que
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 21
describa el comportamiento dinámico del sistema mostrado.
Donde se tiene:
Tk1(t) = K1 [θM (t)− θT (t)] (1.81)
Tk2(t) = K2 [θM (t)− θL(t)] (1.82)
TBM (t) = BMDθM (t) (1.83)
La ecuación de equilibrio para el motor es:
TM (t)− TK1(t)− TK2(t)− TBM (t) = JMD
2θM (t) (1.84)
TM (t)−K1 [θM (t)− θT (t)]−K2 [θM (t)− θT (t)]−BMDθM (t) = JMD2θM (t) (1.85)
Ahora
TK2(t) = K2 [θL(t)− θM (t)] (1.86)
Y la ecuación de equilibrio para la carga es
0− TK2(t) = JLD2θL(t) (1.87)
Remplazando (2.87) en (2.88) se tiene
K2 [θL(t)− θM (t)] = JLD2θL(t) (1.88)
Finalmente:
TK1(t) = K1 [θT (t)− θM (t)] (1.89)
Luego la ecuación de equilibrio para el tacómetro queda
0− TK1(t) = JTD2θT (t) (1.90)
Remplazando (2.90) en (2.91) se tiene
−K1 [θT (t)− θM (t)] = JTD2θT (t) (1.91)
Reorganizando las ecuaciones (2.86), (2.89) y (2.92) se obtiene el sistema de ecuaciones requerido[
JMD
2 +BMD +K1 +K2
]
θM (t)− [K2] θL(t)− [K1] θT (t) = TM (t) (1.92)
[K1] θM (t)− [K1] θT (t) = TK1(t) (1.93)
− [K1] θM (t) +
[
K1 + JTD
2
]
θT (t) = 0 (1.94)
22 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
1.2.4. Combinación de movimiento de rotación y traslación
Existen diversos mecanismos para convertir un movimiento rotacional en uno trasnacional y vice-
versa. Por ejemplo, sistemas de cable y polea, pin y cremallera, ejes y tornillo de avance, entre otros.
Para la obtención del modelo que caracteriza los sistemas que incluyen esta combinación de movi-
mientos, se plantean tres grupos de ecuaciones que son:
Ecuaciones que describen el movimiento de traslación.
Ecuaciones que describen el movimiento de rotación.
Relación de transformación entre la rotación y la traslación.
1.2.5. Transmisión de enerǵıa en sistemas dinámicos
Dentro de los sistemas de transmisión de enerǵıa se encuentran los transformadores para los circuitos
eléctricos, los trenes de engranajes y las poleas para los sistemas de rotación y las palancas para
los sistemas de traslación.
Trenes de engranajes y poleas
Los trenes de engranajes y las poleas son mecanismos que son utilizados para transmitir enerǵıa
desde un sitio hasta otro. En los piñones y en las bandas, la inercia y la fricción son despreciables,
de manera que para los análisis que se hacen en esta sección se consideran ideales. En los análisis
con trenes de engranajes usualmente se utiliza el número de dientes como parámetro para describir
el comportamiento, mientras que en el caso de las poleas el parámetro utilizado es el radio de las
mismas. Las relaciones que tienen que ver con torques, desplazamientos angulares y velocidades
angulares son válidas en ambos casos.
