Uned _ Grado Quimica _ Termodinámica _ Examenes C

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Examenes/E610320140-12F1.pdf
Examenes/E610320140-12F2.pdf
Examenes/E610320140-12SO.pdf
Examenes/E610320140-13F1.pdf
Examenes/E610320140-13F2.pdf
Examenes/E610320140-14F1.pdf
Examenes/E610320140-14F2.pdf
Examenes/E610320140-15F1.pdf
Examenes/E610320140-15F2.pdf
Examenes/Soluciones/EXAM1112F_CNyEA_1S_sol.pdf
 1
 
 
 
 
 
 
INSTRUCCIONES 
 
 
1. MARQUE SUS RESPUESTAS DIRECTAMENTE SOBRE ESTE 
EJEMPLAR DE EXAMEN. NO UTILICE HOJA DE LECTURA ÓPTICA. 
2. PARA MARCAR SU RESPUESTA A CADA PREGUNTA REDONDEE 
CON UN CÍRCULO EL NUMERAL (a.1; a.2; a.3; a.4; b.1; b.2; ETC.) DE 
LA OPCIÓN QUE CONSIDERE CORRECTA. 
3. SI DESEA CAMBIAR SU OPCIÓN, CRUCE CON “X” GRUESA EL 
CÍRCULO ANTERIOR Y REDONDEE CON UN CÍRCULO EL 
NUMERAL DE LA NUEVA OPCIÓN. 
4. ENTREGUE ESTE EJEMPLAR DE EXAMEN COMPLETO (5 PÁGINAS) 
RELLENADO AL TRIBUNAL DE EXAMEN. 
 
 
 
 
TIEMPO: 2 HORAS 
 
MATERIAL AUTORIZADO: 
 
* Libros 
- UUDD de la asignatura: Cálculo Numérico y Estadística Aplicada 
(Colección Grado UNED). 
- FE de erratas de las UUDD. 
- Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (Serie Schaum). 
 
Las UUDD y el manual de Tablas pueden contener anotaciones escritas sobre ellas, 
pero no documentos adicionales. 
 
* Calculadora (programable o no programable). 
 
 
Soluciones: 
1. (a.2) (b.3) (c.2) (d.1) (e.4) 
2. (a.4) (b.1) (c.1) (d.4) (e.3) 
3. (a.4) (b.1) (c.2) (d.3) (e.3) 
4. (a.1) (b.3) (c.1) (d.2) (e.3) 
 
 
 2
1. El calor específico a presión constante de un fluido sigue una ley empírica cuadrática 
2
PC a bT CT= + + con la temperatura T, válida sólo dentro del intervalo 5 40T≤ ≤ (unidades 
arbitrarias). La siguiente tabla contiene valores ( ) :PC T 
T 5 10 15 20 25 30 35 40 
PC 8 18 30 53 78 108 143 183 
 
A. La tabla anterior 
a.1) Es consistente con la ley cuadrática 
a.2) Contiene un error 
a.3) Contiene dos errores 
a.4) No contiene errores 
B. Utilizando la tabla con todos sus datos correctos la interpolación de ( 22,5)PC T = lleva a 
b.1) 14,875 
b.2) 68 
b.3) 64,875 
b.4) 65,5 
C. El valor absoluto de la diferencia entre la derivada exacta en 20T = y la calculada con 
extrapolación de Richardson en 10 30T≤ ≤ es 
c.1) 1,5 
c.2) 0 
c.3) 3 
c.4) 5 
D. La variación de entalpía a P=constante, 
40
5
,PH C dT∆ = ∫ calculada con la regla del trapecio 
es con relación al valor exacto 
d.1) Aproximadamente un 101% mayor 
d.2) Aproximadamente un 99% menor 
d.3) Igual 
d.4) Menor en 16 unidades 
E. La extrapolación ( 41,5)PC T = es 
e.1) Aproximadamente 196 
e.2) Aproximadamente 28 
e.3) Aproximadamente 215,5 
e.4) Carece de sentido esta operación 
 
 3
2. Un oscilador armónico cuántico monodimensional tiene en su tercer estado excitado (v = 3) la 
densidad de probabilidad ( )23 2( ) . 8 12 exp( ).g x Cte x x x= − − (Cte = constante). Se desean 
calcular sus máximos y mínimos de probabilidad evaluando los ceros de ( ) / .dg x dx 
A. La función ( )f x a utilizar en este cálculo ( ) 0f x = resulta 
a.1) 5 3 2( 384 768 288 )exp( )x x x x− + + − 
a.2) 6 441 24 33 9x x x− + − 
a.3) 7 5 3128 768 528 144x x x x− + − + 
a.4) 7 5 34 24 33 9x x x x− + − + 
B. ( )f x presenta todas sus raíces reales en 4 4x− ≤ ≤ y son 
b.1) Siete raíces reales 
b.2) Cinco raíces reales y dos complejas 
b.3) Tres raíces reales y cuatro complejas 
b.4) Seis raíces reales 
C. Las raíces reales positivas de ( ) 0f x = suman (redondeando por exceso a 4 decimales) 
c.1) 3,8609 
c.2) 2,6198 
c.3) 3,0211 
c.4) 2,9989 
D. El máximo absoluto de probabilidad se alcanza con 
d.1) La raíz positiva menor y la raíz negativa mayor 
d.2) La raíz negativa de menor valor absoluto 
d.3) No se alcanza máximo absoluto para ( )g x en este problema 
d.4) La raíz negativa más grande en valor absoluto y la raíz positiva mayor 
E. ( )g x presenta 
e.1) Un mínimo 
e.2) Dos mínimos 
e.3) Tres mínimos 
e.4) Cuatro mínimos 
 