A continuación, se presentan las relaciones presentadas anteriormente, las cuales se desprenden
de los siguientes hechos:
El tamaño de los dientes de un par de piñones que estén acoplados debe ser exactamente
igual, lo cual se define mecánicamente como el paso de un piñón, que es la longitud del arco
que ocupa una cresta y un valle:
p1 =
2πr1
N1
; p2 =
2πr2
N2
(1.95)
De donde se obtiene que
r1
N1
=
r2
N2
(1.96)
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 23
La longitud de arco recorrida por cada piñón es la misma, es decir
s1 = θ1r1; s2 = θ2r2 (1.97)
Lo que lleva a obtener la siguiente relación
r1
r2
=
θ2
θ1
(1.98)
La fuerza tangente que aplica el piñón motor sobre el otro piñón es exactamente igual, des-
preciando las pérdidas
F1 =
T1
r1
;F2 =
T2
r2
(1.99)
De donde se obtiene que
T1
r1
=
T2
r2
(1.100)
Las ecuaciones (2.97), (2.99) y (2.101) se pueden sintetizar en:
T1
T2
=
θ2
θ1
=
N1
N2
=
ω2
ω1
=
r1
r2
(1.101)
1.2.6. Sistemas electromecánicos
En las aplicaciones prácticas es común encontrar dispositivos que combinan elementos eléctricos
y mecánicos. A continuación se presentan tres casos que son: el motor DC (corriente directa)
controlado por campo, el motor DC controlado por armadura y el solenoide o motor lineal. En
estos dispositivos en general el propósito es la conversión de enerǵıa eléctrica en enerǵıa mecánica.
Motor DC controlado por campo
La mayoŕıa de los motores DC pueden ser modelados como se muestra en la figura 2.26, donde
se pueden observar dos circuitos, uno que es llamado el circuito de campo y otro que es llamado
el circuito de armadura. Si if (t) y ia(t) son las corrientes de los circuitos de campo y armadura,
respectivamente, entonces se puede decir que Tm(t) es el torque generado por el motor y está dado
por
TM (t) = kia(t)if (t) (1.102)
El torque generado es utilizado para manejar una carga a través de un eje. El eje se asume ŕıgido.
Para simplificar el análisis solamente se va a considerar la fricción entre el eje y el cojinete, Bm.
Se designa JL como el momento de inercia de la carga y Jm el momento de inercia del motor. El
momento de inercia del eje se considera despreciable; θm(t) el desplazamiento angular del motor y
θL(t) el desplazamiento angular de la carga, dado que el eje es ŕıgido el desplazamiento angular en
la carga y en el motor es el mismo, por lo que θL(t) = θm(t) = θ(t).
A continuación se lleva a cabo el procedimiento que permite tener el modelo del comportamiento
dinámico del motor DC controlado por campo.
24 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
Figura 1.23: Diagrama esquemático del motor DC controlado por campo
Inicialmente se analiza el circuito eléctrico:
Si la corriente de armadura, ia(t), permanece constante y se designa Ia, y el voltaje aplicado
al circuito de campo es ef (t), la ecuación (2.103) se reduce a
Tm(t) = kIa(t)if (t) = Kf if (t) (1.103)
Donde kf = kIa.
De igual manera para el circuito de campo se tiene la siguiente ecuación
Lf
d
dt
if (t) +Rf if (t) = ef (t) (1.104)
Desde el punto de vista mecánico se tiene la siguiente ecuación
Tm(t) = J
d2
dt2
θ(t) +Bm
d
dt
θ(t) (1.105)
Utilizando las ecuaciones (2.104),(2.105) y (2.106) se puede encontrar la descripción de entrada sa-
lida mediante ecuación diferencial, teniendo como entrada la tensión aplicada al circuito de campo,
ef (t), y como salida el desplazamientoangular de la carga θ(t):
Utilizando el operador D ≡ ddt y despejando if (t) de (2.105) se obtiene:
if (t) =
1
LfD +Rf
ef (t) (1.106)
Remplazando (2.107) en (2.104) se tiene
Tm(t) =
kf
LfD +Rf
ef (t) (1.107)
Remplazando Tm(t) en (2.105) y agrupando términos se tiene
kfef (t) = (LfD +Rf )
(
JD2 +BmD
)
θ(t) (1.108)
Lo que permite finalmente obtener la descripción de entradasalida para el motor DC controlado
por campo (
JLfD
3 + LfBm +RfJD
2 +BmRf
)
θ(t) = kfef (t) (1.109)
En la práctica resulta dif́ıcil mantener ia(t) constante, por lo tanto el motor controlado por campo
es raramente usado.