 
 
 
 
 4
3. Dada la función densidad de probabilidad 2( ) exp( ), 0 ,f x Nx x x= − ≤ < ∞ 
 
A. La constante de normalización N es 
 
a.1) 0 
a.2) 1
2
 
a.3) 5
2
 
a.4) 2 
B. El valor medio redondeado por exceso a 4 decimales es 
b.1) 0,8862 
b.2) 1,7725 
b.3) 0,4431 
b.4) 2,2500 
C. La desviación típica redondeada por exceso a cuatro decimales es 
c.1) 0,5107 
c.2) 0,4633 
c.3) 0,2046 
c.4) 0,5109 
D. La mediana está situada en 
d.1) ln 0,5+ 
d.2) 1,2512 
d.3) ln 0,5+ − 
d.4) ln 0,5− − 
E. Los cuartiles primero y tercero redondeados por exceso a cuatro decimales están en 
e.1) 1 30,5364 2,5364ζ ζ= = 
e.2) 1 30,1774 1,2141ζ ζ= = 
e.3) 1 30,5364 1,1774ζ ζ= = 
e.4) Ninguna de las respuestas anteriores 
 
 
 
 
 5
4. Un cierto fenómeno de evolución temporal responde a la tabla (unidades arbitrarias) 
x −2,1 −1,8 0 3,4 7,2 
y 16,2 14,0 10,1 7,3 5,8 
 
Al ajustar una recta de mínimos cuadrados y ax b= + 
A. Los coeficientes a y b resultan redondeados por exceso a tres decimales 
a.1) 1,034 12,066a b= − = 
a.2) 2,311 10,980a b= − = 
a.3) 12,066 1,034a b= = − 
a.4) 0,911 13,622a b= − = 
B. El error estándar en la pendiente a redondeado por exceso a dos decimales es 
b.1) 0,20 
b.2) 0,35 
b.3) 0,24 
b.4) 0,26 
C. El error estándar en la ordenada en el origen b redondeado por exceso a dos decimales es 
c.1) 0,90 
c.2) 0,81 
c.3) 0,79 
c.4) 0,80 
D. El intervalo de confianza del 95% para la pendiente es (redondeo por exceso a dos decimales) 
d.1) 2,08 0,03a− < < 
d.2) 1,80 0,27a− < < − 
d.3) 0, 21 2,25a< < 
d.4) Ninguna de las respuestas anteriores 
E. Las rectas de regresión y ax b= + y ' 'x a y b= + tienen el punto común 
e.1) No tienen ningún punto en común 
e.2) (0, 10,1) 
e.3) (1,34, 10,68) 
e.4) ( 1,21, 13,317)− 
 
 
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INSTRUCCIONES 
 
 
1. MARQUE SUS RESPUESTAS DIRECTAMENTE SOBRE ESTE 
EJEMPLAR DE EXAMEN. NO UTILICE HOJA DE LECTURA ÓPTICA. 
2. PARA MARCAR SU RESPUESTA A CADA PREGUNTA REDONDEE 
CON UN CÍRCULO EL NUMERAL (a.1; a.2; a.3; a.4; b.1; b.2; ETC.) DE 
LA OPCIÓN QUE CONSIDERE CORRECTA. 
3. SI DESEA CAMBIAR SU OPCIÓN, CRUCE CON “X” GRUESA EL 
CÍRCULO ANTERIOR Y REDONDEE CON UN CÍRCULO EL 
NUMERAL DE LA NUEVA OPCIÓN. 
4. ENTREGUE ESTE EJEMPLAR DE EXAMEN COMPLETO (5 PÁGINAS) 
RELLENADO AL TRIBUNAL DE EXAMEN. 
 
 
 
 
TIEMPO: 2 HORAS 
 
MATERIAL AUTORIZADO: 
 
* Libros 
- UUDD de la asignatura: Cálculo Numérico y Estadística Aplicada 
(Colección Grado UNED). 
- FE de erratas de las UUDD. 
- Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (Serie Schaum). 
 
Las UUDD y el manual de Tablas pueden contener anotaciones escritas sobre ellas, 
pero no documentos adicionales. 
 
* Calculadora (programable o no programable). 
 
 
Soluciones: 
1. (a.1) (b.3) (c.3) (d.3) (e.4) 
2. (a.1) (b.4) (c.1) (d.3) (e.4) 
3. (a.1) (b.3) (c.2) (d.4) (e.3) 
4. (a.1) (b.3) (c.2) (d.2) (e.3) 
 
 
 2
1. Un cierto fenómeno se sabe que responde a la relación 2.x at= En una toma de datos se han 
obtenido los valores 
t 0 0,05 0,15 0,30 
x 0 41,32.10− 31,003.10− 34,6.10− 
A. Utilizando un ajuste de mínimos cuadrados 2x at= el valor de la segunda derivada 2 2/d x dt 
en 0t = se estima que es (redondeo por exceso a cuatro decimales) 
a.1) 0,1015 
a.2) 0,1013 
a.3) 0.1025 
a.4) 0,1178 
B. El error RMS del ajuste anterior resulta (1 cifra significativa) 
b.1) 32.10− 
b.2) 56.10− 
b.3) 40,7.10− 
b.4) 67.10− 
C. Utilizando un ajuste de mínimos cuadrados 2x at b= + el valor de a resulta (cuatro cifras 
significativas) 
c.1) 0,051 
c.2) 0,04712 
c.3) 0,05126 
c.4) 0,05022 
D. El cociente RMS(c) / RMS (b) entre el caso C y el caso A-B es 
d.1) Un orden de magnitud menor 
d.2) Aproximadamente 0,85 
d.3) Aproximadamente 0,9 
d.4) Aproximadamente 1,17 
E. La integral 
0,3
0
( )x t dt∫ calculada
numéricamente con los puntos de la tabla y método de 
trapecios (T) y la calculada analíticamente (A) con el resultado A de mínimos cuadrados son 
e.1) 4 44,82.10 4,67.10T A− −= = 
e.2) 4 44,09.10 4,57.10T A− −= = 
e.3) 5 54,12.10 4,01.10T A− −= = 
e.4) 4 44,80.10 4,57.10T A− −= = 
 3
2. Dadas las funciones { }1/ 2 3/ 2 5/ 2, ,x x x con valores positivos y definidas en 0 2x≤ ≤ con ( ) 1xω = 
A. La constante de normalización N de 1/ 2 3/ 2( )f x x x= − , ( )2 , 1 ,N f f = es 
a.1) Mayor que la de 5/ 2x 
a.2) Menor que la de 5/ 2x 
a.3) Igual que la de 5/ 2x 
a.4) La pregunta no tiene sentido 
B. Las normas de { }1/ 2 3/ 2 5/ 2, ,x x x , 1 2 3, , ,n n n respectivamente, se ordenan como 
b.1) La pregunta no tiene sentido 
b.2) 3 2 1n n n< < 
b.3) 1 2 3n n n> > 
b.4) 1 2 3n n n< < 
C. El producto escalar 1/ 2 1/ 2 3/ 2,x x x− es 
c.1) 2
3
− 
c.2) 0 por simetría 
c.3) 2 
c.4) 5/ 4 4 42 2
5 7
 −  
 
D. El producto escalar 1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2,x x x x+ − es 
d.1) 0 por ortogonalidad 
d.2) 2 
d.3) 2− 
d.4) 1 
E. Se construye la función 
1/ 2
5/ 2 .
x
x
 El cálculo de su norma conduce a 
e.1) 8
3
− 
e.2) 1
24
 
e.3) 1
24
− 
e.4) Ninguna de las respuestas anteriores 
 
 4
3. Se dispone de dos colecciones de datos para un mismo fenómeno que se han extraído de una 
población normal: { }1 23, 22,19, 25,18C = , { }2 17, 24,19, 20, 25, 22C = 
A. Los límites de confianza del 95% para la media 1 1( )Cµ (redondeo por exceso a 2 decimales) 
son 
a.1) 117,82 24,98µ< < 
a.2) 116,99 25,00µ< < 
a.3) 118,31 24,98µ< < 
a.4) 117,09 24,00µ< < 
B. Los límites de confianza del 95% para la desviación típica 2 2( )Cσ (redondeo por exceso a 2 
decimales) son 
b.1) 21,06 5,06σ< < 
b.2) 22,91 6,51σ< < 
b.3) 21,91 7,51σ< < 
b.4) 20,06 6,06σ< < 
C. El estadístico F para la comparación unilateral de varianzas insesgadas y el F 
crítico ( 0,01)α = redondeados por exceso a 2 decimales son 
c.1) 1,06 15,52CF F= = 
c.2) 1,13 15,52CF F= = 
c.3) 0,89 11,39CF F= = 
c.4) 1,13 10,67CF F= = 
D. El valor absoluto del estadístico t para comparar las dos medias muestrales redondeado a tres 
decimales es 
d.1) 0,152 
d.2) 0,151 
d.3) 0,077 
d.4) 0,129 
E. La mediana y el tercer cuartil de C1 son respectivamente 
e.1) 22 y 19 
e.2) 19 y 25 
e.3) 22 y 23 
e.4) 21 y 22 
 5
4. La sección eficaz de un proceso de colisión viene dada por ( )02 ln 4 .
A a k
k
Ω = En ciertas 
condiciones experimentales y con unidades arbitrarias se tiene: 0 0,529 0,0005,a = ± 
4, 2 0,05,k = ± 13,95 0,005.A = ± Considerando que los errores no son estadísticos (tipo )∆ y 
que el factor 4 es exacto: 
A. La contribución al error ∆Ω procedente de A es 
a.1) 46,192.10− 
a.2) 41, 238.10− 
a.3) 30,763.10− 
a.4) 21, 238.10− 
B. La contribución al error ∆Ω procedente de k es 
b.1) 41,511.10− 
b.2) 30,619.10− 
b.3) 23,172.10− 
b.4) 25,055.10− 
C. La contribución al error ∆Ω procedente de 0a es 
c.1) 21,511.10− 
c.2) 47, 475.10− 
c.3) 45,018.10− 
c.4) 33,011.10− 
D. La solución para Ω es 
d.1) 1,728 0,030± 
d.2) 1,728 0,033± 
d.3) 1,73 0,04± 
d.4) 1,72763 0,00001± 
E. Si los datos y errores reseñados fueran de naturaleza estadística (medias y errores tipo s), la 
solución para Ω , con la desviación típica final como medida de su error, sería 
e.1) 1,73 0,06± 
e.2) 1,728 0,030± 
e.3) 1,728 0,032± 
e.4) 1,728 0,039± 
Examenes/Soluciones/Soluciones_SEPT13_CNyEA.pdf
 