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 25
Motor DC controlado por armadura
Considerado nuevamente el diagrama del motor mostrado en la figura 2.27, si la corriente de cam-
po, if (t), se mantiene constante, o si el circuito de campo es remplazado por un campo magnético
permanente y la entrada de voltaje es aplicada al circuito de armadura, se tiene entonces la confi-
guración denominada control por armadura de un motor DC.
Si la corriente de campo, if (t), permanece constante y se designa If (t), y el voltaje aplicado al
circuito de armadura es ea(t), la ecuación (2.103) se reduce a
Tm(t) = kIf ia(t) = kaia(t) (1.110)
Donde ka = kIf
Figura 1.24: Diagrama esquemático del motor DC controlado por armadura
Cuando el motor maneja una carga, una fuerza contraelectromotriz, eb(t), se desarrolla en el circuito
de armadura en oposición al voltaje de entrada. Esta tensin es proporcional a la velocidad angular
del eje del motor:
eb(t) = kb
d
dt
θ(t) (1.111)
Donde kb es la constante de la tensión contraelectromotriz inducida.
Desde el punto de vista mecánico se obtiene la misma ecuación que para el motor DC contro-
lado por campo
Tm(t) = J
d2
dt2
θ(t) +Bm
d
dt
θ(t) (1.112)
Luego, la ecuación para el circuito de armadura está descrita por
Raia(t) + La
d
dt
ia(t) + eb(t) = ea(t) (1.113)
emplazando (2.113) en (2.114) y utilizando el operador D, se tiene
(Raia(t) + LaD) ia(t) + kbDθ(t) = ea(t) (1.114)
Despejado ia(t) de (2.115) se tiene
ia(t) =
ea(t)− kbDθ(t)
Ra + LaD
(1.115)
26 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
Remplazando ia(t) en (2.112) se tiene
Tm(t) = ka
[
ea(t)− kbDθ(t)
Ra + LaD
]
(1.116)
Remplazando (2.117) en (2.108)
ka
[
ea(t)− kbDθ(t)
Ra + LaD
]
=
(
JD2 +BmD
)
θ(t) (1.117)
Agrupando términos se obtiene
kaea(t) = (Ra + LaD)
(
JD2 +BmD
)
θ(t) + kakbDθ(t) (1.118)
De donde finalmente se obtiene el modelo para el motor DC controlado por armadura.[
JLaD
3 + (LaBm +RaJ)D
2 + (RaBm + kakb)D
]
θ(t) = kaea(t) (1.119)
Solenoide o motor lineal
Un solenoide es un dispositivo que es capaz de producir un movimiento de traslación sobre una ĺınea
recta a partir de la aplicación de una tensión de entrada, e(t). El diagrama esquemático es muy
similar al de un motor rotacional, sólo que en este caso la variable de interés es el desplazamiento
lineal, x(t). El movimiento se produce por el suministro de un voltaje a un circuito eléctrico, lo que
a su vez produce una corriente eléctrica que genera un campo magnético que produce unas fuerzas
que, al actuar sobre una masa, provocan su movimiento.