 1
Soluciones Cálculo Numérico y Estadística Aplicada1 
 
Original / Septiembre 2013 
 
1. 
20081( ) 1
1 0,511
x xz x
x
+
= +
−
 
 
a) 
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 …. 0,7 
z 1 1,10624 1,22638 1,36293 1,51905 …. 2,15163 
 
b) ( 0, 22) 1,25228exactoz x = = 
 
2
0 0 0 0
0, 22 0,2 ( 1)0,22 0,2 0,2 ( )
0,1 2
k kx z k p k z k z z− −= → = = = → = + ∆ + ∆ 
 
valor interpolado ( 0,2) 1,25212p k = = 
 
c) 0,3( / )xdz dx = 
 Stirling: 1 1
1,51905 1,22638 1,46335 ( 0,1)
2 0,1Stirling
D D h−= = = =
×
 
 
 Richardson: 2 2
1,69879 1,10624 1,481375 ( 0,2)
2 0,2
D h−= = =
×
 
 
 
2
1 2
2 1, 45734 ( 0,5)1Richardson
D DD α α
α
−
= = =
−
 
 
 Exacto = 1,45749 
 
 
2. 
1,2 3
0 exp( ) 1
zI dz
z
=
−∫ 
a) 
z 0 0,3 0,6 0,9 1,2 
y(z) 0* 0,077174 0,262736 0,499451 0,744790 
*No hay indeterminación 0/0 en 0.z = Aplicar, por ejemplo, L’Hôpital. 
 
Trapecios: I=0,363527 
 
Simpson: I=0,357676 
 
 
1  L.M. Sesé, CC y TT Fisicoquímicas, UNED, Sept. 2013 
 
 2
b) Comparar los valores absolutos de los errores de truncamiento de ambas fórmulas 
S Tε ε< y despejar la relación entre las derivadas pedidas. Notar que los puntos 
intermedios S Tyξ ξ no tienen porqué coincidir. 
 
3. Hay que tipificar los datos de la Gaussiana seguida por los datos de energía. 
 
a) 1,32 ( ) 0,9066C C
E
E E
z p Z z
σ
−
= = → ≤ = 
b) 1 21 2 1 22 2,2 ( ) 0,9633C C C C
E E
E E E E
z z p z Z z
σ σ
− −
= = − = = → ≤ < = 
c) 1 21 2 1 20, 455 23,79 ( ) 0,6754C C C C
E E
E E E E
z z p z Z z
σ σ
− −
= − = → < < = 
 
 
4. Es un cálculo ANOVA-1. k = 4 muestras, N = 3 mediciones por cada muestra. 
 
Grados de libertad: (4 1) 3 4(3 1) 8n dν ν= − = = − = 
 
Restando, por ejemplo, 59 a todos los datos: 
 
Media 
2
2 2
3,8 3,82
2315 615 /12; ; 2,108; ( 0,05) 4,07
36 2
Cn
n d
d
sx s s F F
s
α= = = = = = 
 
Como 3,8 3,8
CF F< hay homogeneidad de medias. 
 
 
 
 
Reserva / Septiembre 2013 
 
1. 1 2
1tan ( )
1
P A ángulos en radianesρ
ρ ρ
−= − −
+
 
a) 
ρ 1 2 … 8 9 10 
P 8,7146 9,1364 … 9,7526 9,7796 9,8013 
 
b) 20 0 0 0
9,6 8 ( 1)( 9,6) 8 1,6 ( 1,6)
1 2
k kP k P k kρ ρ ρ ρ ρ− −= → = = = → = = + ∆ + ∆ 
 
 Valor interpolado ( 1,6) 9,7933 ;P k = = Valor exacto ( 9,6) 9,7932P ρ = = 
 
c) 29,452 ( / )trapeciosW la función a integrar es P ρ− 
 
 
 
 3
2. 2
0 1 2
x dx
x
π∞
=
+∫ 
 
a) El método de evaluación debería ser el de Gauss-Laguerre por adaptación del 
intervalo de integración. 
b) La integral hay que prepararla en la forma 
 
2
0
exp( ) exp( )
1
x xI x dx
x
∞
= −
+∫ 
con lo que la función a considerar en el algoritmo de Gauss-Laguerre es: 
 2
exp( )( )
1
x xf x
x
=
+
 
 
4
2 2
1 1 9,3950709 4 0,3225477
exp( ) exp( )( ) 0,0005393 ... 0,6031541
1 1
L L
GL i i
i x x
x x x xI c f x
x x= = =
   
= = + + =   + +   
∑
 
1,67805 
 
El valor con integración exacta es 2,221441... Se trata de una función con caída muy 
lenta y habría que incluir muchos más términos GL para obtener mayor precisión. 
 
 
3. 2
1 1 1; ( ) ;i i i
ii i i
i i
p p Var pϖ ϖ
ϖ ϖ σ
= = =∑∑ ∑
 
 
65,845 ( ) 0,1620 65,8 0,4pp Var p p σ= = → ± = ± 
 
La importancia es inversa a la magnitud de cada error, …. 
 
 
4. 2 2 2( , ) exp( ) 0 1f x y x x y x y= − −∞ < < ∞ < < 
 
a) Normalización 
1 1
2 2 2
0 0
( , ) exp( ) 1N dxdy f x y N dxdy x x y
∞ ∞
−∞ −∞
= − =∫ ∫ ∫ ∫ 
Integrando (variables separadas) 6N
π
= 
Nótese que hay factorización: { }{ }2 2 21 2( , ) ( ) ( ) exp( )f x y f x f y x x y= = − 
 
b) 
0
3
4
x por simetría
y
=
=
 
Examenes/Soluciones/SOL_CNyEA_F14_1S.pdf
 
 1
CNyEA (GRADO EN QUÍMICA, UNED) 
NOTAS DE RESOLUCIÓN 
EXAMEN FEBRERO – 2014 / 1 SEMANA 
 
Luis M. Sesé 
Coordinador de CNyEA 
 
P.1 
A) La tabla de diferencias no presenta diferencias segundas constantes, como debería por tratarse de 
un polinomio de segundo grado. Los datos que se obtienen para dichas 2 kz∆ son 
 
2 3 2 3 2 2 2 3
0 1 2 3 42,03.10 , 1,03.10 , 0,01.10z z z z z
− − −∆ = − ∆ = + ∆ = ∆ = ∆ = + 
 
Observando el patrón de signos y tomando como valor constante 2 30,01.10−∆ = , el valor erróneo 
está en 10p = : 
al dar marcha atrás en los cálculos se tiene 1,006605→ que es el valor correcto a esa presión. 
Puede comprobarse, sin hacer ya ningún cambio adicional, que la tabla ahora es perfectamente 
consistente: 2 30,01.10−∆
= para todas las entradas. 
 
B) Para calcular los coeficientes B y C, por ejemplo, se plantea el polinomio de avance 
 
3 311,000660 5,945.10 ( 1) 0,01.10
2k
p k k k− −= + + − 
en el que debe hacerse la sustitución a la variable original 1
9
pk −= , y operando se llega a 
 
4 1 8 26,60.10 , 6,17.10B atm C atm− − − −= = 
 
 
P.2 
Hay que determinar la posición del máximo de una función. Se calcula la función derivada de la 
función original, se iguala a cero y se resuelve la ecuación no lineal resultante. 
 
( )
3
2 30 ( ) exp( ) 1 3 exp( ) 0
exp( ) 1
x dC f x x x x x
x dx
ρρ = → = ⇒ = − − =
−
 
 
La raíz cero no es significativa para el problema (es un mínimo). Puede hacerse un pequeño análisis 
de signos para ver donde está localizada la raíz significativa (que es un máximo) y además decidir un 
buen punto de partida (ver el texto para estudiar estos detalles). 
 
La raíz buscada puede obtenerse aplicando un método iterativo (Newton, punto fijo,…). 
 
Con Newton, por ejemplo, partiendo de 0 4,x = y transformando ligeramente la ecuación no lineal 
(ni x, ni exp( )x pueden tomar valores nulos en la región de localización de la raíz): 
 
 
 2
1
3 3exp( )
1 3exp( )
n n
n n
n
x xx x
x+
− + −
= −
− −
→ 
1
5
2,883716761
.....
2,821439372 ( 9 )M
x
x x convergencia a decimales
=
= =
 
 
 
La frecuencia máxima se obtiene de 
 
14 13,5273756.10BM M
k T x s
h
ν −= = 
 
P.3 
2 2
2( )
p p p
p
p p p
mm m m m m
m m
m m m m m m
µ µµ µ
∆ + ∆∂ ∂
= → ∆ = ∆ + ∆ =
+ ∂ ∂ +
 
 
Sustituyendo los valores dados y operando: 
 
28(9,1033 0,0003).10 gµ −= ± , siendo el error relativo: 53,3.10 .....% .....ppmδ −= ≡ ≡ 
 
 
P.4 
Hay k = 3 Muestras y N =4 Mediciones por muestra. Restando, por ejemplo, 25 a todos los datos: 
 
1 2 37, 25 2 5,25 1,333333...x x x x= = = − → = 
 
2 2157,583333....(2 ) 8,1666666...(9 )n ds grados de libertad s grados de libertad= = 
 
2,9 19,296F = > Valores Críticos: 2,9 2,9(0,05) 4, 26 (0,01) 8,02
C CF F= = 
 
Por tanto se rechaza la hipótesis nula a ambos niveles: NO hay homogeneidad de medias muestrales 
a ambos niveles. 
 