De manera similar a lo que ocurre en el motor DC, al tener un campo magnético en movimiento se
induce una tensión contraelectromotriz, eb(t), que está dada por
eb(t) = kb
d
dt
x(t) (1.120)
El campo magnético produce una fuerza magnética que actúa sobre el núcleo del solenoide que a
su vez está unido a la carga que se mueve. La fuerza producida es proporcional a la corriente aśı
fs(t) = ksi(t) (1.121)
Desde el punto de vista mecánico se tiene que
fs(t) = J
d2
dt2
x(t) (1.122)
La ecuación para el circuito eléctrico está descrita por
Ri(t) + L
d
dt
i(t) + eb(t) = e(t) (1.123)
emplazando (2.121) en (2.124) y utilizando el operador D, se tiene
(R+ LD) i(t) + kbDx(t) = e(t) (1.124)
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 27
Despejando i(t) de (2.125) se tiene
i(t) =
e(t)− kbDx(t)
R+ LD
(1.125)
Reemplazando i(t) en (2.122) se tiene
fs(t) = ks
[
e(t)− kbDx(t)
R+ LD
]
(1.126)
Reemplzando (2.127) en (2.123)
ks
[
e(t)− kbDx(t)
R+ LD
]
= JD2x(t) (1.127)
Agrupando términos se obtiene
Kse(t) = (R+ LD) JD
2x(t) + kskbDx(t) (1.128)
De donde finalmente se obtiene el modelo para el motor DC controlado por armadura.[
JLD3 +RJD2 + kakbD
]
x(t) = kse(t) (1.129)
1.2.7. Sistemas de nivel de ĺıquido en tanques
Un sistema de nivel de ĺıquido es un sistema en el cual ĺıquidos, considerados generalmente incom-
presibles, fluyen a través de tubos o tanques conectados.
Un análisis exacto de la dinámica de los sistemas de nivel de ĺıquido usualmente no es posible, debi-
do a la naturaleza distribuida de los parámetros que son considerados en el análisis y el carácter no
lineal de la resistencia al flujo del ĺıquido. Sin embargo, se logran obtener resultados satisfactorios
utilizando parámetros concentrados y linealizando el modelo matemático no lineal al que se llega.
En la mayoŕıa de los casos las variables de los sistemas de nivel de ĺıquido operan cerca de puntos de
operación espećıficos. Generalmente son de interés modelos que tratan con variables de naturaleza
incremental, donde los modelos relacionados con dichas variables son usualmente lineales.
Las variables usadas para describir la dinámica de los sistemas de nivel de ĺıquido en tanques
normalmente son la velocidad del flujo, q(t), medido en m3/s; el volumen, v(t), medido en m3; la
altura, h(t), medida en m y la presin, p(t), medida en N/m2, todas ellas funciones del tiempo.
A continuación se examinan los parámetros de los diferentes elementos que componen los siste-
mas de nivel de ĺıquido en tanques.
Cuando un ĺıquido fluye a través de una bomba, hay una cáıda de presión a través de la longi-
tud de la bomba, de la misma forma hay una cáıda de presión cuando el ĺıquido fluye a través de
una v´lvula o a través de un orificio. El cambio de presión en el ĺıquido asociado al flujo del mismo
resulta de la disipacin de enerǵıa. Ya que en los sistemas considerados en este texto se usarán úni-
camente válvulas, la resistencia hidráulica, R, será asociada a la resistencia que presenta un ĺıquido
cuando fluye a través de una válvula. Ya que asociada a la resistencia hidráulica está asociada una
28 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
disipación de enerǵıa, se considera como el parámetro disipativo en los sistemas de nivel de ĺıquido.
La representación gráfica para las válvulas se muestra en la figura 2.28. La relación constitutiva
que describe su comportamiento es:
R =
∆p(t)
q(t)
Esta relación es análoga a la de la ley de Ohm, y supone una relación lineal que se ha de presentar
cuando el flujo del ĺıquido es laminar, es decir un flujo estable en las corrientes que no tiene
turbulencia. Sin embargo, existe otro tipo de flujo, el turbulento, que no puede ser modelado por
una relación lineal y que no será considerado en este texto.