 
 
 
Examenes/Soluciones/SOL_CNyEA_F14_2S.pdf
 
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CNyEA (GRADO EN QUÍMICA, UNED) 
NOTAS DE RESOLUCIÓN 
EXAMEN FEBRERO – 2014 / 2 SEMANA 
 
Luis M. Sesé 
Coordinador de CNyEA 
 
P.1 
Utilizando los datos de la tabla directamente, la integración debe hacerse mediante la regla del 
trapecio. Hay que prestar atención a que el espaciado no es constante, y además a que debe 
determinarse el valor de la función a integrar en presión = 0, así como obtener el resto de los valores 
de esta función: ( )f p que tiene dimensiones de (presión)-1. 
 
* *
00
1ln ( )
P P zf p dp dp
p
χ −= =∫ ∫ 
 
p 50 100 200 400 800 1000 
( 1) /z p− −4 . 10-4 −5 . 10-4 +2 . 10-4 … … +10,6 . 10-4 
 
La extrapolación indicada en el enunciado a 0p = es directa: 4( 1) / 3.10z p −− = − atm-1. 
 
Integrando sobre intervalos (espaciado constante): 
 
( )* 4 41 15050 ln 3.10 4.10 .... 0,9832P χ χ
− −= → = − − = → ≈ 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
* 4 4 4
2
4 4
2
50 100 2001000 ln 3 8 5 .10 5 2 .10 2 6,5 .10
2 2 2
400 2006,5 10 .10 10 10,6 .10 ... 1,761
2 2
P χ
χ
− − −
− −
= → = − − − + − + + + +
+ + + = → ≈
 
 
 
P.2 
Se pide determinar únicamente los valores propios de la matriz. 
 
3 2
4 0 1 4 0 1
0 1 1 ( ) 0 1 1 7 12 3 0
1 1 2 1 1 2
x
A P x x x x x
x
− 
 = → = − = − + − + = 
  − 
 
Un pequeño análisis de los cambios de signo de ( )P x indica que las raíces están en los intervalos 
(0, 1) (2, 3) (4, 5) 
Aplicando el método de Newton (que converge cuadráticamente), se tiene la relación general 
 
3 2
1 2
7 12 3
3 14 12
n n n
n n
n n
x x xx x
x x+
− + −
= −
− +
 
 
Partiendo de los valores que se indican y con convergencia hasta el máximo de precisión de la 
calculadora, se obtiene 
 
 2
Raíz en (0,1) Raíz en (2,3) Raíz en (4,5) 
 
0 1
5
0 0,25
...............
0,3003718517
x x
x
= → =
=iteración
 
0 1
4
2 2,25
...............
2, 239123278
x x
x
= → =
=
 
0 1
6
4 4,75
...............
4, 46050487
x x
x
= → =
=
 
 
Estos tres autovalores conservan la traza y el determinante de la matriz A. 
 
 
P.3 
A) La función densidad ( )f x es la derivada de la función integral ( )F x : 
 
2
0 0 0 0
1 1( ) ( ) 0 2 ( ) (2 1) 0 2
6 6
1 2 0 2
si x si x
F x x x si x f x x si x
si x si x
< < 
  = + ≤ < → = + < < 
 
≤ <  
 
 
B) ( )f x está normalizada y por tanto 
 
( )
2 2
0 0
1 11( ) 2 1
6 9
x xf x dx x x dx= = + =∫ ∫ 
 
C) Igualmente, como 22 2x xσ = − , se tiene 
 
( )
2 2
2 2 2 2
0 0
1 16 23( ) 2 1
6 9 81
x x f x dx x x dx σ= = + = → =∫ ∫ 
 
 
P.4 
Hay k = 4 Muestras y N =3 Mediciones por muestra. Restando 25 a todos los datos (por ejemplo): 
 
1 2 3 43 3 7,33333... 1 2,083333...x x x x x= = − = − = − → = − 
 
2 255,4166666....(3 ) 22,083333...(8 )n ds grados de libertad s grados de libertad= = 
 
3,8 2,509F = < Valores Críticos: 3,8 3,8(0,05) 4,07 (0,01) 7,59
C CF F= = 
 
Por tanto se acepta la hipótesis nula a ambos niveles: SÍ hay homogeneidad de medias muestrales a 
ambos niveles. 
 