Figura 1.25: Diagrama esquemático del parámetro válvula
En el caso de tubeŕıas que interconectan tanques en los cuales hay almacenamiento de ĺıquidos,
la presión que experimenta el ĺıquido en cada uno de los extremos es proporcional a la presión
hidrostática que se experimenta en la base del tanque y que en general es proporcional a la altura
del nivel del ĺıquido en cada uno de los tanques, con lo cual se tendŕıa una relación constitutiva
para la resistencia de la siguiente forma
R =
h1(t)− h2(t)
q(t)
La capacitancia hidráulica, C, se puede definir como la relación entre el flujo neto almacenado y
la tasa de cambio del nivel del ĺıquido con respecto al tiempo. Este parámetro es el término que
describe la enerǵıa almacenada en un ĺıquido cuando este se almacena en forma de enerǵıa potencial,
por lo cual es considerado el parámetro potencial en un sistema de nivel de ĺıquido en tanques. La
relación constitutiva que gobiernael comportamiento de la capacitancia hidráulica es
C =
q1(t)− q2(t)
d
dth(t)
En los sistemas hidráulicos las ecuaciones equilibrio se hacen con base en la ecuación de Bernoulli:
”La suma algebraica de presiones en un sistema cerrado es igual a cero”. Que matemáticamente
puede ser expresada como ∑
i
pi(t) = 0
1.2.8. Sistemas térmicos
Los sistemas térmicos son sistemas en los cuales se presentan los fenómenos de flujo y almacenamien-
to de calor, sus modelos matemáticos están basados en leyes fundamentales de la termodinámica.
Generalmente, los sistemas térmicos son sistemas distribuidos y por lo tanto su modelamiento está
determinado por ecuaciones diferenciales parciales en lugar de ecuaciones diferenciales ordinarias.
En este texto se restringe la atención a modelos matemáticos de parámetros concentrados mediante
la realización de las aproximaciones que lo permiten. El propósito principal es obtener ecuaciones
1.2. DESCRIPCIÓN DE ENTRADA − SALIDA DE SISTEMAS FÍSICOS 29
diferenciales ordinarias que sean capaces de describir de manera aproximada de estos sistemas.
Las variables usadas para describir el comportamiento de los sistemas térmicos son la tempera-
tura, T (t), medida en grados Kelvin, K y la tasa de flujo de calor, q(t), medida en Julios por
segundo, J/s,o Watios, W .
La temperatura en varios puntos en un cuerpo distribuido usualmente difieren una de otra. Para
nuestro propósito de modelamiento, se asume que todos los puntos en un cuerpo tienen la misma
temperatura, que probablemente es la temperatura promedio del cuerpo.
Para la mayoŕıa de los sistemas térmicos la condición de equilibrio que existe define su opera-
ción nominal. Generalmente, sólo son tenidas en cuenta desviaciones de las variables a partir de los
valores de interés desde el punto de vista dinámico, lo cual hace que sean definidos como modelos
incrementales.
A continuación se examinan los parámetros de los diferentes elementos que componen los siste-
mas térmicos.
La capacitancia térmica, C, se puede definir como la relación entre el flujo de calor neto alma-
cenado y la tasa de cambio de la temperatura con respecto al tiempo. Este parámetro es el término
que describe el almacenamiento de la enerǵıa térmica en un sistema, por lo cual es considerado el
parámetro potencial en un sistema térmico. La relación constitutiva que gobierna el comportamiento
de la capacitancia hidráulica es
C =
q1(t)− q2(t)
d
dtT (t)
La resistencia térmica, R, es la oposición que presentan los materiales al paso del flujo de calor.
Contrario a lo estudiado en otros sistemas, en este elemento no hay disipación de enerǵıa, simple-
mente hay una oposición al flujo de calor o enerǵıa, siendo esta una caracteŕıstica que se debe tener
en cuenta cuando se este haciendo la analoǵıa del sistema térmico con otros sistemas f́ısicos. La
relación constitutiva que describe el comportamiento de la resistencia térmica es
R =
T1(t)− T2(t)
q(t)
	Descripción de entrada-salida
	Definición
	Sistemas de convolución
	Sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales
	Descripción de entrada - salida de sistemas físicos
	Circuitos eléctricos
	Sistemas mecánicos de traslación
	Sistemas mecánicos de rotación
	Combinación de movimiento de rotación y traslación
	Transmisión de energía en sistemas dinámicos
	Sistemas electromecánicos
	Sistemas de nivel de líquido en tanques
	Sistemas térmicos