 
 
 
Examenes/Soluciones/SOL_exaFebrero_2013_1S2S.pdf
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Febrero 2013 
Grado en Química 
Examen Cálculo Numérico y Estadistica Aplicada / 1 semana 
Indicaciones de resolución (Luis M Sesé, Coordinador CNyEA) 
1S/P.1 (p. 41, 156, 157, 192, 193…) 
A) 
𝜇 = 3 tanh 𝑥 = 3
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
 
hay que tabular para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 con 0.1 de espaciado 
𝑥 0 0.1 0.2 … . 0.4 0.5 0.6 … … . . 1 
𝜇 0 0.299004 0.592126 … . . 1.139847 1.386351 1.611149 … . 2.284782 
B) Con los datos de 𝑥 = 0.4 (𝑘 = 0), 0.5(𝑘 = 1) 𝑦 0.6(𝑘 = 2), 𝑥 = 0.55 → 𝑘 = 1.5 
Un polinomio de Newton de segundo grado que empiece en 𝑥 = 0.4 (𝑘 = 0) sirve para esta cuestión (texto 
pp. 40-42). Calculando las diferencias de avance con dichos tres datos 
𝜇(0.55) ≈ 𝑝𝑘=1,5 = 1.139847 + 0.246504 𝑘 − 0.021706 
𝑘(𝑘 − 1)
2
= 1.501463 
El valor exacto es 𝜇(0.55) = 1.501561 
C) El error absoluto es 9.8 × 10−5, etc. 
D) Derivadas: 
Exacta= 2.359343 
Stirling= 
2.35651 =
1.61149− 1.139847
2 × 0.1
 
 
Richardson= (hay que evaluar también la estimación de la derivada con las entradas en 0.3 y 0.7, texto p.158) 
2.359376 =
2.35651− 0.52 × 2.3479125
1 − 0.52
 
E) 3 
1S/P.2 
A) Integral de normalización: 𝑁2 ∫ 𝑥2∞−∞ exp(−𝛼𝑥
2) 𝑑𝑥 = 1 
De tablas (o del texto p.301) 
2 
 
𝑁 = �
4𝛼3
𝜋
�
1/4
 
B) La probabilidad pedida es 
𝑃 = 1 − 𝑝�−√3 ≤ 𝑥 ≤ √3� = 1 − �
1
2𝜋
�
1/2
� 𝑥2
√3
−√3
exp�−
𝑥2
2
�𝑑𝑥 
Una forma rápida es utilizar el desarrollo de Taylor con cinco términos para la exponencial (ver tablas 
o p.288 del texto) e integrar término a término 
exp �−
𝑥2
2
� ≈ 1 −
𝑥2
2
+
1
2
�
𝑥2
2
�
2
−
1
3!
�
𝑥2
2
�
3
+
1
4!
�
𝑥2
2
�
4
 
𝑃 = 0.38 
 
1S/P.3 (p.325,326 del texto). 
A) 𝑁∫ exp(−𝑎𝑥)𝑑𝑥 = 1∞0 𝑁 = 𝑎 𝐹(𝑥) = 0 𝑠𝑖 𝑥 < 0; 𝐹(𝑥) = 1 − exp(−𝑎𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 
B) Media = desviación típica = 
1
𝑎
 
C) 𝑧1 = 1 𝑧2 = 5 . 1 (𝑚𝑜𝑑 32) = 5 ….. 𝑧5 = 5 . 29 (𝑚𝑜𝑑 32) = 17 ….. (texto p. 594) 
 𝑦1 = 1/32 𝑦2 = 5/32 ……… 
𝑥1 = −
1
2
ln�1 − 𝐹(𝑥1)� = 0.015874 ……. (pp. 394-395 texto) 
 
1S/P.4 Este problema se desarrolla idénticamente que el del texto en pp. 587-588. Valores propios 
−1, 1, 5 
Se conservan traza (5) y determinante (-5). Los vectores propios son ortonormales. El asociado con -1 
es 
⎝
⎛
√2
2
0
√2
2 ⎠
⎞ , etc. 
 
3 
 
Examen Cálculo Numérico y Estadistica Aplicada / 2 semana 
Indicaciones de resolución (Luis M Sesé, Coordinador CNyEA) 
2S/P1. 
La ecuación inicial se reduce a la forma lineal en z y x haciendo los cambios y transformaciones 
siguientes (hay otras posibilidades igualmente válidas): 
𝑧 =
𝑦 + 𝑎
𝑥
= 𝐵 + 𝐶𝑥;
𝑦 = 𝐸𝑅7; 𝑥 =
1
𝑅2
; 𝐵 = 𝑏; 𝐶 = −𝑐 
Se ajusta por mínimos cuadrados 𝑧 = 𝐵 + 𝐶𝑥. Esto significa que hay que tabular los valores de ambas 
variables 
𝑥 1 0.8858 0.7901 … … 
 𝑦 − 5.4 − 4.5859 − 4.1053 … … … 
𝑧 − 1.81 − 1.1243 − 0.6522 … … … 
A partir de aquí sólo hay que introducir los datos (𝑥, 𝑧) en la opción estadística de la calculadora para 
ajuste de regresión lineal. De ahí se obtienen los valores de los coeficientes del ajuste y el coeficiente 
de correlación lineal (-0.9991). 
EL error típico de la estima se calcula sumando las desviaciones cuadráticas de los valores z, (tabla y 
estimado), dividiendo por 5-2=3, y calculando la raíz cuadrada. Está indicado cómo operar en p.431 
del texto. 
2S/2P. 
Hay que hacer que el algoritmo sea exacto para 𝑦(𝑥) = 1, 𝑥, 𝑥2, 𝑥3, pues hay cuatro coeficientes a 
determinar y harán falta cuatro ecuaciones (pp.164,165, 180-182 del texto). 
𝑦(𝑥) = 1 → � 1𝑑𝑡 = 𝑎0
𝐴
0
. 1 + 𝑎1 .1 + 𝑎2 .1 + 𝑎3 .1 = 𝐴 
𝑦(𝑥) = 𝑥 → � 𝑥𝑑𝑡 = 𝑎0
𝐴
0
. 0 + 𝑎1 . 
𝐴
3
+ 𝑎2 . 
2𝐴
3
 + 𝑎3 .𝐴 =
𝐴2
2
 
𝑦(𝑥) = 𝑥2 → � 𝑥2𝑑𝑡 = 𝑎0
𝐴
0
. 0 + 𝑎1 . �
𝐴
3
�
2
+ 𝑎2 . �
2𝐴
3
�
2
+ 𝑎3 .𝐴2 =
𝐴3
3
 
 
4 
 
𝑦(𝑥) = 𝑥3 → �𝑥3𝑑𝑡 = 𝑎0
𝐴
0
. 0 + 𝑎1 . �
𝐴
3
�
3
+ ⋯ = ⋯ 
Del sistema resultante se despejan los cuatro coeficientes. Con ellos se evalúa la función pedida para 
A=2 
𝐶(2) = 𝑎0𝑐𝑜𝑠 �
𝜋
2
0� + 𝑎1𝑐𝑜𝑠 �
𝜋
2
4
9
� + 𝑎2𝑐𝑜𝑠 �
𝜋
2
16
9
� + 𝑎3𝑐𝑜𝑠 �
𝜋
2
4� = ⋯. 
Para discutir el resultado es de ayuda realizar un sencillo gráfico de la función a integrar y ver sobre el 
la influencia de los puntos seleccionados para la integración. 
2S/P3. 
Este problema involucra a una distribución Gaussiana. De hecho 𝑐(𝑥, 𝑡)/𝑐0 es una densidad 
Gaussiana de probabilidades con media en 𝑥 = 𝑥0 y desviación típica 𝜎 = √2𝐷𝑡. Se puede 
comprobar operando la normalización o por comparación con la Gaussiana convencional. 
𝑐(𝑥, 𝑡)
𝑐0
≡ 𝑓(𝑧) =
1
√2𝜋
exp�−
𝑧2
2
� ; 𝑐𝑜𝑛 𝑧 =
𝑥 − 𝑥0
√2𝐷𝑡
 
Una figura como la de la p. 362 del texto puede ayudar a visualizar todo lo que sigue. 
De los datos del problema se deduce que 64/80 = 0.8 es la fracción de materia que queda en 
𝑥0 ± 0.05 (¡ ¡ ¡𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠‼!) una vez que pase el tiempo t que se pide. Los puntos tipificados son 
entonces 
𝑧±𝑡 = ±
0.05
√2𝐷𝑡
; 𝑧−𝑡 = −𝑧𝑡 
0.8 es la probabilidad referida a esta variable tipificada de manera que 
0.8 = 𝑝(−𝑧𝑡 < 𝑧 < 𝑧𝑡) =el intervalo es simétrico respecto del origen. El punto 𝑧𝑡 = 1.28167, y hay 
que fijarse en que en una tabla de distribución gaussiana que dé áreas desde –infinito hasta 𝑧𝑡: hay 
que buscar un área de 90% (ó probabilidad 0.9) parea interpolar inversamente el valor z (una sencilla 
regla de tres es suficiente). La razón: 
El intervalo es simétrico, luego: 
 Desde –infinito hasta cero = 0.5 
 Desde cero hasta 𝑧𝑡 = 0.8/2 = 0.4 total 0.5 + 0.4 = 0.9 
Utilizando ahora la definición de 𝑧𝑡 se puede despejar el tiempo y calcularlo, …. 
En este problema el tiempo es un parámetro, como en el problema 5.9 (pp.323, 331). 
 
5 
 
2S/P4. 
Es un cálculo ANOVA-2 que se realiza siguiendo pp. 622 y 623 del texto (o el problema 10.12). 
𝑐 = 3 𝑟 = 4 𝑥 ��� =
47
12
 𝐵 = 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠 =
115
12
 …. 
Coeficientes críticos de comparación: 
Bloques: 𝐹3,6(0.05) = 0.248 Tratamientos: 𝐹2,6(0.05) = 1.251 … 
Hay que comparar con los F críticos que se toman de las tablas. Todas las medias son homogéneas, 
no hay influencia de ninguno de los dos factores.